第五章第三节课时限时检测

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2018—2019学年下七年级生物第五章人体内废物的排出单元测试及答案

第五章　章末限时检测(时间:40分钟　满分:100分)第Ⅰ卷　选择题(共60分)一、单项选择题(每小题3分,共60分)1.(2017北京海淀区)人体形成尿液的器官是(　C　)解析:C是肾脏,是人体形成尿液的器官。

2.人的肾脏不断地形成尿液,而正常人每两次排尿之间总有较长时间的间隔,请分析该现象与图中哪一结构的功能有关(　C　)A.甲B.乙C.丙D.丁解析:尿的形成是连续的,但尿的排出是间歇的,与丙膀胱有暂时贮存尿液功能有关。

3.如图为人体不同部位的毛细血管示意图,其主要功能不是物质交换的是(　D　)解析:D表示肾单位中的肾小球和肾小囊,当血液流经肾小球时,除了血细胞和大分子的蛋白质外,其他的如水、无机盐、尿素、葡萄糖都会透过肾小球壁和肾小囊的内壁过滤到肾小囊腔内形成原尿,此结构在尿液形成过程中没有进行物质交换。

4.人体内多余的水分,排出到体外的途径有(　C　)①皮脂腺　②汗腺　③表皮　④真皮　⑤肾脏　⑥肺A.①②③④⑤⑥B.①②⑤⑥C.②⑤⑥D.①②⑤解析:排泄的途径有三条:②汗腺分泌汗液排出皮肤;泌尿系统(主要器官⑤是肾脏)排出尿液;呼吸系统(主要器官是⑥肺)排出二氧化碳和水。

5.下列能正确表示尿液形成过程的是(　B　)A.血浆原尿尿液B.血浆原尿尿液C.血浆原尿尿液D.血浆原尿尿液解析:当血液流经肾小球时,除血细胞和大分子蛋白质外,其他的如水、无机盐、尿素、葡萄糖会滤过到肾小囊形成原尿。

当原尿流经肾小管时,其中大部分水、部分无机盐和全部葡萄糖被重新吸收回血液,剩下的尿素、一部分无机盐和水形成了尿液。

因此能正确表示尿液形成过程的是B项。

6.(2018湛江市霞山区模拟)正常情况下,肾小球的出球小动脉比入球小动脉中的大分子物质浓度(　A　)A.高B.低C.相同D.无法确定解析:当血液流经肾小球时,除了血细胞和大分子的蛋白质外,其他的如水、无机盐、尿素、葡萄糖会过滤到肾小囊腔形成原尿,血细胞和大分子蛋白质会进入出球小动脉。

第五章第二节课时限时检测

(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a b等于( ) A.14 B.12C.13D.23解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2x ＝x ＋b 2b ＝x ＋2x ，所以b ＝3x 2，a ＝x 2，于是有a b ＝13. 答案：C2．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：由S 5＝(a 2＋a 4)·52⇒25＝(3＋a 4)·52⇒a 4＝7，所以7＝3＋2d ⇒d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.答案：B 3．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，若{1a n ＋1}为等差数列，则a 11＝( ) A ．0B.12C.23 D ．2解析：由已知可得1a 3＋1＝13，1a 7＋1＝12是等差数列{1a n ＋1}的第3项和第7项，其公差d ＝12－137－3＝124，由此可得1a 11＋1＝1a 7＋1＋(11－7)d ＝12＋4×124＝23，解之得a 11＝12. 答案：B4．设命题甲为“a ，b ，c 成等差数列”，命题乙为“a b ＋c b＝2”，那么( ) A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件解析：由a b ＋c b ＝2，可得a ＋c ＝2b ，但a 、b 、c 均为零时，a 、b 、c 成等差数列，但a b＋c b≠2. 答案：B5．已知等差数列{a n }、{b n }的公差分别为2和3，且b n ∈N *，则数列{ab n }是( )A ．等差数列且公差为5B ．等差数列且公差为6C ．等差数列且公差为8D ．等差数列且公差为9 解析：依题意有ab n ＝a 1＋(b n －1)×2＝2b n ＋a 1－2＝2b 1＋2(n －1)×3＋a 1－2＝6n ＋a 1＋2b 1－8，故ab n ＋1－ab n ＝6，即数列{ab n }是等差数列且公差为6.答案：B6．已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为( )A ．11B ．19C ．20D ．21 解析：∵a 11a 10<－1，且S n 有最大值， ∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0，∴S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19·a 10>0， S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0，所以使得S n >0的n 的最大值为19.答案：B二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________.解析：a 7－a 5＝2d ＝4，d ＝2，a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1，S k ＝k ＋k (k －1)2×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3. 答案：38．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项a n ＝________. 解析：由2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2，1a n ＋2－1a n ＋11a n ＋1－1a n ， ∴{1a n }为等差数列．又1a 1＝1，d ＝1a 2－1a 1＝1， ∴1a n ＝n ，∴a n ＝1n.答案：1n9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26.记T n ＝S n n 2，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，T n ≤M 都成立，则M 的最小值是________．解析：∵{a n }为等差数列，由a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26，可解得S n ＝2n 2－n ，∴T n ＝2－1n，若T n ≤M 对一切正整数n 恒成立，则只需(T n )max ≤M 即可．又T n ＝2－1n<2，∴只需2≤M ，故M 的最小值是2. 答案：2三、解答题(共3个小题，满分35分)10．已知等差数列{a n }的前三项为a －1,4,2a ，记前n 项和为S n .(1)设S k ＝2 550，求a 和k 的值；(2)设b n ＝S n n，求b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1的值．解：(1)由已知得a 1＝a －1，a 2＝4，a 3＝2a ，又a 1＋a 3＝2a 2，∴(a －1)＋2a ＝8，即a ＝3，∴a 1＝2，公差d ＝a 2－a 1＝2.由S k ＝ka 1＋k (k －1)2d ，得2k ＋k (k －1)2×2＝2 550，即k 2＋k －2 550＝0，解得k ＝50或k ＝－51(舍去)．∴a ＝3，k ＝50.(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d 得 S n ＝2n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋n . ∴b n ＝S n n＝n ＋1， ∴{b n }是等差数列，则b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1＝(3＋1)＋(7＋1)＋(11＋1)＋…＋(4n －1＋1)＝(4＋4n )n 2. ∴b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1＝2n 2＋2n .11．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4.(1)求证{a n }为等差数列；(2)求{a n }的通项公式．解：(1)当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1，而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)＝n ＋2，即a n ＝n ＋2.12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n 2＋cn (c ∈R ，n ＝1,2,3…)，且S 1，S 22，S 33(1)求c 的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)∵nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n 2＋cn (n ＝1,2,3，…)，∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝n 2＋cn n (n ＋1)(n ＝1,2,3，…)． ∵S 1，S 22，S 33成等差数列，∴S 22－S 11＝S 33－S 22. ∴1＋c 2＝4＋2c 6， ∴c ＝1.(2)由(1)得S n ＋1n ＋1－S n n1(n ＝1,2,3，…)． ∴数列{S n n }是首项为S 11，公差为1的等差数列． ∴S n n ＝S 11＋(n －1)·1＝n . ∴S n ＝n 2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1.当n ＝1时，上式也成立∴a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…)．。

2024年春季测试卷小学三年级下册数学人教版课时练第5单元《5.1面积和面积单位》(含答案)

课时练5.1面积和面积单位一、单选题1.融信创世纪小区2号楼高75米，每套的住房面积是100（）。

A. 米B. 分米C. 平方米D. 平方千米2.数学作业本封面的面积大约是4（）。

A. 平方厘米B. 平方分米C. 平方米3.洞庭湖现在的湖水面积是2820（）A. 平方千米B. 公顷C. 平方米4.我国的海洋面积大约是300万（）。

A. 公顷B. 平方千米C. 平方米D. 平方分米二、判断题5.天安门广场占地面积是44万平方米。

（）6.一张试卷的面积约是12平方米．（）7.我国的陆地面积大约为960平方米。

（）三、填空题8.一间教室的面积大约是50________ 字典厚5________ 大树高16________9.在横线上填写适当的单位。

一所学校占地面积9000________一棵大树高12________一个大拇指指甲的面积是1________一本字典厚3________10.在横线上填上合适的单位名称。

红的身高是132________，一张扑克牌的面积约是50________；学校篮球场的占地面积大约是400________。

11.在横线上填上合适的单位名称。

一支铅笔长17________ 1张A4纸的面积是609________一个笔记本电脑的显示屏面积约是6________ 一个挂衣橱高约2________四、解答题12.下面六个图形中，给面积最大的涂上绿色，面积最小的涂上红色。

五、应用题13.小明家有4口人，他家的住房面积是72平方米。

小兰家5口人，住房面积是100平方米。

谁家的人均住房面积大？参考答案1. C2. B3. A4. B5. 正确6. 错误7. 错误8. 平方米；厘米；米9. 平方米；米；平方厘米；厘米10. 厘；平方厘米；平方米11. 厘米；平方厘米；平方分米；米12. 解：由图数得：第一个图形中小正方形的个数是7个，第二个图形中小正方形的个数是8个，第三个图形中小正方形的个数是7个，第四个图形中小正方形的个数是7个，第五个图形中小正方形的个数是6个，第六个图形中小正方形的个数是5个。

初中物理八年级上册试卷讲义 06-第五章素养综合检测

第五章素养综合检测(满分100分,限时45分钟)一、选择题(每题4分,共28分)1.【物理跨数学】(2023山东沂水期中)如图所示,把一个凸透镜放在平面镜前,一束与凸透镜主光轴平行的入射光射向凸透镜(光线a、b是这束光的上下边缘),当观察平面镜时,感觉光束是从镜后的M点发散开来,则凸透镜的焦距是()A.40 cmB.30 cmC.10 cmD.20 cm2.【教材P103图片变式】如图所示,是显微镜和望远镜的原理示意图,下面是关于它们的二次成像的说法:①显微镜先成放大的实像,再成放大的虚像;②显微镜先成缩小的实像,再成放大的虚像;③望远镜先成放大的实像,再成放大的虚像;④望远镜先成缩小的实像,再成放大的虚像。

上述说法中正确的是()A.①②B.①④C.②④D.②③3.【安全与健康】(2023福建厦门海沧模拟)如图是某人眼成像示意图,该视力缺陷类型及矫正所需佩戴的透镜种类分别是()A.远视眼凸透镜B.远视眼凹透镜C.近视眼凸透镜D.近视眼凹透镜4.(2021广西梧州中考)如图甲所示,一幅漫画立在桌面上,小明把一个装有水的圆柱形玻璃杯放在漫画前,惊奇地发现,透过水杯看到漫画中的老鼠变“胖”了,还掉头奔向猫,如图乙所示,下列关于此现象的说法正确的是()A.透过水杯看到的变“胖”的老鼠是虚像B.装有水的圆柱形玻璃杯相当于一个凹透镜C.将漫画逐渐靠近水杯,透过水杯看到的老鼠始终是掉头的D.将漫画离水杯远一些,透过水杯看到的老鼠会变“瘦”一些5.【环境保护】(2022北京中考)小京通过焦距为10 cm的凸透镜看到了提示牌上“关灯”两字放大的像,如图所示。

下列说法正确的是(P8105003)()A.“关灯”两字放大的像是实像B.提示牌上“关灯”两字在凸透镜的焦点上C.提示牌上“关灯”两字到凸透镜的距离小于10 cmD.提示牌上“关灯”两字到凸透镜的距离大于20 cm6.(2022陕西镇巴期末)如图所示,投影仪是教学中常用的设备。

第九章第三节课时限时检测

(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分) 1．(2010·江南十校)最小二乘法的原理是( ) A ．使得∑i ＝1n[y i －(a ＋bx i )]最小B ．使得∑i ＝1n[y i －(a ＋bx i )2]最小C ．使得∑i ＝1n[y 2i －(a ＋bx i )2]最小D ．使得∑i ＝1n[y i －(a ＋bx i )]2最小解析：根据回归方程表示到各点距离的平方和最小的直线方程，即总体偏差最小，亦即∑i ＝1n[y i －(a ＋bx i )]2最小．答案：D2．对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程中的截距为( )A.a ^＝y ＋b ^xB.a ^＝y ＋b ^xC.a ^＝y －b ^xD.a ^＝y －b ^x解析：由回归直线方程恒过(x ，y )定点．答案：D3．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( ) A ．都可以分析出两个变量的关系B ．都可以用一条直线近似地表示两者的关系C ．都可以作出散点图D ．都可以用确定的表达式表示两者的关系解析：给出一组样本数据，总可以作出相应的散点图，但不一定能分析出两个变量的关系，更不一定符合线性相关或有函数关系．答案：C4．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：则大约有多大的把握认为多看电视与人变冷漠有关系( ) A ．99%B ．97.5%C ．95%D ．90%解析：可计算K 2＝11.377＞6.635. 答案：A5．(2010·南通模拟)对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则下列说法中不．正确的是( ) A ．由样本数据得到的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心(x ，y ) B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数为r ＝－0.9362，则变量y 和x 之间具有线性相关关系解析：C 中应为R 2越大拟合效果越好．答案：C6．(2010·中山四校)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：则哪位同学的试验结果体现A 、B 两变量有更强的线性相关性( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁解析：丁同学所得相关系数0.85最大，残差平方和m 最小，所以A 、B 两变量线性相关性更强．答案：D二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．据两个变量x ，y 之间的观测数据画成散点图如图，这两个变量是否具有线性相关关系(答“是”或“否”)________．答案：否8．某小卖部为了了解热茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：由表中数据算得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^≈－2，预测当气温为－5℃时，热茶销售量为________杯．(已知回归系数b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x )解析：根据表格中的数据可求得x ＝14(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14(24＋34＋38＋64)＝40.∴a ^＝y －b ^x ＝40－(－2)×10＝60，∴y ^＝－2x ＋60，当x ＝－5时，y ^＝－2×(－5)＋60＝70.答案：709．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K 2≈3.918，经查临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”； ②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒； ③这种血清预防感冒的有效率为95%； ④这种血清预防感冒的有效率为5%.解析：K 2≈3.918≥3.841，而P (K 2≥3.814)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．答案：①三、解答题(共3个小题，满分35分)10．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工10个零件需要多少小时？(注：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x )解：(1)散点图如图．(2)由表中数据得：∑i ＝14x i y i ＝52.5，x ＝3.5，y ＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝54，∴b ＝0.7，∴a ＝1.05，∴y ^＝0.7x ＋1.05，回归直线如图所示．(3)将x ＝10代入回归直线方程，得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05，∴预测加工10个零件需要8.05小时． 11．已知x 、y 之间的一组数据如下表：(1)从x 、y 中各取一个数，求x ＋y ≥10的概率；(2)针对表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y ＝13x ＋1与y ＝12x ＋12，试利用“最小二乘法”判断哪条直线拟合程度更好．解：(1)从x 、y 中各取一个数组成数对(x ，y )，共有25对，其中满足x ＋y ≥10的有(6,4)，(6,5)，(7,3)，(7,4)，(7,5)，(8,2)，(8,3)，(8,4)，(8,5)，共9对，故所求概率为P ＝925，所以使x ＋y ≥10的概率为925. (2)用y ＝13x ＋1作为拟合直线时，y 的实际值与所得的y 值的差的平方和为s 1＝(1－43)2＋(2－2)2＋(3－3)2＋(4－103)2＋(5－113)2＝73. 用y ＝12x ＋12作为拟合直线时，y 的实际值与所得的y 值的差的平方和为s 2＝(1－1)2＋(2－2)2＋(3－72)2＋(4－4)2＋(5－92)2＝12.因为s 1＞s 2，故直线y ＝12x ＋12的拟合程度更好．12．(2010·辽宁高考)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：乙厂：(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？附K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，解：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%；乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%.(2)K 2＝1 000×(360×180－320×140)2500×500×680×320≈7.35＞6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．。

(北师大版)四年级数学下册第5单元《第1~3课时的综合练习》课时测评-精选文档

第 4 课时第1～3课时的综合练习1.填空不困难，全对不简单。

（1）1里面有（）个0.1。

（2）0.1里面有10个（）。

（3）0.23里面有（）个0.01。

（4）4×（）＝134 （）×52＝1822.直接写得数。

2.6÷1.3＝0.24÷0.08＝1÷0.25＝ 2÷0.5＝3.填一填。

从上表中可以看出：当除数等于1时，商（）被除数。

当除数大于1时，商（）被除数。

当除数小于1时，商（）被除数。

4.竖式计算。

5.2÷0.32＝ 13.8÷15＝4÷25＝ 26.88÷56＝5.解决问题。

（1）美美蛋糕坊特制一种生日蛋糕，每个生日蛋糕需要0.32千克面粉。

李师傅领了5千克面粉，他最多能做几个这种生日蛋糕？（2）妈妈的体重是60千克，是小明体重的2.5倍，小明的体重是多少千克？（3）燕子每时飞行94.5千米，是大雁飞行速度的1.4倍，大雁每时飞行多少千米？（4）一个油桶能装3.5千克油，装35千克油至少需要几个这样的油桶？6.母亲节那天，小红想给妈妈买鲜花，康乃馨每枝3元，百合每枝6元，小红只有18元钱，她想用这些钱买这两种花，有几种不同的买法？答案与提示第4课时第1～3课时的综合练习轻松做做1.(1)10 (2)0.01 (3)23 (4)33.53.52.2 3 4 43.6 3 30 3.6 4 等于小于大于4.16.25 0.92 0.16 0.485.(1)15个(2)24千克(3)67.5千米(4)10个大胆猜猜有两种不同的买法。

1枝百合，4枝康乃馨；2枝百合，2枝康乃馨。

第一章第三节课时限时检测

(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．命题p：2n－1是奇数，q：2n＋1是偶数(n∈Z)，则下列说法中正确的是() A．p或q为真B．p且q为真C．非p为真D．非q为假解析：由题设知：p真q假，故p或q为真命题．答案：A2．已知命题p：∀x∈R，x>sin x，则p的否定形式为()A．綈p：∃x∈R，x<sin x B．綈p：∀x∈R，x≤sin xC．綈p：∃x∈R，x≤sin x D．綈p：∀x∈R，x<sin x解析：命题中“∀”与“∃”相对，则綈p：∃x∈R，x≤sin x.答案：C3．已知命题：p∧q为真，则下列命题是真命题的是()A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∨(綈q)C．p∨(綈q) D．(綈p)∧q解析：∵p∧q为真，∴p与q都为真，∴綈p，綈q均为假，故p∨(綈q)为真命题．答案：C4．（2011·汕头模拟）下列说法中，正确的是()A．命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题B．命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件解析：“∃x∈R，x2－x>0”为特称命题，则它的否定应为全称命题，即“∀x∈R，x2－x≤0”．答案：B5．（2011·大连质检）下列命题中真命题的个数是()①∀x∈R，x4>x2；②若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；③命题“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“∃x∈R，x3－x2＋1>0”．A．0 B．1 C．2 D．3解析：①x ＝0时，x 4>x 2不成立，①为假命题；②若p ∧q 是假命题，则p ，q 至少有一个是假命题，②不成立，为假命题；③正确．答案：B6．已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≥2B ．m ≤－2或m >－1C ．m ≤－2或m ≥2D ．－1＜m ≤2 解析：若p ∧q 为假命题，则p 与q 至少有一个为假命题．①若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1>0，m 2－4<0⇒－1<m <2； ②若q 假p 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤0，m 2－4≥0⇒m ≤－2； ③若q 假p 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>0，m 2－4≥0⇒m ≥2. 综上可得：m ≤－2或m ＞－1.答案：B二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．已知命题p ：“∃x ∈R ＋，x >1x”，命题p 的否定为命题q ，则q 是“________”； q 的真假为________．(填“真”或“假”)答案：∀x ∈R ＋，x ≤1x假 8．已知定义在R 上的函数f (x )，写出命题“若对任意实数x 都有f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数”的否定：______________________________.解析：所给命题是全称命题，其否定为特称命题．答案：若存在实数x 0，使得f (－x 0)≠f (x 0)，则f (x )不是偶函数9．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3，又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8，所以实数m 的取值范围是3≤m <8.答案：3≤m <8三、解答题(共3小题，满分35分)10．用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题，并判断真假．(1)不等式x 2－x ＋14≥0对一切实数x 都成立； (2)存在实数x 0，使得1x 0－2x 0＋3＝34. 解：(1)∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0恒成立． x 2－x ＋14(x －12)2≥0，故该命题为真命题． (2)∃x 0∈R ，使得1x 20－2x 0＋3＝34. ∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，∴1x 2－2x ＋3≤12＜34故该命题是假命题．11．分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题，并判断真假．(1)相似三角形周长相等或对应角相等；(2)9的算术平方根不是－3；(3)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．解：(1)这个命题是p ∨q 的形式，其中p ：相似三角形周长相等，q ：相似三角形对应角相等，因为p 假q 真，所以p ∨q 为真．(2)这个命题是綈p 的形式，其中p ：9的算术平方根是－3，因为p 假，所以綈p 为真．(3)这个命题是p ∧q 的形式，其中p ：垂直于弦的直径平分这条弦．q ：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧，因为p 真q 真，所以p ∧q 为真．12．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．解：由“p 且q ”是真命题，则p 为真命题，q 也为真命题．若p 为真命题，a ≤x 2恒成立，∵x ∈[1,2]，∴a ≤1.若q 为真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2，综上，实数a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1.。

河南省教师原创2015届新课标高考化学总复习课件：第5章第3节化学键

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化学【巩固练习】
3．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)。 (1)在CO2分子中碳氧原子间共用两对电子，每个原子均达到8e－稳定结构( ) ) (2)金属和非金属化合时一定形成离子键(
(3)离子键是阳离子、阴离子的相互吸引力(
在离子键( )
)
(4) 根据电离方程式 HCl===H＋＋ Cl －，判断 HCl 分子里存
化学
抓住 2 个基础知识点
误区警示
第三节化学键
掌握 2 个核心考点
高效训练 6 道题
课时限时检测
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化学
[ 考纲定位 ]
1. 了解化学键的定义。 2. 了解离子键、共价
键的形成。3.了解原子结构示意图、分子式、结构式及其简式
【答案】
服/务/教/师免/费/馈/赠
①②③⑤
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化学
————————[2个预测练] ———————— 考向预测1 化合物和化学键的判断 )
1．X、Y为两种主族元素，其原子的最外层电子数分别为
1和6，则X、Y两种元素形成的化合物( A．一定是离子化合物 B．一定是共价化合物 C．一定形成X2Y型化合物
如Na2O2、CaC2、NH4Cl、NaOH、Na2SO4等。
四、无化学键的物质稀有气体，如氩气、氦气等。
服/务/教/师
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化学关键提醒
(1) 有化学键破坏的变化不一定是化学变化，如 HCl 溶于水， NaCl 熔化都有化学键破坏，但无新化学键生成，故属于物理变化。 (2) 许多非金属单质和许多共价化合物在熔化时并不破坏

中考数学专题复习试卷(七)(有答案)

第五章限时检测卷(时间：80分钟分值：100分得分：)一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)1．(2020德州改编)下列命题中真命题是(B)A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C．一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形D．对角线相等的四边形是矩形2．(2020菏泽)如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是(C)A．互相平分B．相等C．互相垂直D．互相垂直平分3．如图，在▱ABCD中，BM平分∠ABC交CD于点M，若MC＝2，▱ABCD的周长是14，则DM等于(C)A．1 B．2C．3 D．4第3题图第4题图4．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8 cm，∠BOC＝120°，则BC的长为(C) A．2 3 cm B．4 cmC．4 3 cm D．8 cm5．菱形的边长是5 cm，一条对角线的长是8 cm，则另一条对角线的长为(C)A．10 cm B．8 3 cmC．6 cm D．5 3 cm6．如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD＝30°，∠BEC ＝90°，EF＝4 cm，则矩形的面积为(C)A．16 cm2B．8 3 cm2C．16 3 cm2D．32 cm2第6题图第7题图7．(2020湖州)四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD 的内角，正方形ABCD 变为菱形ABC ′D ′，若∠D ′AB ＝30°，则菱形ABC ′D ′的面积与正方形ABCD 的面积之比是( B )A ．1B ．12C ．22D ．328．如图，平行四边形纸片ABCD 和EFGH 上下叠放，AD ∥EH 且AD ＝EH ，CE 交GH 于点O ，已知S ▱ABCD ＝a ，S ▱EFGH ＝b (a ＜b )，则阴影部分的面积为( D )A ．b －aB ．12(b －a )C ．12aD ．12b第8题图第9题图第10题图9．如图，四边形ABCD 是边长为4的正方形，点E 为边BC 上的点，以DE 为边向外作矩形DEFG ，使FG 过点A ，若DG ＝165，那么DE ＝( A )A ．5B ．3 2C ．322D ．28510．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AC 与BD 交于点O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD ＝DE ，连接BE 分别交AC ，AD 于点F ，G ，连接OG ，则下列结论：①OG ＝12AB ；②与△EGD 全等的三角形共有5个；③S 四边形ODGF>S △ABF ；④由点A 、B 、D 、E 构成的四边形是菱形．其中正确的结论有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(本大题5小题，每小题4分，共20分)11．(2020嘉兴)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，请添加一个条件： AB＝BC(答案不唯一) ，使▱ABCD是菱形．第11题图第13题图第14题图12．菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为20 cm，面积为24 cm2.13．(2020天水)如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E 的坐标为(2，3)，则点F的坐标为(－1，5) ．14．(2020遵义)如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为245．15．(2020杭州)如图，ABCD是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE 对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF.若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝2，BE＝5－1 ．三、解答题(一)(本大题2小题，每小题6分，共12分)16．(2020泰安节选)如图，△ABC和△AED均为等腰三角形，已知∠BAC＝∠EAD＝90°.且点B是DE的中点．求证：四边形BEAC为平行四边形．证明：∵△AED为等腰三角形，∠EAD＝90°，B是DE的中点，∴∠E＝∠BAE＝45°，∠ABE＝90°.∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠BAE＝45°，∠ABE＝∠BAC＝90°.∴BC∥AE，AC∥BE.∴四边形BEAC是平行四边形．17．如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．证明：∵BF ∥CE ，CF ∥BE ， ∴四边形BECF 是平行四边形．又∵在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB ， ∴∠EBC ＝∠ECB ＝45°. ∴∠BEC ＝90°，BE ＝CE . ∴平行四边形BECF 是正方形．四、解答题(二)(本大题4小题，共38分)18．(8分)(2020张家界)如图，在矩形ABCD 中，过对角线BD 的中点O 作BD 的垂线EF ，分别交AD ，BC 于点E ，F .(1)求证：△DOE ≌△BOF ；(2)若AB ＝6，AD ＝8，连接BE ，DF ，求四边形BFDE 的周长．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，DO ＝BO ，∴∠EDO ＝∠FBO . 又∵EF ⊥BD ，∴∠EOD ＝∠FOB ＝90°. 在△DOE 和△BOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EDO ＝∠FBO ，DO ＝BO ，∠EOD ＝∠FOB .∴△DOE ≌△BOF (ASA)．(2)解：∵由(1)可得，ED ∥BF ，ED ＝BF ， ∴四边形BFDE 是平行四边形． ∵BO ＝DO ，EF ⊥BD ，∴ED ＝EB ， ∴四边形BFDE 是菱形．设AE ＝x ，则BE ＝ED ＝8－x .在Rt △ABE 中，根据勾股定理，得BE 2＝AB 2＋AE 2. ∵AB ＝6，AD ＝8，∴(8－x )2＝x 2＋62，解得x ＝74.∴BE ＝8－74＝254.∴四边形BFDE 的周长＝254×4＝25.19.(8分)已知：AC 是菱形ABCD 的对角线，延长CB 至点E ，使得BE ＝BC ，连接AE .(1)求证：AE ⊥AC ；(2)过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ，若AE ＝6，CE ＝10，求DF 的长．(1)证明：如图，连接BD ，交AC 于点O ， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AO ＝CO ，∠BOC ＝90°. ∵AO ＝CO ，BE ＝BC ， ∴OB ＝12AE ，BD ∥AE .∴∠EAC ＝∠BOC ＝90°. ∴AE ⊥AC ．(2)解：∵∠EAC ＝90°，AE ＝6，CE ＝10， ∴AC ＝EC 2－AE 2＝8. 由(1)得BD ∥AE ，AD ∥BE ， ∴四边形AEBD 为平行四边形． ∴BD ＝AE ＝6.在Rt △AEC 中，BE ＝BC ，∴AB ＝BE ＝BC ＝12CE ＝5.∵S 菱形ABCD ＝DF ×AB ＝12AC ×BD ，∴5DF ＝12×6×8.解得DF ＝245.20．(10分)(2020杭州)如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE ，∠DAE 的平分线AG 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F ，设CEEB＝λ(λ>0)．(1)若AB ＝2，λ＝1，求线段CF 的长． (2)连接EG ，若EG ⊥AF ， ①求证：点G 为CD 边的中点． ②求λ的值．(1)解：∵在正方形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠DAF ＝∠F . 又∵AG 平分∠DAE ， ∴∠DAF ＝∠EAF . ∴∠EAF ＝∠F ，EA ＝EF .∵λ＝1，AB ＝BC ＝2，∴BE ＝EC ＝1. 在Rt △ABE 中，由勾股定理，得EA ＝ 5. ∴CF ＝EF －EC ＝5－1.(2)①证明：∵EA ＝EF ，EG ⊥AF ，∴AG ＝GF . 又∵∠AGD ＝∠FGC ，∠DAG ＝∠F ， ∴△DAG ≌△CFG (ASA)．∴DG ＝CG .∴点G 为CD 边的中点． ②解：不妨设CD ＝2，则CG ＝1. 由①知CF ＝AD ＝2. ∵EG ⊥AF ，∠GCF ＝90°，∴∠EGC ＋∠CGF ＝90°，∠F ＋∠CGF ＝90°. ∴∠EGC ＝∠F . ∴△EGC ∽△GFC ． ∴CE CG ＝CG CF ＝12. ∴EC ＝12，BE ＝32.∴λ＝CE EB ＝13.21．(12分)如图，平行四边形ABCD 中，G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF .(1)求证：四边形CEDF 为平行四边形； (2)若AB ＝6 cm ，BC ＝10 cm ，∠B ＝60°， ①当AE ＝ 7 cm 时，四边形CEDF 是矩形； ②当AE ＝ 4 cm 时，四边形CEDF 是菱形．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CF ∥ED .∴∠FCG ＝∠EDG . ∵G 是CD 的中点， ∴CG ＝DG .在△FCG 和△EDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FCG ＝∠EDG ，CG ＝DG ，∠CGF ＝∠DGE ，∴△FCG ≌△EDG (ASA)．∴FG ＝EG . ∴四边形CEDF 是平行四边形．(2)解：①当AE ＝7时，平行四边形CEDF 是矩形，理由如下：如图，过A 作AM ⊥BC 于M ， ∵∠B ＝60°，AB ＝6，∴BM ＝3. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠EDC ＝∠B ＝60°，DC ＝AB ＝6，BC ＝AD ＝10. ∵AE ＝7，∴DE ＝3＝BM .在△MBA 和△EDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝DE ，∠B ＝∠EDC ，AB ＝CD ，∴△MBA ≌△EDC (SAS)．∴∠CED ＝∠AMB ＝90°. ∵四边形CEDF 是平行四边形， ∴平行四边形CEDF 是矩形；②当AE ＝4时，四边形CEDF 是菱形．理由如下：∵AD ＝10，AE ＝4，∴DE ＝6. ∵CD ＝6，∠CDE ＝60°， ∴△CDE 是等边三角形． ∴CE ＝DE .∵四边形CEDF 是平行四边形， ∴平行四边形CEDF 是菱形．。

【名师金典】(教师用书)版高考数学大一轮复习第五章数列

第五章数列第一节数列的概念与简单表示法[考情展望] 1.以数列的前n 项为背景写数列的通项.2.考查由数列的通项公式或递推关系，求数列的某一项.3.考查已知数列的递推关系或前n 项和S n 求通项a n.一、数列的有关概念判断数列递增(减)的方法 (1)作差比较法：①若a n ＋1－a n ＞0，则数列{a n }为递增数列． ②若a n ＋1－a n ＝0，则数列{a n }为常数列． ③若a n ＋1－a n ＜0，则数列{a n }为递减数列．(2)作商比较法：不妨设a n ＞0. ①若a n ＋1a n＞1，则数列{a n }为递增数列． ②若a n ＋1a n＝1，则数列{a n }为常数列． ③若a n ＋1a n＜1，则数列{a n }为递减数列．三、数列的表示方法数列有三种表示方法，它们分别是列表法、图象法和解析法．四、a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝，S n －S n －1， n已知S n 求a n 的注意点利用a n ＝S n －S n －1求通项时，注意n ≥2这一前提条件，易忽略验证n ＝1致误，当n ＝1时，a 1若适合通项，则n ＝1的情况应并入n ≥2时的通项；否则a n 应利用分段函数的形式表示．1．已知数列{a n }的前4项分别为2,0,2,0，则下列各式不可以作为数列{a n }的通项公式的一项是( )A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1B ．a n ＝2sinn π2C ．a n ＝1－cos n πD ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数0，n 为偶数【答案】 B2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，则a 5的值为( ) A ．30 B ．31 C ．32 D ．33 【答案】 B3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，则这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列【答案】 A4．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝ .【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧2n ＝2n －n5．若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫nn ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝ . 【答案】 46．(2013·课标全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n＝ .【答案】 (－2)n －1考向一 [083] 由数列的前几项归纳数列的通项公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. 【尝试解答】 (1)符号可通过(－1)n表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2)数列变为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n －32n .规律方法1 1.求数列的通项时，要抓住以下几个特征．(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n ＋1来调整．考向二 [084] 由递推关系求通项公式根据下列条件，求数列的通项公式a n .(1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n； (2)在数列{a n }中，a n ＋1＝n ＋2na n ，a 1＝4； (3)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1.【尝试解答】 (1)由a n ＋1－a n ＝2n，把n ＝1,2,3，…，n －1(n ≥2)代入，得(n －1)个式子，累加即可得(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋22＋23＋…＋2n －1，所以a n －a 1＝－2n －11－2，即a n －a 1＝2n－2，所以a n ＝2n－2＋a 1＝2n－1. 当n ＝1时，a 1＝1也符合，所以a n ＝2n－1(n ∈N *)． (2)由递推关系a n ＋1＝n ＋2n a n ，a 1＝4，有a n ＋1a n ＝n ＋2n，于是有a 2a 1＝3，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n －1a n －2＝nn －2，a n a n －1＝n ＋1n －1，将这(n －1)个式子累乘，得a n a 1＝n n ＋2.所以当n ≥2时，a n ＝n n ＋2a 1＝2n (n ＋1)．当n ＝1时，a 1＝4符合上式，所以a n ＝2n (n ＋1)(n ∈N *)．(3)由a n ＋1＝2a n ＋1得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，令b n ＝a n ＋1，所以{b n }是以2为公比的等比数列．所以b n ＝b 1·2n －1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝b n －1＝2n ＋1－1(n ∈N *)．规律方法2 递推式的类型对点训练 (2015·银川模拟)已知f (x )＝1＋x.各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n＋2＝f (a n )．若a 2 014＝a 2 016，则a 20＋a 11的值是．【答案】135＋326考向三 [085] 由a n 与S n 的关系求通项a n已知数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式：(1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n＋b .(b 为常数)【尝试解答】 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ， n ＝1，2·3n －1， n ≥2.规律方法3 已知S n 求a n 时的三个注意点(1)重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论；特别注意a n ＝S n －S n －1中需n ≥2.(2)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合“a n 式”，则需统一“合写” . (3)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合“a n 式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.对点训练 (1)(2015·贵阳模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1【答案】 B(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ，求下面数列{a n }的通项公式a n . ①S n ＝2n 2－3n ；②S n ＝3n＋b . 【解】 ①a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. ②a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋b ，2·3n －1，n ＝1，n ≥2.易错易误之十明确数列中项的特征，慎用函数思想解题 —————————— [1个示范例] ——————已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，3)C ．(－∞，2)D ．(－∞，3]【解析】 ∵a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }单调递增，∴a n ＋1－a n ＞0对∀n ∈N *都成立，此处在求解时，常犯“a n 是关于n 的二次函数，若{a n }单调递增，则必有k2≤1，k ≤2”的错误．出错的原因是忽视了数列作为函数的特殊性即自变量是正整数．又a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k ，所以由2n ＋1－k ＞0，即k ＜2n ＋1恒成立可知k ＜(2n ＋1)min ＝3.,【防范措施】 1.明确函数单调性与数列单调性的关系 (1)若数列所对应的函数是单调的，则该数列一定单调．(2)若数列是单调的，其对应的函数未必单调，原因是数列是定义在n ∈N *上的特殊函数． 2．数列单调性的判断一般通过比较a n ＋1与a n 的大小来判断：若a n ＋1＞a n ，则该数列为递增数列；若a n ＋1＜a n ，则该数列为递减数列．———————— [1个防错练] ———————已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是．【解析】法一 (定义法)因为{a n }是递增数列，故对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1)(*)．因为n ≥1，故－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.法二 (函数法)设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其对称轴为n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需满足n ＝－λ2＜32即可，即λ＞－3.【答案】 (－3，＋∞)课时限时检测(二十九) 数列的概念与简单表示法(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．如图5－1－1，关于星星的图案中星星的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )图5－1－1A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n n －2 C ．a n ＝n n ＋2D ．a n ＝n n ＋2【答案】 C2．在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( ) A ．103 B.8658C.8258D ．108 【答案】 D3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n，则a 10＝( ) A ．1 024 B ．1 023 C ．2 048 D ．2 047【答案】 B4．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．2n －1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．n【答案】 D5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．45D ．45＋1【答案】 A6．对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n (n ≥2)，则a 16＝ .【答案】 128．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝ .【答案】61169．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，且1＜S k ＜9(k ∈N *)，则a 1的值为，k 的值为．【答案】－1 4三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)∵S n ＝n ＋23a n ，且a 1＝1，∴S 2＝43a 2，即a 1＋a 2＝43a 2，得a 2＝3.由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，得a 3＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1，即a n a n －1＝n ＋1n －1，于是a 2a 1＝3，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n a n －1＝n ＋1n －1，以上n －1个式子的两端分别相乘，得a n a 1＝n n ＋2，∴a n ＝n n ＋2，n ≥2.又a 1＝1适合上式，故a n ＝n n ＋2，n ∈N *.11．(12分)已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．【解】 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)． ∴b n＝⎩⎪⎨⎪⎧23，n ＝，1n ，n(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1，∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＜0， ∴{c n }是递减数列．12.(13分)在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n ＝6n ＋2，点(a nn，b n )在y ＝x 3＋mx 的图象上，{b n }的最小项为b 3.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求m 的取值范围．【解】 (1)∵a n ＋1－a n ＝6n ＋2， ∴当n ≥2时，a n －a n －1＝6n －4.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(6n －4)＋(6n －10)＋…＋8＋2 ＝n －＋n －2＋2＝3n 2－3n ＋2n －2＋2 ＝3n 2－n ，显然a 1也满足a n ＝3n 2－n ，∴a n ＝3n 2－n . (2)∵点(a nn，b n )在y ＝x 3＋mx 的图象上， ∴b n ＝(3n －1)3＋m (3n －1)．∴b 1＝8＋2m ，b 2＝125＋5m ，b 3＝512＋8m ，b 4＝1 331＋11m . ∵{b n }的最小项是b 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧8＋2m ≥512＋8m ，125＋5m ≥512＋8m ，1 331＋11m ≥512＋8m ，∴－273≤m ≤－129.∵b n ＋1＝(3n ＋2)3＋m (3n ＋2)，b n ＝(3n －1)3＋m (3n －1)， ∴b n ＋1－b n ＝3[(3n ＋2)2＋(3n －1)2＋(3n ＋2)(3n －1)]＋3m ＝3(27n 2＋9n ＋3＋m )，当n ≥4时，27n 2＋9n ＋3＞273，∴27n 2＋9n ＋3＋m ＞0， ∴b n ＋1－b n ＞0，∴n ≥4时，b n ＋1＞b n . 综上可知－273≤m ≤－129， ∴m 的取值范围为[－273，－129]．第二节等差数列[考情展望] 1.运用基本量法求解等差数列的基本量问题.2.在解答题中对所求结论的运算进行等差数列的判断与证明.3.在具体情景中能识别具有等差关系的数列，并会用等差数的性质解决相应问题．一、等差数列1．定义：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)．2．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d . 3．前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －d 2＝n a 1＋a n2.4．a 、b 的等差中项A ＝a ＋b2.证明{a n }为等差数列的方法：(1)用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列； (2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； (3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列； (4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn 或S n ＝n a 1＋a n2.二、等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．(1)若m 、n 、p 、q 、k 是正整数，且m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k .(2)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，也是等差数列．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)． ②S 2n －1＝(2n －1)a n .③n 为偶数时，S 偶－S 奇＝n2d ；n 为奇数时，S 奇－S 偶＝a 中．1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 【答案】 D2．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20 D ．25 【答案】 B3．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22 D ．24 【答案】 B4．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝ . 【答案】 2n －15．(2013·重庆高考)若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝ . 【答案】 726．(2013·广东高考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝ . 【答案】 20考向一 [086] 等差数列的判定与证明在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2，且n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值； (2)设b n ＝a n ＋32n(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．【尝试解答】 (1)∵a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2)． ∴a 2＝2a 1＋4＋3＝－6＋4＋3＝1.a 3＝2a 2＋23＋3＝13.(2)证明：对于任意n ∈N *， ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋32n ＋1－a n ＋32n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )－3]＝12n ＋1[(2n ＋1＋3)－3]＝1，∴数列{b n }是首项为a 1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．规律方法1 用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．对点训练 (2014·大纲全国卷)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. ①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； ②求{a n }的通项公式．【证明】 ①由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． ②由①得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑k ＝1n(a k ＋1－a k )＝∑k ＝1n(2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.考向二 [087] 等差数列的基本运算(1)(2013·课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】 C(2)(2013·四川高考)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．【尝试解答】设该数列的公差为d ，前n 项和为S n .由已知可得． 2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )，所以a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n2.规律方法2 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．对点训练 (2014·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.①求d 及S n ；②求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 【解】 ①由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d ＞0，所以d ＝2，S n ＝n 2(n ∈N *)．②由①得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.由m ，k ∈N *知2m ＋k －1＞k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.考向三 [088] 等差数列的性质及应用(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176 【答案】 B(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，求数列{a n }的项数及a 9＋a 10.【尝试解答】由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，①a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n a 1＋a n2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18. 由a 1＋a n ＝36，n ＝18.∴a 1＋a 18＝36，从而a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.规律方法3 1.在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k 是常用的性质，本例(1)、(2)都用到了这个性质．2．掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口．对点训练 (1)已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝ . 【答案】 (1)A (2)60考向四 [089] 等差数列前n 项和的最值在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．【尝试解答】法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15， ∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653. 令a n ≥0得n ≤13，即当n ≤12时，a n ＞0；n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130. 法二同法一得d ＝－53.又由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.规律方法4 求等差数列前n 项和的最值常用的方法(1)先求a n ，再利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值．(2)①利用性质求出其正负转折项，便可求得前n 项和的最值．②利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．对点训练已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．【解】 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解出a 1＝3，d ＝－2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5. (2)S n ＝na 1＋n n －2d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2，所以n ＝2时，S n 取到最大值4.规范解答之八等差数列的通项与求和问题 ————————— [1个示范例] ———————(12分)(2013·浙江高考)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.【规范解答】 (1)由题意得，a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，由a 1＝10，{a n }为公差为d 的等差数列得，d 2－3d －4＝0，2分解得d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11(n ∈N *)或a n ＝4n ＋6(n ∈N *). 5分(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d ＜0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，6分所以当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ；当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110， n ≥12.12分【名师寄语】 1.涉及求数列{|a n |}前n 项和的题目，其解题的关键是找到数列{a n }的正负界点，因此借助绝对值的性质，去掉绝对值符号是解题的着眼点．2．要正确区分“|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |”与“a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ”的差异，明确两者间的转换关系，切忌逻辑混乱．————————— [1个规范练] ———————已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，易求a 2＝－1，则a 3＝a 2＋d ，a 1＝a 2－d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1－d ，－1＋d －1－d －＝8，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3.或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5，或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7.故a n ＝－3n ＋5，或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列，不合题设条件．当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5. 当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n | ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋n －＋n －2＝32n 2－112n ＋10. 当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n >1.课时限时检测(三十) 等差数列 (时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }中的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】 D3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】 A4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27 【答案】 B5．(2013·辽宁高考)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4 【答案】 D6．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 012的值等于( )A ．－2 011B ．－2 012C ．－2 010D ．－2 013 【答案】 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝ . 【答案】 108．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝ . 【答案】 139．已知等差数列{a n }中，a 1，a 99是函数f (x )＝x 2－10x ＋16的两个零点，则12a 50＋a 20＋a 80＝ .【答案】252三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.【解】 (1)设{a n }的公差为d ，由题意得a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )．于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .11．(12分)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ； (2)若数列{b n }满足b n ＝S nn ＋c，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．【解】 (1)由等差数列的性质，得a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝22， ∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的根，且a 4＞a 3， ∴a 3＝9且a 4＝13，从而a 1＝1，公差d ＝4，故通项a n ＝1＋4(n －1)＝4n －3. (2)由(1)知S n ＝n＋4n －2＝2n 2－n ，所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn ＋c .法一所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c(c ≠0)．令2b 2＝b 1＋b 3，解得c ＝－12.当c ＝－12时，b n ＝2n 2－nn －12＝2n ，当n ≥2时，b n －b n －1＝2.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．法二当n ≥2时， b n －b n －1＝2n 2－nn ＋c－n －2－n－n －1＋c＝2n 2＋c －n －3c n 2＋c －n ＋c c －，欲使{b n }为等差数列，只需4c －2＝2(2c －1)且－3c ＝2c (c －1)(c ≠0)，解得c ＝－12.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．12．(12分)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)．(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项； (3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．【解】 (1)证明由3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)得， 1a n －1a n －1＝3(n ≥2)，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)由(1)可得，1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2.∴a n ＝13n －2. (3)λa n ＋1a n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立，即λ3n －2＋3n ＋1≥λ对n ≥2(n ∈N *)恒成立．整理得λ≤n ＋n －n －(n ≥2，n ∈N *)，令C n ＝n ＋n －n －，Cn ＋1－C n ＝n ＋n ＋3n－n ＋n －n －＝n ＋n －3n n －因为n ≥2，所以C n ＋1－C n ＞0，∴{C n }为单调递增数列，C 2最小，且C 2＝283，故λ的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，283.第三节等比数列[考情展望] 1.运用基本量法求解等比数列问题.2.以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定.3.客观题以等比数列的性质及基本量的运算为主，突出“小而巧”的特点，解答题注重函数与方程、分类讨论等思想的综合应用．一、等比数列证明{a n }是等比数列的两种常用方法(1)定义法：若a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (2)中项公式法：在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．二、等比数列的性质1．对任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k . 2．通项公式的推广：a n ＝a m qn －m(m ，n ∈N *)3．公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n；当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．4．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍是等比数列．等比数列的单调性1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12【答案】 D2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．－11B ．－8C ．5D ．11【答案】 A3．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( ) A ．4 B ．5C ．6D ．7 【答案】 B4．(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是．【答案】 45．(2013·大纲全国卷)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)【答案】 C6．(2013·江西高考)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24【答案】 A考向一 [090] 等比数列的基本运算(1)(2013·北京高考)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝；前n 项和S n ＝ .(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． ①求{a n }的公比q ；②若a 1－a 3＝3，求S n . 【尝试解答】 (1)2,2n ＋1－2(2)①∵S 1，S 3，S 2成等差数列， ∴a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)．由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0，又q ≠0，从而q ＝－12.②由已知可得a 1－a 1(－12)2＝3，故a 1＝4，从而S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .规律方法1 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算．对点训练 (1)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝ .【答案】 2n(2)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列． ①求数列{a n }的通项公式； ②求数列{3a n }的前n 项和．【解】 ①设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由题意得a 24＝a 2·a 8，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )．又a 1＝2，所以d ＝2或d ＝0(舍去)．∴a n ＝2n .②由①可知3a n ＝32n＝9n. 故数列{3a n }的前n 项和为－9n1－9＝98(9n－1)．考向二 [091] 等比数列的判定与证明成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．【尝试解答】 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，(7－d )(18＋d )＝100，解之得d ＝2或d ＝－13(舍去)， ∴b 3＝5，公比q ＝2，因此b 1＝54.故b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明由(1)知b 1＝54，公比q ＝2，∴S n ＝54－2n1－2＝5·2n －2－54，则S n ＋54＝5·2n －2，因此S 1＋54＝52，S n ＋54S n －1＋54＝5·2n －25·2n －3＝2(n ≥2)．∴数列{S n ＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．规律方法2 1.本题求解常见的错误：(1)计算失误，不注意对方程的根(公差d )的符号进行判断；(2)不能灵活运用数列的性质简化运算．2．要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比即可．对点训练 (2015·武汉模拟)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．【解】 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5.所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2，由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明：数列{b n }的前n 项和S n ＝54－2n1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2. 所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，2为公比的等比数列．考向三[092] 等比数列的性质及应用(1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( )A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．1∶3(2)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝ .【答案】 (1)C (2)－53规律方法3 在解决等比数列的有关问题时，要充分挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．对点训练 (1)(2015·兰州模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16(2)(2014·广东高考)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ .【答案】 (1)B (2)50思想方法之十三分类讨论思想在等比数列求和中的应用分类讨论的实质是将整体化为部分来解决．其求解原则是不复重，不遗漏，讨论的方法是逐类进行．在数列的学习中，也有多处知识涉及分类讨论思想，具体如下所示： (1)前n 项和S n 与其通项a n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1 n ＝1，S n －S n －1 n ≥2；(2)等比数列的公比q 是否为1；(3)在利用公式S n 求和时，数列的项的个数为偶数还是奇数等等．求解以上问题的关键是找准讨论的切入点，分类求解．————————— [1个示范例] ———————(理)(2013·天津高考)已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．【解】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1＜S n ≤S 1＝32，故0＜S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n ＜1，故0＞S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.————————— [1个对点练] ———————已知数列{d n }满足d n ＝n ，等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，n ∈N *.(1)求a n ；(2)令c n ＝1－(－1)na n ，不等式c k ≥2014(1≤k ≤100，k ∈N *)的解集为M ，求所有d k ＋a k (k ∈M )的和．【解】 (1)设{a n }的首项为a 1，公比为q ，所以(a 1q 4)2＝a 1q 9，解得a 1＝q ，又因为2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，所以2(a n ＋a n q 2)＝5a n q ，则2(1＋q 2)＝5q,2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝12(舍)或q ＝2，所以a n ＝2×2n －1＝2n.(2)则c n ＝1－(－1)n a n ＝1－(－2)n，d n ＝n ，当n 为偶数，c n ＝1－2n ≥2014，即2n≤－2013，不成立；当n 为奇数，c n ＝1＋2n ≥2014，即2n≥2013，因为210＝1024,211＝2048，所以n ＝2m ＋1,5≤m ≤49 则{d k }组成首项为11，公差为2的等差数列 {a k }(k ∈M )组成首项为211，公比为4的等比数列则所有d k ＋a k (k ∈M )的和为＋2＋211－4451－4＝2475＋2101－20483＝2101＋53773.课时限时检测(三十一) 等比数列(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20，则前9项之和等于( ) A ．50 B ．70 C ．80 D ．90 【答案】 B2．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【答案】 B3．(2013·课标全国卷Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n【答案】 D4．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 A5．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且54为a 4与2a 7的等差中项，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29 【答案】 C6．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5 D.15【答案】 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．若等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，则a 1a 23a 5＝ .【答案】 148．等比数列{a n }的公比q ＞0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝ .【答案】1529．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝ .【答案】 32三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(2013·重庆高考)设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20. 【解】 (1)由题意知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1，S n ＝1－3n1－3＝12(3n－1)．(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ，所以公差d ＝5，故T 20＝20×3＋20×192×5＝1 010.11．(12分)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．【解】 (1)设数列{a n }的公比为q . 由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q ＞0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋2.故1b n ＝－2nn ＋＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝－2n n ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2nn ＋1.12．(13分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2，q ≠0)． (1)设b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，证明：{b n } 是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若a 3是a 6与a 9的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．【解】 (1)证明由题设a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2)，得a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)，即b n ＝qb n －1，n ≥2. 由b 1＝a 2－a 1＝1，q ≠0，所以{b n }是首项为1，公比为q 的等比数列． (2)由(1)，a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝q ，…，a n －a n －1＝q n －2(n ≥2)将以上各式相加，得a n －a 1＝1＋q ＋…＋q n －2(n ≥2)，即a n ＝a 1＋1＋q ＋…＋qn －2(n ≥2)．所以当n ≥2时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1－q n －11－q ， q ≠1，n ， q ＝1.上式对n ＝1显然成立．(3)由(2)，当q ＝1时，显然a 3不是a 6与a 9的等差中项，故q ≠1.由a 3－a 6＝a 9－a 3可得q 5－q 2＝q 2－q 8，由q ≠0得q 3－1＝1－q 6，①整理得(q 3)2＋q 3－2＝0，解得q 3＝－2.于是q ＝－32.另一方面，a n －a n ＋3＝q n ＋2－q n －11－q ＝q n －11－q (q 3－1)，a n ＋6－a n ＝q n －1－q n ＋51－q ＝q n －11－q(1－q 6)．由①可得a n －a n ＋3＝a n ＋6－a n ，所以对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．第四节数列求和[考情展望] 1.考查等差、等比数列的求和.2.以数列求和为载体，考查数列求和的各种方法和技巧．一、公式法与分组求和法 1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 (1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d ；(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1－q n1－q ，q ≠1.2．分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．二、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法．三、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常用的拆项方法 (1)1nn ＋k ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k。

第五章第四节课时限时检测

(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a 、b ∈R)，且S 25＝100，则a 12＋a 14等于( )A ．16B ．8C ．4D ．不确定解析：由数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a 、b ∈R)，可得数列{a n }是等差数列，S 25＝(a 1＋a 25)·252＝100，解得a 1＋a 25＝8，所以a 1＋a 25＝a 12＋a 14＝8. 答案：B2．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( ) A ．11B ．99C ．120D ．121 解析：∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.答案：C3．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2等于( ) A.n (n ＋1)2B ．－n (n ＋1)2C ．(－1)n ＋1n (n ＋1)2D ．以上答案均不对解析：对n 赋值验证，只有C 正确．答案：C4．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为3，数列{1f (n )}的前n 项和为S n ，则S 2 010的值为( )A.2 0072 008B.2 0082 009C.2 0092 010D.2 0102 011解析：∵f ′(x )＝2x ＋b ，∴f ′(1)＝2＋b ＝3，∴b ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ，∴1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 2 010＝1－12＋12－13＋…＋12 010－12 011＝1－12 011＝2 0102 011. 答案：D5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝( )A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18 C.⎩⎪⎨⎪⎧ 6n －n 2 (1≤n ≤3)n 2－6n ＋18 (n ＞3) D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2 (1≤n ≤3)n 2－6n (n ＞3) 解析：由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2.∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，∴n ≤3时，a n ＜0，n ＞3时a n ＞0，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2 (1≤n ≤3)n 2－6n ＋18 (n ＞3). 答案：C6．设数列{a n }是首项为1公比为3的等比数列，把{a n }中的每一项都减去2后，得到一个新数列{b n }，{b n }的前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *，下列结论正确的是( )A ．b n ＋1＝3b n ，且S n ＝12(3n －1) B ．b n ＋1＝3b n －2，且S n ＝12(3n －1) C ．b n ＋1＝3b n ＋4，且S n ＝12(3n －1)－2n D ．b n ＋1＝3b n －4，且S n ＝12(3n －1)－2n 解析：因为数列{a n }是首项为1公比为3的等比数列，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3n －1，则依题意得，数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －1－2， ∴b n ＋1＝3n －2,3b n ＝3(3n －1－2)＝3n －6，∴b n ＋1＝3b n ＋4. {b n }的前n 项和为：S n ＝(1－2)＋(31－2)＋(32－2)＋(33－2)＋…＋(3n －1－2)＝(1＋31＋32＋33＋…＋3n －1)－2n ＝(1－3n )1－3－2n ＝12(3n －1)－2n . 答案：C二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，那么数列{b n }＝{1a n a n ＋1}的前n 项和S n ＝________. 解析：由已知条件可得数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4(1n －1n ＋1)． S n ＝4(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1) ＝4(1－1n ＋1)＝4n n ＋1. 答案：4n n ＋18．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2 ＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n . ∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－2 9．数列{a n }的前n 项和为S n 且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ＝1,2,3，…)，则log 4S 10＝________. 解析：∵a n ＋1＝3S n ，∴a n ＝3S n －1(n ≥2)．两式相减得a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ，∴a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1a n＝4. ∴{a n }为a 2为首项，公比为4的等比数列．当n ＝1时，a 2＝3S 1＝3，∴n ≥2时，a n ＝3·4n －2， S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48＝1＋3(1＋4＋…＋48)＝1＋3×49－14－1＝1＋49－1＝49. ∴log 4S 10＝log 449＝9.答案：9三、解答题(共3个小题，满分35分)10．等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝n 2＋n ＋1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前99项的和．解：(1)设数列{a n }的公差为d (d >0)，∵a 1，a 3，a 9成等比数列，∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，∴d 2＝a 1d ，∵d >0，∴a 1＝d ，①∵S 5＝a 25，∴5a 1＋5×42·d ＝(a 1＋4d )2② 由①②得a 1＝35，d ＝35， ∴a n ＝35＋(n －1)×35＝35n (n ∈N *)． (2)b n ＝n 2＋n ＋135n ·35(n ＋1) ＝259·n 2＋n ＋1n (n ＋1)＝259(1＋1n －1n ＋1)， ∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 99＝259(1＋1－12＋1＋12－13＋1＋13－14＋…＋1＋199－1100)＝259(99＋1－1100)＝275＋2.75＝277.75.11．已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足S n ＝12(1－a n )． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝na n ，求证：b 1＋b 2＋…＋b n <34. 解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12(1－a n )－12(1－a n －1) ＝－12a n ＋12a n －1， 2a n ＝－a n ＋a n －1∴由题意可知a n －1≠0，a n a n －1＝13，所以{a n }是公比为13的等比数列．S 1＝a 1＝12(1－a 1)，a 1＝13. a n ＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝⎝⎛⎭⎫13n . (2)证明：b n ＝n ⎝⎛⎭⎫13n ，设T n ＝1×⎝⎛⎭⎫131＋2×⎝⎛⎭⎫132＋3×⎝⎛⎭⎫133＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫13n ，① ∴13T n ＝1×⎝⎛⎭⎫132＋2×⎝⎛⎭⎫133＋3×⎝⎛⎭⎫134＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫13n ＋1，② ①－②，化简得∴T n ＝34－34⎝⎛⎭⎫13n －32n ⎝⎛⎭⎫13n ＋1<34. 12．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足(p －1)S n ＝p 2－a n (p >0，p ≠1)，且a 3＝13. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝12－log 3a n，数列{b n b n ＋2}的前n 项和为T n ，若对于任意的正整数n ，都有T n <m 2－m ＋34成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由题设知(p －1)a 1＝p 2－a 1，解得p ＝a 1或p ＝0(舍去)．由条件可知(p －1)S 2＝(p －1)(a 1＋a 2)＝p 2－a 2，解得a 2＝1.再由(p －1)S 3＝(p －1)(a 1＋a 2＋a 3)＝p 2－a 3，解得a 3＝1p .由a 3＝13可得1p ＝13，故p ＝3＝a 1. 所以2S n ＝9－a n ，则2S n ＋1＝9－a n ＋1，以上两式作差得2(S n ＋1－S n )＝a n －a n ＋1，即2a n ＋1＝a n －a n ＋1，故a n ＋1＝13a n . 可见，数列{a n }是首项为3，公比为13的等比数列．故a n ＝3(13)n －1＝32－n . (2)因为b n ＝12－log 3a n ＝12－(2－n )＝1n ，所以b n b n＋2＝1n(n＋2)＝12(1n－1n＋2)，T n＝b1b3＋b2b4＋b3b5＋…＋b n b n＋2＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋(14－16)＋…＋(1n－1n＋2)]＝12(1＋12－1n＋1－1n＋2)<34.故要使T n<m2－m＋34恒成立，只需34≤m2－m＋34，解得m≤0或m≥1.故所求实数m的取值范围为(－∞，0]∪[1，＋∞)．。

第三章第三节课时限时检测

(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．函数y ＝ cos x －12的定义域为( ) A ．[－π3，π3]B ．[k π－π3，k π＋π3]，k ∈ZC ．[2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z D ．R 解析：由题意得cos x ≥12∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z. 答案：C2．函数y ＝sin x ＋cos x 的最小值和最小正周期分别是( ) A ．－2，2π B ．－2,2π C ．－2，π D ．－2，π解析：∵y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，∴当x ＋π4＝2k π－π2(k ∈Z)时，y min ＝－ 2.T ＝2π. 答案：A3．若函数y ＝sin x ＋f (x )在[－π4，3π4]上单调递增，则函数f (x )可以是( ) A ．1B ．cos xC ．sin xD ．－cos x解析：因为y ＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，－π2≤x －π4≤π2，满足题意，所以函数f (x )可以是－cos x .答案：D4．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的值不可能是( ) A.π3B.2π3 C ．π D.4π3解析：画出函数y ＝sin x 的草图(图略)，分析知b －a 的取值范围为[2π3，4π3]．答案：A5．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A.[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z B.[k π＋5π12k π＋11π12，k ∈Z C.[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z D.[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z 解析：f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6ω>0)． ∵f (x )图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴2πω＝π，ω＝2.f (x )＝2sin(2x ＋π6)．故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)．k π－π3x ≤k π＋π6(k ∈Z)．答案：C6．若函数y ＝2cos ωx 在区间[0，2π3]上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( ) A ．2B.12 C ．3 D.13 解析：由y ＝2cos ωx 在[0，23π]上是递减的，且有最小值为1，则有f (23＝1，即2×cos(ω×23π)＝1⇒cos 2π3ω＝12.检验各数据，得出B 项符合．答案：B二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，则f (5π3)的值为________．解析：f (5π3)＝f (－π3＝f (π3)＝sin π3＝32. 答案：328．设函数y ＝sin(π2x ＋π3)，若对任意x ∈R ，存在x 1，x 2使f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 1－x 2|的最小值是__________．解析：由f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，可得f (x 1)为最小值，f (x 2)为最大值，|x 1－x 2|的最小值为半个周期．答案：29．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称；②图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；③在⎣⎡⎦⎤0，π6上是增函数；④在⎣⎡⎦⎤－π6，0上是增函数中，所有正确结论的编号为________．解析：∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2，∴φ＝k π＋π3. ∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝π3，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，由图象及性质可知②④正确．答案：②④三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知复数z 1＝3sin2x ＋λi ，z 2＝m ＋(m －cos2x )i(λ，m ，x ∈R)，且z 1＝z 2.(1)若λ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设λ＝f (x )，求f (x )的最小正周期和单调增区间．解：(1)∵z 1＝z 2，∴⎩⎨⎧3sin2x ＝m ，λ＝m －cos2x . ∴λ＝3sin2x －cos2x .若λ＝0，则3sin2x －cos2x ＝0，得tan2x ＝33. ∵0<x <π，∴0<2x <2π. ∴2x ＝π6，或2x ＝7π6∴x ＝π12，7π12. (2)∵λ＝f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2(32sin2x －12cos2x ) ＝2(sin2x cos π6－cos2x sin π6) ＝2sin(2x －π6)， ∴函数的最小正周期为T ＝π.即2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6x ≤k π＋π3，k ∈Z.∴f (x )的单调增区间为[k π－π6，k π＋π3]，k ∈Z. 11．已知向量a ＝(sin x,23sin x )，b ＝(2cos x ，sin x )，定义f (x )＝a·b － 3.(1)求函数y ＝f (x )，x ∈R 的单调递减区间；(2)若函数y ＝f (x ＋θ)⎝⎛⎭⎫0<θ<π2为偶函数，求θ的值．解：(1)f (x )＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin2x ＋23·1－cos2x 2－3＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (1)令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，解得f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z. (2)f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π3，根据三角函数图象性质可知y ＝f (x ＋θ)⎝⎛⎭⎫0<θ<π2在x ＝0处取最值．即sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝±1， ∴2θ－π3＝k π＋π2，θ＝k π2＋5π12，k ∈Z. 又0<θ<π2，∴θ＝5π12. 12．已知函数f (x )＝sin2x ＋a cos 2x (a ∈R ，a 为常数)，且π4是函数y ＝f (x )的零点． (1)求a 的值，并求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈[0，π2]，求函数f (x )的值域，并写出f (x )取得最大值时x 的值．解：(1)由于π4是函数y ＝f (x )的零点，即x ＝π4是方程f (x )＝0的解，从而f (π4)＝sin π2＋a cos 2π4＝0，则1＋12＝0，解得a ＝－2. 所以f (x )＝sin2x －2cos 2x ＝sin2x －cos2x －1，则f (x )＝2sin(2x －π4)－1，所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)由x∈[0，π2]，得2x－π4∈[－π4，3π4]，则sin(2x－π4)∈[－22，1]，则－1≤2sin(2x－π4)≤2，－2≤2sin(2x－π4－1≤2－1，∴值域为[－2，2－1]．当2x－π42kπ＋π2(k∈Z)，即x＝kπ＋38π时，f(x)有最大值，又x∈[0，π2]，故k＝0时，x＝38π，f(x)有最大值2－1.。

八年级上册物理第五章质量和密度章节测试题

八年级上册物理第五章质量和密度章节测试题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 如图所示是在探究甲、乙两种物质质量跟体积关系时作出的图象，以下分析正确的是A．不同物质的质量跟体积的比值一般是不同的B．若V甲=V乙，则甲<乙C．甲物质的质量跟体积的比值比乙物质小D．若甲=乙，则V甲>V乙2 . 下列估测值最接近实际的是A．一双运动鞋的重力约为0.1NB．教室内一节灯管的长度约为0.5mC．一元硬币的直径约为2.5cmD．一个大苹果的质量约为10kg3 . 中国科学技术大学俞书宏教授团队开发了一系列仿生人工木材，该木材具有轻质、高强、耐腐蚀和隔热防火等优点。

关于该木材的属性，下列说法错误的是A．导热性差B．硬度大C．耐腐蚀性好D．密度大4 . 影视中拍摄房屋倒塌砸伤人的特技镜头时，常选用泡沫塑料做道具，这是因为泡沫塑料（）A．隔热性好B．质量小C．硬度小D．密度小5 . 门的把手一般都安装在离门轴远的一端，如图所示．其中的科学道理是（）A．根据杠杆的知识，推开门时比较省距离B．根据杠杆的知识，推开门时比较省力C．根据功的知识，推开门时手对门做功较慢D．根据功的知识，推开门时手对门做功较少6 . 如图所示是甲和乙两种物质的质量与体积关系图象，下列说法正确的是（）A．甲物质的密度随体积增大而增大B．当甲和乙两物质的质量相同时，乙物质的体积较大C．甲、乙两种物质的密度之比是4：1D．体积为5cm3的乙物质，质量为10g7 . 小霖同学在学习密度时写出了一些交流材料，其中正确的是A．不同物质在相同状态下，密度大小一般是不相等的B．把某容器中的物质用去一部分后，剩余物质密度的大小都不会改变C．同种物质组成的实心物体在相同状态时，质量与其体积成正比D．质量相等的实心物体，体积较大的组成物质的密度较小8 . 小东同学为测理牛奶的密度设计了如下实验步骤：首先用已调好的天平测出空量筒的质量，再向量筒中倒入牛奶，测出牛奶的体积，最后用天平测出量筒和牛奶的总质量．对上述实验步骤所持的观点正确的是A．所测体积不准确，不可取B．所测密度准确且实验方法合理C．所测牛奶密度值偏大，不可取D．易使量筒从天平上倾斜而摔碎，不宜提倡9 . 对下表给出的常温常压下的一些物质的密度，请根据表中数据分析下列说法中正确的是A．固体的密度一定比液体的密度大B．90cm3的水结成冰后，其密度变小，体积增大了10cm3C．不同种物质组成的实心物体，其密度一定不同D．质量和体积都相同的铜块和铅块，铜块一定是空心的10 . 我国研制的“全碳气凝胶”是目前世界上密度最小的固态材料，其密度仅为0.16kg/m3，其构造类似于海绵，具有良好的导电性，则（）A．该材料是密度小的绝缘体B．1m3的该材料质量为0.16kgC．该材料制成的同一个航空器部件，在地球上的质量要比在月球上的质量大D．该材料适合做打桩用的重锤二、填空题11 . 一般液体在量筒中的液面是凹形的，读液体体积时，视线要跟______相平齐；测量时如果用如图所示的方法读数，则读出的液体体积与真实值相比______填“偏大”、“偏小”或“相等”；小红想利用图中的器材测量妈妈的买的一个质量为15g金戒指的密度金的密度约为水密度的20倍，你认为他______能、不能测出，理由是______。

四年级数学北师大版上册课时练第5章《5.2确定位置》(2)(含答案)

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练5.2确定位置一、单选题1.小华的座位用数对表示为（3，5），那么小华的座位在（）。

A.第5列，第3排B.第3列，第5排C.第3列，第3排2.小红的位置是（2，4），她往下移了2个位置后，表示的数对是（）A.（0，4）B.（4，4）C.（2，2）3.点A的位置是（5，7），点B的位置是（6，9），点C与A在同一列，点C与B在同一行，那么点C的位置是（）A.（5，9）B.（6，7）C.（5，6）4.亮亮在教室的第6列第2行，用数对(6，2)表示，丫丫坐在亮亮的正后方，丫丫的位置用数对表示是()。

A.（5，3）B.（6，3）C.（7，2）D.（6，1）二、判断题5.教室里，坐在同一行的两个同学，用数对表示他们的位置时，第一个数字一定相同。

2024年春季小学测试卷四年级下册数学人教版课时练第5单元《5.3三角形的内角和》(含答案)

课时练5.3三角形的内角和一、单选题1.同学们研究三角形内角和的度数，下面拼法中正确的是（）A. B. C.2.在一个三角形里，如果一个最小的角是45.5°，那么这个三角形是（）。

A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 无法判断3.任何一个三角形至少有（）个角是锐角。

A. 4B. 3C. 2D. 1二、判断题4.等腰三角形的底角不可能是钝角。

（）5.直角三角形的两个锐角之和大于直角。

（）6.一个直角三角形两个锐角和正好等于90°。

（）三、填空题7.一个三角形的三个内角和是________度．8.9.一个三角形三个内角度数的比是3：4：3，这个三角形是________三角形．10.量出下面每个三角形角的度数，你能发现什么？我发现了：________四、解答题11.王叔叔做了一个等腰三角形的铁架。

它的一个底角是65°，它的顶角是多少度？12.三角形的一个内角是30度，另一个内角是60度，则这个三角形的第三个内角多少？这个三角形是个什么三角形？五、应用题13.妈妈给淘气买了一个等腰三角形的风筝。

它的顶角是40°，它的一个底角是多少？参考答案1. C2. A3. C4. 正确5. 错误6. 正确7. 1808. 30°9. 等腰10. 三角形三个内角度数之和等于180°.11. 解：180°-65°-65°=50°答：它的顶角是50度。

12. 解：180-30-60=90（度）答：这个三角形的第三个内角是90度，这个三角形是直角三角形。

13.解：已知这个风筝是等腰三角形的，等腰三角形的特点即是两条腰相等，并且所对应的两个底角也相等，三个内角和度数是180度，顶角是40度，180度减40度得140度，两个底角和是140度，一个即为70度，因为等腰三角形的两个相等的底角。

（180°－40°）÷2＝140°÷2＝70°答：它的一个底角是70°。

第五章 第三节 课时限时检测

2018—2019学年下七年级生物第五章人体内废物的排出单元测试及答案

第五章 第二节 课时限时检测

2024年春季测试卷小学三年级下册数学人教版课时练第5单元《5.1面积和面积单位》(含答案)

初中物理 八年级上册 试卷讲义 06-第五章素养综合检测

第九章 第三节 课时限时检测