2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

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数2--14真题答案

2014年考研数学(二)试题答案速查一、选择题（1）B （2）C （3）D （4）C （5）D （6）A （7）B （8）A 二、填空题（9）3π8 （10）1 （11）1(d d )2x y −+ （12）2ππ2y x =−+ （13）2011 （14）]2,2[−三、解答题（15）21. （16）(1)1y =为极大值，(1)0y −=为极小值. （17）34−. （18）22111()e e 444u u y f u u −⎛⎫==−− ⎪⎝⎭.（19）略. （20）1. （21）5π2πln24−. （22）（Ⅰ）T(1,2,3,1)ξ=−.（Ⅱ）123123123123261123212134313k k k k k k k k k k k k −−−−⎛⎫⎪−+−++ ⎪=⎪−+−++⎪⎝⎭B ,123,,k k k 为任意常数.（23）略.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）【答案】B.【解答】由定义02lim )2(lim )21(ln lim 1000===+−→→→ααααx xx x x x x x ，所以10,1αα−>>.当+→0x 时，ααα1212~)cos 1(x x −是比x 的高阶无穷小，所以210,2αα−><.故选择B.（2）【答案】C.【解答】C 选项，11sinsinlimlim1lim 1,x x x x x x a x x→∞→∞→∞+==+= 11lim[sin ]limsin 0x x b x x x x→∞→∞=+−==，所以x x y 1sin +=存在斜渐近线y x =，故选择C.（3）【答案】D.【解答】令)()1()1)(0()()()(x f x f x f x f x g x F −+−=−=，则0)1()0(==F F ,)()(),()1()0()(x f x F x f f f x F ''−='''−+−='.若()0,f x ''则()0,()F x F x ''在]1,0[上是凸的，又0)1()0(==F F ，故当]1,0[∈x 上时，()0F x ，从而()()g x f x ，故选择D.（4）【答案】C.【解答】22111122d 24d 3,1d 2d 2t t t t y t y t x t x t ====−+====−, 10101,)91(1)1(23232==+='+''=KR y y K ,故选择C. (5)【答案】D. 【解答】因,11)()(2ξξ+='=f x x f 所以)()(2x f x f x −=ξ,313111limarctan arctan lim )()(limlim220202022=+−=−=−=→→→→x x x x xx x f x x f x x x x x x ξ,故选择D. （6）【答案】A.【解答】记C A B yuC y x u B x u A ,,0,,,22222≠∂∂=∂∂∂=∂∂=互为相反数，故20AC B −<. 由于闭区域上连续函数必有极值，所以),(y x u 在D 内无极值，则极值在边界上取得.故选择A. （7）【答案】B.【解答】00000000a b abc d cd=0000000000000000c d c d a b a b c d d c a b b a −=2()c d d cad bc a b b a=⋅=−−. 故选择B.（8）【答案】A.【解答】132312310()(,,)01k ,l k l ⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα，记1323()k ,l =++A αααα，123(,,)=B ααα，1001k l ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C . 若123,,ααα线性无关，则()()()2r r r ===A BC C ，故1323k ,l ++αααα线性无关，所以13k +αα，23l +αα线性无关是向量组123,,ααα线性无关的必要条件；反之，未必成立，例如取3=α0，12,αα线性无关，虽然13k +αα，23l +αα线性无关，123,,ααα却线性相关，故选A.二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9)【答案】3π8. 【解答】1122111113πd d arctan 25(1)4228x x x x x x −∞−∞+===−∞++++⎰⎰. （10）【答案】1.【解答】由于]2,0[),1(2)(∈−='x x x f ，所以]2,0[,)1()(2∈+−=x C x x f ，又)(x f 为奇函数，故0)0(=f ，代入方程可得1−=C ,故]2,0[,1)1()(2∈−−=x x x f ，又)(x f 是周期为4的奇函数，则1)1()1()81()7(=−=−=+−=f f f f . （11）【答案】1(d d )2x y −+. 【解答】对方程两边同时对y x ,求偏导数得22e 210,e (22)20,yzyz z z y x x z z z y y y y ∂∂⎧⋅⋅++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=∂∂⎪⎩当21==y x 时，0=z ，故21,21)21,21()21,21(−=∂∂−=∂∂yz x z ,故11(,)221d (d d )2zx y =−+.（12）【答案】2ππ2y x =−+. 【解答】由直角坐标和极坐标的关系cos cos ,sin sin ,x r y r θθθθθθ==⎧⎨==⎩于是ππ(,)(,)22r θ=对应于π(,)(0,)2x y =，切线斜率d d cos sin d d d cos sin d yy x x θθθθθθθθ+==−, 所以π(0,)2d 2d πy x=−，从而切线方程为2ππ2y x =−+. （13）【答案】2011. 【解答】质心坐标为1010()d ()d x x x x x xρρ=⎰⎰,而11205()d (21)d 3x x x x x ρ=−++=⎰⎰,1120011()d (21)d 12x x x x x x x ρ=−++=⎰⎰,所以2011351211==x . （14）【答案】]2,2[−.【解答】3231222132142),,(x x x ax x x x x x f ++−==232232231)4()2()(x a x x ax x −+−−+,由于二次型的负惯性指数为1，故240a −，故22a −.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分10分）解：11221122(e 1)d (e 1)d limlim 11ln(1)xx t tx x t t t t t t x x x x→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤−−−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+⋅⎰⎰12201e 1lim [(e 1)]limt xx t t t x x x t +→+∞→=−−=−−00e 11lim lim 222t t t t t t ++→→−===.（16）（本题满分10分）解：由y y y x '−='+122得，221)1(x y y −='+ ① 此时方程为可分离变量，通解为C x x y y +−=+333131,由0)2(=y 得32=C ；由①可得2211)(y x x y +−='，当0)(='x y 时，1±=x ，且有 0)(,1;0)(,11;0)(,1<'>>'<<−<'−<x y x x y x x y x ，所以)(x y 在1−=x 处取得极小值，在1=x 取得极大值，且1)1(,0)1(==−y y ，故)(x y 的极限值为0，极大值为1. （17）（本题满分10分）解：如图因为D 关于x y =对称，由轮换对称性质，则22sin(π)d d Dx x y x y x y ++⎰⎰22sin(π)d d D y x y x y x y +=+⎰⎰ 所以,22sin(π)d d Dx x y I x y x y +=+⎰⎰22()sin(π)1d d 2D x y x y x y x y++=+⎰⎰ yxO12221x y +=224x y +=221sin(π)d d 2D x y x y =+⎰⎰π220113d sin πd 24r r r θ=⋅=−⎰⎰.（18）（本题满分10分）解：由(e cos )x z f y =可得(e cos )e cos ,(e cos )(e sin )x x x x z zf y y f y y x y∂∂''=⋅=⋅−∂∂， 22(e cos )e cos e cos (e cos )e cos x x x x xz f y y y f y y x ∂'''=⋅⋅+⋅∂，22(e cos )(e sin )(e sin )(e cos )(e cos )x x x x xz f y y y f y y y ∂'''=⋅−⋅−+⋅−∂.由22222(4e cos )e x xz z z y x y∂∂+=+∂∂，并把以上式子代入得 22(e cos )e[4(e cos )e cos ]e xxx x x f y f y y ''⋅=+，即 (e cos )4(e cos )e cos x x xf y f y y ''−=，令 e cos xu y =得 ()4()f u f u u ''−= ① 特征方程为 042=−λ，特征根为2λ=±，通解2212e e uu y C C −=+.设方程①的特解b au y +=*，代入方程得1,04a b =−=，特解为*4u y =−，则原方程的通解为22121()ee 4uu y f u C C u −==+−，由0)0(,0)0(='=f f 得1211,1616C C ==−,则方程为22111()e e 444u u y f u u −⎛⎫==−− ⎪⎝⎭.（19）（本题满分10分）证：（Ⅰ)由积分中值定理()d ()(),[,]xag t t g x a a x ξξ=−∈⎰，因为0()1g x ，故0()(),0()d ()xag x a x a g t t x a ξ−−−⎰；（Ⅱ)()d ()()()d ()d ua ua g t t aaF u f x g x x f x x +⎰=−⎰⎰令，()()()(()d )()u aF u f u g u f a g t t g u '=−+⋅⎰()[()(()d )]uag u f u f a g t t =−+⎰，由（Ⅰ)知0()d (),()d uuaag t t u a a a g t t u −+⎰⎰，由于)(x f 单调增加，则()(()d )0uaf u f ag t t −+⎰，所以()0,()F u F u '单调不减，则()()0F u F a =，取b u =得()0F b ，即所证结论成立.（20）（本题满分11分）解：因为12(),()112x xf x f x x x==++,3()13x f x x =+,…,由数学归纳法可得()1n xf x nx =+,所以1100()d d 1n n x S f x x x nx==+⎰⎰， 111000d 1()d d 11ln(1)11n n nx x nS n f x x x n nx nx n===−=−+++⎰⎰⎰，从而可知lim 1n n nS →∞=.（21）（本题满分11分）解：因为)1(2+=∂∂y yf，所以)(),(2),(2x x y y y x f ϕϕ其中++=为待定函数. 又因为2(,)(1)(2)ln f y y y y y =+−−，则()(2)ln y y y ϕ=−−，从而x x y x x y y y x f ln )2()1(ln )2(12),(22−−+=−−++=，所以0),(=y x f 对应的方程为2(1)(2)ln ,(12)y x x x +=−，其所围图形绕直线1−=y 旋转所成旋转体的体积为222221111π(1)d π(2)ln d π2ln d πln d V y x x x x x x x x x =+=−=−⎰⎰⎰⎰π352π(2ln 21)(4ln 2)(2ln 2)π224=−−−=−.（22）（本题满分11分）解：(Ⅰ)对矩阵A 作初等行变换，可得123410010111010212030013−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭A ，则方程组=Ax 0的一个基础解系为T)1,3,2,1(−=ξ. (Ⅱ)对矩阵()AE 作初等行变换，有12341001234100()0111010011101012030010431101−−−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭A E123410010012610111010010213100131410013141−−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→−→−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−−−⎝⎭⎝⎭. 记T3T 2T 1)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(===e e e ，则1e x A =的通解为T1111T1),31,21,2()0,1,1,2(k k k k ξk x +−+−−=−−+=， 2e x A =的通解为T2222T2),34,23,6()0,4,3,6(k k k k k x +−+−−=−−+=ξ， 3e x A =的通解为T3333T3),31,21,1()0,1,1,1(k k k k k x ++−−=−+=ξ，所以，123123123123261123212134313k k k k k k k k k k k k −−−−⎛⎫⎪−+−++ ⎪=⎪−+−++⎪⎝⎭B ，123,,k k k 为任意常数.（23）（本题满分11分）证：不妨设111111111⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，00100200B n ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则， ()()111...111...111...111 (1)..................11...111...1n n n λλλλλλλλλ−−−−−−−−−−−−==−=−−−−−−E A ，特征值为1210,n n n λλλλ−=====，()10...10 (2).........00...n n n λλλλλλ−−−−==−−E B ，特征值为1210,n n n λλλλ−=====，因为矩阵A 为对称阵，所以必可以对角化，相似于矩阵00n ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Λ；对于矩阵B ，当0λ=时，(0)()1r r −==E B B ，所以矩阵B 对应于特征值0有1n −个线性无关的特征向量，所以矩阵B 可以对角化为00n ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Λ，所以二者相似.。

2014考研数学2真题

2014考研数学2真题2014年考研数学2真题是考研数学考试中的一道经典题目，难度较大，涉及到了数学分析、线性代数和概率统计等多个领域的知识。

本文将对这道题目进行深入的分析和解答，帮助考生更好地理解和掌握数学知识。

首先，让我们来看一下这道题目的具体内容：已知函数f(x)在区间[0,1]上连续可导，且满足f(0)=0，f(1)=1，f'(x)>0。

定义函数g(x)=f(x)-x，求证存在ξ∈(0,1)，使得g(ξ)=0。

这道题目要求我们证明存在一个介于0和1之间的数ξ，使得函数g(x)在ξ处取得零值。

为了解决这个问题，我们可以利用介值定理来进行证明。

首先，我们需要明确介值定理的含义。

介值定理是微积分中的一个重要定理，它表明如果一个函数在一个闭区间上连续，并且在该区间的两个端点处取得不同的函数值，那么它在该闭区间上将会取得介于这两个函数值之间的任意函数值。

根据题目给出的条件，我们知道函数f(x)在区间[0,1]上连续可导，并且满足f(0)=0，f(1)=1，f'(x)>0。

根据介值定理，我们可以推断函数g(x)在区间[0,1]上也是连续的，并且g(0)=f(0)-0=0，g(1)=f(1)-1=0。

也就是说，函数g(x)在闭区间[0,1]上取得了相同的函数值0。

接下来，我们需要证明在开区间(0,1)上，函数g(x)取得了不同的函数值。

根据题目给出的条件，我们知道f'(x)>0，也就是说函数f(x)在区间(0,1)上是单调递增的。

而且，根据函数的连续可导性，我们可以得知函数f(x)在区间(0,1)上是连续的。

根据单调递增函数的性质，我们可以推断函数f(x)在区间(0,1)上的函数值是逐渐增加的。

因此，我们可以得出结论：在开区间(0,1)上，函数g(x)的函数值是逐渐增加的。

而在闭区间[0,1]上，函数g(x)的函数值是相同的。

根据这两个结论，我们可以推断在开区间(0,1)内，函数g(x)的函数值一定会超过闭区间[0,1]上的函数值。

2014年考研数二真题及解析

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2014考研数学二真题

2014考研数学二真题2014年考研数学二真题是考生备战考研的重要参考资料之一。

该真题涵盖了多个领域的数学知识，对考生的综合能力有着很高的要求。

在本文中，我们将对2014年考研数学二真题进行分析和讨论，帮助考生更好地理解和应对考试。

首先，我们来看一下2014年考研数学二真题的整体情况。

该真题共分为两个部分，第一部分是选择题，共有15道题目；第二部分是解答题，共有10道题目。

选择题占据了相对较大的比重，需要考生对各个知识点的掌握程度较高。

而解答题则更注重考生的解题能力和思维逻辑。

接下来，我们来具体分析一下2014年考研数学二真题的难点和考点。

首先，选择题中涉及了概率、统计、线性代数、微积分等多个领域的知识。

其中，概率和统计的题目较为常见，需要考生对概率分布、随机变量等概念的理解和应用。

而线性代数和微积分的题目则更注重考生对基本概念和定理的掌握。

在解答题中，难度相对较高，需要考生具备较强的解题能力和思维逻辑。

其中，一道常见的题目是求解微分方程。

这类题目需要考生对微分方程的基本概念和解法有着深入的理解。

另外，还有一道常见的题目是线性代数中的矩阵运算。

这类题目需要考生对矩阵的性质和运算法则有着较高的熟悉度。

除了具体的题目内容，考生在备考过程中还需要注意一些策略和技巧。

首先，要合理安排时间，将更多的时间用于解答题，因为解答题的难度较高，需要更多的思考和计算时间。

其次，要注意题目的命题思路和解题方法，多做一些类似的题目进行练习，提高解题能力。

另外，要注意题目中的关键词和条件，理解题目的意图和要求，避免在理解上出现偏差。

最后，我们来总结一下2014年考研数学二真题的备考要点。

首先，要全面掌握各个知识点的基本概念和定理。

其次，要多做一些类似的题目进行练习，提高解题能力和思维逻辑。

另外，要注意题目中的关键词和条件，理解题目的意图和要求。

最后，要合理安排时间，将更多的时间用于解答题，提高得分。

通过对2014年考研数学二真题的分析和讨论，我们可以看到备考考研数学的重要性和难度。

2014年考研数学二真题

12．曲线 L 的极坐标方程为 r ，则 L 在点 (r, ) , 处的切线方程为
．
2 2
【详解】先把曲线方程化为参数方程
x

y

r( )cos r( )sin
cos sin
，于是在

2
处，
x

0,
y

2
，
dy dx
（B）充分而非必要条件（D）非充分非必要条件
【详解】若向量1,2 ,3 线性无关，则
1 （1 k3 ，2 l3 ） (1, 2 ,3 ) 0 k
0
1 (1, 2 ,3 )K ，对任意的常数 k, l ，矩阵 K 的秩都等 l
于 2，所以向量1 k3 ，2 l3 一定线性无关．
f ( x) x2 2x ； f ( x) 为周期为 4 奇函数，故 f (7) f (1) f (1) 1．
11．设 z

z( x,
y) 是由方程 e 2 yz

x

y2

z

7 4
确定的函数，则
dz
|
1
,
1

．
2 2
【详解】设 F ( x,
y, z)
e 2 yz
4x2 x3
( x1 ax3 )2 ( x2 2x3 )2 (4 a 2 )x32
由于负惯性指数为 1，故必须要求 4 a2 0 ，所以 a 的取值范围是 2,2．
三、解答题
15．（本题满分 10 分）
1
x (t 2 (e t 1) t)dt
求极限 lim 1

(完整word版)2014-2015年考研数学二真题及答案解析,推荐文档

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 当0x +→时，若ln (12)x +α，1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是( )(A) (2,)+∞(B) (1,2)(C) 1(,1)2(D) 1(0,)2(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1siny x x =+(D) 21siny x x=+ (3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（）(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥(D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是（）(A)50(B)100(C)(D)(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则22limx x→=ξ （）(A)1(B)23(C)12(D)13(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20ux y ∂≠∂∂及22220u ux y∂∂+=∂∂，则（） (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得(7) 行列式0000000ab a bcd c d= （）(A) 2()ad bc - (B) 2()ad bc -- (C) 2222a dbc -(D) 2222b c a d -(8) 设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l ++αααα线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（）(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. ((9)12125dx x x -∞=++⎰__________.(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________. (11) 设(,)z z x y =是由方程2274yzex y z +++=确定的函数，则11(,)22dz =__________.(12) 曲线()r r =θ的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________.(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________.(14) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围为_______.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xt x t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰(16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小值.(17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y x y x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.(18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x xz z z y x y ∂∂+=+∂∂，若'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式.(19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 的区间[a,b]上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤.证明： (I)0(),[,]xag t dt x a x a b ≤≤-∈⎰,(II)()()d ()g()ba a g t dtb aaf x x f x x dx +⎰≤⎰⎰.(20)(本题满分11分)设函数[](x),0,11xf x x=∈+，定义函数列121()(),()(()),f x f x f x f f x ==,L 1()(()),n n f x f f x -=L ，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞.(21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积. (22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵.(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭L LM M M M L与00100200n ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭LL M M M M L 相似.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 当0x +→时，若ln (12)x +α，1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是( )(A) (2,)+∞(B) (1,2)(C) 1(,1)2(D) 1(0,)2【答案】B【解析】由定义 1000ln (12)(2)limlim lim 20x x x x x x x x-→→→+===αααα 所以10->α，故1>α.当0x +→时，211(1cos )~2xx -ααα是比x 的高阶无穷小，所以210->α，即2<α.故选B(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1sin y x x =+(D) 21siny x x=+ 【答案】C【解析】关于C 选项：11sinsinlimlim1lim 101x x x x x x x x →∞→∞→∞+=+=+=. 11lim[sin ]limsin 0x x x x x x →∞→∞+-==，所以1sin y x x=+存在斜渐近线y x =. 故选C(3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（）(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥(D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤【答案】D【解析】令()()()(0)(1)(1)()F x g x f x f x f x f x =-=-+-，则(0)(1)0F F ==,()(0)(1)()F x f f f x ''=-+-,()()F x f x ''''=-.若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，()F x 在[0,1]上为凸的.又(0)(1)0F F ==，所以当[0,1]x ∈时，()0F x ≥，从而()()g x f x ≥. 故选D.(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是（）(C)(D)【答案】C 【解析】1112'21122432212t t t t t dy t dxtd y dy tdx dx t=====+==-===-()()''33'22211,11y k R kq y ==∴==++ 故选C(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则22limx x→=ξ （）(A)1 (B)23(C)12(D)13【答案】D【解析】因为'2()1()1f x f x ==+ξξ，所以2()()x f x f x -=ξ 22222200011()arctan 11limlimlim lim ()arctan 33x x x x x f x x xx x x f x x x x →→→→---+====ξ故选D.(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20ux y ∂≠∂∂及22220u ux y∂∂+=∂∂，则（） (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得【答案】A【解析】记22222,,,0,,u u uA B C B A C x x y y∂∂∂===≠∂∂∂∂相反数则2=AC-B 0∆<,所以(x,y)u 在D 内无极值，则极值在边界处取得.故选A(7) 行列式0000000ab a bcd c d= ( )(A)2()ad bc - (B)2()ad bc -- (C)2222a d b c - (D)2222b c a d -【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列000000000000a b a b a b a b a cd c b c d dcdc d=--()()ad ad bc bc ad bc =--+- 2()ad bc =--.(8) 设123,,a a a 均为三维向量，则对任意常数,k l ,向量组13a ka +,23a la +线性无关是向量组123,,a a a 线性无关的 ( )(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】()()13231231001k l k l ⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα.)⇐ 记()1323A k l =++αααα，()123B =ααα，1001k l ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C . 若123,,ααα线性无关，则()()()2r A r BC r C ===，故1323,k l ++αααα线性无关.)⇒ 举反例. 令30=α，则12,αα线性无关，但此时123,,ααα却线性相关.综上所述，对任意常数,k l ，向量1323,k l ++αααα线性无关是向量123,,ααα线性无关的必要非充分条件.故选A二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)12125dx x x -∞=++⎰__________.【答案】38π【解析】()111221111arctan 252214132428x dx dx x x x -∞-∞-∞+==++++⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰πππ(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________. 【答案】1【解析】()()[]'210,2f x x x =-∈，且为偶函数则()()[]'212,0f x x x =--∈-，又()22f x x x c =--+且为奇函数，故=0c()[]222,0f x x x x ∴=--∈-，又()f x Q 的周期为4，()()711f f ∴=-= (11) 设(,)z z x y =是由方程2274yzex y z +++=确定的函数，则11(,)22dz =__________.【答案】1()2dx dy -+ 【解析】对2274yzex y z +++=方程两边同时对,x y 求偏导22210(22)20yzyz z z e y x x z z e z y y y y ∂∂⎧⋅⋅++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=∂∂⎪⎩当11,22x y ==时,0z = 故1111(,)(,)222211,22z z x y∂∂=-=-∂∂故11(,)22111()()222dzdx dy dx dy =-+-=-+(12) 曲线lim n n nS →∞的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________. 【答案】22y x =-+ππ【解析】由直角坐标和极坐标的关系 cos cos sin sin x r y r ==⎧⎨==⎩θθθθθθ，于是(),,,22r ⎛⎫=⎪⎝⎭ππθ对应于(),0,,2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭π 切线斜率cos sin cos sin dydy d dx dx d +==-θθθθθθθθ0,22dy dx ⎛⎫⎪⎝⎭∴=-ππ所以切线方程为()202y x -=--ππ即2=2y x -+ππ(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________. 【答案】1120【解析】质心横坐标()()1010x x dx x x dx=⎰⎰ρρ()()()()31122100042112310005=2133211=2143212x x dx x x dx x x x x x x dx x x x dx x ⎛⎫-++=-++= ⎪⎝⎭⎛⎫-++=-++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ρρ111112=5203x ∴=(13) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1，则a 的取值范围_________. 【答案】[]2,2-【解析】配方法：()()()22222123133233,,24f x x x x ax a x x x x =+---+由于二次型负惯性指数为1，所以240a -≥，故22a -≤≤.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xtx t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰【解析】11221122d d (e 1)(e 1)lim lim 11ln(1)xx t t x x t t t t t t x x x x→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+⋅⎰⎰12lim[(e 1)]xx x x →+∞=--12000e 1e 11lim lim lim 222t t t xt t t t t t t t +++=→→→---====. (16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小值.【解析】由221x y y y ''+=-，得22(1)1y y x '+=-………………………………………………………①此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为331133y y x x c +=-+ 由(2)0y =得23c =又由①可得 221()1x y x y -'=+当()0y x '=时，1x =±，且有：1,()011,()01,()0x y x x y x x y x '<-<'-<<>'><所以()y x 在1x =-处取得极小值，在1x =处取得极大值 (1)0,(1)1y y -==即：()y x 的极大值为1，极小值为0.(17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y xy x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.【解析】D 关于y x =对称，满足轮换对称性，则：D D=⎰⎰12D D I dxdy ∴==⎢⎥⎣⎦⎰⎰1sin(2Ddxdy =⎰⎰π 2201211sin 21()cos 4d r rdrrd r =⋅=-⎰⎰⎰πθππππ22111cos |cos 4r r rdr ⎡⎤=-⋅-⎢⎥⎣⎦⎰ππ211121sin |4r ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦ππ34=-(18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x xz z z y x y∂∂+=+∂∂，若'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式.【解析】由()cos ,xz f e y =()(cos )cos ,(cos )sin x x x x z zf e y e y f e y e y x y∂∂''=⋅=⋅-∂∂ 22(cos )cos cos (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y x∂'''=⋅⋅+⋅∂， ()()()22(cos )sin sin (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y y∂'''=⋅-⋅-+⋅-∂ 由 ()22222+4cos x x z zz e y e x y∂∂=+∂∂，代入得， ()()22cos [4cos cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''⋅=+即()()cos 4cos cos x x x f e y f e y e y ''-=，令cos =,xe y t 得()()4f t f t t ''-=特征方程 240,2-==±λλ 得齐次方程通解2212t t y c e c e -=+设特解*y at b =+，代入方程得1,04a b =-=，特解*14y t =- 则原方程通解为()22121=4t ty f t c e c e t -=+-由()()'00,00f f ==，得1211,1616c c ==-, 则 ()22111=16164u u y f u e e u -=--.(19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤，证明：（I ）0(),[,]xag t dt x a x a b ≤≤-∈⎰,（II ）()()d ()g()ba a g t dtb aaf x x f x x dx +⎰≤⎰⎰.【解析】（I ）由积分中值定理()()(),[,]xag t dt g x a a x =-∈⎰ξξ()01g x ≤≤Q ，()()()0g x a x a ∴≤-≤-ξ()()0xa g t dt x a ∴≤≤-⎰（II ）直接由()01g x ≤≤，得到()()01=x xaag t dt dt x a ≤≤-⎰⎰（II ）令()()()()()ua u a g t dt aaF u f x g x dx f x dx +⎰=-⎰⎰()()()()()()()()()()'uaua F u f u g u f a g t dt g u g u f u f a g t dt =-+⋅⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰由（I ）知()()0u ag t dt u a ≤≤-⎰ ()uaa a g t dt u ∴≤+≤⎰又由于()f x 单增，所以()()()0u af u f ag t dt -+≥⎰()()'0F u F u ∴≥∴，单调不减，()()0F u F a ∴≥=取u b =，得()0F b ≥，即（II ）成立. (20)(本题满分11分)设函数[](x),0,11xf x x=∈+，定义函数列 1211()(),()(()),,()(()),n n f x f x f x f f x f x f f x -===L L ，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞.【解析】123(),(),(),,(),112131n x x x xf x f x f x f x x x x nx====++++L 11100011()11n n x x n n S f x dx dx dx nx nx+-∴===++⎰⎰⎰1110200111111ln(1)1dx dx nx n n nx n n =-=-++⎰⎰ 211ln(1)n n n=-+ ln(1)ln(1)1lim 1lim 1lim 1lim 1n n n x x n x nS n x x→∞→∞→∞→∞++∴=-=-=-+101=-= (21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积.【解析】因为2(1)fy y∂=+∂,所以2(,)2(),f x y y y x =++ϕ其中()x ϕ为待定函数. 又因为()2(,)(1)2ln ,f y y y y y =+--则()()12ln y y y =--ϕ，从而()()22(,)212ln (1)2ln f x y y y x x y x x =++--=+--.令(,)0,f x y =可得()2(1)2ln y x x +=-，当1y =-时，1x =或2x =，从而所求的体积为()()2221122112ln ln 22V y dx x xdxx xd x =+=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰πππ22211221ln (2)222552ln 2(2)2ln 22ln 2.444x x x x dxx x ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=--=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰πππππππ(22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵B .【解析】()123410012341000111010011101012030010431101A E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 123410010012610111010010213100131410013141---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭,(I)0Ax =的基础解系为()1,2,3,1T=-ξ (II)()()()1231,0,0,0,1,0,0,0,1TTTe e e ===1Ax e =的通解为()()111112,1,1,02,12,13,T Tx k k k k k =+--=--+-+ξ 2Ax e =的通解为()()222226,3,4,06,32,43,TTx k k k k k =+--=--+-+ξ 3Ax e =的通解为()()333331,1,1,01,12,13,TTx k k k k k =+-=--++ξ123123123123261123212134313k k k k k k B k k k k k k ----⎛⎫ ⎪-+-++⎪∴= ⎪-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭（123,,k k k 为任意常数）(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭L LM M M M L 与00100200n ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭LL M M M M L 相似. 【解析】已知()1111A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M L L M ，()12001B n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭LM =，则A 的特征值为n ，0(1n -重).A 属于n λ=的特征向量为(1,1,,1)T L ；()1r A =，故0Ax =基础解系有1n -个线性无关的解向量，即A 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量；故A 相似于对角阵=0n ⎛⎫⎪⎪Λ ⎪ ⎪⎝⎭O .B 的特征值为n ，0(1n -重)，同理B 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量，故B 相似于对角阵Λ.由相似关系的传递性，A 相似于B .2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

2014年考研数学二真题

2014年考研数学二真题考研数学二是每年考研的重要科目之一，对于很多考生来说，数学是他们最大的挑战之一。

因此，熟悉和理解以往的考题是备考的重要一环。

本文将详细分析2014年考研数学二真题，并给出解题思路和方法。

一、多项式的性质和运算第一题是关于多项式的性质和运算。

题目要求考生判断给定的多项式的一些性质，并求解一系列的运算。

解答这类问题的关键在于熟悉多项式的基本定义和性质。

首先，我们需要明确多项式的定义：多项式是指一些项的代数和，每个项由一个系数和一个变量的特定次数决定。

其次，需要了解多项式的运算法则，包括多项式加法、减法和乘法。

最后，还需要掌握多项式的因式分解和根与系数的关系。

在解答具体的题目时，可以根据每个选项给出的信息进行对应运算和判断。

重点关注多项式的次数、系数、根的性质等。

通过运用多项式的定义和运算法则，我们能够准确判断出每个选项的正确性，并得到最终的解答。

二、概率统计与随机变量第二题是关于概率统计与随机变量的问题。

题目给出了一系列的概率分布和随机变量的定义，并要求考生计算相关的概率和特征。

解答这类问题需要掌握概率统计与随机变量的基本概念和计算方法。

首先，需要了解概率分布的概念和计算方式，如离散概率分布和连续概率分布。

其次，需要熟悉随机变量及其特征的计算方法，如期望、方差、协方差等。

在解答具体的题目时，可以根据给定的概率分布和随机变量的定义，按照相应的公式进行计算。

重点关注概率分布的特性、随机变量的期望和方差等。

通过运用概率统计与随机变量的知识，我们能够准确计算出所需的概率和特征，并给出最终的解答。

三、数理统计与抽样第三题是关于数理统计与抽样的问题。

题目给出了一组数据，要求考生进行样本分析和参数估计。

解答这类问题需要掌握数理统计与抽样的基本理论和方法。

首先，需要了解样本和总体的概念，以及样本统计量和总体参数的关系。

其次，需要熟悉常见的样本分析和参数估计方法，如点估计和区间估计。

在解答具体的题目时，可以根据给定的数据，按照相应的步骤进行样本分析和参数估计。

2014年考研数学二真题试卷及答案解析

2
D
x y
dxdy xy
1 2
D
sin(
x2
y )dxdy
1
2 d
2 sin( r)r d r 1
2
rd cos( r)
20
1
1
1 4
r
cos(
r)
|12
2
cos( r) d r
1
11 3 24 4
18、
解
：
z x
f ' ex
cos y ,
2z x 2
cos y
(f'' e x
22、（本题满分 11 分）
1 2 3 4 设 A 0 1 1 1 , E 为 3 阶单位矩阵.
1 2 0 3
（I）求方程组 Ax 0的一个基础解系；
（II）求满足 AB E 的所有矩阵 B .
23、（本题满分 11 分）
1 1 1 0 0 1
证明：
n
阶矩阵
1 1
1 1
1 1
（）
（A） (2, ) （B） (1, 2)
（C） (1 ,1) 2
2、下列曲线中有渐近线的是（）
（D） (0, 1) 2
（A） y x sin x
（B） y x2 sin x
（C） y x sin 1 x
（D） x2 sin 1 x
3、设函数 f (x) 具有 2 阶导数， g(x) f (0)(1 x) f (1)x ，则在区间[0,1] 内（）
棒的质心坐标 x
.
14、设二次型 f (x1, x2, x3) x1 x22 2ax1x3 4x2x3 的负惯性指数为 1，则 a 的取值范围

2014年考研数学二真题及答案解析

(9)
1
x2
1 2x
5
dx
__________.
【答案】 3 8
【解析】
1
x2
1 2x
5
dx
1
x
1
12
4
dx
1 2
arctan
x 1 2
1
1 2
4
2
3 8
(10) 设 f (x) 是周期为 4 的可导奇函数，且 f (x) 2(x 1), x [0, 2] ，则 f (7) __________.
(A)
50
【答案】C
10
(B)
100
(C)10 10
5
(D) 5 10
【解析】
2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二
dy dx
t1
2t 2t
4
t 1
3
d2y dx2
t1
dy ' dx
2
t1
t2 2t
1
t 1
k
y '' 1 y'2
3 2
1
3
1 q2
, R
1 k
10
10
故选 C
) 举反例. 令3 0 ，则1,2 线性无关，但此时1,2 ,3 却线性相关.
综上所述，对任意常数 k, l ，向量1 k3 ,2 l3 线性无关是向量1,2 ,3 线性无关的必
要非充分条件.
故选 A
二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
lim x0
1
1
1 x
2
3x2
1 3

考研数学二历年真题及答案详解(2003—2014)

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．设2)(),(sin 1cos παα<=-x x x x ，当0→x 时，()x α （）（A ）比x 高阶的无穷小（B ）比x 低阶的无穷小（C ）与x 同阶但不等价无穷小（D ）与x 等价无穷小2．已知()x f y =是由方程()1ln cos =+-x y xy 确定，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛∞→12lim n f n n （）（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 ３．设⎩⎨⎧∈∈=]2,[,2),0[,sin )(πππx x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(则（）（Ａ）π=x 为)(x F 的跳跃间断点．（Ｂ）π=x 为)(x F 的可去间断点．（Ｃ）)(x F 在π=x 连续但不可导．（Ｄ）)(x F 在π=x 可导．４．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-=+-e x xx e x x x f ,ln 11,)1(1)(11αα，且反常积分()dx x f ⎰∞+收敛，则（）（A ）2-<α （B ）2>a （C ）02<<-a （D ）20<<α ５．设函数()xy f xyz =，其中f 可微，则=∂∂+∂∂y z x z y x （）（A ）)('2xy yf （B ）)('2xy yf -（C ）)(2xy f x （D ）)(2xy f x- 6．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价．（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价．（D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价．8．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是（A ）2,0==b a （B ）0=a ，b 为任意常数（C ）0,2==b a （D ）2=a ，b 为任意常数二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9． =⎪⎭⎫⎝⎛+-→xx x x 1)1ln(2lim ． 10．设函数dt e x f x t ⎰--=11)(，则)(x f y =的反函数)(1y f x -=在0=y 处的导数==0|y dydx． 11．设封闭曲线L 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-=663cos πθπθr t 为参数，则L 所围成的平面图形的面积为．12．曲线上⎪⎩⎪⎨⎧+==21ln arctan ty tx 对应于1=t 处的法线方程为．13．已知xx x x x xe y xe e y xe e y 2322231,,-=-=-=是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足1)0(',0)0(==y y 方程的解为．14．设()ij a A =是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ，则A = ．三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，求常数n a ,． 16．（本题满分10分）设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x 轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值． 17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰Ddxdy x 2． 18．（本题满分10分）设奇函数)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ；（2）存在)1,1(-∈η，使得1)()(='+''ηηf f ． 19．（本题满分10分）求曲线)0,0(133≥≥=+-y x y xy x 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离． 20．（本题满分11）设函数xx x f 1ln )(+= ⑴求)(x f 的最小值； ⑵设数列{}n x 满足11ln 1<++n n x x ，证明极限n n x ∞→lim 存在，并求此极限．21．（本题满分11）设曲线L 的方程为)1(ln 21412e x x x y ≤≤-=．（1）求L 的弧长．（2）设D 是由曲线L ，直线e x x ==,1及x 轴所围成的平面图形，求D 的形心的横坐标． 22．本题满分11分）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b B a A 110,011，问当b a ,为何值时，存在矩阵C ，使得B CA AC =-，并求出所有矩阵C ．23（本题满分11分）设二次型23322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=．记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,b b b a a a βα．（1）证明二次型f 对应的矩阵为 TTββαα+2；（2）若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 22212y y +．2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)曲线221x xy x +=-的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设2sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是( )(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰( )(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d y dx== .(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭ .(11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y ==的解为y = .(13) 曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = .三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe+-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<.(21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限. (22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2，(I) 求实数a 的值；(II) 求正交变换x Qy =将f 化为标准形.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。

2014考研数学二答案真题解析

00d
cd0
a d (1)33 a b c b (1)2 3 a b
cd
cd
ab ab
ad
bc
cd cd
ab (bc ad
cd
(ad bc 2
8、A 解析：
已知1，2，3无关
设（1 1+k3 ) 2 (2 l3 ) 0
即11+22 +（k1 l2 )3 0
1 2 1 l2 0
A
2u x2
与
B
2u y 2
异号.
AC B2 0 ，函数 u(x, y) 在区域 D 内没有极值. 连续函数在有界闭区域内有最大值和最小值，故最大值和最小值在 D 的边界点取到.
7、B 解析：
第 2 页，共 13 页
梦想不会辜负每一个努力的人
0ab 0
a0
0cd 0
c0
ab0
ab
a (1)21 c d 0 c (1)4 1 0 0 b
z1 0 1 2 3 4 0
A
z2
0
0
1
1
1
0
z3 1 1 2 0 3 1
即
1 2 3 4
0
1
1
1
1 2 0 3
1 0 0 1 2 3 4
0
1
0
0
1
1
1
0 0 1 0 4 3 1
1 2 3 4
0
1
1
1
0 0 1 3
1 0 0 1 2 0 5
f(x)
1
x
x
,f1(x)
f(x)
x
f2(x)
f(f(x))
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2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸..指定位置上•11、当x0时，若In ■ (1 2x), (1 -cosx)〉均是比x 高阶的无穷小，则:-的取值范围是()(A ) (2,(B ) (1,2)1 (C )(-,1)2(D )1(02)【答案】B【考点】等价无穷小、高阶无穷小【详解】1 x )0 时，ln ：(1 2x) ~ (2x):,1(1(1 _cosx)-〜！- 1 2平x12 )2因为它们都是比x 高阶的无穷小，故用＞1,1，即1 ：：： :• ：：： 2a2、下列曲线中有渐近线的是()【详解】对于选项A ，xim (x sin x )不存在，因此没有水平渐近线,同理可知，选项 A 没有铅直渐近线,y x +si nx而lim lim 不存在，因此选项 A 中的函数没有斜渐近线;x 厂X x 匚- x对于选项B 和D,我们同理可知，对应的函数没有渐近线；+ - 11y x+sin-对于C 选项，y = x sin.由于lim limx=1，又xx x ¥x11lim_ y -1 x 二 lim.sin 0 .所以 y = x ■ sin 存在斜渐近线 y = x .故选 C. x 】- x 】- X x(A) y 二 x sin x(C) y 二 x sinx【答案】C【考点】函数的渐近线2(B ) y = x sinx (D) y = x 2 sin 丄 x(4)设函数f(x)具有2阶导数，g(x) = f(0)(1 -x) • f (1)x，则在区间［0,1］内()(A)勺f(X)_0 时，f(x) —g(x)当(B)勺f(X)_0 时，f(x)乞g(x)当(C)勺f(X)_0 时， f (x) _g(x)当(D)当勺f (x) _0 时，f(xHg(x)【答案】D【考点】函数单调性的判别、函数图形的凹凸性【详解】【解法一】令F(x) =g(x) -f(x)则F (x) (0) f (1) - f (x)由拉格朗日中值定理知，存在(0,1)，使得f(1)-f(0) =(1-0)f「)= f「) 即F ( J =0又因为F ”(x)二-f (x)若「(x) 一0,则F (x)乞0，所以F(x)单调递减，当(0, ), F (x) 0,F(x)单调递增，当( ,1),F (x) <0,F(x)单调递减，又F(0) =0.F(1) =0，所以F(x) 一0,即f(x)乞g(x)，故选D【解法二】令f(x)=x2，则函数f(x)具有2阶导数，且「(x)_0所以g(x)二f (0)(1 —X) f (1)x 二x当x [0,1]时，f (x^g(x)，故选D4、曲线x#7,上对应于心的点处的曲率半径是()y =t 2 4t 1【答案】C【考点】参数方程求导、曲率及曲率半径【详解】巴25、设函数 f (x) =arctan x ，若 f (x) =xf ()，则 lim 2 =() T x 2 (A )1 (B )23(C 2(D)1【答案】D【考点】函数求导、函数求极限【详解】** f (x) arcta n x 1xx 1 2.•2 x - arctanx…J —arcta nxI I 6、设函数u(x, y)在有界闭区域 D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足0及EXy-2-2T ”0，则() x :y(A ) u(x, y)的最大值和最小值都在 D 的边界上取得 (B ) u(x, y)的最大值和最小值都在D 的内部取得(C ) u(x, y)的最大值在D 的内部取得，u(x, y)的最小值在 D 的边界上取得 (D ) u(x, y)的最小值在D 的内部取得，u(x, y)的最大值在 D 的边界上取得【答案】A(A 」50100(C)10、.. 10叫.Hx2 3X1 - 3 - \72 X 2 + X n29、【考点】二元函数极值的充分条件【详解】2 2 2 2 2 因为寻于，故V 与C 号异号.又 7=0，则AC -B 2：：：0,所以函数u （x,y ）在区域D 内没有极值.又连续函数在有界闭区域内有最大值和最小值，故最大值和最小值在7、行列式【答案】B【详解】【解法一】故选B 【解法二】8、设为3维向量，则对任意常数k,l ，向量组：k 3 / 2 H 3线性无关是向量组〉1,〉2, ?3线性无关的（）（A ）必要非充分条件（B ）充分非必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件【答案】A【考点】向量组的线性相关性【详解】:■、填空题：9〜14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上1二dx 二:x 22x 5D 的边界点取到.(A ) (ad -be)2(B )2-(ad -be)(C ) a 2d 2 -b 2c 2(D ),2 2 2 , 2b c -a d【考点】分块矩阵的行列式运算、行列式的性质、行列式按行（列）展开定理3【答案】3二8【考点】无穷限的反常积分【详解】10、设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f (x) =2(x—1),x・［0,2］，贝U f(7) = 【答案】1【考点】一阶微分方程、周期函数【详解】11、设z =z(x,y)是由方程e2yz x2 y2z =确定的函数，则41【答案】-丄(dx dy)2【考点】隐函数求偏导、全微分【详解】12、曲线L的极坐标方程是r - v，贝V L在点(rc) =(「)处的切线的直角坐标方程2 2是______ . ______Q TF【答案】y - - 2 x •—Tt2【考点】参数方程求导、极坐标与直角坐标的转化、切线方程【详解】把极坐标方程化为直角坐标方程丄x = r cos — v COST令••y = r sin J - ^sin)13、一根长为1的细棒位于x轴的区间［0,1］上，若其线密度^(x) --x22x 1，则该细棒的质心坐标x =11【答案】20【考点】质心坐标【详解】b_ J xP(x)dx x 二 a质心横坐标公式:b.，(x)dxa2 214、设二次型 f (x 1, x 2, x3^x 1 -x 2 2a^x 3 4x 2x 3的负惯性指数为1，贝U a 的取值范围是 _______ . _____ 【答案】[-2,2]【考点】二次型的规范形、矩阵的特征值、配方法化二次型为标准形【详解】【解法一】则’1 • '2 • ‘3二tr(A) =1 -1 • 0 =0，即特征值必有正有负，共 3种情况；因二次型的负惯性指数为 1=特征值1负2正或1负1正1零；1 0 a^0-12=T+a 2E0，即 a^[—2,2] a 2【解法二】三、解答题：15〜23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•15、(本题满分10分)【考点】函数求极限、变限积分函数求导、等价无穷小、洛必达法则【详解】16、(本题满分10分) 已知函数y =y(x)满足微分方程 x 2 y 2y 、1-y ■，且y(2) =0，求y(x)的极大值与极小值【考点】微分方程、函数的极值所以：x 二114 2312\j0x （—x 2+2x+1）dx （寸 3X 2X ）0 11o （—x 2 2x 1）dx（寸 xx ）20二次型对应的系数矩阵为:0 -1 2 a2°」=O ,记特征值为、J?, '3x In （1-）【详解】17、(本题满分10分)设平面区域 D -；(x, y) 1 _x 2y 2_4,x _0, y _0^，计算Xsin(、x口dxdy •Dx+y【考点】二重积分的计算、轮换对称性【详解】积分区域D 关于y = x 对称，利用轮对称行， 18、(本题满分10分)_2_2设函数f (u)具有2阶连续导数，z=f(e x cosy)满足—f —| = (4z e x cosy)e 2x .dx dy若 f (0) = 0 , f (0) = 0，求 f (u)的表达式•【考点】多元函数求偏导、二阶常系数非齐次线性微分方程【详解】令 u = e x cosy即：f (u) -4f(u) =u对应的齐次微分方程的特征方程为：『-4 =0解得：* = 2, r 2 二-2故齐次微分方程的通解为: 设 f *(u) =au b ，则 f * (u) =a, f * (u) =0，、 1 * 1代入微分方程解得： a ,b =0，即f (u) u44故 f (u^C 1e 2x C 2e'x 丄4所以 f (u) =2Ge 2u -2C 2ed -丄，f (u^4C 1e 2u 4C 2e ②4因为 f (0) =0， f (0) =0，代入解得：G1,C 2116 1612x1- 2 x1所以 f(u) e e u16 16419、(本题满分10分)2u2uf (u)二 Ge C 2e设函数f(x), g(x)在区间［a,b］上连续，且f(x)单调增加，Omg(x)乞1.x证明：(I) (I) 0 兰 a g(t)dt 兰X —a, X^［a,b］；ba+J g(t)dt b(II) f(x)dx » f (x)g(x)dxa -a【考点】定积分中值定理、不等式的证明【详解】(I)【解法一】因为函数g(x)在区间［a,b］上连续，且O_g(x)_1.XX x所以Odt 空g(t)dt » 1dta -a -ax即0 空g(t)dt 乞x「aa【解法二】x由定积分中值定理知：存在(a,b)，使得g(t)dt =(x-a)g( J，L a又因为x • ［a,b］时0乞g(x)空1，所以0 二(x-a)g( )^(x「a)x即0 g(t)dt _ x - aa【解法三】xx a+［g(t)dt(II )令F(x)「a f(u)g(u)du — .a a f (u)du20、(本题满分11分)设函数f(x) —，［0,1］.定义数列1 +xt(x)二f(x)，f2(X)二f ( f’X))，…，f n(x)二f (f n4(x))，-记S n是由曲线y = f n (x)，直线X =1及X轴所围平面图形的面积，求极限lim nS n. n ?:【考点】定积分求面积、函数求极限【详解】21、(本题满分11分)汙2已知函数f (x, y)满足- 2( y 1)，且f (y, y) = (y 1) - (2 - y)ln y.求曲线f (x, y) = 0 所围图形绕直线y =-1旋转所成旋转体的体积• 【考点】偏积分、隐函数、旋转体的体积【详解】(f2由函数 f (x, y)满足 2(y1)可知：f (x,y)二 y 2 • 2y •「(x)又 f(y,y) =y 2 2y：(y) =(y 1)2-(2-y)ln y所以：(y) =1 -(2 - y)ln y所以 f(x,y)二 y 2 2y 「(x)二 y 2 2y 1 _(2 — x)ln x = (y 1)2 _(2-x)ln x 令 y 1，贝U f(x, y) =0对应的曲线方程为：z 2 =(2-x)lnx ，定义域为[1,2]则曲线f(x,y)=0所围图形绕直线y =-1旋转，即Z 2=(2-X )I nx 绕z =0旋转，所成的旋转体体积22、(本题满分11 分)3 -4'1 _2设A0 1 _1 1,E 为3阶单位矩阵2 0一(I) 求方程组 Ax =0的一个基础解系; (II) 求满足AB =E 的所有矩阵B . 【考点】解线性方程组【详解】% = -x 4x 2 =2x 4 (I )方程组Ax =0的同解方程组为2 〜，即基础解系为帆=3x 4 X 4 二 X 4-1(II ) Ax 二的同解方程组为: Ax 的同解方程组为: X2 X1 X3X4■■n、 1 = —X4 —1■-1"■-1x2 =2x4 +121 0的同解方程组为：，即通解为k3+X3 =3X4 +1310丿X4 = X4 + 0、、0丿4 Ax =X[ = —X4 x2=2X4 x3 —3x4X4 =X4X +2 2& -1 3k 。

2014年考研数学二真题与解析

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四
个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字
母填在答题纸指定位置上.
(1)曲线的渐近线条数
()
(A) 0
(B) 1(Cຫໍສະໝຸດ 2(D)3(2) 设函数，其中为正整数,则
()
(A)
(B)
．
三、解答题
15．（本题满分10分）求极限．
16．（本题满分10分）已知函数满足微分方程，且，求的极大值和极小值．
17．（本题满分10分）设平面区域．计算 18．（本题满分10分）设函数具有二阶连续导数，满足．若，求的表达式． 19．（本题满分10分）设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：
()
(A)
(B) 2
(C) -2
(D)
-
(7) 设, , , ,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为
()
(A)
(B)
(C)
(D)
(8) 设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且.若，则
()
(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答
题纸指定位置上.
(9) 设是由方程所确定的隐函数，则
2014年考研数学二真题与解析
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是（）（A）（B）（C）（D）
2．下列曲线有渐近线的是（A）（B）（C）（D）
3．设函数具有二阶导数，，则在上（）
（A）当时，（B）当时，

2014数2考研真题

2014数2考研真题2014年数学二考研真题是很多考生备考的重点之一。

本文将为您详细分析该真题，并给出解答，帮助您更好地理解和应对考试。

第一题根据函数 $f(x) = \frac{e^x - 1}{x}$ 的定义，计算极限 $\lim_{x \to 0} f(x)$。

解答：首先将函数化简得到 $f(x) = \frac{e^x - 1}{x} = \frac{1}{x} \cdot(e^x - 1)$。

然后我们可以观察到当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$e^x - 1$ 近似等于 $x$。

因此，我们可以将 $f(x)$ 近似为 $\frac{1}{x} \cdot x = 1$。

因此，$\lim_{x \to 0} f(x) = 1$。

第二题已知 $f(x)$ 在 $(-\infty, -2)$ 上是增函数，在 $(-2, 1)$ 上是减函数，且 $f(-2) = f(1) = 0$，则函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, -2)$ 上的最大值为多少？解答：根据题目的条件，我们可以得到一个关键信息：当 $x$ 的值大于 $-2$ 时，$f(x)$ 呈下降趋势，也就是说，当 $x$ 在 $(-\infty, -2)$ 范围内取值时，$f(x)$ 取得最大值。

因此，我们只需要计算$f(-2)$ 的值即可，即 $f(-2) = 0$。

所以，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, -2)$ 上的最大值为 $0$。

第三题设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度函数为\[ f(x,y) = \begin{cases}c(x^2+y^2) & x^2+y^2 \leq 1 \\0 & 其他\end{cases}\]求常数 $c$ 的值。

解答：对于概率密度函数，它满足两个条件：非负性和积分等于 $1$。

因此，我们需要求解如下积分：\[ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dx \, dy = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} c(x^2+y^2) \, dx \, dy \]由于概率密度函数在单位圆以外的部分为 $0$，所以我们可以将积分区域变为单位圆的内部：\[ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} c(x^2+y^2) \, dx \, dy = \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} c(x^2+y^2) \, dy \, dx \]接下来我们需要对上式进行求解，即求解二重积分。