2013全国高中数学联赛河北区预赛

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2013年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

2013年全国高中数学联赛一试试题一．填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。

1.设集合{}3,1,0,2=A ，集合{}A x A x x B ∉-∈-=22,，则集合B 中所有元素的和为2.在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅，F 是抛物线的焦点，则OFB OFA S S ∆∆⋅=3.在ABC ∆中，已知C B A C B A cos cos 10cos ,sin sin 10sin ⋅=⋅=，则A tan 的值为4.已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为5.设a 、b 为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，有1)(≤x f ，则ab 的最大值为6.从20,,2,1⋅⋅⋅中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻数的概率为7.若实数x ，y 满足y x y x -=-24，则x 的取值范围是8.已知数列{}n a 共有9项，其中191==a a ，且对每个{}8,,2,1⋅⋅⋅∈i 均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈+21,1,21i i a a ，则这样的数列的个数为二．解答题：本大题共3小题，共56分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足,,3,2,21⋅⋅⋅=≥-n S S n n 这里n n x x S +⋅⋅⋅+=1. 证明：存在常数0>C ,使得⋅⋅⋅=⋅≥,2,1,2n C x n n10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ， 21,A A 分别为椭圆的左、右顶点，21,F F 分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中有两个点R Q ,满足22112211,,,PF RF PF RF PA QA PA QA ⊥⊥⊥⊥, 试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明。

2013全国高中数学联赛山东赛区预赛试题及答案

2013全国高中数学联赛山东赛区预赛试题2013年9月7日 9:30——11:30一、填空题（本大题共10个小题，每小题8分）（1）函数4cos cos 2()y x x x R =+∈的值域是．（2）已知复数z 满足1z =，则21z z -+的最大值为．（3）如图，在ABC ∆中，点O 为BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB mAM =u u u r u u u u r ，AC nAN =u u u r u u u r ，则m n +的值为．（4）如果关于x 的不等式1x a x x +<++的解集是R ，则a 的取值范围是．（5）已知正数,,a b c 满足4a b abc +=，则a b c ++的最小值为．（6）对任意实数x ，恒有2log (sin cos )2a x x +≥-成立，则a 的取值范围是．（7）已知{,,,,}A B C a b c d e =U U ，{,,}A B a b c =I ，c A B C ∈I I ，则符合上述条件的{,,}A B C 共有组．（8）已知函数()f x 定义在R 上，对任意的x R ∈，1(1006)2f x +=，且3(1005)4f -=，则(2013)f = ．（9）用五种不同颜色给三棱台ABC DEF -六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有种．（10）假设实数,b c 满足221b c +=，且()sin cos f x ax b x c x =++的图象上存在两条切线互相垂直，则a 的取值范围是．二、解答题（本大题共4题，共70分）（11）(本小题共15分)如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1AD =,2AB =,1AA c =，若对角线1BD 上存在一点P 使得11PB PC ⊥，求c 的取值范围．NABCOMPA BCD1A 1B 1C 1D（12）（本小题共15分)已知椭圆22143x y +=的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点12,F F ，求该平行四边形面积的最大值．（13）（本小题共20分)已知数列{}n a 满足：*1()n n S a n N =-∈，其中n S 为{}n a 的前n 项和．（Ⅰ）试求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11111n n n c a a +=++-，数列{}n c 的前n 项和为n P ，求证：125n P n >-．（14）（本小题共20分)假设,,n a b 均为正整数，且n a b =+，p 是一素数，,,n a b 的p 进制表示分别为0sii i n n p==∑，s ii i a a p ==∑，0si i i b b p ==∑，其中0,,1,0,1,2,,i i i n a b p i s ≤≤-=L ，证明：（Ⅰ）若0,0,0,1,2,,sii i i n d p d i s ==≥=∑L ，且对整数(0)j j s ≤≤，(1)i ii i j i jd p p p <<≤-∑∑，则1[]si i j i j n d p p -==∑，这里[]x 表示不超过x 的最大整数．（Ⅱ）!!!n p a b β，1!{,0,1,2,,}!!i i i n p i a b n i s a b ββ+/⇔=+>=L ∣，这里A 表示集合A 中元素的个数．。

2013全国数学联赛试题及答案2

AC sin ADC sin APE ， CD sin CAD sin EPF BD BD sin BFD sin PFA AP ，由于 = EF BF sin BDF sin PAF PF
1= SPAE AP PE sin APE BD AC SPFE PF PE sin EPF EF CD
n 1
于任意正整数 n ，都有 S2n 1 bn 2
2
n(u v) 。
2 r 2 (u v )
取 n 2r (u v), r Z 时， S2n 1 2 平方数。综上所述，结论成立。
r 2 (u v)2 2r

2
(u v )
r (u v) 都是完全

k

因此，我们取的 2k 个整数满足要求。原题证明：对于任意正整数 2 n 2k ，都存在正整数 2 r k ，使得 2r 1 n 2r ，由引理存在 2r 个整数它们都不是 n 的倍数，使得任意将它们分为两组都会有一组中有若干个数之和是 n 的倍数。再任意添加 2k 2r 个大于 n 的正整数，则得到满足题意的 2k 个整数。
蕴
秀
斋
2013 年全国高中数学联赛二试参考解答
1、 AB 是圆的一条弦， P 是 AB 上一点， E , F 在线段 AB 上，满足 AE EF FB ，射线 PE, PF 分别与交于 C , D 。求证： EF CD AC BD 。
P w A E F B
证明：由正弦定理
证明：令 bn S2n 1 ，则 b1 S1 a1 u v ，由已知
bn 1

2013年全国高中数学联赛试题及其解答

文武光华
2013 年全国高中数学联题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分。
1、设集合A = 2，0，1，3 ，集合B = x| − x ∈ A，2 − x ∉ A ，则集合B中所有元素的和为。解答：易知集合B = −2， − 3 ，所有集合B中所有元素的和为−5。 ⃑ · OB ⃑ = −4，F是抛 2、在平面直角坐标系xOy中，点 A、B 在抛物线y = 4x上，满足OA 物线的焦点，则S△ · S△ = 。 ⃑ · OB ⃑= 解答：根据抛物线解析式知OF = 1。设点A m ，2m ，点B n ，2n ，则OA m n + 4mn = −4 ⇒ mn = −2。于是知S△ · S△ =
| |·| |
·
|
|·|
|
= |mn| = 2。
3、在△ABC 中，已知sin A = 10 sin B sin C，cos A = 10 cos B cos C，则tan A的值为。解答：根据条件知：sin A − cos A = 10(sin B sin C − cos B cos C) = −10 cos(B + C) = 10 cos A ⇒ sin A = 11 cos A ⇒ tan A = 11。 4、已知正三棱锥P − ABC底面边长为1，高为√2，则其内切球半径为。解答：设△ABC 外心为 O，O 在 BC、CA、AB 上的垂足分别为 D、E、F，则OD = OE = OF =
10、（本题满分 20 分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为 + = 1（a＞b＞0），A 、A 分别为椭圆的左、右顶点，F 、F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于A 和A 的任意一点。
交流知识

2013答案

， r
于是有
r 2 r

OK MH 1 2 ． sin KPO ，解得 r PO PM 5 6
1
5．
设 a， 1 ，有 f ( x) ≤ 1 ．则 ab 的最大值为 b 为实数，函数 f ( x) ax b 满足：对任意 x 0 ， _____．
【解析】
1 4 易知 a f 1 f 0 ， b f 0 ，则
b 的轨迹是以 1，2 为圆心， 5 为半径的圆在 a ，如图所示，在 aOb 平面内，点 a ， b≥0 的
部分，即点 O 与弧 ACB 的并集．
b 4 C
2 O
B 1 A a
2 2 2 ， 2 5 ，从而 x a b 0
因此 a 2 b2 0
xn ．
2 2 4 4 N 1 C8 C6 C8 C4 1 28 15 70 1 491 ．
【解析】当 n ≥ 2 时， Sn ≥ 2Sn1 等价于 xn ≥ x1 xn1 ……① 1 对常数 C x1 ，用数学归纳法证明： xn ≥ C 2n ， n 1, 2 , 4 当 n 1 时结论显然成立．又 x2 ≥ x1 C 22 ．对 n ≥ 3 ，假设 xk ≥ C 2k ， k 1, 2 ,
2 将其代入①，得 x0 a2 y1 y0 0
2 x0 a2 x2 a2 ，于是 Q x0 , 0 y0 y0
故 y1
3
x2 c2 根据 RF1 PF1 ， RF2 PF2 ，同理可得 R x0 , 0 ． y0
2
即 x R , a a2 x4 2abx2 2b b2 ≥ 0 将②的左边记为 g x ，显然 a a2 0 ．矛盾），于是

2013年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)

知 u 2 6 （当且仅当 x y z
30
，等号成立）
3
所以 u 的最大值为 2 6 。接下来，我们考虑 u 的最小值。不妨设 x y z ，则由 x2 y2 z2 10 得 x 2 10 ，
3
又 u 6 x 2 6 y 2 6 z 2 6 x 2 6 y 2 6 z 2 6 x 2 2 x 2
3
2013B 7、设 a, b 为实数，函数 f x ax b 满足：对任意 x 0,1 ， f x 1，则 ab 的最大值
为．
1
◆答案：
4 ★解析：由题意得 a f (1) f (0) ， b f (0)
所以 ab f (0) f (1) f (0) f (0) 1 f (1)2 1 f 2 (1) 1 f 2 (1) 1 ，当且仅当
Байду номын сангаас
MH 3 AB 3 , PM MH 2 PH 2
1
2 5
3
,
6
6
12
6
2013 年全国高中数学联合竞赛试题）（B 卷）第 1 页共 7 页
所以 r OK sin KPO MH 1 ,解得 r 2
2 r OP
MP 5
6
2013B 5、在区间 0, 中，方程 sin12x x 的解的个数为
3
3
3
411
法二：由 abc 1 得 a a 3 b 3 c 3 。
2a2
所以
b2
c2

1
a2
a2
a2

全国高中数学竞赛集合真题汇编与典型例题

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题18集合真题汇编与预赛典型例题全国联赛真题：1．【2019年全国联赛】若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为.2．【2018年全国联赛】设集合A={1，2，3…，99}，B={2x|x∈A}，C={x|2x∈A}，则B∩C的元素个数为3．【2013年全国联赛】设集合.则集合中所有元素的和为______.4．【2011年全国联赛】设集合.若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合______.5．【2019年全国联赛】设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件：若E至少有n 个元素，则E一定含有908个二元子集.其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集.6．【2015年全国联赛】设为四个有理数，使得.求的值.7．【2015年全国联赛】设，其中，个互不相同的有限集合，满足对任意，均有.若表示有限集合的元素个数），证明：存在，使得属于中的至少个集合.8．【2014年全国联赛】设.求最大的整数，使得集合S有k个互不相同的非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.9．【2013年全国联赛】一次考试共有道试题，名学生参加，其中为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有名学生没有答对，则每名答对该题的学生得分，未答对的学生得零分.每名学生的总分为其道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为.求的最大可能值.10．【2012年全国联赛】试证明：集合满足（1）对每个，若，则一定不是的倍数；（2）对每个表示中的补集），且，必存在，使的倍数.各省预赛典型题1．【2018年江苏】在1，2，3，4，…，1000中，能写成的形式，且不能被3整除的数有________个。

2013年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

2013年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2013A1、设集合{}3,1,0,2=A ,集合{}A x A x xB ∉-∈-=22,|，则集合B 中所有元素的和为◆答案：5-★解析：易得{}0,1,2,3---⊆B ，验证即可得{}2,3--=B ，所以所求为532-=--2013A 2、在平面直角坐标系xOy 中，点B A ,在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅OB OA ，F 是抛物线的焦点，则OFA ∆与OFB ∆的面积之比为◆答案：2★解析：由题意得()0,1F ，设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121,4y y A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛222,4y y B ，代入4-=⋅OB OA 得821-=y y ，所以OFA ∆与OFB ∆的面积之比为241212=y y OF 2013A 3、在ABC ∆中，已知C B A sin sin 10sin ⋅=，C B A cos cos 10cos ⋅=，则A tan 的值为◆答案：11★解析：由于()()A C B C B C B A A cos 10cos 10cos cos sin sin 10cos sin =+-=-=-，即11tan =A 2013A 4、已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为◆答案：62★解析：如图，设球心O 在面ABC 和面ABP 内的射影分别是H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则M K P ,,共线，H O P ,,共线，090=∠=∠PKO PHM ，且r OK OH ==，r OH PH PO -=-=2，6363==AB MH ,635212122=+=+=PH MH PM ,所以51sin 2==∠==-MP MH KPO OP OK rr ,解得62=r 2013A 5、设b a ,为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，都有1)(≤x f ，则ab 的最大值为◆答案：1★解析：由题意得)0()1(f f a -=，)0(f b =所以()41)1(41)1(41)1(21)0()0()1()0(222≤≤+⎪⎭⎫⎝⎛--=-⋅=f f f f f f f ab ，当且仅当1)1()0(2±==f f ，即21±==b a 时，41=ab ，故所求最大值为41。

2009-2013年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题汇编(含答案解析)

河南省新课标高中数学联赛试题汇编
目录
1．2013年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题 (2)
2．2013年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题解析 (8)
3．2012年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题 (11)
4．2012年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题解析 (14)
5．2011年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题 (19)
6．2011年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题解析 (23)
7．2010年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题（5月16日） (27)
8．2010年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题解析（5月16日） (31)
9．2010年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题及解析（5月9日） (37)
10．2009年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题 (43)
11．2009年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题解析 (48)。

2013年全国高中数学联赛湖北赛区预赛试卷及解析

2013年全国高中数学联赛湖北赛区预赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、填空题1.设集合},B ={2,4,6,18}.若C ={a +b|a ∈A,b ∈B },则集合C 的所有元素之和为______. 2.已知数列{a n }满足a 0=0,a 1=1,且a 2n =a ,a 2n+1=a n +1 (n ∈Z +).则a 2013=______.3.设函数f (x )={2x , x ≤0|log 2x |,x >0 .则方程f (x )=12的解集为______.4.函数y =−1|sinx|+1|cosx|+1|tanx|+1|cotx |的最小值为______.5.设0<x <y <π2则 P =cos2x −cos2y −4cosx +4cosy 的取值范围是______.6.设F 为椭圆C:x 24+y 23=1的右焦点,过椭圆C 外一点P 作椭圆C 的切线,切点为M .若∠PFM =90°,则点P 的轨迹方程为______.7.从集合A={1,2,…,30}中取出五个不同的数,使这五个数构成等差数列.则得到不同的等差数列的个数为______. 8.已知四面体P−ABC 的体积为1,G 、K 分别是△ABC 、△PBC 的重心,过G 作直线分别与AB 、AC 交于点M 、N .则四棱锥K−MNCB 体积的最大值为______.9.已知互不相等的三个实数a 、b 、c 成等比数列,且log c a 、log b c 、log a b 构成公差为d 的等差数列.则d= ______.10.已知a 、b 、c 、d ∈[−1,+∞),且a +b +c +d =0.则ab +bc +cd 的最大值为______.11.已知数列{a n }、{b n } (n ∈Z +)满足a 1=1,b 1=3, a n+1=2+27a n9a n 2+4b n2,b n+1=27a n 9a n 2+4b n2(1)证明:对一切的(n ∈Z +),有(a n −1)24+bn29=1.(2)求数列{a n}的通项公式.二、解答题12.求函数y=x x√x2−1的值域.13.设P(x0,y0)为椭圆x24+y2=1内一定点(不在坐标轴上),过P的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D,且AB∥CD.(1)证明:直线AB的斜率为定值;(2)过点P作AB的平行线,与椭圆交于E、F两点,证明:点P平分线段EF.参考答案1.178【解析】1.易得, C={3,5,7,9,11,13,15,19,21,23,25,27}故集合C的所有元素之和为(3+5+ 7+⋯+25+27)−17=178.2.9【解析】2.由题设知a2013=a1006+1=a503+1=a251+2=a125+3=a62+4=a31+ 4=a15+5=a7+6=a3+7=a1+8=9.3.{−1,√22,√2}【解析】3.当x≤0时,方程即2x=12⇒x=−1;当x>0时,方程即|log2x|=12⇒log2x=±12⇒x=√2或√22因此,方程f(x)=12的解集为{−1,√22,√2}4.2(√2+1)【解析】4.易知,题设函数为偶函数,π为其一个周期,故只需求x∈(0,π2)时的最小值即可.当x∈(0,π2)时,y=1sinx+1cosx+1tanx+1cotx=1+sinx+cosxsinx⋅cosx令t=sinx+cosx.可知1<t≤√2.则sinx⋅cosx=t2−1 2故y=2t−1≥√2−1=2(√2+1).因此,当x=kπ+π4(k∈Z)时,y取得最小值2(√2+1).5.(-2,0)【解析】5.由题设知P=2[(cos2x−2cosx)−(cos2y−2cosy)].设f (t )=t 2−2t .则P =2[f (cosx )−f (cosy )].由0<x <y <π2,知0<cosy <cosx <1.结合二次函数f (t )=t 2−2t 的图像知−1<f (cosx )<f (cosy )<0.故−1<f (cosx )−f (cosy )<0. 因此, −2<P <0.6.x =4【解析】6.设点P (x 0,y 0),M (x 1,y 1)则椭圆C 的切线PM 的方程为x 1x4+y 1y 3=1.故x 1x 04+y 1y3=1 ① 又点F (1,0),则FP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 0−1,y 0),FM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1−1,y 1) 而∠PFM=90°,于是, FP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0,即(x 0−1)(x 1−1)+y 0y 1=0. ② 由式①、②消去y 0y 1后整理得(x 0−4)(x 1−4)=0 又x 1<4,从而,x 0=4.因此,点P 的轨迹方程为x =4.7.196【解析】7.设五个数分别是a 1、a 2、a 3、a 4、a 5,其公差为d . 由a 5−a 1=4d ,知a 1≡a 5(mod4).按关于模4的余数将集合A={1,2,…,30}分成四类:B ={1,5,9,…,29},C ={2,6,10,…,30},D ={3,7,11,…,27},E ={4,8,12,…,28}.易知,集合B 、C 各有八个元素,集合D 、E 各有七个元素.确定五项等差数列的关键是确定数列的首项和末项,即分别从集合B 、C 、D 、E 中任取两个元素的排列,故得到A 82+A 82+A 72+A 72=196 个不同的等差数列. 8.527【解析】8.如图,在△ABC 中,设 AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,AN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =yAC⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,D 为BC 的中点.则AG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =23AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ) 故MG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(13−x )AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +13AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ GN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −AG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +(y −13)AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ .而MG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λGN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,于是,13−x −13=13y−13⇒1x +1y=3. 利用均值不等式得xy ≥49.故S △AMN≥49S △ABC , S 四边形MNCB ≤59S △ABC. 又K 为△PBC 的重心,则S 四棱锥K -MNCB ≤13×59V 三棱锥P -ABC =527. 9.32【解析】9.因为a 、b 、c 成等比数列,所以, b 2=ac .于是,log b a +log b c =2设log b a=x,log b c =y .则x +y =2.由log c a 、log b c 、log a b 为等差数列知 log c a +log a b =2log b c ⇒xy+1x=2y .联立x+y =2,xy +1x=2y 并整理得2x 3−9x 2+9x −2=0⇒(x −1)(2x 2−7x +2)=0⇒x =1或7+√334或7−√334当x =1时,a =b (舍去); 当x=7+√334时, y =1−√334,此时,所求公差为d=log b c −log c a =y −x y=32；当x =7−√334时，y =1+√334，此时所求公差为d =log b c −log c a =y −xy=32.因此,所求公差d =32.10.54【解析】10. 不妨设b ≥c (否则,将(a,b,c,d )换为(d,c,b,a )即可)则ab+bc +cd =b (a +c +d )+cd −bd=−b 2+(c −b )(d +1)−(c −b ) ≤−b 2+b −c ≤−b 2+b +1=54−(b −12)2≤54.当且仅当b =12,c =−1,d =−1,a =32时,等号成立。

2013年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(高一)

2013年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题一、填空题（每小题9分，共90分）1、设集合A={1，3，5，7，9}，B ={2，4，6，18}，若C ={a +b | a ∈A ，b ∈B}，则集合C 的所有元素之和为＿＿＿＿ .2、已知数列{a n }满足：a 0 =0， a 1=1，且a 2n =a n ，a 2n +1= a n +1（n ∈N *）,则 a 2013＿＿＿＿.3、设函数f (x)= 2x ，x ≤0 log 2x ，x >0 ，则方程f(x)=12 的解集为＿＿＿＿.4、函数y=1sin x +1cos x+1tan x+1cot x的最小值为＿＿＿＿.5、设0<x<y<π2，则P=cos 2x -cos 2y -4cos x +4cos y 的取值范围是＿＿＿＿.6、设F 为椭圆C :x4+y3=1的右焦点，过椭圆C 外的一点P 作椭圆C 的切线，切点为M ，若PFM =900，则点P 的轨迹方程为＿＿＿＿.7、从集合A={1，2，3，...，30}中取出5个不同的数，使这5个数构成等差数列，则可以得到的不同的等差数列的个数为＿＿＿＿.8、四面体P —ABC 的体积为1，G 和K 分别是∆ABC 和∆PBC 的重心，过G 作直线分别交，AB 、AC 于点M 、N ，那么四棱锥K-MNCB 的体积的最大值为＿＿＿＿.9、已知互不相等的三个实数a 、b 、c 成等比数列，且log c a 、log b c 、log a b 构成公差为d 的等差数列，则d =＿＿＿＿.10、已知a ，b ，c ，d ∈ −1,+∞），且a+b+c+d =0，则ab+bc+cd 的最大值为＿＿＿＿.二、解答题（本题满分60分，每小题20分）11、求函数y=x 2+x 2−1的值域.12、已知数列 a n , b n 满足： a 1=1，b 1=3，a n +1=2+27a n 9a n2+4b n2，b n +1=27bn 9a n2+4bn2，n ∈N ∗. （1）证明：对一切n ∈N ∗，有(a n −1)24+b n 29=1（2）求数列 a n 的通项公式.13、设P(x 0，y 0)为椭圆x 24+y 2=1内一定点（不在坐标轴上），过点P 的两条直线分别与椭圆交于A 、C 和B 、D ，若AB//CD . (1)证明：直线AB 的斜率为定值；（2）过点P 作AB 的平行线，与椭圆交于E ，F 两点，证明：点P 平分线段EF .解答1. 1782. 93. −1， 22，， 4. 2（ +1） 5. （-2，0） 6. x=47. 196 8. 5279. 3210. 5411.易求得函数的定义域为 x x ≥1或x ≤1 .(1)易知函数y=x 2+2−1是 1，+∞ 上的增函数，所以，当x ≥1时，可得y ≥1. (2)当x ≤−1时，y=x (x +2−1)=x 2−1)(x− x 2−1)x− x 2−1)=x− x 2−1=1−2x=1+ 1−12.因为x ≤−1，所以0≤1−1x 2<1，1≤1+ 1−1x 2<2，所以12<1+ 1−12≤1.即12<y ≤1.综上可知：y >12，故函数y=x 2+2−1的值域为（12，+∞）.12.(1)用数学归纳法证明. ①当n =1时，a 1=1，b 1=3,显然有(a 1−1)24+b 129=1；②假设当n=k 时结果成立，即(a k −1)24+b k 29=1成立，则9a k 2+4b k 2=9(2a k +3),那么b k +1=3b k 2a k +3, a k +1-1=1+27b k9(2a k +3)=5a k +32a k +3，所以a k +1−1 24+b k +129=（5a k +3）24（2a k +3）2+b k 2（2a k +3）2=（5a k +3）2+4b k24（2a k +3）2=（5a k +3）2+9(2a k +3−a k 2)4（2a k +3）2=16a k 2+48a k +364（2a k +3）2=1，所以，当n=k+1时结论也成立.综合①、②可知：对一切n ∈N ∗，有(a n −1)24+b n 29=1(2)由（1）知9a n 2+4b n 2=9（2a n +3），所以a n +1=2+27b n9(2an+3)=7a n +62a n+3.易得a n+1-3=a n−32a n+3，a n+1+1=9（a n+1）2a n+3，所以a n+1−3a n+1+1=19⋅a n−3a n+1.又a1=1,递推可求得a n−3a n+1=-19，所以a n=3⋅9n−1−19+1.13.(1)设A（x1，y1）B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），AP=λPC,则x0—x1=λ（x3—x0），y0—y1=λ（y3—y0），所以x3=1+λx0−x1λ，y3=1+λy0−y1λ.因为点C在椭圆上，所以x324+y32=1，即1+λx0−x124λ+1+λy0−y12λ= 1,整理得1+λ2（x024+y02）—121+λ（x0x1+4y0y1）+(x124+y12) =λ2.又点A在椭圆上，所以x124+y12= 1，从而可得1+λ2（x024+y02）—121+λ（x0x1+4y0y1）=λ2—1. ①又因为AB//CD，故有BP=λPD，同理可得1+λ2（x024+y02）—121+λ（x0x2+4y0y2）=λ2—1. ②②—①，得x0（x1—x2）+4y0（y1—y2）= 0.因为x0≠0，,y0≠0,易知AB不与坐标轴平行，所以直线AB的斜率k=y1—y2x1—x2 = -x04y0，为定值.（2）直线EF的方程为y = - x04y0(x—x0)+y0，代入椭圆方程得x02+4y02 16y02⋅x2—x0（x02+4y02）8y02⋅x+x0416y02+x022+y02—1 = 0，所以x E+x F=——x0（x02+4y02）8y02x02+4y0216y02= 2x0，因此点P是EF的中点，即点P平分线段EF.。

2013年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题

3、设函数f(x)= ，则方程f(x)= 的解集为＿＿＿＿.
4、函数y= + + + 的最小值为＿＿＿＿.
5、设0<x<y< ，则P= - -4 +4 的取值范围是＿＿＿＿.
6、设F为椭圆C: + =1的右焦点，过椭圆C外的一点P作椭圆C的切线，切点为M，若PFM= ，则点P的轨迹方程为＿＿＿＿.
7、从集合A={1，2，3，...，30}中取出5个不同的数，使这5个数构成等差数列，则可以得到的不同的等差数列的个数为＿＿＿＿.
(2)当x 时，
y= + )= = = = .
因为x ，所以0 ，1 所以 .即 .
综上可知：y ，故函数y= + 的值域为（）.
12.(1)用数学归纳法证明.
①当n=1时， =1， =3,显然有；
②假设当n=k时结果成立，即成立，则9 +4 =9(2 ),那么 = , -1=1+ = ，所以
(1)证明：直线AB的斜率为定值；
（2）过点P作AB的平行线，与椭圆交于E，F两点，证明：点P平分线段EF.
解答
1.178 2.93. ，4.2（ +1）5.（-2，0）6.x=4 7.196 8. 9. 10.
11.易求得函数的定义域为 .
(1)易知函数y= + 是上的增函数，所以，当x 时，可得y .
= +
=
=
= ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1，
所以，当n=k+1时结论也成立.
8、四面体P—ABC的体积为1，G和K分别是 ABC和 PBC的重心，过G作直线分别交，AB、AC于点M、N，那么四棱锥K-MNCB的体积的最大值为＿＿＿＿.

河北省重点中学2013届高三数学联合考试试题理(解析版)新人教A版

河北省重点中学2013届高三联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题．1．（5分）（2012•河北模拟）已知复数z=1+i，则=（）A．B．C．i D．﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由题设条件将复数z=1+i代入进行运算化简出复数式的值，再选出正确选项解答：解：∵z=1+i∴====故选A点评：本题考查得数代数形式的乘除运算，解题的关键是熟练掌握复数的代数形式的乘除运算的规则，通过运算化简得出答案，本题考查复数的运算能力2．（5分）（2012•河北模拟）设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是（）A．c⊥α，若c⊥β，则α∥βB．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥cC．b⊂β，若b⊥α，则β⊥αD．b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥a考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：选项A的逆命题是c⊥α，若α∥β，则c⊥β，根据面面平行的性质定理可判定，选项B的逆命题是b⊂α，c⊄α，若b∥c，则c∥α，根据线面平行的判定定理可知正确，对于C的逆命题根据平面垂直的性质定理可知不正确，选项D的逆命题是b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥a，则b⊥c，根三垂线的逆定理可知正确．解答：解：选项A的逆命题是c⊥α，若α∥β，则c⊥β，根据面面平行的性质定理，可知成立选项B的逆命题是b⊂α，c⊄α，若b∥c，则c∥α，根据线面平行的判定定理，可知成立C选项的逆命题为b⊂β，若β⊥α则b⊥α．不正确，因为根据平面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，其中一个平面内的直线只有垂直于交线的才垂直另一个平面．选项D的逆命题是b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥a，则b⊥c，根三垂线的逆定理可知正确．故选C．点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力，属于基础题．3．（5分）（2012•河北模拟）设全集U=R，A={x|＜2}，B={x|}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|1≤x＜2} B．{x|x≥1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}考点：对数函数的单调性与特殊点；Venn图表达集合的关系及运算；指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：先分别化简集合A，B，利用图中阴影部分表示的集合为A∩C U B，可得结论．解答：解：由题意，∵＜2，∴（x﹣1）2＜1，∴0＜x＜2，∴A=（0，2）∵∴x2+x+1＜x2+2，∴x＜1∴C U B=[1，+∞）图中阴影部分表示的集合为A∩C U B=[1，2）故选A．点评：本题考查解不等式，考查集合的运算，正确化简集合是关键．4．（5分）（2011•浙江）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质．点：专题：综合题．分析：根据不等式的性质，我们先判断“0＜ab＜1”⇒“”与“”⇒“0＜ab＜1”的真假，然后结合充要条件的定义即可得到答案．解答：解：若“0＜ab＜1”当a，b均小于0时，即“0＜ab＜1”⇒“”为假命题若“”当a＜0时，ab＞1即“”⇒“0＜ab＜1”为假命题综上“0＜ab＜1”是“”的既不充分也不必要条件故选D点评：本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，及不等式的性质，其中根据不等式的性质判断“0＜ab＜1”⇒“”与“”⇒“0＜ab＜1”的真假，是解答本题的关键．5．（5分）（2012•河北模拟）已知，则tan（α+β）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：由2α的范围和sin2α的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cos2α的值，进而求出tan2α的值，然后把所求式子中的角α+β变为2α﹣（α﹣β）后，利用两角和与差的正切函数公式化简，把各自的值代入即可求出值．解答：解：由sin2α=，2α∈（，π），得到cos2α=﹣=﹣，所以tan2α==﹣，则tan（α+β）=tan[2α﹣（α﹣β）]===﹣2．故选A点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道基础题．学生做题时注意角度的变换．6．（5分）（2012•河北模拟）如图是一个程序框图，该程序框图输出的结果是，则判断框内应该填入的是（）A．i≥3？B．i＞3？C．i≥5？D．i＞5？考点：循环结构．专题：图表型．分析：因为该框图是不满足条件执行循环体，所以假设条件不满足，依次执行，当执行到n 的值为时，看此时i的值，从而确定判断框中的条件．解答：解：因为i=1，m=0，n=0；i=2，m=1，n=；i=3，m=2，n=；i=4，m=3，n=；i=5，m=4，n=．输出的结果是，所以此时判断框中的条件是i≥5？．故选C．点评：本题考查了循环结构，虽然是先判断后执行，但是在不满足条件下能执行循环，直到条件满足结束循环，实则是直到型循环结构．7．（5分）（2010•江西）展开式中不含x4项的系数的和为（）A．﹣1 B．0C．1D．2考点：二项式定理．专题：计算题．分析：采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去x4项系数C8820（﹣1）8=1即为所求解答：解：中，令x=1得展开式的各项系数和为1的展开式的通项为=令得含x4项的系数为C8820（﹣1）8=1故展开式中不含x4项的系数的和为1﹣1=0故选项为B点评：考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反．8．（5分）（2013•三门峡模拟）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：压轴题．分析：由题设条件设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2，，由此可以求出双曲线的离心率．解答：解：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2，，∴离心率，故选B．点评：挖掘题设条件，合理运用双曲线的性质能够准确求解．9．（5分）（2012•河北模拟）已知向量的夹角为，且，，在△ABC 中，，D为BC边的中点，则=（）A．1B．2C．3D．4考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模；向量的加法及其几何意义．分析：利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积；利用三角形的平行四边形法则表示出；利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的模．解答：解：=====故选A点评：本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则：平行四边形法则、向量模的平方等于向量的平方．10．（5分）（2012•河北模拟）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数f'（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A ．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；简单复合函数的导数．专题：计算题；数形结合．分析：根据题意，先求出f（x）的导函数，再根据导函数的图象找出导函数的周期，利用周期公式求出ω的值，进而根据导函数的最大值为2，求出A的值，把求出的ω与A 的值代入导函数中，再从导函数图象上找出一个已知点的坐标代入即可求出ψ的值，将A，ω及φ的值代入即可确定出f（x）的解析式，即可得答案．解答：解：根据题意，对函数f（x）=Asin（ωx+φ）求导，可得f′（x）=ωAcos（ωx+φ），由导函数的图象可知：导函数的周期为2[﹣（﹣）]=4π，则有T==4π，解得ω=，由导函数图象可得导函数的最大值为2，则有Aω=2，即A=4，∴导函数f′（x）=2cos（x+φ），把（﹣，2）代入得：4cos（﹣+φ）=2，且|φ|＜，解得φ=，则f（x）=4sin（x+）．故选B．点评：此题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，涉及复合函数的导数的运算；借助导函数图象中的周期、最值，来确定A，ω及ψ的值是解本题的关键．11．（5分）（2012•河北模拟）甲，乙，丙，丁，戊5人站成一排，要求甲，乙均不与丙相邻，不同的排法种数有（）A．72种B．54种C．36种D．24种考点：排列及排列数公式．专题：计算题．分析：本题限制条件比较多，可以分类解决，乙如果与两人相邻则，一定是丁和戊，而丁和戊可交换位置共有两种，则乙和丁戊共同构成3人一团，乙如果在首末两位，则有两种选择与乙相邻的只有丁和戊，根据分类和分步原理得到结果．解答：解：乙如果与两人相邻则，一定是丁和戊，而丁和戊可交换位置共有两种，则乙和丁戊共同构成3人一团，从五个位置中选3个相邻的位置共有3种方法，而甲乙可互换又有两种，则有2×3×2=12，乙如果在首末两位，则有两种选择与乙相邻的只有丁和戊，其余的三个位置随便排A33种结果根据分步计数原理知共有2×2×1×2×3=24根据分类计数原理知有12+24=36，故选C．点评：站队问题是排列组合中的典型问题，解题时，要先排限制条件多的元素，本题解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．12．（5分）（2012•河北模拟）定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1﹣（x﹣3）2，若函数f（x）的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则c等于（）A．1B．2C．1或2 D．4或2考点：利用导数研究函数的极值；抽象函数及其应用．专题：计算题；压轴题．分析：由已知可得分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，根据三点共线，则任取两点确定的直线斜率相等，可以构造关于c的方程，解方程可得答案．解答：解：∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣（x﹣3）2当1≤x＜2时，2≤2x＜4，则f（x）=f（2x）=[1﹣（2x﹣3）2]此时当x=时，函数取极大值当2≤x≤4时，f（x）=1﹣（x﹣3）2此时当x=3时，函数取极大值1当4＜x≤8时，2＜x≤4则f（x）=cf（x）=c（1﹣（x﹣3）2，此时当x=6时，函数取极大值c∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点（，），（3，1），（6，c）共线，∴解得c=1或2．故选C点评：本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．二、填空题（20分）13．（5分）（2012•河北模拟）已知数列{a n}为等比数列，且a3•a7=2a5，设等差数列{b n}的前n项和为S n，若b5=a5，则S9= 18 ．考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：计算题．分析：首项根据等比数列的性质若m+n=k+l则a m a n=a k a l，计算出b5=a5=2，再根据等差数列的性质若m+n=k+l则b m+b n=b k+b l，得出S9=9b5，进而得到答案．解答：解：在数列{a n}为等比数列中，若m+n=k+l则a m a n=a k a l．已知数列{a n}为等比数列，且a3•a7=2a5，所以a5=2．所以b5=a5=2．在数列{b n}为等差数列中，若m+n=k+l则b m+b n=b k+b l．所以S9=（b1+b9）=9b5=18．故答案为18．点评：解决此类问题的关键是首项等差数列的性质以及等比数列的性质，再结合着正确的运算即可，此类题目在高考中常以选择题或填空题的形式出现．14．（5分）（2012•河北模拟）设z=x+y其中x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为﹣3 ．考点：简单线性规划．分析：先根据条件画出可行域，观察可行域，当直线z=x+y过A点时取最大值，从而求出k 值，再当直线z=x+y过B点时取最小值，求出z最小值即可．解答：解：作出可行域如图：直线x+y=6过点A（k，k）时，z=x+y取最大，∴k=3，z=x+y过点B处取得最小值，B点在直线x+2y=0上，∴B（﹣6，3），∴z的最小值为=﹣6+3=﹣3．故填：﹣3．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15．（5分）（2012•河北模拟）已知抛物线C1：y2=2px和圆，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则的值为．考点：圆与圆锥曲线的综合；平面向量数量积的运算．专题：常规题型．分析：法一：利用特殊位置法解决，当直线l垂直x轴时就可得结果．法二：设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|﹣|BF=x1+﹣=x1，同理|CD|=x2，由此能够求出•的值．解答：解：法一：当直线l垂直于x轴时，|AB|=|CD|=p﹣=，=法二：设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|﹣|BF=x1+﹣=x1，同理|CD|=x2，又=|AB||CD|=x1x2=．故答案为：．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．16．（5分）（2012•河北模拟）一个几何体的三视图如图所示．刚该几何体的体积为32 ．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知．该几何体是一个棱长为4的正方体被一个平面截去一部分后余下的一部分，作出图象．据图可计算出体积．解答：解：由三视图可知．该几何体是一个棱长为4的正方体被一个平面截去一部分后余下的一部分，如图．连接AC、NC，则该几何体的体积是四棱锥C﹣ABEN的体积的2倍，∴V该几何体=．故答案为32．点评：由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．三、解答题：17．（10分）（2012•河北模拟）已知在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且，a2b2cosC=a2+b2﹣c2，S△ABC=．（I）求证：△ABC为等腰三角形．（II）求角A的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（I）在△ABC中，由利用正弦定理可得sin（B﹣A）=0，可得 B﹣A=0，故△ABC为等腰三角形．（II）由余弦定理求出 cosC，代入a2b2cosC=a2+b2﹣c2可得 ab=2 或 a2+b2﹣c2=0．ab=2时，由S△ABC=求出A的值，可得C的值．当a2+b2﹣c2 =0，△ABC为等腰直角三角形，从而求得A的值，综合可得结论．解答：解：（I）证明：在△ABC中，∵，由正弦定理可得，∴sinBcosA=cosBsinA，∴sin（B﹣A）=0．再由﹣π＜A﹣B＜π 可得 B﹣A=0，∴△ABC为等腰三角形．（II）∵a2b2cosC=a2+b2﹣c2，且 cosC=，∴ab•=a2+b2﹣c2，即（ab﹣2）（ a2+b2﹣c2）=0．∴ab=2 或 a2+b2﹣c2 =0．当 ab=2时，由S△ABC==求得sinC=，∴C=，或，故 A=或．当a2+b2﹣c2 =0，△ABC为等腰直角三角形，A=．综上可得，A=，或A=，或A=．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．18．（12分）（2012•河北模拟）已知数列{a n}的前n项和Sn=2﹣a n，数列{b n}满足b1=1，b3+b7=18．且b n+1+b n﹣1=2b n（n≥2）．（I）数列{a n}和{b n}的通项公式．（II）若b n=a n•c n，求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）根据由Sn求a n的方法可求{a n}的通项公式，由题意可得{b n}为等差数列，由条件求其公差d，可得结果；（II）由（I）结合题意可得，=（2n﹣1）•2n﹣1．，下面可由错位相减法求和，得到T n．解答：解由题意可得S n=2﹣a n，①当n≥2时，S n﹣1=2﹣a n﹣1，②①﹣②得，a n=S n﹣S n﹣1=a n﹣1﹣a n，即又a1=S1=2﹣a1，可得a1=1，易知a n﹣1≠0，故数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列，所以由b n+1+b n﹣1=2b n可知数列{b n}为等差数列，设其公差为d，则，所以d==2，故b n=b1+（n﹣1）d=2n﹣1（II）由（I ）结合题意可得，=（2n﹣1）•2n﹣1．则+…+（2n﹣1）×2n﹣1③两边同乘以2得，+…+（2n﹣1）×2n④③﹣④得，﹣T n=1+2（21+22+23+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）2n整理得，﹣T n =1+=﹣（2n﹣3）•2n﹣3故点评：本题为数列的通项公式和求和的问题，涉及等比数列的判定和错位相减法求和，属中档题．19．（12分）（2012•河北模拟）如图，四棱住ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA1=2．（I）求三棱柱C﹣A1B1C1的体积V；（II）求直线BD1与平面ADB1所成角的正弦值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间向量及应用．分析：（Ⅰ）由A1D⊥平面ABCD，可得A1D为两个底面的距离即三棱锥C﹣A1B1C1的高，再利用三棱锥C﹣A1B1C1的体积V=计算公式即可得出；（Ⅱ）通过建立如图所示的空间直角坐标系，先求出平面ADB1的法向量，利用BD1的方向向量与其法向量的夹角即可得出线面角．解答：解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABCD，∴A1D⊥AD，A1D即为两个底面的距离．在Rt△A1DA 中，，AA1=2，AD=1，由勾股定理得．又=．∴三棱锥C﹣A1B1C1的体积V==；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），A1（0，0，），B1（0，1，），D1（﹣1，0，），C1（﹣1，1，）．∴，，．设平面ADB1的法向量为，则，即，令z=1，则y=，x=0，∴．设直线BD1与平面ADB1所成角为θ，则===．点熟练掌握通过建立空间直角坐标系的方法求空间角、空间距离、线面垂直的判定与性评：质、三棱锥的体积计算公式是解题的关键．20．（12分）（2012•河北模拟）第11届全国人大五次会议于2012年3月5日至3月14日在北京召开，为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了16名男记者和14名记者担任对外翻译工作，调查发现，男、女记者中分别有10人和6人会俄语．（I）根据以上数据完成以下2×2列联表：会俄语不会俄语总计男女总计30并回答能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关？参考公式：K2=其中n=a+b+c+d参考数据：P（K2≥k0）0.40 0.25 0.10 0.010k00.708 1.323 2.706 6.635（II）若从会俄语的记者中随机抽取3人成立一个小组，则小组中既有男又有女的概率是多少？（III）若从14名女记者中随机抽取2人担任翻译工作，记会俄语的人数为ξ，求ξ的期望．考点：独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）先根据以上数据完成以下2X2列联表，再假设是否会俄语与性别无关，然后由已知数据可求得k2进行判断．（Ⅱ）从会俄语的记者中随机抽取3人成立一个小组，有种选法，小组中既有男又有女的选法有种选法，由此能求出小组中既有男又有女的概率．（Ⅲ）会俄语的人数ξ的取值分别为0，1，2．分别求出其概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．解答：（本题满分12分）解：（Ⅰ）如下表：会俄语不会俄语总计男10 6 16 女 6 8 14 总计16 14 30 …（2分）假设：是否会俄语与性别无关．由已知数据可求得所以在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断会俄语与性别有关；…（5分）（Ⅱ）从会俄语的记者中随机抽取3人成立一个小组，有种选法，小组中既有男又有女的选法有种选法，∴小组中既有男又有女的概率；…（8分）（Ⅲ）会俄语的人数ξ的取值分别为0，1，2．其概率分别为，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，…（10分）所以ξ的分布列为：ξ0 1 2P．…（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，是历年高考的必考题型之一．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．21．（12分）（2012•河北模拟）如图，已知椭圆，梯形ABCD（AB∥CD∥y轴，|AB|＞|CD|）内接于椭圆C．（I）设F是椭圆的右焦点，E为OF（O为坐标原点）的中点，若直线AB，CD分别经过点E，F，且梯形ABCD外接圆的圆心在直线AB上，求椭圆C的离心率；（II）设H为梯形ABCD对角线的交点，|AB|=2m，|CD|=2n，|OH|=d，是否存在正实数λ使得恒成立？若成立，求出λ的最小值，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）利用梯形ABCD外接圆的圆心在直线AB上，可得|AE|=|ED|，由此建立方程，求得几何量之间的关系，从而可求椭圆C的离心率；（II）先确定H在x轴上，再利用韦达定理表示出m﹣n，进而利用基本不等式，即可求得结论．解答：解：（I）设F（c，0），则E（，0），D（c，），A（）由题意，梯形ABCD外接圆的圆心在直线AB上，则|AE|=|ED|，所以化简得2a2=3c2，所以椭圆的离心率；（II）根据对称性知识，可得H在x轴上，设H（x0，0），则|x0|=d设直线BD的方程为x=ty+x0，代入椭圆方程，消去x得（a2+b2t2）y2+y+=0设B（x1，y1），D（x2，y2），则y1+y2=﹣由题意，m=|y1|，n=|y2|，且y1，y2异号∵m＞n＞0∴m﹣n=|y1+y2|=|﹣|=∴=≤∴存在正实数λ使得恒成立，且λ的最小值为1．点评：本题考查椭圆的离心率，考查存在性问题，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（12分）（2012•河北模拟）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2（I）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（II）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2）且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．考利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．点：专题：导数的概念及应用．分析：（I）求导数，再分类讨论，确定函数在区间上的单调性，即可求得函数的最小值；（II）函数由两个不同的极值点转化为导函数等于0的方程有两个不同的实数根，进而转化为图象的交点问题，由此可得结论．解答：解：（I）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=，∴∴①0＜t＜，时，函数f（x）在（t，）上单调递减，在（，t+2）上单调递增，∴函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值为f（）=﹣，②当t≥时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴f（x）min=f（t）=tlnt，∴f（x）min=；（II）y=f（x）+g（x）=xlnx﹣x2+ax﹣2，则y′=lnx﹣2x+1+a题意即为y′=lnx﹣2x+1+a=0有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），即a=﹣lnx+2x﹣1有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），等价于直线y=a与函数G（x）=﹣lnx+2x﹣1的图象有两个不同的交点∵G′（x）=﹣+2，，∴G（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，画出函数图象的大致形状（如右图），由图象知，当a＞G（x）min=G（））=ln2时，x1，x2存在，且x2﹣x1的值随着a的增大而增大而当x2﹣x1=ln2时，由题意，两式相减可得ln=2（x2﹣x1）=2ln2∴x2=4x1代入上述方程可得x2=4x1=ln2，此时a=ln2﹣ln（）﹣1，所以，实数a的取值范围为a＞ln2﹣ln（）﹣1；点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查的知识点比较多，考查数形结合的数学思想，综合性强．。

高中数学预赛报名条件

高中数学预赛
高中数学预赛是针对高中阶段学生的数学竞赛，旨在提高学生的数学水平、培养学生的数学思维和解决问题的能力。

以下是高中数学预赛的报名条件：
年龄要求：参赛学生必须是高中在校生，且年龄不得超过19岁。

学籍要求：参赛学生必须具有高中学籍，且学籍所在学校必须是所在省、自治区、直辖市的高中。

成绩要求：参赛学生在高中阶段的数学成绩必须达到一定水平，一般要求在年级前10%左右。

此外，学生还需要具备一定的数学竞赛基础和思维能力，以便更好地应对竞赛试题。

报名方式：学生可以通过所在学校或所在地区的数学竞赛委员会报名参加高中数学预赛。

具体报名方式和时间可以关注当地教育部门或数学竞赛委员会的通知。

考试要求：高中数学预赛一般采用闭卷考试的形式进行，考试时间为2小时左右。

考试内容涵盖了高中数学的主要知识点，包括代数、几何、概率统计等方面。

学生需要在规定时间内完成试题并取得优异成绩才能获得晋级资格。

需要注意的是，高中数学预赛的报名条件可能会因地区和学校的不同而有所差异。

此外，高中数学预赛的竞争非常激烈，参赛学生需要做好充分的准备，以提高自己的数学水平和思维能力。