人教A版高中数学选修一《圆锥曲线》近年高考试题集锦六.docx
人教版高中数学选择性必修第一册-第3章-圆锥曲线的方程单元测试卷(含解析)
第3章圆锥曲线的方程单元测试卷（原卷版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为()A ．4B ．－4C ．－14D.142．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为13，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的标准方程为()A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1C.x 29＋y 28＝1 D.y 29＋x 28＝13．直线l ：y ＝k (x －2)与双曲线x 2－y 2＝1仅有一个公共点，则实数k 的值为()A ．1B ．－1C ．1或－1D ．1或－1或04．已知中心在原点，焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则此双曲线的离心率为()A.52B.5C.52D ．55．设a ，b ∈R ，a ≠b 且ab ≠0，则方程bx －y ＋a ＝0和方程ax 2－by 2＝ab 在同一坐标系下的图象可能是()6．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为()A ．2B ．4C ．6D ．87.如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝4，P 是双曲线右支上的一点，F 2P 的延长线与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ |＝1，则双曲线的离心率是()A ．3B ．2C.3D.28．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是()A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知点F (1，0)为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为()A ．y 2＝4x B ．x 2＝4yC.x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝θ D.x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝θ10．已知A ，B 为圆锥曲线E 的焦点，点C 在E 上，若△ABC 为等腰直角三角形，则E 的离心率可能为()A.2－1 B.22C.2D.2＋111．已知P 是椭圆E ：x 28＋y 24＝1上一点，F 1，F 2为其左、右焦点，且△F 1PF 2的面积为3，则下列说法正确的是()A ．P 点纵坐标为3B ．∠F 1PF 2>π2C ．△F 1PF 2的周长为4(2＋1)D ．△F 1PF 2的内切圆半径为32(2－1)12．已知A ，B 两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是()A ．当m ＝－1时，点P 的轨迹为圆(除去与x 轴的交点)B ．当－1<m <0时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆(除去与x 轴的交点)C ．当0<m <1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线(除去与x 轴的交点)D ．当m >1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线(除去与x 轴的交点)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知a ∈{－2，0，1，3}，b ∈{1，2}，则曲线ax 2＋by 2＝1为椭圆的概率是________．14．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与双曲线x 2－y24＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p ＝________，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________．(本题第一空2分，第二空3分)15．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，与两焦点张角为90°的点可能有________个(填出所有可能情况)．16．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知Q 点是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)上异于两顶点的一动点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点．从F2向∠F1QF2的平分线作垂线F2P，垂足为P，求P点的轨迹方程．18．(12分)已知点P到F1(0，3)，F2(0，－3)的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与轨迹C交于A，B两点．(1)求轨迹C的方程；(2)若|AB|＝825，求k.19．(12分)已知直线l：y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．(1)若|AB|＝10，求m的值；(2)若OA⊥OB，求m的值．x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t，0)(t>0)作不过20．(12分)如图，已知抛物线C1：y＝14原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．(1)求点A，B的坐标；(2)求△PAB的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．21．(12分)已知椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点为M(－2，0)，离心率为22.(1)求椭圆Γ的方程；(2)过N(1，0)的直线AB交椭圆Γ于A，B两点；当MA→·MB→取得最大值时，求△MAB的面积．22．(12分)已知曲线C上任意一点S(x，y)都满足到直线l′：x＝2的距离是它到点T(1，0)的距离的2倍．(1)求曲线C的方程；(2)设曲线C与x轴正半轴交于点A2，不垂直于x轴的直线l与曲线C交于A，B两点(异于点A2)．若以AB为直径的圆经过点A2，试问直线l是否过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．1．过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若13<k<12，则椭圆离心率的取值范围是()2．若椭圆x2m＋y2n＝1(m>n>0)和双曲线x2a－y2b＝1(a>b>0)有相同的左、右焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是()A．m－a B.12(m－a)C．m2－a2 D.m－a3．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.433B.233C ．3D ．24．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为()A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝15．【多选题】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，P ，Q 的坐标分别为(0，b )，(0，－b )，且四边形A 1PA 2Q 的面积为22，四边形A 1PA 2Q 的内切圆的周长为263π，则双曲线C 的方程为()A.x 22－y 2＝1B ．x 2－y 22＝1C.x 24－y 22＝1 D.x 22－y 24＝16．【多选题】我们通常称离心率是5－12的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A 1，A 2，B 1，B 2分别为其左、右、上、下顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C 为“黄金椭圆”的是()A ．|A 1F 1|·|F 2A 2|＝|F 1F 2|2B ．∠F 1B 1A 2＝90°C ．PF 1⊥x 轴，且PO ∥A 2B 1D ．四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 27．【多选题】已知方程mx 2＋ny 2＝1，其中m 2＋n 2≠0，则()A ．mn >0时，方程表示椭圆B ．mn <0时，方程表示双曲线C ．n ＝0时，方程表示抛物线D ．n >m >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆8.如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba＝________．9．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．10．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1，0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．11.如图，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．12．已知抛物线y2＝－4x的焦点为F，其准线与x轴交于点M，过M作斜率为k的直线l 与抛物线交于A，B两点，弦AB的中点为P，AB的垂直平分线与x轴交于E(x0，0)．(1)求k的取值范围；(2)求证：x0<－3.13．设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为33，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为43 3.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若AC→·DB→＋AD→·CB→＝8，求k的值．14．已知抛物线C的顶点在原点O，焦点与椭圆x225＋y29＝1的右焦点重合．(1)求抛物线C的方程；(2)在抛物线C的对称轴上是否存在定点M，使过点M的动直线与抛物线C相交于P，Q两点时，有∠POQ＝π2.若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．15.如图所示，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，A，B分别为其长、短轴的一个端点，F1，F2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且AB→与OM→是共线向量．(1)求椭圆的离心率e；(2)设Q是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F1QF2的取值范围．第3章圆锥曲线的方程单元测试卷（解析版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为()A ．4B ．－4C ．－14 D.14答案C2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为13，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的标准方程为()A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1C.x 29＋y 28＝1 D.y 29＋x 28＝1答案C解析因为△AF 1B 的周长为12，所以4a ＝12，所以a ＝3.又c a ＝13，所以c ＝1，b 2＝8，所以C 的标准方程为x 29＋y 28＝1.3．直线l ：y ＝k (x －2)与双曲线x 2－y 2＝1仅有一个公共点，则实数k 的值为()A ．1B ．－1C ．1或－1D ．1或－1或0答案C解析由题意可知直线l 恒过点(2，0)，即双曲线的右焦点，双曲线的渐近线方程为y ＝±x .要使直线l 与双曲线只有一个公共点，则该直线与渐近线平行，所以k ＝±1.故选C.4．已知中心在原点，焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则此双曲线的离心率为()A.52B.5C.52D ．5答案B解析由已知可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．∴±a b ＝±12，∴b ＝2a ，∴b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2.∴c 2＝5a 2，∴c 2a 2＝5，∴e ＝ca＝ 5.5．设a ，b ∈R ，a ≠b 且ab ≠0，则方程bx －y ＋a ＝0和方程ax 2－by 2＝ab 在同一坐标系下的图象可能是()答案B解析方程ax 2－by 2＝ab 变形为x 2b －y 2a＝1，直线bx －y ＋a ＝0，即y ＝bx ＋a 的斜率为b ，纵截距为a .当a >0，b >0时，x 2b －y 2a ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，此时直线的斜率b >0，纵截距a >0，故C 错误；当a <0，b <0时，x 2b －y 2a ＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，此时直线的斜率b <0，纵截距a <0，故D 错误；当a <0，b >0，且－a ≠b 时，x 2b －y 2a ＝1表示椭圆，此时直线的斜率b >0，纵截距a <0，故A 错误．故选B.6．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为()A ．2B ．4C ．6D ．8答案B解析由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)．由|AB |＝42，|DE |＝25，可取D (－p 2，5)，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4.故选B.7.如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝4，P 是双曲线右支上的一点，F 2P 的延长线与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ |＝1，则双曲线的离心率是()A ．3B ．2C.3 D.2答案B解析如图，记AF1，AF 2与△APF 1的内切圆分别相切于点N ，M ，则|AN |＝|AM |，|PM |＝|PQ |，|NF 1|＝|QF 1|，又因为|AF 1|＝|AF 2|，则|NF 1|＝|AF 1|－|AN |＝|AF 2|－|AM |＝|MF 2|，因此|QF 1|＝|MF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝(|PQ |＋|QF 1|)－(|MF 2|－|PM |)＝|PQ |＋|PM |＝2|PQ |＝2，即2a ＝2，则a ＝1.由|F 1F 2|＝4＝2c ，得c ＝2，所以双曲线的离心率e ＝ca＝2.故选B.8．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是()A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4)答案D解析如图，显然当直线l 的斜率不存在时，必有两条直线满足题意，当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，M (x 0，y 0)12＝4x 1，22＝4x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．由于x 1≠x 2，所以y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2⇒ky 0＝2.①圆心为C (5，0)，由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1⇒ky 0＝5－x 0.②由①②解得x 0＝3，即点M 必在直线x ＝3上，将x 0＝3代入y 2＝4x ，得y 02＝12⇒－23<y 0<23，因为点M 在圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)上，所以(x 0－5)2＋y 02＝r 2(r >0)，r 2＝y 02＋4<12＋4＝16.因为斜率存在，所以y 0≠0，所以4<y 02＋4<16⇒2<r <4.故选D.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知点F (1，0)为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为()A ．y 2＝4x B ．x 2＝4yC.x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝θ D.x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝θ答案AD解析对于A ，y 2＝4x ，抛物线的焦点为F (1，0)，满足；对于B ，x 2＝4y ，抛物线的焦点为F (0，1)，不满足；对于C ，x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝θ(±cos 2θ－sin 2θ，0)或(0，±sin 2θ－cos 2θ)或曲线表示圆不存在焦点，均不满足；对于D ，x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝θF (1，0)，满足．10．已知A ，B 为圆锥曲线E 的焦点，点C 在E 上，若△ABC 为等腰直角三角形，则E 的离心率可能为()A.2－1 B.22C.2D.2＋1答案ABD 解析若圆锥曲线E 为椭圆，不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，设椭圆的离心率为e .因为△ABC 为等腰直角三角形，所以当AB 为斜边时，可以得到b ＝c ＝22a ，则e ＝c a ＝22；当AB 为直角边时，不妨令|AC |＝|AB |＝2c ，所以22c ＋2c ＝2a ，所以e ＝ca ＝2－1.若圆锥曲线E 为双曲线，不妨设双曲线方程为x 2a ′2－y 2b ′2＝1(a ′>0，b ′>0)，设双曲线的离心率为e ′.因为△ABC 为等腰直角三角形，所以AB 只能为直角边，不妨令AC ⊥AB ，则|AC |＝|AB |＝2c ，可以得到22c ′＝2a ′＋2c ′，则e ′＝c ′a ′＝2＋1.故选ABD.11．已知P 是椭圆E ：x 28＋y 24＝1上一点，F 1，F 2为其左、右焦点，且△F 1PF 2的面积为3，则下列说法正确的是()A ．P 点纵坐标为3B ．∠F 1PF 2>π2C ．△F 1PF 2的周长为4(2＋1)D ．△F 1PF 2的内切圆半径为32(2－1)答案CD解析设点P 的坐标为(x ，y )，由椭圆E ：x 28＋y 24＝1，可知a 2＝8，b 2＝4，所以c 2＝a 2－b 2＝4，所以c ＝2，F 1(－2，0)，F 2(2，0)．因为△F 1PF 2的面积为3，所以12×2c ×|y |＝12×4×|y |＝3，得到y ＝±32，A 说法错误；将y ＝±32代入椭圆E 的方程，得到x 28＋916＝1，解得x ＝±142，不妨取PF 1→·PF 2→2－142，－－142，－＝144－4＋94>0，所以∠F 1PF 2为锐角，B 说法错误；因为a ＝22，所以|PF 1|＋|PF 2|＝42，所以△F 1PF 2的周长为4＋42＝4(2＋1)，C 说法正确；设△F 1PF 2的内切圆半径为r ，因为△F 1PF 2的面积为3，所以12×r ×4(2＋1)＝3，解得r ＝32(2－1)，D 说法正确．故选CD.12．已知A ，B 两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是()A ．当m ＝－1时，点P 的轨迹为圆(除去与x 轴的交点)B ．当－1<m <0时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆(除去与x 轴的交点)C ．当0<m <1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线(除去与x 轴的交点)D ．当m >1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线(除去与x 轴的交点)答案ABD解析设点P 的坐标为(x ，y )(x ≠±1)，则直线AP 的斜率为k AP ＝yx ＋1，直线BP 的斜率为k BP＝y x －1.因为k AP ·k BP ＝m ，所以y x ＋1·y x －1＝m (x ≠±1)，化简得到点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－m ＝1(x ≠±1)，所以正确结论有A 、B 、D.故选ABD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知a ∈{－2，0，1，3}，b ∈{1，2}，则曲线ax 2＋by 2＝1为椭圆的概率是________．答案38解析由题意，得(a ，b )共有8种不同情况，其中满足“曲线ax 2＋by 2＝1为椭圆”的有(1，2)，(3，1)，(3，2)，共3种情况，由古典概型的概率公式，得所求概率P ＝38.14．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与双曲线x 2－y24＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p ＝________，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________．(本题第一空2分，第二空3分)答案2255解析抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2，双曲线x 2－y 24＝1的两条渐近线方程分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，这三条直线构成等腰三角形，其底边长为2p ，三角形的高为p 2，因此12×2p ×p2＝2，解得p ＝2.则抛物线焦点坐标为(1，0)，且到直线y ＝2x 和y ＝－2x 的距离相等，均为|2－0|5＝255.15．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，与两焦点张角为90°的点可能有________个(填出所有可能情况)．答案0或2或4解析设该点为P (x ，y )，椭圆的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c ＞0)，则|PF 1|＝（x ＋c ）2＋y 2a ＋ex ，|PF 2|＝a －ex .|PF 1|2＋|PF 2|2＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|＝2a 2＋2c 2a2x 2＝4c 2.∴x 2＝2a 2－a 4c 2＝a 2（2c 2－a 2）c 2≥0.∴当a 2＞2c 2时，该点不存在；当a 2≤2c 2时，该点存在，且当a 2＝2c 2时这样的点有2个，当c 2<a 2<2c 2时有4个．16．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．答案52解析利用渐近线与直线方程求出交点A ，B 的坐标，进而得出中点C 的坐标；由|PA |＝|PB |可知，PC 与直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)垂直，利用斜率关系求出a ，b 的关系式．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax .＝b a x ，－3y ＋m ＝0，得＝－b a x ，－3y ＋m ＝0，得－am a ＋3b ，所以AB 的中点C设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)，因为|PA |＝|PB |，所以PC ⊥l .所以k PC ＝－3，即3b 2m 9b 2－a 2a 2m9b 2－a 2－m＝－3，化简得a 2＝4b 2.在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝c a ＝52.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知Q 点是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)上异于两顶点的一动点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点．从F 2向∠F 1QF 2的平分线作垂线F 2P ，垂足为P ，求P 点的轨迹方程．解析如图，延长F 2P 交F 1Q 于点A ，连接OP ，则由角平分线的性质，知|AQ |＝|F 2Q |.由三角形中位线性质，知|OP |＝12|F 1A |.∴|OP |＝12(|QF 1|－|QA |)＝12(|QF 1|－|QF 2|)．若点Q 在双曲线的左支上时，|OP |＝12(|QF 2|－|QF 1|)，即|OP |＝12×2a ＝a ，∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(y ≠0)．18．(12分)已知点P 到F 1(0，3)，F 2(0，－3)的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与轨迹C 交于A ，B 两点．(1)求轨迹C 的方程；(2)若|AB |＝825，求k .解析(1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆，即a ＝2，c ＝3，b ＝22－（3）2＝1，故轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y1)，B (x 2，y 2)．2＋y 24＝1，＝kx ＋1，得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)＝16(k 2＋3)>0，且x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.则(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16（k 2＋3）（k 2＋4）2，所以|AB |2＝(1＋k )2(x 1－x 2)2＝(1＋k )2·16（k 2＋3）（k 2＋4）2＝12825，整理得(17k 2＋53)(k 2－1)＝0，解得k 2＝1，所以k ＝±1.19．(12分)已知直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点．(1)若|AB |＝10，求m 的值；(2)若OA ⊥OB ，求m 的值．解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)＝x ＋m ，2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0，＝（2m －8）2－4m 2>0，1＋x 2＝8－2m ，1x 2＝m 2.由|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10.得m ＝716(m ＜2)．(2)∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴x 1x 2＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝0.∴2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.∴2m 2＋m (8－2m )＋m 2＝0.∴m 2＋8m ＝0，m ＝0或m ＝－8.经检验得m ＝－8.20．(12分)如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t ，0)(t >0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标；(2)求△PAB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．解析(1)由题意知直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k (x －t )，＝k （x －t ），＝14x 2，消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线PA 与抛物线相切，令Δ＝0，得k ＝t .因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0，1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)，由题意知点B ，O 关于直线PD 对称，＝－x 02t ＋1，－y 0＝0，0＝2t 1＋t 2，0＝2t 21＋t 2.因此，点B(2)由(1)知|AP |＝t ·1＋t 2，直线PA 的方程为tx －y －t 2＝0.点B 到直线PA 的距离是d ＝t 21＋t 2.设△PAB 的面积为S ，所以S ＝12|AP |·d ＝t 32.21．(12分)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为M (－2，0)，离心率为22.(1)求椭圆Γ的方程；(2)过N (1，0)的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点；当MA →·MB →取得最大值时，求△MAB 的面积．解析(1)由已知a ＝2，c a ＝22，得c ＝2，∴a 2－b 2＝2，即4－b 2＝2，∴b 2＝2，∴椭圆Γ的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 与x 轴重合时，MA →·MB →＝0.当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则MA →＝(x 1＋2，y 1)，MB →＝(x 2＋2，y 2)．ty ＋1，＋y 22＝1，得(t 2＋2)y 2＋2ty －3＝0.显然Δ>0，∴y 1＋y 2＝－2t t 2＋2，y 1y 2＝－3t 2＋2.∴MA →·MB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＋y 1y 2＝(t 2＋1)y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9＝(t 2＋1)·－3t 2＋2＋3t ·－2t t 2＋2＋9＝－3－3t 2－6t 2t 2＋2＋9＝－9t 2－3t 2＋2＋9＝15t 2＋2≤152，∴MA →·MB →的最大值为152.此时t ＝0，直线AB 的方程为x ＝1.综上可知MA →·MB →的最大值为152.1，＋y 22＝1，＝1，＝6＝1，＝－62，不妨令|AB |＝6，又|MN |＝3，∴S △MAB ＝12|MN |·|AB |＝12×3×6＝362.22．(12分)已知曲线C 上任意一点S (x ，y )都满足到直线l ′：x ＝2的距离是它到点T (1，0)的距离的2倍．(1)求曲线C 的方程；(2)设曲线C 与x 轴正半轴交于点A 2，不垂直于x 轴的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点(异于点A 2)．若以AB 为直径的圆经过点A 2，试问直线l 是否过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．解析(1)∵曲线C 上任意一点S (x ，y )都满足到直线l ′：x ＝2的距离是它到点T (1，0)的距离的2倍，∴|x －2|＝2·（x －1）2＋y 2，化简，得x 22＋y 2＝1，即曲线C 是椭圆，其方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，kx ＋m ，y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4mkx ＋2m 2－2＝0，∴Δ＝(4mk )2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)>0，即2k 2＋1>m 2，x 1＋x 2＝－4mk1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.∵y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m ，∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2·2m 2－21＋2k 2＋mk ·－4mk 1＋2k 2＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2.∵点A 2(2，0)在以AB 为直径的圆上，∴AA 2⊥BA 2，即AA 2→·BA 2→＝0.又AA 2→＝(2－x 1，－y 1)，BA 2→＝(2－x 2，－y 2)，∴(2－x 1，－y 1)·(2－x 2，－y 2)＝0，即(2－x 1)(2－x 2)＋y 1y 2＝2－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴2＋2·4mk1＋2k 2＋2m 2－21＋2k 2＋m 2－2k 21＋2k 2＝0，化简得2k 2＋42mk ＋3m 2＝0，即(2k ＋m )(2k ＋3m )＝0，∴2k ＋m ＝0或2k ＋3m ＝0.当2k ＋m ＝0时，直线l ：y ＝k (x －2)过定点(2，0)，即过点A 2(2，0)，不满足题意；当2k ＋3m ＝0时，直线l 的方程可化为y ＝综上，直线l1．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是()答案C解析由题意知k ＝b 2a c ＋a＝a －ca ＝1－e ，∴13<1－e <12，∴12<e <23.故选C.2．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >b >0)有相同的左、右焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是()A ．m －a B.12(m －a )C ．m 2－a 2D.m －a 答案A解析不妨取P 1|＋|PF 2|＝2m ，1|－|PF 2|＝2a ，解得|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a .∴|PF 1|·|PF 2|＝(m ＋a )(m －a )＝m －a .3．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.433B.233C ．3D ．2答案A解析利用椭圆、双曲线的定义和几何性质求解．设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2(r 1>r 2)，|F 1F 2|＝2c ，椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2，由(2c )2＝r 12＋r 22－2r 1r 2cosπ3，得4c 2＝r 12＋r 22－r 1r 2.1＋r 2＝2a 1，1－r 2＝2a 2，1＝a 1＋a 2，2＝a 1－a 2.∴1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c＝r 1c .令m ＝r 12c 2＝4r 12r 12＋r 22－r 1r 2＝41－r 2r 14＋34，当r 2r 1＝12时，m max＝163，∴max＝433.即1e 1＋1e 2的最大值为433.4．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为()A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1答案D解析根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A＝2b 4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1.故选D.5．【多选题】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，P ，Q 的坐标分别为(0，b )，(0，－b )，且四边形A 1PA 2Q 的面积为22，四边形A 1PA 2Q 的内切圆的周长为263π，则双曲线C 的方程为()A.x 22－y 2＝1B ．x 2－y 22＝1C.x 24－y 22＝1 D.x 22－y 24＝1答案AB解析因为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，P (0，b )，Q (0，－b )，所以|A 1A 2|＝2a ，|PQ |＝2b ，所以|A 1P |＝|A 2Q |＝|A 1Q |＝|A 2P |＝a 2＋b 2＝c .又四边形A 1PA 2Q 的面积为22，所以4×12ab ＝22，即ab ＝2.记四边形A 1PA 2Q 的内切圆的半径为r ，则2πr ＝263π，解得r ＝63，所以2cr ＝22，所以c ＝ 3.又c 2＝a 2＋b 2＝3＝2，＝1＝1，＝2，所以双曲线C 的方程为x 22－y 2＝1或x 2－y 22＝1.故选AB.6．【多选题】我们通常称离心率是5－12的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A 1，A 2，B 1，B 2分别为其左、右、上、下顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C 为“黄金椭圆”的是()A ．|A 1F 1|·|F 2A 2|＝|F 1F 2|2B ．∠F 1B 1A 2＝90°C ．PF 1⊥x 轴，且PO ∥A 2B 1D ．四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 2答案BD 解析∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∴A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B 1(0，b )，B 2(0，－b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．对于A ，若|A 1F 1|·|F 2A 2|＝|F 1F 2|2，则(a －c )2＝(2c )2，∴a －c ＝2c ，∴e ＝13，不符合题意，故A 错误；对于B ，若∠F 1B 1A 2＝90°，则|A 2F 1|2＝|B 1F 1|2＋|B 1A 2|2，∴(a ＋c )2＝a 2＋a 2＋b 2，∴c 2＋ac －a 2＝0，∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍去)，符合题意，故B 正确；对于C ，若PF 1⊥x 轴，且PO ∥A 2B 1，则c k PO ＝kA 2B 1，∴b 2a －c ＝b －a，解得b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，∴e ＝c a ＝c 2c ＝22，不符合题意，故C 错误；对于D ，若四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 2，即四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆的半径为c ，则由菱形面积公式可得ab ＝c a 2＋b 2，∴c 4－3a 2c 2＋a 4＝0，∴e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3＋52(舍去)或e 2＝3－52，∴e ＝5－12，故D 正确．故选BD.7．【多选题】已知方程mx 2＋ny 2＝1，其中m 2＋n 2≠0，则()A ．mn >0时，方程表示椭圆B ．mn <0时，方程表示双曲线C ．n ＝0时，方程表示抛物线D ．n >m >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆答案BD解析mx 2＋ny 2＝1表示椭圆的充要条件是m >0，n >0，A 不正确；mx 2＋ny 2＝1表示双曲线的充要条件是mn <0，B 正确；当n ＝0时，mx 2＝1不表示抛物线，C 不正确；mx 2＋ny 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的充要条件是n >m >0，D 正确．故选BD.8.如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba＝________．答案2＋1思路分析根据正方形的边长及O 为AD 的中点，求出点C ，F 的坐标，将两点坐标代入抛物线方程列式求解．解析∵正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b ，O 为AD 的中点，∴b ，又∵点C ，F 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，2＝pa ，2＝2解得ba ＝2＋1.9．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案x 2＋32y 2＝1思路分析根据题意，求出点B 的坐标代入椭圆方程求解．解析设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y2b 2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)．∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)．∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →.∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)．∴x 0＝－51－b 23，y 0＝－b 23.∴点B －51－b 23，－将B －51－b 23，－x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.10．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．答案±1解析设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)2＝4x ，＝k （x ＋1），得k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0.∴x 1＋x 2＝－2（k 2－2）k 2.∴x 1＋x 22＝－k 2－2k 2＝－1＋2k 2，y 1＋y 22＝2k ，即1＋2k 2，又|FQ |＝2，F (1，0)，1＋2k2－＝4，解得k ＝±1.11.如图，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解析方法一：根据题图设焦点坐标为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，M 是椭圆上一点，依题意设M ，23b 在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理，得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，所以b 2a 2＝49.所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2＝1－b 2a 2＝59，所以e ＝53.方法二：设，23b ，代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.12．已知抛物线y 2＝－4x 的焦点为F ，其准线与x 轴交于点M ，过M 作斜率为k 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，弦AB 的中点为P ，AB 的垂直平分线与x 轴交于E (x 0，0)．(1)求k 的取值范围；(2)求证：x 0<－3.解析(1)由y 2＝－4x ，可得准线x ＝1，从而M (1，0)．设l 的方程为y ＝k (x －1)，＝k （x －1），2＝－4x ，得k 2x 2－2(k 2－2)x ＋k 2＝0.∵A ，B 存在，∴Δ＝4(k 2－2)2－4k 4>0，∴－1<k <1.又k ≠0，∴k ∈(－1，0)∪(0，1)．(2)证明：设P (x 3，y 3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，可得x 3＝x 1＋x 22＝k 2－2k 2，y 3＝＝－2k k 2＝－2k.即直线PE 的方程为y ＋2k ＝－令y ＝0，x 0＝－2k2－1.∵k 2∈(0，1)，∴x 0<－3.13．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．解析(1)设F (－c ，0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有（－c ）2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3.于是26b 3＝433，解得b ＝ 2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1，0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组k （x ＋1），＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝± 2.14．已知抛物线C的顶点在原点O，焦点与椭圆x225＋y29＝1的右焦点重合．(1)求抛物线C的方程；(2)在抛物线C的对称轴上是否存在定点M，使过点M的动直线与抛物线C相交于P，Q两点时，有∠POQ＝π2.若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．解析(1)椭圆x225＋y29＝1的右焦点为(4，0)，所以抛物线C的方程为y2＝16x.(2)设点M(a，0)(a≠0)满足题设，当PQ的斜率存在时，PQ的方程为y＝k(x－a)，2＝16x，＝k（x－a）⇒k2x2－2(ak2＋8)x＋a2k2＝0，则x1＋x2＝2（ak2＋8）k2，x1x2＝a2.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由∠POQ＝π2，得x1x2＋y1y2＝0.从而x1x2＋k2(x1－a)(x2－a)＝0⇒a2－16a＝0⇒a＝16，若PQ的方程为x＝a，代入抛物线方程得y＝±4a，当∠POQ＝π2时，a＝4a，即a＝16，所以存在满足条件的点M(16，0)．15.如图所示，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，A，B分别为其长、短轴的一个端点，F1，F2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且AB→与OM→是共线向量．(1)求椭圆的离心率e；(2)设Q是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F1QF2的取值范围．解析(1)设M(x M，y M)，∵F1(－c，0)，∴x M＝－c，y M＝b2a，∴k OM＝－b2ac.由题意知k AB＝－ba，∵OM→与AB→是共线向量，∴－b2ac＝－ba，∴b＝c，∴a＝2c，∴e＝22(2)设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，则r1＋r2＝2a.又|F1F2|＝2c，∴由余弦定理，得cosθ＝r12＋r22－4c22r1r2＝（r1＋r2）2－2r1r2－4c22r1r2＝a2r1r2－1a2－1＝0，当且仅当r1＝r2时等号成立，∴cosθ≥0，∴θ，π2..。
人教A版高中数学选修一圆锥曲线与方程复习测试题.docx
高中数学学习材料唐玲出品2013春高11级数学圆锥曲线与方程复习测试题命题：樊荣 审核：高二数学组 时间：120分钟 分数：150分姓名：_________ 班级___________一、选择题（每小题5分，共60分）1．椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）A ．41 B ．21C ．2D ．4 2．过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．43．若直线y ＝kx ＋2与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ）A ．315(-，)315 B ．0(，)315 C ．315(-，)0 D ．315(-，)1-4．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作直线交抛物线于1(x P ，)1y 、2(x Q ，)2y 两点，若p x x 321=+，则||PQ 等于（ ） A ．4p B ．5p C ．6p D ．8p5.已知两点)45,4(),45,1(--N M ,给出下列曲线方程：①0124=-+y x ;②322=+y x ;③1222=+y x ;④1222=-y x .在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ） （A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④6．已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且21tan 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为（ ） A ．1351222=-y x B ．1312522=-y x C ．1512322=-y x D ．1125322=-y x 7．圆心在抛物线)0(22>=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ）A ．041222=---+y x y xB ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y x D ．041222=+--+y x y x8．双曲线的虚轴长为4，离心率26=e ，1F 、2F 分别是它的左、右焦点，若过1F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，且||AB 是||2AF 的等差中项，则||AB 等于（ ） A ．28 B ．24 C ．22 D ．8．9．抛物线)2(2)2(2+-=-m y x 的焦点在x 轴上，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．23C ．2D ．3 10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ,直线1-=x y 与其相交于N M ,两点, MN 中点横坐标为32-,则此双曲线的方程是( ) (A) 14322=-y x (B) 13422=-y x (C) 12522=-y x (D) 15222=-y x 11.将抛物线342+-=x x y 绕其顶点顺时针旋转090，则抛物线方程为（ ）（A ）x y -=+2)1(2 （B ）2)1(2-=+x y （C ）x y -=-2)1(2 （D ）2)1(2-=-x y12．若直线4=+ny mx 和⊙O ∶422=+y x 没有交点，则过),(n m 的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数（ ） A ．至多一个 B ．2个 C ．1个 D ．0个二、填空题（每小题4分，共16分）13．椭圆198log 22=+y x a 的离心率为21，则a ＝________．14．已知直线1+=x y 与椭圆122=+ny mx )0(>>n m 相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点的横坐标等于31-，则双曲线12222=-n y m x 的两条渐近线的夹角的正切值等于________．15．长为l (0＜l ＜1)的线段AB 的两个端点在抛物线2x y =上滑动，则线段AB 中点M 到x 轴距离的最小值是________．16．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F 为焦点的椭圆，测得近地点A 距离地面)km (m ，远地点B 距离地面)km (n ，地球半径为)km (R ，关于这个椭圆有以下四种说法：①焦距长为m n -；②短轴长为))((R n R m ++；③离心率R n m mn e 2++-=；④若以AB 方向为x轴正方向，F 为坐标原点，则与F 对应的准线方程为)())((m n R n R m x -++2-=，其中正确的序号为____．三、解答题（共74分）17．（本小题12分）已知椭圆的一个顶点为A （0，-1），焦点在x 轴上.若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3.（1）求椭圆的方程;（2）设椭圆与直线)0(≠+=k m kx y 相交于不同的两点M 、N.当AN AM =时，求m 的取值范围.18．（本小题12分）已知椭圆的两个焦点分别为12(0,22),(0,22)F F -,离心率223e =。
人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》测试(包含答案解析)
一、填空题1．若,A B 是曲线x =O 为坐标原点，则OA OB ⋅的取值范围是__________.2．已知F 是双曲线C ：2218y x -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，点A 的坐标为()0,4，则APF 周长的最小值为_____________.3．若椭圆C ：22184x y +=的右焦点为F ，且与直线l ：20x +=交于P ，Q 两点，则PQF △的周长为_______________.4．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与双曲线()2211221110,0x y a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ，点P 是两条曲线的一个交点，122F PF π∠=，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，122e e ，则2212e e +=__________.5．设直线l :1y x =+与椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，与x 轴相交于左焦点F ，且3AF FB =，则椭圆的离心率e =_________6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>的右焦点为F ，定点111,(0)bx P x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭和动点222,(0)bx Q x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭满足：2POF QOF ∠=∠，且POF 是底边长为C 的标准方程为__________.7．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:,C x y b +=若在椭圆1C 上存在点P ，过P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B 使得,3BPA π∠=则椭圆1C 的离心率的取值范围是_____.8．如图所示，已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，双曲线C的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点 为B ，满足90AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线C 的渐近线方程是______.9．已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，F 为右焦点，点A 的坐标为6)，则AFP周长的最大值为_______.10．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为____．11．已知直线y kx m =+与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线交于A B 、两点，与1yx k交于点N ，若N 为AB 的中点，则双曲线的离心率等于____. 12．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的过焦点且垂直于对称轴的弦的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1） 能使抛物线方程为y 2＝10x 的条件是_____． 13．已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，当123F PF π∠=时，则12PF F △的面积为________．二、解答题14．双曲线221124x y -=，1F ､2F 为其左右焦点，曲线C 是以2F 为圆心且过原点的圆.（1）求曲线C 的方程；（2）动点P 在C 上运动，M 满足1F M MP →→=，求M 的轨迹方程.15．已知椭圆E 中心为坐标原点，一个焦点为()1,0且与直线7y x =+有公共点. （1）求椭圆E 长轴最短时的标准方程；（2）在（1）的条件下，若椭圆E 上存在不同两点关于直线4y x m =+对称，求实数m 的取值范围.16．已知抛物线22(0)y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点(,0)(0)T t t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点. （1）求抛物线方程；（2）证明：OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关；（3）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()2,0F ，且右焦点到左准线的距离为10．（1）求椭圆C 的方程;（2）O 为坐标原点，过点F 且斜率为1的直线与椭圆交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．18．设12,F F 为椭圆222:1(1)x C y a a+=>的两个焦点，直线l 与C 交于,A B 两点．（1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且12MF F △是直角三角形，求a 的值； （2）若2a =，且14OA OB k k ⋅=-，求证：OAB 的面积为定值．19．已知命题p ：方程22112x y m m +=-+表示双曲线；命题q ：方程22212x ym m+=表示焦点在x 轴上的椭圆.若,p q 有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围.20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点(1,0),F O 为坐标原点，,A B 是抛物线C 上异于O 的两点.（1）求抛物线C 的方程； （2）若直线,OA OB 的斜率之积为12-，求证：直线AB 过定点，并求出定点坐标. 21．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线l 过点(,0)A a -，且与椭圆相交于另一点B ． （1）求椭圆的方程；（2）若线段AB 长为5，求直线l 的倾斜角． 22．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.过F 且与x 轴重直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D 两点，且4||||3CD AB =. （1）求1C 的离心率；（2）若1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为6，求1C 与2C 的标准方程.23．已知圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，过(,0)(02)A n n <<的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，当1n =，l x ⊥轴时，||PQ =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若l 不垂直于坐标轴，且在x 轴上存在一点(,0)B m ，使得PBA QBA ∠=∠成立，求m 的取值范围．24．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上横坐标为2的一点P 到焦点的距离为3. （1）求抛物线C 的方程；（2）设动直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点， 直线OA ，OB 的斜率分别为12,k k ，且122k k ⋅=-，证明：直线l 经过定点，求出定点的坐标.25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，过点F 的直线l 交椭圆C于,A B 两点，当直线l 垂直于x 轴时，OAB （O 为原点）． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ，求直线OA 的斜率的取值范围． 26．（1）点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到定直线25:4l x =的距离的比是常数45，求M 的轨迹方程；（2）经过两点(3,A --，(7)B --，求双曲线标准方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】先整理化简得设得到分轴和不垂直于轴两种情况讨论当不垂直于轴设:两方程联立消得到关于的一元二次方程再利用韦达定理代入化简整理即可得出结果【详解】∵∴可化为设则则∴若轴此时∴若不垂直于轴设:∴∴解析：[2,)+∞【分析】先整理化简得()221022x y x -=≥，设()11,A x y ，()22,B x y ，得到1212OA OB x x y y ⋅=+，分AB x ⊥轴和AB 不垂直于x 轴，两种情况讨论，当AB 不垂直于x 轴，设AB l :y kx m =+，两方程联立消y ，得到关于x 的一元二次方程，再利用韦达定理，代入1212OA OB x x y y ⋅=+，化简整理即可得出结果. 【详解】∵x =∴可化为(22122x y x -=≥，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则120x x ⋅>，则()11,OA x y =，()22,OB x y =， ∴1212OA OB x x y y ⋅=+，若AB x ⊥轴，此时12x x =，12y y =-，∴22112OA OB x y ⋅=-=，若AB 不垂直于x 轴，设AB l :y kx m =+，∴222y kx m x y =+⎧⎨-=⎩， ∴()2221220kxkmx m ----=，∴12221km x x k +=-，22122222011m m x x k k --+⋅==>--， 则21k >，∴()()12121212OA OB x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++2222222222224(1)21111m km k k km m k b k k --+=+++==+----， 又∵21k >，∴210k ->， ∴2OA OB ⋅>， ∴[2,)OA OB ⋅∈+∞， 故答案为：[2,)+∞. 【点睛】分AB x ⊥轴和AB 不垂直于x 轴，两种情况讨论，当AB 不垂直于x 轴，设AB l :y kx m =+，两方程联立消y ，得到关于x 的一元二次方程，再利用韦达定理是解决本题的关键.2．12【分析】设左焦点为由双曲线的定义转化的周长为即可得解【详解】由双曲线方程可知故左焦点当点在双曲线左支上运动时由双曲线定义知所以从而的周长为因为为定值所以当最小时的周长最小此时点在线段与双曲线的交解析：12 【分析】设左焦点为()13,0F -，由双曲线的定义转化APF 的周长为12AP PF AF +++，即可得解. 【详解】由双曲线方程2218y x -=可知，1a =，3c =，故()3,0F ，左焦点()13,0F -，当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知12PF PF -=，所以12PF PF =+， 从而APF 的周长为12AP PF AF AP PF AF =+++++， 因为22345AF =+=为定值，所以当()1AP PF +最小时，APF 的周长最小， 此时点P 在线段1AF 与双曲线的交点处，如图所示，此时()2211min345AP PF AF +==+=，所以APF 周长的最小值为12.故答案为:12. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用双曲线的性质转化三角形的周长，数形结合即可得解.3．【分析】求出左焦点坐标利用直线经过椭圆的左焦点结合椭圆的定义求三角形的周长即可【详解】由题得椭圆的左焦点所以直线经过左焦点的周长故答案为：【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的问题时如果遇到了焦半径要联想 解析：82【分析】求出左焦点坐标，利用直线经过椭圆的左焦点，结合椭圆的定义求三角形的周长即可． 【详解】由题得椭圆C 的左焦点(2,0)F '-， 所以直线:320l x -+=经过左焦点F '，PQF ∴的周长||||||PQ PF QF ++||||||||PF PF QF QF ''=+++482a ==，故答案为：2 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的问题时，如果遇到了焦半径，要联想到圆锥曲线的定义，利用定义优化解题.4．【分析】设PF1＝sPF2＝t 由椭圆的定义可得s+t ＝2a 由双曲线的定义可得s ﹣t ＝2a1利用勾股定理和离心率公式得到化简计算即可得出结论【详解】不妨设P 在第一象限再设PF1＝sPF2＝t 由椭圆的定 解析：8【分析】设PF 1＝s ，PF 2＝t ，由椭圆的定义可得s +t ＝2a ，由双曲线的定义可得s ﹣t ＝2 a 1，利用勾股定理和离心率公式得到2212224e e =+，化简计算即可得出结论． 【详解】不妨设P 在第一象限，再设PF 1＝s ，PF 2＝t ，由椭圆的定义可得s +t ＝2a ， 由双曲线的定义可得s ﹣t ＝2a 1，解得s ＝a +a 1，t ＝a ﹣a 1， 由∠F 1PF 22π=，在三角形F 1PF 2中，利用勾股定理可得22222221114()()22c s t a a a a a a =+=++-=+． ∴2212224e e =+， 化简221222221212121=e e e e e e ++=，又由e 1e 2＝2，所以22221212=28e e e e +=. 故答案为：8． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．在解题的过程中要合理的利用平面几何的思想，适当利用勾股定理，建立离心力的关系式，在化简的过程中根据题目的条件和结论合理构造和变形，这样解题会轻松一点.5．【分析】设联立方程组可得由可得进而可得再由椭圆的焦点坐标可得即可得解【详解】设将直线:代入椭圆方程消去x 化简得所以又所以所以所以化简得又直线:过椭圆的左焦点所以所以所以或（舍去）所以椭圆离心率故答案解析：2【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组可得12y y +、12y y ，由3AF FB =可得123y y =-，进而可得()()2222240a ab a b +-+=，再由椭圆的焦点坐标可得a ，即可得解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，将直线l :1y x =+代入椭圆方程，消去x 化简得222222()2(1)0a b y b y b a +-+-=，所以222121222222(1),b b a y y y y a b a b-+==++， 又3AF FB =，所以123y y =-，所以222222b y a b -=+，222222(1)3b a y a b--=+， 所以22222222(1)3b b a a b a b ⎛⎫---= ⎪++⎝⎭，化简得()()2222240a a b a b +-+=， 又直线l :1y x =+过椭圆C 的左焦点F ， 所以()1,0F -，所以2221a b c -==，所以22a =或21a =（舍去），所以a =2c e a ==.故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化3AF FB =为123y y =-，再结合韦达定理即可得解.6．【分析】根据题意可以判断点在渐近线点在渐近线根据渐近线关于坐标轴对称可得由是底边长为的等腰三角形可得在中由正弦定理可得：结合即可求出和的值进而求得双曲线的标准方程【详解】由题意知：双曲线的渐近线方程解析：221412x y -=【分析】根据题意可以判断点111,(0)bx P x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭在渐近线2:bl y x a =-，点222,(0)bx Q x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭在渐近线1:bl y x a =，根据渐近线关于坐标轴对称可得3QOF π∠=，b a=POF是底边长为6OFP OPF π∠=∠=，PF =，在POF 中，由正弦定理可得：4c =，结合222c a b =+，即可求出a 和b 的值，进而求得双曲线C 的标准方程. 【详解】由题意知：双曲线的渐近线方程为：by x a=±， 所以点111,(0)bx P x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭在渐近线2:bl y x a =-， 点222,(0)bx Q x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭在渐近线1:b l y x a =，设1:b l y x a =的倾斜角为α，则2:bl y x a=-的倾斜角为2α， 所以1l 平分∠POF ，且2ααπ+=，解得3πα=，即直线1l 的斜率是：tan 33b a π==23POF π∠=，因为POF 是底边长为3 所以6OFP OPF π∠=∠=，43PF =，在POF 中，由正弦定理可得：2sinsin 63OFPF ππ=，即43132c =，解得：4c =， 由22234ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得223a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线C 的标准方程为221412x y -=，故答案为：221412x y -=【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是能判断P 和Q 两点在双曲线的渐近线上，求出3QOF π∠=，b a =23POF π∠=，判断出PF =，在POF 中可以求出4OFc ==，即可得出a 和b 的值.7．【分析】根据得到得到根据得结合可解得结果【详解】因为所以（为坐标原点）所以因为所以所以又所以即所以又所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率的取值范围解题关键是找到关于的不等关系本题1e ≤< 【分析】 根据,3BPA π∠=得到6BPO π∠=得到||2OP b =，根据||b OP a <≤得2b a ≤，结合222b a c =-可解得结果. 【详解】因为3BPA π∠=，所以6BPO π∠=（O 为坐标原点），所以||2||2OP OB b ==，因为||b OP a <≤，所以2b a ≤，所以2240a b -≥，又222b a c =-，所以222430a a c -+≥，即2234a c ≤，所以2c e a =≥，又01e <<，所以12e ≤<.1e ≤< 【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率的取值范围，解题关键是找到关于,,a b c 的不等关系．本题中根据圆的切线的夹角求出||2||2OP OB b ==，根据||b OP a <≤得到所要求的不等关系.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．8．【分析】利用双曲线的性质推出通过解三角形求出的关系再根据即可得到的关系从而得到渐近线方程【详解】解：双曲线的右焦点为双曲线的右支上一点它关于原点的对称点为满足且设左焦点为连接由对称性可得可得所以所以解析：y x = 【分析】利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过解三角形求出c 、a 的关系，再根据222c a b =+，即可得到b 、a 的关系，从而得到渐近线方程．【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足90AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，设左焦点为1F ，连接1AF 、1BF ，由对称性可得1AF BF =、1BF AF =，可得||||2BF AF a -=，所以||AF a =，||3BF a =，190F BF ∠=︒，所以22211F F BF BF =+，可得22249c a a =+，2225c a =，又222c a b =+，所以2232b a =，所以6b a =，故渐近线为62y x =± 故答案为：62y x =±．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．9．10【分析】如图所示设椭圆的左焦点为利用利用即可得到结果【详解】解：如图所示设椭圆的左焦点为由题意可知则因为的坐标为所以由椭圆的定义可得因为所以周长为当且仅当三点共线时取等号所以周长的最大值为10故解析：10 【分析】如图所示，设椭圆的左焦点为'F ，利用'AF AF =，'24PF PF a +==，利用''PA PF AF -≤，即可得到结果【详解】解：如图所示，设椭圆的左焦点为'F ， 由题意可知2,1,3a b c ===(3,0)F ，因为A 的坐标为(0,6)，所以'3AF AF ==， 由椭圆的定义可得'24PF PF a +==， 因为''PA PF AF -≤，所以AFP 周长为'434310AF PA PF AF PA PF ++=++-≤++=， 当且仅当',,A P F 三点共线时取等号， 所以AFP 周长的最大值为10， 故答案为：10【点睛】此题考查了椭圆的定义及其性质，三角形的三边大小关系，考查数形结合的思想，考查计算能力，属于中档题10．6【解析】因为双曲线的右焦点为所以解析：6 【解析】因为双曲线22145x y -=的右焦点为(3,0) ，所以3,62p p ==11．【分析】由题意联立方程组可得由中点的性质可得化简后利用即可得解【详解】由题意双曲线的两条渐近线为则同理联立为的中点即整理得故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解考查了直线交点的问题和 2【分析】由题意联立方程组可得A am x ka b -=+、B amx b ka=-、21N km x k =-，由中点的性质可得2A B N x x x +=，化简后利用221b e a=+即可得解. 【详解】由题意双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线为b y x a=±，则A y kx mam x b ka b y x a =+⎧-⎪⇒=⎨+=-⎪⎩，同理B am x b ka =-， 联立211N y kx mkm x k y x k =+⎧⎪⇒=⎨-=⎪⎩， N 为AB 的中点，∴2A B N x x x +=，即221am am mkb ka b ka k -+=+--， 整理得221b a =，∴e ==. 【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了直线交点的问题和运算能力，属于中档题.12．②⑤【分析】设抛物线方程为根据抛物线的定义焦半径公式直线相互垂直与斜率之间的关系即可判断出结论【详解】设抛物线方程为②③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6可得解得抛物线方程为舍去；②④抛物线的解析：②⑤ 【分析】设抛物线方程为22y px =．根据抛物线的定义、焦半径公式、直线相互垂直与斜率之间的关系即可判断出结论． 【详解】设抛物线方程为22y px =．②③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6，可得162p+=，解得10p =，抛物线方程为220y x =，舍去；②④抛物线的过焦点且垂直于对称轴的弦的长为5，可得25()222pp =⨯，解得52p =，可得抛物线方程为25y x =．②⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)，可得：111222p ⨯=--，解得5p =，可得抛物线方程为210y x =，因此正确．能使抛物线方程为210y x =的条件是②⑤． 故答案为：②⑤．【点睛】本题考查了抛物线的定义、焦半径公式、直线相互垂直与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．【分析】由题意画出图形利用椭圆定义及余弦定理求得的值代入三角形面积公式得答案【详解】解：如图由椭圆得则由余弦定理可得：即的面积故答案为：【点睛】本题考查椭圆的简单性质考查椭圆定义的应用是中档题 解析：3 【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义及余弦定理求得12PF PF 的值，代入三角形面积公式得答案． 【详解】 解：如图，由椭圆2214x y +=，得2a =，1b =，则24a =，223c a b =-=1224PF PF a ∴+==，由余弦定理可得：2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-︒，()22121243c PF PF PF PF ∴=+-，即1243PF PF =． 12F PF ∴的面积1211433sin 6022323S PF PF =︒=⨯⨯=．3． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义的应用，是中档题，二、解答题14．（1）()22416x y -+=；（2）224x y +=. 【分析】（1）求出圆心和半径即得解；（2）设动点(),M x y ，()00,P x y ，由1F M MP →→=得00242x x y y =+⎧⎨=⎩，代入圆的方程即得解. 【详解】（1）由已知得212a =，24b =，故4c ==， 所以()14,0F -､()24,0F， 因为C 是以2F 为圆心且过原点的圆，故圆心为()4,0，半径为4， 所以C 的轨迹方程为()22416x y -+=；（2）设动点(),M x y ，()00,P x y ，则()14,F M x y →=+，()00,MP x x y y →=--， 由1F M MP →→=，得()()004,,x y x x y y +=--， 即()()004x x x y y y ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩，解得00242x x y y =+⎧⎨=⎩，因为点P 在C 上，所以()2200416x y -+=，代入得()()22244216x y +-+=，化简得224x y +=.所以M 的轨迹方程为224x y +=. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程常见的方法有：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点代入法；（4）消参法.要根据数学情景灵活选择方法求动点的轨迹方程.15．（1）22143x y +=；（2）1313⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）首先利用对称性作点1(1,0)F -关于直线y x =+的对称点()'1,F x y ，由对称性可知11PF PF '=，利用公式'12122||||||||a PFPF PF PF =+=+，求长轴的最小值； （2）首先设椭圆上存在111(,)A x y ，22(,)B x y 关于直线4y x m =+对称，则直线AB 方程为14y x n =-+，直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系和对称关系，列式求m 的取值范围. 【详解】（1）由已知椭圆焦点1(1,0)F -，2(1,0)F ， 设点P 是椭圆E与直线y x =+求得1(1,0)F -关于直线y x =的对称点()'1,F x y ，则12211y x y x -⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩，解得：1x y ==，即()11F ',124F F '==则椭圆长轴长''1212122||||||||||4a PF PF PF PF F F =+=+≥=，∴椭圆长轴最短时方程为：22143x y +=（2）设椭圆上111(,)A x y ，22(,)B x y 关于直线4y x m =+对称， 则,A B 在与直线4y x m =+垂直的直线上，设为14y x n =-+， 由2214143y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：221324(3)04x nx n -+-= 令0∆>，则2413n <① 又12813nx x +=，,A B 中点412(,)1313n n ，代入4y x m =+有：413n m =，代入①解得：m <<故m 的取值范围是：,1313⎛- ⎝⎭.【点睛】思路点睛：本题第一问考查与直线有关的对称问题，当点P 在直线上运动，求点P 到两个定点的距离的最值，需注意，两定点在直线的异侧，求和的最小值，两定点在直线的同侧，求差的最大值，如果不是这样，需用对称性，进行转化. 16．（1）24yx =；（2）证明见解析；（3）()202t d t tt ⎧>⎪=⎨<≤⎪⎩.【分析】（1）根据准线方程可求p ，从而可求抛物线方程.（2）设直线方程为x my t =+，联立直线方程和抛物线方程，利用韦达定理可证OA OB ⋅为与m 无关的定值.（3）设(),P x y ，则可用x 表示||PT ，利用二次函数的性质可求()d t . 【详解】（1）因为准线方程为10x +=，故12p=，故2p =， 故抛物线方程为：24y x =.（2）设直线l ：x my t =+，其中m R ∈，t 为常数，设()()1122,,,A x y B x y ，由24y x x my t⎧=⎨=+⎩可得2440y my t --=，所以124y y t .而()212212124416y y O y y x x A B t t t O +=-⋅=+=-，该值与斜率无关.（3）设(),P x y ，则PT ==0x ≥.令()()2224,0S x x t x t x =--+≥，对称轴为直线2x t =- 若02t <≤，则20t -≤，则()2min 0S S t ==，故()d t t =；若2t >，则20t ->，则()()22min 2244S S t t t t =-=--=-，故()d t =所以()2,02t d t t t ⎧>⎪=⎨<≤⎪⎩.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为关于1212,x x x x +（或1212,y y y y +的形式)； （5）代入韦达定理求解.17．（1）2211612x y +=；（2 【分析】（1）由题得2c =，210a c c+=，联解可得.（2）写出:2AB y x =-，与椭圆方程联解，利用根与系数关系及求得三角形面积得解.【详解】解（1）设椭圆的半焦距为c ，()2,0F2c ∴=，210a c c+=，216a ∴= 22216412b a c ∴=-=-=∴椭圆C 的方程为2211612x y +=（2）:2AB y x =-22211612y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2712360y y ∴+-= 设()11,A x y ，()22,B x y1212127367y y y y ⎧+=-⎪⎪∴⎨⎪⋅=-⎪⎩12y y ∴-==△AOB的面积121122277S OF y y =-=⨯⨯=【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系通常是直线方程与圆锥曲线方程联解，利用根与系数关系求解，达到设而不求，简化运算. 18．（1）a =2）证明见解析 .【分析】（1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，则短轴与焦距相等，即1b c ==，结合222a b c =+即可求得a 的值；（2）讨论l 存在与不存在：a.当直线l 斜率存在，通过条件解出点A 坐标，将OAB 的面积用点A 坐标算出来；b.当直线l 斜率不存在，设出直线:l y kx m =+方程，联立椭圆方程消去y ，用设而不求法将弦长AB 表示出来，将点O 到直线l 的距离d 用距离公式表示出来，根据面积公式1||2S AB d =⋅，结合14OA OB k k ⋅=-化简即可.【详解】 解：（1）由题知12MF F △是等腰直角三角形，且1b =， ∴1b c ==，所以2222a b c =+=，解得a =故a =（2）证明：当2a =时，椭圆方程2244x y +=，设()()1122,,,A x y B x y ，由14OA OB k k ⋅=-知121214y y x x ⋅=-即12124x x y y =-，①若直线l 垂直于x 轴，则OA OB k k =-，不妨设110,0x y >> 此时，2111,24OA k x y ==又221144x y +=解得1122,2x y == 122212OABS=⨯⨯⨯=②若直线l 斜率存在，设方程为y kx m =+ 由22,44,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩整理得()222148440k x kmx m +++-=， 22Δ6416160k m =-+>，所以2121222844,1414km m x x x x k k--+==++， 所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222222224484141414m km m k k km m k k k ---=++=+++， 所以2222244441414m m k k k--=-⨯++，所以22241m k -=，即22214m k =+所以()221212||14AB k x x x x =++-222222228444121141414km m k m k kk k --++⎛⎫=+-⨯== ⎪++⎝⎭因为O 到直线y kx m =+的距离21d k=+，所以221121||122||1OABk SAB d m k+=⨯⨯=⨯⨯=+，综上，AOB 面积为定值1．【点睛】直线与椭圆相交问题求解策略：（1）解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y (或x )得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解；（2）涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.19．()2-∞-【分析】先根据方程为双曲线以及椭圆条件得,p q 为真命题时实数m 的取值范围，再根据,p q 有且只有一个为真命题，进而根据集合关系即可得答案. 【详解】 由题设可知：命题p ：方程22112x y m m +=-+表示双曲线， 则有()()120m m -+<， 即解得2m <-或1m ，命题q ：方程22212x y mm+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则22220m mm m ⎧>⇒>⎨>⎩， 由,p q 且只有一个真命题，则p 真q 假或p 假q 真，①当p 真q 假时，即2m <-或1m 且2m ≤， 则2m <-； ②当p 假q 真时，即212m m -≤≤⎧⎨>⎩，无解，综上所述：实数m 的取值范围为(),2-∞-. 【点睛】关键点睛：本题考查复合命题的真假求参数的取值范围，考查双曲线与椭圆的标准方程，分p 真q 假或p 假q 真两种情况讨论是解决本题的关键. 20．（1）24y x =，（2）证明见解析，定点(8,0) 【分析】（1）利用抛扔线的焦点坐标，求出p ，然后求抛物线的方程；（2）通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可 【详解】解：（1）因为抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，所以12p=，得2p =， 所以抛物线的方程为24y x =，（2）①当直线AB 的斜率不存在时，设22(,),(,)44t t A t B t -，因为直线,OA OB 的斜率之积为12-，所以224412t t t t-⋅=-，化简得232t =，所以(8,),(8,)A t B t -，此时直线AB 的方程为8x =，②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx b =+，1122(,),(,)A x y B x y ，由24y x y kx b ⎧=⎨=+⎩，得2440ky y b -+=，则124b y y k =，因为,OA OB 的斜率之积为12-，所以121212y y x x ⋅=-， 即121220x x y y +=，即可2212122044y y y y ⋅+=，解得120y y =（舍去），或1232y y =-，所以432bk=-，即8b k =-，所以8y kx k =-，即(8)y k x =-， 综上所述，直线AB 过x 轴上的一定点(8,0)【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，解题的关键是将直线方程y kx b =+与抛物线方程24y x =联立方程组可得2440ky y b -+=，再利用根与系数的关系可得124by y k =，再结合直线,OA OB 的斜率之积为12-，可得到,k b 的关系，从而可得答案，考查计算能力，属于中档题21．（1）2214x y +=；（2）4π或34π．【分析】（1）由题设列出基本量方程组，解得基本量，从而得方程.（2）设直线l 方程，代入椭圆方程得关于x 的一元二次方程，韦达定理整体思想及弦长公式得关于斜率的方程，解得斜率得直线方程. 【详解】(1)由题意可知22222212242b a a b a b c⨯=⎧⎪⎪⨯⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩ ， 2a = ，1b =，c =。
高中数学人教A版选修1-1 圆锥曲线与方程 章末综合测评 (6)
xx学校xx月考卷一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.设Sn为数列{an}的前n项和，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，则Sn的值为()A．2n－1B．2n－1－1C．2n－n－2D．2n＋1－n－22.给定数列1,2＋3＋4,5＋6＋7＋8＋9,10＋11＋12＋13＋14＋15＋16，…，则这个数列的一个通项公式是()A．an＝2n2＋3n－1B．an＝n2＋5n－5C．an＝2n3－3n2＋3n－1D．an＝2n3－n2＋n－2 3.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为()A．765B．665C．763D．6634.Sn表示数列{an}的前n项和(n∈N*)，则当Sn满足下列()条件时，数列{an}为等差数列．A．Sn＝an2＋bn B．Sn＝an2＋bn＋c C．Sn＝an2＋bn＋c(c≠0)D．Sn＝an2＋bn(a≠0)5.一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－1－a2n＝33，则该数列的公差是()A．3B．－3C．－2D．－16.已知an－an－3＝0，则数列{an}是()＋1A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列7.在等差数列{an}中，a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n是()A．48B．49C．50D．518.数列，，，，…的第100项是()A．B．C．D．9.已知数列{an}满足a1＝2，an－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项an等于()＋1A．n2＋1B．n＋1C．1－n D．3－n10.设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N)，则f(n)等于()A．(8n－1)B．(8n＋1－1)C．(8n＋3－1)D．(8n＋4－1)11.等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0() A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不等实根D．不能确定有无实根12.数列1,0,1,0,1,0,1,0，…的一个通项公式是()A．B．C．D．二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.已知数列{an}中，a1＝3，－＝5(n≥2)，则an＝__________.14.数列{an}中，a1＝3，an＋1－2an＝0，数列{bn}的通项bn满足关系式anbn＝(－1)n(n∈N*)，则b3＝__________.15.等比数列{an}中，若an＋2＝an，则公比q＝________；若an＝an＋3，则公比q＝________.16.等差数列{an}中，a3＝－5，a6＝1，设Sn是数列{an}的前n项和，则S8＝_____.三、解答题(共6小题,每小题12.0分,共72分)17.等比数列{an}中，Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n.18.数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，求{an}的通项公式．19.已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－，a2＝－.(1)求{an}的通项公式；(2)－是{an}中的第几项？(3)该数列是递增数列还是递减数列？20.若数列{an}为等比数列，公比为q，且an>0，bn＝lg an，试问数列{bn}是什么数列？并证明你的结论．21.某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)?22.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1) 1，－3,5，－7,9，…；(2)，2，，8，，…；(3) 9,99,999,9 999，…；(4) 0,1,0,1，….答案解析1.【答案】D【解析】∵an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，∴Sn＝2n＋1－n－2.2.【答案】C【解析】当n＝1时，a1＝1，排除A、D；当n＝3时，a3＝5＋6＋7＋8＋9＝35. 可排除B，a3＝32＋5×3－5＝19. 故选C.3.【答案】B【解析】∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，∴n<15，∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.4.【答案】A【解析】当数列前n项和公式Sn＝an2＋bn＋c时，由an＝可知，当c≠0时，{an}不是等差数列；又当a＝0时，{an}为常数列，也是等差数列，故选A.5.【答案】B【解析】由得nd＝－18.又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.6.【答案】A－an＝3>0，故{an}为递增数列．【解析】由已知得an＋17.【答案】C【解析】a1＝，a2＋a5＝2a1＋5d＝4，∴d＝，an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝33，∴n＝50.8.【答案】C【解析】观察所给数列，其通项公式应为an＝，当n＝100时，a100＝.9.【答案】D【解析】∵an＋1－an＝－1.∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.10.【答案】D【解析】依题意，f(n)为首项为2，公比为8的数列的前n＋4项的和，∴，故选D.11.【答案】A【解析】∵a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，∴ 3a5＝9，即a5＝3，∴方程为x2＋6x＋10＝0，无实数解．12.【答案】B【解析】代入n的取值验证即可.13.【答案】an＝【解析】∵－＝5(n≥2)，∴数列{}是以5为公差的等差数列，且首项为＝.∴数列{}的通项公式为＝＋(n－1)×5＝＋5n－5＝，∴an＝.14.【答案】－【解析】a2＝2a1＝6，a3＝2a2＝12，a3b3＝(－1)3，所以b3＝－.15.【答案】，1【解析】由an＋2＝an得q2=1，解得q=；an＝an＋3得q3=1，解得q=.16.【答案】－16【解析】方法一）设首项为a1，公差为d，则解得a1＝－9，d＝2，∴S8＝8a1＋28d＝－16.方法二）S8＝＝4×(－5＋1)＝－16.17.【答案】n＝6，a1＝3.【解析】∵Sn＝，∴＝189，解得a1＝3.又由an＝a1qn－1得3×2n－1＝96，n＝6，∴n＝6，a1＝3.18.【答案】an＝2n.＝an，∴＝.【解析】∵an＋1∴＝2，＝，＝，…，＝.把上述等式相乘，得×××…×＝2×××…×，即＝n，而a1＝2，∴an＝2n.19.【答案】(1)an＝()n－1；(2)－是{an}中的第8项；(3) {an}是递减数列.【解析】(1)∵an＝pn＋q，又a1＝－，a2＝－，∴解得∴{an}的通项公式是an＝()n－1.(2) 令an＝－，即()n－1＝－，∴ ()n＝，n＝8.∴－是{an}中的第8项．(3) 由于an＝()n－1，且()n随n的增大而减小，因此an的值随n的增大而减小，∴ {an }是递减数列.20.【答案】数列{bn }是等差数列．证明如下： ∵bn ＋1－bn ＝lg an ＋1－lg an ＝lg＝lg q (常数)．∴{bn }是公差为lg q 的等差数列． 【解析】21.【答案】根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同．所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列{an }，其中a 1＝5 000，q ＝1＋10%＝1.1，Sn ＝30 000. 于是得到＝30 000.整理，得1.1n ＝1.6.两边取对数，得n lg 1.1＝lg 1.6. 用计算器算得n ＝≈≈5(年)． 答 大约5年可以使总销量达到30 000台． 【解析】22.【答案】(1)an ＝(－1)n ＋1(2n －1)，n ∈N*；(2)an ＝，n ∈N*；(3)an ＝10n －1，n ∈N*；(4)an ＝或an ＝(n ∈N*)或an ＝(n ∈N*)．【解析】(1)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，考虑(－1)n ＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an ＝(－1)n ＋1(2n －1)，n ∈N*.(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，所以，它的一个通项公式为an ＝，n ∈N*.(3)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n ，可得原数列的一个通项公式为an ＝10n －1，n ∈N*. (4)an ＝或an ＝(n ∈N*)或an ＝(n ∈N*)．。
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件 第三章 习题课 圆锥曲线的综合问题
(16+2 )2
+ 2
=
1
2
1
2
= |1 − 2 | = |||1 − 2 |.
)2
− 41 2 ] = 12 ⋅ 16 ⋅
2 +24+144
=
时,△ = 1,所以△ 面积的最大值为1.
1
144
+ +24
≤
4+2
,设
(16+2 )2
1
,当且仅当
[−(2 2 + 4)]2 − 4 2 ⋅ 2 = 16( 2 + 1) > 0,设点(1 , 1 ),(2 , 2 ),
∴ 1 + 2 =
2 2 +4
,1 2
2
= 1.由抛物线的定义知|| = 1 + 2 + 2 = 8,∴
∴ 2 = 1,即 = ±1,
||
2 +1
=
45
14
=
3 70
,
14
2
3.已知椭圆 2
2
+ 2
2
3
= 1( > > 0)的离心率为 ,且其左顶点到右焦点的距离为5.
（1）求椭圆的方程.
解由题设可知ቐ
=
2
,
3
解得 = 3, = 2,则 2 = 2 − 2 = 5,所以椭圆的方程为
+ = 5,
2
9
2
+
5
= 1.
（2）设点,在椭圆上,以线段为直径的圆过原点,试问是否存在定点,使得点
△ 面积的最大值.
人教A版高中数学选修一《圆锥曲线》近年高考试题集锦二.docx
《圆锥曲线》近年高考试题集锦二二、选择题24、过原点且与圆x 2+y 2-2x=0截得的弦长为3的一条直线的方程是……………………（ D ）A ．x y =；B ．x y 3=； C ．x y -=； D ．x y 33-= 25、圆心在抛物线y x 22=上，且与y 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ A ）A ．041222=+--+y x y x ； B ．041222=+--+y x y x ； C ．01222=+-++y x y x ； D ．01222=+--+y x y x26、（2005北京卷）从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为（ B ）（A ）6π； （B ）3π； （C ）2π ； （D ）32π 27、（2005全国卷理科Ⅰ）已知直线l 过点（－2，0），当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是………………………………………………………………………（ C ）（A ）），（2222-； （B ）），（22- ；（C ）），（－4242； （D ）），（－8181 28、（2005浙江卷）函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a =…………………( B ) (A)18； (B)14 ； (C)12； (D)1 29、（2005重庆卷）圆5)2(22=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为………（ A ）A ．5)2(22=+-y xB ．5)2(22=-+y x C ．5)2()2(22=+++y x D ．5)2(22=++y x 30、若直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为……………（ D ）A 、1,1-；B 、2,2- ；C 、1；D 、1-31、椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是（0，2），则k 等于…………………………………（ B ）A 、—1 ；B 、1 ；C 、5 ；D 、5- 32、以112422-=-y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为……………………（ B ） 141622=+y x A 、； 116422=+y x B 、； C 、1121622=+y x ； D 、1161222=+y x 33、已知椭圆125222=+y ax )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为……………………………………………………………………………………（ D ）（A ）10； （B ）20； （C ）241； （D ） 41434、椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为………………………………………………………………………………………………（ A ）（A ）9 ； （B ）12 ； （C ）10； （D ）835、若常数m>0，椭圆02222=+-y m mx x 的长轴是短轴的2倍，则m 等于…（ C ） 21221222或、或、、、D C B A 36、椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是……………………（ D ）（A ）3； （B ）11； （C ）22； （D ）1037、 如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是……（ D ） （A ）02=-y x ；（B ）042=-+y x ；（C ）01232=-+y x ；（D ）082=-+y x38、（2005山东卷）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为……（ B ）（A ）1 ； （B ）2 ； （C ）3 ； （D ）439、椭圆31222y x +＝１的焦点Ｆ１和Ｆ２，点P 在椭圆上，如果线段P Ｆ１的中点在y 轴上，那么｜ＰＦ１｜∶｜ＰＦ２｜的值为………………………………………………………………（ A ）A.７∶１；B.５∶１ ；C.９∶２；D.８∶３ 40、过双曲线822=-y x 的右焦点F 2有一条弦PQ ，|PQ|=7,F 1是左焦点，那么△F 1PQ 的周长为…（ C ）（A ）28； （B ）2814-； （C ）2814+； （D ）28。
人教A版高中数学选修一《圆锥曲线》近年高考试题集锦五.docx
《圆锥曲线》近年高考试题集锦五81、F 1、F 2是双曲线1201622=-y x 的焦点，P 在双曲线上，若P 到左焦点F 1的距离d=9， （1）求P 到F 2的距离．（2）若d 变化，则P 到F 2的距离怎样变化？81、如图，由双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 1作F 1P 交双曲线于P ，F 1P ⊥OF 1，又双曲线虚轴上的端点B 与F 2的连线BF 2∥OP ．（1）求ba的值； （2）若BF 2与双曲线交于M 、N 两点且12=MN ，求双曲线的方程．82、过抛物线y 2=4x 的焦点F 作弦AB ，且≤AB 8，直线AB 与椭圆3x 2+2y 2=2相交于两个不同的点，求直线AB 的倾斜角的范围．83、已知抛物线px 2y 2=，过动点M （a ，0）且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ，p 2AB ≤，其中p 为正常数． （1）求a 的取值范围．（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值．P xBOyF 1F 2283、解．（1）⎩⎨⎧-==ax y px y 22 得00)(222>∆=++-a x p a xp a p a x x AB 24)(42222221≤-+⋅=∆⋅=-⋅=42p a p -≤<-∴ （2）设中点Q p QN 2=222222221p p pAB pAB ON S =⋅≤⋅=⋅=∴ 84、已知抛物线x 2=4(y-1)，M 是其顶点，（1）圆C 的圆心与抛物线的顶点M 关于x 轴对称，且圆与x 轴相切，求圆C 的方程； （2）过抛物线上任意一点N 作圆的两条切线，这两条切线与抛物线的准线交于A 、B 两点，求|AB|的取值范围．84、解：（1）抛物线顶点M （0，1），故圆心C （0，-1），又因圆与x 轴相切， 则AN ：y=)(00a x ax y --，即y 0x+(a-x 0)y-ay 0=0 ∵它与圆相切， ∴1)(|)(|202000=-+---x a y ay x a 化简得，a 2(y 0+2)-2x 0a-y 0=0①同理，由BN 与圆C 相切得，b 2(y 0+2)-2x 0b-y 0=0②由①、②可见a 、b 是方程t 2(y 0+2)-2x 0t-y 0=0的两根， 85、已知抛物线C ： 6212+-=x y ，点P （2，4），A 、B 在抛物线上，且直线PA 、PB 的倾斜角互补；（1）证明：直线AB 的斜率为定值；（2）当直线AB 在ｙ轴上的截距为正数时，求△PAB 的面积S 的最大值及此时直线AB 的方程.85、解：(Ⅰ)易知点P 在抛物线C 上，设PA 的斜率为k ，则直线PA 的方程是ｙ-4=k (x -2) 1分 代入ｙ=-21x 2+6中，整理得：x 2+2kx -4(k +1)=0 此时方程应有根x A 及2，由韦达定理得：2x A =-4(k +1) ∴x A =-2(k +1)∴ｙA =k (x A -2)+4=-2k 2-4k +4 4分 ∴A (-2(k +1),-2k 2-4k +4)由于PA 与PB 的倾斜角互补，故PB 方程的斜率为－k . 同理可得：B (-2(-k +1),-2k 2+4k +4)∴k AB =2 6分(Ⅱ)由（Ⅰ）得∴直线AB 的方程为：ｙ=2x +b ,b ＞0，代入方程ｙ=-21x 2+6消去ｙ得： 21x 2+2x +b-6=0 |AB |=2)216(52)]6(24)[21(b b 2-=--+ 9分分12 9364)3216( )216(5)216(5221213=++-≤⋅⋅-=⋅-⋅==∴b b b b b b b b d AB S此时方程为：ｙ=2x +31613分 86、(本小题满分14分) 设曲线)0(2>=x x y C ：上的点)(:0,00y x P ，过0P 作曲线C 的切线与x 轴交于Q １，过Q １作平行于y 轴的直线与曲线c 交于)(:1,11y x P ，然后再过Ｐ１作曲线C 的切线交x 轴于Q 2，过Q 2作平行于y 轴的直线与曲线c 交于)(:2,22y x P ，依次类推，作出以下各点： ,,,,,,,,,1322110+n n Q P Q P Q P Q P ，已知20=x ，设)(),(:,N n y x P n n n ∈ （1）求出过点0P 的切线方程；（2）设)(n f x n =，求)(n f 的表达式； （3）设n n x x x S +++= 10，求n n S ∞→lim .86、解：(Ⅰ)∵Ｋ０＝２ｘ０＝４，∴过点P ０的切线方程为４ｘ－ｙ－４＝０ 4分 (Ⅱ)∵Ｋｎ＝２ｘｎ，∴过P ｎ的切线方程为ｙ－ｘｎ２＝２ｘｎ（ｘ－ｘｎ） 6分 将Q ｎ＋１（ｘｎ＋１，０）的坐标代入方程得：－ｘｎ２＝２ｘｎ（ｘｎ＋１－ｘｎ） ∴ｘｎ＋１＝2121=⇒+n n n x x x 8分故｛ｘｎ｝是首项为ｘ０＝２，公比为21的等比数列 ∴ｘｎ＝f (n )=2·（21）ｎ，即1)21()(-=n n f(Ⅲ)Ｓｎ＝)211(4211)211(211++-=⇒--n n n S∴∞→n lim S n =∞→n lim )211(41+-n ＝487、设椭圆的中心在原点O ，一个焦点为F(0，1)，长轴和短轴的长度之比为t ． （1）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q ，点P 在该直线上，且12-=t t OQOP ，当t 变化时，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．87、（1）椭圆方程为111122222=-+-t x t ty ； 点P 的轨迹为抛物线y x 222=在直线x= 22右侧的部分和抛物线y x 222-=在直线22-=x 左侧的部分． 88．（2005江西卷）如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB.（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹方程. 88．解：（1）设M （y 20,y 0），直线ME 的斜率为k(l>0) 则直线MF 的斜率为－k ，).(200y x k y y ME -=-∴的方程为直线⎪⎩⎪⎨⎧=-=-∴xy y x k y y 2200)(由消0)1(002=-+-ky y y ky x 得 2200)1(,1kky x k ky y F F -=∴-=解得).(2142)1()1(1102022022000定值y k ky k k ky k ky k ky k ky x x y y k F E F E EF-=-=+---+--=--=∴所以直线EF 的斜率为定值（2）,1,45,90==∠=∠k MAB EMF 所以时当).(200y x k y y ME -=-∴的方程为直线).1,)1((,0202200y y E xy y x y y --⎪⎩⎪⎨⎧=-=-得由 同理可得)).1(,)1((020y y F +-+设重心G （x , y ），则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--+=++=+=++-+=++=33)1()1(33323)1()1(3000020202020y y y y x x x x y y y y x x x x F E M F E M).32(2729120>-=x x y y 得消去参数 89．（2005广东卷）在平面直角坐标系x Oy 中，抛物线y=x 2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO ⊥BO （如图4所示）.（Ⅰ）求△AOB 的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程； （Ⅱ）△AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.89．解：（I ）设△AOB 的重心为G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=332121y y y x x x ...（1） ∵OA ⊥OB ∴1-=⋅OB OA k k ,即12121-=+y y x x ， (2)又点A ，B 在抛物线上，有222211,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x ∴32332)3(31]2)[(31)(3132221221222121+=+⨯=-+=+=+=x x x x x x x x y y y所以重心为G 的轨迹方程为3232+=x y （II ）22212122222122212222212121))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB +++=++==∆ 由（I ）得12212)1(2212221221662616261=⨯=+-=+⋅≥++=∆x x x x S AOB 当且仅当6261x x =即121-=-=x x 时，等号成立． 所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值1；90、如图所示，BC 是一条曲线段，点B 在直线l 上，点C 到l 的距离等于5，l 外一点A 到l 的距离为2，对于曲线段BC 上任意一点P ，总满足|PA|－d=3，其中d 是点P 到直线l 的距离．（1）建立适当的坐标系，写出l 的方程及点A 的坐标，并求出点B 、点C 的坐标； （2）求曲线段BC 的方程；（3）设另有一定点D ，AD ⊥l ，A 、D 位于l 两侧，且点D 到l 的距离为a (a >0)．求曲线段BC 上的点到点D 的最近距离． 90、解：（1）如图，以过A 点l 的垂线为ｘ轴，A 右方距离为21的点原点建立平面的直角坐标系．故（ｌ）：)0,21(A ,25x --=｜BA ｜＝3 所以)15,215(C ),5,25(B --（2）)15y 5,25x 215(x 2y 2≤≤-≤≤--=（3）)25x 215()25a (x )3a 2(x |PD |),0,25a (D 020202-≤≤-++++=-- 若0<a ≤1，则当25x 0-=时取最小值，为5a 2+若ｌ＜a<6，则当23a 2x 0+-=时取最小值，为4a 2+若6a ≥，则当215x 0-=时取最小值，为40a 10a 2+-CDyBAOx。
人教A版高中数学选修一圆锥曲线单元测试卷.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作圆锥曲线单元测试卷 时间：60分钟，满分100分一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共40分.每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 1．若椭圆2211625x y +=上一点p 到椭圆一个焦点的距离3，则点p 到另一个焦点的距离为（ D ）.2.3.5.7A B C D2. ★★与椭圆221104x y +=共焦点且过点(5,-2)的双曲线标准方程是( ) 22222222.1.1.1.155108810x y x y y x A y B x C D -=-=-=-=3.★★★ 若椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=交于,A B 两点，过原点与线段AB 的中点的直线的斜率为22，则nm 的值为（ ）A ．22B ．2C ．32D ．294. ★★★已知12,F F 是双曲线的两个焦点，PQ 是过点1F 且垂直于实轴所在直线的双曲线的弦，0290PF Q ∠=，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．21+C ．21-D ．212+ 5. ★★设1k >，则关于,x y 的方程()222211k x y k -+=-所表示的是（ ）A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线6. ★★如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ）A ．()0,+∞B ．()0,2C ．()1,+∞D ．()0,17. ★★双曲线221916x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离等于（ ） A ．3 B ．3 C ．4 D ．28. ★★★椭圆221369x y +=的弦被点()4,2平分，则此弦所在的直线方程是（ ） A ．20x y -=B ．24x y +=C ．2314x y +=D ．28x y +=9. ★★★若方程22125x y m m+=--表示双曲线，则m 的取值范围是（ ）A ．22m -<<B ．5m >C ．225m m -<<>或D ．全体实数10. ★★★过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为0135的直线，交抛物线于,A B 两点，则OAB ∆的面积为（ ）A ．222p B ．22p C ．2p D ．22p 二、填空题：本大题共4小题，第小题5分，共20分13. ★★★已知斜率为1的直线过椭圆2214x y +=的焦点，且与椭圆交于,A B 两点，则线段AB 的长是 。
2020年高中数学人教A版选修1-1 第二章圆锥曲线与方程 练习6 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是( ) A ．(±4,0) B ．(0，±4) C ．(±3,0)D ．(0，±3)【解析】 根据椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在y 轴上，所以对应的焦点坐标为(0，±3)，故选D.【答案】 D2．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．a >3B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－2【解析】 由a 2>a ＋6>0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6>0，a ＋6>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <－2或a >3，a >－6，所以a >3或－6<a <－2.【答案】 D3．已知a ＝13，c ＝23，则该椭圆的标准方程为( ) A.x 213＋y 212＝1B.x 213＋y 225＝1或x 225＋y 213＝1C.x 213＋y 2＝1D.x 213＋y 2＝1或x 2＋y213＝1【解析】 a ＝13，c ＝23， ∴b 2＝(13)2－(23)2＝1， a 2＝13，而由于焦点不确定， ∴D 正确． 【答案】 D4．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为P ′，则PP ′的中点M 的轨迹方程是( )A ．4x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y214＝1C.x 24＋y 2＝1D ．x 2＋y24＝1【解析】 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 02，y ＝y 0.∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 20＋y 20＝1.①将x 0＝2x ，y 0＝y 代入方程①， 得4x 2＋y 2＝1. 故选A. 【答案】 A5．椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8D.32【解析】 如图，F 2为椭圆的右焦点，连接MF 2，则ON 是△F 1MF 2的中位线，∴|ON |＝12|MF 2|，又|MF 1|＝2，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10， ∴|MF 2|＝8，∴|ON |＝4. 【答案】 B 二、填空题6．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是________．【解析】 当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，c 2＝m －4，又2c ＝2，∴c ＝1.∴m －4＝1，m ＝5.当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ， ∴c 2＝4－m ＝1，∴m ＝3. 【答案】 3或57．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为________.【导学号：26160032】【解析】 法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧4a 2＋9b2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.【答案】 x 216＋y 212＝18．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．【解析】 由|PF 1|＋|PF 2|＝6，且|PF 1|＝4，知|PF 2|＝2. 在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12. ∴∠F 1PF 2＝120°. 【答案】 2 120° 三、解答题9．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆上一点P (3,2)到两焦点的距离之和为8；(2)椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9或15.【解】 (1)①若焦点在x 轴上，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意知2a ＝8，∴a ＝4， 又点P (3,2)在椭圆上， ∴916＋4b 2＝1，得b 2＝647. ∴椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1.②若焦点在y 轴上，设椭圆标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． ∵2a ＝8，∴a ＝4， 又点P (3,2)在椭圆上， ∴416＋9b 2＝1，得b 2＝12. ∴椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.由①②知椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1或y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2c ＝16,2a ＝9＋15＝24， ∴a ＝12，c ＝8，b 2＝80.又焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上， ∴所求方程为x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1.10．已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长为18，求这个三角形顶点A 的轨迹方程．【解】 以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的中点为原点，建立平面直角坐标系．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4,0)． 由|AB |＋|BC |＋|AC |＝18， 得|AB |＋|AC |＝10＞|BC |＝8.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a ＝10，即a ＝5，且点A 不能在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．[能力提升]1．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1【解析】 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23， ∴c ＝ 3.∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝23，∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1. 故选B. 【答案】 B2．(2016·银川高二检测)已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 24＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】 设A 为椭圆的左焦点，而BC 边过右焦点F ，如图．可知|BA |＋|BF |＝2a ，|CA |＋|CF |＝2a ，两式相加得|AB |＋|BF |＋|CA |＋|CF |＝|AB |＋|AC |＋|BC |＝4a .而椭圆标准方程为x 24＋y 2＝1，因此a ＝2，故4a ＝8，故选C.【答案】 C3．(2016·苏州高二检测)P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，左、右焦点分别为F 1，F 2，若∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________．【解析】 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，由椭圆定义，得r 1＋r 2＝20.①由余弦定理，得(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°， 即r 21＋r 22－r 1r 2＝144，②由①2－②，得3r 1r 2＝256，∴S △PF 1F 2＝12r 1r 2sin 60°＝12×2563×32＝6433. 【答案】 64334．(2016·南京高二检测)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的两焦点，B 为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求|PF 1→|·|PF 2→|的最大值； (2)若C 为椭圆上异于B 的一点，且BF 1→＝λCF 1→，求λ的值； (3)设P 是该椭圆上的一个动点，求△PBF 1的周长的最大值.【导学号：26160033】【解】 (1)因为椭圆的方程为x 24＋y 2＝1， 所以a ＝2，b ＝1，c ＝3， 即|F 1F 2|＝23，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2时取“＝”，所以|PF 1|·|PF 2|的最大值为4，即|PF 1→|·|PF 2→|的最大值为4. (2)设C (x 0，y 0)，B (0，－1)，F 1(－3，0)，由BF 1→＝λCF 1→得x 0＝3(1－λ)λ，y 0＝－1λ.又x 204＋y 20＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0，解得λ＝－7或λ＝1，又BF 1→与CF 1→方向相反，故λ＝1舍去，即λ＝－7.(3)因为|PF 1|＋|PB |＝4－|PF 2|＋|PB |≤4＋|BF 2|， 所以△PBF 1的周长≤4＋|BF 2|＋|BF 1|＝8，所以当P 点位于直线BF 2与椭圆的交点处时，△PBF 1的周长最大，最大值为8......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
人教A版高中数学选修一圆锥曲线单元检测题.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧 *整理制作圆锥曲线单元检测题一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)x 2 y2=1 上有一点 P，F 1、 F2是椭圆的左右焦点，△ F 1PF2为直角三角形，则1．在椭圆2045这样的点 P 有( )A.2 个B.4 个C.6 个D.8 个2．已知双曲线x 2 － y 2 =1 的左支上有一点M 到右焦点 F2的距离为 18，N 是 MF 2的中点，25 9O 为坐标原点，则｜ ON｜等于 ( )A.4B.2C.12 D.33．已知双曲线 m:9x2－ 16y2=144,若椭圆 n 以 m 的焦点为顶点，以m 的顶点为焦点，则椭圆n 的准线方程是 ( )16B. x 16C.25 25A. x3 x D. x5 4 3x 2 y 21 的一条准线被它的两条渐近线所截得线段长度恰好为它的一个焦点4．双曲线b2a 2到一条渐近线的距离，则该双曲线的离心率是( )A.3B.2C. 3D. 25．已知抛物线 C1： y=2x2与抛物线C2关于直线y x 对称，则C2的准线方程是 ( )1B.x= 1 1 1A. x= -2 C.x= D.x= -82 y 28 26．设 P 是双曲线x3x 2y 0, F1、 F2分a 21上一点，双曲线的一条渐近线方程为9|PF1| 3，则|PF2| (别是双曲线的左、右焦点，若)A.1或5B.6C.7D.97．已知点A( 2,0) 、 B(3,0) ，动点P( x, y)满足PA PB x 2，则点P的轨迹是()A. 圆B.椭圆C.双曲线D. 抛物线马鸣风萧萧8．已知椭圆 x2y 2 1 上的一点 P 到左焦点的距离是4，那么点 P 到椭圆的右准线的距953离是 ( )A.2B.6C.714 D.39． 椭圆x 2y 2 1 (a b 0)的长轴被圆 x 2 y 2 b 2与 x 轴的两个交点 三等分，则椭圆的a 2b 2离心率是 ()A .1B. 2C.3D.22223310．抛物线 y24x 上有一点 P ，P 到椭圆x 2y 2 1 的左顶点的距离的最小值为 ()1615A.2 3B.2+3 C. 3 D. 23． 已知椭圆 x 2y 2 1 ( a 1)的两个焦点为 F , F , P 为椭圆上一点 , 且∠ F 1PF 2=60 °，则11 a 212|PF 1|· |PF 2|的值为 ()A .11C. 42B.D.33312．若椭圆 x2y21 (m 1) 与双曲线x 2y 2 1 ( n 0) 有相同的焦点 F 1、 F 2， P 是mn两曲线的一个交点，则F 1 PF 2 的面积是 ()A.4B.2C.1 1D.2二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)13．双曲线离心率为 2，则渐近线夹角为 ________.14． 过双曲线( y3)2 ( x 2)2 1 的一个焦点作垂直于实 轴的直线与双曲线的2 6两条渐近线分别交于 A 、 B. 则线段 AB 的长为 ________ .15．已知抛物线y 2 2 px ( p 0) 的焦点在直线 yx 2 ，上，现将抛物线沿向量 a 平移，且使抛物线的焦点沿直线 y x 2移到点 (2a,4a+2)处 ,在平移中抛物线的顶点移动的距离 d=_______.16．已知方程x 2y 21 表示椭圆，则 k 的取值范围是 ________.k2 | k |5三、解答题 ( 本大题共 5 小题，共 74 分)17． (本题 12分 )已知点 A(3x 2 y 2 12 2,1) 、B (66, 3) 在双曲线2b 2上，求双曲线的方2a程.18． (本题 12分 )如图， l 1、 l 2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M 、N 两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧 .若点 M 在点 O正北方向，且| MO | =3km ，点N 到 l 1、 l 2的距离分别为 4km 和 5km.(1)建立适当坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；(2)若该城市的某中学拟在点 O正东方向选址建分校 .考虑环境问题，要求校址到点 O的距离大于4km ，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于26 km，求该校址距点O的最近距离（注：校址视为一个点）.19． (本题 12分 )已知点 A (3,0) 和B ( 3,0) ,动点C到A、B的距离的差的绝对值为2,点C的轨迹与直线y x 2 交于D，E两点，求线段DE的长.20． (本题 12分 )已知 M( a,2)是抛物线y22x 上的一个定点，直线MP 、 MQ 的倾斜角之和为180°，且与抛物线分别交于P、 Q两个不同的点.(1)求 a的值；(2)求证：满足条件的直线 PQ是一组平行直线 .x 2 y22 1 (a 0,b 0)的两个焦点分别为 F 1,F 2, 斜率为 2 621． (本题 12分 ) 如图 ,双曲线 C :2 b a的直线 L 过右焦点 F 2与双曲线交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 M. 若点 B 分MF 2的比值为 2 (1) 求双曲线离心率 e 的值 ;( 2) 若弦 AB 的中点到右准线的距离为25时 ,求双曲线的方程 .322． (本题 14分 )直线 l ： y=mx+1与椭圆 C ： ax 2+y 2=2交于 A 、B 两点，以 OA 、OB 为邻边作平行四边形 OAPB （ O 为坐标原点）(1) 当 a=2时，求点 P 的轨迹方程；(2) 当 a,m 满足 a+2 m 2 =1，且记平行四边形 OAPB 的面积函数 S （ a ） ,求证： 2＜ S(a)＜ 4.马鸣风萧萧参考答案一.选择题1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 DACBCCDCDACC二、填空题14. 4615. 6 216. 2k513. 60三、解答题x 2 y 2 117.2318. （ 1）分别以 l 2、 l 1为 x 轴， y 轴建立如图坐标系.据题意得 M(0 ， 3）， N(4 ，5）故K MN5 3 1,M , N 中点为 ( 2,4), 所以线段 MN 的垂直平分线方程 :4 0 2y-4= -2（ x-2）令 y=0 得 x=4 故圆心 A 的坐标为（ 4， 0），半径 r ( 4 0)2(0 3)25∴ A 的方程为：（ x-4）2-y 2 =25∴弧 MN 的方程：（ x- 4） 2+y 2=25（ 0≤ x ≤ 4， y ≥ 3） . （2）设校址选在 B （ a ， 0）（ a ＞ 4），则 ( x a) 2 y 226,对0x 4恒成立 .22整理得：（ 8-2a ） x+a -17≥ 0，对 0≤ x ≤ 4恒成立（ 1）令 f （ x ） =（8-2a ） x+a -17 ∵a ＞ 4 ∴g-2a ＜ 0 ∴ f （ x ）在 [0， 4]上为减函数 .∴要使（ 1）恒成立，当且仅当a 4即 a 4解得 : a 5f (4) (8 - 2a) 4 a 2 17即校址选在距 O 最近 5km 的地方 .19. (1) 设点 C （ x ， y ），则 |CA|－ |CB|= ± 2根据双曲线的定义，可知点 C 的轨迹是双曲线，依题意，设其方程为：x 2 y 2 由2a 2,2c2 3, 得 a 2 1,b 22 a 2 2 1,点 C 的轨迹方程是 x 2y 2 12由x 2y 2124x 6 02 得( 2),xy x 2∵△＞ 0，∴直线与双曲线有两个交点D 、E ，设D( x 1， y 1)， E （ x 2， y 2），则 x 1 +x 2=﹣4， x 1x 2=﹣ 6| DE |( x 1 x 2 ) 2 ( y 1 y 2 ) 2 2 (x 1 x 2 ) 2 4x 1x 2 4 520. (1) ：将点 M(a,2)的坐标代入抛物线方程，得 4=2a ，∴ a=2，即为所求 .证(2) ：依题意，直线 MP 和直线 MQ 的倾斜角均不为 0°和 90°，即它们的斜率均在且不为 0.设 k MP1 ,k MQ 1, (m0)mm则直线 MP 的方程为 m(y-2)= x-2，直线 MQ 的方程为 -m(y-2)= x-2，由 m( y 2) x 2 : P( 2( m 1) 2,2( m由 m( y 2) x 2得y22 x1)); y 2 2x得点 Q 的坐标为 (2(m+1) 2,-2(m+1)).从而 k PQ2(m 1) [ 2( m 1)] 1 (常数 )2(m 1) 2 2( m 1)2 2故直线 PQ 是一组平行直线 .21. (1)设L : y 2 6 ( x c),则 M (0, 2 6 ), F (c,0), 点 B 分MF 2为 2,则x B2c得 4c 2 8c 2又 c 232将 点代入双曲线 , 1, , e 3.2 6 c B 9a 2 3b 2 a 2 ey B3x 2y 2 1( 2)由e3,知 c 3a,b 2 2a,由 a 2 8a 2y 2 6 ( x 3)得， x 2-9ax+14a 2=0. ∴弦 AB 的中点横坐标为x o9a , 又由 | x o a 2| 9aa 2 25, 解得 , a 2,b 4 2.2 c 2 3a 3故所求双曲线方程为 : x 2 y 2 1.4 3222. (1)设 P( x, y), 则 OP 中点为 E( x , y),由 y mx 12x 2 y222 2 消去 y 得（ 2+m 2） x 2+2mx-1=0 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x1x 2m , y 1 y2m x 1x21222m 2 222m2m 2x m即AB 的中点为 E( 2 ,), 于是 2 2 m 22 2 m 2 m y 22 2 m 2消去 m,得点 P 的轨迹方程为 2x 2+y 2-2y=0由ymx 1 消去 y 得 : (a m 2 )x 22mx 1 0( 2) 2x 2 y 2 2进一步可以求出 | AB |124(a 2m 2), O 到 AB 的距离为 :mam2d1S( a) | AB | d4(a 2m 2 ) 4 1 m 2 a m 2 a 1∵a+2m2=1 ∴ 0＜ a＜ 1 ∴ 2＜ S (a)＜ 4 马鸣风萧萧。
人教A版高中数学选修一高二圆锥曲线测试卷3.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作虎林市高级中学高二数学圆锥曲线测试卷3时间：90分钟 分数：120分一、选择题（每小题5分，共60分）1．椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A ．41 B ．21C ．2D ．4 2．过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（ ）A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 3．若直线y ＝kx ＋2与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ）A ．315(-，)315 B ．0(，)315 C ．315(-，)0 D ．315(-，)1-4．已知抛物线x y 42=上两个动点B 、C 和点A （1，2）且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过定点（ ）A ．（2，5）B ．（-2，5）C ．（5，-2）D ．（5，2）5.已知两点)45,4(),45,1(--N M ,给出下列曲线方程：①0124=-+y x ;②322=+y x ;③1222=+y x ;④1222=-y x .在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ）（A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④6．已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且21tan 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为（ ）A ．1351222=-y xB ．1312522=-y xC ．1512322=-y x D ．1125322=-y x 7．圆心在抛物线)0(22>=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ）A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y x D ．041222=+--+y x y x8．双曲线的虚轴长为4，离心率26=e ，1F 、2F 分别是它的左、右焦点，若过1F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，且||AB 是||2AF 的等差中项，则||AB 等于（ ） A ．28 B ．24 C ．22 D ．8． 9．已知椭圆22221a y x =+（a ＞0）与A （2，1），B （4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（ ） A ．2230<<a B ．2230<<a 或282>a C ．223<a 或 282>a D ．282223<<a10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ,直线1-=x y 与其相交于N M ,两点, MN 中点横坐标为32-,则此双曲线的方程是( ) (A) 14322=-y x (B) 13422=-y x (C) 12522=-y x (D) 15222=-y x11.将抛物线342+-=x x y 绕其顶点顺时针旋转090，则抛物线方程为（ ）（A ）x y -=+2)1(2（B ）2)1(2-=+x y （C ）x y -=-2)1(2（D ）2)1(2-=-x y12．若直线4=+ny mx 和⊙O ∶422=+y x 没有交点，则过),(n m 的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数（ ） A ．至多一个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 二、填空题（每小题4分，共16分）13．椭圆198log 22=+y x a 的离心率为21，则a ＝________．14．已知直线1+=x y 与椭圆122=+ny mx )0(>>n m 相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点的横坐标等于31-，则双曲线12222=-n y m x 的两条渐近线的夹角的正切值等于________．15．长为l (0＜l ＜1)的线段AB 的两个端点在抛物线2x y =上滑动，则线段AB 中点M 到x 轴距离的最小值是________．16．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F 为焦点的椭圆，测得近地点A 距离地面)km (m ，远地点B 距离地面)km (n ，地球半径为)km (R ，关于这个椭圆有以下四种说法：①焦距长为m n -；②短轴长为))((R n R m ++；③离心率Rn m mn e 2++-=；④若以AB 方向为x 轴正方向，F 为坐标原点，则与F 对应的准线方程为)())((m n R n R m x -++2-=，其中正确的序号为________． 三、解答题（共44分） 17．（本小题10分）已知椭圆的一个顶点为A （0，-1），焦点在x 轴上.若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3.（1）求椭圆的方程;（2）设椭圆与直线)0(≠+=k m kx y 相交于不同的两点M 、N.当AN AM =时，求m 的取值范围.18．（本小题10分）F 1，F 2为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点，过2F 作垂直于x轴的直线交双曲线与点P 且∠P F 1F 2=300，求双曲线的渐近线方程。
新人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》测试(有答案解析)(6)
一、填空题1．已知A 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点，O 为坐标原点，若直线:2l x c =上存在点P 使得45APO ∠=︒，则椭圆离心率的最大值为__________.2．已知F 是双曲线22145x y -=的右焦点，若点P 是双曲线的左支上一点，A ，则APF 周长的最小值为______．3．在平面直角坐标系中，已知抛物线24y x =的准线与双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线分别交于P ，Q 两点，若POQ △的内切圆半径为13，则双曲线的离心率为________.4．已知点P 为抛物线C ：24y x =上的动点，抛物线C 的焦点为F ，且点()3,1A ，则PA PF +的最小值为_______．5．已知1F ，2F 是椭圆222:1(1)x C y a a+=>的两个焦点，且椭圆上存在一点P ，使得1223F PF π∠=，若点M ，N 分别是圆D ：22(3)3x y +-=和椭圆C 上的动点，则当椭圆C 的离心率取得最小值时，2MN NF +的最大值是___________．6．已知()2,0F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点.直线1:3l y x m =-+与椭圆C相交于A ，B 两点，A ，B 的中点为P ，且直线OP 的斜率1k =，则椭圆C 的方程为_______________.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>的右焦点为F ，定点111,(0)bx P x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭和动点222,(0)bx Q x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭满足：2POF QOF ∠=∠，且POF 是底边长为C 的标准方程为__________.8．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的顶点和轴都重合)，已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为.记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD .已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C 的一部分，且C 的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则该双曲线C 的离心率为_______.9．椭圆2212516x y +=的左、右焦点为F 1､F 2，点P 在椭圆上，若F 1PF 2为直角三角形，则点P 到x 轴的距离为_____.10．设12,F F 是双曲线22154x y -=的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且12:2:1PF PF =，则12PF F ∆的面积等于__________．11．已知1F 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点，P 是双曲线右支上一点，线段1PF 与以该双曲线实轴为直径的圆相交于A ，B 两点，且1F A AB BP ==，则该双曲线的离心率为______.12．已知F 为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过F ，A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若3AB FA =，则此双曲线的离心率为________.13．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>2，则其渐近线与圆()22214x a y a -+=的位置关系是________. 二、解答题14．已知抛物线()220y px p =>以椭圆22143x y +=的右焦点为焦点F .（1）求抛物线方程.（2）过F 作直线L 与抛物线交于C ，D 两点，已知线段CD 的中点M 横坐标3，求弦CD 的长度.15．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点围成的四边形的面积为4323e =（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在斜率为1-的直线l 与椭圆C 相交于两点M ，N 使得11FM F N =（1F 为椭圆的左焦点）?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.16．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点231,3E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1A ，2A 为椭圆的左右顶点，且直线1A E ，2A E 的斜率的乘积为23-.（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交直线l 于点P ，交直线2x =-于点Q ，求PQMN的最小值. 17．过双曲线22142x y -=的右焦点F 作斜率为2的直线l ，交双曲线于A ，B 两点.（1）求双曲线的离心率和渐近线；（2）求AB 的长.18．已知椭圆()222210y x a b a b +=>>的离心率22e =，且过点(0,2．（1）求椭圆方程；（2）已知1F 、2F 为椭圆的上、下两个焦点，AB 是过焦点1F 的一条动弦，求2ABF 面积的最大值．19．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1F 恰是2QF 的中点，若过A ，Q ，2F 三点的圆与直线:330l x y --=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 为椭圆C 的长轴两端点，直线m 过点()4,0P 交C 于不同两点G ，H ，证明：四边形MNHG 的对角线交点在定直线上，并求出定直线方程．20．已知双曲线1C 的方程为22143x y -=，椭圆2C 与双曲线有相同的焦距，1F ，2F 是椭圆的上、下两个焦点，已知P 为椭圆上一点，且满足12PF PF ⊥，若12PF F △的面积为9. （1）求椭圆2C 的标准方程；（2）点A 为椭圆的上顶点，点B 是双曲线1C 右支上任意一点，点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程.21．（1）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦距为2333x =±，求椭圆1C 的方程；（2）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有2个公共交点，求双曲线2C 的方程. 22．已知椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为12，1B 是椭圆的上顶点，以1B 及左右焦点1F ，2F 3 （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()1,1M -，求直线l 的方程.23．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，短轴长为22（1）求椭圆的标准方程.（2）已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆2289x y +=上，直线AM 与椭圆交于另一点B ，且AOB 的面积是AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程.24．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.过F 且与x 轴重直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D 两点，且4||||3CD AB =. （1）求1C 的离心率；（2）若1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为6，求1C 与2C 的标准方程.25．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上.由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F .已知112BF F F ⊥，153F B =，124F F =.（1）试建立适当的坐标系，求截口BAC 所在的椭圆的方程；（2）如图，若透明窗DE 所在的直线与截口BAC 所在的椭圆交于一点P ，若1260F PF ∠=︒求12F PF △的面积.26．已知直线l 与抛物线()2:20C y px p =>交于A ，B 两点，且点()2,4-在C 上.()1求C 的方程；()2若l 的斜率为3，且过点()1,1，求AB .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】设则利用直线倾斜角及两角差的正切可得在上有解该分式方程可转化为一元二次方程利用判别式可得的不等式从而可求离心率的最大值【详解】设右焦点为则故因为直线上存在点P 使得故在上有解即在上有解所以即故解析：214【分析】设()2,P c t ，则利用直线,AP OP 倾斜角及两角差的正切可得()2122att c c a =++在R 上有解，该分式方程可转化为一元二次方程，利用判别式可得,a c 的不等式，从而可求离心率的最大值. 【详解】设()2,P c t ，右焦点为F ， 则tan 2t PAO c a ∠=+，tan 2tPOF c∠=， 故()()2222tan 22122t tat c c a APO t t c c a c c a -+∠==++++，因为直线:2l x c =上存在点P 使得45APO ∠=︒，故()2122att c c a =++在R 上有解即()2220t at c c a -++=在R 上有解， 所以()2820a c c a -+≥即216810e e +-≤，故104e <≤.故离心率的最大值为14.故答案为：14. 【点睛】方法点睛：离心率的取值范围的计算，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组，有时也可以根据题设条件构建关于,,a b c 的等量关系，可根据方程有解得到基本量的不等式．2．34【分析】把到右焦点的距离转化为到左焦点的距离后易得最小值【详解】双曲线中即设是双曲线的左焦点则∵在双曲线的左支上∴即∴周长为显然当且仅当是线段与双曲线的交点时等号成立∴周长的最小值为故答案为：3解析：34 【分析】把P 到右焦点F 的距离转化为P 到左焦点的距离后易得最小值． 【详解】双曲线22145x y -=中，2,a b ==，3c ==，即(3,0)F ，设F '是双曲线的左焦点，(3,0)F '-，则15AF AF ==='∵P 在双曲线的左支上，∴24PF PF a '-==，即4PF PF '=+， ∴APF 周长为41519l PF PA AF PF PA PA PF ''=++=+++=++，显然15PA PF AF ''+≥==，当且仅当P 是线段AF '与双曲线的交点时等号成立．∴APF 周长l 的最小值为151934+=． 故答案为：34． 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线上的点到定点和双曲线一个焦点距离和（或差）的最值问题．解题关键是掌握转化思想，根据双曲线的定义，如果涉及的是PF ，则把PF 转化为到另一焦点的距离，如果涉及的是1PF e，则转化为到相应准线的距离． 3．【分析】先求出的面积再利用等积法可求的关系从而可求离心率【详解】不妨设在轴的上方在轴的下方抛物线的准线方程为：双曲线的渐近线方程为：故故而故所以故故答案为：【点睛】关键点点睛：圆锥曲线的离心率的计算【分析】先求出POQ △的面积，再利用等积法可求,,a b c 的关系，从而可求离心率. 【详解】不妨设P 在x 轴的上方，Q 在x 轴的下方.抛物线24y x =的准线方程为：1x =-，双曲线的渐近线方程为：b y x a=±. 故1,b P a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b Q a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故1212POQb b S a a =⨯⨯=△.而c OP OQ a ===，故122123b c b a a a ⎛⎫⨯+⨯= ⎪⎝⎭，所以2c b =，故c e a ===. 【点睛】关键点点睛：圆锥曲线的离心率的计算，关键是利用已知条件构建关键,,a b c 的等量关系式，遇到三角形的内切圆半径的计算问题时，一般利用等积法来沟通半径与三角形的边的关系.4．4【分析】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求取得最小进而可推断出当三点共线时最小答案可得【详解】抛物线的准线为设点在准线上的射影为如图则根据抛物线的定义可知要求取得最小值即解析：4 【分析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知||||PF PD =进而把问题转化为求||||PA PD +取得最小，进而可推断出当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，答案可得． 【详解】抛物线2:4C y x =的准线为1x =-． 设点P 在准线上的射影为D ，如图，则根据抛物线的定义可知||||PF PD =，要求||||PA PF +取得最小值，即求||||PA PD +取得最小． 当D ，P ，A 三点共线时，||||PA PD +最小，为3(1)4--=． 故答案为：4． 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，是解题的关键．5．【分析】根据题中条件得到的最大值不小于即可由余弦定理结合基本不等式得到点为短轴的顶点时最大；不妨设点为短轴的上顶点记得出离心率的最小值连接得到根据椭圆的定义结合三角形的性质求出的最大值即可得出结果【 解析：433+【分析】根据题中条件，得到12F PF ∠的最大值不小于23π即可，由余弦定理，结合基本不等式，得到点P 为短轴的顶点时，12F PF ∠最大；不妨设点P 为短轴的上顶点，记12F PF θ∠=，得出离心率的最小值，连接DN ，得到()()22maxmax3MN NF DN NF +=+，根据椭圆的定义，结合三角形的性质，求出2DN NF +的最大值，即可得出结果. 【详解】若想满足椭圆上存在一点P ，使得1223F PF π∠=，只需12F PF ∠的最大值不小于23π即可，由余弦定理，可得()22222112121221221424cos 22PF PF c PF PF PF PF c F PF PF PF PF PF +--=+-∠=2222221122221112b b b PF PF PF PF a =-≥-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当 12PF PF =，即点P 为短轴的顶点时，12F PF ∠的余弦值最小，即12F PF ∠最大； 如图，不妨设点P 为短轴的上顶点，记12F PF θ∠=，则 23πθ≥，于是离心率3sin 2c e a θ⎫==∈⎪⎪⎣⎭， 因此当椭圆C 的离心率取得最小值32时，24a =，则椭圆 22:14x C y +=；连接DN ，根据圆的性质可得:()()22maxmax3MN NF DN NF +=+，所以只需研究2DN NF +的最大值即可；连接1NF ，1DF ，21144423DN NF DN NF DF +=+-≤+=+当且仅当N ，D ，1F 三点共线（N 点在线段1DF 的延长线上）时，不等式取得等号， 所以2DN NF +的最大值为 423+ 因此2MN NF +的最大值是433+ 故答案为：433+ 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据题中条件，得到椭圆离心率，求出椭圆方程，再由椭圆的定义，以及圆的性质，将动点到两点距离的最值问题，转化为椭圆上一动点到焦点，以及到定点的距离的最值问题，即可求解.6．【分析】设AB 的中点为则由题意知由AB 是椭圆上不重合的两点则两式相减可得即再结合即可求得椭圆C 的方程【详解】设AB 的中点为则由题意知由AB 是椭圆上不重合的两点则两式相减得整理可得即即又解得：所以椭圆解析：22162x y +=【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，A ，B 的中点为00(,)P x y ，则由题意知01OP y k x ==，121213y y x x --=-，由A ，B 是椭圆上不重合的两点，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得12122020y y x x x b a y --=-⋅，即223a b ，再结合222a b c =+，即可求得椭圆C 的方程.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，A ，B 的中点为00(,)P x y ，则由题意知01OP y k x ==，121213y y x x --=- 由A ，B 是椭圆上不重合的两点，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，整理可得12122020y y x x x b a y --=-⋅，即2213b a-=- ，即223a b ，又2222,c a b c ==+，解得：226,2a b ==所以椭圆C 的方程为22162x y +=故答案为：22162x y +=【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．7．【分析】根据题意可以判断点在渐近线点在渐近线根据渐近线关于坐标轴对称可得由是底边长为的等腰三角形可得在中由正弦定理可得：结合即可求出和的值进而求得双曲线的标准方程【详解】由题意知：双曲线的渐近线方程解析：221412x y -=【分析】根据题意可以判断点111,(0)bx P x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭在渐近线2:bl y x a =-，点222,(0)bx Q x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭在渐近线1:bl y x a =，根据渐近线关于坐标轴对称可得3QOF π∠=，b a=POF是底边长为6OFP OPF π∠=∠=，PF =，在POF 中，由正弦定理可得：4c =，结合222c a b =+，即可求出a 和b 的值，进而求得双曲线C 的标准方程. 【详解】由题意知：双曲线的渐近线方程为：by x a=±， 所以点111,(0)bx P x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭在渐近线2:bl y x a =-， 点222,(0)bx Q x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭在渐近线1:b l y x a =，设1:b l y x a =的倾斜角为α，则2:bl y x a=-的倾斜角为2α， 所以1l 平分∠POF ，且2ααπ+=，解得3πα=，即直线1l 的斜率是：tan 33b a π==23POF π∠=，因为POF 是底边长为3 所以6OFP OPF π∠=∠=，43PF =，在POF 中，由正弦定理可得：2sinsin 63OFPF ππ=，即43132c =，解得：4c =， 由22234ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得223a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线C 的标准方程为221412x y -=，故答案为：221412x y -=【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是能判断P 和Q 两点在双曲线的渐近线上，求出3QOF π∠=，3b a =，23POF π∠=，判断出43PF =，在POF 中可以求出4OF c ==，即可得出a 和b 的值.8．【分析】以矩形的中心为原点圆锥的轴为x 轴建立平面直角坐标系由题得从而可得到本题答案【详解】以矩形的中心为原点圆锥的轴为轴建立平面直角坐标系设双曲线的标准方程为圆锥的底面直径均为4则半径侧面积均为可得 解析：5【分析】以矩形ABCD 的中心为原点，圆锥的轴为x 轴建立平面直角坐标系，由题，得1ba=，从而可得到本题答案. 【详解】以矩形ABCD 的中心为原点，圆锥的轴为x 轴建立平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，圆锥的底面直径均为4，则半径2r，侧面积均为25.π可得,52OA AM ==，则1,tan 2OM AOM =∠=，即2ba=， 所以2222215a b b e a a+==+=.5【点睛】关键点点睛： 根据圆锥曲线的定义将问题抽象为平面解析几何问题，关键利用渐近线求出2ba=，考查了计算求解能力以及转化能力.9．【分析】设点P(xy)表示出点P 到x 轴的距离为由哪一个角是直角来分类讨论在第一类中直接令x=士3得结果在第二类中要列出方程组【详解】设点则到轴的距离为由于（1）若或令得即到轴的距离为（2）若则由可得 解析：165【分析】设点P (x ,y )，表示出点P 到x 轴的距离为||y ，由哪一个角是直角来分类讨论，在第一类中直接令x =士3得结果，在第二类中要列出方程组. 【详解】设点(,)P x y ，则到x 轴的距离为||y 由于5a =，4b =，3c ∴=，（1）若1290PF F ∠=︒或2190PF F ∠=︒，令3x =±得2y =291616(1)2525-=，16||5y ∴=，即P 到x 轴的距离为165． （2）若1290F PF ∠=︒，则122221210||6PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 22121||||(106)322PF PF ∴=-=，由1210PF PF +=可得此情况不存在. 综上，P 到x 轴的距离为165. 故答案为：165． 【点睛】解决本题的关键是要注意分类讨论的思想，题目中的直角三角形，要分清楚那个角是直角，是解决问题的先决条件.10．12【分析】通过双曲线的定义可先求出的长度从而利用余弦定理求得于是可利用面积公式求得答案【详解】由于因此故由于即而所以所以因此【点睛】本题主要考查双曲线定义余弦定理面积公式的综合应用意在考查学生的分解析：12 【分析】通过双曲线的定义可先求出12PF PF ，的长度，从而利用余弦定理求得12cos F PF ∠，于是可利用面积公式求得答案. 【详解】由于22154x y -=，因此a =3c =，故12|26|=F F c =，由于12:2:1PF PF =即12=2PF PF，而122PF PF a -==1PF，2PF ，222121212124cos 25PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅，所以123sin 5F PF ∠=，因此1212121||||sin 122PF F S PF PF F PF ∆=∠=. 【点睛】 本题主要考查双曲线定义，余弦定理，面积公式的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力及转化能力，难度中等.11．【分析】先取的中点证明是的中点再设得到最后建立方程并求双曲线的离心率即可【详解】设为双曲线的右焦点取的中点则如图因为所以是的中点则设则因为所以则又因为所以即该双曲线的离心率故答案为：【点睛】本题考查【分析】先取AB 的中点M ，证明M 是1PF 的中点，再设AB t =，得到65t a =，1185PF a =，285PF a =，最后建立方程2221212PF PF F F +=并求双曲线的离心率即可.【详解】设2F 为双曲线22221x ya b-=的右焦点，取AB 的中点M ，则1OM PF ⊥，如图.因为1F A AB BP ==，所以M 是1PF 的中点，则2//OM PF ，212OM PF =. 设AB t =，则13PF t =，232PF t a =-，2t AM =. 因为222OM AMOA =+，所以65t a =，则1185PF a =，285PF a =.又因为2221212PF PF F F +=，所以29725e =，即该双曲线的离心率5e =.故答案为：975. 【点睛】本题考查圆的几何性质、求双曲线的离心率，考查数形结合的数学思想，是基础题.12．【分析】首先根据题意得到直线的方程为与双曲线的渐近线联立得到再根据得到从而得到【详解】由得直线的方程为根据题意知直线与渐近线相交联立得消去得由得所以即整理得则故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的离解析：43【分析】首先根据题意得到直线AF 的方程为by x b c=+，与双曲线的渐近线联立得到=-B ac x c a ，再根据3AB FA =得到34c a =，从而得到43e =. 【详解】 由(),0F c -，()0,A b ，得直线AF 的方程为by x b c=+ 根据题意知，直线AF 与渐近线by x a=相交， 联立得b y x b cb y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去y 得，=-B ac x c a . 由3AB FA =，得()(),3,-=B B x y b c b ， 所以3=B x c ，即3=-acc c a，整理得34c a =， 则43c e a ==. 故答案为：43【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，同时考查学生的计算能力，属于中档题.13．相离【分析】由双曲线的离心率可得出然后计算出圆心到双曲线的渐近线的距离并与圆的半径作大小比较由此可得出结论【详解】双曲线的离心率为可得所以双曲线的渐近线方程为圆的圆心坐标为半径为圆心到直线的距离为因解析：相离 【分析】由双曲线的离心率可得出b a =，然后计算出圆心到双曲线的渐近线的距离，并与圆的半径作大小比较，由此可得出结论. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为c e a ====b a =，所以，双曲线的渐近线方程为0x y ±=，圆()22214x a y a -+=的圆心坐标为(),0a ，半径为2ar =，圆心到直线0x y ±=的距离为122d r a ==>=， 因此，双曲线的渐近线与圆()22214x a y a -+=相离. 故答案为：相离. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，涉及双曲线的离心率以及渐近线方程的应用，求出b 与a 的等量关系是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 二、解答题14．（1）24y x =；（2）8. 【分析】（1）根据椭圆的方程得出1c =，则得出椭圆的右焦点为()1,0，进而得出抛物线的焦点为()1,0F ，根据抛物线的性质得出2p =，从而得出抛物线的标准方程；（2）设C 、D 两点横坐标分别为1x ，2x ，结合条件和中点坐标公式得出126x x +=，最后根据抛物线的焦点弦公式得出12CD CF DF x x p =+=++，即可得出答案. 【详解】解：（1）由椭圆22143x y +=，可知224,3a b ==，则21c =，即1c =，则椭圆22143x y +=的右焦点为()1,0，所以抛物线()220y px p =>的焦点为()1,0F ，可知：12p=，∴2p =， 所以抛物线的标准方程为24y x =；（2）因为抛物线为24y x =，所以2p =，设C 、D 两点横坐标分别为1x ，2x ，因为线段CD 中点M 的横坐标为3，则1232x x +=，即126x x +=， 故12628CD CF DF x x p =+=++=+=. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的简单几何性质，考查抛物线的标准方程、定义以及抛物线的焦点弦公式，熟记抛物线的焦点弦公式是解题的关键.15．（1）22162x y +=；（2）不存在，理由见解析.【分析】（1）由离心率得2223c a =，由面积可得2ab =，结合222a b c =+即可求出,a b ，得出椭圆方程；（2）设出直线方程y x t =-+，联立直线与椭圆，利用判别式可得t -<<由11FM F N =可求得4t =-，即可判断. 【详解】 （1）由ce a==2223c a =，又因为四个顶点围成的四边形的面积为2ab =， 由222a b c =+，得a =b =故椭圆C 的方程为：22162x y +=（2）不存在符合题意的直线.假设存在满足条件的直线l ，设直线l 的方程为y x t =-+，由22162x y y x t ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得223()60x x t +-+-=， 即2246360x tx t -+-=，由()222(6)163612960t t t ∆=---=-+>，解得t -<<设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则1232t x x +=，212364t x x -=，由于11||||F M F N =，设线段MN 的中点为E ， 则1F E MN ⊥，故111F E MNk k =-=，又1(2,0)F -，1212,22x x y y E ++⎛⎫⎪⎝⎭，即3,44t t E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以141324F E t k t==+，解得4t =-.当4t =-时，不满足t -<， 所以不存在满足条件的直线l . 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.16．（1）22132x y +=；（2【分析】（1）由题可得221413a b+=，233113a a ⋅=-+-，解得,ab ，即可得椭圆C 的方程； （2）由题可设直线l ：1x my =+，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式计算出点P ，MN，计算得212PQMN =，令t =，采用换元法求解最小值. 【详解】 （1）依题意有，221413a b+=，233113a a ⋅=-+-， 解得23a =，22b =，椭圆的方程为22132x y +=；（2）由题意知直线l 的斜率不为0，设其方程为1x my =+，设点()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程()2222123440321x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩， 得到122423m y y m -+=+，122423y y m -=+ 由弦长公式MN =整理得22123m MN m +=+，又1222223P y y m y m +-==+，2323P x m =+，2P PQ x =-=212PQMN =， 令t =，1t ≥，上式2455412123t t t t +⎫=⋅=+≥⎪⎝⎭， 当254t =，即12m =±时，PQMN 【点睛】方法点睛：求解弦长问题通常应用弦长公式： 直线与圆锥曲线交于点()()1122,,,A x y B x y，则弦长1212AB x y =-=-（k 为直线的斜率）. 17．（1）e=，渐近线方程为2y x=±；（2）207. 【分析】（1）由双曲线方程得出,a b ，再求出c ，可得离心率，渐近线方程；（2）写出直线方程，代入双曲线方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，由韦达定理得1212,x x x x +，然后由弦长公式计算弦长．【详解】解：（1）因为双曲线方程为22142x y -=，所以2a =，b =则c ==所以62c ea ，渐近线方程为2y x =±.（2）双曲线右焦点为0)，则直线l 的方程为2(y x =代入双曲线22142x y-=中，化简可得27520x -+=设()11,A x y ，()22,B x y所以12x x +=，12527x x ⋅=，所以2120||||7AB x x =-==. 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线的离心率和渐近线方程，考查直线与双曲线相交弦长．解题方法是直线方程与双曲线方程联立并消元后应用韦达定理求出1212,x x x x+，然后由弦长公式12d x =-求出弦长．18．（1）2212y x +=；（2【分析】（1）根据离心率的值，可列出a c ，的关系式，再根据经过()0,-2点，可得出a 的值和c 的值，最后再结合222a b c =+，可算出b 的值，直接写出椭圆方程即可.（2）根据题意设出直线的方程和椭圆方程联立方程组，由根和系数的关系，再结合三角形面积公式，可把三角形面积表示成含有参数的关系式，最后根据不等式，可求得面积的最大值. 【详解】（1）由题意，a =2c e a ==得1c =，所以1b =，所以椭圆方程是2212y x +=．（2）由于直线AB 经过上焦点()0,1，设直线AB 方程为1y kx =+，联立方程组22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩将1y kx =+代入椭圆方程2212y x +=，得()222210k x kx ++-=，则222A B k x x k +=-+，212A Bx x k ⋅=-+，∴A Bx x-== 21212ABF A BS F F x x=⋅-△，可知122F F=则2211122ABFSk===≤+△．=，即0k=时，2ABFS．【点睛】椭圆与直线相交时，三角形面积问题的关键点为：设直线方程、联立方程组、韦达定理、列出三角形面积的关系式，最后根据函数或不等式，可求出三角形面积的范围. 19．（1）22143x y+=；（2）证明见解析，1x=.【分析】（1）设椭圆C的半焦距为()0c c>，由圆的定义可求得圆的半径，再由直线与圆的相切的条件可求得c，2a，2b，可求得椭圆方程．（2）设其方程为4x my=+，设()11,H x y，()22,G x y，直线与椭圆的方程联立整理得()223424360m y my+++=，得出根与系数的关系，表示直线MH的方程和直线GN的方程。
人教A版高中数学选修一高二同步测试(12)—圆锥曲线综合.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高二数学同步测试（12）—圆锥曲线综合一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-by a x 的离心率为 （ ）A ．45B ．25C ．32D ．452．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为（ ） A ．y x 82= B ．y x 82-= C ．y x 162= D ．y x 162-=3．圆的方程是(x －cos θ)2+(y －sin θ)2= 12,当θ从0变化到2π时，动圆所扫过的面积是（ ）A ．π22B ．πC ．π)21(+D ．π2)221(+4．若过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 （ ）A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-= 5．椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的 （ ） A ．7倍 B ．5倍 C ．4倍 D ．3倍 6．以原点为圆心，且截直线01543=++y x 所得弦长为8的圆的方程是 （ ）A ．522=+y xB ．2522=+y xC ．422=+y x D ．1622=+y x 7．曲线⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x （θ为参数）上的点到原点的最大距离为（ ）A ． 1B ．2C ．2D ．38．如果实数x 、y 满足等式3)2(22=+-y x ，则xy最大值 （ ）F xy ABCOA ．21B ．33 C ．23 D ．39．过双曲线x 2－22y =1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A , B 两点，若|AB |=4，则这样的直线l 有 （ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ．B ，交其准线于点C ，若BF BC 2=，且3=AF ，则此抛物线的方程为（ ）A ．x y 232=B ．x y 32=C ．x y 292=D ．x y 92=二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．椭圆的焦点是F 1（－3，0）F 2（3，0），P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为_____________________________． 12．若直线03=-+ny mx 与圆322=+y x 没有公共点，则n m ,满足的关系式为 ．以（),n m 为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆13722=+y x 的公共点有 个.13．设点P 是双曲线1322=-y x 上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|PA |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是________________________________． 14．AB 是抛物线y =x 2的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共76分）15．P 为椭圆192522=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若︒=∠6021PF F （1） 求△21PF F 的面积； （2） 求P 点的坐标．（12分）16．已知抛物线x y 42=，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．（12分）y P O x A B17．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称． （1）求双曲线C 的方程；（2）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （－2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围．（12分）18．如图，过抛物线)0(22>=p px y 上一定点P （x y 00,）（y 00>），作两条直线分别交抛物线于A （x y 11,），B （22,y x ）． （1）求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F 的距离； （2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求021y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.（12分）19．如图，给出定点A(a , 0) (a >0)和直线: x = –1 . B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C . 求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.（14分）20．椭圆C 1：2222b y a x +=1(a >b>0)的左右顶点分别为A 、B.点P 双曲线C 2：2222by a x -=1在第一象限内的图象上一点，直线AP 、BP 与椭圆C 1分别交于C 、D 点.若△ACD 与△PCD 的面积相等．（1）求P 点的坐标；（2）能否使直线CD 过椭圆C 1的右焦点，若能，求出此时双曲线C 2的离心率，若不能，请说明理由.（14分）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）ylBCxOAyPO x题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCACABCDCB二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．1273622=+y x 12．3022<+<n m , 2 13．)2,321( 14． 25三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）[解析]：∵a ＝5，b ＝3∴c ＝4 （1）设11||t PF =，22||t PF =，则1021=+t t ①2212221860cos 2=︒⋅-+t t t t ②，由①2－②得1221=t t3323122160sin 212121=⨯⨯=︒⋅=∴∆t t S PF F （2）设P ),(y x ，由||4||22121y y c S PF F ⋅=⋅⋅=∆得 433||=y 433||=∴y 433±=⇒y ，将433±=y 代入椭圆方程解得4135±=x ，)433,4135(P ∴或)433,4135(-P 或)433,4135(-P 或)433,4135(--P 16．（12分）[解析]：设M （y x ,），P （11,y x ），Q （22,y x ），易求x y 42=的焦点F 的坐标为（1，0）∵M 是FQ 的中点，∴ 22122y y x x =+=⇒yy x x 21222=-=，又Q 是OP 的中点∴ 221212y y xx ==⇒yy y x x x 422422121==-==，∵P 在抛物线x y 42=上，∴)24(4)4(2-=x y ，所以M 点的轨迹方程为212-=x y .17．（12分）[解析]：（1）当时，1=a ,2x y =表示焦点为)0,41(的抛物线；（2）当10<<a 时，11)1()1(22222=-+---a a y aaa a x ，表示焦点在x 轴上的椭圆；（3）当a>1时，11)1()1(22222=-----a a y a a a a x ，表示焦点在x 轴上的双曲线. （1设双曲线C 的渐近线方程为y=kx ，则kx-y=0∵该直线与圆1)2(22=-+y x 相切，∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x ．故设双曲线C 的方程为12222=-ay ax ．又双曲线C 的一个焦点为)0,2(，∴222=a ，12=a ．∴双曲线C 的方程为:122=-y x .（2）由⎩⎨⎧=-+=1122y x mx y 得022)1(22=---mx x m ．令22)1()(22---=mx x m x f∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在)0,(-∞上有两个不等实根． 因此⎪⎩⎪⎨⎧>--<->∆012012022m mm且，解得21<<m ．又AB 中点为)11,1(22mm m --， ∴直线l 的方程为：)2(2212+++-=x m m y ． 令x =0，得817)41(2222222+--=++-=m m m b ． ∵)2,1(∈m ，∴)1,22(817)41(22+-∈+--m ，∴),2()22,(+∞---∞∈ b ．18．（12分）[解析]：（I ）当yp =2时，x p=8又抛物线ypx 22=的准线方程为x p =-2由抛物线定义得，所求距离为p p p 8258--=() （2）设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB 由y px 1212=，y px 0202=相减得()()()y y y y p x x 1010102-+=-,故k y y x x py y x x PA =--=+≠101010102()同理可得k py y x x PB =+≠22020(),由PA ，PB 倾斜角互补知k k PA PB =-即221020p y y p y y +=-+,所以y y y 1202+=-, 故y y y 122+=- 设直线AB 的斜率为k AB ,由y px 2222=，y px 1212=,相减得()()()y y y y p x x 2121212-+=-所以ky y x x py y x x AB=--=+≠212112122(), 将y y y y 120020+=->()代入得k p y y py AB =+=-2120，所以k AB 是非零常数.19．（14分）[解析]：设B （－1，b ），OA l ：y=0, OB l :y=－bx,设C （x ,y ），则有x ≤0<a ，由OC 平分∠BOA ，知点C 到OA ，OB 距离相等，21b bx y y ++=∴①及C 在直线AB: ()a x ab y -+-=1②上，由①②及a x ≠得，得[]0)1(2)1(222=++--y a ax x a y 若y=0,则b=0 满足0)1(2)1(22=++--y a ax x a .20．（14分）[解析]：（1）设P(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，又有点A(－a ,0),B(a ,0). ,PCD ACD S S ∆∆=).2,2(,00y a x C AP C -∴∴的中点为得点坐标代入椭圆方程将,C 4)(220220=+-b y a a x ， 又1220220=-by a x 5)(220220=+-⇒a x a a x ，b y a x a x 3),(2000=∴-==∴舍去，)3,2(b a P ∴. （2）,300a b a x y K K PB PD =-== :PD 直线)(3a x a b y -=代入12222=+by a x 03222=+-⇒a ax x )(2舍去a x ax D D ==∴，)23,2(),2,2(00b a C y a x C 即-∴∴CD 垂直于x 轴.若CD 过椭圆C 1的右焦点，则.27,23,22222=+=∴=∴-=a b a e a b b a a 故可使CD 过椭圆C 1的右焦点，此时C 2的离心率为27.。
新人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》测试题(答案解析)(6)
一、填空题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过函数31x y x =-图象的对称中心，若椭圆C 的离心率13,23e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则C 的长轴长的取值范围是_____________. 2．已知双曲线22:221(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过原点O 作斜率3的直线交C 的右支于点A ，若1223F AF π∠=，则双曲线的离心率为__________． 3．已知ABC 的周长为20，且顶点()0,3B -，()0,3C ，则顶点A 的轨迹方程是___________.4．若椭圆C ：22184x y +=的右焦点为F ，且与直线l ：320x y -+=交于P ，Q 两点，则PQF △的周长为_______________.5．已知O 为坐标原点，12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，A 为椭圆的右顶点，P 为C 上一点，且2PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段2PF 交于点M ，与y 轴交于点N ，若直线1F M 与y 轴交于点Q ，且3ON OQ =，则C 的离心率为___________.6．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得122PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是____.7．设12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为()6,4，则1PM PF +的最大值为________．8．已知M 是抛物线24y x =上一点，F 为其焦点，点A 在圆22:(6)(1)1C x y -++=上，则||||MA MF +的最小值是__________.9．椭圆2212516x y +=的左、右焦点为F 1､F 2，点P 在椭圆上，若F 1PF 2为直角三角形，则点P 到x 轴的距离为_____.10．设椭圆22162x y += 与双曲线2213x y -= 有公共焦点1F ，2F ，P 是两条曲线的一个公共点，则12cos F PF ∠ 等于__________．11．已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，F 为右焦点，点A 的坐标为(0,6)，则AFP周长的最大值为_______.12．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l ：210x y --=与C 交于P 、Q (P 在x 轴上方)两点，若PF FQ λ=，则实数λ的值为_______13．已知直线y kx m =+与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线交于A B 、两点，与1yx k交于点N ，若N 为AB 的中点，则双曲线的离心率等于____. 二、解答题14．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x ya b+=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（III ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值. 15．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在x 轴上，且抛物线C 上横坐标为4的点P 到焦点F 的距离为92. （1）求抛物线C 的标准方程.（2）已知点()2,0P ，点Q 在抛物线C 上.①若点Q 在第一象限内，且2PQ =，求点Q 的坐标. ②求PQ 的最小值.16．已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的一个焦点为1(1,0)F -，上顶点到这个焦点的距离为2.（1）求椭圆C 的标准方程（2）若点T 在圆222x y +=上，点A 为椭圆的右顶点，是否存在过点A 的直线l 交椭圆C 于B （异于点A ），使得14()OT OA OB =+成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.17．（1）已知双曲线的渐近线方程为230x y ±=，且双曲线经过点)P .求双曲线方程.（2）若直线2x y -=与抛物线24y x =交于A ，B 两点，求线段AB 的中点坐标；18．已知椭圆的两焦点分别为()1F 、)2F ，短轴长为2.（1）椭圆C 的标准方程；（2）已知过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭且斜率为1的直线交椭圆C 于,A B 两点，求线段AB 的长度.19．已知2m >，p ：方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆；q ：方程2214x y m t m t+=--表示双曲线.若p 是q 的充分不必要条件，求实数t 的取值范围.20．已知椭圆的2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的焦距为(2,1)A .（1）求椭圆C 的方程；（2）若不经过点A 的直线:l y kx m =+与C 交于,P Q 两点，且直线AP 与直线AQ 的斜率之和为0，求k 的值.21．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为2，点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上． （1）求椭圆的方程；（2）设1F ，2F 分别是椭圆C 的上、下焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，求1F AB 的内切圆的半径的最大值．22．已知点P 是双曲线22148x y -=上的一点，点1F 和2F 为左、右焦点，若1260F PF ∠=．（1）求12F PF △的面积； （2）求点P 的坐标．23．已知焦点在x 轴的抛物线C 经过点()2,4-. （1）求抛物线C 的标准方程.（2）过焦点F 作直线l ，交抛物线C 于A ，B 两点，若线段AB 中点的纵坐标为1-，求直线l 的方程.24．已知抛物线C 的准线方程为14x =-.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若过点(,0)P t 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过原点O ，求证：t 为常数，并求出此常数.25．如图，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为,A B ，离心率5e =，长轴与短轴的长度之和为10.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）在椭圆E 上任取点P （与,A B 两点不重合），直线PA 交y 轴于点C ，直线PB 交y 轴于点D ，证明：OC OD ⋅为定值.26．已知椭圆22221(0)x y E a b a b+=>>：的左右焦点分别是1F 和2F ，离心率为13，以P 在椭圆E 上，且12PF F △的面积的最大值为22 （1）求椭圆E 的方程；（2）已知直线:2(0)l y kx k =+≠与椭圆E 交于不同的两点,M N ，若x 轴上存在点G ，使得GM GN =，求点G 的横坐标的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】用分离常数法求得函数的对称中心代入椭圆方程得的关系变形后得然后由的范围得出的范围【详解】因为可化为所以曲线的对称中心为把代入方程得整理得因为所以从而故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求椭解析：21109⎛ ⎝⎭【分析】用分离常数法求得函数的对称中心，代入椭圆方程得,a b 的关系，变形后得221911a e=+-，然后由e 的范围得出2a 的范围． 【详解】因为31x y x =-可化为111393y x =+⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以曲线31x y x =-的对称中心为11,33⎛⎫⎪⎝⎭，把11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程22221x y a b +=，得2211199a b +=，整理得22222221911a c a a c e-==+--.因为1,23e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2759,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而2,93a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：93⎛ ⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆长轴长的范围．解题关键是建立长半轴长a 与离心率e 的关系式，求出函数对称中心代入椭圆方程，利用222b a c =-进行转化是是解题的基本方法．2．【分析】由题意知结合已知条件可证明利用可计算在中利用余弦定理可计算出由即可求得离心率【详解】由题意知直线的斜率为所以所以又因为所以所以即可得在中由余弦定理可得解得：故双曲线的离心率为故答案为：【点睛【分析】由题意知123FOA π∠=，结合已知条件可证明112FOA F AF ，利用11112F O F AF A F F =可计算1F A =，在12F AF中，利用余弦定理可计算出2AF =，由 121222F F ce a AF AF ==-即可求得离心率. 【详解】由题意知直线OA23AOF π∠=，所以123FOA π∠=，又因为1223F AF π∠=，121AFO F F A ∠=∠， 所以112FOA F AF ，所以11112F O F A F A F F =，即112F cc A F A =可得1F A =， 在12F AF 中，由余弦定理可得22212121222cos3F F AF AF AF AF π=+-⋅，解得：22AF=，故双曲线的离心率为121222F Fcea AF AF====-故答案为：2.【点睛】123FOAπ∠=，结合1223F AFπ∠=可得112FOA F AF，即可求出1F A=，在12F AF中，再利用余弦定理，可求出2AF，由双曲线的定义可计算122a AF AF=-，121222F Fcea AF AF==-即可. 3．【分析】由周长确定故轨迹是椭圆注意焦点位置和抠除不符合条件的点即可【详解】的周长为20且顶点所以点到两个定点的距离和为定值故点的轨迹是焦点在y轴上的椭圆则顶点A的轨迹方程是故答案为：【点睛】易错点睛解析：()22104049x yx+=≠【分析】由周长确定146AB AC+=>，故轨迹是椭圆，注意焦点位置和抠除不符合条件的点即可.【详解】ABC的周长为20，且顶点()0,3B-，()0,3C，6BC∴=，146AB AC+=>，所以点A到两个定点的距离和为定值，故点A的轨迹是焦点在y轴上的椭圆，2147a a=⇒=，3c=，22249940b a c=-=-=则顶点A的轨迹方程是()22104049x yx+=≠.故答案为：()22104049x yx+=≠.【点睛】易错点睛：本题考查椭圆定义的应用，在求解过程中要注意椭圆的定义要检查两个线段的大小，看是否可以构成椭圆，还要注意要围城三角形需要排除不符合的点，考查学生的转化能力与运算能力，属于基础题.4．【分析】求出左焦点坐标利用直线经过椭圆的左焦点结合椭圆的定义求三角形的周长即可【详解】由题得椭圆的左焦点所以直线经过左焦点的周长故答案为：【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的问题时如果遇到了焦半径要联想 解析：82【分析】求出左焦点坐标，利用直线经过椭圆的左焦点，结合椭圆的定义求三角形的周长即可． 【详解】由题得椭圆C 的左焦点(2,0)F '-， 所以直线:320l x -+=经过左焦点F '，PQF ∴的周长||||||PQ PF QF ++||||||||PF PF QF QF ''=+++482a ==，故答案为：2 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的问题时，如果遇到了焦半径，要联想到圆锥曲线的定义，利用定义优化解题.5．【分析】根据椭圆的几何性质由轴设写出的直线方程求出与轴的交点的坐标以及点的坐标根据化简得到即可求解【详解】由题意椭圆的左右焦点分别为且因为轴不妨设则直线的方程为令可得所以直线与轴的交点为又由所以化简解析：13【分析】根据椭圆的几何性质，由2PF x ⊥轴，设(,)M c t ，写出AM 的直线方程，求出AM 与y 轴的交点N 的坐标，以及Q 点的坐标，根据3ON OQ =，化简得到3a c =，即可求解. 【详解】由题意，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，且(,0)A a ，因为2PF x ⊥轴，不妨设(,)(0)M c t t ≠， 则直线AM 的方程为()ty x a c a=--， 令0x =，可得aty a c=-，所以直线AM 与y 轴的交点为1(0,),(0,)2at N Q t a c -， 又由3ON OQ =，所以132at t a c =⨯-，化简得3a c =， 所以椭圆的离心率为13c e a ==. 故答案为：13. 【点睛】求解椭圆的离心率的三种方法：定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ； 齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.6．【分析】利用双曲线的定义可求得再由结合可求得双曲线的离心率的取值范围【详解】由双曲线的定义可得又则所以因此双曲线的离心率的取值范围是故答案为：【点睛】求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接 解析：(]1,3【分析】利用双曲线的定义可求得22PF a =，再由2PF c a ≥-结合1e >可求得双曲线C 的离心率e 的取值范围. 【详解】由双曲线的定义可得1222222PF PF PF PF PF a -=-==， 又22PF a c a =≥-，则3c a ≤，1e >，所以，13e <≤.因此，双曲线C 的离心率e 的取值范围是(]1,3. 故答案为：(]1,3. 【点睛】求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立a 、b 、c 的齐次关系式，将b 用a 、c 表示，转化为e 的关系式，进而求解．7．15【分析】利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题然后求解最值即可【详解】由椭圆方程可得：由椭圆的定义可得：则的最大值为15故答案为：15【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质等价转化的数学思解析：15 【分析】利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可. 【详解】由椭圆方程可得：5,4,3a b c ===，12(3,0),(3,0)F F ∴-， 由椭圆的定义可得：12210PF PF a +==，()221222||||210||10103415PM PF PM a PF PM PF MF ∴+=+-=+-≤+=++=，则1||PM PF +的最大值为15. 故答案为：15. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．【分析】根据抛物线方程求得准线方程过点作垂直于准线于根据抛物线的定义判断问题转化为求的最小值根据在圆上判断出当三点共线时有最小值进一步求出结果【详解】解：是抛物线上一点抛物线的准线方程为过点作垂直于 解析：6【分析】根据抛物线方程求得准线方程，过点M 作MN 垂直于准线于N ，根据抛物线的定义判断MN MF =，问题转化为求||||MA MN +的最小值，根据A 在圆C 上，判断出当,,M N C 三点共线时，||||MA MN +有最小值，进一步求出结果【详解】解：M 是抛物线24y x =上一点，抛物线的准线方程为1x =-， 过点M 作MN 垂直于准线于N ，则MN MF =， 所以||||MA MF MA MN +=+，因为点A 在圆C 上，圆22:(6)(1)1C x y -++=的圆心(6,1)C -，半径为1， 所以当,,M N C 三点共线时，||||MA MN +取得最小值6， 故答案为：6【点睛】关键点点睛：此题考查了抛物线的简单性质的应用，解题的关键是利用了抛物线的定义，结合图形将||||MA MF +转化为||||MA MN +进行求解，考查数形结合的思想和转化思想，属于中档题9．【分析】设点P(xy)表示出点P 到x 轴的距离为由哪一个角是直角来分类讨论在第一类中直接令x=士3得结果在第二类中要列出方程组【详解】设点则到轴的距离为由于（1）若或令得即到轴的距离为（2）若则由可得 解析：165【分析】设点P (x ,y )，表示出点P 到x 轴的距离为||y ，由哪一个角是直角来分类讨论，在第一类中直接令x =士3得结果，在第二类中要列出方程组. 【详解】设点(,)P x y ，则到x 轴的距离为||y 由于5a =，4b =，3c ∴=，（1）若1290PF F ∠=︒或2190PF F ∠=︒，令3x =±得2y =291616(1)2525-=，16||5y ∴=，即P 到x 轴的距离为165． （2）若1290F PF ∠=︒，则122221210||6PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 22121||||(106)322PF PF ∴=-=，由1210PF PF +=可得此情况不存在. 综上，P 到x 轴的距离为165. 故答案为：165． 【点睛】解决本题的关键是要注意分类讨论的思想，题目中的直角三角形，要分清楚那个角是直角，是解决问题的先决条件.10．【解析】试题分析：则考点：1椭圆定义；2双曲线定义；3余弦定理；解析：13【解析】 试题分析：，，，则，，考点：1.椭圆定义；2.双曲线定义；3.余弦定理；11．10【分析】如图所示设椭圆的左焦点为利用利用即可得到结果【详解】解：如图所示设椭圆的左焦点为由题意可知则因为的坐标为所以由椭圆的定义可得因为所以周长为当且仅当三点共线时取等号所以周长的最大值为10故解析：10 【分析】如图所示，设椭圆的左焦点为'F ，利用'AF AF =，'24PF PF a +==，利用''PA PF AF -≤，即可得到结果【详解】解：如图所示，设椭圆的左焦点为'F ， 由题意可知2,1,3a b c ===，则(3,0)F ，因为A 的坐标为(0,6)，所以'3AF AF ==， 由椭圆的定义可得'24PF PF a +==， 因为''PA PF AF -≤，所以AFP 周长为'434310AF PA PF AF PA PF ++=++-≤++=， 当且仅当',,A P F 三点共线时取等号， 所以AFP 周长的最大值为10， 故答案为：10【点睛】此题考查了椭圆的定义及其性质，三角形的三边大小关系，考查数形结合的思想，考查计算能力，属于中档题12．【分析】先求出再求出和最后建立方程求即可【详解】解：由题意联立方程组解得或因为P 在x 轴上方所以因为抛物线C 的方程为所以所以因为所以解得：故答案为：【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系抛物线的几何性解析：5+【分析】先求出(5P +、(526,Q -、(1,0)F，再求出(4PF=---和(4FQ =-，最后建立方程求λ即可.【详解】解：由题意联立方程组2410y x x ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，解得5x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩5x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩因为P 在x轴上方，所以(5P +、(5Q -, 因为抛物线C 的方程为24y x =，所以(1,0)F ，所以(426,PF =---，(4FQ =-因为PF FQλ=，所以(4(4λ---=-，解得：5λ==+，故答案为：5+【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的几何性质、利用共线向量求参数，是中档题13．【分析】由题意联立方程组可得由中点的性质可得化简后利用即可得解【详解】由题意双曲线的两条渐近线为则同理联立为的中点即整理得故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解考查了直线交点的问题和【分析】由题意联立方程组可得A am x ka b -=+、B amx b ka=-、21N km x k =-，由中点的性质可得2A B N x x x +=，化简后利用e =即可得解. 【详解】由题意双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线为b y x a=±，则A y kx mam x b ka b y x a =+⎧-⎪⇒=⎨+=-⎪⎩，同理Bam x b ka =-，联立211N y kx mkm x k y x k =+⎧⎪⇒=⎨-=⎪⎩， N 为AB 的中点，∴2A B N x x x +=，即221am am mkb ka b ka k -+=+--， 整理得221b a =，∴e ==. 【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了直线交点的问题和运算能力，属于中档题.二、解答题14．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）存在，3(,0)2-；（III）【分析】（Ⅰ）根据离心率和顶点求出,a c ，再求出b 即可得出方程；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程求出点D 坐标，进而得出点P 坐标，再利用1OP EQ k k ⋅=-即可求出定点；（III ）设OM 的方程为y kx =，与椭圆联立，得出M 横坐标，利用D AE AMx x x x AD AE OM x -+-+=表示出，即可求出最值.【详解】解：（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b+=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -， 所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；(Ⅱ)直线l 的方程为(2)y k x =+，由22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,可得：22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+，当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k ky k k k -+=+=++， 所以2228612(,)4343k kD k k -+++， 因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k kk k -++，则3(0)4OP k k k-=≠， 直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k ， 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥， 则1OP EQ k k ⋅=-，即3214n kk m -⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭恒成立， 所以(46)30m k n +-=，所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以定点Q 的坐标为3(,0)2-.（III ）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，和22143x y +=联立可得M点的横坐标为x =， 由//OM l可得：22D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+===≥，即k =时取等号，所以当k =AD AE OM +的最小值为.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.15．（1）22y x =；（2）①()2,2； 【分析】（1）由抛物线定义：抛物线上点到焦点距离等于点到其准线的距离有42pPF =+，即可求p ，写出抛物线方程.（2）令(,)Q x y ，利用两点距离公式得PQ =Q 的坐标，利用点在抛物线上，结合二次函数最值求PQ 的最小值. 【详解】（1）由题意，可设抛物线C ：22y px =，焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则9422p PF =+=，解得1p =，∴抛物线C 的标准方程为22y x =， （2）令(,)Q x y ，①由已知条件得2PQ ==，将22y x =代入上式，并变形得，220x x -=，解得0x =(舍去)或2x =， 当2x =时，2y =±，只有2x =，2y =满足条件， ∴点Q 的坐标为()2,2.②2PQ ==，其中22y x =，()()()22222224130PQ x x x x x x =-+=-+=-+≥，当1x =时，min PQ = 【点睛】 关键点点睛：（1）由抛物线定义，由待定系数法求p ，写出抛物线方程.（2）由点在抛物线上，结合两点坐标的距离公式，求点坐标以及距离的最小值.16．（1）22143x y +=；（2）存在满足条件的直线l ，方程为(2)2y x =±- .【分析】（1）求出,,a b c 后可得椭圆方程.（2）设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立直线方程和椭圆方程后可用k 表示B ，从而可用k 表示T ，利用T 在圆上可求k 的值，从而得到所求的直线方程.【详解】 解：（1）由椭圆的一个焦点为1(1,0)F -知：1c =，因为上顶点到这个焦点的距离为2，故2a =，所以3b =，∴所求椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（Ⅱ）假设存在过点A 的直线l 符合题意，则结合图形易判断直线l 的斜率必存在，于是可设直线l 的方程为(2)y k x =-，由22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2222341616120k x k x k +-+-= .（*） ∵点A 是直线l 与椭圆C 的一个交点，则2A x =，∴22161234A B k x x k -⋅=+，∴228634B k x k -=+，∴21234Bk y k =-+， 即点2228612,3434k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，(2,0)OA =， ∴2221612,3434k k OA OB k k ⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭， 即222141612,73434k k OT k k ⎛⎫=-⎪++⎝⎭∵点T 在圆222x y +=上.∴2222221612273434k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 化简得42488210k k --=，解得234k =，∴，2k =±， 经检验知，此时（*）对应的判别式0∆>，满足题意， 故存在满足条件的直线l，其方程为2)y x =-. 【点睛】方法点睛：（1）求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定；（2）直线与椭圆的位置关系中，如果动直线与椭圆交于交于一个定点，那么可以用动直线的斜率表示另一个交点，从而可简化运算. 17．（1）2231143y x -=；（2）()4,2. 【分析】（1）由渐近线方程设双曲线方程为()22094x y λλ-=≠，代入点P 的坐标可得双曲线方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入双曲线方程，应用韦达定理和中点坐标公式可得． 【详解】（1）由双曲线的渐近线方程23y x =±，可设双曲线方程为()22094x y λλ-=≠.∵双曲线过点)P ，∴6494λ-=，13λ=-，故所求双曲线方程为2231143y x -=.（2）由224x y y x-=⎧⎨=⎩得2840x x -+=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则128x x +=，121244y y x x +=+-=， 故线段AB 的中点坐标为()4,2. 【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线方程，考查弦中点坐标．已知双曲线的渐近线方程为0mx ny ±=，则双曲线方程可设为2222m x n y λ-=，代入其他条件求得λ即可得，这种方法不需要考虑双曲线的焦点所在轴．18．（1）2214x y +=；（2【分析】（1）由焦点坐标可求c ，短轴长求b ，然后可求出a ，进而求出椭圆C 的标准方程．（2）先求出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及弦长公式求出线段AB 的长度． 【详解】（1）由()13,0F -，()23,0F ，短轴长为2，得：3,1c b ==，又222a b c =+，所以24a =∴椭圆方程为2214x y +=（2）易知直线AB 的方程为12y x =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，联立 221412x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化简整理得：25430x x +-= 由韦达定理得：12124,355x x x x +=-=- 所以()2243238114555AB ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的方程，考查韦达定理及弦长公式的应用，解题的关键是熟悉弦长公式，考查学生的运算能力，属于基础题．19．12t ≤≤【分析】根据椭圆的焦点在y 轴上，算出命题p 对应的m 的范围，根据双曲线定义分类讨论算出命题q 对应的m 的范围，再由p 是q 的充分不必要条件，利用集合的思想求出t 的取值范围. 【详解】由2m >，p ：方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，可得24m <<，设{}|24A m m =<<q ：方程2214x y m t m t+=--表示双曲线，可得()()40m t m t --<若0t =，方程为22x y m +=表示圆，不符合； 若0t <，可得4t m t <<，与2m >矛盾，不符合； 若0t >，可得4t m t <<，设{}|4B t t m t =<<又p 是q 的充分不必要条件，可得A 是B 的真子集，利用数轴表示集合可得244t t ≤⎧⎨≥⎩，即12t ≤≤所以实数t 的取值范围是：12t ≤≤ 【点睛】关键点睛：本题考查椭圆与双曲线的标准方程，利用充分不必要条件求参数，解题的关键是先利用椭圆与双曲线的标准方程求出参数m 的范围，再利用充分必要性结合集合关系求出t 的取值范围，属于一般题.20．（1）22182x y +=；（2）12k =【分析】（1）利用椭圆的定义122a AF AF =+，求a ，再利用222b a c =-求解；（2）直线与曲线方程联立，利用根与系数的关系，表示0AP AQ k k +=，化简变形求解k 的值. 【详解】（1）由条件可知2c c ==x轴，所以()1F，)2F ，则122a AF AF =+====28a ∴=，2222b a c =-=，所以椭圆C 的方程22182x y +=；（2）设()11,P x y ，()22,Q x y联立方程22182y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，()222148480k x kmx m +++-=，()()222264414480k m k m ∆=-+-> 即2228m k <+，122814km x x k +=-+，21224814m x x k -=+，121211022AP AQ y y k k x x --+=+=--， 即()()()()()()2112122121022x y x y x x --+--=-- ()()()()211221210x kx m x kx m -+-+-+-=， ()()()1212221410kx x k m x x m --++--=即()()()2222488214101414k m km k m m k k--++--=++， 整理得()()21210k m k -+-=，所以12k =或12m k =-，若12m k =-，则直线l 过点()2,1A ，不合题意， 所以直线PQ 的斜率为定值，该定值是12. 【点睛】关键点点睛：解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出1212,x x x x +，得121211022AP AQ y y k k x x --+=+=--，得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．21．（1）2214y x +=；（2）12.【分析】（1）根据椭圆离心率以及点在椭圆上，结合222a b c =+得到关于,,a b c 的方程组，求解出,,a b c 的值，则椭圆方程可求；（2）根据等面积法将内切圆的半径与12x x -联系在一起，采用联立方程思想并结合韦达定理以及基本不等式求解出12x x -的最大值，从而内切圆的半径的最大值可求. 【详解】（1）因为c a =P ⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆上，所以2222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，所以2241a b ⎧=⎨=⎩， 所以椭圆方程为：2214y x +=；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，内切圆的半径为R ，由条件可知直线AB 的斜率存在，故设直线:AB y kx =-因为()11212111122F ABSF F x x F A F B AB R =⋅-=++⋅，且1148F A F B AB a ++==，122F F c ==124x x R -=R =，所以当12x x -取最大值时R 有最大值，又2244y kx x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，所以()22410k x +--=，所以1212221,44x x x x k k +==-++， 所以12x x -===所以()1224433+3x x -==≤=，=，即k =所以1432R =≤⋅=，所以内切圆的半径最大值为12.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法：（1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合12⨯底⨯高，表示出三角形的面积； （2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为1212AB x x ⋅⋅-或1212EF y y ⋅⋅-； （3）借助三角形内切圆的半径，将三角形面积表示为()12a b c R ⋅++⋅（,,a b c 为三角形三边长度，R 为内切圆半径）.22．（1）2）()或()4-或()-或()4--. 【分析】（1）利用双曲线定义以及余弦定理，可求解出12PF PF ⋅的值，然后根据三角形的面积公式求解出12F PF △的面积；（2）根据121212F PF P SF F y =⋅⋅，结合（1）的结果，可求解出P 点的纵坐标，然后将纵坐标代入双曲线方程，则横坐标可求，则P 点坐标可求. 【详解】（1）由双曲线方程可知：2,a c == 因为1224PF PF a -==，且222121212121cos 22PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅，所以()2121212248PF PF PF PF PF PF -+⋅-=⋅，所以12481632PF PF ⋅=-=，所以121211sin 6032222F PF SPF PF =⋅⋅︒=⨯⨯= （2）因为121212F PF P SF F y =⋅⋅=4p y ===， 所以22148p px y -=，所以21641128p x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以p x =±所以P点坐标为：()或()4-或()-或()4--. 【点睛】结论点睛：椭圆或双曲线的焦点三角形的顶点为P ，焦点为12,F F ，且12F PF θ∠=，则有：（1）椭圆的焦点三角形的面积为：2tan2b θ（b 为短轴长度一半）；（2）双曲线的焦点三角形的面积为：2tan2b θ（b 为虚轴长度一半）.23．（1）28y x =；（2）480x y +-=. 【分析】（1）由题意可设抛物线方程为：22y px =（0p >），再将点()2,4-代入抛物线的方程中得到p 的值，最后写出抛物线的方程即可；（2）设l 的方程为2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线的方程可得28160y my --=，由韦达定理可得128y y m +=，再由线段AB 中点的纵坐标为1-可得122y y +=-，进而求出m 的值，最后写出直线的方程即可.【详解】（1）由题意可设抛物线方程为：22y px =（0p >），∵抛物线过点()2,4-，∴1644p p =⇒=， ∴28y x =；（2）设l 的方程为2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则由22881602y xy my x my ⎧=⇒--=⎨=+⎩，264640m ∆=+>， 所以128y y m +=， 由题意1212122y y y y +=-⇒+=-，121824y y m m +==-⇒=-，故124804x y x y =-+⇒+-=， 即直线l 的方程为480x y +-=.【点睛】方法点睛：对于第二问，有两种方法：方法一：设点()11,A x y ，()22,B x y ，根据中点纵坐标即可利用点差法求得直线的斜率，再由点斜式写出直线的方程；方法二：设出直线的方程，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理和中点的纵坐标，即可求得直线的方程. 24．（1）2y x =；（2）证明见解析，1,0t t ==. 【分析】（1）由准线方程为14x =- 求得12p =，得解抛物线C 的方程（2）设过P 的直线l 方程为：x my t =+（m R ∈），联解后，利用原点O 落在以AB 为直径的圆上得0OA OB ⋅= 得到12120x x y y +=得解 【详解】（1）由准线方程为14x =-可设抛物线C 的方程22(0)y px p =>求得12p =故所求的抛物线C 的方程为：2y x =（2）依题意可设过P 的直线l 方程为：x my t =+（m R ∈）， 设1122(,),(,)A x y B x y由2x my t y x=+⎧⎨=⎩得：2y my t =+ 依题意可知0∆>，且12y y t =-原点O 落在以AB 为直径的圆上令0OA OB ⋅=即()22212121212t 0x x y y y y y y t +=+=--=解得：1,0t t ==即t 为常数，∴ 原题得证 【点睛】本题利用0OA OB ⋅=得到12120x x y y +=是解题关键.25．（1）22194x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由条件建立关于,,a b c 的方程，再写出椭圆方程；（2）解法1：设()00,P x y ，()10,C y ，()20,D y ，利用,,P C A 和,,P B D 三点共线，表示12,y y ，再利用点P 在椭圆上，化简OC OD ⋅为定值，解法2：由公式22PA PBb k k a⋅=-，写出直线PA 和PB ，并求直线与y 轴的交点，利用公式22PA PB bk k a⋅=-，化简OC OD ⋅为定值；解法3：如图所示，||||OC OD OC OD ⋅=⋅||||||||||||OC OD OA OB OA OB =⋅⋅⋅，利用公式22PA PB b k ka ⋅=-，化简OC OD ⋅为定值. 【详解】 （1）由题可知2210,c e ab a ==+=解得3,2a b == 故椭圆E 的标准方程为22:194x y E +=（2）解法1：设00(,)P x y ，直线PA 交y 轴于点1(0,)C y ，直线PB 交y 轴于点2(0,)D y.则2200194x y +=，即202949y x =-.易知OC 与OD 同向，12OC OD y y ⋅=⋅ 因为(3,0),(3,0)A B -，所以得直线PA 的方程为00003y y x x y x --=---，令0x =，则01033y y x =+；直线PB 的方程为00003y y x x y x --=--，令0x =，则02033y y x =-所以212294,9y OC OD y y x ⋅=⋅==-为定值. 解法2：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，2200194x y +=，即2020949y x =-，∴ 2000200043399PA PB y y y k k x x x ⋅=⋅==-+--， 由（1）知，设直线,PA PB 斜率分别为12,k k ，则124.9k k ⋅=-直线PA 的方程为1(3)y k x =+，令0x =得113y k =；直线PB 的方程为2(3)y k x =- 令0x =得223y k =-.所以121294OC OD y y k k ⋅==-=解法3：22194x y +=的左、右顶点分别为,A B ，由解法2可知，4.9PA PB k k ⋅=-如题图所示，||||OC OD OC OD ⋅=⋅||||||||()33||||PA PB OC OD OA OB k k OA OB =⋅⋅⋅=⋅-⨯⨯ ()3394PA PB PA PB k k k k =⋅-⨯⨯=-⋅=.【点睛】结论点睛：本题第三问，当点P 在椭圆上，并且,A B 为长轴端点时，则22PA PBb k k a⋅=-.26．（1）22198x y ；（2）2001212⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦，. 【分析】（1）先判断P 在短轴端点时，12PF F △的面积最大，得到bc =13c e a ==，222+=a b c ，即解得参数a ，b ，得到方程； （2）先联立方程得到中点坐标()00,E x y ，再利用已知条件得到GE MN ⊥，设点G 坐标(),0G m ，得到m ，k 的关系，讨论m 的取值范围，即得结果.【详解】解：（1）依题意，显然当P 在短轴端点时，12PF F △的面积最大为122c b ⨯⨯=bc =13c e a ==，222+=a b c ，解得2229,8,1a b c ===， 故椭圆E 的方程为22198x y ；（2）联立方程组222198y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()228936360k x x ++-=，因为直线l 恒过定点(0,2)，故直线与椭圆必有两个交点，设()()1122,,,M x y N x y ， 则1223689k x x k -+=+，设,M N 中点为()00,E x y ，则120218289x x k x k +-==+，002218162=28989k y kx k k k-=+⋅+=++，,GM GN GE MN =∴⊥，设(),0G m ，则22161891889GEk k k k m k+==---+，化简得2228899km k k k --==++. 当0k >时89k k +≥89=k k 时，即3k =时等号成立，故012m -≤<； 当0k <时89k k +≤--89=k k 时，即3k =-时等号成立，故0m <≤；。
人教A版高二数学选修1-1单元考试卷(圆锥曲线).docx
2009届福建省泉州五中高二数学选修1-1单元考试卷（圆锥曲线）姓名 号数 1 以椭圆1162522=+y x 的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（ ） A 1481622=-y x B 127922=-y x C 1481622=-y x 或127922=-y x D 以上都不对 2 过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（ ） A 12- B 2 C 12+ D 22+ 3 1F 、2F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则 Δ12AF F 的面积为（ ） A 7 B 47 C 27 D 257 4 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（ ） A 23x y =或23x y -= B 23x y = C x y 92-=或23x y = D 23x y -=或x y 92= 5 过抛物线)0(22>=p px y 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，则AB 的最小值为（ ） A 2p B p C p 2 D 无法确定 6．椭圆5522=+ky x 的一个焦点坐标是)2,0(，那么k ________7．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．8.若直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是_______ 9. 椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为________________________.10．已知点(,)P x y 在曲线2221(0)4x y b b+=>上，求22x y +的最大值. 11 双曲线与椭圆1362722=+y x有相同焦点，且经过点4)，求双曲线的方程 12. k 代表实数，讨论方程22280kx y +-=所表示的曲线. 13.已知定点(A -，F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ， 使2AM MF +取得最小值时M 点的坐标解答（共100分）一．选择题：1．B 2．C 3．C 4．D 5．C二．填空：6．1 7．3 8． (4, 2) 9．24三．解答题：10.解：法一：设点(2cos ,sin )P b θθ，22224cos 2sin 4sin 2sin 4x y b b θθθθ+=+=-++ 令22,sin ,(11)T x y t t θ=+=-≤≤，2424,(0)T t bt b =-++>，对称轴4b t =当1,44b b >>即时，max 1|2t T T b ===；当01,044b b <≤<≤即时， 2max 4|44b t b T T ===+ 22max 4,04(2)42,4b b x y b b ⎧+<≤⎪∴+=⎨⎪>⎩法二：由22214x y b +=得2224(1)y x b =-令22T x y =+代入得22442y T y b=-+即22224()444b b T y b =--++ （1）当222max 044444b b b b b x y ≤<≤==+即时 （2）2max 424b b b x b y b >>==当时即时22max 4,04(2)42,4b b x y b b ⎧+<≤⎪∴+=⎨⎪>⎩11.解：12(0,3)(0,3)F F -由题意知双曲线焦点为，可设双曲线方程为222219y x a a-=-,点4)在曲线上，代入得22436()a a ==或舍22145y x ∴-=双曲线的方程为 12.解：当0k <时，曲线22184y x k-=-为焦点在y 轴的双曲线； 当0k =时，曲线2280y -=为两条平行于x 轴的直线22y y ==-或； 当02k <<时，曲线22184x y k+=为焦点在x 轴的椭圆； 当2k =时，曲线224x y +=为一个圆； 当2k >时，曲线22184y x k+=为焦点在y 轴的椭圆 13．显然椭圆2211612x y +=的14,2,2a c e ===，记点M 到右准线的距离为MN则1,22MF e MN MF MN ===，即2AM MF AM MN +=+ 当,,A M N 同时在垂直于右准线的一条直线上时，2AM MF +取得最小值，此时y y M A ==2211612x y +=得x M =±而点M 在第一象限，M ∴。
人教A版高中数学选修一高二圆锥曲线与方程练习题.docx
高二数学圆锥曲线与方程练习题一、选择题1、椭圆2214x y +=的两个焦点为12F F ，，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF 等于（ ）Ａ．32 Ｂ．3 Ｃ．72Ｄ．4 2、双曲线22221124x y m m -=+-的焦距是（ ） Ａ．8 Ｂ．4 Ｃ．22 Ｄ．与m 有关3、焦点为(06)，且与双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是（ ） Ａ．2211224x y -= Ｂ．2212412y x -= Ｃ．2212412x y -= Ｄ．2211224y x -= 4、抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点(3)P m -，到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为（ ）Ａ．24y x = Ｂ．28y x = Ｃ．24y x =-Ｄ．28y x =-5、焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为（ ）Ａ．216y x = 或212x y =- Ｂ．216y x =或216x y =Ｃ．216y x =或212x y = Ｄ．212y x =-或216x y = 6、椭圆22213x y m m+=-的一个焦点为(01)，，则m 等于（ ） Ａ．1 Ｂ．2-或1 Ｃ．1172-± Ｄ．537、若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF △为等边三角形的椭圆的离心率是（ ）Ａ．14 Ｂ．12Ｃ．22 Ｄ．32 8、经过双曲线228y x -=-的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是（ ） Ａ．4103 Ｂ．2023Ｃ．210 Ｄ．72 9、一个动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点（ ）Ａ．(02)， Ｂ．(02)-， Ｃ．(20)， Ｄ．(40)，10、已知抛物线24x y =的焦点F 和点(18)A P -，，为抛物线上一点，则PA PF +的最小值是（ ）Ａ．16 Ｂ．12 Ｃ．9 Ｄ．6二、填空题11、已知椭圆2214924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点12F F ，连线的夹角为直角，则12PF PF =· ．12、已知双曲线的渐近线方程为34y x =±，则双曲线的离心率为 ． 13、已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线在x 轴上方的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．14、点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________．15、过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(0<b <a )中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2(c,0)，则△ABF 2的最大面积是______．三、解答题16、已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF1F2＝123，求双曲线的标准方程．17、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，椭圆与直线280x y ++=相交于点P Q ，，且10PQ =，求椭圆的方程．18、已知F 1、F 2为椭圆x 2＋y 22＝1的上、下两个焦点，AB 是过焦点F 1的一条动弦，求△ABF 2面积的最大值．19、已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两定点，点M 是椭圆上的动点，求MA ＋MB 的最值．19．如图1，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点为A ，左顶点为B F ，为右焦点，离心率22e =，过F 作平行于AB 的直线交椭圆于C D ，两点，作平行四边形OCED ，求证：E 在此椭圆上．20、若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A 、B 两点(A 、B 不是左、右顶点)，A 2为椭圆的右顶点且AA 2⊥BA 2，求证：直线l 过定点．21．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →.(1)求椭圆方程；(2)求m 的取值范围．圆锥曲线与方程测试答案：一、选择题：CADDA BDBCC二、填空题：11、48 12、5/4或5/3 13、2＋1 14、2x －y －15＝015、bc三、解答题：16、解如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)． ∵e ＝c a ＝2，∴c ＝2a . 由双曲线的定义，得|PF 1－PF 2|＝2a ＝c ，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°＝(PF 1－PF 2)2＋2PF 1·PF 2(1－cos 60°)，即4c 2＝c 2＋PF 1·PF 2.①又S △PF 1F 2＝123，∴12PF 1·PF 2sin 60°＝123， 即PF 1·PF 2＝48.②由①②，得c 2＝16，c ＝4，则a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝12，∴所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1. 17、解：32c e a ==，则32c a =． 由222c a b =-，得224a b =． 由222214280x y b b x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，，消去x ，得2228160y y b ++-=．由根与系数关系，得124y y +=-，212162b y y -=． 222222*********()()5()5[()4]10PQ x x y y y y y y y y =-+-=-=+-=，即25[162(16)]10b --=，解得29b =，则236a =． 所以椭圆的方程为221369x y += 18、解 由题意，F 1F 2＝2.设直线AB 方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程2x 2＋y 2＝2，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x A ＋x B ＝－2k k 2＋2，x A ·x B ＝－1k 2＋2， ∴|x A －x B |＝k 2＋k 2＋2.S △ABF 2＝12F 1F 2·|x A －x B |＝22×k 2＋1k 2＋2 ＝22×1k 2＋1＋1k 2＋1≤22×12＝ 2. 当k 2＋1＝1k 2＋1，即k＝0时， S △ABF 2有最大面积为 2.19、解 因为A (4,0)是椭圆的右焦点，设A ′为椭圆的左焦点，则A ′(－4,0)，由椭圆定义知MA ＋MA ′＝10.如图所示，则MA ＋MB ＝MA ＋MA ′＋MB －MA ′＝10＋MB －MA ′≤10＋A ′B . 当点M 在BA ′的延长线上时取等号．所以当M 为射线BA ′与椭圆的交点时，(MA ＋MB )max ＝10＋A ′B ＝10＋210.又如图所示，MA ＋MB ＝MA ＋MA ′－MA ′＋MB＝10－(MA ′－MB )≥10－A ′B ，当M 在A ′B 的延长线上时取等号．所以当M 为射线A ′B 与椭圆的交点时，(MA ＋MB )min ＝10－A ′B ＝10－210.20、证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1， 得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0 ，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝64m 2k 2－＋4k2m 2－，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝m 2－3＋4k 2.即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋4k 2－m 2>0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝m 2－3＋4k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2 ＝m 2－4k 23＋4k 2. ∵椭圆的右顶点为A 2(2,0)，AA 2⊥BA 2，∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0.∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0. ∴m 2－4k 23＋4k 2＋m 2－3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0. ∴7m 2＋16km ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，且均满足3＋4k 2－m 2>0. 当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0，∴直线l 过定点． 21、解 (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上 ，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2， 所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，即⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)＞0，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2mk 2＋k 2，x 1·x 2＝m 2－42＋k 2.又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )．∴－x 1＝2x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22.∴m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk2＋k 22，整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2， 又9m 2－4＝0时不成立，∴k 2＝8－2m 29m 2－4＞0， 得49＜m 2＜4，此时Δ＞0. ∴m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.。
人教A版高中数学选修一高二单元测试题-圆锥曲线.docx
南海中学高二单元测试题-圆锥曲线数学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．共120分．考试时间105分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题本题共有10个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在试卷指定的位置上。
1．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）A ．14B ．12C ． 2D ．42. 若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是32，则双曲线22221x y a b -=的离心率是（ ）A ．54B ．52C ．32D ． 543．若双曲线1922=-my x 的渐近线l 方程为x y 35±=，则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离为 A ．2 B ．14 C ．5 D ．254、直线y x b =+与抛物线22x y =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，则b =（ ）.2A .2B - .1C .1D -5、若直线l 过点(3,0)与双曲线224936x y -=只有一个公共点，则这样的直线有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条6、已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其交于N M 、两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（ ） A.14322=-y x B.13422=-y x C.12522=-y x D.15222=-y x 7、设离心率为e 的双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，直线l 过点F 且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是（ ）A ．221k e -<B ． 221k e ->C ．221e k -<D ．221e k ->（实验班）已知定点M （1，),45,4()45--N 、给出下列曲线方程：① 4x +2y -1=0 ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足 MP P N =的所有曲线方程是 （ ） （A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④ 8、双曲线两条渐近线的夹角为60º，该双曲线的离心率为（ ）A ．332或2B ．332或2 C ．3或2 D ．3或29、若不论k 为何值，直线(2)y k x b =-+与曲线221x y -=总有公共点，则b 的取值范围是（ ）A.(3,3)-B.3,3⎡⎤-⎣⎦C.(2,2)-D.[]2,2-10、椭圆221259x y +=上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则ON 等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．32（实验班做）如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置关系为( )A .相交B .相切C .相离D .以上情况都有可能O A 2A 1 F 1xPy南海中学高二单元测试题-圆锥曲线数学（理）第 Ⅱ 卷 （非选择题 共70分）注意事项：⒈ 第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．⒉ 答卷前将密封线内的项目填写清楚． 题号 二三 总分 15 16 17 18分数二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11.抛物线2(0)x ay a =>的焦点坐标是 ；12. 椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的公共点为P F F ,,21是两曲线的一个交点, 那么21cos PF F ∠的值是__________________。
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作《圆锥曲线》近年高考试题集锦六91、已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线px y 22=上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合（如图）.（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标； （2）求线段BC 中点M 的坐标； （3）求BC 所在直线的方程.91、解（1）由点A （2，8）在抛物线px y 22=上，有2282⋅=p ，解得p=16.所以抛物线方程为x y 322=，焦点F 的坐标为（8，0）. （2）如图，由于F （8，0）是△ABC 的重心，M 是BC 的中点，所以F 是线段AM 的定比分点，且2=FMAF设点M 的坐标为),(00y x ，则02128,8212200=++=++y x ，解得4,1100-==y x ，所以点M 的坐标为（11，－4）（3）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在的直线不垂直于x 轴.设BC 所 在直线的方程为).0)(11(4≠-=+k x k y由⎩⎨⎧=-=+xy x k y 32),11(42消x 得0)411(32322=+--k y ky ，所以ky y 3221=+.由（2）的结论得4221-=+y y ，解得.4-=k 因此BC 所在直线的方程为),11(44--=+x y 即.0404=-+y x92、已知),(),,(2211y x B y x A ，线段AB 是过抛物线)0(22>=p px y 焦点F 的弦，点C 在抛物线的准线上，且BC//x 轴．（1）求证：2121,y y x x ⋅⋅都是定值； （2）求证：直线AC 过原点； （3）求∠AOB 的最大值．92、解、（1）常规解法：221221,4p y y p x x -=⋅=⋅； （2）方法一：向量解法，即由),2(2y p C -得}1,2{},2{222y p y y p OC -=-=， 而OC y y y p y y p y OA 2121121}1,2{},2{=-==，所以AC 过原点．方法二：求出直线OA 与OC 的斜率，利用221p y y -=⋅得到斜率相等． （3）方法一：通过求向量OA 、OB 的夹角余弦（横坐标全部用纵坐标表示，利用第一题的关于y 的方程可得）5316253cos 2-≥+-=∠k AOB ，可得最大值为53arccos -π． 方法二：利用第一题的关于y 的方程可得 p p p k p y y y y y y 244)2(4)(||2222122121=≥+=⋅-+=-通过求直线OA 与OB 的斜率，再求直线OA 与OB 的夹角正切，（横坐标全部用纵坐标表示）34)2(32)(3221-=-⋅≤-=∠P P y y P AOB tg所以当直线AB 垂直y 轴时，AOB ∠的最大值为53arccos -π． 93、( 2005天津卷)抛物线C 的方程为)0(2<=a ax y ，过抛物线C 上一点P (x 0,y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1,k 2的两条直线分别交抛物线C 于A (x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点(P 、A 、B 三点互不相同)，且满足)10(012-≠≠=+λλλ且k k （1）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程（2）设直线AB 上一点M ，满足MA BM λ=，证明线段PM 的中点在y 轴上 （3）当λ＝1时，若点P 的坐标为(1,，求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围93、解：(Ⅰ)由抛物线C 的方程2ax y =(0<a )得， 焦点坐标为)41,0(a ，准线方程为ay 41-=． (Ⅱ)证明：设直线PA 的方程为)(010x x k y y -=-， 直线PB 的方程为)(020x x k y y -=-． 点),(00y x P 和点),(11y x A 的坐标是方程组⎩⎨⎧=-=- 2010)(ax y x x k y y 的解．将②式代入①式得000112=-+-y x k x k ax ，①②于是a k x x 101=+，故011x akx -= ③ 又点),(00y x P 和点),(22y x B 的坐标是方程组⎩⎨⎧=-=- 2010)(ax y x x k y y 的解．将⑤式代入④式得000222=-+-y x k x k ax ．于是a k x x 202=+，故022x akx -=． 由已知得，12k k λ-=，则012x k ax --=λ． ⑥设点M 的坐标为),(M M y x ，由MA BM λ-，则λλ++=112x x x M ．将③式和⑥式代入上式得0001x x x x M -=+--=λλ，即00=+x x M ．所以线段PM 的中点在y 轴上．(Ⅲ)因为点)1,1(-P 在抛物线2ax y =上，所以1-=a ，抛物线方程为2x y -=． 由③式知111--=k x ，代入2x y -=得211)1(+-=k y ．将1=λ代入⑥式得112-=k x ，代入2x y -=得222)1(+-=k y ． 因此，直线PA 、PB 分别与抛物线C 的交点A 、B 的坐标为)12,1(1211-----k k k A ，)12,1(1211-+--k k k B ．于是)2,2(1211k k k AP ++=，)4,2(11k k AB =，)12)(2(2)2(4)2(2111121111++=+++=⋅k k k k k k k k AB AP ．因PAB ∠为钝角且P 、A 、B 三点互不相同，故必有0<⋅AB AP ． 求得1k 的取值范围是21-<k 或0211<<-k ． 又点A 的纵坐标1y 满足211)1(+-=k y ，故 当21-<k 时，11-<y ；当0211<<-k 时，4111-<<-y ． 即)41,1()1,(1----∞∈ y④⑤94、（2005四川理）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线， （1）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （2）当3,121-==x x 时，求直线l 的方程.94、解：（Ⅰ）∵抛物线22x y =，即41,22=∴=p y x ， ∴焦点为1(0,)8F ………………………………………………………1分（1）直线l 的斜率不存在时，显然有021=+x x ………………………………3分 （2）直线l 的斜率存在时，设为k ， 截距为b即直线l ：y=kx+b 由已知得：12121212221k b k y y x x y y x x ⎧++⎪=⋅+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩……………5分 2212122212122212222k b k x x x x x x x x ⎧++=⋅+⎪⎪⇒⎨-⎪=-⎪-⎩ 22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⇒⎨⎪+=-⎪⎩……………7分 2212104b x x ⇒+=-+≥14b ⇒≥ 即l 的斜率存在时，不可能经过焦点1(0,)8F ……………………………………8分 所以当且仅当12x x+=0时，直线l 经过抛物线的焦点F …………………………9分（Ⅱ）当121,3xx ==-时，直线l 的斜率显然存在，设为l ：y=kx+b ………………………………10分 则由（Ⅰ）得：22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩12102122k b k x x +⎧⋅+=⎪⎪⇒⎨⎪-=-⎪⎩………………………11分 14414k b ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩…………………………………………13分 所以直线l 的方程为14144y x =+，即4410x y -+=………………14分95、如图，OP 、OQ 是过原点的抛物线的两条弦（O 为原点）42==OQ OP ，，OP 与OQ 与x 轴的夹角都是︒30，（1）求抛物线的方程；（2）若OP 的中垂线交抛物线于A 、B 两点，求S AOBP ． 97、直线l ：y=kx （k ≠0）与顶点为C 的抛物线C ：)1(3)1(2-=+x y 有公共点，点P （a ，0）关于直线l 的对称点为Q ，若CQ 垂直于抛物线的对称轴，求a 的取值范围．96、（2003年上海）以O 为原点的直角坐标系中，A （4，－3）是△ABO 的直角顶点，已知，OA AB 2=点B 的纵坐标大于零． （1）求向量AB 的坐标（2）是否存在实数a ，使抛物线y=ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两点，若不存在，说明理由；若存在，求a 的取值范围．97、已知抛物线C 的顶点为（1，0），焦点在x 轴上，若直线y=x+2交抛物线C 于A 、B 两点，线段AB 的中点坐标为（5，7），求抛物线C 的方程．98、过抛物线x y 42=的焦点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点， （1）AB 所在直线斜率为k ，求AB 中点M 的轨迹方程； （2）若直线AB 的斜率k >2，且点M 到直线3x +4y+m =0的距离为51，求m 的取值范围． 99、（05北京春考）如图，O 为坐标原点，直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b ，且交抛物线)0(22>=p px y 于),(11y x M 、),(22y x N 两点． （1）写出直线l 的截距式方程；（1=+bya x ） （2）证明：by y 11121=+； （3）当p a 2=时，求MON ∠的大小．（90°）xPOyQ AB100、 （06上海春考）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为12510022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、⎪⎭⎫ ⎝⎛764,0M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D . 观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点B A 、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？。