条件c-正规子群对有限群结构的影响

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极小弱c-正规子群对有限群结构的影响

规子群．个群系是饱和的，果Ｇ（ ∈ 则一如／Ｇ）ＧＥ在本文中，Ｕ表示所有超可解群类，然Ｕ是显
１初等结果引理１１１设Ｇ为有限群，：．【］则
（）１如果Ｈ在Ｇ中正规（正规）则Ｈ在Ｇ中，
的极小子群具有较好的性质去研究有限群结构是一
个令人感兴趣的问题．ｕｋｅＢｃｌｙ证明了：果奇阶群如Ｇ的极小子群在Ｇ中正规，Ｇ是超可解群．则后来，
Ｓａｎ证明了：限群Ｇ的极小子群及４阶循环子ｈＭａ有群在Ｇ中Ｔ拟正规，Ｇ是超可解群．ｍａａ［【一则Ｒａｄｎ２
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・１・６
内江师范学院学报
ＪＯｕＲＮＡＬＯＦＮＥＩＩＪＡＮＧＮＯＲＭＡＬＵＮＩＶＥＲＳＴＹＩ
第ｚ３卷第６期
Ｎｏ６Ｖｏ．３．１２
极小弱ｃ正规子群对有限群结构的影响一
个极小子群在ＮｃＰ）正规，Ｇ超可解群．文（中则本
在群系的条件获得了下面的命题：设是包含Ｕ的
一
饱和群系．假设Ｎ是有限群Ｇ的一可解正规子群
子群在Ｇ中弱Ｃ正规，Ｇ∈ 本文利用极小子群一则
２主要结果
使得Ｇ／如果ＦＮ）Ｎ∈ （的极小子群或４阶循环的弱正规性得到了超可解群的一些充分条件，并推广了一些已知结果．

【精品】有限群的几乎次正规子群及可解性

【关键字】精品有限群的几乎次正规子群与可解性摘要：引进几乎次正规子群的概念，应用某些子群的几乎次正规性给出了有限群为可解群的若干充分条件。

关键词：几乎次正规子群可解群有限群在群论中，人们常常利用有限群g的子群的性质来研究原群的结构。

1996年王燕鸣引进了c-正规的概念，称有限群g的子群h在g中c-正规的，如果存在g的正规子群k，使得g=hk且h∩k≤hg。

2003年张新建等减弱c-正规的条件，给出了s-正规子群的概念，称有限群g的子群h在g中s-正规的, 如果存在g的次正规子群k，使得g=hk且h∩khsg,其中hsg是包含在h中的g的最大次正规子群。

2006年杨高才从另一个方面减弱了c-正规的条件，给出了几乎正规子群的概念，称有限群g的子群h在g中几乎正规，如果存在g的正规子群n，使得nh和n∩h都是g的正规子群。

本文将引入一个比s-正规和几乎正规更加广泛的概念——几乎次正规，并研究某些子群具有几乎次正规性质的有限群的结构。

文中的所有群皆为有限群，soc(g)表示g的基柱；h g表示h是g的正规子群；h g表示h是g 的次正规子群；h≤g表示h是g的子群;h＜g表示h是g的真子群；sylp(g)表示群g的sylowp-子群集合；表示某一素数集；(g)表示|g|的素因子的集；p,q表示素数。

所用的概念和符号参照文献[4]。

1 基本概念定义1 群g的子群h称为在g中几乎次正规，如果存在g的一个次正规子群n，使得nh 和n∩h都是g的次正规子群。

注：显然s-正规子群, 几乎正规子群和次正规子群一定是几乎次正规子群。

但反之不真。

事实上，设g=s4为四次对称群，h1={(1),(1,2,3),(1,3,2)}是g的几乎次正规子群，但不是g 的s-正规子群，也不是g的次正规子群。

h2={(1),(1,2),(3,4)}是g的几乎次正规子群，但不是g的几乎正规子群。

为了获得本文的主要结果，我们先证明下面的引理。

有限群的弱c-正规子群与可解性

作者简介：刘玉凤（９５一）女，１６，山东烟台人，副教授，士，硕主要从事群论研究．
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１Ｏ
淮北煤炭师范学院学报（自然科学版）引理５如果群Ｇ的阶不被２整除，Ｇ是可解群．则
２００７生
是Ｇ的ｓｌｗｙ２一子群．ｏ否则，必存在Ｇ的ｓｌｗｙｏ２一子群（，／２（．；有Ｉ＜；于是Ｍ２Ｎ￣Ｍ２＝（肌（）２／２＜ｃ（）；ｎ２Ｍ２：（ｎＭ＝Ｍ２矛盾．；２，因此由条件及引理１存在Ｇ的次正规子群Ｋ使得Ｇ＝Ｍ２，，Ｋ且ｎＫ＝（）．Ｍ２。（）若（）＝１则由Ｋ是Ｇ的次正规的２一Ｈｌ子群及引理４知Ｋ正规于Ｇ从而ＧＭ２而ａｃ，ａｌ，，／Ｋ，Ｋ为奇阶群，由引理５知，故Ｋ可解，而Ｇ可解．从（）若（） ≠ ｌ作＝Ｇ（），ｂ。，／。显然满足定理条件，以可解，而Ｇ可解．所从由以上证明知，Ｇ是可解群．定理２设为群Ｇ的一Ｈｌ子群，．ａｌ２∈ 若幂零且在Ｇ中弱ｃ一正规，Ｇ是可解群．则证明由于在Ｇ中弱ｃ正规，由引理１存在Ｇ的次正规子群Ｋ使得Ｇ＝Ｈ一故，，Ｋ且肌１Ｋ＝Ｈｃ．１若 ≠１则考察商群Ｇｃ若ｌ／Ｈｌ能被２整除，由引理５知Ｇｃ），／Ｈ．Ｇｃ不则／Ｈ可解．因此得Ｇ可解．若ｌ／Ｈｌ被２整除，Ｇｃ能由条件知，／Ｈ是Ｇ肌的幂零一ｌ子群．Ｈｃ／Ｈａｌ由引理１Ｈ／Ｈ在Ｇｃ中弱，ｃ／Ｈｃ一正规，以定理的条件对商群Ｇｃ承，所／Ｈ继由归纳知Ｇ可解．而得到Ｇ可解．／从２）若Ｈ＝１则Ｋ是Ｇ的次正规的一ｌ子群，ｃ．Ｈａｌ由引理４Ｋ正规于Ｇ于是ＧＨ为幂零的，，．／Ｋ从而可解．又因为Ｋ是Ｇ的一ｌ子群，２，以Ｋ为奇阶群．Ｈａｌ且 ∈ 所由引理５Ｋ可解．，因此Ｇ可解．定理３设为群Ｇ的一Ｈｌ子群，．ａｌ２∈ 若幂零且指数为２的极大子群在Ｇ中弱ｃ一正规，则Ｇ是可解群．证明对Ｇ的阶进行归纳．设为的极大子群，且在中的指数为２由条件，在Ｇ中弱ｃ．一正规．于是由引理１存在Ｇ，的次正规子群Ｋ使得Ｇ＝ＭＫ且ｎＫ＝Ｍｃ．１若Ｍ。，ｌ＿ｌＩ１由假设及２∈ 有ｌ＝，中ｒ是奇数．）：１则ＧＩ．Ｍｌ，ＫＩ２ｔ其ｒｔ设，Ｋ的２一ｌ子为Ｈａｌ群，则，ｈｒＫｃａＧ从而，，Ｇ由于为群Ｇ的一ａｌ群，以，群Ｇ的一Ｈｌ子．Ｈｌ子所为ａｌ群．由引理４，Ｇ且易得Ｇ＝ＭＫ＝Ｈ２因此Ｇ２Ｈ幂零，而可解．因为ｌ＿２ｔｒ是奇数，，，Ｋ，，／Ｋ，从又ＫＩ，ｔｒ根据引理６Ｋ可解，，故，，而Ｇ可解．可解从２）若Ｍｃ１则Ｍ／ＭｃＨ／Ｍｃ的指数为２的极大子群， ≠ ，是由引理１Ｍ／ＭｃＧＭｃ知在／中弱ｃ一正规．Ｇ故／Ｍｃ件继承，而由归纳知Ｇ条从／Ｍ。可解．因此Ｇ可解．定理得证．

某些弱c-正规子群对有限群结构的影响

关键词：ｃ正规子群；弱一超可解群；极大子群；（义）ｉｉｇ广Ｆｔｎ子群；－ｔｐ幂零群
中图分类号：１２１Ｏ５．文献标识码：Ａ文章编号：０１８９（０７０－２００１０ —３５２０）３７－５０
０引言
利用有限群的各类子群描述群的性质，有限在群的研究中占据着重要地位，有方法上的意义．具
的弱Ｃ正规性去讨论群的结构，到了有限群成为一得超可解群或Ｐ幂零群的若干充分条件．一本文中所有群皆为有限群．ＪＧＪ表示Ｇ的阶；Ｍ＜Ｇ表示是ｃ的极大子群；．ＫＧ表示Ｋ是Ｇ次正规子群；表示含于日中Ｇ的极大正规子
Ｍａ，０７ｙ２０Ｖ１３Ｎｏ３ｏ．０．．
某些弱ｃ一正规子群对有限群结构的影响
刘熠，王坤仁
（．￣Ｊ师范大学数学与软件科学学院，１Ｉｌｌｌ四川成都６０６；２１６０．内江师范学院数学系，四川内江６１１）４１２
所有素因子的集合；ＧＭ］［：表示在Ｇ中的指数．
本文没有提及的术语以及定义可参见文［］４．
若 Ⅳ的极大子群在Ｇ中弱ｃ正规， Ⅳ是素数阶循一则
环群．
１定义及引理
定义１１．［设Ｈ是有限群Ｇ的子群，Ｈ在称
说明了弱Ｃ正规不能推出Ｃ正规；一一并且利用Ｓｌｗｙｏ子群、极大子群的弱Ｃ正规性研究了群的结构．一文

一类条件c-正规子群对有限群结构的影响

．
ａｅｉｒｖｄｒｍｐｏｅ．Ｋｅｗｏｄ：ｓｐｒｏｖｂｅｇｏｐ；ｏｄｔｎｃｎｒｌｕｇｏｐ；ｉｉｇｓｂｏｐ；ａｕａｅｏｍａｉｎｙｒｓｕｅｓｌａｌｕｓｃｎｉｏ－ｏｍａｂｒｕｓＦＲｎｇｕｓｓｔｒｔｄｆｒｔｒｉｓｕｒｏ
ＡｂｔａｔＬｔｂｉｉｒｕ．ＡｓｂｒｕｉａｅｏｄｔｎＣｎｎｌ［ｆｈｒ￣ｓｏｍａｕｇｏｐＮｆＧｓｃｓｒｃ：ｅＧｅａｆｔｇｏｐｎｅｕｇｏｐＨｓｃｌｄｃｎｉｏ－ｏｑ。ｉｔｅｅｅｔａｎｒｌｂｒｕｏｕｈｌｉｌａｓｓ
定义３（４ｐ１１［３５）设，为一个非空群系，果，如ＧＦ，为Ｇ的一个极小正规子群，／ＥＦ蕴含ＭＧＭ
群Ｇ为超可解的新判据，推广了文献［】３的一个主要结果．本文考虑的群均为有限，ｎＨ＜Ｇ表示
果的证明完全类似，在此略去．
１定义与引理
收稿日期：２０－３１０８０－８
Ｇ的某些子群的Ｆｔｎｉｉｔｇ子群的条件ｃ一正规性获得
群类，如果，满足下面条件，称，为一个群系：１则（）如果ＧＥＮＧ则ＧＦＥ（），／２如果 Ⅳ，２Ｇ使ｌ， Ⅳ
得ＧＮ，／２贝／２／ｌＮＧＥ０ＮｌＧｎⅣ Ｅ ‘

子群c—正规性对群结构的影响

引理１
设Ｇ为群．
１）如果Ｈ正规于Ｇ，Ｈ必Ｃ正规于Ｇ；则一
２）如果Ｈ为Ｃ正规于Ｇ， ≤ Ｋ≤ Ｇ，Ｈ必Ｃ正规于Ｋ：一Ｈ则一３）设Ｋ≤ Ｈ，Ｇ，为ｃ正规于Ｇ当且仅当Ｈ／为ｃ正规于ＧＫ．ＫＨ一Ｋ／
素子群的ｃ正规性确定了群的亚幂零性和户一．一长
在这篇文章中，们将利用极大子群的ｃ正规性给出一个群为可解群的一个充分必要条件及我一其它结果．文中所有群均为有限群，有交待的概念与符号读者可参见文献［，］没４ｊ．
群．
设Ｇ为有限群，户为ｆ的素因子，－ＳｌＧ）如果Ｍ，）（，Ｇ为户一ＧｆＰＣｙ，（（Ｊ＝Ｐ）则幂零
引理４。
设ｆ：２是奇数，Ｇ必可解．Ｇｆｎ则
收稿日期
２０一ｌ一Ｏ０１２４
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２００２年５月
子群ｃ正规性对群结构的影响～
张新建朱路进朱晓星
（州大学理学院数学系，苏扬州－２０２扬江２０）５
摘
要：Ｇ的一个子群Ｈ称为在６中ｃ一规，果存在一十正规子群，得Ｇ＝群正如使
且ＨＡＧ≤风－
其中Ｈ，ｏｅ（）ｎ＝ＣｒｖＨ一 பைடு நூலகம் ￣
是包含在中的Ｇ的最大正规子群．该文利用于群ｃ正规性给出一个群一

c＊-拟正规嵌入子群对有限群结构的影响

内幂零群，从而Ｇ＝ＰＲ，其中Ｐ为Ｇ的正规Ｓｙｌｏｗｐ－子群，Ｑ是Ｇ的Ｓｙｌｏｗｑ一予群且Ｑ循环．
（２）Ｐ＝２，ｅｘｐ（Ｐ）＝４．
若ｐ＞２，则ｅｘｐ（Ｐ）＝Ｐ，由假设知，Ｐ≤Ｚ（Ｇ）而Ｇ＝ＰＱ＝Ｚ（Ｇ）Ｑ为幂零群，矛盾．故Ｐ＝２，同上
（１）如果Ｈ ≤ ≤Ｇ，则是的Ｃ ‘ 一可补嵌入子群．
收稿日期：２０ｌ３４ —１６基金项目：２０１１年伊犁师范学院教改课题［２０１１０８］．作者简介：古丽洁合热姆・阿卜来（１９７），女（维吾尔族），讲师，研究方向：代数学 ’ 通讯作者：郭继东（１９６５一），男，教授，硕士生导师，研究方向：代数学．
（３）设是Ｇ的一个Ｐ一子群，且Ｈ（Ｇ），则Ｈ在Ｇ中Ｓ一拟正规．
（４）若ＮｑＧ，则删在Ｇ中是ｓ．拟正规嵌入的，且ＨＮ／Ｎ在Ｇ／ Ⅳ中是一拟正规嵌入的．
引理２．２ … 令日是Ｇ的一个Ｃ一可补嵌入子群，则：
１０
伊犁师范学院学报（自然科学版）
２０１３生
（２）如果ⅣｑＧ，且Ⅳ ＨＧ，则 Ⅳ是Ｇ／ Ⅳ的Ｃ ’ 一拟正规嵌入子群．（３）若日是Ｇ的子群，Ｎ是Ｇ的正规子群，则ＨＮ／Ｎ是Ｇ／ Ⅳ的ｃ．一拟正规嵌入子群．
引理２．３ … 若Ｐ是Ｇ的一个一拟正规ｐ一子群，￣Ｕｗｅ（Ｐ）＞－（Ｇ）．

具有给定阶c-正规子群的有限群

子群在Ｇ中ｃ一正规，那么Ｇ是Ｐ一幂零的；２００７年，Ｊａｒａｄｅｎ等证明了：对于Ｇ的任一非循环的
ＳｙｌｏｗＰ一子群Ｐ，如果Ｐ中存在非平凡子群Ｄ且Ｐ的所有阶为１Ｄ１和２１Ｄ１（若尸为非交换２一群且ＩＰ：Ｄｌ＞２）的子群在Ｇ中ｃ一正规，那么Ｇ超可解；２００８年，钟祥贵等］证明了：对于Ｇ的可解正规子群Ｈ且Ｇ／Ｈ超可解，如果Ｆ（Ｈ）的所有Ｓｙｌｏｗ子群的极大子群在Ｇ中条件ｃ一正规，那么Ｇ超可解．一个自然的问题是：如果Ｇ是Ｐ一幂零的，那么Ｇ的Ｓｙｌｏｗ一子群的任意极大子群是否在Ｇ中ｃ一正规呢？答案是否定的．作为对上述问题的深入探讨，笔者在本文中附加了一定条件后得到一些
中图分类号：０１５２．１文献标志码：Ａ文章编号：１００７—８２４Байду номын сангаасＸ（２０１３）０３—０００４—０３
准素子群的广义正规性在群论研究中有着广泛的应用．例如，１９７０年，Ｂｕｃｋｌｅｙ＿】］证明了：如果
Ｖｏ１．１６ＮＯ．３
Ａｕｇ．２０１３
具有给定阶ｃ一正规子群的有限群
汤菊萍，王克科
（扬州大学数学科学学院，江苏扬州２２５００２）

条件置换子群对有限群结构的影响

我们所用的符号及概念都是标准的．于群Ｇ对
ＨＵ —ｈｅｇ，ＧＵＯｕｙｎＹｕｓｎＸｉ — ｕ
（ｃｏｌｆｃｎｅ，ｈｎｈｉｎｅｉ，ｈｎｈｉ０４４ＣｉａＳｈｏｏＳｉｃｓＳａｇａＵｉｒｔＳａｇａ２０４。ｈｎ）ｅｖｓｙ
Ｖ０．３Ｎｏ．１１１
Ｆｂ．２７ｅ００
文章编号：０７２６（０７０．２．５１０．８１２０）１０８００
条件置换子群对有限群结构的影响
胡玉生，郭秀云
（海大学理学院。海２０４）上上０４４
摘要：限群Ｇ的一个子群日称为Ｇ的条件置换子群，有如果对于Ｇ的任意子群，存在 ∈Ｇ，使得盯＝ｒ日．如
关键词：件置换子群；全条件置换子群；大子群；ｉｎ子群条完极Ｆｔｇｔｉ
中图分类号：０１２１５．文献标识码：Ａ
ＩｆｕｎｅｏｎｉｉｎｌｒｎｅｃｆＣｏｄｔａｌＰｅｍｕｔｂｌｕｂｒｕｐｎｈｌｏｙａｅＳｇｏｓｏｔｅＳｒｃｕｅｏｎｔｏｓｔｕｔｒｆＦｉｉｅＧｒｕｐ
ＡｂｔａｔＡｕｇｏｐＨｆａｆｉｅｇｏｐｓｓｉｏｂｏｄｔｎｌｙｐｒｔｂｅｉＧｉｏｖｒｕｇｏｐｓｒｃ：ｓｂｒｕｏｎｔｒｕＧｉａｄｔｅｃｎｉｏａｌｅｍｕａｌｎｆｆｒｅｅｙｓｂｒｕｉｉ

弱c ＊-正规子群与有限群的p-幂零性

广西科学Ｇａｇｉｃｎｅ０８１（）３５２ｕｎｘｉｃｓ２０，５４：２～３９Ｓｅ
弱Ｃ－规子群与有限群的一零性＊正幂
ＷｅｋＣ－ｒａｙｕｇｏｐａａｌｙ＊ｎｏｍｌｔＳｂｒｕｓｎｄ ’ ｎｉｐｔｎｃｏｉｐ－ｌｏｅｙｆＦｉｔｏｐｎｉｅＧｒｕｓ
Ｇ；
（）Ｇ且Ｋ／２ＡＡ＜＜ＧＡ的充分必要条件是￣／
＜Ｇ，则ｎＢＢ；４若为（）
Ｇ；５若＜Ｇ且Ｂ（）
Ｇ的次正规Ｈａ一群，ｌ子ｌ则
正规子群，若存在Ｇ的次正规子群Ｋ使得Ｇ—ＨＫ
引理１１１］Ｇ是群且三Ｋ三Ｇ，二Ｇ，．ｌ三三三Ｂ三三三
并且Ｈ是Ｇ的一ｎＫ拟正规嵌入子群．
则（）ＡＧ且Ｂ１若Ｇ，＜，＞则ＢＫ＜Ｇ；（）３若
Ｈｕａ４３０，Ｃｈｎｎｎ，２００ｉａ；４ＸｉｎｎｎＵｎｖｒｉＣｈｎｈｕ，ｎｎ，２００Ｃｈｎ）．ａｇａｉｅｓｙ，ｅｚｏＨｕａ４３０，ｉａｔ
摘要：入弱Ｃ－规子群的定义，利用此定义得到有限群Ｐ一引＊正并幂零的两组充分条件．关键词：限群有正规子群Ｐ一零幂文献标识码：Ａ文章编号：０５９６（０８０— ３５０１０— １４２０）４０２ —５

半正规、C-正规与有限群的超可解性

（）如果 Ⅳ Ｇ，ＡⅣ 是Ｇ的半正规子群；３则
（）４如果 Ⅳ Ｇ，么ＡⅣ／是Ｇ／的半正规子那 Ⅳ Ｎ
从而推广了上述定理，外，另我们利用 “ ”的方法把或
群．是对Ｇ的任意同态，是Ｇ的半正规子群．于半正规子群有以下的等价性定义：
定义２群Ｇ的子群叫做（Ｇ中）正规的，在半
半正规与ｃ正规结合起来，到较文献［，］一得１２更强的
结果．
１定义及主要引理
为了方便讨论，我们给出半正规的定义：
定义１】群Ｇ的子群叫做（Ｇ中）［在半正规
的，如果存在一个子群Ｂ使得ＡＢ—Ｇ，对Ｂ的任何且子群Ｂ，Ｂ是Ｇ的真子群．样的子群Ｂ叫做在Ａ这Ｇ中的一，在Ｇ中的一之集合记为Ｓ（．补补。）
半正规子群的主要性质有：
证明对用归纳法，一２时，然ｌ＜当显Ｂ，＞ｌｌＢ，＞１Ｂ２ — ＜Ｂ２．
５００）３０４
（１．ＨｕａＵｎｖｒｉｏＡｒｓｎＳｉｎｅｎｎｉｅｓｔｙｆｔａｄｃｅｃ，Ｃｈｎｄ，Ｈｕａａｇｅｎｎ，４５０１００，Ｃｉａ．Ｃｌｇｏｈｎ；２ｏｌｅｆｅＭａｈｍａｉｎｎｏｍａｉｎＳｉｎｅｔｅｔｓａｄＩｆｒｔｃｅｃ，ＧｕｎｘｉｅｓｔＮａｎｎＧｕｎｘ，３０４Ｃｈｎ）ｃｏａｇｉＵｎｖｒｉｙ，ｎｉｇ，ａｇｉ５００，ｉａ

有限群的弱c^＊-正规子群

ＰｌｌＨ１．ａＳｙｌｏｗＰ－ｓｕｂｇｒｏｕｐｏｆＨｉｓａｌｓｏａＳｙｌｏｗＰ— ｓｕｂｇｒｏｕｐｏｆｓｏｍｅＳ— ｑｕａｓｉｎｏｒｍａｌｓｕｂｇｒｏｕｐｏｆＧ．ＡｓｕｂｇｒｏｕｐＨｏｆａｇｒｏｕｐＧｗａｓｓａｉｄｔｏｂｅｗｅａｋｌｙＣ一ｎｏｒｍａｌｉｎＧｉｆｔｈｅｒｅａｒｅａｓｕｂｎｏｒｍａｌｓｕｂｒｏｇｕｐＴｏｆ
关键词：ｐ一幂零群；弱ｃ一正规子群；有限群文献标识码：Ａ中图分类号：Ｏｌ５２．１
ＯｎｗｅａｋｌｙＣ・ｎｏｒｍａｌｓｕｂｇｒｏｕｐｓｏｆｉｎｆｉｔｅｇｒｏｕｐｓ
第３１卷第１期
２０１３年２月
贵州师范大学学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕｉｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）
ＧｓｕｃｈｔｈａｔＧ＝ＨＴａｎｄｎＴｉｓＳ－ｑｕａｓｉｎｏｍａｒｌｌｙｅｍｂｅｄｄｅｄｉｎＧ．Ｕｓｉｎｇｔｈｉｓｃｏｎｃｅｐｔ．ｗｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ
摘要：群Ｇ的一个子群称为在Ｇ中ｓ一拟正规嵌入，如果对于任意的素数ＰＩＪ１，的Ｓｙｌｏｗｐ一子群也是Ｇ的某个ｓ一拟正规子群的Ｓｙｌｏｗｐ－子群。称子群Ｈ是Ｇ的弱ｃ一正规子群，如果Ｇ有次正规子群使得Ｇ＝ＨＫ且满足ｎＫ在Ｇ中是ｓ一拟正规嵌入。我们利用弱Ｃ一正规子群的概念，研究了ｐ一幂零群的构造，得出了一些新结果。

超可解群的几个充分条件

超可解群的几个充分条件韩章家;张志让;李艳【摘要】研究有限群的具有某些特性的子群与有限群的结构之间的关系一直是有限群论重要课题之一.其中,由于正规性质在有限群论中的重要性,通过子群的某些广义正规性质来研究有限群的结构,几十年来都是人们非常感兴趣的课题.定义了一种既具有数量关系同时又具有广义正规性质的子群--拟c-正规子群:群G的子群H称为在G中拟c-正规,如果存在G的一正规子群K,满足|G:KH|为素数幂且H∩K≤HG.利用拟c-正规的概念我们给出了超可解群的几个充分条件,推广了一些已知的结论.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(033)004【总页数】4页(P458-461)【关键词】Sylow子群;极大子群;极小子群;拟c-正规子群;超可解群【作者】韩章家;张志让;李艳【作者单位】成都信息工程学院,数学学院,四川,成都,610225;成都信息工程学院,数学学院,四川,成都,610225;成都信息工程学院,数学学院,四川,成都,610225【正文语种】中文【中图分类】O152.1本文所指的群都是有限群,所用的符号都是标准的,可参见文献[1] .对子群的某些特性进行研究从而得到群的结构是一种很普遍的方法,并且已经取得了极为丰富的成果.定理1.1[2]群G为超可解群的充要条件是G的每一极大子群在G中具有素数指数. 定义1.1[3]群G的子群H称为是c-正规的,若存在G的一正规子群N,使得HN=G 且H∩N≤HG=CoreG(H).定理1.2[3]若群G的每个Sylow子群的极大子群在G中是c-正规的,则G为超可解群.定理1.3[3]若群G的每个极小子群和4阶循环群在G中是c-正规的,则G为超可解群.现在来考察一下前面列举的定理1.1～1.3.不难看出定理1.1是利用了特殊子群的指数性质来得到群的结构,而定理1.2和定理1.3则是利用了特殊子群的c-正规性从而得到了群的结构,并且它们还具有某些共性.因此可以考虑这样的问题:能否把指数性质和c-正规性结合起来,产生一种新的性质,把它赋予一些特殊子群来研究它们对群结构的影响?正是基于这样的考虑,我们提出了下面的拟c-正规的概念:定理1.2H≤G称为在G中拟c-正规,如果∃KG,满足|G∶KH|为素数幂且H∩K≤HG.本文就是利用拟c-正规的概念给出了超可解群的几个充分条件.根据定义,c-正规子群一定是拟c-正规子群,例1.1说明拟c-正规子群却不一定是c-正规子群.例1.1 设G是4个文字上的对称群S4,B4是的G正规极大子群A4的正规子群,显然B4在G中拟c-正规但不c-正规.定义1.3[4]H≤G称为在G中c-可补,如果∃K≤G,使得G=KH且H∩K≤HG.容易知道c-可补是c-正规的真正的推广.虽然拟c-正规和c-可补都是c-正规的真正的推广,但它们之间没有必然的蕴含关系.例1.2 拟c-正规不一定意味着c-可补.例如,取G=Z3w r〈a〉,o(a)=4.则〈a2〉在G中拟c-正规,但不是c-可补.例1.3c-可补不一定意味着拟c-正规.例如,取G=A5,H=Z5∈Syl5(A5).则H是G的c-可补子群,但不是拟c-正规子群.下面给出一些基本的引理.引理1.1 (1)如果H在G中具有性质拟c-正规,H≤M≤G,则H在M中拟c-正规.(2)设NG且N≤H,则H在G中拟c-正规当且仅当H/N在G/N中拟c-正规.(3)设NG且(|N|,|H|)=1,如果H在G中拟c-正规,那么HN/N在G/N中拟c-正规. 证明 (1)因H在G中拟c-正规,所以存在G的正规子群K使得|G∶HK|为素数幂且H∩K≤HG.令L=M∩K.则LM,M∩HK=H(M∩K)=HL,H∩L=H∩M∩K≤HG∩M=HM,且|M∶HL|=为素数幂.因此H在M中拟c-正规.(2)假设H/N在G/N中拟c-正规,则由定义,存在G的正规子群K使得|G/N∶(H/N)(K/N)|为素数幂且H/N∩K/N≤(H/N)G/N.此时必有|G∶HK|为素数幂且H∩K≤HG.反之,如果H在G中拟c-正规,则存在G的正规子群K使得|G∶HK|为素数幂且H∩K≤HG.不难得到H/N在G/N中拟c-正规.(3)如果H在G中拟c-正规,则存在G的正规子群K使得|G∶HK|为素数幂且H∩K≤HG.于是|G/N∶(HN/N)(KN/N)|=|G∶HKN|||G∶HK|为素数幂.另一方面,(HN∩K)H=HN∩HK≤HN,(HN∩K)N≤HN且(|N|,|H|)=1.由文献[5] 便得HN∩K=(H∩K)(N∩K).于是HN/N∩KN/N=(HN∩KN)/N=(HN∩K)N/N=(H∩K)(N∩K)N/N=(H∩K)N/N≤(HN /N)G/N.即HN/N在G/N中拟c-正规.引理1.2 设P是群G的Sylow 2-子群.如果P的每个极大子群在G中拟c-正规,则G为可解群.证明假设结论不真,令G为极小阶反例.则有:(1)O2(G)=1,并且O2′(G)=1.假设O2(G)≠1,则G/O2(G)或者为奇阶群,或者满足定理假设.无论哪种情形都可得G/O2(G)是可解群,从而G就为可解群,矛盾.如果O2′(G)≠1,那么G/O2′(G)显然满足定理假设,即G/O2′(G)为可解群,当然G也就可解,矛盾.(2)G有唯一的极小正规子群N,并且G=PN.设N为G的极小正规子群,则我们断言:G=PN.否则,若G<PN,则PN满足定理假设,从而PN可解.特别地,N是可解群.于是O2(N)≠1或者(N)≠1.这说明或者O2(G)≠1或者(G)≠1,与(1)矛盾.因此G=PN.现在G/N≅P/P∩N是可解群.由于可解群类是饱和群类,所以N是G的唯一的极小正规子群,它是一些同构的非交换单群的直积. (3)最后的矛盾.令P1为P的极大子群,由假设,存在G的正规子群K,使得|G∶P1K|为素数幂且P1∩K≤(P1)G.这样|K|2≤2,从而K有正规2-补T,显然T≤O2′(G).于是|K|≤2.而这又意味着是G可解群,矛盾.引理得证.引理1.3[6]设F是包含超可解群系U的饱和群系,E是群G的正规子群满足G/E∈F.如果E循环,那么G∈F.定理2.1 设N为群G的正规子群满足G/N为超可解群.如果N的每一Sylow子群的极大子群在G中拟c-正规,则G为超可解群.证明选取G为极小阶反例.由引理1.1,N的每一Sylow子群的极大子群在N中拟c-正规,再由引理1.2知N为可解群,从而G为可解群.设N1为含于N的G的极小正规子群,则N1为初等交换p-群(∃p∈π(G)).进一步还有:(1)G/N1为超可解群,N1为含于N的G的唯一极小正规子群,并且存在M<·G,使得G=N×|M,M为超可解群,CG(N1)=N=F(N).首先证G/N1和N/N1满足定理假设.一方面(G/N1)/(N/N1)≅G/N为超可解群.另一方面,设=QN/N为N/N1的Sylowq-子群,则Q为N的Sylowq-子群.如果q=p,则有N1≤Q=P,的极大子群=Q1/N1,这里Q1为Q的极大子群.由假设和引理1.1,Q1/N1在G/N1中拟c-正规.如果q≠p,则有=Q1N1/N1,因为Q1在G中拟c-正规,由引理1.1知Q1N1/N1在G/N1中拟c-正规,因此G/N1和N/N1满足定理假设.由G的选取,G/N1为超可解群.由于超可解群类为饱和类,所以N1是含于N的G的唯一极小正规子群且N(G),于是存在M<·G,使得G=N×|M,M≅G/N1为超可解群.因N(F(N))≤Φ(G),故Φ(F(N))=1,从而F(N)是交换子群.又F(N)=F(N)∩G=N1(F(N)∩M),F(N)的交换性就蕴含了F(N)∩MG,于是F(N)∩M=1,因此N1=F(N).再利用N的可解性便可得F(N)≤CN(N1)=CN(F(N))≤F(N)=N1.(2)p为|N|的最大素因子且|N1|=p.设q≠p为|N|的最大素因子,Q∈Sylq(N),因N/N1为超可解群,所以=QN1P是N的子群.如果PQ<G,则PQ/PQ≅1超可解,由引理1.1,PQ满足定理假设,从而PQ超可解而且矛盾.因此可假设PQ=G=N.如果N1≤Φ(P),则P=P∩(N1M)=N1(P∩M)=P∩M,从而N1≤P≤M,与(1)矛盾.于是存在P1<·P满足N1P1.由题设存在G的正规子群K使得|G∶P1K|为素数r的幂,P1∩K=(P1)G=1.如果N1∩K≠1,则N1≤K,P1∩N1≤P1∩K=1,这意味着|N1|=1.再由G/N1为超可解群便可得G为超可解群,矛盾.如果N1∩K=1,则由N1的极小唯一性知K=1.这时G为p-群,同样矛盾.因此p=q为|N|的最大素因子.由于N/N1为超可解群,故P/N1N/N1,从而PN.由(1)可知N1=P∈Sylp(N).如果r=p且|G∶P1K|≠1,则|G/K|=pb,于是G/K为p-群,当然为超可解群,从而G≅G/K∩N1为超可解群,矛盾.如果r≠p,则N1=N1∩P1K=P1(N1∩K)=P1,矛盾.这一矛盾说明P1=1,于是|N1|=p.现在G/N1为超可解群,|N1|=p,因此G为超可解群,矛盾于G的选取.定理得证. 推论2.1 如果群G的每一Sylow子群的极大子群在G中拟c-正规,则G为超可解群.推论2.2 设F是包含超可解群类U的饱和群系,H是群G的正规子群满足G/H∈F.如果H的每一子群的极大子群在G中拟c-正规,则G∈F.证明设G为极小阶反例.由引理1.1,H的每一Sylow子群的极大子群在N中拟c-正规,再由推论2.1知H为超可解群.设p为|H|的最大素因子,P∈Sylp(H),则PH.由引理1.1,H/P的每个子群的极大子群在G/P中拟c-正规,且(G/P)/(H/P)≅G/H∈F,因此G/P满足定理假设,从而G/P∈F.令N为G的含于P的极小正规子群.如果N=P,则G/N=G/P∈F.如果N<P,则G/N 满足定理假设,同样也有G/N∈F.由于F为饱和群系,故N为含于P的G的唯一极小正规子群且Φ(P)=1.从而又有P为初等交换p-群.如果|N|≥p2,则存在P的极大子群P1使得N∩P1≠1.由假设,存在G的正规子群K≠1使得|G∶P1K|=,P1∩K=(P1)G=1.如果r=p,则G/K为p-群,此时如果P∩K=1,则G≅G/(K∩P)∈F,矛盾.如果P∩K≠1,则N≤K,1=P1∩K≤P1∩N≠1,同样矛盾.另一方面,如果r≠p,则P=P∩P1K=P1(P∩K).由N的极小唯一性,N≤P∩K,从而也有1=P1∩K≤P1∩N≠1,这一矛盾说明|N|=p.再由引理1.3知G∈F,矛盾.定理2.2 设H是群G的正规子群且G/H为超可解群.如果H的每一素数阶子群和4阶循环子群在G中拟c-正规,则G为超可解群.证明假设G是极小反例.令M是G的任一极大子群,则M/(M∩H)≅MH/H≤G/H为超可解群,由引理1.1,M 和M∩H满足定理假设,因此M为超可解群.由M的任意性可知为G极小非超可解群.由文献[7] 可得:(1)存在p∈π(G),G的Sylowp-子群正规,P/Φ(P)是G/Φ(P)的极小正规子群;(2)如果p>2,则exp(P)=p.如果p=2,则exp(P)|4,p2||G|.(3)P/Φ(P)非循环.现在可以证明:P实际上就是G的超可解剩余GU.因为G/P为超可解群,所以GU≤P,从而GUΦ(P)/Φ(P)是G/Φ(P)的正规子群.由(1)就可得GUΦ(P)=P或者GU≤Φ(P).如果GU≤Φ(P),则GU≤Φ(G),于是G/Φ(G)为超可解群,即G为超可解群,矛盾.因此GU=P.于是P的每一素数阶子群和4阶循环子群在G中拟c-正规.取1≠x∈P,由(2),x的阶为p或4.依假设x在G中拟c-正规,于是存在G的正规子群K使得|G∶〈x〉K|=qa,〈x〉∩K≤〈x〉G.令P1=P∩K,则P1K.若P1≤Φ(P)且q≠p,则P=P∩〈x〉K=〈x〉P1=〈x〉.如果|〈x〉|=p,则与(2)矛盾.如果|〈x〉|=4,则Φ(P)≠1,于是对任意x∈PΦ(P),〈x〉G.与(3)矛盾.若q=p,由P1≤Φ(P)可得K为p-幂零群,从而K=L×P1,G=KP=L×P,G/Φ(G)=LΦ(P)/Φ(G)×P/Φ(P),即P/Φ(P)≤Z(G/Φ(G)).于是对任意x∈PΦ(P),〈x〉Φ(P)G.由(1),〈x〉Φ(P)=P,从而〈x〉=P,与前面一样可得矛盾.因此可假设P1(P),于是P1Φ(P)/Φ(P)=P/Φ(P),即P=P1,P≤K.进一步地就有〈x〉=〈x〉∩KG,矛盾于(3).定理得证.致谢本文还得到成都信息工程学院科研基金(KYTZ201003)的资助.2000 MSC:20D10;20D20【相关文献】[1] Gorenstein D.Finite Groups[M] .New York:Harper&Row,1968.[2] Robinson D J S.A Course in the Theory of Groups[M] .New York:Springer-Verlag,1993.[3] Wang YM.c-normality of groups and its properties[J] .J Algebra,1996,180:954-965.[4] Ballester-BolinchesA,Wang YM,Guo X Y.C-supplemented subgroups of finitegroups[J] .GlasgowMath J,2000,42:383-389.[5] Doerk K,Hawkes T.Finite Soluble Groups[M] .Berlin,New York:Walter de Gruyter,1992.[6] Skiba A N,TitovO V.Finite groupswithc-quasinormal subgroups[J] .SiberMathJ,2007,48(3):544-554.[7] Doerk K.Minimal nichtüber auflosbbare endliche gruppen[J] .Math Z,1966:198-205.[8] AsaadM.Onp-nilpotence and supersolvability of finite groups[J] .CommunAlgebra,2006,34:189-195.[9] Han Z,Chen G,Guo X.A Characterization for sporadic simple groups[J] .SiberMathJ,2008,49(6):1138-1146.[10] Han Z.Ons-semipermutable subgroups of finite groups andp-nilpotency[J] .Proc Indian Academ Sci:Math Sci,2010,120(2):141-148.[11] 韩章家.p-幂零群的几个充要条件[J] .西南师范大学学报:自然科学版,2009,34(5):7-13.[12] 韩章家.A11的特征性质[J] .西南师范大学学报:自然科学版,2005,30(4):638-641.[13] LiD,Guo X Y.The influence ofc-nor mality of subgroups on the structure of finite groups[J] .J Pure Appl Algebra,2000,150:53-60.[14] LiD,Guo X Y.The influence ofc-nor mality of subgroups on the structure of finite groups II[J] .Commun Algebra,1998,26(6):1913-1922.[15] ZhangQin-hai,WangLi-fang.The influence ofs-semipermutable subgroup on the supersolv ability of finite groups[J] .Acta Math Sinica,2005,48(1):81-85.[16] Skiba A N.On weaklys-permutable subgroups of finite groups[J] .JAlgebra,2007,315:192-209.[17] Guo X Y,Shum K P.Cover-avoidance properties and the structure of finite groups[J] .J Pure ApplAlgebra,2003,181:297-308.[18] Guo X Y,Shum K P.Onc-normal maximal and minimal subgroups of Sylowp-subgroups of finite groups[J] .Archivder Mathematik,2003,80:561-569.。

关于弱c-正规子群的一个注记

第38卷第4期西南师范大学学报(自然科学版)2013年4月V o l.38N o.4J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)A p r.2013文章编号:10005471(2013)04001602关于弱c-正规子群的一个注记①李士恒1,施武杰21.郑州航空工业管理学院数理系,郑州450015;2.重庆文理学院数学系,重庆402160摘要:设G为有限群,pɪπ(G),PɪS y l p(G).如果N G(P)的每个极大子群都在G中弱c-正规,那么G可解.关键词:有限群;弱c-正规;极大子群中图分类号:O152.1文献标志码:A定理1[1]设G为有限群,H为G的S y l o w子群,(N G(H))Gʂ1.如果N G(H)的所有极大子群都在G中弱c-正规,那么G可解.设N G(H)=M.定理1的证明过程中对|G|运用了归纳法.显然(N G/M G(HM G/M G))G/M G=1,就是说G/M G不满足定理1对G的假设条件(N G(H))Gʂ1,所以不能直接运用归纳法说G/M G可解.因此,定理1的证明对于归纳法的应用是不妥当的.本文对定理1进行了改进并且进行了证明,即证明了如下结果:定理2设G为有限群,pɪπ(G),PɪS y l p(G).如果N G(P)的每个极大子群都在G中弱c-正规,那么G可解.本文中,π是一个素数集合.如果数n的每一个素因子都在π中,我们称n是一个π-数.H<G表示H 为G的真子群,H◁◁G表示H为G的次正规子群,H<㊃G表示H为G的极大子群.H G=ɘgɪG H g称作子群H在G中的核.引理1设G为群,S◁◁G,M为π-可解(可分)群,H/K为G的一个合成因子,且SɤK<HɤM S,那么H/K为p-阶群(π-群)或πᶄ-群,其中pɪπ.证由SɤK<HɤM S得M S=M K.因此HɤM K,H/K=(HɘM K)/K=K(HɘM)/K≅(HɘM)/(KɘM).另一方面,由M为π-可解(可分)群得到(HɘM)/(KɘM)也是π-可解(可分)群.所以H/K必为p-阶群(π-群)或πᶄ-群,其中pɪπ.引理2[2]假设A由自同构作用在G上,且(|A|,|G|)=1.如果C G(A)=1,那么G可解.定理2的证明假设定理2不成立,设G为极小阶反例,下面分几步完成证明.步骤1N G(P)可解.由文献[3]的引理1知,N G(P)的每一个极大子群在N G(P)中弱c-正规.再由文献[3]的定理1得N G(P)可解.步骤2设(N G(P))G=D,则D=1.因为N G(P)/D=N G/D(P D/D),所以由文献[3]的引理1得:G/D满足定理2的条件.因此,若D>1,则由G为极小阶反例得G/D可解.再由步骤1知D可解,从而G可解,和G为极小阶反例矛盾.①收稿日期:20110908Copyright©博看网. All Rights Reserved.基金项目:国家自然科学基金项目(11171364).作者简介:李士恒(1977),男,河南邓州人,讲师,主要从事有限群论的研究.步骤3 设A 为G 的极小阶非可解正规子群(不一定是G 的极小阶正规子群),则有G =N G (P )A ,G /A 可解,且A 为G 唯一的极小阶非可解正规子群.由G 的极小性和文献[3]的引理1得G =N G (P )A .所以G /A ≅N G (P )/(N G (P )ɘA )可解.同理,假设G 有另外一个极小阶非可解正规子群C ,则也得到G /C 可解.因此G /(A ɘC )可解.于是由G 非可解得A ɘC 非可解,与A 为G 的极小阶非可解正规子群矛盾.步骤4 若M 可解,且S ◁◁G ,使得M S =G ,则有A ɤS .此时,G 有次正规列1◁_S ◁◁M S =G 若H /K 为满足S ɤK <H ɤM S =G 的合成因子,则由引理1得H /K 为素数阶群.于是,存在正整数k ,使G 的k 阶换位子群G (k )ɤS .又对任意的正整数m ,有G/G (m )可解.所以,由步骤3,存在n 使对任意的正整数z ȡn 都有G (z )=A .因此A ɤS .步骤5 (N G (P )ɘA )>1.反之,设N G (P )ɘA =1,于是C A (P )=C G (P )ɘA =1且P ɘA =1.因此A 为pᶄ-群.于是由引理2得到A /B 可解,与步骤3的结论矛盾.步骤6 N G (P )⊈A .否则,N G (P )ɤA ,因此有A =G .由于M 弱c -正规于G ,由文献[3]的引理1知,存在S ◁◁G 使M S =G 且M ɘS =M G .由步骤4得S =A =G ,所以M =M ɘS ◁_G .由步骤2得M ɘS ɤM G =1,所以M =1.从而N G (P )为素数阶群.于是N G (P )=P =C G (P ),从而G 为p -幂零群.因此,由步骤3得A =G 为p ᶄ-群,这和p ɪπ(G )矛盾.步骤7 极小阶反例不存在.由步骤6,可选择M <㊃N G (P ),使(N G (P )ɘA )ɤM .因此(N G (P )ɘA )=(M ɘA ).由M 弱c -正规于G 得,存在S ◁◁G ,使M S =G 且M ɘS =M G (参见文献[3]的引理1).再由步骤4得S ȡA ,所以M ɘA ɤM ɘS ɤM G .由步骤2得M G =1,于是有N G (P )ɘA =M ɘA =1,和步骤5的结论矛盾.综上所述,极小阶反例不存在,即定理2成立.参考文献:[1]陈瑞芳,曹洪平,陈贵云.一些特殊子群对有限群可解性的影响[J ].西南师范大学学报:自然科学版,2011,36(1):6-9.[2] I S A A C S IM ,N U T S O NG .I r r e d u c i b l eC h a r a c t e rD e g r e e s a n dN o r m a l S u b g r o u p s [J ].JA l g e b r a ,1998,199:302-326.[3] 朱路进,缪龙,张新建.有限群的弱c -正规[J ].扬州大学学报:自然科学版,2002,5(3):8-10.AN o t e o n W e a k l y c -N o r m a l S u b g r o u ps L I S h i -h e n g 1, S H IW u -j i e 21.D e p a r t m e n t o fM a t h m a t i c sa n dP h y s i c s ,Z h e n g z h o u I n s t i t u t eo f A e r o n a u t i c a l I n d u s t r y M a n a g e m e n t ,Z h e n g z h o u 450015,C h i n a ;2.D e p a r t m e n t o fM a t h e m a t i c s ,C h o n g q i n g U n i v e r s i t y o f A r t sa n dS c i e n c e s ,C h o n g q i n g 402160,C h i n a A b s t r a c t :L e t G b e a f i n i t e g r o u p ,p ɪπ(G ),P ɪS y l p (G ).I f M i sw e a k l y c -n o r m a l i n G f o r a n y m a x i m a l s u b g r o u p M o f N G (P ),t h e n G i s s o l u b l e .K e y w o r d s :f i n i t e g r o u p ;w e a k l y c -n o r m a l ;m a x i m a l s u b g r o u p 责任编辑廖坤71第4期李士恒,等:关于弱c -正规子群的一个注记Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

一些子群对有限群结构的影响的开题报告

一些子群对有限群结构的影响的开题报告
有限群是一类在代数中重要的对象，有着广泛的研究和应用领域。

在有限群理论中，子群是研究群结构和性质的基本工具，可以通过自群的特性和组合方式来描述整
个群的性质和性质。

因此，研究子群对于了解有限群的性质和结构具有重要的作用。

本文将探讨一些子群对有限群结构的影响，并介绍一些相关的研究成果。

首先，子群的阶或次数对有限群的结构有着重要的影响。

例如，对于奇素数$p$，有限群的Sylow $p$-子群是群结构的重要组成部分，研究Sylow $p$-子群不仅可以揭
示群的部分结构，还可以推导出群的性质和性质。

此外，使用熟悉的命题（如Sylow
定理和Cauchy定理），可以利用子群的阶数来确定群结构的可能性。

另一方面，研究有限群的极小子群在确定其总结构方面也有重要的作用。

特别地，元素$x$的阶数是决定其在极小子群中的作用的关键。

因此，在研究元素在群结构中的作用时可以着重考虑对应的极小子群，这将有助于理解群结构的基本性质。

此外，研究特殊的子群对于理解群的性质和性质也具有重要意义。

例如，研究有限群的正规子群可以揭示该群的群理论性质，如群溶，并有助于推导出与有限群相关
的其他数学领域的一些重要定理，如伽罗瓦定理。

总之，子群对于有限群结构的研究具有至关重要的作用。

通过深入研究子群的性质和结构，我们可以更好地理解有限群的性质和性质，以及它们在其他数学领域（如
代数、组合数学和几何）的应用。

子群的几种广义正规性质和有限群的结构的开题报告

子群的几种广义正规性质和有限群的结构的开题报告开题报告：子群的几种广义正规性质和有限群的结构一、研究背景子群是群论中一个重要的概念，它具有广泛的应用，例如在数论、代数学和几何学中等领域。

在群论中，子群的结构研究是一项重要的任务，对于了解群的性质和结构具有重要的意义。

二、研究目的本研究的目的是探讨子群的几种广义正规性质和有限群的结构。

具体来说，我们将研究以下内容：1.群的中心、核和中心系数等广义正规性质。

2.群的元素分解和子群分解等群的结构。

3.阐述有限群的结构定理和群同构理论。

三、研究方法本研究将采用群论和数学分析等方法进行理论分析和证明，研究中将涉及很多群论的基本概念和定理，如拉格朗日定理、卡西迪定理、四平方和定理、回路定理等。

四、研究意义本研究将对群论的理论和应用研究做出一定的贡献，对相关领域的研究和应用有一定的推动作用，同时也有助于加深人们对数学基础理论的理解和认识。

五、研究计划本研究将按照以下计划进行：第一阶段：对群的基本概念和定理进行系统学习，包括群的定义、群的分类、群同态和同构等基本概念和定理。

第二阶段：研究群的广义正规性质，包括中心、核和中心系数等，探讨它们的基本性质和应用。

第三阶段：研究群的元素分解和子群分解等群的结构，探讨其性质和应用。

第四阶段：研究有限群的结构定理和群同构理论，包括熟知的若干定理和推论，探讨其证明和应用。

第五阶段：总结研究成果，整理相关数据和资料，撰写成果报告。

六、预期成果通过本研究，期望能够解决一些关键问题，深入探讨群论的基本概念和定理，为之后的群论研究和应用提供有益的参考和支持。

同时，本研究成果也将推动数学基础理论和学科体系的进一步发展。

CC-子群,极小子群的C-可补性对有限群结构的影响的开题报告

CC-子群，极小子群的C-可补性对有限群结构的影响的开题报告题目：CC-子群，极小子群的C-可补性对有限群结构的影响研究背景：CC-子群是在近年来群论中引入的一类特殊的子群，也是有限群中一类重要的结构。

极小子群也是群论中非常经典的概念，它在有限群的结构研究中也具有重要地位。

此外，C-可补性作为一个新的群结构概念，也在群论中引起了人们的浓厚兴趣。

因此，我们有理由研究CC-子群，极小子群的C-可补性对有限群结构的影响。

研究内容：该论文拟研究的问题是：在有限群中，CC-子群，极小子群的C-可补性对群结构的影响。

具体来说，我们将侧重于以下几个方面：1. 研究有限群中CC-子群，极小子群的C-可补性的基本性质，并对其进行分类和描述。

2. 探讨CC-子群，极小子群的C-可补性如何影响有限群的结构，比如是否能够限制其Sylow子群、正规子群的结构等等。

3. 探究CC-子群，极小子群的C-可补性和其他群结构概念之间的联系，比如Solubility、Nilpotency等等。

研究意义：研究CC-子群，极小子群的C-可补性对有限群结构的影响，不仅有助于深入理解有限群的性质和结构，而且还可以为应用数学的研究提供新的思路和方法。

此外，该研究也有望成为有限群理论的重要研究方向之一，对于群论领域的发展具有一定的推动作用。

研究方法：本论文将采用群论的基本理论、定理和方法，结合实例进行分析和论证，以达到对题目研究的深入。

同时，借助计算机辅助演算系统GAP验证和计算相关问题，从而得到更加准确的结论。

参考文献：[1] Asaad M., Esmaeili M., Erfanian A., Ratliff III D.A. (2019) On a Hypothesis Involving Minimality and C-Supersolubility of Finite Groups. J. Algebra Appl.18(6):1950133.[2] Wang S., Shi W. (2016) On the minimum length of maximal subgroups of finite groups with a given condition. J. Algebra 441:440–462.[3] Peng Y., Zhao J. (2017) Solvability of finite groups with some restrictions on abelian subgroups. Trans. Amer. Math. Soc. 369(10):6999–7019.。

非正规子群对有限群结构的影响的开题报告

非正规子群对有限群结构的影响的开题报告
摘要：
有限群理论是代数学中最基本的分支，它在许多领域中都有着重要的应用。

一个有限群的结构可以通过其子群的结构来刻画，因此研究子群对有限群结构的影响是有
限群理论中的重要问题。

在有限群中，非正规子群是非常特殊的一类子群。

它们可以分解出有趣的群结构，如直积、半直积、外半直积等等。

因此，研究非正规子群对有限群结构的影响，不仅
可以深入了解有限群的结构，而且可以应用到其他领域中，如密码学、编码理论等。

本文将从以下几个方面介绍非正规子群对有限群结构的影响：
1. 非正规子群的结构：介绍非正规子群的各种定义和分类，并探讨它们的一些基本性质。

2. 群的分解结构：介绍非正规子群对有限群分解结构的影响，如直积、半直积、外半直积等等。

3. 群同构问题：讨论非正规子群对群同构问题的影响，如是否可以通过非正规子群来确定两个群是否同构等等。

4. 应用：介绍非正规子群在密码学、编码理论等领域中的应用。

关键词：有限群、非正规子群、直积、半直积、外半直积、群同构、应用。