高三总复习讲义三角函数的图像与性质

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高考数学总复习基础知识名师讲义第三章第五节三角函数的图象与性质文

第五节三角函数的图象与性质1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如值域、单调性、奇偶性、最大值和最小值以及与x 轴交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的性质．了解三角函数的周期性．知识梳理一、正弦函数、余弦函数、正切函数的性质(续上表)二、研究函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的方法类比于研究y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的ωx ＋φ看成y ＝sin x 中的x ，但在求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化为正数．研究函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)的性质的方法与其类似，也是类比、转化．三、求三角函数的周期的常用方法经过恒等变形化成“y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式．如：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期都是2π|ω|；函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期是π|ω|.另外还有图象法和定义法．基础自测1．(2013·揭阳二模)设函数f (x )＝cos(2π－x )＋3cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ，则函数的最小正周期为( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：函数f (x )＝cos x ＋3sin x ＝2⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，故其最小正周期为2π1＝2π，故选C.答案：C2．(2013·天津卷)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1B ．－22C.22D ．0解析：因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4，令n ＝2x －π4，则sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin n 在n ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值为sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－22.故选B. 答案：B3．(2012·浙江名校新高考联盟二联) 若函数f (x )＝sin (x ＋α)－2cos(x －α)是奇函数，则sin αcos α＝________.解析：因为函数f (x )＝sin(x ＋α)－2cos(x －α)是奇函数，所以f (0)＝sin α－2cos α＝0，即tan α＝2.所以sin αcos α＞0，不妨设α为锐角，可得sin α＝25，cos α＝15.所以sin αcos α＝25.答案：254．(2012·合肥模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)在⎝⎛⎭⎫0，4π3上单调递增，在⎝⎛⎭⎫4π3，2π上单调递减，则ω＝___________.1．(2013·山东卷)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )解析：函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，排除B.取x ＝π2，排除C ；取x ＝π，排除A ，故选D.答案：D2．已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．解析：(1)∵f (x )＝4cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π6＋cos x sin π6－1 ＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1 ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵－π6≤x ≤π4，∴－π6≤2x ＋π6≤2π3.∴当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，函数f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，函数f (x )取得最小值－1.1. (2013·佛山一模)函数y ＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 的最小正周期为________，最大值是________．解析：因为函数y ＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin x ＋12sin x －32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. 所以函数的周期为T ＝2π1＝2π；函数的最大值为： 3. 答案：2π32．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋cos 2x (x ∈R )．(1)当x 取什么值时，函数f (x )取得最大值？并求其最大值． (2)若θ为锐角，且f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8＝23，求tan θ的值．解析：(1)f (x )＝2sin x cos x ＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2⎝⎛⎭⎫22sin 2x ＋22cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，函数f (x )取得最大值，其最大值为 2.(2)∵f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8＝23， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝23. ∴cos 2θ＝13.∵θ为锐角，即0<θ<π2，∴0<2θ<π.∴sin 2θ＝1－cos 22θ＝223.∴tan θ＝sin θcos θ＝2sin θcos θ2cos 2θ＝sin 2θ1＋cos 2θ＝22. 中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

高考数学总复习第三章第3讲三角函数的图象与性质课件理

考点2 三角函数的对称性
例2：(1)函数y＝cos2x＋π3图象的对称轴方程可能是(
)
A．x＝－π6
B．x＝－1π2
C．x＝6π
D．x＝1π2
解析：(1)令2x＋
π 3
＝kπ(k∈Z)，得x＝
kπ 2
－
π 6
(k∈Z)，令k＝
0，得该函数的一条对称轴为x＝－6π.
答案：A
(2)函数y＝sin3x－4π的图象的一ห้องสมุดไป่ตู้对称中心是(
(0,0)，π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0)． (2)y＝cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，π2，0，(π，－1)，32π，0，(2π，1)．
2．三角函数的图象和性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
定义域
R
R
y＝tanx
x|
xk2,kZ
图象
值域
[－1,1]
2．使 cosx＝1－m 有意义的 m 值为( C )
A．m≥0
B．m≤0
C．0≤m≤2
D．－2≤m≤0
3．(2013 年上海)既是偶函数又在区间(0，π)上单调递减的
函数是( B )
A．y＝sinx
B．y＝cosx
C．y＝sin2x
D．y＝cos2x
4．函数 y＝5tan(2x＋1)的最小正周期为( B )
【规律方法】本题主要考查函数 y＝Asin(wx＋φ)的图象特征，正弦函数的值域与最值.解题关键在于将已知的函数表达式化为三角函数模型，再根据此三角函数模型的图象与性质进行解题即可.
【互动探究】 3．已知函数 f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.

三角函数的图像和性质讲解(定义域,值域,周期,单调性等)

三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。

（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。

正弦函数s i n y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。

4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。

理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。

5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。

高考数学必修4总复习《三角函数：三角函数的图像与性质》

∴y＝sin2x＋52π为偶函数．
答案：B
4. (教材改编题)函数 f(x)＝tanx＋π4的单调递增区间为(
)
A. kπ－2π，kπ＋π2(k∈Z)
B. (kπ，(k＋1)π)(k∈Z)
C. kπ－34π，kπ＋4π(k∈Z)
D. kπ－π4，kπ＋34π(k∈Z)
(2)求满足 f(x)＝0 的 x 的取值；
(3)求函数 f(x)的单调递减区间．
解 (1) 2sin2x－3π>0⇒
sin2x－π3>0⇒2kπ<2x－π3<2kπ＋π，
k
∈
Z
⇒
kπ
＋
π 6
<x<kπ
＋
2 3
π
，
k
∈
Z.
故
函
数
的
定
义
域
为
kπ＋π6，kπ＋23π，k∈Z.
(2)∵f(x)＝0，∴sin 2x－3π ＝
第五节三角函数的图像与性质
1. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用 “五点法”画正弦函数、余弦函数的简图． 2. 了解周期函数与最小正周期的意义．
1. 周期函数
(1)周期函数的定义
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值
时，都有 f(x＋T)＝f(x，) 那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T 叫做这个函数
2 2
⇒2x－
π 3
＝2kπ＋
π 4
或2kπ＋
3 4
π，k∈Z⇒x＝kπ＋
7 24
π或x＝kπ＋
13 24
π，k∈Z，故x的取值是
x|x＝kπ＋274π或x＝kπ＋1234π，k∈Z. (3)令2kπ＋π2≤2x－π3<2kπ＋π，k∈Z⇒2kπ＋56π≤2x<2kπ＋43π，

高考数学总复习基础知识第三章第五节三角函数的图象与性质理

第五节三角函数的图象与性质知识梳理1m in 2偶函数1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如值域、单调性、奇偶性、最大值和最小值以及与x 轴交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质．了解三角函数的周期性．类比于研究y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的ωx ＋φ看成y ＝sin x 中的x ，但在求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化为正数．研究函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)的性质的方法与其类似，也是类比、转化．三、求三角函数的周期的常用方法经过恒等变形化成“y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式．如：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期都是2π|ω|；函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期是π|ω|.另外还有图象法和定义法．基础自测1．(2013·广州一测)如果函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的两个相邻零点之间的距离为π12，则ω的值为( ) A ．3 B ．6 C ．12 D ．24解析：T ＝π6，ω＝2πT＝12，故选C.答案：C2．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π]) 是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析：∵f (x )为偶函数，关于y 轴对称，x ＝0为其对称轴． ∴x ＋φ3＝π2＋k π，令x ＝0，φ＝3k π＋32π，当k ＝0时，φ＝32π，选C 项．答案：C3. 若函数f (x )＝sin(x ＋α)－2cos(x －α)是奇函数，则sin αcos α＝________.解析：因为函数f (x )＝sin(x ＋α)－2cos(x －α)是奇函数，所以f (0)＝sin α－2cosα＝0，即tan α＝2.所以sin αcos α＞0，不妨设α为锐角，可得sin α＝25，cos α＝15. 所以sin αcos α＝25.答案：254．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4π3上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，2π上单调递减，则ω＝________.解析：由题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4πω3－π6＝1⇒4πω3－π6＝2k π＋π2⇒ω＝32k ＋12，k ∈Z .又ω>0，令k ＝0，得ω＝12(如k >0，则ω≥2，T ≤π与已知矛盾)．答案：121．(2013·山东卷)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )解析：函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，排除B.取x ＝π2，排除C ；取x ＝π，排除A ，故选D.答案：D2．已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．解析：(1)∵f (x )＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π6＋cos x sin π6－1 ＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵－π6≤x ≤π4，∴－π6≤2x ＋π6≤2π3.∴当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，函数f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，函数f (x )取得最小值－1.1. (2013·佛山一模)函数y ＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 的最小正周期为________，最大值是________．解析：因为函数y ＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin x ＋12sin x －32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.所以函数的周期为T ＝2π1＝2π；函数的最大值为 3. 答案：2π 32．已知函数f ()x ＝2sin x cos x ＋cos 2x (x ∈R )．(1)当x 取什么值时，函数f ()x 取得最大值？并求其最大值．(2)若θ为锐角，且f ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝23，求tan θ的值．解析：(1)f ()x ＝2sin x cos x ＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x ＋22cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，函数f ()x 取得最大值，其最大值为2.(2)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝23， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝23. ∴cos 2θ＝13.∵θ为锐角，即0<θ<π2，∴0<2θ<π.∴sin 2θ＝1－cos 22θ＝223. ∴tan θ＝sin θcos θ＝2sin θcos θ2cos 2θ＝sin 2θ1＋cos 2θ＝22.。

三角函数图像与性质-知识点总结及题型归纳讲义

专题七《三角函数》讲义7.3 三角函数的图像与性质知识梳理.三角函数的图像与性质1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象定义域R R错误!值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在⎣⎡⎦⎤π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是递增函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ2，0(k∈Z)题型一. 三角函数图像的伸缩变换1．要得到函数y ＝3sin （2x +π3）的图象，只需要将函数y ＝3cos2x 的图象（） A ．向右平行移动π12个单位 B ．向左平行移动π12个单位C ．向右平行移动π6个单位D ．向左平行移动π6个单位2．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin （2x +2π3），则下面结论正确的是（）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23．（2021春•闵行区校级期中）函数y ＝cos （2x +φ）的图象向右平移π2个单位长度后与函数y ＝sin （2x +2π3）的图象重合，则|φ|的最小值为．4．（2016春•南通期末）将函数f(x)=sin(ωx +φ)，(ω＞0，−π2＜φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π4个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f(π6)= ．5．（2015•湖南）将函数f （x ）＝sin2x 的图象向右平移φ（0＜φ＜π2）个单位后得到函数g （x ）的图象．若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|＝2的x 1、x 2，有|x 1﹣x 2|min =π3，则φ＝（） A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6题型二. 已知图像求解析式1．图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上所有的点（）A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变2．已知函数y =sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则（）A ．ω=π2，φ=−π4 B ．ω=π2，φ=π4C ．ω=π，φ=−π4D ．ω=π，φ=π43．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象如图所示，f （π2）=−23，则f （0）＝（）A ．−23B ．−12C ．23D ．124．已知函数f （x ）＝A tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，下列关于函数g （x ）＝A cos （ωx +φ）（x ∈R ）的表述正确的是（）A ．函数g （x ）的图象关于点（π4，0）对称B ．函数g （x ）在[−π8，3π8]递减 C ．函数g （x ）的图象关于直线x =π8对称D ．函数h （x ）＝cos2x 的图象上所有点向左平移π4个单位得到函数g （x ）的图象题型三. 三角函数的性质考点1.单调性1．函数y ＝sin （﹣2x +π3）的单调递减区间是（） A ．[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z B ．[2k π−π12，2k π+5π12]，k ∈ZC ．[k π−π6，k π+5π6]，k ∈ZD ．[2k π−π6，2k π+5π6]，k ∈Z2．已知函数f(x)=Asin(x +φ)(A ＞0，−π2＜φ＜0)在x =5π6时取得最大值，则f （x ）在[﹣π，0]上的单调增区间是（） A ．[−π，−5π6] B ．[−5π6，−π6] C ．[−π3，0]D ．[−π6，0]3．已知函数f （x ）＝sin （2x +π3）在区间[0，a ]（其中a ＞0）上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．{a |0＜a ≤π12} B ．{a |0＜a ≤π2} C ．{a |a ＝k π+π12，k ∈N *} D ．{a |2k π＜a ≤2k π+π12，k ∈N *} 4．已知ω＞0，函数f （x ）＝sin （ωx +π4）在区间（π2，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（） A ．[12，54] B ．[12，34]C ．(0，12]D ．（0，2]考点2.周期性、奇偶性、对称性1．已知函数f （x ）＝cos 2x +sin 2（x +π6），则（）A ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为12B ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为−12C ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为12D ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为−122．已知f （x ）＝sin2x +|sin2x |（x ∈R ），则下列判断正确的是（） A ．f （x ）是周期为2π的奇函数 B ．f （x ）是值域为[0，2]周期为π的函数 C ．f （x ）是周期为2π的偶函数 D ．f （x ）是值域为[0，1]周期为π的函数3．将函数y ＝sin2x −√3cos2x 的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（） A ．712π B ．π4C ．π12D ．π64．已知函数f （x ）＝a sin x ﹣b cos x （ab ≠0，x ∈R ）在x =π4处取得最大值，则函数y ＝f （π4−x ）是（）A ．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B ．偶函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 C ．奇函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 D ．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称考点3.三角函数性质综合1．（2019•天津）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g （x ）．若g （x ）的最小正周期为2π，且g （π4）=√2，则f （3π8）＝（）A ．﹣2B ．−√2C ．√2D ．22．（2015•天津）已知函数f （x ）＝sin ωx +cos ωx （ω＞0），x ∈R ，若函数f （x ）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为．3．（2014•大纲版）若函数f （x ）＝cos2x +a sin x 在区间（π6，π2）是减函数，则a 的取值范围是．4．（2016•新课标Ⅰ）若函数f （x ）＝x −13sin2x +a sin x 在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，13]C ．[−13，13]D ．[﹣1，−13]5．（2013•安庆二模）已知函数f （x ）＝sin （ωx +π6），其中ω＞0，若f （π6）＝f （π3），且f （x ）在区间（π6，π3）上有最小值、无最大值，则ω等于（）A ．403B ．283C ．163D ．436．（2014•北京）设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f（2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为．题型四. 三角函数最值1．函数f （x ）=15sin （x +π3）+cos （x −π6）的最大值为（） A ．65B ．1C ．35D ．152．函数f （x ）＝cos （ωx +π3）（ω＞0）在[0，π]内的值域为[﹣1，12]，则ω的取值范围为（） A ．[32，53]B ．[23，43]C ．[23，+∞)D ．[23，32]3．已知函数f （x ）＝cos2x +sin x ，则下列说法中正确的是（） A ．f （x ）的一条对称轴为x =π4 B ．f （x ）在（π6，π2）上是单调递减函数C ．f （x ）的对称中心为（π2，0）D ．f （x ）的最大值为14．若0＜x ≤π3，则函数y ＝sin x +cos x +sin x cos x 的值域为．5．已知函数f(x)=2sinωx ⋅cos 2(ωx 2−π4)−sin 2ωx(ω＞0)在区间[−2π5，5π6]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是（） A ．(0，35]B ．[12，35]C ．[12，34]D ．[12，52)6．已知函数f （x ）＝cos x •sin （x +π3）−√3cos 2x +√34，x ∈R （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在闭区间[0，π2]上的最大值和最小值及相应的x 值；（3）若不等式|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[0，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．题型五.三角函数零点1．已知函数f （x ）＝sin ωx −√3cos ωx （ω＞0），若方程f （x ）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为．2．已知函数f （x ）=√3sin ωx cos ωx +cos 2ωx −12，（ω＞0，x ∈R ），若函数f （x ）在区间（π2，π）内没有零点，则ω的取值范围（） A ．（0，512] B ．（0，512]∪[56，1112]C ．（0，58]D ．（0，56]∪[1112，1）3．函数f(x)=2sin(2ωx +π6)(ω＞0)图象上有两点A （s ，t ），B （s +2π，t ）（﹣2＜t ＜2），若对任意s ∈R ，线段AB 与函数图象都有五个不同交点，若f （x ）在[x 1，x 2]和[x 3，x 4]上单调递增，在[x 2，x 3]上单调递减，且x 4−x 3=x 2−x 1=23(x 3−x 2)，则x 1的所有可能值是课后作业. 三角函数的图像与性质1．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g （x ）＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f （x ）的图象（）A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π3个单位长度D ．向右平移π12个单位长度2．关于函数y ＝2sin （3x +π4）+1，下列叙述正确的是（） A ．其图象关于直线x =−π4对称 B ．其图象关于点（π12，1）对称 C ．其值域是[﹣1，3]D ．其图象可由y ＝2sin （x +π4）+1图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 3．已知函数f （x ）＝（12a −√3）sin x +（√32a +1）cos x ，将f （x ）的图象向右平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，若对任意x ∈R ，都有g （x ）≤g （π4），则a 的值为． 4．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M （3π4，0）对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，则ω和φ的值分别为（）A ．23，π4B ．2，π3C ．2，π2D ．103，π25．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），其中ω＞0，|φ|≤π2，−π4为f （x ）的零点：且f （x ）≤|f （π4）|恒成立，f （x ）在区间（−π12，π24）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（）A ．11B ．13C ．15D ．176．已知函数f （x ）＝2sin （ωx −π6）sin （ωx +π3）（ω＞0），若函数g （x ）＝f （x ）+√32在[0，π2]上有且只有三个零点，则ω的取值范围为（）A ．[2，113） B ．（2，113） C ．[73，103） D ．（73，103）。

高三数学一轮复习讲义三角函数图像与性质

课题：三角函数的图像与性质知识点一、正弦、余弦、正切函数的图像与性质函数性质sinx y =cosx y =tanx y =定义域RR⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ图像值域[]1,1-[]1,1-R 对称性对称轴：()Z k k x ∈+=2ππ对称中心：()()Z k k ∈0,π对称轴：()z k k x ∈=π 对称中心：(,0)2k ππ+无对称轴对称中心：()Z k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛0,2π 周期 π2π2π奇偶性奇偶奇单调性单调递增区间()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππ 单调递减区间()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππ单调递增区间[]()Z k k k ∈-πππ2,2单调递减区间[]()Z k k k ∈+πππ2,2单调递增区间Z k k k ∈+-)2,2(ππππ最值当22ππ+=k X 时，y 的最大值：1；22ππ-=k X 时，y 的最小值：1，其中Z k ∈当πk x 2=时，y 的最大值：1；当ππ+=k x 2时，y 的最小值：1，其中Z k ∈无最大值，无最小值求解三角函数：sin ()y A x x ωϕ=+性质常用结论与技巧； (1)运用整体换元法求解单调区间与对称性：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解．①令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，可求得对称轴方程；②令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，可求得对称中心的横坐标；(2)周期性：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|，注意y ＝Atan (ωx ＋φ)的周期T ＝π|ω|.(3)最值(或值域)：求最值(或值域)时，一般要确定u ＝ωx ＋φ的范围，然后结合函数y ＝sin u 或y ＝cos u 的性质可得函数的最值(值域)．【典型例题】【例1】函数cos()3y x π=-的单调增区间是（）A ．42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．22,2()33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．32,2()88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ D ．52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【例2】函数[]1sin ,2,223y x x πππ⎛⎫=+∈-⎪⎝⎭的单调递增区间是（）A ．52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．52,,233ππππ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和 C ．5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【例3】函数)62cos()(π+=x x f 的一条对称轴为（）A ．6πB ．125πC ．32πD ．32π-【例4】函数2()cos cos f x x x x =+（[0,]x π∈）的单调递减区间为（）A ．[0,]3πB ．2[,]63ππC ．5[,]36ππD ．5[,]6ππ 【例5】函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（）A. 1-B.C.D. 0 【例6】已知函数2()sin 2+sin 22cos 1.33=+-+-∈f x x x x x R ππ（）（），（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.【举一反三】1．余弦函数cos()4y x π=+在下列哪个区间为减函数（）A ．3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[],0π-C ．3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．函数的最小正周期为（）A. B. C. D.3．下列函数中，周期为π，且在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上为减函数的是（）A.)2sin(π+=x y B.)2cos(π+=x y C.)22cos(π+=x y D.)22sin(π+=x y4．已知函数2()3cos sin f x x x x =-，则()f x 的最小正周期为；单调减区间为．5．若函数()()13cos ,36f x x x x ππ=+-≤≤，则()f x 的最大值为（）A.1B.2 3 31 6．已知函数()sin sin()6f x x x π=+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，求()f x 的取值范围.【课堂巩固】1．已知函数))(32cos(3)(R x x x f ∈-=π，下列结论错误的是（）A ．函数)(x f 的最小正周期为πB ．函数)(x f 图象关于点)0,125(π对称 C. 函数)(x f 在区间]2,0[π上是减函数 D ．函数)(x f 的图象关于直线6π=x 对称2．设函数()sin()3)f x x x ωϕωϕ=++（0ω>，||2πϕ<）的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（）A ．()f x 在(0,)2π单调递减 B ．()f x 在3(,)44ππ单调递减 C ．()f x 在(0,)2π单调递增 D ．()f x 在3(,)44ππ单调递增 3．函数3sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为_________.4．函数x x y 2cos 32sin -=的图象的一条对称轴方程为（） A ．12π=x B ．12π-=x C. 6π=x D ．6π-=x5．函数的最小正周期是__________ .6．函数2sin 2y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是． 7．已知函数3()2sin cos()32f x x x π=++. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值及最小值.【课后练习】正确率：________1．当函数（）取得最大值时，（）A. B. C. D.2．设函数()()()sin 30,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（） A ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 3．已知函数()()()2sin 20f x x θθπ=-+<<，14f π⎛⎫=-⎪⎝⎭则()f x 的一个单调递减区间是（） A ．5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．7,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭4．函数()sin cos()6f x x x π=--的值域为（）A ．33⎡⎢⎣⎦B ．3,3⎡-⎣C ．[]2,2-D ．[]1,1-5．函数)2sin()(ϕ-=x A x f 的图象关于点)0,34(π成中心对称，则ϕ最小的ϕ的值为（） A ．3π B ．6πC ．3π-D ．6π- 6．已知角ϕ的终边经过点(3,4)P -，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π=（） A ．35- B ．35C ．45-D ．457．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则（）A 、()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称B 、()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称C 、()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D 、()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称8．函数sin 22y x x =的图象的一条对称轴方程为（） A. π12x =B.π12x =-C.π6x =D.π6x =-9．已知函数2()cos cos f x x x x =+，x R ∈．（1）求4()3f π；（2）求函数()f x 的最小正周期与单调减区间．。

高考数学复习讲义：三角函数的图象与性质

2
突破点二三角函数的性质
3
课时跟踪检测
返回
突破点一三角函数的定义域和值域
返回
抓牢双基·自学回扣
[基本知识]
三角
余弦函数 y＝
正弦函数 y＝sin x
正切函数 y＝tan x
函数
cos x
图象
定义 R
域
{ x| x∈R ，且 x
R
≠
kπ＋π2
，k∈Z
返回
三角函数值域
正弦函数 y＝sin x
()
返回
二、填空题
1．y＝ 2sin x－ 2的定义域为________________________．
解析：要使函数式有意义，需2sin
x－
2≥0，即sin
x≥
2 ，借 2
助正弦函数的图象(图略)，可得 π4 ＋2kπ≤x≤34π ＋2kπ，k∈Z，所
以该函数的定义域是π4＋2kπ，34π＋2kπ(k∈Z)．
换元法 asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t ＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)
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[集训冲关]
1.[考法一]函数y＝log2(sin x)的定义域为________．
解析：根据题意知sin x>0，得x∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)．
(2)依题意，f(x)＝sin2x＋ 3cos x－34＝－cos2x＋ 3cos x
＋14＝－cos x－ 232＋1，因为 x∈0，π2，所以 cos x∈[0,1]，
因此当 cos x＝ 23时，f(x)max＝1.
返回
(3)设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，即sin xcos x＝1－2 t2，且－1≤t≤ 2. ∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1. 当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]． [答案] (1)B (2)1 (3)[－1,1]

高三总复习数学课件三角函数的图象与性质

2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域值域
_R__
[－1,1]
_R__
[－1,1]
_x__x_∈__R__，__且__x_≠__k_π_＋__π_2_，__k_∈__Z___
R
函数奇偶性
y＝sin x _奇__函__数__
y＝cos x _偶__函__数___
答案：－23π＋2kπ，π3＋2kπ(k∈Z )
层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点(一) 三角函数的定义域和值域
[题点全训]
1．函数 f x ＝
sin x－ 23的定义域为
A.kπ＋π3，kπ＋23π，k∈Z
C.2kπ＋π3，2kπ＋23π，k∈Z
B.π3，23π D．R
()
解析：由题得 sin x≥ 23，∴π3＋2kπ≤x≤23π＋2kπ，k∈Z . 答案：C
(4)对于 y＝tan x，不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间 kπ－π2，kπ＋π2 (k∈Z )内为增函数．
1．(苏教版必修第一册 P191·T2 改编)函数 y＝tan 2x 的定义域是
()
A. xx≠kπ＋π4，k∈Z
B. xx≠k2π＋π8，k∈Z
C. xx≠kπ＋π8，k∈Z
D. xx≠k2π＋π4，k∈Z
答案：D
2．(人教A版必修第一册P199·例1改编)函数y＝1＋cos x(x∈[0,2π])的简图是( ) 答案：D
3．(人教A版必修第一册P206·例4改编)下列关系式中正确的是
()
A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°

三角函数的图象与性质-高考数学复习

＝，
3
6
2
2−1

∴ω＝4 k －2，又0＜ω＜6，∴ω＝2.
目录
是：
（0，1），
π
，0
2
，
（π，－1），
3π
，0
2
，
（2π，1）.
提醒
函数 y ＝ sin x ， x ∈[0，2π]， y ＝ cos x ， x ∈[0，2π]
的五个关键点的横坐标是零点和极值点（最值点）.
目录
高中总复习·数学
2. 正弦、余弦、正切函数的图象与性质（表中 k ∈Z）
函数
y ＝ sin x
A. T ＝π， A ＝1
B. T ＝2π， A ＝1
C. T ＝π， A ＝2
D. T ＝2π， A ＝2
解析：
）
2π
T ＝＝π， A ＝2－1＝1，故选A.
2
目录
高中总复习·数学
3. 函数 y ＝4 sin （2 x ＋π）的图象关于（
A. x 轴对称
）
B. 原点对称
C. y 轴对称
解析：记 f （ x ）＝4 sin （2 x ＋π）＝－4 sin 2 x ，所以 f （－
2. 已知函数 f （ x ）＝2 sin
经过点
π
，2
6
和
π
（ω x ＋φ）（0＜ω＜6，｜φ｜＜）的图象
2
2π
, −2
3
，则ω＝
2
.
⁠
π
2π
π
2π
解析：∵ 和是函数 f （ x ）的极值点，则 x ＝， x ＝是对称
6
3
6
3
2π

高考专题复习14三角函数的图象与性质

专题14 三角函数的图象与性质【知识精讲】一、正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质 ,x x k k π⎧⎫≠π+∈⎨⎬Z二、函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质 1．函数sin()y A x ωϕ=+的图象的画法（1）变换作图法由函数sin y x =的图象通过变换得到sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.（2）五点作图法找五个关键点，分别为使y 取得最小值、最大值的点和曲线与x 轴的交点.其步骤为： ①先确定最小正周期T =2ωπ,在一个周期内作出图象；②令=X x ωϕ+,令X 分别取0，2π,π,322ππ,,求出对应的x 值，列表如下：由此可得五个关键点；③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到sin()y A x ωϕ=+的简图.2．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质（1）奇偶性：=k ϕπ时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；=2k ϕππ+时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数.（2）周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2ωπ.（3）单调性：根据y =sin t和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ−π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间. （4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为(,0)()k k π∈Z 求解，令x k k ωϕ+=π(∈)Ζ，求得x .利用y =sin x 的对称轴为()2x k k π=π+∈Z 求解，令+2x k k ωϕπ+=π(∈)Ζ，得其对称轴.3．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的物理意义当函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0,[0,)x ∈+∞）表示一个简谐振动量时，则A 叫做振幅，T =2ωπ叫做周期，f =12πT ω=叫做频率,x ωϕ+叫做相位，x =0时的相位ϕ叫做初相. 三、三角函数的综合应用（1）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的定义域均为R ；函数tan()y A x ωϕ=+的定义域均为ππ{|,}2k x x k ϕωωω≠−+∈Z . （2）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最大值为||A ，最小值为||A −；函数tan()y A x ωϕ=+的值域为R .（3）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最小正周期为2πω；函数tan()y A x ωϕ=+的最小正周期为πω．（4）对于()sin y A x ωϕ=+，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为奇函数，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为偶函数；对于()cos y A x ωϕ=+，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为奇函数，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为偶函数；对于()tan y A x ωϕ=+，当且仅当()π2k k ϕ=⋅∈Z 时为奇函数．（5）函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式ππ2π2π(22k x k k ωϕ−≤+≤+ )∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()π3π2π2π22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 来确定；函数()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()2ππ2πk x k k ωϕ−≤+≤∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()2π2ππk x k k ωϕ≤+≤+∈Z 来确定；函数()()tan 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()ππππ22k x k k ωϕ−<+<+∈Z 来确定．【注】函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+，tan()y A x ωϕ=+（ω有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把ω化为正数后再求解．（6）函数sin()y A x ωϕ=+图象的对称轴为ππ()2k x k ϕωωω=−+∈Z ，对称中心为π(,0)()k k ϕωω−∈Z ；函数cos()y A x ωϕ=+图象的对称轴为π()k x k ϕωω=−∈Z ，对称中心为ππ(,0)()2k k ϕωωω−+∈Z ；函数tan()y A x ωϕ=+图象的对称中心为π(,0)()2k k ϕωω−∈Z .【注】函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线都为对称轴. 函数tan()y A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点和渐近线与x 轴的交点都为对称中心，无对称轴.【题型精讲】题型一三角函数的周期性【例1-1】求下列函数的周期： (1)2sin3x y =； (2)()cos 4y x =−； (3)3cos 34x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； (4)tan y x =−．【答案】(1)3π (2)2π (3)6π (4)π 【解析】【分析】根据三角函数周期公式即可得到结果. (1) ∵2sin3x y = ∴周期2323T ππ==； (2)∵()cos 4y x =−， ∴周期242T ππ==−； (3)∵3cos 34x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴周期2613T；(4)∵tan y x =−， ∴周期1T ππ==.【例1-2】求函数|sin |y x =的最小正周期．【答案】π 【解析】【分析】根据函数图象的变换规则画出函数图象，即可得到函数的最小正周期；【详解】解：函数|sin |y x =是将sin y x =位于x 轴下方的图象关于x 翻折上去，函数图象如下所示，所以最小正周期为π【例1-3】设ω为实数，函数()3sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，则ω的值为（） A ．2 B ．4± C ．4π D ．4π±【答案】B 【解析】【分析】根据正弦函数的周期公式计算即可得到答案. 【详解】由题意可得2||2ππω=，则4ω=±，故选:B .【例1-4】函数22()cos sin 1f x x x =−+的周期为___________；【答案】π 【解析】【分析】利用降幂公式化简，即可求出答案. 【详解】22()cos sin 1cos 21f x x x x =−+=+, 所以()f x 的周期为：22T ππ== 故答案为：π.【练习1-1】求下列函数的周期.（1）()2sin 36y x x R π⎛⎫=−∈ ⎪⎝⎭；（2）()sin 2y x x R =∈.【答案】（1）23π（2）2π 【解析】（1）由2T πω=求解即可；（2）画出函数图像,根据图像得到周期即可【详解】（1）由题,3ω=,则223T ππω==（2）（图像法）作出函数()sin 2y x x R =∈的图像,如图所示,由图像可得,函数()sin 2y x x R =∈的周期为2π【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期,考查正弦型函数的图像的应用【练习1-2】函数()()22cos 2sin 0f x x x ωωω=−>的最小正周期为π2，则ω的值为（）． A ．2 B ．4C ．1D ．12【答案】A 【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式可得()31cos 222f x x ω=−，结合求最小正周期的公式2πT ω=计算即可. 【详解】解：()()1cos 2311cos 2cos 2222x f x x x ωωω+=−−=−，由0ω>得函数的最小正周期为2ππ22T ω==， ∴2ω=，故选：A ．【练习1-3】已知函数()tan (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，则ω的值是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】由正切函数的周期公式可求解. 【详解】由题意，22ππωω=⇒=. 故选：B题型二三角函数的奇偶性【例2-1】判断下列函数的奇偶性．(1)2sin 2y x =−； (2)sin y x =； (3)3cos 1y x =+； (4)tan 1y x =−．【答案】(1)奇函数； (2)偶函数； (3)偶函数；(4)既不是奇函数，也不是偶函数. 【解析】【分析】根据给定的各个函数，结合奇偶函数的定义逐一判断分别作答. (1)函数2sin 2y x =−的定义域为R ，因2sin 2()2sin(2)(2sin 2)x x x −−=−−=−−，所以2sin 2y x =−是奇函数. (2)函数sin y x =的定义域为R ，因|sin()||sin ||sin |x x x −=−=，所以sin y x =是偶函数. (3)函数3cos 1y x =+的定义域为R ，因3cos()13cos 1x x −+=+，所以3cos 1y x =+是偶函数. (4)函数tan 1y x =−的定义域为{R |,Z}2x x k k ππ∈≠−∈，而tan()1tan 1x x −−=−−，显然tan()1(tan 1)x x −−≠−−，并且tan()1tan 1x x −−≠−，所以tan 1y x =−既不是奇函数，也不是偶函数.【例2-2】已知()()2sin 32f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ=__________．（写出一个值即可）【答案】2π（答案不唯一）【解析】【分析】根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：因为()()2sin 32f x x ϕ=+是奇函数，所以2k ϕπ=，k Z ∈，解得2k πϕ=，k Z ∈．故答案为：2π（答案不唯一）【练习2-1】判断下列函数的奇偶性：(1)()()cos 2cos 2f x x x ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=； (2)()cos 1sin x f x x =−； (3)()f x 【答案】(1)函数()f x 为奇函数 (2)函数()f x 为非奇非偶函数 (3)函数()f x 既是奇函数又是偶函数【解析】【分析】(1)把解析式化简成sin y A x ω=型或cos y A x ω=型，来判断其奇偶性； (2)先求一下定义域，再进行奇偶性判断； (3)先求一下定义域，再进行奇偶性判断； (1)函数()f x 的定义域为R ,()()cos 2cos (sin 2)(cos )sin 2cos 2f x x x x x x x ππ⎛⎫++=−=⎪⎝⎭=−故()()sin(2)cos()sin 2cos f x x x x x f x −=−−=−=−，故函数()f x 为奇函数 (2)函数()f x 定义域为2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭,不关于原点中心对称，故函数()f x 为非奇非偶函数 (3)由cos 1x =，得函数()f x 定义域为{}=2,x x k k Z π∈，关于原点中心对称，此时，()f x =则有()()0f x f x −==，且()()0f x f x −==− 故函数()f x 既是奇函数又是偶函数【练习2-2】若02πα<<，()sin 2)4(g x x πα++=是偶函数，则α的值为________．【答案】4π 【解析】【分析】正弦型函数()sin()(0,0)f x A x A ωφω=+>>若成为偶函数，则必有一条对称轴是y 轴，即(0)=f A ，解之即可.【详解】要使()sin 2)4(g x x πα++=成为偶函数，则必有()0=1g即1sin )4(=πα+，故=42k k Z ππαπ++∈，,又有02πα<<，所以=4πα 故答案为：4π 题型三三角函数的对称性【例3-1】求函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴和对称中心.【答案】对称轴为,212k x k Z ππ=+∈；对称中心为,0,26⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭k k Z ππ 【解析】【分析】结合3sin y x =的性质，分别令232x k πππ+=+和23x k ππ+=可解得对称轴和对称中心.【详解】由232x k πππ+=+，得,212k x k Z ππ=+∈，所以对称轴为,212k x k Z ππ=+∈. 由23x k ππ+=，得,26k x k Z ππ=−∈，所以对称中心为,0,26k k Z ππ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭.【例3-2】函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=−> ⎪⎝⎭的图像关于直线2x π=对称，则ω可以为（） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C 【解析】【分析】()cos()(0)3f x x πωω=−>的对称轴为3x k πωπ−=，化简得到22(0)3k ωω=+>得到答案.【详解】()cos()(0)3f x x πωω=−>对称轴为：22(0)()3233x k k k k Z πππωπωπωω−=⇒−=⇒=+>∈ 当0k =时，ω取值为23. 故选:C.【例3-3】已知函数()cos (0)4f x x πωω⎛⎫=−> ⎪⎝⎭在区间[0，π]上有且仅有3条对称轴，则ω的取值范围是（） A ．（134，174] B ．（94，134]C ．[94，134）D ．[134，174）【答案】C 【解析】【分析】求出函数的对称轴方程为()144k x πω+=，k Z ∈，原题等价于()1404k ππω+≤≤有3个整数k符合，解不等式1424143ω+⨯≤<+⨯即得解. 【详解】解：()cos (0)4f x x πωω⎛⎫=−> ⎪⎝⎭，令4x k πωπ−=，k Z ∈，则()144k x πω+=，k Z ∈，函数f （x ）在区间[0，π]上有且仅有3条对称轴，即()1404k ππω+≤≤有3个整数k 符合，()1404k ππω+≤≤，得140101444kk ωω+≤≤⇒≤+≤，则0,1,2k =，即1424143ω+⨯≤<+⨯，∴91344ω≤<. 故选：C.【练习3-1】已知函数()sin cos f x x x =+，R x ∈.求：(1)()f x 的图像的对称轴方程； (2)()f x 的图像的对称中心坐标. 【答案】(1)4x k ππ=+，Z k ∈(2),04k ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭，Z k ∈【解析】【分析】先将函数化简为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后整体代换ωx ＋φ即可求出对称轴和对称中心﹒ (1)()sin cos 4f x x x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋＋．由42x k k Z πππ∈＋＝＋，，得4x kx k Z π∈＝＋，；(2)由4x k k Z ππ∈＋＝，，得4x k k Z ππ−∈＝，，∴对称中心为04k k Z ππ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭，，﹒ 【练习3-2】已知函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线3x π=对称，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）AB C ．D 【答案】B 【解析】【分析】先由对称性求得a ，再将4π代入函数解析式即可求得答案. 【详解】因为()f x 的图象关于直线3x π=对称，所以()203f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即1122=−，解得a =422f π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．故选：B题型四三角函数的单调性【例4-1】函数2cos 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为（）A ．()2ππ,2π,Z k k k −∈B ．()2π,2ππ,Z k k k +∈C ．7ππ(2π,2π),Z 66k k k −−∈ D ．π5π(2π,2π),Z 66k k k −+∈【答案】C 【解析】【分析】根据给定函数，利用余弦函数的单调性直接列式，求解作答. 【详解】由2ππ2π,Z 6k x k k π−≤+≤∈，解得2π2π,Z 66k x k k 7ππ−≤≤−∈，所以所求函数的增区间为7ππ(2π,2π),Z 66k k k −−∈. 故选：C【例4-2】已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，则实数ω的取值范围是（） A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)1,2D ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】依题意可得22T ππ≥−，再根据周期公式即可求出ω的大致范围，再根据x 的取值范围，求出6x πω+的取值范围，根据ω的范围求出左端点的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可；【详解】解：依题意222T πππ≥−=，即T π≥，又2T πω=，所以20ππωω⎧≥⎪⎨⎪>⎩，解得02ω<≤，又,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以,2666x πππωωωππ⎥+∈+⎡⎤⎢⎣⎦+，所以76662ππωππ≤<+，要使函数在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，所以226362πππωπππω⎧≤+⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得2433ω≤≤，即24,33ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故选：B【练习4-1】已知函数2()22cos f x x x =+. （1）求函数()f x 的值域；（2）求函数()f x 单调递增区间.【答案】(1) [1,3]−, (2) (),36k k k Z ππππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先对函数化简为()f x 2sin(2)16x π=++，然后利用正弦函数的取值范围可求出()f x 的值域；（2）由222262k x k πππππ−≤+≤+解出x 的范围就是所要求的递增区间.【详解】解：2()22cos 2cos 21f x x x x x =+=++1sin 2cos 2)122x x =++ 2sin(2)16x π=++（1）因为1sin(2)16x π−≤+≤，所以12sin(2)136x π−≤++≤所以()f x 的值域为[1,3]−；（2）由222,262k x k k Z πππππ−≤+≤+∈，得,36k x k k Z ππππ−≤≤+∈，所以()f x 单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦【点睛】此题考查三角函数的恒等变换公式，正弦函数的性质，属于基础题.【练习4-2】函数()=sin2+1(0)f x x ωω>在ππ62⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω取值范围为_____【答案】102⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】【分析】根据题意可求得函数的单调区间，结合()=sin2x+1(0)f x ωω>在ππ62⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，列出不等式组，即可求得答案. 【详解】令ππ2π22π,(Z)22k x k k ω−+≤≤+∈，可得ππππ,Z 4ω4k k x k ωωω−+≤≤+∈，因为函数()sin2+1(0)f x x ωω=>在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故πππ46πππ42k k ωωωω⎧−+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得362,(Z)122k k k ωω⎧≥−+⎪⎪∈⎨⎪≤+⎪⎩，结合0>ω，故当0k =时，ω取值范围为102⎛⎤⎥⎝⎦，，1k时不符合题意，故ω取值范围为102⎛⎤⎥⎝⎦，，故答案为：102⎛⎤⎥⎝⎦，题型五 “五点法”作sin()y A x ωϕ=+的图像【例5-1】已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭.(1)利用“五点法”完成下面的表格，并画出()f x 在区间π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象； (2)解不等式()1f x ≥.【答案】(1)答案见解析(2)π7π,π()412k k k π⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【解析】【分析】（1）根据正弦函数的五点作图法可完成表格，利用五点作图法可得图象；（2）根据函数图象列式可求出结果. (1)完成表格如下：()f x 在区间π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示：(2)不等式()1f x ≥，即1sin 232x π⎛⎫−≥ ⎪⎝⎭.由ππ5π2π22π,636k x k k +≤−≤+∈Z ，解得π7πππ,412k x k k +≤≤+∈Z . 故不等式()1f x ≥的解集为π7ππ,π()412k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【练习5-1】设函数f (x )＝sin （2x +φ）（﹣π＜φ＜0），y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝8π，此对称轴相邻的对称中心为（308π，） (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)用五点法画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．【答案】(1)3()sin(2)4f x x π=−；(2)见解析. 【解析】【分析】（1）解方程sin 218πϕ⎛⎫⨯+=± ⎪⎝⎭即得解；（2）用五点法画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象． (1) 解：8x π=是函数()y f x =的一条对称轴，sin 218πϕ⎛⎫∴⨯+=± ⎪⎝⎭，即,42k k Z ππϕπ+=+∈0πϕ−<<，34πϕ∴=−所以3()sin(2)4f x x π=−.令32,4x k k Z ππ−=∈得3,28k x k Z ππ=+∈. 所以函数的对称中心为37(,0),(,0),(,0),888πππ−，，所以函数的解析式为3()sin(2)4f x x π=−.(2)解：由3sin 24y x π⎛⎫=− ⎪可知故函数3sin 24y x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭在区间[]0,π上的图像为：题型六三角函数的图像变换【例6-1】怎样由函数sin y x =的图象变换得到sin(2)3y x π=−的图象，试叙述这一过程．【答案】答案见解析【解析】【分析】利用函数sin(2)3y x π=−与函数sin y x =的关系直接叙述即可.【详解】把函数sin y x =的图象向右平移3π个单位得函数sin()3y x π=−的图象，再将所得图象上每一点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，即得函数sin(2)3y x π=−的图象.【例6-2】要得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（）A ．向左平移12π个单位长度 B ．向左平移512π个单位长度C ．向右平移12π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度【答案】B 【解析】【分析】由诱导公式化为同名函数，然后由图象平移变换求解．【详解】因为函数sin 2cos 2cos 224y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==−=− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，5cos 2cos 2cos 236412y x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=−+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以要得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位长度. 故选：B.【例6-3】将函数()2sin(2)3f x x π=−的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后得到的函数图象关于直线4x π=对称，则ϕ的最小值为（）A ．6π B ．23π C ．3πD ．8π 【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的图象变换，求得()2sin(22)3g x x πϕ=−−，结合()14g π=±，列出三角方程，即可求解. 【详解】将函数()2sin(2)3f x x π=−的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后，可得()22sin[2()]sin(22)33g x x x ππϕϕ=−−=−−，因为()g x 的图象关于直线4x π=对称，()sin(2)146g ππϕ=−−=±，即sin(2)16πϕ+=±，可得2,62k k ϕππ+=+π∈Z ，解得,62k k ϕππ=+∈Z ，又因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为6π. 故选：A.【练习6-1】【多选题】要得到函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭到的图象，只需将函数sin y x =的图象（）A ．向左平移π4单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的12B ．向右平移π8单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的12C ．每个点的横坐标缩短为原来的12，再向右平移π8单位长度D ．每个点的横坐标缩短为原来的12，再向左平移π8单位长度【答案】AD 【解析】【分析】根据图象的两种变换方式即可求解;先平移再伸缩可判断A,B,先伸缩再平移可判断C,D. 【详解】方式一：（先平移再伸缩）；将sin y x =先向左平移π4单位长度得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后将πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上每个点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变得到πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 对，方式二：（先伸缩再平移）；将sin y x =图像上每个点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变得到sin 2y x =，再将sin 2y x =向左平移π8单位长度得到πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故D 对，故选：AD【练习6-2】为了得到函数()sin2cos2f x x x =−的图像，可以将函数()f x x =的图像（）A ．向左平行移动8π个单位 B ．向右平行移动8π个单位 C ．向左平行移动4π个单位D ．向右平行移动4π个单位【答案】B 【解析】【分析】利用两角和差公式先将函数化简为()()sin f x A x =+ωϕ，然后再通过三角函数图像的伸缩平移得出答案. 【详解】由题意得()sin2cos2)2()48f x x x x x ππ⎡⎤=−=−=−⎢⎥⎣⎦，所以应把函数()f x x =的图像向右平移8π个单位.故选：B.【练习6-3】为了得到函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以将函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（） A ．向左平移5π24个单位 B ．向右平移7π24个单位 C ．向右平移5π24个单位 D ．向左平移7π24个单位【答案】B 【解析】【分析】先通过诱导公式将πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化为()5πsin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设平移了ϕ个单位，从而得到方程，求出7π24ϕ=−，得到答案.【详解】πππ5πcos 2sin 2sin 23326y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平移了ϕ个单位，得到()5πsin 226g x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则5ππ264ϕ+=，解得：7π24ϕ=−，即向右平移了7π24个单位. 故选：B题型七已知函数图像求解析式【例7-1】已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为_______________．【答案】()122sin 23f x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据给定的()f x 的图象，结合三角函数的性质，分别求得,A ω和ϕ的值，即可求解. 【详解】由题意，函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象，可得1422,()2233A T πππ==−−=，所以4T π=，可得212T πω==，即()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，又由4142()2sin()2sin()03233f πππϕϕ=⨯+=+=，结合三角函数的五点对应法，可得22,3k k Z πϕπ+=∈，即22,3k k Z πϕπ=−∈，又因为ϕπ<，所以23πϕ=−，所以()122sin 23f x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭.故答案为：()122sin 23f x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭.【例7-2】函数()()tan f x x ωϕ=+（0>ω）的部分图像如下图，则ϕ最小值为（）A ．6πB ．3πC ．4π D ．12π 【答案】A 【解析】【分析】由图象根据周期得出2ω=，再由62k ππωϕπ⋅+=−+即可求解.【详解】由图知22362ππππωω=−==>=，由62k ππωϕπ⋅+=−+解得5,6k k Z πϕπ=−+∈ 所以当1k =时，6π=ϕ. 故选：A【例7-3】如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y ).若初始位置为P 012⎫⎪⎪⎝⎭，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为（）A ．y ＝sin 306t ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．y ＝sin 606t ππ⎛⎫−− ⎪⎝⎭C ．y ＝sin 306t ππ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭D ．y ＝sin 303t ππ⎛⎫−− ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得初相，再根据周期，即可判断选择. 【详解】由题意可得，初始位置为P 0122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，不妨设初相为ϕ，故可得1sin 2ϕ=，cos ϕ6πϕ=.排除B 、D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝2||πω＝60，所以|ω|＝30π，即ω＝－30π.故满足题意的函数解析式为：ππsin t 306y ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭.故选：C .【练习7-1】如图是函数()(π3sin 0,2)y x ωϕωϕ=+><的图像的一部分，则此函数的解析式为___________．【答案】π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】首先由周期求出ω，再根据函数过点,06π⎛⎫− ⎪⎝⎭，即可求出ϕ，从而求出函数解析式.【详解】解：由图可知566T πππ⎛⎫=−−= ⎪⎝⎭，所以2T ππω==，解得2ω=，再由函数过点,06π⎛⎫− ⎪⎝⎭，所以π3sin 03ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭−，所以π2,Z 3k k ϕπ+=∈−，解得π2,Z 3k k ϕπ=+∈，因为π2ϕ<，所以π3ϕ=，所以π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故答案为：π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【练习7-2】已知函数()()tan 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭,()y f x =的部分图象如图所示,则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．3 BC ．1D 【答案】A 【解析】【分析】由124T π=可求得ω，由512k πωϕπ+=可求得ϕ，再由()01f =可求得A ，从而可得()y f x =的解析式，进而可求12f π⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】15,212642T T ππππ=−=∴=， 2Tπω∴==，代入512k πωϕπ+=得6π=ϕ， ()tan 26f x A x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，又()0tan 16f A π==，A =()26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，312663f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.题型八三角函数的综合应用【例8-1】已知函数()2sin cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的对称轴方程； (2)将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()1g x m −=在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有一解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）对称轴方程为,122k x k Z ππ=+∈；（2）){}11⎡⎣【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f （x ）的解析式，再利用正弦函数的对称性，求得函数f （x ）的对称轴方程．（2）由题意sin （2x ﹣3π）＝12m + 在[0， 2π）上恰有一解，再利用正弦函数的单调性，结合函数y ＝sin （2x ﹣3π）的图象，求得实数m 的取值范围．【详解】（1）∵函数f （x ）＝2sin x cos x（x +4π）cos （x +4π）＝sin2x （2x +2π）＝sin2xx ＝2sin （2x +3π），∴令2x +3π＝k π+2π，求得x ＝212k ππ+，k ∈Z ，故函数f （x ）的对称轴方程为x ＝212k ππ+，k ∈Z ．（2）将函数f （x ）的图象向右平移3π个单位长度，得到函数g （x ）＝2sin （2x ﹣23π+3π）＝2sin （2x ﹣3π）的图象，若关于x 的方程g （x ）﹣1＝m 在[0，2π）上恰有一解，即2sin （2x ﹣3π）＝1+m 在[0，2π）上恰有一解，即sin （2x ﹣3π）＝12m + 在[0，2π）上恰有一解．在[0，2π）上，2x ﹣3π∈[﹣3π，23π），函数y ＝sin （2x ﹣3π），当2x ﹣3π∈[﹣3π，2π]时，单调递增；当2x ﹣3π∈[2π，23π]时，单调递减，而sin （﹣3π）＝﹣2，sin 2π＝1，sin （23π2，12m +12m +＝11≤m ，或m ＝1，即实数m 的取值范围[11）∪{1}．【例8-2】建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过28℃时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调.如图是该市夏季一天的气温（单位：℃）随时间（t ≤≤024，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似的满足函数()()sin 0,0,y A t b A ωϕωϕπ=++>><关系.（1）求函数()y f x =的表达式；（2）请根据（1）的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？【答案】（1）()()2248sin 024123f t t t ππ⎛⎫=+−≤≤ ⎪⎝⎭（2）上午10时开启，下午18时关闭.【解析】【分析】（1）根据函数图象可知周期T ，进而根据2T πω=求得ω的值；结合函数的最大值和最小值，可求得A ，代入最低点坐标()216,，即可求得ϕ，进而得函数()f t 的解析式．（2）根据题意，令2248sin 28123t ππ⎛⎫+−> ⎪⎝⎭，解不等式，结合t 的取值范围即可求得开启和关闭中央空调时间．【详解】（1）由图知，()214224T =−=，所以224πω=，得12πω=.由图知，1632242b +==，321682A −==，所以()8sin 2412f t t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.将点()216,代入函数解析式得248sin 21612πϕ⎛⎫+⨯+= ⎪⎝⎭，得262k ππϕπ+=−，()k Z ∈即()223k k Z ϕππ=−∈又因为ϕπ<，得23ϕπ=−.所以()()2248sin 024123f t t t ππ⎛⎫=+−≤≤⎪⎝⎭. （2）依题意，令2248sin 28123t ππ⎛⎫+−>⎪⎝⎭，可得21sin 1232t ππ⎛⎫−>⎪⎝⎭，所以()252261236k t k k Z ππππππ+<−<+∈ 解得：()24102418k t k k Z +<<+∈，令0k =得，1018t <<，故中央空调应在上午10时开启，下午18时关闭.【练习8-1】已知函数2()sin 22cos (0)6f x x x πωωω⎛⎫=+−> ⎪⎝⎭，1x ，2x 是方程()0f x =的两个不相等的实根，且12x x −的最小值为π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的值域是1,02⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围【答案】（1）()sin(2)16f x x π=−−；（2）,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的性质，可知函数()f x 最小正周期π，再根据三角函数的周期性即可求出ω，进而求出函数()f x 的解析式；（2）由题意可知22666x m πππ≤−≤−，又()f x 的值域是1,02⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，可知1sin(2),162x π⎡⎤−∈⎢⎥⎣⎦，结合sin y x =的图象可知，52266m πππ≤−≤，由此即可求出结果.31【详解】（1）2()sin 22cos 6f x x x πωω⎛⎫=+− ⎪⎝⎭ sin 2cos cos2sin (cos21)66x x x ππωωω=+−+.12cos 212x x ωω=−− sin 216x πω⎛⎫=−− ⎪⎝⎭. 因为12x x −的最小值为π，所以()f x 的最小正周期22T ππω==，解得1ω=，所以函数()f x 的解析式为()sin(2)16f x x π=−−.（2）由6x m π≤≤，可得22666x m πππ≤−≤−，因为()f x 的值域是1,02⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，所以1sin(2),162x π⎡⎤−∈⎢⎥⎣⎦，结合sin y x =的图象可知，52266m πππ≤−≤ 解得32m ππ≤≤，所以m 的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

2021年新高考数学总复习讲义：三角函数的图像与性质

2021年新高考数学总复习讲义：三角函数的图像及性质知识讲解一、三角函数的图像和性质1.正弦函数图像和性质1）图像：2）定义域：R 3）值域：[11]，4）单调性： 5）奇偶性：奇函数 6）最小正周期：2 7）对称性：2.余弦函数图像和性质1）图像2）定义域：R 3）值域：[11]，xy -11-2π-π2ππo-3π23π2-π2π2xy -11-2π-π2ππo4）单调性：[22]x k k πππ，（k Z ）增函数 [22]x k k πππ，（kZ ）减函数5）奇偶性：偶函数 6）最小正周期：2π7）对称性：对称轴xk kZ π，；对称中心(0)2k k Zππ，，．3.正切函数图像和性质1）定义域：{|}2x xk k Z ππ，2）值域：R3）单调性：在()22k k ππππ，（k Z ）增函数．4）奇偶性：奇函数 5）最小正周期：π6）对称性：对称中心(0)2k k Zπ，，．二、三角函数的图像变换三角函数的几种变换：1）平移变换：函数sin()(0)yxϕϕ的图像可以看做将函数sin y x 的图像上的所有的点向左（当0ϕ时）或向右（当0ϕ时）平移ϕ个单位而得到．2）周期变换：函数sin()y xωϕ（0ω且1ω）的图像可以看做是把sin()yxϕ的图像上所有的点的横坐标缩短为（当1ω时）或伸长（当01ω时）到原来的1ω倍（纵坐标不变）而得到． 3）振幅变换：函数sin()yA xωϕ（0A 且1A ）的图像可以看做是将sin()yx ωϕ的图像上所有的点的纵坐标伸长（当1A 时）或缩短（当1A 时）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到．经典例题一．选择题（共15小题）1．（2018•新课标Ⅲ）函数f（x）=tanx1+tan2x的最小正周期为（）A．π4B．π2C．πD．2π2．（2018•海南三模）函数f(x)=1+12sin2x的最小正周期与最小值分别为（）A．2π，12B．π，12C．2π，1D．π，13．（2018•福建模拟）将函数y=sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=f（x）的图象，则（）A．y=f（x）的图象关于直线x=π8对称B．f（x）的最小正周期为π2C．y=f（x）的图象关于点(π2，0)对称D．f（x）在(−π3，π6)单调递增4．（2018•广西模拟）函数f(x)=cos(πx−π6)的图象的对称轴方程为（）A．x=k+23(k∈Z)B．x=k+13(k∈Z)C．x=k+16(k∈Z)D．x=k−13(k∈Z)5．（2018•宝鸡一模）函数f(x)=2sin(ωx+φ)(0＜ω＜12，|φ|＜π2)，若f(0)=−√3，且函数f（x）的图象关于直线x=−π12对称，则以下结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为π3B．函数f（x）的图象关于点(7π9，0)对称C．函数f（x）在区间(π4，11π24)上是增函数D．由y=2cos2x的图象向右平移5π12个单位长度可以得到函数f（x）的图象6．（2018•长沙一模）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为π2，若角φ的终边经过点(3，√3)，则f(π4)的值为（）A．√32B．√3C．2D．2√37．（2018•永州三模）将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π2）的图象向左平移π6个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，π2]上的最小值为（）A．√32B．12C ．﹣12D ．﹣√328．（2018•全国三模）已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)，f （x 1）=2，f （x 2）=0，若|x 1﹣x 2|的最小值为12，且f(12)=1，则f （x ）的单调递增区间为（） A ．[−16+2k ，56+2k ]，k ∈ZB ．[−56+2k ，16+2k ]，k ∈ZC ．[−56+2kπ，16+2kπ]，k ∈ZD ．[16+2k ，76+2k ]，k ∈Z9．（2018•广州一模）已知函数f （x ）=sin （ωx +π6）（ω＞0）在区间[﹣π4，2π3]上单调递增，则ω的取值范围为（） A ．（0，83]B ．（0，12]C ．[12，83]D ．[38，2]10．（2018•珠海二模）若函数f （x ）=cos （2x +φ）在（0，π2）上单调递减，则φ的值可能是（） A ．2πB ．πC ．π2D ．﹣π211．（2018•全国）要得到y=cosx ，则要将y=sinx （） A ．向左平移π个单位 B ．向右平移π个单位C ．向左平移π2个单位D ．向右平移π2个单位12．（2018•榆林一模）已知曲线C 1：y =sinx ，C 2：y =cos(12x −5π6)，则下列说法正确的是（）A ．把C 1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移π3，得到曲线C 2B ．把C 1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移2π3，得到曲线C 2C ．把C 1向右平移π3，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线C 2D ．把C 1向右平移π6，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线C 213．（2018•凌源市模拟）将函数f （x ）=2√3cos 2x ﹣2sinxcosx ﹣√3的图象向左平移t （t ＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（） A ．2π3B ．π3C ．π2D ．π614．（2018•四川模拟）若将函数y =sin2x +√3cos2x 的图象向左平移π6个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（）A ．x =kπ2−π12(k ∈Z) B ．x =kπ2+π2(k ∈Z)C ．x =kπ2(k ∈Z) D ．x =kπ2+π12(k ∈Z)15．（2018•河南模拟）已知点A(0，2√3)，B(π6，0)是函数f （x ）=4sin （ωx +φ）(0＜ω＜6，π2＜φ＜π)的图象上的两个点，若将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则函数g （x ）的图象的一条对称轴的方程为（） A ．x =π12 B ．x =π6 C ．x =π3D ．x =5π12二．填空题（共8小题）16．（2018•宝山区二模）函数 f （ x ）=2sin 4x cos 4x 的最小正周期为17．（2018•浦东新区三模）函数y=cos （2x +π4）的单调递减区间是．18．（2017•江苏模拟）若函数f （x ）=sin （ωx +π6），（ω＞0）最小正周期为π，则f （π3）的值为．19．（2017•上海一模）函数y=sin （ωx ﹣π3）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= ．20．（2018•江苏）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣π2＜φ＜π2）的图象关于直线x=π3对称，则φ的值为．21．（2018•浙江模拟）已知函数f（x）=2sin（2x+π3）+1，则f（x）的最小正周期是，f（x）的最大值是.22．（2018•南通模拟）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）在R上的部分图象如图所示，则f（2018）的值为．23．（2017•江苏模拟）将函数y=5sin（2x+π4）的图象向左平移φ（0＜φ＜π2）个单位后，所得函数图象关于y轴对称，则φ=．三．解答题（共6小题）24．（2016•海淀区模拟）已知函数f（x）=2√2sinxcos（x+π4）．（Ⅲ）若在△ABC中，BC=2，AB=√2，求使f（A﹣π4）=0的角B．（Ⅲ）求f（x）在区间[π2，17π24]上的取值范围．25．（2018•海淀区二模）如图，已知函数f（x）=Asinx（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象经过B(π6，0)，C(2π3，0)，D(5π12，2)三点2（Ⅲ）写出A，ω，φ的值；（Ⅲ）若α∈(5π12，2π3)，且f（α）=1，求cos2α的值．26．（2018•朝阳区二模）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）﹣a的图象经过点（π2，1），a∈R．（1）求a的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）若当x∈[0，π2]时，不等式f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．27．（2017•北京）已知函数f（x）=√3cos（2x﹣π3）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣π4，π4]时，f（x）≥﹣12．28．（2018•玉溪模拟）已知函数f（x）=sin2x+√3sinx•cosx+2cos2x，x∈R （1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象经过怎样的变换得到？29．（2018•海淀区校级三模）若函数y=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．求：（Ⅲ）ω和φ；（Ⅲ）f（x）在区间(0，π3)上的取值范围．。

高三总复习讲义三角函数的图像与性质

高三数学总复习讲义——三角函数性质与图像知识清单：反三角函数符号的运用:arc sin ,22a ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦、[]arc cos 0,a π∈、arc tan (,)22a ππ∈-注意：反三角数符号只表示．．．这个范围的角，其他范围的角需要用诱导公式变到这个范围.备注：以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象．．．．．．．．．．. 函数s i n ()y A x ωϕ=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握.如①sin y x=−−−−→图例变化为②sin()y A x ωϕ=+(A >0,ω>0)相应地，①的单调增区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦−−−→变为2222k x k πππωϕπ-+++≤≤的解集是②的增区间.注:⑴)sin(ϕω+=x y 或cos()y x ωϕ=+（0≠ω）的周期ωπ2=T ;sin y x =cos y x =()ϕω+=x A y sin （A 、ω＞0）定义域 RRR值域 [1,1]-[1,1]-[]A A ,-周期性π2π22πω奇偶性奇函数偶函数当,0≠ϕ非奇非偶, 当,0=ϕ奇函数单调性[2,2]22k k ππππ-++上为增函数； 3[2,2]22k k ππππ++上为减函数. （Z k ∈） ()[21,2]k k ππ-上为增函数;()[2,21]k k ππ+上为减函数. （Z k ∈）12222,k k ππϕππϕωω⎡⎤--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦上增函数；32222,k k ππϕππϕωω⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦上减函数（Z k ∈）tan y x =cot y x =定义域 1|,2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭且{}|,x x R x k k Z π∈≠∈且值域 RR周期性 ππ奇偶性奇函数奇函数单调性⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππk k 2,2上为增函数（Z k ∈）()()ππ1,+k k 上为减函数（Z k ∈）⑵sin()y x ωϕ=+的对称轴方程是2x k ππ=+（Z k ∈），对称中心(,0)k π；cos()y x ωϕ=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈），对称中心1(,0)2k ππ+；)tan(ϕω+=x y 的对称中心（0,2πk ）.写出满足条件的x 的集合sinx>cosx ________________________________ sinx<cosx _________________________________ |sinx|>|cosx| __________________________________ |sinx|<|cosx| __________________________________课前预习1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 . 2．函数1π2sin()23y x =+的最小正周期T = ．3．函数sin2x y =的最小正周期是（）(A)2π(B)π (C) 2π (D) 4π4．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是( )(A)]3,0[π(B)]127,12[ππ(C) ]65,3[ππ(D)],65[ππ5．函数22cos()()363y x x πππ=-≤≤的最小值是（）()2A - ()3B - ()1C - ()1D6．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（）(A)向右平移6π个单位长度 (B)向右平移3π个单位长度 (C)向左平移6π个单位长度 (D)向左平移3π个单位长度7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移3π个单位，所得图象的解析式是__________________.8．函数sin 3cos y x x =+在区间[0,2π]的最小值为______.9．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +325（x ∈R ）⑴求f (x )的最小正周期； ⑵求f (x )单调区间； ⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。

高考数学(理)总复习讲义：三角函数的图象与性质

第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图❶在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质❷正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的．判断三角函数的奇偶性，应首先判断函数定义域是否关于原点对称．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y ＝sin t 的相应单调区间求解，否则将出现错误．写单调区间时，不要忘记k ∈Z.(1)y ＝tan x 无单调递减区间；(2)y ＝tan x 在整个定义域内不单调.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期都是2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期是π|ω|.[熟记常用结论]1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)，则： (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z)；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z)．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( ) (2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴．( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 二、选填题1．函数y ＝tan 3x 的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ≠3π2＋3k π，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6＋k π，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π6＋k π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6＋k π3，k ∈Z解析：选D 由3x ≠π2＋k π(k ∈Z)，得x ≠π6＋k π3，k ∈Z.2．函数y ＝2－cos x3(x ∈R)的最大值和最小正周期分别是( )A ．2,3πB ．1,6πC ．3,6πD ．3,3π解析：选C 由y ＝2－cos x 3知，y max ＝2－(－1)＝3，最小正周期T ＝2π13＝6π.3．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选B 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π， ∵sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝1， ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象关于直线x ＝π3对称． 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的对称轴为______________，对称中心为________________．解析：由x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝3π4＋k π，k ∈Z ；由x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝π4＋k π，k ∈Z ，故函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的对称轴为x ＝3π4＋k π，k ∈Z ，对称中心为⎝⎛⎭⎫π4＋k π，0，k ∈Z.答案：x ＝3π4＋k π，k ∈Z ⎝⎛⎭⎫π4＋k π，0，k ∈Z 5．函数f (x )＝32cos x －12sin x ()x ∈[0，π]的单调递增区间为________．解析：f (x )＝32cos x －12sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，由2k π－π≤x ＋π6≤2k π(k ∈Z)，得2k π－7π6≤x ≤2k π－π6(k ∈Z)．∵x ∈[0，π]，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤5π6，π上单调递增．答案：⎣⎡⎦⎤5π6，π 6．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________．解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22. 答案：－22考点一三角函数的定义域[基础自学过关][题组练透]1．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6，k ∈Z解析：选D 由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z)，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z)，故选D.2．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．解析：法一：要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上函数y ＝sin x 和函数y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期性，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .法二：利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .答案：⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z) 3．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 [名师微点]求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．考点二三角函数的值域(最值) [师生共研过关][典例精析](1)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． (2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． (3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为_________________________________． [解析] (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， ∴函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. (2)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则－2≤t ≤2，t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，则sin x cos x ＝1－t 22， ∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1. [答案] (1)⎣⎡⎦⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎡⎦⎤－12－2，1 [解题技法]求三角函数的值域(最值)的3种类型及解法思路(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[过关训练]1．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，－π3≤x ≤π6，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C. 3D.3＋1解析：选C f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.因为－π3≤x ≤π6，所以－π6≤x ＋π6≤π3，故当x ＝π6时，f (x )取最大值为3，故选C.2．(2018·北京高考)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值．解：(1)因为f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6. 要使f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32，即sin ⎝⎛⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为1. 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3.所以m 的最小值为π3.考点三三角函数的单调性[全析考法过关][考法全析]考法(一) 求三角函数的单调区间[例1] (1)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间为________________． (2)函数y ＝|tan x |的单调递增区间为______________，单调递减区间为________________．[解析] (1)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－sin ⎝⎛⎫2x －π3的单调递减区间是函数y ＝sin ⎝⎛⎫2x －π3的单调递增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.故所给函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z. (2)作出函数y ＝|tan x |的图象，如图．观察图象可知，函数y ＝|tan x |的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ；单调递减区间为⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z.[答案] (1)⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z (2)⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z 考法(二) 已知三角函数的单调性求参数[例2] (2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4D ．π[解析] f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增，则函数f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减． ∵函数f (x )在[－a ，a ]是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，∴0＜a ≤π4， ∴a 的最大值为π4.[答案] A[规律探求]1．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π，则以下结论正确的是( ) A ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，0上单调递减 B ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增 C ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，5π6上单调递减 D ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤5π6，π上单调递增解析：选C 由x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－4π3，－π3，所以函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，4π3，所以函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎡⎦⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎡⎦⎤4π3，5π3，所以函数f (x )先减后增．故选C.2．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析：∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3，∴ω＝32. 答案：323．若函数y ＝12sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π12上单调递减，则ω的取值范围是________．解析：因为函数y ＝12sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π12上单调递减，所以ω＜0且函数y ＝12sin(－ωx )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π8上单调递增，则⎩⎨⎧ω＜0，－ω·⎝⎛⎭⎫－π12≥2k π－π2，k ∈Z ，－ω·π8≤2k π＋π2，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧ω＜0，ω≥24k －6，k ∈Z ，ω≥－16k －4，k ∈Z ，解得－4≤ω＜0.答案：[－4,0)考点四三角函数的周期性、奇偶性、对称性[全析考法过关][考法全析]考法(一) 三角函数的周期性[例1] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③[解析] ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，故选A. [答案] A考法(二) 三角函数的奇偶性[例2] (2019·抚顺调研)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为________．[解析] ∵函数f (x )为偶函数，∴θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)．又θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经检验符合题意．[答案]π6考法(三) 三角函数的对称性[例3] (1)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫5π3，0对称 C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称 (2)(2018·江苏高考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2＜φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________．[解析] (1)因为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，而T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6.令x 2＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝2π3＋2k π(k ∈Z)，故f (x )的对称轴为x ＝2π3＋2k π(k ∈Z)．令x 2＋π6＝k π(k ∈Z)，解得x ＝－π3＋2k π(k ∈Z)，故f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π3＋2k π，0(k ∈Z)，对比选项可知B 正确． (2)由题意得f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝±1， ∴2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，∴φ＝k π－π6(k ∈Z)． ∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π6. [答案] (1)B (2)－π6[规律探求][过关训练]1．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0＜θ＜π)的图象关于⎝⎛⎭⎫π2，0中心对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值是________．解析：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π6，又图象关于⎝⎛⎭⎫π2，0中心对称，所以2×π2＋θ＋π6＝k π(k ∈Z)，所以θ＝k π－7π6(k ∈Z)，又0＜θ＜π，所以θ＝5π6，所以f (x )＝－2sin 2x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π6，所以2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π3，f (x )∈[－3，2]，所以f (x )的最小值是－ 3. 答案：－ 32．若x ＝π8是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，x ∈R 的一个零点，且0＜ω＜10，则函数f (x )的最小正周期为________．解析：依题意知，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8－π4＝0，即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z. 又因为0＜ω＜10，所以0＜8k ＋2＜10，得－14＜k ＜1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π. 答案：π[课时跟踪检测]一、题点全面练1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减 C.⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：选C 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，k∈Z.当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于⎝⎛⎭⎫π6，0对称． 3．(2018·昆明第二次统考)若直线x ＝a π(0＜a ＜1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，则不等式tan x ≥2a 的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＋π6≤x ＜k π＋π2，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | k π＋π3≤x ＜k π＋π2，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z解析：选B 由题意得直线x ＝a π(0＜a ＜1)是正切函数的渐近线，所以x ＝π2，即a ＝12，则原不等式可化为tan x ≥1，所以k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z ，故选B.4．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选A 由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.5．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.6．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B ∵f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝1＋cos 2x －1－cos 2x 2＋2＝32cos 2x ＋52，∴f (x )的最小正周期为π，最大值为4.故选B.7．若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为________．解析：由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z)，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z)，∵ω＞0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π6.答案：π68．(2019·石家庄模拟)已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递减，则ω＝________.解析：因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝0，即f ⎝⎛⎭⎫π3＝0，因为f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3ω＋π3＝0，所以π3ω＋π3＝k π(k ∈Z)，解得ω＝3k －1(k ∈Z)．又12·2πω≥π2－π6，ω＞0，所以ω＝2. 答案：29．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z.所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z. (2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2. 10．(2019·武汉调研)已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫2cos 2x2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．解：已知函数f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a ＞0时，得⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a ＜0时，得⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．(2019·长沙模拟)函数f (x )＝|sin x |·cos x 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π解析：选D 易知函数f (x )＝⎩⎨⎧12sin 2x (2k π≤x ≤2k π＋π)，－12sin 2x (2k π－π≤x ＜2k π)k ∈Z ，结合函数f (x )的图象，易知函数f (x )的最小正周期为2π.2．(2019·厦门模拟)函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x ，x ∈[0，π]的单调递增区间为________．解析：y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )·(sin 2x －cos 2x )＋3sin 2x ＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，令k ＝0，得－π6≤x ≤π3，又0≤x ≤π，所以0≤x ≤π3；令k ＝1，得5π6≤x ≤4π3，又0≤x ≤π，所以5π6≤x ≤π，所以函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x 在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3，⎣⎡⎦⎤5π6，π. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π3，⎣⎡⎦⎤5π6，π 3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6， ∵当x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴结合函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.答案：⎣⎡⎦⎤π3，π(二)素养专练——学会更学通4．[直观想象]设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3(x 1＜x 2＜x 3)，则2x 1＋3x 2＋x 3的值为( )A ．π B.3π4 C.3π2D.7π4解析：选D 由题意x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8，则 2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π2，画出函数f (x )的大致图象，如图所示．由图可得，当22≤a ＜1时，方程f (x )＝a 恰有三个根．由2x ＋π4＝π2，得x ＝π8；由2x ＋π4＝3π2，得x ＝5π8.由图可知，点(x 1，a )与点(x 2，a )关于直线x ＝π8对称，点(x 2，a )和点(x 3，a )关于直线x＝5π8对称，所以x 1＋x 2＝π4，x 2＋x 3＝5π4，所以2x 1＋3x 2＋x 3＝2(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＝7π4. 5．[逻辑推理]设定义在R 上的函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π12＜φ＜π2，给出以下四个论断：①f (x )的最小正周期为π；②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π6，0上是增函数；③f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；④f (x )的图象关于直线x ＝π12对称．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题(写成“p ⇒q ”的形式)__________．(用到的论断都用序号表示)解析：若f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)．同时若f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，则sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝±1，又－π12＜φ＜π2，∴2×π12＋φ＝π2，∴φ＝π3，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，②③成立，故①④⇒②③.若f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，同时若f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，则2×π3＋φ＝k π，k ∈Z ，又－π12＜φ＜π2，∴φ＝π3，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，②④成立，故①③⇒②④. 答案：①④⇒②③或①③⇒②④6．[数学运算]已知函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx －32(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调递减区间； (2)若f (x )＞22，求x 的取值集合．解：(1)f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx －32＝32(1＋cos 2ωx )＋12sin 2ωx －32＝32cos 2ωx ＋12sin 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3.因为最小正周期为2π2ω＝π，所以ω＝1，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z. (2)由f (x )＞22，得sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＞22，由正弦函数的性质得π4＋2k π＜2x ＋π3＜3π4＋2k π，k ∈Z ，解得－π24＋k π＜x ＜5π24＋k π，k ∈Z ，则x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π24＋k π＜x ＜5π24＋k π，k ∈Z .7．[直观想象、数学运算]已知函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π3cos x ＋ 3. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同的零点x 1，x 2，求实数m 的取值范围，并计算tan(x 1＋x 2)的值．解：(1)因为f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 cos x ＋3＝4⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x cos x ＋3＝2sin x cos x －23cos 2x ＋3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)．所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)． (2)函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同的零点x 1，x 2，即函数y ＝f (x )与直线y ＝m 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的图象有两个不同的交点，在直角坐标系中画出函数y ＝f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当m ∈[3，2)时，方程f (x )＝m 有两个不同的解x 1，x 2，且x 1＋x 2＝2×5π12＝5π6，故tan(x 1＋x 2)＝tan 5π6＝－tan π6＝－33.。

三角函数的图像和性质复习讲义

《三角函数的图像与性质》复习讲义【考纲说明】1.能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图像，了解三角函数的周期性；2.借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、周期性、图像与x 轴交点等）；3.结合具体实例，了解)sin(ϕω+=x A y 的实际意义；【知识梳理】一、三角函数的图像与性质1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：2、函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的性质振幅：A ；最大值是A B +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴所在直线的方程是由方程)(2Z k k x ∈+=+ππϕω解得；凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

二、三角函数图像的变换1、五点法作y=Asin （ωx+ϕ）的简图：五点取法是设t=ωx+ϕ，由t 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）. 2、三角函数的图像变换三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．由y ＝sinx 的图象利用图象变换可得到函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象。

注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴方向的伸缩量的区别。

三、三角函数中解题常用方法1、由y ＝sinx 的图象变换出y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

途径一：先平移变换（相位变换），再周期变换(横向伸缩变换)，最后振幅变换（纵向伸缩变换）；途径二：先周期变换(横向伸缩变换)，再平移变换（相位变换），最后振幅变换（纵向伸缩变换）。

2、由y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：（图像或性质）确定解析式y=Asin （ωx+ϕ）的题型，通常先通过函数的最值确定A ，再根据周期确定ω，最后代入某个中心点坐标来完成ϕ的确定。

高考一轮复习讲义第三讲学生三角函数的图像与性质

第三讲---三角函数的图像与性质本讲义主要内容：第一部分：【知识回顾】若)(xfy=在],[ba上递增（减），则)(xfy-=在],[ba上递减（增）.②xy sin=与xy cos=的周期是π.③)sin(ϕω+=xy或)cos(ϕω+=xy（0≠ω）的周期ωπ2=T.2tanxy=的周期为2π（πωπ2=⇒=TT，如图，翻折无效）.④)sin(ϕω+=xy的对称轴方程是2ππ+=kx（Zk∈），对称中心（0,πk）；)c o s(ϕω+=xy的对称轴方程是πkx=（Zk∈），对称中心（0,21ππ+k）；)t a n(ϕω+=xy的对称中心（0,2πk）.xxyxy2cos)2cos(2cos-=--=−−−→−=原点对称⑤当αtan·,1tan=β)(2Zkk∈+=+ππβα；αtan·,1tan-=β)(2Zkk∈+=-ππβα.⑥xy cos=与⎪⎭⎫⎝⎛++=ππkxy22sin是同一函数,而)(ϕω+=xy是偶函数，则)cos()21sin()(xkxxyωππωϕω±=++=+=.⑦函数xy tan=在R上为增函数.（×）[只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，xy tan=为增函数，同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是)(xf具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(xfxf=-，奇函数：)()(xfxf-=-）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：xy tan=是奇函数，)31tan(π+=xy是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x∈0的定义域，则)(xf一定有0)0(=f.（x∉0的定义域，则无此性质）⑨xy sin=不是周期函数；xy sin=为周期函数（π=T）xy cos=是周期函数（如图）；xy cos=为周期函数（=T212cos+=xy的周期为π（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：Rkkxfxfy∈+===),(5)(.⑩abbabay=+++=+=ϕϕαβαcos)sin(sincos22有yba≥+22.知识点二三角函数图象的作法：１）、几何法：２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.３）、利用图象变换作三角函数图象．三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期2||Tπω=，频率1||2fTωπ==，相位;xωϕ+初相ϕ（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω倍，得到y＝sinωx的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)y=|cos2x+1/2|图象由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象叫做沿y 轴方向的平移．（用y+(-b)替换y ）由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。

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