高中数学--立体几何证明题汇总

AH G FE D CB18、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 求证：EFGH 是平行四边形19、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。

求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。

20、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证：1//AC 平面BDE 。

21、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．22、已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11AC ，设11111AC B D O ⋂=，连结1AO∵1111ABCD A BC D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A1C1∥AC 且 11AC AC =又1,O O 分别是11,AC AC 的中点，∴O1C1∥AO 且11O C AO =11AOC O ∴是平行四边形111,C O AO AO ∴⊂∥面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴C1O ∥面11AB D（2）1CC ⊥面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥又1111AC B D ⊥∵， 1111B D AC C ∴⊥面 111AC B D ⊥即 同理可证11AC AD ⊥， 又1111D B AD D ⋂= ∴1AC⊥面11AB D 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定A E DCBD CB AS DC B AD 1ODB AC 1B 1A 1CN MPCBA6、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面.考点：线面垂直的判定7、正方体ABCD —A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD ∥平面B1D1C ； (2)若E 、F 分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD ．证明：(1)由B1B ∥DD1，得四边形BB1D1D 是平行四边形，∴B1D1∥BD ，又BD 平面B1D1C ，B1D1⊂平面B1D1C ，∴BD ∥平面B1D1C ． 同理A1D ∥平面B1D1C ．而A1D ∩BD ＝D ，∴平面A1BD ∥平面B1CD ．(2)由BD ∥B1D1，得BD ∥平面EB1D1．取BB1中点G ，∴AE ∥B1G ． 从而得B1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD ． 考点：线面平行的判定（利用平行四边形）8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且EF AC =，90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG 12//AC =12//FG BD =，又,AC BD =∴12FG AC =，∴在EFG ∆中，222212EG FG AC EF +==∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=，即BD CD ⊥，AC CD C ⋂=∴BD ⊥平面ACD考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形9、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB =（1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。

证明：（1）取PA 的中点Q ，连结,MQ NQ ，∵M 是PB 的中点，∴//MQ BC ，∵ CB ⊥平面PAB ，∴ MQ ⊥平面PAB∴QN 是MN 在平面PAB 内的射影 ，取 AB 的中点D ，连结 PD ，∵,P A P B =∴PD AB ⊥，又3AN N B =，A1∴BN ND =[来源:学§科§网]∴//QN PD ，∴QN AB ⊥，由三垂线定理得MN AB ⊥（2）∵90APB ∠=，,PA PB =∴122PD AB ==，∴1QN =，∵MQ ⊥平面PAB .∴MQ NQ ⊥，且112MQ BC ==，∴MN =考点：三垂线定理 10、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .证明：∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD 又EF ⊄平面BDG ，BD ⊂平面BDG ∴EF ∥平面BDG ∵1DGEB ∴四边形1DGBE 为平行四边形，1D E ∥GB又1D E ⊄平面BDG ，GB ⊂平面BDG ∴1D E ∥平面BDG1EF D E E ⋂=，∴平面1D EF ∥平面BDG考点：线面平行的判定（利用三角形中位线） 11、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点.（1）求证：1//AC 平面BDE ；（2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE .证明：（1）设AC BD O ⋂=， ∵E 、O 分别是1AA 、AC 的中点，∴1AC ∥EO又1AC ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，∴1AC ∥平面BDE（2）∵1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1AA BD ⊥又BD AC ⊥，1AC AA A ⋂=，∴BD ⊥平面1A AC ，BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面1A AC考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定12、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．证明：在ADE ∆中，222AD AE DE =+，∴AE DE ⊥∵PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥ 又PA AE A ⋂=，∴DE ⊥平面PAE （2）DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角在Rt PAD ∆，PD =Rt DCE ∆中，DE =在Rt DEP ∆中，2PD DE =，∴030DPE ∠= 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形13、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；（3）求二面角A BC P --的大小．证明：（1）ABD ∆为等边三角形且G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥ 又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD（2）PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点，∴AD PG ⊥ 且AD BG ⊥，PG BG G ⋂=，∴AD ⊥平面PBG ，PB ⊂平面PBG ，∴AD PB ⊥（3）由AD PB ⊥，AD ∥BC ，∴BC PB ⊥ 又BG AD ⊥，AD ∥BC ，∴BG BC ⊥∴PBG ∠为二面角A BC P --的平面角在Rt PBG ∆中，PG BG =，∴045PBG ∠=考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法） 14、如图1,在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD ． 证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A A AC A ⋂=，∴DB ⊥平面11A ACC ，而1AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1AO ．AC设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2234MO a =．在Rt △11AC M 中，22194A M a =．∵22211AO MO AM +=，∴1AO OM ⊥． ∵OM ∩DB=O ，∴1AO ⊥平面MBD ．考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ． 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，∴CF AB ⊥． ∵AD BD =，∴DF AB ⊥． 又CFDF F =，∴AB ⊥平面CDF ．∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE⊥，BE AB B ⋂=， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E ⋂=， ∴ AH ⊥平面BCD ．考点：线面垂直的判定16、证明：在正方体ABCD －A1B1C1D1中，A1C ⊥平面BC1D证明：连结ACBD AC ∵⊥∴ AC 为A1C 在平面AC 上的射影∴⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥BD A CA C BC A C BC D11111同理可证平面考点：线面垂直的判定，三垂线定理17、如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC ． 证明∵SB=SA=SC ，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC 取BC 的中点O ，连AO 、SO ，则AO ⊥BC ，SO ⊥BC ，∴∠AOS 为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a ，又∠BSC=90°，∴BC=2a ，SO=22a ， AO2=AC2－OC2=a2－21a2=21a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC ⊥平面BSC ．考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）。