中考数学压轴题(五)平移问题
专题05二次函数中的平移、旋转、对称(五大题型)解析版
专题05二次函数中的平移、旋转、对称（五大题型）通用的解题思路：1.二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.3.二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。
4.二次函数图象的翻折与旋转y=a(x-h)²+k绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-k a、h、k 均变号沿x 轴翻折y=-a(x-h)²-k a、k 变号，h 不变沿y 轴翻折y=a(x+h)²+ka、h 不变，h 变号题型一：二次函数中的平移问题1．（2024•牡丹区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21(0)y ax bx a a=+-<与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）．（2）当B 的纵坐标为3时，求a 的值；（3）已知点11(,2P a-，(2,2)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，请结合函数图象求出a 的取值范围．【分析】（1）令0x =，求出点A 坐标根据平移得出结论；（2）将B 的纵坐标为3代入求出即可；（3）由对称轴为直线1x =得出212y ax ax a =--，当2y =时，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，结合图象得出结论；【解答】解：（1）在21(0)y ax bx a a =+-<中，令0x =，则1y a =-，∴1(0,)A a-，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，则1(2,)B a-．（2）B 的纵坐标为3，∴13a-=，∴13a =-．（3）由题意得：抛物线的对称轴为直线1x =，2b a ∴=-，∴212y ax ax a=--，当2y =时，2122ax ax a=--，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，当|1|2a a a -+≤时，结合函数图象可得12a ≤-，抛物线与PQ 恰有一个公共点，综上所述，a 的取值范围为12a ≤-．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．2．（2024•平原县模拟）已知抛物线212:23C y ax ax a =++-．（1）写出抛物线1C 的对称轴：．（2）将抛物线1C 平移，使其顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，且抛物线2C 经过点(2,2)A --和点B （点B 在点A 的左侧），若ABO ∆的面积为4，求点B 的坐标．（3）在（2）的条件下，直线1:2l y kx =-与抛物线2C 交于点M ，N ，分别过点M ，N 的两条直线2l ，3l 交于点P ，且2l ，3l 与y 轴不平行，当直线2l ，3l 与抛物线2C 均只有一个公共点时，请说明点P 在一条定直线上．【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式直接可得出答案．（2）根据抛物线2C 的顶点坐标在原点上可设其解析式为2y ax =，然后将点A 的坐标代入求得2C 的解析式，于是可设B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，利用4ABO OBN OAM ABNM S S S S ∆∆∆=--=梯形可求得t 的值，于是可求得点B 的坐标．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立抛物线与直线1l 的方程可得出12x x k +=-，124x x =-．再利用直线2l 、直线3l 分别与抛物线相切可求得直线2l 、直线3l 的解析式，再联立组成方程组可求得交点P 的纵坐标为一定值，于是可说明点P 在一条定直线上．【解答】解：（1）抛物线1C 的对称轴为：212ax a=-=-．故答案为：1x =-．故答案为：1x =-．（2） 抛物线1C 平移到顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，∴可设抛物线2C 的解析式为：2y ax = 点(2,2)A --有抛物线2C 上，22(2)a ∴-=⋅-，解得：12a =-．∴抛物线2C 的解析式为：212y x =-．点B 在抛物线2C 上，且在点A 的左侧，∴设点B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，如图，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为点M 、N ．ABO OBN OAM ABNMS S S S ∆∆∆=-- 梯形2211111()()22(2)(2)22222t t t t =⨯-⨯-⨯⨯-⨯+⨯--32311122424t t t t =--++++212t t =+，又4ABO S ∆=，∴2142t t +=，解得：13t +=±，4(2t t ∴=-=不合题意，舍去），则2211(4)822t -=-⨯-=-，(4,8)B ∴--．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程组：2122y xy kx ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，整理得：2240x kx +-=，122x x k ∴+=-，124x x =-．设过点M 的直线解析式为y mx n =+，联立得方程组212y xy mx n⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，整理得2220x mx n ++=．①过点M 的直线与抛物线只有一个公共点，∴△2480m n =-=，∴212n m =．∴由①式可得：221112202x mx m ++⨯=，解得：1m x =-．∴2112n x =．∴过M 点的直线2l 的解析式为21112y x x x =-+．用以上同样的方法可以求得：过N 点的直线3l 的解析式为22212y x x x =-+，联立上两式可得方程组2112221212y x x x y x x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得1212212x x x y x x +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，12x x k +=- ，124x x =-．∴(,2)2k P -∴点P 在定直线2y =上．（如图）【点评】本题考查了抛物线的对称轴、求二次函数的解析式、解一元二次方程、一元二次方程的根的情况、求直线交点坐标等知识点，解题的关键是利用所画图形帮助探索解法思路．3．（2024•和平区一模）已知抛物线21(y ax bx a =+-，b 为常数．0)a ≠经过(2,3)，(1,0)两个点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）抛物线的顶点为；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法即可求解；（Ⅱ）根据抛物线的顶点式即可求得；（Ⅲ）利用平移的规律即可求得．【解答】解：（1） 抛物线21y ax bx =+-经过(2,3)，(1,0)两个点，∴421310a b a b +-=⎧⎨+-=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为21y x =-；（Ⅱ） 抛物线21y x =-，∴抛物线的顶点为(0,1)-，故答案为：(0,1)-；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线2(1)12y x =---，即2(1)3y x =--．故答案为：2(1)3y x =--．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．4．（2024•礼县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，且过点(1,2)B -，(3,0)C ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求ABC ∆的面积；（3）将抛物线向左平移(0)m m >个单位，当抛物线经过点B 时，求m的值．【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）先求出点A 的坐标，然后切成直线BC 的解析式，求出点D 的坐标，再根据ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+求出ABC ∆的面积；（3）由（1）解析式求出对称轴，再求出点B 关于对称轴的对称点B '，求出BB '的长度即可；【解答】解：（1）把(1,2)B -，(3,0)C 代入23y ax bx =++，则933032a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数解析式为211322y x x =-++；（2） 抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，(0,3)A ∴，设直线BC 的解析式为y kx n =+，把(1,2)B -，(3,0)C 代入y kx n =+得230k n k n -+=⎧⎨+=⎩，解得1232k n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BC 的解析式为1322y x =-+，设BC 交y 于点D，如图：则点D 的坐标为3(0,)2，33322AD ∴=-=，113()(31)3222ABC ABD ACD C B S S S AD x x ∆∆∆∴=+=-=⨯⨯+=，（3）211322y x x =-++ ，∴对称轴为直线122b x a =-=，令B 点关于对称轴的对称点为B '，(2,2)B ∴'，3BB ∴'=，抛物线向左平移(0)m m >个单位经过点B ，3m ∴=．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、三角形面积等知识，关键是掌握二次函数的性质和平移的性质．5．（2024•珠海校级一模）已知抛物线223y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）化成顶点是即可求解；（2）根据平移的规律得到2(1)4y x m =-+-+，把原点代入即可求得m 的值．【解答】解：（1）2223(1)4y x x x =+-=+- ，∴抛物线的顶点坐标为(1,4)--．（2）该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，得到的新抛物线对应的函数表达式为2(1)4y x m =+--， 新抛物线经过原点，20(01)4m ∴=+--，解得3m =或1m =-（舍去），3m ∴=，故m 的值为3．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，求得平移后的抛物线的解析式是解题的关键．6．（2024•关岭县一模）如图，二次函数212y x bx c =++与x 轴有两个交点，其中一个交点为(1,0)A -，且图象过点(1,2)B ，过A ，B 两点作直线AB ．（1）求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；（2）将二次函数212y x bx c =++向左平移1个单位，得函数2y =；函数2y 与坐标轴的交点坐标为；（3）在（2）的条件下，将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后与函数2y 的图象有唯一交点，求n 的值．【分析】（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式即可求出b 、c 值，再转化为顶点式即可；（2）根据抛物线平移规则“左加右减”得到2y 解析式，令20y =求出与x 轴的交点坐标即可；（3）利用待定系数法求出直线AB 解析式，再根据直线平移法则“上加下减”得到直线平移后解析式，联立消去y ，根据判别式为0解出n 值即可．【解答】解：（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式得：2022b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得11b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为2219212()48y x x x =+-=+-．∴抛物线解析式为：21192()48y x =+-．（2）将二次函数1y 向左平移1个单位，得函数22592()48y x =+-，令20y =，则2592(048x +-=，解得112x =-，22x =-，∴平移后的抛物线与x 轴的交点坐标为1(2-，0)(2-，0)．故答案为：22592()48y x =+-，1(2-，0)(2-，0)．（3）设直线AB 的解析式为y kx b =+，将(1,0)A -，点(1,2)B 代入得：02k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 解析式为：1y x =+．将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后的解析式为1y x n =+-，与函数2y 联立消去y 得：2592(148x x n +-=+-，整理得：22410x x n +++=，直线AB 与抛物线有唯一交点，△1642(1))0n =-⨯+=，解得1n =．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握函数的平移法则是解答本题的关键．7．（2024•温州模拟）如图，直线122y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，抛物线2y x mx =-+经过点A ．（1）求点B 的坐标和抛物线的函数表达式．（2）若抛物线向左平移n 个单位后经过点B ，求n 的值．【分析】（1）由题意可得点A 、B 的坐标，利用待定系数法求解二次函数的表达式即可解答；（2）根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的抛物线的表达式，再代入B 的坐标求解即可．【解答】解：（1）令0x =，则1222y x =-+=，(0,2)B ∴，令0y =，则1202y x =-+=，解得4x =，(4,0)A ∴，抛物线2y x mx =-+经过点A ，1640m ∴-+=，解得4m =，∴二次函数的表达式为24y x x =-+；（2）224(2)4y x x x =-+=--+ ，∴抛物线向左平移n 个单位后得到2(2)4y x n =--++，经过点(0,2)B ，22(2)4n ∴=--++，解得2n =±，故n 的值为2-2+【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征等知识，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解答的关键．8．（2024•巴东县模拟）已知二次函数2y ax bx c =++图象经过(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -三点．（1）求该二次函数解析式；（2）将该二次函数2y ax bx c =++图象平移使其经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，求平移后的二次函数的解析式．【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式．【解答】解：（1）把(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -代入2y ax bx c =++，得：4239366a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴该二次函数的解析式为223y x x =-+；（2）若将该二次函数2y ax bx c =++图象平移后经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，设平移后的二次函数的解析式为2(4)y x k =-+，将点(5,0)D 代入2(4)y x k =-+，得2(54)0k -+=，解得，1k =-．∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为22(4)1815y x x x =--=-+．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键．9．（2024•郑州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y x m =+经过点A ，判断点B 是否在直线y x m =+上，并说明理由；（3）平移抛物线2y x bx c =-++使其顶点仍在直线y x m =+上，若平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为n ，求n 的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）利用待定系数法求得直线y x m =+的解析式，然后代入点B 判断即可；（3）设平移后的抛物线为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +，根据题意得出2221511()24n p q p p p =-++=-++=-++，得出n 的最大值．【解答】解：（1） 抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ，∴12421b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得21b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：221y x x =-++；（2）点B 不在直线y x m =+上，理由：直线y x m =+经过点A ，12m ∴+=，1m ∴=，1y x ∴=+，把2x =代入1y x =+得，3y =，∴点(2,1)B 不在直线y x m =+上；（3）∴平移抛物线221y x x =-++，使其顶点仍在直线1y x =+上，设平移后的抛物线的解析式为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +， 顶点仍在直线1y x =+上，11p q ∴+=+，p q ∴=，抛物线2()1y x p q =--++与y 轴的交点的纵坐标为21n p q =-++，2221511(24n p q p p p ∴=-++=-++=-++，∴当12p =-时，n 有最大值为54．54n ∴ ．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．10．（2024•鞍山模拟）已知抛物线2246y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）将二次函数的解析式改写成顶点式即可．（2）将抛物线与x 轴的交点平移到原点即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，2222462(21)82(1)8y x x x x x =+-=++-=+-，所以抛物线的顶点坐标为(1,8)--．（2）令0y =得，22460x x +-=，解得11x =，23x =-．又因为将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，所以30m -+=，解得3m =．故m 的值为3．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟知利用配方法求二次函数解析式的顶点式及二次函数的图象与性质是解题的关键．11．（2023•原平市模拟）（1）计算：3211()(5)|2|3--+---⨯-；（2）观察表格，完成相应任务：x3-2-1-012221A x x =+-21-2-1-①72(1)2(1)1B x x =-+--721-2-②2任务一：补全表格；任务二：观察表格不难发现，当x m =时代数式A 的值与当1x m =+时代数式B 的值相等，我们称这种现象为代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1：换个角度来看，将代数式A ，B 变形，得到(A =③2)2-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象④（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式P =⑤．【分析】（1）先算乘方，负整数指数幂，绝对值，再算乘法，最后算加减法即可求解；（2）①把1x =分别代入代数式A ，B 即可求得；②根据代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1，即可得出二次函数A 、B 平移的规律是向右平移1个单位，据此即可得出代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3的P 的代数式．【解答】解：（1）原式19(5)2=-+--⨯19(10)=-+--1910=-++18=；（2）任务一：将1x =代入2212A x x =+-=；代入2(1)2(1)11B x x =-+--=-，故答案为：①2，②1-；任务二：将代数式A ，B 变形，得到2(1)2A x =+-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象向右平移1个单位（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式22(13)2(2)2P x x =+--=--．故答案为：①2；②1-；③1x +；④向右平移1个单位；⑤2(2)2P x =--．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，理解题意，能够准确地列出解析式，并进行求解即可．12．（2024•南山区校级模拟）数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数2(||1)y x =--进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：【观察探究】：方程2(||1)1x --=-的解为：；【问题解决】：若方程2(||1)x a --=有四个实数根，分别为1x 、2x 、3x 、4x ．①a 的取值范围是；②计算1234x x x x +++=；【拓展延伸】：①将函数2(||1)y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；②观察平移后的图象，当123y时，直接写出自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据图象即可求得；（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数21(|21)3y x =---+的图象，根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）观察探究：①由图象可知，当函数值为1-时，直线1y =-与图象交点的横坐标就是方程2(||1)1x --=-的解．故答案为：2x =-或0x =或2x =．（2）问题解决：①若方程2(|1)x a --=有四个实数根，由图象可知a 的取值范围是10a -<<．故答案为：10a -<<．②由图象可知：四个根是两对互为相反数．所以12340x x x x +++=．故答案为：0．（3）拓展延伸：①将函数2(||1)y x =--的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象，②当123y 时，自变量x 的取值范围是04x ．故答案为：04x．【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．13．（2023•花山区一模）已知抛物线2y x ax b =++的顶点坐标为(1,2)．（1）求a ，b 的值；（2）将抛物线2y x ax b =++向下平移m 个单位得到抛物线1C ，存在点(,1)c 在1C 上，求m 的取值范围；（3）抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，直线(2)y n n =>与抛物线2y x ax b =++相交于A 、B （点A 在点B 的左侧），与2C 相交于点C 、D （点C 在点D 的左侧），求AD BC -的值．【分析】（1）根据对称轴公式以及当1x =时2y =，用待定系数法求函数解析式；（2）根据（1）可知抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，再由平移性质得出抛物线1C 解析式，然后把点(,1)c 代入抛物线1C ，再根据方程有解得出m 的取值范围；（3）先求出抛物线2C 解析式，再求出A ，B ，C ，D 坐标，然后求值即可．【解答】解：（1）由题意得，1212aa b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得23a b =-⎧⎨=⎩；（2）由（1）知，抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，将其向下平移m 个单位得到抛物线1C ，∴抛物线1C 的解析式为2(1)2y x m =-+-，存在点(,1)c 在1C 上，2(1)21c m ∴-+-=，即2(1)1c m -=-有实数根，10m ∴- ，解得1m，m ∴的取值范围为1m；（3） 抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，2(13)2k ∴-+=，解得2k =-，∴抛物线2C 的解析式为2(3)2y x =--，把(2)y n n =>代入到2(1)2y x =-+中，得2(1)2n x =-+，解得1x =1x =(1A ∴-，)n ，(1B +)n ，把(2)y n n =>代入到2(3)2y x =--中，得2(3)2n x =--，解得3x =或3x =+(3C ∴)n ，(3D +，)n ，(3(12AD ∴=+--=+，(1(32BC =+--=-+，(2(24AD BC ∴-=+--+=．【点评】本题考查二次函数的几何变换，二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式，直线和抛物线交点，关键对平移性质的应用．14．（2023•环翠区一模）已知抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)．（1）求此抛物线的解析式；（2）当自变量x 满足13x -时，求函数值y 的取值范围；（3）将此抛物线沿x 轴平移m 个单位长度后，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，求m 的值．【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）先求出1x =-及3x =时的函数值，结合函数的性质得到答案；（3）设此抛物线沿x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)2y x m l =---，利用二次函数的性质，当25m +>，此时5x =时，5y =，即(52)215m ---=，设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)21y x m =-+-，利用二次函数的性质得到2m l -<，此时1x =时，5y =，即(12)215m ---=，然后分别解关于m 的方程即可．【解答】解：（1） 抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)，∴103b c c ++=⎧⎨=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，∴此抛物线的解析式为243y x x =-+；（2）当1x =-时，1438y =++=，当3x =时，91230y =-+=，2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴函数图象的顶点坐标为(2,1)-，∴当13x -时，y 的取值范围是18y - ；（3）设此抛物线x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =--21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，25m ∴+>，即3m >，此时5x =时，5y =，即(52)m --215-=，解得13m =+，23m =-（舍去）；设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =-+21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，21m ∴-<，即1m >，此时1x =时，5y =，即2(12)15m ---=，解得11m =-+，21m =--（舍去），综上所述，m 的值为3+1+【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，也考查了二次函数的性质．15．（2023•南宁一模）如图1，抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)．（1）求c 的值及抛物线1y 的顶点坐标；（2）当132x - 时，求1y 的最大值与最小值的和；（3）如图2，将抛物线1y 向右平移m 个单位(0)m >，再向上平移2m 个单位得到新的抛物线2y ，点N 为抛物线1y 与2y 的交点．设点N 到x 轴的距离为n ，求n 关于m 的函数关系式，并直接写出当n 随m 的增大而减小时，m 的取值范围．【分析】（1）把(1,3)代入抛物线解析式求得c 的值；根据抛物线解析式可以直接得到顶点坐标；（2）根据抛物线的性质知：当0x =时，1y 有最大值为4，当3x =-时，1y 有最小值为5-．然后求1y 的最大值与最小值的和；（3）根据平移的性质“左加右减，上加下减”即可得出抛物线2y 的函数解析式；然后根据抛物线的性质分两种情况进行解答：当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．【解答】解：（1）抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)，∴当0x =时，2113y c =-+=，解得4c =．∴214y x =-+．顶点坐标为(0,4)；（2）10-< ，∴抛物线开口向下．当0x =时，1y 有最大值为4．当3x =-时，21(3)45y =--+=-．当12x =时，21115()424y =-+=．∴当3x =-时，1y 有最小值为5-．∴最大值与最小值的和为4(5)1+-=-；（3）由题意知，新抛物线2y 的顶点为(,42)m m +，∴22()42y x m m =--++．当12y y =时，22()424x m m x --++=-+，化简得：2220mx m m -+=．又0m > ，∴112x m =-．∴2211(1)4(2)424y m m =--+=--+．当21(2)404m --+=时，解得12m =-；26m =， 104-<，∴抛物线开口向下．当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．∴综上所述2213,06413,64m m m n m m m ⎧-++<⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩ （或21|(2)4|)4n m =--+．当26m <<时，n 随m 的增大而减小．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的图象与性质以及二次函数最值的求法．难度偏大．16．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，顶点为A ，与x 轴分别交于点B 和点C （点B 在点C 的左边），与y 轴交于点D ，其中点C 的坐标为(3,0)．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E ，联结DE ．①如果//DE AC ，求四边形ACDE 的面积；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，当DQE CDQ ∠=∠时，求点Q的坐标．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）①依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质和平行线的性质求得点E ，F 坐标，再利用四边形ACDE 的面积DFC EFCA S S ∆=+平行四边形解答即可；②依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理求得点E 坐标和线段DE ，再利用等腰三角形的判定与性质求得线段FQ ，则结论可求．【解答】解：（1） 抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，经过点(3,0)C ，∴229330b a a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为243y x x =-+；（2）①2243(2)1y x x x =-+=-- ，(2,1)A ∴-．设抛物线的对称轴交x 轴于点G ，1AG ∴=．令0x =，则3y =，(0,3)D ∴，3OD ∴=．令0y =，则2430x x -+=，解得：1x =或3x =，(1,0)B ∴．如果//DE AC ，需将抛物线向左平移，设DE 交x 轴于点F ，平移后的抛物线对称轴交x 轴于点H ，如图， 点C 的坐标为(3,0)，3OC ∴=．由题意：45ACB ∠=︒，//DE AC ，45DFC ACB ∴∠=∠=︒．3OF OD ∴==，(3,0)F ∴-，由题意：1EH =，1FH EH ∴==，(4,1)E ∴--．//AE x 轴，//DE AC ，∴四边形EFCA 为平行四边形，2(4)6AE =--= ，616EFCA S ∴=⨯=平行四边形．1163922DFC S FC OD ∆=⨯⋅=⨯⨯= ，∴四边形ACDE 的面积6915DFC EFCA S S ∆=+=+=平行四边形；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，DQE CDQ ∠=∠，如图，当点Q 在x 轴的下方时，设平移后的抛物线的对称轴交x 轴于F ，由题意：1EF =．3OD OC == ，45ODC OCD ∴∠=∠=︒，45FCE OCD ∴∠=∠=︒，1CF EF ∴==，(4,1)E ∴-．CD ==，CE ==DE CD CE ∴=+=DQE CDQ ∠=∠ ，EQ DE ∴==1QF EF EQ ∴=+=，(4,1)Q ∴-；当点Q 在x 轴的上方时，此时为点Q '，DQ E CDQ ∠'=∠' ，EQ DE ∴'==，1Q F EQ EF ∴'='-=，(4Q ∴'，1)-．综上，当DQE CDQ ∠=∠时，点Q 的坐标为(4,1)--或(4，1)-．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积，直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．17．（2023•下城区校级模拟）如图已知二次函数2(y x bx c b =++，c 为常数）的图象经过点(3,1)A -，点(0,4)C -，顶点为点M ，过点A 作//AB x 轴，交y 轴于点D ，交二次函数2y x bx c =++的图象于点B ，连接BC ．（1）求该二次函数的表达式及点M 的坐标：（2）若将该二次函数图象向上平移(0)m m >个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC ∆的内部（不包括ABC ∆的边界），求m 的取值范围；（3）若E 为y 轴上且位于点C 下方的一点，P 为直线AC 上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标：若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，即可求解；（2）求出平移后的抛物线的顶点(1,5)m -，再求出直线AC 的解析式4y x =-，当顶点在直线AC 上时，2m =，当M 点在AB 上时，4m =，则24m <<；（3）设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，分三种情况讨论：当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，Q 点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，Q 点横坐标为2；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，Q点横坐标为3【解答】解：（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，∴4931c b c =-⎧⎨++=-⎩，解得24b c =-⎧⎨=-⎩，224y x x ∴=--，2224(1)5y x x x =--=-- ，∴顶点(1,5)M -；（2）由题可得平移后的函数解析式为2(1)5y x m =--+，∴抛物线的顶点为(1,5)m -，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∴431b k b =-⎧⎨+=-⎩，解得14k b =⎧⎨=-⎩，4y x ∴=-，当顶点在直线AC 上时，53m -=-，2m ∴=，//AB x 轴，(1,1)B ∴--，当M 点在AB 上时，51m -=-，4m ∴=，24m ∴<<；（3）存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，理由如下：设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，点E 在点C 下方，4t ∴<-，Q点在第四象限，01q ∴<<，①当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，∴22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，解得334q p t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩（舍)或116p q t =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，∴22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，解得222q p t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为2，不符合题意；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，∴222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，解得332p q t ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-+⎪⎩（舍)或332p q t ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=--⎪⎩，Q ∴点横坐标为3-综上所述：Q 点横坐标为1或3-【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．18．（2023•即墨区一模）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为243y x x =-+．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(0,3)A ，(1,0)B ，．求该二次函数的解析式．（1）请根据已有信息添加一个适当的条件：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）当函数值6y <时，自变量x 的取值范围：；（3）如图1，将函数243(0)y x x x =-+<的图象向右平移4个单位长度，与243(4)y x x x =-+ 的图象组成一个新的函数图象，记为L ．若点(3,)P m 在L 上，求m 的值；（4）如图2，在（3）的条件下，点A 的坐标为(2,0)，在L 上是否存在点Q ，使得9OAQ S ∆=．若存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；（2）求出6y =时，对应的x 值，再结合图象写出x 的取值范围即可；（3）求出抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)3y x =--，根据题意可知3x =时，P 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上，再求m 的值即可；（4）分两种情况讨论：当Q 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上时，设2(,1233)Q t t t -+，由212(1233)92OAQ S t t ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,41)Q m m m -+，由212(41)92OAQ S m m ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可．【解答】解：（1）(2,1)C -，故答案为：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）243y x x =-+ ，∴当2436x x -+=时，解得2x =2x =-∴当6y <时，22x <<+，故答案为：22x -<<+；（3）2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)1y x =--，当3x =时，点P 在抛物线2(6)1y x =--的部分上，8m ∴=；（4）存在点Q ，使得9OAQ S ∆=，理由如下：当Q 点在抛物线2(6)1y x =--的部分上时，设2(,1235)Q t t t -+，212(1235)92OAQ S t t ∆∴=⨯⨯-+=，解得6t =+6t =，4t ∴<，6t ∴=-(6Q ∴-，9)；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,43)Q m m m -+，212(43)92OAQ S m m ∆∴=⨯⨯-+=，解得2m =+或2m =-4m ，2m ∴=+，2Q ∴，9)；综上所述：Q 点坐标为(6，9)或2+，9)．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合解题是关键．19．（2023•武侯区模拟）定义：将二次函数l 的图象沿x 轴向右平移t ，再沿x 轴翻折，得到新函数l '的图象，则称函数l '是函数l 的“t 值衍生抛物线”．已知2:23l y x x =--．（1）当2t =-时，①求衍生抛物线l '的函数解析式；②如图1，函数l 与l '的图象交于(M ，)n ，(,N m -两点，连接MN ．点P 为抛物线l '上一点，且位于线段MN 上方，过点P 作//PQ y 轴，交MN 于点Q ，交抛物线l 于点G ，求QNG S ∆与PNG S ∆存在的数量关系．（2）当2t =时，如图2，函数l 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ．函数l '与x 轴交于D ，E 两点，与y 轴交于点F ．点K 在抛物线l '上，且EFK OCA ∠=∠．请直接写出点K 的横坐标．【分析】（1）①利用抛物线的性质和衍生抛物线的定义解答即可；②利用待定系数法求得直线MN 的解析式，设2(,23)P m m m --+，则得到(,2)Q m m -，2(,23)G m m m --，利用m 的代数式分别表示出PQ ，QG 的长，再利用同高的三角形的面积比等于底的比即可得出结论；（2）利用函数解析式求得点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标，进而得出线段OA ，OC ，OD ，OE ，AC ，OF 的长，设直线FK 的解析式为5y kx =-，设直线FK 交x 轴于点M ，过点M 作MN EF ⊥于点N ，用k 的代数式表示出线段OM ．FM ，ME 的长，利用EFK OCA ∠=∠，得到sin sin EFK OCA ∠=∠，列出关于k 的方程，解方程求得k 值，将直线FK 的解析式与衍生抛物线l '的函数解析式联立即可得出结论．。
中考数学解答题压轴题突破 重难点突破十一 三角形、四边形综合题 类型三：与平移有关的问题
证明：如答图①，过点 B 作 BC⊥AO 于点 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，则四边形 OCBM 为矩形， ∴BC＝OM，∠CBM＝∠ABP＝∠ACB ＝∠PMB＝90°. ∴∠CBP＋∠PBM＝∠ABC＋∠CBP＝90°， ∴∠ABC＝∠PBM，
AB OM ∴△ABC∽△PBM，∴PB＝BM.
(3)若 AO＝2 6，且当 MO＝2PO 时，请直接写出 AB 和 PB 的长． 【分层分析】 由于点 P 的位置不确定，故需要分情况进行讨论，共两种情况，第一种 情况是点 P 在点 O 的左侧，第二种情况是点 P 在点 O 的右侧，然后利用 相似三角形的性质即可求出答案．
Ⅱ)若∠HEF＝30°，求 EH 的长； 解：作 HI⊥EF 于点 I， ∵∠HEF＝30°＝∠HFE， ∴IE＝IF，由(1)知 EF＝2AB＝12，∴IE＝6， ∴IH＝2 3，∴EH＝4 3.
Ⅲ)判断 PG 的长度在等边三角形 ABC 平移的过程中是否会发生变化？如 果不变，请求出 PG 的长；如果变化，请说明理由． 解：不变．由Ⅰ)知△EBN≌△HAG，∴NE＝GH，
解：分两种情况：Ⅰ)如答图②，当点 P 在点 O 左边时，设 PO＝x， 则 BC＝MO＝2x，PM＝PO＋MO＝3x， 由(2)知△ABC∽△PBM，
AC BC 6 2x ∴PM＝BM，即3x＝ 6. 解得 x1＝1，x2＝－1(舍去)， ∴AB＝ AC2＋BC2＝ 10，PB＝ PM2＋BM2＝ 15；
类型三：与平移有关的问 题
(贵港：2022T26， 2018T26)
(2018·贵港)如图，已知：A，B 两点在直线 l的同一侧，线段 AO，BM
均是直线 l的垂线段，且 BM 在 AO 的右边，AO＝2BM，将 BM 沿直线 l 向右 平移，在平移过程中，始终保持∠ABP＝90°不变，BP 边与直线 l 相交于 点 P.
2022年中考数学复习专题 几何压轴题题型分类整理
专题训练一 平移问题基本模型经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行（或共线）且相等，因此可以通过平移构造平行四边形，转移线段和角.（基本模型图1） （基本模型图2）如图1，将线段CD 进行平移可得到线段EA ，连接EC ，AD. 根据平移的性质，得CD ∥EA.∴四边形CDAE 是平行四边形.∴EC ∥AD.同理，四边形CDFA 、四边形CDBG 和四边形CDHB 均为平行四边形. 如图2，平移线段AB ，即可得到▱ABCP 、▱ABDM 、▱ABND 和▱ABQC. 典型题在Rt △BAC 中，∠A=90°，D,E 分别为AB ，AC 上的点.（1）如图1，CE=AB ，BD=AE ，过点C 作CF ∥EB ，且CF=EB ，连接DF 交EB 于点G ，连接BF ，求EBDC 的值; （2）如图2,若CE=kAB ，BD=kAE ，EB DC =12，求k 的值.（典型题图1） （典型题图2） 拓展题1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=90°－1∠CAD，AC与BD相交于点E，且∠BEC=60°,若AD=5，2BD=15，求AC的长.（1题图）2.如图,在△ABC中，点D在AB的延长线上，点E在BC上，AC=BC=AD=DE，BE=BD，求∠BAC的度数.（2题图）3.阅读下面材料:数学课上，老师出示了下列问题:（1）如图1，过点B作AB的垂线BD，延长AB到点C,使AC=BD，延长BD到点E，使ED=CB，连接AE，CD，且CD的延长线交AE于点F，求∠AFC的度数;（2）如图2,在△ABC中,AB=AC=5m，D是边BC上一点，连接AD，延长CB到点E，使BE=kAD，过点E作EF，求EF的长.(用含m，k的式子表示)⊥AD，交AD的延长线于点F.若AF=kCD,tanC= 34（3题图1）（3题图2）同学们经过思考后，交流了自己的想法:小明:“通过观察和度量，发现∠AFC的度数等于45°”小伟:“通过平移线段AC，BD，ED，BC中的一条线段，可以构造两个全等三角形，进而可以获得等腰直角三角形,那么∠AFC的度数等于45°这一结论也就显而易见了.”……老师:“只要类比小伟平移线段构造全等三角形的思路与方法，那么（2）的问题就能迎刃而解.”请你根据上面的材料，完成上面的两个问题的解答过程.4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD+BC=BD,AC与BD 相交于点F。
中考压轴题解题攻略之平移、对称、旋转
中考压轴题解题攻略之平移、对称、旋转
图形的变换(几何三大变换：平移、对称、旋转）几乎是每年数学中招考试的必考题型，在填空题中有压轴小题，在解答试题中一般出现在压轴题中，经常和最短距离问题（最值问题）、动点、路径问题相结合，综合性较强，是同学们考试易错点的集中高发区。
中考压轴题专题动态几何之平移
动态几何之平移1、（面积）．（湖南省）如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8，AC ＝6，另有一直角梯形DEFH （HF ∥DE ，∠HDE ＝90°）的底边DE 落在CB 上，腰DH 落在CA 上，且DE ＝4，∠DEF ＝∠CBA ，AH : AC ＝2 : 3．（1）延长HF 交AB 于G ，求△AHG 的面积；（2）操作：固定△ABC ，将直角梯形DEFH 以每秒1个单位的速度沿CB 方向向右移动，直到点D 与点B 重合时停止，设运动的时间为t 秒，运动后的直角梯形为DEFH ′（如图2）．探究1：在运动过程中，四边形CDH ′H 能否为正方形？若能，请求出此时t 的值；若不能，请说明理由；探究2：在运动过程中，△ABC 与直角梯形DEFH ′ 重叠部分的面积为y ，求y 与t 的函数关系式．图2图12、（2010年山东青岛）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C 与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC 匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）ADC F（E）图（1）图（2）AC图（3）（用圆珠笔或钢笔画图）3．（湖南省邵阳市）如图，直线l 的解析式为y ＝－x ＋4，它与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点，运动时间为t 秒（0＜ t ≤4）． （1）求A 、B 两点的坐标；（2）用含t 的代数式表示△MON 的面积S 1；（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记△MPN 和△OAB 重合部分的面积为S 2，①当2＜ t ≤4时，试探究S 2与t 之间的函数关系式；②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，S 2为△OAB 的面积的165？4、（2010年广西桂林）如图，过A （8，0）、B （0，83）两点的直线与直线x y 3=交于点C ．平行于y 轴的直线l 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到C 点时停止；l 分别交线段BC 、OC 于点D 、E ，以DE 为边向左侧作等边△DEF ，设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为S （平方单位），直线l 的运动时间为t （秒）．（1）直接写出C 点坐标和t 的取值范围； （2）求S 与t 的函数关系式；（3）设直线l 与x 轴交于点P ，是否存在这样的点P ，使得以P 、O 、F 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．A 8C O B备用图183 x y 3y x =A8P C E O D F B l3y x =x y 83。
中考数学专题分类复习： 平移变换(解析版)
中考数学专题分类复习：平移变换涉及图形平移的问题一般在选择题或填空题中出现的比较多，相对比较容易，在解答题中会和轴对称，旋转相结合，是区分度较大的一类几何问题。
平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置；②对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；③平移的距离即是对应点的连线段的长度.如图△ABC 平移到△DEF 时，点A ，B ，C 的对应点分别是点D ，E ，F ，根据平移的性质有：①△ABC ≌△DEF ；②AB ∥DE 且AB ＝DE ，BC ∥EF 且BC ＝EF ，CA ∥FD 且CA ＝FD ；③AD ＝BE ＝CF .1.抓住平移前后的对应点，对应线段，对应点之间的距离是平移的距离，对应线段平行且相等或在同一条直线上；2.如果图形上的一个点沿一定的方向移动一定的距离后，那么这个图形上所有点移动的方向和距离都相同；3.点P （a ，b ）在坐标系内的移动，遵循“正方向＋，负方向－”的规律；4.线段AB 的中点是C ，已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）C （x ，y ）中任意两个点的坐标，即可利用中点坐标公式：122x x x +=，122y y y +=，求第三个点的坐标.例1.如图，将△ABC 沿BC 方向平移3cm 得到△DEF ，若△ABC 的周长为20cm ，则四边形ABFD 的周长为（ ）A . 20cmB . 22cmC . 24cmD ．26cm【答案】D例2.在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（﹣4，﹣1），B（1，1），将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为（﹣2，2），则点B′的坐标为（）A. （4，3）B. （3，4）C. （﹣1，﹣2）D. （﹣2，﹣1）【答案】B【精细解读】直接利用平移中点的变化规律求解即可．解：由A点平移前后的纵坐标分别为﹣1、2，可得A点向上平移了3个单位，由A点平移前后的横坐标分别为﹣4、﹣2，可得A点向右平移了2个单位，由此得线段AB的平移的过程是：向上平移3个单位，再向右平移2个单位，所以点A、B均按此规律平移，由此可得点B′的坐标为（1＋2，1＋3），即为（3，4）．故选：B．例3.如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点Ｃ的方向平移到△ＤEF的位置，AB＝10，ＤH＝4，平移距离为6，求阴影部分的面积．【答案】阴影部分的面积为48.1.如图，图形W，X，Y，Z是形状和大小相同，能完全重合的图形.根据图中数据可计算的图形W的面积是（）A. 4－πB. 1－0.25πC. 4－0.25πD. 1－16【答案】C【解析】试题分析：根据题意可知，通过平移知四个小图形占四个小正方形，且中间缺少一个圆，正方形的边长为1，圆的半径为0.5，然后可求面积为2×2－π×0.5×0.5＝4－0.25π.故选：C .2.在平面直角坐标系中，将点A 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点B （﹣2，1），则点A 的坐标为（ ）A . （﹣5，3）B . （﹣5，﹣1）C . （1，3）D . （1，﹣3）【答案】C【解析】设点A 的坐标是（x ，y ），∵将点A 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得点B ，可得B 的坐标为（x ﹣3，y ﹣2），∵点B 的坐标是（﹣2，1），∴x ﹣3＝﹣2，y ﹣2＝1，∴x ＝1，y ＝3，∴A 的坐标是（1，3），故选C ．3.某楼梯的侧面视图如图所示，其中4AB =米， 30BAC ∠=︒， 90C ∠=︒，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为________．【答案】（2＋3）米;1.若将点A (1，3)向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到B ，则点B 的坐标为( )A . (－2，－1)B . (－1，0)C . (－1，－1)D . (－2，0)【答案】C【解析】根据坐标点的平移，上加下减，左减右加，可得B 点的坐标为（1－2，3－4），即（－1，－1）. 故选：C .2.如图，将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3． 将△ECD 沿直线l 向左平移到图(2)的位置，使E 点落在AB 上，则CC ′＝（ ）A 、1 B、23C 、13-D 、32- 【答案】C 3.如图，直角边长为3的等腰直角三角形ABC 沿直角边BC 所在直线向上平移1个单位，得到三角形A'B'C'，则阴影部分的面积为____________。
上海中考数学压轴题解题方法总结
上海中考数学压轴题解题方法总结上海中考数学压轴题各题型解题方法总结18题题型一：翻折问题；性质：翻折前后两个图形全等：边相等，角相等折痕垂直平分对应点的连线学会找等腰画图：已知折痕：过对应点做折痕的垂线并延长已知对应点：做对应点连线的垂直平分线【解题策略分析】解决动态问题需要我们运用运动与变化的观点去观察与研究图形，把握图形运动与变化的全过程，在动中找出不变的因素，利用不变的因素来解决变化的问题。
1）通过翻折后与原图形全等找出等量关系；2）联结原点和翻折后的点，必定关于折痕对称（或者用折痕是对称点的垂直平分线）；3）跟其他线段中点结合构造中位线；4）做垂线运用“双勾股”。
图形翻折之“翻折边长”题型解题方法与策略：1.寻找翻折直线，即对称轴；2.根据翻折情况，画图，画图是解题的关键；3.寻觅翻折相等的线段或角度；4.利用翻折并结合题目中的特殊条件找到隐含条件；5.勾股定理、三角比、相似三角形构造方程；6.部分题目注意分类讨论。
图形翻折之“翻折角度”题型解题办法与战略：1.寻找翻折直线，即对称轴；2.根据翻折情况，画图，画图是解题的关键；3.寻找翻折相等的线段或角度；4.利用翻折并结合题目中的特殊条件解题（比如平行、垂直等）；5.利用好三角形的内角和、外角性质。
图形翻折之“翻折面积”题型解题办法与战略：1.寻找翻折直线，即对称轴；2.根据翻折情况，画图，画图是解题的关键；3.寻觅翻折相等的线段和角度；4.利用翻折并结合题目中的特殊条件（比如平行、垂直）解题；5.利用好勾股定理、相似、等高三角形面积干系等转化成线段干系。
运题型二：旋转问题；旋转三要素旋转中心旋转偏向：顺时针；逆时针旋转角度性质：旋转前后两个图形全等：边相等，角相等会找新的相似：以旋转角为顶角的两个等腰三角形相似，相似后对应角相等注意题目中的暗示：画图：点的旋转图形的旋转：可以把图形的旋转转化为点的旋转，从而画圆旋转后点落在边上、直线上、射线上1.寻找旋转中心;2.寻找旋转的方向，“逆时针”和“顺时针”，如果没有说明则分类讨论;3.挖掘题目中的特殊条件:题目中有哪些角相等？哪些边相等？4.准确画出旋转后的图形是解题的关键.图形旋转之“旋转边长”题型解题方法与策略：1.寻找旋转中心；2.寻觅旋转的偏向，“逆时针”和“顺时针”，如果没有申明则分类会商；3.寻觅旋转前后相等的线段或角度，根据题意准确画图；4.利用旋转并结合题目中的特殊条件解题；5.勾股定理、三角比、相似三角形构造方程；6.部分题目注意分类会商；图形旋转之“旋转面积”题型解题方法与策略：1.寻觅旋转中心；2.寻觅旋转的偏向，“逆时针”和“顺时针”，如果没有申明则分类会商；3.寻觅旋转前后相等的线段或角度，根据题意准确画图；4.观察所求图形面积形状，结合面积公式、相似、等高模型求解；5.部分题目注意分类讨论；图形旋转之“旋转角度”题型解题方法与策略：1.寻觅旋转中心；2.寻找旋转的方向，“逆时针”和“顺时针”，如果没有说明则分类讨论；3.寻觅旋转旋转角、旋转前后相等的线段、相等的角度，根据题意准确画图；4.利用内角和、外角性质并结合题目中的特殊条件解题；5.部分题目注意分类讨论；题型三：平移问题平移图形的特征1.平移前后的图形全等2.图形上每一个点平移的距离和偏向都是相同的平移之“函数中的图象平移”题型解题办法与战略：1.寻找平移方法和距离；2.化简原函数解析式，并在坐标系中画出原函数大致图象；3.根据请求画出平移后函数的图象；4.结合平移前后对应点坐标以及二次函数对称轴和举行相关计算和求解；5.部分题目注意分类讨论。
平移问题练习题
平移问题练习题在数学中，平移是一种将图形沿着直线路径移动的操作。
通过平移，我们可以将一个图形移动到另一个位置，而不改变其形状和大小。
平移问题是数学中常见的练习题之一，旨在帮助学生理解平移的概念和操作。
下面是一些平移问题练习题，通过这些题目，你可以提高平移图形的能力，并加深对平移的理解。
练习题一：1. 将一个正方形ABCD按照平移规则向右平移2个单位，求新的正方形的顶点坐标。
2. 将三角形ABC按照平移规则向左平移4个单位，求新的三角形的顶点坐标。
练习题二：1. 平移一个长方形ABCD，使得B点到达E点，D点到达F点。
已知BE=DF=5，求平移的方向向量。
2. 平移一个正方形ABCD，使得A点到达E点，C点到达F点。
已知AE=CF=6，求平移的方向向量。
练习题三：1. 平移一个梯形ABCD，使得B点到达E点，D点到达F点。
已知BE=DF=8，求平移的方向向量。
2. 平移一个菱形ABCD，使得A点到达E点，C点到达F点。
已知AE=CF=10，求平移的方向向量。
练习题四：1. 平移一个平行四边形ABCD，使得B点到达E点，D点到达F点。
已知BE=DF=7，求平移的方向向量。
2. 平移一个五边形ABCDE，使得A点到达E点，C点到达F点。
已知AE=CF=9，求平移的方向向量。
练习题五：1. 平移一个多边形PQRST，使得A点到达E点，C点到达F点。
已知AE=CF=12，求平移的方向向量。
2. 平移一个圆形O，使得O点到达E点。
已知OE=10，求平移的方向向量。
通过解答以上练习题，你可以熟悉平移的操作方法，掌握平移的方向向量的计算以及平移后图形顶点坐标的求解。
平移问题是数学中的基础知识，对于几何图形的变换和应用具有重要意义。
希望这些练习题能够帮助你更好地理解平移问题，提高数学能力。
如果你有任何疑问或需要更多练习，请随时提出。
祝你成功！。
中考数学压轴题(五)平移问题
平移问题平移性质——平移前后图形全等，对应点连线平行且相等。
一、直线的平移1、(2009武汉)如图，直线43y x =与双曲线k y x =（0x >）交于点A ．将直线43y x =向右平移92个单位后，与双曲线k y x =（0x >）交于点B ，与x 轴交于点C ，若2=BC AO ，则k = ．2、（09年四川南充市）如图已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A ，．（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)B m ，，求m 的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，使四边形O ECD 的面积1S 与四边形O ABD 的面积S 满足：123S S =？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．提示:第（2）问，直线平行时，解析式中k 值相等。
3、（2009年日照）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB =2米，BC =1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．（1）当MN 和AB 之间的距离为0.5米时，求此时△EMN 的面积；（2）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方米）表示成关于x 的函数；FA D EB F C图4（备） A D E B F C 图5（备） A D E B F C 图1 图2 A D E B F C P N M 图3 A D EB FC P N M （第25题）提示：第（2）问，按MN 分别在三角形、矩形区域内滑动分类讨论；第（3）问，对（2）问中两种情况分别求最值，再比较得最值。
初三抛物线的平移练习题
初三抛物线的平移练习题平移是几何变换中常见且重要的一种方式，它可以通过改变图形中各个点的位置来实现。
在初三数学学习中，平移也是一个重要的知识点。
本文将介绍初三抛物线的平移练习题，通过解题示例来帮助读者更好地理解和应用这一知识。
抛物线是一个二次函数的图像，具有特定的形状和性质。
平移是指将一个图像沿着横轴或纵轴方向上的某个向量进行移动，而不改变其形状和大小。
在解题之前，首先了解一下平移的基本概念和表示方法：1. 平移的基本概念：平移是指将一个图形沿着指定的向量方向进行移动，移动的距离由向量的大小确定。
2. 平移的表示方法：平移可以使用向量表示法，其中向量的大小和方向决定了平移的距离和方向。
水平方向上的平移可以用 (a, 0) 表示，其中 a 为横向平移的距离；垂直方向上的平移可以用 (0, b) 表示，其中 b 为纵向平移的距离。
了解了平移的基本概念和表示方法后，我们来看几道初三抛物线的平移练习题。
【例题一】已知函数 f(x) = x^2 的图像在坐标平面上的顶点为 A(0, 0)，将该抛物线沿 x 轴方向平移 2 个单位，请问平移后的抛物线方程是什么？解答：平移前抛物线的顶点为 A(0, 0)，那么平移后的顶点为 A'(2, 0)。
由于水平方向平移 2 个单位，所以平移后的抛物线方程为 g(x) = (x-2)^2。
【例题二】已知函数 g(x) = x^2 的图像在坐标平面上的顶点为 B(1, 1)，将该抛物线沿 y 轴方向平移 3 个单位，请问平移后的抛物线方程是什么？解答：平移前抛物线的顶点为 B(1, 1)，那么平移后的顶点为 B'(1, 4)。
由于垂直方向平移 3 个单位，所以平移后的抛物线方程为 h(x) = (x-1)^2 + 3。
【例题三】已知函数 h(x) = x^2 的图像在坐标平面上的顶点为 C(2, 4)，将该抛物线沿 x 轴和 y 轴方向分别平移 3 个单位，请问平移后的抛物线方程是什么？解答：先进行 x 轴方向的平移，平移后的顶点为 C'(5, 4)。
中考数学几何三大变换之平移真题与分析
中考数学几何三大变换之平移真题与分析轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。
平移变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。
平移由移动的方向和距离决定。
经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等；平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。
在初中数学以及日常生活中有着大量的平移变换的知识，是中考数学的必考内容。
结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面七方面探讨平移变换：（1）构造平移图形；（2）点的平移；（3）直线（线段）的平移；（4）曲线的平移；（5）三角形的平移；（6）四边形的平移；（7）圆的平移。
一、构造平移图形：典型例题：例1. 顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9 X 9的正方形网格中有一个格点△ABC．设网格中小正方形的边长为l个单位长度．(1)在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△A l B l C l．(2)在网格中画出△ABC绕点A逆时针旋转900后得到的△AB2C2(3)在(1)中△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域的面积．【答案】解：（1）、（2）如图所示：（3）∵△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1，△ABC 向上平移过程中，边AC所扫过区域是以4为边长，以2为高的平行四边形，∴边AC所扫过区域的面积=4×2=8。
【考点】作图（旋转和平移变换），平行四边形的判定和性质。
【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可。
（2）根据图形旋转的性质画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2。
（3）根据△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1，△ABC 向上平移过程中，求边AC所扫过区域是以4为边长，以2为高的平行四边形，由平行四边形的面积公式即可得出结论。
中考冲刺，平移法求两类最值难题，期待来挑战
中考冲刺，平移法求两类最值难题，期待来挑战我们知道将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换.平面几何中的几何变换主要有合同变换、相似变换、等积变换以及反演变换.在一个几何变换下，如果任意两点之间的距离等于变化后的两点之间的距离，则称之为合同变换.合同变换只改变图形的相对位置，不改变其形状和大小.合同变换有三种基本类型：平移变换，轴反射变换，旋转变换。
而对于某些平面几何问题，由于图形中的几何性质比较隐晦，条件分散，题设与结论间的某些元素的相互关系在所给的图形中不易发现，使之难以思考而感到束手无策.如果我们能对图形作各种恰当的变换，把原图形或原图形中的一部分从原来的位置变换到另一个位置，或作某种变化，往往能使图形的几何性质明白显现，分散的条件得到汇聚，就能使题设和结论中的元素由分散变为集中，相互间的关系变得清楚明了，从而能将求解问题灵活转化，变难为易.我们把这种恰当地进行图形变换来求解平面几何问题的方法称为几何变换法.下面主要针对平移法求解两类几何最值问题，通过例题分析谈一下看法。
我们先看一下利用这一方法起源吧，它源于于经典几何最值模型---将军饮马问题的变换形式。
将军饮马模型：早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．而从此以后，这个被称为'将军饮马'的问题便流传至今．我们把俯视图视角的问题抽象化，数学化，将河流看作一条直线l，军营看作一个点，转化为一个路程之和的最短问题．即如下图：直线同侧有两点A，B，在直线上选取一点C，使得AC＋BC最短．在思考这个问题之前，我们先来回忆下初一上学期中，涉及线段最短的两个重要结论：两点之间，线段最短．垂线段最短．请各位同学务必记住，初中阶段的几何最值问题，最后几乎都可以转化为通过这两个结论来求得．下面我们通过对将军饮马模型两个变形应用，就可体会到平移思想带来解题魅力.【变式1】若将军从军营A出发去河边饮马，之后牵马在河岸散步200米，再骑回军营B，问从河边何处开始散步，可使整个行程最短？我们继续把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营A与军营B 看作2个定点，把河看作一条直线．问题即转化为，如下图：在直线l 上找两个点C，D，使得AC＋BD最短．本题若作点A关于l的对称点A'，连接A'C和BD，会出现两线段不共线的问题，怎么办？我们能不能把BD进行相应的平移，使得与A'C共线？完全可以，把BD沿着DC方向向左平移200米，问题即迎刃而解．或者我们可以这么想象，把河边散步的200米，挪至回到军营B 前，沿着与河平行的方向向右散步200米，问题也可解决．如图，作点A关于l的对称点A'，将点B向左平移CD的长度到点B'(实际为200米)，连接A' B'，交直线l于点C，将点C向右平移CD的长度到点D，点C，点D即为所求．【变式2】将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？图中灰紫色部分即为长30米的浮桥．我们还是把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营与瞭望台看作间隔30米的2条直线外侧的定点．问题即转化为，如下图：在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得AC＋BD＋CD最短．由于CD长度确定，则题目转化为求AC＋BD最短，考虑在河的两侧，要使线段之和最短，则2条线段在同一直线上时即可．但这里并不共线，因此继续考虑平移．我们可以想成从军营出发先'渡河'，即沿CD方向行30米至点A'，再考虑'两点之间，线段最短'．如图，将点A沿CD方向，平移CD长度(实际30米)至点A'，连接A'B，交l2于点D，过点作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥CD即为所求．此时AC＝ A'D，而A'D＋DB＝A'B，最短.我们初步可以体会到这两个变式问题都涉沿河边散步的问题，有造桥选址问题的求解，共同之处但无外乎涉及到一个'平移'的思想方法，结合'两点之间，线段最短'解决，另外，有时还需考虑'垂线段最短',下面我们深入探究平移思想在将军饮马模型问题应用吧,我们更能体会到平移带来转化能力的威力。
2023年中考数学专题复习：二次函数综合压轴题(平移问题)
2023年中考数学专题复习：二次函数综合压轴题（平移问题）1．如图，抛物线21113424y x x =--+与x 轴交于点A ，点B ，点D 是拋物线1y 的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为点C ．(1)求抛物线1y 顶点D 的坐标；(2)如图1，点M 是抛物线1y 上一点，且位于x 轴上方，横坐标为m ，连接MC ，若M C B D A C ∠=∠，求m 的值；(3)如图2，将抛物线1y 平移后得到顶点为B 的抛物线2y ．点P 为抛物线1y 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线2y 于点Q ，过点Q 作x 轴的平行线，交抛物线2y 于点R ．当以点P ，Q ，R 为顶点的三角形与ACD V 全等时，请求出点P 的坐标．2．如图（1），点A 在二次函数2(0)y ax a =>对称轴右侧图象上，连接OA ，过点A 作AB y ⊥轴，垂足为点B ，过点B 作BC OA ∥，交x 轴于点C ，交抛物线于点D ．(1)①若点A 的坐标为(1,1)，则BDBC=______________． ②对于任意点A ，①的结论还成立吗？请说明理由．(2)如图（2），将该抛物线向左平移1个单位，再向下平移k 个单位，此时抛物线与x 轴的交点为E ，F （点E 在点F 左侧），与y 轴的交点为(0,3)G -，且当43x -<<-时0y >，当01x <<时0y <． ①抛物线的解析式为________________．（直接写结论）②连接,EG GF ，点P 为线段EG 上一点，过点P 作PQ GF ⊥，垂足为点Q ，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点N ，设w PN PQ =+，求w 的最大值．3．如图1，抛物线223y x x =--+与x 轴相交于点A 、B （点B 在点A 左侧），与y 轴相交于点C ．(1)求点A 到直线BC 的距离；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作直线BC 的垂线，垂足为点E ，过点P 作PF y ∥轴交BC 于点F ，求PEF !周长的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y '，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，点M 为直线BC 上的一点，点N 是平面坐标系内一点，是否存在点M ，N ，使以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线()()26y a x x =+-与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且3OC =，设抛物线的顶点为M ，对称轴交x 轴于点N ．(1)求抛物线对应的函数表达式和顶点M 的坐标；(2)P 为抛物线的对称轴上一点，且在线段MN （含端点）上运动，()0Q m ，为x 轴上一点，且PQ PC ⊥，求m 的最大值；(3)在（2）的条件下，当m 取最大值时，将线段CQ 向上平移p 个单位长度，使得线段CQ 与抛物线有两个交点，直接写出p 的取值范围．5．如图，抛物线23y ax bx =++与直线1y x =+交于点1322A ⎛⎫⎪⎝⎭，和点()21B --，．(1)求抛物线的表达式；(2)点C 为线段AB 上一点，作DC y ∥轴，交抛物线于点D ，求线段DC 的最大值；(3)在直线AB 上取一点P ，将P 向上平移3个单位长度得到点Q ，请直接写出PQ 与抛物线有交点时，点P 的横坐标P x 的取值范围．6．平面直角坐标系中，已知抛物线1C ：()21y x m x m =-++-（m 为常数）与x 轴交于点A ，B 两点（点A在点B 左边），与y 轴交于点C ．(1)若4m =，求点A ，B ，C 的坐标；(2)如图1，在（1）的条件下，D 为抛物线x 轴上方一点，连接BD ，若90DBA ACB ∠∠+=︒，求点D 的坐标；(3)如图2，将抛物线1C 向左平移n 个单位长度()0n >与直线AC 交于M ，N （点M 在点N 右边），若12AM CN =，求m ，n 之间的数量关系．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =++≠与x 轴交于点()()3040A B -，，，，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P 为线段BC 上方抛物线上的一点，过点P 作PE x P 轴交直线BC 于点E ，过点P 作PF AC ∥交直线BC 于点F ，求PEF !周长的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将抛物线()240y ax bx a =++≠沿射线CB 方向平移，得到新抛物线y '，新抛物线和原抛物线交于点B ，点M 是x 轴上的一动点，点Q 是新抛物线上的一点，是否存在以点P 、M 、Q 为顶点的三角形是以PQ 为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()6,0A ，()1,0B -，与y 轴交于点C ，连接BC ，过点A 、C 作直线AC ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)点P 为直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PF AC ⊥交AC 于点F ，过点P 作PE AC ∥交x 轴于点E ，求AE PF +的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）问的条件下，将抛物线23y ax bx =+-沿射线CB y '，新抛物线y '与原抛物线交于点M ；连接CP ，把线段CP 沿直线AC 平移，记平移后的线段为C P ''，当以C '、P '、M 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的P '点的坐标．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数()21y a x k =-+的图象与x 轴交于A ，B 两点．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++（0a ≠）与x 轴交于()4,0A -，()2,0B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点()0,3D ，连接AD ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是线段AO 上一点，过点P 作PQ x ⊥轴，交抛物线于点Q ，交线段AD 于点E ，点F 是直线AD 上一点，连接FQ ，FQ EQ =，当FEQ V 的周长最大时，点Q 的坐标为______，FEQ V 周长的最大值为______．(3)如图2，已知9,04H ⎛⎫⎪⎝⎭．将抛物线上下平移，设平移后的抛物线在对称轴右侧部分与直线AD 交于点N ，连接HN ，当AHN V 是等腰三角形时，抛物线的平移距离d 的值为______．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和B ，与y 轴交于点()0,2C -．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点P 为直线BC 下方抛物线上一动点，过点P 作AC 的平行线交BC 于点E ，过点E 作x 轴的平行线交y轴于点F EF +最大值． (3)已知点D 为y 轴上一点，连接AD ，将线段AD 绕点D 逆时针旋转90°得到线段MD ，将抛物线223y x bx c =++沿射线CB N 为平移后抛物线对称轴上的一点，且N 的纵坐标为3，Q 为平面内任意一点，若以A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点M 的坐标，并写出其中一种情况的过程． 11．如图，抛物线L ：212y x bx c =++与x 轴正半轴交于点()4,0A ，与y 轴交于点()0,3B -．(1)求抛物线L 的解析式：(2)如图1，点P 为第四象限抛物线上一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，PC 交AB 于点D ，求35PD A D +的最大值，并求出此时P 的坐标； (3)如图2，将抛物线L ：212y x bx c =++向右平移得到抛物线L '，直线AB 与抛物线L '交于M ，N 两点，若点A 是线段MN 的中点，求抛物线L '的解析式．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线AC 上方拋物线上任意一点，过点P 分别作y 轴、x 轴的平行线，交直线AC 于点Q ，R ，求QR 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中QR 取得最大值的条件下，将该抛物线向右平移个3个单位，点B 平移后的对应点为D ，E 为新抛物线对称轴上任意一点，在新抛物线上确定一点F ，使得以点P ，D ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点F 的坐标．13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2143y x bx =-++经过()13A -,，与y 轴交于点C ，经过点C 的直线与抛物线交于另一点()6,E m ，点M 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．(1)求直线CE 的解析式；(2)如图2，点P 为直线CE 上方抛物线上一动点，连接PC ，PE ，当PCE V 的面积最大时，求点P 的坐标以及PCE V 面积的最大值；(3)如图3，将点D 右移一个单位到点N ，连接AN ，将（1）中抛物线沿射线NA 平移得到新抛物线y '，y '经过点N ，y '的顶点为点G ，在新抛物线y '的对称轴上是否存在点H ，使得MGH V 是等腰三角形？若存在，请直接写出点H 的坐标：若不存在，请说明理由． 14．抛物线C ：2y x bx c =++交x 轴于点(1,0)A ，(3,0)B -．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，直线l 过点B ，(0,4)C ，点H 为抛物线第四象限上的一点，过H 作PH y ∥轴交直线l 于点P ，若BP PH =，求点H 的坐标；(3)如图，将抛物线C 平移使得顶点为坐标原点，记新抛物线为1C ，直线3y kx =+交抛物线于点P 、Q （点P 在点Q 的左侧，PQ 不与x 轴平行）y 轴于点M ．点M 关于x 轴的对称的点为点N ，PN 交抛物线于点H （点P 在点H 的左侧），PHQ V 的外接圆为G e ，设G 点的坐标为(),G G x y ．G e 的半径为r ，求22G y r -的值．15．在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点且经过点C ，已知A 点坐标为()1,0-．C 点坐标为()4,5．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 为第四象限内抛物线上一个动点，连接AC 、AP ，PC ，过点B 作BG AC ∥交PC 于点G ，连接AG ．请求出APG V 面积的最大值以及此时点P 的坐标；(3)如图2，将抛物线2y x bx c =++沿射线AC y '，记y 与y '的交点为M ，点D 是直线AC 与y 轴的交点，点N 为直线AC 上一点，点K 为平面内一点，若以D 、M 、K 、N 为顶点的四边形是菱形且DM 为菱形的边，请直接写出点K 的坐标并选择其中一个坐标写出求解过程． 16．如图，直线2y x =+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ．抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点(4,0)A 和点B ，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图，点P 为抛物线在直线AC 下方的一动点，作PH y ∥轴，PF AC ⊥，分别交AC 于点H 、F ，求PH PF +的最大值和此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将抛物线24y ax bx =+-沿射线AC 平移R 在新抛物线的对称轴上，点S 在抛物线24y ax bx =+-上．当以点D 、P 、R 、S 为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的点R 的坐标，并写出求解点R 的坐标的其中一种情况的过程．17．如图1所示，抛物线2142y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于C ．(1)求ABC V 的面积；(2)如图2所示，点P 是直线BC 上方抛物线上的动点，过点P 作直线PE y P 轴交BC 于点E ，过点P 作直线PF AC ⊥交x 轴于点F ，请求出PE +的最大值及此时点P 的坐标； (3)将抛物线2142y x x =-++向左平移72个单位，得到新拋物线y '，点M 是新拋物线y '对称轴上一点，N 为平面直角坐标系内一点，直接写出所有使得以点B C M N 、、、为顶点的菱形的点N 的坐标，并写出其中一个点N 坐标的求解过程．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，B 两点，其对称轴直线2x =与x 轴交于点D ．(1)求该抛物线的函数表达式为______；(2)如图1，点P 为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD ，PB ，PC ，求四边形BDCP 面积最大值和点P 此时的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y '，当抛物线y '经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E ，点F为抛物线y 对称轴上的一点，点M是平面内一点，若以点A，E，F，M为顶点的四边形是以AE为边的菱形，请直接写出满足条件的点M的坐标______．参考答案：1．(1)()1,1-(2)2-(3)30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭2．(1)①；②对于任意点A ，①的结论成立，(2)①223y x x =+-；w 的最大值为：254．3．(1)(2)当点P 坐标为31524⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，PEF !94+(3)7544⎛⎫- ⎪⎝⎭，或(3-或(3-4．(1)2134y x x =-++；()2,4(2)4 (3)49316p ≤<5．(1)2223y x x =--+ (2)258(3)21P x -≤≤-或1122P x -≤≤6．(1)A (1,0)，B (4,0)，C (0,4)- (2)8(3D ，20)9(3)93m n =+或133m n =-+7．(1)211433y x x =-++(2)PEF !167+，此时点P 的坐标为1023⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3)0⎫⎪⎪⎝⎭或0⎫⎪⎪⎝⎭或0⎫⎪⎪⎝⎭或0⎫⎪⎪⎝⎭8．(1)215322y x x =--(2)AE PF +9，此时点P 的坐标(3,6)-(3)点P '的坐标为⎝⎭或⎝⎭或()11,13--9．(1)抛物线的解析式为2142y x x =--+ (2)7135,432⎛⎫- ⎪⎝⎭；8.1 (3)54或275128或1410．(1)224233y x x =-- (2)498(3)239()1414，或1-）或(1）或(01-，）11．(1)215324y x x =-- (2)12132，5121,432P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)21133242y x x =-+12．(1)该抛物线的函数表达式为223y x x =--+(2)QR P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)符合条件的点F 的坐标为：17,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或7105,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭或15105,24⎛⎫- ⎪⎝⎭13．(1)443y x =-+(2)()3,3P ，PCE V 面积的最大值为9 (3)11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或2533,⎛- ⎝-或2533,⎛- ⎝+或133,3⎛⎫- ⎪⎝⎭14．(1)223y x x =+- (2)211,39H ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)229Gy r -=15．(1)2=23y x x --(2)当32t =时，APG V 面积的最大，最大值为458；点P 的坐标为31524⎛⎫ ⎪⎝⎭,-(3)(23-或(23-．16．(1)2142y x x =-- (2)PH PF +2+，此时()2,4P -(3)当以点D 、P 、R 、S 为顶点的四边形是平行四边形时，()3,3.5R -或()3,7.5-或()3, 5.5--． 17．(1)12ABC S =△；(2)最大值为：254，335,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． (3)N 的坐标为：1313,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或32⎛ ⎝⎭或3,2⎛ ⎝⎭． 18．(1)214433y x x =-- (2)PBDC S 四边形的最大值为17，此时点P 的坐标为()3,5-(3)⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭或⎛- ⎝⎭或8,⎛- ⎝⎭。
中考数学专题复习 专题32 中考几何平移类问题(教师版含解析)
中考专题32 中考专题几何平移类问题1.平移的定义：平面图形的每个点沿着某一方向移动相同的距离，这样的图形运动称为平移.平移是由移动的方向和移动的距离所决定.平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
2.平移的特点：经平移运动后的图形图形的位置发生变化, 形状和大小不变.3.理解并掌握平移的三个特征：(1)对应线段平行(或在一条直线上)且相等；对应角相等.(2)对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等.(3)图形在平移后形状和大小都不变.4.图形平移的画法：(1)确定点；(2)定方向；(3)定距离。
【经典例题1】(2020年•广东)在平面直角坐标系中，点(3，2)关于x轴对称的点的坐标为( ) A．(﹣3，2) B．(﹣2，3) C．(2，﹣3) D．(3，﹣2)【标准答案】D【答案剖析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．点(3，2)关于x轴对称的点的坐标为(3，﹣2)．【知识点练习】(2019湖南邵阳)一次函数y1=k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2=k2x+b2．下列说法中错误的是( )A．k1=k2 B．b1＜b2C．b1＞b2 D．当x=5时，y1＞y2【标准答案】B【答案剖析】根据两函数图象平行k相同，以及向下平移减即可判断．∵将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，∴直线l1∥直线l2，∴k1＝k2，∵直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，∴b1＞b2，∴当x＝5时，y1＞y2【点拨】本题考查图形的平移变换和函数答案剖析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后答案剖析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的答案剖析式有什么关系．【经典例题2】(2019桂林)如图，在平面直角坐标系中，反比例y＝(k＞0)的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为(3，5)．若将△ABC向下平移m个单位长度，A，C两点同时落在反比例函数图象上，则m的值为．【标准答案】；【答案剖析】∵AB＝AC＝，BC＝4，点A(3，5)．∴B(1，)，C(5，)，将△ABC向下平移m个单位长度，∴A(3，5﹣m)，C(5，﹣m)，∵A，C两点同时落在反比例函数图象上，∴3(5﹣m)＝5(﹣m)，∴m＝【知识点练习】(2020年枣庄模拟)已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)、B(3，4)、C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是；(3)△A2B2C2的面积是平方单位．【标准答案】见答案剖析。
2020年九年级数学中考平移问题解法探究
数学中考平移问题解法探究图形变换是近几年中考热门问题，而平移变换是其中的一种。
在解决这类问题时，要充分运用平移的性质，平移只改变位置，不改变形状大小，对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等，在坐标系中平移，左右平移改变横坐标，上下平移改变纵坐标，灵活运用问题就能得到解决。
1.将抛物线y=x2+2x+3怎样平移后得到抛物线y=x2.解析：将y=x2+2x+3配成顶点式得：y=(x+1)2+2.先将此抛物线向右平移一个单位得：y=x2+2，再向下平移2个单位得：y=x2。
抛物线平移问题，通常要先配成顶点式，然后再平移。
2.如图，将直角△ABC沿BC方向平移得直角△DEF，其中AB=8,BE=10,DM=4，求阴影部分的面积是多少？解析：由平移性质可知四边形DMCF的面积等于四边形ABEM的面积，又知AB=8,ME=4,BE=101（4+8）所以四边形ABEM的面积=2×10=60，故四边形DMCF的面积=60.3.如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长是多少？解析：由平移性质可知DF=AC,AD=BE=CF=2cm而四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD,△ABC的周长=AB+BC+AC=16cm所以四边形ABFD 的周长=16+4=20.4. 如图，在正方形网络中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，4）、（-2，0）、（-4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出△ABC 关于原点O 对称的△A 1B 1C 1. （2）平移△ABC ，使点A 移动到A 2（0，2），画出平移后的△A 2B 2C 2并写出点B 2、C 2的坐标。
（3）在△ABC 、△A 1B 1C 1、△A 2B 2C 2中，△A 2B 2C 2与_____△A 1B 1C 1____成中心对称，其对称中心坐标为_(1,-1)_____。
中考压轴题二次函数中的存在性问题之平移
二次函数中的存在性问题之平移【典例1】（2019•乐山）如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan∠CAB．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQ⊥PC．①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化范围；②在①的条件下，当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；③在①的条件下，当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．【点拨】（1）由函数解析式，可以求出点A、B的坐标分别为（﹣2，0），（6，0），在Rt△OAC中由tan ∠CAB，可以求出点C的坐标为（0，3），进而可以求出抛物线的解析式；（2）①抛物线的对称轴为：x＝2，顶点M（2，4），在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC2+PQ2＝CQ2，把三角形三边长用点P，Q的坐标表达出来，整理得：，利用0≤m≤4，求出n的取值范围；②由，得：，求出点P到线段CQ距离为2；③设线段CQ向上平移t个单位长度后的解析式为：，联立抛物线方程，可求出x2﹣7x+4t ＝0，由△＝49﹣16t＝0，得，可得当线段CQ与抛物线有两个交点时，．【解答】解：（1）根据题意得：A（﹣2，0），B（6，0），在Rt△AOC中，∵，且OA＝2，得CO＝3，∴C（0，3），将C点坐标代入y＝a（x+2）（x﹣6）得：，抛物线解析式为：；整理得：y故抛物线解析式为：得：y；（2）①由（1）知，抛物线的对称轴为：x＝2，顶点M（2，4），设P点坐标为（2，m）（其中0≤m≤4），则PC2＝22+（m﹣3）2，PQ2＝m2+（n﹣2）2，CQ2＝32+n2，∵PQ⊥PC，∴在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC2+PQ2＝CQ2，即22+（m﹣3）2+m2+（n﹣2）2＝32+n2，整理得：（0≤m≤4），∴当时，n取得最小值为；当m＝4时，n取得最大值为4，所以；②由①知：当n取最大值4时，m＝4，∴P（2，4），Q（4，0），则，，CQ＝5，设点P到线段CQ距离为h，由得：，故点P到线段CQ距离为2；③由②可知：当n取最大值4时，Q（4，0），∴线段CQ的解析式为：，设线段CQ向上平移t个单位长度后的解析式为：，当线段CQ向上平移，使点Q恰好在抛物线上时，线段CQ与抛物线有两个交点，此时对应的点Q'的纵坐标为：，将Q'（4，3）代入得：t＝3，当线段CQ继续向上平移，线段CQ与抛物线只有一个交点时，联解得：，化简得：x2﹣7x+4t＝0，由△＝49﹣16t＝0，得，∴当线段CQ与抛物线有两个交点时，．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，处理问题和解决问题．【精练1】（2019•湘西州）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．（1）求抛物线的解析式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．【点拨】（1）由点E在x轴正半轴且点A在线段OE上得到点A在x轴正半轴上，所以A（2，0）；由OA ＝2，且OA：AD＝1：3得AD＝6．由于四边形ABCD为矩形，故有AD⊥AB，所以点D在第四象限，横坐标与A的横坐标相同，进而得到点D坐标．由抛物线经过点D、E，用待定系数法即求出其解析式．（2）画出四边形MNGF，由于点F、G分别在x轴、y轴上运动，故可作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，得FM＝FM'、GN＝GN'．易得当M'、F、G、N'在同一直线上时N'G+GF+FM'＝M'N'最小，故四边形MNGF周长最小值等于MN+M'N'．根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点M、M'、N、N'坐标，即求得答案．（3）因为OD可求，且已知△ODP中OD边上的高，故可求△ODP的面积．又因为△ODP的面积常规求法是过点P作PE平行y轴交直线OD于点E，把△ODP拆分为△OPE与△DPE的和或差来计算，故存在等量关系．设点P坐标为t，用t表示PE的长即列得方程．求得t的值要讨论是否满足点P在x轴下方的条件．（4）由KL平分矩形ABCD的面积可得K在线段AB上、L在线段CD上，画出平移后的抛物线可知，点K 由点O平移得到，点L由点D平移得到，故有K（m，0），L（2+m，0）．易证KL平分矩形面积时，KL一定经过矩形的中心H且被H平分，求出H坐标为（4，﹣3），由中点坐标公式即求得m的值．【解答】解：（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2∴A（2，0）∵OA：AD＝1：3∴AD＝3OA＝6∵四边形ABCD是矩形∴AD⊥AB∴D（2，﹣6）∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E∴解得：∴抛物线的解析式为y x2﹣4x（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，连接FM'、GN'、M'N'∵y x2﹣4x（x﹣4）2﹣8∴抛物线对称轴为直线x＝4∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6）∴y C＝y D＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称∴x C＝4+（4﹣x D）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）∴AB＝CD＝4，B（6，0）∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°∴∠BAM＝45°∴BM＝AB＝4∴M（6，﹣4）∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上∴M'（6，4），FM＝FM'∵N为CD中点∴N（4，﹣6）∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小∴C四边形MNGF＝MN+M'N'21012∴四边形MNGF周长最小值为12．（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为．过点P作PE∥y轴交直线OD于点E∵D（2，﹣6）∴OD，直线OD解析式为y＝﹣3x设点P坐标为（t，t2﹣4t）（0＜t＜8），则点E（t，﹣3t）①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧∴PE＝y E﹣y P＝﹣3t﹣（t2﹣4t）t2+t∴S△ODP＝S△OPE+S△DPE PE•x P PE•（x D﹣x P）PE（x P+x D﹣x P）PE•x D＝PE t2+t ∵△ODP中OD边上的高h，∴S△ODP OD•h∴t2+t2方程无解②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧∴PE＝y P﹣y E t2﹣4t﹣（﹣3t）t2﹣t∴S△ODP＝S△OPE﹣S△DPE PE•x P PE•（x P﹣x D）PE（x P﹣x P+x D）PE•x D＝PE t2﹣t ∴t2﹣t2解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6∴P（6，﹣6）综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为．（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L∵KL平分矩形ABCD的面积∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4∴K（m，0），L（2+m，0）连接AC，交KL于点H∵S△ACD＝S四边形ADLK S矩形ABCD∴S△AHK＝S△CHL∵AK∥LC∴△AHK∽△CHL∴∴AH＝CH，即点H为AC中点∴H（4，﹣3）也是KL中点∴∴m＝3∴抛物线平移的距离为3个单位长度．【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径问题，勾股定理，坐标系中求三角形面积，抛物线的平移，相似三角形的判定和应用，中点坐标公式．易错的地方有第（1）题对点D、C、B坐标位置的准确说明，第（3）题在点D左侧不存在满足的P在点D左侧的讨论，第（4）题对KL必过矩形中心的证明．【精练2】（2019•黄石）如图，已知抛物线y x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（5，0）．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积；（3）定点D（0，m）在y轴上，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点P在新的抛物线上运动，求定点D与动点P之间距离的最小值d（用含m的代数式表示）【点拨】（1）函数的表达式为：y（x+1）（x﹣5），即可求解；（2）S四边形AMBC AB（y C﹣y D），即可求解；（3）抛物线的表达式为：y x2，即可求解．【解答】解：（1）函数的表达式为：y（x+1）（x﹣5）（x2﹣4x﹣5）x2x，点M坐标为（2，﹣3）；（2）当x＝8时，y（x+1）（x﹣5）＝9，即点C（8，9），S四边形AMBC AB（y C﹣y D）6×（9+3）＝36；（3）y（x+1）（x﹣5）（x2﹣4x﹣5）（x﹣2）2﹣3，抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，则新抛物线表达式为：y x2，则定点D与动点P之间距离PD，当0，即m时，PD的最小值d；当0，即m时，PD的最小值d＝|m|∴d．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图形平移、面积的计算等知识点，难度不大．【精练3】（2019•南岸区校级三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过二次函数y＝﹣x2+4x图象上的点A（3，3）作x轴的垂线交x轴于点B．（1）如图1，P为线段OA上方抛物线上的一点，在x轴上取点C（1，0），点M、N为y轴上的两个动点，点M在点N的上方且MN＝1．连接AC，当四边形PACO的面积最大时，求PM+MN NO的最小值．（2）如图2，点Q（3，1）在线段AB上，作射线CQ，将△AQC沿直线AB翻折，C点的对应点为C'，将△AQC'沿射线CQ平移3个单位得△A'Q'C″，在射线CQ上取一点M，使得以A'、M、C″为顶点的三角形是等腰三角形，求M点的坐标．【点拨】（1）把四边形PACO沿OA分成△OAP与△OAC，由于△OAC三边确定，面积为定值，故△OAP面积最大时四边形面积也最大．过点P作x轴垂线交OA于D，设点P横坐标为t，则能用t表示PD的长，进而得到△OAP关于t的二次函数关系式，用公式法可求得t时△OAP面积最大，即求得此时点P坐标．把点P向下平移1个单位得P'，易证四边形MNP'P是平行四边形，所以PM＝P'N．过点O作经过第二、四象限的直线l，并使直线l与x轴夹角为60°，过点N作NG⊥直线l于点G，则由30°角所对直角边等于斜边一半可知NG NO．所以PM+MN NO可转化为P'N+NG+1，易得当点P'、N、G在同一直线上最小．把PD延长交直线l于点F，构造特殊Rt△P'FG和Rt△OEF，利用点P坐标和30°、60°的三角函数即可求得P'G的长．（2）由点B、C、Q的坐标求CQ的长和点C'坐标；过点Q'作x轴的垂线段Q'H，易证△CBQ∽△CHQ'，故有，求得CH、HQ'的长即求得点Q'坐标，进而得到向右向上平移的距离，求得点A'、C''的坐标．求直线CQ解析式，设CQ上的点M横坐标为m，用两点间距离公式可得用m表示A'M和C''M的长．因为△A'MC''是等腰三角形，分三种情况讨论，得到关于m的方程，求解即求得相应的m的值，进而得点M坐标．【解答】解：（1）如图1，过点O作直线l，使直线l经过第二、四象限且与x轴夹角为60°；过点P作PF⊥x轴于点E，交OA于点D，交直线l于点F；在PF上截取PP'＝1；过点N作NG⊥直线l 于点G∵A（3，3），AB⊥x轴于点B∴直线OA解析式为y＝x，OB＝AB＝3∵C（1，0）∴S△AOC OC•AB1×3，是定值设P（t，﹣t2+4t）（0＜t＜3）∴D（t，t）∴PD＝﹣t2+4t﹣t＝﹣t2+3t∴S△OAP＝S△OPD+S△APD PD•OE PD•BE PD•OB（t2﹣3t）∴t时，S△OAP最大此时，S四边形PACO＝S△AOC+S△OAP最大y P＝﹣（）2+3∴P（，）∴P'E＝PE﹣PP'1，即P'（，）∵点M、N在y轴上且MN＝1∴PP'＝MN，PP'∥MN∴四边形MNP'P是平行四边形∴PM＝P'N∵∠NGO＝90°，∠NOG＝90°﹣60°＝30°∴Rt△ONG中，NG NO∴PM+MN NO＝P'N+NG+1∴当点P'、N、G在同一直线上，即P'G⊥直线l时，PM+MN NO＝P'G+1最小∵OE，∠EOF＝60°，∠OEF＝90°∴Rt△OEF中，∠OFE＝30°，tan∠EOF∴EF OE∴P'F＝P'E+EF∴Rt△P'GF中，P'G P'F∴P'G+11∴PM+MN NO的最小值为（2）延长A'Q'交x轴于点H∵C（1，0），Q（3，1），QB⊥x轴于点B∴CB＝2，BQ＝1∴CQ∵△AQC沿直线AB翻折得△AQC'∴B（3，0）是CC'的中点∴C'（5，0）∵平移距离QQ'＝3∴CQ'＝CQ+QQ'＝4∵QB∥Q'H∴△CBQ∽△CHQ'∴∴CH＝4CB＝8，y Q'＝HQ'＝4BQ＝4∴x Q'＝OC+CH＝1+8＝9∴Q'（9，4）∴点Q（3，1）向右平移6个单位，向上平移3个单位得到点Q'（9，4）∴A'（9，6），C''（11，3）∴A'C''设直线CQ解析式为y＝kx+b∴解得：∴直线CQ：y x设射线CQ上的点M（m，m）（m＞1）∴A'M2＝（9﹣m）2+（6m）2＝（9﹣m）2+（m）2C''M2＝（11﹣m）2+（3m）2＝（11﹣m）2+（m）2∵△A'MC''是等腰三角形①若A'M＝A'C''，则（9﹣m）2+（m）2＝13解得：m1＝7，m2∴M（7，3）或（，）②若C''M＝A'C''，则（11﹣m）2+（m）2＝13解得：m1，m2＝13∴M（，）或（13，6）③若A'M＝C''M，则（9﹣m）2+（m）2＝（11﹣m）2+（m）2解得：m＝10∴M（10，）综上所述，点M坐标为（7，3），（，），（，），（13，6），（10，）．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，垂线段最短定理，特殊角三角函数的应用，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质，平移的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质．第（1）题求最短路径时对PM作平移和对NO进行转换是解决此类问题的典型做法，第（2）题解题关键是根据平移方向和距离求出点的具体平移路径（向左右和上下如何平移），再得到平移后的坐标．【精练4】（2019•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C （0，4）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）将（1）中的抛物线向下平移个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点D′在△ABC内，求h的取值范围；（3）点P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交（1）中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．【点拨】（1）函数表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即可求解；（2）物线向下平移个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新抛物线的顶点D′（h，），将点AC的坐标代入一次函数表达式即可求解；（3）分△CPQ∽△CBA、△CPQ∽△ABC，两种情况分别求解即可．【解答】解：（1）函数表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，函数顶点D（，）；（2）物线向下平移个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新抛物线的顶点D′（h，），将点AC的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AC的表达式为：y＝4x+4，将点D′坐标代入直线AC的表达式得：4（h）+4，解得：h，故：0＜h；（3）过点P作y轴的平行线交抛物线和x轴于点Q、H∵OB＝OC＝4，∴∠PBA＝∠OCB＝45°＝∠QPC，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，则AB＝5，BC＝4，AC，S△ABC5×4＝10，设点Q（m，﹣m2+3m+4），点P（m，﹣m+4），CP m，PQ＝﹣m2+3m+4+m﹣4＝﹣m2+4m，①当△CPQ∽△CBA，，即，解得：m，相似比为：，②当△CPQ∽△ABC，同理可得：相似比为：，利用面积比等于相似比的平方可得：S△PQC＝10×（）2或S△PQC＝10×（）2．【点睛】本题考查的二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、三角形相似等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【精练5】（2019•天水）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．【点拨】（1）将点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4）代入y＝ax2+bx+c即可求出该二次函数表达式，因为CD垂直于y轴，所以令y＝4，求出x的值，即可写出点D坐标；（2）设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，求出顶点坐标，证△FGH∽△FA1O1，求出GH的长，因为Rt △A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，所以S重叠部分S△FGH，即可求出结果；（3）当0＜t≤3时，设O2C2交OD于点M，证△OO2M∽△OED，求出O2M t，可直接求出S OO2×O2M t2；当3＜t≤6时，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，分别求出直线OD与直线A2C2的解析式，再求出其交点M的坐标，证△DC2N∽△DCO，求出C2N（6﹣t），由S可求出S与t的函数表达式．【解答】解：（1）∵抛抛线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），∴抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣9），∵点C（0，4）在抛物线上，∴4＝﹣27a，∴a，∴抛物线的解析式为：y（x+3）（x﹣9）x2x+4，∵CD垂直于y轴，C（0，4），令x2x+4＝4，解得，x＝0或x＝6，∴点D的坐标为（6，4）；（2）如图1所示，设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，∵点F是抛物线y x2x+4的顶点，∴F（3，），∴FH4，∵GH∥A1O1，∴△FGH∽△FA1O1，∴，∴，解得，GH＝1，∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，∴S重叠部分S△FGHA1O1•O1F GH•FH；（3）①当0＜t≤3时，如图2所示，设O2C2交OD于点M，∵C2O2∥DE，∴△OO2M∽△OED，∴，∴，∴O2M t，∴S OO2×O2M t t t2；②当3＜t≤6时，如图3所示，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，将点D（6，4）代入y＝kx，得，k，∴y OD x，将点（t﹣3，0），（t，4）代入y＝kx+b，得，，解得，k，b t+4，∴直线A2C2的解析式为：y x t+4，联立y OD x与y x t+4，得，x x t+4，解得，x＝﹣6+2t，∴两直线交点M坐标为（﹣6+2t，﹣4t），故点M到O2C2的距离为6﹣t，∵C2N∥OC，∴△DC2N∽△DCO，∴，∴，∴C2N（6﹣t），∴SOA•OC C2N（6﹣t）3×4（6﹣t）（6﹣t）t2+4t﹣6；∴S与t的函数关系式为：S．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等，解题关键是能够根据题意画图，知道有些不规则图形的面积可转化为几个规则图形的面积和或差来求出．【精练6】（2019•重庆）在平面直角坐标系中，抛物线y x2x+2与x轴交于A，B两点（点A 在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q．（1）如图1，连接AC，BC．若点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴交BC于点E，作PF⊥BC于点F，过点B作BG∥AC交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH，HK．当△PEF的周长最大时，求PH+HK KG的最小值及点H的坐标．（2）如图2，将抛物线沿射线AC方向平移，当抛物线经过原点O时停止平移，此时抛物线顶点记为D′，N为直线DQ上一点，连接点D′，C，N，△D′CN能否构成等腰三角形若能，直接写出满足条件的点N 的坐标；若不能，请说明理由．【点拨】（1）首先证明△PEF∽△BCO，推出当PE最大时，△PEF的周长最大，构建二次函数，求出PE 最大时，点P的坐标，将直线GO绕点G逆时针旋转60°，得到直线l，作PM⊥直线l于M，KM′⊥直线l于M′，则PH+HK KG＝PH+HK+KM′≥PM，求出PM即可解决问题．（2）首先利用待定系数法求出点D′坐标，设N（1，n），∵C（0，2），D′（5，），则NC2＝1+（n﹣2）2，D′C2＝52+（2）2，D′N2＝（5﹣1）2+（n）2，分三种情形分别构建方程求出n的值即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，对于抛物线y x2x+2，令x＝0，得到y＝2，令y＝0，得到x2x+20，解得x＝﹣2或4，∴C（0，2），A（﹣2，0），B（4，0），抛物线顶点D坐标（1，），∵PF⊥BC，∴∠PFE＝∠BOC＝90°，∵PE∥OC，∴∠PEF＝∠BCO，∴△PEF∽△BCO，∴当PE最大时，△PEF的周长最大，∵B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为y x+2，设P（m，m2m+2），则E（m，m+2），∴PE m2m+2（m+2）m2m，∴当m＝2时，PE有最大值，∴P（2，2），如图，将直线GO绕点G逆时针旋转60°，得到直线l，作PM⊥直线l于M，KM′⊥直线l于M′，则PH+HK KG＝PH+HK+KM′≥PM，∵P（2，2），∴∠POB＝60°，∵∠MOG＝30°，∴∠MOG+∠BOC+∠POB＝180°，∴P，O，M共线，可得PM＝10，∴PH+HK KG的最小值为10，此时H（1，）．（2）∵A（﹣2，0），C（0，2），∴直线AC的解析式为y x+2，∵DD′∥AC，D（1，），∴直线DD′的解析式为y x，设D′（m，m），则平移后抛物线的解析式为y1（x﹣m）2m，将（0，0）代入可得m＝5或﹣1（舍弃），∴D′（5，），设N（1，n），∵C（0，2），D′（5，），∴NC2＝1+（n﹣2）2，D′C2＝52+（2）2，D′N2＝（5﹣1）2+（n）2，①当NC＝CD′时，1+（n﹣2）2＝52+（2）2，解得：n②当NC＝D′N时，1+（n﹣2）2＝（5﹣1）2+（n）2，解得：n③当D′C＝D′N时，52+（2）2＝（5﹣1）2+（n）2，解得：n，综上所述，满足条件的点N的坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，）或（1，）．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了一次函数的性质，二次函数的性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识，解题的关键是，学会用转化的思想思考问题，把最短问题转化为垂线段最短，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
(完整word版)中考数学压轴题破解策略专题10《平移》
专题10《平移》破解策略经过平移，对应线段平行（或共线）且相等；对应角相等；对应点所连结的线段平行（或共线）且相等；平移前后的图形全等．平移是几何中的一种重要变换，运用平移可以将分散的线段、角或图形汇集到一起，也可以把不太明朗的关系明朗化．通过平移构造辅助线是研究和解决几何问题的常用方法，其中，通过平移构造辅助线比较线段大小的常见类型有：（1）比较两条线段的大小关系，可以利用直角三角形中斜边大于直角边来比较，也可以把其中一条线段转化成三角形的两条边，再利用三角形三边关系比较大小；（2）比较三条线段的大小关系，可以把三条线段平移到同一个三角形中，再利用三角形三边的关系来比较大小；（3）比较四条线段的大小关系，可以转化成“飞镖形”或“8”字形（如图）来比较线段的大小关系．例题讲解例1 已知：在ABC 中，P 为BC 边的中点．（1）如图1，求证：()12AP AB AC <+；（2）延长AB 至点D ，使得BD ＝AC ，延长AC 至点E ，使得CE ＝AB ，连结DE ． ①如图2，连结BE ，若BAC ＝60，请你探究线段BE 与AP 之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；②请在图3中证明：12BC DE ≥．ABDCAB ＋AC >BD ＋DCOABCDAD ＋BC >AB ＋CD证明（1）如图4，延长AP 至点F ，使得PF ＝AP ，连结BF ． 易证APC ≌FPB ，所以AC ＝BF ．从而AB ＋AC ＝AB ＋BF ＞AF ，即()12AP AB AC <+．（2）①BE ＝2AP ．证明如下： 因为BD ＋AB ＝AC ＋CE ，BAC ＝60， 所以ADE 为等边三角形．如图5，在DE 上取一点G ，使得DG ＝DB ，连结BG ，则BDG 为等三角形． 连结CG ，PG ，则四边形ABGC 为平行四边形，所以点A ，P ，G 共线，故AG ＝2AP ． 易证DGA ≌DBE ．则BE ＝AG ＝2AP ．PABC图1PCBADE图2PEDABC图3PCBAF图4PEDAB CG图5②如图6，过点C 作CH ∥AB ，且CH ＝BD ，连结DH ，HE ． 则四边形BDHC 为平行四边形， 易证ABC ≌CEH ，所以DH ＝BC ＝EH ．由三角形三边关系定理可得DH ＋EH ＞DE ．而当D ，H ，E 三点共线时，有DH ＋EH ＝DE ，所以12BC DE ．例2 在ABC 中，ACB ＝90，AC ＞BC ，D 是AC 边上的点，E 是BC 边上的点，AD ＝BC ，CD ＝BE ．点E 与点B ，C 不重合，连结AE ，BD 交于点F ，求BFE 的度数．FCABDE解 如图，过点A 作AG AC ，使得AG ＝CD ＝BE ，连结BG ，G D ． 可得四边形AEBG 是平行四边形，则BG ∥E A ． 易证GAD ≌DCB （SAS ），所以GD ＝DB ，GDA ＝DB C ． 所以GDA ＋BDC ＝90，可得BGD 是等腰直角三角形， 又因为BG ∥EF ，所以BFE ＝GBD ＝45．FACGBDE例3 如图，ABC 的三条中线分别为AD ，BE ，CF ，若ABC 的面积为1，则以AD ，BE ，PHCB ADE图6CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 ．DEFABC答案34． 解 如图，过点C 作CP ∥AD ，且CP ＝AD ，连结AP ，PF ，EP ，FE ．DFECBAP由辅助线作法，可得四边形ADCP 为平行四边形， 所以AP ＝CD ，AP ∥C D ．由D ，E ，F 为ABC 三边中点，可得AP ＝EF ，AP ∥EF ． 所以四边形AFEP 为平行四边形，则PE ＝AF ＝FB ，PE ∥F B ． 所以四边形PEBF 为平行四边形， 则BE ＝FP ．因而FPC 为以AD ，BE ，CF 的长度为三边长的三角形， 所以1113344444FPC FEC FEP CEP ABC ABC ABC ABC S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆=++=++==． 进阶训练1． 如图，两条长度都为1的线段AB 和CD 相交于点O ，且AOC ＝60，求证：AC ＋BD 1．OBDCA【提示】分别过点C ，B 作AB ，AC 的平行线，两线交于点E ，连结DE ，则四边形ABEC 是平行四边形，CDE 是等边三角形，从而AC ＝BE ，DE ＝DC ＝1，即得证．OACDBE2、已知：在Rt△ABC 中，点D 、E 分别在CB 、CA 的延长线上，连接BE ，AD 交于点P ，若AC ＝3BD ，CD ＝3AE ，求∠APE ．解：∠APF ＝30°【提示】过点D 作DF ∥BE ，且DF ＝BE ，连接EF 、AP ．则四边形EFBD 为平行四边形，易证△AEF ∽△DCA ，从而∠FAD ＝90°，AD ＝3AF ，所以∠APE ＝∠ADF ＝30°3、如图，已知△ABC的面积为1，分别以△ABC的三边AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE，ACFG，BCHI，连接EG、FH、ID，则以EG、FH、ID长度为三边的三角形的面积为________解：3 【提示】如图，分别过点I，H作AB、AC的平行线，两线段交于点M，连AM、EM、GM．则△EGM是以EG、FH、ID的长度为三边的一个三角形，由“等腰直角三角形共顶点”中的结论知：S△DOI＝S△CFH＝S△EAG＝S△ADG。
中考试题汇编2022年平移(原卷版)
一、选择题1. （2022湖州中考）如图，将△ABC 沿BC 方向平移1cm 得到对应的△A ′B ′C ′．若B ′C =2cm ，则BC ′的长是（ ）A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm 2. （2022怀化中考）如图，△ABC 沿BC 方向平移后的像为△DEF ，已知BC =5，EC =2，则平移的距离是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 3. （2022福建中考）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中90ABC ∠=︒，60CAB ∠=︒，AB ＝8，点A 对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC 移动到A B C '''，点A '对应直尺的刻度为0，则四边形ACC A ''的面积是（ ）A. 96B. 3C. 192D. 1603 4. （2022铜仁中考）如图，等边ABC 、等边DEF 边长分别为3和2．开始时点A 与点D 重合，DE 在AB 上，DF 在AC 上，DEF 沿AB 向右平移，当点D 到达点B 时停止．在此过程中，设ABC 、DEF 重合部分的面积为y ，DEF 移动的距离为x ，则y 与x 的函数图象大致为（ ）A. B.C. D.5.（2022嘉兴中考）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm ''''，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为（）得到正方形A B C DA. 1cmB. 2cmC. 2－1)cmD. 2－1)cm6．（2022天门中考）（3分）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为S1，小正方形与大正方形重叠部分的面积为S2，若S＝S1﹣S2，则S随t变化的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ． 7. （2022海南中考） 如图，点(0,3)(1,0)A B 、，将线段AB 平移得到线段DC ，若90,2ABC BC AB ∠=︒=，则点的坐标是（ ）A. (7,2)B. (7,5)C. (5,6)D. (6,5) 8. （2022湖州中考）把抛物线y=x 2向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是( )A. y=2x -3B. y=2x +3C. y=2(3)x +D. y=2(3)x -9. （2022广安中考）在平面直角坐标系中，将函数y =3x +2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（ ）A. y =3x +5B. y =3x ﹣5C. y =3x +1D. y =3x ﹣1 10. （2022泸州中考） 抛物线2112y x x =-++经平移后，不可能得到的抛物线是（ ） A. 212y x x =-+ B. 2142=--y x C. 21202120222=-+-y x x D. 21y x x =-++11. （2022通辽中考） 在平面直角坐标系中，将二次函数()211y x =-+的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）A. ()221y x =--B. ()223y x =-+C. 21y x =+D. 21y x =- 12. （2022玉林中考） 小嘉说：将二次函数2y x 的图象平移或翻折后经过点(2,0)有4种方法： ①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 ③向下平移4个单位长度 ④沿x 轴翻折，再向上平移4个单位长度你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 13. （2022北部湾中考） 2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（ ）A. B. C. D.14. （2022广东中考）在平面直角坐标系中，将点()1,1向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）A. ()3,1B. ()1,1-C. ()1,3D. ()1,1- 15. （2022娄底中考） 将直线21y x =+向上平移2个单位，相当于（ ）A. 向左平移2个单位B. 向左平移1个单位C. 向右平移2个单位D. 向右平移1个单位16. （2022赤峰中考）如图，点()2,1A ，将线段OA 先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到线段''O A ，则点A 的对应点'A 的坐标是（ ）A. ()3,2-B. ()0,4C. ()1,3-D. ()3,1- 17. （2022白色中考） 如图，在△ABC 中，点A （3，1），B （1，2），将△ABC 向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则点B 的对应点B ′的坐标为（ ）A. （3，-3）B. （3，3）C. （－1，1）D. （－1，3） 18. （2022泰安中考）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，ABC ∆经过平移后得到111A B C ∆，若AC 上一点(1.2,1.4)P 平移后对应点为1P ，点1P 绕原点顺时针旋转180，对应点为2P ，则点2P 的坐标为（ ）A. (2.8,3.6)B. 2.8,6()3.--C. (3.8,2.6)D. ( 3.8, 2.6)--19．（2022内江中考）如图，在平面直角坐标系中，点B 、C 、E 在y 轴上，点C 的坐标为（0，1），AC ＝2，Rt △ODE 是Rt △ABC 经过某些变换得到的，则正确的变换是（ ）A ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移1个单位B ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移1个单位C ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移3个单位D ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移3个单位 二、填空题 1．（2022益阳中考）如图，将边长为3的正方形ABCD 沿其对角线AC 平移，使A 的对应点A ′满足AA ′＝AC ，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 8 ．2. （2022台州中考） 如图，△ABC 的边BC 长为4cm ．将△ABC 平移2cm 得到△A ′B ′C ′，且BB ′⊥BC ，则阴影部分的面积为______2cm ．3. （2022金华中考）如图，在Rt ABC 中，90,30,2cm ACB A BC ∠=︒∠=︒=．把ABC 沿AB 方向平移1cm ，得到A B C '''，连结CC '，则四边形AB C C ''的周长为_____cm ．4. （2022营口中考）如图，将ABC 沿着BC 方向平移得到DEF ，只需添加一个条件即可证明四边形ABED 是菱形，这个条件可以是____________．（写出一个即可）5．（2022常州中考）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12．在Rt △DEF 中，∠F ＝90°，DF ＝3，EF ＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF ，Rt △DEF 从起始位置（点D 与点B 重合）平移至终止位置（点E 与点A 重合），且斜边DE 始终在线段AB 上，则Rt △ABC 的外部被染色的区域面积是 21 ．6. （2022河南中考）如图，将扇形AOB 沿OB 方向平移，使点O 移到OB 的中点O '处，得到扇形A O B '''．若∠O ＝90°，OA ＝2，则阴影部分的面积为______．7. （2022大连中考） 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是1,2，将线段OA 向右平移4个单位长度，得到线段BC ，点A 的对应点C 的坐标是_______． 8. （2022抚顺中考）在平面直角坐标系中，线段AB 的端点(3,2),(5,2)A B ，将线段AB 平移得到线段CD ，点A 的对应点C 的坐标是(1,2)-，则点B 的对应点D 的坐标是_____________．9. （2022牡丹江中考） 抛物线223y x x =-+向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是______．10.（2022无锡中考）把二次函数y =x 2+4x +m 的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m 应满足条件：________．11. （2022牡丹江中考）把二次函数y=2x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为____________．12. （2022黔东南中考） 在平面直角坐标系中，将抛物线221y x x =+-先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______．13．（2022临沂中考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A ，B 的坐标分别是A （0，2），B （2，﹣1）．平移△ABC 得到△A 'B 'C '，若点A 的对应点A '的坐标为（﹣1，0），则点B 的对应点B '的坐标是 （1，﹣3） ．14. （2022绍兴中考） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，4），B （3，4），将ABO 向右平移到CDE △位置，A 的对应点是C ，O 的对应点是E ，函数(0)k y k x=≠的图象经过点C 和DE 的中点F ，则k 的值是______．15. （2022潍坊中考）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO 绕原点O 逆时针旋转75︒，再沿y 轴方向向上平移1个单位长度，则点B ''的坐标为___________．三、解答题1. （2022贵港中考） 已知：点C ，D 均在直线l 的上方，AC 与BD 都是直线l 的垂线段，且BD 在AC 的右侧，2BD AC =，AD 与BC 相交于点O ．（1）如图1，若连接CD ，则BCD △的形状为______，AO AD的值为______； （2）若将BD 沿直线l 平移，并以AD 为一边在直线l 的上方作等边ADE ． ①如图2，当AE 与AC 重合时，连接OE ，若32AC =，求OE 的长； ②如图3，当60ACB ∠=︒时，连接EC 并延长交直线l 于点F ，连接OF ．求证：OF AB ⊥． 2. （2022河北中考） 如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，∠ABC ＝90°，∠C ＝30°，AD ＝3，23AB =DH ⊥BC 于点H ．将△PQM 与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P 与A 重合，点B 在PM 上，其中∠Q ＝90°，∠QPM ＝30°，43PM =（1）求证：△PQM ≌△CHD ；（2）△PQM 从图1的位置出发，先沿着BC 方向向右平移（图2），当点P 到达点D 后立刻绕点D 逆时针旋转（图3），当边PM 旋转50°时停止．①边PQ 从平移开始，到绕点D 旋转结束，求边PQ 扫过的面积；②如图2，点K 在BH 上，且943BK =-PQM 右移的速度为每秒1个单位长，绕点D 旋转的速度为每秒5°，求点K 在△PQM 区域（含边界）内的时长；③如图3．在△PQM 旋转过程中，设PQ ，PM 分别交BC 于点E ，F ，若BE ＝d ，直接写出CF 的长（用含d 的式子表示）．3. （2022丽水中考） 如图，在66⨯的方格纸中，点A ，B ，C 均在格点上，试按要求画出相应格点图形．（1）如图1，作一条线段，使它是AB 向右平移一格后的图形； （2）如图2，作一个轴对称图形，使AB 和AC 是它的两条边； （3）如图3，作一个与ABC 相似的三角形，相似比不等于1．4. （2022张家界中考） 如图所示的方格纸(1格长为一个单位长度)中，△AOB 的顶点坐标分别为A(3,0)，O(0,0)，B(3,4)．(1)将△AOB 沿x 轴向左平移5个单位，画出平移后的△A 1O 1B 1(不写作法，但要标出顶点字母)；(2)将△AOB 绕点O 顺时针旋转90，画出旋转后的△A 2O 2B 2(不写作法，但要标出顶点字母)； (3)在(2)的条件下，求点B 绕点O 旋转到点B 2所经过的路径长(结果保留π)．5. （2022龙东中考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A -，()2,5B -，()5,4C -．（1）将ABC 先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到111A B C △，画出两次平移后的111A B C △，并写出点1A 的坐标；（2）画出111A B C △绕点1C 顺时针旋转90°后得到221A B C △，并写出点2A 的坐标； （3）在（2）的条件下，求点1A 旋转到点2A 的过程中所经过的路径长（结果保留π）． 6. （2022牡丹江中考）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 与△DEF 关于点O 成中心对称，△ABC 与△DEF 的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．（1）在图中画出点O 的位置；（2）将△ABC 先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；（3）在网格中画出格点M ，使A 1M 平分∠B 1A 1C 17．（2022温州中考）（8分）如图，在26⨯的方格纸中，已知格点P ，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．（1）在图1中画一个锐角三角形，使P 为其中一边的中点，再画出该三角形向右平移2个单位后的图形．（2）在图2中画一个以P 为一个顶点的钝角三角形，使三边长都不相等，再画出该三角形绕点P 旋转180︒后的图形．8. （2022陕西中考）如图，ABC 的顶点坐标分别为(23)(30)(11)A B C ----，，，，，．将ABC 平移后得到A B C '''，且点A 的对应点是(23)A '，，点B 、C 的对应点分别是B C ''，．（1）点A 、A '之间的距离是__________； （2）请在图中画出A B C '''．9. （2022安徽中考） 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点均为格点（网格线的交点）．（1）将△ABC 向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到111A B C △，请画出111A B C △﹔ （2）以边AC 的中点O 为旋转中心，将△ABC 按逆时针方向旋转180°，得到222A B C △，请画出222A B C △．10. （2022沈阳中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点()0,9B ，与直线OC 交于点()8,3C ．（1）求直线AB 的函数表达式；（2）过点C 作CD x ⊥轴于点D ，将ACD △沿射线CB 平移得到的三角形记为A C D '''△，点A ，C ，D 的对应点分别为A '，C '，D ，若A C D '''△与BOC 重叠部分的面积为S ，平移的距离CC m '=，当点A '与点B 重合时停止运动．①若直线C D ''交直线OC 于点E ，则线段C E '的长为________（用含有m 的代数式表示）； ②当1003m <<时，S 与m 的关系式为________； ③当245S =时，m 的值为________． 11. （2022雅安中考） 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO 的直角顶点A 的坐标为（m ，2），点B 在x 轴上，将△ABO 向右平移得到△DEF ，使点D 恰好在反比例函数y ＝8x（x ＞0）的图象上．（1）求m 的值和点D 的坐标； （2）求DF 所在直线的表达式；（3）若该反比例函数图象与直线DF 的另一交点为点G ，求S △EFG ． 12. （2022眉山中考） 已知直线y x =与反比例函数ky x=的图象在第一象限交于点(2,)M a ．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，将直线y x =向上平移b 个单位后与ky x=的图象交于点(1,)A m 和点(,1)B n -，求b 的值；（3）在（2）的条件下，设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点C ，D ，求证：AOD BOC ≌△△．13. （2022黄冈中考）如图，已知一次函数y 1＝kx ＋b 的图像与函数y 2＝mx（x ＞0）的图像交于A （6，－12），B （12，n ）两点，与y 轴交于点C ，将直线AB 沿y 轴向上平移t 个单位长度得到直线DE ，DE 与y 轴交于点F ．（1）求y 1与y 2的解析式；（2）观察图像，直接写出y 1＜y 2时x 的取值范围；（3）连接AD ，CD ，若△ACD 的面积为6，则t 的值为 ． 14. （2022杭州中考）设函数11k y x=，函数22y k x b =+（1k ，2k ，b 是常数，10k ≠，20k ≠）．（1）若函数1y 和函数2y 的图象交于点()1,A m ，点B (3，1)， ①求函数1y ，2y 的表达式：②当23x <<时，比较1y 与2y 的大小（直接写出结果）．（2）若点()2,C n 在函数1y 的图象上，点C 先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D ，点D 恰好落在函数1y 的图象上，求n 的值．15．（2022江西中考）（8分）如图，点(,4)A m 在反比例函数(0)ky x x=>的图象上，点B 在y 轴上，2OB =，将线段AB 向右下方平移，得到线段CD ，此时点C 落在反比例函数的图象上，点D 落在x 轴正半轴上，且1OD =．（1）点B 的坐标为 (0,2) ，点D 的坐标为 ，点C 的坐标为 （用含m 的式子表示）；（2）求k 的值和直线AC 的表达式．16. （2022深圳中考）二次函数21,2y x =先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．22y x =()2236y x =-+()0,0 ()3,m()1,2()4,8()2,8()5,14()1,2-()2,8 ()2,8-()1,14（1）m 的值为 ；（2）在坐标系中画出平移后的图象并求出2152y x =-+与212y x =的交点坐标； （3）点()()1122,,,P x y Q x y 在新的函数图象上，且,P Q 两点均在对称轴的同一侧，若12,y y >则1x 2x （填“>”或“<”或“=”）17. （2022年重庆中考B 卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 上方抛物线上一动点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，交AB 于点M ，求65PM AM +的最大值及此时点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，点P '与点P 关于抛物线234y x bx c =-++的对称轴对称．将抛物线234y x bx c =-++向右平移，使新抛物线的对称轴l 经过点A ．点C 在新抛物线上，点D 在l 上，直接写出所有使得以点A 、P '、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形的点D 的坐标，并把求其中一个点D 的坐标的过程写出来．18. （2022重庆中考A 卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++与直线AB交于点()0,4A -，()4,0B ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 是直线AB 下方拋物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点C ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求PC PD +的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）中PC PD +取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点E ，F ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．。
中考压轴题二次函数中的存在性问题之平移
二次函数中的存在性问题之平移【典例1】（2019•乐山）如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan∠CAB=32．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQ⊥PC．①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化范围；②在①的条件下，当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；③在①的条件下，当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．【点拨】（1）由函数解析式，可以求出点A、B的坐标分别为（﹣2，0），（6，0），在Rt△OAC中由tan∠CAB=32，可以求出点C的坐标为（0，3），进而可以求出抛物线的解析式；（2）①抛物线的对称轴为：x＝2，顶点M（2，4），在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC2+PQ2＝CQ2，把三角形三边长用点P，Q的坐标表达出来，整理得：n=12(m2−3m+4)，利用0≤m≤4，求出n的取值范围；②由S△PCQ=12CQ⋅ℎ=12PC⋅PQ，得：ℎ=PC⋅PQCQ=2，求出点P到线段CQ距离为2；③设线段CQ向上平移t个单位长度后的解析式为：y=−34x+3+t，联立抛物线方程，可求出x2﹣7x+4t＝0，由△＝49﹣16t＝0，得t=4916，可得当线段CQ与抛物线有两个交点时，3≤t＜4916．【解答】解：（1）根据题意得：A （﹣2，0），B （6，0）， 在Rt △AOC 中，∵tan∠CAO =CO AO =32，且OA ＝2，得CO ＝3，∴C （0，3），将C 点坐标代入y ＝a （x +2）（x ﹣6）得：a =−14，抛物线解析式为：y =−14(x +2)(x −6)； 整理得：y =−14x 2+x +3故抛物线解析式为：得：y =−14x 2+x +3；（2）①由（1）知，抛物线的对称轴为：x ＝2，顶点M （2，4），设P 点坐标为（2，m ）（其中0≤m ≤4）， 则PC 2＝22+（m ﹣3）2，PQ 2＝m 2+（n ﹣2）2，CQ 2＝32+n 2， ∵PQ ⊥PC ，∴在Rt △PCQ 中，由勾股定理得：PC 2+PQ 2＝CQ 2，即22+（m ﹣3）2+m 2+（n ﹣2）2＝32+n 2，整理得：n =12(m 2−3m +4)=12(m −32)2+78（0≤m ≤4）， ∴当m =32时，n 取得最小值为78；当m ＝4时，n 取得最大值为4，所以78≤n ≤4；②由①知：当n 取最大值4时，m ＝4， ∴P （2，4），Q （4，0）， 则PC =√5，PQ =2√5，CQ ＝5， 设点P 到线段CQ 距离为h ，由S △PCQ =12CQ ⋅ℎ=12PC ⋅PQ 得：ℎ=PC⋅PQCQ =2， 故点P 到线段CQ 距离为2；③由②可知：当n 取最大值4时，Q （4，0），∴线段CQ 的解析式为：y =−34x +3， 设线段CQ 向上平移t 个单位长度后的解析式为：y =−34x +3+t ，当线段CQ 向上平移，使点Q 恰好在抛物线上时，线段CQ 与抛物线有两个交点，此时对应的点Q '的纵坐标为：−14(4+2)(4−6)=3，将Q '（4，3）代入y =−34x +3+t 得：t ＝3，当线段CQ 继续向上平移，线段CQ 与抛物线只有一个交点时，联解{y =−14(x +2)(x −6)y =−34x +3+t得：−14(x +2)(x −6)=−34x +3+t ，化简得：x 2﹣7x +4t ＝0，由△＝49﹣16t ＝0，得t =4916，∴当线段CQ 与抛物线有两个交点时，3≤t ＜4916．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，处理问题和解决问题．【精练1】（2019•湘西州）如图，抛物线y ＝ax 2+bx （a ＞0）过点E （8，0），矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点A 在点B 的左侧），点C 、D 在抛物线上，∠BAD 的平分线AM 交BC 于点M ，点N 是CD 的中点，已知OA ＝2，且OA ：AD ＝1：3． （1）求抛物线的解析式；（2）F 、G 分别为x 轴，y 轴上的动点，顺次连接M 、N 、G 、F 构成四边形MNGF ，求四边形MNGF 周长的最小值；（3）在x 轴下方且在抛物线上是否存在点P ，使△ODP 中OD 边上的高为6√105？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD 不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K 、L ，且直线KL 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．【点拨】（1）由点E 在x 轴正半轴且点A 在线段OE 上得到点A 在x 轴正半轴上，所以A （2，0）；由OA ＝2，且OA ：AD ＝1：3得AD ＝6．由于四边形ABCD 为矩形，故有AD ⊥AB ，所以点D 在第四象限，横坐标与A 的横坐标相同，进而得到点D 坐标．由抛物线经过点D 、E ，用待定系数法即求出其解析式． （2）画出四边形MNGF ，由于点F 、G 分别在x 轴、y 轴上运动，故可作点M 关于x 轴的对称点点M '，作点N 关于y 轴的对称点点N '，得FM ＝FM '、GN ＝GN '．易得当M '、F 、G 、N '在同一直线上时N 'G +GF +FM '＝M 'N '最小，故四边形MNGF 周长最小值等于MN +M 'N '．根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点M 、M '、N 、N '坐标，即求得答案．（3）因为OD 可求，且已知△ODP 中OD 边上的高，故可求△ODP 的面积．又因为△ODP 的面积常规求法是过点P 作PE 平行y 轴交直线OD 于点E ，把△ODP 拆分为△OPE 与△DPE 的和或差来计算，故存在等量关系．设点P 坐标为t ，用t 表示PE 的长即列得方程．求得t 的值要讨论是否满足点P 在x 轴下方的条件．（4）由KL 平分矩形ABCD 的面积可得K 在线段AB 上、L 在线段CD 上，画出平移后的抛物线可知，点K 由点O 平移得到，点L 由点D 平移得到，故有K （m ，0），L （2+m ，0）．易证KL 平分矩形面积时，KL 一定经过矩形的中心H 且被H 平分，求出H 坐标为（4，﹣3），由中点坐标公式即求得m 的值． 【解答】解：（1）∵点A 在线段OE 上，E （8，0），OA ＝2 ∴A （2，0） ∵OA ：AD ＝1：3 ∴AD ＝3OA ＝6 ∵四边形ABCD 是矩形 ∴AD ⊥AB ∴D （2，﹣6）∵抛物线y ＝ax 2+bx 经过点D 、E∴{4a +2b =−664a +8b =0 解得：{a =12b =−4∴抛物线的解析式为y =12x 2﹣4x（2）如图1，作点M 关于x 轴的对称点点M '，作点N 关于y 轴的对称点点N '，连接FM '、GN '、M 'N ' ∵y =12x 2﹣4x =12（x ﹣4）2﹣8 ∴抛物线对称轴为直线x ＝4∵点C 、D 在抛物线上，且CD ∥x 轴，D （2，﹣6） ∴y C ＝y D ＝﹣6，即点C 、D 关于直线x ＝4对称 ∴x C ＝4+（4﹣x D ）＝4+4﹣2＝6，即C （6，﹣6） ∴AB ＝CD ＝4，B （6，0）∵AM 平分∠BAD ，∠BAD ＝∠ABM ＝90° ∴∠BAM ＝45° ∴BM ＝AB ＝4 ∴M （6，﹣4）∵点M 、M '关于x 轴对称，点F 在x 轴上 ∴M '（6，4），FM ＝FM ' ∵N 为CD 中点 ∴N （4，﹣6）∵点N 、N '关于y 轴对称，点G 在y 轴上 ∴N '（﹣4，﹣6），GN ＝GN '∴C 四边形MNGF ＝MN +NG +GF +FM ＝MN +N 'G +GF +FM ' ∵当M '、F 、G 、N '在同一直线上时，N 'G +GF +FM '＝M 'N '最小∴C 四边形MNGF ＝MN +M 'N '=√(6−4)2+(−4+6)2+√(6+4)2+(4+6)2=2√2+10√2=12√2 ∴四边形MNGF 周长最小值为12√2． （3）存在点P ，使△ODP 中OD 边上的高为6√105． 过点P 作PE ∥y 轴交直线OD 于点E ∵D （2，﹣6）∴OD =√22+62=2√10，直线OD 解析式为y ＝﹣3x 设点P 坐标为（t ，12t 2﹣4t ）（0＜t ＜8），则点E （t ，﹣3t ）①如图2，当0＜t ＜2时，点P 在点D 左侧 ∴PE ＝y E ﹣y P ＝﹣3t ﹣（12t 2﹣4t ）=−12t 2+t∴S △ODP ＝S △OPE +S △DPE =12PE •x P +12PE •（x D ﹣x P ）=12PE （x P +x D ﹣x P ）=12PE •x D ＝PE =−12t 2+t ∵△ODP 中OD 边上的高h =6√105， ∴S △ODP =12OD •h ∴−12t 2+t =12×2√10×6√105方程无解②如图3，当2＜t ＜8时，点P 在点D 右侧 ∴PE ＝y P ﹣y E =12t 2﹣4t ﹣（﹣3t ）=12t 2﹣t∴S △ODP ＝S △OPE ﹣S △DPE =12PE •x P −12PE •（x P ﹣x D ）=12PE （x P ﹣x P +x D ）=12PE •x D ＝PE =12t 2﹣t ∴12t 2﹣t =12×2√10×6√105解得：t 1＝﹣4（舍去），t 2＝6 ∴P （6，﹣6）综上所述，点P 坐标为（6，﹣6）满足使△ODP 中OD 边上的高为6√105．（4）设抛物线向右平移m 个单位长度后与矩形ABCD 有交点K 、L ∵KL 平分矩形ABCD 的面积∴K 在线段AB 上，L 在线段CD 上，如图4 ∴K （m ，0），L （2+m ，0） 连接AC ，交KL 于点H∵S △ACD ＝S 四边形ADLK =12S 矩形ABCD ∴S △AHK ＝S △CHL ∵AK ∥LC ∴△AHK ∽△CHL ∴S △AHK S △CHL=(AH CH)2=1∴AH ＝CH ，即点H 为AC 中点 ∴H （4，﹣3）也是KL 中点 ∴m+2+m2=4∴m ＝3∴抛物线平移的距离为3个单位长度．【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径问题，勾股定理，坐标系中求三角形面积，抛物线的平移，相似三角形的判定和应用，中点坐标公式．易错的地方有第（1）题对点D、C、B坐标位置的准确说明，第（3）题在点D左侧不存在满足的P在点D左侧的讨论，第（4）题对KL必过矩形中心的证明．【精练2】（2019•黄石）如图，已知抛物线y=13x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（5，0）．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积；（3）定点D（0，m）在y轴上，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点P在新的抛物线上运动，求定点D与动点P之间距离的最小值d（用含m的代数式表示）【点拨】（1）函数的表达式为：y=13（x+1）（x﹣5），即可求解；（2）S四边形AMBC=12AB（y C﹣y D），即可求解；（3）抛物线的表达式为：y=13x2，即可求解．【解答】解：（1）函数的表达式为：y=13（x+1）（x﹣5）=13（x2﹣4x﹣5）=13x2−43x−53，点M 坐标为（2，﹣3）；（2）当x ＝8时，y =13（x +1）（x ﹣5）＝9，即点C （8，9）， S 四边形AMBC =12AB （y C ﹣y D ）=12×6×（9+3）＝36；（3）y =13（x +1）（x ﹣5）=13（x 2﹣4x ﹣5）=13（x ﹣2）2﹣3，抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线， 则新抛物线表达式为：y =13x 2，则定点D 与动点P 之间距离PD =√x 2+(m −13x 2)2=√19x 4+(1−23m)x 2+m 2， 当−1−23m29＞0，即m ＞32时，PD 的最小值d =√12m−92；当−1−23m29≤0，即m ≤32时，PD 的最小值d ＝|m | ∴d ={|m|(m ≤32)√12m−92(m ＞32)．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图形平移、面积的计算等知识点，难度不大．【精练3】（2019•南岸区校级三模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，过二次函数y ＝﹣x 2+4x 图象上的点A （3，3）作x 轴的垂线交x 轴于点B ．（1）如图1，P 为线段OA 上方抛物线上的一点，在x 轴上取点C （1，0），点M 、N 为y 轴上的两个动点，点M 在点N 的上方且MN ＝1．连接AC ，当四边形P ACO 的面积最大时，求PM +MN +12NO 的最小值．（2）如图2，点Q （3，1）在线段AB 上，作射线CQ ，将△AQC 沿直线AB 翻折，C 点的对应点为C '，将△AQC '沿射线CQ 平移3√5个单位得△A 'Q 'C ″，在射线CQ 上取一点M ，使得以A '、M 、C ″为顶点的三角形是等腰三角形，求M 点的坐标．【点拨】（1）把四边形P ACO沿OA分成△OAP与△OAC，由于△OAC三边确定，面积为定值，故△OAP 面积最大时四边形面积也最大．过点P作x轴垂线交OA于D，设点P横坐标为t，则能用t表示PD的长，进而得到△OAP关于t的二次函数关系式，用公式法可求得t=32时△OAP面积最大，即求得此时点P坐标．把点P向下平移1个单位得P'，易证四边形MNP'P是平行四边形，所以PM＝P'N．过点O作经过第二、四象限的直线l，并使直线l与x轴夹角为60°，过点N作NG⊥直线l于点G，则由30°角所对直角边等于斜边一半可知NG=12NO．所以PM+MN+12NO可转化为P'N+NG+1，易得当点P'、N、G在同一直线上最小．把PD延长交直线l于点F，构造特殊Rt△P'FG和Rt△OEF，利用点P坐标和30°、60°的三角函数即可求得P'G的长．（2）由点B、C、Q的坐标求CQ的长和点C'坐标；过点Q'作x轴的垂线段Q'H，易证△CBQ∽△CHQ'，故有CBCH =BQHQ′=CQCQ′=14，求得CH、HQ'的长即求得点Q'坐标，进而得到向右向上平移的距离，求得点A'、C''的坐标．求直线CQ解析式，设CQ上的点M横坐标为m，用两点间距离公式可得用m表示A'M和C''M的长．因为△A'MC''是等腰三角形，分三种情况讨论，得到关于m的方程，求解即求得相应的m的值，进而得点M坐标．【解答】解：（1）如图1，过点O作直线l，使直线l经过第二、四象限且与x轴夹角为60°；过点P作PF⊥x轴于点E，交OA于点D，交直线l于点F；在PF上截取PP'＝1；过点N作NG⊥直线l于点G∵A（3，3），AB⊥x轴于点B∴直线OA解析式为y＝x，OB＝AB＝3∵C（1，0）∴S△AOC=12OC•AB=12×1×3=32，是定值设P （t ，﹣t 2+4t ）（0＜t ＜3） ∴D （t ，t ）∴PD ＝﹣t 2+4t ﹣t ＝﹣t 2+3t∴S △OAP ＝S △OPD +S △APD =12PD •OE +12PD •BE =12PD •OB =−32（t 2﹣3t ） ∴t =−−32=32时，S △OAP 最大 此时，S 四边形P ACO ＝S △AOC +S △OAP 最大 y P ＝﹣（32）2+3×32=154 ∴P （32，154）∴P 'E ＝PE ﹣PP '=154−1=114，即P '（32，114）∵点M 、N 在y 轴上且MN ＝1 ∴PP '＝MN ，PP '∥MN ∴四边形MNP 'P 是平行四边形 ∴PM ＝P 'N∵∠NGO ＝90°，∠NOG ＝90°﹣60°＝30° ∴Rt △ONG 中，NG =12NO ∴PM +MN +12NO ＝P 'N +NG +1∴当点P '、N 、G 在同一直线上，即P 'G ⊥直线l 时，PM +MN +12NO ＝P 'G +1最小 ∵OE =32，∠EOF ＝60°，∠OEF ＝90°∴Rt △OEF 中，∠OFE ＝30°，tan ∠EOF =EFOE =√3 ∴EF =√3OE =3√32 ∴P 'F ＝P 'E +EF =114+3√32∴Rt △P 'GF 中，P 'G =12P 'F =118+3√34 ∴P 'G +1=118+3√34+1=19+6√38∴PM +MN +12NO 的最小值为19+6√38（2）延长A 'Q '交x 轴于点H∵C （1，0），Q （3，1），QB ⊥x 轴于点B ∴CB ＝2，BQ ＝1 ∴CQ =√22+12=√5∵△AQC 沿直线AB 翻折得△AQC ' ∴B （3，0）是CC '的中点 ∴C '（5，0） ∵平移距离QQ '＝3√5 ∴CQ '＝CQ +QQ '＝4√5 ∵QB ∥Q 'H ∴△CBQ ∽△CHQ ' ∴CB CH=BQ HQ′=CQ CQ′=14∴CH ＝4CB ＝8，y Q '＝HQ '＝4BQ ＝4 ∴x Q '＝OC +CH ＝1+8＝9 ∴Q '（9，4）∴点Q （3，1）向右平移6个单位，向上平移3个单位得到点Q '（9，4） ∴A '（9，6），C ''（11，3）∴A 'C ''=√(11−9)2+(3−6)2=√4+9=√13 设直线CQ 解析式为y ＝kx +b ∴{k +b =03k +b =1 解得：{k =12b =−12 ∴直线CQ ：y =12x −12设射线CQ 上的点M （m ，12m −12）（m ＞1） ∴A 'M 2＝（9﹣m ）2+（6−12m +12）2＝（9﹣m ）2+（132−12m ）2C ''M 2＝（11﹣m ）2+（3−12m +12）2＝（11﹣m ）2+（72−12m ）2 ∵△A 'MC ''是等腰三角形①若A 'M ＝A 'C ''，则（9﹣m ）2+（132−12m ）2＝13解得：m 1＝7，m 2=635 ∴M （7，3）或（635，295）②若C ''M ＝A 'C ''，则（11﹣m ）2+（72−12m ）2＝13解得：m 1=375，m 2＝13 ∴M （375，165）或（13，6）③若A 'M ＝C ''M ，则（9﹣m ）2+（132−12m ）2＝（11﹣m ）2+（72−12m ）2解得：m ＝10 ∴M （10，92）综上所述，点M 坐标为（7，3），（635，295），（375，165），（13，6），（10，92）．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，垂线段最短定理，特殊角三角函数的应用，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质，平移的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质．第（1）题求最短路径时对PM 作平移和对12NO 进行转换是解决此类问题的典型做法，第（2）题解题关键是根据平移方向和距离求出点的具体平移路径（向左右和上下如何平移），再得到平移后的坐标．【精练4】（2019•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0，4）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）将（1）中的抛物线向下平移154个单位长度，再向左平移h （h ＞0）个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点D ′在△ABC 内，求h 的取值范围；（3）点P 为线段BC 上一动点（点P 不与点B ，C 重合），过点P 作x 轴的垂线交（1）中的抛物线于点Q ，当△PQC 与△ABC 相似时，求△PQC 的面积．【点拨】（1）函数表达式为：y ＝a （x +1）（x ﹣4）＝a （x 2﹣3x ﹣4），即可求解； （2）物线向下平移154个单位长度，再向左平移h （h ＞0）个单位长度，得到新抛物线的顶点D ′（32−h ，52），将点AC 的坐标代入一次函数表达式即可求解；（3）分△CPQ ∽△CBA 、△CPQ ∽△ABC ，两种情况分别求解即可． 【解答】解：（1）函数表达式为：y ＝a （x +1）（x ﹣4）＝a （x 2﹣3x ﹣4）， 即﹣4a ＝4，解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+3x +4， 函数顶点D （32，254）；（2）物线向下平移154个单位长度，再向左平移h （h ＞0）个单位长度，得到新抛物线的顶点D ′（32−h ，52），将点AC 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AC 的表达式为：y ＝4x +4，将点D ′坐标代入直线AC 的表达式得：52=4（32−h ）+4，解得：h =158， 故：0＜h ＜158；（3）过点P 作y 轴的平行线交抛物线和x 轴于点Q 、H ∵OB ＝OC ＝4，∴∠PBA ＝∠OCB ＝45°＝∠QPC ， 直线BC 的表达式为：y ＝﹣x +4， 则AB ＝5，BC ＝4√2，AC =√17， S △ABC =12×5×4＝10，设点Q （m ，﹣m 2+3m +4），点P （m ，﹣m +4）， CP =√2m ，PQ ＝﹣m 2+3m +4+m ﹣4＝﹣m 2+4m ，①当△CPQ ∽△CBA ，PCBC =PQAB ，即√2m4√2=−m 2+4m 5， 解得：m =114， 相似比为：PC BC=1116，②当△CPQ ∽△ABC ， 同理可得：相似比为：PC AB=12√225， 利用面积比等于相似比的平方可得： S △PQC ＝10×（1116）2=605128或S △PQC ＝10×（12√225）2=576125． 【点睛】本题考查的二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、三角形相似等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【精练5】（2019•天水）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD 垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED 重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．【点拨】（1）将点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4）代入y＝ax2+bx+c即可求出该二次函数表达式，因为CD垂直于y轴，所以令y＝4，求出x的值，即可写出点D坐标；（2）设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，求出顶点坐标，证△FGH∽△F A1O1，求出GH的长，因为Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，所以S重叠部分=S△A1O1F−S△FGH，即可求出结果；（3）当0＜t≤3时，设O2C2交OD于点M，证△OO2M∽△OED，求出O2M=23t，可直接求出S=S△OO2M=12OO2×O2M=13t2；当3＜t≤6时，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，分别求出直线OD与直线A2C2的解析式，再求出其交点M的坐标，证△DC2N∽△DCO，求出C2N=23（6﹣t），由S=S四边形A2O2NM =S△A2O2C2−S△C2MN可求出S与t的函数表达式．【解答】解：（1）∵抛抛线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），∴抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣9），∵点C（0，4）在抛物线上，∴4＝﹣27a ， ∴a =−427， ∴抛物线的解析式为：y =−427（x +3）（x ﹣9）=−427x 2+89x +4， ∵CD 垂直于y 轴，C （0，4）， 令−427x 2+89x +4＝4， 解得，x ＝0或x ＝6， ∴点D 的坐标为（6，4）；（2）如图1所示，设A 1F 交CD 于点G ，O 1F 交CD 于点H ， ∵点F 是抛物线y =−427x 2+89x +4的顶点， ∴F （3，163），∴FH =163−4=43， ∵GH ∥A 1O 1， ∴△FGH ∽△F A 1O 1， ∴GH A 1O 1=FH FO 1，∴GH 3=434，解得，GH ＝1，∵Rt △A 1O 1F 与矩形OCDE 重叠部分的图形是梯形A 1O 1HG ， ∴S 重叠部分=S △A 1O 1F −S △FGH =12A 1O 1•O 1F −12GH •FH =12×3×4−12×1×43 =163；（3）①当0＜t ≤3时，如图2所示，设O 2C 2交OD 于点M ， ∵C 2O 2∥DE ，∴△OO 2M ∽△OED ， ∴O 2M DE =OO 2OE ，∴O 2M 4=t 6，∴O 2M =23t ，∴S =S △OO 2M =12OO 2×O 2M =12t ×23t =13t 2；②当3＜t ≤6时，如图3所示，设A 2C 2交OD 于点M ，O 2C 2交OD 于点N ， 将点D （6，4）代入y ＝kx ， 得，k =23， ∴y OD =23x ，将点（t ﹣3，0），（t ，4）代入y ＝kx +b ， 得，{k(t −3)+b =0kt +b =4，解得，k =43，b =−43t +4，∴直线A 2C 2的解析式为：y =43x −43t +4， 联立y OD =23x 与y =43x −43t +4， 得，23x =43x −43t +4，解得，x ＝﹣6+2t ，∴两直线交点M 坐标为（﹣6+2t ，﹣4+43t ）， 故点M 到O 2C 2的距离为6﹣t ， ∵C 2N ∥OC ， ∴△DC 2N ∽△DCO ， ∴DC 2CD =C 2N OC ，∴6−t 6=C 2N 4，∴C 2N =23（6﹣t ），∴S =S 四边形A 2O 2NM =S △A 2O 2C 2−S △C 2MN =12OA •OC −12C 2N （6﹣t ） =12×3×4−12×23（6﹣t ）（6﹣t ） =−13t 2+4t ﹣6；∴S 与t 的函数关系式为：S ={13t 2(0＜t ≤3)−13t 2+4t −6(3＜t ≤6)．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等，解题关键是能够根据题意画图，知道有些不规则图形的面积可转化为几个规则图形的面积和或差来求出． 【精练6】（2019•重庆）在平面直角坐标系中，抛物线y =−√34x 2+√32x +2√3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点Q ．（1）如图1，连接AC ，BC ．若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作PE ∥y 轴交BC 于点E ，作PF ⊥BC 于点F ，过点B 作BG ∥AC 交y 轴于点G ．点H ，K 分别在对称轴和y 轴上运动，连接PH ，HK ．当△PEF 的周长最大时，求PH +HK +√32KG 的最小值及点H 的坐标．（2）如图2，将抛物线沿射线AC 方向平移，当抛物线经过原点O 时停止平移，此时抛物线顶点记为D ′，N 为直线DQ 上一点，连接点D ′，C ，N ，△D ′CN 能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N 的坐标；若不能，请说明理由．【点拨】（1）首先证明△PEF ∽△BCO ，推出当PE 最大时，△PEF 的周长最大，构建二次函数，求出PE 最大时，点P 的坐标，将直线GO 绕点G 逆时针旋转60°，得到直线l ，作PM ⊥直线l 于M ，KM ′⊥直线l 于M ′，则PH +HK +√32KG ＝PH +HK +KM ′≥PM ，求出PM 即可解决问题． （2）首先利用待定系数法求出点D ′坐标，设N （1，n ），∵C （0，2√3），D ′（5，25√34），则NC 2＝1+（n ﹣2√3）2，D ′C 2＝52+（25√34−2√3）2，D ′N 2＝（5﹣1）2+（25√34−n ）2，分三种情形分别构建方程求出n 的值即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，对于抛物线y =−√34x 2+√32x +2√3，令x ＝0，得到y ＝2√3， 令y ＝0，得到−√34x 2+√32x +2√3=0，解得x ＝﹣2或4，∴C （0，2√3），A （﹣2，0），B （4，0），抛物线顶点D 坐标（1，9√34）， ∵PF ⊥BC ，∴∠PFE ＝∠BOC ＝90°，∵PE ∥OC ，∴∠PEF ＝∠BCO ，∴△PEF ∽△BCO ，∴当PE 最大时，△PEF 的周长最大，∵B （4，0），C （0，2√3），∴直线BC 的解析式为y =−√32x +2√3，设P （m ，−√34m 2+√32m +2√3），则E （m ，−√32m +2√3）， ∴PE =−√34m 2+√32m +2√3−（−√32m +2√3）=−√34m 2+√3m ，∴当m ＝2时，PE 有最大值，∴P （2，2√3），如图，将直线GO 绕点G 逆时针旋转60°，得到直线l ，作PM ⊥直线l 于M ，KM ′⊥直线l 于M ′，则PH +HK +√32KG ＝PH +HK +KM ′≥PM ， ∵P （2，2√3），∴∠POB ＝60°，∵∠MOG ＝30°，∴∠MOG +∠BOC +∠POB ＝180°，∴P ，O ，M 共线，可得PM ＝10，∴PH +HK +√32KG 的最小值为10，此时H （1，√3）．（2）∵A （﹣2，0），C （0，2√3），∴直线AC 的解析式为y =√3x +2√3，∵DD ′∥AC ，D （1，9√34），∴直线DD ′的解析式为y =√3x +5√34， 设D ′（m ，√3m +5√34），则平移后抛物线的解析式为y 1=−√34（x ﹣m ）2+√3m +5√34，将（0，0）代入可得m ＝5或﹣1（舍弃），∴D ′（5，25√34）， 设N （1，n ），∵C （0，2√3），D ′（5，25√34）， ∴NC 2＝1+（n ﹣2√3）2，D ′C 2＝52+（25√34−2√3）2，D ′N 2＝（5﹣1）2+（25√34−n ）2， ①当NC ＝CD ′时，1+（n ﹣2√3）2＝52+（25√34−2√3）2， 解得：n =8√3±3√1394 ②当NC ＝D ′N 时，1+（n ﹣2√3）2＝（5﹣1）2+（25√34−n ）2， 解得：n =641√3136③当D ′C ＝D ′N 时，52+（25√34−2√3）2＝（5﹣1）2+（25√34−n ）2，解得：n =25√3±√10114， 综上所述，满足条件的点N 的坐标为（1，8√3+3√1394）或（1，8√3−3√1394）或（1，641√3136）或（1，25√3+√10114）或（1，25√3−√10114）． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了一次函数的性质，二次函数的性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识，解题的关键是，学会用转化的思想思考问题，把最短问题转化为垂线段最短，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
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平移问题平移性质——平移前后图形全等，对应点连线平行且相等。
一、直线的平移1、(2009武汉)如图，直线43y x =与双曲线k y x =（0x >）交于点A ．将直线43y x =向右平移92个单位后，与双曲线k y x =（0x >）交于点B ，与x 轴交于点C ，若2=BCAO，则k = ．2、（09年四川南充市）如图已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A ，． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)B m ，，求m 的值和这个一次函数的解析式； （3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式； （4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，使四边形O ECD 的面积1S 与四边形O ABD 的面积S 满足：123S S =？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．提示:第（2）问，直线平行时，解析式中k 值相等。
‘ 3、（2009年日照）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB =2米，BC =1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．（1）当MN 和AB 之间的距离为0.5米时，求此时△EMN 的面积；（2）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方米）表示成关于x 的函数；（3）请你探究△EMN 的面积S （平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．提示：第（2）问，按MN 分别在三角形、矩形区域内滑动分类讨论； 第（3）问，对（2）问中两种情况分别求最值，再比较得最值。
CA D EB F C图4（备） A D E B F C 图5（备） A D E B F C 图1 图2 A D E B F C P N M图3 A D E B F CP N M （第25题） 4、（2009年山东青岛市）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6cm AD =，4cm CD =，10cm BC BD ==，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（05t <<）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PE AB ∥？ （2）设PEQ △的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使225PEQ BCD S S =△△？若存在，求出此时t 的值； 若不存在，说明理由． （4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．提示：第（2）问，t=5时，点P 、Q 相遇；若没有05t <<，则按P 、Q 相遇时间分段分类，分别画出图形，再根据图形性质写出面积函数关系式，此时，第（3）问要对第（2）问中分类情形，分别解方程求解。
第（4）问，随t 的变化，PFCDE 的形状在不断变化，t=0时为三角形，点P 、Q 相遇前为凸五边形，猜测五边形PFCDE 的面积不变，则等于三角形BCD 的面积，这样需证明三角形PED 与三角形PBF 面积相等，事实上△PED ≌△FPB(DE=BP=t,∠EDP=∠PBF,DP=BF=10-t) 5、（2009江西）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离； （2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.提示：第（2）①问，找特殊位置——点N 与点D 重合时，易求周长；第（2）②问，分三种情形，都要找图形的特性，△MNC 恒为正三角形；（一）PN=PM 时，P N ⊥DC; (二)PM=MN 时，P M ⊥EF ，PM=MN=MC; (三)PN=MN 时，P M ⊥EF,P 与F 重合；6、（2009年长春）如图，直线364y x =-+分别与x 轴、y 轴交于A B 、两点，直线54y x =与AB 交于点C ，与过点A 且平行于y 轴的直线交于点D ．点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿x 轴向左运动．过点E 作x 轴的垂线，分别交直线AB OD 、于P Q 、两点，以PQ 为边向右作正方形PQMN ，设正方形PQMN 与ACD △重叠部分（阴影部分）的面积为S （平方单位）．点E 的运动时间为t （秒）． （1）求点C 的坐标．（2）当05t <<时，求S 与t 之间的函数关系式． （3）求（2）中S 的最大值。
（4）当0t >时，直接写出点942⎛⎫⎪⎝⎭，在正方形PQMN 内部时t 的取值范围．提示：（4）942⎛⎫⎪⎝⎭，在正方形PQMN 内部 即在QM 下且在 QP 右。
7、（09湖南邵阳）如图（8），直线l 的解析式为4y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于A B 、两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M N 、两点，设运动时间为t 秒（04t <≤）． （1）求A B 、两点的坐标；（2）用含t 的代数式表示MON △的面积1S ；（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记MPN △和OAB △重合部分的面积为2S ，①当2t <≤4时，试探究2S 与t 之间的函数关系式；②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，2S 为OAB △面积的516？ 提示：第（3）问，按 重叠图形分段分类-四边形、三角形。
图88、（2009威海）如图，△ABC 和的△DEF 是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2.DE=4．点B 与点D 重合，点A,B(D),E 在同一条直线上，将△ABC 沿D E →方向平移，至点A 与点E 重合时停止．设点B,D 之间的距离为x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，则准确反映y 与x 之间对应关系的图象是（ ）9、（2009年济南）如图，点G 、D 、C 在直线a 上，点E 、F 、A 、B 在直线b 上，若a b Rt GEF ∥，△从如图所示的位置出发，沿直线b 向右匀速运动，直到EG 与BC 重合．运动过程中GEF △与矩形ABCD 重．合部分．．．的面积（S ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）10、（2009年山东青岛市）已知：如图，在ABCD Y中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △． （1）求证：BE DG =；（2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．11、(2009年咸宁市)如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把ACD △沿CA 方向平移得到A C D '''△． （1）证明A AD CC B '''△≌△；（2）若30ACB ∠=°，试问当点C '在线段AC 上的什么位置时，四边形ABC D ''是菱形，并请说明理由．A D G CB F E 第10题图C B AD A 'C '（第11题） D 'G D CE FA B b a （第9题图） s t O A s t O B C s t O D s t O12、（2009山西）如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合． （1）求ABC △的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原地出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．提示：第（3）问，找准平移过程中的几个临界位置分段分类-----DG 过点C ，EF 过点A ；按重叠图形种类分段分类——五边形、四边形、三角形。
13、（2009年衡阳市）如图，直线4+-=x y 与两坐标轴分别相交于A 、B 点，点M 是线段AB 上任意一点（A 、B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ．（1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由； （2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？ （3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为)40<<a a （，正方形OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为S ．试求S 与a 的函数关系并画出该函数图象．提示：第（3）问，按 重叠图形分段分类----------五边形、三角形。
图（1）图（2）图（3）14、（湖南2009年娄底市）如图11，在△ABC 中，∠C =90°，BC =8，AC =6，另有一直角梯形DEFH （HF ∥DE ，∠HDE =90°）的底边DE 落在CB 上，腰DH 落在CA 上，且DE =4，∠DEF =∠CBA ，AH ∶AC =2∶3。
（1）延长HF 交AB 于G ，求△AHG 的面积.（2）操作：固定△ABC ，将直角梯形DEFH 以每秒1个单位的速度沿CB 方向向右移动，直到点D 与点B 重合时停止，设运动的时间为t 秒，运动后的直角梯形为DEFH ′（图12）. 探究1：在运动中，四边形CDH ′H 能否为正方形？若能， 请求出此时t 的值；若不能，请说明理由.探究2：在运动过程中，△ABC 与直角梯形DEFH ′重叠部分的面积为y ，求y 与t 的函数关系.提示：探究2中平移临界位置---F 与G 重合，H 与G 重合。