3-4函数的单调性与极值
函数的单调性与极值理
1、判别法中的开区间可换成其他各种区间. 2、判别法中如果f(x)严格增大(减小)，只能得出 f (x)≥0 (≤0)
如： 函数f(x)=x3在(, )上严格单调增加 但 f (0) =0
•函数单调性的判别法 设函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导.
(1)如果在(a, b)内f (x)>0, 则f(x)在[a, b]上严格单调增加 (2)如果在(a, b)内f (x)<0, 则f(x)在[a, b]上严格单调减少.
（1）两类点定义的出发点不同。
极值点是指函数在这一点处的函数值大于或小于该点 邻域内任何其它点的函数值；
驻点是指导数为零的点
因此极值点可以是可导点也可以是不可导点，而驻点 一定是可导点。
（2）极值点成为驻点的条件：若函数在区间内可导， 则函数的极值点一定是驻点，反之不成立；
（3）驻点成为极值点的条件：若f (x)在驻点左右邻域 内符号相反，则此驻点一定为极值点
y=2x39x212x3
例 例3 4. . 讨 论 函 数 y = 3 x 2 的 单 调 性 . 解 函数的定义域为(, ). y = 2 ( x 0 ) , 函 数 在 x = 0 处 不 可 导 . 3 3 x 因为x<0时, y<0, 所以函数在(, 0] 上单调减少
因为x>0时, y>0, 所以函数在[0, )上单调增加.
故函数f(x) 在x=0处取 得极小值f(0)=0.
y = 3 x2
•说明
人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖
1.3.1函数的单调性与最大(小)值(第一课时)教学设计一、教学内容解析：(1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点；本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》(以下简称“新教材”)第一章节。
函数的单调性是研究当自变量X不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质.如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征.与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究*成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质.函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质．函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画．函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用(内部)；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用(外部)．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位．教学的重点是:引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大(或减小)” 这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x,x,当x<x时，有f(x)<f(x)(或f(x) Mx)),则称函数f(x)在区间D上是增函数(或减函数)：2 1(2)教学内容的知识类型；在本课教学内容中，包含了四种知识类型。
函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题提出问题解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识.(3)教学内容的上位知识与下位知识；在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识.(4)思维教学资源与价值观教育资源；生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)=+1和函数y= x+ j ,能引发提出问题---分析问题解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观.二、教学目标设置：本课教学以《普通高中数学课程标准(实验)》(以下统称为“课标”)为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。
确定函数单调区间和极值点的方法
确定函数单调区间和极值点的方法
一、函数单调区间的求法：
1、图像法
对于能作出图像的函数，我们可以通过观察图像确定函数的单调区间，即第一步作出函数图像，二是由单调性的几何意义划分增减区间，最后一步写出单调区间。
注意：当函数递增或递减区间由几个区间组成时，一般情况下不能取它们的并集，而应该用“和”、“或”连接。
2、定义法
有些函数如果不能作出函数图像来观察出单调区间，可以用定义法来求其单调区间，即首先可以设X1、X2为该区间内任意的两个值，且X1小于X2，其次作差，令F（X1）-F（X2），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形。
3、直接法
对于我们所熟知的一次函数、二次函数、反比例函数等，可以根据它们的特征，直接求出单调区间
4、复合函数单调性的确定
求复合函数单调区间的问题,一般来说有以下结论:设y =f(u),u=
g(x),,若y=f(u)是[m,n]上的增函数,则
y=f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相同;若y=f(u)是[m,n]上的减函数,则y=f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相反。
二、求函数最值的方法
1、函数的最值
2、利用函数图像求最值
利用函数图像是函数求最值的常用方法，其步骤如下：
3、利用函数单调性求最值
函数的最值与单调性的关系：
若函数在区间[a,b]上是减函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b)；
若函数在区间[a,b]上是增函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a).。
3-4函数单调性与凹凸性(09)
二、函数单调性的应用
——证明不等式和判断方程根的个数. ——证明不等式和判断方程根的个数. 证明不等式和判断方程根的个数 1. 证明不等式 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数, 并讨论 构造辅助函数 它在指定区间内的单调性. 它在指定区间内的单调性. 例4 证明不等式 e x ≥ x + 1 证
令 f 2 ( x ) = ln(1 + x ) − x
因 为 f2 (0) = 0, 而 f2′( x) =
−x < 0 ( x > 0) 1+ x
则 f ( x )单减 即 f 2 ( x ) < f 2 (0)( x > 0) 故 单减.
ln(1 + x ) < x
证
x3 令 f ( x ) = tan x − x − 3
f ′(x) ≤ 0 A y = f (x)
B
o
a
b
x
o a
b x
各点处切线的斜率为正
各点处切线的斜率为负
在区间(a, 上单调递增 若 y = f (x)在区间 b)上单调递增 在区间 在区间(a, 上单调递减 若y = f (x)在区间 b)上单调递减 在区间
f ′( x) ≥ 0
f ′( x) ≤ 0
研究函数的单调性, 就是判断它在哪些区间内递增, 注1 研究函数的单调性 就是判断它在哪些区间内递增 哪些 区间内递减. 对可导函数的单调性, 区间内递减 由定理 1 对可导函数的单调性 可根据导数的正 负情况予以确定. 负情况予以确定 注2 包括无穷区间) 定理 1 的结论对其他各种区间 (包括无穷区间 也成立 包括无穷区间 也成立.
用导数解决函数的单调性极值最值的方法步骤
用导数解决函数的单调性极值最值的方法步骤导数是微积分中非常重要的概念，它可以通过求取函数的斜率来提供关于函数的很多信息。
通过导数，我们能够判断函数的单调性、极值和最值。
下面，我将详细介绍使用导数进行函数分析的方法步骤。
一、函数的单调性分析：函数的单调性指的是函数在定义域上的递增或递减特性。
使用导数可以判断函数在不同区间上的单调性。
1.求出函数的导数：根据函数的定义，求出函数的导数。
若函数在其中一点存在导数，则说明函数在该点是可导的。
2.导数的符号变化：对求得的导数进行符号变化的分析，即导数求值时，符号的正负变化。
假设导数的结果是f’(x)。
通过求解f’(x)=0的解集，得到导数的零点集合。
3.导数零点的意义：对于导数零点集合中的每一个点进行分析。
如果导数在其中一点处的零点是一个正的极值点，则说明函数在该点是递增的；如果导数在其中一点处的零点是一个负的极值点，则说明函数在该点是递减的。
4.极值点的判定：在求得导数零点的基础上，通过导数的符号变化来判定函数在区间上的单调性。
当导数从正数变为负数时，说明函数在该区间上是递减的；当导数从负数变为正数时，说明函数在该区间上是递增的。
二、函数的极值分析：函数的极值是指函数在其中一点处取得的最大值或最小值。
通过导数可以判断函数的极值点。
1.求出函数的导数：根据函数的定义，求出函数的导数。
2.导数零点的极值分析：计算导数的零点，并求出零点对应的函数值，在零点处求得导数的值，在零点前后进行符号判定。
3.极值点的判定：若导数从负数增加到正数，则说明函数在该点处取得极小值；若导数从正数减小到负数，则说明函数在该点处取得极大值。
三、函数的最值分析：函数的最值是函数在定义域上取得的最大值或最小值。
通过导数可以判断函数的最值点。
1.求出函数的导数：根据函数的定义，求出函数的导数。
2.导数的变化性：通过计算导数的值和导数的符号变化来判断函数的最值。
3.导数的非零点分析：计算函数的定义域上的导数，找出导数等于零的点的集合。
函数的极值与最值的区别
函数的极值与最值的区别一、前言二、函数的极值函数的极值是指函数在一定区间内取得的最大值或最小值。
根据函数的定义，可以得出一个结论：如果函数在某一点的导数等于0，那么这一点可能成为函数的极值点。
换句话说，在一个函数图像中，函数的极值往往出现在函数图像上呈现出拐点的位置。
回到导数的定义上，导数表示函数随着自变量变化而变化的速率。
在一个函数图像上，如果某一点的导数为0，那么这一点就是函数的极值点。
如果导数为正，那么这一点就是函数的局部最小值，如果导数为负，则是函数的局部最大值。
这种情况通常要注意函数的定义域和值域，还要注意函数的单调性。
函数的最值是指函数在定义域内能够取到的最大值和最小值，包括局部最值和全局最值。
与函数的极值不同的是，函数的最值并不要求函数在某个点的导数等于0，而是所有可能点的函数值的极值。
在数学中，一个函数的最值可以通过指定函数的定义域并计算所有在该定义域内的函数值进行比较而得出。
比如说，对于 +x^2+3x+4 这个函数，其定义域是实数集合，该函数的最小值为（-1,6）时的函数值，最大值为（- \infty，+\infty）时的函数值。
需要注意的是，在某些情况下，函数有可能没有最大值和最小值。
函数的极值一般需要用到导数，因为导数可以告诉我们一个函数在某一点的斜率是多少，从而判断该点是否是局部最大值或最小值。
但是函数的最值并不需要用到导数，而是通过指定定义域并计算所有的函数值进行比较。
函数的极值和最值是非常重要的数学概念，在不同的数学应用场景中都起着重要的作用。
理解这两个概念的异同点，能够对学生们更深入地理解函数及其相关概念。
五、函数极值和最值的应用函数的极值和最值在数学上有着广泛的应用。
其中函数极值主要用于解决函数最大值和最小值的问题，常见的例子包括数学建模中的最优化问题、物理学中的牛顿力学问题和经济学中的生产问题等。
而函数的最值则是应用于优化问题，例如在经济学中，最大化利润和最小化成本都涉及到函数的最值。
高等数学-导数-第四节 函数的单调性和极值
函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
注意:
（1）把定理中的使f(x)连续的闭区间换成其它 各类区间（包括无穷区间），则函数的单调性 结论在相应的区间上也是成立的.
( x) f ( x0 ( x x0 )4
)
f (4) ( x0 ) a 4! 4!
若a 0, 由极限的局部保号性，可知
f
( x) f ( x0 ( x x0 )4
)
0
有 f ( x) f ( x0 ) 0，即f ( x) f ( x0 )
x0是f ( x)的极小值点。
若a 0, 同理可证 x0是f ( x)的极大值点。
三、最大值与最小值问题 1.求闭区间[a,b]上连续函数y=f(x)的最值 (1)求出f(x)的导数f'(x),令f'(x)=0，求 出驻点；以及使得导数f'(x)不存在的点.
(2)求出(1)中点处的函数值以及端点处的 函数值；
(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函 数的最大值，最小的就是最小值.
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
2. 函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点 x0处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0.（费马定 理） 定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点.
34 函数的单调性、凹凸性与极值
(2)求拐点的方法
方法: 设函数f ( x )在 x0的邻域内二阶可导, 且 f ′′( x0 ) = 0, 则有：
1) x0 两近旁f ′′( x )变号, 点( x0 , f ( x0 ))为拐点;
2) x0 两近旁f ′′( x )不变号, 点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例9 求曲线 y = 3 x 4 − 4 x 3 + 1 的拐点及凹、凸的区间. 解 易见函数的定义域为 ( −∞ ,+∞ ),
定理4 (第一充分条件) 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某个邻域内连续并且 可导(导数 f ′( x0 ) 也可以不存在), (1)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) > 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) < 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极大值 f ( x0 ); (2)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) < 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) > 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值 f ( x0 ); (3)如果在点 x0的邻域内, 在 x0处没有极值.
例3
2 3 y = x 讨论函数 的单调区间.
解 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
y′ = 32 ( x ≠ 0), 3 x 当 x = 0 时， 导数不存在.
当 x < 0时，y′ < 0,
∴ 在 ( −∞ , 0]上单调减少；
当 x > 0时，y′ > 0,
∴ 在 [0, +∞ )上单调增加；
向上凸：图形 上任意弧段位 于所张弦的上 方
定义 设 f ( x ) 在区间 I 内连续,
x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )< , 2 2 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是(向上)凹的. x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )> , 2 2
函数的单调性与极值
函数的单调性与极值在数学中，函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
它描述了函数图像是上升、下降还是具有其他类似的性质。
而函数的极值则表示函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。
函数的单调性与极值是函数分析中常用的重要概念，可用于求解最优化问题、验证数学定理等。
一、函数的单调性函数的单调性分为递增和递减。
当函数随着自变量的增大而增大，或者随着自变量的减小而减小时，称为递增函数。
相反，当函数随着自变量的增大而减小，或者随着自变量的减小而增大时，称为递减函数。
我们以一些常见的函数类型为例，来说明函数的单调性：1. 线性函数：线性函数是指函数的表达式是一次方程的函数，即$f(x)=ax+b$，其中$a$和$b$是常数。
线性函数的单调性取决于斜率$a$的正负性。
当$a>0$时，函数递增；当$a<0$时，函数递减。
2. 幂函数：幂函数是指函数的表达式是$x$的幂次方，即$f(x)= x^n$，其中$n$是常数。
当$n>0$且$n$是奇数时，函数是递增的；当$n>0$且$n$是偶数时，函数是递减的。
3. 指数函数：指数函数是指函数的表达式是以常数为底数的指数函数，即$f(x)=a^x$，其中$a$是常数且$a>0$且$a\neq1$。
当$a>1$时，函数递增；当$0<a<1$时，函数递减。
4. 对数函数：对数函数是指函数的表达式是对数函数，即$f(x)=\log_a x$，其中$a$是常数且$a>0$且$a\neq1$。
当$a>1$时，函数递增；当$0<a<1$时，函数递减。
二、函数的极值函数的极值包括最大值和最小值。
当函数在某个点上取得最大值时，称为函数的最大值；当函数在某个点上取得最小值时，称为函数的最小值。
极值点也被称为驻点。
函数的极值可以通过求导数的方法来获得。
首先，求函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点的横坐标。
进一步，通过二阶导数的正负性来判断极值点的类型。
单调性和极值
主 要 内 容 教 学 要 求
一、函数的最大值与最小值 二、曲线的凹凸性和拐点 一、会求简单应用题的最大(小)值 二、会用导数判断曲线的凹凸性
三、会求曲线的拐点
若函数 f ( x ) 在[a , b] 上连续，除个别点外处处可导，
并且至多有有限个导数 为零的点，则 f ( x )在 [a , b] 上的最大值与最小值存在 .
（2）如果在( a , b )内 f '( x ) 0, 那么函数 y f ( x )在 [a , b] 上单调减少．
注意：
（1）如果将定理中的闭区间换成开区间或半开区间， 结论仍然成立． （2）如果在 (a, b) 内 f ' ( x) 0(或 0) ，但等号只 在有 限个点处成立，那么函数 f ( x )在 [a , b] 上仍然是单调
三、小结 注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤.
1．曲线的凹凸定义和判定法
知道了函数的单调性，对函数的变化情况有了初步的了解． 但仅限于此还不够，例如函数曲线
但它们上升的方式 y x 2 与 y x 在 (0,) 内都是上升的，
却有明显的区别
3 2 f ( x ) x 6 x 15x 1 的定义域为一切实数， 解 函数
f '( x) 3x2 12x 15 3( x 1)( x 5)
，令 f ' ( x) 0
，得 x1 1, x2 5
为表达简洁明了，列表表示
由上可知，函数的单调增区间为 (,1] 和[5, )
．
的必要条件；
（2）极值点也不一定是驻点，极值点可能是驻点也可能是 不可导点．例如，y x 在 x 0 处不可导, 但 x 0 是极小值点．
函数的单调性最值(含例题详解)
函数的单调性与最值一、知识梳理1．增函数、减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2，则 有：(1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 3．函数的最值 前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论 M 为最大值 M 为最小值注意：1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间 只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集 符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，()1f x 等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． [试一试]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．y ＝x ＋1x解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max ＝________.解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8二、方法归纳1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不 等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域． [练一练]1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |答案：C 2．函数f (x )＝1x 2＋1在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________． 答案：15 110三、考点精练考点一 求函数的单调区间1、函数()()5log 21f x x =+的单调增区间是________． 解析：要使()5log 21y x =+有意义，则210x +>，即12x >-，而5l og y u =为()0,+∞上的增函数，当12x >-时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 答案：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2．函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________． 解析：y ＝x －|1－x |＝1,121,1x x x ≥⎧⎨-<⎩作出该函数的图像如图所示．由图像可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]． 答案：(－∞，1]3．设函数y ＝f (x )在(),-∞+∞内有定义．对于给定的正数k ，定义函数()()()(),,k f x f x k f x k f x k⎧≤⎪=⎨>⎪⎩取函数()2xf x -=，当k ＝12时，函数()k f x 的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选C 由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以()122,11,1122,1x x x f x x x -⎧≥⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤-⎩，故()12f x 的单调递增区间为(－∞，－1)．[解题通法]求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即： (1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法．考点二 函数单调性的判断 [典例] 试讨论函数()()0kf x x k x=+>的单调性． [解] 法一：由解析式可知，函数的定义域是()(),00,-∞⋃+∞．在(0，＋∞)内任取1x ，2x ，令12x x <，那么()()()()122121212121211211x x k k k f x f x x x x x k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >. 故当()12,,x x k ∈+∞时，()()12f x f x <，即函数在(),k +∞上单调递增．当()12,0,x x k ∈时，()()12f x f x >，即函数在()0,k 上单调递减． 考虑到函数()()0kf x x k x=+>是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调 性，故在(),k -∞-单调递增，在(),0k -上单调递减． 综上，函数f (x )在(),k -∞-和(),k +∞上单调递增，在(),0k -和()0,k 上单调递减． [解题通法]1．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底． 2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确． [针对训练]判断函数g (x )＝－2x x －1在 (1，＋∞)上的单调性．解：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 则()()()()()12121212122221111x x x x g x g x x x x x ----=-=----， 由于1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 考点三 函数单调性的应用 角度一 求函数的值域或最值1．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． 解：(1)证明：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0. 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵当x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3,3]上也是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小 2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选 B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞) 时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 角度三 解函数不等式3．已知函数()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：选B 作出函数f (x )的图像，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．角度四 求参数的取值范围或值4．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B.13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D.13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：选B 函数f (x )是R 上的减函数，于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-⨯≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，由此解得a ≤138， 即实数a 的取值范围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. [解题通法]1．含“f ”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．巩固练习一、选择题1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A 解析：f (x )对称轴x ＝a ，当a ≤1时f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为f (x )在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．2．已知函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案：C 解析：由题知f (x )在R 上是增函数，由题得2－a 2>a ，解得－2<a <1. 3．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ( ) A ．4B ．5C ．6D ．7答案：C解析：由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图象的最高点．4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]答案：D 解析:f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a的取值范围是0<a ≤1.5．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( )A ．一定大于0B ．一定小于0C ．等于0D ．正负都有可能答案：A 解析：∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )． 又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1.又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)，f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3)，f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1)， ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)． ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.] 二、填空题6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)． ①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f (x )是减函数；③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增函数．答案：[0，32]解析：()()()()3030x x x y x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩画图象如图所示：可知递增区间为[0，32]．8．设0<x <1，则函数y ＝1x ＋11－x 的最小值是________．答案：4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x (1－x )，当0<x <1时，x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14，∴y ≥4.三、解答题9．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． (1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解：由题意a －1x<2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．∵h ′(x )＝2－1x 2，x ∈(1，＋∞)，∴2－1x2>0，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3. ∴a 的取值范围为(－∞，3]．10．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围． 解：设f (x )的最小值为g (a )，则只需g (a )≥0， 由题意知，f (x )的对称轴为－a2.(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73.又a >4，故此时的a 不存在．(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2. 又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7. 又a <－4，故－7≤a <－4.综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时， 有()()0f a f b a b+>+成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它； (2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2， 则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数， ∴()()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=-+-由已知得()()()12120f x f x x x +->+-，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f(x)在[－1,1]上单调递增．(2)∵f(x)在[－1,1]上单调递增，∴112111121111xxxx⎧+<⎪-⎪⎪-≤+≤⎨⎪⎪-≤<⎪-⎩∴－32≤x<－1.(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上，f(x)≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]成立．下面来求m的取值范围．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，自然对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2，或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或|m|≥2.。
函数的单调性与最值(含例题详解)
函数的单调性与最值之宇文皓月创作一、知识梳理1．增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1<x2，则有：(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)<f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)>f(x2)．2．单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y ＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．3．函数的最值1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间暗示，不克不及用集合或不等式暗示；如有多个单调区间应分别写，不克不及用并集符号“∪”联结，也不克不及用“或”联结．2．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，()1f x 等的单调性与其正负有关，切不成盲目类比．[试一试]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．y ＝x ＋1x解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max ＝________.解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8.答案：[1,4] 8 二、方法归纳1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，分歧时为减函数；(3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．2．求函数最值的五个经常使用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域．[练一练]1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A．y＝1xB．y＝e－xC．y＝－x2＋1 D. y＝lg|x|答案：C2．函数f(x)＝1x2＋1在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________．答案：151 10三、考点精练考点一求函数的单调区间1、函数()()5log 21f x x =+的单调增区间是________． 解析：要使()5log 21y x =+有意义，则210x +>，即12x >-，而5log y u =为()0,+∞上的增函数，当12x >-时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.答案：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ 2．函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________． 解析：y ＝x －|1－x |＝1,121,1x x x ≥⎧⎨-<⎩作出该函数的图像如图所示．由图像可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]． 答案：(－∞，1]3．设函数y ＝f (x )在(),-∞+∞内有定义．对于给定的正数k ，定义函数()()()(),,k f x f x kf x k f x k ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩取函数()2xf x -=，当k ＝12时，函数()k f x 的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选C 由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以()122,11,1122,1x xx f x x x -⎧≥⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤-⎩，故()12f x 的单调递增区间为(－∞，－1)．[解题通法]求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即： (1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法． 考点二函数单调性的判断 [典例] 试讨论函数()()0kf x x k x =+>的单调性．[解] 法一：由解析式可知，函数的定义域是()(),00,-∞⋃+∞．在(0，＋∞)内任取1x ，2x ，令12x x <，那么因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >.故当)12,x x ∈+∞时，()()12f x f x <，即函数在)+∞上单调递增．当(12,x x ∈时，()()12f x f x >，即函数在(上单调递减．考虑到函数()()0kf x x k x =+>是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(,-∞单调递增，在()上单调递减．综上，函数f (x )在(,-∞和)+∞上单调递增，在()和(上单调递减． [解题通法]1．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形完全．2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．[针对训练]判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1，＋∞)上的单调性．解：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 则()()()()()12121212122221111x x x x g x g x x x x x ----=-=----，由于1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 考点三函数单调性的应用 角度一 求函数的值域或最值1．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)证明：∵函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵当x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.角度二比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f(x)＝log2x＋11－x，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( )A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0解析：选 B ∵函数f(x)＝log2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x1∈(1,2)时，f(x1)<f(2)＝0，当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0.角度三解函数不等式3．已知函数()2243,023,0x x xf xx x x⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩则不等式f(a2－4)>f(3a)的解集为( )A．(2,6) B．(－1,4)C．(1,4) D．(－3,5)解析：选 B 作出函数f(x)的图像，如图所示，则函数f(x)在R上是单调递减的．由f(a2－4)>f(3a)，可得a2－4<3a，整理得a2－3a－4<0，即(a＋1)(a－4)<0，解得－1<a<4，所以不等式的解集为(－1,4)．角度四求参数的取值范围或值4．已知函数()()2,211,22xa x xf xx⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x≠，都有()()1212f x f xx x-<-成立，则实数a的取值范围为( ) A．(－∞，2) B.13,8⎛⎤-∞⎥⎝⎦C．(－∞，2] D.13,2 8⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：选B 函数f(x)是R上的减函数，于是有()22012212aa-<⎧⎪⎨⎛⎫-⨯≤-⎪⎪⎝⎭⎩，由此解得a≤138，即实数a的取值范围是13,8⎛⎤-∞⎥⎝⎦ .[解题通法]1．含“f”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内．2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．巩固练习一、选择题1．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)A．充分不需要条件B．需要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不需要条件答案：A 解析：f(x)对称轴x＝a，当a≤1时f(x)在[1，＋∞)上单调递增．∴“a＝1”为f(x)在[1，＋∞)上递增的充分不需要条件．2．已知函数()224,04,0x x xf xx x x⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案：C 解析：由题知f(x)在R上是增函数，由题得2－a2>a，解得－2<a<1.3．用min{a，b，c}暗示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为( )A．4B．5C．6D．7答案：C解析：由题意知函数f(x)是三个函数y1＝2x，y2＝x＋2，y3＝10－x中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f(x)的图象)可知A(4,6)为函数f(x)图象的最高点．4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)D．(0,1]答案：D解析:f(x)在[a，＋∞)上是减函数，对于g(x)，只有当a>0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f(x)和g(x)的减区间的子集即可，则a的取值范围是0<a≤1.5．已知定义在R上的增函数f(x)，满足f(－x)＋f(x)＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值 ( )A．一定大于0B．一定小于0C．等于0D．正负都有可能答案：A解析：∵f(－x)＋f(x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．又∵x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，∴x1>－x2，x2>－x3，x3>－x1.又∵f(x1)>f(－x2)＝－f(x2)，f(x2)>f(－x3)＝－f(x3)，f(x3)>f(－x1)＝－f(x1)，∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>－f(x2)－f(x3)－f(x1)．∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0.]二、填空题6．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．7．设f(x)是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)．①y＝[f(x)]2是增函数；②y ＝1f x是减函数；③y＝－f (x)是减函数；④y＝|f(x)|是增函数．答案：[0，32 ]解析：()()()()3030x x xyx x x⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩画图象如图所示：可知递增区间为[0，32 ]．8．设0<x<1，则函数y＝1x＋11－x的最小值是________．答案：4解析y＝1x＋11－x＝1x1－x，当0<x<1时，x(1－x)＝－(x－12)2＋14≤14，∴y≥4.三、解答题9．已知函数f(x)＝a－1|x|.(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－1x，设0<x1<x2，则x1x2>0，x2－x1>0.f(x1)－f(x2)＝(a－1x1)－(a－1x2)＝1x2－1x1＝x1－x2x1x2<0.∴f(x1)<f(x2)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)解：由题意a－1x<2x在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x＋1x，则a<h(x)在(1，＋∞)上恒成立．∵h′(x)＝2－1x2，x∈(1，＋∞)，∴2－1x2>0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增．故a≤h(1)，即a≤3.∴a的取值范围为(－∞，3]．10．已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．解：设f(x)的最小值为g(a)，则只需g(a)≥0，由题意知，f(x)的对称轴为－a2 .(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73. 又a >4，故此时的a 不存在．(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a24≥0得－6≤a ≤2. 又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.(3)当－a 2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7.又a <－4，故－7≤a <－4.综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有()()0f a f b a b +>+成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它；(2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)； (3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数，∴()()()()()()()()12 12121212f x f xf x f x f x f x x xx x+--=+-=-+-由已知得()()()1212f x f xx x+->+-，x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴f(x)在[－1,1]上单调递增．(2)∵f(x)在[－1,1]上单调递增，∴112111121111xxxx⎧+<⎪-⎪⎪-≤+≤⎨⎪⎪-≤<⎪-⎩∴－32≤x<－1.(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上，f(x)≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]成立．下面来求m的取值范围．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，自然对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2，或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或|m|≥2.。
函数的单调性与导数特征
函数的单调性与导数特征单调性是描述函数增减性质的关键概念，很多数学问题都与单调性有密切关系。
而导数则是描述函数变化率的工具，很多单调性问题都可以通过研究导数的符号、零点等来判断函数的单调性。
1. 单调性的定义设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，若对于任意的$x_1,x_2\in I$，当$x_1<x_2$时，恒有$f(x_1)\leq f(x_2)$，则称函数$f(x)$在区间$I$上单调不降；若对于任意的$x_1,x_2\in I$，当$x_1<x_2$时，恒有$f(x_1)\geq f(x_2)$，则称函数$f(x)$在区间$I$上单调不增。
2. 导数的定义设函数$f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$\Delta x$时，相应的函数取得增量$\Deltay=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。
若极限$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$存在，称此极限为函数$f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$。
3. 导数与单调性若$f'(x)>0$，则$f(x)$在点$x$处单调不降；若$f'(x)<0$，则$f(x)$在点$x$处单调不增。
若$f'(x)=0$，则不能确定函数在该点的单调性。
但当$f'(x_0^-)<0$且$f'(x_0^+)>0$时，$f(x)$在点$x_0$处取得极小值；当$f'(x_0^-)>0$且$f'(x_0^+)<0$时，$f(x)$在点$x_0$处取得极大值。
4. 综合例题已知函数$f(x)=e^{3x}-3e^{2x}$，求$f(x)$的单调区间及极值。
解：首先求导数$f'(x)=3e^{3x}-6e^{2x}=3e^{2x}(e^x-2)$。
函数的单调性与最值课件共20张PPT
调递增
调递减
∀x1，x2∈D 且 x1≠x2，有fxx11－ －fx2x2>0(<0)或
(x1－ x2)[f(x1)－ f(x2)]>0(<0)⇔ f(x) 在区 间 D 上单 调递 增
(减).
复习回顾
图象 描述
自左向右看图象是上升的
解析
令
x2＋4＝t，则
t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝ t2
＋t 1＝t＋1 1，
t
设 h(t)＝t＋1，则 h(t)在[2，＋∞)上为增函数， t
∴h(t)min＝h(2)＝52，∴y≤15＝25(x＝0 时取等号)． 2
即 y 的最大值为2. 5
求函数最值的三种基本方法：
一．单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. 二．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性 变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
函数的单调性知识点
函数的单调性知识点函数的单调性是数学分析中的一个重要概念，用来描述函数在定义域上的增减特性。
具体而言，一个函数可以是严格递增的、递增的、严格递减的或递减的。
函数的单调性具有广泛的应用，在求解极值、解方程、绘制函数图像等问题中起到重要的作用。
本文将介绍函数的单调性的概念、判定方法以及一些常见的单调函数。
一、函数的单调性概念函数的单调性是指函数在定义域上的增减变化规律。
具体而言，一个函数在某个区间上单调递增，意味着随着自变量的增大，函数的取值也随之增大；而在单调递减的区间上，函数的取值随着自变量的增大而减小。
二、函数单调性的判定方法1. 导数法导数是函数单调性判定的重要工具之一。
对于可导函数，函数在某个区间上单调递增的充要条件是导数恒大于等于零；函数在某个区间上单调递减的充要条件是导数恒小于等于零。
2. 一阶差分法对于分段连续的函数，可以通过一阶差分的正负来判断函数的单调性。
若一阶差分恒大于零，则函数在该区间上单调递增；若一阶差分恒小于零，则函数在该区间上单调递减。
3. 二阶导数法对于二次可导函数，函数在某个区间上的单调性可以通过二阶导数的正负来判断。
若二阶导数恒大于零，则函数在该区间上单调递增；若二阶导数恒小于零，则函数在该区间上单调递减。
三、常见的单调函数1. 线性函数线性函数是最简单的单调函数，其定义域为实数集，函数的图像为一条直线。
线性函数在整个定义域上均为单调递增或单调递减。
2. 指数函数指数函数为形如 f(x) = a^x （a>0, a≠1）的函数，指数函数在定义域上分为两类：当a>1时，函数为单调递增函数；当0<a<1时，函数为单调递减函数。
3. 对数函数对数函数为形如 f(x) = loga(x) （a>0, a≠1）的函数。
当0<a<1时，对数函数为单调递增函数；当a>1时，对数函数为单调递减函数。
4. 幂函数幂函数为形如 f(x) = x^a （a为常数）的函数。
单调区间极值知识点总结
单调区间极值知识点总结一、单调区间极值的定义在函数的定义域内，如果存在一个区间[a, b]，在这个区间内函数的增减性保持不变，即在该区间内函数要么单调递增，要么单调递减，那么这个区间[a, b]就是函数的一个单调区间。
而在这个单调区间的端点a和b处的函数的极值就是单调区间极值。
极值是函数在某点的局部最大值或局部最小值，即在该点附近的一小段范围内，函数的值都小于或大于这个点的函数值。
二、判定条件判断一个函数的区间是否是单调区间，可以通过函数的导数来确定。
对于连续函数而言，只需要求出函数的导数，然后根据导数的正负性即可判断出函数的单调性。
具体判定条件如下：1. 当函数在区间(a, b)内的导数大于0时，说明函数在该区间内单调递增；2. 当函数在区间(a, b)内的导数小于0时，说明函数在该区间内单调递减；3. 当函数在区间(a, b)内的导数恒为0时，就意味着函数在该区间内存在极值点。
三、求解方法当确定了函数的单调区间后，我们可以根据函数在这些单调区间内的性质求出函数的极值点。
具体的求解方法如下：1. 首先求出函数的导数；2. 根据导数的正负性判断出函数的单调区间；3. 根据导数的零点找出函数的驻点；4. 确定函数在各个单调区间内的性质；5. 最后确定函数的极值点。
四、应用单调区间极值的求解在数学分析、微积分、优化问题等方面都有广泛的应用。
下面我们来看一些具体的应用场景：1. 在优化问题中，我们通常需要求解函数的极值点，以确定函数的最大值或最小值。
单调区间极值的求解方法可以帮助我们快速找到函数的极值点，从而解决优化问题；2. 在微积分中，单调区间极值的知识点是求解函数的极值和拐点的重要工具。
通过分析函数的单调区间，我们可以快速求解出函数的极值点和拐点，从而深入理解函数的性质；3. 在数学分析中，函数的单调性是分析函数性质的重要依据。
通过分析函数的单调性，我们可以判断函数的增减性、凹凸性和极限值，从而深入理解函数的性质和特点。
单调性与极值关系解析
单调性与极值关系解析实际上，函数的极值并不直接影响其单调性，而是函数的单调性变化“揭示”了极值的存在。
让我们更详细地探讨这一关系：1. 单调性变化的标志函数的单调性描述了函数在其定义域内某区间上是否递增或递减。
当函数从递增变为递减，或者从递减变为递增时，这种单调性的变化通常意味着函数在这一点附近有一个极值。
换句话说，极值点是单调性改变的“转折点”。
2. 极值的定义极值点是函数在其局部范围内的最大或最小值点。
如果函数在某点c处取得局部最大值，那么在该点的左侧（如果存在的话），函数是递增的；而在该点的右侧（如果存在的话），函数是递减的。
类似地，对于局部最小值点，函数在其左侧递减，在其右侧递增。
3. 导数与极值为了找到极值点，我们通常会求函数的导数，并找到导数等于零的点（驻点）。
然而，并不是所有驻点都是极值点。
为了确定一个驻点是否是极值点，我们需要检查该点附近的导数符号变化。
如果导数在该点从正变为负，那么该点是局部最大值点；如果导数从负变为正，那么该点是局部最小值点。
4. 单调性与极值的关系总结●单调性变化是极值点存在的“信号”。
●极值点是单调性变化的“转折点”。
●我们通过检查函数在其驻点附近的单调性变化来确定极值点的存在和类型。
5. 示例考虑函数f(x)=x3−3x，其导数为f′(x)=3x2−3。
●驻点：令f′(x)=0，得到x=±1。
●单调性：当x<−1时，f′(x)>0，函数递增；当−1<x<1时，f′(x)<0，函数递减；当x>1时，f′(x)>0，函数再次递增。
●极值：由于函数在x=−1处由递增变为递减，故x=−1是局部最大值点；在x=1处由递减变为递增，故x=1是局部最小值点。
在这个示例中，我们首先确定了函数的单调性变化，然后利用这些变化来找到并分类极值点。
因此，可以说单调性的变化“导致”了极值点的识别，而不是极值“影响”了单调性。
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则 f ( ) 0,
( x1 x2 )
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调增加.
若在(a , b)内， f ( x ) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少.
x
f ( x )
f ( x)
( ,1) 1
( 1,3)
3
0
极 小 值
( 3, )
0
极 大 值
极大值 f ( 1) 10,
极小值 f ( 3) 22.
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f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 图形如下
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
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定义：使导数为零的点 ( 即方程 f ( x ) 0 的实根 )
叫做函数 f ( x ) 的驻点 .
注意:
（1）极值是一个局部的概念，而最值是一个整体的 概念。
( 2) 由费马定理知：可导函 数 f ( x ) 的极值点必定 是它的驻点, 但函数的驻点却不一定 是极值点.
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二、函数的极值
定义
设函数 f ( x ) 在 x0 的某邻域 U ( x0 ) 内有定义 ,
o
如果对于去心邻域 U ( x0 ) 内的任一点 x , 有 f ( x ) f ( x0 ) ( f ( x ) f ( x0 ) ) 就称 f ( x0 ) 是函数 f ( x ) 的一个极大值 ( 极小值 ) .
1 3
当 x 2 时 ，f ( x ) 0; 当 x 2 时 ，f ( x ) 0.
M
f ( 2) 1 为 f ( x ) 的极大值.
M
m
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注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 例8： 求出函数 f ( x ) 1 ( x 2) 的极值.
2 3
2 ( x 2) 解 f ( x ) ( x 2 ) 3 当x 2时, f ( x )不存在. 但函数f ( x )在该点连续.
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定理 1（单调的必要条件） ：若 f ( x )在区间[a , b]上连 续且单调增加（单调减少） ，在 ( a , b ) 内可导，则对任意 的 x (a , b) ，有 f ( x ) 0 ( f ( x ) 0) 。
证明： 只证单增的情况，单减的情况类似。 f ( x x ) f ( x ) x (a , b ) , x x (a , b) , 考察 x 当 x 0 时 ， f ( x x ) f ( x ) 0 ; x f ( x x ) f ( x ) 当 x 0 时 ， 0; x 于是由极限的保号性，得 f ( x x ) f ( x ) f ( x ) lim 0 x 0 x
f ( 2) 55 0， f ( 1) 3 0， f (0) 1 0， f (1) 1 0，
5 3
f ( 2) 57 0
故 f ( x ) 0 在( 2,1), ( 0,1), (1,2) 内个有一根,
因而方程 3 x 5 x 1 0 在区间 [ 2,2] 上有三个不 同实根.
例如,
y x 3 , y x 0 0,
但 x 0 不是极值点.
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y
y
(不是极值点情形)
x0
o
y
x
o
y
x0
x
x0
x0
o
y
x
y
o
x
o
x0
(是极值点情形)
x0
x
o
x
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函数的驻点和不可导点，称为函数的 可疑极值点。
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定理2（单调的充分条件）
设函数 y f ( x ) 在 [a , b]上连续，在(a , b ) 内可导。 （1） 如果在 (a , b ) 内 f ( x ) 0，那么函数 y f ( x ) 在 [a , b]上单调增加； ( 2) 如果在 (a , b )内 f ( x ) 0 ，那么函数 y f ( x ) 在 [a , b] 上单调减少。
定理中的 [a , b]换成其它类型的区间（包括无 穷区间） ，结论也成立。
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证明： x1 , x2 (a , b), 且 x1 x2 ,
应用拉格朗日中值定理，得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) x2 x1 0,
f ( x ) e x sin x( x )在[0,1]上单调减少；
则 f ( x ) f (0) 0
可以再求 f ( x )
f ( x )在[0,1]上单调减少；
则 f ( x ) f ( 0) 0
2 x 即e x sin x 1 (0 x 1) 2
f ( x ) 2 3 x
3
,
( x 0)
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在 .
当 x 0时，f ( x ) 0, 在( ,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加；
单增区间为 [0, ). 单减区间为 ( ,0]，
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例 3：讨论方程 3 x 5 5 x 3 1 0 在区间[ 2,2]上有几个 不同实根。
解：令 f ( x ) 3 x 5 5 x 3 1
f ( x ) 15 x 4 15 x 2 15 x 2 ( x 1)( x 1) 令 f ( x ) 0，得 x 0，x 1， x 1 f ( x )在 ( 2,1), ( 1,0), ( 0,1), (1,2) 内单调, 且
什么样的可疑极值点才是真正的极值 点呢？
从图中可以看出，若 x0 是 f ( x ) 的极值 点，则通过 x0 时， f ( x ) 改变了单调性；否则，
f ( x ) 没有改变单调性。
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定理3(第一充分条件)
o
设 f ( x ) 在 点 x0 处 连
续，在点 x0 的某去心邻域U ( x0 , ) 内可导 (1) 如 果 x ( x0 , x0 ), 有 f ( x ) 0; 而 x ( x0 , x0 ) ，有 f ( x ) 0 ，则 f ( x ) 在 x0 处取
5 求出相应的极值。
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例7： 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.
解:
f ( x ) 3 x 2 6 x 9 3( x 1)( x 3)
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符
号来判别一个区间上的单调性．
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3. 函数在定义区间上的单调性是会改变的。使单调
性改变的点可能是导数为零的点或导数不存在的点。 用导数为零或导数不存在的点来划分定义区间，就 能保证函数的导数在各个部分区间内保持固定的符 号，从而使函数在各个部分区间上单调。 求单调区间的方法:
当 2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
[2, ) ； 单减区间为 [1,2] 单增区间为 ( ,1]，
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例2： 确定函数 f ( x ) 3 x 2 的单调区间。 解： D : ( , ).
f ( x ) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2)
解方程 f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2. 当 x 1 时， f ( x ) 0, 在( ,1]上单调增加； 当 1 x 2 时，
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
第四节
第三章
函数的单调性与极值
一、函数的单调性
二、函数的极值及求法 三、函数的最大最小值
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一、函数的单调性
y
y f ( x)
A
B
y
A y f ( x)
B
o
a
f ( x ) 0
b
x
o a
f ( x ) 0
b x
事实上，由导数的定义和极限的保号性，我们可 以证明下面的事实。
用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点来划分 函数 f ( x )的定义区间 ， 然后判断区间内导数的 符号 .
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例1：讨论函数 f ( x ) 2 x 3 9 x 2
12 x 3的单调性，并确 定其单调区间。
解 D : ( , ).
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说明：
1.此定理只给出了函数在某个区间上单调的充分条件，