高一数学必修向量在平面几何解题中的应用

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高中数学第二章平面向量 2.4 向量的应用 2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物

2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物理中的应用1．向量在平面几何中的应用(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等，求线段的长，转化为求向量的长度； (2)证明线段、直线平行，转化为证明向量共线；(3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量的数量积为零； (4)平面几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；(5)对于与长方形、正方形、直角三角形等平面几何图形有关的问题，通常以相互垂直的两边所在的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，通过代数(坐标)运算解决平面几何问题．【自主测试1－1】在四边形ABCD 中，若AB →＝13CD →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．菱形D ．矩形解析：由AB →＝13CD →⇒AB ∥CD ，且AB ≠CD ，故四边形ABCD 为梯形，故选B ．答案：B【自主测试1－2】在△ABC 中，已知|AB →|＝|AC →|＝4，且AB →·AC →＝8，则这个三角形的形状是__________．解析：∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC＝8，∴4×4×cos ∠BAC＝8，∴∠BAC＝60°.又|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 为等边三角形．答案：等边三角形2．向量在解析几何中的应用(1)设直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，A (x 1，y 1)∈l ，P (x ，y )∈l ，向量a ＝(m ，n )平行于l ，则k ＝y －y 1x －x 1＝n m ＝tan α；反之，若直线l 的斜率k ＝nm，则向量(m ，n )一定与该直线平行．(2)向量(1，k )与直线l ：y ＝kx ＋b 平行．(3)与a ＝(m ，n )平行且过点P (x 0，y 0)的直线方程为n (x －x 0)－m (y －y 0)＝0. (4)过点P (x 0，y 0)，且与向量a ＝(m ，n )垂直的直线方程为m (x －x 0)＋n (y －y 0)＝0. 【自主测试2－1】已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－1或2 答案：D【自主测试2－2】过点A (3，－2)且垂直于向量n ＝(5，－3)的直线方程是__________．答案：5x －3y －21＝0 3．向量在物理中的应用(1)力是具有大小、方向和作用点的向量，它与自由向量有所不同．大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．但是，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则求作用于同一点的两个力的合力．(2)速度是具有大小和方向的向量，因而可用三角形法则和平行四边形法则求两个速度的合速度．【自主测试3】已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，则F 1的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．52N 答案：B1．用向量的方法证明直线平行、直线垂直、线段相等及点共线等问题的基本方法剖析：(1)要证两线段AB ＝CD ，可转化为证明|AB →|＝|CD →|或AB →2＝CD →2； (2)要证两线段AB ∥CD ，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λCD →成立； (3)要证两线段AB ⊥CD ，可转化为证明AB →·CD →＝0；(4)要证A ，B ，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →，或若O 为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使OC →＝λOA →＋μOB →.2．对直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量的理解剖析：(1)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)为直线上不重合的两点，则P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)及与其共线的向量λP 1P 2→均为直线的方向向量．显然当x 1≠x 2时，向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1，y 2－y 1x 2－x 1与P1P 2→共线，因此向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－A B ＝1B(B ，－A )为直线l 的方向向量，由共线向量的特征可知(B ，－A )为直线l 的方向向量．(2)结合法向量的定义可知，向量(A ，B )与(B ，－A )垂直，从而向量(A ，B )为直线l 的法向量．3．教材中的“探索与研究”利用向量与向量平行、垂直的条件，再次研究两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行和垂直的条件，以及如何求出两条直线夹角θ的余弦．结论：l 1∥l 2(或重合)⇔A 1B 2－A 2B 1＝0. l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.cos θ＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21A 22＋B 22.剖析：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0的方向向量为n 1＝(－B 1，A 1)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的方向向量为n 2＝(－B 2，A 2)．若l 1∥l 2，则n 1∥n 2，从而有－B 1A 2＝－A 1B 2，即A 1B 2－A 2B 1＝0. 若l 1⊥l 2，则n 1·n 2＝0，从而有B 1B 2＋A 1A 2＝0. 所以直线l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，直线l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 由于n 1·n 2＝A 1A 2＋B 1B 2， |n 1|＝A 21＋B 21，|n 2|＝A 22＋B 22，所以cos 〈n 1，n 2〉＝A 1A 2＋B 1B 2A 21＋B 21A 22＋B 22. 所以直线l 1与l 2夹角θ的余弦值为cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21A 22＋B 22.题型一向量在平面几何中的应用【例题1】已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AD 的中点，BE ，CF 交于点P . 求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB ．分析：建系→确定点A ，B ，C ，E ，F ，P 的坐标→证BE →·CF →＝0及|AP →|＝|AB →|→还原为几何问题证明：建立如图所示平面直角坐标系，设AB ＝2，则有A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)BE →＝(－1,2)，CF →＝(－2，－1)． ∵BE →·CF →＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF . (2)设点P 的坐标为(x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)， ∵FP →∥CF →，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2，同理，由BP →∥BE →得y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝85.∴点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85.则|AP →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝2＝|AB →|，即AP ＝AB ．反思由于向量集数形于一身，用它来研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量法是研究几何问题的一个有效的工具，解题时一定注意用数形结合的思想．〖互动探究〗正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，求cos ∠DOE . 解：建立平面直角坐标系如图，则向量OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，∴OD →·OE →＝12×1＋1×12＝1.又|OD →|＝|OE →|＝52，∴cos ∠DOE ＝OD →·OE →|OD →||OE →|＝152×52＝45.题型二向量在解析几何中的应用【例题2】过点A (－2,1)，求： (1)与向量a ＝(3,1)平行的直线方程； (2)与向量b ＝(－1,2)垂直的直线方程．分析：在直线上任取一点P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －1)．根据AP →∥a 和AP →⊥b 解题即可．解：设所求直线上任意一点P 的坐标为(x ，y )． ∵A (－2,1)，∴AP →＝(x ＋2，y －1)．(1)由题意，知AP →∥a ，则(x ＋2)×1－3(y －1)＝0，即x －3y ＋5＝0.故所求直线方程为x －3y ＋5＝0.(2)由题意，知AP →⊥b ，则(x ＋2)×(－1)＋(y －1)×2＝0，即x －2y ＋4＝0，故所求直线方程为x－2y＋4＝0.反思已知直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，则向量(A，B)与直线l垂直，即向量(A，B)为直线l的法向量；向量(－B，A)与l平行，故过点P(x0，y0)与直线l平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.【例题3】已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．(1)求直线DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．分析：(1)利用向量共线的坐标表示求解；(2)利用向量垂直的坐标表示求解．解：(1)由已知，得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)．设M(x，y)是直线DE上任意一点，则DM∥DE.又DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2)，所以(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，即x－y＋2＝0为直线DE的方程．同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上的任意一点，则CN⊥AB.所以CN·AB＝0.又CN＝(x＋6，y－2)，AB＝(4,4)，所以4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．反思(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等，则对应坐标相等．题型三向量在物理中的应用【例题4】一条河的两岸互相平行，河的宽度为d＝500 m，一艘船从A处出发航行到河正对岸的B处，船的航行速度为|ν1|＝10 km/h，水流速度为|ν2|＝4 km/h.(1)试求ν1与ν2的夹角(精确到1°)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min)； (2)要使船到达对岸所用时间最少，ν1与ν2的夹角应为多少？分析：船(相对于河岸)的航行路线不能与河岸垂直．原因是船的实际航行速度是船本身(相对于河水)的速度与水流速度的合速度．解：(1)依题意，要使船垂直到达对岸，就要使ν1与ν2的合速度的方向正好垂直于对岸，所以|ν|＝ν21－ν22＝100－16≈9.2(km/h)，ν1与ν的夹角α满足sin α＝0.4，α≈24°，故ν1与ν2的夹角θ＝114°；船垂直到达对岸所用的时间t ＝d |ν|＝0.59.2≈0.054 3(h)≈3.3 min. (2)设ν1与ν2的夹角为θ(如下图)．ν1与ν2在竖直方向上的分速度的和为|ν1|·sin θ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d ＝0.5 km ，从而所用的时间t ＝0.510sin θ.显然，当θ＝90°时，t 最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，为t ＝0.510＝0.05(h)．反思注意“速度”是一个向量，既有大小又有方向．结合具体问题，在理解向量知识和应用两方面下功夫．将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象．题型四易错辨析【例题5】在直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC →＝13OA →＋23OB →.(1)求证：A ，B ，C 三点共线；(2)已知A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )＝OA →·OC →－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋23|AB→|的最小值为12，求实数m 的值．错解：(1)∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →＝13OA →＋23OB →－OA →＝23OB →－23OA →＝23AB →，∴AC →∥AB →，∴A ，B ，C 三点共线．(2)∵A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )， ∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23sin x ，cos x ，AB →＝(sin x,0)，从而|AB →|＝|sin x |.故f (x )＝－(sin x ＋m 2)2＋m 4＋2.又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )有最小值，即－(1＋m 2)2＋m 4＋2＝12，解得m ＝±12.错因分析：错解中忽略了题目中x 的取值范围，造成正弦值的范围扩大．正解：(1)∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →＝13OA →＋23OB →－OA →＝23OB →－23OA →＝23AB →，∴AC →∥AB →，∴A ，B ，C 三点共线．(2)∵A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )， ∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23sin x ，cos x ，AB →＝(sin x,0)，故|AB →|＝sin x ，从而f (x )＝－(sin x ＋m 2)2＋m 4＋2.又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin x ∈[0,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )有最小值，即－(1＋m 2)2＋m 4＋2＝12，化简得m 2＝14，解得m ＝±12.1．若向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量，则直线x ＋2y ＋3＝0的一个法向量为( )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(2,1)D ．(2，－1)解析：可以确定已知直线l 的斜率k ＝－12，所以直线的方向向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12.由a ·n ＝0，可知应选A ．答案：A2．已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,4)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形答案：C3．过点A (2,3)且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程是( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0 D ．x －2y －4＝0 答案：A4．在重600 N 的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A ．3003N,3003NB ．150 N,150 NC ．3003N,300 ND ．300 N,3003N解析：如图，作矩形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，所以|OA |＝|OC |cos 30°＝3003N ， |AC |＝|OC |sin 30°＝300 N ， |OB |＝|AC |＝300 N. 答案：C5．通过点A (3,2)且与直线l ：4x －3y ＋9＝0平行的直线方程为__________．答案：4x －3y －6＝06．已知两个粒子a ，b 从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为v a ＝(4,3)，v b ＝(3,4)，则v a 在v b 上的正射影为__________．解析：由题知v a 与v b 的夹角θ的余弦值为 cos θ＝12＋125×5＝2425.所以v a 在v b 上的正射影为|v a |cos θ＝5×2425＝245.答案：2457．平面上不共线的三点A ，B ，C 使得AB ＋BC 所在的直线和AB －BC 所在的直线恰好互相垂直，则△ABC 必为__________三角形．解析：如图所示，作ABCD ，易知AB ＋BC ＝AC ，AB －BC ＝AB －AD ＝DB .依题意，知BD 与AC 互相垂直，故ABCD 为菱形，从而△ABC 为等腰三角形，且∠ABC 为顶角．答案：等腰 8．如图所示，已知ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线，求证：AC ⊥BD ．证明：证法一：∵AC ＝AB ＋AD ，BD ＝AD －AB ，∴AC ·BD ＝(AB ＋AD )·(AD －AB )＝|AD |2－|AB |2＝0.∴AC ⊥BD . ∴AC ⊥BD ．证法二：以BC所在的直线为x轴，点B为原点建立平面直角坐标系．设B(0,0)，A(a，b)，C(c,0)，则由|AB|＝|BC|，得a2＋b2＝c2.∵AC＝BC－BA＝(c－a，－b)，BD＝BA＋BC＝(a＋c，b)，∴AC·BD＝c2－a2－b2＝0.∴AC⊥BD，∴AC⊥BD．。

平面向量的几何意义在解题中的妙用

例４（２０１０年四川省高考题）设点Ｍ是线段ＢＣ
（，一１），１口Ｉ＝２，则ｌ２ａ—ｂｌ的最大值为
。的中点，点Ａ在直线ｃ外，＝１６，ｌ＋ｌ＝
点拨：如图，Ｊ口Ｊ＝２可以看成足表示向量口的有ｆＡＢ—ＡＣｆ，贝０ｆｆ＝（）。
向线段终点的轨迹是半径为２的圆，ｂ＝（．一１）表
（Ａ）８
（Ｂ）４
（ｃ）２
（Ｄ）１
示的有向线段是０台，Ｉ２ｎ～ｂ【表示两个向量２ａ、ｂ的差
点拨：如图，利用三角形法则和平行四边形法则，
’的长度。问题转化为求线段的长度变化问题。不难理解Ｉ＋ｌ和ｌ一ｌ应该是平行四边形的
：２－－－＋。
，
．．
ｍ：３，故选Ｂ。
记硬背 “左加右减 ”，以为是先向右平移＇ＩＴ个单位，再
点评：根据平行四边形性质，可以得到一条对角线
长的一半恰等于相邻两边所对应的向量的和，在解题
向下平移２个单位，把向量坐标的符号看成表示图像
中很有用。本题两次运用了平行四边形法则，首先得
平移的方向的 “加 ”与 “减 ”。
到唐＋ｅ＝２Ｄ，其次是 ‘４雪＋Ａｅ＝２Ａ，在解题中
二巧用向量的模的几何意义
都是很关键的结论。
例２（２０１０年江苏省三校联考题）已知向量ｂ：
对角线长的一半。解析：由Ｂｃ２＝１６，得

向量在平面几何中的应用

００６４－０２
ＡＤ，￣
：一
Ａ－Ｙ：－Ａ（Ａ ≠ｏ）即可，而－Ｄ－ｇ，：一蔚，很容易
用向量证明直线与直线平行的一般向量是高中数学不可缺少的内容，它是沟通代数、几何与三角函数的工具。在
平面几何中，向量可以将很多问题代数
了，因为很容易看出ＥＦ／ｌＡＢ∥ＤＣ，且
ＡＢ＝ＤＣ，利用三角形相似的原理，很容易得出Ａ。＝Ａ：。下面我们一起看解题过程：
化、程序化，体现出数与形的完美结合，新
课标对向量知识的考查也充分体现了综
孔乙己家中有值钱的东西吗？文中的一
段插叙为这样的猜测提供了依据： “ 听人
家背地里谈论 … …于是愈过愈穷，弄到将
来呢？梳理一下全文，可以确定孑Ｌ乙己的酒钱有两个来源，一是帮别人抄书有一点
收入，孔乙己“ 写得一手好字，便替人家钞
而知。
可惜孔乙己最后 “ 是自己发昏，竞偷到丁举人家里去了” ，但是疑问就在这里， “ 现
在” 已经没有人请孔乙己抄书了，而且他
的猜想，也许不一定准确，但可以为语文教学提供一些趣味性的探究话题，教师们不妨以此为兴趣点，引导学生多角度探究
题。
平行，但是，这一方法的思维过程复杂，导
致学生很难人手，无法解决问题。我们可以尝试用向量的方法证明：要证明删 ∥

向量在解题中的应用

向量在解题中的应用在平面几何和空间几何中，向量是一个常见的概念。

它不仅在数学教育中被广泛应用，还在工程、物理、计算机等领域中发挥着重要的作用。

本文将介绍向量在解题中的应用，并举例说明。

1. 向量的基本概念向量是一个有向线段。

它用一个带箭头的线段来表示，箭头表示向量的方向。

向量的起点称为原点，表示为$\\vec{AB}$，其中A为起点，B为终点。

对于两个向量 $\\vec{u}=\\overrightarrow{AB}$ 和$\\vec{v}=\\overrightarrow{CD}$，它们相等当且仅当它们的长度相等且方向相同。

向量的长度也叫做模，表示为 $|\\vec{AB}|$，它可以用勾股定理求得：$$|\\vec{AB}|=\\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$其中，(x A,y A)和(x B,y B)分别为向量 $\\vec{AB}$ 的起点和终点的坐标。

向量加法是将两个向量的加起来，形成一个新向量的操作。

向量加法满足交换律和结合律。

向量减法就是向量加上该向量的相反向量。

向量的数量积也叫做点积，表示为 $\\vec{u}\\cdot\\vec{v}$，它可以用以下公式求得：$$\\vec{u}\\cdot\\vec{v}=u_xv_x+u_yv_y$$其中，$\\vec{u}=(u_x,u_y)$ 和 $\\vec{v}=(v_x,v_y)$ 分别为向量$\\vec{u}$ 和 $\\vec{v}$ 的坐标。

2. 向量的应用2.1. 平面几何中的向量应用在平面几何中，向量被广泛应用。

由于平面几何中需要求解的问题很多都与距离有关，因此向量的长度和方向属性特别适合求解这些问题。

向量在平面几何中的应用主要包括以下几个方面。

2.1.1. 向量的投影在平面直角坐标系中，点P(x0,y0)在向量$\\vec{u}=\\overrightarrow{AB}$ 上的投影为：$$\\text{proj}_{\\vec{u}}\\vec{AP}=\\frac{\\vec{AP}\\cdot\\vec{ u}}{|\\vec{u}|}\\frac{\\vec{u}}{|\\vec{u}|}$$其中，$\\frac{\\vec{AP}\\cdot\\vec{u}}{|\\vec{u}|}$ 表示$\\vec{AP}$ 在 $\\vec{u}$ 上的投影长度，$\\frac{\\vec{u}}{|\\vec{u}|}$ 表示 $\\vec{u}$ 的单位向量。

向量在平面几何、解析几何中的应用

摘要：向量在平面几何与解析几何中多有应用，在历年来的高考试卷中也涉及部分向量知识。

向量知识不但让难题迎刃而解，还可让学生形成通用性规则，利用平面向量视角研究几何问题将取得良好成果与进展。

关键词：平面向量平面几何解析几何高中数学一、引言使用向量方法解题存在对应解题步骤，各步骤间联系紧密，存在逻辑顺序，在审题后需仔细核对题目题干，寻求问题突破口，在将几何问题转化为代数问题后，可实现题目的高精度运算，达到预期目的。

因此类题型具有复杂特点，在学生做题量得到提升后，学生对解答此类题目将拥有独到的个人见解，不但让图形对应特征得以描述，也让问题解决难度有所降低，下面将对相关题型与具体解题思路进行说明论证，在同学们阅读对应题干时，需带着对问题的解决思路求解。

二、向量教学存在的问题向量是高中数学的一大重点内容，在历年的高考试卷中有所涉及，也常与其他学科一同考试，为此提升向量教学效率，让学生灵活掌握向量知识，在拥有基本阅读审题能力的同时，提前了解向量习题的解题策略，不但有效保证做题效率，还让学生在复习前即可拥有一定知识储备，但现阶段教学存在的问题也较明显。

1.课内教学内容与高考试题具有脱轨性。

学生在学习人教版数学教材时，会学到复杂、零碎的知识，教师讲解新知识点时，也会向学生传授以往讲授过的知识点，用温故而知新的教学方法试图让学生快速进入学习状态，并建立对应向量学习思维。

高考试卷题量有限，不但要做到对高中阶段全部知识的灵活考查，还要做到面面俱到、照顾各个学习层次学生，并具有区分性，向量本身具有一定基础性，学生在初中阶段即接触过向量知识，在培养学生独立完成习题能力的同时，即使学生完全掌握教材教学内容，也不一定做对高考对应的向量试题，在与平面几何和立体几何综合出题考查的同时，学生对知识的综合运用能力也将决定做题准确率与效率。

面临新高考的改革，数学教师还需明确自身育人使命，适当给学生传授高考习题解题技巧，改变以往题海战术的陈旧教学模式，让学生热爱学习数学学科知识，并善于发现生活中的数学元素。

平面向量复习专题3——向量的应用(学生)

平面向量复习专题3——向量的应用
学习目标：向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题
例1（解析几何、位置关系的几何计算应用，练习册127页第9、14题）
在四边形ABCD 中，)3,2(),,(),1,6(--===CD y x BC AB
（1）若DA BC //,求x 与y 之间的关系式；
（2）满足（1）的条件，同时又有BD AC ⊥,求y x ,的值以及四边形ABCD 的面积.
变式 1 已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为_____________；DC DE ⋅的最大值为________________.
例2（平面几何证明问题，书126页4、5题，书127页13、14、16题）
已知ABC ∆，点O 为ABC ∆的重心（中线的交点），求证：0=++OC OB OA
例3（综合应用，三角函数应用问题，书127页15题，练习册128页18题）设函数n m x f ⋅=)(，其中向量R x n x m ∈==),3,1(),1,2cos 2(
（1）求)(x f 的最小正周期；（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,
0πx 时，求()x f 的最大值.
总结：向量在几何中的应用，主要利用平面几何知识（平行、垂直）与向量运算的联系进行计算，从而达到几何知识代数化.
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高考数学(理)之平面向量专题04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用(解析版)

平面向量04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用一、具本目标：一）向量的应用1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二）考点解读与备考:1.近几年常以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.常与平面几何、三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，常用向量的知识入手.力学方面应用的考查较少.3.备考重点：(1) 理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，应注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.4.难点：向量与函数、三角函数、解析几何的综合问题.以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.要充分应用向量的公式及相关性质，会用向量的几何意义解决问题，有时运用向量的坐标运算更能方便运算. 二、知识概述：常见的向量法解决简单的平面几何问题： 1.垂直问题:(1)对非零向量a r 与b r ,a b ⊥⇔r r.(2)若非零向量1122(,),(,),a x y b x y a b ==⊥⇔r r r r.2.平行问题:(1)向量a r 与非零向量b r共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使得 .(2)设1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则向量a r 与非零向量b r 共线⇔ .【考点讲解】3.求角问题:(1)设,a b r r是两个非零向量,夹角记为α,则cos α= .(2)若1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则cos α= .4.距离（长度）问题:(1)设(,)a x y =r,则22a a ==r r ,即a =r .(2)若1122(,),(,)A x y B x y ,且a AB =r u u u r ,则AB AB ==u u u r.【答案】1.1212(1)0,(2)0.a b x x y y ⋅=+=r r2.(1)a b λ=r r,(2)12210x y x y -=3.(1)a b a b ⋅⋅r r r r.4.(1)22x y +【优秀题型展示】 1. 在平面几何中的应用：已知ABC D 中，(2,1),(3,2),(3,1)A B C ---,BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD u u u r的坐标.【解析】设点D 坐标（x ，y ），由AD 是BC 边上的高可得⊥，且B 、D 、C 共线，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅//0∴⎩⎨⎧=+---+=--⋅+-0)1)(3()2)(3(0)3,6()1,2(y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+---+=+---0)1)(3()2)(3(0)1(3)2(6y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+-=-+012032y x y x解得⎩⎨⎧==11y x ∴点D 坐标为（1，1），AD ＝（－1，2）. 【答案】AD ＝（－1，2）【变式】已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =u u u r u u u r，则顶点D 的坐标为（） A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，【解析】设22(,),(3,1)(1,2)(4,3),(,2),,37222x x D x y BC AD x y y y 祆==镲镲镲=---==-\\眄镲-==镲镲铑u u u r u u u rQ ，【答案】A【变式】已知正方形OABC 的边长为1，点D E 、分别为AB BC 、的中点，求cos DOE ∠的值.【解析】以OA OC 、为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.由已知条件,可得114.225⋅==∴∠=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r （1，），（，1），cos =OD OE OD OE DOE OD OE2.在三角函数中的应用：已知向量3(sin ,)4a x =r ，(cos ,1)b x =-r ．设函数()2()f x a b b =+⋅r r r ，已知在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a bc 、、，若a =2b =，sin B =()4cos(2)6f x A π++（[0,]3x π∈）的取值范围.【解析】由正弦定理得或 . 因为，所以4A π=.因为+.所以, ，, 所以. 【答案】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++212,12362cos 4πA x f sin ,sin sin 24a b A A A B π===可得所以43π=A a b >()2())4f x a b b x π=+⋅=+r r r 32()⎪⎭⎫⎝⎛++62cos 4πA x f =)4x π+12-0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f3.在解析几何中的应用：（1）已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________．【解析】如图所示，以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ，则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得，平行四边形OACB 是矩形，OA →⊥OB →.由图象得，直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2.【答案】±2（2)椭圆的焦点为F F ，点P 为其上的动点，当∠F P F 为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 .【解析】法一：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （3cos ,2sin ）.为钝角，.∴=9cos 2－5＋4sin 2=5 cos 2－1<0.解得： ∴点P 横坐标的取值范围是（）. 14922=+y x ,121255θθ21PF F ∠Θ123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-u u u r u u u u r（θθθ55cos 55<<-θ553,553-ODC BA【答案】（）法二：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （x,y ）.为钝角，∴ ()()125,5,PF PF x y x y •=--⋅-u u u r u u u u r225x y =+-=25109x -<. 解得：353555x -<<.∴点P 横坐标的取值范围是（）. 【答案】（） 2. 在物理学中的应用：如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N ，则每根绳子的拉力是 .]【解析】 ∵绳子的拉力是一样的（对称），∴OA =OB ，∴四边形OADB 为菱形 .∵∠AOB =120º ，∴∠AOD =60º .又OA =OB =AD ， ∴三角形OAD 为等边三角形，∴OD =OA . 又根据力的平衡得OD =OC =10 ， ∴OA =10 ，∴OA =OB =10 . ∴每根绳子的拉力大小是10N. 【答案】10N553,553-5521PF F ∠Θ553,553-553,553-【真题分析】1.【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（）A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以()PA x y =-u u u r ，(1,)PB x y =---u u u r，(1,)PC x y =--u u u r ，所以(2,2)PB PC x y +=--u u u r u u u r ，22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-u u u r u u u r u u u r233)222-≥-，当(0,2P 时，所求的最小值为32-，故选B ．【答案】B2.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，；∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【答案】-33.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为___________．【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a = 【答案】34.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________．【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ，所以|2|+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为【答案】5.【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC uuu r 的模分别为1，1，2，OA u u u r 与OCuuu r的夹角为α，且tan α=7，OB uuu r 与OC uuu r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0210n m +=-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．【答案】36.【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b ++-=a b a b令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【答案】4，7. 【2016·江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.【解析】设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4.又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点，则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，AF →＝23AD →＝13a ＋13b ，AE →＝13AD →＝16a ＋16b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ，CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ·⎝⎛⎭⎫13a －23b ＝－29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1. 可得a 2＋b 2＝292.又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝⎛⎭⎫－56a ＋16b ·⎝⎛⎭⎫16a －56b ＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.【答案】 788.【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a，(3,=b ，a ∥b，所以3sin x x =．若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan 3x =-．又[]0πx ∈，，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b ．因为[]0πx ∈，，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()62x -≤+≤．于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，()f x取到最小值-【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π6x =时，()f x取到最小值-．1.已知数列{}n a 为等差数列，且满足32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ，若()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，点O 为直线BC 外一点，则12017a a +=（）A. 0B. 1C. 2D. 4【解析】∵32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴32015OA OB a OB a OC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r，即()320151OA a OB a OC =++u u u r u u u r u u u r ，又∵()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，∴3201511a a ++=， ∴12017320150a a a a +=+=. 【答案】A2.直角ABC V 中， AD 为斜边BC 边的高，若1AC =u u u r ， 3AB =u u u r，则CD AB ⋅=u u u r u u u r （）【模拟考场】A .910 B . 310 C . 310- D . 910-【解析】依题意BC =22,AC AC CD CB CD CB =⋅==103cos ==BC AB B，所以有9cos 310CD AB CD AB B ⋅=⋅⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r . 【答案】A3.已知正三角形ABC 的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BMuuu r 的最大值是( ) A.B. C. D.【解析】本题考点是向量与平面图形的综合应用.由题意可设D 为三角形的内心，以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，由已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒u u u r u u u r u u u r. 则()((2,0,1,,1,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =u u u r ，得()2221x y -+=，又11,,,,,22x x PM MC M BM ⎛⎛-+=∴∴= ⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r()(22214x y BM -++∴=u u u u r ，它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点(1,--距离平方的14，()22max149144BM⎫∴==⎪⎭u u u u r ，故选B.【答案】B4.已知曲线C ：x =直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r r，则m 的取值范围为 .【解析】本题考点是向量线性运算与解析几何中点与直线的位置关系的应用.由0AP AQ +=u u u r u u u r r知A 是PQ的中点，设(,)P x y ，则(2,)Q m x y --，由题意20x -≤≤，26m x -=，解得23m ≤≤．3244344943637+433237+【答案】[2,3]5.在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD u u u r=1，则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的最大值是_________.【解析】本题的考点是参数方程中的坐标表示，圆的定义与三角函数的值域.由题意可知C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程3cos sin D D x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数且[)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈, 则OA OB OD ++=u u u r u u u r u uu r=因为2cos θθ+=所以OA OB OD ++的最大值为1==+故填1【答案】1+6.在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD →·BE →的值为________. 【解析】由题意得BD →·BE →＝(BA →＋AD →)·(BC →＋CE →)＝⎝⎛⎭⎫BA →＋13AC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋13CA → ＝⎣⎡⎦⎤BA →＋13（BC →－BA →）·⎣⎡⎦⎤BC →＋13（BA →－BC →）＝⎝⎛⎭⎫13BC →＋23BA →·⎝⎛⎭⎫23BC →＋13BA → ＝29BC →2＋59BC →·BA →＋29BA →2＝29×9＋59×2×3×cos 120°＋29×4＝119. 【答案】1197.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF . 若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. 【解析】法一、如图，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋1λAB →＝⎝⎛⎭⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC →2＝⎝⎛⎭⎫1＋13λ×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得λ＝2.法二、建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A (0，1)，C (0，－1)，B (－3，0)，D (3，0).由BC ＝3BE ，DC ＝λDF .可求点E ，F 的坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫－233，－13，F ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ， ∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫－233，－43·⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ－1＝－2⎝⎛⎭⎫1－1λ＋43⎝⎛⎭⎫1＋1λ＝1，解得λ＝2. 【答案】28.在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________.【解析】AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.【答案】3119.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝__________；y ＝__________.【解析】MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.【答案】 12 －1610.在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________.【解析】法一在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.法二以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，C ⎝⎛⎭⎫32，32，D ⎝⎛⎭⎫12，32.又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝⎛⎭⎫2－12λ，32λ，F ⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32，λ＞0，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫2－12λ⎝⎛⎭⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0，当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918.【答案】291811.已知矩形ABCD 的边AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠P AQ ＝π4，则AP →·AQ →的最小值为________.【解析】法一(坐标法) 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，D (0，1).设∠P AB ＝θ，则AP →＝(2，2tan θ)，AQ →＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1，0≤tan θ≤12. 因为AP →·AQ →＝(2，2tan θ)·⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1＝2tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＋2tan θ＝2（1－tan θ）1＋tan θ＋2tan θ＝41＋tan θ＋2tan θ－2＝41＋tan θ＋2(tan θ＋1)－4≥42－4，当且仅当tan θ＝2－1时，“＝”成立，所以AP →·AQ →的最小值为42－4.法二(基底法) 设BP ＝x ，DQ ＝y ，由已知得，tan ∠P AB ＝x2，tan ∠QAD ＝y ，由已知得∠P AB ＋∠QAD ＝π4，所以tan ∠P AB ＋tan ∠QAD 1－tan ∠P AB tan ∠QAD ＝1，所以x ＋2y 2＝1－xy2，x ＋2y ＝2－xy ≥2x ·2y ，解得0＜xy ≤6－42，当且仅当x ＝2y 时，“＝”成立.AP →·AQ →＝22·（4＋x 2）（1＋y 2）＝22·（xy ）2＋（x ＋2y ）2－4xy ＋4＝22·（xy ）2＋（2－xy ）2－4xy ＋4＝（xy ）2－4xy ＋4＝2－xy ≥42－4. 【答案】 42－412.设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x ＝________.【解析】 ∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ，由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即yx ＝± 3.【答案】 ±313.在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →＝1，则实数λ的值为________.【解析】由AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝3，即BC ＝ 3.又AC 2＝AB 2＋BC 2，所以∠B ＝90°.以点A 为坐标原点，AB →，BC →的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则B (1，0)，C (1，3).由AP →＝AB →＋λAC →，得P (1＋λ，3λ)，则BP →·CP →＝(λ，3λ)·(λ，3λ－3)＝λ2＋3λ(λ－1)＝1，即4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－14或λ＝1.【答案】－14或114.证明:同一平面内，互成120°的三个大小相等的共点力的合力为零.【证明】如图，用r a ,r b ,r c 表示这3个共点力，且r a ,r b ,rc 互成120°，模相等，按照向量的加法运算法则，有：r a +r b +r c = r a +（r b +r c ）=r a +u u u rOD .又由三角形的知识知：三角形OBD 为等边三角形，故r a 与u u u r OD 共线且模相等，所以：u u u r OD = －r a ，即有：r a +r b +r c =0r .15.在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈u u u r u u u r u u u r.（1）若23m n ==，求||OP u u u r ；（2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.【解析】（1）(1,1),(2,3),(3,2)A B C Q (1,2)AB ∴=u u u r ，(2,1)AC =u u u r.Q OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ，又23m n ==.22(2,2)33OP AB AC ∴=+=u u u r u u u r u u u r，|OP ∴u u u r（2）OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u rQ (,)(2,2)x y m n m n ∴=++即22x m ny m n=+⎧⎨=+⎩，两式相减得：m n y x -=-.令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.【答案】（1）（2）m n y x -=-，1.16.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，求1m ＋1n的最小值.【解析】如图，建立平面直角坐标系，得A (0，0)，B (4，0)，D (0，4)，C (1，4)，则AB →＝(4，0)，AD →＝(0，4).设AP →＝(x ，y )，则BC 所在直线为4x ＋3y ＝16. 由AP →＝mAB →＋nAD →，即(x ，y )＝m (4，0)＋n (0，4)，得x ＝4m ，y ＝4n (m ，n >0)，所以16m ＋12n ＝16，即m ＋34n ＝1，那么1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ⎝⎛⎭⎫m ＋34n ＝74＋3n 4m ＋m n ≥74＋23n 4m ·m n ＝74＋3＝7＋434(当且仅当3n 2＝4m 2时取等号). 17.已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且m ⊥n . (1)求cos 2α的值； (2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求角β的值. 【解析】 (1)由m ⊥n ，得2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α，代入cos 2α＋sin 2α＝1，得5cos 2α＝1，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α＝55，cos 2α＝2cos 2α－1＝－35. (2)由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.因为sin(α－β)＝1010，所以cos(α－β)＝31010，而sin α＝1－cos 2α＝255，则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22.因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4.。

平面向量在平面几何中的应用

平面向量在平面几何中的应用平面向量是高中数学中常见的概念之一，也是学习平面几何的基础知识。

它在平面几何中有着广泛的应用，本文将探讨平面向量在平面几何中的应用。

一、向量的加减法向量的加减法是平面向量中最基本的概念之一。

通过向量的加减法可以求出向量之间的关系，包括平移、共线、垂直等。

特别地，通过向量的加减法可以得到两条直线的方向向量，从而判断直线的位置关系。

例如，如果两条直线的方向向量共线，则这两条直线是平行的。

二、向量的数量积向量的数量积是平面向量中最重要的概念之一。

通过数量积可以求出向量之间的夹角，从而判断向量之间的位置关系。

特别地，如果两个向量的数量积为0，则这两个向量垂直。

在平面几何中，数量积可以应用于求解线段的长度，以及求解两条直线的夹角等。

三、向量的叉积向量的叉积是平面向量中较为高级的概念之一。

它可以用来求解向量之间的平面面积，从而进一步应用于求解多边形的面积和体积。

特别地，通过向量的叉积可以求解三角形的面积公式，即：$$S=\frac{1}{2}|\vec{AB}\times \vec{AC}|$$其中，$S$为三角形的面积，$\vec{AB}$和$\vec{AC}$为三角形的两个边向量。

四、向量的投影向量的投影是平面向量中重要的概念之一。

它可以用来求解向量在另一个向量上的投影长度，从而应用于求解点到直线的距离、向量的正交投影以及向量的正交分解等。

在平面几何中，向量的投影可以进一步应用于求解角度平分线、中垂线等重要的几何概念。

五、向量的叠加向量的叠加是平面向量中较为高级的概念之一。

它可以用来求解平面图形的重心、质心等重要的几何概念。

特别地，在三角形中，三条中线的交点即为三角形的重心，而三角形的面积的三分之一乘以重心到任意一顶点的距离即为三角形的质心。

六、向量的推导向量的推导是平面向量中较为复杂的部分之一。

通过向量的推导可以应用于证明平面几何中的许多重要定理，例如向量的夹角公式、平面几何中的海涅定理等。

向量在高中数学解题中的应用

法，使解题思路来得更快，更准确。
参考文献：
解析：如右图所示，延长ＯＡ于Ａ，延长Ｏ于Ｂ，Ｂ延长Ｏ于ｃ连接ＡＢ，Ｃ连接ＢＣ，连接ＡＣ。我们可以采取其它
方法去解此题，是复杂，但思路的确立不清晰，取向量的方法采
［］３中学教学参考・理科版，０９．２０．５
、
、
证明不等式，不等式系列问题。
１）
、
（ｌ￣ｍ－）Ｏ１Ｂ
，
例（已ａ ∈，ａ１ｂ１１证：＋＝１知．ｒ、－＋、一：，ａｂ１）ｂ且／ｂ／ａ求２２
证：造向高（／）：／ｂ设量，夹明构量：，１，（１，向ｍｎａ。、一）、ｎ，的
四、向量在求２离中的应用巨
以，２ｂ：ａ２１＋
点评：运用向量的方法除用来证明等式外，可以用来证明还不等式，一般比常规方法来得更简单。新颖，更不仅节约时间，而
且最重要的是解题正确。二、方程组问题解
ｆ＋＋＝，ｙｚ３ｘ
例：已知两条异面直线所成角为（如右图）在直线．ｂ分别取Ｅ、，已￣Ａ＝Ａ＝、ｄ上、ＦＨＥｍ，Ｆｎ
Ｅ＝，公垂线段ＡＦＬ求Ａ的长ｄ
解方程组｛
解：Ｅ＋，亩：＋ｌＩ（＋＋）（＋＋）亩Ｅ，．Ｅ）：
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浅谈向量在高中数学中的应用

浅谈向量在高中数学中的应用【摘要】本文主要介绍了向量在高中数学中的应用。

文章首先介绍了向量的概念、性质和运算，为后文内容铺垫。

接着，详细讨论了向量在几何图形表示、平面和空间向量运算中的应用，以及在物理等其他学科中的实际应用。

结合实际解题案例，探讨了向量在高中数学中的重要性和广泛应用，强调向量为学生提供更加直观和灵活的解题方式。

通过本文的阐述，希望读者能更深入地理解向量在高中数学中的重要性及实际应用，从而更好地掌握相关知识，提升数学解题能力。

【关键词】向量的概念、向量的性质、向量的运算、几何图形、平面向量、空间向量、物理学、实际应用、重要性、广泛应用、直观、灵活解题方式1. 引言1.1 向量的概念向量是高中数学中一个重要的概念。

在数学中，向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。

向量可以表示空间中的某个点到另一个点的位移，也可以表示一个力、速度或者加速度。

向量的概念最早由英国数学家威廉·测量提出，后来被广泛应用于数学、物理、工程等领域。

在数学中，向量可以用不同的形式来表示，比如坐标形式、分解形式等。

向量的大小叫做模长，方向由箭头指向表示。

向量之间可以进行加法、减法、数乘等运算。

向量的性质有共线性、共点性、平行性等。

向量的运算包括模长运算、数量积、向量积等。

通过学习向量的概念，我们可以更好地理解和描述几何图形，解决各种几何问题。

向量在平面向量和空间向量的运算中也有重要应用，比如求向量的夹角、平行四边形的性质等。

向量还被广泛运用于物理等其他学科中，例如描述力的大小和方向、分析运动的轨迹等。

向量的应用使我们能够更加直观地理解和解决问题，为学生提供了更加灵活和直观的解题方式。

1.2 向量的性质向量的性质是向量运算中非常重要的概念，它们决定了向量在数学中的具体行为和特性。

在高中数学中，我们常常会接触到以下几种向量性质：1. 平行向量的性质：如果两个向量平行，则它们具有相同的方向。

这意味着它们乘以同一个数仍然平行，而且它们的夹角为0度或180度。

向量在解决高中数学问题中的应用

向量在解决高中数学问题中的应用【摘要】向量在高中数学中的应用是非常重要的。

本文首先介绍了向量的基本概念及性质，然后着重讨论了向量在几何和代数中的应用。

通过向量几何解决几何问题和向量代数解决代数问题的实例，展示了向量在解决数学问题中的强大作用。

还探讨了向量在物理问题中的应用，以及向量在实际生活中的应用。

本文强调了向量在高中数学教学中的重要性，并展望了未来向量在高中数学教育中的发展。

通过深入理解和应用向量的知识，可以更好地解决各种复杂问题，提升数学学习成绩，同时也为未来的学习和工作奠定基础。

【关键词】关键词：向量、高中数学、基本概念、性质、几何问题、代数问题、物理问题、实际应用、重要性、应用拓展、教学发展。

1. 引言1.1 向量在解决高中数学问题中的应用向量在解决高中数学问题中的应用是一种非常重要且广泛应用的数学工具。

在高中数学学习过程中，向量不仅仅是一个概念，更是一个具有实际意义的数学工具。

通过向量的运用，我们可以更好地理解和解决各种数学问题。

在高中数学课程中，向量被广泛运用于几何、代数和物理等领域。

在几何中，向量可以帮助我们解决平面几何、立体几何以及空间几何中的各种问题，如求距离、角度、面积等。

在代数中，向量可以用来表示方程组、矩阵运算，从而解决各种代数问题。

在物理中，向量可以帮助我们描述物体的运动、力的作用等实际问题，解决物理学中的各种问题。

2. 正文2.1 向量的基本概念及性质向量是高中数学中一个非常重要的概念，它不仅在几何中有着广泛的应用，还可以帮助我们解决各种代数和物理问题。

在学习向量之前，我们首先需要了解向量的基本概念和性质。

向量是一个具有大小和方向的量。

在坐标系中，一个向量通常用一个有序对表示，如(3,4)，其中3代表向量在x轴上的分量，4代表向量在y轴上的分量。

向量的大小通常用模表示，记作||a||，其中a是向量，模的计算公式为sqrt(x^2 + y^2)，即向量的长度。

向量还有一些重要的性质，比如向量的加法和数乘。

论向量在立体几何和平面解析几何中的应用

论向量在立体几何和平面解析几何中的应用平面向量的运用作为中学数学的重要教学内容之一，具有几何与代数的双重性质，向量工具为数学问题的解决提供了新的有效方法与思路。

同时向量也是中学数学课堂改革过程中的重要举措。

在解决立体几何与平面解析几何问题时运用平面向量法能够帮助学生更加明晰代数与几何之间的联系，培养学生的数学思维。

因此，教师应积极转变传统几何法的解题模式，贯彻“数形结合”的数学教学理念，为学生学习论证与度量问题扫清障碍。

向量立体几何平面解析几何在数学中，向量即具有方向、大小且遵循平行四边形法则的量，根据向量方向与大小的不同，可以将其分为固定向量与自由向量。

将向量法应用在立体几何与平面解析几何的问题中是一种很好的思路与方法，学生通过利用向量代数的方法能够有效避免思维障碍，将逻辑推理的难度降低，利用坐标运算法及“数形结合”的数学思维提高解题效率。

1 向量概述1.1 概念求向量差：通过将两个向量的始点重合，将减向量的终点作为始点，将被减向量的终点作为终点，两点之间的差即两向量之间的差。

1.3 向量与实数的积向量与实数的乘积仍表示向量，零向量与任何向量及实数的积均为零向量。

1.4 向量的坐标运算向量表示的有向线段的终点坐标与始点坐标的差即向量的坐标，两个向量的坐标之和则为向量和的坐标，同样的，两个向量的坐标之差就为向量差的坐标2 平面向量法在立体几何和平面解析几何中的应用2.1运用图形，建立数形结合思维在解决立体几何问题的过程中，利用传统的解题方法，即综合推理法，由于立体几何中的角度、距离等问题具有较强的技巧性，需要学生具有极强的逻辑推理思维能力以及抽象的空间想象力，并且此类题目没有一成不变的规律，从而使得学生智力受到了很大考验，在思考问题时面临很大挑战。

这个时候就需要运用数形结合的思维来处理这些问题。

在数学教学和实际应用中，我们都要培养学生的空间想象能力，并将这种能力应用于立体几何问题解决中去。

学生建立好空间概念，画好正确的立体图形是解决立体几何问题的第一步。

浅谈向量在高中数学中的应用

浅谈向量在高中数学中的应用【摘要】向量是高中数学中非常重要的内容，它在几何问题中扮演着重要的角色。

本文首先介绍了向量的概念和在几何问题中的应用。

随后对向量的加法和减法、数量积和数量积的几何意义、平面向量与坐标、向量的线性运算以及向量在物理问题中的应用进行了详细讨论。

通过这些内容，读者可以深入了解向量在数学和物理领域中的应用。

结合向量在高中数学教学中的重要性、向量的应用拓展以及向量知识与现实生活的联系，总结了向量的广泛应用和重要性。

通过本文的阐述，希望读者能够更加深入地理解和掌握向量的概念，并将其应用于解决实际问题中。

【关键词】向量、高中数学、引入、几何问题、加法、减法、数量积、几何意义、平面向量、坐标、线性运算、物理问题、重要性、应用拓展、现实生活联系1. 引言1.1 向量概念的引入向量是高中数学中一个非常重要的概念，它不仅在数学中有着广泛的应用，同时也在物理学、工程学等领域起着重要作用。

在引入向量的概念之前，我们先来了解一下什么是向量。

向量是一个既有大小又有方向的量，通常用箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

在生活中，我们可以将向量理解为有一定长度和方向的箭头，比如一辆汽车以40千米/小时的速度向东行驶，这就可以用一个向量来表示。

在数学中，我们经常用字母加上箭头的形式来表示向量，比如向量a，向量b等。

向量的大小也可以用数值来表示，比如向量a的大小为5，表示向量a的长度为5。

向量的方向通常用角度或者指示方向的字母来表示。

通过引入向量的概念，我们可以更方便地描述物体的位移、速度和加速度等问题，同时也可以更直观地理解和解决各种几何问题。

向量在高中数学中具有重要的地位，是数学学习中不可或缺的一部分。

1.2 向量在几何问题中的应用在几何问题中，向量起着至关重要的作用。

使用向量的概念可以帮助我们更清晰地描述和解决许多几何问题。

向量可以用来表示空间中的方向和距离。

通过向量的方向和大小，我们可以更直观地理解平面或空间中各个点之间的关系，从而更准确地描述几何图形的特征。

高中数学平面向量在几何中的应用

平面向量应用举例2．5.1 平面几何中的向量方法知识点梳理1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a ∥b (b ≠0)⇔________⇔______________________. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔____________⇔______________.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝______________＝___________________. (4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a |＝_______ 2．直线的方向向量和法向量(1)直线y ＝kx ＋b 的方向向量为________，法向量为________．(2)直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量为________，法向量为________．一、选择题1．在△ABC 中，已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是( )A ．2 5 B.52 5 C ．3 5 D.7252．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点3．已知直线l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：7x ＋y －28＝0，则直线l 1与l 2的夹角是( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．150°4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形5．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC→＝λCE →，其中λ等于( )A ．2 B.12 C ．－3 D ．－136．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰(非等边)三角形 D ．等边三角形二、填空题7．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为__________________．8．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5.则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝________________.9．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状一定是__________．10．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC→|＝2，则OC →＝__________________.三、解答题11．在△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求∠A 的平分线的方程．12．P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PFCE 为矩形．求证：P A ＝EF 且P A ⊥EF .提升练习13．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB→＝PB ·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( ) A ．重心、外心、垂心 B ．重心、外心、内心 C ．外心、重心、垂心 D ．外心、重心、内心 14．求证：△ABC 的三条高线交于一点．总结1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)上任取两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→(λ∈R 且λ≠0)也是直线l 的方向向量．所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线．同理，与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直的向量都叫直线l 的法向量．一条直线的法向量也有无数多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用． ①y ＝kx ＋b 的方向向量v ＝(1，k )，法向量为n ＝(k ，－1)．②Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的方向向量v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B )．平面向量应用举例平面几何中的向量方法答案知识梳理1．(1)a ＝λb x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)a·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0(3)a·b|a||b |x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(4)x 2＋y 22．(1)(1，k ) (k ，－1) (2)(B ，－A ) (A ，B )1．B [BC 中点为D ⎝⎛⎭⎫32，6，AD →＝⎝⎛⎭⎫－52，5， ∴|AD →|＝525.]2．D [∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴(OA →－OC →)·OB →＝0. ∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ， ∴O 为垂心．]3．B [设l 1、l 2的方向向量为v 1，v 2，则 v 1＝(4，－3)，v 2＝(1，－7)，∴|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1|·|v 2|＝255×52＝22.∴l 1与l 2的夹角为45°.]4．B [∵|OB →－OC →|＝|CB →|＝|AB →－AC →|， |OB →＋OC →－2OA →|＝|AB →＋AC →|， ∴|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|，∴四边形ABDC 是矩形，且∠BAC ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．] 5．C[如图所示，由题知∠ABC ＝30°，∠AEC ＝60°，CE ＝33，∴|BC ||CE |＝3，∴BC →＝－3CE →.] 6．D [由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得角A 的平分线垂直于BC .∴AB ＝AC . 而AB →|AB →|·AC →|AC →|＝cos 〈AB →，AC →〉＝12，又〈AB →，AC →〉∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°.故△ABC 为正三角形，选D.] 7．2解析 ∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →，∴MO →＝AO →－AM →＝(m 2－1)AM →＋n 2AN →.又∵MN →＝AN →－AM →，MN →∥MO →，∴存在实数λ，使得MO →＝λMN →，即⎩⎨⎧m2－1＝－λ，n2＝λ，化简得m ＋n ＝2. 8．－25解析 △ABC 中，B ＝90°，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝⎛⎭⎫－45＝－16， CA →·AB →＝5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝－9. ∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25. 9．等腰三角形解析 ∵(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →) ＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2 ＝|AB →|2－|AC →|2＝0， ∴|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 是等腰三角形．10.⎝⎛⎭⎫－105，3105 解析已知A (0,1)，B (－3,4)，设E (0,5)，D (－3,9)， ∴四边形OBDE 为菱形．∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDE 的对角线OD .设C (x 1，y 1)，|OD →|＝310，∴OC →＝2310OD →.∴(x 1，y 1)＝2310×(－3,9)＝⎝⎛⎭⎫－105，3105，即OC →＝⎝⎛⎭⎫－105，3105.11．解 AB →＝(3,4)，AC →＝(－8,6)， ∠A 的平分线的一个方向向量为： AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝⎝⎛⎭⎫35，45＋⎝⎛⎭⎫－45，35＝⎝⎛⎭⎫－15，75. ∵∠A 的平分线过点A .∴所求直线方程为－75(x －4)－15(y －1)＝0.整理得：7x ＋y －29＝0.12．证明以D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，设正方形边长为1，|DP →|＝λ，则A (0,1)，P ⎝⎛⎭⎫2λ2，2λ2，E ⎝⎛⎭⎫1，22λ，F ⎝⎛⎭⎫22λ，0，于是P A →＝⎝⎛⎭⎫－22λ，1－22λ，EF →＝⎝⎛⎭⎫22λ－1，－22λ.∴|P A →|＝⎝⎛⎭⎫22λ－12＋⎝⎛⎭⎫－22λ2＝λ2－2λ＋1，同理|EF →|＝λ2－2λ＋1， ∴|P A →|＝|EF →|，∴P A ＝EF .∴P A →·EF →＝⎝⎛⎭⎫－22λ⎝⎛⎭⎫2λ2－1＋⎝⎛⎭⎫1－22λ⎝⎛⎭⎫－22λ＝0，∴P A →⊥EF →.∴P A ⊥EF . 13．C[如图，∵NA →＋NB →＋NC →＝0， ∴NB →＋NC →＝－NA →.依向量加法的平行四边形法则，知|N A →|＝2|ND →|，故点N 为△ABC 的重心． ∵P A →·PB →＝PB →·PC →， ∴(P A →－PC →)·PB →＝CA →·PB →＝0.同理AB →·PC →＝0，BC →·P A →＝0， ∴点P 为△ABC 的垂心．由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，知点O 为△ABC 的外心．] 14．证明如图所示，已知AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条高．设BE ，CF 交于H 点，令AB →＝b ，AC →＝c ，AH →＝h ，则BH →＝h －b ，CH →＝h －c ，BC →＝c －b . ∵BH →⊥AC →，CH →⊥AB →， ∴(h －b )·c ＝0，(h －c )·b ＝0，即(h －b )·c ＝(h －c )·b整理得h·(c －b )＝0，∴AH →·BC →＝0∴AH ⊥BC ，∴AH →与AD →共线． AD 、BE 、CF 相交于一点H .。

向量法在几何证明中的应用

向量法在几何证明中的应用引言：几何证明是数学中重要的一部分，它要求我们通过逻辑推理和严密的证明过程来解决各种几何问题。

在几何证明中，向量法是一种常用的方法。

本文将探讨向量法在几何证明中的应用，并通过具体的例子来说明其有效性。

一、向量的基本概念在几何证明中，向量是一种非常重要的数学工具。

向量具有大小和方向两个属性，可以用有向线段来表示。

在平面几何中，通常用箭头表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。

向量的起点和终点分别代表有向线段的起点和终点。

二、向量的加法和减法在几何证明中，向量的加法和减法是常用的操作。

向量的加法可以通过将两个向量的终点相连得到一个新的向量，其起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的终点。

向量的减法可以通过将两个向量的起点和终点相连得到一个新的向量，其起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的起点。

三、向量的数量积向量的数量积是向量法中常用的概念之一。

向量的数量积可以通过两个向量的模长之积与它们夹角的余弦值相乘得到。

具体地说，设两个向量为A和B，它们之间的夹角为θ，则它们的数量积为A·B = |A| |B| cosθ。

通过向量的数量积，我们可以计算出两个向量之间的夹角大小，以及它们是否垂直或平行。

四、向量的应用举例1. 证明平行四边形的对角线相等对于一个平行四边形，我们可以通过向量法来证明其对角线相等。

设平行四边形的两个对角线分别为AC和BD，我们可以通过向量AC和BD的数量积来证明它们相等。

首先，我们可以利用向量的减法得到向量AB和向量CD。

然后，我们通过计算向量AB和向量CD的数量积，如果它们的数量积等于0，则可以证明它们垂直。

最后，我们可以利用向量的加法和减法得到向量AC和向量BD，通过计算它们的模长是否相等，从而证明平行四边形的对角线相等。

2. 证明三角形的垂直平分线相交于一点对于一个三角形ABC，我们可以通过向量法来证明其垂直平分线相交于一点。

首先，我们可以通过向量的减法得到向量AB和向量AC。

人教版高一数学必修第二册《平面向量的应用》说课稿

人教版高一数学必修第二册《平面向量的应用》说课稿一、课程背景高中数学必修课程是学生学习数学的基础，平面向量是高中数学的重要内容之一。

本节课主要介绍平面向量的应用，帮助学生理解并掌握平面向量在几何和物理问题中的实际应用。

本课程是按照人教版高一数学必修第二册的教学大纲和教材内容进行设计的，能够满足国家课程标准的要求，帮助学生达到预期的学习目标。

二、教学目标1.理解平面向量的定义和基本性质；2.掌握平面向量的加法、减法和数量乘法；3.能够应用平面向量解决几何和物理问题；4.培养学生的空间想象力和分析问题的能力；5.激发学生对数学的兴趣和学习的动力。

三、教学内容本节课主要包括以下几个方面的内容：1. 平面向量的基本概念通过引入向量的概念，与平面上的有向线段进行对比，帮助学生理解向量的定义和性质。

2. 平面向量的基本运算介绍平面向量的加法、减法和数量乘法的定义和运算法则，并通过具体的例题进行讲解和练习，巩固学生对这些运算的理解和掌握。

3. 平面向量的应用3.1 平面向量与几何问题通过引入平行四边形的概念和平行四边形的性质，将平面向量与几何问题相联系。

讲解平行四边形的面积和平面向量的关系，以及平面向量的共线条件和共线向量的性质。

3.2 平面向量与物理问题介绍平面向量在物理问题中的应用，如力的合成与分解、质心的位置等问题。

通过具体的例题，引导学生将物理问题转化为向量问题，并运用向量的知识进行求解。

4. 解决实际问题的能力培养通过大量的练习题目，培养学生运用平面向量解决实际问题的能力，提高他们的分析问题和解决问题的能力，以及应对复杂问题的能力。

四、教学方法与策略1.情境化教学法：通过将数学概念与实际问题相结合，创设情境，引导学生主动参与，加深对平面向量应用的理解和掌握。

2.启发式教学法：通过提问、讨论和启发性例题，引导学生主动发现问题的解决方法，培养他们的独立思考和解决问题的能力。

3.巩固性训练：通过大量的练习题目，巩固学生对平面向量的理解和应用，帮助他们培养运用平面向量解决实际问题的能力。

高一数学必修向量在平面几何解题中的应用

高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的应用 2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物

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向量在平面几何中的应用

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高考数学(理)之平面向量 专题04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用(解析版)

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