编号14 选修2-2 1.3.1 函数的单调性与导数

编号14 1. 3.1函数的单调性与导数

制作胡效尊审核高二数学组 2017.03

学习目标：1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.

2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.

学习重点：会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).

学习难点：结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想。

【问题探究】：探究活动一函数的单调性与导函数正负的关系

问题1观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？

问题2 (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1中(4)的单调区间.

(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？

问题3 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？例1 已知导函数f′(x)的下列信息：

当10；当x>4或x<1时，f′(x)<0；

当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状.

练习1、函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状.

例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间

(1)

3

()3

f x x x

=+

(2)

2

()23

f x

x x

=--

(3) ()sin

f x x x

=-，x∈(0,)π(4)

32

()23241

f x x x x

=+-+

归纳：求可导函数单调区间的步骤（1）

（2）

（3）

（4）

练习2：判断下列函数的单调性，并求出其单调区间

4212+-=x x x f )().( x e x f -=22)().(

333x x x f -=)()( x x x x f --=234)()(

问题探究二：已知函数的单调性求参数的取值范围

问题3.

若函数f(x)在区间(a ，b)内单调递增，那么f ′(x)一定大于零吗？

例3.已知函数(]101

22,,)(∈-=x x

ax x f 若)(x f 在(]10,∈x 上是增函数，

求a 的取值范围

练习3.已知函数f (x )=ln(2-x )+ax 在区间(0,1)上是增函数，求实数a 的取值范围。

探究二 函数与导函数图像之间的关系：

我们知道导数的符号反映函数y ＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y ＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？

例5、如果函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )

例4、如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系

课堂练习

1．函数y ＝x 3－3x 的单调减区间是( )

A ．(－∞，0)

B ．(0，＋∞)

C ．(－1,1)

D ．(－∞，－1)，(1，＋∞) 2. f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是 ( )

小结：

【课后作业】

2．y ＝xln x 在(0,5)上的单调性是( )

A ．单调递增

B ．单调递减

C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝

⎛⎭

⎪⎪⎫1e ，5上单调递增 D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1e 上单调递增，在⎝

⎛⎭

⎪⎪⎫1e ，5上单调递减