平面向量【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】(个人一流排版)

合集下载

高一平面向量的知识点归纳总结

高一平面向量的知识点归纳总结平面向量是高中数学中一个重要的概念，也是数学建模中常用的工具。

在高一阶段，学生首次接触平面向量，并需要掌握其相关的计算方法和性质。

本文将对高一平面向量的知识点进行归纳总结，以帮助学生更好地理解和掌握这一概念。

一、平面向量的定义与表示方法平面向量是有大小和方向的量，可以用有向线段表示，用一个点与另一个点之间的坐标差表示。

一般用字母加箭头表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。

二、平面向量的运算1. 平面向量的相加减：向量的相加是指将一个向量的终点与另一个向量的起点相连，并以此线段为新向量的长度和方向。

向量的相减可以转换为向量的相加：A - B = A + (-B)。

2. 向量的数量乘法：向量的数量乘法是指将向量的长度与一个实数相乘，得到一个新的向量，其方向与原向量相同（若实数为正）或相反（若实数为负）。

3. 向量的数量积：向量的数量积等于向量的长度乘积与两向量夹角的余弦值的乘积。

数量积具有交换律和分配律。

三、平面向量的基本性质1. 平移性质：可以将一个向量平移至另一个点，其大小和方向不变。

2. 平面向量的共线性：如果两个向量的方向相同或相反，那么它们是共线的；如果两个向量的方向互相垂直，那么它们是互相垂直的；如果两个向量不共线且不垂直，那么它们是不共线也不垂直的。

3. 向量共点性质：三个向量共点的充分必要条件是其中一个向量等于另外两个向量的和。

四、平面向量的几何应用平面向量在几何中具有广泛的应用。

其中，平面向量的模表示向量的长度，平面向量的方向角表示向量与坐标轴的夹角，平面向量的端点坐标可以确定向量在平面直角坐标系中的位置。

通过对平面向量的几何运算，可以解决平面上的定位、距离和角度等问题。

五、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，一个向量可以用其横坐标和纵坐标来表示。

具体地说，如果向量的起点在原点O(0, 0)，终点在A(x₁, y₁)，那么这个向量可以用[x₁, y₁]来表示。

平面向量题型归类及解题方法

平面向量题型归类及解题方法1. 平面向量的定义和性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头来表示。

平面向量通常用一个字母加上一个箭头（如a→）来表示。

平面向量有以下性质： - 零向量的方向是任意的，大小为0。

- 向量的大小等于其模长，记作∥a∥。

- 向量可以相等，相等的向量有相同的大小和方向。

- 向量可以相反，相反的向量大小相等，方向相反。

- 向量可以相加，向量相加满足三角形法则。

- 向量可以缩放，即乘以一个标量。

- 向量可以平移，即使原点发生变化。

2. 平面向量的基本运算2.1 向量的加法向量a和b的和记作a + b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的终点。

2.2 向量的减法向量a和b的差记作a - b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的起点。

2.3 向量的数乘向量a与一个实数k的积记作k a，其几何意义是将向量a的长度缩放为原来的k 倍，方向不变（当k>0时）或反向（当k<0时）。

2.4 平行向量和共线向量如果两个向量的方向相同（可能大小不同），那么它们是平行向量。

如果两个向量共线，即一个向量是另一个向量的倍数，那么它们是共线向量。

2.5 两个向量的数量积（点积）设a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则向量a和b的数量积（点积）定义为：a·b= x1x2 + y1y2。

2.6 向量的模长和方向角设向量a = (x, y)，则向量a的模长定义为∥a∥= √(x^2 + y^2)。

向量a的方向角定义为与x轴的正方向之间的夹角θ，其中tanθ = y / x。

3. 平面向量的题型归类及解题方法平面向量的题型主要包括平面向量的加减法、数量积、平行向量和共线向量、模长和方向角等。

3.1 平面向量的加减法题型•已知两个向量，求其和或差向量。

•已知一个向量和其和或差向量，求另一个向量。

平面向量知识点学习技巧

平面向量知识点学习技巧平面向量是数学中的重要概念，它在解决几何问题和代数运算中都起到了重要的作用。

掌握平面向量的知识点对于学生来说至关重要，因此在学习过程中，合理的学习技巧和方法十分必要。

本文将介绍一些平面向量的基本知识点，并结合实际学习经验，分享一些学习平面向量的技巧。

一、平面向量的基本概念和性质1. 平面向量的定义及表示方法平面向量是具有大小和方向的量，它可以用有向线段来表示。

通常用字母加上→来表示一个平面向量，如AB→表示由点A指向点B的平面向量。

平面向量还可以用坐标表示，比如AB→ = (x2 - x1, y2 - y1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)分别是点A和点B的坐标。

2. 平面向量的运算法则平面向量的运算包括加法、减法和数乘。

加法运算满足平行四边形法则，即若有两个平面向量AB→和AC→，则它们的和等于AD→，其中D是平行四边形ABCD的对角线交点。

减法运算即加法的逆运算，即AB→ - AC→ = AB→ + (-AC→)。

数乘运算即将一个平面向量乘以一个实数，如kAB→ = k(x2 - x1,y2 - y1) = (kx2 - kx1, ky2 - ky1)。

3. 平面向量的数量积和向量积数量积又称点积或内积，用来衡量两个向量之间的夹角和方向关系。

它的计算公式为AB·AC = |AB| |AC| cosθ，其中θ为AB→和AC→之间的夹角。

向量积又称叉积或外积，其结果为一个向量，用来衡量两个向量之间的平行关系和面积大小。

计算公式为AB×AC = |AB| |AC| sinθ n，其中θ为AB→和AC→之间的夹角，n为单位向量。

二、学习平面向量的技巧1. 深刻理解基本概念在学习平面向量的过程中，首先要对平面向量的定义和表示方法有一个深刻的理解，这对于后续的学习非常重要。

要善于画图，通过图示化的方法来理解和表示平面向量，可以更清晰地把握其概念和性质。

2. 熟练掌握运算法则平面向量的运算是学习的重点和难点之一。

平面向量复习基本知识点及经典结论总结

平面向量复习基本知识点及经典结论总结平面向量是数学中常见的概念，它是一种具有大小和方向的量。

本文将对平面向量的基本知识点及经典结论进行总结，以帮助读者复习和理解。

一、基本知识点1.定义：平面向量是具有大小和方向的量，可用有向线段来表示。

通常用字母a、b、c等表示向量，用小写字母表示有向线段的长度，用大写字母表示向量的大小。

2.向量的表示方法：在平面直角坐标系中，可以用坐标表示一个向量。

设平面向量a的起点为原点O(0,0)，终点为点A(x,y)，则向量a的表示为a=(x,y)。

3.向量的加法：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a+b可以表示为(a,b)=(x1+x2,y1+y2)。

4.向量的数量积：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a和b的数量积为a·b=x1×x2+y1×y25.向量的模长：向量a的模长表示为，a，可通过勾股定理求得，即，a，=√(x^2+y^2)。

二、经典结论1.平面向量共线：如果有两个向量a和b，且b与a同方向或反方向，那么向量a和b共线；如果b与a不同方向，那么向量a和b不共线。

2. 平面向量定比分点：如果有两个向量a = (x1,y1)和b = (x2,y2)，且存在一个实数k，使得x2 = kx1，y2 = ky1，则向量a和b的终点共线，并且b在a的延长线上（如k>1）或b在a的连线上（如0<k<1）。

3.向量共线定理：如果有三个向量a，b，c，且c=λa+μb，则向量c与向量a和b共线。

4.平面向量的线性运算：设有三个向量a，b，c，和两个实数λ、μ，那么有以下性质成立：(1)a+b=b+a（交换律）(2)(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）(3)λ(μa)=(λμ)a=μ(λa)=λ(μa)（乘法结合律）(4)λ(a+b)=λa+λb（分配律）(5)(λ+μ)a=λa+μa（分配律）5.向量共线的判定方法：(1)数量积：如果两个向量a和b的数量积a·b=0，则向量a和b垂直；如果a·b>0，则向量a和b夹角小于90°；如果a·b<0，则向量a和b夹角大于90°。

第六章平面向量知识点总结

第六章平面向量知识点总结一、平面向量的概念平面向量是指平面上具有大小和方向的量。

它是由起点和终点确定的有向线段。

在平面直角坐标系中，平面向量可以表示为一个有序数对(a, b)，其中a表示横坐标的增量，b表示纵坐标的增量。

二、平面向量的表示1. 平面向量的概念平面向量是由两个向量确定的，即它的坐标是有序对(x, y)。

例如平面向量a=(1, 2)，其中1表示横坐标的增量，2表示纵坐标的增量。

2. 平面向量的运算（1）平面向量的加法平面向量的加法是指将两个平面向量的对应坐标相加，即(a, b)+(c, d)=(a+c, b+d)。

（2）数乘对于平面向量a=(x, y)和实数k，数乘ka=(kx, ky)。

三、平面向量的运算平面向量的运算包括：平面向量的加法、数乘、模长和方向角。

1. 平面向量的加法设平面向量a=(x₁, y₁)，b=(x₂, y₂)，则a+b=(x₁+x₂, y₁+y₂)。

2. 数乘设平面向量a=(x, y)，实数k，则ka=(kx, ky)。

3. 模长平面向量的模长表示向量的长度，它的计算公式是：|a| = √(x² + y²)。

4. 方向角平面向量的方向角表示向量与x轴的夹角。

它的计算公式是：θ = arctan(y/x)。

四、平面向量的线性运算1. 向量的共线如果平面向量a=λb，则a和b共线。

2. 向量的线性组合设有向量a、b，向量a' = λa，b' = μb，如果a' + b' = 0，那么向量a和b线性无关。

也就是说，向量a和向量b不是平行的，且不是共线的。

3. 平面向量线性运算的性质（1）结合律(a+b)+c=a+(b+c)（2）交换律a+b=b+a（3）数乘结合律k(la)=(kl)a五、平面向量的坐标位置关系1. 向量的平行平面向量a和b平行的充要条件是a=λb。

2. 向量的垂直平面向量a和b垂直的充要条件是a·b=0。

平面向量的解题技巧

平面向量的解题技巧简介平面向量是高中数学中的重要内容，也是解题过程中经常会遇到的知识点。

掌握平面向量的解题技巧对于提高解题效率和准确性非常关键。

本文将介绍几种常见的解题技巧，帮助读者更好地理解和应用平面向量。

基本概念回顾在介绍解题技巧之前，我们先来回顾一些平面向量的基本概念。

定义1：平面向量是具有大小和方向的量。

在平面直角坐标系中，平面向量可以用坐标表示为(x, y)。

其中，x表示向量在x轴上的分量，y表示向量在y轴上的分量。

定义2：平面向量的模是指向量的长度，用∥a∥表示。

定义3：平面向量的方向是指向量的指向，用角度表示。

定义4：平面向量的加法是指将两个向量首尾相连所得到的向量，用a + b表示。

定义5：平面向量的乘法是指将向量的模与一个标量相乘所得到的向量，用k * a表示。

解题技巧接下来，我们将介绍几种常见的平面向量解题技巧。

投影投影是指将一个向量在某个方向上的分量分解出来。

在解题过程中，我们常常需要求解一个向量在另一个向量上的投影。

例如，已知向量a = (3, 4)，向量b = (1, 2)，我们要求解向量a在向量b上的投影。

首先，我们需要计算向量a与向量b的夹角θ，然后计算a在b方向上的分量，即可得到投影的结果。

单位向量单位向量是指模为1的向量。

在平面向量的解题中，单位向量常常用来表示方向。

使用单位向量可以简化计算，消除向量的模的影响。

例如，已知向量a = (3, 4)，我们要求解向量a的方向。

我们可以通过计算向量a的单位向量a’ = (3/∥a∥,4/∥a∥)，得到向量a的方向。

平移平移是指将所有向量沿着同一方向移动相同的距离。

平移不改变向量的方向和模。

在解题中，平移常常用来简化计算。

例如，已知向量a = (3, 4)，向量b = (1, 2)，我们要求解向量a + b。

可以将向量a平移到原点，得到向量a’ = (-3, -4)，然后计算a’ + b，最后将结果平移回去，即可得到a + b的结果。

平面向量知识点梳理

平面向量知识点梳理平面向量是向量的一种特殊情况，它在平面上进行运算和表示。

平面向量的学习是解决平面几何问题的重要基础，同时也是向量的一个重要应用领域。

下面进行平面向量的知识点梳理:一、平面向量的定义和表示方法1. 平面向量的定义：平面上的向量是由两个有序数对(a,b)组成。

其中a称为向量的横坐标，b称为向量的纵坐标。

2. 平面向量的表示方法：平面向量可以用有向线段或点表示。

有向线段的起点和终点表示出向量的方向和大小。

二、平面向量的运算法则1. 平面向量的加法：两个向量的加法是将它们的对应坐标相加。

即(A, B) + (C, D) = (A+C, B+D)。

2. 平面向量的减法：两个向量的减法是将它们的对应坐标相减。

即(A, B) - (C, D) = (A-C, B-D)。

3. 常数与向量的乘法：将一个向量的每个坐标与一个常数相乘。

即k(A, B) = (kA, kB)。

4. 向量的数量积：向量的数量积等于它们的模长相乘再乘以夹角的余弦值。

设两个向量为(A, B)和(C, D)，则数量积为AC+BD cosθ，其中θ为两个向量顺时针夹角。

5. 向量的叉积：向量的叉积是一个向量，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积。

设两个向量为(A, B)和(C, D)，则叉积为AD-BC。

三、平面向量的基本性质1. 平面向量的模长：设向量为(A, B)，则向量的模长为|AB| = √(A² + B²)。

2. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。

3. 垂直向量：如果两个向量的数量积等于0，则它们是垂直向量。

4. 向量共线：如果一个向量与另一个向量的数量积为0，则它们共线。

5. 向量的方向角：向量的方向角是与x轴的夹角，它可以根据向量的坐标来计算。

四、平面向量的应用1. 向量的分解：将一个向量分解为两个与坐标轴平行的向量，以方便计算。

2. 向量的平移：通过平移向量的起点和终点，将向量沿着平行线移动。

平面向量知识点梳理

平面向量知识点梳理第一篇：一、平面向量的基本概念及表示方法1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。

2. 平面向量的表示方法：平面向量通常用有向线段来表示，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

二、平面向量的运算法则1. 向量的加法：将两个向量的起点放在一起，然后将两个箭头相连，连接结果的箭头即为两个向量相加的结果。

2. 向量的减法：将两个向量的起点放在一起，然后将第二个向量取反，再按向量加法的法则进行运算。

3. 向量的数乘：将向量的长度与一个数相乘，结果的方向保持不变，只改变了大小。

三、平面向量的性质1. 平面向量的相等：两个向量的大小和方向完全相同，则它们是相等的。

2. 平面向量的负向量：具有相同大小但方向相反的向量称为原向量的负向量。

3. 平面向量的数量积：两个向量的数量积等于两个向量的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

4. 平面向量的夹角：两个向量的夹角是一个锐角，它与它们的余弦值有关。

5. 平面向量的线性相关与线性无关：若存在不全为零的实数使得向量的线性组合等于零向量，则称这些向量线性相关；否则称这些向量线性无关。

四、平面向量的坐标表示1. 平面向量的坐标表示方法：平面向量可以用有序数对或者列向量来表示。

2. 平面向量的坐标运算：平面向量的加法、减法和数乘运算可以通过对应元素之间的运算来进行。

五、平面向量的标准表示1. 平面向量的标准表示方法：平面向量可以表示为单位向量与它的长度的乘积。

2. 平面向量的标准化：将向量除以它的模长，使其成为单位向量。

六、平面向量的数量积1. 平面向量的数量积的计算：将两个向量的对应坐标相乘，再将相乘结果相加。

2. 平面向量的数量积与夹角：两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。

以上是平面向量的一些基本概念、运算法则、性质和表示方法的梳理。

通过学习平面向量，我们可以更好地理解和应用向量的概念，并在几何问题中进行计算和推导。

平面向量几何法解题技巧

平面向量几何法解题技巧平面向量几何法是高中数学中的一项重要内容，它可以解决各种几何问题，包括线的垂直、平行、中点、角平分线等等。

本文将介绍平面向量几何法的基本概念、解题技巧以及应用实例，希望对读者有所帮助。

一、平面向量的基本概念平面向量是代表平面上的一定方向和大小的量，由一个有向线段和箭头来表示。

它可以表示为一个有序数对(a,b)，其中a和b分别表示向量在x方向和y方向上的分量。

向量的大小表示为模长，一般用||AB||表示，其中AB 为向量的有向线段。

模长可以使用勾股定理计算：||AB||=√(a²+b²).向量的方向表示为方向角，它与x轴正方向的夹角记为α（0°≤α＜360°或0≤α＜2π），可以使用以下公式计算：α＝arctan(b/a) (a＞0)α＝π+arctan(b/a) (a＜0, b≥0)α＝-π+arctan(b/a) (a＜0, b＜0)α＝π/2 (a=0, b＞0)α＝-π/2 (a=0, b＜0)二、平面向量几何法的解题技巧1. 向量的加减两个向量的加法表示以一个向量为起点，以另一个向量为终点的有向线段，公式为：AB+BC=AC。

两个向量的减法则表示从一个向量的终点到另一个向量的起点的有向线段，例如：AC-AB=BC。

2. 向量的数量积向量的数量积是一个纯量（一个数），记作a·b，它定义为a和b的模长的乘积与它们夹角的余弦值的积，也就是a·b=||a||·||b||·cosα。

向量的数量积还可以用来求两个向量之间的夹角，公式为cosα=a·b/||a||·||b||。

3. 向量的叉积向量的叉积是一个向量，它表示的是由两个向量围成的平行四边形的面积和方向。

公式为：a×b=||a||·||b||·sinα·n，其中n为满足右手定则的单位向量，其方向与两个向量所在平面垂直，且a、b、n 组成一个右手系。

高中数学平面向量及其应用的解题技巧

高中数学平面向量及其应用的解题技巧高中数学中，平面向量是一个重要的概念，它在各个数学分支中都有广泛的应用。

掌握平面向量的解题技巧，不仅能够帮助我们更好地理解数学知识，还能够提高解题的效率和准确性。

本文将从基本概念、解题方法和应用举例三个方面，介绍高中数学平面向量的解题技巧。

一、基本概念平面向量是空间中的一个有向线段，可以用有序数对表示。

在平面直角坐标系中，向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影。

向量的模表示向量的长度，记作|AB|或||AB||。

向量的方向可以用与x轴正方向的夹角表示。

二、解题方法1. 向量的表示与运算在解题过程中，我们需要掌握向量的表示与运算方法。

例如，已知向量A(3,4)和向量B(-2,1)，求向量A与向量B的和、差以及数量积。

解答：向量A与向量B的和为A+B=(3+(-2),4+1)=(1,5)；向量A与向量B的差为A-B=(3-(-2),4-1)=(5,3)；向量A与向量B的数量积为A·B=3×(-2)+4×1=-6+4=-2。

2. 向量的模和方向在解题过程中，我们需要计算向量的模和方向。

例如，已知向量A(3,4)，求向量A的模和方向。

解答：向量A的模为|A|=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5；向量A的方向可以用与x轴正方向的夹角表示，tanθ=4/3，所以θ=arctan(4/3)≈53.13°。

3. 向量的共线与垂直在解题过程中，我们需要判断向量的共线与垂直关系。

例如，已知向量A(3,4)和向量B(6,8)，判断向量A与向量B是否共线或垂直。

解答：向量A与向量B的方向相同，且比值相等，即3/6=4/8=1/2，所以向量A与向量B共线。

三、应用举例1. 平面向量的线性运算已知向量A(2,3)和向量B(1,2)，求2A-3B的模和方向。

解答：2A-3B=2(2,3)-3(1,2)=(4,6)-(3,6)=(1,0)；2A-3B的模为|2A-3B|=√(1²+0²)=√1=1；2A-3B的方向与x轴正方向平行，即与x轴的夹角为0°。

(完整版)平面向量知识点及方法总结范文总结范文

(完整版)平面向量知识点及方法总结范文总结范文1平面向量知识点小结及常用解题方法一、平面向量两个定理1.平面向量的基本定理2.共线向量定理。

二、平面向量的数量积r1.向量b在向量a上的投影：|b|co，它是一个实数，但不一定大于0.rrr「rr「r2.ab的几何意义：数量积ab等于a的模iai与b在a上的投影的积.三坐标运算：设a(某，y)，b(某2,y2)，则rr(1)向量的加减法运算：ab(某i某2,yiy2)，ab(某某,yy2)•(2)实数与向量的积：a(某,y)(某,y).uuLr(3)若A(某,y)，B(某2,y2)，则AB(某2某,y2y)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标(4)平面向量数量积：ab某某2yy2.(5)向量的模：ai2|a|2某2y2|a|■.某2y2.四、向量平行(共线)的充要条件rrrrrrrr2a//bab(b0)(ab)五、向量垂直的充要条件rrrrrrrabab0|ab||a、rrrr六・a(某,y1),b(某2,y2)copa,bf七、向量中一些常用的结论.三角形重心公式在厶ABC中，若A(某,y),B(某2,y2),C(某3,y3)，则重心坐标为G(_一，_竺_)•332.三角形“三心”的向量表示uuruuuuurr,“二、(1)GAGBGC0GABC的重心.uuruuuumuuuuuuum,“十、(2)PAPBPBPCPCPAPABC 的垂心•uuuuuuuuuuuuuuuuiuuuut(3)|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的内心；3•向量PA,皑Puu中三终点A,B,C共线存在实数，，使得PAPBPC且1.—fuur1uuuuuir4.在厶ABC中右D为BC边中点则AD(ABAC)uuuuuu5.与AB共线的单位向量是_uuu-|AB|(|a||b|)某1y2y某20.b|某1某2某1某22::-22■.某1Y1.-2Y22七•向量问题中常用的方法（一）基本结论的应用rrrrrrrrr5.平面向量ab(4,2),cmab(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m()A、2B、1C、1D、2uuur16.ABC中AN—uuuruuu2uuuuuuNC,P是BN上一点若APACmAB贝Vm=311ULTuuur2uiT2uuu2uuu2uuu27.o为ABC平面内一点，若oABCoBCAoCAB则o是ABC心■-BA-8.（2022课标I理）已知向量a,b的夹角为600,a2,b1，贝Ua2b______________PBPCP0BF0C则ADC900,AD2，BC1,p是腰DC上的动点,m=A.2B.3C.4D.53.设a、b都是非零向量，下列四个条件中，能使rr阜里成立的条件是（）|a||b|rrrrrrrrrrA、abB、a//bc、a2bD、a//b且|a||b|mu4.已知点A1,3,B4,1，则与向量AB同万向的单位向量为2•已知ABC 和点M满足MAMB+MC0•若存在实数m使得ABACmAM成立，则A•ABC900B•BAC90°C•ABACD.ACBC1•设点M是线段BC的中点，点A在直线BC 外,uur2BCuuuuuu16,ABACuuruuuuuuuABAC贝VAM(A)8(B)4(C)2(D)1uuu$-umruuu9.如图，在△ABC中，ADAB,BCJ；3BD,AD1，则(B込也/0uuurumrACAD=(A)2品(C)厂（D灵r123uuuuuu10.已知点A1,1.B1,2.C2,1D3,4,则向量AB在CD方向上的投影为A3転B.C.3佢D37152222（二）利用坐标法12.已知直角梯形ABCD中，AD//BC（二）利用投影定11设ABC.F0是边AB上一定点,满足F0B4AB，且对于边AB上任一点P，恒有3uuuuuuPA3PB的最小值为13.（2022课标II理）已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,uuuPAuuuuuur（PBPC）的最小值是（B.34C.-23D.114.15.向量问题基底化uuv在边长为1的正三角形ABC中，设BCuuuvuuv2BD,CA3CE则ADuuvBE（2022天津理）在ABC中，/A60,uuuuuAB3,AC2.若BD2DC,uuuuuuruuuAEACAB(uuuruuuR)，且ADAE4，则的值为16•见上第11题（四）数形结合代数问题几何化，几何问题代数化例题1.uuur1uuurABC中AN-NC,P是BN上一点若32.（2022课标I理）已知向量a,b的夹角为2uuurAC11600,|a2,|b|uuuAPiuumAB贝Vm=3、uuur如图，在△ABC中，ADAB,BCuuurBD,ADuuruuuruuurACAD=(A)23(B)出2(C)17.设向量a,b,c满足a=b=1,ag)=c,bc=600，则c的最大值等于A.2B.318.若a,b,c均为单位向量，且ab0,(A)21(ac)(B)1(C)C.(b22c)D.10，则|abc|的最大值为(D)219.已知a,b是单位向量，ag）0.若向量c满足|c1,则c的取值范围是A.,2-1,,,2+1B..2-1,,.2+2C.1,,,2+1D.1,,「2+220.已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|ab|,则下面结论正确的是（A）a//b（五）向量与解三角形(B)a丄b(C)(D)a+b=ab21.在△ABC中,AB=2,uuuruuuAC=3ABgBC=1则BC4uurur22.已知平面向量,,（围_______ULT23.锐角三角形ABC中oATU0,ULToBTUUUTUTuUTUU0）满足，，（0,0）1,与-夹角1200，求取值范UUUoC,A300若coBinCUJUABcoCACinBUr、2moA求m。

平面向量知识点总结

平面向量知识点总结平面向量是高中数学中的重要内容，也是数学中的基础知识之一。

它在几何、代数、物理等方面有着广泛的应用，因此对平面向量的理解和掌握是非常重要的。

接下来，我将对平面向量的基本概念、性质和运算进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

1. 平面向量的基本概念。

平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。

在平面直角坐标系中，平面向量可以表示为一个有序数对(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y 轴上的投影。

平面向量的模可以表示为|AB|，方向可以用角度或者方向角来表示。

2. 平面向量的性质。

平面向量具有以下性质：平行向量，如果两个向量的方向相同或者相反，则它们是平行向量。

相等向量，具有相同大小和方向的向量称为相等向量。

零向量，模为0的向量称为零向量，记作0。

共线向量，如果存在实数k，使得向量a=kb，则称向量a与b共线。

3. 平面向量的运算。

平面向量具有加法、数乘和数量积等运算。

加法，向量a和向量b的和记作a+b，其坐标分别相加。

数乘，实数k与向量a的数乘记作ka，其坐标分别乘以k。

数量积，向量a与向量b的数量积记作a·b，其大小为|a|·|b|·cosθ，其中θ为向量a和向量b的夹角。

4. 平面向量的应用。

平面向量在几何、代数和物理等方面有着广泛的应用。

几何，平面向量可以用来表示线段、向量共线、向量共面等几何性质。

代数，平面向量的运算可以用来解决代数方程组、向量方程等问题。

物理，平面向量可以用来表示力、速度、位移等物理量，并且可以进行运算和分解。

总结，平面向量是数学中的重要内容，它具有基本概念、性质和运算，应用广泛。

通过对平面向量的学习，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，提高数学解决问题的能力。

希望以上内容能够帮助大家更好地理解和掌握平面向量的知识点，欢迎大家在学习过程中多加练习，加深对平面向量的理解和运用。

平面向量知识点易错点归纳

§5.1 平面向量的概念及线性运算1．2.三角形法则3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 方法与技巧1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB →∥CD →且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；若AB →∥BC →，则A 、B 、C 三点共线．失误与防范1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.§5.2 平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 方法与技巧1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．平面向量共线的坐标表示 (1)两向量平行的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是a ＝λb ，这与x 1y 2－x 2y 1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同．(2)三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定．失误与防范1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.§5.3 平面向量的数量积1．平面向量的数量积已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是a·b ＝0，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是a·b ＝±|a||b|. 2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质 (1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ；(2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a·b ＝0； (3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|，a·a ＝a 2，|a |＝a·a ；(4)cos θ＝a·b|a||b|；(5)|a·b |__≤__|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a (交换律)；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 方法与技巧1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．2．求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．失误与防范1．(1)0与实数0的区别：0a ＝0≠0，a ＋(－a )＝0≠0，a ·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．2．a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a ⊥b .§5.4 平面向量的应用1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22 (θ为a 与b 的夹角)．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cos θ (θ为F与s的夹角)．3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．方法与技巧1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．3．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．失误与防范1．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价．2．注意向量共线和两直线平行的关系；两向量a，b夹角为锐角和a·b>0不等价.。

高中数学平面向量知识点总结及常见题型

高中数学平面向量知识点总结及常见题型平面向量一、向量的基本概念与基本运算1.向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。

向量一般用a、b、c等字母来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB（几何表示法）或a（坐标表示法）。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|或｜a｜。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，与任意向量平行。

③单位向量：模为1个单位长度的向量。

向量a为单位向量｜a｜＝1.④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上。

方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b。

由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。

相等向量经过平移后总可以重合，记为a b。

大小相等，方向相同(x1,y1)(x2,y2)x1x2，y1y2.2.向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。

设AB a，BC b，则a+b=AB BC=AC。

1）0＋a＝a；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD…+PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”。

3.向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。

零向量的相反向量仍是零向量。

关于相反向量有：（i）(a)=a；(ii) a+(a)=(a)+a=0.iii) 若向量a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0.向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

平面向量的应用与解题技巧

平面向量的应用与解题技巧在数学中，平面向量是一个重要的概念，它在多个领域中得到广泛的应用，并且有许多解题技巧可供我们学习和运用。

本文将介绍平面向量的基本概念及其应用，并探讨一些解题技巧，希望能为读者提供帮助。

1. 平面向量的基本概念平面向量可以用有向线段来表示，它具有大小和方向两个特征。

我们通常用字母加上一个箭头来表示平面向量，比如AB→表示由点A指向点B的向量。

平面向量的大小通常用它的模表示，记作|AB→|，可以通过勾股定理求得。

2. 平面向量的加法与减法平面向量的加法与减法是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量。

（1）加法：将两个向量的对应分量分别相加即可。

例如，对于向量A→(a，b)和向量B→(c，d)，它们的和为C→(a+c，b+d)。

这意味着我们可以将向量的加法转化为对应分量的数加法，简化计算过程。

（2）减法：将第二个向量的对应分量取相反数，然后进行向量的加法运算。

例如，向量A→(a，b)减去向量B→(c，d)得到的结果为A→-B→(a-c，b-d)。

3. 平面向量的数量积和向量积平面向量的数量积和向量积是向量的重要运算，它们在几何和物理问题中广泛应用。

（1）数量积：数量积又称为点积，表示为A→·B→，计算公式为A→·B→=|A→||B→|cosθ，其中θ为A→与B→之间的夹角。

数量积的结果是一个实数，它可以判断两个向量之间的夹角大小和它们的相互关系。

（2）向量积：向量积又称为叉积，表示为A→×B→，计算公式为A→×B→= |A→||B→|sinθn→，其中θ为A→与B→之间的夹角，n→为垂直于A→和B→所确定的向量。

向量积的结果是一个向量，它的方向垂直于A→和B→所在的平面，并遵循右手法则。

4. 平面向量的应用平面向量广泛应用于解决几何问题、物理问题和工程问题。

（1）几何问题：平面向量可以用来表示几何图形的性质，比如线段的垂直、平行、共线等关系。

高一的平面向量知识点归纳总结

高一的平面向量知识点归纳总结平面向量是数学中的一种重要概念，它具有方向和大小。

在高一数学学习中，平面向量是一个重要的知识点。

在这篇文章中，我将对高一平面向量的相关知识进行归纳总结，以帮助大家更好地理解和应用平面向量的概念。

一、平面向量的定义和表示方法平面向量是由有序的数对表示的。

我们通常用大写的字母加箭头表示平面向量，如AB→表示从点A到点B的平面向量。

平面向量的表示方法有坐标表示、单位向量表示和分解表示。

1. 坐标表示：假设A和B两点的坐标分别为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量AB→的坐标表示为(Δx, Δy)，其中Δx = x₂ - x₁，Δy = y₂ - y₁。

2. 单位向量表示：单位向量是长度为1的向量，表示方向而不考虑大小。

我们可以通过求出向量AB→的模长，然后将向量AB→除以它的模长，得到单位向量。

3. 分解表示：平面向量可以分解为两个分量，即横坐标和纵坐标的分量。

假设向量AB→的坐标表示为(Δx, Δy)，则向量AB→可以表示为AB→ = Δx * i + Δy * j，其中i和j分别表示x轴和y轴的单位向量。

二、平面向量的运算法则平面向量有加法、减法和数量乘法三种运算法则，这些法则可以帮助我们对平面向量进行运算和求解。

1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量相加，得到一个新的向量。

假设向量A→和向量B→的坐标表示分别为(Δx₁, Δy₁)和(Δx₂, Δy₂)，则向量A→ + B→的坐标表示为(Δx₁ + Δx₂, Δy₁+ Δy₂)。

2. 向量的减法：向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。

假设向量A→和向量B→的坐标表示分别为(Δx₁, Δy₁)和(Δx₂, Δy₂)，则向量A→ - B→的坐标表示为(Δx₁ - Δx₂, Δy₁ - Δy₂)。

3. 数量乘法：数量乘法是指将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。

假设向量A→的坐标表示为(Δx, Δy)，实数k，则数量乘积kA→的坐标表示为(kΔx, kΔy)。

平面向量的解题技巧

平面向量的解题技巧
平面向量的解题技巧主要包括以下几个方面：
1. 理解平面向量的性质：平面向量有大小和方向，可以进行加减法、数乘等运算。

理解平面向量的性质是解题的基础。

2. 建立坐标系：建立一个适当的坐标系，可以方便地表示平面向量的位置和方向。

通常可以选择直角坐标系或极坐标系。

3. 平面向量的表示方法：平面向量可以用坐标表示，也可以用向量表示。

在解题时，灵活选择适当的表示方法，使问题变得简化。

4. 平面向量的运算法则：平面向量可以进行向量的加法、减法和数乘运算。

根据运算法则，可以进行组合运算，简化计算过程。

5. 理解平面向量的几何意义：平面向量可以表示平移、旋转和缩放等几何变换。

在解题时，可以把平面向量与几何问题相联系，更好地理解和解决问题。

6. 利用向量的性质解题：平面向量具有一些特殊的性质，如平行、垂直、共线等。

在解题时，可以利用这些性质将问题转化为已知的条件，从而更好地解决问题。

总之，平面向量的解题技巧在于灵活运用向量的定义、表示、
运算法则和几何性质，以及适当选择合适的坐标系和表示方法，从而解决平面向量相关的问题。

平面向量的基本概念与运算知识点总结

平面向量的基本概念与运算知识点总结平面向量是研究平面运动的重要工具，具有方向和大小两个基本特征。

本文将对平面向量的基本概念和运算进行总结，帮助读者理解和掌握相关知识。

1. 平面向量的定义平面向量由有向线段表示，起点和终点分别称为向量的始点和终点。

向量通常用小写字母加箭头表示，如向量a表示为→a。

平面向量有两个基本属性：方向和大小。

方向由向量的方向夹角确定，大小由向量的长度表示。

2. 平面向量的表示方法平面向量可以用坐标表示，也可以用位置矢量表示。

在直角坐标系中，向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x轴上的投影，a₂表示向量在y轴上的投影。

位置矢量表示中，向量a的始点为原点O，终点为点A，表示为向量OA。

3. 平面向量的相等与相反两个向量相等，当且仅当它们的大小相等且方向相同。

两个向量的相反向量，大小相等但方向相反，用符号-→a表示。

4. 平面向量的加减运算平面向量的加法满足平行四边形法则，即将一个向量的起点和另一个向量的终点相连，得到一个新向量，表示两个向量的和。

向量的减法可以通过向量加上其相反向量得到。

5. 平面向量的数量积平面向量的数量积，也称为内积或点积，表示为a·b，是两个向量的长度之积与它们夹角的余弦值的乘积。

计算公式为a·b = |a| |b| cosθ。

其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，θ表示两个向量的夹角。

6. 平面向量的数量积的性质平面向量的数量积具有以下性质：- 交换律：a·b = b·a- 结合律：(ka)·b = k(a·b)- 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c7. 平面向量的夹角与垂直条件两个向量夹角的余弦值可以通过数量积的公式计算。

若两个向量的数量积为0，则它们互相垂直。

8. 平面向量的向量积平面向量的向量积，也称为叉积或外积，表示为a×b，是两个向量长度之积与它们夹角的正弦值的乘积，另外加上垂直于这两个向量所在平面的单位向量n。

掌握初中数学中的平面向量解题技巧

掌握初中数学中的平面向量解题技巧平面向量是初中数学中的一个重要内容，解题技巧的掌握对于学生来说显得尤为关键。

在本文中，我们将分享一些帮助学生掌握初中数学中平面向量解题技巧的方法。

一、平面向量的定义和基本性质平面向量是一个有大小和方向的有序数对，通常表示为箭头。

在平面向量的研究中，我们需要关注以下几个关键概念：1. 向量的表示方法：向量可以使用坐标表示法、分解表示法或单位向量表示法进行表示。

每种表示方法都有其特定的应用场景和计算思路。

2. 向量的加法与减法：向量的加法与减法规律是平面向量的基本性质。

通过理解与运用这些规律，可以简化题目的计算过程。

3. 向量的数量乘法：向量的数量乘法包括正数乘法和零向量的乘法。

这些操作能够对向量的大小和方向产生影响，需要注意运算法则。

二、平面向量的应用领域平面向量解题技巧在初中数学中广泛应用于以下几个领域：1. 向量的平行与垂直关系：通过向量的点积和叉积，可以判断两个向量之间的平行关系或垂直关系。

这种技巧在解决几何问题时尤为常见。

2. 向量的共线与共面关系：通过向量的线性运算和共面性质，可以判断多个向量之间的共线关系或共面关系。

这种技巧在解决多个向量同时出现的问题时非常有效。

3. 向量的位移与坐标计算：通过向量的位移计算和坐标运算，可以求解物体在平面上的运动问题。

这种技巧在解决位移、速度和加速度等物理问题时被广泛应用。

三、平面向量解题技巧的实例分析为了更好地理解和应用平面向量解题技巧，以下是几个实际问题的解析：1. 平面向量的加法与减法：已知向量A和向量B的坐标分别为(A1,A2)和(B1,B2)，则向量A加向量B的结果为(A1+B1, A2+B2)。

根据这个规律，我们可以解决诸如平行四边形对角线相等问题等。

2. 平面向量垂直关系的判断：已知向量A的坐标为(A1, A2)，如果A1×A2=0，则向量A与坐标轴正方向垂直。

这个技巧常在解决两条线段是否垂直或平行的问题时使用。