2018年考研数学二试题及答案解析

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
（1）21
20
lim()1,x x x e ax bx →++=若则（）(A)112a b ==-，(B)1,12a b =-=-(C)1,12
a b ==(D)1
,12a b =-=【答案】（B ）【解析】22001
2lim lim 2=x x x x e ax bx e
ax b
x x
e e →→++-++=原式00122lim lim 220101
=1
1
.
2x
x x x e ax
e a x b e e a →→-++=-===-因为分母的极限是为，要使此极限等于常数，则分子的极限比为，则则原式所以（2）下列函数中，在0x =处不可导的是（）
(A)()sin f x x x =(B)(
)f x x =(C)()cos f x x =(D)(
)f x =【答案】（D ）
【解析】根据导数的定义：
（A ）00sin lim lim 0,x x x x x x
x x →→⋅==可导；
（B
）00lim 0,x x →→==可导；
（C ）2
001cos 12lim lim 0,x x x
x x x →→--==可导；
（D
）00012
2
lim lim ,x x x x
x x →→→-==极限不存在，
故选D 。

（3）2,1
1,0(),(),10,()()1,0,0
ax x x f x g x x x f x g x R x x b x -≤-⎧-<⎧⎪==-<<+⎨⎨≥⎩⎪-≥⎩设函数若在上连续，则（
）
(A)3,1a b ==(B)3,2
a b ==(C)3,1a b =-=(D)3,2
a b =-=
【解析】10121()()()11010(1)1(0)1lim ()2lim ()1x x ax x F x f x g x x x x b x F a F b
F x F x a a b b +
+→-→-+-≤-⎧⎪=+=-+-<<⎨⎪-+≥⎩
-=+=-=-=-令因为函数连续，故极限值等于函数值1+=-2
=-31-=-1=2
（4）10()[0,1]()0,f x f x dx =⎰设函数在上二阶可导，且则（）(A)1
()0,(0
2f x f '<<当时(B)1()0,(0
2f x f ''<<当时(C)1()0,()02f x f '><当时(D)1()0,()02f x f ''><当时【答案】（D ）【解析】
2111()11()()()(,2222!22f f x f f x x x ξξ'''=+-+-介于之间，故1111220000120111()11()10=()()(((2222!222!2
()11()0()0,(0..2!22
f f f x dx f f x dx x dx f x dx f f x x dx f D ξξξ'''''=+-+-=+-''''>⇒-><⎰⎰⎰⎰⎰由于所以，应选（5）设(
)(2222222211,,1,1x x x M dx N dx K dx x e π
π
ππππ---++===++⎰⎰⎰则（）(A)M N K
>>(B)M K N >>(C)K M N
>>(D)K N M
>>【答案】（C）【解析】
22222222222(1)122=(1.111x x x x M dx dx dx x x x πππππππ---+++==+=+++⎰⎰⎰22222
111(0)11x x x x x e x N dx dx M e e πππππ--+++<≠⇒<⇒=<=<⎰
⎰2222=11K dx dx M
π
ππππ-->==⎰⎰（,K M N >>故应选C 。

（6）
22021210(1)(1)x x x x dx xy dy dx xy dy -----+-=⎰⎰⎰⎰（）(A)5
3(B)5
6(C)7
3(D)7
6
【解析】因为积分区域关于
y 轴对称，考虑被积函数中xy 是关于x 的奇函数，1是关于x
的偶函数，利用二重积分的奇偶性化简得：()21207=112.3x x D D
xy dxdy dxdy dx dx -⎡⎤-===⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰原积分（7）下列矩阵中与矩阵110011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
相似的为（）(A)111011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
(B)101011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C)111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
(D)101010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
【答案】（A ）【解析】3110110011011=0001001J E J λλλλλ--⎛⎫ ⎪=-=--= ⎪ ⎪-⎝⎭
令，则特征值（-1），123===1.
λλλ则特征值为010=1001) 2.000E J r E J λ-⎛⎫ ⎪-=--= ⎪ ⎪⎝⎭
当时，，可知（()3123111111=01101110===1.001001A A E A λλλλλλλλ---⎛⎫
⎪-=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭
选项，令，则由解得()011=1=001 2.000E A e E A λ-⎛⎫ ⎪---= ⎪ ⎪⎝⎭
此时当时，，可知101=0111,1,1.=1) 1.001B B B r E B λ-⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭
选项，令，则同理显然可知矩阵所有的特征值为当时，（101=0111,1,1.=1) 1.001C C r E C λ-⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭
C选项，令，则同理显然可知矩阵所有的特征值为当时，（101=0111,1,1.=1) 1.D D D r E D λ-⎛⎫ ⎪-= ⎪选项，令，则同理显然可知矩阵所有的特征值为当时，（
E A E J --由于矩阵相似，则相关矩阵与也相似，则r(E-A)=r(E-J).可知答案选A 。

（8）()(),,A B n r X X X Y 设为阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，
则（）(A)()()
,r A AB r A =(B)()(),r A BA r A =(C)()()()
{},max ,r A B r A r B =(D)()(),T T r A B r A B =【答案】（A）
【解析】(,)(,)().
C AB C A r A C r A AB r A ===设，则可知的列向量可以由的列向量线性表示，则二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.
（9）2
lim [arctan(1)arctan ]x x x x →+∞+-=【答案】1
【解析】()2lim arctan 1arctan x x x x →+∞
+-⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()()2
2233222232234
22222arctan 1arctan =lim 1
11111lim 111=lim 21111111lim 211112lim 2111121lim 211111x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞+--+++=-⎛⎫- ⎪ ⎪+++⎝⎭
⎡⎤++-+⎣
⎦=⎡⎤+++⎣⎦
+=⎡⎤+++⎣⎦
+=⎡⎛⎫⎛⎫+++⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎣122
1
⎤⎥⎥⎦
=⨯=（10）22ln y x x =+曲线在其拐点处的切线方程是
【答案】43
y x =-【解析】2
2y x x
'=-
()2222=01,1,(1)1,1(1)224
14(1),43
y x x x x
y y x y x ''=-
⇒===-'=+=-=-=-舍拐点切线方程：即（11）25
143
dx x x +∞
=-+⎰【答案】1ln 22【解析】255511111(()43(1)(3)213
dx dx dx x x x x x x +∞
+∞+∞==---+----⎰⎰⎰[]5
5111=()ln(1)ln(3)()(ln )223141()(0ln )ln 2222
x x x x +∞+∞-----==--=--= （12）33cos 4sin x t t y t
π⎧==⎨=⎩曲线，在对应点处的曲率为【答案】
2
3【解析】2211sin 3sin cos tan 3cos (sin )cos dy dy t t t t dx dx dt t t t dt
==⋅==-
-22222242244332222()1sec 1(sec cos 3cos (sin )3cos sin 3cos sin 1,463
)2224422333(1)(1(1))
t t d dy d y d dy t dt dx t t dx dx dx dx t t t t t t dt dy d y t dx dx y K y ππ
π=====-⋅==⋅-⋅==-=''
==='++-时，（13）()1,ln ,1(2,)2
z z z x y z e xy x -∂=+==∂设函数由方程确定则【答案】14【解析】112,ln ,12
z x y z e xy z -==+==将代入得到x 两边对求偏导，得到11z z z -∂∂。