高三总复习讲义三角函数的图像与性质
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(1) ； (2) 变式1：已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等 于
（） （A） （B） （C）2 （D）3 变式2：函数y=2sinx的单调增区间是（ ）
A．［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z）B．［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z） C．［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）D．［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z） 变式3：关于x的函数f（x）=sin（x+）有以下命题： ①对任意的，f（x）都是非奇非偶函数； ②不存在，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；
（3）若（），求证：方程在内没有实数解． （参考数据：，）
实战训练B
1.（全国一8）为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
2.（全国二8）若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为
（）
A．1
B．
C．
D．2
③存在，使f（x）是奇函数；
④对任意的，f（x）都不是偶函数。 其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不 成立。
变式4、函数的最小正周期是
.
变式5、下列函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函
数是( ) (A)y=lgx2
(B)y=|sinx|
(C)y=cosx (D)y=
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
9．（2007年江西卷文8）．若，则下列命题正确的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10．（2007年湖北卷理2）．将的图象按向量平移，则平移后所得图象
的解析式为（ ）
Ａ． Ｂ．Ｃ．Ｄ．
11．（2007年海南宁夏卷理3）．函数在区间的简图是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
12．（2007年广东卷理3）．若函数，则f(x)是
课前预习
1．函数的最小正周期是
.
2． 函数的最小正周期T= ．
3．函数的最小正周期是（ ）
(A)
(B)
(C) (D)
4．函数为增函数的区间是( )
(A) (B)
(C) (D)
5．函数的最小值是（ ）
6．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
(A)向右平移个单位长度
(B)向右平移个单位长度
(C)向左平移个单位长度
变式6、已知，求函数的值域
变式7、已知函数
⑴求它的定义域和值域；
⑵求它的单调区间；
⑶判断它的奇偶性；
⑷判断它的周期性.
EG4、三角函数的简单应用
电流I随时间t 变化的关系式，，设 ，． (1) 求电流I变化的周期； (2) 当(单位)时，求电流I．
变式1：已知电流I与时间t的关系式为． （１）右图是（ω＞0，） 在一个周期内的图象，根据图中数据求的解析式； （２）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值， 那么ω的最小正整数值是多少？ 变式2：如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似
18．（北京卷15）．（本小题共13分） 已知函数（）的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．
19．（四川卷17）．（本小题满分12分） 求函数的最大值与最小值。
20．（天津卷17）（本小题满分12分） 已知函数（）的最小值正周期是． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合． 21．（安徽卷17）．已知函数 （Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数在区间上的值域 22．（山东卷17）已知函数f(x)＝为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相 邻对称轴间的距离为 （Ⅰ）f（）的值； （Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点 的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象， 求g(x)的单调递减区间.
A． B． C． D．
21．（2007年安徽卷理6）函数的图象为
①图象关于直线对称;
②函灶在区间内是增函数;
③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.
其中正确的个数有（ ）个
（A）0
（B）1
（C）
2
（D）3
22．（2007年北京卷文3）．函数的最小正周期是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
23．（2007年四川）下面有五个命题：
Ａ．关于点对称 Ｂ．关于直线对称
Ｃ．关于点对称 Ｄ．关于直线对称
15．（2007年江苏卷1）．下列函数中，周期为的是（ ）
A． B． C． D．
16．（2007年江苏卷5）．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
17．（2007年天津卷文9）设函数，则（ ）
A．在区间上是增函数
B．在区间上是减函数
EG2、三角函数图像
函数一个周期的图像如图所示，试确定A，的值．
变式1：已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最
小正周期和初相分别为（ ）
Ａ．， Ｂ．， Ｃ．， Ｄ．， 变式2：函数在区间的简图是（ ）
变式3：如图，函数 的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为．
求和的值． EG3、三角函数性质 求下列函数的最大、最小值以及达到最大(小)值时的值的集合．
11.（福建卷9)函数f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量(m,0) 平移后，得
到函数y=-f′(x)的图象，则m的值可以为
A.
B.
C.－
D.－
12.（浙江卷5）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个
数是
（A）0
（B）1
（C）2
（D）4
13.（海南卷1）已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像
如下：那么ω=（ ）
A. 1
B. 2
C. 1/2
D. 1/3
14.（上海卷6）函数f(x)＝sin x +sin(+x)的最大值是
15.（江苏卷1）的最小正周期为，其中，则=
．
16.（广东卷12）已知函数，，则的最小正周期是
．
17.（辽宁卷16）已知，且在区间有最小值，无最大值，则＝
__________．
满足函数y=Asin（ωx＋）＋b. （Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式． 变式3：如图，单摆从某点给一个作用力后开始来回摆动，离开平 衡位置O的距离s厘米和时间t秒的函数关系为. （1）单摆摆动5秒时，离开平衡位置多少厘米？ （2）单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为多少厘米？ （3）单摆来回摆动10次所需的时间为多少秒？
的对称轴方程是（），对称中心； 的对称中心（）.
写出满足条件的x的集合 sinx>cosx ________________________________ sinx<cosx _________________________________ |sinx|>|cosx| __________________________________ |sinx|<|cosx| __________________________________
4.（四川卷５）若，则的取值范围是：( )
A B C D
5.（天津卷6）把函数（）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，
再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到
的图象所表示的函数是
A，
B，
C，
D，
6.（天津卷9）设，，，则
ABC D
7.（安徽卷5）将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中
C．在区间上是增函数
D．在区间上是减函数
18．（07年山东卷文4）．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位
B．向右平移个单位
Fra Baidu bibliotek
C．向左平移个单位
D．向左平移个单位
19．（07年全国卷二理2）．函数的一个单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
20．（2007年全国卷一理12）函数的一个单调增区间是（ ）
⑶求f(x)图象的对称轴，对称中心。
10．求函数f (x)=的单调递增区间
典型例题
EG1、三角函数图像变换
将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？
变式1：将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？
变式2：将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？
变式3：将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？
（A）最小正周期为的奇函数； （B）最小正周期为的奇函数；
（C）最小正周期为2的偶函数； （D）最小正周期为的偶函数；
13．（2007年福建卷理5）．已知函数的最小正周期为，则该函数的图
象（ ）
A．关于点对称
B．关于直线对称
C．关于点对称
D．关于直线对称
14．（2007年福建卷文5）．函数的图象（ ）
23．（湖北卷16）.已知函数
（Ⅰ）将函数化简成（，，）的形式；
（Ⅱ）求函数的值域. 24．（陕西卷17）．（本小题满分12分） 已知函数． （Ⅰ）求函数的最小正周期及最值； （Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由． 25．（广东卷16）．已知函数，的最大值是1，其图像经过点． （1）求的解析式；
（2）已知，且，，求的值．
①函数的最小正周期是.
②终边在y轴上的角的集合是
③在同一坐标系中，函数的图象和函数y=x的图象有三个公共点.
④把函数
⑤函数
其中真命题的序号是 （写出所有真命题的编号）
24．（07年重庆卷理）设f (x) =
（1）求f(x)的最大值及最小正周期；
（2）若锐角满足，求tan的值。
24．（2007年重庆卷文）（18）已知函数。
心对称，则向量的坐标可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
8.（湖北卷5）将函数的图象F按向量平移得到图象,若的一条对称轴是
直线,则的一个可能取值是
A.
B.
C.
D.
9.（湖南卷6）函数在区间上的最大值是(
)
A.1
B.
C.
D.1+
10.（重庆卷10)函数f(x)=() 的值域是
A[-]
B[-1,0] C[-]
D[-]
定义域 R
R
值域
周期性
奇偶性 奇函数
偶函数
单调性
上为增函数； 上为减函数. （）
上为增函数;
上为减函数. （）
（A、＞0） R
当非奇非偶, 当奇函数 上增函数； 上减函数（）
定义域
值域 R
R
周期性
奇偶性 奇函数
奇函数
单调性 上为增函数（）
上为减函数（）
高三数学总复习讲义——三角函数性质与图像 知识清单： 反三角函数符号的运用: 、、 注意：反三角数符号只表示这个范围的角，其他范围的角需要用诱导公 式变到这个范围.备注： 以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象. 函数的图像和性质以函数为基础,通过图像变换来把握.如①②(A>0,>0) 相应地， ①的单调增区间 的解集是②的增区间. 注: ⑴或（）的周期; ⑵的对称轴方程是（），对称中心；
EG5、三角恒等变换
化简：．
变式1：函数y＝的最大值是（ ）．
A.－1
B. ＋1
C.1－
变式2：已知，求的值．
D.－1－
变式3：已知函数，．求的最大值和最小值．
实战训练
1．方程（为常数，）的所有根的和为 ．
2．函数的最小正周期为 3．若函数的图象（部分）如图所示，则的取值是( ) (A) (B) (C) (D)
4. 函数的最小正周期是_____
5．函数的最大值等于
6．（07年浙江卷理2）若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则（
）
A． B． C． D．
7．（2007年辽宁卷7）．若函数的图象按向量平移后，得到函数的图
象，则向量（ ）
A． B． C． D．
8．（2007年江西卷文2）．函数的最小正周期为（ ）
(D)向左平移个单位长度
7．将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把
所得图象上所有点向左平移个单位，所得图象的解析式是
__________________.
8． 函数在区间[]的最小值为______.
9．已知f(x)=5sinxcosx-cos2x+（x∈R）
⑴求f(x)的最小正周期； ⑵求f(x)单调区间；
（Ⅰ）求f(x)的定义域； （Ⅱ）若角a在第一象限且
25．(2007年辽宁卷19）．（本小题满分12分） 已知函数（其中） （I）求函数的值域； （II）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调 增区间． 26．已知函数，．
（1）求函数在内的单调递增区间； （2）若函数在处取到最大值，求的值；
（） （A） （B） （C）2 （D）3 变式2：函数y=2sinx的单调增区间是（ ）
A．［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z）B．［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z） C．［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）D．［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z） 变式3：关于x的函数f（x）=sin（x+）有以下命题： ①对任意的，f（x）都是非奇非偶函数； ②不存在，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；
（3）若（），求证：方程在内没有实数解． （参考数据：，）
实战训练B
1.（全国一8）为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
2.（全国二8）若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为
（）
A．1
B．
C．
D．2
③存在，使f（x）是奇函数；
④对任意的，f（x）都不是偶函数。 其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不 成立。
变式4、函数的最小正周期是
.
变式5、下列函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函
数是( ) (A)y=lgx2
(B)y=|sinx|
(C)y=cosx (D)y=
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
9．（2007年江西卷文8）．若，则下列命题正确的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10．（2007年湖北卷理2）．将的图象按向量平移，则平移后所得图象
的解析式为（ ）
Ａ． Ｂ．Ｃ．Ｄ．
11．（2007年海南宁夏卷理3）．函数在区间的简图是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
12．（2007年广东卷理3）．若函数，则f(x)是
课前预习
1．函数的最小正周期是
.
2． 函数的最小正周期T= ．
3．函数的最小正周期是（ ）
(A)
(B)
(C) (D)
4．函数为增函数的区间是( )
(A) (B)
(C) (D)
5．函数的最小值是（ ）
6．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
(A)向右平移个单位长度
(B)向右平移个单位长度
(C)向左平移个单位长度
变式6、已知，求函数的值域
变式7、已知函数
⑴求它的定义域和值域；
⑵求它的单调区间；
⑶判断它的奇偶性；
⑷判断它的周期性.
EG4、三角函数的简单应用
电流I随时间t 变化的关系式，，设 ，． (1) 求电流I变化的周期； (2) 当(单位)时，求电流I．
变式1：已知电流I与时间t的关系式为． （１）右图是（ω＞0，） 在一个周期内的图象，根据图中数据求的解析式； （２）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值， 那么ω的最小正整数值是多少？ 变式2：如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似
18．（北京卷15）．（本小题共13分） 已知函数（）的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．
19．（四川卷17）．（本小题满分12分） 求函数的最大值与最小值。
20．（天津卷17）（本小题满分12分） 已知函数（）的最小值正周期是． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合． 21．（安徽卷17）．已知函数 （Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数在区间上的值域 22．（山东卷17）已知函数f(x)＝为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相 邻对称轴间的距离为 （Ⅰ）f（）的值； （Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点 的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象， 求g(x)的单调递减区间.
A． B． C． D．
21．（2007年安徽卷理6）函数的图象为
①图象关于直线对称;
②函灶在区间内是增函数;
③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.
其中正确的个数有（ ）个
（A）0
（B）1
（C）
2
（D）3
22．（2007年北京卷文3）．函数的最小正周期是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
23．（2007年四川）下面有五个命题：
Ａ．关于点对称 Ｂ．关于直线对称
Ｃ．关于点对称 Ｄ．关于直线对称
15．（2007年江苏卷1）．下列函数中，周期为的是（ ）
A． B． C． D．
16．（2007年江苏卷5）．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
17．（2007年天津卷文9）设函数，则（ ）
A．在区间上是增函数
B．在区间上是减函数
EG2、三角函数图像
函数一个周期的图像如图所示，试确定A，的值．
变式1：已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最
小正周期和初相分别为（ ）
Ａ．， Ｂ．， Ｃ．， Ｄ．， 变式2：函数在区间的简图是（ ）
变式3：如图，函数 的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为．
求和的值． EG3、三角函数性质 求下列函数的最大、最小值以及达到最大(小)值时的值的集合．
11.（福建卷9)函数f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量(m,0) 平移后，得
到函数y=-f′(x)的图象，则m的值可以为
A.
B.
C.－
D.－
12.（浙江卷5）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个
数是
（A）0
（B）1
（C）2
（D）4
13.（海南卷1）已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像
如下：那么ω=（ ）
A. 1
B. 2
C. 1/2
D. 1/3
14.（上海卷6）函数f(x)＝sin x +sin(+x)的最大值是
15.（江苏卷1）的最小正周期为，其中，则=
．
16.（广东卷12）已知函数，，则的最小正周期是
．
17.（辽宁卷16）已知，且在区间有最小值，无最大值，则＝
__________．
满足函数y=Asin（ωx＋）＋b. （Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式． 变式3：如图，单摆从某点给一个作用力后开始来回摆动，离开平 衡位置O的距离s厘米和时间t秒的函数关系为. （1）单摆摆动5秒时，离开平衡位置多少厘米？ （2）单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为多少厘米？ （3）单摆来回摆动10次所需的时间为多少秒？
的对称轴方程是（），对称中心； 的对称中心（）.
写出满足条件的x的集合 sinx>cosx ________________________________ sinx<cosx _________________________________ |sinx|>|cosx| __________________________________ |sinx|<|cosx| __________________________________
4.（四川卷５）若，则的取值范围是：( )
A B C D
5.（天津卷6）把函数（）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，
再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到
的图象所表示的函数是
A，
B，
C，
D，
6.（天津卷9）设，，，则
ABC D
7.（安徽卷5）将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中
C．在区间上是增函数
D．在区间上是减函数
18．（07年山东卷文4）．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位
B．向右平移个单位
Fra Baidu bibliotek
C．向左平移个单位
D．向左平移个单位
19．（07年全国卷二理2）．函数的一个单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
20．（2007年全国卷一理12）函数的一个单调增区间是（ ）
⑶求f(x)图象的对称轴，对称中心。
10．求函数f (x)=的单调递增区间
典型例题
EG1、三角函数图像变换
将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？
变式1：将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？
变式2：将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？
变式3：将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？
（A）最小正周期为的奇函数； （B）最小正周期为的奇函数；
（C）最小正周期为2的偶函数； （D）最小正周期为的偶函数；
13．（2007年福建卷理5）．已知函数的最小正周期为，则该函数的图
象（ ）
A．关于点对称
B．关于直线对称
C．关于点对称
D．关于直线对称
14．（2007年福建卷文5）．函数的图象（ ）
23．（湖北卷16）.已知函数
（Ⅰ）将函数化简成（，，）的形式；
（Ⅱ）求函数的值域. 24．（陕西卷17）．（本小题满分12分） 已知函数． （Ⅰ）求函数的最小正周期及最值； （Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由． 25．（广东卷16）．已知函数，的最大值是1，其图像经过点． （1）求的解析式；
（2）已知，且，，求的值．
①函数的最小正周期是.
②终边在y轴上的角的集合是
③在同一坐标系中，函数的图象和函数y=x的图象有三个公共点.
④把函数
⑤函数
其中真命题的序号是 （写出所有真命题的编号）
24．（07年重庆卷理）设f (x) =
（1）求f(x)的最大值及最小正周期；
（2）若锐角满足，求tan的值。
24．（2007年重庆卷文）（18）已知函数。
心对称，则向量的坐标可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
8.（湖北卷5）将函数的图象F按向量平移得到图象,若的一条对称轴是
直线,则的一个可能取值是
A.
B.
C.
D.
9.（湖南卷6）函数在区间上的最大值是(
)
A.1
B.
C.
D.1+
10.（重庆卷10)函数f(x)=() 的值域是
A[-]
B[-1,0] C[-]
D[-]
定义域 R
R
值域
周期性
奇偶性 奇函数
偶函数
单调性
上为增函数； 上为减函数. （）
上为增函数;
上为减函数. （）
（A、＞0） R
当非奇非偶, 当奇函数 上增函数； 上减函数（）
定义域
值域 R
R
周期性
奇偶性 奇函数
奇函数
单调性 上为增函数（）
上为减函数（）
高三数学总复习讲义——三角函数性质与图像 知识清单： 反三角函数符号的运用: 、、 注意：反三角数符号只表示这个范围的角，其他范围的角需要用诱导公 式变到这个范围.备注： 以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象. 函数的图像和性质以函数为基础,通过图像变换来把握.如①②(A>0,>0) 相应地， ①的单调增区间 的解集是②的增区间. 注: ⑴或（）的周期; ⑵的对称轴方程是（），对称中心；
EG5、三角恒等变换
化简：．
变式1：函数y＝的最大值是（ ）．
A.－1
B. ＋1
C.1－
变式2：已知，求的值．
D.－1－
变式3：已知函数，．求的最大值和最小值．
实战训练
1．方程（为常数，）的所有根的和为 ．
2．函数的最小正周期为 3．若函数的图象（部分）如图所示，则的取值是( ) (A) (B) (C) (D)
4. 函数的最小正周期是_____
5．函数的最大值等于
6．（07年浙江卷理2）若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则（
）
A． B． C． D．
7．（2007年辽宁卷7）．若函数的图象按向量平移后，得到函数的图
象，则向量（ ）
A． B． C． D．
8．（2007年江西卷文2）．函数的最小正周期为（ ）
(D)向左平移个单位长度
7．将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把
所得图象上所有点向左平移个单位，所得图象的解析式是
__________________.
8． 函数在区间[]的最小值为______.
9．已知f(x)=5sinxcosx-cos2x+（x∈R）
⑴求f(x)的最小正周期； ⑵求f(x)单调区间；
（Ⅰ）求f(x)的定义域； （Ⅱ）若角a在第一象限且
25．(2007年辽宁卷19）．（本小题满分12分） 已知函数（其中） （I）求函数的值域； （II）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调 增区间． 26．已知函数，．
（1）求函数在内的单调递增区间； （2）若函数在处取到最大值，求的值；