矩阵与向量组等价的关系

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矩阵合同的定义

矩阵合同的定义篇一：矩阵的合同,等价与相似的联系与区别矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。

若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为AB。

2、矩阵等价的充要条件：AB{同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。

（二）合同：1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A成立，则称A,B合同，记作AB该过程成为合同变换。

2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A BBPAPBT二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。

（三）相似1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得BP1AP 成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。

2、矩阵相似的性质：A~B,A~B,AA~BTTkk1~B(前提，A,B均可逆)1|E-A||EB|即A,B有相同的特征值（反之不成立）r(A)=r(B)tr(A)tr(B)即A,B的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件：A~B(EA)(EB) 二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵A(1,2,,n)，B(1,2,,m)1、若向量组（1,2,,m）是向量组（1,2,,n）的极大线性无关组,则有mn，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。

而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)r(B)但不能得出AB。

2、若m=n，两向量组（1,2,,n）（1,2,,m）则有矩阵A,B同型且r(A)r(B)A~B,AB,ABr(A)r(B)AB。

3、若ABr(A)r(B)两向量组秩相同，两向量组等价，即有AB(1,2,,n)(1,2,,n)综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。

向量组等价

向量组等价矩阵等价与向量组等价的关系矩阵等价与向量组等价的关系矩阵是指排成n行m列的一个数表。

在线性代数中矩阵是一个重要而有力的工具，应用于线性代数的始末，与线性代数的每一章节内容都有牵连。

向量是一个数组。

如果向量仅有一个分量，它就是通常意义上的数；如果向量的分量有两个或三个，在解析几何中，它表示平面或空间的有向线段。

在几何上与线性代数中向量的运算具有相同或相应的法则。

向量可以作为特殊的矩阵，也可作为矩阵的一部分。

n个m维列向量组成的向量组即可作成一个m×n矩阵。

所以矩阵与向量组之间有着千丝万缕的联系。

例如矩阵与其行向量组及列向量组均有相同的秩，方阵可逆的充要条件是其行（列）向量组线性无关等。

但是矩阵的等价与向量组的等价却没有任何必然的联系！矩阵等价的定义：如果矩阵A可以经过有限次初等变换成为矩阵B，就称矩阵A与矩阵B等价。

矩阵等价的两个充要条件：存在可逆矩阵P、Q，使得PAQ =B；A 与B同型，且r(A)=r(B)。

向量组的等价，是指两个向量组能相互线性表示。

矩阵等价与向量组等价有如下关系：1.两矩阵等价，它们的行向量组与列向量组不一定等价！（《2012考研数学复习大全》理工类338页有说明及具体反例）2.两个向量组等价，它们作成的矩阵不一定等价！（向量组等价，两向量组中所含向量个数可以不同，但矩阵等价，两矩阵必定具有相同的行数与列数）在什么情况下矩阵等价其行向量组或列向量组等价呢？1.若矩阵A经初等列变换成为矩阵B，即存在可逆矩阵Q，使AQ=B，也可以写为（α1，α2，…，αn）Q=（β1，β2，…，βn），此时可知B的列向量组可以由A的列向量组线性表示，因为Q 为初等矩阵的乘积，所以可逆，对AQ=B两边右乘Q -1，有A=BQ -1，故A的列向量组可以由B的列向量组线性表示。

此时可得A的列向量组与B的列向量组等价。

2.同理可知：若矩阵A经初等行变换成为矩阵B，则A的行向量组与B的行向量组等价。

矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质(一)等价：1、概念.若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价,记为A B ≅.2、矩阵等价的充要条件:A B ≅.{P Q A B ⇔同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立3、向量组等价,两向量组等价是指两向量组可相互表出,有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同.（二）合同：1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换.2、矩阵合同的充要条件:矩阵A ，B 均为实对称矩阵，则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数,即有相同的标准型。

（三)相似1、概念:n 阶方阵A,B,若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A ，B 相似，记为~A B 。

2、矩阵相似的性质:~A B 11~,~,~(,)|E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-⇒=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立）r(A)=r(B)即的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件:①充分条件：矩阵A ，B 有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件:~()()A B E A E B λλ⇔-≅-二、矩阵相等、合同、相似的关系（一)、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ=1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关组，则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。

而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ≅.2、若m=n ，两向量组(12,,,n λλλ)≅(12,,,m βββ）则有矩阵A ，B 同型且()()~,,r A r B A B A B A B =⇒≅r()()A r B A B =⇒≅。

矩阵等价与向量组等价的关系及应用

等价是描述两个对象之间的一种关系,当这种关系具有自身性、对称性和传递性时,这种关系可被称为“等价”[1-3]。

矩阵等价和向量组等价是两个不同的概念,前者是指一个矩阵可以经过有限次初等变换得到另一矩阵,后者是指两个向量组能够相互线性表示。

矩阵和向量组具有一一对应性,由于等价矩阵具有相同的行数和列数,从向量组的角度,两个向量组包含相同个数的向量;而当列(行)向量组等价时,从矩阵的角度,两个矩阵的列(行)数可以不同。

初等变换作为矩阵理论的重要工具,当两个向量组包含相同个数的向量时,项梁组等价和矩阵等价之间是否具有联系呢？如果能获得这种联系,则向量组的等价问题在某种程度上可以借助初等变换研究以简化其讨论步骤。

1 理论为方便起见,不妨设有两个矩阵A 和B 且A～B ,从而存在两个可逆阵P,Q ,满足:PAQ =B 。

可将A 和B 表示为列向量组的形式,则有:),,,(),,,(2121n n b b b Q a a a P ΛΛ= (1)如果P =E ,由初等变换理论可知,A 到B 只进行了初等列变换,且(1)式可改写为:),,,(),,,(2121n n b b b Q a a a ΛΛ= (2)两边同时右乘1-Q ,得:12121),,,(),,,(-=Q b b b a a a n n ΛΛ(3)由(2)式可知,向量组n b b b ,,,21Λ能由向量组n a a a ,,,21Λ线性表示,由（3)式可知,向量组n a a a ,,,21Λ能由n b b b ,,,21Λ线性表示,故n a a a ,,,21Λ与n b b b ,,,21Λ等价。

因此获得下面结论:结论1：只经初等列变换由一个矩阵到另一矩阵,相应的列向量组等价。

对上面的(2)式,两边同取转置,得:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T T T n T T T b b b a a a Q M M 2121 (4)两边同时左乘1)(-T Q ,得:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T n T T T T n T Tb b b Q a a a M M 21121)( (5)同理,(4)式和(5)式表明行向量组T nT T b b b ,,,21Λ与Tn T T a a a ,,,21Λ等价,由此获得下面结论:结论2：只经初等行变换由一个矩阵到另一矩阵,相应的行向量组等价。

问：两个矩阵的等价与两个向量组的等价有什么区别和联...

1、问：“两个矩阵的等价与两个向量组的等价有什么区别和联系？”答：矩阵A与B等价指的是A可以通过有限次初等变换变成B。

因此，两个不同型的矩阵是不可能等价的；两向量组的等价指的是它们能够相互线性表示，于是，它们各自所含向量的个数可能是不一样的．例如二维向量组A：1 1α⎛⎫= ⎪⎝⎭与二维向量组B：1:1k k Rβ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭是等价的。

但前者只含一个向量；而后者含有无穷多个向量。

两矩阵的等价与两向量组的等价，两者的联系在于：(1) 若矩阵A经初等行变换变成B，即A与B行等价，则A与B的行向量组等价；若A经初等列变换变成C，即A与C列等价，则A与C的列向量组等价；若A既经初等行变换又经初等列变换变成D，那么矩阵A与D等价，但A与D的行向量组与列向量组未必等价。

(2) 反过来，设两列向量组等价。

若它们所含向量个数不相同，则它们对应的两个矩阵是不同型的，因而不等价；若它们所含向量个数相同（例如都含有m 个）．那么它们对应的两个n x m矩阵（这里n为向量的维数）列等价，从而一定等价，但不一定行等价．例如向量组A：12 , 24⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与向量组B：10,20⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价，它们对应的矩阵1224A⎛⎫= ⎪⎝⎭，1020B⎛⎫= ⎪⎝⎭列等价，从而A与B等价，但非行等价。

类似地，若两个含向量个数相同的行向量组等价，则它们对应的两矩阵行等价，从而一定等价，但不一定列等价。

2、问：为什么“初等行变换保持矩阵的行向量组等价，而列向量组不等价？”和“初等行变换保持矩阵的列向量组中对应向量的线性相关性不变，而行向量组中对应向量的线性相关性可能改变”。

答：先说明“初等行变换保持矩阵的行向量组等价，而列向量组不等价”。

设,A B为m n⨯矩阵，且A经过行变换变成B。

把A分别按行分块，设1T T i T j T m A αααα⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭分三种情况：（1）若i jr r A B ↔→，则1T T j T i T m B αααα⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭显然向量组1,,,,,T T T T i j m αααα 与向量组1,,,,,T T T T j i m αααα 等价；（2）若ikr A B →，则1T T i T j T m k B αααα⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭显然向量组1,,,,,T T T T i j m αααα 与向量组1,,,,,T T T T i j m k αααα 等价；（3）若i jr kr A B +→，则1T T T i j T jT m k B ααααα⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭显然向量组1,,,,,T T T T i j m αααα 与向量组1,,,,,T T T T Ti j j m k ααααα+ 等价。

矩阵与向量的关系

矩阵与向量的关系
由m×n个数按一定顺序排成的m行n列的矩形数表称为矩阵，而向量则是由n个有序的数所组成的数组。

故矩阵中的行可以看作是行向量，列可以看作是列向量。

所以，可以说向量是矩阵的一部分。

矩阵和向量都有相应的线性运算，二者都满足交换律和结合律。

矩阵作为线性代数中一种重要的工具，使得向量在运算过程中也大量的应用了矩阵的运算方法。

而且矩阵的秩就等于其相应的行向量的秩，故在向量中与秩有关的相应的诸如极大线性无关组的求法之类的问题都可用矩阵的相应性质来求解。

矩阵等价与向量等价之间没有必然的联系。

两个矩阵等价只需要两矩阵经过初等变换后的秩相等即可，但向量的等价却需要两个向量组可以相互表示。

故就实际运算而言，向量等价的证明是比较麻烦的。

既然二者之间没有必然的联系，那很明显，在证明向量等价的时候没必要用到矩阵等价的关系，同理，在证明矩阵等价的时候也没必要用到向量等价的关系，二者都需按其定义来进行证明。

就实际应用而言，矩阵的用途要比向量大。

矩阵能用来计算统计交通流量，工程等复杂的问题，而向量只可能在矩阵具体应用中起到一定的作用，算是矩阵的一种特殊应用吧。

以上便是我对矩阵和向量关系的认识。

矩阵等价和向量组不等价的例子

矩阵等价和向量组不等价的例子
摘要：
1.矩阵的等价和向量组的不等价概念介绍
2.矩阵等价和向量组不等价的例子
3.例子的解析
正文：
矩阵的等价是指两个矩阵可以通过一系列的基本行变换或基本列变换相互转化。

而向量组的不等价是指两个向量组不能通过线性组合相互转化。

矩阵等价和向量组不等价是线性代数中的基本概念，它们在数学和物理等领域都有广泛的应用。

例如，我们可以考虑以下两个矩阵：
矩阵A = [[1, 0], [0, 1]]
矩阵B = [[1, 0], [0, -1]]
可以看出，矩阵A 和矩阵B 只是矩阵B 的第二行取了相反数，因此矩阵A 和矩阵B 是等价的。

然后，我们考虑以下两个向量组：
向量组1 = {[1, 0], [0, 1]}
向量组2 = {[1, 1], [0, 1]}
可以看出，向量组1 和向量组2 的元素并不相同，且向量组2 的元素不能通过线性组合得到向量组1 的元素，因此向量组1 和向量组2 是不等价的。

两个矩阵等价的条件

两个矩阵等价的条件
摘要：
1.矩阵等价的定义与重要性
2.矩阵等价的条件
3.矩阵等价条件的应用
4.总结
正文：
矩阵等价是线性代数中一个重要的概念，它对于理解和解决许多实际问题具有重要的意义。

矩阵等价是指两个矩阵在某种意义上相等，这种相等不仅包括元素的相等，还包括矩阵的行和列的变换。

矩阵等价的条件有很多，下面我们将详细介绍。

首先，我们来看矩阵等价的定义。

设矩阵A 和矩阵B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，那么我们就说矩阵A 与矩阵B 是等价的。

这个定义告诉我们，如果两个矩阵可以通过可逆矩阵的变换相互转化，那么这两个矩阵就是等价的。

接下来，我们来看矩阵等价的条件。

矩阵等价的条件主要有以下几点：
1.行列式相等：如果两个矩阵的行列式相等，那么这两个矩阵就是等价的。

这是因为行列式是矩阵的一种度量，它反映了矩阵的性质。

2.秩相等：如果两个矩阵的秩相等，那么这两个矩阵就是等价的。

秩是矩阵的一个重要性质，它表示矩阵的行向量组的最大无关组数。

3.行向量组和列向量组等价：如果两个矩阵的行向量组和列向量组等价，
那么这两个矩阵就是等价的。

这是因为行向量组和列向量组是矩阵的重要组成部分，它们决定了矩阵的性质。

矩阵等价条件的应用非常广泛，它不仅可以用于解决矩阵的变换问题，还可以用于解决线性方程组等问题。

例如，在求解线性方程组时，我们可以通过矩阵等价的变换，将方程组转化为易于求解的形式。

总的来说，矩阵等价是一个非常重要的概念，它对于理解和解决线性代数中的问题具有重要的意义。

矩阵等价和向量组不等价的例子

矩阵等价和向量组不等价的例子【实用版】目录1.矩阵等价和向量组不等价的概念介绍2.矩阵等价和向量组不等价的例子3.矩阵等价和向量组不等价性的判断方法4.总结与展望正文一、矩阵等价和向量组不等价的概念介绍矩阵等价是指两个矩阵之间存在一系列的基本行变换（或基本列变换）可以将其中一个矩阵变为另一个矩阵。

而向量组不等价是指两个向量组之间不能通过线性组合得到彼此。

矩阵等价和向量组不等价是线性代数中的基本概念，它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

二、矩阵等价和向量组不等价的例子矩阵等价的例子：设有矩阵 A 和矩阵 B：A = [[1, 2], [3, 4]]B = [[4, 6], [7, 9]]通过基本行变换，可以将矩阵 A 变为矩阵 B：A → B[[1, 2], [3, 4]] → [[4, 6], [7, 9]]因此，矩阵 A 和矩阵 B 是等价的。

向量组不等价的例子：设有向量组 A 和向量组 B：A = {[1, 2], [3, 4]}B = {[4, 6], [7, 9]}通过线性组合，无法将向量组 A 变为向量组 B：A → B[[1, 2], [3, 4]] → [[4, 6], [7, 9]]因此，向量组 A 和向量组 B 是不等价的。

三、矩阵等价和向量组不等价性的判断方法判断矩阵是否等价，可以通过一系列的基本行变换（或基本列变换）来实现。

如果矩阵可以通过基本行变换（或基本列变换）变为单位矩阵，则它们是等价的。

判断向量组是否不等价，可以通过线性组合来实现。

如果一个向量组可以通过线性组合得到另一个向量组，则它们是等价的；否则，它们是不等价的。

四、总结与展望矩阵等价和向量组不等价是线性代数中的基本概念，它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

矩阵等价和向量组等价的区别与联系

矩阵等价和向量组等价的区别与联系摘要：探讨等价矩阵和等价向量组之间的区别与联系，并给出等价矩阵的行向量组（或列向量组）等价的充要条件。

关键词：矩阵等价、向量组等价、初等行变换中图法分类号：O 151. 24一、引言矩阵和向量组是线性代数这门课程中两个基本的概念，两者之间有着紧密的联系：一方面，一个矩阵对应着唯一一组列（行）向量组；另一方面，列（行）向量组以给定的顺序排列得到唯一的矩阵。

此外，两个向量组的等价的问题可以将其转化成两个矩阵等价的问题来判定。

正由于矩阵和向量组之间特殊的关系，使得许多同学混淆了矩阵等价和向量组等价这两个不同的概念。

为了使学生们更好地分辨矩阵等价和向量组等价，我们深入探讨等价向量组和等价矩阵的区别与联系，并给出两个矩阵在等价时其行向量组（或列向量组）等价的充要条件。

二、已知结论为了更好地探讨等价矩阵和等价向量组之间的区别和联系，下面给出一些已知的结论。

首先给出矩阵的初等变化的定义。

矩阵的初等变换分为三类：交换矩阵两行（或列）；矩阵某一行（或列）的所有元素同乘以非零数；矩阵某一行（或列）的所有元素乘以数后加到另一行（或列）的对应元素上。

这三类初等变换都是可逆变换。

1、矩阵等价定义1：若矩阵可由矩阵经过有限次初等变换得到，则称矩阵与矩阵等价，记为。

由等价矩阵的定义可知：等价矩阵必须为同型矩阵，即两个矩阵的行数和列数对应相等。

定义2：在矩阵中任意取其行列，则位于这些行和列交叉的个元素，按照其在的位置顺序排列得到的阶行列式，成为矩阵的阶子式。

定义3：矩阵最高阶非零子式的阶数称为矩阵的秩，记作。

下面给出等价矩阵的相关结论。

定理4：矩阵等价于矩阵的充要条件为。

由初等变换和初等矩阵之间的关系以及初等矩阵和可逆矩阵之间的关系可得两个等价矩阵之间的等式。

定理5：矩阵等价于矩阵等且仅当存在阶可逆方阵和阶可逆方阵满足。

此时，可逆方阵、的选择不是唯一的。

2、向量组等价定义6：设有两个维向量组若存在矩阵，使得成立，则称向量组可以由向量组线性表示。

线性代数中的几个等价关系

【中图分类号】０１５１．２
一
【文献标识码】Ａ
【文章编号】２０９５ — ３０８９（２０１３）０８ — ０１４４－０１
此有如下结论。定理４：向量组Ａ￣Ｂ的充要条件是Ａ能被向量组Ｂ线性表示，且ｒ㈧＝ｒ（Ｂ）。
教学・信息
课程教育研究
ｃ０ｕｒｓｅＥｄｕｃａｔｉ０ｎＲｅｓｅａｒｃｈ
２０１３年８月上旬刊
线性代数中的几个等价关系
李斐郭卉
（１．安徽财经大学统计与应用数学学院２．安徽财经大学会计学院安徽蚌埠２３３０３０）
３＿３矩阵的相似
设Ａ和Ｂ都是ｎ阶矩阵，如果存在可逆矩阵Ｐ，使得Ａ＝ＰｑＢｐ。那么称矩阵Ａ和Ｂ相似ｆ３］，不妨也记作Ａ￣Ｂ。由此定义可以证明矩阵的相似关系是一种等价关系。如果矩阵Ａ与对角矩阵相似，我们称之为Ａ可以对角化。并不是所有的矩阵都可以对角化。关于矩阵可以对角化的充要条件，各线性代数教材中有详述。下面列举几个有关矩阵相似的重要的结论和事实。定理５：如果矩阵Ａ￣Ｂ，那么它们有相同的特征值。因而有相同的行列式和痕定理６：为一个多项式，ＡＴ表示矩阵Ａ的转置矩阵。如果矩阵Ａ￣Ｂ，那么ｆ㈥），ＡｋＢ。若Ａ和Ｂ可逆，则Ａ — ，Ｂ一。

论等价关系在线性代数学习中的重要性

论等价关系在线性代数学习中的重要性作者：孙晓霞来源：《教育教学论坛》 2016年第5期孙晓霞（东北财经大学数学学院，辽宁大连116025）摘要：本文主要介绍了线性代数课程中的一些等价关系及其应用，介绍了向量组的等价以及矩阵的等价。

进一步分析了各种等价关系之间的关系。

通过对等价关系的研究，可以对向量组以及矩阵进行分类，进而可以探讨等价关系中的保持不变的性质。

关键词：向量组；矩阵；等价；不变量中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）05-0172-02一、引言线性代数是大学理工科和财经类学生必修的一门数学基础课。

本课程的特点是实用性很强，几乎任何领域都会涉及到线性代数的内容。

但是，线性代数抽象程度高，逻辑思维力强。

因此，学好线性代数，需要学生不仅要学明白知识点，最重要的是理清各种数学概念的相关性以及逻辑关系。

贯穿线性代数课程的一个非常重要的关系就是等价关系。

它可以将很多知识点都联系起来，从而有助于我们更深刻的理解线性代数中的很多概念。

两个事物等价，一般是指这两个事物在某些方面有共同的性质，因此，在研究此类性质时，对这两个事物不加以区分。

等价关系具备自反性对称性以及传递性。

现实生活中的很多关系都是等价关系，例如朋友关系、室友关系等等。

数学中很多关系也是等价关系，例如中学接触到的三角形相似的关系等。

如果研究对象的某种关系是等价关系，我们就可以利用这种关系对研究对象进行分类。

属于同一类别的研究对象具有相同的性质，例如两个三角形相似，角度是相同的。

因此，线性代数中的等价关系和现实生活中的等价关系是类似的。

数学上，等价关系严格的定义是指：满足自反性，对称性，传递性的关系称为等价关系。

给定两个量A和B，下面是这三个关系的解释。

自反性：A和A等价。

对称性：A和B等价，则B和A等价。

传递性：A和B等价，B和C等价，则A和C等价。

本文首先介绍向量组的等价、分类以及保持不变的性质。

矩阵等价和向量组不等价的例子

矩阵等价和向量组不等价的例子
摘要：
一、矩阵等价和向量组不等价的定义
二、矩阵等价和向量组不等价的例子
1.矩阵等价的例子
2.向量组不等价的例子
正文：
矩阵等价和向量组不等价是线性代数中的重要概念，它们描述了矩阵和向量组之间的关系。

下面我们通过一些例子来理解这两个概念。

一、矩阵等价和向量组不等价的定义
1.矩阵等价：设A 和B 是两个n 阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP^-1，那么我们就说矩阵A 与矩阵B 是等价的。

2.向量组不等价：设向量组A 和B 是两个n 维向量空间中的向量组，如果A 中的向量不能由B 中的向量线性表示，反之亦然，那么我们就说向量组A 与向量组B 是不等价的。

二、矩阵等价和向量组不等价的例子
1.矩阵等价的例子
假设我们有两个矩阵A 和B：
A = [[1, 2],
[3, 4]]
B = [[2, 3],
[4, 5]]
我们可以找到一个可逆矩阵P：
P = [[0, 1],
[1, 0]]
使得：
A = P *
B * P^-1 = [[2, 3],
[3, 4]]
因此，矩阵A 与矩阵B 是等价的。

2.向量组不等价的例子
假设我们有两个向量组A 和B：
A = {[1, 2],
[3, 4]}
B = {[2, 3],
[4, 5]}
我们发现，向量组A 中的向量[1, 2] 和[3, 4] 不能由向量组B 中的向量线性表示，反之亦然。

因此，向量组A 与向量组B 是不等价的。

通过以上例子，我们可以更好地理解矩阵等价和向量组不等价的概念。

向量组等价和矩阵等价的区别

向量组等价和矩阵等价的区别1 向量组的等价是两个向量组能够互相线性表示，也就是两个向量组的维数相同，但向量个数并不一定相同，他们拼成的矩阵的列数也并不一定相同。

2 矩阵的等价是可用初等变换把一个矩阵化为另一个矩阵，这要求两个矩阵的行数与列数都相同。

3 两个矩阵等价，并不能说明它们的列向量组等价。

例如矩阵A的第一列是(1,0)^T,第二列是(0,0)^T，矩阵B的第一列是(0,1)^T,第二列是(0,0)^T，则矩阵A与B等价，但A的列向量组与B的列向量组不等价。

扩展资料：在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=Q-1AP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。

也就是说，存在可逆矩阵，A经过有限次的初等变换得到B。

性质：1 矩阵A和A等价(反身性）；2 矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；3 矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；4 矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。

(K为非零常数)5 具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解6 对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：（1）矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。

（2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。

向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。

（注意区分粗体字与普通字母所表示的不同意义）或者说：两个向量组可以互相线性表示，则称这两个向量组等价。

注：1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。

但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。

2、任一向量组和它的极大无关组等价。

3、向量组的任意两个极大无关组等价。

4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。

5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

矩阵的合同-等价与相似的联系与区别

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。

若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。

2、矩阵等价的充要条件：3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。

（二）合同：1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。

2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。

（三）相似1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。

2、矩阵相似的性质：3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件：~()()A B E A E B λλ⇔-≅-二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ=1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。

而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ≅。

2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ）≅（12,,,m βββ）则有矩阵A,B同型且()()~,,r A r B A B A B A B =⇒≅r()()A r B A B =⇒≅。

3、若r()()A B A r B ≅⇒=⇒两向量组秩相同，⇐两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ≅≠>≅综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。

证明两个向量组等价的方法

证明两个向量组等价的方法
x
一、给出定义
向量组：向量组是由相同类型的一组向量组成的集合。

等价：两个向量组是等价的，当且仅当它们中的每个向量都可以通过一系列的线性变换映射到另一个向量组中的向量。

二、证明两个向量组等价的方法
1. 两个向量组必须具有相同的维度，即它们中的每个向量都有
相同的分量数。

2. 要证明两个向量组等价，可以使用变换矩阵的定义，即变换
矩阵是一个矩阵，它将一个向量映射到另一个向量。

3. 如果要证明两个向量组等价，那么必须为每个向量组中的每
个向量定义一个变换矩阵，以便将它们映射到另一个向量组中的向量。

4. 接下来，为了证明这些变换矩阵是可逆的，需要验证它们的
行列式不为零。

5. 最后，需要验证两个向量组中的每个向量都能够经过变换矩
阵的变换映射到另一个向量组中的向量，以证明两个向量组等价。

两向量组等价的充分必要条件

两向量组等价的充分必要条件两个向量组等价的充分必要条件向量是线性代数中的重要概念，它可以表示空间中的方向和大小。

在线性代数中，我们经常会遇到向量的组合和比较。

而当我们要判断两个向量组是否等价时，就需要找到它们之间的充分必要条件。

我们先来定义一下什么是向量组的等价。

定义：设有两个向量组A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得PA=B，那么我们就称向量组A和B是等价的。

接下来，我们来探讨一下两个向量组等价的充分必要条件。

充分条件：若向量组A和B等价，则存在一个可逆矩阵P，使得PA=B。

根据等价的定义，当我们找到了一个可逆矩阵P后，只需要验证PA=B是否成立即可。

如果成立，则说明向量组A和B是等价的。

必要条件：若向量组A和B等价，则存在一个可逆矩阵P，使得PA=B。

对于必要条件，我们需要证明如果向量组A和B是等价的，那么一定存在一个可逆矩阵P，使得PA=B成立。

证明过程如下：假设向量组A有n个向量，每个向量都是m维的列向量，即A={a1, a2, ..., an}，其中ai是一个m维的列向量。

向量组B也有n个向量，同样每个向量都是m维的列向量，即B={b1, b2, ..., bn}，其中bi是一个m维的列向量。

我们知道，向量组A和B是等价的，所以存在一个可逆矩阵P，使得PA=B。

设P的维度为m×m，即P是一个m维的方阵。

对于向量组A，我们可以将其表示为A=[a1, a2, ..., an]，其中a1, a2, ..., an都是m维的列向量。

同样，对于向量组B，我们可以将其表示为B=[b1, b2, ..., bn]，其中b1, b2, ..., bn也都是m维的列向量。

根据矩阵乘法的定义，我们有PA=[Pa1, Pa2, ..., Pan]，即向量组A 经过矩阵P的变换后得到的结果。

根据等价的定义，我们知道PA=B，即[Pa1, Pa2, ..., Pan]=[b1, b2, ..., bn]。

向量组等价是什么意思

向量组等价是什么意思向量组等价一般指等价向量组。

向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示。

需要重点强调的是：等价的向量组的秩相等，但是秩相等的向量组不一定等价。

向量组A：a1，a2，am与向量组B：b1，b2，bn的等价秩相等条件是R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。

（注意区分粗体字与普通字母所表示的不同意义）或者说：两个向量组可以互相线性表示，则称这两个向量组等价。

注：1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。

但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。

2、任一向量组和它的极大无关组等价。

3、向量组的任意两个极大无关组等价。

4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。

5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

扩展资料设有两个向量组（Ⅰ）：α1，α2，αm；（Ⅱ）：β1，β2，βm；如果（Ⅰ）中每个向量都可以由向量组（Ⅱ）线性表示，则称（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示；如果（Ⅰ）与（Ⅱ）可以相互线性表示，则称（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，记为（Ⅰ）≌（Ⅱ）。

例如：，若β1=α1+α2，β2=α1-2α2，β3=α1，则向量组（Ⅰ）={α1，α2}与向量组（Ⅱ）={β1，β2，β3}等价。

事实上，给定的条件已表明（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，又容易得到α1=(2/3)β1+(1/3)β2+0β3，α2=(1/3)β1-(1/3)β2+0β3，这表明（Ⅰ）也可以由（Ⅱ）线性表示，由定义即知（Ⅰ）与（Ⅱ）等价。