第9讲.数论中的组合.B版

合集下载

高二数学人选修课件时组合与组合数公式

02 03
案例二
假设有一个边长为1的正方形区域，任意投掷一个点，求该点落在正方形内切圆内的概率。根据二维几何概型的计算方法，内切圆的面积为π/4，正方形的面积为1，因此该事件的概率为π/4。
案例三
假设有一个半径为1的球体，任意投掷一个点，求该点落在球体内接正方体内的概率。根据三维几何概型的计算方法，内接正方体的体积为2/√3，球体的体积为4π/3，因此该事件的概率为(2/√3) / (4π/3) = √3/(2π)。
互斥事件的概率加法公式
若事件A与事件B互斥，则$P(A cup B)=P(A)+P(B)$。
对立事件的概率
若事件A与事件B对立，则$P(A)=1-P(B)$，$P(B)=1-P(A)$。
案例分析
案例一
掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数。求事件A（出现偶数点）的概率。
案例三
某射手进行射击训练，每次射击命中目标的概率为0.8，现连续射击5次，求事件C（至少命中4次）的概率。
A
计算机科学
在算法设计和分析中，组合数学提供了许多有用的工具和方法，如动态规划、分治法等。
物理学
在量子力学和统计力学中，组合数学用于描述微观粒子的状态和相互作用。
B
C
化学
在化学中，组合数学可用于计算分子的可能构型和化学键的组合方式。
生物学
在遗传学和生物信息学中，组合数学用于分析基因序列的组合和变异情况。
常见问题类型
01
求组合数
直接利用组合数公式进行计算。
02
验证组合数性质Leabharlann 如验证C(n,m) = C(n,n-m)，C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n) = 2^n等。

第9讲.数论中的组合.答案

第9讲数论中的组合1. 下面有9个自然数：14,35，80,152，650,434,4375，9064，24125.在这些自然数中，请问：（1）有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？（2）有哪些数能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？答案：(1)能被2整除的数末位应是2的倍数，有：14，80，152，650，434，9064,；能被4整除的末两位应为4的倍数，有：80,152,9064；能被8整除的末三位应为8的倍数，有：80,152,9064；（2）能被5整除的末位应为5的倍数，有35,80,650,4375,24125；能被25整除的末两位应为25的倍数，有：650,4375,24125；能被125整除的末三位应为125的倍数，有：4375,24125；2. 一个三位数64的十位数字未知.请分别根据下列要求找出“”中合适的取值：（1）如果要求这个三位数能被3整除，“”可能等于多少？（2）如果要求这个三位数能被4整除，“”可能等于多少？答案：（1）数字和保证是3的倍数，则可填写2,5,8；（2）能被4整除，则末两位能被4整除，则可填写0、2、4、6、8；3. 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数. ⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？答案：一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即4+□+3+2+□是9的倍数，而4+3+2=9, 所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数．⑴依次填入3、6，因为4+3+3+2+6=18是9的倍数，所以43326是9的倍数；⑵经过分析容易得到两个方框内的数的和是9的倍数，如果和是9,那么可以是（9,0）；（8,1）；（7,2）；（6,3）；（5,4）；（4,5）；（3,6）；（2,7）；（1,8）；（0,9），共10种情况，还有（0,0）和（9,9），所以一共有12种不同的填法．4.从自然数1，2，3，，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？答案：设a ，b ，c ，d 是所取出的数中的任意4个数，则18a b c m ++=，18a b d n ++=，其中m ，n 是自然数.于是()18c d m n -=-.上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18所得的余数均相同.设这个余数为r ，则118a a r =+，118b b r =+，118c c r =+，其中1a ，1b ，1c 是整数.于是()111183a b c a b c r ++=+++.因为()18|a b c ++，所以18|3r ，即6|r ，推知0r =，6，12.因为1000551810=⨯+，所以，从1，2，…，1000中可取6，24，42，，996共56个数，它们中的任意3个数之和能被18整除.5. 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。

人教版高中数学B版目录

人教版高中数学B版目录第一篇：人教版高中数学B版目录人教版高中数学B版必修第一章1.1 集合集合与集合的表示方法必修一必修二必修三必修四第二章第三章第一章第二章第一章第二章第三章第一章第二章1.2 集合之间的关系与运算函数2.1 函数2.2 一次函数和二次函数 2.3 函数的应用（Ⅰ）2.4 函数与方程基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数 3.2 对数与对数函数 3.3 幂函数3.4 函数的应用（Ⅱ）立体几何初步1.1 空间几何体1.2 点、线、面之间的位置关系平面解析几何初步2.1平面真角坐标系中的基本公式2.2 直线方程 2.3 圆的方程2.4 空间直角坐标系算法初步1.1 算法与程序框图 1.2 基本算法语句1.3 中国古代数学中的算法案例统计2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体 2.3 变量的相关性概率3.1 随机现象 3.2 古典概型3.3 随机数的含义与应用 3.4 概率的应用基本初等函(Ⅱ)1.1 任意角的概念与弧度制 1.2 任意角的三角函数 1.3三角函数的图象与性质平面向量2.1 向量的线性运算必修五第三章第一章第二章第三章2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.3平面向量的数量积 2.4 向量的应用三角恒等变换3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式3.3 三角函数的积化和差与和差化积解直角三角形1.1 正弦定理和余弦定理 1.2 应用举例数列2.1 数列 2.2 等差数列 2.3 等比数列不等式3.1 不等关系与不等式 3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法 3.4 不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题人教版高中数学B版选修常用逻辑用语命题与量词第一章1.1 选修1－1 选修1－2 选修4－5 第二章第三章第一章第二章第三章第四章第一章第二章第三章1.2 基本逻辑联结词1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式圆锥曲线与方程2.1 椭圆 2.2 双曲线 2.3 抛物线导数及其应用3.1 导数3.2 导数的运算 3.3导数的应用统计案例推理与证明数系的扩充与复数的引入框图不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法 1.4 绝对值的三角不等式 1.5 不等式证明的基本方法柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.2 排序不等式2.3平均值不等式(选学)2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型数学归纳法与贝努利不等式 3.1 数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式第二篇：高中数学目录必修1第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用word2002绘制流程图选修2－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法选修2－2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2－3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修3－1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3－3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义选修3－4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一 n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4－1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4－2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1．旋转变换2．反射变换3．伸缩变换4．投影变换5．切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1．逆变换与逆矩阵2．逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1．二元一次方程组的矩阵形式2．逆矩阵与二元一次方程组探索与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1．特征值与特征向量2．特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1．Anα的简单表示2．特征向量在实际问题中的应用选修4－4坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线选修4－5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式选修4－6初等数论初步第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥选修4－7优选法与试验设计初步第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4－9风险与决策第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例第三篇：高中数学目录【人教版】高中数学教材总目录必修一第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象实习作业小结第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型实习作业小结复习参考题必修二第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修四第一章三角函数.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1-1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1-2 第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图选修2—1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用 3.2 立体几何中的向量方法选修2—2 第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3 第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合。

数论与组合数学

数论与组合数学
数论与组合数学是两个重要的数学分支。

数论研究的是整数的性质和结构，包括整数的因子、质数分解、同余等等。

它是研究数学基本概念和性质的一门学科，对于其他学科的发展和应用具有重要意义。

数论的研究内容包括但不限于素数分布、同余定理、互质和完全剩余系等。

组合数学研究的是离散对象的性质和结构，如排列、组合、图论等。

它是研究离散结构的一门学科，对于算法设计、计算机科学、统计学等领域都有广泛的应用。

组合数学的研究内容包括但不限于计数原理、图论、排列组合、生成函数等。

数论和组合数学都与实际问题有密切联系，并在密码学、编码理论、信息论、计算机科学等领域得到广泛应用。

同时，它们也是数学研究中的基础和重要分支，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力有着重要的作用。

小学奥数数论问题第九讲巅峰篇之物不知数

第九讲巅峰篇之物不知数故事引入：韩信点兵淮安民间传说着一则故事——“韩信点兵”其次有成语“韩信点兵，多多益善”。

韩信带1500名兵士打仗，战死四五百人，站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。

韩信马上说出人数：1049。

中国剩余定理：《孙子算经》中有记载：“今有物不知其数：三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”它的意思就是，有一些物品，如果3 个3 个的数，最后剩2 个；如果5 个5 个的数，最后剩3 个；如果7 个7 个的数，最后剩2 个；求这些物品一共有多少？这个问题人们通常把它叫作“孙子问题”，西方数学家把它称为“中国剩余定理”．到现在，这个问题已成为世界数学史上闻名的问题．到了明代，数学家程大位把这个问题的算法编成了四句歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；七子团圆正半月，除百零五便得知．用现在的话来说就是：一个数用3 除，除得的余数乘70；用5 除，除得的余数乘21；用7 除，除得的余数乘15．最后把这些乘积加起来再减去105 的倍数，就知道这个数是多少．同余概念两个整数a b 若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m或b模m余a记作a≡b (mod m)课上习题【例1】一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？【例2】一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为．【例3】有连续的三个自然数a、a+1、a+2，它们恰好分别是9 、8 、7 的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？总结①凑“多”相同，即把余数处理成相同条件：余数与除数的和相同②凑“缺”相同，即把余数处理成缺的数字相同条件：除数与余数的差相同③先考虑上面两种，如果都不行，可使用逐步满足法或使用“中国剩余定理”．④逐步满足法：先满足条件一，得N，再用“M =N +已满足除数公倍数”来满足下一个条件．课后习题【闯关1】刘叔叔养了400 多只兔子。

组合数学(第9章9.1)

研究对象包括集合、排列、组合、图论、编码理论等。
排列与组合基本概念
排列
从n个不同元素中取出m个元素（0≤m≤n），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。
组合
从n个不同元素中取出m个元素（0≤m≤n），不考虑顺序，叫做从n 个元素中取出m个元素的一个组合。
计数原理及公式
A(n,m)=n(n-1)(n-2)...(nm+1)=n!/(n-m)!（n为下标， m为上标）。
组合数公式
C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/[m!(nm)!]（n为下标，m为上标）。
02
排列组合进阶知识
重复排列与重复组合
重复排列
从n个不同元素中，任取m（m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的所有排列的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的排列数。
母函数性质
03
04
05
母函数具有唯一性，即对于给定的计数问题，其母函数是唯一的。
母函数的运算遵循形式幂级数的运算规则，如加法、乘法、求导等。
通过母函数可以方便地求解递归方程，进而得到计数问题的解。
递归方程建立及求解方法
递归方程建立
代换法
递归方程是描述计数问题中对象数量之间关系的等式。建立递归方程的关键在于找到对象数量之间的递推关系。
01
02
03
04
加法原理
乘法原理
排列数公式
完成一件事有n类方法，在第1 类方法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方法，...，在第n类方法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+...+mn种不同的方法。

新教材人教B版高中数学选择性必修第二册 3.1.3 组合与组合数精品教学课件

(3)从 6 名男教师中选 2 名的选法有 C26种，从 4 名女教师中选 2 名的选法有 C24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法 C26×C24＝ 15×6＝90(种)．
(变结论)本例其他条件不变，问题变为从中选 2 名教师参加会议，至少有 1 名男教师的选法是多少？最多有 1 名男教师的选法又是多少？
[解] (1)原式＝C38＋C2100×1＝83××72××61＋1020××199＝56＋4 950＝ 5 006.
(2)原式＝2(C05＋C15＋C25)＝2(C16＋C25)＝2×6＋52××41＝32. (3)原式＝C1n＋1·C1n＝(n＋1)n＝n2＋n.
性质“Cnm＝Cnn－m”的意义及作用
5．已知 C5n－C4n＝C6n－C5n，求 C1n2的值．
[解] 由已知得 2C5n＝C4n＋C6n，所以 2·5！nn！－5！＝4！nn！－4！＋6！nn！－6！，整理得 n2－21n＋98＝0，解得 n＝7 或 n＝14，要求 C1n2的值，故 n≥12，所以 n＝14，于是 C1124＝91.
有限制条件的组合问题【例 2】高二(1)班共有 35 名同学，其中男生 20 名，女生 15 名，今从中选出 3 名同学参加活动． (1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？ (2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？ (3)恰有 2 名女生在内，不同的选法有多少种？ (4)至少有 2 名女生在内，不同的选法有多少种？ (5)至多有 2 名女生在内，不同的选法有多少种？
[思路点拨] 可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼，使用两个计数原理解决．
[解] (1)从余下的 34 名学生中选取 2 名，有 C234＝561(种)． ∴不同的选法有 561 种． (2)从 34 名可选学生中选取 3 名，有 C334种．或者 C335－C234＝C334＝5 984 种． ∴不同的选法有 5 984 种．

六年级下册数学人教版《数论》课件

5
.
用“<”连接起来：___-_0_._6_2__7_<__6_._2_5%8< <0.625<_6;5%
解析： 5 0.625 6.25%=0.0625 65%=0.6
8
5
.
-0.627<0.0625<0.6250<.625 <0.65
5
.
-0.627<6.25%<8 <0.625 <65%
小结：根据题目要求，应把 5 ，6.25%，65%化成小数后再 8
3、化为小数法等。
②
5, 10
5 6
,
3 25
,这138几, 12个45 分数中，不能化成有限小数的有_________；
1 ，5，3 ，3 ，25 2 6 25 18 14
分数能化成有限小数的特点：最简分数中分母只含有质因数 2 或 5
【定义新运算】
【易学点拨】
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
【因数与倍数】
例题6：①360共有__2__4______个因数。
解析 360 = 2×2×2×3×3×5 解题思路与步骤
23 ×32 ×51 因数个数为：
（3+1）×（2+1）×（1+1）=24
第一步：将因数分解质因数第二步：相同的质因数的个数加1相乘
的积
②A÷5＝B（A、B都是不等于0的自然数），那么
小数：1、整数部分按照整数的读法读 2、小数点读点 3、小数部分依次读出每一个数位上的数字
整数中0的读法：（1）每一级末尾的0都不读出来，其余数位一个零或连续几个0都只读一个零。（2）要读一个零，要有一个0不能写在每级的末尾，或连续几个 0不能写在每级的末尾；（3）要读两个零，要有两个0不能写在每级的末尾，且不能相邻，或连续几个0不能写在每级的末尾要有两个不能相邻。

第9讲.数论中的组合.A版

5
6
六年级第 9 讲数论中的组合（A 版）
.
【分析】(1)各个数字之和最大为 18, 99 189 ,余数太小,调整, 89 174 , 98 1713 ,继续调整,
79 1615 ,最大 15.
(2)这个正整数的数码和最小也要为 23 ;此时这个数最小为 599 ; 599 23 26......1 ;不符合;继续检验 689 23 30 1符合要求;而若正整数数码和大于等于 24 ,其至少要大于等于 699 ;所以答案为 689 .
4 6 12 转 2 次的同学： [50] 4 .
12 所以面向老师的一共有 38 人. 注意所求的不仅是没转过的,还有转了 2 次的.
【铺垫】求在 1 至 100 的自然数中能被 3 或 7 整除的数的个数.
【分析】 [100] [100] [100] 43 .
3
7 21
【拓展】体育课上,260 名学生面向老师站成一行,按老师口令,从左到右报数：1,2,3,…,260,然后,老师让所报的
数是 4 的倍数的同学向后转,接着又让所报的数是 5 的倍数的同学向后转,最后让所报的数是 6 的倍数的同学
向后转,现在面向老师的学生有________人.
【分析】转 0 次： 260 [ 260] [ 260] [ 260] [ 260] [ 260] [ 260] [ 260] 138
一个各位数字互不相同的五位数能被 3、5、7、11 整除,这个数最大是多少? 【分析】[3,5,7,11]=1155,极端分析, 98765 1155590 , 98765 590 98175 满足条件.
(1)一个两位数被它的各个数字之和去除,余数最大为
.
(2)一个整数除以它的数码和后得到的余数为 22,则最小的数是

初中数学竞赛讲座——数论部分费马小定理

初中数学竞赛讲座——数论部分(费马小定理)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第9讲费尔马小定理一、基础知识：法国数学家费尔马在1640年提出了一个有关整数幂余数的定理，在解决许多关于某个整数幂除以某个整数的余数问题时非常方便有用，在介绍这个定理之前，我们先来看一些具体的同余式，请同学们注意观察，发现这些同余式符合什么规律．3≡1（mod 2），5≡1（mod 2），7≡1（mod 2）…22≡1（mod 3），42≡1（mod 3），52≡1（mod 3）…24≡1（mod 5），34≡1（mod 5），44≡1（mod 5）…26≡（23）2≡1（mod 7），36≡（33）2≡1（mod 7），46≡（43）2≡1（mod 7）…这些同余式都符合同一个规律，这个规律就是费尔马小定理．费尔马小定理：如果p是质数，（a，p）=1，那么a p－1≡1（mod p）与费马小定理相关的有一个中国猜想，这个猜想是中国数学家提出来的，其内容为：当且仅当2p-1≡1(mod p)，p是一个质数。

假如p是一个质数的话，则2p-1≡1(mod p)成立（这是费马小定理的一个特殊情况）是对的。

但反过来，假如2p-1≡1(mod p)成立那么p是一个质数是不成立的（比如341符合上述条件但不是一个质数）。

如上所述，中国猜测只有一半是正确的，符合中国猜测但不是质数的数被称为“伪质数”。

对于中国猜测稍作改动，即得到判断一个数是否为质数的一个方法：如果对于任意满足1 < b< p的b下式都成立：b p-1≡1(mod p)，则p必定是一个质数。

实际上，没有必要测试所有的小于p的自然数，只要测试所有的小于p的质数就可以了。

这个算法的缺点是它非常慢，运算率高；但是它很适合在计算机上面运行程序进行验算一个数是否是质数。

第9讲.数论中的组合 (2)

六年级.第9讲.数论中的组合小伙伴们在宫殿门口见到了公主，公主和小伙伴们之间会发生些什么故事呢?公主：最近，王宫里正在日以继夜的翻译来自友好邻邦的文献.这两本记录的是印度的婆罗门数字，颇为有趣!大宽:提起印度我能想到的只有咖喱…阿拉丁：大宽真是三句话不离本性啊.我听说过婆罗门数字，那是的一种计数方法，极为方便实用.古今阿拉伯数字对比（左右两张相同）：Tip1、我们那些称为“阿拉伯数字”的其实并不是阿拉伯人创造的，它们最早产生于古代的印度。

后来被阿拉伯人所接受并且传播到欧洲各个国家。

如今人们虽然弄清了“阿拉伯数字”的来龙去脉，但由于大家早已习惯了这一叫法，所以也就沿用下来了。

2、公元3世纪，印度科学家巴格达发明了阿拉伯数字。

公元4世纪后阿拉伯数字中零的符号日益明确，使记数逐渐发展成十进位值制，模块一、公主：这些弥漫着咖喱味道的文献记录了很多印度劳动人民的智慧和探索，见贤思齐是我们的习惯.Q版问题公主：一个数20142014201476825130中删除12个数字，则剩下的数的最大值是_________.薇儿：删除01420142014共11个数字，再删除7后面的数字6，可得到最大值是27825130.模块二、Tip数字起源：公元前3400年左右的古埃及象形数字公元前2400年左右的巴比伦楔形数字公元前1600年左右的中国甲骨文数字公元前500年左右的希腊阿提卡数字公元前500年左右的中国筹算数码公元前500年左右的古罗马数字公元前300年左右的印度婆罗门数字年代不详的玛雅数字公元初年中美洲地区古代记数法公元5世纪左右出现的爱奥尼亚字母记数法公元8世纪的印度—阿拉伯数字模块三、待续。

高中数学选修课件：组合与组合数公式

排列与组合的定义
从n个不同元素中取出m（m≤n，m与n均为自然数,下同）个不同元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。
组合数公式推导过程
推导过程
考虑从n个元素中取出m个元素的所有可能情况，这相当于对n个元素进行全排列，然后除以m个元素的全排列和剩余(n-m)个元素的全排列，以消除排列中的重复情况。
进行快速计算。
组合的应用
在概率统计、排列组合问题、编码理论等领域有广泛应用。
易错点剖析及注意事项
区分排列与组合
排列是有顺序的，而组合是无顺序的。在计算时，要注意题目要求的是排列数还是组合数。
注意组合数的范围
由于组合数是从n个元素中取出m个，因此必须满足0≤m≤n的条件，否则组合数无意义。
阶乘的计算
解答题思路剖析
仔细审题
明确题目要求，理解题意。
制定解题计划
根据题目条件和所学知识，制定详细的解题步骤和计划。
执行解题计划
检查答案
按照计划逐步进行计算和推导，注意每一步的正确性和合理性。
对答案进行检验和审查，确保没有遗漏和错误。如果答案不符合题目要求，需要重新检查和修正解题过程。
05 练习题巩固提高
证明组合数恒等式
利用组合数的性质和递推关系可以证明一些组合数恒等式，如范德蒙德恒等式等。
在概率统计中作用
计算事件概率
在概率论中，组合数经常用于计算一些事件的概率，如超几何分
布、二项分布等。
抽样问题
在统计学中，组合数也常用于解决一些抽样问题，如从总体中抽取一定数量的样本进行检验等。

数论中的组合-概念解析以及定义

数论中的组合-概述说明以及解释1.引言1.1 概述数论是研究整数性质和结构的数学分支，而组合数学则是研究离散结构和组合对象的数学分支。

两者看似不相关，但实际上在数论中，组合数学的概念和方法有着重要的应用。

本文将就数论中的组合问题展开讨论，包括数论基础、组合数学概念以及数论中的组合应用。

通过深入探讨数论中的组合，我们可以更好地理解数论问题，同时也可以发现组合数学在数论领域的重要性和应用价值。

1.2 文章结构文章结构部分:本文主要分为引言、正文和结论三部分。

在引言部分中，将概述数论中组合的重要性，并介绍文章的结构和目的。

正文部分将首先介绍数论的基础知识，然后引入组合数学的概念，接着探讨数论中组合的应用。

最后结论部分将对数论中的组合进行总结，展望未来的研究方向，并进行结语。

整个文章将从基础到应用，全面探讨数论中的组合，并为读者提供清晰的逻辑和引导。

1.3 目的本文的目的是探讨数论中的组合理论，以及其在数论中的应用。

通过对数论基础和组合数学概念的介绍，我们将深入探讨在数论领域中如何运用组合的方法和技巧来解决问题。

我们的目标是为读者提供一个全面的了解数论中组合的重要性，并展望未来在这一领域的发展。

分的内容2.正文2.1 数论基础数论作为数学的一个分支，主要研究整数及其性质。

在数论中，我们经常会遇到一些重要的概念和定理，这些内容对于理解数论中的组合问题至关重要。

首先，数论中的基本概念包括整数、素数、约数、最大公约数和最小公倍数等。

其中，素数是指只能被1和自身整除的整数，如2、3、5、7等。

而最大公约数是指两个整数共有的约数中最大的一个，最小公倍数则是指两个整数公有倍数中最小的一个。

其次，数论中还有一些重要的定理，如费马小定理、欧拉定理等。

费马小定理表明对于任意素数p和整数a，a的p次方减去a都能被p整除。

而欧拉定理则建立了模运算与指数运算之间的联系，为解决一些复杂的数论问题提供了重要的工具。

除此之外，数论中的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，这些运算是进行数论证明和计算的基础。

高二数学人教B版选择性必修第二册第三章3.1.3组合与组合数(2)课件(共33张PPT)

高二数学人教B版选择性必修第二册第三章3. 1.3组合与组合数（2 ）课件（共33 张PPT ）
（2）若3件产品中恰有1件次品，则不同的取法共有多少种？
3件产品中：1件次品，2件合格品取出两类不同对象，可分成两步完成：
第一步，取出1件次品，有 C12 种取法；
（注意，虽已满足限制要求，但事件还没有完成）
高二数学人教B版选择性必修第二册第三章3. 1.3组合与组合数（2 ）课件（共33 张PPT ）
（2）如果要求一人得4本，一人得3本，一人得2本，则共有多少种不同的分法？
注意这个问题与上一问的区别：“不定向分配问题”，如何解决？
相比问题（1），可以先分组，后分配，分两步完成：
第一步，将9本书按照4本、3本、2本分为三组：C94C53C22 第二步，将三组书分配给3个人，即三组书全排列：A33 由分步乘法计数原理，共 C94C35C22A33 7560 种方法.
上车，从另一个站下车，求有多少种不同的上下车的可能？
公益西桥
……
安河桥北
地铁四号线是双向行驶，
需确定两站之间上下车的
顺序，变成了“排列”问
题，共有
A
2 种方法.
24
高二数学人教B版选择性必修第二册第三章3. 1.3组合与组合数（2 ）课件（共33 张PPT ）
高二数学人教B版选择性必修第二册第三章3. 1.3组合与组合数（2 ）课件（共33 张PPT ）
“任取3件”-“3件都是合格品”=“3件中至少有1件次品”
即：C330 C328 4060 3276 784 种取法.
显然用排除法解决这个问题，分类情况更少，研究更简便.

人教B版高中数学选择性必修第二册精品课件第3章排列、组合与二项式定理第1课时组合及组合数公式

B.从1,2,3,4这4个数字中选取3个不同的数字可以组成多少个不同的三位
数?
C.从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式,有多少种选法?
D.从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长,有多少种选法?
解析对于A选项,从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作,将2
人选出后,还要安排导游或翻译的工作,与顺序有关,这个问题为排列问题;
名师点睛
1.排列与组合的区别与联系
(1)共同点:两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象.
(2)不同点:排列与对象的顺序有关,组合与对象的顺序无关.
(3)只要两个组合中的对象完全相同,不论对象的顺序如何,都是相同的组
合,只有当两个组合中对象不完全相同时,才是不同的组合.
2.组合与组Biblioteka 数的区别目录索引基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
1.理解组合的概念,会区分排列与组合问题.
正确认识组合与排列的区别与联系
课程标准
2.掌握组合数公式,会利用公式解决一些简单组合问题,理解排列
数与组合数之间的联系.
3.掌握组合数的两个性质,能够应用组合数的性质进行有关的化
多少种.
1
解因为一共有2件次品,至多有1件正品即恰有1件正品,故抽法有 C98
=98种.
规律方法解答简单的组合问题的方法
(1)弄清要做的这件事是什么事.
(2)看选出的元素是否与顺序有关,也就是看是不是组合问题.
(3)结合两计数原理,利用组合数公式求出结果.
变式训练3[2024甘肃白银高二期末]课外活动小组共13人,其中男生8人,女
选2人参加服务,则( AD)

3.1.3 组合和组合数( 组合和组合数的性质)(课件)高二数学(人教B版2019选择性必修第二册)

的选择方式？
对于（1），可分为两步：第一步，完成（2）中的事情，即选择两所学校；
第二步，讲选出的学校进行全排列（有22 种方法）.因为（1）的答案为23 ，
所以如果设问题（2）的答案是x，那么就能得到
23 =x22
从而得到 =
23
.
22
二组合数
组合数的定义
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取
这个问题可以用我们本节所学的组合知识来解。
03 新知探索
一、组合
【尝试与发现】下面这两个问题的答案一样吗？
（1）小张要在三所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，校长
共有多少种不同的选择方式？
（2）小张要在三所大学中选择2所，作为自己的努力的目标，小张有多少种不同
的选择方式？
选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间
02 新知导入
02 新知导入
【情境与问题】
高考不分文理科后，思想整理、历史、地理、物理、化学、生物这6科是选考的，
考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种
可能得情况呢？
如果用{思想政治、地理、历史}表示其中一种选考组合，你能用类似的方法表示
出所有的组合方式吗？你有更简单的表示方法吗？
【答案】D
D．5或7
四课堂练习
【练习3】某校拟从2名教师和4名学生共6名党史知识学习优秀者中随机选取3名
，组成代表队，参加市党史知识竞赛，则要求代表队中既有教师又有学生的选法
共有
种．
【答案】16
四课堂练习
【练习4】
【解析】
四课堂练习

人教B版高中数学选修组合教案

1．2．2组合课标要求：知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。

明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。

过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数mn A 与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。

情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。

教学重点：组合的概念和组合数公式教学难点：组合的概念和组合数公式授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通. 能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题. 排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高. 教学过程：一、复习引入：1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完mn C成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．． 4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示5．排列数公式：(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）6阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=． 7．排列数的另一个计算公式：mn A =!()!n n m -8.提出问题：示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合．．．二、讲解新课：1组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同例1．判断下列问题是组合还是排列（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？（2）什么样的两个组合就叫相同的组合 2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 3．组合数公式的推导：（1）从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组合排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcddca cda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abdcba bca acb cab bac abc abc,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以，333434A A C =．（2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数mn C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C mm A ⋅．（3）组合数的公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且规定: 01n C =.三、讲解范例：例2．用计算器计算710C ．解：由计算器可得例3．计算：（1）47C ；（2）710C ；（1）解： 4776544!C ⨯⨯⨯=＝35；（2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120．解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120．例4．求证：11+⋅-+=m n mn C mn m C ．证明：∵)!(!!m n m n C mn -=111!(1)!(1)!m nm m n C n mn m m n m +++⋅=⋅--+-- ＝1!(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+---＝!!()!n m n m -∴11+⋅-+=m n mn C mn m C 例5．设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值解：由题意可得：⎩⎨⎧-≥+-≥-321132x x x x ，解得24x ≤≤， ∵x N +∈， ∴2x =或3x =或4x =，当2x =时原式值为7；当3x =时原式值为7；当4x =时原式值为11． ∴所求值为4或7或11．例6．一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C ｝手＝ 12 376 （种） .(2）教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有1117C 种选法；第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有111C 种选法．所以教练员做这件事情的方法数有1111711C C ⨯=136136（种）.例7．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？ (2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有2101094512C⨯==⨯（条）. (2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有21010990A =⨯=（条）.例8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .(1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有31001009998123C⨯⨯=⨯⨯= 161700 （种）.(2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有12C 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有298C 种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有12298C C ⋅=9506(种).(3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2 件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有12298C C ⋅种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有12298C C ⋅+21298C C ⋅=9 604 （种） .解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即3310098C C -=161 700-152 096 = 9 604 （种）.说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。

数论与组合数学中的问题

数论与组合数学中的问题数论和组合数学是现代数学中的两个重要分支，二者相互渗透，有许多相通之处。

在这篇文章中，我们将会探讨数论与组合数学中涉及到的一些问题。

一、素数和质因数分解素数是数论研究的重要对象之一。

素数指除1和本身以外，不能再被其他正整数整除的自然数。

例如，2、3、5、7、11、13、17、19等都是素数。

素数有许多神奇的性质，例如，一个大于1的自然数，如果它的因子都是素数，那么它一定是一个素数。

另外，任何一个自然数都可以唯一地拆分为若干个素数的乘积，这就是质因数分解定理。

二、排列组合问题排列组合是组合数学中的重要分支，也常常涉及到计数问题。

在组合数学中，我们常常需要算出将n个元素分成k组的方案数，这就是组合问题。

另一方面，当我们需要给n个元素排列时，也需要考虑元素的顺序，这就是排列问题。

排列组合的性质非常复杂，许多问题需要借助计算机进行求解。

三、数位问题数位问题是数学中的一个非常有趣的领域。

例如，我们经常需要判断一个数是几位数，或者将一个数的所有位数加起来得到一个新的数。

除此之外，数位问题还能衍生出一些难题，例如同余问题。

同余问题指的是两个数在模意义下是否相等，例如，对于任意正整数n，如果n的各位数字之和可以被9整除，那么n模9的余数就是0。

四、图论中的问题图论是数学的一个重要分支，常常用于描述网络和关系。

例如，社交网络中的好友关系可以用图论来表示。

在图论中，我们常常需要计算各个节点之间的距离和路径。

这些问题可以被转化为计数问题，例如，最短路径问题和最长路径问题。

五、数学中的小定理数学中有一些小定理，虽然看似简单却非常有用。

例如，费马小定理指的是如果p是一个质数，那么对于任意正整数a，a^p-a 模p的余数必定为0。

另外，欧拉定理指的是对于任意正整数a和m，如果a和m互质，那么a^φ(m)-1模m的余数必定为1，其中φ(m)表示与m互质的小于等于m的正整数个数。

六、组合数学中的难题组合数学是一门非常具有挑战性的学科，有许多不为人知的难题。