常微分方程答案-4.2

合集下载

高等数学常微分方程讲义,试题,答案

高等数学常微分方程讲义,试题,答案常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲）内容要点一、基本概念1、常微分方程和阶2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、dyp(x)Q(y)dx(Q(y) 0) 2、齐次方程：dy dxy f x三、一阶线性方程及其推广1、dydyP(x)y Q(x) 2、P(x)y Q(x)y dxdx( 0,1)四、全微分方程及其推广（数学一）1、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足Q P2、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三）（乙）典型例题例1、求y x22Q p (RQ) (RP)但存在R(x,y)，使x y x ydydyxy的通解。

dxdx解：y (x xy)22dy0dxydyy2 x d__y x2 y1 x2yduu2令u,则u x udx x(1 u)du 0xdxu 11 udxdu u x C1 ln|xu| u C1例2C1 uce, y cedyy的通解d__ y4uyx求微分方程d__ y4dx1解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程即x y3是一阶dyydyy11dy 14 dy 133yydy C y Cy 线性方程P(y) ,Q(y) y x e yey 3例3设y e是xy p(x)y x的一个解，求此微分方程满足yx ln2 0的特解xx解：将y e代入微分方程求出P(x) xe先求出对应齐次方程x,方程化为dy(e x 1)y 1 dxx xdy(e x 1)y 0的通解y cex e根据解的结构立刻可得非齐次方程通解y ex cex e dx再由yx ln2 0得2 2ec 0,c e例4设1212故所求解y e exx e x12满足以下件F(x) f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在( , )内f (x) g(x),g (x) f(x),且f(0) 0,f(x) g(x) 2ex（1）求F(x)所满足的一阶微分方程（2）求出F(x)的表达式解：（1）由F (x) f (x)g(x) f(x)g (x) g2(x) f2(x) [f(x) g(x)]2 2f(x)g(x) (2ex)2 2F(x) 可知F(x)所满足的一阶微分方程为F (x) 2F(x) 4e2x （2）F(x) e2dx4e2xe 2dxdx c e 2x 4e4xdx c e2x ce 2x将F(0) f(0)g(0) 0代入，可知c 1 于是例52F(x) e2x e 2xdy2(1 y)的通解求微分方程(y x) xdxsec2udusec3u 解：令y tanu,x tanv, 原方程化为(tanu tanv)secv2secvdv化简为sin(u v)dudzdudz 1 再令z u v,则1,方程化为sinz 1 sinz dvdvdvdv sinz(sinz 1) 1dz dv c, 1 sinz 1 sinzdz v c,1 sinzv c21 sinz1 sinz z v c 2coszz tanz secz v c z最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。

常微分课后答案第四章

第四章高阶微分方程§4.1 线性微分方程的一般理论习题4．11．设)(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上的连续函数，证明：若在区间[]b a ,上有≠)()(t y t x 常数或≠)()(t x t y 常数，则)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．（提示：用反证法）证明 )(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上线性相关，则存在不全为0的常数21,c c 使得0)()(21≡+t y c t x c ，[]b a t ,∈，若)0(,021≠≠c c 或得12)()(c c t y t x -≡（或21)()(c c t x t y -≡）[]b a t ,∈∀成立。

与假设矛盾，故)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．2．证明非齐次线性方程的叠加原理：设)(1t x ，)(2t x 分别是非齐次线性方程)()()(1111t f x t a dt xd t a dt x d n n n n n =+++-- （1） )()()(2111t f x t a dtxd t a dt x d n n n nn =+++-- （2）的解，则)()(21t x t x +是方程)()()()(21111t f t f x t a dtxd t a dt x d n n n n n +=+++-- （3）的解．证明因为)(1t x ，)(2t x 分别是方程（1）、（2）的解，所以)()()(1111111t f x t a dt x d t a dt x d n n n n n =+++-- ， )()()(2212112t f x t a dtx d t a dt x d n n n nn =+++-- ，二式相加得，)()())(()()()(21211211121t f t f x x t a dt x x d t a dt x x d n n n n n +=++++++-- ，即)()(21t x t x +是方程（3）的解．3.（1）．试验证022=-x dt x d 的基本解组为tt e e -,，并求方程t x dtx d cos 22=-的通解。

常微分方程第三版习题答案

常微分方程第三版习题答案常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然界中变化规律的方程。

在学习常微分方程的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解习题可以加深对理论知识的理解和应用能力的培养。

本文将为大家提供《常微分方程第三版》习题的部分答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 习题一1.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2y + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。

令$y = u(t)e^{2t}$，则$\frac{dy}{dt} = \frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t}$将上述结果代入原方程，得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t} = 2(u(t)e^{2t}) + t^2$化简得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} = t^2$两边同时除以$e^{2t}$，得到：$\frac{du}{dt} = t^2e^{-2t}$对上式两边同时积分，得到：$u = -\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C$将$u$代入$y = u(t)e^{2t}$，得到最终的解：$y = (-\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C)e^{2t}$1.2 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = \frac{t}{y}$这是一个一阶可分离变量的常微分方程，我们可以通过分离变量来求解。

将方程变形，得到：$ydy = tdt$对上式两边同时积分，得到：$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}t^2 + C$解得：$y^2 = t^2 + C$由于题目中给出了初始条件$y(0) = 1$，将初始条件代入上式，得到：$1 = 0 + C$解得：$C = 1$将$C$代入$y^2 = t^2 + C$，得到最终的解：$y^2 = t^2 + 1$2. 习题二2.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2ty + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。

王高雄版《常微分方程》习题解答4.2

习题4.21. 解下列方程（1）045)4(=+''-x x x解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=tt ttec e c ec ec --+++432221(2)03332=-'+''-'''x a x ax a x解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a=λ故通解为x=atatat et c tec ec 2321++（3）04)5(='''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2故通解为54232221c t c t c e c ec x tt++++=-（4）0102=+'+''x x x 解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i故通解为t ec t ec x tt3sin 3cos 21--+=(5) 0=+'+''x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i+-=2λ,231i--故通解为tec t ec x t t 23sin23cos212211--+=(6) 12+=-''t s a s解：特征方程022=-aλ有根1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=atatec ec -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -==故通解为s=atat ec e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t(7)32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1齐线性方程的通解为x=ttttec e c ec 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如BtA x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1 故通解为x=tt ttec e c ec 3221++-4-t(8)322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有故齐线性方程的通解为x=ttt t tec ec te c e c --+++4321取特解行如c Bt Atx ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1故通解为x=tttttec e c te c ec --+++4321+12+t(9)t x x cos =-''' 解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i+-=2λ,231i--13=λ故齐线性方程的通解为tt t ec t ec t ec x 321221123sin23cos++=--取特解行如tB t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B故通解为tt t e c t ec t ec x 321221123sin23cos++=--)sin (cos 21t t +-(10)tx x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1故齐线性方程的通解为x=ttec ec 221-+因为+-2i 不是特征根取特解行如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B故通解为x=ttec ec 221-+tt 2sin 562cos 52--（11）te x x =-''' 解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i+-=2λ,231i--13=λ故齐线性方程的通解为tt t ec t ec t ec x 321221123sin23cos++=--=λ1是特征方程的根，故tAte x =~代入原方程解得A=31故通解为tt t ec t ec t ec x 321221123sin23cos++=--+tte 31（12）tes a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a当a=-1时，齐线性方程的通解为s=tt tec ec 21+,=λ1是特征方程的2重根，故teAt x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121tte c ec tt++,当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=atat tec ec --+21,=λ1不是特征方程的根，故tAe x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=atattec ec --+21+tea 2)1(1+（13）te x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5故齐线性方程的通解为x=ttec ec 521--+=λ2不是特征方程的根，故tAe x 2~=代入原方程解得A=211故通解为x=tt ec ec 521--++te2211（14）te x x x tcos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i故齐线性方程的通解为te c t ec x tt2sin2cos21+=i ±-1 不是特征方程的根, 取特解行如te t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B故通解为te c t ec x tt2sin2cos21+=+tet t --)sin 414cos 415((15) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i故齐线性方程的通解为tc t cx sin cos 21+=t x x sin =+'',=1λi,是方程的解 )sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得 A=21- B=0 故t t x cos 21~-= tx x 2cos -=+''tB t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=31 B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t2cos 31+。

常微分方程4.2

（4.23）其中仍为常数，而相应的特征方程为
（4.24）直接计算易得因此从而，
可见（4.21）的根对应于（4.24）的根，而且重数相同。这样，问题就化为前面已经讨论过的情形了。方程（4.24）的重根对应于方程（4.23）的个解，因而对应于特征方程（4.21）的重根，方程（4.19）有个解：
在讨论常系数线性方程时，函数将起着重要的作用，这里是复值常
数，我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。
设是任一复数，这里是实数，而为实变量，我们定义
有上述定义立即推得
并且用表示复数的共轭复数。
此外，还可容易证明函数具有下面的重要性质：
，其中为实变量
由此可见，实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求
例1 求方程的通解；
解特征方程的根为，，，。有两个实根和两个复根，均是单根，故方
程的通解为
这里是任意常数。
例2 求解方程。
解特征方程有根，，因此，通解为
其中为任意常数。
例3 求方程的通解。
解特征方程，或，即是三重根，因此方程的通解具有形状
其中为任意常数。
例4 求解方程。
解
特征方程为，或，即特征根是重根。因此，方程有四个实值解
（4.32）的求解问题，这里是常数，而为连续函数。（一）比较系数法类型Ⅰ
设，其中及为实常数，那么方程（4.32）有形如（4.33）
的特解，其中为特征方程的根的重数（单根相当于；当不是特征根时，取），而是待定的常数，可以通过比较系数来确定。（1）如果，则此时现在再分两种情形讨论。 1）在不是特征根的情形，即，因而，这时，取，以代入方程（4.32），并比较的同次幂的系数，得到常数必须满足的方程：

理工类专业课复习资料-《常微分方程》东师大第二版习题答案

《常微分方程》习题解答东北师范大学微分方程教研室(第二版)高等教育出版社习题 1.21求下列可分离变量微分方程的通解：(1)xdx ydy =解：积分，得1222121c x y +=即cy x =−22(2)y y dxdyln =解：1,0==y y 为特解，当1,0≠≠y y 时，dx yy dy=ln ，积分，得0ln ,ln ln 11≠=±=+=c ce e e y c x y xx c ，即xcee y =(3)y x e dxdy−=解：变形得dx e dy e xy=积分，得c e e xy =−(4)0cot tan =−xdy ydx 解：变形得x y dx dy cot tan =，0=y 为特解，当0≠y 时，dx xxdy y y cos sin sin cos =.积分，得11cos sin ln ,cos ln sin ln c x y c x y =+−=,即0,cos sin 1≠=±=c c ex y c 2．求下列方程满足给定初值条件的解：(1)1)0(),1(=−=y y y dxdy解：1,0==y y 为特解，当1,0≠≠y y 时，dx dy yy =−−111(，积分，得0,1,1ln11≠=±=−+=−c ce e e yy c x yy x x c 将1)0(=y 代入，得0=c ，即1=y 为所求的解。

(2)1)0(,02)1(22==+′−y xy y x 解：0,1222=−−=y x xy dx dy 为特解，当0≠y 时，dx x xy dy 1222−−=，积分，得c x y+−−=−1ln 12将1)0(=y 代入，得1−=c ，即11ln 12+−=x y 为所求的解。

(3)0)2(,332==′y y y 解：0=y 为特解，当0≠y 时，dx ydy=323，积分，得331)(,c x y c x y +=+=将0)2(=y 代入，得2−=c ，即3)2(−=x y 和0=y 均为所求的解。

《常微分方程》东师大第二版习题答案

(4) y′ = 2( y − 2 )2 x + y −1
解：令 u = x + 1, v = y − 2 则原方程变为 dv = 2( v )2 du u + v
再令 z = v ，则方程化为 z + u dz = 2( z )2
u
du 1 + z
分离变量 (1 + z)2 dz = − du (z ≠ 0)
ζ
dζ 1 + u
整理为
u + 1 du = − dζ (u ≠ 1,2)
(u −1)(u − 2)
ζ
积分，得 (u − 2)(u − 2)2 ζ = c u −1
5
代回变量，得通解 ( y − 2x)3 = c( y − x −1)2 , y = x + 1也是方程的解
(2) (2x + y + 1)dx − (4x + 2 y − 3)dy = 0
积分，得 ln ln y = x + c1, ln y = ±ec1 e x = ce x c ≠ 0 ，即 y = ecex (3) dy = e x−y
dx 解：变形得 e y dy = e x dx 积分，得 e y − e x = c
(4) tan ydx − cot xdy = 0
解：变形得 dy = tan y ， y = 0 为特解，当 y ≠ 0 时， cos y dy = sin x dx .
dy 2x + y + 1
解：方程改写为
=
dx 4x + 2y − 3
令
u = 2x + y ，有
du 5u − 5 =
dx 2u − 3

《常微分方程》答案_习题4.2

习题4.21. 解下列方程（1）045)4(=+''-x x x 解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=tt t t e c e c e c e c --+++432221 (2)03332=-'+''-'''x a x a x a x 解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a =λ故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04)5(=''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-（4）0102=+'+''x x x解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i故通解为t e c t e c x t t 3sin 3cos 21--+= (5) 0=+'+'x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i-- 故通解为t ec t ec x t t 23sin 23cos 212211--+=(6) 12+=-''t s a s 解：特征方程022=-a λ有根=1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=at at e c e c -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -== 故通解为s=at at e c e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ 故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t(7) 32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (8) 322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321取特解行如c Bt At x ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (9)t x x cos =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--取特解行如t B t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--)sin (cos 21t t +-(10) t x x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1 故齐线性方程的通解为x=t t e c e c 221-+ 因为+-2i 不是特征根取特解行如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B 故通解为x=t t e c e c 221-+t t 2sin 562cos 52-- （11）t e x x =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=-- =λ1是特征方程的根，故t Ate x =~代入原方程解得A=31故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--+t te 31（12）t e s a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a 当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t tte c e c 21+,=λ1是特征方程的2重根，故t e At x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121t te c e c t t ++,当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at atte c e c --+21,=λ1不是特征方程的根，故t Ae x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=at at te c e c --+21+te a 2)1(1+ （13）t e x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5 故齐线性方程的通解为x=tte c e c 521--+=λ2不是特征方程的根，故t Ae x 2~=代入原方程解得A=211 故通解为x=t t e c e c 521--++t e 2211 （14）t e x x x t cos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i故齐线性方程的通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=i ±-1不是特征方程的根, 取特解行如t e t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B 故通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=+t e t t --)sin 414cos 415((15) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i 故齐线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+=t x x sin =+'',=1λi,是方程的解 )sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得 A=21- B=0 故t t x cos 21~-=t x x 2cos -=+'' t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得 A=31B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t 2cos 31+习题 6-11．求出齐次线性微分方程组y t A dtdy)(=的通解，其中A （t ）分别为：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011)(t A ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110)(t A ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010100)(t A 。

4.2常系数线性微分方程的解法

(3) 求方程(4.19)通解的步骤
第一步: 求(4.19)特征方程的特征根 1, 2,, k ,
第二步: 计算方程(4.19)相应的解
(a) 对每一个实单根 k , 方程有解 ekt ; (b) 对每一个 m 1重实根k ,方程有m个解;
ekt , tekt , t 2ekt ,, t m1ekt ;
(
A(2) 0
A1(2)t
A t )e (2) k2 1 2t k2 1
(
A(m) 0
A1(m)t
A t )e (m) km 1 mt km 1
0
P1(t)e1t P2 (t)e2t Pm (t)emt 0
(4.27)
假定多项式 Pm (t) 至少有一个系数不为零，则 Pm (t)
不恒为零，
dnx
d n1x
d k1 x
dt n a1 dt n1 ank1 dt k1 0
显然 1, t, t 2 ,, t k11 是方程的 k1 个线性无关的解，
方程(4.19)有 k1 重零特征根
方程恰有 k1 个线性无关的解 1, t, t 2 ,, t k11
II. 设 1 0 是 k1 重特征根
L[e(1)t ] L[e te1t ]
e1t L1[e t ] e(1)tG( )
F( 1) G()
F ( j) (1) 0, j 1,2,, k1 1 F (k1) (1) 0,
dF
j ( d
j
1 )
dG j () d j
,
j 1,2,, k1
(4.19)的 k1重特征根 1
k1, k2 ,, km 重数 k1 k2 km n, ki 1
I. 设 1 0 是 k1 重特征根

常微分方程课后答案

习题1.21．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 ex3-3e2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln xy令x y=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- e y=ce x11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明：令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。

4.2常系数线性微分方程的解法

对共轭的出现.设1 i是一特征根,则2 i也是特征根,
因而与这对共轭复数对应的, 方程（4.19）有两个复值解,
e(it) eat cos t i sin t e(it) eat cos t i sin t
再由定理8知方程（4.19）的两个实值解eat cos t, eat sin t.
少有一个系数不等于零, Pm (t) 0, 将恒等式（4.27）除以e1t ,然
m1 y (m1)
m(m 2!
1)
1
2
y
(m2)
1m y,
L[ ye1t ] ( d n y
dt n
b1
d n1 y dt n1
bn y)e1t
L1
y e1t
于是方程（4.19）化为
L1[ y]
dny dt n
b1
d n1 y dt n1
bn1
dy dt
bn y
0
其中b1, b2 , , bn仍为常数,而相应的特征方程为
L(x)
d net dt n
a1
d n1et dt n1
an1
de t dt
anet
(n a1n1 a n1 an )et F ()et
其中F () (n a1n1 an1 an )是的n次多项式
易知x et为方程（4.19）的解的充要条件是是代数方程
F () (n a1n1 an1 an ) 0
L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
(4.19)
一阶常系数齐次线性微分方程 dx ax 0,它有形如x eat

第四章常微分方程参考答案(1)

爱启航在线考研第四章常微分方程4.1答案：应选（C ）解析：原方程写成23e 0+'+=yxyy ，分离变量有23e d =e d y x y y x --，积分得232e 3e --=x y C ，其中C 为任意常数.4.2答案：应填sin e=C xy ，其中C 为任意常数.解析：原方程分离变量，有d cos d ln sin =y xx y y x，积分得1ln |ln |ln |sin |ln =+y x C ，通解为ln sin =y C x 或sin e=C x y ，其中C 为任意常数.4.3答案：应填()2112e-=x y x 解析：原方程化为d 1d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x x y x .积分得通解211ln ||ln ||2y C x x =-，即122ex y Cx -=.由初值(1)1=y 解出12e C =得特解.故答案为：()2112e-=x y x .4.4答案：应选（B ）解析：原方程求导得()2()'=f x f x ，即()2()'=f x f x ，积分得2()e =x f x C ，又(0)ln 2=f ，故ln 2=C ，从而2()e ln 2=x f x .故应选（B ）.4.5解：曲线()=y f x 在点(,)x y 处的切线方程为()'-=-Y y y X x ，令0=X ，得到切线在y 轴截距为'=-xy y xy ，即(1)'=-xy y x .此为一阶可分离变量的方程，于是d 11d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x y x ，两边积分有1ln ||ln =-y C x x ，得爱启航线考研到e =x Cx y .又()11e y -=，故1=C ，于是曲线方程为e =xx y .4.6解：22d d 11+y y y x x x x =∆=+，得2d d 1=+y y x x ，变量分离2d 1d 1=+y x y x.两边积分得1ln arctan y x C =+.可得arctan exy C =又()0y =π，则C =π.所以arctan πexy =，()πarctan141πeπe y ==.4.7解：令=yu x，即=y ux ，则y u x u ''=+，又由题给表达式可得2y u u '=，即有u x u '+2u u =-d 1d 22=-x xu u ，两边积分得1ln 1ln ln u x C -=+，即ln(1ln ln 1=-+⇒-=⇒-=y Cu x C x xy C x x.4.8答案：应填2(ln ||)=+x y y C 解析：将x 看成未知函数，原方程改写为2d 1d 222+==+x x y x y xy y x这是一个伯努利方程，令2=z x ，有d 1d -=z z y y ，得11d d 2e ed (ln ||)-⎛⎫⎰⎰==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰y y y y x z y C y y C .故答案为：2(ln ||)=+x y y C ，其中C 为任意常数.4.9答案：应填()cos +x C x解析：属于一阶非齐次线性方程，直接根据一阶非齐次线性微分方程的通解公式即可得出答案.故答案为：()cos +x C x ，其中C 为任意常数.4.10答案：应填1爱启航在线考研解析：()2d 2d 22e 4e d e4ed x x xxy x x C x x C--⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰222e (21)e (21)e x x xx C x C --⎡⎤=-+=-+⎣⎦.当0=x 时，1=-y ，则0=C .可得21=-y x ，则()11=y .故答案为1.4.11答案：应填1解析：由11()()'+=y P x y Q x 及22()()'+=y P x y Q x 得()()1212()()()αββαβ'+++=+y y P x ay y Q x .又因12αβ+y y 满足原方程，故应有()()()β+=a Q x Q x ，即1αβ+=.故答案为1.4.12解：()sin d sin d e cos e d -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰x xx x gx x x C ()cos cos e cos ed -=+⎰xxx x C又()00g =，故()()cos cos cos 0e cos ed cos ed limlime lim xxxx x x x x Cx x Cg x xxx--→→→++==⋅=⎰⎰cos 0e lim cos e 1x x x -→⋅=.4.13解：2d 1d 2y x x y =-，则2d 2d x x y y =-，即2d 2d x x yy-=-()()2d 2d 222222111e e d e e d e 224yy y y y x y y C y y C y y C --⎛⎫⎰⎰⎡⎤=-+=-+=+++ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰.4.14解：令=tx u ，则u t x d d =，则代入到题给表达式101()d ()d xf tx t f u u x =⎰⎰，可得20()d 2()xf u u xf x x =+⎰.两边求导得()2()2()2f x f x xf x x '=++，则()2()2f x xf x x '+=-.从而11131d d 2222222()e (1)ed 33x x x x f x x C x x C x Cx ---⎛⎫⎛⎫⎰⎰=-+-+=-+ ⎪⎝ ⎝⎭=⎪⎭⎰.爱启航在线考研4.15解：将原方程改写成211cos sin y x x yy '+=-，并令1z y =，则21z y y ''=-，且原方程化为sin cos z z x x '-=-.d de (sin cos )e d x x z x x x C -⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰e (sin cos )e d x x x x x C -⎡⎤=-+⎣⎦⎰()e sin ed cose d xxx x x x x C --=-+⎰⎰，其中()sin e d sin d e sin e e cos d x x x x x x x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰，故()e sin e e sin x x x z x C C x -=-+=-，即1e sin x C x y=-为所求通解.4.16答案：应选（C ）解析：因原方程阶数为2，通解中应包含两个任意常数（可求出通解为3126++x C C x ）；特解中不含有任意常数（3*6=x y 为特解）；36+x Cx 满足原方程，为原方程的解，故选项（A ），（B ），（C ）都不对，应选（C ）.4.17解：（1）令y p '=，则d d p y x ''=，从而2d 1d pp x=+，则2d d 1p x p =+积分得p arctan 1arctan p x C =+，故()1d tan d yp x C x=+=，则两边对x 积分1d tan()d y x C x =+⎰⎰，得()1121sin()d ln cos cos()x C y x x C C x C +==-+++⎰.（2）()10xy xy C '''=⇒=，即1y xC '=，故12ln y C x C =+.4.18解：由21e x y =，得212e x y x '=，()22124e x y x ''=+；由22e x y x =，得222(12)e x y x '=+，()22364e x y x x ''=+.因爱启航在线考研()()()22222211144224e 42e 42e 0x x x y xy x y x x x x '''-+-=+-⋅+-=.()()()()222232222244264e 412e 42e 0x x x y xy x y x x x x x x '''-+-=+-++-=.故1y 与2y 都是方程的解.又因21y x y =不等于常数，故1y 与2y 线性无关.于是方程的通解为()2112212e x y C y C y C C x =+=+.4.19答案：应选（A ）解析：根据高阶线性微分方程根的形式可知，选（A ）.4.20答案：应选（B ）解析：由题意可知，-1是特征方程二重特征根，1是特征方程的特征根，故特征方程为()()2110+-=r r ，即3210+--=r r r .故三阶常系数齐次线性方程为0y y y y ''''''+--=.故选（B ）.4.21答案：应选（C ）解析：：特征方程为2220++=r r 即2(1)1+=-r ，解得特征根为1,21i r =-±.而()e sin x f x x -=，i 1i w ±=-±λ是特征根，故特解的形式为*e (cos sin )x y x a x b x -=+.4.22答案：应填()*22e xy x ax bx c dx =+++解析：特征方程为220-=r r ，特征根10r =,22r =.对21()1=+f x x ，10λ=是特征根，所以()*21y x ax bx c =++.对22()exf x =，22λ=也是特征根，故有*22e =x y dx .从而***12=+y y y 就是特解.故答案为()*22e x y x ax bx c dx =+++.4.23解：所给微分方程的特征方程为256(2)(3)0++=++=r r r r ，特征根为12=-r ,23=-r .于是，对应齐次微分方程的通解为2312)e e xx y x C C --=+.爱启航在线考研设所给非齐次方程的特解为*e xy A -=.将*()y x 代入原方程，可得1A =.由此得所给非齐次方程得特解*e xy -=.从而，所给微分方程得通解为2312()e e e xx x y x C C ---=++，其中1C ,2C 为任意常数.4.24答案：应选（C ）解析：将()()000y y '==代入3e xy py qy '''++=，得()01''=y .()()()()()22000ln 122limlimlimlim 2x x x x x x x y x y x y x y x →→→→+===='''.故选C.4.25答案：应填12e(cos sin )e xxC x C x ++解析：所给微分方程的特征方程为22201i -+=⇒=±r r r ，从而齐次通解为12e (cos sin )x C x C x +，设特解为e x A ，代入方程得e 2e 2e e 1x x x x A A A A -+=⇒=，即得特解为e x .非齐次通解为12e(cos sin )e xx C x C x ++.。

《常微分方程》东师大第二版习题答案

(3)0)2(,332==′y y y 解：0=y 为特解，当0≠y 时，dx ydy =323，积分，得331)(,c x y c x y +=+=将0)2(=y 代入，得2−=c ，即3)2(−=x y 和0=y 均为所求的解。

常微分方程4.2n阶常系数线性齐次方程解法

Y
C1e1xT1
C2e2xT2

Cne
n
Tx 3n
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
高阶线性方程
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f x (4.5)

c2 e 2 x

c enx n 11
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
例1 求方程 y 8y 7 y 0 的通解。
解第一步：特征方程及特征根
P() 2 8 7 0 1 1, 2 7
P() 0 满足
特征根
特征方程
结论： y e x 是方程的解的充要条件满足 P() 0
9
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。
P() n a1n1 an1 an 0
复习内容
一阶常系数线性齐次方程组的解法高阶线性方程
高阶线性方程的通解结构
2
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
一阶常系数线性齐次方程组的解法
dY AY dx
第一步：写出方程组的系数矩阵A
y e x

《常微分方程》练习题库参考答案

《常微分⽅程》练习题库参考答案江苏师范⼤学数学教育专业《常微分⽅程》练习测试题库参考答案⼀、判断说明题1、在线性齐次⽅程通解公式中C 是任意常数⽽在常数变易法中C （x ）是x 的可微函数。

将任意常数C 变成可微函数C （x ），期望它解决线性⾮齐次⽅程求解问题，这⼀⽅法成功了，称为常数变易法。

2、因p(x)连续，y(x)= y 0exp(-dx xx p(x))在p(x)连续的区间有意义，⽽exp(-dx xx p(x))＞0。

如果y 0＝0，推出y(x)=0,如果y(x)≠0,故零解y(x)=0唯⼀。

3、（1）它是常微分⽅程，因为含有未知函数的导数，f,g 为已知函数，y 为⼀元函数，所建⽴的等式是已知关系式。

（2）它是常微分⽅程，理由同上。

（3）它不是常微分⽅程，因y 是未知函数，y(y(y(x)))也是未知的，所建⽴的等式不是已知关系式。

4、微分⽅程求解时，都与⼀定的积分运算相联系。

因此，把求解⼀个微分⽅程的过程称为⼀个微分⽅程。

微分⽅程的解⼜称为（⼀个）积分。

5、把微分⽅程的通解⽤初等函数或通过它们的积分来表达的⽅法。

注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能⽤初等函数表⽰出来，我们也认为求解了这个微分⽅程，因为这个式⼦⾥没有未知函数的导数或微分。

6、 y `＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中⼀个因式仅含有x,另⼀因式仅含y ，⽽⽅程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量⽅程的主要特征，就像f(x,y)⼀样，p,q 分别都能分解成两个因式和乘积。

7、⼆元函数f(x,y)满⾜f(rx,ry)=r mf(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m 次齐次函数。

m=0则称它为0次齐次函数。

8、如果f(x,y)是0次齐次函数，则y `＝f(x,y)称为齐次⽅程。

如果p(x,y)和q(x,y)同为m 次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次⽅程。

42常系数线性微分方程的解法

et cost, et sin t
为什么？
内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作
例2 求方程 y(4) 6y(3) 15y 18y 10y 0 的通解
解：(复单根)特征方程为：
4 63 152 18 10 0
特征根对应的基本解组
1 1 i,2 1 i,3 2 i,4 2 i
, t k1 e 1 1 t , t k2 1e2t
, t km e 1 mt
内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作
对于特征方程有复重根的情况，结合前面的两种情况就可以讨论了。
要（4.20）是方程（4.2）的解的充要条件为：
F () n a1 n1 an1 an 0 (4.21)
称（4.21）是方程（4.19）的特征方程，它的根称为特征根。
内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作
于是有
求解常系数线性微分方程问题
L[ x]

dnx dt n

z2
(t)]

dz1(t) dt
ห้องสมุดไป่ตู้
dz2 (t) dt
dz dt
[c

z1
(t
)]

c
dz1(t dt
)
乘积性
dz dt [z1(t) z2 (t)]
dz1(t dt
)

z2
(t
)

z1
(t
)

dz2 (t dt
)
注意：同实值函数的微分运算法则一样。
内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作
假如有下面形式（4.20）是方程（4.19）的解

常微分方程答案-4.2

常微分方程答案-4.2LT习题4.22. 求解以下常系数线性微分方程： (1) (4)540x x x ''-+=解：特征方程：42540λλ-+=特征根：12342211λλλλ==-==-，，，根本解组：22,,,t t t t e e e e -- 所求通解：221234,,1,2,3,4t t t t i x c e c e c e c e c i --=+++∈=(2) 23330x ax a x a x ''''''-+-=解：特征方程：0333223=-+-a a a λλλ特征根：1,2,3a λ= 根本解组：2,,at at at e te t e 所求通解：()2123,,1,2,3at i x c c t c t e c i =++∈=(3) (5)40x x '''-=解：特征方程：0435=-λλ特征根：1,2,345022λλλ===-，，根本解组：2221,,,,t t t t e e - 所求通解：22212345,,1,2,3,4,5t t i x c c t c t c e c e c i -=++++∈=(4) 0x x x '''++=解：特征方程：012=++λλ特征根：1,213iλ-±=根本解组：112233,t t ee --所求通解：11221233cos sin ,,1,222t t i x c ec e c i --=+∈=(5) 21s a s t ''-=+ 〔属于类型Ⅰ〕解：齐次方程：20s a s ''-=特征方程：022=-a λ 特征根：12,a a λλ==-当0a ≠，齐次方程通解：12,,1,2at at i s c e c e c i -=+∈=，此时0不是特征根，故设特解为s At B =+，将其代入原方程可得21a B A -==，从而特解为()211s t a=-+，所以所求通解： ()12211,,1,2at at i s c e c e t c i a-=+-+∈= 当0a =，0是二重特征根，故齐次方程通解：12,,1,2i s c c t c i =+∈=，设特解为()2s t At B =+，那么将其代入原方程可得11,62A B ==，从而特解为21162s t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以所求通解：21211,,1,262i s c c t t t c i ⎛⎫=+++∈= ⎪⎝⎭(6) 45223x x x x t ''''''-+-=+ 〔属于类型Ⅰ〕解：齐次方程：4520x x x x ''''''-+-=特征方程：025423=-+-λλλ 特征根：1,231,2λλ==齐次方程通解：()2123,,1,2,3t t i x c c t e c e c i =++∈=0不是特征根，故设特解为x At B =+，将其代入原方程可得1,4A B =-=-，从而特解为4x t =--，所以所求通解：()21234,,1,2,3t t i x c c t e c e t c i =++--∈=(7) (4)223x x x t ''-+=- 〔属于类型Ⅰ〕解：齐次方程：(4)20x x x ''-+=特征方程：42210λλ-+= 特征根：1,23,41,1λλ==-齐次方程通解：()()1234,,1,2,3,4t t i x c c t e c c t e c i -=+++∈= 方法一：常数变易法求解设原方程通解为()()()()1234t t t t x c t e c t te c t e c t te --=+++，那么()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1234112342312344212340003t t t t t t t t t t t t t t t t c t e c t te c t e c t te c t c t e c t te c t e c t te c t c t c t e c t te c t e c t te c t c t e c t te c t e c t te t --------''''⎧+++=⎪'=⎧''''⎪⎪''''+++='=⎪⎪⇒⎨⎨'''''''''=''''+++=⎪⎪⎪⎪'=⎩''''''''''''⎪''''+++=-⎩()()()()1234c t c t c t c t =⎧⎪=⎪⇒⎨=⎪⎪=⎩所以将(),1,2,3,4i c t i =代入()()()()1234t t t t x c t e c t te c t e c t te --=+++中即得原方程通解：()()212341,,1,2,3,4t t i x c c t e c c t e t c i -=+++++∈=方法二：比拟系数法求解由于0不是特征根，故设特解为2x At Bt C =++，将其代入原方程可得1,0,1A B C ===，从而特解为21x t =+，所以所求通解：()()212341,,1,2,3,4t t i x c c t e c c t e t c i -=+++++∈=(10) t x x e '''-= 〔属于类型Ⅱ〕解：齐次方程：0x x '''-=特征方程：013=-λ 特征根：1,2313,12iλλ-±== 齐次方程通解：112212333cos sin ,,1,2,322t t t i x c et c e c e c i --=++∈=由于1是一重特征根，故设特解为t x Ate =，将其代入原方程可得13A =，从而特解为13t x te =，所以所求通解：1122123331sin ,,1,2,33t t t t i x c ec e c e te c i --=+++∈= (12) t e x x x 256=+'+'' 〔属于类型Ⅱ〕解：齐次方程：650x x x '''++=特征方程：0562=++λλ 特征根：121,5λλ=-=-齐次方程通解：512,,1,2t t i x c e c e c i --=+∈=由于2不是特征根，故设特解为2t x Ae =，将其代入原方程可得121A =，从而特解为121tx e =，所以所求通解： 5121,,1,221t t ti x c e c e e c i --=++∈= (14) t t x x 2cos sin -=+'' 〔属于类型Ⅲ的混合，注意sin t 和cos2t 中t 的系数不一样〕解：齐次方程：0x x ''+=特征方程：012=+λ 特征根：12i λ=±，齐次方程通解：12cos sin ,,1,2i x c t c t c i =+∈=①对于sin x x t ''+=，由于i i αβ+=是一重特征根，故设其特解为()101cos sin x t A t A t =+，那么将其代入sin x x t ''+=可得011,02A A =-=，从而sin x x t ''+=的特解为11cos 2x t t =-；②对于cos2x x t ''+=，由于2i i αβ+=不是特征根，故设其特解为201cos 2sin 2x B t B t =+，那么将其代入cos2x x t ''+=可得011,03B B ==，从而cos2x x t ''+=的特解为21cos 23x t =。

常微分方程答案

常微分方程答案是指对于一个给定的常微分方程，求解得到的解析式或数值解。

常微分方程是数学中重要的一个研究对象，其应用广泛，涉及到物理、工程、经济、生物等领域。

因此，解常微分方程是数学学习中的一项重要内容。

在解常微分方程时，常用的方法包括分离变量法、变量代换法、积分因子法、常数变易法等。

这些方法各有特点，根据不同的问题可以采用不同的方法来求解。

其中，分离变量法是最基本的方法，它要求将方程中的未知函数和自变量分开，然后两边同时积分得到解析式。

变量代换法则是将未知函数和自变量通过一定的代换进行关联，使得原方程转化为更简单的形式。

积分因子法适用于一类特殊的常微分方程，通过引入一个积分因子可以将该方程转化为恰当微分方程，从而求解得到解析式。

常数变易法则是对齐一类特殊的常微分方程，根据不同的常数值可以求解出不同的解析式。

除了解析式之外，数值解也是解常微分方程的一种重要手段。

数值解可以通过数值方法计算得到，如欧拉法、改进欧拉法、龙格库塔法等。

这些方法的本质都是将微小的时间区间划分成较小的时间步长，通过逐步迭代计算得到数值近似解，当时间步长趋近于零时，数值解逼近于解析解。

常微分方程的解法不仅仅限于上述方法。

在实际的问题中，我们可能需要结合具体的问题特点，采用适当的方法进行求解。

比如，在经济学中，可能需要应用拉普拉斯变换和傅里叶变换等工具进行求解；在生物学中，可能需要用到概率模型和随机过程的理论。

这些方法都是应用数学工具解决实际问题的典型例子。

总的来说，常微分方程的解法是数学中的一项重要内容。

它不仅在理论上有深刻的意义，也具有广泛的应用价值。

熟练掌握常微分方程的解法，能够为我们的学习和工作带来更多的启示和帮助。