中考数学试题分类汇编：与圆有关的计算

2012年全国各地中考数学解析汇编26 与圆有关的计算

18. （2012山东泰安，18，3分）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若

ABC ∠=120°，OC=3，则BC 的长为（ ）

A.π

B.2π D.3π D.5π

【解析】连接OB ，因为AB 是⊙O 的切线，所以OB ⊥AB ，∠ABO=90°，因为ABC ∠=120°，所以OBC ∠=30°.因为OB=OC ，所以∠C=∠B=30°，∠BOC=120°，所以BC 的长l BC =1203

2180

ππ=.

【答案】B.

【点评】圆的切线垂直于过切点的半径，连过切点的半径是圆中常作的辅助线之一；熟记弧长公式180

n r l π=的求弧长的基础，设法求出弧所对圆心角的度数是关键（已知半径和条件下）。

14.（2011山东省聊城，14，3分）在半径为6cm 的圆中，60º圆心角所对的弧长为 cm. (结果保留π) 解析：根据弧长公式ππ

2180

660=⨯=l . 答案：π2

点评：注意弧长公式与扇形公式区别联系.

14．(2012重庆，14，4分)一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为___________（结果保留π）

解析：根据扇形的面积公式即可求出。 答案：3π

点评：注意单位要统一，如果题目中没单位，答案也不带单位。

12．(2012山东德州中考,12,4,)如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长

为半径的三段等弧组成. 已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于_________．

12． 【解析】每段弧的长为180

n R l π=

＝1×26π=3π，故三段弧总长为π．

【答案】π

【点评】此题主要考查圆的弧长公式180

n R

l π=

．此题还可以用转换法，实际三个弧之和相等于一个半圆． 8．（2012四川内江，8，3分）如图2，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝

分图形的面积为 A ．4π

B ．2π

C ．π

D ．

2π

3

【解析】如下图所示，取AB 与CD 的交点为E ，由垂径定理知CE

COB ＝2∠CDB ＝60°，所以OC ＝sin 60

CE ＝2，OE ＝12OC ＝1，接下来发现OE ＝BE ，可证△OCE ≌△BED ，所以S 阴影＝S 扇形COB ＝16π·2

2

＝

2π

3

．

【答案】D

【点评】圆的有关性质是中考高频考点，而图形面积也是多数地方必考之处，将它们结合可谓珠联璧合．解答此题需在多处转化：一是将阴影面积转化为扇形面积问题解决；二是由圆周角度数求出圆心角度数；三是发现图中存在的全等三角形，这一点是解题关键．

23.（2012贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O 中，直径AB=2，CA 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于D ，若∠C=45°，则

（1）BD 的长是 ；（5分） （2）求阴影部分的面积. （5分）

解析： （1）由CA 切⊙O 于A ，得∠A=90°，再结合∠C=45°，得∠B=45°.连接AD ，则由直径AB=2，得∠ADB=90°.故BD=AB ×cos45°=2×cos45°=2；（2）运用代换得到阴影部分的面积等于△ACD 的面积

.

B 图

2

B

图2

第23题图

A

C

解：（1）填2； （2）由（1）得，AD=BD.

∴弓形BD 的面积=弓形AD 的面积，故阴影部分的面积=△ACD 的面积. ∵CD=AD=BD=2，∴S △ACD =

21CD ×AD=2

1

×2×2=1，即阴影部分的面积是1. 点评：本题主要考查了圆的性质，切线的性质，等腰直角三角形的性质以及割补法，解法较多，有利于考生从自己的角度获取解题方法，中等偏下难度.

13. (2012山东省临沂市，13，3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是BC 的中点，AB=4，∠BED=1200

，则图中阴影部分的面积之和为（ ） A.1 B.

2

3

C. 3

D. 32

【解析】由图得，四边形ABED 是圆内接四边形，∴∠B=∠D=∠DEC=600

，∴弓形BE 的面积等于弓形DE 的面积，又∵AB 是⊙O 的直径，点E 是BC 的中点，AB=4，∠BED=1200

，∴BE=ED=AD=2，BC=4，阴影部分面积=S △CDE,又△CDE ∽△ABC ，∴S △ABC=34, S △CDE=4

1

S △ABC=.3 【答案】选C 。

【点评】阴影部分的面积可以看作是△ABC 的面积减去四边形ABED 的面积或阴影部分的面积就是△CDE 的面积．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．

20 . （2012浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上,

点E 在⊙O 外,∠EAC =∠D =60°. （1）求∠ABC 的度数； （2）求证：AE 是⊙O 的切线； （3）当BC =4时，求劣弧AC 的长

.

E

【解析】（1）根据相等的弧长对应的圆周角相等，得∠ABC =∠D =60°。

（2）直径对应的圆周角为直角，则由三角形内角和为180°，得出∠BAC 的大小，继而得出∠BAE 的大小

为90°，即AE 是⊙O 的切线。

（3）由题意易知，△OBC 是等边三角形，则由劣弧AC 对应的圆心角可求出劣弧AC 的长。 20．解：（1）∵∠ABC 与∠D 都是弧AC 所对的圆周角 ∴∠ABC =∠D =60° …………2分 （2）∵AB 是⊙O 的直径

∴∠ACB =90° ……………………………………3分 ∴∠BAC =30°

∴∠BAE =∠BAC ＋∠EAC =30°＋60°=90° …………………4分 即BA ⊥AE

∴AE 是⊙O 的切线 …………………………………………………………5分

（3） 如图，连结OC

∵OB =OC ,∠ABC =60°∴△OBC 是等边三角形 ∴OB =BC =4 , ∠BOC =60°

∴∠AOC =120°…………………7分 ∴劣弧AC 的长为

ππ3

8

1804120=⋅⋅ …………………………………………8分

【点评】此题考查圆弧的长与其对应的圆心角、圆周角的关系，及三角形的内角和为180°。相等的弧长对应的圆周角、圆心角相等．

26．（2012江苏盐城，26，10分）如图所示，AC ⊥AB ，

AB=AC=2，点D 是以AB 为直径的半圆O 上一动点，DE ⊥CD 交直线AB 于点E ，设∠DAB=α，（00

＜α＜900

）．