等差数列前n项和性质第二课时

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等差数列前n项和的性质课件(第2课时)

寻找等差数列前 n 项和与通项之间的关系，在比值上能否相互转化.
(1)
65 12
(2)
8 13
[(1)
法
一
：
a5 b5
＝
2a5 2b5
＝
a1＋a9 b1＋b9
＝
92a1＋a9 92b1＋b9
＝
S9 T9
＝
7×9＋9＋3 2＝6152．法二：设 Sn＝(7n＋2)nt，Tn＝(n＋3)nt，则 a5＝S5－S4＝185t－120t＝65t，b5＝T5－T4＝40t－28t＝12t，
法四：设数列{an}的公差为 d，由于 Sn＝na1＋nn－2 1d，则Snn＝a1＋d2(n－1)． ∴数列Snn是等差数列，其公差为d2． ∴1S01000－S1100＝(100－10)×d2，且1S11100－1S01000＝(110－100)×d2．代入已知数值，消去 d，可得 S110＝－110．
15 [由“片段和”的性质，S2，S4－S2，S6－S4 成等差数列，也就是 4，5，S6－9 成等差数列，∴4＋(S6－9)＝2×5 解得 S6＝15．]
知识点 2 等差数列奇偶项和的性质 (1)设两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，则abnn＝ S2n－1． T2n－1 (2)若等差数列{an}的项数为 2n，则 S2n＝n(an＋an＋1)， S 偶－S 奇＝nd，SS奇偶＝aan＋n 1．
类型 2 比值问题【例 2】 (1)已知等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，且TSnn＝7nn＋＋32，则ab55＝________． (2)已知 Sn，Tn 分别是等差数列{an}，{bn}的前 n 项和，且abnn＝ 2nn＋＋21，则TS1111＝________．

等差数列的前n项和公式(第二课时)课件高二上学期数学人教A版选择性

S奇 a1 a3 a5 a2n3 a2n1 (n项)
S偶
(a2
a2n
)
n 2
n 2an1 2
S奇
(a1
a2
n1
)
n 2
2an
n 2
S偶 S奇 __n_d__
S偶 _a_n__1 _
S奇
an
S2n __n_(a_n___a_n_1_)_
S2n
2n(a1 a2n ) 2
n(a1
前n项和是
100,
Sn
100, 即(1)
n
n(n 1) 2
(2)
100.
n2 100, 又n N*,n 10, 等差数列 1, 3, 5, 的前10项的和是 100.
课后练习
3. 在等差数列{an }中, Sn为其前n项的和, 若S4 6, S8 20, 求S16 .
由题意知, S4 , S8 S4 , S12 S8 , S16 S12仍成等差数列, 即6, 14, S12 20, S16 S12仍成等差数列, 设该等差数列为{bn},
a2n )
n(an
an1)
新知2：等差数列前n项和的性质
Sn为等差数列{an}的前n项和, Sn S偶 S奇.
性质4：①若等差数列{an}有2n 1项,公差为d,
则S奇
S偶
an1;
S奇 S偶
n
n
1
;
S2n1
(2n 1)an1.
中间项
②若等差数列{an }有2n项, 公差为d ,
则S偶
S偶 n 1 261 n 1 n 10, 2n 1 19,
∴此数列中间一项的值为29，项数为19．
课后练习

等差数列前n项和第二课时

ax s17
思考二
3 2 103 3 103 2 103 2 3 (2)法二：由S n n n (n ) ( ) 2 2 2 6 6 2 103 2 3 由于n N , 故取n 17, 此时s17 smax ( ) 6 2
探究二
例2 : 在等差数列 {an }中，a10 23, a25 -22, （ 1）该数列从第多少项始开有an 0 ? （2）该数列前多少项有大最值？
a1 9d 23 解：由 a10 23, a 25 22, 得 a1 50, d 3. a1 24d 22 a n a1 ( n 1)d 3n 53 53 对（ 1）令a n 0, 即 3n 53 0, 得n 3 由n N ，故取 n 18, 即从第 18项开始有 a n 0. ( 2) sn a1 a 2 a n a1 a17 a18 a n
课堂练习
(2) S12 0, S13 0,即 a 6 a7 0 a7 0 a6 0, a7 0, 故s6最大。
12 ( a1 a12 ) 0 2 13 ( a1 a13 )0 2

作业
1 2 2 1.已知数列{an }的前n项和为sn n n 3.求 4 3 这个数列的通项公式 . 2.求集合{M m | m 2n 1, n N , 且m 60}的元素个数，并求这些元素的和. 3.数列{an }是等差数列，且a3 a9 50, a5 a7 616, 试求数列{an }前n项和的最大值，并指出对应n的取值.
等差数列前n项和（第二课时）

2.3等差数列的前n项和第二课时

3d, 4d, 5d,
因此，这三条边的长的比是3：4：5 说明：对于等差数列的连续项，我们通常设连续三项为 a-d,a,a+d，连续四项为a-3d,a-d,a+d,a+3d。
课堂小结
1.等差数列的前 n
n(a1 a n ) 项和公式1：S n 2
2
公式2： S n na1 n(n 1)d d n 2 (a1 d )n 数列 an 为等差数列其前 n 项和 S n
前n项和Sn.
(3)在等差数列{an}中, a1=3 且满足 an+1=an+2 ,
求的前n项和.
合作交流
1 1.已知数列 an 的前n项和 S n n n ,如何求这 2 个数列的通项公式a ?
2
n(n 1) d 按n的次数降幂 Sn na1 2.将公式二： 2
S1 (n 1) an S n S n1 (n 2)
2
例4.己知等差数列 4 2 5, Sn, 求使得Sn最大的序号n的值.
巩固提升
1 2 2 1.已知数列 an 的前n项和 S n n n 3 ,求这 4 3 个数列的通项公式.
2.数列{an}中，an=26-2n,当前n项和Sn最大时， 12或13 n=________
2

2
2
An Bn
2. 已知数列 an 的前n项和Sn时，求这个数列的通项公式
S1 (n 1) an Sn Sn1 (n 2)
课后思考
S n 是其前n项和，已知数列 an 是等差数列，
求证：⑴ S6 , S12 S6 , S18 S12 成等差数列；

2.3等差数列的前n项和(第二课时)

a n 1 a1 n ( 4
4 33
a1 ) 0 n
37 4
33 4 .
n 9.
33
a1 ) 0， n >
练习1、已知一个等差数列中满足 3 a 4 7 a 7 , 且 a1 0
n 项和，求 n为何值时 S n 取最大值
S n 是数列 { a n }的前
,n 1 0 （1）an （2）an = 4n 5 2n 1, n 2
2、
1、
探究：一般地，如果一个数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r，其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与公差分别是什么？判断以下命题是否为真命题，若为假命题请修缮一下分析：∵当n>1时， an=Sn-Sn-1 条件，使之成为真命题. 2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r =pn =2pn-p+q 1. 若数列{an}的前n项和为关于n的二次函数，则该数当n=1时，a1=S1=p+q+r 列为等差数列. 又∵当n=1时，a1=2p-p+q=p+q 2.若数列{an}为等差数列，则该数列的前n项和为关于n ∴当且仅当r =0时，a1满足an=2pn-p+q 的二次函数. 故只有当r=0时该数列才是等差数列，此时首项a1=p+q，公差d=2p(p≠0)
数列{an}为等差数列 S n A n 2 B n , ( A , B 为常数 )
←
等差数列前n项和性质1：等差数列前项和的最值问题：
等差数列前n项和公式的函数特征：
d S n n a1 n n 1 d n a1 n 2 2 2 1 d

高中数学 2.3 等差数列的前n项和第2课时课件新人教A版必修5

时，Sn 最大．这是因为：当an>0时，Sn>Sn－1 ，即递增；当an<0时，
Sn<Sn－1，即递减．类似地，当a1<0，d>0时，则n为使an≤0成立的最大自然数时， Sn最小．
A．2 C．4 B．3 D．5
)
解析：∵S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15，S偶＝a2＋a4＋a6＋a8 ＋a10＝30，S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3. 答案：B
3．等差数列{an}的前n项和为Sn ，若S2 ＝2，S4＝10，则S6等
于(
)
A．12 C．24 B．18 D．42
解析：∵等差数列{an}的前n项和为Sn ，∴有S2 ，S4 －S2 ，S6 －S4成等差数列，∴2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)．整理得S6＝3S4－3S2 ＝3×10－3×2＝24. 答案：C
以及数形结合，从而使问题得解；(2)通项公式法：求使an≥0(或
an≤0)成立的最大n即可．这是因为：当an<0时，Sn<Sn－1，即单调递减．
一般地，等差数列{an}中，若a1>0，且Sp＝Sq(p≠q)，则①当 p＋q p＋q为偶数时，则n＝ 2 时，Sn最大；②当p＋q为奇数时， p＋q－1 p＋q＋1 则n＝ 2 或n＝ 2 时，Sn最大．
[例1] 若Sn表示等差数列的前n项和， ________.
S4 1 S8 ＝，则＝ S8 3 S16
[分析]
S4 可以设出首项a1与公差d，代入条件，进一 S8
S8 步求的值． S16 但是，我们注意到序号为4、8、16，可以考虑用性质来解．
S4 1 [解] ∵S ＝3，故设S4＝x，则S8＝3x. 8 由于S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，且S4＝ x，S8－S4＝3x－x＝2x， ∴新数列公差为x. ∴S12－S8＝3x，S16－S12＝4x， ∴S12＝3x＋S8＝3x＋3x＝6x，而S16＝S12＋4x＝6x＋4x＝ 10x. S8 3x 3 ∴S ＝10x＝10.

2.3等差数列前n项和(第二课时)

练习：等差数列-10，-6，-2，…的前多少项的和为54？解: 设题中的等差数列为{an}, 则 a1= -10 d= -6-(-10)=4. 设 Sn= 54, 即 10n n( n 1) 4 54 2 整理得n2-6n-27=0 ∴n1=9, n2=-3(舍去）。 ∴等差数列－10，－6，－2，·前9项和是54 · ·
2
当n=1时，a1也满足上式，
3 {an}是首项为，公差为2的等差数列. 2
1 an 2n 所以{an}通项公式 2
• P45 习题2
一般地，如果一个数列{an}的前n项和为
Sn pn2 qn r
其中p、q、r为常数，且p不为零，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
• •
1、等差数列的前n项和公式及其应用； 2、根据数列前n项和 Sn 求数列的通项公式以及分析等差数列前n项和 Sn 的结构。
• 1、课本 P46 A组第2、3题 • 2、《创新设计》2.3 第二课时活页练习
②
比较①②两式可知
当r0时，{an}不是等差数列；当r=0时，{an}是首项为p+q，公差为2p的等差数列.
也就是说，当r=0时，这个数列{an}的前n 项和为 Sn pn2 qn ，则数列{an}是一个首项为 p q ，公差为2 p 的等差数列。而其中 Sn 是关于n的二次式且缺少常数项
2.3等差数列的前n项和
（第二课时）

1. 若已知数列{an}前n项和为Sn，则该数列的通项公式为 a= n S 1， n=1 Sn-Sn-1，n≥2
n(a1 an ) 2.等差数列的前n项和公式：S n 2 n(n 1) Sn na1 d 2

等差数列的前n项和第二课时

目录CONTENTS •等差数列的前n项和公式回顾•等差数列前n项和的特例•等差数列前n项和的实际应用•等差数列前n项和的扩展知识•课堂练习与答疑01公式意义该公式表示等差数列前n项的和，通过首项、公差和项数计算得出。

公式形式等差数列的前n项和公式为 $S_n= frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$，其中 $a_1$ 是首项，d是公差，n是项数。

公式应用范围适用于任何等差数列，只要已知首项、公差和项数，即可计算前n项和。

公式理解推导中的关键点应用实例求等差数列 $1, 4, 7, 10, ldots$ 的前5项和。

应用步骤首先确定首项 $a_1 = 1$，公差 $d =3$，项数 $n = 5$，然后代入前n项和公式计算得到 $S_5 = frac{5}{2} (2times 1 + (5-1) times 3) = 35$。

应用总结通过前n项和公式，可以快速准确地计算出任意等差数列的前n项和。

02总结词详细描述总结词等差数列前n项和递增详细描述当公差d大于0时，等差数列的每一项都比前一项增加d，即数列是递增的。

因此，前n项和随着n的增加而增加。

计算公式为Sn=n/2 * (2a1+(n-1)d)。

总结词详细描述03工资计算存款和贷款楼梯设计每月的存款或还款金额可能形成等差数列。

等差数列可以用于楼梯设计中，以确定每阶楼梯的高度和宽度。

030201几何图形数、多项式展开等。

数学公式组合数学天文学物理学化学041 2 3性质1性质2性质3等差数列的性质通项公式1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+cdots+a_{2}-a_{1}+a_{1}=nd+(n-推导过程方法105练习题一：求等差数列的前n项和总结词详细描述理解等差数列的定义，判断给定的数列是否为等差数列。

总结词等差数列是一种常见的数列，其相邻两项的差是常数。

通过判断给定的数列是否满足这个性质，可以确定它是否为等差数列。

2.3等差数列前n项和的性质(第二课时)

②当n≥6，n∈N*时，
由①S由n，＝①Sn－，②＝－2②5可2＋5可＋得得99··55＋＋Sn－nSn＝5－n＝2－n5＋22－2n2n－ n2－＋＋922n1－20＋9nnn＝2，4－＋ 9n02n－，10＋99nn＝＋， 4n14n≤≥00.2－，n6≤9n5＋n1，4≤ ≥0n.∈n6N≤*. 5
，
题型5：等差数列的综合应用
例 5：已知正数数列{an}的前 n 项和为 Sn，且对任意的正整数 n 满足 2 Sn＝an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝an·a1n＋1，求数列{bn}的前 n 项和 Bn.
[解析] (1)∵对任意的正整数 n,2 Sn＝an＋1 ①恒成立，当 n＝1 时，2 a1＝a1＋1，即( a1－1)2＝0，∴a1＝1.
3.等差数列{an}中，已知|a7|=| a16|=9，且a14=5，则使 an<0的最大自数n=（）．
A.10
B.11
C.12
D.13
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S12＞0， S13＜0. （1）求数列{an}公差d的取值范围；（2）指出 S1， S2， S3， …，S12中哪一个值最大。
当 n≥2 时，有 2 Sn－1＝an－1＋1.②
①2－②2得4an＝an2－an－12＋2an－2an－1，即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0. ∵an>0，∴an＋an－1>0， ∴an－an－1＝2， ∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列， ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)∵an＝2n－1， ∴bn＝2n－112n＋1＝212n1－1－2n1＋1， ∴Bn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝121－13＋2113－15＋2115－17＋…＋122n1－1－2n1＋1 ＝121－2n1＋1＝2nn＋1.

第二课时等差数列前n项和的性质

第二课时等差数列前n项和的性质
工具
第一章数列
1．进一步了解等差数列的定义，通项公式以及前n项和公式．
2．理解等差数列的性质，等差数列前n项和公式的性质应用．
3．掌握等差数列前n项和之比问题，以及实际应用．
工具
第一章数列
1．对等差数列的通项公式、前n项和公式的考查是本课时的热点．
2．常与函数、不等式结合命题． 3．多以选择题和解答题的形式考查.
工具
第一章数列
工具
第一章数列
1．等差数列的前 n 项和公式有两种形式，用首项、末项和项数表示为 Sn＝na12＋an，用首项，公差和项数表示为 Sn＝na1＋nn－2 1d.
2．通过前面的学习我们还知道当 d＞0 时，等差数列单调递增，其前 n 项和 Sn 有最小值，当 d＜0 时，等差数列单调递减，其前 n 项和 Sn 有最大值．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，∴d1＝194a1 ， d2＝29a1
∴ab55＝ab11＋＋44dd12＝a491a＋1＋4×4×19429aa11＝6152.
工具
第一章数列
[题后感悟] 方法一、二对条件和等差数列的性质及基本关系应用比较充分，从而方法比较简单，运算量较小，而方法三虽然稍显烦琐，但这是求有关比值问题的基本方法，即分子、分母用相同的参数表示出来，约去参数得到比值．
方法二：设奇数项与偶数项的和分别为 S 奇，S 偶，
S偶＋S奇＝354， ∴SS偶奇＝3227，
∴SS偶奇＝＝119622，，
∴d＝192－6 162＝5，
又∵S 奇＝a1＋a211×6＝3(2a1＋10d)＝162，
∴a1＝2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝5n－3.

选择性必修二第四章等差数列的前n项和公式(第二课)

例题解析
例8 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，问第1排应安排多少个座位。
解: 设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn。根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20=800.
解: (1)由已知可得
a1+2d=12 12a1+6×11d>0 13a1+13×6d<0
解得
(2)
∵ Sn
1 na1 2 n(n 1)d
n(12 2d ) 1 n(n 1)d
2
d n2 (12 5d )n
2
2
24 d 3 7
∴Sn图象的对称轴为
n 5 12 2d
由(1)知 24 d 3 7
由S20
20a1
20 (20 1) 2
800, 可得
a1 21
因此，第1排应安排21个座位。
例题解析
例9 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=10，公差d=-2，则Sn是否存在最大值?若存在，求Sn, 的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
分析: 由a>0和d<0，可以证明{an}是递减数列，且存在正整数k，使得当n>k时，an<0,Sn递减。这
由上得 6 5 12 13 2d 2
∴Sn有最大值.
13 即 6n
2
由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.
课堂小结
1．等差数列前n项和的公式；
2．构建等差数列解决有关实际应用问题；
3. 在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.

第四章4.2.2第2课时等差数列前n项和的性质及应用PPT课件(人教版)

二、等差数列前n项和的最值问题
例2 在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值.
解方法一因为S8＝S18，a1＝25，
所以 8×25＋8×82－1d＝18×25＋18×218－1d，解得 d＝－2. 所以 Sn＝25n＋nn－2 1×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169.
跟踪训练3 在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22. (1)数列{an}前多少项和最大？
解由aa11＋＋92d4＝d＝23－，22，得ad1＝＝－503，， ∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53. 令 an>0，得 n<533， ∴当n≤17，n∈N*时，an>0；当n≥18，n∈N*时，an<0， ∴数列{an}的前17项和最大.
为 2.
2.设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－ S2m，…仍构成等差数列，且公差为 m2d .
3.若等差数列{an}的项数为 2n，则 S2n＝n(an＋an＋1)， S偶 an＋1
S偶－S 奇＝nd，S奇
＝__a_n___.
4.若等差数列{an}的项数为 2n＋1，则 S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S 偶－S 奇＝－an＋1，SS偶奇＝n＋n 1.
例 1 (1)在等差数列{an}中，S10＝120，且在这 10 项中，SS偶奇＝1113，则公差 d＝__2__.
解析
S奇＋S偶＝120，由SS偶奇＝1113，
得SS奇偶＝＝5655，，
所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2.
(2)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m 项的和S3m.

第2课时-等差数列前n项和的性质及应用

4．2.2等差数列的前n项和公式第2课时等差数列前n项和的性质及应用一、学习目标1.构造等差数列求和模型，解决实际问题.2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.3.理解并应用等差数列前n项和的性质．二、导学指导数的定义域是n ∈N *，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通项简记为S n ＝An 2＋Bn .知识梳理等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取得最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取得最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0确定． (2)S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．注意点：(1)当a 1>0，d >0时S n 有最小值S 1，当a 1<0，d <0时S n 有最大值S 1；(2)S n 取得最大或最小值时的n 不一定唯一．例2 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 8＝S 18，求前n 项和S n 的最大值．跟踪训练2 在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值．反思感悟:三、等差数列中的片段和问题问题3 等差数列{a n }的前n 项和S n ，你能发现S n 与S 2n 的关系吗？提示 S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n ＝S n ＋(a 1＋nd )＋(a 2＋nd )＋…＋(a n ＋nd )＝2S n ＋n 2d ，同样我们发现S 3n ＝3S n ＋3n 2d ，这里出现了一个有意思的数列S n ，S 2n －S n ＝S n ＋n 2d ，S 3n －S 2n ＝S n ＋2n 2d ，…，是一个公差为n 2d 的等差数列．知识梳理1．设等差数列{a n }的公差为d ，S n 为其前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍构成等差数列，且公差为m 2d .2．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d 2. 3．在等差数列中，若S n ＝m ，S m ＝n ，则S m ＋n ＝－(m ＋n )．例3 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 10＝100，S 100＝10，求S 110.跟踪训练3 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m .反思感悟:三、巩固诊断1．已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为( )A ．11或12B ．12C ．13D ．12或132．等差数列{a n }中，S 3＝3，S 6＝9，则S 12等于( )A ．12B ．18C ．24D ．303．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 1等于( )A ．35B ．32C ．23D ．384．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2，S 2 0222 022－S 2 0202 020＝2，则S 2 0212 021＝________. 四、小结记录1．知识清单：(1)等差数列前n 项和的实际应用．(2)等差数列前n 项和的最值问题．(3)等差数列中的片段和问题．2．方法归纳：公式法、构造法、函数法、整体代换法．3．常见误区：等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列．今日之事今日毕日积月累成大器课堂反思:。

【高中数学】第4章 4.2.2 等差数列的前n项和公式(第2课时)

4.2.2 等差数列的前n 项和公式(第2课时)素养目标学科素养1.掌握等差数列前n 项和的性质及应用．(重点、难点) 2．会用裂项相消法求和．(重点)1.数学运算； 2．逻辑推理情境导学数列在我们日常生活中有着广泛的应用，比如仓库中堆放的钢管，想要知道共有多少个，可取同样的钢管反位置摆放，这样就可以知道有多少个．你能找到其中所应用的数学原理吗？1．数列{|a n |}的前n 项和问题根据通项公式判断数列{a n }是先正后负，还是先负后正，在正、负分界点处分两段，分别去掉绝对值符号，转化为等差数列的求和问题． 2．等差数列前n 项和的性质(1)设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(2)等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形：①若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值，即所有非负项之和． ②若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值，即所有非正项之和．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)等差数列的前n 项和S n 一定是关于n 的二次函数．(×)(2)若无穷等差数列{a n }的公差d >0，则其前n 项和S n 不存在最大值．(√) (3)若两个等差数列的前n 项和分别为A n ，B n ，则一定有a n b n ＝A nB n.(×)1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝______，S n 的最小值为______.0 －10 解析：a 2＝a 1＋d ＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝－10，即a 1＋2d ＝－2，解得a 1＝－4，d ＝1，所以a 5＝a 1＋4d ＝0，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－9n2.当n ＝4或5时，S n 最小，为－10.2．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，且a 7b 7＝23，则S 13T 13＝________.23 解析：S 13T 13＝(a 1＋a 13)×132(b 1＋b 13)×132＝13a 713b 7＝a 7b 7＝23. 3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋10n ＋11，则该数列前________项的和最大． 10或11 解析：令a n ≥0得－n 2＋10n ＋11≥0，即n 2－10n －11≤0，∴－1≤n ≤11.∵n ∈N *，∴该数列前10项为正，第11项为0. ∴该数列前10或11项的和最大．4．已知等差数列{a n }，a n ＝2n －9，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝________.52 解析：由a n ≥0得n ≥4.5，∴前4项为负，以后各项为正，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋…＋a 10)＝－S 4＋S 10－S 4＝S 10－2S 4＝20－2×(－16)＝52.【例1】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .解：a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n －⎣⎡⎦⎤－32(n －1)2＋2052(n －1)＝－3n ＋104. ∵a 1＝101也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋104. 由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤1043.即当n ≤34时，a n >0；当n ≥35时，a n <0.①当n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－32n 2＋2052n .②当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n | ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2S 34－S n＝2⎝⎛⎭⎫－32×342＋2052×34－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n ＝32n 2－2052n ＋3 502. ∴T n＝⎩⎨⎧－32n 2＋2052n ，n ≤34，32n 2－2052n ＋3 502，n ≥35.已知等差数列{a n }，求{|a n |}的前n 项和的步骤： (1)确定{a n }的通项公式；(2)根据通项公式确定数列{a n }中项的符号，即判断数列{a n }是先负后正，还是先正后负； (3)去掉数列{|a n |}中各项的绝对值，转化为{a n }的前n 项和求解，转化过程中有时需添加一部分项，再利用数列{a n }的前n 项和公式求解； (4)将{|a n |}的前n 项和写成分段函数的形式．在等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求数列{|a n |}的前n 项和．解：∵数列{a n }的公差d ＝a 17－a 117－1＝－12－(－60)17－1＝3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－60＋(n －1)×3＝3n －63. 令a n <0，即3n －63<0，解得n <21.∴数列{a n }的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数．设S n ，S ′n 分别表示数列{a n }和{|a n |}的前n 项和，当n ≤20时，S ′n ＝－S n ＝－⎣⎡⎦⎤－60n ＋n (n －1)2×3＝－32n 2＋1232n ；当n >20时，S ′n ＝－S 20＋(S n －S 20)＝S n －2S 20＝－60n ＋n (n －1)2×3－2×⎝⎛⎭⎫－60×20＋20×192×3＝32n 2－1232n ＋1 260.∴数列{|a n |}的前n 项和S ′n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1232n ，n ≤20，32n 2－1232n ＋1 260，n >20.【例2】等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，且a 1＝25，S 17＝S 9，数列{a n }前多少项和最大？解：(方法一)∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25，S 17＝S 9，∴17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2.从而S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.故前13项之和最大． (方法二)由方法一得d ＝－2. ∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，∴当n ＝13时，S n 有最大值．求等差数列前n 项和S n 最值的方法：(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找． (2)运用二次函数的图象求最值．1．在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B ．S 16 C ．S 15或S 16D ．S 17A 解析：∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值．2．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．⎝⎛⎭⎫－1，－78 解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.【例3】等差数列{a n }中，a 1＝3，公差d ＝2，S n 为其前n 项和，求1S 1＋1S 2＋…＋1S n .解：∵等差数列{a n }的首项a 1＝3，公差d ＝2，∴前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n (n ∈N *)，∴1S n ＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2. ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝12⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).把数列的通项公式拆成两项之差，即数列的每一项可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相抵消，于是前n 项和变成首尾若干项之和，这一求和方法称为裂项相消法．常见的拆项公式(其中n ∈N *)： ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.②1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k .③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.④若等差数列{a n }的公差为d ，则1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋2. ⑤1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).⑥1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .⑦1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑nk ＝11S k＝________.2nn ＋1解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d . 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，4a 1＋4×32d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. 数列的前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ×1＋n (n －1)2×1＝n (n ＋1)2，裂项可得1S k ＝2k (k ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1，所以∑nk ＝11S k＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.探究题1 已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，且S n T n ＝2n ＋13n －2，求a 9b 9的值．解：∵S 2n －1＝2n －12(a 1＋a 2n －1)＝(2n －1)a n ，T 2n －1＝2n －12(b 1＋b 2n －1)＝(2n －1)b n ， ∴a 9b 9＝S 2×9－1T 2×9－1＝S 17T 17＝2×17＋13×17－2＝57. 探究题2 已知数列{a n }为等差数列，若a 7a 6<－1，且前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n的最大值为________．11 解析：∵a 7a 6<－1，且S n 有最大值，∴a 6>0，a 7<0且a 6＋a 7<0， ∴S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6>0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)<0，∴使S n >0的n 的最大值为11.探究题3 等差数列{a n }中，S m ＝n ，S n ＝m ，求S m ＋n . 解：设等差数列{a n }的公差为d . ∵S m ＝ma 1＋m (m －1)2d ＝n ，①S n ＝na 1＋n (n －1)d2＝m ，②①－②得(m －n )a 1＋(m －n )(m ＋n －1)2d ＝n －m ，∴a 1＋m ＋n －12d ＝－1.∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋(m ＋n )(m ＋n －1)2d＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫a 1＋m ＋n －12d＝－(m ＋n )．设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．12D ．13C 解析：因为a 1>0，a 6a 7<0，所以a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零．又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，所以S 12>0，S 13<0，所以满足S n >0的最大自然数n 的值为12.1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 2＋a 8＝－6，则S n 的最小值等于( ) A ．－34 B ．－36 C ．－6D ．6B 解析：设数列{a n }的公差为d ， ∵a 2＋a 8＝－6，∴2a 1＋8d ＝－6. 又a 1＝－11，∴d ＝2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)d2＝－11n ＋n (n －1)＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，∴当n ＝6时，S n 有最小值S 6＝－36.故选B ．2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24D ．42 B 解析：由于{a n }是等差数列，故S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，所以2(S 4－S 2)＝S 2＋S 6－S 4，即2(10－4)＝4＋S 6－10，解得S 6＝18.故选B ．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5C 解析：因为S 4＝2(a 2＋a 3)≥10，所以a 2＋a 3≥5.又S 5＝5a 3≤15，所以a 3≤3.而a 4＝3a 3－(a 2＋a 3)，故a 4≤4，当且仅当a 2＝2，a 3＝3时等号成立，所以a 4的最大值为4.故选C ． 4．已知等差数列{a n }的公差为1，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝102，试求a 3＋a 6＋…＋a 99的值．解：由题意，等差数列{a n }的公差为1，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝102，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝(a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97)＋(a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98)＋(a 3＋a 6＋…＋a 99)＝3(a 3＋a 6＋…＋a 99)－33×2d －33d ＝3(a 3＋a 6＋…＋a 99)－99，所以a 3＋a 6＋…＋a 99＝102＋993＝67.5．某种病毒感染性腹泻在全世界范围内均有流行，感染对象主要是成人和学龄儿童，寒冷季节呈现高发．据资料统计，某市11月1日开始出现该病毒感染者，11月1日该市的病毒新感染者共有20人，此后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该病毒的传播速度得到控制，从第t 天起，每天的新感染者比前一天的新感染者减少30人，直到11月30日为止．(1)设11月n 日当天新感染人数为a n ，求{a n }的通项公式(用t 表示)；(2)若到11月30日止，该市在这30日感染该病毒的患者共有8 670人，11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数．解：(1)由题意得，当n ≤t 时是公差为50，首项为20的等差数列，此时a n ＝20＋50(n －1)＝50n －30(1≤n ≤t )．当n ≥t ＋1时是公差为－30，首项为50t －30的等差数列，此时a n ＝50t －30－30(n －t ) ＝－30n ＋80t －30(t ＋1≤n ≤30)，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧50n －30，n ≤t ，－30n ＋80t －30，t ＋1≤n ≤30，n ∈N *.(2)由(1)可知，前t 日患者共有S t ＝(20＋50t －30)t 2＝(25t 2－5t )人．又第t ＋1日有－30(t ＋1)＋80t －30＝(50t －60)人，第30日有－30×30＋80t －30＝(80t －930)人．故t ＋1日至第30日共30－t 天的时间里共有S ′t ＝(50t －60＋80t －930)(30－t )2＝－65t 2＋2 445t －14 850.故1到30日共有S t ＋S ′t ＝25t 2－5t －65t 2＋2 445t －14 850＝－40t 2＋2 440t －14 850. 故－40t 2＋2 440t －14 850＝8 670⇒t 2－61t ＋588＝0即(t －12)(t －49)＝0，又1≤t ≤30 ，故t ＝12.当天新增患病人数为50×12－30＝570.故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，这一天的新患者人数为570人．1．已知等差数列{a n }，求{|a n |}的前n 项和的步骤 (1)确定{a n }的通项公式；(2)根据通项公式确定数列{a n }中项的符号，即判断数列{a n }是先负后正，还是先正后负；(3)去掉数列{|a n |}中各项的绝对值，转化为{a n }的前n 项和求解，转化过程中有时需添加一部分项，再利用数列{a n }的前n 项和公式求解； (4)将{|a n |}的前n 项和写成分段函数的形式． 2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． (2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .3．利用裂项相消法求数列前n 项和．课时分层作业(六)等差数列的前n 项和公式(第2课时)(60分钟 100分) 基础对点练基础考点分组训练知识点1 求数列{|a n |}的前n 项和1．(5分)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 15|＝( ) A ．139 B ．153 C ．144D ．178B 解析：∵a n ＝2n －7，∴a 1＝－5，d ＝2.∴S n ＝n 2－6n .∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋…＋a 15＝－S 3＋(S 15－S 3)＝S 15－2S 3＝153.2.(5分)在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值为________． 60 解析：∵a 1>0，a 10·a 11<0， ∴d <0，a 10>0，a 11<0，∴T 18＝a 1＋a 2＋…＋a 10－(a 11＋a 12＋…＋a 18)＝S 10－(S 18－S 10)＝60. 知识点2 等差数列前n 项和的最值问题3．(5分)已知数列{a n }为等差数列，a 2＝0，a 4＝－2，则其前n 项和S n 的最大值为( ) A ．98B ．94C ．1D ．0C 解析：∵a 2＝0，a 4＝－2，∴d ＝－1，∴a n ＝2－n .∴S n 的最大值为S 1＝S 2＝1.4．(5分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝26－2n ，若使此数列的前n 项和S n 最大，则n 的值为( ) A ．12 B ．13 C ．12或13D ．14C 解析：由a n ≥0，得n ≤13，∴S 13＝S 12最大.5.(5分)已知等差数列{a n }，|a 5|＝|a 9|，公差d >0，则使得其前n 项和S n 取得最小值的正整数n 的值是________．6或7 解析：∵d >0，∴|a 5|＝|a 9|可化为－a 5＝a 9. 即a 5＋a 9＝2a 7＝0.∴a 7＝0，∴a 6<0，a 8>0. ∴S 6＝S 7最小．知识点3 利用裂项相消法求数列的和 6．(5分)在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1(n ∈N *)．又b n ＝1a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和S n 为(A) A ．4n n ＋1B ．2n n ＋1 C ．n 2n －1D ．2n2n ＋1得分7.(5分)设数列{a n }满足对任意的n ∈N *，P n (n ，a n )满足P n P n ＋1＝(1,2)，且a 1＋a 2＝4，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和S n 为________． n2n ＋1解析：∵P n (n ，a n )，P n ＋1(n ＋1，a n ＋1)， ∴P n P n ＋1＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)，∴a n ＋1－a n ＝2. ∴{a n }为等差数列，d ＝2.∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝4，∴a 1＝1.∴a n ＝2n －1. ∵1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)·(2n ＋1)＝ 12×⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴S n ＝12×⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12×⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.知识点4 等差数列前n 项和性质的应用8．(5分)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝5n ＋3n ＋3，则a 5b 5的值为( ) A ．2 B ．72C ．4D ．5C 解析：∵两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝5n ＋3n ＋3，∴a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝92(a 1＋a 9)92(b 1＋b 9)＝A 9B 9＝5×9＋39＋3＝4.故选C ． 9．(5分)已知等差数列的前n 项和为S n ，若S 13<0，S 12>0，则此数列中绝对值最小的项为( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项D ．第8项C 解析：∵S 13<0，S 12>0，∴d <0. ∵S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，∴a 7<0.∵S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)>0，∴a 6>0且|a 6|>|a 7|. ∴a 7的绝对值最小.能力提升练能力考点拓展提升10.(5分)(多选)设{a n }是等差数列，S n 是前n 项的和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则( ) A ．d >0 B ．a 7＝0 C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值BD 解析：由S 5<S 6得a 1＋a 2＋…＋a 5<a 1＋a 2＋…＋a 5＋a 6， ∴a 6>0.又S 6＝S 7，∴a 1＋a 2＋…＋a 6＝a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7，∴a 7＝0. 同理由S 7>S 8可得a 8<0.若S 9>S 5，则a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0， ∴2(a 7＋a 8)>0.由题设a 7＝0，a 8<0，显然A ，C 项是错误的．11．(5分)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个D 解析：∵a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1.当n ＋1＝2,3,4,6,12，即n ＝1,2,3,5,11时，a nb n是整数．12．(5分)(多选)已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7BC 解析：∵在等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，∴a 3＋a 9＝0，∴a 6＝0.又d <0，∴a 5>0，a 7<0，∴使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是5或6.13.(5分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 19>0，S 20<0，则使S n 取得最大值的n 为________．10 解析：由S 19>0，S 20<0，可知{a n }为递减的等差数列．设其公差为d ，则d <0.由S 19＝19×(a 1＋a 19)2>0，S 20＝20×(a 1＋a 20)2<0，得a 1＋a 19＝2a 10>0，a 1＋a 20＝a 10＋a 11<0，所以a 10>0，a 11<0.所以使S n 取得最大值的n 为10.14.(5分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n －1，则数列{|a n |}的前n 项和为________．n 2＋2n 解析：由题可知数列{a n }的各项均为负值，设数列{|a n |}的前n 项和为S n ，则有S n ＝－a 1－a 2－…－a n ＝3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n .15.(10分)已知数列{a n }为等差数列，其中a 2＋a 3＝8，a 5＝3a 2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝2a n a n ＋1，设{b n }的前n 项和为S n ，求最小的正整数n ，使得S n >2 0202 021.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋3d ＝8，a 1＋4d ＝3a 1＋3d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，从而{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)因为b n ＝2a n a n ＋1＝12n －1－12n ＋1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫11－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1. 令1－12n ＋1>2 0202 021，解得n >1 010，故取n ＝1 011. 16.(10分)设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n是a 2n 和a n 的等差中项．(1)证明数列{a n }为等差数列，并求a n .(2)若b n ＝－n ＋5，求{a n ·b n }的最大值，并求出取最大值时n 的值．解：(1)由已知，得2S n ＝a 2n ＋a n ，且a n >0. 当n ＝1时，2a 1＝a 21＋a 1，解得a 1＝1. 当n ≥2时，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1.所以2S n －2S n －1＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1，即2a n ＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1.因为a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝1(n ≥2)．故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，且a n ＝n .(2)由(1)可知a n ＝n .设c n ＝a n ·b n ，则c n ＝n (－n ＋5)＝－n 2＋5n ＝－⎝⎛⎭⎫n －522＋254. ∵n ∈N *，∴当n ＝2或n ＝3时，{c n }的最大项为6. 故{a n ·b n }的最大值为6，此时n ＝2或n ＝3.17.(10分)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝25，a 4＝16.(1)求n 为何值时，S n 取得最大值； (2)求a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 20的值； (3)求数列{|a n |}的前n 项和T n .解：(1)在等差数列{a n }中，a 1＝25，a 4＝16， ∴公差d ＝a 4－a 14－1＝－3.∴a n ＝－3n ＋28.令a n ＝－3n ＋28≥0且n ∈N *，得n ≤9. ∴当n ≤9时，a n >0；当n >9时，a n <0. ∴当n ＝9时，S n 取得最大值． (2)∵数列{a n }是等差数列，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 20＝10(a 2＋a 20)2＝10a 11＝10×(－3×11＋28)＝－50. (3)由(1)得，当n ≤9时，a n >0；当n >9时，a n <0. ∴当n ≤9时，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝25n ＋n (n －1)2×(－3)＝－32n 2＋532n .当n >9时，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a 9－(a 10＋a 11＋…＋a n )＝2S 9－S n ＝2×(9×25－36×3)－⎣⎡⎦⎤25n －32n (n －1)＝32n 2－532n ＋234. 所以T n＝⎩⎨⎧－32n 2＋532n ，n ≤9，32n 2－532n ＋234，n >9.重难强化训练(一)数列和等差数列(60分钟 100分)练易错易错点1| 忽视数列是特殊的函数 [防范要诀]数列的通项a n 及前n 项和S n 都可看作定义域为正整数集或其子集上的函数，要善于运用函数的观点认识和理解数列问题． [对点集训]1．(5分)设a n ＝－n 2＋5n －6，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A ．163B ．133C ．34D ．0D 解析：此二次函数图象对称轴n ＝52∉N *.∴ 当n ＝2或3时，a n 取最大值，a 2＝a 3＝0.2．(5分)已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2＋kn ＋2，若对于任意n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >0 B ．k >－1 C ．k >－2D ．k >－3D 解析：∵a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2>n 2＋kn ＋2，即k >－(2n ＋1)对于任意n ∈N *都成立，当n ＝1时，－(2n ＋1)取最大值－3， ∴k >－3.3.(5分)已知数列{a n }的通项公式a n ＝－n 2＋10n ＋11，则该数列前________项的和最大．10或11 解析：令a n ≥0得－n 2＋10n ＋11≥0，即n 2－10n －11≤0，∴－1≤n ≤11.∵n ∈N *，∴该数列前10项为正，第11项为0. ∴该数列前10或11项的和最大．易错点2| 不能正确进行a n 与S n 互化 [防范要诀]凡是已知S n 的表达式或S n 与a n 的关系式，都需要用到当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1；另外，也不要忽视检验n ＝1是否也适合a n . [对点集训]4．(5分)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＋S n ＋1＝a n ＋1(n ∈N *)，则此数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列C 解析：∵S n ＋S n ＋1＝a n ＋1， ∴S n －1＋S n ＝a n (n ≥2)，两式相减得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴a n ＝0(n ≥2)．当n ＝1时，S 1＋S 2＝a 2，∴2a 1＝0即a 1＝0. ∴{a n }是常数列，各项均为0.5.(5分)已知数列{a n }满足S n ＝n 2＋1，则通项公式a n ＝________.⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2 解析：∵S n ＝n 2＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝2与上式不符合．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.易错点3| 对等差数列的定义理解不透致误 [防范要诀]使用等差数列的定义时容易出现以下错误：(1)对定义中“从第二项起”理解有误，常常忽略首项；(2)忽略“任意”，误认为验证有限个相邻两项的差是常数即得等差数列；(3)误认为任意相邻两项的差就是等差数列的公差． [对点集训]6.(5分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，2a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥2，n ∈N *)，判断{a n }是否是等差数列．解：当n ≥2时，由2a n ＋1＝2a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝32.但a 2－a 1＝1≠32，故数列{a n }不是等差数列.7.(10分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝14(a n ＋1)2，且a n >0.求{a n }的通项公式．解：∵S n ＝14(a n ＋1)2.∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝14(a n ＋1)2－14(a n －1＋1)2. ∴a 2n －a 2n －1－2a n －2a n －1＝0.∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n >0，∴a n －a n －1＝2(n ≥2)． ∴{a n }为等差数列，公差为2.当n ＝1时，S 1＝a 1＝14(a 1＋1)2.∴a 21－2a 1＋1＝0. ∴a 1＝1.∴a n ＝2n －1. 练疑难8．(5分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3的值是( ) A ．12B ．23C ．34D ．1A 解析：∵在数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)， ∴a 2×1＝a 1＋(－1)2＝1＋1＝2，解得a 2＝2， a 3×2＝a 2＋(－1)3＝2－1＝1.∴a 3＝12.9．(5分)若lg 2，lg (2x －1)，lg (2x ＋3)成等差数列，则x 的值等于( ) A ．0 B ．log 25 C ．32D ．0或32B 解析：依题意得2 lg (2x －1)＝lg 2＋lg (2x ＋3)， ∴(2x －1)2＝2(2x ＋3)，∴(2x )2－4·2x －5＝0， ∴(2x －5)(2x ＋1)＝0，∴2x ＝5或2x ＝－1(舍)， ∴x ＝log 25.10．(5分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －7n ＋2，则此数列中数值最小的项是( ) A ．第10项 B ．第11项 C ．第12项D ．第13项C 解析：∵a n ＝n －7n ＋2＝(n )2－7n ＋2 ＝⎝⎛⎭⎫n －722－414. 令n ＝72，则n ＝494＝12.25.∵n ∈N *，∴当n ＝12时，a n 最小．11．(5分)已知{a n }为等差数列，首项为125，它从第10项开始比1大，那么公差d 的取值范围是( ) A ．d >875B ．d <325C ．875<d <325D ．875<d ≤325D 解析：由题可得a 1＝125，且⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1，a 9≤1，根据等差数列的通项公式可得⎩⎨⎧125＋9d >1，125＋8d ≤1，从而解得875<d ≤325.12．(5分)等差数列{a n }的前n 项和满足S 20＝S 40，则下列结论正确的是( ) A ．S 30是S n 的最大值 B ．S 30是S n 的最小值 C ．S 30＝0 D ．S 60＝0D 解析：等差数列的前n 项和公式可写为S n ＝an 2＋bn 的形式，由S 20＝S 40知S n 关于直线n ＝30对称，但因为不知道a 的符号，所以无法判断S 30是最大或是最小．由S 20＝S 40可知S 60＝0，故选D ．13.(5分)数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋m 3n 为等差数列的实数m 的值为________．－12 解析：a 1＝5，a 2＝3×5＋32－1＝23， a 3＝3×23＋33－1＝95，依题意得5＋m 3，23＋m 32，95＋m33成等差数列，∴2·23＋m 32＝5＋m 3＋95＋m33，∴m ＝－12.经检验m ＝－12满足题设.14.(10分)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和T n .解：(1)由题意，得⎩⎨⎧3a 1＋3×22d ＝6，8a 1＋8×72d ＝－4.即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.所以S n ＝3n ＋n (n －1)2×(－1)＝－12n 2＋72n .(2)由(1)，得S n n ＝－12n ＋72，所以S n ＋1n ＋1－S n n ＝－12(n ＋1)＋72－⎝⎛⎭⎫－12n ＋72＝－12，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为S 11＝3，公差为－12的等差数列，故T n ＝3n ＋n (n －1)2×⎝⎛⎭⎫－12＝－14n 2＋134n .15.(10分)已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是递减数列．(1)解：∵f (x )＝2x －2－x ，f (log 2a n )＝－2n ， ∴2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ，即a n －1a n ＝－2n (看成关于a n 的方程)．∴a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1. ∵a n ＞0， ∴a n ＝n 2＋1－n .(2)证明：作商比较，∵a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)＜1.又a n ＞0，∴a n ＋1＜a n ，故数列{a n }是递减数列.16.(10分)数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋kn ＋2.(1)若a 2＝a 7，求数列{a n }的最小项；(2)若不等式a n ≥a 4恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)由a 2＝a 7得k ＝－9，即a n ＝n 2－9n ＋2＝⎝⎛⎭⎫n －922－734. 因为n ∈N ＋，所以当n ＝4或5时，{a n }的最小项为a 4＝a 5＝－18. (2)a n ＝n 2＋kn ＋2＝⎝⎛⎭⎫n ＋k 22＋2－k24，因为不等式a n ≥a 4恒成立，所以3.5≤－k2≤4.5，解得－9≤k ≤－7.所以实数k 的取值范围为{k |－9≤k ≤－7}．。

4.2.2 第2课时等差数列前n项和的性质及应用课件ppt

是先正后负;
(3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值,转化为{an}的前n项和求解,转化过程中
有时需添加一部分项,以直接利用数列{an}的前n项和公式;
(4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式.
延伸探究 3在本例中,若将条件改为“等差数列{an}的通项公式为an=3n-23”,
求数列{|an|}的前n项和.
11
2 111
∴Sn=- n + n.∴S110=- ×110 + ×110=-110.
100
10
100
10
(方法
11 + 100
2)S100-S10=a11+a12+…+a100=90× 2 =-90,
11 + 100
110×( 11 + 100 )
∴
=-1,∴S110=
=-110.
- 2 + 2 , ≤ 34,
3 2 205
+ 3 502, ≥
2
2
+
35.
205

2
3 2 205
=2n - 2 n+3
502.
方法技巧已知等差数列{an},求{|an|}的前n项和的步骤
(1)确定通项公式an;
(2)根据通项公式确定数列{an}中项的符号,即判断数列{an}是先负后正,还
前n项和Sn有最大值,可由an≥0且an+1≤0,求得n的值;当a1<0,d>0时,前n项
和Sn有最小值,可由an≤0且an+1≥0,求得n的值.
变式训练 1在数列{an}中,an=3n-12,求数列{an}的前n项和的最小值,并指出

高中数学必修第四章数列-第2课时等差数列前n项和的性质及应用

[解] 设每次交款数额依次为 a1，a2，…，a20，则 a1＝50＋1000×1%＝60(元)， a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5(元)， … a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5(元)．即第 10 个月应付款 55.5 元．由于{an}是以 60 为首项，以－0.5 为公差的等差数列，所以有 S20＝60＋60－2 19×0.5×20＝1105(元)，即全部付清后实际付款 1105＋150＝1255(元)．
(3)若两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，则bann＝TS22nn－－11. (4)数列{an}为等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b 为常数)⇔数列Snn为等差数列．
【评价自测】
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn 一定同时存在最大值和最小值．( ) (2)若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则数列 Sm，S2m，S3m，…(m∈N*)为等差数列．( )
B．108
C．162
D．150
解析 ∵S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9 成等差数列，且该数列的公差
d＝S6－S3－S3＝27，∴S9－S6＝S3＋2d＝81，S12－S9＝S3＋3d＝108，
∴S9＝162，S12＝270.
Hale Waihona Puke 答案 A题型二等差数列前n项和在实际中的应用
例 2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为 1150 元，购买当天先付 150 元，以后每月的这一天都交付 50 元，并加付欠款利息，月利率为 1%.若交付 150 元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第 10 个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？