2015-2016学年山西省晋中市四校联考高三(上)期中数学试卷和答案(理科)

2015-2016学年山西省晋中市四校联考高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡的相应位置上）1．（5分）已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，M={﹣1，0，3，4}，则集合P∩M中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）设向量=（2，x﹣1），=（x+1，4），则“x=3”是“∥”的（）A．既不充分也不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．充分而不必要条件3．（5分）曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．4e2C．2e2D．e24．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”B．“am2＜bm2”是“a＜b”的充分不必要条件C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．命题p：存在x0∈R，使得+x0+1＜0，则￢p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0 5．（5分）使函数y=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）为奇函数，且在[0，]上是减函数的θ一个值为（）A．B． C． D．6．（5分）为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象，只需把函数y=sin2x﹣cos2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位7．（5分）已知非零向量、满足|+|=|﹣|=||，则+与﹣的夹A．30°B．60°C．120° D．150°8．（5分）已知正实数a，b满足不等式ab+1＜a+b，则函数f（x）=log a（x+b）的图象可能为（）A．B．C．D．9．（5分）若，，均为单位向量，且•=0，则|+﹣|的最大值是（）A．1 B．+1 C．﹣1 D．10．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=（）A．27 B．81 C．243 D．72911．（5分）已知函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立若a=（20.2）•f（20.2），b=（1n2）•f（1n2），c=（）•f（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b12．（5分）已知点O在△ABC内部一点，且满足2+3+4=，则三角形△AOB，△BOC，△AOC的面积之比依次为（）A．4：2：3 B．2：3：4 C．4：3：2 D．3：4：5二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知⊥，||=2，||=3，且+2与λ﹣垂直，则实数λ的值14．（5分）已知，，则=．15．（5分）已知f（x）=，则函数f（x）的零点的个数为．16．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），f（﹣2）=﹣3，数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，S n=2a n+n（n∈N*），则f（a5）+f（a6）=．三、解答题（本大题6小题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．19．（12分）已知，满足．（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调递增区间；（2）已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且a=2，求△ABC面积的最大值．20．（12分）已知数列{a n}满足递推式a n=2a n﹣1+1（n≥2），其中a4=15（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}，有b n=，求数列{b n}的前n项和S n．21．（12分）已知函数f（x）=．（1）若函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e数自然常数）时，函数g（x）的最小值是3？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由（3）当x∈（0，e]时，求证：e2x2﹣x＞（x+1）lnx．2015-2016学年山西省晋中市四校联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡的相应位置上）1．（5分）已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，M={﹣1，0，3，4}，则集合P∩M中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由P中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤2，即P={x|﹣1≤x≤2}，∵M={﹣1，0，3，4}，∴P∩M={﹣1，0}，则集合P∩M中元素的个数为2，故选：B．2．（5分）设向量=（2，x﹣1），=（x+1，4），则“x=3”是“∥”的（）A．既不充分也不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．充分而不必要条件【解答】解：由“∥”可得：（x﹣1）（x+1）﹣8=0，化为x2=9，解得x=±3．∴“x=3”是“∥”的充分而不必要条件．故选：D．3．（5分）曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．4e2C．2e2D．e2【解答】解：∵曲线y=，∴y′=×，切线过点（4，e2）∴f′（x）|x=4=e2，∴切线方程为：y﹣e2=e2（x﹣4），令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），令x=0，y=﹣e2，与y轴的交点为：（0，﹣e2），∴曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|﹣e2|=e2，故选：D．4．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”B．“am2＜bm2”是“a＜b”的充分不必要条件C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．命题p：存在x0∈R，使得+x0+1＜0，则￢p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0【解答】解：A中逆否命题应先逆得逆命题：条件结论互换；再求否命题：条件，结论都否定；故正确；B中am2＜bm2能推出a＜b，但a＜b不能推出am2＜bm2，当m2=0时不成立，故正确；C中p或q为真，则只要有一个为真就可以，故错误；D中存在命题的否定，应把存在改为任意，再否定结论，命题p：存在x0∈R，使得+x0+1＜0，则￢p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0，故正确．故选：C．5．（5分）使函数y=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）为奇函数，且在[0，]上是减函数的θ一个值为（）A．B． C． D．【解答】解：∵函数=2sin（2x+θ+）是奇函数，故θ+=kπ，k∈Z，θ=kπ﹣，故排除C．若θ=，f（x）=2sin（2x+），不满足f（x）为奇函数，故排除A．若θ=，f（x）=2sin（2x+π）=﹣2sin2x是奇函数；在[0，]上，2x∈[0，]，满足f（x）在[0，]上是减函数，故B满足条件．若θ=，f（x）=2sin（2x+2π）=2sin2x是奇函数；在[0，]上，2x∈[0，]，f（x）在[0，]上是增函数，不满足在[0，]上是减函数，故排除D，故选：B．6．（5分）为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象，只需把函数y=sin2x﹣cos2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【解答】解：分别把两个函数解析式简化为y=sin2x+cos2x=．函数y=sin2x﹣cos2x═，又，可知只需把函数y=sin2x﹣cos2x的图象向左平移个长度单位，得到函数y=sin2x+cos2x的图象．故选：A．7．（5分）已知非零向量、满足|+|=|﹣|=||，则+与﹣的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：∵|+|=|﹣|=||∴（+）2=（﹣）2=2整理得•=0，2=2．设（+）与（﹣）的夹角为α，则（+）（﹣）=|+|•|﹣|cosα=2cosα，且（+）（﹣）=2﹣2=2．∴cosα=，解得α=60°．故选：B．8．（5分）已知正实数a，b满足不等式ab+1＜a+b，则函数f（x）=log a（x+b）的图象可能为（）A．B．C．D．【解答】解：∵正实数a，b满足不等式ab+1＜a+b，∴a（1﹣b）+（b﹣1）＞0，∴（1﹣b）（a﹣1）＞0，故有①a＞1且0＜b＜1，或②0＜a＜1，且b＞1．若①成立，则函数f（x）=log a（x+b）在定义域（﹣b，+∞）上是增函数，且f（1）＞0，f（0）＜0，故选项B满足条件．若②成立，则函数f（x）=log a（x+b）在定义域（﹣b，+∞）上是减函数，且f（1）＜0，f（0）＜0，故没有满足条件的选项．故选：B．9．（5分）若，，均为单位向量，且•=0，则|+﹣|的最大值是（）A．1 B．+1 C．﹣1 D．【解答】解：若，，均为单位向量，且•=0，∴⊥，|+|==，故当+与的方向相反时，|+﹣|取得最大值，此时，|+﹣|=+1，故选：B．10．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=（）A．27 B．81 C．243 D．729【解答】解：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27 即a2=3因为S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）所以n=1时有，S2=a1+a2=4a1从而可得a1=1，q=3所以，a6=1×35=243故选：C．11．（5分）已知函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立若a=（20.2）•f（20.2），b=（1n2）•f（1n2），c=（）•f（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，∴函数y=f（x）的图象关于y轴对称，是偶函数．令g（x）=xf（x），则当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，∴函数g（x）在x∈（﹣∞，0）单调递减，因此函数g（x）在（0，+∞）上单调递减．∵=2＞20.2＞1＞ln2＞0．∴c＜a＜b．故选：B．12．（5分）已知点O在△ABC内部一点，且满足2+3+4=，则三角形△AOB，△BOC，△AOC的面积之比依次为（）A．4：2：3 B．2：3：4 C．4：3：2 D．3：4：5【解答】解：延长OA，OB，OC，使OD=2OA，OE=3OB，OF=4OC，如图所示：∵2+3+4=，∴，即O是△DEF的重心，故△DOE，△EOF，△DOF的面积相等，不妨令它们的面积均为1，则△AOB的面积为，△BOC的面积为，△AOC的面积为，故三角形△AOB，△BOC，△AOC的面积之比依次为：：：=4：2：3，故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知⊥，||=2，||=3，且+2与λ﹣垂直，则实数λ的值为．【解答】解：∵⊥，||=2，||=3，∴=0 =4，=9．由+2与λ﹣垂直，可得（+2）•（λ﹣）=λ+（2λ﹣1）﹣2=4λ+0﹣18=0，求得实数λ=，故答案为：．14．（5分）已知，，则=．【解答】解：∵，∴sinα＞0且cosα＞0∵（sinα﹣cosα）2=sin2α﹣2sinαcosα+cos2α，（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α，∴（sinα﹣cosα）2+（sinα+cosα）2=2（sin2α+cos2α）=2又∵，∴sinα+cosα=（舍负）因此==﹣（sinα+cosα）=﹣故答案为：﹣15．（5分）已知f（x）=，则函数f（x）的零点的个数为3．【解答】解：x＞0，lnx=0，可得x=1；x≤0，f（x）==﹣1﹣x2﹣2x+e x=e x﹣（x+1）2=0，有两个解，∴函数f（x）的零点的个数为3．故答案为：3．16．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），f（﹣2）=﹣3，数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，S n=2a n+n（n∈N*），则f（a5）+f（a6）=3．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∵f（﹣x）=f（x），∴f（﹣x）=﹣f（﹣x），∴f（+﹣x）=﹣f（﹣x）=f（x），∴f（3+x）=f（x）∴f（x）是以3为周期的周期函数．∵数列{a n}满足a1=﹣1，且S n=2a n+n，∴S n﹣1=2a n﹣1+n﹣1，∴a n=2a n﹣2a n﹣1+1，即a n=2a n﹣1﹣1，a n﹣1=2（a n﹣1﹣1），{a n﹣1}以﹣2为首项，2为公比的等比数列．a n=1﹣2n．∴a5=﹣31，a6=﹣63∴f（a5）+f（a6）=f（﹣31）+f（﹣63）=f（2）+f（0）=f（2）=﹣f（﹣2）=3故答案为：3．三、解答题（本大题6小题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a．当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由得得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（2）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p．即q是p的充分不必要条件，则，解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是1＜a≤2．18．（12分）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．【解答】解：（1）化简可得==…（2分）=…（4分）所以…（7分）（2）因为，所以…（9分）所以，所以﹣1≤f（x）≤2，当，即时，f（x）min=﹣1，当，即时，f（x）max=2，…（14分）19．（12分）已知，满足．（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调递增区间；（2）已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且a=2，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵=，所以．…（3分）令，得，故f （x）的单调递增区间是．…（6分）（2）∵，∴，又，∴，∴．…（8分）在△ABC中由余弦定理有，a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=4≥2bc﹣bc=bc，可知bc≤4（当且仅当b=c时取等号），∴，即△ABC面积的最大值为．…（12分）20．（12分）已知数列{a n}满足递推式a n=2a n﹣1+1（n≥2），其中a4=15（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}，有b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵a n=2a n﹣1+1（n≥2），+1）（n≥2），∴a n+1=2（a n﹣1即数列{a n+1}是公比为2的等比数列，又∵a4+1=15+1=16，∴a n+1=16•2n﹣4=2n，∴a n=﹣1+2n；（2）由（1）知b n==，∴S n=+2•+…+n•，①S n=+2•+…+（n﹣1）•+n•，②①﹣②得：S n=+++…+﹣n•=﹣=1﹣，整理得：S n=2﹣．21．（12分）已知函数f（x）=．（1）若函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）定义域为（0，+∞），，由f′（x）=0⇒x=1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，1）上单增，在（1，+∞）上单减，所以函数f（x）在x=1处取得唯一的极值．由题意得，故所求实数a的取值范围为（2）当x≥1时，不等式．令，由题意，k≤g（x）在[1，+∞）恒成立．令h（x）=x﹣lnx（x≥1），则，当且仅当x=1时取等号．所以h（x）=x﹣lnx在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=1＞0因此，则g（x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）min=g（1）=2所以k≤2，即实数k的取值范围为（﹣∞，2]．22．（12分）已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e数自然常数）时，函数g（x）的最小值是3？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由（3）当x∈（0，e]时，求证：e2x2﹣x＞（x+1）lnx．【解答】解：（1）f′（x）=2x+a﹣=≤0在[1，2]上恒成立，令h（x）=2x2+ax﹣1，∴，解得：a≤﹣；（2）假设存在实数a，使得g（x）=f（x）﹣x2=ax﹣lnx，x∈（0，e]有最小值3，g′（x）=a﹣=，①0＜＜e，即a＞e时，令g′（x）＞0，解得：x＞，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴函数g（x）在（0，）递减，在（，e]递增，∴g（x）min=g（）=1+lna=3，解得：a=e2，满足条件；②≥e，即a≤时，g′（x）＜0，g（x）在（0，e]单调递减，∴g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，解得：a=（舍去）；综上，存在实数a=e2，使得x∈（0，e]时，函数g（x）有最小值3；（3）令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）得：F（x）min=3，令ω（x）=+，ω′（x）=，当0＜x≤e时，ω′（x）≥0，ω（x）在（0，e]递增，故e2x﹣lnx＞+，即：e2x2﹣x＞（x+1）lnx．。