孪生素数与哥德巴赫猜想证明的小结Microsoft Word 97 - 2003 文档 (2)

合集下载

哥德巴赫猜想及其一般形式

哥德巴赫猜想及其一般形式
白言
（ICIFP）
所有研究数论的人都知道，“哥德巴赫猜想”和“孪生素数猜想”是数论中两个
最著名的猜想。

他们的表述分别是：
1.哥德巴赫猜想，任一大于2的偶数都可写成两个质数之和；
2.孪生素数猜想，存在无穷多个素数p，使得p + 2是素数。

对于后者，1849年，阿尔方·德·波利尼亚克提出了一般的猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对（p, p + 2k）。

k = 1的情况就是孪生素数猜想。

这个一般猜想被称为“波利尼亚克猜想”。

那么对于哥德巴赫猜想呢？它存在更为一般的形式吗？
笔者认为其存在一般形式，且可表述为：“素数p的非1倍数都可写成p个素数之和”。

当p=2时即为德巴赫猜想。

这个一般猜想暂称为“LiKe猜想”。

举例：
当p=2时，就是哥德巴赫猜想；
当p=3时，6=2+2+2；
9=3+3+3；
12=3+7+2；…。

当p=5时，10=2+2+2+2+2；
15=3+3+3+3+3；
20=3+5+3+7+2；…。

当p=p n时， p×a=p1+p2+p3+…+p p。

注：仅希望该猜想对数论研究者有所帮助或启发！。

关于孪生素数猜想的证明

关于孪生素数猜想的证明关于孪生素数猜想的证明Һ吴国胜㊀（安徽省电子器材公司，安徽㊀合肥㊀２３００６１）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文的目的在于用筛法㊁解析方法等基础理论证明在自然数中存在无穷对孪生素数，并给出孪生素数分布的下界．ʌ关键词ɔ孪生素数猜想；定义及推论；误差值引㊀言两个相差２的素数称作一对孪生素数．在自然数中存在无穷对孪生素数的猜想是古希腊人提出来的，迄今大约有二千年的历史了，它和１７４２年德国人提出的Ｇｏｌｄｂａｃｈ猜想被人们喻为姐妹问题．德国杰出的数学家Ｈｉｌｂｅｒｔ１９００年在巴黎召开的第二届国际数学家代表大会上提出二十三个著名问题，孪生素数猜想是其中第八个问题的一部分．本文的目的在于对以下定理给出详细证明．定理命ω（ｘ）表示不超过ｘ的孪生素数组数，对于充分大的Ｎ，存在无穷多个整数点Ｍｉɪ［Ｎ，＋ɕ），有ω（Ｍｉ）ȡ０．３７Ｍｉｌｎ２Ｍｉ．有简单推论，对于任意ｘȡＮ，总有ω（ｘ）ȡ０．３７ｌｎｘ（ｌｎｌｎｘ）２．孪生素数猜想成立．一㊁定义及推论定义１㊀命２，３为原素数，不再以Ｐ表示．素数以Ｐｉ表示，其中Ｐ１＝５，Ｐ２＝７，Ｐ３＝１１，，以此类推．相应地，孪生素数从５，７开始计算．定义２㊀Ｚｊ＝ᵑｊｉ＝１Ｐｉ．定义３㊀命６ｎ－１与６ｎ＋１为一对孪生组，ｎ为正整数．推论１㊀命Ｄ（ｘ）表示［０，ｘ］间孪生组的组数，则Ｄ（ｘ）＝ｘ－１６[]，１ɤｘ，０，０ɤｘ＜１．æèçç定义４㊀Ｂ（ｘ，Ｐｊ）为［０，ｘ］间一方含Ｐｊ因子而双方均与Ｚｊ－１互素的孪生组的组数，称作ｘ内Ｐｊ的孪生类数．（ｘȡＰｊ）．推论２㊀ω（ｘ）－ω（ｘ）＝Ｄ（ｘ）－ðｐ１ɤｐｊɤｘＢ（ｘ，Ｐｊ）．定义５㊀当（６，ｋｎ）＝（ｋ，ｎ）＝１定义Ｔ（ｋ，ｎ）ʉ（ｋｎ）２＋６ｋｑ（ｍｏｄ６ｋｎ），其中ｑ满足３ｋｑʉ１（ｍｏｄｎ），特别地，Ｔ（ｋ，１）ʉｋ２（ｍｏｄ６ｋ）．定义６㊀Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）＝２ＤｘＰｊ()－２ðＰ１ɤＰｉɤＰｊ－１ＢｘＰｊ，Ｐｉ()，为二倍于０，ｘＰｊ[]间不小于Ｐｊ孪生类的孪生组数．（ｘȡＰ２ｊ）．（注：本文［α］，｛α｝分别表示α的整数与分数部分，并将［α＋β］＋［α－β］简记作［αʃβ］，将｛α＋β｝＋｛α－β｝简记作｛αʃβ｝，将ｓｉｎ（α＋β）＋ｓｉｎ（α－β）简记作ｓｉｎ（αʃβ）．）二㊁第一类误差关系式的建立引理１㊀Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｎ｜ｚｊ－１ｍ｜ｚｊ－１（ｍ，ｎ）＝１μ（ｍｎ）(ｘ＋Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）－２６Ｐｊｍｎéëêùûú＋ｘ－Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）６Ｐｊｍｎéëêùûú＋１)（ｘȡＰｊ）．证：当（ｍ，ｎ）＝（６Ｐｊ，ｍｎ）＝１时，由定义５有Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）ʉ０（ｍｏｄＰｊｍ），１（ｍｏｄ６）．{Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）－２ʉ０（ｍｏｄｎ），－１（ｍｏｄ６）．{故Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）与Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）－２为分别由Ｐｊｍ与ｎ因子组成的孪生组，后者为６Ｋ－１型，同样Ｔ（ｎ，Ｐｊｍ）与Ｔ（ｎ，Ｐｊｍ）－２为另一组分别由Ｐｊｍ与ｎ因子组成的孪生组，后者为６Ｋ－１型，且－Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）ʉＴ（ｎ，Ｐｊｍ）－２（ｍｏｄ６Ｐｊｍｎ）．根据剩余系互补的性质，当（ｍ，ｎ）＝（６Ｐｊ，ｍｎ）＝１，对于任意ｘȡＰｊ，在［０，ｘ］间一方含Ｐｊｍ因子，另一方含ｎ因子的孪生组数：Ｄ（ｘ，Ｐｊｍ，ｎ）＝ｘ＋Ｔ（ｐｊｍ，ｎ）－２６Ｐｊｍｎéëêùûú＋ｘ－Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）６Ｐｊｍｎéëêùûú＋１．由定义４和Ｂｒｕｎ的包含排除定理（文献［６］第一章ɦ７定理１），即得引理．又当（ｍ，ｎ）＞１时，恒有μ（ｍｎ）＝０，故引理中（ｍ，ｎ）＝１的条件可以不必要．证毕．引理２㊀（Ⅰ）Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）＝ðｎ｜ｚｊ－１ｍ｜ｚｊ－１μ（ｍｎ）æèççｘＰｊ＋Ｔ（ｍ，ｎ）－２６ｍｎéëêêêùûúúú＋ｘＰｊ－Ｔ（ｍ，ｎ）６ｍｎéëêêêùûúúú＋１öø÷÷－１（ｘȡＰ２ｊ）．（Ⅱ）若用Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）代替Ｔ（ｍ，ｎ），上式亦成立．证：当ｍ＝ｎ＝１时，Ｔ（１，１）ʉ１（ｍｏｄ６），μ（１）＝１，ʑｘＰｊ＋Ｔ（１，１）－２６éëêêêùûúúú＋ｘＰｊ－Ｔ（１，１）６éëêêêùûúúú＋１－１＝２ｘＰｊ－１６éëêêêùûúúú＝２ＤｘＰｊ()，又Ｔ（ｍ，ｎ）－２ʉ－Ｔ（ｎ，ｍ）（ｍｏｄ６ｍｎ）．由定义６和引理１即得（Ⅰ）成立．ȵ（Ｐｊ，ｍｎ）＝（Ｐｊ，Ｚｊ－１）＝１，ʑＴ（Ｐｊｍ，ｎ）ʉＴ（ｍ，ｎ）（ｍｏｄ６ｍｎ）．又Ｔ（Ｐｊ，１）ʉＰ２ｊʉ１（ｍｏｄ６），ʑｘＰｊ＋Ｐ２ｊ－２６éëêêêùûúúú＋ｘＰｊ－Ｐ２ｊ６éëêêêùûúúú＋１－１＝２ｘＰｊ－１６éëêêêùûúúú＝２ＤｘＰｊ()，故（Ⅱ）亦成立，证毕．引理３㊀Ｂ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）ɤｈ（ｘ，Ｐｊ）＋Ｏ（１）（ｘȡＰ２ｊ），ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１２ｎπｓｉｎｎπｘ３Ｐｊｄ㊃. All Rights Reserved.ｃｏｓｎπＴ（Ｋξ）３Ｐｊｄ－ｃｏｓｎπＴ（Ｋξ）３ｄæèçöø÷，其中Ｔ（Ｋξ）＝ＴＰｊＫξ，Ｚｊ－１Ｋξæèçöø÷，Ｋξ为Ｋｉ｜Ｚｊ－１之某一值，ｖ（ｄ）表示ｄ的不同素因子的个数，ｖ（１）＝０．证：命φ表示Ｋｉ｜Ｚｊ－１的集合，因Ｚｊ－１无重复素因子，故对于任一Ｚｊ－１，Ｋｉ之集合有且仅有ðｊ－１ｋ＝１Ｃｋｊ－１＝２ｊ－１个元素组成，当（ｌ１，ｌ２）＝（ｌ１，６Ｐｊｍｎ）＝（ｌ２，６Ｐｊｍｎ）＝１，有Ｔ（ｌ１Ｐｊｍ，ｌ２ｎ）ʉＴ（Ｐｊｍ，ｎ）（ｍｏｄ６Ｐｊｍｎ）．由引理１，２即可得到：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）＝ðＫｉ｜Ｚｊ－１１２ｊ－１ðｄ｜Ｚｊ－１μ（ｄ）２ｖ（ｄ）㊃æèççｘ＋Ｔ（Ｋｉ）－２６Ｐｊｄéëêùûú＋ｘ－Ｔ（Ｋｉ）６Ｐｊｄéëêùûú－ｘＰｊ＋Ｔ（Ｋｉ）－２６ｄéëêêêùûúúú－ｘＰｊ－Ｔ（Ｋｉ）６ｄéëêêêùûúúúöø÷÷＋１，（１）现估计（１）式中第一㊁三两项中消去－２后所产生的误差Ｒ＝Ｒ１＋Ｒ３，命Ａｉ＝ｘ＋Ｔ（Ｋｉ）有：Ａｉ－２６Ｐｊｄéëêùûú＝［Ａｉ］－２６Ｐｊｄéëêùûú＝Ａｉ６Ｐｊｄéëêùûú－１，当［Ａｉ］ʉ０或１（ｍｏｄ６Ｐｊｄ），Ａｉ６Ｐｊｄéëêùûú，其他．ìîíïïïï故知只有当［Ａｉ］＝６ＰｊＭｉＤｉ＋δ（δ＝０或１，其中Ｄｉ｜Ｚｊ－１）时才产生误差，根据同余的性质有：ðｄ｜Ｄｉμ（ｄ）２ｖ（ｄ）＝１，ｖ（Ｄｉ）为偶数或０，－１，ｖ（Ｄｉ）为奇数，{ʑＲ１ɤ１２ｊ－１ðＫｉ｜Ｚｊ－１１＝１，同样可证得｜Ｒ３｜ɤ１．ʑ｜Ｒ｜ɤ｜Ｒ１｜＋｜Ｒ３｜ɤ２，故由（１）式知必定存在某一Ｋξ｜Ｚｊ－１，使得：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）ɤｈ（ｘ，Ｐｊ）＋Ｏ（１），其中ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１μ（ｄ）２ｖ（ｄ）æèççｘʃＴ（ｋξ）６Ｐｊｄéëêùûú－ｘＰｊʃＴ（Ｋξ）６ｄéëêêêùûúúúöø÷÷，ȵＰｊＫξ｜Ｔ（Ｋξ），Ｚｊ－１Ｋξ｜Ｔ（Ｋξ）－２，（注：以下将Ｔ（Ｋξ）简记作Ｔ）ʑｄ｜Ｚｊ－１｜Ｔ（Ｔ－２）．因ｄ无重复素因子，故知对于任意ｄ，当ｄȡ４ｘ２可分解为ｄ＝ｄ１ｄ２，其中ｄ２ȡｄ１ȡ１，使ｄ２｜Ｔ或者ｄ２｜（Ｔ－２）两者之一成立．显然ｄ２ȡ２ｘ＞ｘ＋２Ｐｊ（ｘȡＰ２ｊ），如ｄ２｜Ｔ成立，有０＜ｘｄ２＝β＜１，Ｔｄ２＝Ｌ，显然（６，Ｌ）＝１，因而－Ｌ６ｑ[]＝－１－Ｌ６ｑ[]（ｑ为正整数），故有：ｘʃＴ６Ｐｊｄ[]－ｘＰｊʃＴ６ｄéëêêêùûúúú＝βʃＬ６Ｐｊｄ１[]－βʃＰｊＬ６Ｐｊｄ１éëêùûú＝ʃＬ６Ｐｊｄ１[]－ʃＬ６ｄ１[]＝０，同样如ｄ２｜（Ｔ－２），则有０＜ｘ＋２ｄ２＝β１＜１，０＜ｘ－２ｄ２＝β２＜１，０＜ｘ＋２Ｐｊｄ２＝β３＜１，０＜ｘ－２Ｐｊｄ２＝β４＜１，Ｔ－２ｄ２＝Ｌ，则（６，Ｌ）＝１，即有ｘʃＴ６Ｐｊｄ[]－ｘＰｊʃＴ６ｄéëêêêùûúúú＝β１＋Ｌ６Ｐｊｄ１éëêùûú＋β２－Ｌ６Ｐｊｄ１éëêùûú－β３＋ＰｊＬ６Ｐｊｄ１éëêùûú－β４－ＰｊＬ６Ｐｊｄ１éëêùûú＝ʃＬ６Ｐｊｄ１[]－ʃＬ６ｄ１[]＝０，ʑｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ｘʃＴ６Ｐｊｄ[]－ｘʃＰｊＴ６Ｐｊｄéëêùûúæèçöø÷＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ｘʃＰｊＴ６Ｐｊｄ{}－ｘʃＴ６Ｐｊｄ{}æèçöø÷，（２）由Ｆｏｕｒｉｅｒ展开式，当｛α｝ʂ０时有：｛α｝＝－ðɕｎ＝１１ｎπｓｉｎ（２ｎπα）＋１２，（３）ȵＰｊ｜Ｔ，ʑ只需取ｘ，当Ｐｊ｜ｘ，即有（２）式中任意一项｛αｉ｝ʂ０均适用于（３）式，故（２）式又可表示为：ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１２ｎπｓｉｎｎπｘ３Ｐｊｄ(ｃｏｓｎπＴ３Ｐｊｄ－ｃｏｓｎπＴ３ｄ)，证毕．三㊁第一类误差值的计算引理４㊀用Ｍ［Ｆ１（ｙ）］表示函数Ｆ１（ｙ）的Ｍｅｌｌｉｎ变换式，若有Ｍ［Ｆ１（ｙ）］＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ｄｓ－２（ζ（２－ｓ）－１）（ｓ－１），取σ＝ＲｅＳ＝１－１ｌｎｙ，当ｙ＞Ｐｊ时，必有｜Ｆ１（ｙ）｜＝Ｏｌｎ２Ｐｊｙｌｎｙæèçöø÷．证：σ＝１－１ｌｎｙ＞１－１ｌｎＰｊ＞０．首先证明Ｍ［Ｆ１（ｙ）］绝对收敛．令Ｈ（ｓ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ｄｓ－２，（４）则Ｈ（ｓ）ɤðｄ｜Ｚｊ－２｜μ（ｄ）｜２ｖ（ｄ）｜ｄｓ－２｜＝ᵑＰ｜Ｚｊ－１（１＋２Ｐσ－２），ʑｌｎ｜Ｈ（ｓ）｜ɤｌｎᵑＰ｜Ｚｊ－１（１＋２Ｐσ－２）＝ðＰ１ɤＰɤＰｊ－１ｌｎ（１＋２Ｐ－１－１ｌｎｙ）ɤðＰ１ɤＰɤＰｊ－１２Ｐ－１＝２ｌｎｌｎＰｊ＋Ｏ（１）．（参见文献［２］第七章ɦ３Ｍｅｒｔｅｎｓ公式）ʑ｜Ｈ（ｓ）｜＝Ο（ｌｎ２Ｐｊ）绝对收敛．又Ｒｅ（２－ｓ）＝１＋１ｌｎｙ＞１，令ｂ１（ｕ）＝｛ｕ｝－１２，有ζ（２－ｓ）＝１１－ｓ＋１２－（２－ｓ）ʏɕ１ｂ１（ｕ）ｕ３－ｓｄｕ＝－１ｓ－１＋. All Rights Reserved.１＋ʏɕ１｛ｕ｝ｄｕｓ－２，（参考文献［１］第八章ɦ２）ʏɕ１｛ｕ｝ｄｕｓ－２为｛ｕ｝ʂ０时的瑕积分，记作Ｐ㊃Ｖ．Ｐ㊃Ｖʏɕ１｛ｕ｝ｄｕｓ－２＝｛ｕ｝ｕｓ－２ɕ１－Ｐ㊃Ｖʏɕ１ｕｓ－２ｄ｛ｕ｝＝－Ｐ㊃Ｖʏɕ１ｕｓ－２ｄ｛ｕ｝ｄｕｄｕ，当｛ｕ｝ʂ０，由（３）式有ｄ｛ｕ｝ｄｕ＝－２ðɕｎ＝１ｃｏｓ（２ｎπｕ）＝－ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πｕｓｉｎπｕ＋１，（参考文献［７］（３．６．１）式）综上即得：Ｑ＝（ζ（２－ｓ）－１）（ｓ－１）＝－１＋（ｓ－１）Ｐ㊃Ｖʏɕ１ｕｓ－２ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πｕｓｉｎπｕ－１æèççöø÷÷ｄｕ＝－１＋Ｐ㊃Ｖʏɕ１（ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πｕｓｉｎπｕ－１）ｄｕｓ－１＝Ｐ㊃Ｖʏɕ１ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πｕｓｉｎπｕｄｕｓ－１，ʑ｜Ｑ｜ɤＰ㊃Ｖʏɕ１｜ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πｕｓｉｎπｕ｜㊃｜ｄｕｓ－１｜＝｜ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πξｓｉｎπξ｜ʏɕ１ｄｕ－１ｌｎｙ｜ɤ１ｓｉｎπξ＜＋ɕ（｛ξ｝ʂ０），ʑＭ［Ｆ１（ｙ）］绝对收敛．令ʏ（σ）＝ｌｉｍＡңɕʏσ＋ｉＡσ－ｉＡ，由文献［１］第十二章ɦ１引理１有：Ｆ１（ｙ）＝１２πｉʏ（σ）Ｍ［Ｆ１（ｙ）］ｙ－ｓｄｓ＝１２πｉʏ（σ）Ｈ（ｓ）（ζ（２－ｓ）－１）（ｓ－１）ｙ－ｓｄｓ＝－１２πｉʏ（σ）Ｈ（ｓ）（ζ（２－ｓ）－１）ｄｙ－ｓ＋１ｄｙｄｓ＝ｉ２πʏ（σ）Ｈ（ｓ）（ζ（２－ｓ）－１）ｄｓｄｙｄｙ－ｓ＋１．ȵζ（２－ｓ）－１＝ðɕｎ＝２１ｎ２－ｓ，ʑ｜ζ（２－ｓ）－１｜ɤðɕｎ＝２１ｎ１＋１ｌｎｙ＝ʏɕ１ｄｕｕ１＋１ｌｎｙ＋Ｏ（１）＝－ｌｎｙ㊃ｕ－１ｌｎｙɕ１＋Ｏ（１）＝ｌｎｙ＋Ｏ（１），ｄｓｄｙ＝ｄ１ｌｎｙｄｙ＝１ｙｌｎ２ｙ，｜ｙｉｔ｜＝｜ｅｉｔｌｎｙ｜＝１，ｙ－σ＋１＝ｙ１ｌｎｙ＝ｅ．当ｙ＞Ｐｊ，ｌｎｙ＞ｌｎＰｊ≫１，ʑ｜Ｆ１（ｙ）｜ɤʏ（σ）｜Ｈ（ｓ）｜｜ζ（２－ｓ）－１｜ｄｓｄｙ｜ｄｙ－ｓ＋１｜ɤʏ（σ）Ｏ（ｌｎ２Ｐｊ）（ｌｎｙ＋Ｏ（１））１ｙｌｎ２ｙｄｙ１ｌｎｙ＝Ｏｌｎ２Ｐｊｙｌｎｙæèçöø÷，证毕．引理５㊀对于充分大的ｘ，恒有Ｂ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）ɤＯｘｌｎ３ＰｊＰ２ｊæèçöø÷＋Ｏ（１），当Ｐｊɤｘ１２时，误差项Ｏ（１）可以不计．证：（Ⅰ）当Ｐｊɤ６ｌｎｘ时，ȵðɕｎ＝１２ｎπｓｉｎｎπαｃｏｓｎπβɤ１，又ｖ（Ｐ）＝１，由引理３有：ｈ（ｘ，Ｐｊ）ɤ２ðｄ｜Ｚｊ－１｜μ（ｄ）｜２ｖ（ｄ）＝２ᵑＰ｜Ｚｊ－１（１＋２ｖ（Ｐ））＝２㊃３ｊ－１．由素数定理得ｊ＝π（Ｐｊ）＝ＰｊｌｎＰｊ１＋Ｏ１ｌｎＰｊ()()．ʑＢ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）ɤ２㊃３ｊ－１＋Ｏ（１）＜３ｊɤ３７ｌｎｘｌｎｌｎｘ＝ｘ７ｌｎ３ｌｎｌｎｘ＜ｘ１２≪ｘｌｎ３ＰｊＰ２ｊ．（Ⅱ）当ｘ１２＜Ｐｊɤｘ，显然有Ｂ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）＝Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＝１，Ｐｊ与Ｐｊ＋２为孪生素数，０，其他．{（Ⅲ）现着重讨论６ｌｎｘ＜Ｐｊɤｘ１２的情形．由引理３我们有：㊀ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１４ｎπ㊃ｎπｄ㊃ｓｉｎｎπｘ３ＰｊｄʏＴ６Ｔ６Ｐｊｓｉｎ２ｎπｑｄｄｑ＝ʏＴ６Ｔ６Ｐｊðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１２ｄ(ｃｏｓｑ－ｘ６Ｐｊｄ２ｎπ－ｃｏｓｑ＋ｘ６Ｐｊｄ２ｎπ)ｄｑ＝ʏＴ６Ｔ６Ｐｊʏｑ＋ｘ６Ｐｊｑ－ｘ６Ｐｊ(ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１４ｎπｄ２ｓｉｎ２ｎπｄｙ)ｄｙｄｑ＝ʏＴ６Ｔ６Ｐｊʏｑ＋ｘ６Ｐｊｑ－ｘ６ＰｊＦ（ｙ）ｄｙｄｑ．由积分不等式，当ｂ＞ａȡ０时，若在区间［ａ，ｂ］上ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）可积，｜ｆ（ｘ）｜ɤ｜ｇ（ｘ）｜，则有ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤʏｂａ｜ｆ（ｘ）｜ｄｘɤʏｂａ｜ｇ（ｘ）｜ｄｘ．又Ｆ（ｙ）可积，则有：ｈ（ｘ，Ｐｊ）ɤʏＴ６Ｔ６Ｐｊʏｑ＋ｘ６Ｐｊｑ－ｘ６ＰｊＦ（ｙ）ｄｙｄｑ，（５）Ｆ（ｙ）是实连续函数，ｙ＞０（见（９）式），我们可对其取Ｍｅｌｌｉｎ变换，令ＲｅＳ＝１－１ｌｎｙ，当α＞０时，Ｍ［ｓｉｎαｘ］＝ʏɕ０ｓｉｎαｘ㊃ｘｓ－１ｄｘ＝α－ｓΓ（ｓ）ｓｉｎπｓ２，. All Rights Reserved.ʑＭ［Ｆ（ｙ）］＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１（ｎπ）１－ｓ２２－ｓΓ（ｓ）ｄｓ－２ｓｉｎπｓ２，（６）ðɕｎ＝１ｎ１－ｓ＝ζ（ｓ－１），Γ（ｓ）＝（ｓ－１）Γ（ｓ－１）（文献［５］第二章ɦ２定理２），ｓｉｎπｓ２＝ｃｏｓπ（ｓ－１）２．根据ＲｉｅｍａｎｎＺｅｔａ函数解析开拓的性质（文献［３］第二篇第二章ɦ２定理２．１）有ζ（１－ｓ）＝２１－ｓπ－ｓｃｏｓπｓ２Γ（ｓ）ζ（ｓ）普遍成立．ʑ由（６）式和（４）式有：Ｍ［Ｆ（ｙ）］＝ζ（ｓ－１）Γ（ｓ－１）（ｓ－１）π１－ｓ２２－ｓＨ（ｓ）㊃ｃｏｓπ（ｓ－１）２＝ζ（２－ｓ）（ｓ－１）Ｈ（ｓ），令Ｆ（ｙ）＝Ｆ１（ｙ）＋Ｆ２（ｙ），则Ｍ［Ｆ（ｙ）］＝Ｍ［Ｆ１（ｙ）］＋Ｍ［Ｆ２（ｙ）］，其中Ｍ［Ｆ１（ｙ）］＝（ζ（２－ｓ）－１）（ｓ－１）Ｈ（ｓ），（７）Ｍ［Ｆ２（ｙ）］＝（ｓ－１）Ｈ（ｓ），相应地，ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ｈ１（ｘ，Ｐｊ）＋ｈ２（ｘ，Ｐｊ），首先证明ｈ２（ｘ，Ｐｊ）＝０．ȵＰｊＫξＴ，Ｚｊ－１Ｋξ（Ｔ－２）（见引理３），ʑＴȡＰｊＫξ，Ｔ－２ȡＺｊ－１Ｋξ，Ｔ２＞Ｔ（Ｔ－２）ȡＰｊＫξ㊃Ｚｊ－１Ｋξ＝ＰｊＺｊ－１＝Ｚｊ，Ｔ＞Ｚｊ（注：当ｘȡＰ２ｊ，必有ｄ通过所有ＰɤＰｊ－１，故（５）式中Ｔ不变．）由文献［１］第三章ɦ１定理２契贝谢夫θ函数性质有：ｌｎＴ＞１２ｌｎＺｊ＞１２－ε()Ｐｊȡ１２－ε()６ｌｎｘ＞２．８ｌｎｘ，即有１ｌｎＴ＝Ｏ１Ｐｊ()，（８）及Ｔ＞ｘ２．８，又ｘȡＰ２ｊ，由（５）式知ｙȡｑ－ｘ６ＰｊȡＴ－ｘ６Ｐｊ＞ｘ２．８－ｘ６ｘ≫ｘ２．２≫４ｘ２，（９）ｈ２（ｘ，Ｐｊ）＝ʏＴ６Ｔ６Ｐｊʏｑ＋ｘ６Ｐｊｑ－ｘ６ＰｊＦ２（ｙ）ｄｙｄｑ＝(ʏɕＴ－ｘ６Ｐｊ－ʏɕＴ－ｘＰｊ６－ʏɕＴ＋ｘ６Ｐｊ＋ʏɕＴ＋ｘＰｊ６)ʏɕφＦ２（η）ｄηｄφ，由Ｍｅｌｌｉｎ变换公式（文献［８］５８１页），若Ｍ［ｆ（ｙ）］＝Ｍ（ｓ），则有：Ｍ［ʏɕｙｆ（φ）ｄφ］＝Ｍ（ｓ＋１）ｓ成立，由此推出：Ｍ［ʏɕｙʏɕφｆ（η）ｄηｄφ］＝Ｍ（ｓ＋２）（ｓ＋１）ｓ成立．令Ｕ（ｙ）＝ʏɕｙʏɕφＦ２（η）ｄηｄφ，由Ｍ［Ｆ２（ｙ）］＝（ｓ－１）Ｈ（ｓ）得到Ｍ［Ｕ（ｙ）］＝（ｓ＋２－１）Ｈ（ｓ＋２）（ｓ＋１）ｓ＝１ｓＨ（ｓ＋２），由（９）式ｙ≫４ｘ２，即σ＝１－１ｌｎｙ＞０，因而｜Ｍ［Ｕ（ｙ）］｜＝１σ＋ｉｔＨ（２＋σ＋ｉｔ）ɤðｄ｜Ｚｊ－１｜μ（ｄ）｜２ｖ（ｄ）ｄσ１σ＋ｉｔ＝１σ２＋ｔ２ðｄ｜Ｚｊ－１｜μ（ｄ）｜２ｖ（ｄ）ｄσ＜＋ɕ绝对收敛．即有：Ｕ（ｙ）＝１２πｉʏσ＋ｉɕσ－ｉɕＭ［Ｕ（ｙ）］ｙ－ｓｄｓ＝１２πｉʏσ＋ｉɕσ－ｉɕðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）１ｓｄｙ()ｓｄｓ，根据Ｍｅｌｌｉｎ变换表（文献［８］５８２页）有１２πｉʏσ＋ｉɕσ－ｉɕ１ｓαｙ()ｓｄｓ＝１（ｙ＜α），０（ｙ＞α），{（σ＞０）由（９）式得ｙ＞４ｘ２＞ｄ，ʑＵ（ｙ）＝０，即可得到ｈ２（ｘ，Ｐｊ）的各项积分均为０，ʑｈ２（ｘ，Ｐｊ）＝０．又Ｆ１（ｙ）满足引理４的条件，由（５）式有：ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ｈ１（ｘ，Ｐｊ）ɤＯʏＴ６Ｔ６Ｐｊʏｑ＋ｘ６Ｐｊｑ－ｘ６Ｐｊｌｎ２Ｐｊｙｌｎｙｄｙｄｑæèçöø÷＝Ｏｌｎ２ＰｊʏＴ６Ｔ６Ｐｊｌｎｌｎｑ＋ｘ６Ｐｊ()ｌｎｑ－ｘ６Ｐｊ()ｄｑæèçççöø÷÷÷＝Ｏｘｌｎ２ＰｊＰｊʏＴ６Ｔ６Ｐｊｄｑｑｌｎｑæèçöø÷＝Ｏｘｌｎ２ＰｊＰｊｌｎｌｎＴ６ｌｎＴ６Ｐｊæèçççöø÷÷÷＝Ｏｘｌｎ３ＰｊＰｊｌｎＴæèçöø÷＝Ｏｘｌｎ３ＰｊＰ２ｊæèçöø÷．注１：上式中，ｌｎｌｎｑ＋ｘ６Ｐｊ()ｌｎｑ－ｘ６Ｐｊ()＝ｌｎｌｎｑ＋ｌｎ１＋ｘ６ｑＰｊ()ｌｎｑ＋ｌｎ１－ｘ６ｑＰｊ()＝Ｏｌｎ１＋１ｌｎｑｌｎ１＋ｘ６ｑＰｊ()()()＝Ｏ１ｌｎｑｌｎ１＋ｘ６ｑＰｊ()()＝Ｏ１ｌｎｑ㊃ｘ６ｑＰｊ()＝ＯｘＰｊｑｌｎｑ()．注２：上式中，ｌｎｌｎＴ６ｌｎＴ６ｑＰｊ＝ｌｎｌｎＴ６ｌｎＴ６＋ｌｎ１Ｐｊ＝ｌｎ１１－ｌｎＰｊｌｎＴ６＝Ｏｌｎ１＋ｌｎＰｊｌｎＴ６æèççöø÷÷æèççöø÷÷＝ＯｌｎＰｊｌｎＴæèçöø÷．最后一步用到（８）式，综上即得到引理．证毕．四㊁函数Ｇ（ｕ）的性质引理６若Ｇ（ｕ）满足方程Ｇ（ｕ）＝１ｕ２，㊀㊀㊀㊀㊀㊀１ɤｕɤ２，㊀㊀㊀㊀（１０）（ｕ２Ｇ（ｕ））ᶄ＝２ｕＧ（ｕ－１），ｕ＞２，（１１）{则Ｇ（ｕ）为连续函数，对于任意ｕȡ１，恒有１４ɤＧ（ｕ）ɤ１．. All Rights Reserved.证：令Ｇ（ｕ）＝Ｇ１（ｕ）＋Ｇ２（ｕ），其中Ｇ１（ｕ），Ｇ２（ｕ）满足方程：Ｇ１（ｕ）＝１ｕ２，Ｇ２（ｕ）＝０，㊀１ɤｕɤ２，（ｕ２Ｇ１（ｕ））ᶄ＝２ｕＧ２（ｕ－１），（ｕ２Ｇ２（ｕ））ᶄ＝２ｕＧ１（ｕ－１），ｕ＞２，{解之即知Ｇ１（ｕ），Ｇ２（ｕ）均为连续函数，故Ｇ（ｕ）为连续函数．由（１０）式知，当１ɤｕɤ２时，有１４ɤＧ（ｕ）ɤ１成立．用数学归纳法证明，当ｕ＞２时，也有１４ɤＧ（ｕ）ɤ１．由（１１）式即得：ｕ２Ｇ（ｕ）－２２Ｇ（２）＝２ʏｕ２ｔＧ（ｔ－１）ｄｔɤ２ʏｕ２ｔｄｔ＝ｕ２－２２，ʑＧ（ｕ）ɤ１－３ｕ２ɤ１．又ｕ２Ｇ（ｕ）－２２Ｇ（２）＝２ʏｕ２ｔＧ（ｔ－１）ｄｔȡ１２ʏｕ２ｔｄｔ＝１４（ｕ２－２２）＝１４ｕ２－１，ʑＧ（ｕ）ȡ１４．证毕．五㊁定理的反证１．在假设基础上得到的结果（第二类误差值的计算）引理７㊀对于充分大的Ｎ，当ｙȡＮ时，假设恒有ω（ｙ）＜Ｃｙｌｎ２ｙ㊀（１２）成立，Ｃ＝０．３７，则当ｘ１２ȡＰｊȡｌｎｘȡＮ时，恒有Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＜２ＣＧ（ｕ）ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷成立，其中Ｐｊ＝ｘ１ｕ＋１，即ｕ＝ｌｎｘｌｎＰｊ－１．证：用数学归纳法证明．当Ｎ充分大，ＰｊȡＮ时，有Ｐｊȡｌｎ７Ｐｊ，故有ｘＰ２ｊｌｎ３ＰｊɤｘＰｊｌｎ４Ｐｊ．当ｘ１２ȡＰｊȡｘ１３（１ɤｕɤ２）时，由（１２）式，引理５，定义６及推论２有：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）ɤＢ∗（ｘ，Ｐｊ）＋ＯｘＰ２ｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＝２ωｘＰｊ()－２ω（Ｐｊ－１）＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷＜２ＣｘＰｊｌｎ２ｘＰｊ()＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷＝２ＣｘＰｊ（ｌｎｘｕｕ＋１）２＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷＝２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷，即知当１ɤｕɤ２时，Ｇ（ｕ）＝１ｕ２，引理成立．若ｘ１ｋ－１ȡＰｊȡｘ１ｋ，ｋȡ３（即ｋ－２ɤｕɤｋ－１），引理成立，则当ｘ１ｋȡＰｊȡｘ１ｋ＋１，ｋ－１ɤｕɤｋ时由引理５及推论２有：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）ɤＢ∗（ｘ，Ｐｊ）＋ＯｘＰ２ｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＝２ðＰｊɤＰｉɤｘＰｊ()１２ＢｘＰｊ，Ｐｉ()＋２ωｘＰｊ()－２ωｘＰｊ()１２()＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷．此处着重说明：在以上递推计算中每项都有一个差式，如记作ω＋ｉ－ω－ｉ，易见对于每个差式，恒有ω＋ｉȡω－ｉȡω（Ｐｊ），故参加递推和式计算之ω（ｔ）均符合引理假设的条件，即：ωｘＰｊ()ȡω（ｔ）ȡω（Ｐｊ）ȡω（ｌｎｘ）ȡω（Ｎ）．又ｘ１ｋ＋１ɤＰｊ，ʑｘɤＰｋ＋１ｊ，即有ｘＰｊ()１ｋɤＰｊɤＰｉɤｘＰｊ()１２．因而可由已知递推得：Ｂ（ｘ，Ｐｉ）＜４ＣðＰｊɤＰｉɤｘＰｊ()１２ＧｌｎｘＰｊｌｎＰｉ－１æèççöø÷÷ｘＰｊＰｉｌｎ２Ｐｉ＋ＯðＰｊɤＰｉɤｘＰｊ()１２２ｘＰｊＰｉｌｎ３Ｐｉæèçöø÷＋２ＣｘＰｊｌｎ２ｘＰｊ()＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷，（１３）用Ａｂｅｌ恒等式计算：Ω＝ðＰｊɤＰｉɤｘＰｊ()１２ＧｌｎｘＰｊｌｎＰｉ－１æèççöø÷÷１Ｐｉｌｎ２Ｐｉ，在文献［１］第三章ɦ１引理２中取Ａ（ｔ）＝ðＰɤｔｌｎＰＰ，当ｔȡＰｊȡｌｎｘ充分大时，由文献［１］第四章命题（Ｃ）式有：Ａ（ｔ）＝ðｎɤｔΛ（ｎ）ｎ－ðｍȡ２ðＰɤｔ１ｍｌｎＰＰｍ＝ｌｎｔ－γ＋Ｏ（１）－Ｅ（ｔ），其中γ为Ｅｕｌｅｒ常数，Ｅ（ｔ）＝ðｍȡ２ðＰｌｎＰＰｍ－ðｍȡ２ðＰ＞ｔ１ｍｌｎＰＰｍ＝α１＋Ｏʏɕｔｌｎｑｑ２ｄｑæèçöø÷＝α１＋Ｏｌｎｔｔæèçöø÷＝α１＋Ｏ（１），ʑＡ（ｔ）＝ｌｎｔ－α＋Ｏ（１），ȵα１，γ均为与ｔ无关的常数，ʑα亦为与ｔ无关之常数．令Ｈ（ｔ）＝ｌｎｔ，ｒ（ｔ）＝－α＋Ｏ（１），ｆ（ｔ）＝ＧｌｎｘＰｊｌｎｔ－１æèççöø÷÷１ｌｎ３ｔ．ȵＨ（ｔ）连续可微，及１４ɤＧ（ｕ）ɤ１，由文献［１］第三章ɦ１引理２即可得到：Ω＝ʏｘＰｊ()１２ＰｊＧｌｎｘＰｊｌｎｔ－１æèççöø÷÷ｄｔｔｌｎ３ｔ＋ＲｘＰｊ()１２，Ｐｊ()其中ＲｘＰｊ()１２，Ｐｊ()＝ｒｘＰｊ()１２()ｆｘＰｊ()１２()－ｒ（Ｐｊ）ｆ（Ｐｊ）－ʏｘＰｊ()１２Ｐｊｒ（ｔ）ｆᶄ（ｔ）ｄｔ＝ＯｆｘＰｊ()１２()＋Ｏ（ｆ（Ｐｊ））＋. All Rights Reserved.ＯʏｘＰｊ()１２Ｐｊｆᶄ（ｔ）ｄｔ()＝Ｏ１ｌｎ３Ｐｊæèçöø÷．故由（１３）式即有：Ｂ（ｘ，Ｐｉ）＜４ＣｘＰｊʏｘＰｊ()１２ＰｊＧｌｎｘＰｊｌｎｔ－１æèççöø÷÷ｄｔｔｌｎ３ｔ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＋ＯｘＰｊʏｘＰｊ()１２Ｐｊ２ｔｌｎ４ｔæèçöø÷ｄｔ＋２ＣｘＰｊｌｎ２ｘＰｊ()＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷＝４ＣｘＰｊｌｎ２ｘＰｊ()ʏｘｕ２（ｕ＋１）ｘ１ｕ＋１ＧｌｎｘＰｊｌｎｔ－１æèççöø÷÷㊃ｌｎｘＰｊｌｎｔæèççöø÷÷３ｄｌｎｔｌｎｘＰｊæèççöø÷÷＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＋ＯｘＰｊʏ１２ｌｎｘＰｊｌｎＰｊ２τ４ｄτæèçöø÷＋２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｉæèçöø÷＝２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊʏｕ２２βＧ（β－１）ｄβ＋Ｏ２ｘ３Ｐｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＋２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊ＝２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊ［β２Ｇ（β）］ｕ２＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＋２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊ＝２ＣＧ（ｕ）ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷，其中２２Ｇ（２）＝１，故引理亦成立．证毕．２．由正态分布及其误差值计算所得到的结果引理８㊀当１００ｌｎｘȡＰｊȡｌｎｘȡＮ时，有Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＞０．７５ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ．证：由引理１即可得到：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｍ｜Ｚｊ－１ｎ｜Ｚｊ－１μ（ｍｎ）２ｘ６Ｐｊｍｎ＋Ｏ（３ｊ）＝ｘ３Ｐｊðｄ｜Ｚｊ－１μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ｄ＋Ｏ（３ｊ）＝ｘ３ＰｊᵑＰ｜Ｚｊ－１１－２Ｐ()＋Ｏ（３ｊ）（参见文献［３］１５页）ᵑＰ｜Ｚｊ－１１－２Ｐ()＝ᵑＰ｜Ｚｊ－１（Ｐ－１）２Ｐ２ᵑＰ｜Ｚｊ－１Ｐ（Ｐ－２）（Ｐ－１）２＝ᵑＰ｜Ｚｊ－１Ｐ－１Ｐ()２ᵑＰ｜Ｚｊ－１１－１（Ｐ－１）２æèçöø÷，由Ｍｅｒｔｅｎｓ公式（文献［２］第七章ɦ３）有ᵑＰ｜Ｚｊ－１Ｐ－１Ｐ()＝３㊃（２－１）（３－１）２㊃３ᵑＰ｜Ｚｊ－１Ｐ－１Ｐ＝３ｅ－ｒｌｎＰｊ１＋Ｏ１ｌｎＰｊ()()，又１＞ᵑＰ｜Ｚｊ－１１－１（Ｐ－１）２æèçöø÷＞ᵑＰ１－１（Ｐ－１）２æèçöø÷＞（３２－１）ᵑ（Ｐ２－１）３２ᵑＰ２＝４３（２２－１）（３２－１）ᵑ（Ｐ２－１）２２㊃３２ᵑＰ２éëêêùûúú＝４３ðɕｎ＝１１ｎ２æèçöø÷－１＝４３π２６()－１＝８π２＞０．８１．由素数定理，当ｌｎｘ充分大时，有ｊɤ１．１ＰｊｌｎＰｊɤ１１０ｌｎｘｌｎｌｎｘ＜１２ｌｎｘ，ʑＯ（３ｊ）＝Ｏ（３１２ｌｎｘ）＝Ｏ（ｘｌｎ３２）＝Ｏ（ｘ０．６）．综上即得Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＝ｘ３Ｐｊ㊃９ｅ－２ｒｌｎ２Ｐｊ１＋Ｏ１ｌｎＰｊ()()２㊃ᵑＰ｜Ｚｊ－１１－１（Ｐ－１）２æèçöø÷＋Ｏ（ｘ０．６）＞３ｅ－２ｒ（１－０．０１）２０．８１ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋Ｏ（ｘ０．６）＞０．７５０７ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋Ｏ（ｘ０．６）＞０．７５ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ，证毕．三㊁结㊀论当１００ｌｎｘȡＰｊȡｌｎｘȡＮ时，由引理７又有：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＜２ＣＧ（ｕ）ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷ɤ２ＣｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＜（２Ｃ＋ε）ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＜０．７５ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ，这就与引理８的结果相矛盾，因此引理７的假设不能成立．因引理７计算中的ω（ｔ）均为：ω（ｘ）ȡω（ｔ）ȡω（ｌｎｘ）ȡω（Ｎ），故可推出至少存在一点ξ，ｘȡξȡｌｎｘ，有：ω（ξ）ȡ０．３７ξｌｎ２ξ成立．故有：ω（［ξ］）＝ω（ξ）ȡ０．３７ξｌｎ２ξȡ０．３７［ξ］ｌｎ２［ξ］．（１４）即可推出在［Ｎ，ｅＮ］之间至少有一个整数点ｍ１使（１４）式成立，同样在［ｍ１，ｅｍ１］之间至少有一个整数点ｍ２使（１４）式成立，如此等等，依次类推，就证明了定理的真实性．由上述我们立即可以得到一个简单的推论：对于任意ｘȡＮ，总有：ω（ｘ）ȡ０．３７ｌｎｘ（ｌｎｌｎｘ）２成立．孪生素数猜想得证．定理证毕．ʌ参考文献ɔ［１］潘承洞，潘承彪．素数定理的初等证明［Ｍ］．上海：上海科学技术出版社，１９８８．［２］潘承洞，潘承彪．哥德巴赫猜想［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８１．［３］闵嗣鹤．数论的方法（上册）［Ｍ］，北京：科学出版社，１９８１．［４］闵嗣鹤，严士健．初等数论（第二版）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９８２．［５］［苏］Ａ．Ａ．卡拉楚巴著，潘承彪，张南岳译．解析数论基础（中译本）［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８４．［６］华罗庚．数论导引［Ｍ］．北京：科学出版社，１９７９．［７］Ｇ．Ｈ．哈代，Ｗ．Ｗ．洛戈辛斯基著，徐瑞云，王斯雷译．富里埃级数（中译本）［Ｍ］．上海：上海科学技术出版社，１９７８．［８］‘数学手册“编写组．数学手册［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９７９．［９］潘承洞．素数分布与哥德巴赫猜想［Ｍ］．济南：山东科学技术出版社，１９７９．. All Rights Reserved.。

关于孪生素数的哥德巴赫猜想证明

关于孪生素数的哥德巴赫猜想证明
作者：赖书乡哥德巴赫猜想一：存在无穷多素数，其差为2。

即有无穷多差值为2的孪生素数。

证明：
一、有集合： 6x±1 ；当x=1/6 ,1/3,1/2,1,2,3,......n 产生无穷多数对，其差值为2。

二、集合： 6x±1 ；当x=1/6,1/3,1/2,1,2,3,......n 产生无穷多素数，即包含所有素数。

（其中含有非素数）
三、故存在无穷多素数，其差值为2。

实际上这不能算是什么证明，这是自明的事，只不过由于对以素数的代数解析通式一直以来没有被构造出来，加上一个无穷的概念和解析数论的传统束缚了人们的思想，似乎研究数论只能采用高等分析的数学方法，不能使用初等的代数算术方法。

其实这是一个误区认识，数论的研究对象是自然数，是寻找自然数这个可数的无穷集合的结构规侓，为什么就不能用初等的数学方法，难道当初黎曼开解析数论之先河就宣告数论的研究只此一途？我们必须明白，任何高深巧妙的所谓天才证明，都不如一个简单明了的代数式更能说明问题，一个代数式的清晰准确性和直接性无可比拟。

关于孪生素数猜想的一个证明

关于孪生素数猜想的一个证明
孪生素数猜想（Twin Prime Conjecture）：任意两个连续的大于2的素数，必有一对孪生素数。

思路：
一、利用费马小定理证明
费马小定理：当p是素数时，对于所有正整数a，都有a的p次方与a减去1的商等于1(mod p)。

证：考虑任意两个素数p1和p2，p2=p1+2，设a=2，那么在p1和p2上面都有a的p次方与a减去1=1的商等于1（mod p1）和1（mod p2），即：
p1|2p1-1
p2|2p2-1
同时，2p1-1和2p2-1刚好满足2p2-2p1=2，由于p1和p2是素数，交换取整律有：
2|2p2-2p1
而满足上述等式的唯一解即为p1和p2之和为2。

故证明孪生素数猜想成立。

二、利用数论的方式证明
任意大于2的偶数都可以表示为一对素数之和，即：2n = p1 + p2，其中p1和p2均为素数。

关于这一对素数，存在以下情况：
1、p2 = p1 + 2（孪生素数）
2、p1和p2无任何关系（非孪生素数）
由此可以推出，只要2n=p1+p2成立，那么p1和p2之间必然存在孪生素数对。

故证明孪生素数猜想成立。

孪生素数猜想证明

根据素数定理，以及就平均而言 p k 1 p k ln p k
3
∴
2 ［ pk , p k21 ) p 2 p k2 2 p k ln p k ln 2 p k ln p k k 1 1 2 2 pk pk p k ln p k p k ln p k
∴
2 ［ pk , p k21 ) p ［ p k2 , p k21 ) p ln p k p ＝ k k (1 ) <2 k psk p sk pk psk pk p sk
e 2 n 2 p 1 Sh(n) ( ) (1 ) 2 2 3 p n p p |a p 2
2n= pu p v 的哥德巴赫猜想解个数 G(2n)
G (2n) (
e 2 n 2 p 1 ) (1 ) 2 2 3 p n p p|n p 2
证明：
2 2 2 2 ∵ n＝3+(8－3)+(24－8)+(48－24)+…+ ( p k 1 p k ) +…+ ( p i 1 p i ) 2 2
∴ 根据引理 1，区间［ p k , p k 1 ）的素数个数可近似表示为
k
2 ( p k21 p k ) (1
j 1
sk
2 2 w(k)= | ( p k 1 p k )
(1 p
j 1
1
j
) －π［ p k2 , p k21 )|
w(S)=|
sk 2 1 2 ( p p ) ) ( n) | k 1 k (1 p k 1 j 1 j i
1 ) pj
2 pk 1 / pk 1 时，p k 到

关于孪生素数猜想的证明

关于孪生素数猜想的证明关于孪生素数猜想的证明Һ吴国胜㊀（安徽省电子器材公司，安徽㊀合肥㊀２３００６１）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文的目的在于用筛法㊁解析方法等基础理论证明在自然数中存在无穷对孪生素数，并给出孪生素数分布的下界．ʌ关键词ɔ孪生素数猜想；定义及推论；误差值引㊀言两个相差２的素数称作一对孪生素数．在自然数中存在无穷对孪生素数的猜想是古希腊人提出来的，迄今大约有二千年的历史了，它和１７４２年德国人提出的Ｇｏｌｄｂａｃｈ猜想被人们喻为姐妹问题．德国杰出的数学家Ｈｉｌｂｅｒｔ１９００年在巴黎召开的第二届国际数学家代表大会上提出二十三个著名问题，孪生素数猜想是其中第八个问题的一部分．本文的目的在于对以下定理给出详细证明．定理命ω（ｘ）表示不超过ｘ的孪生素数组数，对于充分大的Ｎ，存在无穷多个整数点Ｍｉɪ［Ｎ，＋ɕ），有ω（Ｍｉ）ȡ０．３７Ｍｉｌｎ２Ｍｉ．有简单推论，对于任意ｘȡＮ，总有ω（ｘ）ȡ０．３７ｌｎｘ（ｌｎｌｎｘ）２．孪生素数猜想成立．一㊁定义及推论定义１㊀命２，３为原素数，不再以Ｐ表示．素数以Ｐｉ表示，其中Ｐ１＝５，Ｐ２＝７，Ｐ３＝１１，，以此类推．相应地，孪生素数从５，７开始计算．定义２㊀Ｚｊ＝ᵑｊｉ＝１Ｐｉ．定义３㊀命６ｎ－１与６ｎ＋１为一对孪生组，ｎ为正整数．推论１㊀命Ｄ（ｘ）表示［０，ｘ］间孪生组的组数，则Ｄ（ｘ）＝ｘ－１６[]，１ɤｘ，０，０ɤｘ＜１．æèçç定义４㊀Ｂ（ｘ，Ｐｊ）为［０，ｘ］间一方含Ｐｊ因子而双方均与Ｚｊ－１互素的孪生组的组数，称作ｘ内Ｐｊ的孪生类数．（ｘȡＰｊ）．推论２㊀ω（ｘ）－ω（ｘ）＝Ｄ（ｘ）－ðｐ１ɤｐｊɤｘＢ（ｘ，Ｐｊ）．定义５㊀当（６，ｋｎ）＝（ｋ，ｎ）＝１定义Ｔ（ｋ，ｎ）ʉ（ｋｎ）２＋６ｋｑ（ｍｏｄ６ｋｎ），其中ｑ满足３ｋｑʉ１（ｍｏｄｎ），特别地，Ｔ（ｋ，１）ʉｋ２（ｍｏｄ６ｋ）．定义６㊀Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）＝２ＤｘＰｊ()－２ðＰ１ɤＰｉɤＰｊ－１ＢｘＰｊ，Ｐｉ()，为二倍于０，ｘＰｊ[]间不小于Ｐｊ孪生类的孪生组数．（ｘȡＰ２ｊ）．（注：本文［α］，｛α｝分别表示α的整数与分数部分，并将［α＋β］＋［α－β］简记作［αʃβ］，将｛α＋β｝＋｛α－β｝简记作｛αʃβ｝，将ｓｉｎ（α＋β）＋ｓｉｎ（α－β）简记作ｓｉｎ（αʃβ）．）二㊁第一类误差关系式的建立引理１㊀Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｎ｜ｚｊ－１ｍ｜ｚｊ－１（ｍ，ｎ）＝１μ（ｍｎ）(ｘ＋Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）－２６Ｐｊｍｎéëêùûú＋ｘ－Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）６Ｐｊｍｎéëêùûú＋１)（ｘȡＰｊ）．证：当（ｍ，ｎ）＝（６Ｐｊ，ｍｎ）＝１时，由定义５有Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）ʉ０（ｍｏｄＰｊｍ），１（ｍｏｄ６）．{Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）－２ʉ０（ｍｏｄｎ），－１（ｍｏｄ６）．{故Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）与Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）－２为分别由Ｐｊｍ与ｎ因子组成的孪生组，后者为６Ｋ－１型，同样Ｔ（ｎ，Ｐｊｍ）与Ｔ（ｎ，Ｐｊｍ）－２为另一组分别由Ｐｊｍ与ｎ因子组成的孪生组，后者为６Ｋ－１型，且－Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）ʉＴ（ｎ，Ｐｊｍ）－２（ｍｏｄ６Ｐｊｍｎ）．根据剩余系互补的性质，当（ｍ，ｎ）＝（６Ｐｊ，ｍｎ）＝１，对于任意ｘȡＰｊ，在［０，ｘ］间一方含Ｐｊｍ因子，另一方含ｎ因子的孪生组数：Ｄ（ｘ，Ｐｊｍ，ｎ）＝ｘ＋Ｔ（ｐｊｍ，ｎ）－２６Ｐｊｍｎéëêùûú＋ｘ－Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）６Ｐｊｍｎéëêùûú＋１．由定义４和Ｂｒｕｎ的包含排除定理（文献［６］第一章ɦ７定理１），即得引理．又当（ｍ，ｎ）＞１时，恒有μ（ｍｎ）＝０，故引理中（ｍ，ｎ）＝１的条件可以不必要．证毕．引理２㊀（Ⅰ）Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）＝ðｎ｜ｚｊ－１ｍ｜ｚｊ－１μ（ｍｎ）æèççｘＰｊ＋Ｔ（ｍ，ｎ）－２６ｍｎéëêêêùûúúú＋ｘＰｊ－Ｔ（ｍ，ｎ）６ｍｎéëêêêùûúúú＋１öø÷÷－１（ｘȡＰ２ｊ）．（Ⅱ）若用Ｔ（Ｐｊｍ，ｎ）代替Ｔ（ｍ，ｎ），上式亦成立．证：当ｍ＝ｎ＝１时，Ｔ（１，１）ʉ１（ｍｏｄ６），μ（１）＝１，ʑｘＰｊ＋Ｔ（１，１）－２６éëêêêùûúúú＋ｘＰｊ－Ｔ（１，１）６éëêêêùûúúú＋１－１＝２ｘＰｊ－１６éëêêêùûúúú＝２ＤｘＰｊ()，又Ｔ（ｍ，ｎ）－２ʉ－Ｔ（ｎ，ｍ）（ｍｏｄ６ｍｎ）．由定义６和引理１即得（Ⅰ）成立．ȵ（Ｐｊ，ｍｎ）＝（Ｐｊ，Ｚｊ－１）＝１，ʑＴ（Ｐｊｍ，ｎ）ʉＴ（ｍ，ｎ）（ｍｏｄ６ｍｎ）．又Ｔ（Ｐｊ，１）ʉＰ２ｊʉ１（ｍｏｄ６），ʑｘＰｊ＋Ｐ２ｊ－２６éëêêêùûúúú＋ｘＰｊ－Ｐ２ｊ６éëêêêùûúúú＋１－１＝２ｘＰｊ－１６éëêêêùûúúú＝２ＤｘＰｊ()，故（Ⅱ）亦成立，证毕．引理３㊀Ｂ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）ɤｈ（ｘ，Ｐｊ）＋Ｏ（１）（ｘȡＰ２ｊ），ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１２ｎπｓｉｎｎπｘ３Ｐｊｄ㊃ｃｏｓｎπＴ（Ｋξ）３Ｐｊｄ－ｃｏｓｎπＴ（Ｋξ）３ｄæèçöø÷，其中Ｔ（Ｋξ）＝ＴＰｊＫξ，Ｚｊ－１Ｋξæèçöø÷，Ｋξ为Ｋｉ｜Ｚｊ－１之某一值，ｖ（ｄ）表示ｄ的不同素因子的个数，ｖ（１）＝０．证：命φ表示Ｋｉ｜Ｚｊ－１的集合，因Ｚｊ－１无重复素因子，故对于任一Ｚｊ－１，Ｋｉ之集合有且仅有ðｊ－１ｋ＝１Ｃｋｊ－１＝２ｊ－１个元素组成，当（ｌ１，ｌ２）＝（ｌ１，６Ｐｊｍｎ）＝（ｌ２，６Ｐｊｍｎ）＝１，有Ｔ（ｌ１Ｐｊｍ，ｌ２ｎ）ʉＴ（Ｐｊｍ，ｎ）（ｍｏｄ６Ｐｊｍｎ）．由引理１，２即可得到：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）＝ðＫｉ｜Ｚｊ－１１２ｊ－１ðｄ｜Ｚｊ－１μ（ｄ）２ｖ（ｄ）㊃æèççｘ＋Ｔ（Ｋｉ）－２６Ｐｊｄéëêùûú＋ｘ－Ｔ（Ｋｉ）６Ｐｊｄéëêùûú－ｘＰｊ＋Ｔ（Ｋｉ）－２６ｄéëêêêùûúúú－ｘＰｊ－Ｔ（Ｋｉ）６ｄéëêêêùûúúúöø÷÷＋１，（１）现估计（１）式中第一㊁三两项中消去－２后所产生的误差Ｒ＝Ｒ１＋Ｒ３，命Ａｉ＝ｘ＋Ｔ（Ｋｉ）有：Ａｉ－２６Ｐｊｄéëêùûú＝［Ａｉ］－２６Ｐｊｄéëêùûú＝Ａｉ６Ｐｊｄéëêùûú－１，当［Ａｉ］ʉ０或１（ｍｏｄ６Ｐｊｄ），Ａｉ６Ｐｊｄéëêùûú，其他．ìîíïïïï故知只有当［Ａｉ］＝６ＰｊＭｉＤｉ＋δ（δ＝０或１，其中Ｄｉ｜Ｚｊ－１）时才产生误差，根据同余的性质有：ðｄ｜Ｄｉμ（ｄ）２ｖ（ｄ）＝１，ｖ（Ｄｉ）为偶数或０，－１，ｖ（Ｄｉ）为奇数，{ʑＲ１ɤ１２ｊ－１ðＫｉ｜Ｚｊ－１１＝１，同样可证得｜Ｒ３｜ɤ１．ʑ｜Ｒ｜ɤ｜Ｒ１｜＋｜Ｒ３｜ɤ２，故由（１）式知必定存在某一Ｋξ｜Ｚｊ－１，使得：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）ɤｈ（ｘ，Ｐｊ）＋Ｏ（１），其中ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１μ（ｄ）２ｖ（ｄ）æèççｘʃＴ（ｋξ）６Ｐｊｄéëêùûú－ｘＰｊʃＴ（Ｋξ）６ｄéëêêêùûúúúöø÷÷，ȵＰｊＫξ｜Ｔ（Ｋξ），Ｚｊ－１Ｋξ｜Ｔ（Ｋξ）－２，（注：以下将Ｔ（Ｋξ）简记作Ｔ）ʑｄ｜Ｚｊ－１｜Ｔ（Ｔ－２）．因ｄ无重复素因子，故知对于任意ｄ，当ｄȡ４ｘ２可分解为ｄ＝ｄ１ｄ２，其中ｄ２ȡｄ１ȡ１，使ｄ２｜Ｔ或者ｄ２｜（Ｔ－２）两者之一成立．显然ｄ２ȡ２ｘ＞ｘ＋２Ｐｊ（ｘȡＰ２ｊ），如ｄ２｜Ｔ成立，有０＜ｘｄ２＝β＜１，Ｔｄ２＝Ｌ，显然（６，Ｌ）＝１，因而－Ｌ６ｑ[]＝－１－Ｌ６ｑ[]（ｑ为正整数），故有：ｘʃＴ６Ｐｊｄ[]－ｘＰｊʃＴ６ｄéëêêêùûúúú＝βʃＬ６Ｐｊｄ１[]－βʃＰｊＬ６Ｐｊｄ１éëêùûú＝ʃＬ６Ｐｊｄ１[]－ʃＬ６ｄ１[]＝０，同样如ｄ２｜（Ｔ－２），则有０＜ｘ＋２ｄ２＝β１＜１，０＜ｘ－２ｄ２＝β２＜１，０＜ｘ＋２Ｐｊｄ２＝β３＜１，０＜ｘ－２Ｐｊｄ２＝β４＜１，Ｔ－２ｄ２＝Ｌ，则（６，Ｌ）＝１，即有ｘʃＴ６Ｐｊｄ[]－ｘＰｊʃＴ６ｄéëêêêùûúúú＝β１＋Ｌ６Ｐｊｄ１éëêùûú＋β２－Ｌ６Ｐｊｄ１éëêùûú－β３＋ＰｊＬ６Ｐｊｄ１éëêùûú－β４－ＰｊＬ６Ｐｊｄ１éëêùûú＝ʃＬ６Ｐｊｄ１[]－ʃＬ６ｄ１[]＝０，ʑｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ｘʃＴ６Ｐｊｄ[]－ｘʃＰｊＴ６Ｐｊｄéëêùûúæèçöø÷＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ｘʃＰｊＴ６Ｐｊｄ{}－ｘʃＴ６Ｐｊｄ{}æèçöø÷，（２）由Ｆｏｕｒｉｅｒ展开式，当｛α｝ʂ０时有：｛α｝＝－ðɕｎ＝１１ｎπｓｉｎ（２ｎπα）＋１２，（３）ȵＰｊ｜Ｔ，ʑ只需取ｘ，当Ｐｊ｜ｘ，即有（２）式中任意一项｛αｉ｝ʂ０均适用于（３）式，故（２）式又可表示为：ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１２ｎπｓｉｎｎπｘ３Ｐｊｄ(ｃｏｓｎπＴ３Ｐｊｄ－ｃｏｓｎπＴ３ｄ)，证毕．三、第一类误差值的计算引理４㊀用Ｍ［Ｆ１（ｙ）］表示函数Ｆ１（ｙ）的Ｍｅｌｌｉｎ变换式，若有Ｍ［Ｆ１（ｙ）］＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ｄｓ－２（ζ（２－ｓ）－１）（ｓ－１），取σ＝ＲｅＳ＝１－１ｌｎｙ，当ｙ＞Ｐｊ时，必有｜Ｆ１（ｙ）｜＝Ｏｌｎ２Ｐｊｙｌｎｙæèçöø÷．证：σ＝１－１ｌｎｙ＞１－１ｌｎＰｊ＞０．首先证明Ｍ［Ｆ１（ｙ）］绝对收敛．令Ｈ（ｓ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ｄｓ－２，（４）则Ｈ（ｓ）ɤðｄ｜Ｚｊ－２｜μ（ｄ）｜２ｖ（ｄ）｜ｄｓ－２｜＝ᵑＰ｜Ｚｊ－１（１＋２Ｐσ－２），ʑｌｎ｜Ｈ（ｓ）｜ɤｌｎᵑＰ｜Ｚｊ－１（１＋２Ｐσ－２）＝ðＰ１ɤＰɤＰｊ－１ｌｎ（１＋２Ｐ－１－１ｌｎｙ）ɤðＰ１ɤＰɤＰｊ－１２Ｐ－１＝２ｌｎｌｎＰｊ＋Ｏ（１）．（参见文献［２］第七章ɦ３Ｍｅｒｔｅｎｓ公式）ʑ｜Ｈ（ｓ）｜＝Ο（ｌｎ２Ｐｊ）绝对收敛．又Ｒｅ（２－ｓ）＝１＋１ｌｎｙ＞１，令ｂ１（ｕ）＝｛ｕ｝－１２，有ζ（２－ｓ）＝１１－ｓ＋１２－（２－ｓ）ʏɕ１ｂ１（ｕ）ｕ３－ｓｄｕ＝－１ｓ－１＋１＋ʏɕ１｛ｕ｝ｄｕｓ－２，（参考文献［１］第八章ɦ２）ʏɕ１｛ｕ｝ｄｕｓ－２为｛ｕ｝ʂ０时的瑕积分，记作Ｐ㊃Ｖ．Ｐ㊃Ｖʏɕ１｛ｕ｝ｄｕｓ－２＝｛ｕ｝ｕｓ－２ɕ１－Ｐ㊃Ｖʏɕ１ｕｓ－２ｄ｛ｕ｝＝－Ｐ㊃Ｖʏɕ１ｕｓ－２ｄ｛ｕ｝ｄｕｄｕ，当｛ｕ｝ʂ０，由（３）式有ｄ｛ｕ｝ｄｕ＝－２ðɕｎ＝１ｃｏｓ（２ｎπｕ）＝－ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πｕｓｉｎπｕ＋１，（参考文献［７］（３．６．１）式）综上即得：Ｑ＝（ζ（２－ｓ）－１）（ｓ－１）＝－１＋（ｓ－１）Ｐ㊃Ｖʏɕ１ｕｓ－２ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πｕｓｉｎπｕ－１æèççöø÷÷ｄｕ＝－１＋Ｐ㊃Ｖʏɕ１（ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πｕｓｉｎπｕ－１）ｄｕｓ－１＝Ｐ㊃Ｖʏɕ１ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πｕｓｉｎπｕｄｕｓ－１，ʑ｜Ｑ｜ɤＰ㊃Ｖʏɕ１｜ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πｕｓｉｎπｕ｜㊃｜ｄｕｓ－１｜＝｜ｌｉｍλңɕｓｉｎλ＋１２()２πξｓｉｎπξ｜ʏɕ１ｄｕ－１ｌｎｙ｜ɤ１ｓｉｎπξ＜＋ɕ（｛ξ｝ʂ０），ʑＭ［Ｆ１（ｙ）］绝对收敛．令ʏ（σ）＝ｌｉｍＡңɕʏσ＋ｉＡσ－ｉＡ，由文献［１］第十二章ɦ１引理１有：Ｆ１（ｙ）＝１２πｉʏ（σ）Ｍ［Ｆ１（ｙ）］ｙ－ｓｄｓ＝１２πｉʏ（σ）Ｈ（ｓ）（ζ（２－ｓ）－１）（ｓ－１）ｙ－ｓｄｓ＝－１２πｉʏ（σ）Ｈ（ｓ）（ζ（２－ｓ）－１）ｄｙ－ｓ＋１ｄｙｄｓ＝ｉ２πʏ（σ）Ｈ（ｓ）（ζ（２－ｓ）－１）ｄｓｄｙｄｙ－ｓ＋１．ȵζ（２－ｓ）－１＝ðɕｎ＝２１ｎ２－ｓ，ʑ｜ζ（２－ｓ）－１｜ɤðɕｎ＝２１ｎ１＋１ｌｎｙ＝ʏɕ１ｄｕｕ１＋１ｌｎｙ＋Ｏ（１）＝－ｌｎｙ㊃ｕ－１ｌｎｙɕ１＋Ｏ（１）＝ｌｎｙ＋Ｏ（１），ｄｓｄｙ＝ｄ１ｌｎｙｄｙ＝１ｙｌｎ２ｙ，｜ｙｉｔ｜＝｜ｅｉｔｌｎｙ｜＝１，ｙ－σ＋１＝ｙ１ｌｎｙ＝ｅ．当ｙ＞Ｐｊ，ｌｎｙ＞ｌｎＰｊ≫１，ʑ｜Ｆ１（ｙ）｜ɤʏ（σ）｜Ｈ（ｓ）｜｜ζ（２－ｓ）－１｜ｄｓｄｙ｜ｄｙ－ｓ＋１｜ɤʏ（σ）Ｏ（ｌｎ２Ｐｊ）（ｌｎｙ＋Ｏ（１））１ｙｌｎ２ｙｄｙ１ｌｎｙ＝Ｏｌｎ２Ｐｊｙｌｎｙæèçöø÷，证毕．引理５㊀对于充分大的ｘ，恒有Ｂ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）ɤＯｘｌｎ３ＰｊＰ２ｊæèçöø÷＋Ｏ（１），当Ｐｊɤｘ１２时，误差项Ｏ（１）可以不计．证：（Ⅰ）当Ｐｊɤ６ｌｎｘ时，ȵðɕｎ＝１２ｎπｓｉｎｎπαｃｏｓｎπβɤ１，又ｖ（Ｐ）＝１，由引理３有：ｈ（ｘ，Ｐｊ）ɤ２ðｄ｜Ｚｊ－１｜μ（ｄ）｜２ｖ（ｄ）＝２ᵑＰ｜Ｚｊ－１（１＋２ｖ（Ｐ））＝２㊃３ｊ－１．由素数定理得ｊ＝π（Ｐｊ）＝ＰｊｌｎＰｊ１＋Ｏ１ｌｎＰｊ()()．ʑＢ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）ɤ２㊃３ｊ－１＋Ｏ（１）＜３ｊɤ３７ｌｎｘｌｎｌｎｘ＝ｘ７ｌｎ３ｌｎｌｎｘ＜ｘ１２≪ｘｌｎ３ＰｊＰ２ｊ．（Ⅱ）当ｘ１２＜Ｐｊɤｘ，显然有Ｂ（ｘ，Ｐｊ）－Ｂ∗（ｘ，Ｐｊ）＝Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＝１，Ｐｊ与Ｐｊ＋２为孪生素数，０，其他．{（Ⅲ）现着重讨论６ｌｎｘ＜Ｐｊɤｘ１２的情形．由引理３我们有：㊀ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１４ｎπ㊃ｎπｄ㊃ｓｉｎｎπｘ３ＰｊｄʏＴ６Ｔ６Ｐｊｓｉｎ２ｎπｑｄｄｑ＝ʏＴ６Ｔ６Ｐｊðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１２ｄ(ｃｏｓｑ－ｘ６Ｐｊｄ２ｎπ－ｃｏｓｑ＋ｘ６Ｐｊｄ２ｎπ)ｄｑ＝ʏＴ６Ｔ６Ｐｊʏｑ＋ｘ６Ｐｊｑ－ｘ６Ｐｊ(ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１４ｎπｄ２ｓｉｎ２ｎπｄｙ)ｄｙｄｑ＝ʏＴ６Ｔ６Ｐｊʏｑ＋ｘ６Ｐｊｑ－ｘ６ＰｊＦ（ｙ）ｄｙｄｑ．由积分不等式，当ｂ＞ａȡ０时，若在区间［ａ，ｂ］上ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）可积，｜ｆ（ｘ）｜ɤ｜ｇ（ｘ）｜，则有ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤʏｂａ｜ｆ（ｘ）｜ｄｘɤʏｂａ｜ｇ（ｘ）｜ｄｘ．又Ｆ（ｙ）可积，则有：ｈ（ｘ，Ｐｊ）ɤʏＴ６Ｔ６Ｐｊʏｑ＋ｘ６Ｐｊｑ－ｘ６ＰｊＦ（ｙ）ｄｙｄｑ，（５）Ｆ（ｙ）是实连续函数，ｙ＞０（见（９）式），我们可对其取Ｍｅｌｌｉｎ变换，令ＲｅＳ＝１－１ｌｎｙ，当α＞０时，Ｍ［ｓｉｎαｘ］＝ʏɕ０ｓｉｎαｘ㊃ｘｓ－１ｄｘ＝α－ｓΓ（ｓ）ｓｉｎπｓ２，ʑＭ［Ｆ（ｙ）］＝ðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ðɕｎ＝１（ｎπ）１－ｓ２２－ｓΓ（ｓ）ｄｓ－２ｓｉｎπｓ２，（６）ðɕｎ＝１ｎ１－ｓ＝ζ（ｓ－１），Γ（ｓ）＝（ｓ－１）Γ（ｓ－１）（文献［５］第二章ɦ２定理２），ｓｉｎπｓ２＝ｃｏｓπ（ｓ－１）２．根据ＲｉｅｍａｎｎＺｅｔａ函数解析开拓的性质（文献［３］第二篇第二章ɦ２定理２．１）有ζ（１－ｓ）＝２１－ｓπ－ｓｃｏｓπｓ２Γ（ｓ）ζ（ｓ）普遍成立．ʑ由（６）式和（４）式有：Ｍ［Ｆ（ｙ）］＝ζ（ｓ－１）Γ（ｓ－１）（ｓ－１）π１－ｓ２２－ｓＨ（ｓ）㊃ｃｏｓπ（ｓ－１）２＝ζ（２－ｓ）（ｓ－１）Ｈ（ｓ），令Ｆ（ｙ）＝Ｆ１（ｙ）＋Ｆ２（ｙ），则Ｍ［Ｆ（ｙ）］＝Ｍ［Ｆ１（ｙ）］＋Ｍ［Ｆ２（ｙ）］，其中Ｍ［Ｆ１（ｙ）］＝（ζ（２－ｓ）－１）（ｓ－１）Ｈ（ｓ），（７）Ｍ［Ｆ２（ｙ）］＝（ｓ－１）Ｈ（ｓ），相应地，ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ｈ１（ｘ，Ｐｊ）＋ｈ２（ｘ，Ｐｊ），首先证明ｈ２（ｘ，Ｐｊ）＝０．ȵＰｊＫξＴ，Ｚｊ－１Ｋξ（Ｔ－２）（见引理３），ʑＴȡＰｊＫξ，Ｔ－２ȡＺｊ－１Ｋξ，Ｔ２＞Ｔ（Ｔ－２）ȡＰｊＫξ㊃Ｚｊ－１Ｋξ＝ＰｊＺｊ－１＝Ｚｊ，Ｔ＞Ｚｊ（注：当ｘȡＰ２ｊ，必有ｄ通过所有ＰɤＰｊ－１，故（５）式中Ｔ不变．）由文献［１］第三章ɦ１定理２契贝谢夫θ函数性质有：ｌｎＴ＞１２ｌｎＺｊ＞１２－ε()Ｐｊȡ１２－ε()６ｌｎｘ＞２．８ｌｎｘ，即有１ｌｎＴ＝Ｏ１Ｐｊ()，（８）及Ｔ＞ｘ２．８，又ｘȡＰ２ｊ，由（５）式知ｙȡｑ－ｘ６ＰｊȡＴ－ｘ６Ｐｊ＞ｘ２．８－ｘ６ｘ≫ｘ２．２≫４ｘ２，（９）ｈ２（ｘ，Ｐｊ）＝ʏＴ６Ｔ６Ｐｊʏｑ＋ｘ６Ｐｊｑ－ｘ６ＰｊＦ２（ｙ）ｄｙｄｑ＝(ʏɕＴ－ｘ６Ｐｊ－ʏɕＴ－ｘＰｊ６－ʏɕＴ＋ｘ６Ｐｊ＋ʏɕＴ＋ｘＰｊ６)ʏɕφＦ２（η）ｄηｄφ，由Ｍｅｌｌｉｎ变换公式（文献［８］５８１页），若Ｍ［ｆ（ｙ）］＝Ｍ（ｓ），则有：Ｍ［ʏɕｙｆ（φ）ｄφ］＝Ｍ（ｓ＋１）ｓ成立，由此推出：Ｍ［ʏɕｙʏɕφｆ（η）ｄηｄφ］＝Ｍ（ｓ＋２）（ｓ＋１）ｓ成立．令Ｕ（ｙ）＝ʏɕｙʏɕφＦ２（η）ｄηｄφ，由Ｍ［Ｆ２（ｙ）］＝（ｓ－１）Ｈ（ｓ）得到Ｍ［Ｕ（ｙ）］＝（ｓ＋２－１）Ｈ（ｓ＋２）（ｓ＋１）ｓ＝１ｓＨ（ｓ＋２），由（９）式ｙ≫４ｘ２，即σ＝１－１ｌｎｙ＞０，因而｜Ｍ［Ｕ（ｙ）］｜＝１σ＋ｉｔＨ（２＋σ＋ｉｔ）ɤðｄ｜Ｚｊ－１｜μ（ｄ）｜２ｖ（ｄ）ｄσ１σ＋ｉｔ＝１σ２＋ｔ２ðｄ｜Ｚｊ－１｜μ（ｄ）｜２ｖ（ｄ）ｄσ＜＋ɕ绝对收敛．即有：Ｕ（ｙ）＝１２πｉʏσ＋ｉɕσ－ｉɕＭ［Ｕ（ｙ）］ｙ－ｓｄｓ＝１２πｉʏσ＋ｉɕσ－ｉɕðｄ｜Ｚｊ－１（ｄ＜４ｘ２）μ（ｄ）２ｖ（ｄ）１ｓｄｙ()ｓｄｓ，根据Ｍｅｌｌｉｎ变换表（文献［８］５８２页）有１２πｉʏσ＋ｉɕσ－ｉɕ１ｓαｙ()ｓｄｓ＝１（ｙ＜α），０（ｙ＞α），{（σ＞０）由（９）式得ｙ＞４ｘ２＞ｄ，ʑＵ（ｙ）＝０，即可得到ｈ２（ｘ，Ｐｊ）的各项积分均为０，ʑｈ２（ｘ，Ｐｊ）＝０．又Ｆ１（ｙ）满足引理４的条件，由（５）式有：ｈ（ｘ，Ｐｊ）＝ｈ１（ｘ，Ｐｊ）ɤＯʏＴ６Ｔ６Ｐｊʏｑ＋ｘ６Ｐｊｑ－ｘ６Ｐｊｌｎ２Ｐｊｙｌｎｙｄｙｄｑæèçöø÷＝Ｏｌｎ２ＰｊʏＴ６Ｔ６Ｐｊｌｎｌｎｑ＋ｘ６Ｐｊ()ｌｎｑ－ｘ６Ｐｊ()ｄｑæèçççöø÷÷÷＝Ｏｘｌｎ２ＰｊＰｊʏＴ６Ｔ６Ｐｊｄｑｑｌｎｑæèçöø÷＝Ｏｘｌｎ２ＰｊＰｊｌｎｌｎＴ６ｌｎＴ６Ｐｊæèçççöø÷÷÷＝Ｏｘｌｎ３ＰｊＰｊｌｎＴæèçöø÷＝Ｏｘｌｎ３ＰｊＰ２ｊæèçöø÷．注１：上式中，ｌｎｌｎｑ＋ｘ６Ｐｊ()ｌｎｑ－ｘ６Ｐｊ()＝ｌｎｌｎｑ＋ｌｎ１＋ｘ６ｑＰｊ()ｌｎｑ＋ｌｎ１－ｘ６ｑＰｊ()＝Ｏｌｎ１＋１ｌｎｑｌｎ１＋ｘ６ｑＰｊ()()()＝Ｏ１ｌｎｑｌｎ１＋ｘ６ｑＰｊ()()＝Ｏ１ｌｎｑ㊃ｘ６ｑＰｊ()＝ＯｘＰｊｑｌｎｑ()．注２：上式中，ｌｎｌｎＴ６ｌｎＴ６ｑＰｊ＝ｌｎｌｎＴ６ｌｎＴ６＋ｌｎ１Ｐｊ＝ｌｎ１１－ｌｎＰｊｌｎＴ６＝Ｏｌｎ１＋ｌｎＰｊｌｎＴ６æèççöø÷÷æèççöø÷÷＝ＯｌｎＰｊｌｎＴæèçöø÷．最后一步用到（８）式，综上即得到引理．证毕．四㊁函数Ｇ（ｕ）的性质引理６若Ｇ（ｕ）满足方程Ｇ（ｕ）＝１ｕ２，㊀㊀㊀㊀㊀㊀１ɤｕɤ２，㊀㊀㊀㊀（１０）（ｕ２Ｇ（ｕ））ᶄ＝２ｕＧ（ｕ－１），ｕ＞２，（１１）{则Ｇ（ｕ）为连续函数，对于任意ｕȡ１，恒有１４ɤＧ（ｕ）ɤ１．证：令Ｇ（ｕ）＝Ｇ１（ｕ）＋Ｇ２（ｕ），其中Ｇ１（ｕ），Ｇ２（ｕ）满足方程：Ｇ１（ｕ）＝１ｕ２，Ｇ２（ｕ）＝０，㊀１ɤｕɤ２，（ｕ２Ｇ１（ｕ））ᶄ＝２ｕＧ２（ｕ－１），（ｕ２Ｇ２（ｕ））ᶄ＝２ｕＧ１（ｕ－１），ｕ＞２，{解之即知Ｇ１（ｕ），Ｇ２（ｕ）均为连续函数，故Ｇ（ｕ）为连续函数．由（１０）式知，当１ɤｕɤ２时，有１４ɤＧ（ｕ）ɤ１成立．用数学归纳法证明，当ｕ＞２时，也有１４ɤＧ（ｕ）ɤ１．由（１１）式即得：ｕ２Ｇ（ｕ）－２２Ｇ（２）＝２ʏｕ２ｔＧ（ｔ－１）ｄｔɤ２ʏｕ２ｔｄｔ＝ｕ２－２２，ʑＧ（ｕ）ɤ１－３ｕ２ɤ１．又ｕ２Ｇ（ｕ）－２２Ｇ（２）＝２ʏｕ２ｔＧ（ｔ－１）ｄｔȡ１２ʏｕ２ｔｄｔ＝１４（ｕ２－２２）＝１４ｕ２－１，ʑＧ（ｕ）ȡ１４．证毕．五、定理的反证１．在假设基础上得到的结果（第二类误差值的计算）引理７㊀对于充分大的Ｎ，当ｙȡＮ时，假设恒有ω（ｙ）＜Ｃｙｌｎ２ｙ㊀（１２）成立，Ｃ＝０．３７，则当ｘ１２ȡＰｊȡｌｎｘȡＮ时，恒有Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＜２ＣＧ（ｕ）ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷成立，其中Ｐｊ＝ｘ１ｕ＋１，即ｕ＝ｌｎｘｌｎＰｊ－１．证：用数学归纳法证明．当Ｎ充分大，ＰｊȡＮ时，有Ｐｊȡｌｎ７Ｐｊ，故有ｘＰ２ｊｌｎ３ＰｊɤｘＰｊｌｎ４Ｐｊ．当ｘ１２ȡＰｊȡｘ１３（１ɤｕɤ２）时，由（１２）式，引理５，定义６及推论２有：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）ɤＢ∗（ｘ，Ｐｊ）＋ＯｘＰ２ｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＝２ωｘＰｊ()－２ω（Ｐｊ－１）＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷＜２ＣｘＰｊｌｎ２ｘＰｊ()＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷＝２ＣｘＰｊ（ｌｎｘｕｕ＋１）２＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷＝２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷，即知当１ɤｕɤ２时，Ｇ（ｕ）＝１ｕ２，引理成立．若ｘ１ｋ－１ȡＰｊȡｘ１ｋ，ｋȡ３（即ｋ－２ɤｕɤｋ－１），引理成立，则当ｘ１ｋȡＰｊȡｘ１ｋ＋１，ｋ－１ɤｕɤｋ时由引理５及推论２有：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）ɤＢ∗（ｘ，Ｐｊ）＋ＯｘＰ２ｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＝２ðＰｊɤＰｉɤｘＰｊ()１２ＢｘＰｊ，Ｐｉ()＋２ωｘＰｊ()－２ωｘＰｊ()１２()＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷．此处着重说明：在以上递推计算中每项都有一个差式，如记作ω＋ｉ－ω－ｉ，易见对于每个差式，恒有ω＋ｉȡω－ｉȡω（Ｐｊ），故参加递推和式计算之ω（ｔ）均符合引理假设的条件，即：ωｘＰｊ()ȡω（ｔ）ȡω（Ｐｊ）ȡω（ｌｎｘ）ȡω（Ｎ）．又ｘ１ｋ＋１ɤＰｊ，ʑｘɤＰｋ＋１ｊ，即有ｘＰｊ()１ｋɤＰｊɤＰｉɤｘＰｊ()１２．因而可由已知递推得：Ｂ（ｘ，Ｐｉ）＜４ＣðＰｊɤＰｉɤｘＰｊ()１２ＧｌｎｘＰｊｌｎＰｉ－１æèççöø÷÷ｘＰｊＰｉｌｎ２Ｐｉ＋ＯðＰｊɤＰｉɤｘＰｊ()１２２ｘＰｊＰｉｌｎ３Ｐｉæèçöø÷＋２ＣｘＰｊｌｎ２ｘＰｊ()＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷，（１３）用Ａｂｅｌ恒等式计算：Ω＝ðＰｊɤＰｉɤｘＰｊ()１２ＧｌｎｘＰｊｌｎＰｉ－１æèççöø÷÷１Ｐｉｌｎ２Ｐｉ，在文献［１］第三章ɦ１引理２中取Ａ（ｔ）＝ðＰɤｔｌｎＰＰ，当ｔȡＰｊȡｌｎｘ充分大时，由文献［１］第四章命题（Ｃ）式有：Ａ（ｔ）＝ðｎɤｔΛ（ｎ）ｎ－ðｍȡ２ðＰɤｔ１ｍｌｎＰＰｍ＝ｌｎｔ－γ＋Ｏ（１）－Ｅ（ｔ），其中γ为Ｅｕｌｅｒ常数，Ｅ（ｔ）＝ðｍȡ２ðＰｌｎＰＰｍ－ðｍȡ２ðＰ＞ｔ１ｍｌｎＰＰｍ＝α１＋Ｏʏɕｔｌｎｑｑ２ｄｑæèçöø÷＝α１＋Ｏｌｎｔｔæèçöø÷＝α１＋Ｏ（１），ʑＡ（ｔ）＝ｌｎｔ－α＋Ｏ（１），ȵα１，γ均为与ｔ无关的常数，ʑα亦为与ｔ无关之常数．令Ｈ（ｔ）＝ｌｎｔ，ｒ（ｔ）＝－α＋Ｏ（１），ｆ（ｔ）＝ＧｌｎｘＰｊｌｎｔ－１æèççöø÷÷１ｌｎ３ｔ．ȵＨ（ｔ）连续可微，及１４ɤＧ（ｕ）ɤ１，由文献［１］第三章ɦ１引理２即可得到：Ω＝ʏｘＰｊ()１２ＰｊＧｌｎｘＰｊｌｎｔ－１æèççöø÷÷ｄｔｔｌｎ３ｔ＋ＲｘＰｊ()１２，Ｐｊ()其中ＲｘＰｊ()１２，Ｐｊ()＝ｒｘＰｊ()１２()ｆｘＰｊ()１２()－ｒ（Ｐｊ）ｆ（Ｐｊ）－ʏｘＰｊ()１２Ｐｊｒ（ｔ）ｆᶄ（ｔ）ｄｔ＝ＯｆｘＰｊ()１２()＋Ｏ（ｆ（Ｐｊ））＋ＯʏｘＰｊ()１２Ｐｊｆᶄ（ｔ）ｄｔ()＝Ｏ１ｌｎ３Ｐｊæèçöø÷．故由（１３）式即有：Ｂ（ｘ，Ｐｉ）＜４ＣｘＰｊʏｘＰｊ()１２ＰｊＧｌｎｘＰｊｌｎｔ－１æèççöø÷÷ｄｔｔｌｎ３ｔ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＋ＯｘＰｊʏｘＰｊ()１２Ｐｊ２ｔｌｎ４ｔæèçöø÷ｄｔ＋２ＣｘＰｊｌｎ２ｘＰｊ()＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｊæèçöø÷＝４ＣｘＰｊｌｎ２ｘＰｊ()ʏｘｕ２（ｕ＋１）ｘ１ｕ＋１ＧｌｎｘＰｊｌｎｔ－１æèççöø÷÷㊃ｌｎｘＰｊｌｎｔæèççöø÷÷３ｄｌｎｔｌｎｘＰｊæèççöø÷÷＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＋ＯｘＰｊʏ１２ｌｎｘＰｊｌｎＰｊ２τ４ｄτæèçöø÷＋２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ４Ｐｉæèçöø÷＝２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊʏｕ２２βＧ（β－１）ｄβ＋Ｏ２ｘ３Ｐｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＋２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊ＝２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊ［β２Ｇ（β）］ｕ２＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＋２Ｃｘｕ２Ｐｊｌｎ２Ｐｊ＝２ＣＧ（ｕ）ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷，其中２２Ｇ（２）＝１，故引理亦成立．证毕．２．由正态分布及其误差值计算所得到的结果引理８㊀当１００ｌｎｘȡＰｊȡｌｎｘȡＮ时，有Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＞０．７５ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ．证：由引理１即可得到：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＝ðｍ｜Ｚｊ－１ｎ｜Ｚｊ－１μ（ｍｎ）２ｘ６Ｐｊｍｎ＋Ｏ（３ｊ）＝ｘ３Ｐｊðｄ｜Ｚｊ－１μ（ｄ）２ｖ（ｄ）ｄ＋Ｏ（３ｊ）＝ｘ３ＰｊᵑＰ｜Ｚｊ－１１－２Ｐ()＋Ｏ（３ｊ）（参见文献［３］１５页）ᵑＰ｜Ｚｊ－１１－２Ｐ()＝ᵑＰ｜Ｚｊ－１（Ｐ－１）２Ｐ２ᵑＰ｜Ｚｊ－１Ｐ（Ｐ－２）（Ｐ－１）２＝ᵑＰ｜Ｚｊ－１Ｐ－１Ｐ()２ᵑＰ｜Ｚｊ－１１－１（Ｐ－１）２æèçöø÷，由Ｍｅｒｔｅｎｓ公式（文献［２］第七章ɦ３）有ᵑＰ｜Ｚｊ－１Ｐ－１Ｐ()＝３㊃（２－１）（３－１）２㊃３ᵑＰ｜Ｚｊ－１Ｐ－１Ｐ＝３ｅ－ｒｌｎＰｊ１＋Ｏ１ｌｎＰｊ()()，又１＞ᵑＰ｜Ｚｊ－１１－１（Ｐ－１）２æèçöø÷＞ᵑＰ１－１（Ｐ－１）２æèçöø÷＞（３２－１）ᵑ（Ｐ２－１）３２ᵑＰ２＝４３（２２－１）（３２－１）ᵑ（Ｐ２－１）２２㊃３２ᵑＰ２éëêêùûúú＝４３ðɕｎ＝１１ｎ２æèçöø÷－１＝４３π２６()－１＝８π２＞０．８１．由素数定理，当ｌｎｘ充分大时，有ｊɤ１．１ＰｊｌｎＰｊɤ１１０ｌｎｘｌｎｌｎｘ＜１２ｌｎｘ，ʑＯ（３ｊ）＝Ｏ（３１２ｌｎｘ）＝Ｏ（ｘｌｎ３２）＝Ｏ（ｘ０．６）．综上即得Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＝ｘ３Ｐｊ㊃９ｅ－２ｒｌｎ２Ｐｊ１＋Ｏ１ｌｎＰｊ()()２㊃ᵑＰ｜Ｚｊ－１１－１（Ｐ－１）２æèçöø÷＋Ｏ（ｘ０．６）＞３ｅ－２ｒ（１－０．０１）２０．８１ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋Ｏ（ｘ０．６）＞０．７５０７ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋Ｏ（ｘ０．６）＞０．７５ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ，证毕．三㊁结㊀论当１００ｌｎｘȡＰｊȡｌｎｘȡＮ时，由引理７又有：Ｂ（ｘ，Ｐｊ）＜２ＣＧ（ｕ）ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷ɤ２ＣｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＋ＯｘＰｊｌｎ３Ｐｊæèçöø÷＜（２Ｃ＋ε）ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ＜０．７５ｘＰｊｌｎ２Ｐｊ，这就与引理８的结果相矛盾，因此引理７的假设不能成立．因引理７计算中的ω（ｔ）均为：ω（ｘ）ȡω（ｔ）ȡω（ｌｎｘ）ȡω（Ｎ），故可推出至少存在一点ξ，ｘȡξȡｌｎｘ，有：ω（ξ）ȡ０．３７ξｌｎ２ξ成立．故有：ω（［ξ］）＝ω（ξ）ȡ０．３７ξｌｎ２ξȡ０．３７［ξ］ｌｎ２［ξ］．（１４）即可推出在［Ｎ，ｅＮ］之间至少有一个整数点ｍ１使（１４）式成立，同样在［ｍ１，ｅｍ１］之间至少有一个整数点ｍ２使（１４）式成立，如此等等，依次类推，就证明了定理的真实性．由上述我们立即可以得到一个简单的推论：对于任意ｘȡＮ，总有：ω（ｘ）ȡ０．３７ｌｎｘ（ｌｎｌｎｘ）２成立．孪生素数猜想得证．定理证毕．ʌ参考文献ɔ［１］潘承洞，潘承彪．素数定理的初等证明［Ｍ］．上海：上海科学技术出版社，１９８８．［２］潘承洞，潘承彪．哥德巴赫猜想［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８１．［３］闵嗣鹤．数论的方法（上册）［Ｍ］，北京：科学出版社，１９８１．［４］闵嗣鹤，严士健．初等数论（第二版）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９８２．［５］［苏］Ａ．Ａ．卡拉楚巴著，潘承彪，张南岳译．解析数论基础（中译本）［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８４．［６］华罗庚．数论导引［Ｍ］．北京：科学出版社，１９７９．［７］Ｇ．Ｈ．哈代，Ｗ．Ｗ．洛戈辛斯基著，徐瑞云，王斯雷译．富里埃级数（中译本）［Ｍ］．上海：上海科学技术出版社，１９７８．［８］‘数学手册“编写组．数学手册［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９７９．［９］潘承洞．素数分布与哥德巴赫猜想［Ｍ］．济南：山东科学技术出版社，１９７９．。

“哥德巴赫猜想”及“孪生素数猜想”证明(精简版)

“哥德巴赫猜想”及“孪生素数猜想”的证明王若仲 1 谭谟玉 2贵州省务川自治县实验学校王若仲（王洪）贵州省务川自治县农业局谭谟玉摘要：我闲遐之余，喜好研究数学问题，我在一次偶然探究中，发现了“哥德巴赫猜想”的简捷证明方法，即就是不具体研究单个素数的位置如何，也不研究设定区域内素数的数量如何，而是利用集合的概念，设置一定的条件，在宽泛的前提下探讨整体情形，即假设偶数6，8，10，…，（2m-2），（2m）（m≧3）；它们均可表为两个奇素数之和。

设奇合数a1，a2，a3，…，a t均为不大于偶数2m的全体奇合数，（a i＜a j ，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），t ∈N。

则集合{1，（2m-1）}∪{（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），…，（2m-a t）}∪{a1，a2，a3，…，a t}有缺项。

利用前面已知情形，证明集合{（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），…，（2m-a t）}∪{（a1+2），（a2+2），（a3+2），…，（a t+2）}有缺项；利用该结论以及前面已知情形，证明集合{（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），…，（2m-a t）}∪{（a1-2），（a2-2），（a3-2），…，（a t-2）}也有缺项；假设偶数（2m+2）不能表为两个奇素数之和，设奇合数a1，a2，a3，…，a r均为不大于偶数（2m+2）的全体奇合数，（a i＜a j ，i＜j，i、j=1，2，3，…，r），r∈N。

则集合{1，（2m+2-1）}∪{（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），…，（2m+2-a t）}∪{a1，a2，a3，…，a r}没有缺项。

（2m-a t）}∪{（a1-2），（2m-a3），…，（2m-a2），该集合中的元素均分别减去2后所得集合{（2m-a1），（a2-2），（a3-2），…，（a t-2）}仍然没有缺项。

这与前面所得结论产生矛盾，说明偶数（2m+2）能表为两个奇素数之和。

8个顶级数学难题

以下是8个顶级数学难题：1. 科拉茨猜想（Collatz Conjecture）：取任意自然数，如果它是偶数，则将它除以2；如果它是奇数，则将它乘以3再加1。

得到的结果再按照上述规则重复操作，最终都会得到1。

尽管该猜想在某些情况下已经被验证成立，但目前还没有一个完整的证明。

2. 孪生素数猜想（Twin Primes Conjecture）：这个猜想是关于孪生素数的分布。

所谓孪生素数，是指两个素数之间的差值为2，比如（3, 5）。

尽管已经找到了一些孪生素数，但这个猜想至今未被证明或反证。

3. 哥德巴赫猜想（Goldbach's Conjecture）：任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。

这个猜想是数学中最著名的问题之一，但至今仍未被证明或反证。

4. Riemann猜想（Riemann's Conjecture）：这是关于Riemann zeta函数的零点分布的问题。

Riemann猜想认为，在复平面上，除了位于实轴上的那些零点外，其他零点都分布在一条对数密度曲线周围。

这个猜想至今仍未被证明或反证。

5. Navier-Stokes存在性和光滑性（Navier-Stokes Existence and Smoothness）：这是关于流体动力学的一个基本问题。

Navier-Stokes方程描述了流体速度和压力的变化规律，但这个方程在某些情况下会出现混沌现象，使得其解的存在性和光滑性难以确定。

这个问题的解决对于流体动力学的发展具有重要意义。

6. P vs NP问题（P vs NP Problem）：P问题是指可以在多项式时间内解决的问题，NP问题是指可以在非多项式时间内找到最优解的问题。

P vs NP问题关注的是，NP问题是否一定需要比P问题更长的时间来解决。

这个问题是计算机科学中最重要的未解决问题之一。

7. 圆周率π的精确表达式（Exact Expression for π）：尽管圆周率π在数学中有着广泛的应用，但它的精确表达式至今仍是一个谜。

如何正确证明哥德巴赫猜想？

如何正确证明哥德巴赫猜想？如何正确证明哥德巴赫猜想？答案是：给人们一个完全符合题意的，一目了然的稳定增长规律，其规律必须经得起检验和推敲。

因为，哥德巴赫猜想是：大于4的偶数可以表示为两个奇素数之和。

这里涉及三个方面：1，大于4的偶数是指大于4的所有偶数，缺一不可；2，奇素数，大于2的素数都是奇素数；3，和，指两个奇素数相加的意思。

必须解决的是：大于4的所有偶数无遗漏地都能表示为两个奇素数之和。

如何将这三个方面进行有机的统一，是解决哥德巴赫猜想的关键。

一、有机统一1、素数素数的定义：只能被1和自身数整除的整数，叫素数。

（自然数1不是素数）。

与素数相对应的是合数，能够被1和自身数以外的整数整除的整数，叫合数。

如果，一个数能够被1和自身数以外的整数整除，那么，这个数至少能被它根号以下的一个素数整除。

反过来，大于4的任意整数，只要它不能被它根号以下的所有素数整除，那么，它就是素数。

这就是素数的推理，也可以用来检验素数。

从推理得知：令小素数为2，3，5，7，…，R，令仅大于R的素数为E，在大于R^2，小于E^2范围之内的数，它们根号以下的素数都是2，3，5，7，…，R，一方面在大于R^2，小于E^2范围之内的整数，只要不能被2，3，5，7，…，R整除，它就是素数。

另一方面根据素数的定义，可知：素数是不能被其它素数整除的整数。

那么，在大于R到R*R范围之内的素数，同样是不能被2，3，5，7，…，R整除的整数。

合起来就是：在大于R，小于E*E范围之内，不能被2，3，5，7，…，R整除的整数，就是素数。

2、偶数，当偶数存在于大于R^2，小于E^2时，它们根号以下的素数也都是2，3，5，7，…，R。

这里的偶数个数为（E^2-R^2）/2个；所有偶数除以2，3，5，7，…，R，不同的余数组合为（2*3*5*7*…*R）/2个。

当小素数为2，3，5，7，…，R 时，最大的小素数R大于2之后，3*5*7*…*R>（E^2-R^2）/2。

孪生素数证明

孪生素数证明摘要：一、引言- 介绍孪生素数的概念- 孪生素数猜想的历史背景二、孪生素数猜想- 孪生素数的定义- 孪生素数猜想的内容- 相关数学理论三、孪生素数证明的发展- 素数计数函数的估计- 筛法与孪生素数证明的关系- 著名的孪生素数证明方法四、Goldston-Pintz-Yldrm证明- 证明的核心思路- 关键引理的证明过程- 对孪生素数猜想的重要贡献五、我国数学家在孪生素数证明方面的贡献- 张益唐教授的工作- 最近的研究进展六、结论- 孪生素数猜想的重要意义- 未来研究方向正文：一、引言孪生素数是指相差为2的素数对，如（3,5）、（11,13）等。

它们在数学中具有独特的地位，因为孪生素数猜想认为，在无穷大的数列中，孪生素数的分布密度会趋近于无穷。

孪生素数猜想自20世纪初提出以来，一直是数论领域的一个著名未解问题。

二、孪生素数猜想孪生素数猜想最初由美国数学家哥德巴赫于1742年提出。

孪生素数猜想认为，存在无穷多对相差为2的素数，即对于任意正整数n，总可以找到一个素数p，使得p与n的差为2。

虽然这个猜想经过数学家们的验证已经成立了许多特定范围的数列，但是对孪生素数猜想进行严格的证明仍然是一个未解决的挑战。

三、孪生素数证明的发展为了证明孪生素数猜想，数学家们发展了许多数学理论。

其中，素数计数函数的估计和筛法是两个重要的工具。

素数计数函数用于描述给定范围内素数的数量，而筛法是一种有效的计算素数的方法。

四、Goldston-Pintz-Yldrm证明2005年，美国数学家Goldston、Pintz和土耳其数学家Yldrm共同提出了一种新的孪生素数证明方法。

他们的证明基于对素数计数函数的改进估计，结合了三角和估计和Ramanujan级数。

通过这一系列复杂数学操作，他们证明了存在无穷多对相差为2的素数。

五、我国数学家在孪生素数证明方面的贡献我国数学家在孪生素数证明方面也取得了突破性进展。

2013年，张益唐教授独立提出了一个关于素数分布的定理，为孪生素数猜想提供了新的启示。

边积分析法证明孪生素数猜想

边积分析法证明孪生素数猜想1. 引言1.1 引言孪生素数猜想是一个数论领域的经典问题，即存在无穷多对相邻的素数。

这个问题已经困扰数学家们几个世纪，至今未能完全解决。

为了尝试解决这个难题，我们引入了边积分分析法，这是一种新颖的证明方法，能够在一定情况下得到有用的结果。

在本文中，我们将首先介绍边积分分析法的基本原理和应用范围。

然后，我们会详细讨论孪生素数猜想的背景和已有的研究成果。

接着，我们将提出边积分法在证明孪生素数猜想中的思路，解释为何这种方法可能会取得成功。

在详细阐述边积分法的证明过程之后，我们将展示最终的证明结果，并对其进行深入的分析和讨论。

通过本文的研究，我们希望能够为解决孪生素数猜想这一经典问题提供新的思路和方法。

我们也希望能够推动边积分分析法在数论领域的更广泛应用，为数学研究开辟新的方向和可能性。

2. 正文2.1 边积分分析法简介边积分分析法是一种利用边积分技术来解决数论问题的数学方法。

它的基本思想是将问题转化为对边积分的求解，从而得到一种新颖的证明方法。

边积分分析法在解决一些具有特定形式的数论问题时具有很强的实用性和有效性。

边积分分析法的核心思想是利用积分的性质来研究数论问题。

通过对边积分的合理选择和运用，可以将原本复杂的数论问题简化为一个容易求解的积分问题。

这种转化不仅可以提高问题的解决效率，还能够为问题的解决提供一种全新的视角和思路。

边积分分析法在数论领域的研究中取得了许多重要的成果，为解决一些经典的数论问题提供了新的思路和方法。

通过对边积分的灵活运用，可以探索数论问题的深层次结构，揭示其中的隐藏规律，从而推动数论研究的进展。

边积分分析法是一种重要的数学方法，在解决复杂的数论问题时具有独特的优势和应用前景。

通过深入研究和应用，边积分分析法有望为数论领域的发展带来新的突破和进展。

2.2 孪生素数猜想孪生素数猜想是一个数论领域的经典问题，它指的是存在无穷多的素数对，这些素数对之间的差值始终为2。

《哥德巴赫猜想》（共5则范文）

《哥德巴赫猜想》（共5则范文）第一篇：《哥德巴赫猜想》（共）[《哥德巴赫猜想》读后感]《哥德巴赫猜想》写作时，是人民文学主动邀请的，这是为1978年“全国科学大会”召开所做的一种思想和舆论准备。

可以说是时代所需，那时正是知识分子的转型期，从文化大革命对知识分子的摧残到逐渐的恢复。

《哥德巴赫猜想》写出了知识分子的心声，所以才会引起反响。

徐迟之前曾是以诗歌而引起关注的，之后转向报告文学。

但诗人的富于激情的语言结合科学的客观性，而成就了文学与科学的完美结合。

完美的艺术，知识分子对知识的渴求，国家对知识的重视。

大环境和小环境的需要，正是它成功的原因。

而90年代徐迟的报告文学，却反响平平。

不是因为他的艺术水平的欠缺。

而是当今的环境，在市场环境，消费主义，享乐观念的坏境下，金钱成了衡量一切的标准。

文学，科学，知识的边缘化。

人们价值观念的缺失。

这种种的社会环境所致的啊。

人类社会往往会从一个极端而走向另一个极端。

盲目的向前发展，而没看到事物的两面性。

由极端的追求精神需要到极端的物质追求，在追求精神建设的时候忽略了经济的发展，在发展经济的时候忽略了精神的建设，直至出现了许多问题的时候才有所警醒。

所以只好由缺失而警醒而改变。

这种被动的去改变，发展。

有时候是走走退退再退退走走的反复过程之中。

客观而理性的分析，让我受益匪浅。

也悟出了许多人生，社会的道理。

由于“哥德巴赫猜想”这一世界数学难题的被突破，人们知道了陈景润的名字，同时，也一样知道了王亚南的名字，知道了华罗庚的名字，知道了熊庆来的名字。

正如《人民日报》在转载徐迟同志的文章时所加的编者按里说的：“千里马常有，而伯乐不常有。

”发现人才，选拔人才，是不十分容易的。

我们很可以这样设想，没有王亚南这位“懂得人的价值的政治经济学批判家，突破哥德巴赫猜想的陈景润，很可能在50年代就为病魔缠倒，作为一个普通的中学教师默默无闻地死去！”王亚南为陈景润的进修和个性的发展，创造了方便的物质和生活条件，而华罗庚则从这位青年的数学论文中，发现了他身上的奇光异彩，立刻建议把他选调到科学院数学研究所来当实习研究员--正是在这里，陈景润在严师、名家的帮助熏陶下，得以充分发挥自己的才能，以飞速的步伐，跨上人类知识的顶峰，夺得具有世界水平的重大成就。

张益唐孪生素数猜想证明过程

张益唐孪生素数猜想证明过程张益唐近照，由新罕布什尔大学提供张益唐是个对数字“极其敏感”的人，他能把大学同班同学的出生日期背得“滚瓜烂熟”，并在每个人过生日时发去一封祝福邮件。

同为恢复高考后北京大学数学系第一批学生，美国普渡大学数学系教授沈捷就享受过这样的“待遇”。

但他发现，七八年前张益唐突然“消失”了。

因为，从那时起，他再没收到过张的生日祝福，“给他发邮件也没再回过”。

5月16日，张益唐的邮件突然来了，只有一个单词：“谢谢”。

在接受中国青年报记者采访时，沈捷回忆说，此前一天，他和夫人就张益唐在孪生素数方面取得的突破向他发去邮件道贺。

5月14日，《自然》（Nature）杂志在线报道张益唐证明了“存在无穷多个之差小于7000万的素数对”，这一研究随即被认为在孪生素数猜想这一终极数论问题上取得了重大突破，甚至有人认为其对学界的影响将超过陈景润的“1+2”证明。

在此之前，“年近6旬”的张益唐在数学界可以说是个名不见经传的人。

多年前曾与张益唐接触过的浙江大学数学系教授蔡天新也以为“他早从数学圈消失”了，蔡说已经“近30年没他的消息了”，没曾想“他突然向孪生素数猜想走近了一大步”——素数是指正因数只有1和本身即只能被自身和1整除的正整数，“孪生素数”则是指两个相差为2的素数，例如3和5，17和19等。

而随着素数的增大，下一个素数离上一个素数应该越来越远，故古希腊数学家欧几里得猜想，存在无穷多对素数，他们只相差2，例如3和5，5和7，×2195000-1和×2195000+1等等。

这就是所谓的孪生素数猜想，它和黎曼猜想、哥德巴赫猜想一样，让无数数论者着迷。

数学家需要做的是一个证明！然而，人们甚至不知道它的“弱形式”是否成立，用《数学文化》主编、香港浸会大学理学院院长汤涛的话说就是——能不能找到一个正数，使得有无穷多对素数之差小于这个给定正数，在孪生素数猜想中，这个正数就是2。

张益唐找到的正数是“7000万”。

证明哥德巴赫猜想《和为偶数的奇素数对的个数》续论

证明哥德巴赫猜想《和为偶数的奇素数对的个数》续论
本文探讨了哥德巴赫猜想的一个续论，即关于和为偶数的奇素数对的个数的证明。

首先，我们知道哥德巴赫猜想可以简单地表述为任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。

而对于和为偶数的奇素数对的个数，我们需要分别考虑两种情况。

第一种情况是两个奇素数都是奇数。

此时，它们的和一定是偶数。

我们可以通过反证法来证明，即假设存在一个奇数N，它可以表示为两个奇素数之和的个数为偶数，那么我们可以得到：
N = p1 + p2 = q1 + q2
其中p1、p2、q1、q2都是奇素数。

将这两个等式相减，我们得到：
p1 - q1 = q2 - p2
显然，左边是奇数，右边是偶数，矛盾。

因此不存在这样的N。

第二种情况是一个奇素数是2。

此时，它与任何一个奇素数之和都是偶数。

因此，我们只需要证明存在无穷多个奇素数，即可证明存在无穷多个和为偶数的奇素数对。

关于存在无穷多个奇素数的证明，可以参考欧几里得的证明方法。

我们知道，素数的个数是无穷多的，因此可以找到任意大的素数p，然后构造出一个数q = 2p+1。

由于p是素数，因此2p也是偶数，而2p+1又是奇数，因此q一定是奇素数。

而且，因为p可以取无穷大，所以存在无穷多个这样的奇素数。

综上所述，我们证明了存在无穷多个和为偶数的奇素数对，从而证明了哥德巴赫猜想的一个续论。

边积分析法证明孪生素数猜想

边积分析法证明孪生素数猜想【摘要】本文通过边积分分析法探讨了孪生素数猜想的证明方法。

在介绍了研究背景、研究目的和边积分分析法概述。

在详细讨论了边积分分析法的理论基础，以及在数论中的应用和在证明孪生素数猜想中的具体思路和步骤。

结论部分总结了边积分分析法证明孪生素数猜想的意义，并展望了未来的研究方向。

通过本文的研究，可以更深入地理解边积分分析法在数论中的应用，以及其在解决孪生素数猜想等问题上的潜力和重要性。

【关键词】边积分分析法、孪生素数猜想、数论、证明、理论基础、应用、思路、步骤、意义、研究方向、总结1. 引言1.1 研究背景孪生素数猜想是数学领域一个备受关注的问题，其关键在于判断是否存在无限多对相邻的素数，这两个素数的差值为2。

孪生素数在数论中有着重要的地位，对数论研究有着深远影响。

迄今为止，孪生素数猜想并没有被完全证明，这也成为了数学界的一个悬而未决的问题。

在过去的研究中，数学家们尝试了各种方法来寻找证明孪生素数猜想的途径。

边积分分析法被认为是一种较为有前景的方法之一。

边积分分析法是一种结合了微积分和边界分析的高级数学工具，能够在复杂的数学问题中发挥重要作用。

通过对边积分分析法的研究和运用，我们或许能够找到证明孪生素数猜想的新思路和方法。

本文旨在通过边积分分析法来探讨孪生素数猜想，并尝试给出一种新的证明思路。

希望通过本文的研究，能够为孪生素数猜想的最终证明提供一定的启示和帮助。

1.2 研究目的研究目的是通过边积分分析法来证明孪生素数猜想，即证明存在无限多对相差为2的素数。

孪生素数猜想是数论中著名的问题之一，自古以来一直备受关注。

通过证明孪生素数猜想，不仅可以验证数论中的一个重要猜想，也可以深入理解素数之间的分布规律和性质。

研究目的旨在探究边积分分析法在证明孪生素数猜想中的应用，并为数论研究提供新的思路和方法。

通过本研究，期望能够解决孪生素数猜想这一经典问题，同时推动边积分分析法在数学领域的发展和应用。

孪生素数猜想与哥德巴赫猜想

孪生素数猜想与哥德巴赫猜想说起“孪生素数猜想”跟“哥德巴赫猜想”，你可能会觉得这俩名词一听就像是啥复杂的数学难题，根本不适合咱普通人讨论。

但是，咱今天就用一种轻松的方式，来聊聊这俩东西，保证你看完之后，觉得原来数学也可以这么有趣！啥是孪生素数呢？嗯，就是两个素数，它们之间差了2。

比如3和5，7和9（不对，是5和7！）。

这些数字它们长得不一样，但却有一种特别的亲密关系，仿佛就是一对双胞胎，怎么都分不开的那种。

对了，素数可不是普通的数字，它是只能被1和它自己整除的数字。

比如2、3、5、7这些，都是素数。

哦对，2是唯一一个偶数素数，咋听咋有点神奇吧？想想看，素数本来就少得可怜，咱还把它们凑成对儿，简直是给这些稀有物种起了个“夫妻名”——孪生素数。

那么孪生素数猜想到底是啥呢？猜想就是说，这样的孪生素数，好像一直在不断地冒出来，虽然目前没人能证明到底有多少对这样的孪生素数存在，但大家都信它，觉得这个猜想应该是真的。

就像是咱平常说的“天上掉馅饼”，大家都相信，虽然它掉下来得看运气，但总有那么一两块是真的！哎，我脑袋里想起了小时候家里老爸总说：“天上不会掉馅饼，掉下来的是锅巴”，不过，他这话有点“愤青”了，意思是“没那么容易得来”。

但对于数学界来说，孪生素数猜想是挺让人兴奋的事，因为如果有一天被证明了，那可是数学史上的一大突破，能让人惊掉下巴。

说到哥德巴赫猜想，这个也是个超级有意思的事情。

哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数，都可以写成两个素数的和。

听起来是不是有点像那种无聊的纸上谈兵？但如果仔细想想，仿佛就像魔术一样，有些数字看起来完全不搭边，但通过一些巧妙的组合，它们居然能“凑在一起”。

比如6这个偶数，可以是3加3；8可以是3加5；10可以是5加5或者7加3，奇不奇怪？更奇怪的是，这个猜想虽然被很多聪明的大脑给推敲过，甚至无数次证明了它在小范围内是成立的，但要想从根本上证明它，依然让大多数数学家抓耳挠腮、捉襟见肘。

孪生素数证明

孪生素数证明
要证明一对孪生素数存在，需要证明以下两个条件成立：
1. 存在一个素数p，使得p和p+2都是素数。

2. 任意大于2的整数n，若n是素数，则n+2或n-2也是素数。

首先，我们证明第一个条件。

假设存在一个素数p，使得p和
p+2都是素数。

我们知道，如果一个数p是素数，那么它不能
被2整除，因此p+2也不能被2整除，所以p+2是奇数。

因此，我们可以将p+2表示为2的倍数加1的形式，即p+2 = 2k+1。

因此，p = 2k-1。

由于p是素数，所以2k-1也是素数。

这证明
了第一个条件成立。

接下来，我们证明第二个条件。

设n为大于2的素数，我们需要证明n+2或n-2也是素数。

假设n+2是合数，那么它可以被
分解为两个因子a和b，其中2 < a < n+2。

由于n是素数，所
以n不能被a整除，否则a将是n的一个非1且小于n本身的
因子，这违背了n是素数的定义。

因此，a > n，即a >= n+1。

同样地，我们可以得到n-2也是素数（以下同理）。

综上所述，我们证明了一对孪生素数的存在性。

关于哥德巴赫猜想、孪生素数猜想的新思路以及因数分解的一个多项式算法

关于哥德巴赫猜想、孪生素数猜想的新思路以及因数分解的一个多项式算法作者：谢翰来源：《文理导航》2018年第11期【摘要】证明哥德巴赫猜想的思路有四种，这四种思路分别是：例外集合，小变量的三素数定理，几乎哥德巴赫问题，殆素数。

本文提出了不同以往的第五种思路，创建出了α数集和β数集，成功地将哥德巴赫猜想拆解成为两个更基本的猜想。

此外，给出了孪生素数猜想的一个证明途径以及因数分解的一个多项式算法。

【关键词】孪生素数猜想；哥德巴赫猜想；第五种思路；α数β数；因数分解多项式算法史上和素数有关的数学猜想中，最著名的当然就是“哥德巴赫猜想”了。

1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想：（一）每一个不小于6的偶数，都是两个奇素数之和；（二）每一个不小于9的奇数，都是三个奇素数之和。

这就是数学史上著名的“哥德巴赫猜想”。

显然，第二个猜想是第一个猜想的推论。

因此，只需在两个猜想中证明第一个猜想就足够了。

证明哥德巴赫猜想的思路有四种，这四种思路分别是：例外集合，小变量的三素数定理，几乎哥德巴赫问题，殆素数。

这四种思路中只有殆素数的思路取得了比较重大的突破。

殆素数就是素因子个数不多的正整数。

现设N是偶数，虽然不能证明N是两个素数之和，但足以证明它能够写成两个殆素数的和，数学家把命题“任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和”记作“a+b”。

1966年，我国著名数学家陈景润攻克了“1+2”，也就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成两个数之和，而这两个数中的一个就是奇素数，另一个则是两个奇素数的积。

”这个定理被世界数学界称为“陈氏定理”。

由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“1+1”仅有一步之遥了。

但为了实现这最后的一步，也许还要历经一个漫长的探索过程。

有许多数学家认为，要想证明“1+1”，必须通过创造新的数学方法，以往的路很可能都是走不通的。