2020版数学新优化浙江大一轮课件：第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布10.7

2.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了 随机变量偏离均值的程度.它们从整体和全局上刻画了随机变量, 是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据,一般先比较均值,若 均值相同,再用方差来决定.
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考点一
考点二
考点三
对点训练(1)已知一个袋中装有大小相同的4个红球,3个白球,3个
黄球.若任意取出2个球,则取出的2个球颜色相同的概率
学科素养
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【典例】 (2017浙江杭州模拟)设离散型随机变量X的分布列为
10.7 离散型随机变量的均值 与方差
考情概览
-2-
年份 离散型随 机变量的 均值与方 差 考查要求
考向分析
2018 7,4 分
2017 2016 2015 2014
9,5 分(理)
8,4 分
12,4 分(理)
了解离散型随机变量均值、方差的概念. 离散型随机变量的均值与方差主要以摸球模型为载 体考查均值和方差的计算公式和方法,试题一般中等 难度.
X
0
1
8
24
P
35
35
4E8(X)67=0×
385+1×
2345+2×
3 35
=
6.
7
2 3
35
关闭
解析 答案
学科素养
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易错警示——随机变量的均值与方差性质应用 掌握下述均值与方差有关性质,会给解题带来方便: (1)E(aX+b)=aE(X)+b,E(X+Y)=E(X)+E(Y),D(aX+b)=a2D(X); (2)若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).
2
P
b
a2
则E(ξ)的最小值为
,此时b=
-12-
1a 2−2
.
关闭
由题意可得 b+a2+1 − ������=1,即 b+a2-������ = 1,b∈[0,1],a∈[-1,1].
22
22
E(ξ)=0+a2+2 1 - ������ =a2-a+1= ������- 1 2 + 3 ≥ 3,当且仅当 a=1时取等号,
p=0.02,n=100,则D(X)=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.
关闭
1.96
解析 答案
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考点一
考点二
考点三
(2)随机变量X的取值为0,1,2,若P(X=0)=
1 5
,E(X)=1,则D(X)=(
)
A.15
B.25
C.
5 5
D.
10 5
设 P(X=1)=p,P(X=2)=q,
知识梳理
-3-
知识梳理 双击自测
1.离散型随机变量的均值
(1)一般地,若离散型随机变量X的分布列为:
则称E(X)= x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量X的均值或
数学期望.它反映了离散型随机变量取值的 平均水平
.
(2)若Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量,且
E(aX+b)= aE(X)+b .
知识梳理 双击自测
5.已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则
p=
.
由于 X~B(n,p),且 E(X)=30,D(X)=20.
所以
1
������������ = 30, ������������(1-������) =
解得 20,
p=13.
3
关闭 关闭
解析 答案
的值为( )
ξ
1
2
3
P
a
b
c
A.0 B.1 C.2 D.无法确定,与a,b有关
因为E(ξ)=2,所以a+2b+3c=2.又a+b+c=1,联立两式可得 a=c,2a+b=1,E(aξ+b)=aE(ξ)+b=2a+b=1.
B
解析
关闭 关闭
答案
考点一
考点二
考点三
(2)已知随机变量ξ的分布列如下:
ξ
0
1
所以 D(2X-3)=22D(X)=4.
C
关闭
关闭
解析 答案
-20-
考点一
考点二
考点三
离散型随机变量的均值和方差综合应用(考点难度★★)
【例3】 (1)已知随机变量ξ的概率分布列为
ξ P
则E(ξ)=
0 1 4
,D(ξ)=
1 1 2
.
2 1
4
由随机变量 ξ 的概率分布列,知
E(ξ)=0× 14+1× 12+2× 14=1,
22
此3 时1b=1.
2
44
2
关闭
4 22
解析 答案
考点一
考点二
考点三
-13-
方法总结求离散型随机变量均值的步骤: (1)理解随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值; (2)求X取每个值的概率; (3)写出X的分布列; (4)由均值定义求出E(X).
-14-
考点一
考点二
考点三
对点训练已知一个袋子中装有4个红球和2个白球,假设每一个球
知识梳理
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知识梳理 双击自测
自测点评 1.求离散型随机变量均值先要正确求出每个随机变量的概率,然 后由公式求出均值. 2.D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度,D(X)越大表明平 均偏离程度越大,说明X的取值越分散.
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考点一
考点二
考点三
离散型随机变量的均值(考点难度★★)
【例1】 (1)若随机变量ξ的分布列如下,且满足E(ξ)=2,则E(aξ+b)
①期从望E4(双X)不= 同的鞋子中任取 4.只,则其中恰好有一双的不同取法有
C41C32C21C21=48(种).
②由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2,P(X=0)=(CC2184)4 =
385,P(X=1)=4C884
=
2345,P(X=2)=CC
2 4 4 8
=
3.
35
故 X 的分布列为
关闭
A
解析 答案
考点一
考点二
考点三
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方法总结1.求离散型随机变量的均值与方差的基本方法 (1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差,按定义求解. (2)已知随机变量ξ的均值、方差,求ξ的线性函数η=aξ+b的均值、 方差,可直接用ξ的均值、方差的性质求解. (3)如果所给随机变量服从二项分布,利用均值、方差公式求解. 2.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了 随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量, 是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若 均值相同,再用方差来决定.
(3)若X服从两点分布,则E(X)= p ;
若X~B(n,p),则E(X)= np .
知识梳理
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知识梳理 双击自测
2.离散型随机变量的方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
则(xi-E(���X��� ))2 描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值E(X)的偏离程度. 而D(X)= ∑ (xi-E(X))2pi 为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量
A.152
B.2245
C.85
D.2 5 6
关闭
因为是有放回地摸球,所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均
为3,又连续摸 4 次(做 4 次试验),X 为取得红球(成功)的次数,所以
5
X~B 4, 3 ,所以 D(X)=4× 3 × 1- 3 = 24.
B
5
5
5 25
关闭
解析 答案
知识梳理
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B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)
D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
关闭
∵E(ξ1)=p1,E(ξ2)=p2,
∴E(ξ1)<E(ξ2).
∵D(ξ1)=p1(1-p1),D(ξ2)=p2(1-p2),
∴D(ξ1)-D(ξ2)=(p1-p2)(1-p1-p2)<0,故选A.
是
;若有放回地任意取10次,每次取出一个球,每取到一
一个个红袋球中得装2分有,大取小到相其同他的球不4 个得分红球 ,则,得3 个分白数球X的,3方个差黄为球.
. 关闭
任意取出 2 个球,基本事件总数 n=C120=45,取出的 2 个球颜色相同包
含的基本事件个数 m=C42 + C32 + C32=12,
解析 答案
Hale Waihona Puke Baidu
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考点一
考点二
考点三
(2)随机变量X的分布列如下表,且E(X)=2,则D(2X-3)=( )
X
0
2
1
P
p
6
A.2 B.3 C.4 D.5
a 1
3
p=1-16
−
1 3
=
12,E(X)=0×
16+2×
12+a×
13=2⇒a=3.
故 D(X)=(0-2)2× 16+(2-2)2× 12+(3-2)2× 13=1.
∵E(X)=0× 1+p+2q=1,①
5
15+p+q=1,②
∴p=3,q=1,
55
∴D(X)=1(0-1)2+3(1-1)2+1(2-1)2=2.
5
5
5
5
故B 选 B.
关闭
关闭
解析 答案
考点一
考点二
考点三
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方法总结1.D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度,D(X)越 大表明平均偏离程度越大,说明X的取值越分散;反之,D(X)越小说明 X的取值越集中在E(X)附近.统计中常用 ������(������) 来描述X的分散程度.
������=1
X与其均值E(X)的平均偏离程度 .称D(X)为随机变量X的方差,其 算术平方根 ������(������) 为随机变量X的标准差.
(2)D(aX+b)=a2D(X) . (3)若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p) . (4)若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p) .
被摸到的可能性是相等的,若从袋子中摸出3个球,记摸到的白球的
个数为ξ,则ξ=1的概率是
;随机变量ξ的期望是
.
根据题意知 ξ 的所有可能值为 0,1,2.
P(ξ=0)=CC
3 4 3 6
=
15,P(ξ=1)=CC42C63
1 2
=
35,
P(ξ=2)=CC22C63 41 = 15,
所3 以1
E(ξ)=0×
D1 (ξ)12=(0-1)2×
14+(1-1)2×
12+(2-1)2×
1 4
=
1.
2
关闭 关闭
解析 答案
-21-
考点一
考点二
考点三
(2)(2017浙江高考)已知随机变量ξ满足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-
pi,i=1,2,若0<p1<p2<
1 2
,则(
)
A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)
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考点一
考点二
考点三
对点训练(1)设0<p<1,随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
2
P
1-p
1
p
2
2
2
则当p在区间(0,1)内增大时( )
A.D(ξ)减小
B.D(ξ)增大
C.D(ξ)先减小后增大 D.D(ξ)先增大后减小
∵E(ξ)=0× 12-������+1× 12+2× ���2���=p+12,
A.
7 3
B.4 C.-1 D.1
1 1
6
E(X)=-1 + 1=-1,E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-2+3=7.
2 63
3
3
A
关闭 关闭
解析 答案
知识梳理
-8-
知识梳理 双击自测
4.罐中有6个红球,4个白球,从中任取1球,记住颜色后再放回,连续摸
取4次,设X为取得红球的次数,则X的方差D(X)的值为( )
1 3
,k=1,2,3,则D(3X+5)=(
)
A.6
B.9 C.3 D.4
由 E(X)=13(1+2+3)=2,得 D(X)=23, D(3X+5)=32×D(X)=6.故选 A. A
关闭 关闭
解析 答案
知识梳理
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知识梳理 双击自测
3.已知X的分布列为
X
-1
0
1
1
P
2
3
设Y=2X+3,则E(Y)的值为( )
1+1×
5
3+2×
5
1=1.
5
5
关闭
关闭
解析 答案
-15-
考点一
考点二
考点三
离散型随机变量的方差(考点难度★★)
【例2】 (1)(2017课标Ⅱ高考)一批产品的二等品率为0.02,从这
批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等
品件数,则D(X)=
.
关闭
由题意可知抽到二等品的件数X服从二项分布,即X~B(100,0.02),其中
知识梳理
-5-
知识梳理 双击自测
1.已知随机变量X的分布列如下表,则E(X)=( )
X
0
1
3
P
0.2
0.2
y
A.0.4 B.1.2 C.1.6 D.2
由0.2+0.2+y=1,得y=0.6,所以E(X)=1×0.2+3×0.6=2.故选D.
D
解析
关闭 关闭
答案
知识梳理
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知识梳理 双击自测
2.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=
∴D(ξ)=1-������
2
0-p-12
2+12
1-p-12
2+���2���
2-p-12
2=-p2+p+14.
∵ 1 ∈(0,1),∴D(ξ)先增大后减小.故选 D.
D2
解析
关闭
关闭
答案
-24-
考点一
考点二
考点三
(2)从4双不同的鞋子中任取4只,则其中恰好有一双的不同取法有
种,记取出的4只鞋子中成双的鞋子对数为X,则随机变量X的数学 关闭
所以取出的
2
个球颜色相同的概率是
p=������������
=
12 45
=
4.
15
因为有放回地任意取 10 次,每次取出一个球,每取到一个红球得 2 分,
取到其他球不得分,
所以取到红球的个数 ξ~B(10,0.4),
所以 D(ξ)=10×0.4×0.6=2.4.
关闭
因145为9X.6=2ξ,所以 D(X)=4D(ξ)=4×2.4=9.6.