高中数学选修2-2 北师大版综合法和分析法课时作业(含答案)

合集下载

高中数学北师大版选修2-2第1章分析法和综合法例题解析

分析法和综合法例题解析分析法和综合法是两种思路相反的证明与推理方法，综合法证明是“由因导果”，分析法证明是“执果索因”。

它们是两种思路截然相反的证明方法，分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因此要注意两种方法在解题中的联合运用，正如恩格斯所说的：“没有分析就没有综合”。

在数学的证明中不能把分析法和综合法绝对分开。

例1 设2()(0)f x ax bx c a =++≠，若函数(1)f x +与()f x 的图像关于y 轴对称，求证1()2f x +为偶函数。

证明1：要证1()2f x +为偶函数，只须证明其对称轴为0x =, 即只须证1022b a --=, 只须证a b =-（*）。

由已知，抛物线(1)f x +的对称轴12b x a -=-与抛物线的对称轴2b x a-=关于y 轴对称， 122b b a a--∴-=- 于是得a b =-（*）1()2f x ∴+为偶函数。

证明2：记F ()x 1()2f x =+,欲证F ()x 为偶函数，只须证F ()x -=F ()x ,即只须证11()()22f x f x -+=+（*）由已知，函数(1)f x +与()f x 的图象关于y 轴对称，而函数()f x 与()f x -的图象也是关于y 轴对称的，()(1)f x f x ∴-=+于是有 11()[()]22f x f x -+=-- 1[()1]2f x =-+ 1()2f x =+（*） 1()2f x ∴+为偶函数。

评注：本题的证明过程把综合法和分析法较好的结合起来，前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法，本题也可以先用综合法后用分析法。

例2 设n N ∈,求证222111312321n n n ++++≥+ 证明：把结论分解为两个部分考察设222111123n x n =++++, 321n n y n =+, 则由 1210(1)n n x x n +-=>+ 12304(1)1n n y y n +-=>+- 可知，数列{}n x 与{}n y 都是单调递增数列。

2018-2019学年高中数学第1章 2综合法和分析法课时作业北师大版选修2-2

【成才之路】2015-2016学年高中数学第1章 2综合法和分析法课时作业北师大版选修2-2一、选择题1．若a ，b ∈R ，则>成立的一个充分不必要条件是( )1a 31b 3A ．ab >0 B ．b >a C ．a ，但>⇒/a 成立的一个充分不必要条件．1a 31b 32．若x 、y ∈R ，且2x 2＋y 2＝6x ，则x 2＋y 2＋2x 的最大值为( )A ．14 B ．15C ．16 D ．17[答案]　B[解析]　由y 2＝6x －2x 2≥0得0≤x ≤3，从而x 2＋y 2＋2x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝3时，x 2＋y 2＋2x 有最大值，最大值为15.3．设a 与b 为正数，并且满足a ＋b ＝1，a 2＋b 2≥k ，则k 的最大值为( )A ． B ．1814C ． D ．112[答案]　C[解析]　∵a 2＋b 2≥(a ＋b )2＝(当且仅当a ＝b 时取等号)，∴k max ＝.1212124．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－≤0a 4＋b 42C ．－1－a 2b 2≤0 a ＋b 22D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0[答案]　D5．要使－<成立，a ，b 应满足的条件是( )3a 3b 3a －b A ．ab <0且a >b B ．ab >0且a >b C ．ab <0且a <bD ．ab >0且a >b 或ab <0且a 0时，有<，即b <a ；3b 3a 当ab <0时，有>，即b >A ．3b 3a 二、填空题6．在△ABC 中，∠C ＝60°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则＋＝______.a b ＋c ba ＋c [答案]　1[解析]　＋＝，因为∠C ＝60°，由余弦定理得cos C ＝＝a b ＋c ba ＋c a 2＋ac ＋b 2＋bc b ＋c a ＋c 12，即a 2＋b 2＝ab ＋c 2，所以＋＝＝1.a 2＋b 2－c 22ab a b ＋c b a ＋c ab ＋c 2＋ac ＋bcab ＋bc ＋ac ＋c 27．若平面内有＋＋＝0，且||＝||＝||，则△P 1P 2P 3一定是OP 1→ OP 2→ OP 3→OP 1→OP 2→ OP 3→____________(形状)三角形．[答案]　等边[解析]　∵＋＋＝0OP 1→ OP 2→ OP 3→ ∴O 为△P 1P 2P 3的重心又∵||＝||＝||OP 1→ OP 2→ OP 3→ ∴O 为△P 1P 2P 3的外心故△P 1P 2P 3的重心、外心重合∴△P 1P 2P 3为等边三角形．8．将下面用分析法证明≥ab 的步骤补充完整：要证≥ab ，只需证a 2＋b 22a 2＋b 22a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．[答案]　a 2＋b 2－2ab ≥0　(a －b )2≥0　(a －b )2≥0三、解答题9．已知n ∈N *，且n ≥2，求证：>－.1n n n －1[证明]　要证>－，1n n n －1即证1>n －，n n －1 只需证>n －1，n n －1 ∵n ≥2，∴只需证n (n －1)>(n －1)2，只需证n >n －1，只需证0>－1，最后一个不等式显然成立，故原结论成立．10．已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1.求证：a 2＋b 2＋c 2≥.13[证明]　由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca (当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)．三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋cA ．∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2.由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1，即a 2＋b 2＋c 2≥.13一、选择题1．已知a 、b 、c 满足c ac B ．c (b －a )<0C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )>0[答案]　A[解析]　由c 0，c <0.由不等式的性质不难选出答案为A ．2．(2014·四平二模)设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；　②a ＋b ＝2；　③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；　⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( )A ．②③ B ．①②③C ．③ D ．③④⑤[答案]　C[解析]　若a ＝，b ＝，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；1223若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，即“a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.3．已知x ，y 为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg y C ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y[答案]　D[解析]　2lg(xy )＝2(lg x ＋lg y )＝2lg x ·2lg y .4．已知函数f (x )＝x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ，B ＝f ()，C ＝f ，则(12)(a ＋b 2)ab (2aba ＋b )A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[答案]　A[解析]　≥≥，又函数f (x )＝()x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数，a ＋b2ab 2ab a ＋b 12∴f ()≤f ()≤f ()．a ＋b2ab 2aba ＋b 二、填空题5．若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝________.[答案]　－12[解析]　观察已知条件中有三个角α、β、γ，而所求结论中只有两个角α、β，所以我们只需将已知条件中的角γ消去即可，依据sin 2γ＋cos 2γ＝1消去γ.由已知，得sin γ＝－(sin α＋sin β)，cos γ＝－(cos α＋cos β)，∴(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝sin 2γ＋cos 2γ＝1，化简并整理得cos(α－β)＝－.126．设a ≥0，b ≥0，a 2＋＝1，则a ·的最大值为____________．b 221＋b 2[答案]　324[解析]　a ·＝a ·≤(a 2＋＋)＝(当且仅当a 2＝＋且a 2＋1＋b 2212＋b 222212b 2232412b 22＝1即a ＝，b ＝时取“＝”)b 223222三、解答题7．分别用分析法、综合法证明：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.[证明]　证法一：(分析法)要证(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，只需证a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2，即证b 2c 2＋a 2d 2≥2abcd ，只需证(bc －ad )2≥0.因为(bc －ad )2≥0显然成立，所以(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2成立．证法二：(综合法)因为b 2c 2＋a 2d 2≥2abcd (当且仅当bc ＝ad 时取等号)，所以a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2，即(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.8．已知x >0，y >0，x ＋y ＝1，求证：(1＋)(1＋)≥9.1x 1y [分析]　观察要证明的不等式，可以由条件入手，将x ＋y ＝1代入要证明的不等式，用综合法可证；也可从基本不等式入手，用综合法证明不等式．[证明]　证法一：∵x ＋y ＝1，∴(1＋)(1＋)＝(1＋)(1＋)＝(2＋)(2＋)1x 1y x ＋y x x ＋y y y x xy ＝5＋2(＋)．y x xy 又∵x >0，y >0，∴>0，>0.y x xy ∴＋≥2，y x xy 当且仅当＝，即x ＝y ＝时取等号．y x x y 12则有(1＋)(1＋)≥5＋2×2＝9成立．1x 1y 证法二：∵x >0，y >0,1＝x ＋y ≥2，当且仅当x ＝y ＝时等号成立，∴xy ≤.∴≥4.xy 12141xy 则有(1＋)(1＋)1x 1y＝1＋＋＋1x 1y 1xy＝1＋＋＝1＋≥1＋8＝9成立．x ＋y xy 1xy 2xy [点评]　用综合法证明不等式时，可以从条件出发，也可以从基本不等式出发，通过换元、拼凑等方法构造定值，但若连续两次或两次以上利用基本不等式，需要注意几次利用基本不等式时等号成立的条件是否相同．。

高中数学选修2-2 北师大版综合法与分析法第二课时课时检测(含答案)

04课后课时精练1. 要证明3＋7<25可选择的方法有以下几种，其中最合理的为( )A. 综合法B. 分析法C. 反证法D. 归纳法解析：要证明3＋7<25最合理的方法是分析法．答案：B2. 已知a 、b 是不相等的正数，x ＝a ＋b2，y ＝a ＋b ，则x 、y 的大小关系是( )A. x >yB. y >xC. x >2yD. 不确定解析：∵x 2＝12(a ＋b )2＝12(a ＋b ＋2ab )，a ≠b ，a ，b >0，∴y 2＝a ＋b ＝12(a ＋b ＋a ＋b )>12(a ＋b ＋2ab )＝x 2，∴y >x .故选B.答案：B3. 对任意锐角α、β，下列不等关系中正确的是( ) A. sin(α＋β)>sin α＋sin β B. sin(α＋β)>cos α＋cos β C. sin(α＋β)<sin α＋sin βD. cos(α＋β)<cos α＋cos β解析：取α＝30°，β＝30°，可知A 、B 不成立，取α＝β趋近于0°，则α＋β→0°，此时cos(α＋β)→1，而sin α→0，sin β→0，显然C 不成立．答案：D4. [2014·泉州高二检测]设a >0，b >0，且a ≠b ，则a a b b 与a b b a 的大小关系是( )A. a a b b >a b b aB. a a b b ≥a b b aC. a a b b <a b b aD. a a b b ≤a b b a解析：a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝(a b )a －b .①当a >b >0时，a b >1，a －b >0，(a b )a－b>1，所以a a b b>a b b a.②当b >a >0时，0<a b <1，a －b <0，则(a b )a －b>1. 综合①②可知，总有a a b b >a b b a .答案：A5. 已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c 的值( ) A. 一定是正数 B. 一定是负数 C. 可能是0D. 正、负不能确定解析：∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝0，又abc >0，∴a ，b ，c 均不为0.∴a 2＋b 2＋c 2>0，ab ＋bc ＋ca <0. ∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc <0. 答案：B6. 设f (x )＝x 3＋bx ＋c 在[－1,1]上是增函数，且f (－12)·f (12)<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A. 可能有3个实根B. 可能有2个实根C. 有唯一实根D. 没有实根解析：由于f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f (－12)·f (12)<0，所以f (x )在[－12，12]上有唯一零点，。

数学北师大版选修2-2同步练习第一章§2综合法和分析法含解析精品

高手支招6体验成功基础巩固1.设a ＋b ＝1,且a ＞0,b ＞0.求证:（a+a 1）2+(b+b1)2≥225.证明：(a+a 1)2+(b+b 1)2≥225⇐(a 2+b 2)+(21a +21b )+4≥225⇐(a 2+b 2)+(21a+21b )≥217.∵ab≤(2b a +)2=41,∴ab 1≥4,∴21a+21b ≥ab 2≥8.又∵a 2+b 2≥212)(2=+b a ,∴(a 2+b 2)+(2211b a +)≥217, ∴(a+a 1)2+(b+b1)2≥225.思路分析：由于式子化简后可产生常见不等式中的形式,所以用综合法加以证明.2.已知a,b ＞0，求证:a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc. 证明：∵b 2+c 2≥2bc,a ＞0,∴a(b 2+c 2)≥2abc.又∵c 2+a 2≥2ac,b ＞0, ∴b(c 2+a 2)≥2abc.∴a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc.思路分析：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立. 3.若ybx a +=1(a,b,x,y ＞0,且a≠b),求证:x+y≥(a +b )2. 答案：证明：∵a,b,x,y ＞0,且x a +yb =1, ∴x+y=(x+y)(x a +y b )=a+b+x ay +ybx ≥a+b+2ab =(b a +)2.∴原不等式成立.思路分析：利用已知条件把a,b 与x,y 的关系相互转化,也就是通过1的代入把x+y 转换为a,b. 4.求证:3+7＜2+6.证明:要证原不等式成立,只需证(73+)2＜(2+6)2, 即证10+221＜10+224, 也即证24＜24, ∵21＜24,∴21＜24.从而原不等式73+＜2+6成立.思路分析：无理数大小的比较通常利用乘方转化为有理数再比较.5.已知a ＞b ＞c,且a+b+c=0,求证:aacb -2＜3.证明:∵a ＞b ＞c,且a+b+c=0,∴a ＞0,c ＜0,要证原不等式成立,只要证ac b -2＜3a,即证b 2-ac ＜3a 2,也即证(a+c)2-ac ＜3a 2,即(a-c)(2a+c)＞0,∵a-c ＞0,2a+c=(a+c)+a=a-b ＞0. ∴(a-c)(2a+c)＞0成立,故原不等式成立.思路分析：由已知很难找到直接证出结论的方法,所以可以采用分析法,依次找结论成立的充分条件探索解题的思路.6.在锐角三角形中,求证:sinA+sinB+sinC ＞cosA+cosB+cosC. 证明:∵锐角三角形中,A+B ＞2π,∴A ＞2π-B.∴0＜2π-B ＜A ＜2π, 又∵在(0,2π)内正弦函数是单调递增函数, ∴sinA ＞sin(2π-B)=cosB,即sinA ＞cosB.①同理sinB ＞cosC,② sinC ＞cosA.③由①+②+③得,sinA+sinB+sinC ＞cosA+cosB+cosC.思路分析：此题采用综合法通过构造角的不等式转化为利用三角函数的单调性来证明,此法比常用的和差化积形式简单.7.已知:a 、b 、c 是不全相等的正数,且0＜x ＜1.求证:log x2b a ++log x 2c b ++log x 2c a +＜log x a+log x b+log x C.证明:要证明log x 2b a ++log x 2c b ++log x 2ca +＜log x a+log x b+log x c,只需要证明log x ［2)(b a +·2)(c b +·2)(c a +］＜log x (abc).由已知0＜x ＜1,只需证明2b a +·2c b +·2ca +＞abc. 由公式知2b a +≥ab ＞0,2c b +≥bc ＞0,2ca +≥ac ＞0.∵a 、b 、c 不全相等,上面三式相乘,2b a +·2c b +·2c a +＞222c b a =bc, 即2b a +·2c b +·2c a +＞abc 成立.∴log x 2b a ++og x 2c b ++log x 2ca +＜log x a+log x b+log x c 成立.思路分析：由于式子较为复杂,不易找到证明思路,所以考虑用分析法证明.8.如图:E 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 的中点,平面a 过EH 分别交BC 、CD 于F 、G.求证:EH ∥FG. 证明:连结BD.∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点. ∴EH ∥BD.又BD ⊂面BCD,EH ⊄面BCD, ∴EH ∥面BCD.又EH ⊂a 、a∩面BCD ＝FG , ∴EH ∥FG.思路分析：直接应用立体几何中的直线与平面平行的性质定理即可证明,要注意灵活应用直线与平面平行的判定与性质定理. 综合应用9.如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA 1=4,点D 是AB 的中点.(1)求证AC ⊥BC 1;(2)求证AC 1//平面CDB 1;(3)求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值.答案：(1)证明：∵直三棱柱ABC —A 1B 1C 1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5, ∴AC ⊥BC,且BC 1在平面ABC 内的射影为BC, ∴AC ⊥BC 1.(2)证明：设CB 1与C 1B 的交点为E,连结DE, ∵D 是AB 的中点,E 是BC 1的中点, ∴DE//AC 1,∵DE ⊂平面CDB 1,AC 1⊄平面CDB 1, ∴AC 1//平面CDB 1.(3)解：∵DE//AC 1,∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角, 在△CED 中ED=21AC 1=25，CD=21AB=25，CE=21CB 1=22，∴cos ∠CED=522252228=∙∙. ∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为522. 思路分析：本题是考查平行垂直的论证及异面直线所成角的求法.要充分分析题目中的平行垂直条件,可以用立体几何方法来证,也可以6用向量法来证. 10.已知动圆过定点（2p ,0）,且与直线x=2p-相切,其中p ＞0.(1)求动圆圆心C 的轨迹的方程;(2)设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点,直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,当α,β变化且α+β为定值θ(0＜θ＜π)时,证明直线AB 恒过定点,并求出该定点的坐标.答案：(1)解：如图,设M 为动圆圆心,（2p ,0）记为F,过点M 作直线x=2p-的垂线,垂足为N,由题意知:|MF|=|MN|即动点M 到定点F 与定直线x=2p-的距离相等,由抛物线的定义知,点M 的轨迹为抛物线,其中F （2p ,0）为焦点,x=2p-为准线,所以轨迹方程为y 2=2px(p ＞0);(2)证明：如图,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由题意得x 1≠x 2(否则α+β=π),且x 1,x 2≠0,所以直线AB 的斜率存在,设其方程为y=kx+b,显然x 1=py 221,x 2=p y222,将y=kx+b 与y 2=2px(p ＞0)联立消去x,得ky 2-2py+2pb=0.由韦达定理知,y 1+y 2=kp 2,y 1·y 2=k pb 2.①(i)当θ=2π时,即α+β=2π时,tanα·tanβ=1,所以11x y ·22x y =1,x 1x 2-y 1y 2=0,222214p y y -y 1y 2=0.所以y 1y 2=4p 2.由①知:kpb2=4p 2,所以b=2pk.因此直线AB 的方程可表示为y=kx+2pk,即k(x+2p)-y=0,所以直线AB 恒过定点(-2p,0). (ii)当θ≠2π时,由α+β=θ,得tanθ=tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+=221214)(2py y y y p -+. 将①式代入上式整理化简可得:tanθ=pkb p22-,所以b=θtan 2p +2pk,此时,直线AB 的方程可表示为y=kx+pkp212-,即k(x+2p)-(θtan 2p -)=0.所以直线AB 恒过定点(-2p,θtan 2p). 所以由(i)(ii)知,当θ=2π时,直线AB 恒过定点(-2p,0),当θ≠2π时直线AB 恒过定点(-2p,θtan 2p ).思路分析：此题是圆锥曲线的综合题,(1)动点的轨迹方程求解时,常常结合其满足的几何特征及常见圆锥曲线的定义来分析比较容易,即常用数形结合的方法.(2)直线过定点问题必须引入参数表示出直线的方程由直线系方程来解.11.设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,a 2=6,a 3=11,且(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =An+B,n=1,2,3, …,其中A 、B 为常数. (1)求A 与B 的值;(2)证明:数列{a n }为等差数列;(3)证明:不等式mn a 5-n m a a ＞1对任何正整数m,n 都成立. 答案：（1）解：由已知,得S 1=a 1=1,S 2=a 1+a 2=7,S 3=a 1+a 2+a 3=18. 由(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =An+B,知⎩⎨⎧+=-+=--,2122,732312B A S S B A S S 即⎩⎨⎧-=+-=+,482,28B A B A 解得A=-20,B=-8.（2）证明:由（1）得(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =-20n-8,① 所以(5n-3)S n+2-(5n+7)S n+1=-20n-28,②②-①得(5n-3)S n+2-(10n-1)S n+1+(5n+2)S n =-20,③ 所以(5n+2)S n+3-(10n+9)S n+2+(5n+7)S n+1=-20.④s ④-③得(5n+2)S n+3-(15n+6)S n+2+(15n+6)S n+1-(5n+2)S n =0. 因为a n+1=S n+1-S n ,所以(5n+2)a n+3-(10n+4)a n+2+(5n+7)a n+1=0, 因为(5n+2)≠0,所以a n+3-2a n+2+a n+1=0.所以a n+3-a n+2=a n+2-a n+1,n≥1. 又a 3-a 2=a 2-a 1=5,所以数列{a n }为等差数列.（3）证明：由（2）可知,a n =1+5(n-1)=5n-4, 要证n m mn a a a -5＞1, 只要证5a mn ＞1+a m a n +2n m a a ,因为a mn =5mn-4,a m a n =(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16, 故只要证5(5mn-4)＞1+25mn-20(m+n)+16+2n m a a ,即只要证20m+20n-37＞2n m a a ,因为2n m a a ≤a m +a n =5m+5n-8＜5m+5n-8+(15m+15n-29)=20m+20n-37,所以原命题得证.思路分析：本题主要考查等差数列的定义、通项公式等及利用分析法来证明问题.。

高中数学 1.2.11.2.2 综合法分析法课时作业北师大版选修22

§2综合法与分析法2．1 综合法2．2 分析法课时目标1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．1．综合法从命题的________出发，利用________________________________，通过______________，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这称思维方法称为综合法．2．分析法从______________出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的____________，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法．3．综合法是“由因导果”，分析法是“执果索因”．一、选择题1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( )A．充分条件B．必要条件C．充要条件 D．等价条件2．已知a，b，c为三角形的三边且S＝a2＋b2＋c2，P＝ab＋bc＋ca，则( )A．S≥2P B．P<S<2PC．S>P D．P≤S<2P3．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，则方程f(x)＝0的根的情况为( ) A．至多有一个实根B．至少有一个实根C．有且只有一个实根D ．无实根4．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c5．若f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n，n ∈N ＋，则f (n )、g (n )、φ(n )的大小关系为( )A ．f (n )<g (n )<φ(n )B ．f (n )<φ(n )<g (n )C ．g (n )<φ(n )<f (n )D ．g (n )<f (n )<φ(n )6．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足什么条件( )A ．a 2b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2二、填空题7．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则正数a ，b 应满足的条件是________．8．设a 、b 、u 都是正实数且a 、b 满足1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥u 恒成立的u 的取值范围是____________．9．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a 、b 的大小关系为________．三、解答题10．设a ，b >0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.11.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，对应的三边为a ，b ，c ，求证：1a ＋b＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.能力提升12.如图所示，在直四棱柱A 1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)13．已知函数f(x)＝1＋x2，若a≠b，求证：|f(a)－f(b)|<|a－b|.分析法的思路是执果索因，综合法的思路是由因导果．在解决有关问题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程，有时要分析和综合结合起来交替使用，从两边向中间靠拢．答案知识梳理1．条件定义、公理、定理及运算法则演绎推理 2．求证的结论充分条件作业设计 1．A2．D [∵S －P ＝a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0，∴S ≥P .2P ＝2ab ＋2bc ＋2ca＝(ab ＋bc )＋(ab ＋ca )＋(bc ＋ca )＝b (a ＋c )＋a (b ＋c )＋c (b ＋a )>b 2＋a 2＋c 2，即2P >S .]3．A [由于函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，因此图像与x 轴的交点最多就是一个．] 4．C [利用函数单调性．设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln xx2， ∴0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； x >e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．又a ＝ln 44，∴b >a >c .]5．B [f (n )、g (n )可用分子有理化进行变形，然后与φ(n )进行比较．f (n )＝1n 2＋1＋n <12n ，g (n )＝1n ＋n 2－1>12n，∴f (n )<φ(n )<g (n )．]6．C [由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，得b 2＋c 2<a 2.]7．a ≠b解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )．∴只要a ≠b ，就有a a ＋b b >a b ＋b a . 8．(0,16]解析 u ≤(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b 恒成立，而(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b＝10＋b a ＋9a b≥10＋6＝16，当且仅当b a ＝9a b 且1a ＋9b＝1时，上式取“＝”．此时a ＝4，b ＝12.∴0a 2b ＋ab 2成立．只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立，又因a ＋b >0，只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立，只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立，即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立．由此命题得证．方法二综合法a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0 ⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab .注意到a ，b ∈R ＋，a ＋b >0，由上式即得(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )． ∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.11．证明要证原式，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c ＝3，即证ca ＋b ＋ab ＋c＝1，即只需证bc ＋c 2＋a 2＋abab ＋b 2＋ac ＋bc＝1，而由题意知A ＋C ＝2B ，∴B ＝π3，∴b 2＝a 2＋c 2－ac ， ∴bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2＋bc＝1， ∴原等式成立，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.12．AC ⊥BD解析从结论出发，找一个使A 1C ⊥B 1D 1成立的充分条件．因而可以是：AC ⊥BD 或四边形ABCD 为正方形．13．证明原不等式即|1＋a2－1＋b2|<|a－b|，要证此不等式成立，即证1＋a2＋1＋b2－21＋a2·1＋b2<a2＋b2－2ab. 即1＋ab<1＋a2·1＋b2.当1＋ab<0时不等式恒成立，当1＋ab≥0时，即要证1＋a2b2＋2ab<(1＋a2)(1＋b2)，即2ab<a2＋b2，由a≠b知此式成立，而上述各步都可逆，因此命题得证．。

高中数学选修2-2课后习题答案

高中数学选修2-2课后习题答案一、选择题（12×5′＝60′）1.一物体的运动方程为21t t s +-=，其中s 单位是米，t 单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）。

A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2.复数),(R b a bi a ∈+为纯虚数的充分必要条件是 ( )。

A 0=ab B0=ba C0=ab D 022=+b a3.某同学类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，推出正四面体的下列性质： ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。

你认为正确的是（）。

A ．①B ．①②C ．①②③D ．③4.按照导数的几何意义，可以求得函数24x y -=在1=x 处的导数是 ( )。

A. 3-B. 33-C. 33±D. 35.32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（）。

A319 B316 C313 D3106.与直线250x y -+=平行的抛物线2y x =的切线方程为（）。

A.210x y --=B.230x y --=C.210x y -+=D.230x y -+= 7.函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（）。

A 72B 36C 12D 08.由直线20x y +-=,曲线3y x =以及x 轴围成的图形的面积为（）。

A.43B.54C.56D.349.函数3y x x =+的递增区间是（）。

A ),0(+∞B )1,(-∞C ),(+∞-∞D ),1(+∞10.在数列{}n a 中,若11a =,1110n n n a a a ++⋅++=,则2009a =（）。

A.2-B.1-C.0.5-D.111.设函数2()(0)f x ax c a =+≠，若100()()f x dx f x =⎰，001x ≤≤，则0x 的值为（）。

高中数学北师大版选修2-2课时作业：1.2 综合法与分析法 Word版含解析

选修2-2 第一章 §2 课时作业3一、选择题1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ”，其过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证法解析：从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．答案：B2．欲证2－3<6－7成立，只需证( )A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2解析：A 中，2－3<0，6－7<0平方后不等价；B 、D 与A 情况一样；只有C 项，2－3<6－7⇔2＋7<6＋3⇔(2＋7)2<(6＋3)2.故选C.答案：C3．在△ABC 中，A >B 是cos2B >cos2A 的( )A ．既不充分也不必要条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．必要不充分条件解析：∵A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B (由正弦定理得)，又cos2B >cos2A ⇔1－2sin 2B >1－2sin 2A ⇔sin 2B <sin 2A ⇔sin B <sin A .∴A >B ⇔cos2B >cos2A .故选C.答案：C4．已知a 、b 、c 、d 为正实数，且a b <c d，则( ) A ．a b <a ＋c b ＋d <c dB ．a ＋c b ＋d <a b <c dC ．a b <c d <a ＋c b ＋dD ．以上均可能解析：先取特值检验，∵a b <c d，可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2，则a ＋c b ＋d ＝25，满足a b <a ＋c b ＋d <c d . ∴B 、C 不正确．要证a b <a ＋c b ＋d，∵a 、b 、c 、d 为正实数， ∴只需证a (b ＋d )<b (a ＋c )，即证ad <bc .只需证a b <c d .而a b <c d成立， ∴a b <a ＋c b ＋d .同理可证a ＋c b ＋d <c d. 故A 正确，D 不正确．答案：A二、填空题5．设n ∈N ，a ＝n ＋4－n ＋3，b ＝n ＋2－n ＋1，则a ，b 的大小关系是________．解析：要比较n ＋4－n ＋3与n ＋2－n ＋1的大小，即判断(n ＋4－n ＋3)－(n ＋2－n ＋1)＝(n ＋4＋n ＋1)－(n ＋3＋n ＋2)的符号，∵(n ＋4＋n ＋1)2－(n ＋3＋n ＋2)2＝2[(n ＋4)(n ＋1)－(n ＋3)(n ＋2)]＝2(n 2＋5n ＋4－n 2＋5n ＋6)<0， ∴n ＋4－n ＋3<n ＋2－n ＋1.答案：a <b6．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a >2)，则p 与q 的大小关系是________．解析：p ＝a －2＋1a －2＋2≥2 (a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2，∴q <22＝4≤p .答案：p >q7．若不等式(－1)na <2＋(－1)n ＋1n 对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当n 为偶数时，a <2－1n ，而2－1n ≥2－12＝32，∴a <32. 当n 为奇数时，a >－2－1n ，而－2－1n<－2， ∴a ≥－2.综上可得－2≤a <32.答案：[－2，32) 三、解答题8．设a ，b >0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 证明：综合法a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab .注意到a ，b ∈R ＋，a ＋b >0，由上式即得 (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )．∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.9．证明：若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则b 2－ac a< 3. 证明：∵a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，∴a >0，c <0. 要证b 2－ac a <3，只需证b 2－ac <3a ，即证b 2－ac <3a 2.因为b ＝－a －c ，故只需证(a ＋c )2－ac <3a 2，即证2a 2－ac －c 2>0，即证(2a ＋c )(a －c )>0.∵2a ＋c >a ＋b ＋c ＝0，a －c >0，∴(2a ＋c )(a －c )>0成立．∴原不等式成立．。

高中数学选修2-2课时作业19：2.2.1 综合法和分析法

2.2.1 综合法和分析法1．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则该三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形2．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)3．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8B ．4C ．1 D.144．A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知f (x )＝a x ＋1,0＜a ＜1，若x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，则( )A.f (x 1)＋f (x 2)2≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22B.f (x 1)＋f (x 2)2＝f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22C.f (x 1)＋f (x 2)2≥f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22D.f (x 1)＋f (x 2)2＞f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22二、填空题6．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 取导得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝－ln x ＞0，故函数f (x )在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．7．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________．8．已知sin θ＋cos θ＝15且π2≤θ≤3π4，则cos 2θ＝________. 三、解答题9．求证：2cos(α－β)－sin (2α－β)sin α＝sin βsin α.10．设f (x )＝ln x ＋x －1，证明：(1)当x ＞1时，f (x )＜32(x －1)； (2)当1＜x ＜3时，f (x )＜9(x －1)x ＋5.——★ 参考答案 ★——1．[解析]由sin A cos A ＝sin B cos B 得sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2. 所以该三角形是等腰或直角三角形．[答案]D2．[解析]本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A 项中，f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2＜0，∴f (x )＝1x在(0，＋∞)上为减函数． [答案]A3．[解析]3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，因为a ＞0，b ＞0，所以ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4. [答案]B4．[解析]若A >B ，则a >b .又∵a sin A ＝b sin B，∴sin A >sin B . 若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ，∴A >B .[答案]C5．[解析]因为x 1≠x 2，所以f (x 1)＋f (x 2)2＝ax 1＋1＋ax 2＋12＞ ax 1＋1·ax 2＋1＝a x 1＋x 22＋1＝f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，所以f (x 1)＋f (x 2)2＞f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.[答案]D6．[解析]该证明过程符合综合法的特点．[答案]综合法7．[解析]a a ＋b b ＞a b ＋b a⇔a a －a b ＞b a －b b⇔a (a －b )＞b (a －b )⇔(a －b )(a －b )＞0⇔(a ＋b )(a －b )2＞0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．[答案]a ≥0，b ≥0且a ≠b8．[解析]因为sin θ＋cos θ＝15，所以1＋sin 2θ＝125，所以sin 2θ＝－2425. 因为π2≤θ≤3π4，所以π≤2θ≤3π2，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－725. [答案]－7259．证明：要证原等式成立，只需证：2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α＝sin β＝右边．所以等式成立．10．证明：(1)记g (x )＝ln x ＋x －1－32(x －1)，则当x ＞1时，g ′(x )＝1x ＋12x －32＜0. 又因为g (1)＝0，故g (x )＜0，即f (x )＜32(x －1)． (2)记h (x )＝f (x )－9(x －1)x ＋5，则h ′(x )＝1x ＋12x －54(x ＋5)2＝2＋x 2x －54(x ＋5)2＜x ＋54x －54(x ＋5)2 ＝(x ＋5)3－216x 4x (x ＋5)2. 令p (x )＝(x ＋5)3－216x ，则当1＜x ＜3时，p ′(x )＝3(x ＋5)2－216＜0，因此p (x )在(1,3)内单调递减．又因为p (1)＝0，则p (x )＜0，故h ′(x )＜0，因此h (x )在(1,3)内单调递减．又因为h (1)＝0，则h (x )＜0，故当1＜x ＜3时，f (x )＜9(x －1)x ＋5.。

高中数学选修2-2 北师大版第1章 §2 2.1 综合法作业(含答案)

学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知a ，b 为非零实数，则使不等式a b ＋b a ≤－2成立的一个充分不必要条件是( )A.a ·b >0B.a ·b <0C.a >0，b <0D.a >0，b >0【解析】 ∵a b ＋b a ≤－2，∴a 2＋b 2ab ≤－2.∵a 2＋b 2>0，∴ab <0，则a ，b 异号，故选C.【答案】 C2.平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 为( )A.菱形B.梯形C.矩形D.平行四边形【解析】 ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →，∴OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形.【答案】 D3.若实数a ，b 满足0<a 2ab ，∴2ab <12.而a 2＋b 2>（a ＋b ）22＝12. 又∵0<a B 是sin A >sin B 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】若A >B ，则a >b ，又a sin A ＝b sin B ，∴sin A >sin B ；若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ，∴A >B .【答案】 C5.若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )A.若m β，α⊥β，则m ⊥αB.若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥βC.若m ⊥β，m ∥α，则α⊥βD.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ【解析】对于A ，m 与α不一定垂直，所以A 不正确；对于B ，α与β可以为相交平面；对于C ，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D ，β与γ不一定垂直.【答案】 C二、填空题6.设e 1，e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，若A ，B ，C 三点共线，则k ＝________.【解析】若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝λCB →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1＋3e 2)＝λe 1＋3λe 2，∴⎩⎨⎧λ＝2，3λ＝k ，∴⎩⎨⎧λ＝2，k ＝6.【答案】 67.设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________.【解析】 ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c .又∵c b ＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b ，∴a >c >b . 【答案】 a >c >b8.已知三个不等式：①ab >0；②c a >d b ；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能组成________个正确的命题.【解析】对不等式②作等价变形：c a >d b ⇔bc －ad ab >0.于是，若ab >0，bc >ad ，则bc －ad ab >0，故①③⇒②.若ab >0，bc －ad ab >0，则bc >ad ，故①②⇒③.若bc >ad ，bc －adab >0，则ab >0，故②③⇒①.因此可组成3个正确的命题.【答案】 3三、解答题9.如图1-2-3，四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，求证：AF ∥平面PEC .。

北师大版2019年高中数学选修2 2习题第1章 2122 综合法与分析法活页作业2 含解析

二)综合法与分析法活页作业(B cos sin A)BABC中，A，B所对的边分别为a，b，且＝，则＝(1．在△ba A．30°．45°B ．90°C．60°D A sin B cos BA sin sin ＝的内角B sin B＝cos B，则△ABC知解析：由正弦定理＝及条件＝abba.45°B答案：) (＜6只需证－27．欲证2－322 67)－3)－＜(A．(222 (37)(2－－6)．B＜22．3(27)＋6)＜＋(C22＜(D．7)(2－3－－6) ，＞73＜30＋6，＋∵20＋7解析：欲证2＞－36＜6－7，，只需证2＋22. ＜＋7)(3∴只需证6)(2＋C答案：222) ＋yz＋zx，z满足x的取值范围是＋y(＋z，则＝1xyx3．若实数，y1??1－，．BA．[－1,1] ??2111????，－1，－．．CD ????222222222x＋yzxy＋z＋，＝1zx解析：xy＋yz＋≤＋＋22222221. ＝－)≥0z＋y＋)－－(xy＋1＋zxzxxy2(＋yz＋)＝(B答案：b＋a，y＝a＋b，则x，y的关系为(xa4．已知，b是不相等的正数，＝) 2B．x＞．A xy ＜yD．不确定＝．C xy3，y＝5，此时xx，得4b，＝a取解析：1＝＝＜y，2 用分析法证明如下：.y ＜x猜想．b＋a b，，即＜a＋x＜y2b2aba＋＋ba＋2ba，a≠b2ab＜?a＋b(a－b)，且＞0b＜a＋??＜a＋b?22 )，∈(0，＋∞恰是已知条件．(0，＋∞)，而a≠b，且ab∈. y故x＜B答案：恒成立，(x－1))上的函数，且对于任意实数x都有f(x＝f(x＋1)＋f5．已知f(x)是实数集R)的周期为(则函数f(x)B．4 ．6 A10．C．8D x－1)，(x＋1)＋f(f解析：∵(x)＝f 1)．x(x)－f(－∴f(x＋1)＝f．1)＝－f (x)x2)f(x＋－f(x＋1)＝f(x＋1)－f()－f(x＋x∴f(＋3)＝＝f(x)．f∴(x＋6)＝－f(x＋3) 6是它的一个周期．x)为周期函数，∴f(B答案：2222baa＋b＋2＋ab，只需证a6．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥222，由于________b显然成立，因此原不等式成立．≥2ab，也就是证________，即证________22220ab≥0(≥0(a≥－ba－b)答案：a)＋b－2 b满足的一个条件是．若___________aa＋abb＞ab＋b，则实数a．、7两边平0.≥，b0＋aa，不等式两边均大于或等于bb＞ab＋ba，则a≥解析：若022********)a(b0，a(a－b＞ababa)＋b＋ba＋2abab，即a＋bb－abb－－a＞方得：a＋b＋2222满足的条ba＋b≥0，故a，b－ab))(a＋b＞0，又a≥0，≥0，故)((＞0，a－bab－0)＞，( .因而满足上式的任一个关于a，b的条件均可．≠≥件为a0，b≥0且ab b且a≠0答案：a≥0，b≥2 ________．＋＋mx4＜0恒成立，则m的取值范围是xx8．当∈(1,2)时，不等式，解析：∵x∈(1,2)4??2＋x＜－0?mx. ∴＋＋mx4＜??x4 (1,2)，＜上单调递减，得y5在xy由＝＋x4??＋x∴－5. ＞－??x5. －m∴≤5≤－答案：mca2.＋，c的等差中项，求证：＝y分别是a，b和bb9．设a，，c成等比数列，而x，yx2c＋bba ＋b y＝，由题意得c＝，x＝，证明：2a2ca2caac2 ＋＝则＋＝＋＝yxca＋bba＋b＋b＋c222b×2aba2a22＝＋＋＝2，2bb＋baa＋ba＋＋b aca2. ＝即＋yx1122.－10．已知a＞0，求证：－2≥aa＋＋2aa112，≥a＋a要证证明：－2＋－22aa1122.＋2≥＋aa＋只要证＋2aa∵，a＞011????2222＋a＋≥∴只要证. 2＋a＋2??a??a1111??222＋a44≥aa＋＋2＋＋22＋即＋2，a＋＋222??aaaa从而只要证11??2＋a2＋a2≥，2??aa11????22＋＋＋aa24只要证≥2，22????aa12，而上述不等式显然成立，≥即证a2＋2a故原不等式成立．2acbc＝0，－a则用分析法证明“设．分析法又称执果索因法，a＞b＞c，且求证＋b＋11) 3＜a”索的因应是(0 ＞a－c B．．A a－b＞0＜c)(－))(a－ba－c＞0b)a－(D．a(C．22222，只需证－a3＜ac－)c＋a(，只需证a3＜ac－b，只需证a3＜ac－b要证明解析：22220.)＞)(a－ba，即证(a－c)(2＋c)＞0，即证(2aa＋ac＋c2＜0，即证a－－ac－cc＞0C答案：1＋＋lg(1[lg(1＋a lg(112．设a＞0，b＞0，则下面两式的大小关系为)＋ab)________ 2 )]．b2＋a)(1＋b解析：∵(1)＋ab)＝－(1 a＋b)≤0，2ab－(2，(1＋a)(1＋∴(1b＋ab))≤2 )，lg(1＋a)(1lg(1＋＋ab)b≤1 )]．＋＋a)＋lg(1即lg(1b＋ab)≤[lg(1 2 答案：≤3434 ________．，则a，＋yb，b＝x＋yxy，＋∞13．已知x，y∈(0)，a＝x的大小关系是3343343344＝))(x＋xy－)＝(xy＋xyb，所以a－＝(xy＋y－)－(xy解析：因为a＝x＋yy，b＝x222.b0.故xa＋xy＋y≥)x(－y)≥( b答案：a≥22)f(x＝x＋－4x.那么，不等式是定义域为14．已知f(x)R 的偶函数，当x≥0时，f(x) 5的解集是________．＜x)是偶函数，f解析：∵( x|)．f(x)＝f(|∴2 4xx)＝x，－又当x≥0时，f(5 2|)＜5?f(|x＋不等式f(x＋2)＜25 2|＜－4|x＋?|x＋2|0 ＜x＋2|＋1)?(|x＋2|－5)(|5 ＜|x＋2|x?|＋2|－5＜0?3. 7＜x＜＜x＋2＜5?－5?－(－7,3)．∴解集为7,3)答案：(－|＋|b|a|2.，求证：≤，b，且a⊥b．已知非零向量15a|b|a＋0，?a·b＝证明：a⊥b|b||a＋| ，要证≤2|a＋b|≤2|a＋|bb|，|只需证|a＋|2222，)b＋b·a2＋a2(≤|b|＋|b||a2|＋|a|只需证．2222，22abb|＋|b|＋只需证|a|≤＋2|a||222≥0，|b|) |≥0，即(|a只需证|a||＋|b|－－2|a||b上式显然成立，故原不等式得证．16．(2017·江苏卷)对于给定的正整数k，若数列{a}满足：a＋a＋…＋a＋a n1nk1nnnk＋＋－－－＋…＋a＋a＝2ka，对任意正整数n(n＞k)总成立，则称数列{a}是“P(k)数列”．n1k1nnnk＋－＋(1)证明：等差数列{a}是“P(3)数列”；n(2)若数列{a}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{a}是等差数列．nn 证明：(1){a}是等差数列，设其公差为d，n则a＝a＋(n－1)d.从而1n当n≥4时，a＋a＝a＋(n－k－1)d＋a＋(n＋k－1)d＝2a＋2(n－1)d＝2a，k＝nk1kn11n＋－1,2,3，所以a＋a＋a＋a＋a＋a＝6a，n3n2n3n1n2nn1＋－＋－＋－因此等差数列{a}是“P(3)数列”．n(2)数列{a}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此n当n≥3时，a＋a＋a＋a＝4a，①n2n2nn1n1＋＋－－当n≥4时，a＋a＋a＋a＋a＋a＝6a.②n3n12n1nnn32n＋－＋－－＋由①知a＋a＝4a－(a＋a)，③1nn2n1nn3＋－－－a＋a＝4a－(a＋a)．④nn11n2nn3－＋＋＋将③④代入②，得a＋a＝2a，其中n≥4，nnn11＋－所以a，a，a，…是等差数列，设其公差为d′.534在①中，取n＝4，则a＋a＋a＋a＝4a，所以a＝a－d′，3542362在①中，取n＝3，则a＋a＋a＋a＝4a，所以a＝a－2d′，所以数列{a}是等差数n3112453列．。

高中数学选修2_2全套知识点与练习答案解析

选修2-2 知识点及习题答案解析导数及其应用一.导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在x x =处的导数，记作0()f x '或|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即00()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()log xaf x =,则1()ln f x x a '= 8 若()ln f x x =,则1()f x x'=导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2.[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=•三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b(1)如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；(2)如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值（2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数()y f x =在(,)a b 的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.推理与证明考点一合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1) 找出两类事物的相似性或一致性;(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三数学归纳法1. 它是一个递推的数学论证方法.2. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k 时命题成立； C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。

2020-2021学年数学高中北师大版选修2-2课后习题：1.2 综合法与分析法含解析

§2综合法与分析法课后训练案巩固提升A组1.要证明√3+√6<√19，可选择的方法有下面几种，其中最合适的是（）A。

综合法 B.分析法C。

特殊值法D。

其他方法答案：B2。

已知两个正数x,y满足x+4y+5=xy,则当xy取最小值时，x，y的值分别为()A。

5，5 B.10，52C.10，5 D。

10，10解析：由x+4y+5=xy，得2√4xy+5≤xy，即4√xy+5≤xy,解得√xy≥5或√xy≤-1（舍去)。

当等号成立,即x=4y时,√xy取到最小值5,即xy取到最小值25，此时{x=10,y=52.故选B。

答案:B3。

已知a〉b〉c，n∈N+，且1a-b +1b-c≥n a-c恒成立,则n的最大值为（）A.2B.3 C。

4 D。

5解析:∵a〉b〉c，且1a-b +1b-c≥n a-c恒成立，∴a-ca-b +a-cb-c≥n恒成立。

又a-ca-b +a-cb-c=a-b+b-ca-b+a-b+b-cb-c=2+b-ca-b+a-bb-c≥4（当且仅当2b=a+c时,等号成立)。

∴n的最大值为4.答案:C4。

对于不重合的直线m，l和平面α,β,要证明α⊥β,需要具备的条件是(）A.m⊥l,m∥α,l∥βB。

m⊥l，α∩β=m,l⫋αC.m∥l,m⊥α，l⊥βD。

m∥l，l⊥β，m⫋α解析:要证α⊥β,一般要在一个平面内找到另一个平面的垂线，选项D中由m∥l，l⊥β可知m⊥β.又m⫋α,所以α⊥β.答案：D5.已知S n为等差数列｛a n}的前n项和，若S1=1，S4S2=4，则S6S4的值为（）A.94B。

32C。

54D。

4解析:由题意得S2，S4-S2,S6-S4成等差数列，则2（S4-S2)=S2+S6—S4,即S6=3S4—3S2，由S4S2=4,得S4=4S2。

因此S6=9S2.故S6S4=94.答案：A6。

已知a，b,c均为正实数，且1a+9b=1,则使得a+b≥c恒成立的c的取值范围是.解析:因为a+b=(a+b)(1a+9b)=1+9+b a+9a b≥10+2√b a·9a b=16(当且仅当a=4，b=12时，取等号）,所以要使a+b≥c恒成立，则c≤16。

2020-2021学年北师大版数学选修2-2作业课件：1.2 第4课时分析法

三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
12．(12分)已知非零向量a，b，且a⊥b，用分析法证明： |a|a|＋＋b|b||≤ 2.
证明：a⊥b⇔a·b＝0.欲证|a|a|＋＋b|b||≤ 2，只需证|a|＋|b|≤ 2|a＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即证(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．
13．(13分)已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，对应的三边分别为a，b，c，求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c.
证明：要证原式，只需证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，即证a＋c b＋b＋a c＝1，即只需证abbc＋＋bc22＋＋aa2c＋＋abbc＝1，而由题意，知A＋C＝2B，
10)2－(2 6)2＝12＋4 5－24＝4( 5－3)<0，∴ 2＋ 10<2 6，故D错误．
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 9．如果a a＋b b>a b＋b a，则a、b应满足的条件是
a≥0，b≥0且a≠b .
解析：因为a a＋b b>a b＋b a⇔( a－ b)2( a＋ b)>0⇔ a≥0，b≥0且a≠b.
3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( D )
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－a4＋2 b4≤0
C.a＋2b2－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0
解析：因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.故选D.

高中数学选修2-2课时作业16：2.2.1 综合法和分析法

§2.2 直接证明与间接证明2．2.1 综合法和分析法一、选择题1．要证明3＋6＜19，可选择的方法有下面几种，其中最合适的是( )A ．综合法B ．分析法C ．特殊值法D ．其他方法2．已知a ，b ，c 为互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b3．若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＞0，则1a ＋1b ＋1c的值( ) A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是0D ．正、负不能确定4．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是( ) A ．aB ．bC ．cD ．不能确定5．已知A 、B 为△ABC 的内角，则A >B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件6．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β.其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题7．定义在(－∞，＋∞)上的函数y ＝f (x )在(－∞，2)上是增函数，且函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f ⎝⎛⎭⎫512的大小关系是______________．8．已知函数y ＝x ＋2a x在[3，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是__________． 9．函数y ＝a 1－x (a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n的最小值为________． 10．当n ∈N *时，定义函数N (n )表示n 的最大奇因数．如N (1)＝1，N (2)＝1，N (3)＝3，N (4)＝1，N (5)＝5，N (10)＝5，记S (n )＝N (2n －1)＋N (2n －1＋1)＋N (2n －1＋2)＋…＋N (2n －1)(n ∈N *)，则：(1)S (3)＝__________；(2)S (n )＝__________.三、解答题11．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，求证y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数．12．如图所示，M 是抛物线y 2＝x 上的一点，动弦ME ，MF 分别交x 轴于A ，B 两点，且MA ＝MB .若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值．13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. (1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜74.[答案]精析1．B2．C [由a 2＋c 2＞2ac ，a 2＋c 2＝2bc ，得2bc ＞2ac .又∵c ＞0，∴b ＞a ，可排除A ，D.令a＝2，b ＝52，可得c ＝1或c ＝4，可知C 可能成立．] 3．B [∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )＝0，且a 2＋b 2＋c 2＞0(由abc ＞0，知a ，b ，c 均不为零)，∴ab ＋bc ＋ac ＜0，∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc＜0.] 4．C [∵b －c ＝(1＋x )－11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x 21－x<0， ∴b <c .又∵b ＝1＋x >2x ＝a ，∴a 0，sin B >0，∴sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .]6．B [若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确；若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确；若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行或异面，③不正确；若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确．]7．f (4)＞f (－1)＞f ⎝⎛⎭⎫512 [解析] f (x ＋2)为偶函数，∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，故f (x )关于x ＝2对称，且开口向下，画出图象(图略)，显然有f (4)＞f (－1)＞f ⎝⎛⎭⎫512. 8.⎝⎛⎦⎤－∞，92 [解析] 若函数y ＝x ＋2a x 在[3，＋∞)，上是增函数，则y ′＝1－2a x 2在[3，＋∞)大于等于0恒成立，只需x ∈[3，＋∞)时2a x 2≤1恒成立，即2a ≤x 2，只需2a ≤(x 2)min ＝9，∴a ≤92.9．4[解析] ∵函数y ＝a 1－x (a ＞0且a ≠1)恒过点A (1,1)，点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，∴m ＋n －1＝0即m ＋n ＝1.又m ·n ＞0，∴m ＞0，n ＞0.1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋m n≥2＋2n m ·m n ＝2＋2＝4(当且仅当m ＝n ＝12时取等号)．10．(1)16 (2)4n －1[解析] (1)依题意知，S (3)＝N (4)＋N (5)＋N (6)＋N (7)＝1＋5＋3＋7＝16.(2)依题意得，N (2n )＝1.当n 为奇数时，N (n )＝n .在从2n －1到2n －1这2n －1个数中，奇数有2n －2个，偶数有2n －2个．在这2n －2个偶数中，不同的偶数的最大奇因数一定不同．注意到N (2n －1)＝1，N (2n －1)＝2n －1，且从N (2n －1)到N (2n －1)共有2n －1项，它们分别为互不相等的正奇数，其中最小的项是1，最大的项是2n －1，而从1到2n －1共有2n －1个连续的奇数，因此N (2n －1)＋N (2n －1＋1)＋N (2n －1＋2)＋…＋N (2n －1)＝1＋3＋5＋…＋2n －1 ＝2n －1(1＋2n －1)2＝4n －1，即S (n )＝4n －1. 11．证明设点P (x ，y )是函数y ＝f (x )上任一点，∵f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称．则点P ′(－x ，y )在函数y ＝f (x ＋1)的图象上．∴y ＝f (－x ＋1)，又y ＝f (x )，∴f (x )＝f (－x ＋1)．∴f ⎝⎛⎭⎫－x ＋12＝f ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫－x ＋12＋1＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数． 12．证明设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k ＞0)，则直线MF 的斜率为－k ，∴直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k (x －y 20)，y 2＝x 消去x ，得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0. 解得y E ＝1－ky 0k ，∴x E ＝(1－ky 0)2k 2.同理可得y F ＝1＋ky 0－k，∴x F ＝(1＋ky 0)2k 2. ∴k EF ＝y E －y F x E －x F ＝1－ky 0k －1＋ky 0－k (1－ky 0)2k 2－(1＋ky 0)2k 2＝2k －4ky 0k 2＝－12y 0(定值)．∴直线EF 的斜率为定值． 13．(1)解当n ＝1时，2S 11＝2a 1＝a 2－13－1－23＝2，解得a 2＝4.(2)解 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，① 当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，② ①－②得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2－n ，整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，a n ＋1n ＋1－a n n＝1，当n ＝1时，a 22－a 11＝2－1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为首项， 1为公差的等差数列．所以a n n＝n ，即a n ＝n 2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *.(3)证明因为1a n ＝1n 2＜1(n －1)n ＝1n －1－1n(n ≥2)，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.。

高中数学选修2-2课时作业27：2.2.1 综合法和分析法

2.2.1 综合法和分析法一、选择题1．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定2．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定3．若a 、b 、c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a 2＋b 2＋c 2≥2B ．(a ＋b ＋c )2≥3 C.1a ＋1b ＋1c≥23 D ．abc (a ＋b ＋c )≤134．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是( )A ．aB ．bC ．cD ．不能确定5．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xyB ．2xy <x <x ＋y2<yC ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y6．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A二、填空题7．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a 、b 、c 的大小关系为________________． 8．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a 、b 应满足的条件是________________．三、解答题9．已知n∈N*，且n≥2，求证：1n>n－n－1.10．已知a、b、c表示△ABC的三边长，m＞0，求证：aa＋m＋bb＋m＞cc＋m.——★参考答案★——1.[答案]B[解析]由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以，sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A ＝sin 2A ，而sin A >0，∴sin A ＝1，A ＝π2，所以△ABC 是直角三角形．2.[答案]C[解析]取a ＝1得P ＝1＋8<4，Q ＝2＋5>4，∴P <Q ，故选C. 证明如下：要证P <Q ，只要证P 2<Q 2，只要证2a ＋7＋2a （a ＋7）<2a ＋7＋2（a ＋3）（a ＋4），只要证a 2＋7a <a 2＋7a ＋12，只要证0<12，∵0<12成立，∴P <Q 成立． 3.[答案]B[解析]∵a 、b 、c ∈R ，∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ， ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ＝1，又(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝a 2＋b 2＋c 2＋2≥3. 4.[答案]C[解析]因为b －c ＝(1＋x )－11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x 21－x ＜0，所以b <c .又因为(1＋x )2>2x >0，所以b ＝1＋x >2x ＝a ，所以a x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38.所以有x <2xy <x ＋y 2<y ，故排除A 、B 、C ，选D. 6.[答案]A[解析]a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又函数f (x )＝(12)x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2aba ＋b )．7.[答案]a >c >b [解析]b ＝47＋3，c ＝46＋2，显然b <c ，而a 2＝2，c 2＝8－212＝8－48<8－36＝2＝a 2，所以a >c . 也可用a －c ＝22－6＝8－6>0显然成立，即a >c . 8.[答案]a ≠b 且a ≥0，b ≥0[解析]a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a ＋b b －a b －b a >0⇔a (a －b )＋b (b －a )>0⇔(a －b )(a －b )>0⇔(a ＋b )(a －b )2>0,只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． 9.[证明]要证1n>n －n －1，即证1>n－n（n－1），只需证n（n－1）>n－1，∵n≥2，∴只需证n(n－1)>(n－1)2，只需证n>n－1，只需证0>－1，最后一个不等式显然成立，故原结论成立．10.[证明]要证明aa＋m＋bb＋m＞cc＋m，只需证明aa＋m＋bb＋m－cc＋m＞0即可．∵aa＋m＋bb＋m－cc＋m＝a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)（a＋m）（b＋m）（c＋m），∵a＞0，b＞0，c＞0，m＞0，∴(a＋m)(b＋m)(c＋m)＞0，∵a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2＝2abm＋abc＋(a＋b－c)m2，∵△ABC中任意两边之和大于第三边，∴a＋b－c＞0，∴(a＋b－c)m2＞0，∴2abm＋abc＋(a＋b－c)m2＞0，∴aa＋m＋bb＋m＞cc＋m.。

2019-2020年北师大版数学选修2-2课时分层作业3 综合法+Word版含解析

课时分层作业(三)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．设f (x )为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( )A ．0B ．1 C.52D ．5 C [∵函数为奇函数，f (1)＝f (－1＋2)＝f (－1)＋f (2)＝－f (1)＋f (2)，∴f (2)＝2f (1)＝2×12＝1，f (3)＝f (1)＋f (2)＝32，f (5)＝f (3)＋f (2)＝32＋1＝52.]2．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形D [∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →，∴OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．若实数a ，b 满足0<a 2ab ，∴2ab <12.而a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12. 又∵0<a B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [若A >B ，则a >b ，又a sin A ＝b sin B，∴sin A >sin B ；若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ，∴A >B .]5．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )A ．若m β，α⊥β，则m ⊥αB ．若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥βC ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥βD ．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γC [对于A ，m 与α不一定垂直，所以A 不正确；对于B ，α与β可以为相交平面；对于C ，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D ，β与γ不一定垂直．]二、填空题6．已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b 2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是________．y >x [x 2＝a ＋b ＋2ab 2，y 2＝a ＋b . y 2－x 2＝a ＋b －a ＋b ＋2ab 2＝a ＋b －2ab 2 ＝(a －b )22≥0.当且仅当a ＝b 时取“＝”．又∵y >0，x >0，且a ≠b ，∴y >x .] 7．设e 1，e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，若A ，B ，C三点共线，则k ＝________.6 [若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝λCB →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1＋3e 2)＝λe 1＋3λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，3λ＝k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝6.] 8．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． a >c >b [∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c .又∵c b ＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b ，∴a >c >b .] 三、解答题9．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8. [证明] ∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ＋2ac ·2ab abc ＝8. 10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列．求证：△ABC 为等边三角形．[证明] 由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac ，① 又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝a ＋c 2，②把②代入①得(a ＋c )24＝a 2＋c 2－ac ，整理得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C ，而B ＝π3，则A ＝B ＝C ＝π3，从而△ABC 为等边三角形．[能力提升练]1．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A ．2B ．32C ．1D ．12 C [∵a x ＝b y ＝3，x ＝log a 3，y ＝log b 3， ∴1x ＋1y ＝log 3(ab )≤log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1．故选C.] 2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定C [由正弦定理可知，sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2 A ，即sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，即sin A ＝1，∴A ＝π2.故△ABC 是直角三角形．] 3．若0<a <1,02ab ，a 2＋b 2>2ab .又a >a 2，b >b 2，知a ＋b >a 2＋b 2，从而a ＋b 最大．]4．已知三个不等式：①ab >0；②c a >d b ；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能组成________个正确的命题．3 [对不等式②作等价变形：c a >d b ⇔bc －ad ab >0.于是，若ab >0，bc >ad ，则bc －ad ab >0，故①③⇒②.若ab >0，bc －ad ab >0，则bc >ad ，故①②⇒③.若bc >ad ，bc －ad ab >0，则ab >0，故②③⇒①.因此可组成3个正确的命题．]5．如图所示，M 是抛物线y 2＝x 上的一点，动弦ME ，MF 分别交x 轴于A ，B 两点，且MA ＝MB .若M 为定点，求证：直线EF 的斜率为定值．[证明] 设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)，∵MA ＝MB ，∴∠MAB ＝∠MBA ，∴直线MF 的斜率为－k ，∴直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k (x －y 20)，y 2＝x ，消去x得ky2－y＋y0(1－ky0)＝0，解得y E＝1－ky0k，∴x E＝(1－ky0)2k2.同理可得y F＝1＋ky0－k，∴x F＝(1＋ky0)2k2.∴k EF＝y E－y Fx E－x F＝1－ky0k－1＋ky0－k(1－ky0)2k2－(1＋ky0)2k2＝2k－4ky0k2＝－12y0(定值)．∴直线EF的斜率为定值．。

高中数学课时跟踪训练二综合法与分析法北师大版选修22.doc

课时跟踪训练(二) 综合法与分析法1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的说法有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．a ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤33．用分析法证明命题“已知a －b ＝1.求证：a 2－b 2＋2a －4b －3＝0.”最后要具备的等式为( )A ．a ＝bB ．a ＋b ＝1C ．a ＋b ＝－3D ．a －b ＝14．已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A5．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________．6．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4，a ≥0，则P ，Q 的大小关系是________．7．阅读下列材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，①sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，②由①＋②得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β，③令α＋β＝A ，α－β＝B ，有α＝A ＋B 2，β＝A －B 2，代入③得sin A ＋sin B ＝2sin A ＋B 2cos A －B 2.类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos A －cos B ＝－2sinA ＋B 2sin A －B 2.8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．答案1．选C 由分析法、综合法的定义知①②③⑤正确.2．选C ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1.∵a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2.3．选D 要证a 2－b 2＋2a －4b －3＝0，即证a 2＋2a ＋1＝b 2＋4b ＋4，即(a ＋1)2＝(b ＋2)2，即证|a ＋1|＝|b ＋2|，即证a ＋1＝b ＋2或a ＋1＝－b －2，故a －b ＝1或a ＋b ＝－3，而a －b ＝1为已知条件，也是使等式成立的充分条件． 4．选A 因为函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为减函数，所以要比较A ，B ，C 的大小，只需比较a ＋b 2，ab ，2ab a ＋b 的大小，因为a ＋b 2≥ab ，两边同乘ab 得：ab ·a ＋b 2≥ab ，即ab ≥2ab a ＋b，故a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，∴A ≤B ≤C . 5．解析：∵a ＋b ＋c ＝0，a·b ＝0，∴c ＝－(a ＋b )．∴|c |2＝(a ＋b )2＝1＋b 2.由(a －b )·c ＝0，∴(a －b )·[－(a ＋b )]＝－|a |2＋|b |2＝0.∴|a |2＝|b |2＝1.∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4.答案：46．解析：∵P 2＝2a ＋7＋2a a ＋， Q 2＝2a ＋7＋2a ＋a ＋. 又∵a (a ＋7)＝a 2＋7a <(a ＋3)(a ＋4)＝a 2＋7a ＋12.∴P 2<Q 2，即P <Q .答案：P <Q7．证明：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，②①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β.③令α＋β＝A ，α－β＝B ，有α＝A ＋B 2，β＝A －B 2，代入③得cos A －cos B ＝－2sin A ＋B 2sin A －B 2.8．证明：由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .①因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π，②由①②得，B ＝π3，③ 由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac .④由余弦定理及③，可得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .再由④得，a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，因此a ＝c .从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3. 所以△ABC 为等边三角形．。

高中数学选修2-2课时作业23：2.2.1 综合法和分析法

§2.2 直接证明与间接证明2．2.1 综合法和分析法一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式xy >1，x ＋y ≥0，则( )A ．x >0，y >0B ．x <0，y <0C ．x >0，y <0D ．x <0，y >0考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题[答案] A [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥0，xy >1，得⎩⎨⎧x >0，y >0. 2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0考点分析法及应用题点寻找结论成立的充分条件[解析] 要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证a 2b 2－(a 2＋b 2)＋1≥0，即证(a 2－1)(b 2－1)≥0.3．在非等边三角形ABC 中，A 为钝角，则三边a ，b ，c 满足的条件是( )A ．b 2＋c 2≥a 2B ．b 2＋c 2>a 2C ．b 2＋c 2≤a 2D ．b 2＋c 2<a 2考点综合法及应用题点利用综合法解决三角形问题[答案] D[解析] 由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc， ∵A 为钝角，∴cos A <0，则b 2＋c 2<a 2.4．A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点综合法及应用题点利用综合法解决三角形问题[答案] C[解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)，又A ，B 为三角形的内角，∴sin A >0，sin B >0，∴sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .5．设a ，b >0，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1 D.a 2＋b 22<ab <1 考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题[解析] 因为a ≠b ，故a 2＋b 22>ab ，又因为a ＋b ＝2>2ab ，故ab <1，a 2＋b 22＝(a ＋b )2－2ab 2＝2－ab >1，即a 2＋b 22>1>ab . 6．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( ) A ．a 0，f (x )单调递增；当x >e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．又a ＝ln 44，∴b >a >c . 7．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )单调递减．若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负B ．恒等于零C ．恒为正D ．无法确定正负考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题[答案] A[解析] 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的减函数．由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，所以f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f(x1)＋f(x2)<0.二、填空题8．命题“函数f(x)＝x－x ln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程为“对函数f(x)＝x－x ln x 取导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题[答案]综合法9．如果a a＋b b>a b＋b a，则正数a，b应满足的条件是________．考点分析法及应用题点寻找结论成立的充分条件[答案]a≠b[解析]∵a a＋b b－(a b＋b a)＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(a－b)＝(a－b)2(a＋b)．∴只要a≠b，就有a a＋b b>a b＋b a.10．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a，b，c的大小关系为________．考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题[答案]a>c>b[解析]∵a2－c2＝2－(8－43)＝43－6＝48－36>0，a>0，c>0，∴a>c.∵c>0，b>0，cb ＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c>b.∴a>c>b.11．比较大小：设a>0，b>0，则lg(1＋ab)____________12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题[答案]≤[解析]∵(1＋ab)2－(1＋a)(1＋b)＝2ab －(a ＋b )≤0，∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )，则lg(1＋ab )2≤lg(1＋a )(1＋b )，即lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]． 12.如图所示，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．考点分析法及应用题点寻找结论成立的充分条件[答案] 对角线互相垂直([答案]不唯一)[解析] 要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1，故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可．三、解答题13．已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2. 考点分析法及应用题点利用分析法解决不等式问题证明要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. 因为a >0，所以只需证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2，从而只需证2a 2＋1a 2≥ 2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ，只需要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．四、探究与拓展14．若不等式(－1)n a <2＋(－1)n ＋1n 对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是________．考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题[答案] ⎣⎡⎭⎫－2，32 [解析] 当n 为偶数时，a <2－1n，而2－1n ≥2－12＝32，所以a <32；当n 为奇数时，a >－2－1n，而－2－1n<－2，所以a ≥－2. 综上可得，－2≤a <32. 15．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题证明由A ，B ，C 成等差数列，得2B ＝A ＋C .①由于A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以A ＋B ＋C ＝π.②由①②，得B＝π3.③由a，b，c成等比数列，得b2＝ac，④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac，再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，从而a＝c，所以A＝C.⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝π，3所以△ABC为等边三角形．。

高中数学选修2-2 北师大版 综合法和分析法 课时作业(含答案)

高中数学北师大版选修2-2第1章 分析法和综合法例题解析

2018-2019学年高中数学 第1章 2综合法和分析法课时作业 北师大版选修2-2

高中数学选修2-2 北师大版 综合法与分析法 第二课时 课时检测(含答案)

数学北师大版选修2-2同步练习 第一章§2综合法和分析法 含解析 精品

高中数学 1.2.11.2.2 综合法 分析法课时作业 北师大版选修22