第二章 函数的概念与基本初等函数

第二章 函数的概念与基本初等函数
函数的概念及其表示
1．下列各题的对应关系是否给出了实数集R 到R 上的一个函数，为什么？ （1）f ：13+→x x ； （2）g ：1||+→x x ； （3）h ：x
x 1
→
； （4）r ：x x →． 2．函数y ＝x (x －1)－lg 1
x
的定义域为
A ．{x |x >0}
B ．{x |x ≥1}
C ．{x |x ≥1或x <0}
D ．{x |0<x ≤1}
3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式是 A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7
4．下列各组函数表示相同函数的是
A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2
B ．f (x )＝1，g (x )＝0
x
C ．⎩
⎨⎧<-≥=00)(x x x x x f ，g(t)＝|t| D ．1)(+=x x f ，11
)(2--=x x x g
5．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x
＋1，x <1，
x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于
A ．12
B ．4
5
C ．2
D ．9
6．已知函数⎩⎨⎧>-≤+=0,
20
,1)(2x x x x x f ，若使5)(=x f ，则=x
A ．2-
B ．2或25-
C ．2或2-
D ．2或2-或2
5- 7．下列函数中，值域为()+∞,0 的是 A ．x y =
B ．2
100+=
x y C ．x
y 16=
D ．12
++=x x y 8．（1）函数)(x f 的定义域为[]4,1，则)3(x f 的定义域是 ； （2）函数)2(+x f 的定义域为[]3,5-，则)(x f 的定义域是 ．
9．求函数x
x x x f -+=||)1()(0的定义域．
1．下列函数中，在区间()0,∞-上单调递增，且在区间()+∞,0上单调递减的函数为 A ．2
1x
y =
B ．x y 1
= C ．2x y = D ．3x y = 2．函数222-+-=x x y 的单调递减区间是
A ．(]1,∞-
B ．[)+∞,1
C ．(]2,∞-
D ．[)+∞,2 3．已知函数ax y =和x
b
y -
=在()+∞,0上都是减函数，则函数a bx x f +=)(在R 上是 A ．减函数且0)0(<f B ．增函数且0)0(<f C ．减函数且0)0(>f D ．增函数且0)0(>f 4．函数x
x f 1
)(=
在[)∞+,1上 A ．有最大值无最小值 B ．有最小值无最大值 C ．有最大值也有最小值 D ．无最大值也无最小值 5．函数[])3,0(2)(2
∈-=x x x x f 的最大值M 与最小值m 的和等于 A ．1- B ．0 C ．1 D ．2-
6．函数54)(2
+-=mx x x f 在区间[)+∞-,2上是增函数，则有
A ．25)1(≥f
B ．25)1(=f
C ．25)1(≤f
D ．25)1(>f 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2
－ax －5，x ≤1，a x ，x ＞1
在R 上为增函数，则a 的取值范围是
A ．[－3,0)
B ．[－3，－2]
C ．(－∞，－2]
D ．(－∞，0)
8．（1）函数)1||2(log )(22
1++-=x x x f 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．
（2）函数1||2)(2
++-=x x x f 的单调递增区间是 ．
9．求函数x
x x x f 1
2)(2++=在x ∈[2，＋∞) 上的最小值．
10．求12)(2
--=ax x x f 在区间[]2,0上的最大值．
1．已知有四个命题： ①函数x
y 1
-
=在定义域上单调递增；②偶函数的图象必定关于y 轴对称；③奇函数的图象必定通过原点；④若函数)(x f 既是奇函数，又是偶函数，则0)(=x f ．其中真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
2．若)0()(2≠++=a c bx ax x f 是偶函数，则cx bx ax x g ++=23)(
A ．是奇函数
B ．是偶函数
C ．既不是奇函数又不是偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数 3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是
A ．y ＝1x
B ．y ＝e －
x C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg|x |
4．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭
⎫－52＝ A ．－12 B ．－14 C ．14 D ．1
2
5．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
6．已知)(x f 是R 上的偶函数，当()+∞∈,0x 时，1)(2-+=x x x f ，则当()0,∞-∈x 时，
=)(x f ．
7．若函数||)(2
a x x x f +-=为偶函数，则实数=a ．
8．设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫
32＝________．
9．奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，若f (x )在[0,2]上单调递减，且f (1＋m )＋f (m )＜0，则实数m 的取值范围是________．
10．判断下列各函数的奇偶性： （1）f (x )＝(x ＋1)
1－x 1＋x ； （2）f (x )＝lg (1－x 2)
|x －2|－2
； （3）)1ln()(2++=x x x f
11．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f (a )≥f (2)，求实数a 的取值范围．
1．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是
2．幂函数)(3
22
Z m x y m m
∈=--的图象如图所示，则m 的
值为
A ．－1<m <3
B ．0
C ．1
D ．2
3．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是
A ．①31x y =，②y ＝x 2， ③2
1x y =，④y ＝x
－1
B ．①y ＝x 3， ②y ＝x 2， ③2
1x y =， ④y ＝x －
1
C ．①y ＝x 2
， ②y ＝x 3
， ③2
1x y =， ④y ＝x
－1
D ．①31x y =，②2
1x y =，③y ＝x 2， ④y ＝x －
1
4．函数y ＝ax 2＋a 与y ＝a
x (a ≠0)在同一坐标系中的图象可能是
5．二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t 的值是
A ．－4
B ．4
C ．－2
D ．2
6．对于任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，那么x 的取值范围是
A ．(1,3)
B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C ．(1,2)
D ．(3，＋∞) 7．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，则实数a 的值为________．
8．二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意x 恒有f (2＋x )＝f (2－x )，若f (1－2x 2)＜f (1＋2x －x 2)，则x 的取值范围是________．
9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间．
1．化简
6
5
3
1212
11
3
2)
(ab
b
a b a -
-
-⋅)0,0(>>b a 的结果是
A ．a
B ．ab
C ．b a 2
D.
a
1 2．函数12-=
x y 的定义域是
A ．()0,∞-
B ．(]0,∞-
C ．[)∞+,0
D ．()∞+,0 3．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是
A B C D
4．设52)53(=a ，53)52(=b ，52
)5
2
(=c ，则a ，b ，c 的大小关系是
A ．a ＞c ＞b
B ．a ＞b ＞c
C ．c ＞a ＞b
D ．b ＞c ＞a 5．设a ＝40.8，b ＝80.46，c ＝⎝⎛⎭⎫12－1.2
，则a ，b ，c 的大小关系为
A ．a ＞b ＞c
B ．b ＞a ＞c
C ．c ＞a ＞b
D ．c ＞b ＞a
6．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则有
A ．f ⎝⎛⎭⎫13＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫23
B ．f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫13
C ．f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭⎫13＜f ⎝⎛⎭⎫32
D ．f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭⎫13 7．函数)10()(≠>=a a a x f x 且在区间[]2,1上的最大值与最小值的和为6，则=a ． 8．已知0≤x ≤2，则5234
2
1
+⋅-=-
x x y 的最大值为________．
9．求值：0
121
32
)32()25(10)002.0()8
27(-+--+----．
10．解下列不等式： （1）2)2
1(2>x
； （2）.16.02
2>-x ；
1．已知函数x x f 3log )(=，则=)3
3(f A ．
31 B ．31- C ．21 D ．2
1- 2．设3log 2
1=a ，3
.0)31(=b ，31
2=c ，则c b a ,,的大小关系是
A ．c b a <<
B ．a b c <<
C ．b a c <<
D ． c a b << 3．若)
12(log 1)(2
1+=
x x f ，则f (x )的定义域为
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0
B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0
C ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞)
4．函数)4(log 12≥+=x x y 的值域是
A ．[)∞+,2
B ．()∞+,3
C ．[)∞+,3
D ． ()+∞∞-, 5．已知函数⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡∈+=9,811log 2)(3x x x f ，则)(x f 的最小值为 A ．2- B ．3- C ．4- D ． 0 6．函数)4(log )(2
2
1-=x x f 的单调递增区间是
A ．()∞+,0
B ．()0,∞-
C ．()∞+,2
D ．()2,-∞- 7．函数)3(log )(-=ax x f a 在[]3,1上单调递增，则a 的取值范围是
A ．()∞+,1
B ．()1,0
C ．⎪⎭
⎫
⎝⎛31,
0 D ．()∞+,3 8．=⨯4log 27log 3
2________．
9．已知函数⎩⎨⎧>≤=-1
,log 1,2)(81x x x x f x ，则满足41
)(=x f 的x 的值为 ．
10．计算下列各式的值：
（1）4log 9log 5.12lg 8
5lg 21lg 38⋅-+-； （2）21
1log 52
2(lg5)lg 2lg502.+++
11．求函数)2(log log )(22
x x x f ⋅=的最小值．
函数的图像
1．函数|
1|)
2
1(+=x y 的大致图象为
2．在同一坐标系内，函数)0(≠=a x y a 和a
ax y 1
-
=的图象可能是
A B C D
3．函数)(x f y =的图象如图所示，则函数)(log 2
1x f y =的图象大致是
4．函数x x f ln 2)(=的图象与函数54)(2+-=x x x g 的图象的交点个数为
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
5．若02log <a （10≠>a a 且），则函数)1(log )(+=x x f a 的图象大致是
6．作出下列函数的图象：
（1）|
|)2
1
(x y =； （2）|)1(log |y 2+=x ； （3）1
12--=x x y ； （4）1||22
--=x x y ．
函数与方程
1．判断下列结论的正误．
（1）函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点；
（2）函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点（函数图象连续不断），则0)()(<⋅b f a f ； （3）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在042
<-ac b 时没有零点； （4）只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值；
（5）若函数)(x f y =在区间),(b a 内，有0)()(<⋅b f a f 成立，那么函数)(x f y =在),(b a 内有唯一的零点。

2．函数x x x f 2log 1)(-=的零点所在区间是 A ．)21,
41( B ．)1,2
1
( C ．)2,1( D ．)3,2( 3．函数)1ln(+=x y 与x
y 1
=
的图像交点的横坐标所在的区间为 A ．)1,0( B ．)2,1( C ．)3,2( D ．)4,3( 4．函数x
x x f 2)(2
-=的零点的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
6．函数⎩⎨⎧≤+>+-=0,
140
,2ln )(2x x x x x x x f 的零点的个数是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7．已知函数x x x h x x x g x x f x +=+=+=32)(,log )(,2)(的零点依次为c b a ,,，则c b a ,,的大小关系为
A ．c b a <<
B ．b c a <<
C ．c b a >>
D ．b a c >> 8．函数a x
x f x
--
=2
2)(的一个零点在区间)2,1(内，则实数a 的取值范围是 A ．)3,1( B ．)2,1( C ．)3,0( D ．)2,0(
9．若0x 是方程21
)2
1(x x
=的解，则0x 属于区间
A ．)1,32(
B ．)32,21(
C ．)21,31(
D ． )3
1
,0( 10．求下列函数的零点：
（1）1)(4
-=x x f ； （2）2ln -=x y .。