北师大版数学九年级下---二次函数(培优)

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初三数学二次函数的专项培优练习题(含答案)含详细答案

初三数学二次函数的专项培优练习题(含答案)含详细答案一、二次函数1．某厂家生产一种新型电子产品，制造时每件的成本为40元，通过试销发现，销售量(y 万件)与销售单价(x 元)之间符合一次函数关系，其图象如图所示．()1求y 与x 的函数关系式；()2物价部门规定：这种电子产品销售单价不得超过每件80元，那么，当销售单价x 定为每件多少元时，厂家每月获得的利润()w 最大？最大利润是多少？【答案】（1）2280y x =-+；（2）当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元．【解析】【分析】()1根据函数图象经过点()40,200和点()60,160，利用待定系数法即可求出y 与x 的函数关系式；()2先根据利润=销售数量(⨯销售单价-成本)，由试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，结合电子产品的成本价即可得出x 的取值范围，根据二次函数的增减性可得最值．【详解】解：()1设y 与x 的函数关系式为()0y kx b k =+≠，Q 函数图象经过点()40,200和点()60,160，{4020060160k b k b +=∴+=，解得：{2280k b =-=， y ∴与x 的函数关系式为2280y x =-+．()2由题意得：()()224022802360112002(90)5000w x x x x x =--+=-+-=--+． Q 试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，且电子产品的成本为每千克40元，∴自变量x 的取值范围是4080x ≤≤．20-<Q ，∴当90x <时，w 随x 的增大而增大，80x ∴=时，w 有最大值，当80x =时，4800w =，答：当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键，并注意最值的求法．2．抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3（a≠0）与直线y ＝kx+c （k≠0）相交于A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点，且抛物线与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C 、D 两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P ，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标．【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3;（2）C （0，﹣3）,D （0，﹣1）;（3）P （2，﹣2）.【解析】【分析】（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入y ＝ax 2+bx ﹣3可得抛物线解析式．（2）当x ＝0时可求C 点坐标，求出直线AB 解析式，当x ＝0可求D 点坐标．（3）由题意可知P 点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P 点横坐标．【详解】解：（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入y ＝ax 2+bx ﹣3可得 304233a b a b --=⎧⎨+-=-⎩ 解得12a b =⎧⎨=-⎩∴y ＝x 2﹣2x ﹣3（2）把x ＝0代入y ＝x 2﹣2x ﹣3中可得y ＝﹣3∴C （0，﹣3）设y ＝kx+b ，把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入023k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得11 kb=-⎧⎨=-⎩∴y＝﹣x﹣1∴D（0，﹣1）（3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2）∴P点纵坐标为﹣2，∴x2﹣2x﹣3＝﹣2解得：x＝1±2，∵x＞0∴x＝1+2．∴P（1+2，﹣2）【点睛】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式可求点P 的横坐标．3．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；（2）点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；（3）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，﹣1）；（3）42【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如图1，设D（2，y），利用两点间的距离公式得到BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，然后讨论：当BD为斜边时得到18+4+（y﹣3）2=1+y2；当CD 为斜边时得到4+（y﹣3）2=1+y2+18，再分别解方程即可得到对应D的坐标；（3）先证明∠CEF=90°得到△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，则PE 2，PF2，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），接着利用t表示PF、PE，这样PE+EF=2PE+PF=﹣2t2+42t，然后利用二次函数的性质解决问题．试题解析：解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c得：9303b cc++=⎧⎨=⎩，解得：43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线y=x2+bx+c的表达式为y=x2﹣4x+3；（2）如图1，抛物线的对称轴为直线x=﹣42-=2，设D（2，y），B（3，0），C（0，3），∴BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y﹣3）2=1+y2，解得：y=5，此时D点坐标为（2，5）；当△BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，即4+（y﹣3）2=1+y2+18，解得：y=﹣1，此时D点坐标为（2，﹣1）；（3）易得BC的解析式为y=﹣x+3．∵直线y=x+m与直线y=x平行，∴直线y=﹣x+3与直线y=x+m垂直，∴∠CEF=90°，∴△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，PE=22PG，PF=2PH，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），∴PF=2PH=2t，PG=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t，∴PE=22PG=﹣22t2+322t，∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣2t2+32t+2t=﹣2t2+42t=﹣2（t﹣2）2+42，当t=2时，PE+EF的最大值为42．点睛：本题考查了二次函数的综合题．熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．4．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．(4)如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，10）或P（﹣1，﹣10）或P（﹣1，6）或P（﹣1，53）；（3）存在，Q（﹣1，2）；（4）63 8，315,24E⎛⎫-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①当CP＝PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的长，可根据M 的坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．②当CM＝MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．③当CM＝C P时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；（3）根据轴对称﹣最短路径问题解答；（4）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，S四边形BOCE＝S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在△BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．【详解】（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0）， ∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩． ∴所求抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3；（2）如答图1，∵抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3，∴其对称轴为x ＝22-＝﹣1， ∴设P 点坐标为（﹣1，a ），当x ＝0时，y ＝3，∴C （0，3），M （﹣1，0）∴当CP ＝PM 时，（﹣1）2+（3﹣a ）2＝a 2，解得a ＝53， ∴P 点坐标为：P 1（﹣1，53）； ∴当CM ＝PM 时，（﹣1）2+32＝a 2，解得a ＝±10，∴P 点坐标为：P 2（﹣1，10）或P 3（﹣1，﹣10）；∴当CM ＝CP 时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a ）2，解得a ＝6， ∴P 点坐标为：P 4（﹣1，6）．综上所述存在符合条件的点P ，其坐标为P （﹣1，10）或P （﹣1，﹣10）或P （﹣1，6）或P （﹣1，53）；（3）存在，Q （﹣1，2），理由如下：如答图2，点C （0，3）关于对称轴x ＝﹣1的对称点C′的坐标是（﹣2，3），连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为点Q ．设直线AC′函数关系式为：y＝kx+t（k≠0）．将点A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得23 k tk t+=⎧⎨-+=⎩，解得11kt=-⎧⎨=⎩，所以，直线AC′函数关系式为：y＝﹣x+1．将x＝﹣1代入，得y＝2，即：Q（﹣1，2）；（4）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a∴S四边形BOCE＝12BF•EF+12（OC+EF）•OF＝12（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+12（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）＝﹣32a2﹣92a+92＝﹣32（a+32）2+638，∴当a＝﹣32时，S四边形BOCE最大，且最大值为638．此时，点E坐标为（﹣32，154）．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解．5．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B．抛物线过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）如图1，设抛物线顶点为M，且M的坐标是（12，92），对称轴交AB于点N．①求抛物线的解析式；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）是否存在这样的点D，使得四边形BOAD的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①y＝﹣2x2+2x+4；；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形；；（2）存在，点D的坐标是（1，4）．【解析】【分析】（1）①由一次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标，设抛物线解析式为y＝a21922x⎛⎫-+⎪⎝⎭，把点B的坐标代入求得a的值即可；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），根据题意知PD∥MN，所以当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，根据该等量关系列出方程﹣2m2+4m＝32，通过解方程求得m的值，易得点N、P的坐标，然后推知PN＝MN是否成立即可；（2）设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．根据S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD ＝4+S△ABD，则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．根据三角形的面积公式得到函数S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函数的性质求得最值．【详解】解：①如图1，∵顶点M的坐标是19,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴设抛物线解析式为y＝21922a x⎛⎫-+⎪⎝⎭（a≠0）．∵直线y＝﹣2x+4交y轴于点B，∴点B的坐标是（0，4）．又∵点B在该抛物线上，∴21922a⎛⎫-+⎪⎝⎭＝4，解得a＝﹣2．故该抛物线的解析式为：y＝219222x⎛⎫--+⎪⎝⎭＝﹣2x2+2x+4；②不存在．理由如下：∵抛物线y＝219222x⎛⎫--+⎪⎝⎭的对称轴是直线x＝12，且该直线与直线AB交于点N，∴点N的坐标是1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴93322MN=-=．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．∵PD∥MN．当PD＝MN时，四边形MNPD是平行四边形，即﹣2m2+4m＝32．解得 m1＝12（舍去），m2＝32．此时P（32，1）．∵PN∴PN≠MN，∴平行四边形MNPD不是菱形．∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）存在，理由如下：设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），∵点P在线段AB上且直线PD⊥x轴，∴P（n，﹣2n+4）．由图可知S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD．其中S△BOA＝12OB•OA＝12×4×2＝4．则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．S△ABD＝12（y D﹣y P）（x A﹣x B）＝y D﹣y P＝﹣2n2+2n+4﹣（﹣2n+4）＝﹣2n2+4n＝﹣2（n﹣1）2+2．当n＝1时，S△ABD取得最大值2，S四边形BOAD有最大值．此时点D的坐标是（1，4）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．6．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．【解析】试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或．故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××=4+﹣=；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，∵P的坐标为（2，4），∴4=×2+b，解得b=3，∴直线PM的解析式为y=x+3．由，解得，，∴点M的坐标为（，）．考点：二次函数的综合题7．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.8．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣12x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，52），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52；（2）线段CD 的长为2；（3）M 点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用配方法得到y=﹣12（x ﹣2）2+92，则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t ，则D （2，92﹣t ），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t ，则P （2+t ，92﹣t ），然后把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52得到关于t的方程，从而解方程可得到CD 的长；（3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，52），利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ），当m ＞0时，利用梯形面积公式得到12•（m+52+2）•2=8当m ＜0时，利用梯形面积公式得到12•（﹣m+52+2）•2=8，然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标．【详解】（1）把A （﹣1，0）和点B （0，52）代入y=﹣12x 2+bx+c 得 10252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52；（2）∵y=﹣12（x ﹣2）2+92， ∴C （2，92），抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t ，则D （2，92﹣t ），∵线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处， ∴∠PDC=90°，DP=DC=t ， ∴P （2+t ，92﹣t ），把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52得﹣12（2+t ）2+2（2+t ）+52=92﹣t ，整理得t 2﹣2t=0，解得t 1=0（舍去），t 2=2， ∴线段CD 的长为2；（3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，52）， ∵抛物线平移，使其顶点C （2，92）移到原点O 的位置， ∴抛物线向左平移2个单位，向下平移92个单位，而P 点（4，92）向左平移2个单位，向下平移92个单位得到点E ， ∴E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ），当m ＞0时，12•（m+52+2）•2=8，解得m=72，此时M 点坐标为（0，72）；当m ＜0时，12•（﹣m+52+2）•2=8，解得m=﹣72，此时M 点坐标为（0，﹣72）；综上所述，M 点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.9．如图，抛物线25(0)y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点A （1，0）和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y x n =+． ①求抛物线的解析式．②点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值．③过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B 、C 重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．【答案】①265y x x =-+-；②当2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为22③点N 的横坐标为：4或5412+或5412．【解析】【分析】①点B 、C 在直线为y x n =+上，则B （﹣n ，0）、C （0，n ），点A （1，0）在抛物线上，所以250505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩，解得1a =-，6b =，因此抛物线解析式：265y x x =-+-；②先求出点P 到BC 的高h 为2sin 45(4)2BP t ︒=-，于是21122)22)2222PBE S BE h t t t ∆=⋅=-⨯=-+2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为22③由①知，BC 所在直线为：5y x =-，所以点A 到直线BC 的距离22d =N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．设()2,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -，易证△PQN 为等腰直角三角形，即22NQ PQ ==4PN =，Ⅰ．4NH HP +=，所以265(5)4m m m -+---=解得11m =（舍去），24m =，Ⅱ．4NH HP +=，()25654m m m ---+-=解得1541m +=，2541m -=去），Ⅲ．4NH HP -=，()265[(5)]4m m m --+----=，解得15412m =（舍去），252m =．【详解】解：①∵点B 、C 在直线为y x n =+上， ∴B （﹣n ，0）、C （0，n ）， ∵点A （1，0）在抛物线上，∴250505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩， ∴1a =-，6b =，∴抛物线解析式：265y x x =-+-； ②由题意，得，4PB t =-，2BE t =，由①知，45OBC ︒∠=， ∴点P 到BC 的高h为sin 45)BP t ︒=-，∴211)22)22PBE S BE h t t t ∆=⋅=-⨯=-+ 当2t =时，△PBE的面积最大，最大值为 ③由①知，BC 所在直线为：5y x =-， ∴点A 到直线BC的距离d =过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．设()2,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -，易证△PQN为等腰直角三角形，即NQ PQ == ∴4PN =， Ⅰ．4NH HP +=， ∴265(5)4m m m -+---= 解得11m =，24m =，∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形， ∴4m =；Ⅱ．4NH HP +=， ∴()25654m m m ---+-=解得1m =，2m =∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，5m >，∴541m +=， Ⅲ．4NH HP -=，∴()265[(5)]4m m m --+----=，解得15412m +=，25412m -=，∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，0m <，∴5412m -=，综上所述，若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的横坐标为：4或541+或541-．【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键．10．已知抛物线C 1：y=ax 2﹣4ax ﹣5（a ＞0）．（1）当a=1时，求抛物线与x 轴的交点坐标及对称轴；（2）①试说明无论a 为何值，抛物线C 1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标； ②将抛物线C 1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C 2，直接写出C 2的表达式；（3）若（2）中抛物线C 2的顶点到x 轴的距离为2，求a 的值．【答案】（1）（﹣1，0）或（5，0）（2）①（0，﹣5），（4，﹣5）②y=﹣ax 2+4ax ﹣5（3）a=或【解析】试题分析：（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个点定点的横坐标，即可解题；②根据抛物线翻折理论即可解题；（3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题试题解析：（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴对称轴为y=2；∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；（2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5，整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；②这两个点连线为y=﹣5；将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5，（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，则x=2时，y=2或者﹣2；当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；∴a=或；考点：1、抛物线与x轴的交点；2、二次函数图象与几何变换11．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．【解析】试题分析：（1）在中，令y=0，得到，，得到A（－1，0），B（3，0），由直线l经过点A，得到，故，令，即，由于CD＝4AC，故点D的横坐标为4，即有，得到，从而得出直线l的函数表达式；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，故△ACE的面积的最大值为，而△ACE的面积的最大值为，所以，解得；（3）令，即，解得，，得到D （4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线．试题解析：（1）∵=，令y=0，得到，，∴A（－1，0），B（3，0），∵直线l经过点A，∴，，∴，令，即，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴，∴，∴直线l的函数表达式为；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝＝，∴△ACE的面积的最大值为，∵△ACE的面积的最大值为，∴，解得；（3）令，即，解得，，∴D（4，5a），∵，∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P1（1，）；②若AD 是矩形的一条对角线，则线段AD 的中点坐标为（，），Q （2，），m ＝，则P （1，8a ），∵四边形APDQ 为矩形，∴∠APD ＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P 2（1，－4）．综上所述，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为（1，）或（1，－4）．考点：二次函数综合题．12．如图，已知抛物线2(0)y ax bx a =+≠过点3,-3) 和3,0)，过点A 作直线AC//x 轴，交y 轴与点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P ，过点P 作直线AC 的垂线，垂足为D ，连接OA ，使得以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOC 相似，求出对应点P 的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）21332y x x =-；（2）P 点坐标为（383,- 43）；（3）Q 点坐标（30）或（315）【解析】【分析】（1）把A 与B 坐标代入抛物线解析式求出a 与b 的值，即可确定出解析式；（2）设P 坐标为2133,22x x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，表示出AD 与PD ，由相似分两种情况得比例求出x 的值，即可确定出P 坐标；（3）存在，求出已知三角形AOC 边OA 上的高h ，过O 作OM ⊥OA ，截取OM=h,与y 轴交于点N ，分别确定出M 与N 坐标，利用待定系数法求出直线MN 解析式，与抛物线解析式联立求出Q 坐标即可．【详解】（1）把3A 3)-和点(33B 0)代入抛物线得：33327330a b a b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩，解得：12a =，332b =-，则抛物线解析式为213322y x x =-；（2）当P 在直线AD 上方时，设P 坐标为2133,2x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则有3AD x =213332PD x x =+，当OCA ADP ∆∆∽时，OC CA AD DP =2331333x x x =--+，整理得：239318236x x x -+=-，即23113240x x -+=，解得：6x =，即3x =或x =此时P 4)3-；当OCA PDA ∆∆∽时，OC CA PD AD =22=，296x x -+=-2120x -+=，解得：x =x =此时P 6)；当点()0,0P 时，也满足OCA PDA ∆∆∽；当P 在直线AD 下方时，同理可得：P的坐标为10)3-，综上，P的坐标为，4)3-或6)或10)3-或()0,0；（3）在Rt AOC ∆中，3OC =，AC =根据勾股定理得：OA =Q 11··22OC AC OA h =， 32h ∴=，132AOC AOQ S S ∆∆==Q ， AOQ ∴∆边OA 上的高为92，过O 作OM OA ⊥，截取92OM =，过M 作//MN OA ，交y 轴于点N ，如图所示：在Rt OMN ∆中，29ON OM ==，即()0,9N ，过M 作MH x ⊥轴，在Rt OMH ∆中，1924MH OM ==，393OH ==，即93(M ，9)4，设直线MN 解析式为9y kx =+，把M 坐标代入得：99394=+，即3k =39y x =+，联立得：23913322y x y x x ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩，解得：330x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩315x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩(33Q 0)或(23-，15)，则抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=，此时点Q 的坐标为(330)或(23-15)．【点睛】二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．13．如图1，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣4，0），B （1，0）两点，过点B 的直线y=kx+23分别与y 轴及抛物线交于点C ，D ．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P 从点O 出发，在x 轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△PDC 为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t 的值；（3）如图2，将直线BD 沿y 轴向下平移4个单位后，与x 轴，y 轴分别交于E ，F 两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M ，在直线EF 上是否存在点N ，使DM+MN 的值最小？若存在，求出其最小值及点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y=228233x x +-，BD 解析式为y=﹣2233x +；（2）t 的值为4915129±、233．（3）N 点坐标为（﹣2，﹣2），M 点坐标为（﹣32，﹣54），213 【解析】分析：（1）利用待定系数法求解可得；（2）先求得点D 的坐标，过点D 分别作DE ⊥x 轴、DF ⊥y 轴，分P 1D ⊥P 1C 、P 2D ⊥DC 、P 3C ⊥DC 三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．详解：（1）把A （﹣4，0），B （1，0）代入y=ax 2+2x+c ，得168020a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得：2383a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线解析式为：y=228233x x +-， ∵过点B 的直线y=kx+23， ∴代入（1，0），得：k=﹣23， ∴BD 解析式为y=﹣2233x +；（2）由2282332233y x xy x﹣⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得交点坐标为D（﹣5，4），如图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F，当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，则△DEP1∽△P1OC，∴DEPO=PEOC，即4t=523t-，解得t=151296±，当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形由△P2DB∽△DEB得DBEB=2P BDB，5252，解得：t=233；当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，∴DFOC=3CFP O，即523=103t，解得：t=49，∴t的值为49、151296、233．（3）由已知直线EF解析式为：y=﹣23x﹣103，在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M过点N 作NH ⊥DD′于点H ，此时，DM+MN=D′N 最小．则△EOF ∽△NHD′ 设点N 坐标为（a ，﹣21033a -）， ∴OE NH =OF HD '，即52104()33a ---=1032a -，解得：a=﹣2，则N 点坐标为（﹣2，﹣2），求得直线ND′的解析式为y=32x+1，当x=﹣32时，y=﹣54， ∴M 点坐标为（﹣32，﹣54），此时，DM+MN 的值最小为22D H NH '+=2246+=213．点睛：本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．14．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）P （1，0）；（3）．【解析】试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；（2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2y ax bx c=++中，得：0{9303a b c a b c c -+=++==-，解得：1{23a b c ==-=-，故抛物线的解析式：223y x x =--．（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=2ba-=1，故P （1，0）；（3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2ba-=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则：2MA =24m +，2MC =2(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；①若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，解得：m=﹣1； ②若MA=AC ，则22MA AC =，得：24m +=10，得：m=6±；③若MC=AC ，则22MC AC =，得：2610m m ++=10，得：10m =，26m =-；当m=﹣6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1，6）（1，6-）（1，﹣1）（1，0）．考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．15．如图1，四边形OABC 是矩形，点A 的坐标为(3,0)，点c 的坐标为(0,6).点P 从点O 出发，沿OA 以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，同时点Q 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，当点P 与点A 重合时运动停止.设运动时间为t 秒.（1）当2t =时，线段PQ 的中点坐标为________；（2）当CBQ ∆与PAQ ∆相似时，求t 的值；（3）当1t =时，抛物线2y x bx c =++经过P 、Q 两点，与y 轴交于点M ，抛物线的顶点为K ，如图2所示.问该抛物线上是否存在点D ，使12MQD MKQ ∠=∠，若存在，求出所有满足条件的D 点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）PQ 的中点坐标是(2.5,2)；（2）9352t -=或3t 4=；（3）124(,)39D ，2240(,)39D -. 【解析】分析：（1）先根据时间t=2，和速度可得动点P 和Q 的路程OP 和AQ 的长，再根据中点坐标公式可得结论；（2）根据矩形的性质得：∠B=∠PAQ=90°，所以当△CBQ 与△PAQ 相似时，存在两种情况：①当△PAQ ∽△QBC 时，PA QB AQ BC ＝，②当△PAQ ∽△CBQ 时，PA BC AQ QB＝，分别列方程可得t 的值；（3）根据t=1求抛物线的解析式，根据Q （3，2），M （0，2），可得MQ ∥x 轴，∴KM=KQ ，KE ⊥MQ ，画出符合条件的点D ，证明△KEQ ∽△QMH ，列比例式可得点D 的坐标，同理根据对称可得另一个点D ．详解：（1）如图1，∵点A 的坐标为（3，0）， ∴OA=3，当t=2时，OP=t=2，AQ=2t=4， ∴P （2，0），Q （3，4），。

2020年北师大版九年级下学期数学第二章《二次函数》专题培优卷(解析版)

第二章《二次函数》专题培优卷一．选择题1．二次函数y＝x2+2x+2的图象是一条抛物线，则下列说法不正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的顶点坐标是（1，1）C．抛物线与x轴没有交点D．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大2．函数y＝ax2+bx与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．3．已知点M（m，2018），N（n，2018）是二次函数y＝ax2+bx+2017图象上的两个不同的点，则当x＝m+n时，其函数值y＝（）A．2019 B．2018 C．2017 D．20164．已知二次函数y＝﹣x+2的图象与x轴分别交于A，B两点（如图所示），与y 轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时，点P的纵坐标与横坐标之和为（）A．0 B．C．D．5．如图，将函数y＝的图象沿y轴向上平移得到一条新函数y＝的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．则曲线段AB 扫过的面积为（）A．4 B．6 C．9 D．126．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点C是x轴上方抛物线上的动点，连结CA，CB，设△ABC的两条高CE，AD所在的直线交于点H，则点H到x轴的距离为（）A．B．C．D．17．如图，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠ABC、∠ADC，使两个直角顶点重合于对角线BD上一点P，EF、GH分别是折痕，设AE＝x（0＜x＜2），给出下列判断：①当x＝1时，点P是正方形ABCD的中心；②当x＝时，EF+GH＞AC；③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是；④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．其中错误的是（）A ．②③B ．③④C ．①④D ．①②8．抛物线y 1＝2（x +2）2﹣9与y 2＝（x ﹣3）2+2．给出以下结论：①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②当x ＝0时，y 2﹣y 1＝1；③令y ＝y 1+y 2，当x ＝﹣时，y 取得最小值．其中正确结论的个数为（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个9．函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则函数y ＝cx 2﹣bx +a 的图象与x 轴的交点分别是（）A ．（，0）、（1，0）B ．（﹣1.0）、（，0）C ．（﹣1，0）、（3，0）D ．（﹣3，0）、（1，0） 10．小强从如图所示的二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象中，观察得出了下面五条结论：你认为其中正确结论的个数有（）（1）a ＜0；（2）b ＞0；（3）a ﹣b +c ＞0；（4）2a +b ＜0．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．函数y ＝|ax 2+bx |（a ＜0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A ．5a +3b ＜1B ．4a +3b ＜2C ．2a +b ＜0D ．a +2b ＜012．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图，图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，下列结论：①a ﹣b +c ＝0；②2a +b ＝0；③4ac ﹣b 2＞0；④a +b ≥am 2+bm （m 为实数）．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题 13．关于x 的方程x 2+bx +c ＝x 有两根x 1，x 2且x 2＞x 1＞0．对于函数y ＝x 2+bx +c ，若自变量取x 0，其对应的函数值为y 0，当x 1＜x 0＜x 2时，y 0 x 2．（填“＞”“＜”或“＝”）14．已知直角坐标平面内有两个定点M （0，4），N （﹣2，﹣2），抛物线y ＝ax 2﹣6ax +5a （a ≠0）与x 轴自左至右交于A ，B ，当此抛物线左右平移时，AM +BN 的最小值是．15．如图，抛物线y ＝与x 轴交于点A ，B ，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作C 1，将C 1向左平移得C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ．若直线y ＝x +m 与C 1，C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是．16．如图，直线l ：y ＝﹣x +1与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P ，Q 是直线l 上的两个动点，且点P 在第二象限，点Q 在第四象限，∠POQ ＝135°．设AQ ＝t ＞0．当动点P ，Q 在直线l 上运动到使得△AOQ 与△BPO 的周长相等时，记tan ∠AOQ ＝m ，若过点A 的二次函数y ＝ax 2+bx +c 同时满足以下两个条件：①6a +3b +2c ＝0；②当m ≤x ≤m +2时，函数y 的最大值等于，求二次项系数a 的值．17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的有个．①b2﹣4ac＞0；②ac＜0；③b＜0；④a﹣b+c＜0；⑤2a+b＝0；⑥当x＞1时，y随着x的增大而减小．18．如图，抛物线y＝﹣x﹣2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两线交于点D，将△BDC绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到△FEC，连结BF．在线段BC上存在点P，使得以点P，A，B 为顶点的三角形与△BOC相似，则点P的坐标为．三．解答题19．已知：过点A（﹣1，1），B（0，﹣1）的直线与抛物线C：y＝ax2（a＞0）交于P，Q 两点，若△OPQ（O为坐标原点）的面积为．（1）求a的值；（2）若M为抛物线C上的点，设直线AM，BM与抛物线C的另一个交点为M1，M2．求证：当点M在C上变动时，直线M1M2恒过一定点，并求出定点坐标．20．如图，点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线y ＝x2于P，Q两点．（1）求证：∠ABP＝∠ABQ；（2）若点A的坐标为（0，），且∠PBQ＝60°，试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式．21．已知x为自变量，y为因变量的函数y＝2x2+a+b﹣2．（1）当a＝1，b＝0时，求因变量y的最大值与最小值：（2）若a＝1，则当b为何值时，因变量y恒大于0；（3）若方程y＝0有且仅有三个不同的实根，且所有实根的平方和为，求6a﹣8b的值．22．如图，函数y＝|（2x2﹣x﹣6）|对应的曲线依次交x轴正、负半轴于A、B两点．（1）求出直线y＝与该曲线所有交点的坐标；（2）过点A作两条相互垂直的直线分别交该曲线于C、D两点，且C落在A点右侧，D 点落在A、B之间，若AD＝AC，求△ADC的面积S．△ADC23．已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为（﹣1，4），与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C（0，3），如图．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得△BCM的周长最小，求出点M的坐标；（3）连结AD、CD，求cos∠ADC的值；（4）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y＝ax2+bx+c交于A，B（点A在点B的左侧）两点，点C是该抛物线上任意一点，过C点作平行于y轴的直线交AB于D，分别过点A，B作直线CD的垂线，垂足分别为点E，F．特例感悟：（1）已知：a＝﹣2，b＝4，c＝6．①如图①，当点C的横坐标为2，直线AB与x轴重合时，CD＝，|a|•AE•BF ＝．②如图②，当点C的横坐标为1，直线AB∥x轴且过抛物线与y轴的交点时，CD＝，|a|•AE•BF＝．③如图③，当点C的横坐标为2，直线AB的解析式为y＝x﹣3时，CD＝，|a|•AE •BF＝．猜想论证：（2）由（1）中三种情况的结果，请你猜想在一般情况下CD与|a|•AE•BF之间的数量关系，并证明你的猜想．拓展应用．（3）若a＝﹣1，点A，B的横坐标分别为﹣4，2，点C在直线AB的上方的抛物线上运动（点C不与点A，B重合），在点C的运动过程中，利用（2）中的结论求出△ACB的最大面积．参考答案一．选择题1．解：∵二次函数y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，∴该抛物线的开口向上，故选项A正确；抛物线的顶点坐标是（﹣1，1），故选项B错误；当y＝0时，0＝x2+2x+2，此时△＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0，故该抛物线与x轴没有交点，故选项C正确；当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故选项D正确；故选：B．2．解：当a＞0，b＞0时，一次函数y＝ax+b的图象在第一、二、三象限，二次函数y＝ax2+bx 的图象经过原点，顶点在y轴的左侧，故选项A、B错误；当a＞0，b＜0时，一次函数y＝ax+b的图象在第一、三、四象限，二次函数y＝ax2+bx 的图象经过原点，顶点在y轴的右侧，函数图象开口向上，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b 交点在x轴上，故选项C正确；当a＜0，b＜0时，一次函数y＝ax+b的图象在第二、三、四象限，二次函数y＝ax2+bx 的图象经过原点，顶点在y轴的左侧，函数图象开口向下，故选项D错误；故选：C．3．解：∵当x＝m和x＝n时，y的值相等，∴x＝﹣＝，∴m+n＝﹣，当x＝m+n时，则y＝a（﹣）2+b（﹣）+2017＝2017∴当x＝m+n时，二次函数y的值是2017．故选：C．4．解：连接AC．在y＝﹣x+2中，令y＝0，则﹣x+2＝0，解得：x＝﹣3或1．则A的坐标是（﹣3，0），B的坐标是（1，0），则对称轴是x＝﹣1．令x＝0，解得y＝2，则C的坐标是（0，2）．设经过A和C的直线的解析式是y＝kx+b．根据题意得：，解得：，则AC的解析式是y＝x+2，令x＝﹣1，则y＝．x+y＝﹣1+＝故选：B．5．解：将函数y＝的图象沿y轴向下平移3个单位得到一条新函数y＝的图象，所以AA′＝3，所以曲线段AB扫过的面积＝（x B﹣x A）×AA′＝3×3＝9．故选：C．6．解：令y＝0，得y＝﹣x2+bx+c＝0，解得，x＝，∴A（，0），B（，0），设C（m，﹣+bm+c），∴E（m，0），CE＝﹣+bm+c，∴AE＝m﹣，BE＝﹣m，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEH＝∠CEB＝90°，∠BAD+∠ABD＝∠ABD+∠BCE，∴∠EAH＝∠BCE，∴△AEH∽△CEB，∴，∴＝．故选：C．7．解：（1）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，∴△BEF和△DGH是等腰直角三角形，∴当AE＝1时，重合点P是BD的中点，∴点P是正方形ABCD的中心；故①结论正确，（2）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，∴△BEF∽△BAC，∵x＝，∴BE＝2﹣＝，∴，即，∴EF＝，同理，GH＝，∴EF+GH＝2＝AC故②错误．（3）六边形AEFCHG 面积＝正方形ABCD 的面积﹣△EBF 的面积﹣△GDH 的面积． ∵AE ＝x ，∴六边形AEFCHG 面积＝22﹣•BE •BF ﹣•GD •HD ＝4﹣×（2﹣x ）•（2﹣x ）﹣•x •x ＝﹣x 2+2x +2＝﹣（x ﹣1）2+3，∴六边形AEFCHG 面积的最大值是3，故③结论错误，（4）∵EF +GH ＝AC ，六边形AEFCHG 周长＝AE +EF +FC +CH +HG +AG ＝（AE +CH ）+（FC +AG ）+（EF +GH ）＝2+2+2 ＝4+2 ．故六边形AEFCHG 周长的值不变，故④结论正确．故选：A ．8．解：∵y 2＝（x ﹣3）2+2，∴当x ＝3时，y 2有最小值2，即无论x 取何值，y 2的值总是正数，所以①正确；当x ＝0时，y 2＝（x ﹣3）2+2＝11，y 1＝2（x +2）2﹣9＝﹣1，∴y 2﹣y 1＝12，所以②错误；∵y ＝y 1+y 2＝2（x +2）2﹣9+（x ﹣3）2+2＝3x 2+2x +10＝3（x +）2+，∴当x ＝﹣时，y 取得最小值．所以③正确．故选：B ．9．解：由函数图象可知，函数y ＝ax 2+bx +c 图象过点（﹣1，0）和（3，0），则， ∴，令y ＝0，则y ＝cx 2﹣bx +a ＝0，解得x ＝＝﹣或1，∴函数y＝ax2+bx+c图象与x轴的交点为（﹣，0）和（1，0）．故选：A．10．解：（1）如图，抛物线开口方向向下，则a＜0，故结论正确；（2）如图，抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，故b＞0，故结论正确；（3）如图，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故结论错误；（4）由抛物线的对称性质知，对称轴是直线x＝﹣＞0．结合a＜0知，2a+b＜0，故结论正确．综上所述，正确的结论有3个．故选：C．11．解：由图象可知，函数函数y＝ax2+bx图象的对称轴为直线x＝﹣＜1，∵a＜0，∴2a+b＜0，故C正确；∵当x＝2时，函数y＝ax2+bx中y＜0，即4a+2b＜0，当x＝1时，y＜1，即a+b＜1∴5a+3b＜1，故A正确；∵a+b＜1，∴2a+2b＜2∵2a+b＜0，∴4a+3b＜2故B正确；∵﹣＞，a＜0，∴b＞﹣a，∴2b＞﹣2a，∴a+2b＞﹣a，∴a+2b＞0，故D错误；故选：D ．12．解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1， ∴当x ＝﹣1时，y ＝0，即a ﹣b +c ＝0．∴①正确；∵对称轴为直线x ＝1， ∴﹣＝1，∴b ＝﹣2a ，∴2a +b ＝0，故②正确；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△＝b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，故③错误；∵当x ＝1时，函数有最大值，∴a +b +c ≥am 2+bm +c ，∴a +b ≥am 2+bm ，故④正确．综上，正确的有①②④．故选：C ．二．填空题（共6小题）13．解：∵方程x 2+bx +c ＝x 有两根x 1，x 2，∴函数y ＝x 2+bx +c 与函数y ＝x 的图象的两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，作出函数图象的草图如下：由函数图象可知，当x1＜x＜x2时，y＜y2，∵当x＝x2时，y＝x＝x2，即y2＝x2，∴y0＜x2，故答案为：＜．14．解：令y＝0，得y＝ax2﹣6ax+5a＝0，解得x＝1或5，∵抛物线y＝ax2﹣6ax+5a（a≠0）与x轴自左至右交于A，B，∴A（1，0），B（5，0），∴AB＝5﹣1＝4，过M作MM'∥x轴，使得MM'＝AB＝4，连接M'N与x轴交于B'点，如图所示，当B平移至B'，A移到A'点，即AM＝A'M，B'N＝BN，∵MM'＝A'B'，MM'∥A'B'，∴四边形A'B'M'M是平行四边形，∴A'M＝B'M'∴AM+BN＝A'M+B'N＝B'M'+B'N＝M'N，其值最小．∵M'（4，4），N（﹣2，﹣2），∴M'N＝，故答案为：6．15．解：∵抛物线y＝与x轴交于点A，B，∴令＝0，解得：x1＝5，x2＝9，∴B（5，0），A（9，0）．∴C1向左平移4个单位长度得C2，∴C2的解析式为：y＝（x﹣3）2﹣2，当直线y＝x+m过B，有2个交点，∴0＝+m，m＝﹣；当直线y＝x+m与抛物线C2相切时，有2个交点，∴x+m＝（x﹣3）2﹣2，∴x2﹣7x+5﹣2m＝0，∵相切，∴△＝49﹣20+8m＝0∴m＝﹣．如图：∵若直线y＝x+m与C1，C2共有3个不同的交点，∴﹣＜m＜﹣；故答案为：﹣＜m＜﹣．16．解：在函数y＝﹣x+1中，令x＝0，得y＝1，∴B（0，1），令y＝0，得x＝1，∴A（1，0），则OA＝OB＝1，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∴∠PBO＝∠QAO＝135°，设∠POB＝x，则∠OPB＝∠AOQ＝135°﹣x﹣90°＝45°﹣x，∴△PBO∽△OAQ，若它们的周长相等，则相似比为1，即全等，∴AQ＝BO，∴t＝1，过Q作QH⊥x轴于H，则AH＝GH＝AQ•sin45°＝，∴OQ＝1+同理可得Q（1+，﹣），∴m＝，∵抛物线经过点A，∴a+b+c＝0，又∵6a+3b+2c＝0，∴b＝﹣4a，c＝3a，对称轴x＝2，取值范围﹣1≤x≤+1，①若a＞0，则开口向上，由题意x＝﹣1时取得最大值＝2+2，即（﹣1）2a+（﹣1）b+c＝2+2，解得a＝．②若a＜0，则开口向下，由题意x＝2时取得最大值2+2，即4a+2b+c＝2+2，解得a＝﹣2﹣2．综上所述所求a的值为或﹣2﹣2．17．解：①如图，抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故正确；②如图，抛物线开口方向向上，则a＞0；抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，所以ac＜0，故正确；③如图，对称轴是直线x＝＝1，则﹣＝1，所以b＝﹣2a＜0，即b＜0，故正确；④如图，当x＝﹣1时，y＝0得到：a﹣b+c＝0，故错误；⑤由对称轴是直线x＝﹣＝1得到：2a+b＝0，故正确；⑥如图，当x＞1时，y随着x的增大而增大，故错误．综上所述，正确的结论有4个．故答案是：4．18．解：﹣x﹣2＝0整理得，x2﹣6x+8＝0，解得，x1＝2，x2＝4，当x＝0时，y＝﹣2，则点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，﹣2）∴OA＝2，OB＝4，OC＝2，则AB＝2，BC＝＝2，如图1，作AP⊥x轴交BC于P，当△BAP∽△BOC时，＝，即＝，解得，AP＝1，∴点P的坐标为（2，﹣1）；如图2，作AP′⊥BC于P′，作P′Q⊥AB于Q，当△BAP′∽△BCO时，＝，即＝，解得，BP′＝，∵P′Q⊥AB，∠BOC＝90°，∴△BQP′∽△BOC，∴＝＝，即＝＝，解得，QP′＝，BQ＝，∴OQ＝OB﹣BQ＝，∴点P′的坐标为（，﹣），综上所述，以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似，点P的坐标为（2，﹣1）或（，﹣），故答案为：（2，﹣1）或（，﹣）．三．解答题（共6小题）19．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，∵A（﹣1，1），B（0，﹣1），∴，∴，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣1①，∵抛物线的解析式为y＝ax2②，联立①②消去y得，ax2+2x+1＝0，设点P的横坐标为c，点Q的横坐标为d，∴c+d＝﹣，cd＝，∴|c﹣d|＝＝＝，∵△OPQ（O为坐标原点）的面积为，∴×1×＝，∴a＝﹣1（舍去）或a＝；（2）由（1）知，a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2③，设点M（m，m2），∵A（﹣1，1），∴直线MA的解析式为y＝x+④，联立③④解得，（点M的纵横坐标）或，∴M1（，）∵点B（0，﹣1），M（m，m2），∴直线MB的解析式为y＝x﹣1⑤，联立③⑤解得，（点M的纵横坐标）或，∴M2（，），设直线M1M2的解析式为y＝k'x+b'，∴，∴，∴直线M1M2的解析式为y＝﹣x+＝﹣+1，∴当x＝﹣2时，y＝1，即：当点M在抛物线C上变动时，直线M1M2恒过一定点（﹣2，1）．20．解：（1）如图，分别过点P、Q作y轴的垂线，垂足分别为C、D，设点A的坐标为（0，t），则B点的坐标为（0，﹣t），设直线PQ的解析式为为y＝kx+t，并设P、Q的坐标分别为（x P，y P），（x Q，y Q），由得x2﹣kx﹣t＝0，∴x P x Q＝﹣t，∴t＝﹣x P x Q，∴＝＝＝＝﹣，又∵＝﹣，∴，∵∠BCP＝∠BDQ＝90°，∴△BCP∽△BDQ，∴∠ABP＝∠ABQ．（2）设PC＝a，DQ＝b，不妨设a≥b＞0，由（1）可知，∠ABP＝∠ABQ＝30°，BC＝a，BD＝b，∴AC＝a﹣1，AD＝1﹣，∵PC∥DQ，∴△PCA∽△QDA，∴＝，即，∴a+b＝2ab，由（1）中x P x Q＝﹣t，即﹣ab＝﹣，∴ab＝，a+b＝，∴a ＝，b ＝， ∴P ，将P 点坐标代入y ＝kx +求得k ＝1，∴直线PQ 的解析式为y ＝x +，由对称性可知，所求直线PQ 的解析式为y ＝﹣x +或y ＝x +．21．解：（1）当a ＝1，b ＝0时，y ＝2，设，则y ＝﹣2t 2+t （0≤t ≤1）， ∴当t ＝时，y 有最大值为；当t ＝1时，y 有最小值为﹣1；（2）a ＝1时，y ＝2x 2+a+b ﹣22x 2++b ﹣2，设，则y ＝﹣2t 2+t +b （0≤t ≤1），∴当t ＝1时，y 取最小值为y ＝b ﹣1，∵y ＝﹣2t 2+t +b （0≤t ≤1）恒为正，∴b ﹣1＞0，∴b ＞1；（3）设，则y ＝﹣2t 2+at +b （0≤t ≤1），∵方程y ＝0有且仅有三个不同的实根，∴﹣2t 2+at +b ＝0（0≤t ≤1）有二个解t 1＝1，t 2（0≤t 2＜1），∴原方程的三个解为x 1＝0，，， ∵所有实根的平方和为， ∴， ∴（舍），或t ＝，∴，，∴a＝3，b＝﹣1，∴6a﹣8b＝26．22．解：（1）令|（2x2﹣x﹣6）|＝，则2x2﹣x﹣6＝±4，当2x2﹣x﹣6＝4时，解得，x1＝﹣2，x2＝，当2x2﹣x﹣6＝﹣4时，解得，x3＝，x4＝，∴直线y＝与该曲线所有交点的坐标为（﹣2，）、（，）、（，）、（，）；（2）过点C作CM⊥x轴于点M，作DN⊥x轴于点N，如右图所示，由题意可知，点A和点B的横坐标是方程﹣（2x2﹣x﹣6）＝0的两个根，由﹣（2x2﹣x﹣6）＝0，得x1＝﹣，x2＝2，∴点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（﹣，0），由图可知，过点A、B、D的抛物线的解析式为y＝﹣（2x2﹣x﹣6），点C在抛物线y＝（2x2﹣x﹣6）的图象上且在点A的右侧，设点C的坐标为（m，（2m2﹣m﹣6）），点D的坐标为（n，﹣（2n2﹣n﹣6））又∵AD＝AC，AD⊥AC，CM⊥x，DN⊥x，∴∠DAN+∠CAM＝90°，∠DNA＝∠AMC＝90°，∠CAM+∠ACM＝90°，∴∠DAN＝∠ACM，在△DAN和△ACM中∴△DAN≌△ACM（AAS）∴DN＝AM，AN＝CM，∴﹣（2n2﹣n﹣6）＝m﹣2，2﹣n＝（2m2﹣m﹣6），解得，或（舍去），∴AM＝1，CM＝3，∴AC＝＝，∴AD＝，∴S△ADC＝＝＝5．23．解：（1）∵抛物线的顶点为（﹣1，4），∴设函数表达式为y＝a（x+1）2+4∵图象过点C（0，3），∴当x＝0时，y＝3，∴3＝a（0+1）2+4解得，a＝﹣1∴函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3；（2）﹣x2﹣2x+3＝0，x 1＝﹣3，x2＝1，∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），∵A、B关于对称轴x＝﹣1对称，点M在对称轴x＝﹣1上，∴MA＝MB，∴△BCM的周长＝BC+CM+BM＝BC+CM+AM，当A、M、C在同一直线上时，△BCM的周长最小，设直线AC的函数解析式为y＝kx+b，则，解得，，∴直线AC的函数解析式为y＝x+3，∵点M的横坐标为x＝﹣1，所以点M的坐标为（﹣1，2）；（3）连结AC，由勾股定理，得AC2＝32+（0﹣3）2＝18，CD2＝（0+1）2+（3﹣4）2＝2，AD2＝（﹣1+3）2+（4﹣0）2＝20，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠ACD＝90°，∴cos∠ADC＝＝＝；（4）如图2，当点P与点D重合，点Q与点P关于y轴对称时，四边形AQBP的对角线互相平分，∴四边形AQBP是平行四边形，此时点P的坐标为（﹣1，4），当P′Q′∥AB，P′Q′＝AB＝4时，四边形AP′Q′B是平行四边形，此时P′点的横坐标为﹣1﹣4＝﹣5，∴P′的纵坐标为：﹣25+10+3＝﹣12，∴点P′的坐标为（﹣5，﹣12），当P′′Q′∥AB，P′′Q′＝AB＝4时，四边形AQ′P′′B是平行四边形，此时P′′点的横坐标为﹣1+4＝3，∴P′′的纵坐标为：﹣9﹣6+3＝﹣12，∴点P′′的坐标为（3，﹣12），（﹣1，4）或（﹣综上所述：以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为5，﹣12）或（3，﹣12）．24．解：（1）∵a＝﹣2，b＝4，c＝6，∴抛物线解析式为：y＝﹣2x2+4x+6，①∵当点C的横坐标为2，直线AB与x轴重合时，∴点C（2，6），点D（2，0），点A（﹣1，0），点B（3，0）∴CD＝6，AE＝3，BF＝1，∴|a|•AE•BF＝6，故答案为：6，6；②当点C的横坐标为1，直线AB∥x轴且过抛物线与y轴的交点时，∴点C（1，8），点D（1，6），点A（0，6），点B（2，6）∴CD＝2，AE＝1，BF＝1，∴|a|•AE•BF＝2，故答案为：2，2；③当点C的横坐标为2，直线AB的解析式为y＝x﹣3时，∴点C（2，6），点D（2，﹣1）∴CD＝7，∵x﹣3＝﹣2x2+4x+6，∴x1＝﹣1.5，x2＝3，∴点A（﹣1.5，﹣4.5），点B（3，0），∴AE＝3.5，BF＝1，∴|a|•AE•BF＝6，故答案为：7，7；（2）猜想：CD＝|a|•AE•BF，证明：设点A，点B，点C的横坐标为：m，n，t，直线AB的解析式为：y＝kx+h，∴kx+h＝ax2+bx+c，∴ax2+（b﹣k）x+c﹣h＝0，∵m，n是方程的两根，∴m+n＝，m•n＝，∴AE＝|t﹣m|，BF＝|n﹣t|，∴|a|•AE•BF＝|a|•|t﹣m|•|n﹣t|＝|a|•|t（m+n）﹣mn﹣t2|＝|a|•|t（）+﹣t2|＝|at2+（b﹣k）t+c﹣h|，∵点C（t，at2+bt+c），∴CD＝|at2+bt+c﹣kt﹣h|＝|at2+（b﹣k）t+c﹣h|；∴CD＝|a|•AE•BF；（3）过点C作CD∥y轴交AB于D，设点C的横坐标为x，△ACB的面积为S，则AE＝x+4，BF＝2﹣x，CD＝|﹣1|•（x+4）（2﹣x）＝﹣x2﹣2x+8，∵S＝×（AE+BF）•CD＝×6×CD＝3（﹣x2﹣2x+8）＝﹣3（x+1）2+27，＝27．∴当x＝﹣1时，S最大。

二次函数专题复习(二)(培优教案)

初三数学VIP 一对一第十课授课教师：陈老师时间： 14:00----16:00学生姓名：评价：二次函数专题复习一、主要内容：（本次课主要知识、例题、练习）一、二次函数的定义和解析式1．定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数．二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.2．用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 3．图像平移求解析式（1）平移步骤，将抛物线解析式转化为顶点式()k h x a y +-=2，确定其顶点坐标；（2）保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标),(k h 即可．（3）平移口诀：“上加下减、左加右减” ． 4．求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线a bx 2-=.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 四、直线与抛物线的交点(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).(3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根，抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y nkx y 2的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121 五、二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程c bx ax y ++=2就是二次函数c bx ax y ++=2当函数y 的值为0时的情况．(2)二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值，即一元二次方程02=++c bx ax 的根．(3)当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根14．二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．15．解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等．【热点试题】考点一确定二次函数解析式【例1】（2014•上海）如果将抛物线y =x 2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（） A ．y =x 2﹣1 B ．y =x 2+1 C ．y =（x ﹣1）2 D ．y =（x +1）2 【变式练习】1.如图，二次函数y =x 2+bx +c 的图象过点B （0，﹣2）．它与反比例函数y =﹣的图象交于点A （m ，4），则这个二次函数的解析式为（） A ．y =x 2﹣x ﹣2 B ．y =x 2﹣x +2 C ．y =x 2+x ﹣2D ．y =x 2+x +22．（2014•甘肃兰州）把抛物线y =﹣2x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（） A ．y =﹣2（x +1）2+2 B ．y =﹣2（x +1）2﹣2 C ．y =﹣2（x ﹣1）2+2 D ．y =﹣2（x ﹣1）2﹣2 【考点二】二次函数的图像和性质【例2】（2013陕西）已知两点),3(),,5(21y B y A -均在抛物线)0(2≠++=a c bc ax y 上，点),(00y x C 是该抛物线的顶点，若021y y y ≥>，则0x 的取值范围是（）A ．50->xB ．10->xC ．150-<<-xD ．320<<-x 【例3】（2013杭州）给出下列命题及函数y=x ，y=x 2和xy 1=，则（） ①如果，那么0＜a ＜1； ②如果，那么a ＞1； ③如果，那么﹣1＜a ＜0； ④如果时，那么a ＜﹣1．A ．正确的命题是①④B ．错误的命题是②③④C ．正确的命题是①②D ．错误的命题只有③【例4】（2013成都市）在平面直角坐标系xOy 中，直线y=kx （k 为常数）与抛物线21y 23x =-交于A,B 两点，且A 点在y 轴左侧，P 点坐标为（0，-4），连接PA,PB.有以下说法：1题图① 2PO PA PB =⋅；② 当k ＞0时，（PA ＋AO ）（PB －BO ）的值随k 的增大而增大； ③ 当3k 3=-时，2BP BO BA =⋅； ④PAB 面积的最小值为46.其中正确的是___________.（写出所有正确说法的序号）答案：③④ 【变式练习】3．（2014•甘肃兰州）二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x =1，则下列四个结论错误的是（） A ． c ＞0 B ．2a +b =0 C ． b 2﹣4ac ＞0D ． a ﹣b +c ＞04．（2014•山东烟台，第11题3分）二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x =2，下列结论：①4a +b =0；②9a +c ＞3b ；③8a +7b +2c ＞0；④当x ＞﹣1时，y 的值随x 值的增大而增大．其中正确的结论有（） A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个5．（2013•内江）若抛物线y=x 2﹣2x+c 与y 轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（）A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴是x=1C ．当x=1时，y 的最大值为﹣4D ．抛物线与x 轴的交点为（﹣1，0），（3，0）【考点三】二次函数与方程、不等式的关系【例5】（2014山东济南）二次函数的图象如图，对称轴为1=x ．若关于x 的一元二次方程02=-+t bx x （为实数）在41<<-x 的范围内有解，则的取值范围是（）A ．1-≥tB ．31<≤-tC ．81<≤-tD ．83<<t 【变式练习】1 ＢＯxy43题图4题图6．（2013•资阳）如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是（）A ．﹣4＜P ＜0B ．﹣4＜P ＜﹣2C ．﹣2＜P ＜0D ．﹣1＜P ＜07．(2014年贵州黔东南）)已知抛物线y =x 2﹣x ﹣1与x 轴的一个交点为（m ，0），则代数式m 2﹣m +2014的值为（） A ．2012B ．2013C ．2014D ． 2015【例6】（2014•本溪）如图，直线y=x ﹣4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线y=x 2+bx+c 经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C ，连接BC ．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）点M 在抛物线上，连接MB ，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M 的坐标；（3）点P 从点C 出发，沿线段CA 由C 向A 运动，同时点Q 从点B 出发，沿线段BC 由B 向C 运动，P 、Q 的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q 点到达C 点时，P 、Q 同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D ，使P 、Q 运动过程中的某一时刻，以C 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D 的坐标；若不存在，说明理由．变式训练6题图8．（2014•山东烟台）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．9．（2014•十堰）已知抛物线C1：y=a（x+1）2﹣2的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值；（3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由．课后练习：1．（2013•衢州）抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，则b、c的值为（）A．b=2，c=﹣6 B．b=2，c=0 C．b=﹣6，c=8 D．b=﹣6，c=2 2．(2014•年山东东营)若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣23．（2014•山东临沂）在平面直角坐标系中，函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，则直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有（）A．1个B．1个或2个C．1个或2个或3个D．1个或2个或3个或4个4．（2014•舟山）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或﹣或5．（2014•菏泽第8题3分）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x 之间的函数关系的是（）AA．B．C．D．6．（2014年山东泰安）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X﹣1 0 1 3y﹣1 3 5 3下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）BA．4个B．3个C．2个D．1个7．（2014•浙江杭州）设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为．（y=x2﹣x+2或y=﹣x2+x+2）8．(2014年河南）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点．若点A的坐标为（－2,0)，抛物线的对称轴为直线x=2．则线段AB的长为. 89．（2014•菏泽，第12题3分）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C 两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则= _______．10．（2014•浙江湖州）已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是．11．（2014•山东威海）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．。

北师大版2020九年级数学下册第二章二次函数单元综合培优提升训练题2(附答案详解)

北师大版2020九年级数学下册第二章二次函数单元综合培优提升训练题2（附答案详解）1．如图，在直角梯形ABCD 中，∠A=90°，∠B=45°，底边AB=5，高AD=3，点E 由B 沿折线BCD 向点D 移动，EM⊥AB 于M ，EN⊥AD 于N ，设BM=x ，矩形AMEN 的面积为y ，那么y 与x 之间的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ． 2．已知抛物线y=x 2－8x+c 的顶点在x 轴上，则c 的值是（）A ．16B ．-4C ．4D ．83．如图，二次函数2y ax bx c =++的最大值为3，一元二次方程20ax bx c m ++-=有实数根，则m 的取值范围是A ．m ≥3B ．m ≥-3C ．m ≤3D ．m ≤-34．用长度为12cm 的铁丝围成一个矩形，矩形的最大面积是（）A ．92 c mB ．102 c mC ．122 c mD ．162 c m 5．将抛物线y=x 2-2x+3先向左平移2个单位,再向上平移1个单位,得到的抛物线的解析式为( )A ．y=(x-3)2+4B ．y=(x+1)2+4C ．y=(x+1)2+3D ．y=(x-1)2+2 6．把函数23y x =-的图象沿x 轴向右平移5个单位，得到的图象的解析式为（） A ．235y x =-+ B ．235y x =-- C ．23(5)y x =-+ D ．23(5)y x =-- 7．已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴一个交点在﹣1，﹣2之间，对称轴为直线x =1，图象如图，给出以下结论：①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＞0；③2a ﹣b =0；④8a +c ＜0；⑤11039a b c ++<．其中结论正确的个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．48．若y=（a ﹣1）x 2﹣ax+6是关于x 的二次函数，则a 的取值范围是（） A ．a≠1 B ．a≠0 C ．无法确定 D ．a≠1且a≠09．二次函数23y x mx =-+，当x ＜2时，y 随x 的增大而减小；当x ＞2时，y 随x 的增大而增大，则当x=1时，y 的值为（）A ．8B ．3C ．2D ．010．把抛物线y ＝x 2先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得的抛物线为( )A ．y ＝(x ＋3)2－4B ．y ＝(x ＋3)2＋4C ．y ＝(x －3)2＋4D ．y ＝(x －3)2－411．抛物线y ＝－(x ＋2)2－5的顶点坐标是( )A ．(－2，5)B ．(－2，－5)C ．(2，5)D ．(2，－5) 12．已知二次函数y ＝x 2－2x ＋m(m 为常数)的图象与x 轴的一个交点为(－1，0)，则关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0的两个实数根是( )A ．x 1＝1，x 2＝2B ．x 1＝1，x 2＝3C ．x 1＝－1，x 2＝2D ．x 1＝－1，x 2＝313．小明准备在院子里修一个矩形花圃，花圃的一边利用墙另三边用总长为16米的篱笆恰好围成，已知墙的最大可利用长度为5米，则围成的矩形花圃的最大面积为_____平方米．14．已知二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象如图所示，有下列结论：abc 0<①，2a b 0+=②，a b c 0-+=③；24ac b 0->④，4a 2b c 0++>⑤，其中正确的结论序号是______15．有下列函数：①y=x 2；②y=-12x ；③y=x+1.其中图象关于原点成中心对称的为_____________（填序号）. 16．抛物线y=﹣3（x+4）2+1中，当x=________时，y 有最________值是________． 17．二次函数y ＝2x 2﹣2x+m(0＜m ＜12)，若当x ＝a 时，y ＜0，则当x ＝a ﹣1时，函数值y 的取值范围为______18．函数263y kx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则k 的取值为________． 19．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点坐标是（－1，0）和（2，0），则此抛物线的对称轴是直线_____．20．抛物线2(0)y ax bx c a =++>与x 轴有两个交点()2,0A 、()1,0B -，则不等式20ax bx c ++<的解集为________．21．如图，是某座抛物线型桥的示意图，已知抛物线的函数表达式为211036y x =-+，为保护桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8.5米的点E 、F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是________米（结果保留根号）．22．给出下列命题及函数y=x ，y=x 2和y=1x 的图象．（如图所示） ①如果1a＞a ＞a 2，那么0＜a ＜1； ②如果a 2＞a ＞1a，那么a ＞1； ③如果a ＞a 2＞1a ，那么﹣1＜a ＜0； ④如果a 2＞1a＞a ，那么a ＜﹣1，则正确的是_____（填序号）23．已知点11(,)A x y 和22(,)B x y 是抛物线22(3)5y x =-+上的两点，如果124x x ＞＞，那么1y ______2y ．（填“＞”、“＝”或“＜”）24．如果抛物线y=（a +2）x 2+x ﹣1的开口向下，那么a 的取值范围是_____．25．如图，抛物线y ＝ax 2－5ax ＋4a 与x 轴相交于点A ，B ，且过点C(5，4)．(1)求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的表达式．26．如图，隧道的截面由抛物线ADC 和矩形AOBC 构成，矩形的长OB 是12m ，宽OA 是4m ．拱顶D 到地面OB 的距离是10m ．若以O 原点，OB 所在的直线为x 轴，OA 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系．(1)画出直角坐标系xOy ，并求出抛物线ADC 的函数表达式；(2)在抛物线型拱壁E 、F 处安装两盏灯，它们离地面OB 的高度都是8m ，则这两盏灯的水平距离EF 是多少米？27．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 如图放置，点A 、C 的坐标分别是（0，4），（−1，0），将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°，得到平行四边形A ′B ′OC ′. （1）若抛物线经过点C 、A 、A ′，求此抛物线的解析式；（2）点M 是第一象限内抛物线上的一动点，问点M 在何处时，△AMA ′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M 的坐标.28．已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象如图所示，它与 x 轴的一个交点坐标为（1，0），与 y轴的交点坐标为（0，-3）．（1）求出 b，c 的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出函数值 y 为正数时，自变量 x 的取值范围．29．原来公园有一个半径为1 m 的苗圃，现在准备扩大面积，设当扩大后的半径为x m 时,则增加的环形的面积为y m 2 .(1)写出y与x的函数关系式；(2)当半径增大到多少时面积增大1倍；(3)试猜测半径是多少时，面积是原来的3、4、5、…倍.30．如图，已知抛物线与直线交于A（a,8）B两点，点P是抛物线上A、B之间的一个动点，过点P分别作轴、轴的平行线与直线AB交于点C和点E.（1）求抛物线的解析式；（2）若C 为AB中点，求PC的长；（3）如图，以PC,PE为边构造矩形PCDE，设点D的坐标为（m,n）,请求出m,n之间的关系式．31．已知关于x的二次函数y=x2﹣（2m+3）x+m2+2（1）若二次函数y的图象与x轴有两个交点，求实数m的取值范围．（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．32．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过矩形ABCD的两个顶点A、B，AB平行于x 轴，对角线BD与抛物线交于点P，点A的坐标为(0，2)，AB＝4．(1)求抛物线的解析式；(2)若S△APO＝32，求矩形ABCD的面积．33．如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点B（72，0）．（1）求抛物线解析式；（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．34．解下列方程：（1）解方程: x 2﹣6x ﹣5=0；（2）解方程：2（x ﹣1）2=3x ﹣3；（3）求抛物线243y x x =-+-的顶点坐标、对称轴和它与坐标轴的交点坐标． 35．某地特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中绿色蔬菜远销日本和韩国等地.上市时，若按市场价格10元/千克在新区收购了2000千克绿色蔬菜存放入冷库中.据预测，绿色蔬菜的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批绿色蔬菜时每天需要支出各种费用合计340元，而且绿色蔬菜在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的绿色蔬菜损坏不能出售． ()1若存放x 天后，将这批绿色蔬菜一次性出售，设这批绿色蔬菜的销售总金额为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式．()2这批绿色蔬菜存放多少天后出售可获得最大利润；最大利润是多少．36．某商店将每件进价为80元的某种商店按每件110元出售，每天可售出100件．该商店想通过降低售价、增加销售量的方法来提高利润．经市场调查，发现这种商品每件每降价5元，每天的销售量可增加50件．设商品降价x 元，每天销售该商品获得的利润为y 元．（1）求y （元）关于x （元）的函数关系式，并写出x 的取值范围．（2）求当x 取何值时y 最大？并求出y 的最大值．（3）若要是每天销售利润为3750元，且尽可能最大的向顾客让利，应将该商品降价多少元？37．在Rt ABC 中，90C ∠=，P 是BC 边上不同于B 、C 的一动点，过P 作PQ AB ⊥，垂足为Q ，连接AP ．() 1试说明不论点P 在BC 边上何处时，都有PBQ 与ABC 相似；()2若3AC =，4BC =，当BP 为何值时，AQP 面积最大，并求出最大值； ()3在Rt ABC 中，两条直角边BC 、AC 满足关系式BC AC λ=，是否存在一个λ的值，使Rt AQP 既与Rt ACP 全等，也与Rt BQP 全等．38．北方某水果商店从南方购进一种水果，其进货成本是每吨0.4万元，根据市场调查这种水果在北方市场上的销售量y （吨）与每吨的销售价x （万元）之间的函数关系如下图所示：（1）求出销售量y 与每吨销售价x 之间的函数关系式；（2）如果销售利润为w （万元），请写出w 与x 之间的函数关系式；（3）当每吨销售价为多少万元时，销售利润最大？最大利润是多少？39．已知抛物线243y x x =-+-经过()1,0A ，()0,3B -两点，点P 是抛物线的对称轴上的一点，连接PA ，将线段PA 绕着点A 旋转90得到线段'P A ，若点'P 恰好落在抛物线上，求点P 的坐标．40．如图，抛物线y=ax 2+bx 过点B （1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x 轴的正半轴交于点A ．（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x 的取值范围；（2）在第二象限内的抛物线上有一点P ，当PA ⊥BA 时，求△PAB 的面积．41．红府超市准备代销一款运动鞋，每双的成本是110元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是130元时，每天的销售量是30双，而销售单价每降低1元，每天就可多售出10双（售价不得低于110元/双），设每双降低售价x 元（x 为正整数），每天的销售利润为y 元（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；（2）每双运动鞋的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ 42．对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．它是一个函数，而不是几个函数. 分段函数在自变量x 的不同的取值范围内，函数的表达式也不同．例如：()()2200x x x y x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，是分段函数．当0x ≤时，它是二次函数2+2y x x =；当0x >时，它是正比例函数y x =-．（1）请在平面直角坐标系中画出函数()()2200x x x y x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，的图象；（2）求出y 轴左侧图象的最低点的坐标；（3）当1y =-时，求自变量x 的值．43．已知函数263y mx x m =-++（m 是常数），当函数与坐标轴有且仅有2个交点时，求m 的值．44．已知y 关于x 的二次函数()2226y x k x =-+-+，当1x ≥时，y 随着x 的增大而减小，当1x ≤时，y 随着x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求出这个函数的最大值或最小值，并说出取得最大值或最小值时相应的自变量的值；（3）写出当0y >时相应的x 的取值范围．45．如图，已知二次函数1L ：223y ax ax a =-++（0a >）和二次函数2L ：2(1)1y a x =-++（0a >）图象的顶点分别为M ，N ，与y 轴分别交于点E ，F ．（1）函数223y ax ax a =-++（0a >）的最小值为，当二次函数1L ，2L 的y值同时随着x 的增大而减小时，x 的取值范围是；（2）当EF=MN 时，求a 的值，并判断四边形ENFM 的形状（直接写出，不必证明）；（3）若二次函数2L 的图象与x 轴的右交点为A （m ，0），当△AMN 为等腰三角形时，求方程2(1)10a x -++=的解．参考答案1．A【解析】【分析】利用面积列出二次函数和一次函数解析式，利用面积的变化选择答案．【详解】根据已知可得：点E 在未到达C 之前，y=x （5-x ）=5x-x 2；且x≤3，当x 从0变化到2.5时，y 逐渐变大，当x=2.5时，y 有最大值，当x 从2.5变化到3时，y 逐渐变小，到达C 之后，y=3（5-x ）=15-3x ，x ＞3，根据二次函数和一次函数的性质．故选A ．【点睛】利用一次函数和二次函数的性质，结合实际问题于图象解决问题．2．A【解析】【分析】顶点在x 轴上,所以顶点的纵坐标是0.据此作答.【详解】∵二次函数y=2x -8x+c 的顶点的横坐标为x=-2b a = -82=4， ∵顶点在x 轴上，∴顶点的坐标是(4，0)，把(4，0)代入y=2x -8x+c 中，得：16-32+c=0，解得：c=16，故答案为A【点睛】本题考查求抛物线顶点纵坐标的公式,比较简单.3．C【解析】【分析】方程ax2+bx+c-m=0有实数相当于y=ax2+bx+c（a≠0）平移m个单位与x轴有交点，结合图象可得出m的范围．【详解】方程ax2+bx+c-m=0有实数根，相当于y=ax2+bx+c（a≠0）平移m个单位与x轴有交点，又∵图象最高点y=3，∴二次函数最多可以向下平移三个单位，∴m≤3，故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数图象与一元二次方程的关系，掌握二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数的关系是解题的关键．4．A【解析】【分析】设矩形面积为S cm2，长为x cm,则宽为(6-x)cm，面积S=x(6-x),利用二次函数的性质即可求得矩形的最大面积.【详解】设矩形面积为S cm2，长为x cm,则宽为(6-x)cm，由题意得，S=x(6-x)=-(x-3)2+9.∴当x=3时，S取得最大值9.故选A.【点睛】本题考查了二次函数的应用及一般式与顶点式的转化，熟练掌握配方法是解答本题的关键. 5．C【解析】分析：先将抛物线223y x x =-+的解析式配方，再根据“抛物线的平移法则”进行分析判断即可.详解：∵2223(1)2y x x x =-+=-+，∴将抛物线223y x x =-+先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的解析式为：2(1)3y x =++.故选C.点睛：熟记：抛物线的平移法则“将抛物线2()y a x h k =-+向左（或右）平移m 个单位长度，再向上（或向下）平移n 个单位长度所得新抛物线的解析式为：2()y a x h m k n =-±+±，(即左右平移时：左加、右减；上下平移时：上加、下减).”是解答本题的关键.6．D【解析】【详解】解：原抛物线的顶点为()0,0，向右平移5个单位，那么新抛物线的顶点为()5,0．可设新抛物线的解析式为23()y x h k =--+，代入得：23(5)y x =--．故选D ．【点睛】考查二次函数图形的平移，平移不改变a 的大小，解题的关键是通过点的平移规律得到新抛物线的顶点坐标．7．C【解析】【分析】根据题意抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可．【详解】∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2-4ac ＞0，①正确；∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵对称轴在y 轴的右侧，∴b ＜0，∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c ＜0，∴abc ＞0，②正确；∵-2b a=1，∴2a+b=0，③错误； ∵x=-2时，y ＞0，∴4a-2b+c ＞0，即8a+c ＞0，④错误；根据抛物线的对称性可知，当x=3时，y ＜0，∴9a+3b+c ＜0，∴a+13b+19c ＜0，⑤正确．综上所述，正确的结论是：①②⑤．故选C ．【点睛】本题了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数y=ax²+bx+c 系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数的关系是解题的关键．8．A【解析】【分析】根据二次函数的定义进行解答即可.【详解】∵y=（a ﹣1）x 2﹣ax+6是关于x 的二次函数，∴a-1≠0，∴a≠1，故选A.【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的解析式中二次项系数不为0是解题的关键. 9．D【解析】∵二次函数23y x mx =-+,当x<2时,y 随x 的增大而减小;当x>2时,y 随x 的增大而增大, ∴对称轴为x=221m --=⨯, 计算得出:m=4, ∴二次函数为23y x mx =-+,当x=1时,y=0,故选D.点睛：本题考查了二次函数的性质，能够根据其增减性确定其对称轴是解答本题的关键，难度不大.10．A【解析】【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【详解】原抛物线的顶点为(0,0)，向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么新抛物线的顶点为(−3,−4)；可设新抛物线的解析式为代入得：故选:A.【点睛】考查二次函数图象的平移规律，掌握左加右减，上加下减是解题的关键.11．B【解析】【分析】【详解】试题分析：当x=-2时，y 取最大值，y=-5,故顶点坐标为(－2，－5)，故选B.12．D【解析】【分析】将(－1，0)代入y ＝x 2－2x ＋m 即可求出m 的值,将m 的值代入得x 2－2x-3=0,再求出方程的两个根即可.【详解】将(－1，0)代入y ＝x 2－2x ＋m 得, 012m =++,解得3m =-,则得方程为: x 2－2x-3=0,解得()()130x x +-=,11x =-,23x =.所以D 选项是正确的.故选：D.【点睛】本题考核知识点：本题考查了抛物线与x 轴的交点,要知道,抛物线上的点符合函数的解析式,同时要知道一元二次方程的解法.13．27.5．【解析】【分析】设AB 边的长为x 米，则BC 边的长为（16-2x ）米，由矩形的面积公式得y=x （16-2x ）=-2x 2+16x=-2（x-4）2+32，根据x 的取值范围和二次函数的性质可得函数的最值.【详解】解：设AB 边的长为x 米，则BC 边的长为（16-2x ）米，∴矩形花圃的面积y=x （16-2x ）,=-2x 2+16x,=-2（x-4）2+32，∵16-2x ≤5，∴x≥5.5，又当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，∴当x=5.5时，y 取得最大值，最大值为27.5，故答案为27.5.【点睛】本题主要考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键.14．①②③⑤【解析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由图象可知：抛物线开口方向向下，则a 0<，对称轴直线位于y 轴右侧，则a 、b 异号，即b 0>，抛物线与y 轴交于正半轴，则c 0>，abc 0<，故①正确；②对称轴为b x 12a=-=，b 2a =-，故②正确； ③由抛物线的对称性知，抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，所以当x 1=-时，y a b c 0=-+=，即a b c 0-+=，故③正确；④抛物线与x 轴有两个不同的交点，则2b 4ac 0->，所以24ac b 0-<，故④错误； ⑤当x 2=时，y 4a 2b c 0=++>，故⑤正确．故答案为①②③⑤．【点睛】本题考查了考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数2y ax bx c =++系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定． 15．②【解析】【分析】根据题目中所给函数图像的特征判断即可．【详解】解：正比例函数的图象关于原点成中心对称.故答案为②.【点睛】本题主要考查了函数图象，熟知正比例函数的图象关于原点成中心对称是解题的关键． 16．-4 大 1【解析】根据二次函数顶点式解析式解答即可．【详解】抛物线y=﹣3（x+4）2+1中，当x=﹣4时，y有最大值是1．故答案为：﹣4；大；1．【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握顶点式解析式与最值问题是解题的关键．17．m＜y＜m+4【解析】【分析】易求得抛物线对称轴，可以找出a的大小区间，即可确定a-1的大小区间，即可解题．【详解】解：∵0＜m＜12，∴△=4-8m＞0，∵对称轴为x=12，x=0或1时，y=m＞0，∴当y＜0时，0＜a＜1，∴-1＜a-1＜0，∵当x=-1时，y=2+2+m=m+4，当x=0时，y=0-0+m=m，∴当x=a-1时，函数值y的取值范围为m＜y＜m+4．故答案为m＜y＜m+4．【点睛】本题考查了抛物线上点的特性，考查了抛物线开口向上时，对称轴右侧点依次增大的特性，本题中确定a的取值范围是解题的关键．18．0或3【解析】【分析】注意分类讨论：若k=0，函数为一次函数；若k≠0，函数为二次函数，根据其△=0求解即可．【详解】若k =0,则263y kx x =-+是一次函数，与x 轴只有一个交点，满足条件；若k ≠0,则263y kx x =-+ (k ≠0)是二次函数，由2436120b ac k =-=-=，得k =3. ∴k =0或3.故答案为：0或3.【点睛】考查抛物线与x 轴的交点问题，得出24b ac ∆=-的符号与x 轴交点个数之间的关系是解题的关键.19．12x = 【解析】试题解析：∵2y ax bx c =++与x 轴的两个交点坐标是(−1,0)和(2,0)， ∴抛物线的对称轴为直线121.22x -+== 故答案为1.2x = 20．12x -<<【解析】【分析】将解不等式转化为y ＜0的问题进行求解.【详解】解：由抛物线开口方向及与x 轴的交点可判断，当-1＜x ＜2时，20y ax bx c =++＜，故不等式的解集为：12x -<<.【点睛】本题考察了数形结合的思想解决问题，将解不等式的问题转化为运用图像判定二次函数值小于0的问题.21．【解析】【分析】由抛物线的解析式为y ＝−136x 2+10，令y=8.5，求得E 、F 两点的横坐标作差即可．【详解】点E 、F 距离AB 高为8.5米，所以点E 、F 的纵坐标都是8.5，把y=8.5代入函数表达式得出：8.5＝−136x 2+10， 136x 2＝10−8.5， x 2=1.5×36=54，x ＝±；∵EF 大于0，∴根据抛物线关于对称轴的轴对称性质，则有：EF=2x ＝米．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，代入点的纵坐标求横坐标，较为简单． 22．①④【解析】【分析】【详解】由图象可知，当反比例函数图象在最上面，二次函数图象在最下面时，自变量的取值范围是0＜x ＜1，则①正确；当二次函数图象在最上面，反比例函数图象在最下面时，自变量的取值范围是x ＞1和﹣1＜a ＜0，则②错误；没有一次函数图象在最上面，反比例函数图象在最下面的可以性，则③错误；当二次函数图象在最上面，一次函数图象在最下面时，自变量的取值范围是x ＜-1，则④正确，故答案为①④.23．＞【解析】【详解】由抛物线()2235y x =-+得，a=2>0，∴抛物线开口向上，∵抛物线y=2（x-3）2+5对称轴为直线x=3， ∴当x ＞3时，y 随x 的增大而增大. ∵124x x ＞＞， ∴y 1 ＞y 2．故填＞．【点睛】二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-2ba，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大． 24．a ＜﹣2 【解析】【分析】根据抛物线y =（a +2）x 2+x ﹣1的开口向下，可得a +2＜0，从而可以得到a 的取值范围．【详解】∵抛物线y =（a +2）x 2+x ﹣1的开口向下， ∴a +2＜0，解得：a ＜﹣2．故答案为a ＜﹣2．【点睛】本题考查了二次函数的性质和定义，解题的关键是明确二次函数的开口向下，则二次项系数就小于0． 25．(1) (52，－94)；(2)答案不唯一，合理即可，y ＝x 2＋x ＋2.【解析】试题分析：将点c 坐标代入函数表达式即可求出a 的值，a=1，将函数表达式转换为顶点式y＝x 2－5x ＋4＝(x －52)2－94，所以顶点坐标是（52，－94）；将抛物线平移后顶点在第二象限，答案不唯一，可通过平移顶点，例如先向左平移3个单位长度，则变为y ＝ (x －532)2－94，再向上平移4个单位，得到y＝(x－532+)2－94+4= (x＋12)2＋74= x2＋x＋2.解：(1)把点C(5，4)代入抛物线y＝ax2－5ax＋4a，得25a－25a＋4a＝4.解得a＝1. ∴二次函数的表达式为y＝x2－5x＋4.∵y＝x2－5x＋4＝(x－52)2－94，∴顶点P的坐标为(52，－94)．(2)答案不唯一，合理即可，如：先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的二次函数表达式为y＝(x－52＋3)2－94＋4＝(x＋12)2＋74，即y＝x2＋x＋2.26．（1）画直角坐标系xOy见解析，抛物线ADC的函数表达式为：y=﹣16（x﹣6）2+10；（2）两盏灯的水平距离EF是43米．【解析】试题分析：（1）按照题中要求画出对应的坐标系；则由题意可得抛物线ADC的顶点坐标为（6，10），A 点坐标为（0，4），由此即可用“待定系数法”求出抛物线的解析式；（2）在（1）中所求的抛物线的解析式中，由8y=可得对应的一元二次方程，解方程即可得到点E、F的横坐标，由此即可求得EF的长；试题解析：解：（1）画出直角坐标系xOy，如图：由题意可知，抛物线ADC的顶点坐标为（6，10），A点坐标为（0，4），可设抛物线ADC的函数表达式为y=a（x﹣6）2+10，将x=0，y=4代入得：a=16 -，∴抛物线ADC的函数表达式为：y=16-（x﹣6）2+10．（2）由y=8得：16-（x﹣6）2+10=8，解得：x1=6+23，x2=6﹣23，则EF=x1﹣x2=43，即两盏灯的水平距离EF是43米．27．（1）y=﹣x2+3x+4；（2）M的坐标为（2，6）.【解析】【分析】（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A′的抛物线的解析式；（2）首先连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式，再设点M的坐标为：（x，-x2+3x+4），继而可得△AMA′的面积，继而求得答案. 【详解】（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），∴点A′的坐标为：（4，0），∵点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），抛物线经过点C、A、A′，设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，∴41640a b cca b c-+⎧⎪⎨⎪++⎩＝＝＝，解得：14abc=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴此抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+4；（2）连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，∴440bk b=⎧⎨+=⎩，解得：41bk=⎧⎨=-⎩，∴直线AA′的解析式为：y=﹣x+4，设点M的坐标为：（x，﹣x2+3x+4），则S△AMA′=12×4×[﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）]=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8，∴当x=2时，△AMA′的面积最大，最大值S△AMA′=8，∴M的坐标为：（2，6）；【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式的知识、平行四边形的性质以及三角形面积问题，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．28．（1）y=x2+2x-3；（2）当x＜-3 或x＞1 时，y＞0．【解析】【分析】(1)将(1,0)和0,-3)两点代入二次函数y=x2+b+c,求得b和c;从而得出抛物线的解析式;(2)由图象得当x<-3或>1时,y>0.【详解】（1）将点（1，0）、（0，-3）代入y=x2+bx+c，得：103b cc++=⎧⎨=-⎩，解得：23 bc=⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3；（2）当y=0 时，x2+2x-3=0，解得：x=1 或x=-3，所以抛物线与x 轴的交点坐标为（-3，0）和（1，0），结合函数图象知，当x＜-3 或x＞1 时，y＞0．【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题以及用待定系数法求二次函数的解析式. 29．(1)y=πx2 -π;(2) 2m;(3) 3、4、5….【解析】试题分析：（1）利用圆的面积公式分别表示出原来苗圃的面积以及扩大后苗圃的面积，差即为增加的面积，由此即可得函数关系式；（2）面积增大1倍即差与原面积相等，列方程进行求解即可；（3）根据题意列方程进行求解，即可得.试题解析：（1）y=πx2-π×12=πx2-π；（2）由题意得：πx2-π=π，解得：x=2；（3）面积是原来的3倍时，πx2-π=2π，解得：x=3，面积是原来的4倍时，πx2-π=3π，解得：x=2=4，面积是原来的5倍时，πx2-π=4π，解得：x=5，……面积是原来的n倍时，半径是n.30．（1）y=+2x；（2）-1；（3）-4n-8m-16=0【解析】试题分析：（1）首先根据点A在一次函数上求出点A的坐标，然后代入二次函数得出解析式；（2）根据一次函数和二次函数得出点B的坐标，根据中点的性质得出点C的坐标，根据点P在抛物线上得出点P的坐标，从而得出PC的长度；（3）根据点D的坐标从而得出点C、点E和点P的坐标，根据DE=CP得出m和n之间的关系式.试题解析：（1）∵A（a,8）在直线上∴8=2a+4 解得：a="2"将A（2,8）代入二次函数可得：8=4+2b 解得：b=2 ∴抛物线的解析式为：y=+2x （2）由可得点B的坐标为（-2,0）根据中点坐标公式可得：C（0,4）∵点P 在抛物线上且纵坐标与C 相同 ∴P （-1,4） ∴PC=-1-0=-1. （3）∵D （m ，n ） ∴C （m ，2m+4），E （，n ），P （，2m+4）由DE=CP 可得：-m=-m 化简得：-4n-8m-16=0考点：（1）二次函数的性质；（2）一元二次方程的求解 31．(1)m>-112(2)m =2 【解析】分析：（1）利用一元二次方程根的判别式计算；（2）利用一元二次方程根与系数的关系列出方程，解方程即可．详解：（1）由题意得：[﹣（2m +3）]2﹣4×1×（m 2+2）＞0，解得：m ＞﹣112；（2）由根与系数的关系可知，x 1+x 2=2m +3，x 1x 2=m 2+2，x 12+x 22=31+|x 1x 2|，（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=31+|x 1x 2|，（2m +3）2﹣2×（m 2+2）=31+m 2+2，整理得：m 2+12m ﹣28=0，解得：m 1=2，m 2=﹣14（舍去），当m =2时，满足x 12+x 22=31+|x 1x 2|．点睛：本题考查的是抛物线与x 轴的关系、一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题的关键． 32．（1）y=x 2-4x+4（2）24 【解析】【分析】（1）已知了A 点坐标和AB 的长，即可得出B 点坐标，然后将A 、B 两点的坐标代入抛物线中，即可求出抛物线的解析式．（2）根据三角形APO 的面积可求出P 点的横坐标，将其代入抛物线的解析式中即可求得P 点的坐标．过P 作PE ⊥OA 于E ，通过构建的相似三角形DPE 和DBA ，可求出AD 的长，有了长和宽即可求出矩形的面积．（也可通过求直线BP 的解析式得出D 点坐标来求出AD 的长）【详解】（1）由题意得，B 点坐标为（4，2）将点A （0，2），B （4，2）代入二次函数解析式得：22244cb c⎧⎨++⎩＝＝，解得：42 bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y＝x2−4x＋2；（2）由S△APO＝32可得：12OA•|x p|＝32，即12×2×|x p|＝32，∴x p＝32（负舍）将x p＝32代入抛物线解析式得：y P＝−74，过P点作垂直于y轴的垂线，垂足为E，∵△DEP∽△DAB，∴372244ADAD--=，解得：AD＝6，∴S矩形ABCD＝24．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、二次函数解析式的确定、图形面积的求法等知识点．33．（1）22755y x x=-+；（2）4；（3）（272，﹣54）或（238，2332）或（338，﹣3332）【解析】【分析】（1）设交点式y=ax（x-72），然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）延长CA交y轴于D，如图1，易得2，∠DOA=45°，则可判断△AOD为等腰直角三角形，所以2OA=2，则D（0，2），利用待定系数法求出直线AD的解析式为。

二次函数北师大版九年级数学下册

解：(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6;
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6;
(3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18.
4.一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm
的小长方形．剩余部分的面积为ycm2.写出y与x之间的函数关系式，并
二次函数
一般形式
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数)
y=ax2；
特殊形式
y=ax2+bx；
y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数).
作业布置
教材课后配套作业题。
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
的几种不同表示形式:
(1)y=ax² --------- (a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax²+c ------ (a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).
课堂练习
1．下列函数属于二次函数的是（
y是x的函数吗？
y是x的一次函数吗？
y是x的反比例函数吗？
x2
有何特点?
提炼概念
二次函数的概念：
一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表
示成y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y
是x的二次函数.
注意：含x项的最高次数是2，且二次项系数不能
为0.
问题4：上述问题中的二个函数的自变量的取值范围是什么？
值范围.
新知讲解
问题1
合作学习

2新北师版初中数学九年级下册精品课件.1 二次函数

(1)求证：△ABD∽△DCE；
证明：∵在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1， ∴∠B＝∠C＝45°. ∴∠BDA＋∠BAD＝135°. ∵∠ADE＝45°， ∴∠BDA＋∠CDE＝135°. ∴∠BAD＝∠CDE.∴△ABD∽△DCE.
(2)设 BD＝x，AE＝y，求 y 关于 x 的函数关系式，并指出自变量 x 的取值范围．
答案显示
1．一般地，若两个变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 y＝ __a_x_2_＋__b_x_＋__c___(a，b，c 是常数，a≠0)的形式，则称 y 是 x 的二次函数．一个函数是二次函数，经过整理后必须同时满足以下三个条件： (1)关于自变量的式子是__整__式______； (2)自变量的最高次数是__2________； (3)二次项系数__不__为__0____．
＝－1 时，y＝1＋2－m＋m＝3.
9．(中考·白银)二次函数 y＝x2＋bx＋c 中，若 b＋c＝0，则它的
图象一定经过点( D )
A．(1，－1)
B．(－1，1)
C．(－1，－1)
D．(1，1)
【点拨】由 b＋c＝0，得 c＝－b.将每个选项的 x 值代入 y＝x2＋
bx－b，如果相应计算的 y 恰好是对应的纵坐标，即可得出正确
8．无论 m 为何实数，二次函数 y＝x2－(2－m)x＋m 的图象总是
过定点( A )
A．(－1，3)
B．(1，0)
C．(1，3)
D．(－1，0)
【点拨】由题意得，二次函数图象经过的定点与 m 值无关，即
把 x 值代入函数表达式时，含有 m 的项不存在，又 y＝x2－(2－
m)x＋m＝m(x＋1)＋x2－2x，所以 x＋1＝0，即 x＝－1.所以当 x

北师大版2019-2020九年级数学下册二次函数综合练习题2(培优含答案)

北师大版2019-2020九年级数学下册二次函数综合练习题2（培优含答案）1．把抛物线y=(x+2)2向下平移2各单位长度，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A.y=(x +2)2+2B.y=2(x -1)2+4C.y=x 2+2D.y=x 2-2 2．已知抛物线y=-12(x-1)2+k 上有三点A （-2，y 1），B （-1，y 2）C （2，y 3），则y 1、y 2、y 3的大小关系为（） A.y 1>y 2>y 3B.y 3>y 2>y 1C.y 2>y 3>y 1D.y 2>y 1>y 3 3．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润或亏损时就会及时停产，某公司生产季节性产品，一年中第n 月获得的利润y 和对应月份n 之间的函数表达式为y =–n 2+12n –11，则该公司一年12个月中应停产的所有月份是A ．6B ．1，11C ．1，6，11D ．1，11，124．把抛物线y=2x 2向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为( )A.y=2x 2+5B.y=2x 2-5C.y=2（x+5）2D.y=2（x-5）2 5．已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线2x =，与x 轴的一个交点坐标()4,0，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；0a b c -+<②；40a b c ++=③；④抛物线的顶点坐标为()2,b ；⑤当1x <时，y 随x 增大而增大.其中结论正确的是A.①②③B.①④⑤C.①③④D.③④⑤6．用一根长为12 cm 的细铁丝围成一个矩形，则围成的矩形面积最大为( )A.7 cm 2B.8 cm 2C.9 cm 2D.10 cm 27．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，OA=OC ，则由抛物线的特征写出如下含有a 、b 、c 三个字母的等式或不等式：①244ac b a-=﹣1；②ac+b+1=0；③abc ＞0；④a ﹣b+c ＞0．其中正确的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个8．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象过点()1,2A ，()3,2B ，若点()12,M y -，()21,N y -，()38,K y 也在二次函数2y ax bx c =++的图象上，则下列结论正确的是（）A.123y y y <<B.213y y y <<C.312y y y <<D.132y y y << 9．抛物线y=2 (x- 1)²+5 的顶点坐标是______________10．如果将抛物线221y x x =--向上平移，使它经过点()0,3A ，那么所得新抛物线的表达式是_______________.11．函数y=2k k kx -，当k=______时，它的图象是开口向下的抛物线；此时当x______时，y 随x 的增大而减小.12．若直线y ＝x +m 与抛物线y ＝x 2+3x 有交点，则m 的取值范围是_____．13．已知二次函数y=x 2+bx+c 经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是_______.14．已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）的对称轴为直线x=1，且经过点（﹣1，y 1），（﹣2，y 2），试比较y 1和y 2的大小：y 1____y 2（填“＞”，“＜”或“=”）．15．当m =_______________时，函数y =(m -2)x m +1 是二次函数.16．已知当x 1=a 、x 2=b 、x 3=c 时，二次函数y=﹣x 2+kx 对应的函数值分别为y 1、y 2、y 3，若正整数a 、b 、c 恰好是一个三角形的三边长，且当a ＜b ＜c 时，都有y 1＞y 2＞y 3，则实数k 的取值范围是_____．17．某市政府大力扶持大学生创业．张涛在政府的扶持下销售一种进价为每件20元的新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销售量x（件）的函数关系如图所示．无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为W内（元）（利润=销售额-成本-广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本（含进价）为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳1 100x2元的附加费，设月利润为W外（元）（利润=销售额-成本-附加费）．（1）求y与x的函数关系式（不必写x的取值范围）；（2）分别求出W内，W外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；（3）在国内销售时，每月的销售量在什么范围内，张涛才不会亏本？（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？18．某市“健益”超市购进一批20元／千克的绿色食品，如果以30元／千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）（30x ）存在如下图所示的一次函数关系．（1）试求出y与x的函数关系式；（2）设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润p元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围（直接写出）.19．已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点.（1）求C1的顶点坐标；（2）将C 1向下平移若干个单位后，得抛物线C 2，如果C 2与x 轴的一个交点为A （—3，0），求C 2的函数关系式，并求C 2与x 轴的另一个交点坐标；（3）若的取值范围.20．如图，抛物线y=﹣（x ﹣1）2+4与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，CD ∥x 轴交抛物线于另一点D ，连结AC ，DE ∥AC 交边CB 于点E ．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）求△CDE 与△BAC 的面积之比．21．如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y=ax 2+bx+3交x 轴于B 、C 两点（点B 在左，点C 在右），交y 轴于点A ，且OA=OC ，B （﹣1，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图2，点D 为抛物线的顶点，连接CD ，点P 是抛物线上一动点，且在C 、D 两点之间运动，过点P 作PE ∥y 轴交线段CD 于点E ，设点P 的横坐标为t ，线段PE 长为d ，写出d 与t 的关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD ，在BD 上有一动点Q ，且DQ=CE ，连接EQ ，当∠BQE+∠DEQ=90°时，求此时点P 的坐标．22．已知二次函数y ＝x 2＋（k －1）x －2k －3．（1）求证：该二次函数图像与x 轴总有两个公共点；（2）若点A （－1，y 1）、B （1，y 2）在该二次函数的图像上，且y 1＞y 2，求k 的取值范围．23．已知抛物线2()()y x m x m =---，其中m 是常数，该抛物线的对称轴为直线5x ．2（1）求该抛物线的函数解析式．（2）把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．24．某商店经营一种小商品，进价是每件40元．据市场调查，销售价是60元时，平均每星期的销售量是300件．而销售价每降价1元，平均每星期的期就多售出30件．（1）假定每件商品降价x元，商店每星期的销售量是y件，请写出y与x之间的函数关系式（请直接写出结果）；（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每星期销售这种小商品的利润吸最大？最大利润是多少？参考答案1．D【解析】∵二次函数y=(x+2)2的顶点坐标为(−2,0)∴图象向下平移2个单位长度,再向右平移2个单位长度后,顶点坐标为(0,−2)，由顶点式得,平移后抛物线解析式为：y=x2−2，故选：D.2．B【解析】【分析】根据二次函数的性质得到抛物线开口向下，求出对称轴方程，则离对称轴越远的点对应的函数值越小，据此选择正确的选项．【详解】对称轴为直线x=1，各点与x=1的差为1-（-2）=3,1-（-1）=2,2-1=1，抛物线开口向下，则离对称轴越远的点对应的函数值越小，则y3>y2>y1.故答案选B.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象上点的特征.3．D【解析】【分析】根据解析式,求出函数值y等于0时对应的月份,再求出y小于0时的月份即可解答.【详解】由题意知，利润y和月份n之间函数关系式为y=–n2+12n–11，∴y=–（n–6）2+25，当n=1时，y=0，当n=11时，y=0，当n=12时，y<0，故停产的月份是1月、11月、12月．故选D．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据二次函数的性质解决实际问题是解题的关键.4．A【解析】将抛物线22y x =向上平移5个单位长度后所得抛物线的解析式为：225y x =+.故选A.5．C【解析】∵抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =2，与x 轴的一个交点坐标（4，0）， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（0，0），故①正确，当x =﹣1时，y =a ﹣b +c ＞0，故②错误， ∵b 22a-=，得4a +b =0，b =﹣4a ， ∵抛物线过点（0，0），则c =0，∴4a +b +c =0，故③正确，∴y =ax 2+bx =a （x +2b a ）2﹣24b a =a （x +42a a -）2﹣2(4)4a a -=a （x ﹣2）2﹣4a =a （x ﹣2）2+b ， ∴此函数的顶点坐标为（2，b ），故④正确，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，故⑤错误，故选C ．点睛：本题考查二次函数的图象和性质.熟练应用二次函数的图象和性质进推理判断是解题的关键.6．C【解析】【分析】设矩形的长为x ,表示出矩形的宽，根据二次函数的性质求出最大值即可.【详解】设矩形的长为x ,则宽为1226,2x x -=- 矩形的面积()22(6)639,x x x x x =-=-+=--+故矩形的最大面积是9 cm 2【点睛】本题考查二次函数最小（大）值的求法．掌握配方法是解题的关键.7．A【解析】【分析】此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：a＞0，﹣1＜c＜0，b＜0，再对各结论进行判断即可得答案．【详解】①由图象知抛物线顶点纵坐标为﹣1，即244ac ba=﹣1，故①正确；②设C（0，c），则OC=|c|，∵OA=OC=|c|，∴A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c=0，又c≠0，∴ac+b+1=0，故②正确；③从图象中易知a＞0，b＜0，c＜0，则abc＞0，故③正确；④当x=﹣1时y=a﹣b+c，由图象知（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，∴a﹣b+c＞0，故④正确，故选A．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，读懂图象、掌握二次根式的顶点坐标公式、二次根式图象上一些特特殊点的坐标特征是解题的关键.8．B【解析】【分析】由于A（1，2）和B（3，2）的纵坐标相等，所以A点与B点是抛物线上的对称点，所以抛物线的对称轴为直线x=2，然后通过比较点M、N、K到直线的距离的大小来判断y1，y2，y3的大小．【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象过点A(1,2),B(3,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=2，∵点M(−2,y1),N(−1,y2),K(8,y3)在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，∴y2<y1<y3故选：B本题考核知识点：二次函数图象上点的坐标特征.解题关键点：熟记二次函数基本性质. 9．(1，5)【解析】∵y =2(x −1) ²+5是抛物线解析式的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(1,5).10．223y x x =-+【解析】解：设平移后的抛物线解析式为y =x 2﹣2x ﹣1+b ，把A （0，3）代入，得：3=﹣1+b ，解得b =4，则该函数解析式为y =x 2﹣2x +3．故答案为：y =x 2﹣2x +3．点睛：本题考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式，会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．11．k=-1 x ＞0【解析】（1）∵函数y=2kk kx -的图象是开口向下的抛物线， ∴202k k k <⎧⎨-=⎩ ，解得：1k =-. （2）∵当1k =-时，函数为：2y x =-，∴抛物线开口向下，对称轴为：y 轴，∴当0x >时，y 随x 的增大而减小.12．m≥﹣1【解析】【分析】根据题意令x+m=x 2+3x ，然后化为一元二次方程的一般形式，再令△≥0即可求得m 的取值范围，本题得以解决．【详解】令x+m=x 2+3x ，则x 2+2x-m=0，令△=22-4×1×（-m ）≥0，解得，m≥-1，故答案为：m≥-1【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与系数的关系，解题的关键是明确题意，利用方程的思想解答．13．y=x2﹣7x+12【解析】【分析】由于已知了二次函数与x轴的两交点坐标, 则可设交点式易得其解析式.【详解】解：设二次函数的解析式为y=a(x-3)(x-4),而a=1,所以二次函数的解析式为y=(x-3)(x-4)= x2-7x+12.故答案为y= x2-7x+12.【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，本题设为交点式能快速解题．14．＜【解析】分析：比较三个点离直线x=1的远近即可得到y1、y2的大小关系．详解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，且经过点（-1，y1），（-2，y2），∴点（-1，y1）直线x=1最近，点（-2，y2）离直线x=1最远，∵抛物线开口向上，∴y1＜y2．故答案为：＜．点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．15．1【解析】由题意得：1220mm+=⎧⎨-≠⎩，解得：m=1，故当m=1时，函数y=(m-2)x m+1 是二次函数，故答案为：1.16．k＜【解析】【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出a最小为2，再根据二次函数的增减性和对称性判断出对称轴在3、4之间偏向4，即大于3.5，然后列出不等式求解即可.【详解】∵若正整数a、b、c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c，∴a最小是2，b最小是3，∵当a＜b＜c时，都有y1＞y2＞y3∴根据二次函数的增减性和对称性知，二次函数y=﹣x2+kx的对称轴在2，3之间，且偏向2，∴，∴k＜故答案为：k＜【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的三边关系，判断出a最小可以取2以及对称轴的位置是解题的关键17．(1) y=−1100x+150；(2) W外=−1100x2+（150-a）x；(3) 至少为500件、至多为12500;(4)见解析.【解析】试题分析：（1）根据待定系数法即可求出y与x的函数关系式；（2）根据等量关系“利润=销售额-成本-广告费”，“利润=销售额-成本-附加费”列出两个函数关系式；（3）根据（2）中得出的关系式，结合二次函数的性质即可求出答案；（4）通过对国内和国外的利润比较，又由于a值不确定，故要讨论a的取值范围．试题解析：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，由图象得150 500145bk b=⎧⎨+=⎩，解得100150k b =-⎪⎨⎪=⎩ ， ∴y=−1100x+150；（2）W 内=x （y-20）-62500=−1100x 2+130x-62500， W 外=−1100x 2+（150-a ）x ；（3）令W 内=0，则−1100x 2+130x−62500=0，解得 x 1=12500，x 2=500，故每月的销售量至少为500件、至多为12500时，张涛才不会亏本；（4）当x=5000时，W 内=337500， W 外=-5000a+500000，若W 内＜W 外，则a ＜32.5；若W 内=W 外，则a=32.5；若W 内＞W 外，则a ＞32.5；所以，当10≤a ＜32.5时，选择在国外销售；当a=32.5时，在国外和国内销售都一样；当32.5＜a≤40时，选择在国内销售．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，考查了待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、解不等式等知识点，能运用函数分析问题、解决问题是关键.18．（1）201000y x =-+（30≤x≤50）；（2）当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元；（3）31≤x≤34或36≤x≤39．【解析】试题分析：（1）设一次函数解析式为y=kx+b ，然后根据图象找出直线上两点的坐标当然其中，得到关于k 、b 的方程组，由此即可求解；（2）由于为成本价20元/千克，销售量为y （千克），销售单价为x ，根据利润=销售量×（售价-成本价）即可求解；（3）利用（2）的函数解析式即可得到关于x 的一元二次方程，解方程即可求解．试题解析：（1）设y kx b =+，由图象可知，3040040200k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1000b ⎨=⎩∴y 20x 1000=-+；（2）由题意得()()2p x 2020x 100020x 1400x 20000=--+=-+- ∵a=-20＜0，∴p 有最大值．当x=-1400/2×(-20)=35时，p 最大值=4500．即当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．（3）当P=4420时，4420=−20x 2+1400x−20000，解得x 1=33，x 2=37，当P=4180时，4180=−20x 2+1400x−20000，解得 x 1=31，x 2=39，∴绿色食品销售单价为31⩽x ⩽33，37⩽x ⩽39的范围时符合要求.19．（1）（—1，0）（2）（3）n>2或n<-4【解析】（1）（1分）轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0.∴C 1的顶点坐标为（—1，0）（2分）（2）设C 2的函数关系式为把A （—3，0）代入上式得∴C 2的函数关系式为（3分） ∵抛物线的对称轴为轴的一个交点为A （—3，0），由对称性可知，它与x 轴的另一个交点坐标为（1，0）. （4分）（3）当的增大而增大，当（5分）20．（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）．【解析】【分析】(1)令y=0，即可求A、B的坐标；(2)由CD∥AB，DE∥AC得到△CDE∽△BAC，当y=3时，即可求出D点坐标，得到CD的长，从而得到△CDE与△BAC的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到答案．【详解】（1）∵令y=0，则﹣（x﹣1）2+4=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）∵CD∥AB，DE∥AC，∴△CDE∽△BAC．∵当y=3时，x1=0，x2=2，∴CD=2．∵AB=4，∴=，∴==．故答案为：（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，相似三角形的判定与性质.21．（1）抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）d=﹣t2+4t﹣3；（3）P（52，74）．【解析】【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点A，可求得点A的坐标，又OA=OC，可求得点C 的坐标，然后分别代入B,C的坐标求出a，b，即可求得二次函数的解析式；（2）首先延长PE交x轴于点H，现将解析式换为顶点解析式求得D（1，4），设直线CD 的解析式为y=kx+b，再将点C（3，0）、D（1，4）代入，得y=﹣2x+6，则E（t，﹣2t+6），P（t，﹣t2+2t+3），PH=﹣t2+2t+3，EH=﹣2t+6，再根据d=PH﹣EH即可得答案；（3）首先，作DK⊥OC于点K，作QM∥x轴交DK于点T，延长PE、EP交OC于H、交QM于M，作ER⊥DK于点R，记QE与DK的交点为N，根据题意在（2）的条件下先证明△DQT≌△ECH，再根据全等三角形的性质即可得ME=4﹣2（﹣2t+6），QM= t﹣1+（3﹣t），即可求得答案．【详解】（1）当x=0时，y=3，∴A（0，3）即OA=3，∵OA=OC，∴OC=3，∴C（3，0），∵抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0），C（3，0）∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）如图1，延长PE交x轴于点H，∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4），设直线CD的解析式为y=kx+b，将点C（3，0）、D（1，4）代入，得：，解得：，∴y=﹣2x+6，∴E（t，﹣2t+6），P（t，﹣t2+2t+3），∴PH=﹣t2+2t+3，EH=﹣2t+6，∴d=PH﹣EH=﹣t2+2t+3﹣（﹣2t+6）=﹣t2+4t﹣3；（3）如图2，作DK⊥OC于点K，作QM∥x轴交DK于点T，延长PE、EP交OC于H、交QM于M，作ER⊥DK于点R，记QE与DK的交点为N，∵D（1，4），B（﹣1，0），C（3，0），∴BK=2，KC=2，∴DK垂直平分BC，∴BD=CD，∴∠BDK=∠CDK，∵∠BQE=∠QDE+∠DEQ，∠BQE+∠DEQ=90°，∴∠QDE+∠DEQ+∠DEQ=90°，即2∠CDK+2∠DEQ=90°，∴∠CDK+∠DEQ=45°，即∠RNE=45°，∵ER⊥DK，∴∠NER=45°，∴∠MEQ=∠MQE=45°，∴QM=ME，∵DQ=CE，∠DTQ=∠EHC、∠QDT=∠CEH，∴△DQT≌△ECH，∴DT=EH，QT=CH，∴ME=4﹣2（﹣2t+6），QM=MT+QT=MT+CH=t﹣1+（3﹣t），4﹣2（﹣2t+6）=t﹣1+（3﹣t），解得：t=，∴P（，）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是熟练的掌握二次函数的相关知识点.22．（1）答案见解析；（2）k ＜1．【解析】分析：（1）根据△恒大于0即可证明；（2）将x=-1和x=1代入y ＝x 2＋（k －1）x －2k －3,再根据12y y >，可得结果.本题解析：（1）由题意得，令0y =，得到方程()21230x k x k +---= a ＝1，b ＝k ﹣1，c ＝﹣2k ﹣3，则b 2﹣4ac ＝（k ﹣1）2﹣4（﹣2k ﹣3）＝k 2＋6k ＋13＝（k ＋3）2＋4，．∵()230k +≥，∴（k ＋3）2＋4＞0，即240b ac ->，∴方程()21230x k x k +---=有两个不相等的实数根∴二次函数图像与x 轴有两个公共点．．（2）∵A （－1，y 1）、B （1，y 2）在该二次函数的图像上，∴y 1＝1﹣（k ﹣1）﹣2k ﹣3＝﹣3k ﹣1，y 2＝1+k ﹣1﹣2k ﹣3＝﹣k ﹣3，又∵y 1＞y 2，∴﹣3k ﹣1＞﹣k ﹣3，解得k ＜1．．（另解：数形结合，根据图像可得：102k -->，解得k ＜1）点睛：本题考查了抛物线与x 的交点、二次函数y=ax²+bx+c(b ，c 是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系，△=b²-4ac 决定抛线与x 轴的交点个数．△=b²-4ac>0，抛物线与x 轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b²-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．23．（1）256y x x =-+；（2）14【解析】试题分析：（1）把抛物线的解析式整理为一般形式，由此可得到其对称轴的表达式，结合对称轴是直线52x =即可解出“m”的值，从而可求得其解析式；（2）设把该抛物线向上平移k 个单位长度后与x 轴只有一个公共点，由此可得新的解析式的表达式，再由“△=240b ac -=”即可求得k 的值.试题解析：（1）∵2()()y x m x m =---可化为：22(21)y x m x m m =-+++，∴该抛物线的对称轴为直线：(21)2m x -+=-，又∵该抛物线的对称轴为：直线52x =， ∴(21)522m -+-=，解得：2m =， ∴抛物线的解析式为：256y x x =-+；（2）设原抛物线向上平移k 个单位后与x 轴只有1个公共点，则平移后抛物线解析式为：256y x x k =-++，∵它与x 轴只有一个公共点，∴()25460k ∆=-+=，解得：14k = ，即，将该抛物线向上平移14个单位长度后，新抛物线与x 轴只有1个公共点. 24．（1）y=﹣30x 2+300x+6000；（2）每件小商品销售价是55元时，商店每天销售这种小商品的利润最大，最大利润是6750元．【解析】【分析】(1)根据总利润=(实际售价-进价) ×销售量，即可得函数解析式;(2)将(1)中函数解析式配方即可得最值情况.【详解】（1）依题意有：y=（60﹣x ﹣40）（300+30x ）=﹣30x 2+300x+6000；（2）∵y=﹣30x 2+300x+6000=﹣30（x ﹣5）2+6750；∵a=﹣30＜0，∴当x=5时y 取最大值，最大值是6750，即降价5元时利润最大，∴每件小商品销售价是55元时，商店每天销售这种小商品的利润最大，最大利润是6750元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据总利润=(实际售价-进价) ×销售量列出函数关系式是解答本题的关键.。

宋北师大本九年级下数学培优二次函数

北师大版九年级数学下册培优二次函数(3)一、选择题1.二次函数 y=a 〔x+m 〕2+n 的图象如图，那么一次函数y=mx+n 的图象经过〔〕A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限2.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，那么一次函数y=bx+c 和反比例函数y=a 在同一平面直角x坐标系中的图象大致是〔〕ABCD3.抛物线y=-x 2+bx+c 的局部图象如下图，要使y ＞0，那么x 的取值范围是〔〕A ．-4＜x ＜1B ．-3＜x ＜1C ．x ＜-4或x ＞1D ．x ＜-3或x ＞14.函数图象y=ax 2+〔a －3〕x+1与x 轴只有一个交点那么a 的值为〔〕A 、0，1B 、0，9C 、1，9D 、0，1，95.抛物线yx 2 x p p 0的图象与x 轴一个交点的横坐标是P ，那么该抛物线的顶点坐标是A ．〔0，－2〕B ．1 9 C ．1 9D ．1 9,4,42,2246.根据以下表格的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0〔a ≠0〕一个解x的取值范围〔〕xy=ax 2+bx+c－－A 、B 、C 、D 、7.y=x2＋〔1－a 〕x ＋1 是关于 x 的二次函数，当x 的取值范围是1≤x ≤3时，y 在x ＝1时取得最大值，那么实数a 的取值范围是〔〕。

A ．a=5B ．a ≥5C ．a ＝3D ．a ≥38.抛物线yx2bxc图像向右平移 2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为yx 22x3，那么b 、c 的值为〔〕A.b=2 ，c=2B.b=2，c=0C.b=-2，c=-1 D.b=-3 ，c=29.如图，两条抛物线 y 1=-1χ2+1、y 2=1χ2-1与分别经过点〔-2，0〕，〔2，0〕且平行于y 轴的两条平行线围成的22阴影局部的面积为〔〕A．8B．6C．10D．410.函数y1＝x2与函数y2＝－1x＋3的图象大致如图，假设y1＜y2，那么自变量x的取值范围是〔〕．2A.－3＜x＜2B．x＞2或x＜－3C．－2＜x＜3D．x＜－2或x＞32222y11.y关于x的函数图象如下图，那么当y0时，自变量x的取值范围是〔〕A．x0B．1x1或x21O1x 2C．x1D．x1或1x212.抛物线y ax2bxc图像如下图，那么一次函数y bx4acb2与反比例函数y abc在同一坐标x系内的图像大致为()x x x x x13.二次函数y ax2bxc(a0)经过点M〔－1,2〕和点N〔1，－2〕，交x轴于A，B两点，交y轴于C那么()①b2；②该二次函数图像与y轴交与负半轴③存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上④假设a1,那么OAOB OC2以上说法正确的有：A①②③④B．②③④C．①②④D．①②③14.二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如下图，其对称轴为直线x=1，有如下结论：c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④假设方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，那么x1+x2=2，那么正确的结论是〔〕A．①②B．①③C．②④D．③④15.二次函数y=ax2+bx+c(a≠的0)图像经过点〔－1，2〕，且与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，其中－2＜x1＜－1,0＜x2＜1有以下结论：①abc＞0,②4a－2b+c＜0,③2a－b＜0,④b2+8a＞4ac其中正确的结论有〔〕A、1个B、2个C、3个D、4个y1x3ax216.小明从图所示的二次函数y bx c的图象中，观察得出了下面五条信息：①c0；②abc0；③ab c0；④2a3b0；21012x ⑤c4b0，你认为其中正确信息的个数有〔〕A．2个B．3个C．4个D．5个1题图ax217.二次函数y=y bx c的图像如下图，令M=︱4a－2b+c︱+︱a+b+c︱－︱2a+b︱+︱2a－b︱，那么以下结论正确的选项是()＜0＞0 C.M=0的符号不能确定y18.二次函数yax 2 bx c(a0)的图象如下图，有以下结论：①b 2 4ac 0；②abc0；③ 8ac0；④ 9a 3b c 0 ．其中，正确结论的个数是〔〕21Oxx 119.对于每个非零自然数n，抛物线yx 22n 1 x 1与 x 轴交于 A n 、n 两点，以 A n B nn(n 1) n(n 1)B表示这两点间的距离，那么 A 1B 1 A 2B 2LA 2021B2021的值是〔〕yAA ．202120212021D ．2021BD2021B ．2021C ．20212021二、填空题C1.二次函数y2(x3)2，当X 取x 1和x 2X 取x 1+x 2时函数值为Ox时函数值相等，当2.抛物线 y(m 1) x 2 ( m 2 3 4) x 5 以Y 轴为对称轴那么。

数学九年级下北师大版第二章二次函数单元提优

第二章二次函数单元提优一、选择题（共10题；共30分）1.二次函数y=x2-2x+3的对称轴为（）A. x=-2B. x=2C. x=1D. x=-12.点P1（0，y1），P2（2，y2），P3（3，y3）均在二次函数y=﹣（x﹣1）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A. y3＞y2＞y1B. y3＞y1=y2C. y1＞y2＞y3D. y1=y2＞y33.如图，二次函数y=a+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是( )A. abc＜0B. 2a＋b＜0C. a－b＋c＜0D. 4ac－b2＜04.如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A，B，把抛物线与线段AB围成的图形记为C1，将C l绕点B中心对称变换得C2，C2与x轴交于另一点C，将C2绕点C中心对称变换得C3，连接C，与C3的顶点，则图中阴影部分的面积为（）A. 32B. 24C. 36D. 485.抛物线的对称轴是（）A. 直线x=2B. 直线x=-2C. 直线x=-3D. 直线x=36.下列各式中，y是x的二次函数的是（）A. y=B. y=x2+x﹣2C. y=2x+1D. y2=x2+3x7.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y= x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（）A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 不能确定8.已知二次函数y=x2+bx+3如图所示，那么函数y=x2+（b﹣1）x+3的图象可能是（）A. B. C. D.9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0，其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 410.若（2，5）、（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（）A. x=﹣B. x=1C. x=2D. x=3二、填空题（共8题；共32分）11.二次函数y=2x2+bx+c的顶点坐标是（1，﹣2），则b=________，c=________．12.点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2﹣2x+1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1________y2（填“＞”、“＜”、“=”）．13.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：①abc＜0；②4ac﹣b2＞0；③a﹣b+c ＞2；④a＜b＜0；⑤ac+2=b，正确的个数有________．14.将二次函数y=x2+2x+3的图象绕它的顶点顺时针方向旋转180°得到的函数解析式为________．15.如图，抛物线y=x2﹣x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点M的坐标为（2，1）．以M为圆心，2为半径作⊙M．则下列说法正确的是________ （填序号）．①tan∠OAC=；②直线AC是⊙M的切线；③⊙M过抛物线的顶点；④点C到⊙M的最远距离为6；⑤连接MC，MA，则△AOC与△AMC关于直线AC对称．16.抛物线y=2x2+3上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1≠x2，y1=y2，当x=x1+x2时，y=________．17.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0，②3a+c＜0，③a﹣b+c＞0，④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣2，y1）和（﹣，y2）在该图象上，则y1＞y2，其中正确的结论是________．（填入正确结论的序号）18.关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是________三、解答题（共6题；共38分）19.甲、乙两个仓库向A、B两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A地需70吨，B地需110吨水泥，两库到A，B两地的路程和费用如下表：（表中运费“元/吨·千米”表示每吨水泥运送1千米所需要人民币）.设甲库运往A地水泥x吨，总运费W元.（1）写出w关于x的函数关系式，并求x为何值时总运费最小？（2）如果要求运送的水泥数是10吨的整数倍，且运费不能超过38000元，则总共有几种运送方案？20.已知二次函数.（1）在给定的直角坐标系中,画出这个函数的图象;（2）根据图象,写出当y＜0时,x的取值范围;（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位,请写出平移后图象所对应的函数关系式．21.进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售800件．设每件降价x元（x 为正整数），每星期的利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由．（3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？22.已知二次函数y=ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．（1）求二次函数的关系式；（2）写出它的对称轴和顶点坐标；（3）请说明x在什么范围内取值时，函数值y＜0？23.已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，你能确定关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解？24.抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点．（1）求点B及点D的坐标．（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．①若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标．②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标．参考答案一、选择题1. C2.D3. D4. A5. B6. B7.C8.C9.C 10. D二、填空题11. -4；0 12.＜13.④⑤14.y=﹣x2+2x+3 15.①②③④16.3 17.②④18.三、解答题19.（1）解：设甲库运往A地粮食x吨，则甲库运到B地（100-x）吨，乙库运往A地（70-x）吨，乙库运到B 地[80-（70-x）]=（10+x）吨．根据题意得：w=12×20x+10×25（100-x）+12×15（70-x）+8×20（10+x）=-30x+39200(0≤x≤70)．∴总运费w（元）关于x（吨）的函数关系式为w=-30x+39200(0≤x≤70)．∵一次函数中w=-30x+39200中，k=-30＜0∴w的值随x的增大而减小∴当x=70吨时，总运费w最省，最省的总运费为：-30×70+39200=37100（元）答：从甲库运往A地70吨粮食，往B地运送30吨粮食，从乙库运往B地80吨粮食时，总运费最省为37100元．（2）解：因为运费不能超过38000元，所以w=-30x+39200≤38000，所以x≥40.又因为40≤x≤70，所以满足题意的x值为40,50,60,70，所以总共有4种方案.20.解：（1）二次函数的顶点坐标为：x==﹣1,y==2,当x=0时,y=,当y=0时,x=1或x=﹣3,图象如图：（2）据图可知：当y＜0时,x＜﹣3,或x＞1;（3）y=﹣x2﹣x=﹣（x+1）2+2根据二次函数图象移动特点,∴此图象沿x轴向右平移3个单位,平移后图象所对应的函数关系式：y=﹣（x﹣2）2+2．21.解：（1）依题意，得y=（50﹣40﹣x）•（500+100x）=﹣100x2+500x+5000，∵，∴3≤x≤8；（2）y=﹣100x2+500x+5000=﹣100（x﹣）2+5625，∵x为整数，∴当x取2或3时，有最大值，为5600，∴5600是最大利润．（3）令y=﹣100（x﹣）2+5625≥5000，解得0≤x≤5时，即当售价在45到50元时，月利润不低于5000元．22.解：（1）把点（2，0），（﹣1，6）代入二次函数y=ax2+bx得，解得．因此二次函数的关系式y=2x2﹣4x；（2）∵y=2x2﹣4x=2（x﹣1）2﹣2，∴二次函数y=2x2﹣4x的对称轴是直线x=1，顶点坐标（1，﹣2）；（3）令y=0，则2x2﹣4x=0，解得x1=0，x2=2，所以当0＜x＜2时，y＜0．23.解：根据图象可知，二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象经过点（3，0），所以该点适合方程y=﹣x2+2x+m，代入，得﹣32+2×3+m=0解得，m=3 ①把①代入一元二次方程﹣x2+2x+m=0，得﹣x2+2x+3=0，②解②，得x1=3，x2=﹣124.（1）解：∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），∴当y=0时，（x﹣3）（x+1）=0，解得x=3或﹣1，∴点B的坐标为（3，0）．∵y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴顶点D的坐标为（1，﹣4）；（2）解：①如右图．∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3与与y轴交于点C，∴C点坐标为（0，﹣3）．∵对称轴为直线x=1，∴点E的坐标为（1，0）．连接BC，过点C作CH⊥DE于H，则H点坐标为（1，﹣3），∴CH=DH=1，∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°，∴CD= ，CB=3 ，△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．∵∠BDE=∠DCP=∠QCR，∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP，∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP，∴∠CDB=∠QCO，∴△BCD∽△QOC，∴= = ，∴OQ=3OC=9，即Q（﹣9，0）．∴直线CQ的解析式为y=﹣x﹣3，直线BD的解析式为y=2x﹣6．由方程组，解得．∴点P的坐标为（，﹣）；②（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，∴△MCN∽△DBE，∴，∴MN=2CN．设CN=a，则MN=2a．∵∠CDE=∠DCF=45°，∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，∴NF=CN=a，CF= a，∴MF=MN+NF=3a，∴MG=FG= a，∴CG=FG﹣FC= a，∴M（a，﹣3+ a）．代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a= ，∴M（，﹣）；若点N在射线DC上，如备用图2，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，∴△MCN∽△DBE，∴= = ，∴MN=2CN．设CN=a，则MN=2a．∵∠CDE=45°，∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，∴NF=CN=a，CF= a，∴MF=MN﹣NF=a，∴MG=FG= a，∴CG=FG+FC= a，∴M（a，﹣3+ a）．代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a=5 ，∴M（5，12）；（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．∵∠CMN=∠BDE＜45°，∴∠MCN＞45°，而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，∴点M不存在．综上可知，点M坐标为（，﹣）或（5，12）．11。

北京市九年级数学下册《二次函数》提优(无答案) 北师大版

北京市九年级数学下册《二次函数》提优北师大版1、如图，一次函数y=-1 /2 x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连结O B、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线O B于点E、F，点E为垂足，连结CF．（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长度；（2）当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．3、在平面直角坐标系中，A（－4，0），B（0，2），直线x＝2与直线AB交于点C，与x 轴交于点D，抛物线经过点A，且以C为顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上位于A、C两点间的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的最大值；（3）点Q为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接QA、QC，设△QA C的面积为S，当S ＝2时，相应的Q点有几个？当S4、如图，二次函数y＝ax 2＋bx（a＞0）的图象与反比例函数y＝kx 的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（1，4），点B在第三象限．（1）求该二次函数的表达式；（2）设二次函数图象与x轴的另一个交点为D，E点为线段OD上的动点（与O，D不重合），过E点作EF∥OB，交BD于F，连接BE①设OE的长为m，△BEF的面积为S，求S数关系式；②当△BEF为等腰三角形时，求点E的坐标．。

北师大版数学九年级下册2.1 二次函数

本章我们要探索和研究刻画变量之间关系的一种新模型：二次函数。
情境引入
新课引入
问题1 我们以前学过的函数的概念是什么？
如果变量y随着x而变化，并且对于x取的每一个值，y 总有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数.
问题2 我们学过哪些函数？
一次函数
y=kx+b (k≠0)
函
数
(正比例函数) y=kx (k≠0)
2.函数y=(m－n)x2＋ mx＋n 是二次函数的条件是（ C )
A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n
D . m,n为任何实数
3．下列函数是二次函数的是 ( C )
A．y＝2x＋1 C．y＝3x2＋1
B． y 2
x
D．
y
1 x2
1
随堂即练
4. 已知函数 y=3x2m-1－5
新课讲解
问题3 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.你能列出矩形水面的面积关于矩形水面的边长的关系式吗？
设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形水面的另一边长应为（20-x）m.若它的面积是S m2，则有
S x 20 x S x2 20x
此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数.
对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
新课讲解
问题2 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 y=6x2 .
此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于 x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.

北师大版九年级数学下册培优练习附答案：2.2 二次函数的图象与性质

2.2 二次函数的图象与性质一、选择题（共13小题）1. 在下列二次函数中，其图象对称轴为直线的是A. B. C. D.2. 观察函数和的图象，当时，两个函数值的大小为A. B. C. D.3. 把二次函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得到的图象对应的二次函数关系是A. B.C. D. .4. 已知二次函数的图象如图，则下列哪个选项表示的点有可能在反比例函数的图象上A. B. C. D.5. 已知点，均在抛物线上，则，的大小关系为A. B. C. D.6. 已知二次函数（）有最小值，则，的大小关系为A. B. C. D. 不能确定7. 下列对二次函数的图象的描述，正确的是A. 开口向下B. 对称轴是轴C. 经过原点D. 在对称轴右侧部分是下降的8. 抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到新的抛物线解析式是A. B.C. D.9. 抛物线，，的共同性质是：①都是开口向上；②都以点为顶点；③都以轴为对称轴；④都关于轴对称．其中正确的个数是A. B. C. D.10. 二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是A. 抛物线开口向下B. 抛物线经过点C. 抛物线的对称轴是直线D. 抛物线与轴有两个交点11. 二次函数的图象如图所示，下列结论正确是A.B.C.D. 有两个不相等的实数根12. 关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围是A. B. C. D.13. 如图，边长为的正的边在直线上，两条距离为的平行直线和垂直于直线，和同时向右移动（的起始位置在点），速度均为每秒个单位，运动时间为（秒），直到到达点停止，在和向右移动的过程中，记夹在和之间的部分的面积为，则关于的函数图象大致为A. B.C. D.二、填空题（共6小题）14. 一次函数与在同一直角坐标系内的交点坐标为．则当时，的取值范围是．15. 抛物线经过点，，则它的对称轴是．16. 已知，点，，都在函数的图象上，则，，从小到大排列为．17. 如图，一段抛物线：记为，它与轴交于两点；将绕旋转得到，交轴于；将绕旋转得到，交轴于；…如此进行下去，直至得到，若点在第段抛物线上，则．18. 如图，在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线，分别交抛物线与直线交于点，，以线段为对角线作菱形，使得，则菱形的面积最小值为．19. 二次函数的图象如图所示，则的值为；的取值范围为．三、解答题（共4小题）20. 在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并写出它们共同的性质：（1）；（2）；（3）．21. 已知二次函数．（1）当时，求的取值范围；（2）当时，求的取值范围．22. 二次函数的图象的对称轴是轴，求的值．23. 在不同坐标系中画出下列函数的图象：（1）；（2）．答案1. A2. B3. D 【解析】的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到：．4. C5. A6. A7. C 【解析】A、，抛物线开口向上，选项A不正确；B、，抛物线的对称轴为直线，选项B不正确；C、当时，，抛物线经过原点，选项C正确；D、，抛物线的对称轴为直线，当时，随值的增大而增大，选项D不正确．8. D 【解析】由“左加右减”的原则可知，抛物线向右平移个单位所得抛物线的解析式为：；由“上加下减”的原则可知，抛物线向上平移个单位所得抛物线的解析式为：．9. B10. D11. C 【解析】抛物线开口方向得，由抛物线对称轴为直线，得到，由抛物线与轴的交点位置得到．A、，错误；B、，错误；C、，正确；D、由图可知，抛物线与直线有一个交点，而有一个的实数根，错误．12. B解不等式得，，解不等式得，，不等式组的解集是，不等式组有个整数解，整数解为，，，，，解得．13. B【解析】如图①，当时，，，；如图②，当时，，，，，如图③，当时，，，综上所述，当时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分．14.15. 直线16.【解析】抛物线开口向上，当时随着的增大而减小，，，因此．此题也可画出二次函数图象，在图象上大致描出这些点的位置，用数形结合法求解．17.【解析】，顶点坐标为， .由旋转得到，，即顶点坐标为，；照此类推可得，顶点坐标为，；顶点坐标为，；顶点坐标为，；顶点坐标为，；．18.19. ，20. 填表如下：画图如下：共同的性质有：开口向下；对称轴都是轴；在对称轴左边，随的增大而增大；对称轴右边，随的增大而减少等．21. （1）抛物线的对称轴为轴，开口向下，第11页（共11 页）当时，随的增大而减小，当时，，当时，，当时，．（2）当时，有最大值，当时，，当时，，． 22. 抛物线的对称轴为轴，，． 23. （1）（2）。

北师大版九年级二次函数辅导讲义

例1、下列函数中，是二次函数的是 ____________ . _______2 2 2① y=x — 4x+1; ②y=2x ; ③ y=2x+4x ; ④y= — 3x ;⑤ y= — 2x — 1; ⑥ y=mx+nx+p ； ⑦ y =(4,x); ⑧ y= — 5x 。

例2、在一定条件下，若物体运动的路程 s (米)与时间t (秒)的关系式为s=5t 2+2t ，则t =4秒时，该物体所经过的路程为 ______________________ 。

例3、若函数y=(m 2+2m- 7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，贝U m 的取值范围为 ______________ 。

例1 .抛物线y=2x 22— m 经过坐标原点，则m 的值为例2 .抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为(1，3)，则b = _________ ，c =.例3 .抛物线y = x 2+ 3x 的顶点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限1 例4.已知抛物线y = x 2+ (m — 1)x — 4的顶点的横坐标是2，则m 的值是 .例5 .若二次函数y=3x 2+mx — 3的对称轴是直线x = 1，则m= __________ 。

例6.当n = _______ ，m= _____ 时，函数y = (m + n)x '+ (m — n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口 _________ .。

例7.已知二次函数y=x 2—4x+m — 3的最小值为3，则m= ____________ 。

例1.抛物线y=x 2+4x+9的对称轴是 _______________ 。

例2.抛物线y=2x 2— 12x+25的开口方向是 __________ ，顶点坐标是 ___________________ 。

例3.试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x = — 2,且与y 轴的交点坐标为(0, 3)的抛物线的解析式 __________________ 。

北师大版九年级数学下册培优练习附答案：2.1 二次函数

2.1 二次函数一、选择题（共13小题）1. 已知二次函数，则其二次项系数，一次项系数，常数项分别A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，2. 在下列关于的函数中，一定是二次函数的是A. B. C. D.3. 下列函数中，关于的二次函数是A. B.C. D.4. 下列函数中，属于二次函数的是A. B.C. D.5. 下列函数中，是二次函数的有A. 个B. 个C. 个D. 个6. 下面的函数是二次函数的是A. B. C. D.7. 对于，有以下四种说法，其中正确的是A. 当时，是二次函数B. 当时，是二次函数C. 当时，是一次函数D. 以上说法都不对8. 下列函数中，是的二次函数的是A. B. C. D.9. 下列函数中，是二次函数的是A. B.C. D.10. 下列函数中不是二次函数的是A. B.C. D.11. 在下列个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有①设正方形的边长为，面积为，则与有函数关系；②个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数与之间有函数关系；③设正方体的棱长为，表面积为，则与有函数关系；④若一辆汽车以的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程与行驶时间有函数关系．A. 个B. 个C. 个D. 个12. 下列函数：，，，，其中以为自变量的二次函数有A. 个B. 个C. 个D. 个13. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是A. B. C. D.二、填空题（共5小题）14. 若是二次函数，则．15. 若是二次函数，则的取值范围是．16. 若函数是二次函数，则．17. 若函数是二次函数，则的值为．18. 若是二次函数，则的值为．三、解答题（共3小题）19. 把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项．（1）；（2）；（3）；（4）．20. 已知函数是二次函数，求该二次函数的解析式．21. 已知函数．（1）当是的一次函数时，求的值并写出函数解析式；（2）当是的二次函数时，求的取值范围．答案1. D2. A3. B4. C5. C6. B7. D8. C9. A 【解析】A项中的函数符合二次函数的概念，是二次函数；B项中的函数表达式中含有分式，所以不是二次函数；C项中的函数表达式化简后得到，是一次函数；D项中的函数表达式中的自变量的最高次数大于，所以D项也不是二次函数．10. D11. C12. B13. C 【解析】A．是一次函数，故A错误；B．是二次函数，故B错误；C．是二次函数，故C正确；D．不是二次函数，故D错误．14.15.16. 或【解析】由得或．17.18.19. （1）一般形式为，二次项系数为，一次项次数为，常数项为．（2）一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为．（3）一般形式为，二次项系数为，常数项为．（4）一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为20. 依题意得：且．即且，解得，则该二次函数的解析式为．21. （1），，或．（2）且．。