复合轮系的传动比
轮系及其传动比计算
第八章 轮系及其传动比计算
第四十八讲 齿轮系及其分类
如图8—1所示，由一系列齿轮相互啮合而组成的传动系统简称轮系。根据轮系中各齿轮运动形式的不同，轮系分类如下：
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧==⎩⎨⎧成由几个周转轮系组合而和周转轮系混合而成或混合轮系：由定轴轮系）行星轮系（）差动轮系（周转轮系（轴有公转）空间定轴轮系平面定轴轮系定轴轮系（轴线固定）轮系12F F
图8—1 图8—2 图8—3 定轴轮系中所有齿轮的轴线全部固定，若所
有齿轮的轴线全部在同一平面或相互平行的平
面内，则称为平面定轴轮系，如图8—1所示，
若所有齿轮的轴线并不全部在同一平面或相互
平行的平面内，则称为空间定轴轮系；若轮系
中有一个或几个齿轮轴线的位置并不固定，而
是绕着其它齿轮的固定轴线回转,如图8—2，8
—3所示，则这种轮系称为周转轮系，其中绕着
固定轴线回转的这种齿轮称为中心轮（或太阳
轮），即绕自身轴线回转又绕着其它齿轮的固定
轴线回转的齿轮称为行星轮，支撑行星轮的构 图8—4
件称为系杆（或转臂或行星架），在周转轮系中，一般都以中心轮或系杆作为运动的输入或输出构件，常称其为周转轮系的基本构件；周转轮系还可按其所具有的自由度数目作进一步的划分；若周转轮系的自由度为２，则称其为差动轮系如图8—2所示，为了确定这种轮系的运动，须给定两个构件以独立运动规律，若周转轮系的自由度为１，如图8—3所示，则称其为行星轮系，为了确定这种轮系的运动，只须给定轮系中一个构件以独立运动规律即可；在各种实际机械中所用的轮系，往往既包含定轴轮系部分，又包含周转轮系部分，或者由几部分周转轮系组成，这种复杂的轮系称为复合轮系如图8—4所示，该复合轮系可分为左边的周转轮系和右边的定轴轮系两部分。
齿轮系的传动比计算
第7章齿轮系的传动比计算
本章主要介绍了轮系的概念及分类；各类轮系传动比的计算方法；轮系的功用；简要介绍了设计行星轮系时，其各轮齿数和行星轮数目的选择问题；以及几种其他的行星传动机构。
7.1 基本要求
1、能正确划分轮系，能正确计算定轴轮系、周转轮系、复合轮系的传动比；
2、对轮系的主要功用有清楚的了解；
3、了解设计行星轮系时，其各轮齿数和行星轮数目的选择应满足的四个条件；
4、对其他行星齿轮传动有一般了解。
7.2重点和难点提示
本章重点：
周转轮系及复合轮系传动比的计算。
本章难点：
根据相对运动原理，将周转轮系转化为假想的“定轴轮系”的方法；如何将复合轮系正确划分为若干个基本轮系。
1、轮系及其分类
由一系列齿轮组成的传动装置称为轮系。
根据轮系运动时其中各个齿轮轴线的位置是否固定，可以将轮系分为定轴轮系、周转轮系及复合轮系三类。
（1）定轴轮系
所有齿轮几何轴线的位置在运转过程中均固定不变的轮系，称为定轴轮系。
（2）周转轮系
在运转过程中至少有一个齿轮的几何轴线位置不固定，而是绕着其它齿轮的固定轴线回转的轮系，称为周转轮系。
在周转轮系中，通常以中心轮或系杆作为运动的输入或输出构件，故又称其为周转轮系的基本构件。基本构件都是绕着同一固定轴线回转的。
根据周转轮系所具有的自由度数目的不同，周转轮系可进一步分为行星轮系和差动轮系两类。行星轮系的自由度为1，差动轮系的自由度为2 。
此外，周转轮系还可根据其基本构件的不同加以分类。设轮系中的中心轮用K表示，系
杆用H表示。若在一个轮系中，基本构件为两个中心轮和系杆H，通常称其为2K-H 型周转轮系。若一个轮系中，基本构件是三个中心轮，而行星架H只起支持行星轮的作用，不
复合轮系传动比的计算
《机械原理》
第九章齿轮系及其设计
——复合轮系传动比的计算
区分各个基本的周转轮系后，剩余的那些由定轴齿轮所组成正确方法：
关键：正确划分各个基本轮系。
具体划分方法：
首先要找出各个单一的周转轮系。
先找行星轮
行星架
中心轮
Z 4
Z 5
（1）首先正确区分各个基本轮系；（2）分别列出各基本轮系传动比
计算方程式；
（3）找出各基本轮系之间的联系；（4）联立求解。
Z 2
Z’2
H Z 1
Z 3
的部分就是定轴轮系。
例1：在图示轮系中，已知各轮齿数为Z 1=Z 2’=25，Z 2=Z 3=20，Z H =100，Z 4=20。求传动比i 14。114
499255125
H H n
n i n n ===-
-解：
H ，4 组成定轴轮系；
齿轮1-2-2’-3 –H 组成周转轮系。
1
2’
2
3
4
H
23113
312'202016252525
H H H z z n n i n n z z -⨯====
-⨯44
42015100
H H H n z i n z ==-=-=-14n n 与方向相反
解得i H4 =2.5
1
2
2ˊ3
3ˊ4
H
例2：如图所示轮系，已知z 1=60，z 2=40，z 2ˊ=z 3=20，z 3ˊ=40，z 4=20，n 1=200r/min ，
n 4=400r/min （n 1，n 4转向相同），求i H4。解：如图所示轮系，
3ˊ－4为定轴轮系1－2－2ˊ－3为周转轮系
定轴部分：i 3’4＝n 3’/n 4
周转部分：i 13H ＝(n 1-n H )/(n 3-n H ) 连接条件：n 3＝n 3’
i H4 =2.5
复合轮系的传动比计算举例
复合轮系的传动比计算
举例
标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
复合轮系的传动比计算举例
例1 图示轮系中，各轮模数和压力角均相同，都是标准齿轮，各轮齿数为z 123=,z z z z z z n 23344515192404017331500=======,,,,,,'' r /min ,转向如图示。试求
齿轮2'的齿数z 2'及n A 的大小和方向。
解：
（1）齿轮1，2啮合的中心距等于齿轮2'，3啮合的中心距，所以得
（2）)(3)22(1A --'--组成差动轮系，)(5)44(3A --'--'组成行星轮系
（3）6331n n H =-n n n A H ==-=-=-1
21150021
7143.r/min （4）负号表明n H 转向与n 1相反。
例2 图示轮系，已知各轮齿数：322=z ，343=z ，364=z ，645=z ，327=z ，178=z ，z 924=。轴A 按图示方向以1250r/min 的转速回转，轴B 按图示方向以600r/
min 的转速回转，求轴C 的转速n C 的大小和方向。
解：
（1）分析轮系结构：2－3－4－5－6为差动轮系，7－8－9为定轴轮系。
（2）i n n z z 979779322443
==== ① （3）917363264344253656225
-=⨯⨯-=-=--=z z z z n n n n i H ② 由式①得:n n 793436004
450=
=⨯= r/min 由式②得:n n n n 5626917
轮系传动比计算
126
§5-6 定轴轮系传动比的计算
一、轮系的基本概念
● 轮系：由一系列相互啮合的齿轮组成的传动系统； ● 轮系的分类： 定轴轮系： 所有齿轮轴线的位置固定不动； 周
转轮系：至少有一个齿轮的轴线不固定； ● 定轴轮系的分类：
平面定轴轮系：轴线平行； 空间定轴轮系：不一定平行；
● 轮系的传动比:
轮系中首、末两轮的角速度(或转速)之比，包括两轮的角速比的大小和转向关系。
传动比的大小：当首轮用“1”、末轮用“k ”表示时，其传动比的大小为： i 1k ＝ ω1/ωk ＝n 1/n k 传动比的方向：首末两轮的转向关系。
相互啮合的两个齿轮的转向关系：
二、平面定轴轮系传动比的计算
特点：
●轮系由圆柱齿轮组成，轴线互相平行；
●传动比有正负之分: 首末两轮转向相同为“+”，相反为“-”。 1、传动比大小
设Ⅰ为输入轴，Ⅴ为输出轴； 各轮的齿数用Z 来表示；
127
角速度用ω表示；
首先计算各对齿轮的传动比：
所以：
结论： 定轴轮系的传动比等于各对齿轮传动比的连乘积，其值等于各对齿轮的从动轮齿数的乘积与主动轮齿数的乘积之比； 2、传动比方向
在计算传动比时，应计入传动比的符号： 首末两轮转向相同为“+”，相反为“-”。 （1）公式法
式中：m 为外啮合圆柱齿轮的对数 举例：
（2）箭头标注法
采用直接在图中标注箭头的方法来确定首末两轮的转向，转向相同为“+”，相反为“-”。 举例：
1
2
2112z z i ==
ωω3
2223332z i z ωωωω'''
=
==334
34443z i z ωωωω'''
=
==4
5
5445z z i ==
第8章-轮系-复合轮系
z1=z3 , nH=n4
n1 n 4 1 n3 n 4 rL n1 n4 r rL n3 n4 r
七、实现较远距离的 传动
七、实现较远距离的传动
主动轮和从动轮间的距 离较远时，如果仅用一对齿 轮来传动，齿轮的尺寸就很 大。若改用轮系来传动，则 大大改善缺点。
谢谢
欢迎大家批评指正！
支撑行星轮的构件就是系杆；
•
几何轴线与系杆的回转轴相重 合，且直接与行星轮相啮合的定 轴齿轮就是中心轮，这样便组成 了一个周转轮系 定轴轮系
• 定轴轮系：无行星轮存在，则为
§8-4
复合轮系的传动比
轮系分解关键：将周转轮系分离出来。 传动比求解思路：
将复合齿轮分解为基本齿轮，分别列 出传动比计算公式，找出联系，联立求 解。
§8-5
轮系的工程应用
一、实现分路传动：
利用轮系可以使一个主 动轴带动若干个从动轴
同时旋转，并获得不同
的转速。
二、获得较大的传动比
采用周转轮系，可以在使用很 少的齿轮并且也很紧凑的条件 下，得到很大的传动比。
（某航空发动机附件传动系统图）
三、 实现变速传动：
在主轴转速不变的条件下，利用轮系可使从动轴 得到若干种转速，从而实现变速传动。
z1=z3
差动轮系的运动合成特性，被广泛应用于机 床、计算机构和补偿调整等装置中。
复合轮系的传动比计算.
z3 90 3 z1 30 z6 90 3 z4 30
周转H2 i
H 46
联系
nH1= n4 ， n6 = n3 = 0
i1H 2 n1 16 nH 2
联解
联系 n2 n2 n4 0 n1 10 联解 i1H nH
z1 z 2 20 z 2 40 z3 30 z 4 80
例题：z1=z2=z4=z5=30，z3=z6=90。求i1H2 平面周-周复合轮系 周转H1 i
H 13
n1 nH1 n3 nH1 n4 n H 2 n6 nH 2
复合轮系有两种现象： 定轴----周转复合轮系 周转--பைடு நூலகம்-周转复合轮系
传动比计算的步骤：
1）划分轮系（关键找行星轮）
2）分列方程
3）找出联系 3）联立求解
例题：求i1Ｈ。 平面定-周复合轮系
动画
定轴 周转
i12
H i2 4
n1 z 40 2 2 n2 z1 20
n2 nH z 80 4 4 n4 nH z 2 20
复合轮系的传动比计算举例
复合轮系的传动比计算举例
复合轮系是一种由多个齿轮组成的传动系统，可以实现不同的传动比。在汽车和机械领域中，复合轮系被广泛应用于变速器、差速器和传动等装
置中。本文将通过举例的方式详细介绍复合轮系的传动比计算。
一、复合轮系的基本概念
1.齿轮的基本参数
在复合轮系中，每一对相邻的齿轮组成一个齿轮副，其中输入齿轮称
为驱动齿轮，输出齿轮称为从动齿轮。齿轮的基本参数包括齿数、模数和
压力角等。
2.传动比的定义
传动比是指输入轴的角速度与输出轴的角速度之比。在复合轮系中，
传动比可以通过计算每一对相邻齿轮的齿数比得到。
二、复合轮系的传动比计算方法
1.并联轮系的传动比计算方法
并联轮系是指将两个或多个齿轮副独立地安装在同一轴上，使得它们
同时接触同一个从动齿轮。在并联轮系中，传动比等于输入驱动齿轮与从
动齿轮的齿数比的乘积。
举例说明：
假设一个并联轮系由两个齿轮副组成，其中驱动齿轮和从动齿轮的齿
数分别为N1、N2和N3、N4，计算传动比。
传动比=（N1/N2）*（N3/N4）
2.级联轮系的传动比计算方法
级联轮系是指将两个或多个齿轮副按照串联的方式连接起来，使得每一个齿轮副的驱动齿轮都作为下一个齿轮副的从动齿轮。在级联轮系中，传动比等于每一对相邻齿轮的齿数比的乘积。
举例说明：
假设一个级联轮系由三个齿轮副组成，其中驱动齿轮和从动齿轮的齿数分别为N1、N2和N3、N4，N5、N6，计算传动比。
传动比=（N1/N2）*（N3/N4）*（N5/N6）
三、复合轮系的应用举例
1.变速器的传动比计算
变速器是汽车中常见的复合轮系应用之一、它通过不同齿轮的组合，实现不同的传动比，从而实现汽车的变速功能。以手动变速器为例，它通常由多个齿轮副组成，并通过操纵杆将不同的齿轮副连接到驱动轴上。
复合轮系的传动比计算举例
复合轮系的传动比计算举例
复合轮系是一种广泛应用于机械传动系统中的传动装置，它通过将多
个齿轮组合在一起来实现不同传动比的选择。在计算复合轮系的传动比时，需要考虑到齿轮的模数、齿数、齿轮传动的组合方式以及齿轮轴的结构等
因素。下面将以一个具体的例子来说明复合轮系的传动比计算方法，并对
齿轮的选型进行分析。
假设传动的输入轴为轴1，输出轴为轴3，而轴2为一个中间轴。传
动需要实现从轴1到轴3的传递，且需要通过轴2实现一个降速传递。该
传动的传动比为1:3
首先，需要确定传动比为1:3，即轴1的转速是轴3转速的1/3
假设齿轮1和齿轮2分别安装在轴1和轴2上，齿轮3和齿轮4分别
安装在轴2和轴3上。设齿轮1、齿轮2、齿轮3和齿轮4的模数分别为
m1、m2、m3和m4，齿数分别为z1、z2、z3和z4
齿轮的模数和齿数的关系为：
m=z/n,
其中，m为齿轮的模数，z为齿数，n为模数选择系数。
根据传动比的要求，可以得到以下关系：
(1)z1/z2=(z3/z4)*(n3/n4),
根据实际情况，可以对齿轮进行合理的选型。一般选取齿数较大的齿
轮作为主动齿轮，较小的齿轮作为从动齿轮，以保证齿轮的强度和寿命。
假设选择n1=1,n2=1,n3=1,n4=2，则可以得到以下方程：
(1)z1/z2=(z3/z4)*(1/2),
为了方便计算，我们假设齿数z1为30，则可以得到：
(1)30/z2=(z3/z4)*(1/2),
通过求解以上方程，可以得到齿轮的组合方式和齿数的选取。例如，当z2=60，z3=40，z4=80时，满足以上方程的条件。
齿轮系传动比计算
′ z1 = z2 = z3 = z4 = 20 如图所示齿轮系中， 【例】 如图所示齿轮系中，
齿轮1 齿轮 、3、3′和5 同轴线，各齿轮均为标准 和 同轴线， 齿轮。若已知轮 的转速为 齿轮。若已知轮1的转速为 求轮5的转速 求轮 的转速
n1 = 1440r / min
4.2 行星齿轮系传动比的计算
一、行星齿轮系的分类 组成： 组成：
行星轮：齿轮 行星轮：齿轮2
行星架H 行星架
太阳轮： 太阳轮：1、3
简单行星齿轮系 分类 差动齿轮系
பைடு நூலகம்
具有一个自由度 具有两个自由度
简单行星齿轮系
差动齿轮系
二、行星齿轮系的传动比计算
根据相对运动原理， 根据相对运动原理， 相对运动原理 应用转化机构法 转化机构法， 应用转化机构法，假想对 整个机构加一个绕O 整个机构加一个绕 - O转 转 动的公共角速度-ω 动的公共角速度 H，将其 变为定轴轮系
减速器分类： 减速器分类：
齿轮减速器 圆柱齿轮减速器 圆锥齿轮减速器 圆锥— 圆锥—圆柱齿轮减速器 圆柱蜗杆减速器 圆弧齿蜗杆减速器 锥蜗杆减速器 蜗杆— 蜗杆—齿轮减速器 渐开线行星齿轮减速器 行星减速器 摆线齿轮减速器 谐波齿轮减速器
蜗杆减速器
一、常见减速器的主要类型、特点及应用 常见减速器的主要类型、 1.齿轮减速器 1.齿轮减速器
传动比计算
传动比方向判断 传动比方向表示
画箭头 在传动比的前面加正、负号
定轴轮系的传动比计算
3、输入、输出轮的轴线不平行的情况
齿轮1的轴为输入轴， 蜗轮5的轴为输出轴，输 出轴与输入轴的转向关系 如图上箭头所示。
i15
z2 z3 z5 z1z2' z3'
传动比方向判断 传动比方向表示
画箭头
定轴轮系的传动比计算
i1H 1i1HK
如果给定另外两个基本构件的角速度1、H中的任意一
个，可以计算出另外一个，从而可以计算周转轮系的传 动比。
周转轮系的传动比计算
三、使用转化轮系传动比公式时的注意事项
1、转化轮系的1轮、k轮和系杆H的轴线需平行
i1H3 1 3 H H(1)2Z Z1 2Z Z23
定轴轮系传动比计算公式
周转轮系传动比计算
?
反转法原理，将周转 轮系转化为定轴轮系
周转轮系的传动比计算
一、周转轮系传动比计算的基本思路
- H
系杆机架 周转轮系定轴轮系
周转轮系的 转化机构
可直接用定轴轮系传动比的计算公式。
周转轮系的传动比计算
将轮系按－ωH反转后，各构件的角速度的变化如下:
构件 原角速度 转化后的角速度
4 5
z5 z4
i1 5 1 i1i1 52 i23 i3 4i4 51 2 3 4
机械原理 复合轮系的传动比
JM 返回
K B
3’ 3 J
4
2A
51
连接条件： ω5＝ωA
联立解得：
i1 B
1 ＝B
(1 z3)(1 z3' )
z1
z5
1 A
5 B
i1A · i5B
总传动比为两个串联周转轮系的传动比的乘积。
JM 返回
混合轮系的解题步骤： 1)找出所有的基本轮系。 关键是找出周转轮系! 2)求各基本轮系的传动比。 3)根据各基本轮系之间的连接条件，联立基本轮系的传动比
JM 返回
例六：图示为龙门刨床工作台的变速机构，J、K 为电磁制动器，设已知各轮的齿数，求J、K分别
K
刹车时的传动比i1B。
解 1)刹住J时
B
1－2－3为定轴轮系
3－3’将两者连接 B－5－4－3’为周转轮系
定轴部分： i13＝ω1/ω3 ＝-z3/ z1
周转部分： iB3’5＝(ω3’-ωB)/(0-ω=B)-z5/ z3’ 连接条件： ω3＝ω3’
联立解得：
i1 B
1 B
z3 (1 z5 )
z1
z3'
Hale Waihona Puke Baidu
3’ 3 J
4
2A
51
JM 返回
2) 刹住K时 5－A将两者连接
A-1－2－3为周转轮系
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=-4（1）
i12= n1 / n2 = - z2 / z1=-2 3）写出联接关系式： n2= n2′
（2）
图11-4
4）联立求解
由（2）式知n2= n2′=-n1/2 带入（1）式得
- n1/2 nH 4 0 nH
i1H = n1 / nH =-10 （轮1、H的转向相反）
例2：图11-12所示为一电动卷扬机的减速器运动简图，已知
周转轮系=行星轮+行星架+太阳轮
课后作业：
P233 11-2
11-3 11-4
3、写出各基本轮系之间的联接关系式（一般写轮系之间 的某些构件的角速度或转速相等）；
4、联立方程求解所需的构件角速度或传动比。 上面所讲的计算过程中，最关键的是第一步，即正确
区分各个基本轮系。
在划分基本轮系时，关键是找出各个周转轮系，方法是：
1）先找行星轮（≥1个）：其特征是其几何轴线不固定， 而是绕其它齿轮的固定轴线回转；
复合轮系的传动比
知识回顾
1、定轴轮系 在轮系运动时各个齿轮轴
线相对于机架的位置是固定的。
首末两轮的转向关系可用 标注箭头的方法来确定。
±
知识回顾
1、周转轮系 在轮系运动时，至少有一个齿轮的轴线的位置不固
定，而是绕其他齿轮固定轴线回转。
根据自由度数目不同可分为差动轮系（2个自由度） 和行星轮系（1个自由度）。
周转轮系；
图11-4
如图11-5：由于各个周转轮系有不同的ωH， 无法加上一个公共角速度“-
ωH1”或“-ωH2”来将整个轮系转 化为定轴轮系。
图11-5
计算复合轮系传动比的正确方法是：（计算步骤）
1、首先分析轮系，正确区分各个基本轮系（即单一的定 轴轮系和周转轮系）；
2、分别列出各个基本轮系的传动比计算式；
Z2Z=3=333 2 Z2Z'=2'2=121
ZZ4 ==3300 4
Z1Z=12=424
ZZ3=3=ZZ7ZZ7835'835==' ==17178888
(a()a)
22
22' '
+
11
33 55
11 33 22--22' ' HH
33''--44--55
3'
55
((bb))
44
33' ' 55
(c()c)
((dd))
FFigig..77--77
在此轮系中，差动轮系部分的两个基本构件3及5，被 定轴轮系部分封闭起来了，使差动轮系部分的两个基本轮 系3及5之间保持一定的速比关系，而整个轮系变成了自由 度为1的一种特殊的行星轮系，称之为封闭式行星轮系。
总结
复合轮系传动比计算步骤： （1）分清轮系 （2）列出各传动比计算式 （3）写连接关系式 （4）联立求解
2）再找行星架（1个） ：支承行星轮的构件（注：其形状 不一定是简单的杆件，有时是箱体或齿 轮，同一行星架上可能有几个行星轮）；
3）最后找太阳轮（1~2个）：与行星轮啮合且几何轴线是 固定的并与行星架的轴线重合。
则：每个行星架 + 此行星架上的行星轮 +与行星轮啮合的太阳轮 = 1个周转轮系。
在复合轮系中，可能含有几个周转轮系，找出所有的周 转轮系，剩下的便是定轴轮系部分。
差动轮系
行星轮系
知识回顾
周转轮系转化为定轴轮系，其传动比可按定轴轮系来 计算。 设周转轮系中两太阳轮分别为m和n，行星架为H， 则转化轮系的传动比可表示为：
若研究的轮系是有固定轮的行星轮系， 设n为固定轮，则
转化轮系法： 将整个机构加上
（ - H），将H固定。
原轮系
转化轮系
复合轮系
定轴轮系
周转 轮系
=-143/28
（1）
i35
n 3 n5
=
-
z4 z3
• z5 z4
=
- z5 =-13/3
z3
（2）
3）写出联接关系式: n3= n3′
4由-）13（nn联152/立）3n5求式n5解知n31=43n/32′8=-13ni51/53=带n1入/ （n5 1=）28式.2得4 （轮1、图5的11转-12向相同）
z1=24， z2=33， z2′=21， z3=78， z3 ′ =18， z4=30 ， z5=78 。试求其传动比i15。 解：1）分清轮系 差动轮系：1—2 = 2 ′—3（5）
定轴轮系：3 ′— 4 —5
2）分别列出各轮系的传动比计算式
i153 =
n1 n5 n3 n5
=-
z2 • z3 z1Baidu Nhomakorabeaz2
差动轮系（2个自由度） 行星轮系（1个自由度）
在复合轮系中或者既包含定轴轮系部分又包含周转轮 系部分；或者由几部分周转轮系组成。
在计算复合轮系传动比时，不能将整个 轮系作为定轴轮系来处理，也不能对整个轮 系采用转化轮系的方法。
如图11-4：整个轮系加上 “-ωH” ，周转轮
系部分
定轴轮系，但
定轴轮系部分
例1：在图11-4所示的轮系中，已知z1=20， z2=40， z2′=20， z3=30， z4=80。试求传动比i1H。
解：1）分清轮系 行星轮系：2 ′—3—4（H）
定轴轮系：1—2
2）分别列出各轮系的传动比计算式
i
H 24
=
n 2 n4
nH nH
=-
z3 • z4 = -
z2 z3
z4 z 2