中考数学方程与不等式复习

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2024年中考数学提高复习讲义：方程与不等式

中考专题复习之方程与不等式知识梳理1.一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0(a,b,c是常数，a≠0).在解一元二次方程时，应按方程的特点选择方法，主要方法包括：①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法.一元二次方程的求根公式是：x=−b±√b2−4ac2a(b2−4ac≥0). (注意符号问题)2.解分式方程的基本思想将分式方程转化为整式方程，转化的方法有两种：①去分母法；②换元法.3.根的判别式一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为Δ=b²−4ac.当△>0时，方程有两个不相等的实数根，即x1=−b+√b2−4ac2a ,x2=−b−√b2−4ac2a;当△=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=−b2a;当△<0时，方程没有实数根.4.一元二次方程两根之间的关系若一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x₁,x₂,则x1+x2=−ba ,x1x2=ca,(注意两根的和是ba的相反数).以。

x₁,x₂为根的一元二次方程是x²−(x₁+x₂)x+x₁x₂=0.5.不等式的解法解一元一次不等式和解一元一次方程类似.不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变.6.一元一次不等式组的解集由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况见下表：典型例题例 1不等式3x-5≥5x-11的正整数解的个数为( ).A.0B.1C.2D.3解析解不等式3x-5≥5x-11，得x≤3，则其正整数的解有1，2，3，所以正整数解的个数为 3 个,选 D.例 2若|x2−9|+(y+4)2=0,则x+y的值为( ).x+3A.-1或-7B. -7C. -1D.7解析因为|x2−9|+(y+4)2=0,x+3所以x+3≠0 且|x²−9|+(y+4)²=0,所以x≠-3 且|x²−9|+(y+4)²=0.又因为|x²−9|+(y+4)²=0且|x²−9|≥0,(y+4)²≥0,所以|x²−9|=0且(y+4)²=0,所以x=±3,y=-4.因为x≠-3,所以x=3,所以x+y=3+(-4)=-1.故选C.例3某电器商家，计划购进电视机、洗衣机、冰箱总数为40台，而现在商家打算总共用 12万元，各种家电价格如下表所示.(1)若总共用的资金不超过 12万，买进的洗衣机和冰箱数量相同，电视机不超过洗衣机数量的三倍，请问商家有几种购买方式?(2)针对上述3 种电器，商家推出“满1000元送50元家电消费券一张，多买多送”，在(1)的条件下，若三种电器都售完，商家预计最多送出多少张消费券?解析 (1)设购买冰箱的数量是x 台，则购进洗衣机的数量是x 台，电视机的数量为(40-2x)台，根据总共用的资金不超过12万和电视机不超过洗衣机数量的三倍列不等式组，即解得:8≤x≤10. 因为x 是整数，所以x 可以为8,9,10. 有三种方案如下.方案一：冰箱8台，洗衣机8台，电视机24台. 方案二：冰箱9台，洗衣机 9台，电视机22台. 方案三：冰箱10台，洗衣机10台，电视机20台.(2)题中要求最多送出的消费券，满1000 元送50元消费券，多买多送，所以要根据售价总额来求出最大售价，即可求出最多消费券.设售价总额为y 元，由题意得,y=5480x+2280x+2600(40-2x)=2560x+104000 所以当x=10时,y 最大=2560×10+104000=129600, 故送出的消费券的张数为:129600÷1000=129.6≈130(张). 则商家预计最多送出消费券130张. 例 4某项工程，如果由甲、乙两队承包， 225天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包， 334天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，2 67天完成，需付160000元.现在工程由一队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费最少?解析设甲、乙、丙单独承包各需x ，y ，z 天完成， { 1x +19=51219+1z =415,1x +1x =720解得 {x =4y =6z =10.再设甲、乙、丙单独工作一天，各需付u ，v ，w 元， { 125(α+v )=80000154(ν+w )=15000,207(cos +α)=16000解得 {u =45500v =29500,w =10500因为丙队不能在一周内完成，所以丙队舍去.因为甲队单独承包的费用：4 45500×4=182000)(元); 乙队单独承包的费用： 29500×6=177000(元). 又因为 177000<182000, 所以由乙队承包费用最少. 双基训练1.若x=6是关于x 的方程3x+4m-30=0的解,则m 的值为( ). A. 0 B.1 C. 2 D. 32.一元一次方程3x−12−5x+16=0解为( ).A.0B. -1C. 1D.2 3.已知代数式2x−35与代数式 35x −25的和为5,则x 的值为( ).A.4B.5C.6D.7 4.解方程2x−13−5x−32=3时，去分母后，正确的结果是( ).A.4x-1-15x+3=18B.4x-2-15x-3=18C.4x-2-15x-9=18D.4x-2-15x+9=185.一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是( ).A. 100(1+x)=121B.100(1-x)=121C.100(1+x )²=121D.100(1−x )²=121 6.方程 x²−5x +5=0的根为( ). A.5+√5 B.−5+√52C.5±√52 D.−5−√527.已知m ，n 是关于x 的一元二次方程 x²+mx +n =0的两个相等的实数根，且满足 1m +1n =3,则 m 的值为( ).A. -1B. 43或--1理C. 43D.−438.方程 x²−6x +5=0的两个根分别为.x ₁,x ₂,则 x 2x 1+x1x 2的值为( ).A. 265B.−265C. 365D. 659. 已知 {x =2y =−1是方程组 {mx −y =3x −ny =6的解,则m 和n 的值分别为( ).A.1,4B.4,1C. 2.-1D. -2,110.一元二次方程 x²−5x +4=0根的情况为( ).A.有一个根B.有两个相等的实根C.有两个不相等的实根D. 无解11.已知实数a≠b,且满足( (a +1)²=3−3(a +1),(b +1)²=3−3(b +1),则 ba +ab 的值为( ). A.23 B. -23 C. -2 D. -1312.用配方法解方程 4x²−12x −1=0,配方后的方程为( ). A.(2x −3)²=0 B.(2x +3)²=0 C.(2x −3)²=10 D.(2x +3)²=1013.若关于x 的一元二次方程 kx²−9x +6=0有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围为( ). A. k≠0 B.k <278C. k≠0 且 k <278D.k >27814.已知(x−8)(x+3)|x|−3的值为0,则x 的值为( ).A.±3B. -3C.8D. -3 或815.毕业班同学合影拍照，已知冲一张底片需要0.8元，洗一张相片需要0.35 元，在每位同学得到一张照片，共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不超过0.5元，那么参加合影的同学人数为( ).A.至多6人B.至少6人C. 至多5人D. 至少5人 16.不等式组 {5x −1>3(x +1)12x −1≤7−32x的解集是( ). A. x>2 B. x≤4 C. x<2或x≥4 D.2<x≤417.关于x 的分式方程 nx+1−4x 2−1=1无解，则n 的取值范围为 . 18.不等式 2+x+13>x +x+36的解是 .19.当k 取何值时,( (k +1)x²−4kx +3=0分别有两个不相等实数解?20.某公司做电饭锅促销活动，按照进价提高35%，然后“打九折，外送30元”的广告，每个电饭锅最后仍然获利200元，则每台电饭锅进价是多少元?能力提升21.设二元一次方程4x+3y-12=0,5x+3y--18=0,x+y+k=0有公共解,则k 的值是( ). A. -3 B. -2 C. -1 D. 0 22.方程 x+1x 2−x −13x =x+53x−3去分母后的结果为( ). A.x²+3x −4=0 B.x²−5x −2=0 C.x²+3x −2=0 D.x²−5x +4=023.如图所示，已知抛物线 y₁=−x²+4x 和直线 y₂=2x.我们约定：当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y ₁，y ₂，若. y₁≠y₂,取 y ₁，y ₂中的较大值记为N ；若 y₁=y₂,记 M =y₁=y₂.下列判断:①当x>2时, N =y₂; ②当x<0时,x 值越大,N 值越大; ③使得 N 大于 4 的x 值不存在; ④若N=2,则x=1.其中正确的判断有( ). A.1个 B.2个 C.3个 D. 4 个24. 关于方程 ax²−(3a +1)x +2(a +1)=0有两个不相等的实根x ₁,x ₂,.且有 x₁−x₁x₂ +x₂=1−a,则a 的值为( ).A. 1B. -1C. 1 或-1D.225.已知方程 23x −3k =5(x −k )+1的解为负数，则k 的取值范围为 .26.已知 5xᵃ⁺²ᵇ⁻⁵−4y³ᵃ⁻ᵇ⁻³=9是二元一次方程，那么a+3b= .27.若方程组 {x +y =93x −5y =11,则3(x+y)-(3x-5y)的值是 .28.解不等式方程组： {7x −3y =204x +3y =24.29.某物体从 P 点运动到Q 点所用时间为7s ，其运动速度V(m/s)关于时间t(s)的函数关系如图所示.某学习小组经过研究发现：该物体前进3s 运动的路程在数值上等于矩形AODB 的面积.由物理学知识还可知：该物体前t(3<t≤7)s 运动路程在数值上等于矩形AODB 的面积与梯形BDNM 的面积之和.根据以上信息，完成下列问题： (1) 当3<t≤7时,用含 t 的式子表示V.(2)分别求物体在0≤t≤3和3<t≤7时,运动路程S(m)关于时间t(s)的函数关系式; 并求该物体从 P 点运动到Q 点中总路程的 710时所用的时间.30.某食品加工厂准备研制加工两种口味的核桃巧克力，即原味核桃巧克力和益智核桃巧克力.现在主要原料有可可粉410克，核桃粉520 克.计划利用两种主要原料，研制加工上述两种口味的巧克力共50块.加工一块原味核桃巧克力需可可粉13 克，需核桃粉 4 克；加工一块益智核桃巧克力需可可粉5克，需核桃粉 14 克.加工一块原味核桃巧克力的成本是 1.2元，加工一块益智核桃巧克力的成本是2元.设这次研制加工的原味巧克力x 块.(1)求该工厂加工这两种口味的巧克力有哪几种方案?(2)设加工两种巧克力的总成本为y 元，求y 与x 的函数关系式，并说明哪种加工方案使成本最低.总成本最低是多少元?拓展资源31.已知关于x ，y 的方程组 {x +3y =4−ax −y =3a,其中-3≤a≤1,给出下面结论:①{x =5y =−1是方程组的解；②当a=-2时，x ，y 的值互为相反数；③当a=-1时，方程组的解也是方程x+y=4-a的解;④若x≤1,则1≤y≤4.其中正确的是( ).A. ①②B. ②③C.②③④D. ①③④32.已知关于x 的方程 kx²+(1−k )x −1=0,下列说法正确的是( ). A.当k=0时,方程无解B. 当 k =1时，方程有一个实数解C. 当 k =−11时，方程有两个相等的实数解D.当 k ≠0时，方程总有两个不相等的实数解33.若关于 t 的不等式组 {t −a ≥02t +1≤4恰有三个整数解，则关于x 的一次函数 y =14x −a 的图像与反比例函数 y=3a+2x的图像的公共点的个数是 .34.若x,y,z 为整数,且满足不等式 {4x ≥z ≥3yy +z ≥4,则x 的最小值为 .35.解方程组: {|x +y|=43|x|+2|y|=101-5 DCCDC 6-10 CCAAC 11-16 ACCCBD17. -6<n<2 18.x <11519.k >3+√738或 k <3−√73820.约为 1070元21-24 BABC 225. k< 1226.8 27.1628.{x =4y =8329.(1) V=2t-4; (2)S ={2t (0≤t ≤3)2t 2−4t(3<t ≤7),所用时间为 6 秒30.(1)有三种方案.方案一：原味核桃巧克力18块，益智核桃巧克力32块；方案二：原味核桃巧克力19块，益智核桃巧克力31块；方案三：原味核桃巧克力20块，益智核桃巧克力30块.(2)当原味核桃巧克力20块，益智核桃巧克力30块时，总成本最低为84元.31. 解方程组 {x +3y =4−a x −y =3a ,得 {x =1+2ay =1−a因为-3≤a≤1,所以-5≤x≤3,0≤y≤4.circle1{x =5y =−1不符合-5≤x≤3,0≤y≤4,结论错误.②当a=-2时,x=1+2a=-3,y=1-a=3,x,y 的值为互为相反数,结论正确. ③当a=-1时,x+y=2+a=3,4-a=3,方程x+y=4-a 两边相等,结论正确.④当x≤1时,1+2a≤1,解得a≤0,故当x≤1时,且-3≤a≤1,所以-3≤a≤0,所以1≤1-a≤4,所以1≤y≤4,结论正确.选 C. 32. C33. 解 {t −a ≥02t +1≤4,得 a ≤t ≤32.因为不等式组恰好有3个整数解，所以-2<a≤-1.求交点，联立方程组 {y =14x −a y =3a+2x 得 14x 2−ax −3a −2=0.Δ=a²+3a +2=(a +1)(a +2)因为-2<a≤-1,所以a+1≤0,a+2>0,所以△=(a+1)(a+2)≤0,所以交点的个数为0或1. 34.原不等式组 {4x ≥z ≥3yy +z ≥4可以化为 {4x ≥z circle1z −3y ≥0circle2,y +z ≥4circle3解②③得 {4x ≥zz ≥3y ≥1将z≥3代入①得: x ≥34,因此x 的最小值为3/4.35.(1) 若xy≥0时,原方程组为: {|x|+|y|=43|x|+2|y|=10,得|x|=2,|y|=1,所以x=2,y=1.(2) 若xy<0时,原方程组为: {|x|−|y|=43|x|+2|y|=10或 {|x|−|y|=−43|x|+2|y|=10,解得 {|x|=185|y|=25舍) {|x|=2|y|=6所以 {x =2y =−6,{x =−2y =6。

中考数学复习第二章方程组与不等式组讲义

第二章方程（组）与不等式（组）第一节一次方程与一次方程组【考点1】一元一次方程定义：只含有未知数，并且未知数的次数都是。

（系数不为0）的整式方程。

形式：一般形式ax+b=0 ；最简形式 ax=b (a ≠0) 解：abx（a ≠0）【提示】判断一个方程是否为一元一次方程，一定要先把方程化简以后再用定义进行判别。

解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项（移项要变号）；合并同类项；化系数为1【考点2】二元一次方程组 1.二元一次方程定义：含有个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程。

一般形式: ax+by=c ，有无数组解。

2. 二元一次方程组的解法⑴代入消元法：多适用于方程组中有一个未知数的系数是或的情形。

⑵ ：多适用于方程组的两个方程中相同未知数的系数或互为的情形。

【考点3】一次方程（组）的应用 1.列方程组解应用题的一般步骤：⑴审：即审清题意，分清题中的已知量、未知量； ⑵设：即设关键未知数；⑶列：即找出适当等量关系，列出方程（组）； ⑷解：即解方程（组）；⑸验：即检验所解答案是否正确或是否符合题意； ⑹答：即规范作答，注意单位名称。

2.列一元一次方程常见的应用题类型及关系式 ⑴ 利润率问题：利润=售价-进价；利润率=进价利润×100﹪ （先确定售价、进价、再计算利润率，其中打折、降价的词义应清楚）⑵ 利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息；利息税=利息×税率；贷款利息=贷款数额×利率×期数⑶ 工程问题：工作量=工作效率× （把全部工作量看作单位1，各部分工作量之和=1）⑷ 浓度问题：浓度=溶液质量溶质质量×100﹪⑸ 行程问题：路程=速度×时间 ① 追击问题（追击过程时间相等）② 相遇问题（甲走的路程乙走的路程=A 、B 两地间的路程）③ 航行问题：顺水（风）速度= +静水（风）；逆水（风）速度=船速-【中考试题精编】1.练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好花去14元，如果设水性笔的单价为x 元，那么下列方程正确的是（）A. 5(x-2)+3x=14B. 5(x+2)+3x=14C. 5x+3(x+2)=14D. 5x+3(x-2)=142.某班在学校组织的某场篮球比赛中，小杨和小方一共投进篮球21个，小杨比小方多投进5个。

九年级数学中考复习专题——方程与不等式(附答案)

知识点一一元一次方程及其解法1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠．注意：x 前面的系数不为0．2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 3．一元一次方程0(0)ax b a +=≠的求解步骤知识点二二元一次方程（组）及解法1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．知识点三分式方程及其解法1．分式方程：分母中含有的方程叫做分式方程；2．分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程。

（2）解分式方程的一般步骤：第一步：，将分式方程转化为整式方程；第二步：解整式方程；第三步：．（3）增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为的根，称为方程的增根。

因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为的根是增根应舍去。

（4）产生增根的原因：将分式方程化为整式方程时，在方程两边同乘以使最简公分母为的因式。

知识点四一元二次方程及其解法1．一元二次方程：只含有个未知数（一元），并且未知数最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

知识必备02 方程与不等式(公式、定理、结论图表)-2023年中考数学知识梳理+思维导图

知识必备02方程与不等式（公式、定理、结论图表）考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项.5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础.列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间；(2)工程问题：工作量=工效×工时；(3)比率问题：部分=全体×比率；(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；(5)商品价格问题：售价=定价·折·，利润=售价-成本，；(6)周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a，S正方形=a2，S环形=π(R2-r2)，V长方体=abh ，V正方体=a3，V圆柱=πR2h ，V圆锥=πR2h.考点二、一元二次方程1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如的一元二次方程.根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程的求根公式：（4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.5.一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.（3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.典例1：已知关于的一元二次方程．（1）求证：不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2，求关于的一元二次方程的解．【答案】（1）证明：∵不论取何值时，∴，即∴不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根..（2）将代入方程，得再将代入，原方程化为，解得．考点三、分式方程1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.典例2：近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程.【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得，整理，得．解这个方程，得x1＝4.8，x2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x2＝-3不符合实际意义，故舍去．【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a ≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．典例3：如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y1、y2的图象、，设，，则方程组的解是( )A． B． C． D．【思路点拨】图象、的交点的坐标就是方程组的解.【答案】B；【解析】由图可知图象、的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组的解为【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x 项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.不等式组（其中a ＞b ）图示解集口诀（同大取大）（同小取小）（大小取中间）无解（空集）（大大、小小找不到）（1）不等式的其他性质：①若a＞b，则b＜a；②若a＞b，b＞c，则a＞c；③若a≥b，且b≥a，则a=b；④若a2≤0，则a=0；⑤若ab＞0或，则a、b同号；⑥若ab＜0或，则a、b异号.（2）任意两个实数a、b的大小关系：①a-b＞O a＞b；②a-b=O a=b；③a-b＜O a＜b．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c.典例4：解不等式组并将解集在数轴上表示出来．【思路点拨】此题考查一元一次不等式组的解法，解出不等式组中的每个不等式，根据不等式组解的四种情况，看看属于哪种情况．【答案与解析】解不等式①得：．解不等式②得：x≥-1．所以不等式组的解集为-1≤x＜．其解在数轴上表示为如图所示：【总结升华】注意解不等式组的解题步骤.典例5：为了美化家园，创建文明城市，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所需花卉的情况如下表所示；造型甲乙A90盆30盆B40盆100盆综合上述信息，解答下列问题：(1)符合题意的搭配方案有哪儿种?(2)若搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种选型的成本为1200元，试说明选用(1)中哪种方案成本最低?【思路点拨】本题首先需要从文字和表格中获取信息，建立不等式(组)，然后求出其解集，根据实际问题的意义，再求出正整数解，从而确定搭配方案．【答案与解析】解：(1)设搭配x个A种造型，则需要搭配(50-x)个B种造型，由题意，得解得30≤x≤32．所以x的正整数解为30，31，32．所以符合题意的方案有3种，分别为：A种造型30个，B种造型20个；A种造型31个，B种造型19个；A种造型32个，B种造型18个．(2)由题意易知，三种方案的成本分别为：第一种方案：30×1000+20×1200＝54000；第二种办案：31×1000+19×1200＝53800；第三种方案：32×1000+18×1200＝53600.所以第三种方案成本最低．【总结升华】实际问题的“最值问题”一般是指“成本最低”、“利润最高”、“支出最少”等问题．。

中考数学考点系统复习第二章方程(组)与不等式(组) 第二节一元二次方程及其应用

3．(2022·龙东)2022 年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了 45 场，则共有多少支队伍参加比赛（ B ） A．8 支 B.10 支 C.7 支 D.9 支
4．(2022·河南)一元二次方程 x2＋x－1＝0 的根的情况是 A．有两个不等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
D.8(1＋x2)＝11.52
8．(2021·龙东)有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有 144 人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ B ） A．14 人 B.11 人
C.10 人 D.9 人
9．方程 x2－6x＋5＝0 的解为 11或或55. 10. (2022·连云港)若关于 x 的一元二次方程 mx2＋nx－1＝0(m≠0)的一个解是 x＝1，则 m＋n 的值是 11 . 11. (2022·宿迁) 若关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋k＝0 有实数根，则实数 k 的取值范围是 kk≤≤11.
第二节一元二次方程及其应用
1．(2022·临沂)方程 x2－2x－24＝0 的根是 A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝－4 C．x1＝－6，x2＝4 D．x1＝－6，x2＝－4
（B ）
2．(2022·武威)用配方法解方程 x2－2x＝2 时，配方后正确的是（ C ） A．(x＋1)2＝3 B．(x＋1)2＝6 C．(x－1)2＝3 D．(x－1)2＝6
18．(2022·嘉兴)设 a5是一个两位数，其中 a 是十位上的数字(1≤a≤
9)．例如，当 a＝4 时， a5 表示的两位数是 45.
(1)尝试： ①当 a＝1 时，152＝225＝1×2×100＋25； ②当 a＝2 时，252＝625＝2×3×100＋25； ③当 a＝3 时，352＝1 225＝33××4×41×0010＋025；

人教版九年级数学第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理

第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程三、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.。

2024年九年级中考数学专题复习+课件++含参方程(组)、不等式(组)+

1
C.m>
3
3
1
D.m≥
3
变式
1.(2021·南充)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k²+h=0.
(1)求证:无论k取何值,方程都有两个不相等的实数根;
1
(2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且k与都为整数,求K所有可能的值.
2
2.若关于x的方程mx2-2(m+2)x+m+5=0无实数根,则关于x方程
8m + 9n = 10.
(1)试选择其中一名同学的思路,解答此题.
x + 3y
=4−α
(2)试说明在关于x,y的方程组
中,不论a取什么实数,x+y的值始终不
x − 5y = 3a
变，
变式:
mx − y = 47
1.如果关于x,y的二元一次方程组
的解是
nx + 3y = −39
x=5
,不求 m,n.的值,你能否求关于x,y的二元一次方程组
y=3
m(x + y) − (x − y) = 47
的解?如果能,请求出方程组的解.
n(x + y) + 3(x − y) = −39
2.若相异的实数a，b满足
则 ab =
.

22−1

= 2
2 −1
,
类型三分式方程的解的问题

例3:若关于x的分式方程
2
−1
=
3
无解,则m=
2
−1
3
2或2
件的所有整数a.
2
− 2
4−
+
=

中考方程与不等式知识点汇总

中考方程与不等式知识点汇总方程与不等式是中考数学中非常重要的知识点，以下是方程（组）与不等式（组）知识点的汇总及相关解题方法。

方程的基本概念：方程是一个等式，有一个或多个未知数，通过求解方程可以确定未知数的值。

一元一次方程：一元一次方程是指只有一个未知数的一次方程，形如ax+b=0（a≠0）。

求解一元一次方程的基本思路是将方程两边进行运算，将未知数的系数移到一边，常数移到另一边，然后化简得到未知数的值。

一元一次方程的解：1. 如果a≠0，方程ax+b=0有唯一解x=-b/a；2.如果a=0，b≠0，方程0x+b=0无解；3.如果a=0，b=0，方程0x+0=0有无数解。

一元二次方程：一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程，形如ax²+bx+c=0（a≠0）。

求解一元二次方程的常用方法有公式法、因式分解法、配方法。

一元二次方程的解：根据一元二次方程的求解公式x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)，可以求解一元二次方程的解。

1. 当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；2. 当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；3. 当b²-4ac<0时，方程没有实数根，有两个共轭复数根。

方程组的基本概念：方程组是由多个方程组成的集合，方程组中的所有方程要同时满足。

二元一次方程组：二元一次方程组是指只有两个未知数的一次方程组。

求解二元一次方程组的基本思路是通过消元法或代入法将方程组化简成一个一元一次方程，然后求解未知数的值。

二元一次方程组的解：1.如果方程组有唯一解，那么方程组中的两个方程的解是一组有序实数组成的；2.如果方程组有无数解，那么方程组中的两个方程是等价的；3.如果方程组无解，那么方程组中的两个方程是矛盾的。

二元二次方程组：二元二次方程组是指只有两个未知数的二次方程组。

求解二元二次方程组的基本思路是将一个未知数用另一个未知数的值代入方程组中，然后化简方程组并求解未知数的值。

中考数学复习：第二章：方程与不等式专题复习

分式方程及其应用
•中考预知 •1、分式方程的解法； •2、分式方程实际的应用。
考点1：分式方程的解法
• 1．分式方程:分母中含有字母的方程叫分式方程. • 2．解分式方程的一般步骤： • （1）去分母，在方程的两边都乘以分母的最小公倍数，约去分母，
化成整式方程；
• （2）解这个整式方程； • （3）验根，把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使
一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
典例精讲
• 1、下列方程是一元二次方程的是（）
• A．ax2 bx c 0
• B．x2 2x x2 1
• C．x 1x 3 0
• D． 1 x 2 x2
• 2、分别用下列方法解方程
• （1）(2x 1) 2 9（直接开平方法）
（2）4x2–8x+1=0（配方法）
2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0，不可能都有两个相等的实数根．
• 七、判定三角形的形状 • 例7 设a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的方程c（x2＋n）＋b（x2－n）
－2ax＝0(n>0)有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
• 八、讨论方程有理根的问题 • 例8 m为有理数，讨论后为何值时，方程x2＋4(1－m)x＋3m2－2m＋4k＝0
典例精讲
• 1、已知a，b，c均为实数，若a＞b，c≠0，下列结论不一定正确的是（）
• A．a＋c＞b＋c
B．c－a＜c－b
• C．
D．a2＞ab＞b2
• 2、若a＞b，则下列不等关系一定成立的是（）
• A. ac bc
B. a b cc
C. c a c b D. a c b c

方程与不等式综合复习—知识讲解及经典例题解析

中考总复习：方程与不等式综合复习—知识讲解及经典例题解析【考纲要求】1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况；2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项. 5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释：列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间时间距离速度= 速度距离时间=； (2)工程问题：工作量=工效×工时工时工作量工效=工效工作量工时=； (3)比率问题：部分=全体×比率全体部分比率= 比率部分全体=；(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题：售价=定价·折·101，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率；(6)周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abh ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h.考点二、一元二次方程 1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项. 3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：21,240)2b x b ac a-±=-≥ （4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆. 5.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，a cx x =21.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.考点三、分式方程 1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a 2≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号. （2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b ＞O ⇔a ＞b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b ＜O ⇔a ＜b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c .【典型例题】类型一、方程的综合运用1．如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象1l 、2l ，设111y k x b =+，222y k x b =+，则方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是( )不等式组（其中a ＞b ）图示解集口诀x ax b >⎧⎨>⎩ bax a > （同大取大）x ax b <⎧⎨<⎩ b ax b <（同小取小） x ax b <⎧⎨>⎩ bab x a << （大小取中间）x ax b >⎧⎨<⎩ba无解（空集）（大大、小小找不到）A ．2,2x y =-⎧⎨=⎩ B ．2,3x y =-⎧⎨=⎩ C ．3,3x y =-⎧⎨=⎩ D ．3,4x y =-⎧⎨=⎩【思路点拨】图象1l 、2l 的交点的坐标就是方程组的解. 【答案】B ；【解析】由图可知图象1l 、2l 的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为2,3.x y =-⎧⎨=⎩【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．2．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程. 【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x 元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得15015018.751.8x x-=-，整理，得21.814.40x x --=．解这个方程，得x 1＝4.8，x 2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x 2＝-3不符合实际意义，故舍去．【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．类型二、解不等式（组）3．已知A ＝a+2，B ＝a 2-a+5，C ＝a 2+5a-19，其中a ＞2． (1)求证：B-A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； (2)指出A 与C 哪个大?说明理由．【思路点拨】计算B-A 结果和0比大小，从而判断A 与B 的大小；同理计算C-A ，根据结果来比较A 与C 的大小．【答案与解析】(1)证明：B-A ＝a 2-2a+3＝(a-1)2+2．∵ a ＞2，∴ (a-1)2＞0，∴ (a-1)2+2＞0．∴ a 2-2a+3＞0，即B-A ＞0．由此可得B ＞A ．(2)解：C-A ＝a 2+4a-21＝(a+7)(a-3)． ∵ a ＞2，∴ a+7＞0．当2＜a ＜3时，a-3＜0， ∴ (a+7)(a-3)＜0．∴ 当2＜a ＜3时，A 比C 大；当a ＝3时，a-3＝0， ∴ (a+7)(a-3)＝0．∴ 当a ＝3时，A 与C 一样大；当a ＞3时，a-3＞0， ∴ (a+7)(a-3)＞0．∴ 当a ＞3时，C 比A 大．【总结升华】比较大小通常用作差法，结果和0比大小，此时常常用到因式分解或配方法. 本题考查了整式的减法、十字相乘法分解因式，渗透了求差比较大小的思路及分类讨论的思想．举一反三：【变式1】已知：A=222+-a a ，B=2, C=422+-a a ,其中1>a .(1)求证：A-B>0； (2)试比较A 、B 、C 的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）A-B=222222(21)a a a a a a -+-=-=- ∵1>a ，∴0,210a a >-> ∴A-B>0(2) ∵C-B=22224222(1)10a a a a a -+-=-+=-+> ∴C>B∵A-C=22222242(2)(1)a a a a a a a a -+-+-=+-=+- ∵1>a ，∴20,10a a +>-> ∴A>C>B【变式2】如图，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 是______．【答案】解：设n 为正整数，由题意得 ⎩⎨⎧>+⨯>-.1001342,100)12(5n n 解得⋅>887n 则n 可取的最小正整数为11．若x 为奇数，即x ＝21时，y ＝105；若x 为偶数，即x ＝22时，y ＝101． ∴满足条件的最小正整数x 是21．类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用4．宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到550名，其中有面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班的学生．由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可多招20%，“宏志班”学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名? 【思路点拨】根据招生人数列等式，根据今年招生最多比去年增加100人列不等式. 【答案与解析】设去年招收“宏志班”学生x 名，普通班学生y 名，由条件得550,10%20%100.x y x y +=⎧⎨+≤⎩将y ＝550-x 代入不等式，可解得x ≥100，于是(1+10%)x ≥110．故今年最少可招收“宏志班”学生110名．【总结升华】本题属于列方程与不等式组综合题. 举一反三：【变式】为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交通秩序，若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人?共有多少个交通路口安排值勤?【答案】设这个学校选派值勤学生x 人，共到y 个交通路口值勤．根据题意得478,48(1)8.x y x y -=⎧⎨≤--<⎩①②由①可得x ＝4y+78，代入②，得4≤78+4y-8(y-1)＜8，解得19.5＜y ≤20.5．根据题意y 取20，这时x 为158，即学校派出的是158名学生，分到了20个交通路口安排值勤．5．已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ， ① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 【思路点拨】（1）由于k 为此方程的一个实数根，故把k 代入原方程，即可得到关于k 的一元二次方程，①把k=m 代入关于k 的方程，即可求出m 的值；②由于k 为原方程的非零实数根，故把方程两边同时除以k ，便可得到关于y 与m 的关系式；（2）先求出根的判别式，再根据m 的取值范围讨论△的取值即可．【答案与解析】（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =.∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程， ∴ m ≠ 2. ∴ m= 1.② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=. 整理，得 1()21m k k m k +-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图）当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4；当1＜m ＜2时，1＜∆＜4.∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. 【总结升华】和一元二次方程的根有关的问题往往可以借助于二次函数图象解决，数形结合使问题简化. 举一反三：【变式1】已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，k 为正整数．（1）求k 的值（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k ﹣1的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，求平移后的图象的解析式．【答案】解：（1）∵方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，∴△=42﹣4×2×（k ﹣1）≥0，∴k≤3．又∵k 为正整数，∴k=1或2或3．（2）当此方程有两个非零的整数根时，当k=1时，方程为2x 2+4x=0，解得x 1=0，x 2=﹣2；不合题意，舍去．当k=2时，方程为2x 2+4x+1=0，解得x 1=﹣1+，x 2=﹣1﹣；不合题意，舍去．当k=3时，方程为2x 2+4x+2=0，解得x 1=x 2=﹣1；符合题意．因此y=2x 2+4x+2的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，得出y=2x 2﹣2．【变式2】已知：关于x 的方程()0322=-+-+k x k x （1）求证：方程()0322=-+-+k x k x 总有实数根；（2）若方程()0322=-+-+k x k x 有一根大于5且小于7，求k 的整数值； (3)在⑵的条件下，对于一次函数b x y +=1和二次函数2y =()322-+-+k x k x ，当71<<-x 时，有21y y >，求b 的取值范围．【答案】⑴证明：∵△=(k －2)2－4(k －3)=k 2－4k +4－4k +12= k 2－8k +16=(k －4)2≥0∴此方程总有实根。

中考数学专题复习《方程与不等式》测试卷-附带答案

中考数学专题复习《方程与不等式》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一单选题1．下列等式变形错误的是（）A ．若 33x y -=- 则 0x y -=B ．若112x x -= 则 12x x -= C ．若 13x -= 则 4x =D ．若 342x x += 则 324x x -=-2．用配方法解一元二次方程2870x x +-= 则方程可化为（）A ．2(4)23x +=B ．2(8)23x +=C ．2(4)9x +=D ．2(8)9x +=3．在解方程3157246x x -+-= 时第一步去分母去分母后结果正确的是（） A ．12(31)12212(57)x x --⨯=+ B ．3(31)1222(57)x x --⨯=+ C ．3(31)322(57)x x --⨯=+D ．3(31)22(57)x x --⨯=+4．下列方程为一元一次方程的是（）A ．+2=3 x yB ．5y =C ．22x x =D ．12y y+= 5．《九章算术》中记载：“今有善田一亩价三百恶田七亩价五百．今并买一顷价钱一万．问善恶田各几何？”其大意是：今有好田1亩价值300钱坏田7亩价值500钱．今共买好坏田1顷（1顷=100亩）价钱10000钱．问好坏田各买了多少亩？设好田买了x 亩坏田买了y 亩则下面所列方程组正确的是（） A ．{x +y =100300x +7500y =10000 B ．{x +y =100300x +5007y =10000 C ．{x +y =1007500x +300y =10000D ．{x +y =1005007x +300y =100006．已知方程组35ax by ax by +=-⎧⎨-=⎩的解是12x y =-⎧⎨=⎩则2a b -的值是（） A ．3B ．－3C ．5D ．－57．如图由矩形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上重叠部分（阴影）的面积是4m 2 广告牌所占的面积是 30m 2（厚度忽略不计）除重叠部分外矩形剩余部分的面积比三角形剩余部分的面积多2m 2 设矩形面积是xm 2 三角形面积是ym 2 则根据题意可列出二元一次方程组为（）A ．{x +y −4=30(x −4)−(y −4)=2B ．{x +y =26(x −4)−(y −4)=2C ．{x +y −4=30(y −4)−(x −4)=2D ．{x −y +4=30x −y =28．为了奖励学习认真的同学班主任老师给班长拿了40元钱让其购买奖品现有单价为4元的A 种学习用品和单价为6元的B 种学习用品可供选择若40元钱恰好花完则班长的购买方案有（） A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种9．若x y < 则下列不等式中不成立的是（）A ．22x y -<-B ．22x y -<-C ．22x y ->- D ．22x y ->-10．已知公式12111R R R =+ （ 12R R ≠ ）则表示 1R 的公式是（） A ．212R RR RR -=B ．212RR R R R =-C ．1212()R R R R R +=D ．212RR R R R=-二填空题11．已知2x =是方程230x x m -+=的解则m 的值为． 12．已知a ＝120222023+ b ＝120232023+ c ＝120242023+ 则代数式 2（a 2＋b 2＋c 2-ab-bc-ac ）的值是．13．若一元二次方程 22(1)310k x x k -++-= 有一个根为 0x = 则k= ．14．今年春节某超市组装了甲乙两种礼品盆他们都是由 ,,a b c 三种零食组成其中甲礼品盒装有3千克 a 零食 1千克 b 零食 1千克 c 零食乙礼品盒装有2千克 a 零食 2千克 b 零食 2千克 c 零食甲乙两种礼品盒的成本均为盆中 ,,a b c 三种零食的成本之和.已知每千克 a 的成本为10元乙种礼品盒的售价为60元每盒利润率为25%甲种每盒的利润率为50%当甲乙两种礼盒的销售利润率为13时该商场销售甲乙两种礼盒的数量之比是 . 三解答题15．计算：（1）解方程组：{y =2x −5 ①7x −3y =20 ② （2）解不等式：32523x x --> （3）解不等式组：523923x x ->⎧⎨-<⎩（4）解不等式组：{5x −12≤2(4x −3)x+42<3−6x−1616．解方程：241x - + 21x + ＝ 1xx - 17．小红和小凤两人在解关于x y 的方程组 {ax +3y =5 ，bx +2y =8 .时小红只因看错了系数a 得到方程组的解为 {x =−1 ，y =2 . 小凤只因看错了系数b 得到方程组的解为 {x =1 ，y =4 .求a b 的值和原方程组的解.18．阅读理解下列材料然后回答问题：解方程:x²-3|x|+2=0解：（1）当x≥0时原方程化为x²-3x+2=0 解得： 1x =2 2x =1 （ 2 ）当x ＜0时原方程化为x²+3x+2=0 解得： 1x =1 2x =-2. ∴原方程的根是 1x =2 2x =1 3x =1 4x =-2. 请观察上述方程的求解过程试解方程x²-2|x-1|-1=0.19．如图在矩形ABCD 中剪去正方形ABFE 后剩下的矩形EFCD 与原矩形ABCD 相似．求矩形ABCD 的宽和长的比．20．为了丰富市民的文化生活我市某景点开放夜游项目．为吸引游客组团来此夜游特推出了如下门票收费标准：标准一：如果人数不超过20人门票价格为60元/人标准二：如果人数超过20人每超过1人门票价格降低2元但门票价格不低于50元/人．（1）当夜游人数为15人时人均门票价格为元当夜游人数为25人时人均门票价格为元（2）若某单位支付门票费用共1232元则该单位这次共有多少名员工去此景点夜游？21．已知 422(2)50a a b y y+--+= 是关于y 的一元一次方程.（1）求 ,a b 的值. （2）若 2a x =-是 2211632x x x m--+-+= 的解求 b m a m +-- 的值.22．新冠疫情以来口罩成为了生活和工作的必需品.某口罩生产企业主要生产过滤式和供气式两种口罩.有过滤式口罩机和供气式口罩机各 10 台统计发现去年每台过滤式口罩机的产量比每台供气式口罩机多 60 万个过滤式口罩的出厂价为 0.2 元/个供气式口罩的出厂价为 4 元/个两种口罩全部售出总销售额为 10200 万元.（1）去年每台供气式口罩机的产量为多少万个？（2）今年为了加大口罩供应量该企业优化了生产方法在保持口罩机数量不变的情况下预计每台过滤式口罩机和供气式口罩机的产量将在去年基础上分别增加 2%a 和 %a .由于过滤式口罩更受市场欢迎出厂价将在去年的基础上上涨 %a 而供气式口罩的出厂价保持不变两种口罩全部售出后总销售额将增加20%17a 求 a 的值. 23．定义一种新运算“a ⊗ b”：当a≥b 时 a ⊗ b=a+2b 当a ＜b 时 a ⊗ b=a-2b.例如：3 ⊗ (-4)=3(8)(5)+-=- ()61262430-⊗=--=- .（1）填空：（-3） ⊗ （-2）=（2）若 (34)(5)(34)2(5)x x x x -⊗+=-++ 则x 的取值范围为（3）已知 (57)(2)1x x -⊗-> 求x 的取值范围（4）利用以上新运算化简： ()()2235102m m m m ++⊗- .答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】A.若 33x y -=- 则 0x y -= 正确B.若112x x -= 两边同乘以2 则 22x x -= 故错误 C.若 13x -= 则 4x = 正确 D.若 342x x += 则 324x x -=- 正确故答案为：B.【分析】等式的基本性质：（1）等式两边同加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等（2）在不等式两边同乘一个数或除以一个不为0的数结果仍相等。

【精选推荐】中考数学复习第二单元方程(组)与不等式(组)(分式方程的解法及应用)全新完整版

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第二单元方程(组)与不等式(组)
（六）分式方程的解法及应用
知识梳理
目
知识过关
录
课堂检测
第1部分第二单元方程(组)与不等式(组)
知识梳理
一、分式方程的概念分母中含未知数的方程叫做分式方程．二、分式方程的解法
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第1部分第二单元方程(组)与不等式(组)
例解方程：21x＝x－2 3. 解：方程两边乘2x(x－3)，得x－3＝4x. 解得x＝－1. 检验：当x＝－1时，2x(x－3)≠0. ∴原分式方程的解为x＝－1.
用3
700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的
3 2
倍，但进价比第一批每件多了5元．
(1)第一批仙桃每件进价是多少元？
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第1部分第二单元方程(组)与不等式(组)
(2)原定以每件225元的价格销售第二批仙桃，但为了尽快售完，决定打折促销．要使得销售利润为 350 元，则第二批仙桃每件应打几折出售？(利润＝售价－进价)
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第1部分第二单元方程(组)与不等式(组)
3．解分式方程： (1)x＋1 2＝x－3 1； (2)xx＋－22－2－4 x＝2. 解：(1)方程两边乘(x＋2)(x－1)，得x－1＝3(x ＋2)．解得x＝－72. 检验：当x＝－72时，(x＋2)(x－1)≠0. ∴x＝－27是原分式方程的解．
(2)工程问题
基本数量关系：工作时间＝工工作作效总率量常量见关等系注则原甲甲工工意工的的作作：作工工总1时题效作作量间干率总效＝中量率－未工－改告作乙乙善工诉效的的后作工率工工工总作作作作量总总效效量量率率时＝＝工提时作前间总完差量成可的以时看间作整体“1”，

中考数学专题复习——方程与不等式

中考数学专题复习——方程与不等式本专题主要讲解方程和不等式两部分，其内容包括一元一次方程、一元二次方程、可化为一元一次方程（一元二次方程）的分式方程、二元一次方程组、一元一次不等式和一元一次不等式组的概念、解法及其应用。

在概念方面，一元一次方程中一次项系数不为零；一元二次方程中二次项系数也不为零。

方程的解法上，一元一次方程按其一般步骤求解；二元一次方程组中，解题的基本思想是“消元”，即代入消元法和加减消元法；一元二次方程的求解，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。

而因式分解法它体现方程“降次求解”的基本思想，公式法更具有一般性。

同学们在求解方程时应灵活选用，值得注意的是分式方程求解，要验根。

对于一元一次不等式（组）的求解，要熟练地掌握不等式的基本性质，它是不等式求解的基础，在解不等式（组）时，若不等式两边同时乘以或除以同一个负数时不等号方向要改变。

而不等式组的解是每个不等式解的公共部分，它常通过数轴这一步骤来得到不等式解的。

本专题的内容在初中知识结构上占较重要的位置，是各地市中考题中重要的考查内容。

一、典型例题导析例1、若关于x 的一元一次方程23132x k x k---=的解是x ＝－1，则k 的值是（）A 、27B 、1C 、1311- D 、0例2、方程242x x +=的正根为（）Ａ．2Ｂ．2 Ｃ．2- Ｄ．2-+例3、解不等式组：302(1)33x x x+>⎧⎨-+≥⎩，并判断x =例4、若关于x 的不等式组3,3 1.x m x m >+⎧⎨<-⎩无解，试判断方程21(3)04m x x --+= 的根的情况。

例5、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格见价目表．若某户居民月份用水8m3，则应收水费：2×6＋4×(8－6)＝20元．（1）若该户居民月份用水12.5m3，则应收水费______元；（2）若该户居民3、4月份共用水15m3（4月份用水量超过3月份），共交水费44元，则该户居民，3、4月份各用水多少立方米？二、选讲题，两地分别库存挖掘机16台和12台，现在运往甲、乙两地支援※例6、某公司在A B建设，其中甲地需要15台，乙地需要13台．从A地运一台到甲、乙两地的费用分别是500元和400元；从B地运一台到甲、乙两地的费用分别是300元和600元．设从A地运往甲地x台挖掘机，运这批挖掘机的总费用为y元．（1）请填写下表，并写出y与x之间的函数关系式；（2）公司应设计怎样的方案，能使运这批挖掘机的总费用最省？※例7、青青商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元．（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润=售价进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案；（3）在“五·一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果）。

中考数学考点系统复习第二章方程(组)与不等式(组) 第四节一元一次不等式(组)及其应用

4．(2021·荆门第 15 题 3 分)关于 x 的不等式组1＋32x≥x－1 恰有 2 个
整数解，则 a 的取值范围是 5≤5a≤＜a＜6. 6
2x≥x－1， ① 5．(2021·武汉第 17 题 8 分)解不等式组4x＋10>x＋1 ②请按下列步骤完成解答． (1)解不等式①，得 x≥x≥－－11； (2)解不等式②，得 x＞x＞－－33；
3x－2≥1， (2021·通辽)若关于 x 的不等式组2x－a<5 有且只有 2 个整数解，则 a 的取值范围是－1－<a1<a≤≤11..
【思路点拨】先求出不等式组的解集(用含字母 a 的代数式表示)，再根据不等式组有且只有 2 个整数解，可推出 a 的取值范围．
解含参不等式(组)的 8 个“母题”： (1)若不等式 ax>a 的解集是 x>1，则 a>0； (2)若不等式 x>a 的解集是 x>2，则 a＝2；
第四节一元一次不等式(组) 及其应用
命题点 1：一元一次不等式组的解法及解集表示(近 3 年考查 18 次)
x－1＜－3， 1．(2020·黄石第 6 题 3 分)不等式组2x＋9≥3 的解集是
(
C)
A．－3≤x＜3
B．x≥－2
C．－3≤x＜－2
D．x≤－3
x－4≤2(x－1)，
某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同，已知篮球的单价比足球单价的 2 倍少 30 元，用 1 200 元购买足球的数量是用 900 元购买篮球数量的 2 倍．
(1)足球和篮球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共 200 个，但要求足球和篮球的总费用不超过 15 500 元，学校最多可以购买多少个篮球？

重难点含参类方程与不等式问题中考数学复习

重难点突破含参类方程与不等式问题目录题型01 根据分式方程解的情况求字母的值或取值范围题型02 整式方程（组）与一元一次不等式组结合求参数的问题题型03 同解方程组题型04 根据二元一次方程组解满足的情况求参数题型05 二元一次方程组整数解问题题型06 利用相反数求二元一次方程组参数题型07 已知方程的解求参数题型08 根据一元二次方程根的情况求参数题型09 根据一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围题型10 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围题型11整式方程（组）与一元一次不等式结合求参数的问题题型01 根据分式方程解的情况求字母的值或取值范围1．（2023·山东淄博·中考真题）已知x =1是方程m2−x −1x−2=3的解，那么实数m 的值为（）A ．−2B ．2C ．−4D ．42．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程ax +2=1−3x +2的解为负数，则a 的取值范围是（）A ．a <−1且a ≠−2B ．a <0且a ≠−2C ．a <−2且a ≠−3D ．a <−1且a ≠−33．（2023·山东日照·中考真题）若关于x 的方程xx−1−2=3m2x−2解为正数，则m 的取值范围是（）A ．m >−23B ．m <43C ．m >−23且m ≠0D ．m <43且m ≠234．（2023·四川巴中·中考真题）关于x 的分式方程x +mx−2+12−x =3有增根，则m = ．5．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x 的分式方程2x−1=mx 有正整数解，则整数m 的值是（）A ．3B ．5C ．3或5D ．3或4题型02 整式方程（组）与一元一次不等式组结合求参数的问题6．（2020·重庆·中考真题）若关于xx +3≤a的解集为x ≤a ；且关于y 的分式方程y−a y−2+3y−4y−2=1有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之积是（）A ．7B ．－14C ．28D ．－567．（2023·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组x +32≤42x−a ≥2，至少有2个整数解，且关于y 的分式方程a−1y−2+42−y =2有非负整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是．8．（2024·重庆·模拟预测）已知关于x 的一元一次不等式组2(3−x )+1<−xx +a−2<0有解且最多5个整数解，且关于y 的分式方程y +ay−3−3=43−y 的解为正整数，则满足条件的所有整数a 的和为．9．（2024·重庆开州·二模）若关于x 的方程x +22−x+ax x−2=−2有正整数解，且关于y 的不等式组2y−43<22a−y−1≤0至少有两个整数解，则符合条件的所有整数a 的和为．10．（2024·四川成都·模拟预测）若整数a 使得关于x 的分式方程ax−122−x+3=xx−2有整数解，且使得二次函数y =(a−2)x 2+2(a−1)x +a +1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a 的值之和是．题型03 同解方程组11．（2020·广东·中考真题）已知关于x，y的方程组ax+23y=−103x+y=4与x−y=2x+by=15的解相同．（1）求a，b的值；（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．12．（2021·广东·二模）解关于x、y的方程组时，小明发现方程组ax+by=2x−y=8的解和方程组5x+2y=b2x+3y=−9的解相同．(1)求方程组的解；(2)求关于t的方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0的解．题型04 根据二元一次方程组解满足的情况求参数13．（2023·四川眉山·中考真题）已知关于x,y的二元一次方程组3x−y=4m+1x+y=2m−5的解满足x−y=4，则m 的值为（）A．0B．1C．2D．314．（2022·山东聊城·中考真题）关于x，y的方程组2x−y=2k−3x−2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（）A．k≥8B．k>8C．k≤8D．k<815．（2023·四川泸州·中考真题）关于x，y的二元一次方程组2x+3y=3+ax+2y=6的解满足x+y>22，写出a的一个整数值．16．（2024·浙江宁波·模拟预测）若关于x，y的方程组2x−y=5kx+y=4k+3的解满足x−y≤5，则k的取值范围是．题型05 二元一次方程组整数解问题17．（2022·广东揭阳·模拟预测）如果关于x，y的方程组4x−3y=66x+my=26的解是整数，那么整数m的值为（）A．4，−4，−5，13B．4，−4，−5，−13C．4，−4，5，13D．−4，5，−5，1318．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）关于x，y的二元一次方程组kx+y=43x+y=0的解为整数，关于z的不等式组3z＞z−44z−2k−13≤1有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数k的和为（）A．6B．7C．11D．1219．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）已知关于x,y的二元一次方程组ax+2y=612x−y=1的解为整数，且关于z的方程z−a2−z3=1的解为非负数，求满足条件的所有整数a的和为（）A．2B．4C．9D．11题型06 利用相反数求二元一次方程组参数20．（2022·四川南充·二模）已知x、y满足方程组x+2y=2m−12x+y=5，且x与y互为相反数，则m的值为（）A．m=−2B．m=2C．m=−3D．m=321．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知关于x，y的方程组3x−5y=2ax−2y=a−5则下列结论中正确的是（）①当a=5时，方程组的解是x=10y=20；②当x，y的值互为相反数时，a=20；③当2x⋅2y=212时，a=14；④不存在一个实数a，使得x=y．A．①②④B．①②③C．②③④D．②③22．（2021·内蒙古包头·二模）若满足方程组4x+y=3m+32x−y=m−1的x与y互为相反数，则m的值为（）A．2B．−2C．11D．−11题型07 已知方程的解求参数23．（2023·湖南永州·中考真题）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为（）A．3B．−3C．7D．−724．（2021·浙江金华·中考真题）已知x=2y=m是方程3x+2y=10的一个解，则m的值是．25．（2023·江苏镇江·中考真题）若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根，则m的值为．26．（2023·四川内江·中考真题）已知a、b是方程x2+3x−4=0的两根，则a2+4a+b−3=．题型08 根据一元二次方程根的情况求参数27．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程x2−(2k−2)x+k2−1=0有两个实数根，则(k−1)2−(2−k )2的化简结果是（）A ．−1B ．1C ．−1−2kD ．2k−328．（2023·江苏连云港·中考真题）若关于x 的一元二次方程x 2−2x +m =0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．29．（2021·四川内江·中考真题）若关于x 的一元二次方程ax 2+4x−2=0有实数根，则a 的取值范围为．30．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x 的一元二次方程x 2+2x +3−k =0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若方程的两个根为α，β，且k 2=αβ+3k ，求k 的值．题型09 根据一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围31．（2023·广东潮州·二模）如果关于x 的不等式组6x−m ≥05x−n <0的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对(m,n )共有（）A ．42对B ．36对C ．30对D ．11对32．（2024·河南安阳·一模）已知不等式组2(x−1)>3x +12x <a，有四个整数解，则a 的取值范围为．33．（2023·四川宜宾·中考真题）若关于x+1>x +a①1≥52x−9②所有整数解的和为14，则整数a 的值为．题型10 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围34．（2023·湖北鄂州·中考真题）已知不等式组x−a >2x +1<b的解集是−1<x <1，则(a +b )2023=（）A ．0B ．−1C ．1D ．202335．（2023·湖北黄石·中考真题）若实数a 使关于x 的不等式组−2<x−1<3x−a >0的解集为−1<x <4，则实数a的取值范围为．36．（2023·山东聊城·≥x−23≥x的解集为x ≥m ，则m 的取值范围是．题型11 整式方程（组）与一元一次不等式结合求参数的问题37．（2022·四川泸州·中考真题）若方程x−3x−2+1=32−x 的解使关于x 的不等式(2−a )x−3>0成立，则实数a 的取值范围是．38．（2023·四川泸州·一模）已知方程3−a a−4−a =14−a ，且关于x 的不等式a ≤x <b 只有3个整数解，则b 的取值范围是．39．（2021·湖北荆州·中考真题）已知：a 是不等式5(a−2)+8<6(a−1)+7的最小整数解，请用配方法解关于x 的方程x 2+2ax +a +1=0．40．（2022·江苏苏州·一模）若不等式3x +2≤4x−1的最小整数解是方程23x−13mx =1的解，求m 的值．重难点突破含参类方程与不等式问题解析目录题型01 根据分式方程解的情况求字母的值或取值范围题型02 整式方程（组）与一元一次不等式组结合求参数的问题题型03 同解方程组题型04 根据二元一次方程组解满足的情况求参数题型05 二元一次方程组整数解问题题型06 利用相反数求二元一次方程组参数题型07 已知方程的解求参数题型08 根据一元二次方程根的情况求参数题型09 根据一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围题型10 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围题型11整式方程（组）与一元一次不等式结合求参数的问题原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！题型01 根据分式方程解的情况求字母的值或取值范围1．（2023·山东淄博·中考真题）已知x =1是方程m2−x −1x−2=3的解，那么实数m 的值为（）A ．−2B ．2C ．−4D ．4【答案】B 【分析】将x =1代入方程，即可求解．【详解】解：将x =1代入方程，得m2−1−11−2=3解得：m =2故选：B ．【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将x =1代入原方程中得到关于m 的方程．2．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程ax +2=1−3x +2的解为负数，则a 的取值范围是（）A ．a <−1且a ≠−2B ．a <0且a ≠−2C ．a <−2且a ≠−3D ．a <−1且a ≠−3【详解】解：去分母得：a =x +2−3，解得：x =a +1，∵分式方程ax +2=1−3x +2的解是负数，∴a +1<0，x +2≠0，即a +1+2≠0，解得：a <−1且a ≠−3，故选：D ．【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题关键．3．（2023·山东日照·中考真题）若关于x的方程xx−1−2=3m2x−2解为正数，则m的取值范围是（）A．m>−23B．m<43C．m>−23且m≠0D．m<43且m≠234．（2023·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程x+mx−2+12−x=3有增根，则m=．∴m =2x−5=−1，故答案为：−1．【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根．5．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x 的分式方程2x−1=mx 有正整数解，则整数m 的值是（）A ．3B ．5C ．3或5D ．3或4题型02 整式方程（组）与一元一次不等式组结合求参数的问题6．（2020·重庆·中考真题）若关于x x +3≤a的解集为x ≤a ；且关于y 的分式方程y−a y−2+3y−4y−2=1有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之积是（）A ．7B ．－14C ．28D ．－56【答案】A【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a 的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a 的值，求出之和即可．7．（2023·重庆·中考真题）若关于x的一元一次不等式组2≤42x−a≥2，至少有2个整数解，且关于y的分式方程a−1y−2+42−y=2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是．解得：a≥1且a≠5∴a的取值范围是1≤a≤6，且a≠5∴a可以取：1，3，∴1+3=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．8．（2024·重庆·模拟预测）已知关于x的一元一次不等式组2(3−x)+1<−xx+a−2<0有解且最多5个整数解，且关于y的分式方程y+ay−3−3=43−y的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为．故答案为：−20．9．（2024·重庆开州·二模）若关于x的方程x+22−x +axx−2=−2有正整数解，且关于y的不等式组2y−43<22a−y−1≤0至少有两个整数解，则符合条件的所有整数a的和为．故答案为：1．10．（2024·四川成都·模拟预测）若整数a使得关于x的分式方程ax−122−x +3=xx−2有整数解，且使得二次函数y=(a−2)x2+2(a−1)x+a+1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是．题型03 同解方程组11．（2020·广东·中考真题）已知关于x，y的方程组ax+23y=−103x+y=4与x−y=2x+by=15的解相同．（1）求a，b的值；（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．12．（2021·广东·二模）解关于x、y的方程组时，小明发现方程组ax+by=2x−y=8的解和方程组5x+2y=b2x+3y=−9的解相同．(1)求方程组的解；(2)求关于t的方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0的解．题型04 根据二元一次方程组解满足的情况求参数13．（2023·四川眉山·x,y的二元一次方程组3x−y=4m+1x+y=2m−5的解满足x−y=4，则m 的值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【分析】将方程组的两个方程相减，可得到x−y=m+3，代入x−y=4，即可解答．【详解】解：3x−y=4m+1①x+y=2m−5②，①−②得2x−2y=2m+6，∴x−y=m+3，代入x−y=4，可得m+3=4，解得m=1，故选：B．【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．14．（2022·山东聊城·中考真题）关于x，y的方程组2x−y=2k−3x−2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（）A．k≥8B．k>8C．k≤8D．k<8【答案】A【分析】由两式相减，得到x+y=k−3，再根据x与y 的和不小于5列出不等式即可求解．【详解】解：把两个方程相减，可得x+y=k−3，根据题意得：k−3≥5，解得：k≥8．所以k的取值范围是k≥8．故选：A．【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键．2，写出15．（2023·四川泸州·中考真题）关于x，y的二元一次方程组2x+3y=3+ax+2y=6的解满足x+y>2a的一个整数值．16．（2024·浙江宁波·模拟预测）若关于x，y的方程组2x−y=5kx+y=4k+3的解满足x−y≤5，则k的取值范围是．【答案】k≤3【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的解法，把方程组的解求出，即用k表示出x、y，代入不等式x−y≤5，转化为关于k的一元一次不等式，可求得k的取值范围．【详解】解：2x−y=5k①x+y=4k+3②由①+②可得：3x=9k+3，所以：x=3k+1③把③代入②得：3k+1+y=4k+3，解得：y=k+2，代入x−y≤5可得：3k+1−(k+2)≤5，解得：k≤3，故答案为：k≤3．题型05 二元一次方程组整数解问题17．（2022·广东揭阳·模拟预测）如果关于x，y的方程组4x−3y=66x+my=26的解是整数，那么整数m的值为（）A．4，−4，−5，13B．4，−4，−5，−13C．4，−4，5，13D．−4，5，−5，13318．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）关于x，y的二元一次方程组kx+y=43x+y=0的解为整数，关于z的不等式组3z＞z−44z−2k−13≤1有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数k的和为（）A．6B．7C．11D．1219．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）已知关于x,y的二元一次方程组12x−y=1的解为整数，且关于z的方程z−a2−z3=1的解为非负数，求满足条件的所有整数a的和为（）A．2B．4C．9D．11题型06 利用相反数求二元一次方程组参数20．（2022·四川南充·二模）已知x、y满足方程组x+2y=2m−12x+y=5，且x与y互为相反数，则m的值为（）A．m=−2B．m=2C．m=−3D．m=3【答案】A【分析】根据题意可得x+y=0，由方程组的解法可得3x+3y=2m+4，代入计算即可．【详解】解：x+2y=2m−1①2x+y=5②，①+②得，3x+3y=2m+4，即3（x+y）=2m+4，又∵x与y互为相反数，∴x+y=0，即2m+4=0，解得m=-2，故选：A．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法以及相反数的定义是正确解答的前提．21．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知关于x，y的方程组3x−5y=2ax−2y=a−5则下列结论中正确的是（）①当a=5时，方程组的解是x=10y=20；②当x，y的值互为相反数时，a=20；③当2x⋅2y=212时，a=14；④不存在一个实数a，使得x=y．A．①②④B．①②③C．②③④D．②③由题意得：x+y=12，把x=25−ay=15−a代入得：25-a+15-a =12，解得：a=14，本选项正确；④若x=y，则有−2x=2a−x=a−5，可得a=a-5，矛盾，故不存在一个实数a使得x=y，本选项正确．则正确的选项有②③④，故选：C．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．22．（2021·内蒙古包头·二模）若满足方程组4x+y=3m+32x−y=m−1的x与y互为相反数，则m的值为（）A．2B．−2C．11D．−11题型07 已知方程的解求参数23．（2023·湖南永州·中考真题）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为（）A．3B．−3C．7D．−7【答案】A【分析】把x=1代入2x+m=5再进行求解即可．【详解】解：把x=1代入2x+m=5得：2+m=5，解得：m=3．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤．24．（2021·浙江金华·中考真题）已知x=2y=m是方程3x+2y=10的一个解，则m的值是．【答案】2【分析】把解代入方程,得6+2m=10，转化为关于m的一元一次方程，求解即可．【详解】∵x=2y=m是方程3x+2y=10的一个解，∴6+2m=10，解得m=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一次方程求解是解题的关键．25．（2023·江苏镇江·中考真题）若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根，则m的值为．26．（2023·四川内江·中考真题）已知a、b是方程x2+3x−4=0的两根，则a2+4a+b−3=．【答案】−2【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得a+b=−3,a2+3a−4=0，从而得到a2+3a=4，然后代入，即可求解．【详解】解：∵a，b是方程x2+3x−4=0的两根，∴a+b=−3,a2+3a−4=0，∴a2+3a=4，∴a2+4a+b−3=a2+3a+a+b−3=4+(−3)−3=−2．故答案为：−2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．题型08 根据一元二次方程根的情况求参数27．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程x2−(2k−2)x+k2−1=0有两个实数根，则(k−1)2−(2−k)2的化简结果是（）A．−1B．1C．−1−2k D．2k−328．（2023·江苏连云港·中考真题）若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．【答案】m<1【分析】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，∴Δ=4−4m>0，解得：m<1．故答案为：m<1．29．（2021·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程ax2+4x−2=0有实数根，则a的取值范围为．30．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程x2+2x+3−k=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程的两个根为α，β，且k2=αβ+3k，求k的值．题型09 根据一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围31．（2023·广东潮州·二模）如果关于x的不等式组6x−m≥05x−n<0的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对(m,n)共有（）A．42对B．36对C．30对D．11对33．（2023·四川宜宾·中考真题）若关于x +1>x+a①1≥52x−9②所有整数解的和为14，则整数a的值为．综上，整数a的值为2或−1故答案为：2或−1．【点睛】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数的意义是解题的关键．题型10 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围34．（2023·湖北鄂州·中考真题）已知不等式组x−a>2x+1<b的解集是−1<x<1，则(a+b)2023=（）A．0B．−1C．1D．202335．（2023·湖北黄石·中考真题）若实数a使关于x的不等式组−2<x−1<3x−a>0的解集为−1<x<4，则实数a 的取值范围为．【答案】a≤−1/−1≥a【分析】根据不等式的性质解一元一次不等组，再根据不等式组的取值方法即可且求解．【详解】解：−2<x−1<3①x−a>0②，由①得，−1<x <4；由②得，x >a ；∵解集为−1<x <4，∴a ≤−1，故答案为：a ≤−1．【点睛】本题主要考查解不等式组，求不等式组解集，掌握解不等式组的方法，不等组的取值方法等知识是解题的关键．题型11 整式方程（组）与一元一次不等式结合求参数的问题37．（2022·四川泸州·中考真题）若方程x−3x−2+1=32−x 的解使关于x 的不等式(2−a )x−3>0成立，则实数a 的取值范围是．把x =1代入不等式(2−a )x−3>0得：2−a−3>0解得a <−1故答案为：a <−1【点睛】本题综合考查分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解题的关键是熟记相关运算法则．38．（2023·四川泸州·一模）已知方程3−a a−4−a =14−a ，且关于x 的不等式a ≤x <b 只有3个整数解，则b 的取值范围是．39．（2021·湖北荆州·中考真题）已知：a 是不等式5(a−2)+8<6(a−1)+7的最小整数解，请用配方法解关于x 的方程x 2+2ax +a +1=0．25 / 3140．（2022·江苏苏州·一模）若不等式3x +2≤4x−1的最小整数解是方程23x−13mx =1的解，求m 的值．。