概率(古典高考一轮复习概率、条件概率、离散型随机变量)(理科)

一、学习目标：

1. 了解事件、频率、概率的基本概念.理解古典概率与条件概率的特征、互斥事件与独立事件的含义、互斥事件与对立事件的区别，并能进行简单的概率计算.

2. 理解随机变量、离散型随机变量的分布列的含义及性质，并能求出离散型随机变量的分布列及数学期望（均值）与方差.

3. 了解模拟方法（几何概型）及二项分布的内容，超几何分布的特征及其简单应用.

4. 了解正态分布的概念、正态曲线的形状、正态分布中的参数含义.

二、重点、难点：

重点：

1. 概率的计算（古典概率、几何概率、条件概率、互斥事件和独立事件的概率）

2. 求离散型随机变量的分布列、均值、方差.

难点：

1. 互斥事件与对立事件的区别.

2. 古典概型与几何概型的区别.

三、考点分析：

从近几年的新课标的高考命题来看，对古典概率、条件概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、概率的应用、离散型随机变量的分布列的性质等基础知识的考查常以选择、填空题的形式出现，题目难度小.同时新课标高考中常将对古典概率、条件概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、离散型随机变量的分布列、期望、方差等内容结合在一起考查，题型多为解答题.此类问题在新课标高考的考查中属中档题.

一、古典概型与互斥事件

1. 频率与概率：频率是事件发生的概率的估计值.

2. 古典概率计算公式：P （A ）=1P(A 0n

m A ≤≤=)，试验的基本事件总数包含的事件数事件. 集合的观点：设试验的基本事件总数构成集合I ，事件A 包含的事件数构成集合A ，则I A ⊆.

3. 古典概型的特征：（1）每次试验的结果只有一个基本事件出现；（2）试验结果具有

有限性；（3）试验结果出现等可能性.

4. 互斥事件概率

（1）互斥事件：在一个随机试验中，一次试验中不可能同时发生的两个事件A ，B 称为互斥事件.

（2）互为事件概率计算公式：若事件A ，B 互斥，则)()()(B P A P B A P +=+

（3）对立事件：在一个随机试验中，一次试验中两个事件A ，B 不会同时发生，但必有一个事件发生，这样的两个事件称为对立事件.记作：A B =，由对立事件定义知：)(1)(A P A P -=

（4）互斥事件与对立事件的关系：对立必互斥，互斥未必对立.

用集合的观点分析对立事件与互斥事件：

设两个互斥事件A ，B 包含的所有结果构成集合A ，B ，则φ=B A I （如图1所示）

图1

设两个对立事件A ，A 包含的所有结果构成的集合为A A , 则I A A A A =φ=Y I 且,（如图2所示）

图2

注：若n A A A Λ,,21任意两个事件互斥，

则：)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++ΛΛ

二、几何概型

几何概型定义：向平面有限区域（集合）G 内投掷点M ，若点M 落在子区域G G ⊆1的概率与1G 的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，我们就称这种概型为几何概型. 几何概型计算公式：的面积

的面积内）落在点G G M (11G P = 几何概型的特征：（1）试验的结果有无限个（无限性）；（2）试验的结果出现等可能性. 注：几何概型中的区域可以是长度、面积、体积等.

三、条件概率与独立事件

1. 条件概率的定义：对于任何两个事件A ，B ，在已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率称为事件B 发生时事件A 发生的条件概率，记为P （A|B ）.类似的还可定义为事件A 发生时事件B 发生的条件概率，记为P （B|A ）.

2. 把事件A ，B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A ，B 的交（或积），记为：B A I =D 或D=AB.

3. 条件概率计算公式：))(,)()()|(0B P (B P AB P B A P >=，)0)((,)

()()|(>=A P A P AB P A B P 注：（1）事件A 在“事件B 发生的条件下”的概率与没有事件B 发生时的概率是不同的.

（2）对于两个事件A ，B ，如果P （A|B ）=P （A ）则表明事件B 的发生不影响事件A 发生的概率.

此时事件

A ，

B 是相互独立的两个事件，即有P （A|B ）=)()()()

()()(B P A P AB P B P AB P A P =⇒=. 故当两个事件A ，B ，若P （AB ）=P （A ）P （B ），则事件A ，B 相互独立，同时A 与B A B A B 与与,,也相互独立.

四、二项分布、超几何分布、正态分布

1. 二项分步：

（1）n 次独立重复试验的概念：在相同的条件下，重复做n 次试验，各次试验的结果相互独立.

N 次独立重复试验的特征：①每次试验的条件相同，某一事件发生的概率不变，②各次试验的结果互不影响，且每次试验只有两个结果发生或不发生.

（2）二项分步概率计算公式：一般地，在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为

),,2,1,0(,)1()(n k p p C k P k n k k n n Λ=-=-，若随机变量由此式确定，则X 服从参数n ，p

的二项分布，记作：),(~p n B X .

2. 超几何分布

超几何分布定义：一般地，设有N 件产品，其中含有M 件次品（)N M ≤，从N 件产品中任取n 件产品，用X 表示取出的n 件产品中含有的次品的个数，则

n N

k n M N k M C C C k X P --==)(，（k 为非负整数），若随机变量由此式确定，则X 服从参数N ，M ，k 的超几何分布，记住),,(~N M n H X .

注：超几何分布是概率分布的另一种形式，要注意公式中N ，M ，k 的含义.随机变量X 取某一个值的概率就是求这一事件发生的次数与总次数的商.

3. 正态分布：