信号与系统 刘树棠 第二版 中文答案 第4章
信号与系统 奥本海姆 第二版(刘树棠译)
四. 信号与系统分析的主要应用领域 信号与系统分析的一个目的是研究系统对 给定输入信号所产生的输出响应. 给定输入信号所产生的输出响应.
另一个目的是研究为了使给定输入信号经 过系统后其输出响应符合人们的希望或要求, 过系统后其输出响应符合人们的希望或要求, 系统应该具有什么样的特性, 系统应该具有什么样的特性,进而设计出该 系统. 系统. 通信,电路设计,生物工程,远程医疗等; 通信,电路设计,生物工程,远程医疗等; 信号处理,图象恢复与增强,噪声抑制等; 信号处理,图象恢复与增强,噪声抑制等;
总计:授课54学时 习题课8学时 复习2学时 学时, 学时, 总计:授课 学时,习题课 学时,复习 学时
参考书目录
A.V.Oppenheim, A.S.Willsky with I.T.Young. Signals and Systems. Prentice-Hall. Inc. 1997. . 吴湘淇. 信号,系统与信号处理》 吴湘淇 《信号,系统与信号处理》 北京:电子工业出版社, 北京:电子工业出版社,1996. 郑君里,杨为理 信号与系统》 郑君里,杨为理. 《信号与系统》 清华大学出版社, 清华大学出版社 1999. 管致中,夏恭恪 信号与线性系统》 管致中,夏恭恪. 《信号与线性系统》 人民教育出版社,1983. 人民教育出版社, 阎鸿森,王新凤,田惠生 信号与线性系统》 阎鸿森,王新凤,田惠生. 《信号与线性系统》 西安交通大学出版社, 西安交通大学出版社,1999.
因此,系统的概念是非常广泛的. 因此,系统的概念是非常广泛的.系统分析 的理论与方法当然也是极其重要的. 的理论与方法当然也是极其重要的. 二. 本课程所涉及的内容 两大模块:信号分析, 两大模块:信号分析,系统分析 研究对象: 研究对象:确知信号与线性时不变系统 (Linear Time- Invariant System )
信号与系统刘树棠课后答案
信号与系统刘树棠课后答案【篇一：信号与系统复习指导】>本课程是电子信息与电气类专业本科生的一门重要的专业基础课程。
它主要讨论信号、线性时不变系统的分析方法，并通过实例分析，向学生介绍工程应用中的重要方法。
通过这门课程的学习，提高学生的分析问题和解决问题的能力，为学生今后进一步学习信号处理、网络分析综合、通信理论、控制理论等课程打下良好的基础。
本课程需要较强的数学基础，其主要任务是运用相关数学方法进行信号与线性时不变系统分析。
注重结合工程实际。
先修课程：“高等数学”、“大学物理”、“电路分析”等。
□ 课程的主要内容和基本要求1. 信号与系统的基本概念(1) 掌握信号的基本描述方法、分类及其基本运算。
(2) 掌握系统的基本概念和描述方法，掌握线性时不变系统的概念。
2. 信号与系统的时域分析(1) 掌握卷积积分的概念及其性质。
(2) 掌握卷积和的概念及计算。
(3) 掌握连续信号的理想取样模型及取样定理。
3. 连续时间信号与系统的频域分析 (1) 掌握周期信号的傅里叶级数展开。
(2) 掌握傅里叶变换及其基本性质。
(3) 掌握信号的频谱的概念及其特性。
(4) 掌握系统对信号响应的频域分析方法。
(5) 掌握系统的频域传输函数的概念。
(6) 掌握理想低通滤波器特性，了解系统延时、失真、因果等概念。
(7) 掌握线性系统的不失真传输条件。
4．离散时间信号与系统的频域分析 (1) 理解周期信号的傅里叶级数展开。
(2) 掌握傅里叶变换及其基本性质。
(4) 掌握系统的频率响应。
(5) 掌握系统对信号响应的频域分析方法。
5. 连续时间信号与系统的复频域分析(1) 掌握单边拉普拉斯变换的定义和性质。
(2) 掌握拉普拉斯反变换的计算方法(部分分式分解法)。
(3) 掌握系统的拉普拉斯变换分析方法。
(4) 掌握系统函数的概念。
(5) 掌握系统极零点的概念及其应用。
(6) 掌握系统稳定性概念。
(7) 掌握系统的框图与信号流图描述。
信号与系统课后习题参考答案
1试分别指出以下波形是属于哪种信号？题图1-11-2试写出题1-1图中信号的函数表达式。
1-3已知信号)(1t x 与)(2t x 波形如题图1-3中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以标注。
题图1-3⑴)2(1-t x ⑵)1(1t x -⑶)22(1+t x⑷)3(2+t x ⑸)22(2-t x ⑹)21(2t x - ⑺)(1t x )(2t x -⑻)1(1t x -)1(2-t x ⑼)22(1t x -)4(2+t x 1-4已知信号)(1n x 与)(2n x 波形如题图1-4中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以标注。
题图1-4⑴)12(1+n x ⑵)4(1n x -⑶)2(1n x ⑷)2(2n x -⑸)2(2+n x ⑹)1()2(22--++n x n x⑺)2(1+n x )21(2n x -⑻)1(1n x -)4(2+n x ⑼)1(1-n x )3(2-n x1-5已知信号)25(t x -的波形如题图1-5所示，试作出信号)(t x 的波形图，并加以标注。
题图1-51-6试画出下列信号的波形图：⑴)8sin()sin()(t t t x ΩΩ=⑵)8sin()]sin(211[)(t t t x ΩΩ+= ⑶)8sin()]sin(1[)(t t t x ΩΩ+=⑷)2sin(1)(t tt x = 1-7试画出下列信号的波形图：⑴)(1)(t u e t x t -+=⑵)]2()1([10cos )(---=-t u t u t e t x t π⑶)()2()(t u e t x t --=⑷)()()1(t u e t x t --=⑸)9()(2-=t u t x ⑹)4()(2-=t t x δ1-8试求出以下复变函数的模与幅角，并画出模与幅角的波形图。
⑴)1(1)(2Ω-Ω=Ωj e j X ⑵)(1)(Ω-Ω-Ω=Ωj j e e j X ⑶Ω-Ω---=Ωj j e e j X 11)(4⑷21)(+Ω=Ωj j X 1-9已知信号)]()([sin )(π--=t u t u t t x ，求出下列信号，并画出它们的波形图。
《信号与系统(第2版》【附录+习题答案】
附 录 A 常 用 数 学 公 式A.1 三角函数公式j e cos jsin t t t ωωω=+ j e e (cos jsin )t t t σωσωω+=+j j 1cos (e e )2t t t ωωω-=+j j 1sin (e e )2jt t t ωωω-=-sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=sin22sin cos ααα=2222cos2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=--+1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=-++1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=-++双曲正弦：e e sh 2x xx --=双曲余弦：e e ch 2x xx -+=A.2 微积分公式d()d Cu C u =，C 为常数（下同）d()d d u v u v ±=±，u 、v 为t 的函数（下同） d()d d uv v u u v =+ 2d d d u v u u v v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭d d Cu t C u t =⎰⎰()d d d u v t u t v t ±=±⎰⎰⎰信号与系统288d d u v uv v u =-⎰⎰()d ()()()()d ()bb baaau t v t u t v t v t u t =-⎰⎰A.3 数列求和公式（1）等比数列123,,,,N a a a a 的通项为11n n a a q -=，q 为公比，前n 项的和为 111(1)11NN N N n n a a q a q S a q q =--===--∑（2）等差数列123,,,,N a a a a 的通项为1(1)n a a n d =+-，d 为公差，前n 项的和为111()(1)22NN N n n N a a N N dS a Na =+-===+∑附 录 B 常 用 信 号 与 系 统 公 式B.1 连续时间信号的卷积121221()()()()d ()()d x t x t x x t x x t ττττττ∞∞-∞-∞*=-=-⎰⎰B.2 离散时间信号的卷积121221()()()()()()m m x n x n x m x n m x m x n m ∞∞=-∞=-∞*=-=-∑∑B.3 连续时间三角形式的傅里叶级数0000011()[cos()sin()]cos()kk kkk k x t a ak t b k t A A k t ωωωϕ∞∞===++=++∑∑0000001()d t T t a A x t t T +==⎰000002()cos()d 1,2,t T k t a x t k t t k T ω+==⎰， 000002()sin()d 1,2,t T k t b x t k t t k T ω+==⎰，1,2,k A k = arctan 1,2,k k k b k a ϕ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，B.4 连续时间指数形式的傅里叶级数FS000j 01()e d t T k t k t X x t t T ω+-=⎰0j 0()()ek tk x t X k ωω∞=-∞=∑信号与系统290B.5 连续时间傅里叶变换FTj (j )()e d t X x t t ωω∞--∞=⎰j 1()(j )e d 2πt x t X ωωω∞-∞=⎰B.6 双边拉普拉斯变换()()e d st X s x t t ∞--∞=⎰j j 1()()e d 2πjst x t X s s σσ+∞-∞=⎰B.7 单边拉普拉斯变换0()()e d st X s x t t ∞--=⎰j j 1()()e d 2πjst x t X s s σσ+∞-∞=⎰，0t ≥B.8 离散时间傅里叶级数DFS2πj 1()()ekn NN N n N X k x n N -=<>=∑，0,1,2,k =±±2πj()()ekn NN N k N x n X k =<>=∑，0,1,2,n =±±B.9 离散时间傅里叶变换DTFTj j (e )()enn X x n ΩΩ∞-=-∞=∑j j 2π1()(e )e d 2πn x n X ΩΩΩ=⎰B.10 离散傅里叶变换DFT1()()01N knNn X k x n Wk N -==-∑≤≤，附 录 B 常 用 信 号 与 系 统 公 式29111()()01N kn Nk x n X k Wn N N--==-∑≤≤，B.11 双边Z 变换b ()()nn X z x n z∞-=-∞=∑11()()2n cx n X z z dzj π-=⎰B.12 单边Z 变换s 0()()nn X z x n z∞-==∑11()()2n cx n X z z dzj π-=⎰习题参考答案第1章1.1（a）确定信号、连续时间信号、非周期信号、能量信号、非因果信号。
805信号与系统
805信号与系统参考书目：1.《信号与系统》(第二版)，A.V。
奥本海姆著，刘树棠译，西安交通大学出版社，19982.《信号与线性系统分析》(第四版)，吴大正主编，高等教育出版社，2005考试纲目：1.信号与系统的基本概念：信号的描述、分类及基本运算，系统的特性及分类；2.连续信号与系统的时域分析：连续时间基本信号，卷积积分，连续时间系统的零输入、零状态响应、全响应；3.连续信号与系统的频域分析：信号的频谱及特点，连续时间信号的傅立叶正、反变换及应用，连续信号的频域分析，连续信号的抽样定理；4.连续信号与系统的复频域分析：拉普拉斯变换及性质，连续系统的复频域分析，系统微分方程的复频域解，系统函数与系统特征，连续系统的表示和模拟；5.离散信号与系统的时域分析：离散时间基本信号，卷积和，离散时间系统的模拟、零输入、零状态响应、全响应；6.离散信号与系统的频域分析：离散时间信号的傅立叶正、反变换及应用，离散系统的频域分析；7.离散信号与系统的Z域分析：Z变换的定义、收敛域及性质，离散时间系统的Z域分析，离散时间系统频率响应，系统函数与系统特性，离散系统的表示和模拟。
海军大连舰艇学院2010硕士考试纲目与参考书目一、初试考试纲目与参考书目701军事数学参考书目：1.《高等数学》(第四版)，同济大学编，高等教育出版社，19992.《线性代数》(第三版)，同济大学编，高等教育出版社，19933.《概率论与数理统计初步》，海军大连舰艇学院，1997考试纲目：高等数学部分：函数、极限、连续、一元函数的微分学、一元函数的积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微分学、多元函数积分学(重积分、曲线积分、曲面积分)无穷级数(常数项级数、幂级数、傅立叶级数)、常微分方程；线性代数部分：初步行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型；概率论部分：随机事件和概率、随机变量(一维、二维)及其概率分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理。
信号与系统-答案(刘树棠,第二版) _第1-10章
输入x(t)单位冲激响应h(t)
(a)x(t)=2xo(t)h(t)=ho(t)
(b)x(t)=xo(t)-xo(t-2)h(t)=ho(t)
1.22
一离散时间信号x[n]如图original所示，请画出下列信号并给予标注。
a)x[n-4]
b)x[3-n]
c)x[3n]
e)x[n]u[3-n]
f)x[n-2]δ[n-2]
1.23
确定并画出图original信号的奇部和偶部，并给予标注。
1.25
判定下列连续时间信号的周期性，若是周期的，确定它的基波周期。
Charpt 1
1.21—(a),(b),(c)
一连续时间信号x(t)如图original所示，请画出下列信号并给予标注：
a）x(t-1)
b）x(2-t)
c）x(2t+1)
d）x(4-t/2)
e）[x(t)=x(-t)]u(t)
f）x(t)[δ(t+3/2)-δ(t-3/2)]
(d),(e),(f)
只有奇次谐波
(b) 奇谐信号，
如下图所示。
，（k为奇数）
，（k为偶数）
3.44解：
由T＝6，可得
由条件4可知，
即， ，所以k为奇数
由于当k＝0和k>2时，有
所以当k＝2时， 且
因此，
又由 为实信号可知，
由条件5，6可知
所以
则，
3.48解：
(a)
(b)
c).
(d)
信号与系统(刘树棠 译)部分习题答案
0, else 0, else y1 (t ) x1 (t ) x1 (t 2), x1 (t ) 0 x(t t0 ) x(t t0 2), x(t t0 ) 0 y (t t0 )
x[n] w[n] S1 S2
x[n] [n]
y[n]
解: (a)令输入
对于S 2 , 有： y[0] y[ 1] w[0] w[0] ...(1) 对于S1 , 有： 1 w[0] w[ 1] 由已知有： x[0] 1 2 1 3 y[ 代入（ ）式有：n] y[n 2] y[ n 1] x[ n] 1 y[0]
（5）稳定系统。
1.28: （a) 线性、稳定
(b)时不变、线性、因果、稳定
（c) 无记忆、线性、因果 (d) 线性、稳定
(e) 线性、稳定
(f)无记忆、线性、因果、稳定 (g) 线性、稳定
1.30: （a) （d) (e) (g)(h)(i)(l)(n)是可逆系统
第二章
1n 2.3:解： 令x1 (n) ( ) u[n], h1 (n) u[n], 2 则 : x(n) x1 (n 2), h(n) h1 (n 2),
...(2)
1 w[n] 0.5w[n 1] y[n] ( ) y[n 1] y[n 2] 2 2
由已知有：w[n] 0.5w[n 1] x[n] 1 1 w[n] 0.5w[n 1] y[n] ( ) y[n 1] y[n 2] 2 2 1 1 y[n] ( ) y[n 1] y[n 2] x[n] 2 2 1 y[n] y[n 2] ( ) y[n 1] x[n] 2 2 1/ 4, 1
信号与系统课后答案（ＰＤＦ）
第二章第二章 课后题答案课后题答案2-1.1.图题2-1所示电路，求响应u 2(t)对激励f(t)的转移算子H(p)及微分方程。
解 其对应的算子电路模型如图题2.1（b ）所示，故对节点①，②可列出算子形式的KCL 方程为= +++−=−+0)(111)(1)()(1)(1312121t u p p t u p t f t u p t u p即()=+++−=−+0)(1)()()()(13122121t u p p t u t pf t u t u p联解得)()()(443)(22t f p H t f p p t u =++=故得转移算子为443)()()22++==p p t f t u p H （u 2(t)对f(t)的微分方程为()）（）（t f t u p p 34422=++即）（t f t u t u dt d t u dt d 3)(4)(4)(22222=++2-2图题2-2所示电路，求响应i(t)对激励f(t)的转移算子H(p)及微分方程。
解 其对应的算子电路模型如图2.2（b）所示。
故得）（）（t f p p p p pp t f t i 3011101022221.01)(2+++=+×++=故得转移算子为30111010)()()(2+++==p p p t f t i p Hi(t)对f(t)的微分方程为)()1010()()3011(2t f p t i p p +=++即)(10)(10)(30)(11)(22t f t f dt d t i t i dt d t i dt d +=++2-3图题2-3所示电路，已知u C (0-)=1 V, i(0-)=2 A。
求t>0时的零输入响应i(t)和u C (t)。
解 其对应的算子电路模型如图题2.3（b）所示。
故对节点N 可列写出算子形式的KCL 方程为0)(2312= ++t u p p C又有uc(t)=pi(t)，代入上式化简，即得电路的微分方程为=====++−+−+1)0()0(2)0()0(0)()23(2c cu u i i t i p p电路的特征方程为0232=++p p故得特征根（即电路的自然频率）为p 1=-1，p 2=-2。
信号与系统的课后答案
(1)
(2) 利用(1)的结果，证明阶跃响应
证（1）因为
y(t)=f(t)h(t)
由微分性质，有
y(t)=f(t)h(t)
再由积分性质，有
（2）因为
s(t)=(t)h(t)
由（1）的结果，得
3-1求题3-1图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。
题3-1图
解对于周期锯齿波信号，在周期( 0，T)内可表示为
3-5试求下列信号的频谱函数。
(1)
(2)
解(1)
(2)
3-6对于如题3-6图所示的三角波信号，试证明其频谱函数为
题3-6图
证因为
(
0，|t| >
则
3-7试求信号f(t) = 1 + 2cost+ 3cos3t的傅里叶变换。
解因为
12()
2cost2[(1)+(+ 1)]
3cos3t3[(3)+(+ 3)]
(t+ 3 ) *(t5 )=
也可以利用迟延性质计算该卷积。因为
(t) *(t)=t(t)
f1(tt1) *f2(tt2)=f(tt1t2)
故对本题，有
(t+ 3 ) *(t5 )=(t+ 35)(t+ 35)=(t2)(t2)
两种方法结果一致。
(c)tet(t) *(t)= [tet(t)]= (ettet)(t)
故其变换
式中，F()为f(t)的频谱。x(t)的频谱图如图p4-7所示。
图p4-7
4-8题4-8图所示(a)和(b)分别为单边带通信中幅度调制与解调系统。已知输入f(t)的频谱和频率特性H1()、H2()如图所示，试画出x(t)和y(t)的频谱图。
信号与系统__奥本海姆_第二版(刘树棠译)
2. 消息：是用来表达信息的某种客观对象。 消息：是用来表达信息的某种客观对象 表达信息的某种客观对象。 如电报报文、电视图象、火光、声音、文字、 如电报报文、电视图象、火光、声音、文字、 图表、数字等等。 图表、数字等等。 信息是对消息中的不确定性的度量。 信息是对消息中的不确定性的度量。 3. 信号：是消息的表现形式，消息是信号的 信号：是消息的表现形式， 具体内容。 具体内容。信号通常表现为随自变量变化的 物理量。 温度、 速度等。 物理量。如声、光、电、温度、力、速度等。
4. 系统：是由若干相互作用和相互依赖的事 系统： 物组合而成的具有特定功能的整体。 物组合而成的具有特定功能的整体。它是一 个非常广泛的概念。系统可以是物理的， 个非常广泛的概念。系统可以是物理的，也 可以是非物理的。系统可以很简单，也可以 可以是非物理的。系统可以很简单， 很复杂。 很复杂。
系统
而离散时间信号与系统方法却在数值分析、 而离散时间信号与系统方法却在数值分析、 统计学以及与经济学、 统计学以及与经济学、人口统计学有关的数 据分析、时间序列分析中有很深的根基。 据分析、时间序列分析中有很深的根基。 随着计算机、集成电路、数字技术的发展， 随着计算机、集成电路、数字技术的发展， 用时间样本来表示和处理连续时间信号， 用时间样本来表示和处理连续时间信号，显示 出越来越多的优点， 出越来越多的优点，促使这两大类信号与系统 分析的理论与方法越来越紧密地交织在一起。 分析的理论与方法越来越紧密地交织在一起。
2. 连续时间系统与离散时间系统 如果一个系统的输入是连续时间信号， 如果一个系统的输入是连续时间信号，输出 响应也是连续时间信号， 响应也是连续时间信号，则称该系统是连续时 间系统。如果系统的输入与输出都是离散时间 间系统。 信号，则称该系统是离散时间系统。 信号，则称该系统是离散时间系统。 长期以来，连续时间信号与系统在物理学、 长期以来，连续时间信号与系统在物理学、 近代电路理论、通信系统等方面有很深的渊源。 近代电路理论、通信系统等方面有很深统的概念出现在范围相当广泛 的各种领域， 的各种领域，信号与系统的思想在很多科学 技术领域起着很重要的作用。如：通信、航 通信、 技术领域起着很重要的作用。 空航天、电路设计、生物工程、声学、 空航天、电路设计、生物工程、声学、地震 语音和图象处理、能源产生与分配、 学、语音和图象处理、能源产生与分配、化 工过程控制、工业自动化等等。 工过程控制、工业自动化等等。
信号与系统课后习题答案第4章 PPT
4.8 已知因果信号f(t)的象函数为F(s)，求下列F(s)的原函 数f(t)的初值f(0+)和终值f(∞)。
解 本题练习初值定理和终值定理的应用。
解 计算单边拉氏逆变换的常用方法有: ① 查表、公式法； ② 应用性质；③ 部分分式展开法；④ 反演积分法。
题图 4.4
解 画出S域零状态系统模型如题解图4.19所示。
题解图 4.19
故有单位冲激响应:
令式①中
再取拉氏逆变换，求得单位阶跃响应:
4.20 题图4.5所示RLC系统，us(t)=12 V, L=1 H，C=1 F， R1=3 Ω, R2=2 Ω，R3=1 Ω。t＜0时电路已达稳态，t=0时开 关S闭合。求t≥0时电压u(t)的零输入响应、零状态响应和全 响应。
4.28 已知线性连续系统的系统函数H(s)的零、极点分布如
题图 4.10 所示。图中，“×”号表示极点，“ 。”号表示零
点。
(1) 若H(∞)=1，求图(a)对应系统的H(s)；
(2) 若H(0)=
求图(b)对应系统的H(s)；
(3) 求系统频率响应H(jω)，粗略画出系统幅频特性和相频
特性曲线。
题图 4.12
其中
(3) 考虑到f(t)=ε(t－1), 即输入在t=1时刻激励系统,故有 且
代入式①、②整理得
所以,系统零输入响应和零状态响应为 全响应:
4.15 已知线性连续系统的系统函数和输入f(t)，求系统的 全响应。
解 本题分别用时域方法计算零输入响应，S域方法计算 零状态响应，然后叠加求得全响应。
解 用直接形式信号流图、方框图模拟连续系统。
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Chapter 44.21 求下列每一信号的傅立叶变换： (a)0),(]cos [0>-αωαt u t e t (b)t e t2sin 3-(f)])1()1(2sin ][sin [--t t t t ππππ (h)如下图所示)(t x解：(a)∵)0(),()(21)()cos (000>+=---αωαωωαt u e e e t u t e t t j tj t)(1)(;1)(00ωωαωαωαα-+↔+↔--j t u e e j t u e t j t t)(1)(00ωωαωα++↔--j t u e e t j t∴202000)(])(1)(1[21)()cos (ωωαωαωωαωωαωα+++=+++-+↔j j j j t u t e t (b) ∵)(212sin ,96223323tj t j t t te e e j t e e-----=+↔ω∴22223)2(93)2(93])2(91)2(91[32sin -+-++=++--+↔-ωωωωjj j t et(f ) ∵)()()(sin 1ωπωπωππX u u tt=--+↔)()]2()2([)1()1(2sin 2ωπωπωππωX e u u t t j =--+↔---∴)()(*)(21])1()1(2sin ][sin [21ωωωπππππX X X t t t t =↔-- 当πω3-< 时 0)(=ωXπωπ-<<-3时， ⎰+--+--+=-==ππωπωτππτπω22)()1(21]1[221)(j j j e j e j d e X πωπ<<- 时， 0][221)()()(=-==⎰+---+--πωπωπωπωτπτπωj j j e e j d e X πωπ3<< 时， )1(21]1[221)(2)(ωππωπωτππτπωj j j e je j d e X -----+-=-==⎰πω3> 时， 0)(=ωX(h)∵∑∑∞-∞=∞-∞=+-+-=k k k t k t t x )12()2(2)(δδ∴∑∑∑∞-∞=∞-∞=-∞-∞=--+=-+-=↔k k kjk k k ek k X t x )(])1(2[)()(2)()(πωδππωδππωδπωπ4.23 考虑信号)(0t x 为)(0t x ＝⎩⎨⎧≤≤-tt e t 其余,010,求如图所示没一个信号的傅立叶变换。
要求求出)(0t x 的傅立叶变化然后根据性质求解。
解：ωωωωωωj e e e j dt ee X j j tj t +-=-+==--+--⎰11]1[11)(1)1(10∵)()()(001t x t x t x -+=∴)sin cos 1(12)}(Re{2)()()(120001ωωωωωωωω+-+==-+=-e X X X X∵)()()(002t x t x t x --=∴)cos sin (12j)}(Im{2)()()(1120002ωωωωωωωω-++=--=--e e X j X X X ＝∵)1()()(003+-=t x t x t x ∴ωωωωωωj e e e e eX X j j j +-+-=+=---11)1)(()(1103∵)()(04t tx t x =∴21104)1(21)()(ωωωωωωωj e e j e e X d d j X j j +--==----4.24 (a)图中所示实信号有哪些？（如果有），其傅立叶变换满足下列各条件的有哪些。
解：(1)∵,0)}(Re{=ωX ∴x(t 应是奇函数，(a),(d) (2)∵0)}(Im{=ωX ,∴x(t)应是偶函数，(e),(f)(3)∵存在一个实数α，使得)(ωαωX e j 是实函数，即意味着x(t)平移α后是偶函数。
∴(a),(b),(e),(f)(4)⎰+∞∞-=,0)(ωωd X 即x(0)=0,∴(a),(b),(c),(d),(f)(5)0)(=⎰+∞∞-ωωωd X ,即,0)0('=x ∴(b),(c),(e),(f)(6))(ωX 是周期的，(b)4.25 设)(ωj X 为图信号x(t)的傅立叶变换： (a)求)(ωϕj (b)X(j0)(c)求⎰+∞∞-ωωd j X )((e)计算⎰+∞∞-ωωd j X 2)((f)画出Re{)(ωj X }的反变换解：(a)令：),()1(t x t x =+则)(t x为实偶函数设)()()()(ωϕωωj e X X t x=↔，则)(ωX 是实偶函数。
∴)1()(-=t x t x∴ωωϕωωωω-==-)()(,)()(X e X X j其中：)0)((,)(),0)((,0)(<=≥=ωπωϕωωϕX or X(b) 718)()0(=-==⎰+∞∞-dt t x X(c) ππωω4)0(2)(==⎰+∞∞-x d X(e)ππππωω376)374(4])44(4[4)(2)(10222=+=+-+==⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-dt t t dt t x d X(f) )]()([21)()}(Re{t x t x t x X e -+=↔ω4.28 (a) 设x(t)有傅立叶变换∑+∞-∞==n t jn n e a t p t p j X 0)()(),(0ωωω级数表示是的周期信号，其傅立叶为基波频率令求的傅立叶变换表示式)()()(t p t x t y = 解：∑∞=-∞=-=↔n n n n a P t p )(2)()(0ωωδπω∴∑∑∞-∞=∞-∞=-=-==n n n n n X a n a X P X Y )()(*)()(*)(21)(00ωωωωδωωωπω(b)设)(ωj X 如图所示，对下列每一个p(t)画出y(t)的频谱： (3)p(t)=cos2t (6)p(t)=∑+∞-∞=n t t )2)(sin (sin(7)p(t)=∑+∞-∞=-n n t )2(πδ解： (3))]2()2([)(++-=ωδωδπωP)]2()2([21)(++-=ωωωX X Y(6) ∑∞-∞=-=n n P )2(2)(ωδω∑∞-∞=-=n n X Y )2(1)(ωπω(7)∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=n n n X Y n P )(21)(,)()(ωπωωδω4.29 一个实值连续时间函数x(t)有傅立叶变换)(ωj X 其模与相位如图所示函数)()(),(),(t x t x t x t x d c b a 和都有傅立叶变换，他们的模都与)(ωj X 的模完全相同，但相位不同，分别如图，相位函数)()(),(ωωϕωϕj X j j b a 是通过给和附加一个线性相位而形成的；相位函数)(0)()(ωϕωωϕωϕj j j d c 反转得来；＝关于是把则是把反转和附加线性相位结合在一起得到的。
利用x(t)表示)()(),(),(t x t x t x t x d c b a 和的表示式。
解：∵)()(,)()(ωωωωωX X a X X a a =-=∴)()(a t x t x a -= ∵)()(,)()(ωωωωωX X b X X b b =+=∴)()(b t x t x b += ∵)()(),()()(ωωωωωX X X X X c c =-=-=∴)()(t x t x c -= ∵)()(,)()(ωωωωωX X d X X d d =+-= ∴)()(d t x t x d --=4.32 考虑一LTI 系统S 其单位冲激响应为)1())1(4sin()(--=t t t h π求系统S 对下面每个输入信号的输出： (a))26cos()(1π+=t t x (b)∑∞==02)3sin()21()(k k kt t x (c))1())1(4sin()(3++=t t t x π 解：令)(,0)(.....)...4(,1)(4sin )(000otherwise j H or j H t t t h =<=↔=ωωωπ ∴)()(0ωωωj H e j H j -=(a))]6()6([)(1--+-=ωδωδπωj j X∵6>4 ∴0)(1=t y(b)通过h(t)的成分为k ＝1时的部分又因为此成分的相位延迟为 3)(-=ω ∴)33sin(21)(2-=t t y (c))()(03ωωωj H e j X j =∴)()()()(033ωωωωj H j H j X j Y == ∴tt t y π4sin )(3=4.33 一因果LTI 系统的输入和输出，由下列微分方程表征： )(2)(8)(6)(22t x t y dt t dy dt t y d =++ (a) 求该系统的单位冲激响应(b) 若x(t)=t )(2t u e t -该系统的响应是什么？解：(a) 由微分方程得ωωωωωj j j j j H +-+=++=412186)(2)(2 ∴)()()(42t u e e t y t t ---=(b) 2)2(1)21()(ωωωωj j d d j j X +=+=ωωωωωωωj j j j j j Y +-+++-+=++=441)2(1)2(21)2(41)4()2(2)(323 ∴)(41)(21)(21)(41)(42222t u e t u e t t u te t u e t y t t t t -----+-=4.34 一个因果稳定的LTI 系统S ，有频率响应为ωωωωj j j H 564)(2+-+= (a) 写出关联系统S 输入和输出的微分方程。
(b) 求该系统S 的单位冲激响应h(t).解：(a) x x y y y 465+'=+'+''(b) ∵3122)(+-+=ωωωj j j H ∴)()(2)(32t u e t u e t h t t ---=4.35 在本题中给出有关相位非线性变化产生的影响的几个例子。
(a)有一连续时间LTI 系统其频率响应为ωωωj a j a j H +-=)( 式中a>0。
问)(ωj H 的模是什么？)(ωϕj H 是什么？该系统的单位冲激响应是什么？(c) 若在（a ）中，a ＝1，当输入为t t t 3cos cos )3/cos(++求该系统的系统输出。
大致画出输入和输出。
解：(a))(2)()()(,1)(2222a arctg a arctg a arctg j H a a j H ωωωωωωω-=--==++=∵12)(-+=ωωj a a j H ,∴)()(2)(t t u ae t h at δ-=- (b) ∵h(t)对信号的相位延迟为)(22)(ωωωarctg a arctg j H -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ∴)323cos()2cos()33cos()(πππ-+-+-=t t t t y 4.36 考虑一LTI 系统，对输入x(t)为)(][)(3t u e e t x t t --+= 响应y(t)是)(]22[)(4t u e e t y t t ---=(a) 求系统频率响应(b) 确定该系统的单位冲激响应(c) 求关联该系统输入和输出的微分方程 解：(a)∵3111)(+++=ωωωj j j X ,4212)(+-+=ωωωj j j Y∴45.125.1)4)(2()3(3)()()(+++=+++==ωωωωωωωωj j j j j j X j Y j H(b) ∴)(23)(23)(42t u e t u e t h t t --+=(c)由(a)可得 x x y y y 9386+'=+'+''。