24.1.2 垂直于弦的直径-人教版九年级数学上册课时互动训练

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人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径同步测试及答案

24．1.2 垂直于弦的直径1．下列命题错误的是( B )A ．平分弧的直径平分这条弧所对的弦B ．平分弦的弦垂直于这条弦C ．垂直于弦的直径平分这条弦D ．弦的中垂线经过圆心2．如图24－1－13，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ，若CD ＝8，OP ＝3，则⊙O 的半径为( C )图24－1－13A ．10B ．8C ．5D ．33．如图24－1－14，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是( D )图24－1－14 A ．CM ＝DM B.CB ︵＝DB ︵C ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MD【解析】∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，∴M 为CD 的中点，即CM ＝DM ，选项A 成立；B 为CD ︵的中点，即CB ︵＝DB ︵，选项B 成立；在△ACM 和△ADM 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝AM ，∠AMC ＝∠AMD ＝90°，CM ＝DM ，∴△ACM ≌△ADM (SAS)，∴∠ACD ＝∠ADC ，选项C 成立；而OM 与MD 不一定相等，选项D 不成立．－1－15，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C .若AB ＝23，OC ＝1，则半径OB 的长为__2__．15【解析】 ∵AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，AB ＝23，∴BC ＝12AB ＝ 3.∵OC ＝1，∴在Rt △OBC 中，OB ＝OC 2＋BC 2＝12＋（3）2＝2.5．如图24－1－16，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点M ，AM ＝18，BM ＝8，则CD 的长为__24__．【解析】如图，连接OD ，∵AM ＝18，BM ＝8，∴OD ＝AM ＋BM 2＝18＋82＝13，∴OM ＝13－8＝5. 在Rt △ODM 中，DM ＝OD 2－OM 2＝132－52＝12，∵直径AB 丄弦CD ，∴CD ＝2DM ＝2×12＝24.第56．如图24－1－17，在半径为13的⊙O 中，OC 垂直弦AB 于点D ，交⊙O 于点C ，AB ＝24，则．图24－17第6题答图【解析】如图，连接OA ，∵OC ⊥AB ，AB ＝24，∴AD ＝12AB ＝12. 在Rt △AOD 中，∵OA ＝13，AD ＝12，∴OD ＝OA 2－AD 2＝132－122＝5，∴CD ＝OC －OD ＝13－5＝8.7．如图24－1－18，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与A ，B 重合)，过点O ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为__4__.【解析】 ∵OC ⊥AP ，OD ⊥PB ，∴由垂径定理得AC ＝PC ，PD ＝BD ，∴CD 是△APB 的中位线，∴CD ＝12AB ＝12×8＝4. 8．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm ，测得钢珠顶端离零件，如图24－1－19所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为__8__mm.第8题答图【解析】如图，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD.∵钢珠的直径是10 mm，∴钢珠的半径是5 mm.∵钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，∴OD＝3 mm.在Rt△AOD中，∵AD＝OA2－OD2＝52－32＝4(mm)，∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)．9．如图24－1－20所示，AB是⊙O的弦(非直径)，C，D是AB上的两点，并且AC＝BD.求证：OC＝OD.图24－1－20第9题答图证明：如图，过O作OE⊥AB于E，则AE＝BE，又∵AC＝BD，∴CE＝DE，∴OE是CD的中垂线，∴OC＝OD.10．绍兴是著名的桥乡，如图24－1－21，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC 为5 m，则水面宽AB为(D)图24－1－21A．4 m B．5 mC．6 m D．8 m11．如图24－1－22，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为(B)图24－1－22A．2 B．3C．4 D．5【解析】连接OD.∵直径AB⊥CD于H，∴DH＝12CD＝12×22＝ 2.在Rt△BDH中，BH＝BD2－DH2＝（3）2－（2）2＝1.设⊙O的半径为R，则在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2，∴(R －1)2＋(2)2＝R 2，∴2R ＝3，故选B.12．[2013·吉林]如图24－1－23，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点C ，连接OA ，OB .点P 是半径OB 上任意一点，连接AP .若OA ＝5 cm ，OC ＝3 cm ，则AP 的长度可能是__答案不唯一，5≤AP ≤8__cm(写出一个符合条件的数值即可)．图24－1－2313．如图24－1－24，两个圆都以点O 为圆心．求证：AC ＝BD .图24－1－24第13题答图证明：过点O 作OE ⊥AB 于E ，在小⊙O 中，∵OE ⊥AB ，∴EC ＝ED ，在大⊙O 中，∵OE ⊥AB ，∴EA ＝EB ，∴AC ＝BD .14．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为了更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，图24－1－25是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB ＝16 cm ，水面最深地方的高度为4 cm ，求这个圆形截面的半径．图24－1－25第14题答图解：(1)作出图形，如图所示；(2)如图，过O 作OC ⊥AB 于D ，交弧AB 于C ，连接OB ，∵OC ⊥AB ，∴BD ＝12AB ＝12×16＝8(cm)．由题意可知CD ＝4 cm.设这个圆形截面的半径为x cm，则OD＝(x－4)cm.在Rt△BOD中，由勾股定理得OD2＋BD2＝OB2，即(x－4)2＋82＝x2，解得x＝10，∴这个圆形截面的半径为10 cm.15．如图24－1－26，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A，B和C，D，连接OA，此时有OA∥PE.(1)求证：AP＝AO；(2)若弦AB＝102，求点O到直线PF的距离；(3)若以图中已标明的点(即P，A，B，C，D，O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为第15题答图解：(1)∵PG平分∠EPF，∴∠DPO＝∠BPO.∵OA∥PE，∴∠DPO＝∠POA，∴∠BPO＝∠POA，∴AP＝AO.(2)如图，过点O作OH⊥AB于点H，则AH＝HB，∵AB＝102，∴AH＝52∵OA＝10，∴OH＝OA2－AH2＝102－（52）2＝5 2.(3)P，A，O，C A，B，D，C或P，A，O，D或P，C，O，B。

人教版九年级上24.1.2-垂直于弦的直径精选练习题及答案

24.1.2 垂直于弦的直径一、课前预习(5分钟训练)1.如图24-1-2-1，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.图24-1-2-1 图24-1-2-2 图24-1-2-32.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________.3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.二、课中强化(10分钟训练)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.2.如图24-1-2-2，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.3.在图24-1-2-3中，弦AB的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙O的半径R=__________ cm.4.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.图24-1-2-4三、课后巩固(30分钟训练)1.如图24-1-2-5,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC等于( )A.32B.33C.223D.233图24-1-2-5 图24-1-2-62.如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？图24-1-2-75. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.图24-1-2-86.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.(1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)(3)若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.图24-1-2-97.⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围.4．（开放题）AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC的度数．4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.如图24-1-2-1，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.图24-1-2-1思路解析：根据垂径定理可得.答案：OC=OD、AE=BE、弧AC=弧BC、弧AD=弧BD2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________.思路解析：根据垂径定理和勾股定理计算.答案：43cm3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.思路解析：（1）圆的对称轴是直线，而不是线段；（2）这里的弦是直径，结论就不成立.由于对概念或定理理解不透，造成判断错误.答案：两个命题都错误.4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.思路解析：由垂径定理及勾股定理可得或可证△BCO是等边三角形.答案:6二、课中强化(10分钟训练)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.思路解析：根据圆的轴对称性回答.答案：直径所在的直线2.如图24-1-2-2，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.图24-1-2-2 图24-1-2-3思路解析：由垂径定理回答.答案：OM=ON ，AC=BC 弧AM=弧BM3.在图24-1-2-3中，弦AB 的长为24 cm ，弦心距OC=5 cm ，则⊙O 的半径R=__________ cm.思路解析：连结AO ，得Rt △AOC ，然后由勾股定理得出. 答案：134.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm 的圆中，圆心到弦AB 的距离为4 cm.求弦AB 的长.图24-1-2-4思路分析：利用“圆的对称性”：垂直于弦的直径平分这条弦. 由OM ⊥AB 可得OM 平分AB ，即AM=21AB.连结半径OA 后可构造Rt △，利用勾股定理求解. 解：连结OA. ∵OM ⊥AB ，∴AM=21AB. ∵OA=21×10=5，OM =4，∴AM=22OM OA =3.∴AB=2AM=6(cm). 三、课后巩固(30分钟训练)1.如图24-1-2-5,⊙O 的半径OA=3,以点A 为圆心,OA 的长为半径画弧交⊙O 于B 、C,则BC 等于( )A.32B.33C.223 D.233图24-1-2-5 图24-1-2-6思路解析：连结AB 、BO ，由题意知：AB=AO=OB ，所以△AOB 为等边三角形.AO 垂直平分BC, 所以BC=2×233=33.答案：B2.如图24-1-2-6，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8 cm ，OC=5 cm ，则OD 的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm思路解析：因为AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8 cm ，OC=5 cm ，连结OA ，在Rt △ODA 中，由勾股定理得OD=3 cm. 答案：A3.⊙O 半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB ∥CD.求AB 与CD 之间的距离.思路分析：本题目属于“图形不明确型”题目，应分类求解.解：(1)当弦AB 与CD 在圆心O 的两侧时，如图(1)所示. 作OG ⊥AB ，垂足为G ，延长GO 交CD 于H ，连结OA 、OC. ∵AB ∥CD ，GH ⊥AB ， ∴GH ⊥CD.∵OG ⊥AB ，AB=12，∴AG=21AB=6. 同理,CH=21CD=8.∴Rt △AOG 中，OG=22AG OA -=8. Rt △COH 中，OH=22CH OC -=6. ∴GH=OG ＋OH=14.(2)当弦AB 与CD 位于圆心O 的同侧时，如图(2)所示. GH=OG -OH=8-6=2.4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m ，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？图24-1-2-7思路分析：设秋千链子的上端固定于A 处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点A 、B 的铅垂线分别为AD 、BE ，点D 、E 在地面上，过B 作B C ⊥AD 于点C.解直角三角形即可.解：设秋千链子的上端固定于A 处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点A 、B 的铅垂线分别为AD 、BE ，点D 、E 在地面上，过B 作BC ⊥AD 于点C.如图.在Rt △ABC 中，∵AB=3，∠CAB=60°， ∴AC=3×21=1.5（m ）. ∴CD=3+0.5-1.5=2（m ）. ∴BE=CD=2（m ）.答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为2 m.5. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.图24-1-2-8思路解析：本题考查垂径定理的应用，用列方程的方法解决几何问题，会带来许多方便. 连结OC.设圆拱的半径为R 米，则OF=（R －22）（米）.∵OE ⊥CD ，∴CF=21CD=21×110=55（米）. 根据勾股定理，得OC 2=CF 2＋OF 2，即R 2=552＋（R －22）2.解这个方程，得R=79.75（米）.所以这个圆拱所在圆的直径是79.75×2=159.5（米）. 答案:159.56.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A 、B 、C.图24-1-2-9(1)用尺规作图法，找出弧BAC 所在圆的圆心O ；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC 为等腰三角形，底边BC=10 cm ，腰AB=6 cm ，求圆片的半径R ；(结果保留根号) (3)若在(2)题中的R 满足n ＜R ＜m(m 、n 为正整数)，试估算m 和n 的值.思路分析：（1）作AB 、AC 的中垂线即得圆片圆心O ；（2）已知BC 和AB 的长度，所以可以构造直角三角形利用勾股定理可求得半径R ；（3）根据半径的值确定m 、n 的值. （1）作法：作AB 、AC 的垂直平分线，标出圆心O.（2）解:连结AO 交BC 于E ，再连结BO.∵AB=AC ，∴AB=AC.∴AE ⊥BC.∴BE=21BC=5. 在Rt △ABE 中，AE=22BE AB -=2536-=11.在Rt △OBE 中，R 2=52＋（R-11）2，解得R=1118（cm ）.（3）解:∵5＜39=1218＜1118＜918=6，∴5＜R ＜6.∵n ＜R ＜m ，∴m=6，n=5.7.⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 长的取值范围.思路分析：求出OP 长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP 看作是一个变量，在动态中确定OP 的最大值和最小值.事实上只需作OM ⊥AB ，求得OM 即可.解：如图，作OM ⊥AB 于M ，连结OB ，则BM=21AB=21×8=4. 在Rt △OMB 中，OM 22BM OB -=2245-=3.当P 与M 重合时，OP 为最短；当P 与A （或B ）重合时，OP 为最长.所以OP 的取值范围是3≤OP≤5.。

人教版九年级数学上册 24.1.2垂直于弦的直径同步练习题(含答案)

人教版九年级数学上册第24章 24.1.2垂直于弦的直径同步练习题一、选择题1．下列说法中，不正确的是(D)A ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合C ．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个D ．圆的每一条直径都是它的对称轴2．下列说法正确的是(D)A ．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B ．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C ．过弦的中点的直径垂直于弦D ．平分弦所对的两条弧的直径平分弦3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是(D)A ．CM ＝DM B.CB ︵＝DB ︵C ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MB4．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝8 cm ，则OE ＝(C)A ．4 cmB ．5 cmC ．3 cmD ．2 cm5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是(B)A.7 B．27 C．6 D．86．如图，⊙O的半径为10，M是AB的中点，且OM＝6，则⊙O的弦AB等于(D)A．8 B．10 C．12 D．167．一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D.现测得AB＝8 dm，DC＝2 dm，则圆形标志牌的半径为(B)A．6 dm B．5 dm C．4 dm D．3 dm8．已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB 与CD的距离为(D)A．1 B．7 C．4或3 D．7或1二、填空题9.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为5．10.如图，在⊙O中，AB，AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8 cm，AC＝6 cm，那四边形OEAD的周长为14cm．11．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD)为0.5米．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝23，则⊙O 的半径是2．13．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺(1尺＝10寸)，则该圆材的直径为26寸．14.如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为1 2．15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(20，0)，点B的坐标是(16，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为(2，6)．三、解答题16．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2米，净高5米，则圆拱形门所在圆的半径是多少米？解：连接OA.∵CD⊥AB，且CD过圆心O，∴AD＝12AB＝1米，∠CDA＝90°.设⊙O的半径为R，则OA＝OC＝R，OD＝5－R.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，即R2＝(5－R)2＋12，解得R＝2.6.故圆拱形门所在圆的半径为2.6米．17．已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行弦AB＝40 cm，CD＝48 cm，求弦AB与CD之间的距离．解：过点O作直线OE⊥AB于点E，直线OE与CD交于点F.又∵AB∥CD，∴OF⊥CD.①当AB，CD在点O两侧时，如图1.连接AO，CO，则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝AO2－AE2＝15 cm，OF＝CO2－CF2＝7 cm.∴EF＝OE＋OF＝22 cm，即AB与CD之间的距离为22 cm；图1 图2②当AB，CD在点O同侧时，如图2.连接AO，CO.则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝AO2－AE2＝15 cm，OF＝CO2－CF2＝7 cm.∴EF＝OE－OF＝8 cm，即AB与CD之间的距离为8 cm.综上所述，AB与CD之间的距离为22 cm或8 cm.。

人教版数学九年级上册24-1-2垂直于弦的直径同步练习题(最新)

24.1.2垂直于弦的直径一、单选题 1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，⊙O 的半径为4，则AC 的长等于（）A ．4√3B ．6√3C ．2√3D ．82．如图，A ，B 是⊙O 上的两点，连接AB ，用尺规按①到③的步骤操作，下列结论正确的有（）①在⊙O 上任取一点C （不与A ，B 重合），连接AC ；②作AB 的垂线平分线交⊙O 于点M ，N ；③作AC 的垂直平分线交⊙O 于点E ，F结论Ⅰ：直线MN 与直线EF 的交点一定与点O 重合；结论Ⅱ：顺次连接M ，E ，N ，F 四点必能得到矩形；结论Ⅲ：⊙O 上存在唯一的点C ，使得MF⌢=2AE ⌢A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（）A ．9cmB ．6cmC ．3cmD ．√41cm4．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ．若∠A =30°，AC =2，则CD 的长是（）5．如图，在⊙O中，AE是直径，连接BE，若AB=8，OC⊥AB于点D，CD=2，则BE 的长是（）A．5B．6C．7D．86．下列命题：①对角线垂直且相等的四边形是正方形；②垂直弦的直径平分这条弦；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④各边相等的多边形是正多边形；⑤直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．其中真命题有（）个．A．1B．2C．3D．47．如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为8cm，水面最深的地方高度为2cm，则该输水管的半径为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm8．在半径为5cm的⊙O中，若弦AB与弦CD平行，且AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD 之间的距离为（）A．1cm B．7cm C．8cm D．1cm或7cm9．若⊙O的半径为10 cm，且两平行弦AC，BD的长分别为12 cm，16 cm，则两弦间的距离是()A．2 cm B．14 cm C．2 cm或14 cm D．6 cm或8 cm 10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4√3，F是线段AC上一点，过点A的⊙F交AB于点D，E是线段BC上一点，且ED=EB，则EF的最小值为（）A．3√3B．2√3C．√3D．2二、填空题11．如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B=60°，点O在∠B内，点D为AC⌢上的动点，点M，N，P别是AD，DC，CB的中点，若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是 .12．如图所示是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水的最大深度为2cm，则该输水管的直径为．13．一个圆柱体容器内装入一些水，截面如图所示，若⊙O中的直径为52cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为cm．14．如图，已知⊙O的半径为5，点P是弦AB上的一动点，且弦AB的长为8．则OP 的取值范围为．15．如图4，点P在半径为3的⊙O内，OP=√3，点A为⊙O上一动点，弦AB过点P，则AB最长为，AB最短为．三、解答题16．凰仪桥始建于嘉泰以前，是绍兴市区的一座古桥，此桥可以看成是一种特殊的圆拱桥，已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为18.2m，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为6.2m．求此桥拱圆弧的半径（精确到0.1m）17．如图，在平行四边行ABCD中，AB=5，BC=8，BC边上的高AH=3，点P是边BC 上的动点，以CP为半径的⊙C与边AD交于点E，F（点E在点F的左侧）．（1）当⊙C经过点A时，求CP的长；（2）连接AP，当AP//CE时，求⊙C的半径及弦EF的长．18．在直径为1米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=0.8米，求油的最大深度．19．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．(1)若∠AOD=52∘，求∠DEB的度数；(2)若OC=3，BC=3√3，求弧AB^的长．20．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．(1)证明：∠BCO=∠ACD；(2)若AE=2，BE=8，求弦CD的长．⌢的中点，在直径CD 21．如图：已知⊙O的直径CD为2，AC⌢的度数为60°，点B是AC上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为多少？。

24.1.2垂直于弦的直径-人教版九年级数学上册练习

人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径一．选择题（共6小题）1．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于90°，那么圆心O到弦AB的距离为（）A．B．2C．2D．32．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，1）D．（1、0）3．如图，⊙O中，OD⊥AB于点C，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（）A．3B．4C．5D．64．在半径为50mm的⊙O中，弦AB的长为50mm，则点O到AB的距离为（）A．50mm B．25mm C．25mm D．25mm5．AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（）A．1B．7C．1或7D．3或46．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于（）A．4.1米B．4.0米C．3.9米D．3.8米二．填空题（共6小题）7．已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为cm．8．半径等于16的圆中，垂直平分半径的弦长为．9．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝3cm，DE＝7cm，则弦AB＝cm．10．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是．11．如图，⊙O与抛物线y＝x2交于A，B两点，且AB＝2，则⊙O的半径等于．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（5，0），直线y＝kx﹣2k+3（k≠0）与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．三．解答题（共3小题）13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，求BE的长．14．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．15．如图，半圆拱桥的圆心为O，圆的半径为5m，一只8m宽的船装载一集装箱，箱顶宽6m，离水面AB高3.8m，这条船能过桥洞吗？请说明理由．人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径参考答案一．选择题（共6小题）1．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于90°，那么圆心O到弦AB的距离为（）A．B．2C．2D．3【解答】解：过O作OC⊥AB于C，∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴AB＝OA＝4，∴OC＝AB＝2，故选：C．2．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，1）D．（1、0）【解答】解：该圆弧所在圆的圆心坐标是：（1，0）．故选：D．3．如图，⊙O中，OD⊥AB于点C，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×24＝12，在Rt△OBC中，OC＝＝5．故选：C．4．在半径为50mm的⊙O中，弦AB的长为50mm，则点O到AB的距离为（）A．50mm B．25mm C．25mm D．25mm【解答】解：作OC⊥AB于C，根据题意：OA＝OB＝AB＝50mm，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOC＝30°，∴OC＝OA•cos30°＝25cm．故选：B．5．AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（）A．1B．7C．1或7D．3或4【解答】解：①当AB、CD在圆心两侧时；过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上，∴EF为AB、CD之间的距离在Rt△OEC中，由勾股定理可得：OE2＝OC2﹣CE2∴OE＝＝3，在Rt△OF A中，由勾股定理可得：OF2＝OA2﹣AF2∴OF＝＝4，∴EF＝OE+OF＝3+4＝7，AB与CD的距离为7；②当AB、CD在圆心同侧时；同①可得：OE＝3，OF＝4；则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1；综上所述：AB与CD间的距离为1或7．故选：C．6．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于（）A．4.1米B．4.0米C．3.9米D．3.8米【解答】解：∵车宽2.4米，∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高．在Rt△OCD中，由勾股定理可得：CD＝＝＝1.6（m），CH＝CD+DH＝1.6+2.5＝4.1米，∴卡车的外形高必须低于4.1米．故选：A．二．填空题（共6小题）7．已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为12cm．【解答】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，则AC＝BC＝AB＝5，在Rt△OAC中，OC＝＝12，所以圆心O到AB的距离为12cm．故答案为12．8．半径等于16的圆中，垂直平分半径的弦长为16．【解答】解：如图，OA＝16，则OC＝8，根据勾股定理得，AC＝＝8，∴弦AB＝16．故答案为：16．9．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝3cm，DE＝7cm，则弦AB＝2cm．【解答】解：连接OA，如图，∵CE＝3，DE＝7，∴CD＝10，∴OC＝OA＝5，OE＝2，∵AB⊥CD，∴AE＝BE，在Rt△AOE中，AE＝＝，∴AB＝2AE＝2（cm）．故答案为2．10．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是3．【解答】解：过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝4，在Rt△OCH中，OH＝＝3，所以CD与AB之间的距离是3．故答案为3．11．如图，⊙O与抛物线y＝x2交于A，B两点，且AB＝2，则⊙O的半径等于．【解答】解：连接OA，设AB与y轴交于点C，∵AB＝2，∴点A，B的横坐标分别为﹣1，1．∵⊙O与抛物线y＝x2交于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣1，），（1，），在Rt△OAC中，由勾股定理得OA＝＝＝，∴⊙O的半径为．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（5，0），直线y＝kx﹣2k+3（k≠0）与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为4．【解答】解：对于直线y＝kx﹣2k+3＝k（x﹣2）+3，当x＝2时，y＝3，故直线y＝kx﹣2k+3恒经过点（2，3），记为点D．过点D作DH⊥x轴于点H，则有OH＝2，DH＝3，OD＝＝．∵点A（5，0），∴OA＝5，∴OB＝OA＝5．由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，如图所示，因此运用垂径定理及勾股定理可得：BC的最小值为2BD＝2＝2×＝4．故答案为4．三．解答题（共3小题）13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，求BE的长．【解答】解：如图，连接OC．∵弦CD⊥AB于点E，CD＝6，∴CE＝ED＝CD＝3．∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，CE＝3，OC＝4，∴OE＝＝，∴BE＝OB﹣OE＝4﹣．14．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，在Rt△AEO中，OE＝＝＝3，∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．15．如图，半圆拱桥的圆心为O，圆的半径为5m，一只8m宽的船装载一集装箱，箱顶宽6m，离水面AB高3.8m，这条船能过桥洞吗？请说明理由．【解答】解：如图，过点O作OF⊥DE于点F，则EF＝DF＝DE，假设DE＝6m，则DF＝3m，∵圆的半径为5m，∴OD＝5m，∴OF＝＝＝4＞3.8，∴这条船能过桥洞．。

人教版九年级上2412垂直于弦的直径同步练习含答案解析

2018-2019学年度人教版数学九年级上册同步练习24.1.2垂直于弦的直径一•选择题（共15小题）1 .下列说法中正确的是（）A. 平分弦的直径一定垂直于弦B. 长度相等的弧是等弧C•平行弦所夹的两条弧相等D.相等的圆心角所对的弦相等2. 如图O的半径为6,直径CD过弦EF的中点G,若/ EOD=60,则弦CF的长等于（）A. 6B. 6 —C. 3 —D. 93. 如图，在。

O中，直径AB丄弦CD,垂足为M，则下列结论一定正确的是（）ABA. AC=CDB. OM=BMC.Z A= . / ACDD.Z A=. / BOD4 .如图，AB是。

O 的直径，AB丄CD于E, AB=10, CD=8,则BE%( )A. 2B. 3C. 4D. 3.55. 如图，在O O中，弦AB的长为16cm,圆心O到AB的距离为6cm,则O O截面圆心O 到水面的距离OC 是（10.《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一B . 10cm C. 8cm D . 20cm6. 在半径为25cm 的。

O 中，弦AB=40cm,则弦AB 所对的弧的中点到 AB 的距离是（）A . 10cmB . 15cmC. 40cm 7.下列说法中正确的个数有（）① 相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径一定垂直于弦；③ 圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴； ④ 直径是弦；⑤ 长度相等的弧是等弧.D . 10cm 或 40cmD . 4个8 .如图，O O 过点B C,圆心O 在等腰Rt A ABC 的内部，/ BAC=90, OA=2 BC=8则O O 的半径为（B . 5C.下 D . 69.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OB=1O,水面宽 AB=16,则B . 5 D . 6的半径是（A . 6cm A . 4千多年，其中有这样一个问题：今有圆材埋在壁中，不知大小•以锯锯之，深一寸，锯道长一尺•问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺.如图，已知弦AB=1 尺，弓形高CD=1寸，（注：1尺=10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A. 13 寸B. 6.5 寸C. 26 寸D. 20 寸11•如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A. 10 cmB. 16 cmC. 24 cmD. 26 cm 12 .把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm则球的半径长是（）;I\ /\ /* _* I8 CA. 2 cmB. 2.5 cmC. 3 cmD. 4 cm13.如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16m,拱高CD=4m,则圆弧形桥拱所在圆的半径为（）疋—L_____ 卫A D BA. 6 mB. 8 mC. 10 mD. 12 m14.如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块咼为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（)15.圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，今有圆材，埋在壁中,不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？ ”用现代的数学语言表示是：如图，CD 为O O 的直径，弦 AB 丄CD,垂足为E, CE=1寸，AB=10 寸，求直径CD 的长”依题意，CD 长为( )二.填空题(共10小题)16.如图，在O O 中，半径0C 丄弦AB,垂足为点D ，AB=12, CD=2则O O 半径的长为 ___________ .17 .如图，AB 是O O 的弦，OC 丄AB 于点C ,且AB > OC,若OC 和AB 是方程x 2 -11x+24=0的两个根，则O O 的半径OA= _______ .19.在平面直角坐标系中，过三点 A (0, 0), B (2, 2), C (4, 0)的圆的圆心坐标为 _____________ .B . 12cm C. 16cm D . 20cm △ 寸 A .寸 B. 13 寸 C. 25 寸 D. 26 寸 DA . 8cm320.如图，AB是。

【初中数学】人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径(练习题)

人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径(153) 1.如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，则OP的长度范围是．2.如图,点A，B，C，D在⊙O上,AB是⊙O的直径,BE=CE．(1)请写出四个不同类型的正确结论;(2)若BE=4,AC=6,求DE的长．3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB⌢.(1)用直尺和圆规作出AB⌢所在圆的圆心O(要求保留作图痕迹，不写作法)；(2)若AB⌢的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求AB⌢所在圆的半径．4.某地有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗?5.如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC=BD．6.如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，OE=OF．求证：AB=CD．7.下列说法正确的是（）A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B.平分弦的直径垂直于弦C.垂直于直径的弦平分这条直径D.弦的垂直平分线经过圆心8.如图所示，⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AM=BM，OM∶OC=3∶5，则AB的长为（）A.8cmB.√91cmC.6cmD.2cm9.如图所示，AB是⊙O的直径，∠BAC=42∘，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是度．10.如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（）A.6√2B.9−√2C.√7D.25−3√211.已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为（）A.17cmB.7cmC.12cmD.17cm或7cm12.如图，AB是⊙O的弦，AB的长为8，P是⊙O上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为．13.下列说法中，不正确的是（）A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B.圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合C.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个D.圆的每一条直径都是它的对称轴14.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A.CM=DMB.CB⌢=DB⌢C.∠ACD=∠ADCD.OM=MB15.如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON的长度为（）A.5B.7C.9D.1116.如图，⊙O的直径CD⊥AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A.2B.4C.6D.817.如图，在⊙O中，弦AB=6，圆心O到AB的距离OC=2，则⊙O的半径长为．18.如图是一圆形水管的截面图，已知⊙O的半径OA=10，水面宽AB=16，则水的深度CD=．19.如图，在△ABC中，已知∠ACB=130∘，∠BAC=20∘，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为．参考答案1.【答案】:3cm≤OP≤5cm【解析】:作直径MN⊥弦AB，交AB于点D．由垂径定理，得AD=DB=12AB=4cm．又⊙O的直径为10cm，连接OA，则OA=5cm．由勾股定理，得OD=√OA2−AD2= 3cm．∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm2(1)【答案】不同类型的正确结论有:BE=12BC,BD=CD,BD=CD,OD⊥BC，△BOD是等腰三角形,△BDE≌△CDE,OB2=OE2+BE2等(2)【答案】∵AB是⊙O的直径,∴OA=OB．∵BE=CE,∴OD⊥BC，OE为△ABC的中位线,∴OE=12AC=12×6=3.在Rt△OBE中,由勾股定理，得OB=√OE2+BE2=√32+42=5,∴OD=OB=5,∴DE=OD−OE=5−3=23(1)【答案】如图①，连接AC,BC，作线段AC,BC的垂直平分线交于点O，点O即为所求．(2)【答案】如图②，连接OA，AB，OC，OC交AB于点D．∵C为AB的中点，∴OC⊥AB，∴AD=BD=12AB=40m．设⊙O的半径为rm，则OA=rm，OD=OC−CD=(r−20)m．在Rt△OAD中，∵OA2=OD2+AD2，∴r2=(r−20)2+402，解得r=50.即AB所在圆的半径是50m．4.【答案】:如图，设弧形拱桥AB所在圆的圆心为O，连接OA,OB，作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，交MN于点H．由垂径定理可知，D为AB的中点．设OA=r米，AB=3.6米．在Rt△AOD中，OA2=AD2+OD2，即则OD=OC−DC=(r−2.4)米，AD=12r2=3.62+(r−2.4)2，解得r=3.9. 在Rt△OHN中，OH=√ON2−NH2=√3.92−1.52=3.6(米)，所以FN=DH=OH−OD=3.6−(3.9−2.4)=2.1(米)．因为2.1米>2米,所以此货船能顺利通过这座拱桥【解析】:如图，设弧形拱桥AB所在圆的圆心为O，连接OA,OB，作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，交MN于点H．由垂径定理可知，D为AB的中点．设OA=r米，AB=3.6米．在Rt△AOD中，OA2=AD2+OD2，即则OD=OC−DC=(r−2.4)米，AD=12r2=3.62+(r−2.4)2，解得r=3.9. 在Rt△OHN中，OH=√ON2−NH2=√3.92−1.52=3.6(米)，所以FN=DH=OH−OD=3.6−(3.9−2.4)=2.1(米)．因为2.1米>2米,所以此货船能顺利通过这座拱桥5.【答案】:过点O作OH⊥AB于点H，如图，则AH=BH，CH=DH，∴AH−CH=BH−DH，即AC=BD【解析】:过点O作OH⊥AB于点H，如图，则AH=BH，CH=DH，∴AH−CH=BH−DH，即AC=BD6.【答案】:∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE=BE，CF=DF．在Rt△OBE与Rt△ODF中，{OB=OD,OE=OF∴Rt△OBE≌Rt△ODF(HL)，∴BE=DF，∴2BE=2DF，即AB=CD【解析】:略7.【答案】:D【解析】:A选项中没有说直线过圆心，故得不到这条直线平分弦所对的两条弧；B选项中被平分的弦必须不是直径；C选项中垂直于直径的弦可能平分直径也可能不平分直径；D选项正确．故选D8.【答案】:A【解析】:如图所示，连接OA．∵⊙O的直径CD=10cm，∴⊙O的半径为5cm，即OA=OC=5cm．∵OM∶OC=3∶5，∴OM=3cm．∵AM=BM,∴AB⊥CD．在Rt△AOM中，AM=√52−32=4(cm)，∴AB=2AM=2×4=8(cm)．故选A．9.【答案】:48【解析】:∵AD=CD，∴OD⊥AC，∴∠CDO=90∘，∴∠DOC+∠ACO=90∘.∵OA=OC，∴∠ACO=∠A=42∘，∴∠DOC=90∘−∠ACO=48∘10.【答案】:C【解析】:如图，过点O作OG⊥AB于点G．根据垂径定理，得AG=BG．设AC=2a，则CB=4a，CG=a，GB=3a．在Rt△OCG中，OC2=OG2+CG2=OG2+a2.①在Rt△OBG 中，OB2=OG2+GB2=OG2+9a2.②又OC=3，OB=5，将其分别代入①②中，解方程得a2=2，OG2=7. 所以圆心O到弦AB的距离为√711.【答案】:D【解析】:①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，过点O作OE⊥AB于点E，延长OE交CD于点F，则OF⊥CD．∵AB=24cm，CD=10cm，∴AE=12cm，CF=5cm．∵OA=OC=13cm，∴OE=5cm，OF=12cm，∴EF=12−5=7(cm)．②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F，则OF⊥CD．∵AB=24cm，CD=10cm，∴AE=12cm，CF=5cm．∵OA=OC=13cm，∴OE=5cm，OF=12cm，∴EF=OF+OE=17(cm)．∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm12.【答案】:4【解析】:∵OC⊥AP，OD⊥PB，∴AC=PC，PD=BD，∴CD是△ABP的中位线．∵AB=4AB的长为8，∴CD=1213.【答案】:D14.【答案】:D【解析】:∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立．由已知得B为CD⌢的中点，即CB⌢=DB⌢，选项B成立．在△ACM和△ADM中，∵AM=AM，∠AMC=∠AMD=90∘，CM=DM，∴△ACM≌△ADM，∴∠ACD=∠ADC，选项C成立．而OM与MB不一定相等，选项D不成立．故选 D15.【答案】:A【解析】:因为ON⊥AB，所以AN=12AB=12×24=12，∠ANO=90∘.在Rt△AON中，由勾股定理得ON=√OA2−AN2=√132−122=5.故选A16.【答案】:D【解析】:如图，连接OB.∵CE=2，DE=8，∴CD=CE＋DE=10，则OC=OB=5，∴OE=OC−CE=3.在Rt△OBE中，由勾股定理，得BE=√OB2−OE2=√52−32=4.∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，∴AB=2BE=8.故选D.17.【答案】:√13【解析】:∵弦AB=6，圆心O到AB的距离OC为2，∴AC=BC=3，∠ACO=90∘.在Rt△AOC中，由勾股定理，得OA=√AC2+OC2=√32+22=√1318.【答案】:4【解析】:∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，AB=16，∴AC=12AB=8.∵AO=10，∴在Rt△OAC中，OC=√OA2−AC2=√102−82=6，人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径(153)第 11 页,共11 页 ∴CD =OD −OC =10−6=419.【答案】:2√3 【解析】:如图，作CE ⊥AB 于点E ． ∠B =180∘−∠A −∠ACB =180∘−20∘−130∘=30∘. 在Rt △BCE 中，∵∠CEB =90∘，∠B =30∘，BC =2， ∴CE =12BC =1，BE =√BC 2−CE 2=√3． ∵CE ⊥BD ，∴BD =2EB =2√3．。

24.1.2 垂直于弦的直径同步练习 2021-2022学年人教版数学九年级上册(含答案)

24.1.2 垂直于弦的直径一、单选题1．如图，破残的轮子上，弓形的弦AB 为4m ，高CD 为1m ，则这个轮子的半径长为（）A mBC ．5mD ．52m 2．学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（）A ．两人说的都对B ．小铭说的对，小燕说的反例不存在C ．两人说的都不对D ．小铭说的不对，小熹说的反例存在 3．P 为⊙O 内一点，3OP =，⊙O 半径为5，则经过P 点的最短弦长为（） A ．5 B ．6 C ．8 D ．104．在O 中，直径10AB =，弦DE AB ⊥于点C ，若:4:5OC OA =，则ODE 的周长为（）A ．13B ．14C ．15D ．165．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，6AB =，以点C 为圆心，BC 为半径的圆与AB 相交于点D ，则AD 的长为（）A ．2B ．C ．3D ．6．往水平放置的半径为13cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度24cm AB =，则水的最大深度为（）A ．5cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm7．如图，O 是Rt ABC △的外接圆，OE AB ⊥交O 于点E ，垂足为点D ，AE ，CB 的延长线交于点F ．若3OD =，8AB =，则FC 的长是（）A ．10B ．8C ．6D ．48．如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A ，B 两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，16AB =厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）．A ．1.0厘米/分B ．0.8厘米分C ．12厘米/分D ．1.4厘米/分9．点P 是O 内一点，过点P 的最长弦的长为10cm ，最短弦的长为6cm ，则OP 的长为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm10．如图，在O 中，弦//AB CD ，OP CD ⊥，OM MN =，18AB =，12CD =，则O 的半径为（）A．4 B ．C ．D ．11．如图，O 的直径CD 为26，弦AB 的长为24，且AB CD ⊥，垂足为M ，则CM 的长为（）A ．25B ．8C ．5D ．1312．如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m 的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB 长度为300m ，那么这些钢索中最长的一根为（）A ．50mB ．45mC ．40mD ．60m二、填空题 13．小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在园的半径，小明连接瓦片弧线两端AB ，量的弧AB 的中心C 到AB 的距离CD ＝1.6cm ，AB ＝6.4cm ，很快求得圆形瓦片所在园的半径为 _________cm ．14．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆形木材的直径___________寸；15．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝12m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为_____m．16．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝2m，水面宽AB＝2.4m，某天下雨后，水管水面上升了0.4m，则此时排水管水面宽CD等于_____m．17．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为_____m．三、解答题18．如图：O内一点p，求作：O中经过点P的最短弦AB．19．如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切于点C时，另一边与圆两个交点A和B的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm）求该圆的半径．20．如图，已知AB是O的直径，CD⊙AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=10cm，求⊙ACD 的周长．21．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为16m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽为10m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面2m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．22．如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．参考答案1．D解：连接OB，如图所示：由题意得：OC⊙AB，⊙AD＝BD＝12AB＝2（m），在Rt⊙OBD中，根据勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，即（OB﹣1）2+22＝OB2，解得：OB＝52（m），即这个轮子的半径长为52 m，故选：D．2．D解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；故选D．3．C解：在过点P的所有⊙O的弦中，如图，当弦与OP垂直时，弦最短，此时4CP=，得其半弦长为4，则弦长是8，4．D解：:4:5OC OA =，54OA OC ∴=，又1110522OA AB ==⨯=， 4OC ∴=，在Rt DCO 中，3DC =，又OA 为半径且OA DE ⊥，3,26DC CE DE DC ∴====，ODE ∴的周长为：55616OD OE DE ++=++=，故选：D ．5．C解：过C 点作CH ⊙AB 于H 点，如下图所示：⊙⊙ACB =90°，⊙A =30°，⊙⊙ABC 、⊙CBH 均为30°、60°、90°直角三角形，其三边之比为2， Rt⊙ABC 中，132BC AB ==， Rt⊙BCH 中，1322BH BC ==，由垂径定理可知：32DH BH ， ⊙2633ADAB BH ，6．B解：连接OA ，过点O 作OD ⊙AB 交AB 于点C 交⊙O 于D ，⊙OC ⊙AB ，由垂径定理可知，⊙AC =CB =12AB=12，在Rt⊙AOC 中，由勾股定理可知： ⊙222213125OC OA AC ，⊙()1358CD OD OC cm =-=-=，故选：B ．7．A解：,8OE AB AB ⊥=，142AD AB ∴==， 3OD =，5OA ∴，5OE ∴=，OE AB ⊥，90A ADO BC =︒∠∴∠=， //OE FC ∴，又OA OC =，OE ∴是ACF 的中位线，210FC OE ∴==，故选：A ．8．A解：过⊙O的圆心O作CD⊙AB于C，交⊙O于D，连接OA，⊙AC=12AB=12×16=8（厘米），在Rt⊙AOC中，6OC=（厘米），⊙CD=OC+OD=16（厘米），⊙从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，⊙16÷16=1（厘米/分）．⊙“图上”太阳升起的速度为1.0厘米/分．故选：A．9．B解：如图所示，CD⊙AB于点P．根据题意，得AB=10cm，CD=6cm．⊙OC=5，CP=3⊙CD⊙AB，⊙CP=12CD=3cm．根据勾股定理，得OP．故选B．10．C解：连接OA，OC，⊙//AB CD ，OP CD ⊥，⊙OP AB ⊥，⊙18AB =，12CD =，⊙CN =6，AM =9，设O 的半径为x ，⊙OM MN =，=x =-，经检验是方程的根，且符合题意，⊙O 的半径为故选C ．11．B解：连接OA ．⊙直径CD AB ⊥，24AB =， ⊙1122AM BM AB ===, 在Rt AOM 中，13OA =,12AM =,根据勾股定理得：5OM ．则1358CM OC OM =-=-=．故选：B ．12．A解：设圆弧的圆心为O ，过O 作OC ⊙AB 于C ，交AB 于D ，连接OA ，如图所示：则OA ＝OD ＝250，AC ＝BC ＝12AB ＝150，⊙OC 200（m ），⊙CD ＝OD ﹣OC ＝250﹣200＝50（m ），即这些钢索中最长的一根为50m ，故选：A ．13．4解：如图，连接OA ，⊙CD 是弦AB 的垂直平分线， ⊙1 3.22AD AB ==，设圆的半径是r ．在直角⊙ADO 中， 3.2 1.6AO r AD DO r ===-，，．根据勾股定理得，()2223.2 1.6r r =+- ， ⊙4r =故答案为：414．26解：延长DC ，交⊙O 于点E ，连接OA ，如图所示：由题意得CD ⊙AB ，点C 为AB 的中点，1CD =寸，10AB =寸，⊙DE 为⊙O 的直径，⊙5AC =寸，设OA =x 寸，则()1OC x =-寸，⊙在Rt ⊙AOC 中，222AC OC OA +=，即()22251x x +-=，解得：13x =，⊙圆形木材的直径为26寸；故答案为26．15．2解：⊙CD 是中间柱，⊙AC BC =，⊙OC ⊙AB ，⊙AD ＝BD ＝12AB ＝12×12＝6（m ），在Rt⊙AOD 中，由勾股定理得：OD 8（m ），⊙CD ＝OC ﹣OD ＝10﹣8＝2（m ）．故答案为：2．解：如图：连结OC，过O作OE⊙AB，交CD于F，垂足为E，⊙AB=2.4m，OE⊙AB，OA=2m，⊙AE=1.2m，⊙ 1.6=m，⊙水管水面上升了0.4m，⊙OF=1.6﹣0.4=1.2m，⊙CF 1.6=m，⊙CD=3.2m．故答案为：3.2．17．2解：过O点作半径OD⊙AB于E，如图，⊙AE＝BE＝12AB＝12×8＝4，在Rt⊙AEO中，OE3，⊙ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．故答案为：2．解：如图所示：线段AB即为所求O中经过点P的最短弦AB．19．圆的半径为134cm解：连接OC，交AB于E，由切线性质可得OC垂直于直尺两边，且CE=2，⊙AB=8﹣2=6cm，OE⊙AB，⊙BE=12AB=12×6=3cm，设OB=r，⊙（r﹣2）2+9=r2解得r=134，⊙该圆的半径为134cm．20．解：连接OC．⊙AB是O的直径，CD⊙AB，⊙12CE DE CD==．⊙AB=10cm，⊙AO=BO=CO=5cm．⊙BE=OE，⊙1522BE OE OB===cm，5151022AE AB BE=-=-=cm．在Rt⊙COE中，⊙CD⊙AB，⊙OE2+CE2=OC2．⊙CE==．⊙DE=CE=．⊙2CD CE==．在Rt⊙ACE中⊙222AE CE AC+=⊙AC==cm．在Rt⊙ADE中⊙222AE DE AD+=⊙AD=⊙⊙ACD的周长=AD+DC+AC=．21．（1）10米；（2）能，理由见解析解：（1）如图，连接ON，OB．⊙OC⊙AB，⊙D为AB中点，⊙AB=16m，⊙BD=1AB=8m．2又⊙CD=4m，设OB=OC=ON=r，则OD=（r-4）m．在Rt⊙BOD中，根据勾股定理得：r2=（r-4）2+82，解得r=10，即拱桥的半径为10m；（2）⊙CD=4m，船舱顶部为长方形并高出水面2m，⊙CE=4-2=2m，⊙OE=r-CE=10-2=8m，在Rt⊙OEN中，EN=m，⊙MN=2EN=12m＞10m，⊙此货船能顺利通过这座拱桥．22．（1）20米；（2）4米解：（1）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊙AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，在Rt⊙OBD中，OB2＝OD2+DB2，⊙R2＝（R﹣8）2+162，解得R＝20；（2）在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊙AB于E′，OH⊙F′E′于H，则OH＝DE′＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，在Rt⊙OHF′中，HF′16，⊙HE′＝OD＝OC﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米），⊙在离桥的一端4米处，圆弧型桥墩高4米．。

人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》同步测试题含答案

人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》同步测试题含答案一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列说法正确的是( )A. 垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B. 平分弦的直径垂直于弦C. 垂直于直径的弦平分这条直径D. 弦的垂直平分线经过圆心2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，则下列结论不一定成立的是 ( )A. CM =DMB. CB ⌢=DB ⌢C. AC ⌢=AD ⌢D. OM =MB3.如图，A 是⊙O 上一点，连接OA ，弦BC ⊥OA 于点D.若OD =2，AD =1则BC 的长为 ( )A. 2√ 5B. 4C. 2√ 3D. 2√ 24.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC =5 cm ，CD =8 cm 则AE 的长为 ( )A. 8 cmB. 5 cmC. 3 cmD. 2 cm5.已知⊙O 的直径CD =100cm ，AB 是⊙O 的弦AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB =96cm ，则AC 的长为( )A. 36cm 或64cmB. 60cm 或80cmC. 80cmD. 60cm6.如图，⊙O 的半径为5，弦AB =8，M 是弦AB 上的动点，则OM 长的取值范围是 ( )A. 4≤OM ≤5B. 3≤OM <5C. 3<OM ≤5D. 3≤OM ≤57.如图，AB，CD是⊙O的两条平行弦，且AB=4，CD=6，AB，CD之间的距离为5，则⊙O的直径是( )A. √ 13B. 2√ 13C. 8D. 108.如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )A. 10cmB. 16cmC. 24cmD. 26cm9.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB=10dm，水面宽AB是16dm，则截面水深CD 是( )（9题）（10题）A. 3dmB. 4dmC. 5dmD. 6dm10.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB=8，OC=3，则EC的长为( )A. 2√ 15B. 8C. 2√ 10D. 2√ 13二、填空题：11.在⊙O中，弦AB的长为6，圆心O到AB的距离为4，则⊙O的半径为．12.下列说法：①经过圆心的直线是圆的对称轴；②直径是圆的对称轴；③圆的对称轴有无数条；④当圆绕它的圆心旋转180∘时，仍会与原来的圆重合.其中正确的有.(填序号)13.如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，则这个小圆孔的宽口AB的长度为mm．（13题）（14题）14.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1则⊙O的半径为．15.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15∘，半径为2，则弦CD的长为．（15题）（16题）（17题）16.如图，在半径为10cm的⊙O中AB=16cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于cm．17.如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，且PA=1，PB=5，∠DPB=30∘则CD的长为．18.赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为m.(保留整数)三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

人教版九年级上册数学 24.1.2垂直于弦的直径同步练习(含答案)

24.1.2垂直于弦的直径同步练习一．选择题1．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则BE的长为（）A．2 B．4 C．6 D．82．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（）A．5 B．4 C．D．23．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm4．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（）A．13 B．24 C．26 D．285．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，∠AOB＝60°，点C是的中点，且CD＝5m，则这段弯路所在圆的半径为（）A．（20﹣10）m B．20m C．30m D．（20+10）m 6．如图，已知⊙O的半径为6，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB 与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（）A．6 B．8 C．3D．67．小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为160mm，直角顶点到轮胎与底面接触点AB长为320mm，请帮小名计算轮胎的直径为（）mm．A．350 B．700 C．800 D．4008．如图，⊙O中，弦AB⊥CD于E，若已知AD＝9，BC＝12，则⊙O的半径为（）A．5.5 B．6 C．7.5 D．89．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE 的长为（）A．B．8 C．D．10．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°，若PC2+PD2＝8，则⊙O 的半径为（）A．B．2 C．2D．4二．填空题11．已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为cm．12．在半径为的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，则S△ACP＝．13．如图，射线PB，PD分别交圆O于点A，B和点C，D，且AB＝CD＝8．已知圆O半径等于5，OA∥PC，则OP的长度为．14．如图，BC为半圆O的直径，EF⊥BC于点F，且BF：FC＝5：1，若AB＝8，AE＝2，则AD的长为．15．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为m．三．解答题16．如图，点A，D，B，C在⊙O上，AB⊥BC，DE⊥AB于点E．若BC＝3，AE＝DE＝1，求⊙O半径的长．17．如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．18．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．参考答案1．解：∵CE＝2，DE＝8，∴CD＝10，∴OB＝5，∴OE＝3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，BE＝＝＝4，故选：B．2．解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，∴AD＝AB＝5，根据垂径定理，得DE＝BE，∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，根据勾股定理，得AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2，解得DE＝，∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2＝．故选：C．3．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB＝48cm，∴BD＝AB＝×48＝24（cm），∵⊙O的直径为52cm，∴OB＝OC＝26cm，在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），故选：C．4．解：设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，如图所示：∴AC＝AB＝×10＝5，设⊙O的半径为r寸，在Rt△ACO中，OC＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故选：C．5．解：∵点O是这段弧所在圆的圆心，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB，设AB＝OB＝OA＝rm，∵点C是的中点，∴OC⊥AB，∴C，D，O三点共线，∴AD＝DB＝rm，在Rt△AOD中，∴OD＝r，∵OD+CD＝OC，∴r+5＝r，解得：r＝（20+10）m，∴这段弯路的半径为（20+10）m故选：D．6．解：作OE⊥AB于点E，∵⊙O的半径为6，弦CD＝6，∴OC＝OD＝CD，∴△DOC是等边三角形，∴∠DOC＝60°，∵∠AOB与∠COD互补，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵OA＝6，OE⊥AB，∴AE＝OA•cos30°＝6×＝3，∴AB＝2AE＝6，故选：D．7．解：如图，连接OB，OC，作CD⊥OB于D．设⊙O半径为xmm，在Rt△OCD中，由勾股定理得方程，（x﹣160）2+3202＝x2，解得，x＝400，∴2x＝800，答：车轱辘的直径为800mm．故选：C．8．解：连接DO并延长DO交圆O于点F，连接BD，AF，BF，∵∠DAE＝∠DFB，∠AED＝∠FBD＝90°，∴∠ADC＝∠FDB，∴∠ADF＝∠CDB，∴，∴AF＝BC＝12，∵∠DAF＝90°，∴DF＝，∴⊙O的半径为7.5．故选：C．9．解：连结BE，如图，∵OD⊥弦AB，AB＝8，∴AC＝AB＝4，设⊙O的半径OA＝r，∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，在Rt△OAC中，r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5，∴AE＝2r＝10；∵OD＝5，CD＝2，∴OC＝3，∵AE是直径，∴∠ABE＝90°，∵OC是△ABE的中位线，∴BE＝2OC＝6，在Rt△CBE中，CE＝＝＝2．故选：D．10．解：作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连接OC，OD，∴∠NDP＝∠MCP＝∠APC＝45°又∵OC＝OD，∴∠ODP＝∠OCP，∵∠COM＝45°+∠OCD，∠ODB＝45°+∠ODC，∴∠NDO＝∠COM，在Rt△ODN与Rt△COM中，，∴Rt△ODN≌Rt△COM，∴ON＝CM＝PM，OM＝ND＝PN又∵OC2＝CM2+OM2，OD2＝DN2+ON2∴OC2＝CM2+PN2，OD2＝DN2+PM2∴OC2+OD2＝CM2+PN2+DN2+PM2＝PC2+PD2＝8∴OC2＝4，∴OC＝2，故选：B．11．解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，则AC＝BC＝AB＝5，在Rt△OAC中，OC＝＝12，所以圆心O到AB的距离为12cm．故答案为12．12．解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，则AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，如图1，在Rt△OBE中，∵OB＝，BE＝2，∴OE＝＝1，同理可得OF＝1，∵AB⊥CD，∴四边形OEPF为矩形，∴PE＝PF＝1，∴P A＝PC＝1，∴S△APC＝＝；如图2，同理：S△APC＝＝；如图3，同理：S△APC＝＝；故答案为：或或．13．解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OP，如图，∵AB＝CD，∴OE＝OF，而OE⊥AB，OF⊥CD，∴PO平分∠BPD，∴∠APO＝∠OPC，∵OA∥PC，∴∠AOP＝∠OPC，∴∠APO＝∠AOP，∴P A＝AO＝5，∵OE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝4，在Rt△AOE中，OE＝＝3，在Rt△POE中，PO＝＝3．故答案为3．14．解：连接BE．∵BC是直径．∴∠AEB＝∠BEC＝90°在直角△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2﹣AE2＝82﹣22＝60．∵＝5∴设FC＝x，则BF＝5x，BC＝6x．又∵BE2＝BF•BC即：30x2＝60解得：x＝，∴EC2＝FC•BC＝6x2＝12∴EC＝2，∴AC＝AE+EC＝2+2，∵AD•AB＝AE•AC∴AD＝＝＝．故答案为．15．解：∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝20m，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，解得：r＝25m，∴这段弯路的半径为25m．故答案为：25．16．解：如图，连接AD，AC，连接CD与AB交于点F，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∴AC为直径．∴∠ADC＝90°．∵AE＝DE，DE⊥AB，∴∠DAB＝∠ADE＝45°．∴∠BCF＝∠DAB＝45°．∴BC＝BF＝3．在△ADF中，∠DAB＝∠AFD＝45°，∴EF＝ED＝1．∴AB＝5．∴AC＝＝．∴⊙O半径的长．17．解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝60米，∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝＝＝16（米），∴A′B′＝32米＞30米，∴不需要采取紧急措施．18．解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴∠CEF＝∠BFO＝90°∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，根据勾股定理可得：，解得（舍弃）或，∴BF＝4，AB＝2BF＝8．（2）如图2中，作CH⊥AB于H．∵OB⊥OC，∴∠A＝∠BOC＝45°，∵AH⊥CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC＝CH，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，∴四边形EFHC是矩形，∴CH＝EF，在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，OE＝＝＝2，∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∵OB＝OC，∴△OFB≌△CEO（AAS），∴OF＝EC＝，∴CH＝EF＝3，∴AC＝EF＝6．。

人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径练习

《 24.1.2垂直于弦的直径（1）》限时练班级: 姓名: 小组: 分数: 卷面:A卷基础过关题一、选择题（每小题6分，共30分）1、如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm2、如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是（）A. CE=DE B．AE=OE C．=D．△OCE≌△ODE3、如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，C D的长为（）A．2B．4 C．4D．84、如图，AB为圆O的直径，BC为圆O的一弦，自O点作BC的垂线，且交BC于D点．若AB=16，BC=12，则△OBD的面积为何？（）A．6B．12C．15 D．305、如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（）A． B．C．3 D．2第1题第2题第3题第4题第5题二、填空题（每小题6分，共30分）6、如图，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别是AB︵、AC︵的中点，则∠MON的度数是 .7、如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则CD的长cm.8、如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为．9、如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，以AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则点C的坐标是,.∠BAC等于______度．第6题第7题第8题10、在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD,弦AB=6cm，弦CD=8cm，则AB和CD的距离是.三、解答题（11-14题每题10分，共40分)11、如图，在⊙O中，AB是弦，ABOC⊥于C.若5=OA，4=OC，求AB的长.第9题第10题C DOBAC EDO 12、如图，在⊙O 中，AB 是弦，AB OC ⊥于C .若6=OA ，8=AB ，求OC 的长；13、如图，在⊙O 中，AB 是弦，AB OC ⊥于C .若12=AB ，8=OC ，求⊙O 的半径；14、如图，在⊙O 中，AB 是弦，AB OC ⊥于C .若︒=∠120AOB ，10=OA OA =10，求AB 的长。

人教版九年级上数学24.1.2垂直于弦的直径练习题含答案

24.1.2 垂直于弦的直径01 基础题知识点1 圆的对称性 1．下列说法正确的是(B)A ．直径是圆的对称轴B ．经过圆心的直线是圆的对称轴C ．与圆相交的直线是圆的对称轴D ．与半径垂直的直线是圆的对称轴 2．圆是轴对称图形，它的对称轴有(D)A ．1条B ．2条C ．4条D ．无数条知识点2 垂径定理3．(黄石中考)如图所示，⊙O 的半径为13，弦AB 的长度是24，ON ⊥AB ，垂足为N ，则ON ＝(A)A ．5B ．7C ．9D ．114．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是(D)A ．CM ＝DM B.CB ︵＝DB ︵C ．△OCM ≌△ODMD ．OM ＝MB5．(大同期中)如图，在半径为5 cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为4 cm ，则AB ＝6__cm ．6．(长沙中考)如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝1，则⊙O 的半径为5．7．如图，已知⊙O的半径为4，OC垂直弦AB于点C，∠AOB＝120°，则弦AB的长为43．知识点3垂径定理的推论8．如图，⊙O的半径为10，M是AB的中点，且OM＝6，则⊙O的弦AB等于(D) A．8 B．10 C．12 D．16知识点4垂径定理的应用9．(金华中考)如图，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为(C)A．10 cmB．16 cmC．24 cmD．26 cm10．(茂名中考)如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD)为0.5米．11．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2米，净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是多少米．解：连接OA.∵CD ⊥AB ，且CD 过圆心O ， ∴AD ＝12AB ＝1米，∠CDA ＝90°.设⊙O 的半径为R ，则 OA ＝OC ＝R ，OD ＝5－R. 在Rt △OAD 中，由勾股定理，得 OA 2＝OD 2＋AD 2，即R 2＝(5－R)2＋12，解得R ＝2.6. ∴圆拱形门所在圆的半径为2.6米．易错点忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径” 12．下列说法正确的是(D)A ．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B ．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C ．过弦的中点的直径垂直于弦D ．平分弦所对的两条弧的直径平分弦 02 中档题13．(呼和浩特中考)如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为M.若AB ＝12，OM ∶MD ＝5∶8，则⊙O 的周长为(B)A ．26πB ．13π C.96π5 D.3910π514．如图，在⊙O 中，AB ，AC 是互相垂直的两条弦，OD ⊥AB 于点D ，OE ⊥AC 于点E ，且AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，那么⊙O 的半径OA 长为5__cm.15．(宿迁中考)如图，在△ABC 中，已知∠ACB ＝130°，∠BAC ＝20°，BC ＝2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ，则BD 的长为23．16．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与A ，B 重合)，过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为4．17．(雅安中考)⊙O 的直径为10，弦AB ＝6，P 是弦AB 上一动点，则OP 的取值范围是4≤OP ≤5． 18．如图，已知⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF ⊥AD.(1)求证：点E 是OB 的中点； (2)若AB ＝8，求CD 的长．解：(1)证明：连接AC. ∵OB ⊥CD ，∴CE ＝ED ，即OB 是CD 的垂直平分线． ∴AC ＝AD. 同理AC ＝CD.∴△ACD 是等边三角形． ∴∠ACD ＝60°，∠DCF ＝30°. 在Rt △COE 中，OE ＝12OC ＝12OB.∴点E 是OB 的中点． (2)∵AB ＝8，∴OC ＝12AB ＝4.又∵BE ＝OE ，∴OE ＝2.∴CE ＝OC 2－OE 2＝16－4＝2 3.∴CD＝2CE＝4 3.19．(湖州中考)已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图所示)．(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．解：(1)证明：过点O作OE⊥AB于点E.则CE＝DE，AE＝BE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.(2)连接OA，OC.由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，∴CE＝OC2－OE2＝82－62＝27，AE＝OA2－OE2＝102－62＝8.∴AC＝AE－CE＝8－27.03综合题20．太原市城市风貌提升工程正在火热进行中，检查中发现一些破旧的公交车候车亭有碍观瞻，现准备制作一批新的候车亭，查看了网上的一些候车亭图片后(如图1)，设计师画出了如图2所示的侧面示意图，FG为水平线段，PQ⊥FG，点H为垂足，FG＝2 m，FH＝1.2 m，点P在弧FG上，且弧FG所在圆的圆心O到FG，PQ的距离之比为5∶2，则PH的长约为0.6__m.。

(含答案)九年级数学人教版上册课时练第24章《24.1.2 垂直于弦的直径》

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练第24章圆24.1.2垂直于弦的直径一、选择题1.下列命题中，正确的是()A.平分弦的直线，必垂直于弦B.垂直于弦的直线，必经过圆心C.垂直平分弦的直线必平分弦所对的弧D.平分弦的直径必垂直于弦并且平分弦所对的两条弧2.如图，AB 是⊙O 的弦，OD⊥AB 于D，交⊙O 于E，则下列说法错误的是()A.AD＝BDB.∠AOE＝∠BOEC.AE ︵＝BE ︵D.OD＝DE3.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD 的长是()A.7 B.27 C.6 D.84.如图，AB是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，下列结论不一定成立的是()A.CE＝DEB.AC ︵＝AD ︵C.BC ︵＝BD ︵D.OE＝BE5.在半径为5cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为4cm，则弦AB 的长为()A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm6.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是()A.CM＝DMB.CB ︵＝DB ︵C.∠ACD＝∠ADCD.OM＝MB7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB ︵)，点O 是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C 是AB ︵的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为()A.25mB.24mC.30mD.60m二、填空题8.已知⊙O 的半径为5cm，弦AB＝8cm，CD＝6cm，且AB∥CD，则两弦之间的距离为cm.9.如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC＝42°，点D 是弦AC 的中点，则∠DOC 的度数是度.10.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，∠A＝22.5°，OC＝4，则CD的长为.11.点P是半径为5的⊙O内一点，且OP＝3，则在过点P的所有弦中，最短的弦长是，最长的弦长是.12.如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点(P 与A、B不重合)，连接AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB 于F，则EF＝.13.如图所示，在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油面宽度AB＝8m，那么油的最大深度是m.三、解答题14.如图，⊙O的半径为25，弦AB和弦CD互相垂直，点P是垂足.若AB＝8，CD＝6，求OP的长.15.如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE ＝OF，求证：AE＝BF.16.如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，且PA＝1cm，PB＝5cm，∠DPB＝30°，点M为CD的中点，求OM的长.17.如图所示，有一座拱桥呈圆弧形，它的跨度AB为60米，拱高PM为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN＝4米时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施？18.如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E.(1)当BC＝6时，求线段OD的长；(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由.参考答案一、1-7CDBDD DA 二、8.1或79.4810.4211.81012.513.2三、14.解：作OM⊥AB 于M，ON⊥CD 于N，连接OB、OD.由垂径定理得BM＝4，DN＝3.在Rt△OBM 中，OM 2＝(25)2－42＝4，在Rt△ODN 中，ON 2＝(25)2－32＝11.易证四边形MONP 是矩形，∴MP 2＝ON 2＝11.在Rt△OMP 中，OP＝OM 2＋MP 2＝15.15.证明：过点O 作OM⊥AB 于点M，由垂径定理得AM＝BM.∵OE＝OF，OM⊥EF，∴EM＝FM，∴AM－EM＝BM－FM，即AE＝BF.16.解：∵M 为CD 的中点，∴OM⊥CD.又∵PA＝1cm，PB＝5cm，∴OA＝3cm，∴OP＝2cm.在Rt△POM 中，∠DPB＝30°，∴OM＝12OP＝1cm.17.解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x 米，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝60米，∴AM＝30米，且OM＝(x－18)米，在Rt△AOM 中，由勾股定理可得AO 2＝OM 2＋AM 2，即x 2＝(x－18)2＋302，解得x＝34，∴ON＝OP－PN ＝34－4＝30(米)，在Rt△A′ON 中，由勾股定理可得A′N＝OA′2－ON 2＝342－302＝16(米)，∴A′B′＝32米＞30米，∴不需要采取紧急措施.18.解：(1)∵OD⊥BC，∴BD＝12BC＝12×6＝3，∵∠BDO＝90°，OB ＝5，BD＝3，∴OD＝OB 2－BD 2＝4，即线段OD 的长为4；(2)存在，DE 保持不变.理由：连接BA.∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝5，∴AB＝OB 2＋OA 2＝52，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D 和E 分别是线段BC和AC 的中点，∴DE＝12AB＝522.∴DE 保持不变.。

人教版-数学-九年级上册-24.1.2垂直于弦的直径同步练习

24．1.2 垂直于弦的直径01 基础题知识点1 认识垂径定理1．(佛山中考)半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是(C )A ．3B ．4C . 5D .72．(黔东南中考)如图，已知⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，垂足为点E ，∠ACD ＝22.5°，若CD ＝6 cm ，则AB 的长为(B )A ．4 cmB ．3 2 cmC ．2 3 cmD ．2 6 cm3．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为(D )A ．2B ．4C ．6D ．84．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝6 cm ，则OE ＝4cm .5．(黔西南中考)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝4，AE ＝1，则⊙O 的半径为52．知识点2 垂径定理的推论 6．下列说法正确的是(D )A ．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B ．平分弦的直径垂直于弦C ．垂直于直径的弦平分这条直径D ．弦的垂直平分线经过圆心7．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于(D) A．8 B．2 C．10 D．58．(毕节中考)如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是(B)A．6 B．5 C．4 D．3知识点3垂径定理的应用9．(曲靖月考)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径OB＝5，截面圆圆心为O，当水面宽AB＝8时，水位高为(B)A．1B．2C．3D．410．(绍兴中考)绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为(D)A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m 11．(茂名中考)如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD)为0.5米．02 中档题12．如图，已知⊙O 的半径为4，OC 垂直弦AB 于点C ，∠AOB ＝120°，则弦AB 的长为43．13．如图，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直的两条弦，OD ⊥AB 于点D ，OE ⊥AC 于点E ，且AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，那么⊙O 的半径OA 长为5_cm .14．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与A ，B 重合)，过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为4．15．(黔东南中考)如图，AD 是⊙O 的直径，弦BC ⊥AD 于E ，AB ＝BC ＝12，则OC ＝43．16．(邵阳中考)如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3 m ，弓形的高EF ＝1 m ，现计划安装玻璃，请帮工程师求出AB ︵所在圆O 的半径r.解：由题意知OA ＝OE ＝r. ∵EF ＝1，∴OF ＝r －1. ∵OE ⊥AB ，∴AF ＝12AB ＝12×3＝1.5.在Rt △OAF 中，OF 2＋AF 2＝OA 2，即(r －1)2＋1.52＝r 2.解得r ＝138.即圆O 的半径为138米．17．(佛山中考)如图，⊙O 的直径为10 cm ，弦AB ＝8 cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．解：作直径MN ⊥弦AB ，交AB 于点D ，由垂径定理，得AD ＝DB ＝12AB ＝4 cm .又⊙O 的直径为10 cm ，连接OA ，则OA ＝5 cm . 由勾股定理，得OD ＝OA 2－AD 2＝3 cm . ∵垂线段最短，半径最长，∴OP 的长度范围是3 cm ≤OP ≤5 cm .03 综合题18．(湖州中考)已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D(如图所示)．(1)求证：AC ＝BD ；(2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．解：(1)证明：过点O 作OE ⊥AB 于点E. 则CE ＝DE ，AE ＝BE. ∴AE －CE ＝BE －DE ，即AC ＝BD.(2)连接OA ，OC.由(1)可知，OE ⊥AB 且OE ⊥CD ， ∴CE ＝OC 2－OE 2＝82－62＝27. AE ＝OA 2－OE 2＝102－62＝8.∴AC＝AE－CE＝8－27.。