电磁场数值计算边值问题分解备课讲稿

相应的边界条件称为第一类边界条件。
2020/6/26
电磁场数值计算
第一类边值问题表述为
2
0
已知求解区域内部的自由电荷分布，给定求
解区域边界 上电位的法向导数（相当于已知电
位移矢量的法向分量），计算求解区域中的电位
和电场强度分布，这类问题通常称为第二类边值
问题，又叫做聂以曼问题。相应的边界条件称为
人工边界条件的情况比较复杂，这里只讨论 开域场远边界问题。
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当依靠导体表面和对称面无法完全将求解区 域限制在有限空间时，场域为无限大，这就是开域 问题。
开域问题的边界一部分或全部在无限远处。 有一些计算方法（如边界元法）擅长处理开域 问题。有一些方法（如有限元法）不擅长处理开域 问题。 可以将开域问题转换为有限区域问题。
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其电位表达式为
p cos 40 R 2
其电位法向导数表达式为
0
n
0 En
p cos 2R3
2 R
0
比较第三类边界条件表达式，可知人工边界
上可近似施加第三来边界条件。
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对应的参数为
0
2 R
0
；
0 0
这种情况的进一步近似简化，认为电场强度
在均匀电介质中， 0。将电位与电场强 度的关系 E 代入，得
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• 2
得到静电场电位的基本方程
2
这种形式的方程称为标量泊松方程。
特别的，当场域中没有体电荷分布时， 0，上
式变为
2 0 ，称为拉普拉斯方程。
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算子 2 即拉普拉斯算子。在直角坐标系中
2
2 x2
2 y2
2 z2
在不同电介质分界处，电位也应该满足一定的分
界面衔接条件。因为 E ，所以在两种电介质
分界面上
Et
； t
Dn n
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此处，t 代表分界面的切线方向，n 代表分界面的
法线方向。
代入场矢量的分界面衔接条件 E2t E1t ，
D2n D1n ，得电位的分界面衔接条件
线不会延伸到无限远处，因此在人工边界上可设
0
n
0
注意，将远处人工边界设为第二类齐次边界
条件必须满足正负电荷数量相等。
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3、静电场边值问题的降维简化 一般静电场的求解问题是三维边值问题。当场源
和材料结构具有无限延伸性或旋转对称性时，可以简 化为二维边值问题。
当材料、场源和边界条件沿直角坐标系某个坐标
相应的边界条件称为混合边界条件。 混合边值问题表述为
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2
1 0
n
2
0
0
混合边值问题包含了前面三种边值问题。
边值问题就是带有边界条件的偏微分方程
求解问题。
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静电场边值问题的三个要素是场源、材料和边 界条件。
静电场求解区域的外边界，一般是导体表面、 对称面或人工边界。
若已知导体电位，则导体表面是第一类边界条 件；
若已知导体表面电荷密度，则导体表面为第二 类边界条件。
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若对称面两侧场域的材料结构和电荷分布相 同，则对称面为第二类齐次边界条件（即电位法 向导数为 0）。
若对称面两侧场域的材料结构相同，电荷分 布相反，则对称面为第一类齐次边界条件（电位 为 0）。
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Q 40 R
电位的法向导数表示为
0
n
0
R
0 E
Q 4R2
0 R
这就是人工边界的第三类边界条件。
对比第三类边界条件的一般表达式，可以看出
0
0 R
； 0 0
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这种情况下，边界条件的进一步简化近似， 在远离场源的边界上，设
0
若场域中正负电荷数量相等，或电荷量的 代数和为 0，则在离源区中心较远处的球面设置 人工边界，在人工边界上的电场可近似看做由 源区中心电偶极子产生。
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电磁场数值计算边值问题分解
电磁场数值计算
2.1 静电场的边值问题
1、电位的基本方程和内部分界面衔接条件 根据静电场环路定理的微分形式
E 0 由矢量恒等式 0 ，可以设
E
静电场的辅助方程为
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D E
有
D
代入高斯通量定理的微分形式
• D • E • E E •
（例如 z 坐标）方向不变时，三维静电场可简化为平
行平面场。
求解区域代表面为 x ， y 坐标系的平面区域。
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在平行平面静电场中，拉普拉斯算子表示为
2
2 x2
2 y 2
第二类边界条件。
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第二类边值问题表述为
2
n
0
已知求解区域内部的自由电荷分布，给定
求解区域边界 上电位的法向导数与电位之
间的线性关系，计算求解区域中的电位和电场 强度分布，这类问题通常称为第三类边值问 题，又叫做劳平问题。
2020/6/26电磁场数计算相应的边界条件称为第三类边界条件。
第三类边值问题表述为
2
n
0 0
第三类边值问题包含第二类边值问题，或第二
类边值问题是第三类边值问题的特例。 0 ?
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更为一般的，已知求解区域内部的自由电荷分布，
给定求解区域部分边界 1 上电位和另一部分边界 2
上电位的法向导数表达式，计算求解区域中的电位和 电场强度分布，这类问题通常称为混合边值问题。
2 1 ，
1
1 n
2
2 n
当分界面上没有自由面电荷分布时，电位的分界
面衔接条件是
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2、静电场的边值问题及其对应的外部边界条件 已知求解区域内部的自由电荷分布，给定求
解区域边界 上的电位 0（相当于已知边界上电
场强度的切向分量），计算求解区域中的电位和电 场强度分布，这类问题通常称为第一类边值问题， 又叫做狄里赫利问题。
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电磁场数值计算
当电荷存在于有限区域（不延续到无限远处）时， 在离电荷源区较远的场点，电位近似与源区中心到场点 的距离成反比。
此处近似将源区的电荷 Q 集中在源区中心，源区尺
寸越小，场点越远，上述近似的程度越高。 在远离源区的位置构造球面人工边界，在人工边界
上电位表示为
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