第四章 矩阵的分解
矩阵分解总结 -回复
矩阵分解总结-回复矩阵分解总结:1. 什么是矩阵分解矩阵分解是将一个矩阵拆解成若干个子矩阵的过程。
通过分解矩阵，我们可以更好地理解矩阵的性质和结构，从而简化矩阵的计算和应用过程。
常见的矩阵分解方法包括LU分解、QR分解、奇异值分解(SVD)和特征值分解等。
2. LU分解LU分解是将一个矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积的过程。
LU分解的主要应用是求解线性方程组和矩阵的逆。
通过LU分解，我们可以将线性方程组的求解过程简化为两个方程组的求解，从而提高计算效率。
3. QR分解QR分解是将一个矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的乘积的过程。
QR分解的主要应用是求解最小二乘问题和计算矩阵的特征值。
通过QR分解，我们可以将最小二乘问题转化为最小化上三角矩阵R的问题，从而简化求解过程。
4. 奇异值分解(SVD)奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积的过程，即将矩阵A分解为U、Σ和V的乘积。
其中，U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵。
SVD 的主要应用是降维和推荐系统。
通过SVD，我们可以将高维矩阵降低到低维空间，从而简化计算和提高推荐系统的准确性。
5. 特征值分解特征值分解是将一个方阵分解为特征向量和特征值的乘积的过程。
特征值分解的主要应用是计算矩阵的幂和对角化。
通过特征值分解，我们可以将矩阵的幂运算简化为特征值的幂运算，从而提高计算效率和准确性。
总结：矩阵分解是一种将矩阵拆解为更简单结构的方法，可以简化矩阵的计算和应用过程。
不同的矩阵分解方法适用于不同的应用场景，如LU分解适用于线性方程组的求解，QR分解适用于最小二乘问题的求解，SVD适用于降维和推荐系统，特征值分解适用于幂运算和对角化。
矩阵分解在数学、工程、计算机科学等领域有着广泛的应用，对于提高计算效率和准确性起到了重要的作用。
矩阵分析引论第四版课后练习题含答案
矩阵分析引论第四版课后练习题含答案简介《矩阵分析引论》是矩阵分析领域的经典教材之一，已经发行了四个版本。
该书主要以线性代数、矩阵理论和应用为主要内容，重点介绍了矩阵分析的基本概念、原理和应用。
本文主要介绍该书第四版中的课后练习题及其答案。
提供的资料本文为矩阵分析引论第四版课后练习题及其答案，包含了第一章到第五章的所有习题和答案。
其中，习题从简单到复杂，大部分习题都有详细的解答过程和答案。
内容概述第一章引言第一章主要介绍了矩阵分析的历史和基本概念、性质、符号等。
本章习题主要涉及了矩阵、向量、矩阵运算等基本概念和性质。
第二章基本概念和变换第二章主要介绍了线性变换的基本概念和性质，以及线性代数中的一些重要定理和定理的证明。
本章习题主要涉及了线性变换、矩阵的秩和标准型、特征值和特征向量等内容。
第三章矩阵运算第三章主要介绍了矩阵运算的基本概念和性质，包括矩阵乘法、逆矩阵、行列式等。
本章习题主要涉及矩阵运算的基本操作和应用。
第四章矩阵分解第四章主要介绍了矩阵分解的基本概念和应用，包括特征值分解、奇异值分解、QR分解等。
本章习题主要涉及了矩阵特征值和特征向量、矩阵的奇异值分解等内容。
第五章线性方程组和特征值问题第五章主要介绍了解线性方程组和求特征值的方法，包括高斯消元法、LU分解、带状矩阵、雅可比迭代等。
本章习题主要涉及了线性方程组的解法、矩阵的特征值问题等内容。
结语本文介绍了矩阵分析引论第四版课后练习题及其答案。
对于学习矩阵分析的同学，课后习题是一个非常重要的练习和提升自己能力的途径。
本文所提供的习题和答案可以帮助读者巩固和提高自己的矩阵分析能力。
同时，本文也希望能够帮助更多的人学习矩阵分析，并成为矩阵分析领域的专家。
矩阵分析第4章课件
矩阵满秩分解不唯一;但同一矩阵的两个满
秩分解的因式矩阵之间存在密切的关系( 见P153,定理4.1.2).
ACrmn r=rank A min{m,n} A的秩等于它的行秩、列秩或行列式秩。A的行( 列)秩是它的最大线性无关组的行(列)数；A 的行列式秩是它的非0子式的最大阶数。 A=BC rank A rank B & rank A rank C
1
初等变换与初等矩阵性质
①3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). ②将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变
换等价于左(右)乘A以可逆矩阵Pr,…,P1(P1,…,Pr).
③可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的 行(列)是A的行(列)的任意排列.可适当选第三类 初等矩阵P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j) 元变为0.可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k 使P(i(k))A的非零(i,i)元变为1.综合起来推出: Er 0 存在初等矩阵的乘积P和Q,使 PAQ= 0 0 m n 其中r=rank A.一般地,ACr 都 Er 0 存在m,n阶可逆阵P和Q使 PAQ=
a11 a1n AB ann
b11 b1n a11b11 * bnn annbnn
a11 a1n 1/ a11 * 1 1 A , aii 0 det A 0 A det A a 1/ a nn nn
1 C11 1 2 C21 1 C22 2 n Cn1 1 Cn 2 2 ... Cnn n
武汉大学《现代控制理论》数学知识回顾 第四章 矩阵的范数-特征值矩阵分解法
现代控制理论讲义第四章矩阵范数和奇异值分解4.1 引言在这一讲中，我们将引入矩阵范数的概念。
之后会介绍矩阵的奇异值分解或者叫SVD。
SVD 揭示了矩阵的2范数，它的值意义更大：它使一大类矩阵扰动问题得以解决，同时也为后面稳定鲁棒性的概念打下基础；它还解决了所谓的完全最小二乘问题，该问题是我们前面讲的最小二乘问题的推广；还帮我们澄清在矩阵求逆计算中碰到的态性的概念。
在下一讲中，我们会花更大的篇幅来叙说SVD的应用。
例 4.1 为了提高大家对矩阵范数研究和应用的兴趣，我们首先从一个例子开始，该例子提出了与矩阵求逆有关的矩阵态性问题。
我们所感兴趣的问题是矩阵求逆对矩阵扰动的敏感程度。
考虑求下列矩阵的逆马上就可以求得现在我们假设对一个受到扰动的矩阵求逆求逆后，结果就成了在这里表示A中的扰动，表示中的扰动。
显然中一项的变化会导致中的变化。
如果我们解，其中，得到，加入扰动后，解得。
在这个结果中，我们仍然可以清楚的看到开始数据仅有的变化，却导致解产生的变化。
以上例子中我们看到的要比在标量情况下差的多。
如果是标量，那么，所以的倒数中小数部分的变化和的变化在同一量级上。
因此，在上例中的现象完全是在矩阵的时候才出现的。
看上去好像和是近似奇异的事实有关——因为它的列几乎不独立，且它的行列式值要比它的最大元素小很多，等等。
随后（见下一讲），我们会找到衡量奇异程度的合理方法，同时还要说明在求逆情况下，这种方法和灵敏度的关系如何。
在理解这种灵敏度和扰动的细节关系之前，我们首先要找到度量向量和矩阵量级的方法。
在第一讲中我们已经引入了向量范数的概念，所以我们现在来看一下矩阵范数的定义。
4.2 矩阵范数一个维复数矩阵可以看成（有限维）赋范向量空间中的一个算子：其中，这里的范数指的是标准欧氏范数。
定义的归纳2-范数如下：术语“归纳”是指在向量和的范数的基础上，使得以上矩阵范数的定义有意义。
该定义中，归纳范数表示矩阵在中单位圆上向量扩大的倍数，也就是说，它表示矩阵的增益。
矩阵分析第四章.
将上两式代入BC = B1C1，得： B1(θ1θ2)C1 = B1C1 因此有: B1HB1(θ1θ2)C1C1H = B1HB1C1C1H 其中B1HB1, C1C1H都是可逆矩阵, 因此 θ 1θ 2 = E ⇒ θ 2 = θ 1− 1 (2) 将(1)的结果代入CH(CCH)−1(BHB)−1BH即可得到.
第四章 矩阵分解 矩阵分解
第一节 矩阵的满秩分解
定理：设 定理 ：设A∈Crm×n, 则∃B∈Crm×r, C∈Crr×n使 A = BC 证明：设 证明 ：设A的前r个列线性无关, 则∃P∈Cmm×m, 使
⇒
Er D PA = (即对A做初等行变换 ) 0 0 D −1 E r −1 E r A=P 0 0 =P 0 (E r D ) = BC
−1
Er m× r r×n ( ) 其中 : B = P ∈ C , C = E D ∈ C r r r 0
若A的前r个列线性相关, 则∃P∈Cmm×m, Q∈Cnn×n使
D −1 E r −1 ( ) ⇒ A = P E D Q = BC r 0 0 −1 E r m× r −1 r ×n ( ) 其中 : B = P ∈ C , C = E D Q ∈ C r r r 0
2 2 1 2
1 3 0 − 1 / 3 10 / 3 r ←r − 2r → 0 0 1 2 / 3 1 / 3 0 0 0 0 0
1 1 2
取第1列和第3列构成E2, 则B由A的第1列和第3列构成, 即
1 2 B = 2 1 , 3 3
⇒
′ k11 A = (α 1 , α 2 , L, α r ) = (ν 1 , ν 2 , L, ν r )
矩阵分析引论--第四章--矩阵的奇异值分解-向量范数、向量范数
n
定义 E
xi2 .
证明
a,
都与
b
E 等价.
i 1
利用 a
x11 xn n
( x1 ,, xn )连续，
在单位球面
S
y
(
y1 ,,
yn
n
)
i 1
yi2
1
上
取得最大值M与最小值m.
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第四章第一二节 向量范数、矩阵范数
第二节 矩阵范数
定义4-2 设A P nn ,定义非负实数 A， 满足下列条件: (1) 正定性：当A 0时，A 0; (2) 齐次性：kA k A (k P); (3) 三角不等式： A B A B . (4) AB A B . 则称非负实数||A||为n×n方阵的范数.
则称非负实数||||为向量 的范数.
此时称线性空间V 为线性赋范空间.
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第四章第一二节 向量范数、矩阵范数
设V是内积空间， V ,定义： ( , ),
则 • 是V上的一个范数，称为由内积引出的范数.
向量范数的性质：
P124, 1
(1) 0 0 ;
(2) 0时， 1 1 ;
A F
n
2
aij
tr( AH A）
i , j1
是与 2相容的方阵范数. 称为 F 范数.
注：当U为酉矩阵时，有
F范数的优点
A的酉相似矩阵的F 范数相同.
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第四章第一二节 向量范数、矩阵范数
常用的矩阵范数
n
(1)
A
1
max
1 jn i 1
aij
矩阵分解(第四章)
（3）求U矩阵，令V的前r列为V1，U1=AV1Σ-1*构造U2（使U2HU1=0），即设U1Hx=0,x即为U2，U=｛U1，U2｝
【*这个公式可以这样记：A=UΣVH→U=AV（H）-1Σ-1=AV（酉矩阵性质）Σ-1】
【* 即在gik的所在处画一条竖线和一条横线，gik的i行所有元素从1至i-1分别乘以第k列的元素取共轭的值。】
2
1，A为n阶方阵，A=QR，Q为n阶酉矩阵，R为n阶上三角矩阵。
2，任意n阶方阵都可以作QR分解。
3，QR分解过程：将A施密特正交化
P1=a1
P2=a2 - P1=a2 -λ21P1
P3=a3 - P1 - P2=a3 -λ31P1-λ32P2
矩阵分解
1，
1，Doolittleห้องสมุดไป่ตู้解；
A=LR，其中L为单位下三角矩阵，R为上三角矩阵
【先行后列】
2，Crout分解：
A=LR，其中L为下三角矩阵，R为单位上三角矩阵
【先列后行】
3，LDR分解：
L为单位下三角矩阵，D为对角阵，R为单位下三角矩阵。
【数值分析常用】
4，Cholesky分解：
设A∈Cn×n是Hermite正定矩阵，则存在下三角矩阵G∈Cn×n，使得A=GGH。
通式Pn= an-Σk=1n-1Pk
【注，此处课本的写法为a2= p2 +λ21P1，…，λ的取值一样】
ei=Pi/ ; 二范数，模长。
Q= ，R=
3
1，A∈ ，若A可分解为A=FG，其中F为 ，G为 ，则称之为满秩分解。
2，[A丨I]→[PA丨P]→ 该过程为按行变换化为阶梯型，故PA=｛ ｝→A=P-1｛ ｝
矩阵分析第四章.
B1(θ1θ2)C1 = B1C1
因此有:
B1HB1(θ1θ2)C1C1H = B1HB1C1C1H
其中B1HB1, C1C1H都是可逆矩阵, 因此
θ1θ2 = E ⇒ θ2 = θ1−1
(2) 将(1)的结果代入CH(CCH)−1(BHB)−1BH即可得到.
第二节 矩阵的正交三角分解(UR, QR分解)
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 3 0 −1/ 3 10 / 3
r1←r1 −2r2 → 0 0 1 2 / 3 1/ 3
0 0 0 0
0
取第1列和第3列构成E2, 则B由A的第1列和第3列构成, 即
1 2 B = 2 1,
3 3
而C就是变换后的前2行，即
C
=
1 0
3 0
β1 k β 21 1
+
β
2
Lα3L=Lk31β1 + k32β2 + β3
α r = kr1β1 + kr2 β2 + L + kr,r−1βr−1 + βr
并设 ν1 =|| β1 ||−1 β1,ν 2 =|| β2 ||−1 β2 , L,ν r =|| βr ||−1 βr , 则:
α1 = k1′1ν1 α 2 = k2′1ν1 + k2′2ν 2 α3 = k3′1ν1 + k3′2ν 2 + k3′3ν 3
A = U1RLU2.
证明: 自己练习
− 2 1 − 2
例1：求矩阵A的UR分解, 其中
1 1 1
A=
1 1
−1 −1
0 1
解：设A = (α1, α2, α3), 用Schmidt方法将α1, α2, α3标准正交
高等代数课件北大版第四章矩阵
高等代数课件(北大版)第四章矩阵第一节：矩阵的概念及基本运算矩阵是现代数学的重要基础，是线性代数理论的核心概念之一。
在数学和应用领域有着重要的应用价值。
1.1 矩阵的定义定义1.1：矩阵是一个有规律的数表，其中的每一个数称为矩阵的一个元素，通常用一个大写字母表示。
例如:$$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$$其中 $a_{ij}$ 称为矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素。
1.2 矩阵的基本运算1.2.1 矩阵的加法定义1.2：设 $A=(a_{ij})_{m \times n},B=(b_{ij})_{m \times n}$，则其和 $C=A+B$ 定义为矩阵 $C$ 的元素为 $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$。
例如：$$A=\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\7 & 8 & 9\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}-1 & -2 & -3 \\-4 & -5 & -6 \\-7 & -8 & -9\end{pmatrix},$$则 $C=A+B$ 得：$$C=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$1.2.2 矩阵的数乘定义1.3：设 $A=(a_{ij})_{m \times n}$，$k \in K$，则矩阵 $kA$ 定义为矩阵 $kA$ 的元素为 $ka_{ij}$。
矩阵理论第四章
1. Hermite 矩阵的谱分解
设 A 为 Hermite 矩阵，则存在酉矩阵 U ，使
1
O
U H AU
2
.
O
n
将U 写成列向量形式，即U u1 u2 ... un ，则
2. 非奇异矩阵的酉对角分解
定理 5.5.1 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 则存在 n 阶酉矩阵U 及V ，使得
A( 2 )
L-21A(1 )
0
a( 0 ) 12
a( 1 ) 22
0
a( 0 ) 13
a( 1 ) 23
a( 2 ) 33
a( 2 ) n3
a( 0 1n
a(1 2n
) )
a( 2 3n
)
a( 2 nn
)
即 A(1) L2 A( 2 )
依此类推，进行到第(r-1)步，则可得到
则
A
的
r
阶顺序主子式 r
于是
A
P1
E 0
mr
E
0 Q1. rn
记
P
1
E 0
F
,E
0Q1 G.
则 F 为列满秩矩阵， G 为行满秩矩阵,得
A FG .
证毕
显然,满秩分解是不唯一的.
事实上 D Crrr （ r 阶可逆方阵），
则 A FG F (DD-1)G (FD)(D-1G) F1G1，
且 F1 Crmr ,G1 Crrn .
第四章 矩阵分解
所谓矩阵分解，就是将一个矩阵写 成结构比较简单的或性质比较熟悉 的另一些矩阵的乘积．
即可将 A0 第 1 列上从第 2 到第 n 个元素全化为零．
得
a(0) 11
第4章 矩阵分解-1
3 1 2
H2H1A
0
1
1
R
0
0
0
矩阵分析简明教程
Q
H
H 1
21
1 3
1
2 2
2 1 2
2
2 1
所求的QR分解为
A QR
8
0 1 1
矩阵分析简明教程
1 5
x1 2x2 x3 5x2 3x3
0 1
12 5
x3
4 5
(
5 12
)
3 5
x1
2x2 x2
1 3 0
x3
1 3
(2)
x1 x2
1 3 0
x3 1 3
(II )
矩阵分析简明教程
用矩阵形式表示，系数矩阵
1 2 1 r12 (3) 1 2 1
角方阵 R ，使得
A QR
当 m = n 时 ，Q 就 是 酉 矩 阵 或 正 交 矩 阵 。
矩阵分析简明教程
例 1 将下列矩阵进行QR分解：
1 2 2
A
1 0
0 1
2 1
4
矩阵分析简明教程
解： 1 (1,1，0, )T， 1 1 (1,1，0)T
1
||
1 1
||
1 (1,1, 0)T 2
定理4.2.3 设 e1 1, 0,, 0T C n ,
x1 , x2 ,, xn T C n , 0
令
x1
x1 ,
,
x1
0 ，u
e1
x1 0
e1
H E 2uuH是n 阶Householder矩阵，且
H -e1
矩阵分析简明教程
定理4.2.4（QR分解）设 A为 任 一 n 阶 矩 阵 则必存在 n 阶酉矩阵 Q 和 n 阶上三角方
第四章 正规矩阵与矩阵的分解
第一节 正规矩阵【Schur 三角化定理】设n nA ⨯∈，则存在酉矩阵U ，使*U AU B =，其中B 为一个上三角矩阵.【酉矩阵】n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基.1H H H n U U UU E U U -==⇔=性质：设有矩阵A ，B ，则（1）若A 是酉矩阵，则1A -也是酉矩阵；（2）若A ，B 是酉矩阵，则AB 及BA 也是酉矩阵；（3）若A 是酉矩阵，则|det()|1A =；（4）A 是酉矩阵⇔A 的n 个列向量是两两正交的单位向量. 【定理4.1.1】矩阵A 可以酉对角化⇔**AA A A =.*U AU T =是上三角矩阵，*********()()AA UTU UTU UTU UT U UTT U === *********()()A A UTU UTU UT U UTU UT TU ===，故****A A AA T T TT =⇔=A 可以酉对角化，则∃酉矩阵U 使*U AU D =***************()()()()AA U DU U DU U DUU D U U DD UU D DU U DU U DU A A ======【定义4.1.1】设n nA ⨯∈，若**AA A A =，则称A 是正规矩阵.【引理4.1.1】设A 为正规矩阵，若A 又为三角矩阵，则A 为对角矩阵. 【定理4.1.2】设n nA ⨯∈，则A 为正规矩阵⇔A 有n 个两两正交的单位特征向量.【推论4.1.1】正规矩阵属于不同特征值的特征向量是两两正交的.【定理4.1.3】设()i j n n A a ⨯=是复矩阵，1λ，2λ，……，n λ为A 的n 个特征值，则 （1）（Schur 不等式）221,1||||n nii ji i j aλ==≤∑∑（2）A 为正规矩阵⇔221,1||||nni i j i i j a λ===∑∑（3）*2,,1tr()||ni ji j AA a==∑【推论】设A 为正规矩阵且幂零，则0A =.【定义4.1.2】设a 与b 是实数，且0b ≠，则称二阶实矩阵a b b a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭为一个Schur 型. 【定理4.1.4】（实正规矩阵）设A 是n 阶实矩阵，则A 是正规矩阵⇔存在正交矩阵Q 使得12T s Q AQ A A A =⊕⊕⊕其中每个i A 或者是一阶实矩阵，或者是一个Schur 型. 【推论4.1.2】设A 是n 阶实矩阵.（1）A 是对称矩阵⇔存在正交矩阵Q ，使得T Q AQ 是对角矩阵； （2）A 是反对称矩阵⇔存在正交矩阵Q ，使得120T s Q AQ A A A =⊕⊕⊕⊕其中每个00i i i b A b ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，从而反对称矩阵的非零特征值为纯虚数；（3）A 是正交矩阵⇔存在正交矩阵Q ，使得12()T s t s Q AQ I I A A A =⊕-⊕⊕⊕⊕其中每个i A 是二阶Givens 旋转矩阵，从而正交矩阵的特征值的模均为1. 设B 是n 阶复矩阵.（4）B 是Hermite 矩阵⇔存在正交矩阵U ，使得T U BU 是实对角矩阵； （5）B 是反Hermite 矩阵⇔存在正交矩阵U ，使得T U BU 是纯虚数对角矩阵（即实部为0）；（6）B 是酉矩阵⇔存在酉矩阵U ，使得T U BU 是对角元素的模均为1的对角矩阵，从而酉矩阵的特征值的模均为1；（7）Hermite 矩阵A 正定⇔A 的所有顺序主子式均大于0； 【引理4.1.2】Hermite 阵或实对称矩阵A 在某一个k 维子空间上正定⇔A 至少有k 个特征值（包括重数）大于零.第二节 正规矩阵的谱分解设A 是正规矩阵，则由定理4.1.1知，存在酉矩阵U 使得*12(,,,)n U AU diag λλλ=.因而*12(,,,)n A Udiag U λλλ=.令12(,,,)n U ααα=，则12*1*212****111222(,,,)n n n n n nA αλλααααλαλααλααλαα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+++ （4.2.1）由于12,,,n λλλ为A 的特征值，12,,,n ααα为A 对应的两两正交的单位特征向量，故式（4.2.1）称为正规矩阵A 的谱分解或特征（值）分解。
矩阵分解公式
矩阵分解公式摘要：一、矩阵分解公式简介1.矩阵分解的定义2.矩阵分解的意义二、矩阵分解的几种方法1.奇异值分解（SVD）2.谱分解（eigenvalue decomposition）3.非负矩阵分解（NMF）三、矩阵分解在实际应用中的案例1.图像处理2.信号处理3.数据降维四、矩阵分解的发展趋势和挑战1.高维数据的处理2.矩阵分解算法的优化3.新型矩阵分解方法的研究正文：矩阵分解公式是线性代数中一个重要的概念，它涉及到矩阵的诸多操作，如矩阵的乘法、求逆、迹等。
矩阵分解的意义在于将一个复杂的矩阵简化为易于处理的形式，从而便于进行矩阵运算和数据分析。
本文将介绍几种常见的矩阵分解方法，并探讨它们在实际应用中的案例和发展趋势。
首先，我们来了解一下矩阵分解的定义。
设A是一个m×n的矩阵，矩阵分解就是将A表示为若干个矩阵的乘积，即A = UΣV*，其中U是m×m的酉矩阵（满足UU* = I），Σ是m×n的非负实对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值，V是n×n的酉矩阵（满足VV* = I），V*是V的共轭转置。
通过矩阵分解，我们可以得到矩阵A的秩、奇异值、特征值等信息。
矩阵分解有多种方法，其中较为常见的有奇异值分解（SVD）、谱分解（eigenvalue decomposition）和非负矩阵分解（NMF）。
奇异值分解是将矩阵A分解为三个矩阵的乘积：UΣV*，其中U和V是酉矩阵，Σ是对角矩阵。
谱分解是将矩阵A分解为两个矩阵的乘积：A = UΣV*，其中U和V是酉矩阵，Σ是对角矩阵，对角线上的元素是矩阵A的特征值。
非负矩阵分解是将矩阵A分解为两个非负矩阵的乘积：A = WH，其中W和H都是非负矩阵。
矩阵分解在实际应用中有着广泛的应用，尤其在图像处理、信号处理和数据降维等领域。
在图像处理中，矩阵分解可以用于图像压缩、去噪和特征提取等任务。
在信号处理中，矩阵分解可以用于信号降噪、特征提取和频谱分析等任务。
04南航戴华矩阵论第四章l矩阵的因子分解
定理4.3.2（LDU分解定理）设A是n阶非奇异矩阵,
则存在唯一的单位下三角矩阵L，对角矩阵
D=diag(d1, d2,…,dn )和单位上三角矩阵U使得
A LDU
的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零，即
k 0 (i 1, , n 1) ，并且
上（下）三角矩阵的性质
• 什么是矩阵的LU分解？ • 矩阵的LU分解是否存在？如果存在， LU分解
是否唯一？ • 如何计算矩阵的LU分解？ • LU分解有什么应用？
Hale Waihona Puke 定理4.3.1（LU分解定理）设 A 是 n 阶非奇异矩 阵，则 存在唯一的单位下三角矩阵L和上三角矩 阵U使得
A LU
的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零, 即
其中 . vHu 1
(4.1.2)
(3) 对任意非零向量 a,b C n ,可适当选取 u, v和使得
E(u,v, )a b
(4.1.3)
4.1.2 初等下三角矩阵
令u li (0,,0,li1,i ,,lni )T ,v ei , 1，则
Li Li (li ) E(li , ei ,1)
取u = v = w, σ=2，并且w是单位向量，即
||w|| =1，初等矩阵
H (w) E(w, w,2) I 2wwH
(4.1.7)
称为Householder矩阵或初等Hermite矩阵。
定理4.1.2 Householder矩阵H(w)具有如下性质：
(1) det(H (w)) 1;
E(u, v, ) I uvH
(4.1.1)
称为初等矩阵.
第四章正规矩阵与矩阵的分解
第一节 正规矩阵
由 Schur 三角化定理, 任何一个矩阵都可以酉三角化, 因此一个“好矩阵”当能够酉对角 化. 但是以往判断一个矩阵能否 (酉) 对角化需要借助于特征值与特征向量, 这是极其不方便 的, 因为我们知道寻找矩阵的特征值与特征向量常常是极为困难的工作. 本节的目的即是给出 一类可以酉对角化的“好矩阵”一个直接的判断, 即下述
第四章 正规矩阵与矩阵的分解
除特别说明, 本章讨论的矩阵都是复数矩阵.
引 言 矩阵如何快速计算?
在第一章中, 我们已经看到如果将一个小秩矩阵分解为两个满秩矩阵的乘积, 则可以
快速地计算该矩阵的高次幂. 实际上, 利用初等变换求可逆矩阵 A 的逆矩阵, 其本质就是
将矩阵 A 分解为若干较为简单的矩阵 (即初等矩阵) 的乘积. 解线性方程组的 Gauss 消元法
定理 4.1.1 矩阵 A 可以酉对角化 ⇐⇒ AA∗ = A∗A.
证 由 Schur 三角化定理, 存在酉矩阵 U 使得 U ∗AU = T 为上三角矩阵. 显然 AA∗ = A∗A ⇐⇒ T T ∗ = T ∗T . 因此不妨设 A 是上三角矩阵.
必要性是显然的, 因为如果 A 可以酉对角化, 则存在酉矩阵 U 使得 U ∗AU = D 为对角矩 阵, 因此
将正规矩阵 A 酉对角化的酉矩阵的每一列都是 A 的特征向量, 由酉矩阵的构造可得 (细 节见习题 4)
定理 4.1.2 设 A ∈ Cn×n, 则 A 为正规矩阵 ⇐⇒ A 有 n 个两两正交的单位特征向量.
推论 4.1.1 正规矩阵属于不同特征值的特征向量是相互正交的.
正规矩阵有许多良好的数字特性, 比如下面的
实际上在第三章习题 5 中, 我们已经看到了实正规矩阵在正交变换下的最简形式如下
矩阵的LU分解
第四章 矩阵的分解将矩阵分解为具有某种特性的因子之积，从以我们所熟悉的Gauss 消去法为依据而导出的LU 分解，到上个世纪60、70年代以Givens 和Householder 变换发展起来的QR 分解，在矩阵理论的研究与应用中都具有十分重要的意义。
这些特殊的分解式一方面反映了原矩阵的某些数值特征，另一方面，分解的方法与过程也为某些数值计算方法和理论分析提供了有效的工具。
§4.1n 阶矩阵的三角分解和LU 分解在线性代数中我们已经学过应用Gauss 消去法求解n 元线性方程组b Ax =， 其中：()nn ija A ⨯=，()Tn x x x x ,,,21 =，()Tn b b b b ,,,21 =。
Gauss 消去法的基本思路是将系数矩阵化为上三角形矩阵，或将增广矩阵化为上阶梯形矩阵，而后回代求解。
现在应用所谓选主元素法来实施Gauss 消去法的消去过程，至于回代过程我们不做讨论。
设()A A =0，记A 的k 阶顺序主子式为k ∆()n k ,,2,1 =。
如果()00111≠=∆a ，令()()011011a a c i i = ()n i ,,3,2 =，构造Frobenius 矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11121211 n n c c c L ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-111212111 n n c c c L则()()()()()()()()()1002020220101201101100A a a a a a a a AL nn n n n =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=- （4.1.1） 因此，在()0A的第一列中除主元素()011a 外，其余元素均被化为零。
式（4.1.1）即为()()110A L A =，由于倍加变换不改变矩阵行列式的值，所以由()1A 得到A 的二阶顺序主子式为()()1220112a a =∆。
如果()()01220112≠=∆a a ，则必有()0122≠a 。
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(1) 1 2 2 1 3
3
2 4 3 1 4 5
4 8 6 2 8 10
(2)
0 0
0 0
1 2
2 4
3 6
0 1 0 1 1 (3) 0 2 0 1 1
0 3 0 2 2
解 （1）对此矩阵只实施初等行变换可以 得到
1 2 1 0 1 2
1 2 2 1 3
3
2 4 3 1 4 5
4 8 6 2 8 10
1 2
1 2
1
T
0
2
3
(3, ( 1 ,
1) 1 )
1
(3, 2 ) (2, 2)
2
3
1 2
1
1 3
选取
B
1 2
C 21 1
,
C 0 0 1 2
也可以选取
3
C15 1
B
2 4
C 21 1
,
C 0
0
1 2
1
3
2
C15 1
（3）对此矩阵只实施初等行变换可以得到
0 1 0 1 1 0 2 0 1 1 0 3 0 2 2
0 1 0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
所以 Rank( A) 2 ，且容易看出此矩阵的
1 2 0 1 1 1 0 0 1 1 2 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
由此可知 Rank( A) 2 ，且该矩阵第一列，
第三列是线性无关的。选取
1
B 1 2 4
1
2 3
C 42 2
6
C
1 0
2 0
0 1
1 1
1 2
1 1
C 26 2
同样，我们也可以选取
1
B 1 2 4
第四章 矩阵的分解
本章我们主要讨论矩阵的五种分解：矩 阵的满秩分解，正交三角分解，奇异值分解，
极分解，谱分解。
矩阵的满秩分解
定理：设 A Crmn 为任意矩阵，则存在 B Crmr , C Crrn
使得
A BC
其中 A 为列满秩矩阵，B为行满秩矩阵(我
们称此分解为矩阵的满秩分解)。
r 证明：假设矩阵 A 的前 个列向量是线性
n cn11 cn22
其中 cii i 0, i 1,2,
是有
cnnn
,n ，于
A 1 2
1 2
UR
其中 U 1
n
c11 c21
cn1
n
c22
cn
2
0
cnn
2
n Unnn ，
c11 c21
cn1
R
c22
cn2
0
cnn
显然矩阵 R 是一个正线上三角矩阵。
下三角矩阵。
证明：先证明分解的存在性。将矩阵 A 按列
分块得到
A 1 2
n
由于A Cnn1n,
，所以
2,
,
n
是线性无关的。利用Schmidt正交化与单位
化方法，先得到一组正交向量组
1, 2, , n
再单位化，这样得到一组标准正交向量组
1, 2, , n
并且向量组之间有如下关系
1 c111 2 c211 c222 3 c311 c322 c333
后重复上面的过程即可。这样存在
P Cmmm , Q Cnnn
且满足
PAQ
Ir 0
D 0
从而
A
P 1
Ir 0
D 0
Q
1
P
1
Ir 0
I
r
D Q 1
BC
其中
B
P 1
Ir 0
Crmr ,
C Ir D Q 1 Crrn
例 分别求下面三个矩阵的满秩分解
1 2 1 0 1 2
0
1 1
C 42 2
2
1 C 0
2 0
1 1
0 1
1 2
2 1
C 26 2
（2）对此矩阵只实施初等行变换可以得到
0 0 1 2 3 0 0 2 4 6
0 0
0 0
1 0
2 0
3 0
所以 Rank( A) 1 ，且此矩阵的第三，第
四，第五列任意一列都是线性无关的，所以 选取哪一列构成列满秩矩阵均可以。
定理：如果 A BC B1C1 均为矩阵 A
的满秩分解，那么
（1）
存在矩阵
G
C nn n
满足
B B1G , C G1C1
（2）
C H (CC H )1(BH B)1 BH C1H (C1C1H )1(B1H B1)1 B1H
矩阵的正交三角分解
定理
设
A
C nn n
，那么
A
可唯一地分解为
A UR 或 A R1U1 其 素中 为正U的,U上1 三U角n矩n阵为，酉R矩1 是阵对，角R线是元对素角为线正元
0
0 1 0
0 0
1
2 2 1 (2) A 0 2 2
2 1 2
解：
（1）容易判断出
A
C 43 3
，即 A
是一个列满秩矩阵。按照定理的证明过程，
将 A 1 2 3 的三个列向量正交
化与单位化。先得到一个正交向量组
1 1 1 1 0 0T
2
2
(2, 1) (1, 1)
1
2
1 2
1
分解的唯一性证明。设
A U1R1 U2R2
则
AH A R1H R1 R2H R2
因为 AH A 是正定的Hermite 矩阵（为什
么？），由正定二次型的等价定理可知，其
三角分解是唯一的，故 R1 R2 ，进一步 有 U1 U2 。
例1 ：求下列矩阵的正交三角分解
1 1 1
(1)
A 1 0
第二列和第四列是线性无关的，选取
1 B 2
3
0 C 0
1
1
C 32 2
,
2
1 0
0 0
0 1
0 1
C 25 2
由上述例子可以看出矩阵的满秩分解形
式并不唯一。一般地我们选取阶梯型矩阵主 元所在的列对应的列向量构成列满秩矩阵， 将阶梯型矩阵全为零的行去掉后即可构成行 满秩矩阵。但是不同的分解形式之间有如下 联系：
三角矩阵。于是
A RTU T R1U1
其中 R1 是对角线元素为正的三角矩阵， 而U1 U nn .此结论也可以被推广为
定理：设 A Crmr ，则 A 可以唯一地分
解为
A UR
其中 R U U
是r
mr r
阶对角线元素为正的三角矩阵，
，即U 是一个次酉矩阵。
证明：分解的存在性证明，同上面的例题完 全一样。
无关的，对矩阵 A 只实施初等变行换可以
将其化成
Ir D
0
0
即存在
P
C mm m
使得
PA
Ir 0
D
0
于是有
A
P1
Ir 0
Ir
其中
D BC
B
P1
Ir
0
Crmr ,C
Ir
D Crrn
r 如果 A 的前 列线性相关，那么只需对 A r 作初等列变换使得前 个列是线性无关的。然
下面考虑分解的唯一性。设有两种分 解式
A UR UR
那么有
U 1U RR1
注意到 U 1U 是酉矩阵，而 RR1 是一个对
角线元素为正的上三角矩阵，由前面的结论 可知
U I , RR1 I
因此有
U U, R R
因为有
A
C nn n
，所以
照分解的存在性可知
AT Cnnn ，按
AT UR 其中 U U nn , R 是对角线元素为正的