高等数学第五章练习题
高一数学(必修一)《第五章 三角恒等变换》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 三角恒等变换》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知2tan 5α=-，则1sin 2cos 2αα+=（ ） A ．1318B ．522 C ．37-D ．372．若1sin 84x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．14-BC ．78D ．3．已知sin cos αβ+=cos sin αβ+sin()αβ+=（ ）A ．12B C ．12- D ．4．sin cos 44ππαβ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为和差的结果是（ ）A ．11sin()cos()22αβαβ++-B ．11cos()sin()22αβαβ++-C ．11sin()sin()22αβαβ++- D ．11cos()cos()22αβαβ++-5．已知()11cos 3cos cos 42πππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2=α（ ）A B ．13- C ．23- D ．136．0000cos80cos130sin100sin130-等于A B ．12C ．12-D ．7．已知25cos2cos αα+=，()4cos 25αβ+=与0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和3,22πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos β的值为（ ）A ．45- B ．44125C ．44125-D ．458．已知π2cos()33α+=，则πsin()6α-=（ ）A B ． C ．23-D ．139．图象为如图的函数可能是（ ）A ．()sin(cos )f x x =B ．()sin(sin )f x x =C ．()cos(sin )f x x =D ．()cos(cos )f x x =二、填空题10．数列{}n a 的通项公式为[]2log n a n n =+，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则{}n a 的前32项和为__________．11．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()23cos sin 210απα++=，则tan α=__________．12．已知1sin 3α=，cos()1αβ+=-则sin(2)αβ+=______．13．已知sin 2πααπ<<，则tan α=______________． 14．已知角0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对任意的x ∈R ，()()2213cos 4sin 122x x x θθ+≥⋅恒成立，则θ的取值范围是_____.三、解答题15．已知函数()()1tan cos f x x x =+⋅(1)若44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求tan x ；(2)若,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，则()f α=，求cos2α．16．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2A C =.（1）若a c =，求cos B 的大小； （2）若1b =，3c =求sin A .17．已知函数22π()sin 2cos sin ,6f x x x x x ⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭R .(1)求()f x 求函数的最小正周期及对称中心. (2)求函数()y f x =在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦值域.18．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin sin cos cos 2cos a A B c A a A b B +=+ （1）求B ;（2）若6b AB CB =⋅=，求ABC 的周长19．已知向量(sin ,cos 1)a x x =-，(3cos ,cos 1)b x x =+和1()2f x a b =⋅+. (1)求函数的最小正周期T 及单调递增区间； (2)若ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域.四、双空题 20．已知4sin 5α，且α是第二象限角，则cos α=______；sin 2α=_______. 参考答案与解析1．D【分析】结合二倍角公式，将所求表达式转化为只含tan α的式子，由此求得正确答案. 【详解】原式222222cos sin 2sin cos 1tan 2tan cos sin 1tan ααααααααα++++==-- 4491932552542121712525+-====-. 故选：D 2．C【分析】利用诱导公式和二倍角公式可得解.【详解】1sin 84x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2sin 2cos 2cos 244248x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2712sin 88x π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭故选：C ． 3．A【分析】将两个已知等式两边平方相加，再根据两角和的正弦公式可求出结果.【详解】由sin cos αβ+=225sin cos 2sin cos 4αβαβ++⋅=由cos sin αβ+=227cos sin 2cos sin 4αβαβ++⋅=两式相加得22(sin cos cos sin )3αβαβ++=，得1sin()2αβ+=.故选：A 4．B【分析】利用积化和差公式()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ⎡⎤=++-⎣⎦化简即可. 【详解】解：原式1sin sin()22παβαβ⎡⎤⎛⎫=+++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11cos()sin()22αβαβ=++-. 故选：B .【点睛】本题考查积化和差公式的应用，属于基础题. 5．B【分析】首先根据诱导公式以及同角三角函数的基本关系求得tan α=再根据二倍角公式以及“1”的代换求得cos2α.【详解】由诱导公式化简原式，得cos 2αα-=，故tan α=所以22222222cos sin 1tan 1cos 2cos sin sin cos tan 13ααααααααα--=-===-++. 故选:B ． 6．D【详解】试题分析：原式3cos80cos130sin 80sin130cos(80130)cos(18030)2=-=+=+=-． 考点：三角恒等变换． 7．B【解析】先根据二倍角余弦公式求cos α，解得cos2α，最后根据两角差余弦公式得结果.【详解】2125cos2cos 10cos cos 30cos 2ααααα+=∴--=∴=-或35因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3cos 5α=22443247sin ,sin 22,cos 2cos sin 5552525ααααα∴==⨯⨯==-=-,42ππα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()()43cos 2,2(2,3)sin 255αβαβππαβ+=+∈∴+=cos cos(22)cos(2)cos 2sin(2)sin 2βαβααβααβα∴=+-=+++4732444525525125=-⨯+⨯=故选：B【点睛】本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 8．C【分析】利用诱导公式化简变形可得结果【详解】解：因为π2cos()33α+=所以π2sin()sin cos cos 662633ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=---=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 故选：C 9．A【分析】从特殊的函数(0)f 为最大值排除两个选项，再由余弦函数性质确定函数值的正负排除一个选项后得正确结论．【详解】因为(0)f 为最大值，排除BD ；又因为cos(sin )0x >，排除C ． 故选：A ． 10．631【分析】由[]22log [log ]n a n n n n =+=+，分析n 的不同取值对应的2[log ]n 的取值情况，分组求和即得解 【详解】由题意[]22log [log ]n a n n n n =+=+ 当1n =时，则2[log ]0n =； 当2,3n =时，则2[log ]1n =； 当4,5,6,7n =时，则2[log ]2n =； 当8,9,10,...,15n =时，则2[log ]3n =； 当16,17,18,...,31n =时，则2[log ]4n =； 当32n =时，则2[log ]5n =； 故{}n a 的前32项和为：3212...32102142831645S =++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+(132)321035281036312+⨯=+=+= 故答案为：631 11．-7【详解】22221tan 131cos 232tan 31tan cos sin(2)sin 21021021tan 10αααααπααα-+++++=∴-=∴-=∴+ tan 7,tan 1αα=-= （舍）．12．13-【分析】先由cos()1αβ+=-，得sin()0αβ+=，再由sin(2)sin()sin cos()+cos sin()αβααβααβααβ+=++=⋅+⋅+即可求出结果.【详解】因cos()1αβ+=-，得sin()0αβ+=所以1sin(2)sin()sin cos()+cos sin()3αβααβααβααβ+=++=⋅+⋅+=-.【点睛】本题主要考查三角函数的两角和差化积公式，熟记公式即可，属于常考题型. 13．-2【分析】利用同角的三角函数中的平方和关系求出cos α，再利用同角的三角函数关系中的商关系求出tan α即可.【详解】2sin sin cos tan 22cos παααπααα=<<∴===-. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系中的平方和关系和商关系，考查了角的余弦值的正负性的判断，考查了数学运算能力. 14．5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据题意转化为22341()cos ()sin 432x x θθ+≥在0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，利用基本不等式求得2234()cos ()sin sin 243x x θθθ+≥，得到1sin 22θ≥，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由()()2213cos 4sin 122x x x θθ+≥⋅，即()()2213cos 4sin 324x xx x θθ+≥⋅⋅即22341()cos ()sin 432x x θθ+≥在0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立又由2234()cos ()sin 2sin cos sin 243x x θθθθθ+≥=所以1sin 22θ≥又因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()20,θπ∈，所以5266ππθ≤≤，解得51212ππθ≤≤即θ的取值范围是5[,]1212ππ.故答案为：5[,]1212ππ.15．(1)tan 1x =(2)9【分析】（1）根据同角三角函数的关系、两角和正弦公式、诱导公式化简即可求解； （2）根据角的变换及两角差的正弦公式，二倍角的余弦公式计算即可求解. (1) ()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即有sin cos x x =，所以tan 1x =． (2)由()43f παα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭∵,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭∴,444πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭∴cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴4sin sin 446ππαα⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故22cos 212sin 12αα=-=-⨯=⎝⎭16．（1；（2. 【分析】(1)由正弦定理求出cos C ，进而求得sin C 、sin A 及cos A ，再利用和角公式即可得解；(2)由(1)结合余弦定理求得a ，进而求得cos C 及sin C 即可得解. 【详解】（1）ABC 中由正弦定理可得sin sin 22cos sin sin a A CC c C C===所以cos C =，sin C =和sin 2sin cos A C C ==221cos cos sin 3A C C =-=-所以cos cos()B A C =-+cos cos sin sin A C A C =-+13= （2）由（1）可知2cos aC c=，所以2cos 6cos a c C C ==由余弦定理可知222cos 2a b c C ab +-=282a a -=，于是2862a a a a -=⋅⇒=则cos C =，sin C =所以sin 2sin cos A C C =2==17．(1)π ππ,0,Z 212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由三角恒等变换可得正弦型三角函数，据此求周期、对称中心即可； （2）利用整体代换法求正弦函数的值域即可. (1)1()2co πs 2cos 2sin 226f x x x x x ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭ 所以函数的最小正周期为2ππ2= ()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令π2π6x k -=解得ππ212k x =+ ∴()f x 的对称中心是ππ,0,Z 212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(2)令π26t x =-由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2,666t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦则1()12f x ≤-≤所以()y f x =的值域是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18．（1）3B π=；（2）【分析】（1）根据()sin sin cos cos 2cos a A B c A a A b B +=+，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数化简为2sin cos sin B B B =求解；（2）利用余弦定理得到()2312a c ac +-=，然后由6AB CB ⋅=求得ac 代入即可. 【详解】（1）因为 ()sin sin cos cos 2cos a A B c A a A b B +=+ 所以()sin sin cos cos cos 2cos a A B A B c A b B -+= 所以cos()cos 2cos a A B c A b B -++= 所以cos cos 2cos a C c A b B +=由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B += 整理得()sin 2sin cos sin A C B B B +== 因为在ABC 中所以sin 0B ≠，则2cos 1B = 所以3B π=（2）由余弦定理得 2222cos b a c ac B =+-即()2312a c ac +-=因为1cos 62AB CB BA BC ac B ac ⋅=⋅=== 所以12ac = 所以()23612a c +-=解得a c +=所以ABC 的周长是【点睛】方法点睛：在解有关三角形的题目时，则要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则则要考虑两个定理都有可能用到． 19．(1)πT = πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈；(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合降幂公式、辅助角公式、二倍角公式、正弦型函数的最小正周期公式以及单调性进行求解即可；（2）利用换元法，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可. (1)由211()3sin cos cos 22f x a b x x x =⋅+=+-1π2cos 2sin 226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 故函数()f x 的最小正周期πT = 当πππ2π22π(Z)262k x k k -≤+≤+∈时，则函数单调递增 解得ππππ36k x k -+≤≤+ Z k ∈函数的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈；(2)π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦令π26t x =+，则sin y t =，π5π,66t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以当π6t =-即π6x =-时，则min 1()2 f x =-当π2t =即π6x =时，则min ()1 f x =故函数()f x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.20．352425-【分析】根据正余弦恒等式求出cos α，再利用二倍角的正弦公式求出sin 2α. 【详解】因为4sin 5α，且α是第二象限角所以3cos 5α==-4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：352425-。
高等数学：第5章定积分(自测题答案)
《高等数学》单元自测题答案 第五章 定积分及其应用一、填空题： 1、0； 2、≤； 3、65； 4、)sin(362x x ； 5、2+e ． 二、选择题：1、D ； 2 、C ； 3、B ； 4、C ； 5、D 。
三、计算题：1、解 令t x sin 2=，则tdt dx cos 2=，且 当0=x 时，0=t ；当2=x 时，2π=t 。
所以，⎰⎰⋅-=-20232023cos 2sin 44sin 84πtdt t t dx x x⎰⎰⋅-=⋅⋅=2022203cos cos )1(cos 32cos 2cos 2sin 8ππttd t tdt t t1564)cos 31cos 51(322035=-=πt t 。
2、解⎰⎰⎰⎰+=+=+---20322322223cos 20cos )cos (πππππππxdx xdx xdx dx x x34)sin 31(sin 2sin )sin 1(2203202=-=-=⎰ππt x x d x 。
3、解⎰⎰⎰--=-⋅=210221021021112arcsin )arcsin (arcsin dx xx x xd x x xdx π123121221121)1(211221022122-+=-⋅+=--+=⎰πππxx x d 。
4、解31)11lim (31)131(31314=--=⋅-=+∞→+∞∞+⎰xx x dx x 。
5、解 2)arcsin(ln )(ln 1ln )(ln 111212π==-=-⎰⎰ee e x x x d x x dx 。
四、应用题：1、已知函数)(x f 在 12=x 的某邻域内可导，且0)(lim 12=→x f x ，1004)(lim 12='→x f x ，求3121212)12(])([limx dtdu u tf x tx -⎰⎰→。
解 []2121231212123121212)12(3)(lim )12(])([lim )12(])([lim x du u xf x dt du u tf x dt du u tf x x xt x xt x --='-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⎰⎰⎰⎰⎰→→→ [])12(6)]([)(lim )12(3)(lim 121221212x x f x du u f x du u f x x x x x --+='--'⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰→→ 20086)()(2lim 6)]()([)(lim 1212='+=-'+--=→→x f x x f x f x x f x f x x 。
高等数学课后习题及参考答案(第五章)
高等数学课后习题及参考答案（第五章）习题5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积.解 第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点i nab a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i nab a x i i -+==ξ, 作和 nab i n a b a x f S ni i i ni n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i na b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[ ]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-= ]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=n n n a b n n a b a a a b . 第三步: 令λ=max{∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }nab -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==ni i i ba x f dx x f S 10)(lim )(ξλ]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b n a b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.2. 利用定积分定义计算下列积分:(1)xdx ba ⎰(a <b ); (2)dx e x ⎰10.解 (1)取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i nab a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是 ∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n ni i i n ba nab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ )(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→. (2)取分点为n i x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nx i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点nix i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n n n n i n i n xe e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nnn n nn n n n .3. 利用定积分的几何意义 说明下列等式: (1)1210=⎰xdx ; (2)41102π=-⎰dx x ;(3)⎰-=ππ0sin xdx ;(4)⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .解 (1)⎰102xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1.(2)⎰-1021dx x 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的41:41411212ππ=⋅⋅=-⎰dx x .(3)由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即⎰-=ππ0sin xdx .(4)⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2,2[ππ-一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9⋅8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .解 建立坐标系如图. 用分点i nHx i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为nHx i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆P i =9.8x i l ⋅∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim 8.9lim 8.98.9lim H L nn n H L n Hi n H L x L x P n ni n ni i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑.将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛).5. 证明定积分性质: (1)⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()(; (2)a b dx dx ba b a -==⋅⎰⎰1.证明 (1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξλλ.(2)a b a b x x dx ni i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010λλλ.6. 估计下列各积分的值: (1)⎰+412)1(dx x ; (2)⎰+ππ4542)sin 1(dx x ;(3)⎰331arctan xdx x ;(4)⎰-022dx e xx.解 (1)因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅≤+≤-⋅⎰dx x , 即 51)1(6412≤+≤⎰dx x . (2)因为当ππ454≤≤x 时, 1≤1+sin 2x ≤2, 所以 )445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,即 ππππ2)sin 1(4542≤+≤⎰dx x .(3)先求函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m .21arctan )(xx x x f ++='. 因为当331≤≤x 时, f '(x )>0, 所以函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上单调增加. 于是3631arctan31)31(π===f m , 33arctan 3)3(π===f M .因此)313(3arctan )313(36331-≤≤-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ≤≤⎰xdx x . (4)先求函数xx e x f -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m .)12()(2-='-x e x f xx , 驻点为21=x .比较f (0)=1, f (2)=e 2,41)21(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(220412-⋅≤≤-⎰--e dx e e xx,即 41022222---≤≤-⎰e dx dx e e xx .7. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明:(1)若在[a , b ]上 f (x )≥0, 且0)(=⎰ba dx x f , 则在[a ,b ]上f (x )≡0; (2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且f (x )≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ;(3)若在[a , b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=b a ba dx x g dx x f )()(, 则在[ab ]上f (x )≡g (x ).证明 (1)假如f (x )≢0, 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-≥≥++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a . 这与条件0)(=⎰ba dx x f 相矛盾. 因此在[a ,b ]上f (x )≡0.(2)证法一 因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-≥≥badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0. 证法二 因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰ba dx x f . 假如0)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰ba dx x f , 根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a ,b ]上F (x )≥0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a dx x f dx x g dx x f x g dx x F ,由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？(2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？ (3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？ (4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dx x ？ (5)⎰10dx e x 还是⎰+10)1(dx x ？解 (1)因为当0≤x ≤1时, x 2≥x 3, 所以⎰⎰≥103102dx x dx x . 又当0<x <1时, x 2>x 3, 所以⎰⎰>103102dx x dx x . (2)因为当1≤x ≤2时, x 2≤x 3, 所以⎰⎰≤213212dx x dx x . 又因为当1<x ≤2时, x 2<x 3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x .(3)因为当1≤x ≤2时, 0≤ln x <1, ln x ≥(ln x )2, 所以⎰⎰≥21221)(ln ln dx x xdx . 又因为当1<x ≤2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x )2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0≤x ≤1时, x ≥ln(1+x ), 所以⎰⎰+≥1010)1ln(dx x xdx . 又因为当0<x ≤1时, x >ln(1+x ), 所以⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx .(5)设f (x )=e x -1-x , 则当0≤x ≤1时f '(x ) =e x -1>0, f (x )=e x -1-x 是单调增加的. 因此当0≤x ≤1时, f (x )≥f (0)=0, 即e x ≥1+x , 所以⎰⎰+≥1010)1(dx x dx e x .又因为当0<x ≤1时, e x >1+x , 所以⎰⎰+>1010)1(dx x dx e x .习题5-21. 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.解 x tdt dx dy x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0;当4π=x 时, 224sin =='πy .2. 求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x的导数.解 x '(t )=sin t , y '(t )=cos t ,t t x t y dx dy cos )()(=''=. 3. 求由⎰⎰=+xy ttdt dt e 00cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy. 解 方程两对x 求导得 0cos =+'x y e y , 于是ye x dx dy cos -=. 4. 当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？解 2)(x xe x I -=', 令I '(x )=0, 得x =0.因为当x <0时, I '(x )<0; 当x >0时, I '(x )>0, 所以x =0是函数I (x )的极小值点. 5. 计算下列各导数:(1)⎰+2021x dt t dx d ; (2)⎰+32411x x dt tdx d ; (3)⎰x x dtt dxd cos sin 2)cos(π.解 (1)dxdu dt t du d u x dt t dx d u x ⋅+=+⎰⎰02202112令 421221x x x u +=⋅+=.(2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx x x +++-=. (3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ )cos cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x πππ-⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅+⋅-= )sin cos()cos (sin 2x x x π-=.6. 计算下列各定积分: (1)⎰+-adx x x 02)13(;解a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(.(2)⎰+2142)1(dx xx ;解852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . (3)⎰+94)1(dx x x ;解94223942194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰6145)421432()921932(223223=+-+=.(4)⎰+33121x dx ; 解 66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx . (5)⎰--212121x dx ; 解3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .(6)⎰+ax a dx 3022;解aa a ax a x a dx a a30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰.(7)⎰-1024x dx ;解60arcsin 21arcsin 2arcsin 41012π=-==-⎰x x dx .(8)dx x x x ⎰-+++012241133; 解 01301221224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=.(9)⎰---+211e xdx ; 解1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e .(10)⎰402tan πθθd ;解4144tan )(tan )1(sec tan 4040242πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .(11)dx x ⎰π20|sin |;解⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx xπππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. (12)⎰2)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1 2111)(2x x x x x f . 解38|)61(|)21(21)1()(213102212102=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ;(2)⎰-=ππ0sin kxdx ;(3)⎰-=πππkxdx 2cos ;(4)⎰-=πππkxdx 2sin .证明 (1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k kk k x k k kxdxcos 1cos 1=+-=ππk kk k(3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ;(2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ;(3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .证明 (1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k .(2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k .(3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin . 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k .9. 求下列极限: (1)xdt t xx ⎰→020cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.解 (1)11cos lim cos lim20020==→→⎰x xdt t x xx . (2)22222200022)(2lim)(limx xt x t x xt xt x xedt e dt e dttedt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→222220202lim2limx xt x x x xt x xedte xeedt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→x e x e e x x x x x . 10. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式,并讨论ϕ(x )在(0, 2)内的连续性.解 当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ;当1<x ≤2时, 6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xxϕ.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ.因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ,316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ,所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.11. 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.解 当x <0时,00)()(0===⎰⎰xxdt dt t f x ϕ;当0≤x ≤π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xxxϕ;当x >π时,πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x x x-=+==⎰⎰⎰10cos 21cos 21=+-=π.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.12. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0,⎰-=x a dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明 根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ.于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰ ))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f ax --=.由 f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内)]()([1)(≤--='ξf x f a x x F .习题5-31. 计算下列定积分:(1)⎰+πππ2)3sin(dx x ;解 0212132cos 34cos)3cos()3sin(22=-=+-=+-=+⎰ππππππππx dx x . (2)⎰-+123)511(x dx;解51251110116101)511(2151)511(22122123=⋅+⋅-=+-⋅=+-----⎰x x dx. (3)⎰203cos sin πϕϕϕd ;解⎰⎰-=20323sin cos cos sin ππϕϕϕϕϕd s d410cos 412cos 41cos 4144204=+-=-=πϕπ.(4)⎰-πθθ03)sin 1(d ; 解⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ.(5)⎰262cos ππudu ;解2626262622sin 4121)2cos 1(21cos ππππππππu u du u udu +=+=⎰⎰836)3sin (sin 41)62(21-=-+-=πππππ.(6)dx x ⎰-2022;解dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-202022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令2)2sin 21(20ππ=+=t t .(7)dy y ⎰--22228;解⎰⎰⎰---⋅=-=-44222222cos 2cos 22sin 24228ππxdx x xy dy y dy y 令)2(2)2sin 21(22)2cos 1(224444+=+=+=--⎰πππππy x dx x .(8)⎰-121221dx xx ;解41)cot ()1sin 1(cos sin cos sin 12424224212122πππππππ-=--=-=⋅=-⎰⎰⎰t t dt t tdt t t t x dx x x 令.(9)⎰-adx x a x 0222; 解⎰⎰⎰=⋅⋅=-2024202202222sin4cos cos sin sin ππtdt a tdt a t a t a t a x dx x a xa令164sin 328)4cos 1(84204204204ππππa t a t a dt t a =-=-=⎰. (10)⎰+31221xxdx ;解⎰⎰⋅⋅=+34223122secsec tan 1tan 1ππtdt t t tx xxdx 令3322sin 1sin cos 34342-=-==⎰ππππt dt tt. (11)⎰--1145xxdx ;解61)315(81)5(81454513133211=--=-=--⎰⎰-u u du u u x x xdx 令. (12)⎰+411xdx ;解)32ln 1(2|)1|ln (2)111(2211121212141+=+-=+-=⋅+=+⎰⎰⎰u u du u udu u u x x dx 令.(13)⎰--14311x dx ;解2ln 21|)1|ln (2)111(2)2(11111210210021143-=-+=-+=-⋅-=---⎰⎰⎰u u du u du u u ux x dx 令.(14)⎰-axa xdx 20223;解)13(3)3(3121320202222222022-=--=---=-⎰⎰a x a x a d x a xa xdx a a a.(15)dt te t ⎰-1022;解2110102221021)2(222-----=-=--=⎰⎰e etd e dt tet t t .(16)⎰+21ln 1e x x dx; 解)13(2ln 12ln ln 11ln 1222111-=+=+=+⎰⎰e e e xx d xxx dx .(17)⎰-++02222x x dx;解 2)1arctan(1arctan )1arctan()1(112202022022π=--=+=++=++---⎰⎰x dx x x x dx .(18)⎰-222cos cos ππxdx x ;解32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 22322222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x . (19)⎰--223cos cos ππdx x x ;解⎰⎰---=-222223cos 1cos cos cos ππππdx x x dx x x34cos 32cos 32sin cos )sin (cos 20230223202=-=+-=--⎰⎰ππππx xxdx x dx x x (20)⎰+π02cos 1dx x .解22cos 2sin 22cos 1000=-==+⎰⎰πππxxdx dx x .2. 利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)⎰-ππxdx x sin 4;解 因为x 4sin x 在区间[-π, π]上是奇函数, 所以0sin 4=⎰-ππxdx x . (2)⎰-224cos 4ππθθd ;解⎰⎰⎰+==-202204224)22cos 1(8cos 42cos 4ππππθθθθθd x d d ⎰⎰++=++=20202)4cos 212cos 223(2)2cos 2cos 21(2ππθθd x x d x x23)4sin 412sin 23(20πθπ=++=x x . (3)⎰--2121221)(arcsin dx xx ;解⎰⎰⎰=-=--21221022212122)(arcsin )(arcsin 21)(arcsin 21)(arcsin x d x dx xx dx xx324)(arcsin 3232103π==x .(4)⎰-++55242312sin dx x x xx . 解 因为函数12sin 2423++x x x x 是奇函数, 所以012sin 552423=++⎰-dx x x x x .3. 证明:⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ, 其中ϕ(u )为连续函数.证明 因为被积函数ϕ(x 2)是x 的偶函数, 且积分区间[-a , a ]关于原点对称, 所以有⎰⎰-=aa adx x dx x022)(2)(ϕϕ.4. 设f (x )在[-b , b ]上连续, 证明⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(. 证明 令x =-t , 则dx =-dt , 当x =-b 时t =b , 当x =b 时t =-b , 于是⎰⎰⎰----=--=b b bb bbdt t f dt t f dx x f )()1)(()(,而 ⎰⎰---=-bb bb dx x f dt t f )()(, 所以⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(.5. 设f (x )在[a , b ]上连续., 证明⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(. 证明 令x =a +b -t , 则dx =d t , 当x =a 时t =b , 当x =b 时t =a , 于是 ⎰⎰⎰-+=--+=b a ba ab dt t b a f dt t b a f dx x f )()1)(()(, 而 ⎰⎰-+=-+ba badx x b a f dt t b a f )()(,所以⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(.6. 证明:⎰⎰>+=+11122)0(11x x x x dxx dx. 证明 令t x 1=, 则dt tdx 21-=, 当x =x 时x t 1=, 当x =1时t =1, 于是⎰⎰⎰+=-⋅+=+11121122211)1(1111xx xdt t dt t tx dx , 而 ⎰⎰+=+x x dx x dt t 1121121111,所以 ⎰⎰+=+1112211x xxdx x dx.7. 证明:⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x xm n n m.证明 令1-x =t , 则⎰⎰⎰⎰-=-=--=-10100110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n n m n m n m , 即⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m . 8. 证明: ⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.证明 ⎰⎰⎰+=ππππ2020sin sin sin xdx xdx xdx nn n,而⎰⎰⎰⎰==---=2020202sin sin ))((sin sinπππππππxdx tdt dt t t x xdx n n nn 令,所以⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.9. 设f (x )是以l 为周期的连续函数, 证明⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关.证明 已知f (x +l )=f (x ). ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=+++ala ll la ll a a adx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 00001)()()()()()()(,而 ⎰⎰⎰⎰=+=++=+a a ala ldx x f dx l x f dt l t f l t x dx x f 000)()()()(令,所以 ⎰⎰=+la adx x f dx x f 01)()(.因此⎰+1)(a adx x f 的值与a 无关.10. 若f (t )是连续函数且为奇函数, 证明⎰xdt t f 0)(是偶函数; 若f (t )是连续函数且为偶函数, 证明⎰xdt t f 0)(是奇函数. 证明 设⎰=xdt t f x F 0)()(.若f (t )是连续函数且为奇函数, 则f (-t )=-f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x xx ===---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是偶函数.若f (t )是连续函数且为偶函数, 则f (-t )=f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x x x -=-=-=---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是奇函数.11. 计算下列定积分: (1)⎰-10dx xe x ; 解11011010101021--------=--=+-=-=⎰⎰⎰e e e dx e xe xde dx xe xx x x x .(2)⎰e xdx x 1ln ; 解)1(414121121ln 21ln 21ln 21220212121+=-=⋅-==⎰⎰⎰e x e dx x x x x xdx xdx x ee e e e.(3)⎰ωπω20sin tdt t (ω为常数); 解⎰⎰⎰+-=-=ωπωπωπωπωωωωωωω20202020cos 1cos 1cos 1sin tdt tt t td tdt t 220222sin 12ωπωωωπωπ-=+-=t.(4)⎰342sin ππdx xx;解34343434342sin ln 4313cot cot cot sin ππππππππππππxxdx xx x xd dx x x++⋅-=+-=-=⎰⎰⎰23ln 21)9341(+-=π.(5)⎰41ln dx x x; 解 ⎰⎰⎰⋅-==4141414112ln 2ln 2ln dx xx x x x xd dx xx )12ln 2(442ln 8122ln 84141-=-=-=⎰x dx x.(6)⎰10arctan xdx x ;解x d x x x x xdx xdx x ⎰⎰⎰+⋅-==1022102102101121arctan 21arctan 21arctan214)41(218)arctan (218)111(21810102-=--=--=+--=⎰πππππx x x d x. (7)⎰202cos πxdx e x ; 解⎰⎰⎰-==202202202202sin 2sin sin cos ππππxdx e xe x d e xdx e x x x x⎰⎰⎰-+=-+=+=202202202202cos 42cos 4cos 2cos 2πππππππxdx e e xdx e xe e x d e e x x xx所以)2(51cos 202-=⎰ππe xdx e x ,于是(8)⎰212log xdx x ; 解⎰⎰⎰⋅-==212212221222122ln 121log 21log 21log dx x x x x xdx xdx x2ln 432212ln 212212-=⋅-=x . (9)⎰π02)sin (dx x x ; 解⎰⎰⎰-=-=ππππ02302022sin 4161)2cos 1(21)sin (x d x x dx x x dx x x πππππππ03000332cos 41622sin 412sin 416⎰⎰-=⋅+-=xxd xdx x xx 462sin 81462cos 412cos 416303003ππππππππ-=+-=+-=⎰x xdx x x .(10)⎰edx x 1)sin(ln ; 解法一 ⎰⎰⋅=101sin ln )sin(ln dt e t tx dxx te令.因为⎰⎰⎰-==⋅10101010cos sin sin sin tdt e te tde dt e t t tt t⎰⎰--⋅=-⋅=101010sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t t t⎰-+⋅-⋅=10sin 11cos 1sin tdt e e e t , 所以 )11cos 1sin (21sin 10+⋅-⋅=⎰e e tdt e t .因此)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e. 解法二⎰⎰⎰-⋅=⋅⋅-⋅=e e eedx x e dx x x x x x dx x 1111)cos(ln 1sin 1)cos(ln )sin(ln )sin(ln ⎰⋅⋅-⋅-⋅=e edx x x x x x e 111)sin(ln )cos(ln 1sin ⎰-+⋅-⋅=edx x e e 0)sin(ln 11cos 1sin , 故)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e . (11)dx x e e⎰1|ln |; 解⎰⎰⎰⎰⎰-++-=+-=eee eee e e dx dx xx x x dx x dx x dx x 1111111111ln ln ln ln |ln |)11(2)1()11(1ee e e e -=---++-=.(12)⎰-1022)1(dx xm (m 为自然数); 解⎰⎰+=-2011022cos sin )1(πtdt t x dx xm m 令.根据递推公式⎰⎰--=20220cos 1cos ππxdx n n xdx n n ,⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=-⎰为偶数为奇数m m m m m m m m m m m m m m dx x m325476 34121 2214365 34121)1(1022π. (13)⎰=π0sin xdx x J m m (m 为自然数). 解 因为⎰⎰⎰⎰-=----=ππππππππ0000sin sin )1)((sin )(sin tdt t tdt dt t t t x xdx x mm m m 令,所以 ⎰⎰⎰⎰=⋅===20200sin sin 22sin 2sin πππππππxdx xdx xdx xdx x J m m mmm (用第8题结果).根据递推公式⎰⎰--=20220sin 1sin ππxdx n n xdx n n , ⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=为奇数为偶数m m m m m m m m m m m m m m J m 325476 45231 2214365 452312ππ.习题5-71. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值:(1)⎰+∞14xdx; 解 因为3131)31(lim 3131314=+-=-=-+∞→+∞-+∞⎰x x x dx x , 所以反常积分⎰+∞14x dx收敛, 且3114=⎰∞+x dx . (2)⎰+∞1xdx ;解 因为+∞=-==+∞→+∞∞+⎰22lim 211x xxdx x , 所以反常积分⎰+∞1xdx 发散.(3)dx e ax ⎰+∞-0(a >0); 解 因为aa e a e adx e ax x ax ax 11)1(lim 100=+-=-=-+∞→+∞-+∞-⎰, 所以反常积分dx e ax ⎰+∞-0收敛, 且adx e ax 10=⎰+∞-.(4)⎰+∞-0ch tdt e pt (p >1); 解 因为1]1111[21][21ch 2)1()1(0)1()1(0-=+--=+=+∞+--∞++--∞+-⎰⎰p p e pe p dt e e tdt e tp t p t p tp pt ,所以反常积分⎰+∞-0ch tdt e pt 收敛, 且1ch 20-=⎰∞+-p p tdt e pt .(5)⎰+∞-0sin tdt e pt ω(p >0, ω>0); 解⎰⎰+∞-+∞--=0cos 1sin t d e tdt e pt pt ωωω⎰⎰+∞-+∞-+∞--=-⋅+-=020sin 1)(cos 1cos 1t d e pdt pe t te pt pt pt ωωωωωωω⎰+∞-+∞--⋅+-=0202)(sin sin 1dt pe t pte p ptpt ωωωωω⎰+∞--=022sin 1tdt e p pt ωωω,所以 22sin w p tdt e pt +=⎰+∞-ωω.(6)⎰+∞∞-++222x x dx;解 πππ=--=+=++=++⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-)2(2)1arctan()1(12222x x dxx x dx .(7)dx xx ⎰-121;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.11)1(lim 112110212=+--=--=--→⎰x x dx x x x . (8)⎰-22)1(x dx;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点. 因为⎰⎰⎰-+-=-212102202)1()1()1(x dxx dx x dx , 而 +∞=--=-=--→⎰111lim 11)1(110102xx x dx x ,所以反常积分⎰-202)1(x dx发散. (9)⎰-211x xdx ;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.21232121]12)1(32[)111(1-+-=-+-=-⎰⎰x x dx x x x xdx322]12)1(32[lim 38231=-+--=+→x x x . (10)⎰-ex x dx 12)(ln 1.解 这是无界函数的反常积分, x =e 是被积函数的瑕点.2)arcsin(ln lim )arcsin(ln ln )(ln 11)(ln 111212π===-=--→⎰⎰x x x d x x x dx ex e ee.2. 当k 为何值时, 反常积分⎰+∞)(ln kx x dx收敛? 当k 为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?解 当k <1时, +∞=-==+∞+-+∞+∞⎰⎰2122)(ln 11ln )(ln 1)(ln k k k x k x d x x x dx ;当k =1时, +∞===+∞+∞+∞⎰⎰222)ln(ln ln ln 1)(ln x x d x x x dxk ; 当k >1时,k k kkk x kx d x x x dx -+∞+-+∞+∞-=-==⎰⎰12122)2(ln 11)(ln 11ln )(ln 1)(ln . 因此当k >1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx 收敛; 当k ≤1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx发散. 当k >1时, 令k kk x x dx k f -∞+-==⎰10)2(ln 11)(ln )(, 则 )2ln ln 11()1(2ln ln )2(ln 2ln ln )2(ln 11)2(ln )1(1)(21112+---=----='---k k k k k f k kk. 令f '(k )=0得唯一驻点2ln ln 11-=k . 因为当2ln ln 111-<<k 时f '(k )<0, 当2ln ln 11->k 时f '(k )>0, 所以2ln ln 11-=k 为极小值点,同时也是最小值点, 即当2ln ln 11-=k 时, 这反常积分取得最小值 3. 利用递推公式计算反常积分⎰+∞-=0dx e x I x n n . 解 因为101000-+∞--+∞-+∞-+∞-=+-=-==⎰⎰⎰n x n x n x n x n n nI dx e x n e x de x dx e x I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1. 又因为 1000001=-=+-=-==+∞-+∞-+∞-+∞-+∞-⎰⎰⎰xx xx x e dx e xe xde dx xe I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1=n !.总习题五1. 填空:(1)函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的______条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积______的条件;解 函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的___必要___条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积___充分___的条件;(2)对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的______条件;解 对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的___充分___条件;(3)绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定______; 解 绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定___收敛___;(4)函数f (x )在[a , b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰ba dx x f )(______存在. 解 函数f (x )在[a ,b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰b a dx x f )(___不一定___存在.2. 计算下列极限:(1)∑=∞→+n i n nin 111lim ;解 )122(32)1(32111lim 103101-=+=+=+⎰∑=∞→x dx x n i n n i n . (2)121lim+∞→+⋅⋅⋅++p pp p n nn (p >0);解 11111])( )2()1[(lim 21lim 101101+=+==⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++∞→+∞→⎰p x p dx x n n n n n n n p p p p p n p p p p n . (3)nn nn !lnlim ∞→; 解 ]ln 1)ln 2ln 1(ln 1[lim !lnlim n n nn n n n n nn ⋅-+⋅⋅⋅++=∞→∞→nn n n n n 1)]ln (ln )ln 2(ln )ln 1[(ln lim ⋅-+⋅⋅⋅+-+-=∞→⎰=⋅+⋅⋅⋅++=∞→10ln 1)ln 2ln 1(ln lim xdx n n n n n n1)ln ()ln (10101010-=-=-=⎰xx x dx x x .(4)⎰-→xaa x dt t f a x x )(lim, 其中f (x )连续; 解法一 )()(lim )(lima af xf dt t f ax x axa ax ==-→→⎰ξξ (用的是积分中值定理). 解法二 )(1)()(lim )(lim )(lim a af x xf dt t f a x dt t f x dt t f a x x xaa x xa a x x a a x =+=-=-⎰⎰⎰→→→ (用的是洛必达法则). (5)1)(arctan lim 22+⎰+∞→x dtt xx .解4)(arctan 1lim 1)(arctan lim 1)(arctan lim 22222202π=+=+=+∞→+∞→+∞→⎰x x x x x x x dtt x x xx . 3. 下列计算是否正确, 试说明理由:(1)⎰⎰----=-=+-=+111111222)1arctan ()1(1)1(1πx xx d x dx ;解 计算不正确, 因为x 1在[-1, 1]上不连续. (2)因为⎰⎰--++-=++111122111t t dt tx x x dx , 所以⎰-=++11201x x dx .解 计算不正确, 因为t1在[-1, 1]上不连续.(3)01lim 122=+=+⎰⎰-∞→+∞∞-A A A dx x xdx x x . 解 不正确, 因为⎰⎰⎰⎰-+∞→+∞→+∞∞--∞→+≠+++=+A A A b b a a dx xxdx x x dx x x dx x x 2020221lim 1lim 1lim 1. 4. 设p >0, 证明⎰<+<+10111p x dx p p. 证明 p pp p p p px x x x x x x ->+-=+-+=+>11111111. 因为⎰⎰⎰<+<-1010101)1(dx x dxdx x pp,而 110=⎰dx , pp p x x dx x p p+=+-=-+⎰1)1()1(10110, 所以⎰<+<+10111pxdx p p. 5. 设f (x )、g (x )在区间[a , b ]上均连续, 证明: (1)⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222;证明 因为[f (x )-λg (x )]2≥0, 所以λ2g 2(x )-2λ f (x )g (x )+f 2(x )≥0, 从而 0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰ba ba ba dx x f dx x g x f dx x g λλ.上式的左端可视为关于λ的二次三项式, 因为此二次三项式大于等于0, 所以其判别式小于等于0, 即0)()(4])()([4222≤⋅-⎰⎰⎰ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f ,亦即 ⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222. (2)()()()212212212)()()]()([⎰⎰⎰+≤+b ab a b a dx x g dx x f dx x g x f , 证明⎰⎰⎰⎰++=+ba ba ba ba dx x g x f dx x g dx x f dx x g x f )()(2)()()]()([222。
高等数学第五章习题附答案
利用定积分定义计算由抛物线y=x 2 , 两直线x =a,x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积. 题型：计算题答案：第一步: 在区间[a,b ]内插入n -1个分点i nab a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a, b]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[xi -1, xi] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i n a b a x i i -+==ξ, 作和 n ab i n a b a x f S n i i i n i n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i n a b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[ ]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-=]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=nn n a b n n a b a a a b . 第三步: 令l =max {∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }nab -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==n i i i b a x f dx x f S 10)(lim )(ξl]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b na b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.分数：10所属所属知识点：定积分的计算 难度：7利用定积分定义计算下列积分: (1)xdx ba ⎰(a <b);题型：计算题 答案：取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i nab a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是 ∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n n i i i n ba nab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ)(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→. 分数：10所属所属知识点：定积分的计算 难度：6利用定积分定义计算下列积分: dx e x ⎰10. 题型：计算题答案：取分点为ni x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nx i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点ni x i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n n n n i n i n xe e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nnn n nn n n n .分数：10所属所属知识点：定积分的计算 难度：6利用定积分的几何意义 说明下列等式 1210=⎰xdx ;题型：证明题答案：⎰102xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1. 分数：12所属所属知识点：定积分的计算 难度：5利用定积分的几何意义 说明下列等式41102π=-⎰dx x ;题型：证明题答案：⎰-1021dx x )表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x2+y2=1的面积的41: 414112102ππ=⋅⋅=-⎰dx x .分数：12所属所属知识点：定积分的计算 难度：5利用定积分的几何意义说明下列等式 ⎰-=ππ0sin xdx ;.题型：证明题答案：由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即 ⎰-=ππ0sin xdx . 分数：12难度：5利用定积分的几何意义 说明下列等式 ⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .题型：证明题答案： ⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2,2[ππ-一段所围成的图形的面积.因为cos x 为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即 ⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .分数：12所属所属知识点：定积分的计算 难度：5水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9×8h (kN/m2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P. 题型：计算题答案：建立坐标系如图. 用分点i nHx i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为nHx i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆Pi =9.8x il ×∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim 8.9lim 8.98.9lim H L nn n H L n Hi n H L x L x P n ni n ni i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑.将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛). 分数：10所属所属知识点：定积分的计算 难度：7证明定积分性质 (1)⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(; (2)a b dx dx ba b a -==⋅⎰⎰1. 题型：证明题 答案：(1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i n i i i ba dxx f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξl l (2)a b a b x x dx n i i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010l l l 分数：8难度：5估计下列各积分的值: ⎰+412)1(dx x 1); 题型：计算题答案：因为当1£x £4时, 2£x2+1£17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅£+£-⋅⎰dx x ,即51)1(6412£+£⎰dx x .分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6估计下列各积分的值 ⎰+ππ4542)sin 1(dx x题型：计算题 答案：因为当ππ454££x 时, 1£1+sin2x £2, 所以)445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅£+£-⋅⎰dx x ,即 ππππ2)sin 1(4542£+£⎰dx x .分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6估计下列各积分的值 ⎰331arctan xdx x ;题型：计算题答案：先求函数f(x)=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m.21arctan )(xx x x f ++='. 因为当331££x 时, f '(x)>0, 所以函数f(x)=x arctan x在区间]3 ,31[上单调增加. 于是 3631arctan31)31(π===f m ,33arctan 3)3(π===f M .因此)313(3arctan )313(36331-££-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ££⎰xdx x . 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6估计下列各积分的值 ⎰-022dx e xx .题型：计算题答案：先求函数xxe xf -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m.)12()(2-='-x e x f xx, 驻点为21=x . 比较f(0)=1, f(2)=e 2, 41)21(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(220412-⋅££-⎰--e dx e e x x ,即 41022222---££-⎰e dx dx e e xx .分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6设f(x)及g(x)在[a, b]上连续, 证明: (1)若在[a, b]上f(x)³0, 且0)(=⎰ba dx x f ,则在[a, b]上f(x)º0; (2)若在[a, b]上, f(x)³0, 且f(x)≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ; (3)若在[a, b]上, f(x)£g(x), 且⎰⎰=ba ba dx x g dx x f )()(, 则在[a b]上f(x)ºg(x). 题型：证明题答案：(1)假如f(x)≢0, 则必有f(x)>0. 根据f(x)在[a , b]上的连续性, 在[a , b]上存在一点x0, 使f(x0)>0, 且f(x0)为f(x)在[a , b]上的最大值. 再由连续性,存在[c, d]Ì[a, b], 且x0Î[c, d], 使当x Î[c, d]时,2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-³³++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a .这与条件0)(=⎰badx x f 相矛盾. 因此在[a, b]上f(x)º0. (2)证法一 因为f(x)在[a, b]上连续, 所以在[a, b]上存在一点x0, 使f(x0)>0, 且f(x0)为f(x)在[a, b]上的最大值. 再由连续性, 存在[c, d]Ì[a, b], 且x0Î[c, d], 使当x Î[c, d]时,2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-³³badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0. 证法二 因为f(x)³0, 所以0)(³⎰b a dx x f .假如)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰badx x f ,根据结论(1), f(x)º0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F(x)=g(x)-f(x), 则在[a, b]上F(x)³0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba ba ba ba dx x f dx x g dx x f x g dx x F , 由结论(1), 在[a, b]上F(x)º0, 即f(x)ºg(x).分数：12所属所属知识点：定积分的计算 难度：7根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？ (2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？ (3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？(4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dx x ？(5)⎰10dx e x 还是⎰+10)1(dx x ？ 题型：计算题答案：(1)因为当0£x £1时, x2³x3, 所以⎰⎰³103102dx x dx x . 又当0<x <1时, x2>x3, 所以⎰⎰>103102dx x dx x . (2)因为当1£x £2时, x2£x3, 所以⎰⎰£213212dx x dx x . 又因为当1<x £2时, x2<x3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x . (3)因为当1£x £2时, 0£ln x <1, ln x ³(ln x)2, 所以⎰⎰³21221)(ln ln dx x xdx . 又因为当1<x £2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x)2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0£x £1时, x ³ln(1+x), 所以⎰⎰+³1010)1ln(dx x xdx . 又因为当0<x £1时, x >ln(1+x), 所以⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx . (5)设f(x)=ex -1-x , 则当0£x £1时f '(x) =ex -1>0, f(x)=ex -1-x 是单调增加的. 因此当0£x £1时, f(x)³f(0)=0, 即ex ³1+x , 所以⎰⎰+³1010)1(dx x dx e x .又因为当0<x £1时, ex >1+x , 所以⎰⎰+>1010)1(dx x dx e x .分数：10所属所属知识点：定积分的计算 难度：6 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.题型：计算题答案：x tdt dx d y x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0; 当4π=x 时, 224sin =='πy . 分数：6所属所属知识点：微积分的计算 难度：5求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x 的导数.题型：计算题答案：x '(t)=sin t , y '(t)=cos t , t t x t y dx dy cot )()(=''=. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5 求由⎰⎰=+xyttdt dt e 00cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy . 题型：计算题答案：方程两对x 求导得 0cos =+'x y e y, 于是y ex dx dy cos -=. 分数：6所属所属知识点：微积分的计算 难度：5当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？题型：计算题答案：2)(x xe x I -=', 令I '(x)=0, 得x =0. 因为当x <0时, I '(x)<0; 当x >0时, I '(x)>0, 所以x =0是函数I(x)的极小值点. 分数：6所属所属知识点：微积分的计算 难度：5计算下列各导数: (1)⎰+2021x dt t dx d ; (2)⎰+32411x x dt t dx d ; (3)⎰x xdt t dx d cos sin 2)cos(π.题型：计算题 答案：(1)dxdudt t du d u x dt t dx d u x ⋅+=+⎰⎰02202112令421221x x x u +=⋅+=. (2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d)()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx x x +++-=. (3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ分数：15所属所属知识点：微积分的计算 难度：6⎰+-adx x x 02)13(;题型：计算题 答案：a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰+2142)1(dx x x ; 题型：计算题 答案：852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰+94)1(dx x x ;题型：计算题答案：94223942194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰6145)421432()921932(223223=+-+= 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰+33121x dx ; 题型：计算题答案：66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx .分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：4⎰--212121x dx ; 题型：计算题 答案：3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：4⎰+ax a dx 3022; 题型：计算题 答案：aa a ax a x a dx a a30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰.分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰-124x dx ; 题型：计算题 答案：60arcsin 21arcsin 2arcsin 41012π=-==-⎰x x dx分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5dx x x x ⎰-+++012241133; 题型：计算题 答案：13012201224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=分数：5所属所属知识点：微积分的计算 . 难度：5⎰---+211e xdx ; 题型：计算题 答案：1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e .分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：4⎰42tan πθθd ;题型：计算题 答案：4144tan )(tan )1(sec tan 4040242πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5dx x ⎰π20|sin |;题型：计算题 答案：⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx x πππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰2)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>£+=1 2111)(2x x x x x f . 题型：计算题 答案：38|)61(|)21(21)1()(213102212102=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：6设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ; (2)⎰-=ππ0sin kxdx ;(3)⎰-=πππkxdx 2cos ; (4)⎰-=πππkxdx 2sin .题型：证明题 答案：(1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k k k k x k k kxdxcos 1cos 1=+-=ππk kk k . (3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx .(4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx 分数：20所属所属知识点：微积分的计算设k 及l 为正整数, 且k ¹l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ; (2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ; (3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .题型：证明题 答案：(1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos 0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k . (2)⎰⎰---++=ππππdxx l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k . (3)⎰⎰----+-=ππππdxx l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin .])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k 分数：15所属知识点：微积分的计算 难度：6求下列极限: (1)xdtt xx ⎰→02cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.题型：计算题 答案：(1)11cos lim cos lim20020==→→⎰x xdt t x xx . (2)222222022)(2lim)(limx xt x t x xt x t x xedt e dt e dttedt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→22222202lim2limxxt x x x xt x xe dte xeedt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→x e x e e x x x x x .所属知识点：变上限积分函数 难度：6设⎩⎨⎧ÎÎ=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式, 并讨论(x)在(0, 2)内的连续性.题型：计算题 答案：当0£x £1时,302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ; 当1<x £2时,6121212131)()(221102-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xxϕ. 因此⎪⎩⎪⎨⎧£<-££=21 612110 31)(23x x x x x ϕ. 因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ, 316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ, 所以(x)在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续. 分数：10所属所属知识点：微积分的计算 难度：7设⎪⎩⎪⎨⎧><££=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.题型：计算题答案：当x <0时, 00)()(0===⎰⎰xxdt dt t f x ϕ; 当0£x £π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(00+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xxxϕ; 当x >π时,πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x xx -=+==⎰⎰⎰10cos 21cos 21=+-=π. 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧³££-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.分数：12所属所属知识点：微积分的计算 难度：7设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导且f '(x)£0, ⎰-=x adt t f a x x F )(1)(. 证明在(a, b)内有F '(x)£0. 题型：证明题答案：根据积分中值定理, 存在ξÎ[a, x], 使))(()(a x f dt t f xa-=⎰ξ. 于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f a x --=. 由f '(x)£0可知f(x)在[a, b]上是单调减少的, 而a £ξ£x , 所以f(x)-f(ξ)£0. 又在(a, b)内, x -a >0, 所以在(a, b)内 0)]()([1)(£--='ξf x f ax x F . 分数：10所属所属知识点：微积分的计算 难度：8试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.题型：计算题 答案：x tdt dx d y x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0; 当4π=x 时, 224sin =='πy 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：4求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x 的导数. 题型：计算题答案：x '(t)=sin t , y '(t)=cos t , t t x t y dx dy cot )()(=''=. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：4求由⎰⎰=+xyt tdt dt e 000cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy . 题型：计算题答案：方程两对x 求导得 e y y ' +cos x =0, 于是 y exdx dy cos -=. 分数：6所属所属知识点：微积分的计算 难度：5当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？ 题型：计算题答案：2)(x xe x I -=', 令I '(x)=0, 得x =0. 因为当x <0时, I '(x)<0; 当x >0时, I '(x)>0, 所以x =0是函数I(x)的极小值点.分数：6所属所属知识点：微积分的计算 难度：5计算下列各导数: (1)⎰+2021x dt t dxd ;题型：计算题答案：(1)42022021221112x x x u dxdu dt t du d u x dt t dx d u x +=⋅+=⋅+=+⎰⎰令. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5计算下列各导数: ⎰+32411x x dt tdx d ;题型：计算题 答案：⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx xx +++-=.分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5计算下列各导数:⎰xx dt t dxd cos sin 2)cos(π题型：计算题 答案：⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dxd dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ =-cos(πsin 2x)(sin x)'+ cos(πcos 2x)( cos x)' =-cos x ×cos(πsin 2x)-sin x ×cos(πcos 2x) =-cos x ×cos(πsin2x)- sin x ×cos(π-πsin2x) =-cos x ×cos(πsin2x)+ sin x ×cos(πsin2x) =(sin x -cos x)cos(πsin2x) 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰+-adx x x02)13(;题型：计算题答案： a a a x x x dx x x aa+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰+2142)1(dx x x ;题型：计算题 答案： 852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx xx 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰+94)1(dx x x ;题型：计算题 答案： 6145)421432()921932(|)2132()()1(22322394223942194=+-+=+=+=+⎰⎰x x dx x x dx x x 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰+33121x dx ; 题型：计算题 答案： 66331arctan3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰xxdx分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰--212121xdx ;题型：计算题 答案：3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰xx dx分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰+axa dx 3022;题型：计算题 答案：aa a a x a x a dxa a30arctan 13arctan 1arctan1303022π=-==+⎰. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰-124xdx ;题型：计算题 答案：60arcsin 21arcsin 2arcsin41012π=-==-⎰x x dx . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5dx x x x ⎰-+++012241133;题型：计算题答案：41)1arctan()1(|)arctan ()113(11333013012201224π+=----=+=++=+++---⎰⎰x x dx x x dx x x x . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰---+211e x dx ;题型：计算题 答案：1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰402tanπθθd ;题型：计算题 答案：4144tan )(tan )1(sec tan 40402402πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5dx x ⎰π20|sin |;题型：计算题答案：⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx x =-cos x|π0+cos x|ππ2=-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算 难度：5⎰20)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>£+=1 211 1)(2x x x x x f .题型：计算题答案：38|)61(|)21(21)1()(2131022121020=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 分数：6所属所属知识点：微积分的计算 难度：5设k 为正整数. 试证下列各题:(1)⎰-=ππ0cos kxdx ; (2)⎰-=ππ0sin kxdx ; (3)⎰-=πππkxdx 2cos ; (4)⎰-=πππkxdx 2sin .题型：证明题答案：(1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2). (3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 分数：20所属所属知识点：微积分的计算 难度：6设k 及l 为正整数, 且k ¹l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ; (2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ; (3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .题型：证明题 答案：(1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos 0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k .(2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k . (3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin .0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k . 分数：15所属所属知识点：微积分的计算 难度：6求下列极限: (1)xdt t x x ⎰→02cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.题型：计算题 答案：(1)11cos lim cos lim 2002==→→⎰x xdtt x xx .(2)2222222222002002000022002lim2lim)(2lim)(limx xt x x xxt x x xt xt x xt xt x xedt e xee dt e xedt e dt e dttedt e ⎰⎰⎰⎰⎰⎰→→→→=⋅='⋅=⎰--=+-=-+-=-=ππππππππ0cos 1cos 1)(cos 1cos 1|cos 1sin k k k k k k k k kx k kxdx2212lim22lim2020222=+=+=→→x ex ee x x x x x .分数：10所属所属知识点：微积分的计算 难度：7设⎩⎨⎧ÎÎ=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=xdt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式, 并讨论(x)在(0, 2)内的连续性. 题型：计算题答案：当0£x £1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ; 当1<x £2时,6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x x x ϕ. 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧£<-££=21 612110 31)(23x x x x x ϕ. 因为31)1(=ϕ, 3131lim)(lim 30101==-→-→x x x x ϕ, 316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ, 所以(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.分数：10所属所属知识点：微积分的计算 难度：8设⎪⎩⎪⎨⎧><££=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=xdt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式. 题型：计算题答案：当x <0时, 00)()(00===⎰⎰xx dt dt t f x ϕ; 当0£x £π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xx xϕ; 当x >π时,10cos 21cos 21|cos 210sin 21)()(000=+-=-=+==⎰⎰⎰πϕπππt dt tdt dt t f x xx . 因此⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧³££-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.分数：12所属所属知识点：微积分的计算 难度：8设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导且f '(x)£0, ⎰-=xa dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a, b)内有F '(x)£0. 题型：证明题答案：根据积分中值定理, 存在ξÎ[a, x], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ. 于是有))(()(1)(1)(1)()(1)(22a x f a x x f a x x f a x dt t f a x x F xa----=-+--='⎰ξ)]()([1ξf x f ax --=. 由f '(x)£0可知f(x)在[a, b]上是单调减少的, 而a £ξ£x , 所以f(x)-f(ξ)£0. 又在(a, b)内, x -a >0, 所以在(a, b)内0)]()([1)(£--='ξf x f ax x F . 分数：8所属所属知识点：微积分的计算 难度：8⎰+πππ2)3sin(dx x ;题型：计算题答案：0212132cos 34cos)3cos()3sin(22=-=+-=+-=+⎰ππππππππx dx x . 分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5⎰-+123)511(x dx;题型：计算题 答案：51251110116101)511(2151)511(22122123=⋅+⋅-=+-⋅=+-----⎰x x dx. 分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5⎰203cossin πϕϕϕd ;题型：计算题 答案：⎰⎰-=20323sin cos cos sin ππϕϕϕϕϕd s d410cos 412cos 41cos 4144204=+-=-=πϕπ.分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5⎰-πθθ03)sin1(d ;题型：计算题答案：⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5⎰262cosππudu ;题型：计算题 答案：2626262622sin 4121)2cos 1(21cos ππππππππu u du u udu +=+=⎰⎰836)3sin (sin 41)62(21-=-+-=πππππ. 分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5dx x ⎰-222;题型：计算题 答案：dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-202022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令2)2sin 21(20ππ=+=t t .分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5dy y ⎰--22228;题型：计算题 答案：⎰⎰⎰---⋅=-=-44222222cos 2cos 22sin 24228ππxdx x xy dyy dy y 令)2(2)2sin 21(22)2cos 1(224444+=+=+=--⎰πππππy x dx x .分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5⎰-121221dx x x ;题型：计算题 答案：41)cot ()1sin 1(cos sin cos sin 12424224212122πππππππ-=--=-=⋅=-⎰⎰⎰t t dt t tdt t t t x dx xx 令.分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5⎰+31221xxdx ;题型：计算题 答案：⎰⎰⋅⋅=+34223122secsec tan 1tan 1ππtdt t t tx xxdx 令3322sin 1sin cos 34342-=-==⎰ππππt dt tt. 分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰--1145xxdx ;题型：计算题 答案：61)315(81)5(81454513133211=--=-=--⎰⎰-u u du u u x xxdx 令. 分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰+411xdx ;题型：计算题 答案：)32ln 1(2|)1|ln (2)111(2211121212141+=+-=+-=⋅+=+⎰⎰⎰u u du u udu u u x xdx 令.分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰--14311x dx ;题型：计算题 答案：2ln 21|)1|ln (2)111(2)2(11111210210021143-=-+=-+=-⋅-=---⎰⎰⎰u u du u du u u ux x dx 令.分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰-axa xdx 20223;题型：计算题 答案：)13(3)3(3121320202222222022-=--=---=-⎰⎰a x a x a d x a xa xdx a a a.分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6dt tet ⎰-1022;题型：计算题 答案：2110102221021)2(222-----=-=--=⎰⎰e e t d edt tet t t .分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰+21ln 1e xx dx ;题型：计算题 答案：)13(2ln 12ln ln 11ln 1222111-=+=+=+⎰⎰e e e xx d xxx dx.分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰-++02222x x dx;题型：计算题 答案：2)1arctan(1arctan )1arctan()1(1122022222π=--=+=++=++---⎰⎰x dx x x x dx .分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰-222cos cos ππxdx x ;题型：计算题答案：32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 22322222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x . 分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰--223cos cos ππdx x x ;题型：计算题 答案：⎰⎰---=-222223cos 1cos cos cos ππππdx x x dx x x34cos 32cos 32sin cos )sin (cos 2023223202=-=+-=--⎰⎰ππππx xxdx x dx x x 分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：6⎰+π2cos 1dx x .题型：计算题答案：22cos 2sin 22cos 1000=-==+⎰⎰πππx xdx dx x .分数：5所属所属知识点：定积分的计算 难度：5利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)⎰-ππxdx x sin 4;(2)⎰-224cos 4ππθθd ;(3)⎰--2121221)(arcsin dx x x ;(4)⎰-++55242312sin dx x x xx . 题型：计算题答案：(1) 因为x 4sin x 在区间[-π, π]上是奇函数, 所以0sin 4=⎰-ππxdx x . (2)⎰⎰⎰+==-202204224)22cos 1(8cos 42cos 4ππππθθθθθd x d d ⎰⎰++=++=20202)4cos 212cos 223(2)2cos 2cos 21(2ππθθd x x d x x23)4sin 412sin 23(2πθπ=++=x x .(3) ⎰⎰⎰=-=--21221022212122)(arcsin )(arcsin 21)(arcsin 21)(arcsin x d x dx xx dx xx324)(arcsin 3232103π==x .因为函数12sin 2423++x x x x 是奇函数, 所以012sin 552423=++⎰-dx x x x x .分数：20所属所属知识点：定积分的计算 难度：6证明: ⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ, 其中(u)为连续函数.题型：证明题答案：因为被积函数(x2)是x 的偶函数, 且积分区间[-a, a]关于原点对称, 所以有 ⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ. 分数：6所属所属知识点：定积分的计算 难度：5设f(x)在[-b, b]上连续, 证明⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(.题型：证明题答案：令x =-t, 则dx =-dt, 当x =-b 时t =b , 当x =b 时t =-b , 于是⎰⎰⎰----=--=b b bb b b dt t f dt t f dx x f )()1)(()(, 而⎰⎰---=-bb b b dx x f dt t f )()(, 所以⎰⎰---=b b bb dx x f dx x f )()(.分数：8所属所属知识点：定积分的计算 难度：6设f(x)在[a, b]上连续., 证明⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(.题型：证明题答案：令x =a +b -t , 则dx =dt , 当x =a 时t =b, 当x =b 时t =a , 于是⎰⎰⎰-+=--+=b a b a abdt t b a f dt t b a f dx x f )()1)(()(, 而 ⎰⎰-+=-+ba b a dx x b a f dt t b a f )()(, 所以 ⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(. 分数：8所属所属知识点：定积分的计算 难度：7 证明: ⎰⎰>+=+11122)0(11xx x x dx x dx .题型：证明题答案：令tx 1=, 则dt t dx 21-=, 当x =x 时xt 1=, 当x =1时t =1, 于是 ⎰⎰⎰+=-⋅+=+11121122211)1(1111x x xdt t dt t tx dx , 而 ⎰⎰+=+x x dx x dt t 1121121111, 所以⎰⎰+=+1112211x x x dx x dx.分数：10所属所属知识点：定积分的计算 难度：7证明: ⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m . 题型：证明题答案：令1-x =t , 则⎰⎰⎰⎰-=-=--=-10100110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n n m n m n m , 即⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x xm n n m.分数：8所属所属知识点：定积分的计算 难度：6证明: ⎰⎰=ππ020sin 2sin xdx xdx n n . 题型：证明题 答案：⎰⎰⎰+=ππππ2020sin sin sinxdxxdx xdx n n n, 而 ⎰⎰⎰⎰==---=202022sin sin ))((sin sinπππππππxdxtdt dt t tx xdx n n nn 令,所以⎰⎰=ππ020sin 2sin xdx xdx nn .分数：8所属所属知识点：定积分的计算 难度：8设f(x)是以l 为周期的连续函数, 证明⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关. 题型：证明题 答案：已知f(x +l)=f(x).⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=+++ala llla lla a adxx f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 00001)()()()()()()(,而⎰⎰⎰⎰=+=++=+a a ala ldx x f dx l x f dt l t f l t x dx x f 000)()()()(令, 所以 ⎰⎰=+l a adx x f dx x f 01)()(. 因此⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关. 分数：10所属所属知识点：定积分的计算 难度：8若f(t)是连续函数且为奇函数, 证明⎰xdt t f 0)(是偶函数; 若f(t)是连续函数且为偶函数, 证明⎰xdt t f 0)(是奇函数. 题型：证明题答案：设⎰=xdt t f x F 0)()(. 若f (t )是连续函数且为奇函数, 则f (-t )=-f (t ), 从而 )()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f ut dtt f x F xx xx===---==-⎰⎰⎰⎰-令, 即⎰=xdt t f x F 0)()(是偶函数. 若f (t )是连续函数且为偶函数, 则f (-t )=f (t ), 从而 )()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f ut dtt f x F xx xx-=-=-=---==-⎰⎰⎰⎰-令, 即⎰=xdt t f x F 0)()(是奇函数.分数：12所属所属知识点：定积分的计算。
高一数学(必修一)《第五章 三角恒等变换》练习题附答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 三角恒等变换》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知sin(α＋45°)sin2α等于（ ） A ．－45B ．－35C ．3 5D ．4 52．已知13a =，4log 3b =和sin 210c =︒，则（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<3．()sin cos f x x x =最小值是 A ．-1B ．12-C ．12D ．14．关于函数sin cos y x x =+，以下说法正确的是（ ） A ．在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数B ．在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在最小值C ．在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数D ．在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在最大值5．函数()22f x cos x sinx ＝＋ 的最小值和最大值分别为( ) A ．3,1－B ．2,2－C ．332－，D ．322－，6．将函数()2sin(2)26f x x π=-+向左平移6π个单位后得函数()g x ，则()g x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是A ．[2,2]-B ．[3,4]C ．[0,3]D ．[0,4]7．sin15sin 75的值为（ ）A ．14B ．12C D 8．已知tan α和tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭是方程20ax bx c ++=的两个根，则,,a b c 的关系是（ ）A ．b a c =+B ．2b a c =+C ．c b a =+D ．c ab =9．设sin18cos44cos18sin 44a =︒︒︒+︒，2sin 29cos29b =︒︒和cos30c =︒，则有（ ） A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c <<二、填空题10．若sin 2α=()sin βα-=π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是________.11．已知角α的终边经过点(3,1)P t ，且3cos()5πα+=，则tan α的值为_________．12．函数44cos sin y x x =-的最小正周期是______ 13．22sin 20cos 50sin 20cos50︒+︒+︒︒=______．14．已知α为第二象限角，sinα＋cosαcos2α＝________． 15．设α为锐角，若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin(2)12πα+的值为____________.16．已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，其图象的对称轴与对称中心之间的最小距离为4π，3x π=-是函数()f x 的一个极小值点.若把函数()f x 的图象向右平移()0t t >个单位长度后，所得函数的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则实数t 的最小值为___________.三、解答题17．已知函数()()sin 2(0),,04f x x πϕϕπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭是该函数图象的对称中心(1)求函数()f x 的解析式；(2)在ABC 中角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()1,23f C C π=->和1c =，求2+a b 的取值范围.18．函数()cos()f x A x ωφ=+（其中 0A >，0>ω和||2ϕπ<）的部分图象如图所示，先把函数 ()f x 的图象上的各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移4π个单位长度，再向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象.（1）求函数()g x 图象的对称中心.（2）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则求 ()g x 的值域.（3）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则方程 ()()2()230g x m g x m +-+-=有解，求实数m 的取值范围.19．在ABC 中角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且1b c -=，2cos 3A =和ABC S =△(1)求边a 及sinB 的值；(2)求cos 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.20．求444sin 10sin 50sin 70︒︒︒++的值.21．已知函数()222cos 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ x ∈R ．(1)求()6f π的值及()f x 的最小正周期；(2)当[0,]x π∈时，则求函数()f x 的零点所构成的集合．参考答案与解析1．B【分析】利用两角和的正弦函数化简已知条件，利用平方即可求出所求结果.【详解】sin(α＋45°)＝(sin α＋cos α∴sin α＋cos α. 两边平方，得1＋sin2α＝25，∴sin2α＝－35.故选B【点睛】本题目是三角函数正弦函数的题目，掌握同角三角函数的二倍角公式是解题的关键. 2．A【分析】根据诱导公式求出c ，再根据对数函数的单调性比较,a b 的大小，即可得出答案. 【详解】解：()1sin 210sin 18030sin 302c =︒=︒+︒=-︒=-113244441log 4log 4log 2log 33a ==<=<所以c a b <<. 故选：A. 3．B【详解】试题分析：∵()sin cos f x x x =1sin 22x =，∴当sin2x=-1即x=()4k k Z ππ-∈时，则函数()sin cos f x x x =有最小值是12-，故选B考点：本题考查了三角函数的有界性点评：熟练掌握二倍角公式及三角函数的值域是解决此类问题的关键，属基础题 4．C【分析】将原式化简为)4y x π=+，再结合正弦函数的性质，即可求解．【详解】解：sin cos )4y x x x π=++∴令22,242k x k k Z πππππ-+++∈ ∴322,44k x k k Z ππππ-++∈即函数的单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦故选项A 错误，选项C 正确 当2,42x k k Z πππ+=-+∈，即32,4x k k Z ππ=-+∈时，则y 取得最小值，故在区间(0,)2π上不存在最小值，故选项B 错误 当2,42x k k Z πππ+=+∈，即2,4x k k Z ππ=+∈时，则y 取得最大值，故在区间(,0)2π-上不存在最大值，故选项D 错误． 故选：C ． 5．C 【详解】()112sin22sin 2sin 2f x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－＋＝－232＋. ∴当1sin 2x ＝时，则()3max ?2f x ＝，当1sinx =－ 时则()3min f x ＝－ ，故选C. 6．D【分析】按照图象的平移规律，写出()g x 的表达式，利用正弦函数的图象，求出()g x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围.【详解】因为函数()2sin(2)26f x x π=-+向左平移6π个单位后得函数()g x ，所以()2sin[2()]22sin(2)2666g x x x πππ=+-+=++230,(2)[,]sin((2)[1,1]3662)[0,4]6x x x g x πππππ∈⎡⎤∴+∈∴+∈-∴⎢⎥⎣⎦∈，故本题选D. 【点睛】本题考查了正弦型函数的平移、以及闭区间上正弦型函数的最值问题，正确求出平移后的函数解析式，是解题的关键. 7．A【分析】利用诱导公式结合二倍角的正弦公式化简可得结果.【详解】()11sin15sin 75sin15sin 9015sin15cos15sin 3024=-===.故选：A. 8．C【分析】根据根与系数的关系以及两角和的正切公式可得结果. 【详解】由题意可知，tan tan ,tan tan 44b ca aππαααα⎛⎫⎛⎫+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tantan 44ππαα⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭tan tan 4111tan tan 4b a ca πααπαα⎛⎫+--⎪⎝⎭===⎛⎫--- ⎪⎝⎭1b ca a∴-=- b a c ∴-=- c a b ∴=+. 故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，考查了两角和的正切公式，属于基础题. 9．B【分析】先利用两角和的正弦公式对a 化简，利用二倍角公式对b 化简，然后利用正弦函数的单调性即可比较大小【详解】解：sin18cos 44cos18sin sin(1844)sin 4624a ︒︒=︒+︒==︒︒+︒ 2sin 29cos29sin58b =︒︒=︒ cos30sin60c =︒=︒ 因为sin y x =在(0,90)︒︒上为增函数，且586062︒<︒<︒ 所以sin58sin60sin62︒<︒<︒，即可b c a << 故选：B【点睛】此题考查两角和的正弦公式和二倍角公式的应用，考查正弦函数的单调性，属于基础题 10．74π【分析】依题意,可求得ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，进一步可知π5,π24βα⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，于是可求得()cos βα-与cos2α的值，再利用两角和的余弦公式及角βα+的范围即可求得答案. 【详解】因为π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2,2π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为sin 2α=π2,π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以cos 2=α因为ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以π5,π24βα⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦因为()sin βα-=所以()cos βα-==所以()()cos cos 2βαβαα+=-+()()=cos cos2sin sin 2βααβαα---=⎛⎛⨯ ⎝⎭⎝⎭因为ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5π,24βαπ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以7=4παβ+. 故答案为：74π 11．43-【解析】先计算出3cos 5α=-，再点的坐标特征可得角的终边的位置，从而可求tan α的值.【详解】因为3cos()5πα+=，故3cos 5α=-，故角α的终边在第二象限或第三象限又P 的纵坐标为1，故角α的终边在第二象限，所以sin 0α>所以sin 4tan cos 35ααα====--. 故答案为：43-【点睛】方法点睛：（1）角的终边的位置可根据三角函数值的正负来确定，也可以根据终边上的点的坐标特征来确定；（2）三个三角函数值，往往是“知一求二”，这里利用方程的思想. 12．π【分析】逆用二倍角公式将原式降幂,原式化简为cos()y A x ωϕ=+形式,利用2T ωπ=即可求得函数最小正周期. 【详解】()()442222cos sin cos sin o s =c s +in y x x x x x =--22cos sin cos 2x x x =-=22==2T πππω=T π∴=故答案为:π.【点睛】本题考查二倍角的余弦公式的应用、余弦三角函数最小正周期公式2T ωπ=,属于基础题. 13．34【分析】)(1cos 203020sin 202︒+︒︒-︒，化简计算即可得出结果. 【详解】原式)()(22sin 20cos 2030sin 20cos 2030=︒+︒+︒+︒︒+︒2211sin 2020sin 20sin 2020sin 2022⎫⎫=︒+︒-︒+︒︒-︒⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎝⎝2222311sin 20cos 20sin 20sin 20442=︒+︒+︒-︒34=． 故答案为：3414【详解】∵sinα＋cosα∴(sinα＋cosα)2＝13∴2sinαcosα＝－23，即sin2α＝－23.∵α为第二象限角且sinα＋cosα∴2kπ＋2π<α<2kπ＋34π(k ∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋32π(k ∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos2α15【分析】利用二倍角公式，同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得所求表达式的值.【详解】α为锐角2663πππα<+<3sin 65πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.sin(2)sin(2)22123433πππππαααα⎛⎫⎛⎫+=+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin cos 2cos 1666πππααα⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦234421555⎤⎛⎫=⨯⨯-⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.16．512π##512π 【分析】对称轴与对称中心之间的最小距离为4π，可求得函数的周期，从而可求出2ω=，再由3x π=-是一个极小值点，可求得6π=ϕ，从而可得()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，进而可得()sin 226g x x t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再由()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可得5212k t ππ=-+，从而可求出实数t 的最小值【详解】因为对称轴与对称中心之间的最小距离为4π，所以44T π=，所以T π= 22πωπ== 因为3x π=-是一个极小值点所以()2232k k z ππϕπ-+=-+∈，又因为02πϕ<<，所以6π=ϕ()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.把函数()f x 的图象向右平移()0t t >个单位长度后得函数()sin 226g x x t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则()2236t k k z πππ-+=∈ 5212k t ππ=-+ 因为0t >，当0k =时，则实数t 的最小值为512π. 故答案为：512π17．(1)()cos2f x x = (2)()1,2【分析】（1）由题意得2,Z 4k k πϕπ⨯+=∈，则可求出2ϕπ=，从而可求出函数()f x 的解析式；（2）由()12f C =-可求出23C π=，由正弦定理得,a A b B ==，从而可表示出2+a b ，化简后利用三角函数的性质可求得结果 (1) 由题知2,Z 4k k πϕπ⨯+=∈因为0ϕπ<<，所以2ϕπ=所以函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即为()cos2f x x =. (2)由题知()12f C =-，即1cos22C =-因为3C ππ<<，所以2223C ππ<<，所以423C π= 即21,33C A B ππ=+=.所以由正弦定理得sin sin sin a b c A B C === 所以,a Ab B == 2a b A B +=+)sin 2sinA B =+sin 2sin3B B π⎤⎛⎫=-+ ⎪⎥⎝⎭⎦sin cos cos sin 2sin33B B B ππ⎫=-+⎪⎭3sin2B B ⎫=+⎪⎪⎭2sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为10,3B π<<所以662B πππ<+<所以1sin 126B π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，所以12sin 26B π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭ 所以2+a b 取值范围为()1,2.18．（1）(),1124k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）3310⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）观察图象，由函数最值求出A ，由周期求出ω，再将7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得出 ϕ，即可求出函数()f x 的解析式，进而得出函数()g x 的解析式以及对称中心； （2）由x 的范围结合余弦函数的性质可得()g x 的值域；（3）将已知方程参变分离，利用对勾函数的性质求出值域，可得实数m 的取值范围． 【详解】（1）根据图象可知1A = 174123T ππ=- ∴T π=，∴22Tπω== ()()cos 2f x x φ=+ 将7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭代入得 7cos 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 即726k πϕππ+=+，解得 26k πϕπ=- k Z ∈ ∵2πϕ<，∴0k = 6πϕ=-∴()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.函数()f x 的图象上的各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），可得 cos 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，曲线再向左平移4π个单位长度，再向上平移1个单位得()5cos 416g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭令54,62x k k Z πππ+=+∈，解得 124k x ππ=-+ ∴此函数图象的对称中心为(),1124k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z . （2）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则 54514,cos 41,63362x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+∈⇔+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦()53cos 410,62g x x π⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即 ()g x 的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （3）()()()2230g x m g x m +-+-=()()()2231g x g x m g x ⇔++=+⎡⎤⎣⎦()()()2231g x g x m g x ++⇔=+令()1s g x =+，由（2）知51,2s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2223310s m s s s +⎡⎤==+∈⎢⎥⎣⎦因此m 的取值范围为3310⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图象的应用，考查余弦函数的性质，考查有解问题的应用，解决本题的关键点是将已知方程化简，参变分离，利用对勾函数的性质求出对应函数的值域，进而得出参数的取值范围，考查学生计算能力，属于中档题．19．(1)a = sin 1B =【分析】（1）先由cos A 求得sin A ，结合三角形面积公式可得6bc =，根据条件可得b ，c 的值，再利用余弦定理求得a ，利用正弦定理求得sin B ；（2）由（1）可知2B π=，则2sin cos 3C A == cos sin C A ==. (1)因为2cos 3A =，()0,A π∈所以sin A =因为1sin 2ABCS bc A =6bc = 又1b c -=，所以3b = 2c =所以a ==因为sin sin a b A B =3sin B =，所以sin 1B =. (2)在ABC 中由（1）可知2B π=，则2A C π+=所以2sin cos 3C A == cos sin C A ==则sin 22sin cos C C C ==221cos 2cos sin 9C C C =-=所以cos 2cos 2cos sin 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭20．98【分析】先将题中正弦值利用诱导公式转化为余弦值，再用降次公式将式子中高次转化为1次，再观察题中角度与特殊角的联系，再用两角和差公式展开化简求值.【详解】444sin 10sin 50sin 70︒︒︒++444cos 80cos 40cos 20︒︒︒=++2221cos1601cos801cos40222︒︒︒⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()222132cos1602cos802cos40cos 160cos 80cos 404︒︒︒︒︒︒=++++++ ()3111cos401cos1601cos80cos20cos80cos40424222︒︒︒︒︒︒⎛⎫+++=+-+++++ ⎪⎝⎭ ()95cos80cos40cos2088︒︒︒=++- ()()95cos 6020cos 6020cos2088︒︒︒︒︒⎡⎤=+++--⎣⎦ ()952cos60cos20cos2088︒︒︒=+-98=. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，运用降次公式，两角和与差公式进行化简求值，注意观察角度间的联系及与特殊角的联系，还考查了学生的分析观察能力，运算能力，难度较大.21．(1)()16f π=，最小正周期为π; (2)0,,3ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数()f x 的解析式，利用正弦函数的性质即可求解；（2）令()0f x =，可得266x ππ+=或56π或136π，即可求解x 的值.（1）解：因为()222cos 2cos 213633f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin 212sin 21366x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以2sin 1162f ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，最小正周期为 22T ππ==. （2）令()0f x =，则1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为[0,]x π∈，所以132,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以266x ππ+=或56π或136π，即0x =或3π或π，所以函数()f x 的零点所构成的集合为0,,3ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.。
高等数学(同济五版)第五章 定积分 练习题册
42文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.第五章 定积分第一节 定积分的概念与性质一、填空题： 在⎰+1031dx x 与⎰+141dx x 中值比较大的是 ．二、选择题(单选)： 1．积分中值定理⎰-=baa b f dx x f ))(()(ξ，其中：(A) ξ是[]b a ,上任一点； (B) ξ是[]b a ,上必定存在的某一点； (C) ξ是[]b a ,唯一的某点； (D) ξ是[]b a ,的中点．答：( )2．曲线xe y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围成图形的面积值为： (A) ⎰-10)(dx ex e x ； (B)⎰-edy y y y 1)ln (ln ；(C)⎰-e xx dx xe e 1)(； (D)⎰-1)ln (ln dy y y y ．答：( )第二节 微积分基本公式一、填空题： 1．=-⎰-2121211dx x．2．0)32(02=-⎰kdx xx )0(>k ，则=k ．二、选择题(单选)：若)(x f 为可导函数，且已知0)0(=f ，2)0(='f ，则2)(limxdt t f x x ⎰→(A)0； (B)1； (C)2； (D)不存在．答：( )三、试解下列各题：1．设⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,1)(32x x x x x f ，求⎰20)(dx x f ．43文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.2．设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f ,0,00,sin 21)(，求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在),(∞+-∞上的表达式．四、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，⎰⎰+=x axbt f dtdt t f x F )()()(．证明： (1)2)('≥x F ；(2)方程0)(=x f 在),(b a 内有且仅有一个根．第三节 定积分的换元法和分部积分法一、填空题： 1．=-⎰-212121arcsin dx xx ．2．⎰-=++43432cos 1)arctan 1(ππdx x x ．3．{}=⎰-222,1max dx x ．4．设)(x f 是连续函数，且⎰+=1)(2)(dt t f x x f ，则=)(x f ．二、选择题(单选)：⎰>=aa dx x f x I 023)0()(，则I 为：(A)⎰20)(a dx x xf ；(B) ⎰adx x xf 0)(； (C) ⎰20)(21a dx x xf ； (D) ⎰a dx x xf 0)(21．答：( )三、试解下列各题： 1．⎰+21ln 1e xx dx．2．)0(0222⎰>-a a dx x a x ．3．设⎩⎨⎧≥<+=-0,0,1)(2x e x x x f x ，求⎰-31)2(dx x f ．五、计算下列定积分：44文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.1．⎰e xdx x 2ln ．2．⎰20cos πxdx e x ．六、已知1)(=πf ，)(x f 二阶连续可微．且3sin )]()([0=''+⎰πxdx x f x f ，求)0(f ．第四节 反常积分一、填空题： 1．=⎰∞+12ln dx x x． 2．=-⎰121)1(arcsin dx x x x ．二、选择题(单选)： 1．若⎰∞+adx x f )(及⎰∞+adx x g )(均发散，则dx x g x f a⎰∞++)]()([一定：(A)收敛； (B)发散； (C)敛散性不能确定．答：( )2．若⎰∞-a dx x f )(发散，⎰∞+adx x f )(发散，则⎰∞+∞-dx x f )(一定：(A)收敛； (B)发散； (C)敛散性不能确定． 答：( )三、判别下列各反常积分的敛散性，如果收敛，则计算反常积分的值： 1．⎰-202)1(x dx．2．⎰∞++0)1(1dx xx ．四、利用递推公式计算反常积分⎰∞+-=dx e x I x n n (n 为自然数)．第五章自测题一、填空题(每小题5分，共20分)：1．a ，b 为正常数，且1sin 1lim20=+-⎰→x x dt ta t x bx ，则=a ，=b ． 2．=-⎰201dx x ．45文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.3．=+⎰-ππdx xxx 21cos ． 4．=⎰→xdt t x x 020cos lim．二、选择题(单选)(每小题5分，共10分)： 1．⎰-x dt t dxd sin 021等于： (A) x cos ； (B) x x cos cos ； (C) x 2cos -； (D) x cos ．答：( )2．设)(x f 连续，则⎰+ba dy y x f dxd )(等于： (A)⎰+'bady y x f )(；(B) )()(a x f b x f +-+；(C) )(a x f +；(D) )(b x f +．答：( )三、试解下列各题(每小题10分，共40分)： 1．⎰-21224dx x x ． 2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=0,110,11)(x e x xx f x，求⎰-20)1(dx x f ．3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<=πππx x x x f 2,02,cos )(，求dt t f x F ⎰-=ππ)()(在],[ππ-上的表达式．4．求位于曲线21xy =)1(≥x 的下方，x 轴上方的图形的面积． 四、试解下列各题(每小题15分，共30分)： 1．设)(x f 在],[b a 上连续，证明⎰⎰-+-=badx x a b a f a b dx x f 1])([)()(．2．证明：⎰⎰-=aaadx x dx x 022)(2)(ϕϕ，其中)(u ϕ为连续函数．。
高等数学第五章练习题(1)
20. 求微分方程 y¢ + 2 y = e-5x 的通解
A. 线性齐次 B. 可分离变量 C. 齐次 D. 线性非齐次
10. 当 y1(x) 、 y2 (x) 是二阶常系数线性齐次微分方程 y¢¢ + P(x) y¢ + Q(x) y = 0 的( 函数 y = C1 y1(x) + C2 y2 (x) 是该方程的通解（其中 C1 + C1x + C2
6．函数 y = cos x 是微分方程( )的解。
A. y¢ + y = 0 B. y¢ + 2 y = 0 C. y¢¢ + y = 0 D. y¢¢ - y = 0
7. 微分方程 (x +1)( y2 +1)dx + x2 y2dy = 0 是一阶( )微分方程
4．微分方程
y¢
=
x(1 + y(1 +
y2) x2)
的通解是______________
5．满足微分方程
y¢
=
1+ 1+
y2 x2
,
y(0)
=
1;
所给初始条件的特解是__________
6．微分方程 y¢ = 1- y 的通解是______________ 1- x
7 微分方程 dy = 1 - y 2 的通解是 dx
15. 微分方程 y¢¢ - 5y¢ + 6 y = 0 的通解是 y = _____________
16. 微分方程 y¢¢ + y¢ - 6 y = 0 的通解是 y = _____________
17. 微分方程 y¢¢ - 4 y¢ + 3y = 0 的通解是 y = _____________
高一数学(必修一)《第五章 三角函数的应用》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 三角函数的应用》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t 秒时相对于平衡位置的高度h （厘米）由如下关系式确定2sin 6h t πφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞和(),φππ∈-.已知当2t =时，则小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在0=t 秒时h 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．D 2．小明给学校设计数学文化长廊，计划将长廊的顶部遮雨棚设计成如图所示横截面为正弦曲线的形状（雨棚的厚度忽略不计），已知入口高度AB 和出口处高度CD 均为H ，为使参观者行走方便，要求雨棚的最低点到地面的距离不小于雨棚的最高点到地面距离的23，则雨棚横截面正弦曲线振幅的最大值为（ ）A ．3H B ．4H C ．5H D ．6H 3．如图为函数()sin ,()f x x x αα=⋅∈R 的部分图象，则α的值可能是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120140mmHg ～和6090mmHg ～．心脏跳动时，则血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg 为标准值．高三同学在参加高考之前需要参加统一的高考体检，其中血压、视力等对于高考报考有一些影响．某同学测得的血压满足函数式()sin (0)p t a b t ωω=+>，其中()p t 为血压(mmHg)t ，为时间(min)，其函数图像如上图所示，则下列说法错误．．的是（ ）A ．收缩压为120mmHgB ．80ωπ=C ．舒张压为70mmHgD ．95a =5．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M 1和M 2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t （s ）时离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由下列两式确定：s 1＝5sin 26t π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，s 2＝5cos 23t π⎛⎫- ⎪⎝⎭．则在时间t ＝23π时，则s 1与s 2的大小关系是（ ） A ．s 1＞s 2 B ．s 1＜s 2 C ．s 1＝s 2D ．不能确定6．红河州个旧市是一个风景优美的宜居城市，如图是个旧宝华公园的摩天轮，半径为20米，圆心O 距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度能够将个旧市区美景尽收眼底，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度（单位：分钟）为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．1137．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O 的半径为4米，盛水筒M 从点0P 处开始运动， 0OP 与水平面的所成角为30，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M 距离水面的高度H （单位；m ）与时间t （单位： s ）之间的函数关系式的图象可能是A ．B ．C ．D ．8．一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32m （即OM 长），巨轮的半径长为30m ，2AM BP m ==，巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P距离地面的高度为（ ）A ．30sin 30122t ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B ．30sin 3062t ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．30sin 3262t ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．30sin 62t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、双空题9．函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭最小正周期T =______，函数()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像向左平移t 个单位（()0,t π∈）得到函数()f x 图像，则实数t =______.三、填空题10．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度与时间之间关系的一个三角函数为________．11．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数sin()(0,0)y A x b A ωϕω=++>>，则8时的温度大约为________C （精确到1C ）．12．已知某海浴场的海浪高度(m)y 是时间t （其中024t ≤≤，单位：时）的函数，记作()y f t =，下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，曲线()y f t =可近似地看成是函数cos (0,0)A t b A y ωω+>>=的图象，根据以上数据，函数的解析式为________．13．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y （单位：m ）在某天24小时内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________．14．已知函数()sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎛⎫=+>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示，则()2021f =______.四、解答题15．如图所示，摩天轮的直径为100m ，最高点距离地面高度为110m ，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min ．(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，求在转动一周的过程中H 关于t 的函数解析式；(2)在甲进座舱后间隔3个座舱乙游客进座舱（如图所示，此时甲、乙分别位于P 、Q 两点，本题中将座舱视为圆周上的点），以乙进座舱后开始计时，则在运行一周的过程中求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求出25≥h 时t 的取值范围．16．在ABC 中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()tan cos cos B c A a C +. (1)求角B 的大小；(2)若ABC 是锐角三角形，且b =ABC 面积的取值范围.五、多选题17．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案与解析1．D【分析】根据当2t =时，则小球处于平衡位置，并开始向下移动可求得φ，进而求得h 的解析式，再代入0=t 求解即可【详解】因为当2t =时，则小球处于平衡位置，并开始向下移动，故()22,Z 6k k πφππ⨯+=+∈，即()22,Z 3k k πφπ=+∈，又(),φππ∈-，故23πφ=，故22sin 63h t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故当0=t 时，则22sin3h π==故选：D 2．C【分析】根据正弦曲线振幅的意义及雨棚的最低点到地面的距离不小于雨棚的最高点到地面距离的23建立不等式可求解.【详解】雨棚横截面正弦曲线振幅为A ，则雨棚的最低点到地面的距离为H A -,雨棚的最高点到地面的距离为H A +，由题意有2()3H A H A -≥+，解得5HA ≤，所以横截面正弦曲线振幅的最大值为5H . 故选：C 3．D【分析】根据图象判断函数的奇偶性，代入特殊值，判断函数值的大小，利用排除法求解即可.【详解】解析：由图可知()f x 为偶函数，因为sin x 为奇函数，所以x α也为奇函数，排除A 和C ，如果3α=，即3()sin f x x x =⋅，则3222f ππ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与图不符，所以不能取3，故排除B 项.故选：D ． 4．B【分析】通过观察图象得到该人的收缩压和舒张压， 通过图象求出,a b ，T ，利用周期公式求出ω得解． 【详解】由图象可知，函数的最大值为120，最小值为70，所以收缩压为120mmHg ，舒张压为70mmHg ，所以选项AC 正确； 周期121,8080T πω==由，知160ωπ=，所以选项B 错误； 由题得12070a b a b +=⎧⎨-=⎩，所以95,25.a b ==所以选项D 正确.故选：B【点睛】方法点睛：求三角函数sin()+y A x B ωϕ=+的解析式，常用待定系数法，一般根据函数的最值求出,A B 的值，根据周期求出ω的值，根据特殊点求出ϕ的值.5．C【解析】将t ＝23π代入求值，可得s 1＝s2 【详解】当t ＝23π时，则s 1＝5sin 2236ππ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭－5，s 2＝5cos 2233ππ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭－5，∴s 1＝s2 故选：C 6．C【分析】先设出高度h 与时间t 的函数解析式为()sin h A t b ωϕ=++，利用三角函数的性质及特殊点求出解析式，通过解三角函数不等式得到答案.. 【详解】设点P 距离地面高度h 与时间t 的函数 解析式为()sin h A t b ωϕ=++ 由题意得20A =，25b =和10T =所以2ππ5T ω== 又因为()05f =，所以π2ϕ=-所以()πππ20sin 252520cos 0525h t t t ⎛⎫=-+=-≥ ⎪⎝⎭令35010h t ≥⎧⎨≤≤⎩，即π1cos 52010t t ⎧≤-⎪⎨⎪≤≤⎩ 故102033t ≤≤，即在摩天轮转动的一圈内 有201010333-=分钟会有这种最佳视觉效果. 故选：C. 7．D【解析】先根据题意建立坐标系，写出盛水筒M 距离水面的高度H 与时间t 之间的函数关系式，再根据关系式即可判断.【详解】解：以O 为圆心，过点O 的水平直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：0306xOP π∠==OP ∴在()t s 内转过的角为：26030t t ππ= ∴以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角为：306t ππ-P ∴点的纵坐标为：4sin 306t ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ H ∴与t 之间的函数关系式为：4sin 2306H t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ 当sin 1306t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，则max 426H =+=当sin 1306t ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，则max 422H =-+=-对A ，B ，由图像易知max min H H =-故A ，B 错误； 对C ，max min H H <-故C 错误； 对D ，max min H H >-故D 正确. 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解题意，根据题意写出H 与t 之间的函数关系式. 8．B【解析】先通过计算得出转动的角速度，然后利用三角函数模型表示在转动的过程中点B 的纵坐标满足的关系式，则吊舱到底面的距离为点B 的纵坐标减2.【详解】如图所示，以点M 为坐标原点，以水平方向为x 轴，以OM 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.因为巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，则转动的角速度为6π每分钟 经过t 分钟之后，转过的角度为6BOA t π∠=所以，在转动的过程中点B 的纵坐标满足：3230sin 30sin 322662y t t ππππ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则吊舱距离地面的距离30sin 32230sin 306262h t t ππππ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B ．【点睛】建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤： （1）审题：审清楚题目条件、要求、理解数学关系； （2）建模：分析题目变化趋势，选择合适的三角函数模型； （3）求解：对所建立的数学模型进行分析研究，从而得到结论.9． π 12π【分析】第一空直接用2||T πω=求得，第二空则由()2sin 26g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭变换得()2sin 212f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故向左平移12π个单位. 【详解】由2|2|T ππ==-，又()2sin 212f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ()2sin 26g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 由()g x 变换到()f x ，则()()12612πππ---=，故向左平移12π个单位，即12t π=.故答案为：π12π【点睛】本题考查了正弦型函数最小正周期的求法，三角函数图象的相位变换，属于容易题. 10．0.2sin 3.85y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【分析】利用周期计算公式求出ω，由最高亮度距离平均亮度0.2星等可求出A ，由平均亮度可求出b ，即可写出三角函数模型.【详解】设所求函数为sin()y A t b ωϕ=++，由题意得10T =，即5πω=，0.2A =和 3.8b =，故0.2sin 3.85y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．故答案为： 0.2sin 3.85y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查()sin y A x b ωϕ=++模型在实际问题中的应用，属于基础题. 11．13【分析】由图像可得最大值为30，最小值为10，从而可求出A ，b 的值，最高点和最低点的横坐标的差为半个周期，从而可求出 ω的值，再代入一个点的坐标可求出ϕ的值，从而可求出函数关系式，再把8x =代入函数中可得结果.【详解】解：由图像可得20b =，10A =和114682T =-=∴2168T ππωω==⇒= 10sin 208y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． ∵最低点坐标为(6,10)∴l0sin 620108πϕ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，得3sin 14πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 于是332()42k k Z πϕππ+=+∈，∴32()4k k Z ϕππ=+∈，取34ϕπ= ∴310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．当8x =时，则310sin 2020134y ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭．故答案为：13【点睛】此题考查三角函数模型的应用，掌握五点法是解题的关键，属于基础题.12．1cos 126y t π=+ 【分析】由表中的数据可知，函数的最大值为1.5，最小值为0.5，从而可求出A b ，的值，再由表中的数据可得其最小正周期为12，从而可求出ω的值.【详解】解：由题意得， 1.5A b +=和0.5A b -+= ∴12A =和1b =．又12T =，∴26T ππω==． 从而1cos 126y t π=+． 故答案为：1cos 126y t π=+ 【点睛】此题考查了三角函数模型的应用，掌握五点法是解题的关键，属于基础题.13．6sin (024)6y x x π=-≤≤【分析】由图设sin()y A x ωϕ=+(024)x ≤≤，由图象可知6A =和12T =，再求出6π=ω，将(9,6)代入函数的解析式得ϕπ=，即得解.【详解】由图设sin()y A x ωϕ=+(024)x ≤≤．由图象可知6A =，12T =所以26T ππω== 所以6sin()(024)6y x x πϕ=+≤≤ 将(9,6)代入函数的解析式得366sin()2πϕ=+ 所以3sin()1cos 12πϕϕ+=∴=-， 所以ϕπ=． 所以函数关系式为6sin 6sin (024)66y x x x πππ⎛⎫=+=-≤≤ ⎪⎝⎭． 故答案为：6sin (024)6y x x π=-≤≤ 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．【分析】由(0)f =,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得ϕ的值，将点3,14⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()f x 的表达式可得ω的值，即可得()f x 的解析式，将2021x =代入解析式利用诱导公式即可求解.【详解】由图知：(0)sin f ϕ==因为,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以34ϕπ= 所以3()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为333sin 1444f πω⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()3332442k k Z ππωπ+=+∈ 所以()83k k Z πωπ=+∈ 由图知：344T >，所以23T πω=<，可得23πω> 所以取0k =和 ωπ=，所以3()sin 4f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以3(2021)sin 2021sin 442f πππ⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：15．(1)π50cos 60,0126H t t =-+≤≤ (2)ππ50sin 66h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ [0,4][6,10]∈⋃t【分析】（1）建立合适的坐标系，求出H 关于t 的函数解析式；（2）在第一问的基础上，列出不等关系，用三角恒等变换化简，解出解集.(1)如图以摩天轮中心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系．由题意摩天轮的角速度2ππrad /min 126ω== 所以甲所在的位置的纵坐标ππ50sin 62y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭甲 则πππ50sin 6050cos 60,012626H t t t ⎛⎫=-+=-+≤≤ ⎪⎝⎭ (2)令甲、乙两位游客距离地面的高度为1H 和2H ，则12πππ50cos 6050cos 60636h H H t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ1π50cos 50cos cos 636626t t t t ⎛⎫=-++=+ ⎪⎝⎭ ππ50sin 66t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ [0,12]t ∈ 令ππ50sin 2566t ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，得ππ1sin 662t ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭或ππ1sin 662t ⎛⎫+≤- ⎪⎝⎭ 解得：[0,4][6,10]∈⋃t ．16．(1)3π；(2)【分析】（1）先由正弦定理及和角公式得sin()A C B +=，进而求得tan B =（2）由正弦定理得2sin sin a c A C ==，结合三角恒等变换得2sin(2)16ac A π=-+，由角A 的范围求出ac 的范围，再由面积公式即可求得面积的范围.(1)由正弦定理得：cos sin tan (sin )cos in A A C B B C +=，所以sin()A C B +=又因为A C B π+=-，所以sin B B =和tan B =0B π<<，所以3B π=. (2)由（1）知3B π=，又ABC 是锐角三角形，所以62A ππ<<，由正弦定理得sin sin sin 2a c b A C B ====得sin sin s 244i sin()3n A C A ac A π==-21422sin 2sin sin A A A A A ⎤⎥+⎦=⎣=+2cos 212sin(2)16A A A π=-+=-+因为62A ππ<<，所以52666A πππ<-<，所以ac 的取值范围为(]2,3，因为1sin 4ABC S ac B ==△所以ABC 面积的取值范围为. 17．ABD 【解析】根据a 的取值分类讨论，估计函数的周期，确定正确选项．【详解】0a =时，则()1f x =，图象为B若0a <，则()1()sin()f x a ax =+--，此时0a ->．因此不妨设0a >，1a >则22T a ππ=<，max ()2f x >图象可能为D 若01a <<，则22T aππ=>，max ()2f x <图象可能为A ． 故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象与性质，解题时可通过确定函数的周期，最值，对称性，单调性确定图象的可能性．如果是单选题，则利用排除法得出结论．。
(精选试题附答案)高中数学第五章三角函数必须掌握的典型题
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第五章三角函数必须掌握的典型题单选题1、已知角α的终边与单位圆的交点P (45,35)，则sin (π−α)=（ ）A ．−35B ．−45C ．35D ．45答案：C分析：首先根据三角函数的定义求得sinα，然后根据诱导公式求得正确结果.依题意sinα=35√(5)2+(5)2=35，sin (π−α)=sinα=35.故选：C2、若tanθ=−2，则sin 2θ+2sinθcosθ−cos 2θ的值是（ ） A ．−15B ．−35C ．−75D ．15 答案：A分析：利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得； 解：因为tanθ=−2， 所以sin 2θ+2sinθcosθ−cos 2θ=sin 2θ+2sinθcosθ−cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+2tanθ−1tan 2θ+1=(−2)2+2×(−2)−1(−2)2+1=−15.故选：A3、设函数f(x)=cos (ωx +π6)在[−π,π]的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2答案：C分析：由图可得：函数图象过点(−4π9,0)，即可得到cos (−4π9⋅ω+π6)=0，结合(−4π9,0)是函数f (x )图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到−4π9⋅ω+π6=−π2，即可求得ω=32，再利用三角函数周期公式即可得解.由图可得：函数图象过点(−4π9,0)，将它代入函数f (x )可得：cos (−4π9⋅ω+π6)=0又(−4π9,0)是函数f (x )图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以−4π9⋅ω+π6=−π2，解得：ω=32所以函数f (x )的最小正周期为T =2πω=2π32=4π3故选：C小提示：本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.4、记函数f(x)=sin(ωx +π4)+b(ω>0)的最小正周期为T ．若2π3<T <π，且y =f(x)的图象关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=（ ） A ．1B ．32C ．52D ．3 答案：A分析：由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.由函数的最小正周期T 满足2π3<T <π，得2π3<2πω<π，解得2<ω<3，又因为函数图象关于点(3π2,2)对称，所以3π2ω+π4=kπ,k ∈Z ，且b =2， 所以ω=−16+23k,k ∈Z ，所以ω=52，f(x)=sin (52x +π4)+2，所以f (π2)=sin (54π+π4)+2=1. 故选：A5、若函数f(x)=sin(ωx +π3)(0<ω<3)的图象向右平移2π3个长度单位后关于点(π2,0)对称，则f(x)在[−7π24,π2]上的最小值为（ ）A ．1B ．−√22C ．−√32D ．√6−√24答案：C分析：由图像平移过程写出平移后的解析式g(x)=sin(ωx +π3−2ωπ3)，利用正弦函数的对称性求参数ω，最后由正弦型函数的单调性求区间最小值即可.将f(x)向右平移2π3个长度单位后，得到g(x)=sin[ω(x −2π3)+π3]=sin(ωx +π3−2ωπ3)，∵g(x)关于(π2,0)对称， ∴g(π2)=sin(ωπ2+π3−2ωπ3)=sin(π3−ωπ6)=0，∴π3−ωπ6=kπ,k ∈Z ，即ω=2−6k,k ∈Z ，又0<ω<3，则ω=2，即f(x)=sin(2x +π3)， 由x ∈[−7π24,π2]知：2x +π3∈[−π4,4π3]，则sin(2x +π3)∈[−√32,1]， ∴f(x)在[−7π24,π2]上的最小值为−√32. 故选：C.6、已知f (x )=tanωx (0<ω<1)在区间[0,π3]上的最大值为√33，则ω=（ ） A ．12B ．13C ．23D ．34答案：A分析：先求出0≤ωx≤ωπ3，再根据f(x)max=tanωπ3=tanπ6=√33解方程即可.因为x∈[0,π3]，即0≤x≤π3，又0<ω<1，所以0≤ωx≤ωπ3<π3，所以f(x)max=tanωπ3=tanπ6=√33，所以ωπ3=π6，ω=12．故选：A．7、已知某摩天轮的旋转半径为60米，最高点距地面135米，运行一周大约30分钟，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第10分钟时他距地面大约为（）A．95米B．100米C．105米D．110米答案：C分析：设函数关系式为f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈[0,2π))，根据题意求得各参数得解析式，然后计算f(10)可得．设该游客在摩天轮上离地面高度f(t)（米）与时间t（分钟）的函数关系为f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω> 0,φ∈[0,2π))，由题意可知A=60，B=135−60=75，T=2πω=30，所以ω=π15，即f(t)=60sin(π15t+φ)+75．又f(0)=135−120=15，得sinφ=−1，故φ=3π2，所以f(t)=60sin(π15t+3π2)+75=−60cosπ15t+75，所以f(10)=−60×cos2π3+75=105．故选：C．8、函数y=−sin2x−4cosx+6的值域是（）A．[2,10]B．[0,10]C．[0,2]D．[2,8]答案：A分析：根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于cosx 的二次函数，利用换元法可得值域. 函数y =−sin 2x −4cosx +6=−(1−cos 2x )−4cosx +6 =cos 2x −4cosx +5=(cosx −2)2+1， 因为cosx ∈[−1,1]，所以当cosx =1时，函数取得最小值2， 当cosx =−1时，函数取得最大值10， 故函数的值域为[2,10]， 故选：A ．9、将函数f (x )=sin 12x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位得到函数g (x )=cos 12x 的图象，则φ的最小值是（ ）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π答案：C分析：依据平移然后判断可知12φ=π2+2k π(k ∈Z )，简单判断可知结果. 由已知可得sin 12(x +φ)=cos 12x =sin (12x +π2)，∴12φ=π2+2k π(k ∈Z )，∴φ=π+4k π(k ∈Z )． ∵φ>0，∴φ的最小值是π． 故选：C10、已知cosα=2√55，则cos 4α−sin 4α=（ ）A ．35B ．45C ．1225D ．−1225答案：A分析：利用同角三角函数基本关系式先化简再求值. ∵cosα=2√55， ∴cos 4α−sin 4α=(cos 2α+sin 2α)(cos 2α−sin 2α)=cos 2α−sin 2α=2cos 2α−1=2×(2√55)2−1=35.故选：A.小提示：利用三角公式求三角函数值的关键：(1)角的范围的判断；(2)选择合适的公式进行化简求值．填空题11、函数f(x)=sinx−√3cosx的严格增区间为________．答案：[2kπ−π6,2kπ+5π6],k∈Z分析：利用辅助角公式将f(x)化为f(x)=2sin(x+π3)，然后由三角函数单调区间的求法，求得函数f(x)的单调区间.依题意f(x)=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)，由2kπ−π2≤x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得2kπ−π6≤x≤2kπ+5π6，k∈Z，所以f(x)单调递增区间为[2kπ−π6,2kπ+π6](k∈Z).所以答案是：[2kπ−π6,2kπ+5π6](k∈Z)12、函数y=tan(x+π6),x∈(−π6,π3)的值域为______.答案：(0,+∞)分析：根据题意，结合正切函数的图象与性质，即可求解.设z=x+π6，因为x∈(−π6,π3)，可得z∈(0,π2)，因为正切函数y=tanz在(0,π2)上的值域为(0,+∞)，即函数y=tan(x+π6)在(−π6,π3)的值域为(0,+∞).所以答案是：(0,+∞).13、函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈[−π4,π4]的值域为____________． 答案：[－4，4]分析：根据正切函数的单调性可得－1≤tan x ≤1，令tan x ＝t ，利用二次函数的性质即可求解. ∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1. 令tan x ＝t ，则t ∈[－1，1]， ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5.∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4，当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4.故所求函数的值域为[－4，4]． 所以答案是：[－4，4]小提示：本题考查了正切函数的单调性、二次函数的单调性求值域，属于基础题. 14、已知cos(θ+π6)=−√33,则sin(π6−2θ)=__．答案：−13分析：根据诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果. ∵cos(θ+π6)=−√33， ∴sin(π6−2θ) =cos[π2−(π6−2θ)] =cos(2θ+π3)=cos[2(θ+π6)]=2cos 2(θ+π6)−1 =2×(−√33)2−1=−13.所以答案是：−13.15、已知tan α=2，则1sin 2α−cos 2α _____. 答案：53分析：根据弦切互化即可求解.因为tanα=2，所以1sin2α−cos2α=sin2α+cos2αsin2α−cos2α=tan2α+1tan2α−1=4+14−1=53所以答案是：53解答题16、已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图.(1)求函数f(x)的解析式;(2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，当x∈[−π6,π]时，求g(x)值域.答案：(1)f(x)=2sin(2x−π3)；(2)[−√3,2].分析：（1）根据图象由函数最值求得A，由函数周期求得ω，由特殊点求得φ，即可求得解析式；（2）根据三角函数图象的变换求得g(x)的解析式，再利用整体法求函数值域即可.(1)由图象可知，f(x)的最大值为2，最小值为−2，又A>0，故A=2，周期T=43[5π12−(−π3)]=π，∴2π|ω|=π，ω>0，则ω=2，从而f(x)=2sin(2x+φ)，代入点(5π12,2)，得sin(5π6+φ)=1，则5π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，即φ=−π3+2kπ，k∈Z，又|φ|<π2，则φ=−π3.∴f(x)=2sin(2x−π3).(2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，故可得y=2sin(x−π3)；再将所得图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象故可得g(x)=2sin(x−π6)；∵x∈[−π6,π]∴x−π6∈[−π3,5π6]，sin(x−π6)∈[−√32,1]，2sin(x−π6)∈[−√3,2]，∴g(x)的值域为[−√3,2].17、已知向量m⃗⃗ =(sinx,−12),n⃗=(√3cosx,cos2x)，函数f(x)=m⃗⃗ ⋅n⃗（1）求函数f(x)的最大值及最小正周期；（2）将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[0,π2]上的值域．答案：（1）最大值为1,最小正周期为π；（2）[−12,1]分析：(1)由已知化简可得f(x)=sin(2x−π6),可得最大值，利用周期公式可求f(x)的最小正周期;(2)由图象变换得到g(x)=sin(2x+π6),从而求函数的值域.(1) f(x)=m⃗⃗ •n⃗=√3sin x cos x−12cos2x=√32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6).所以函数的最大值为1,最小正周期为T=2π|ω|=2π2=π(2)由(1)得f(x)=sin(2x−π6).将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位后得到y=sin[2(x+π6)−π6]=sin(2x+π6)的图象.因此g(x)=sin(2x+π6)，又x∈[0,π2]，所以2x+π6∈[π6,7π6]，sin(2x+π6)∈[−12,1].故g(x)在[0,π2]上的值域为[−12,1].小提示：本题考查利用三角恒等变换求解三角函数的性质，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于向量数量积运算与恒等变换得f(x)=sin(2x−π6)，进而根据三角函数性质求解.18、一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度ℎ（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？答案：（1）ℎ=2sin(2πt3−π6)+1(t≥0)；（2）有1s时间点P距水面的高度超过2米.分析：（1）设ℎ=asin(ωt+φ)+b，根据题意求得a、b的值，以及函数ℎ=asin(ωt+φ)+b的最小正周期，可求得ω的值，根据∠BP0O的大小可得出φ的值，由此可得出ℎ关于t的函数解析式；（2）由ℎ>2得出sin(2πt3−π6)>12，令t∈[0,3]，求得2πt3−π6的取值范围，进而可解不等式sin(2πt3−π6)>12，可得出t的取值范围，进而得解.（1）设水轮上圆心O正右侧点为A，y轴与水面交点为B，如图所示：设ℎ=asin (ωt +φ)+b ，由OB =1，OP =2，可得∠BOP 0=π3，所以∠AOP 0=π6. ∴a =2，b =1，φ=−π6，由题意可知，函数ℎ=2sin (ωt −π6)+1的最小正周期为T =3，∴ω=2πT =2π3， 所以点P 距离水面的高度ℎ关于时间t 的函数为ℎ=2sin (2πt 3−π6)+1(t ≥0)； （2）由ℎ=2sin (2πt 3−π6)+1>2，得sin (2πt 3−π6)>12， 令t ∈[0,3]，则2πt 3−π6∈[−π6,11π6]， 由π6<2π3t −π6<5π6，解得12<t <32，又32−12=1，所以在水轮转动的任意一圈内，有1s 时间点P 距水面的高度超过2米.小提示：本题考查三角函数模型的简单应用，根据题意建立函数解析式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.19、已知sinα=1517，cosβ=−513，且α∈(π2,π)，β∈(π2,π)，求cos(α+β)，sin(α−β). 答案：cos(α+β)=−140221；sin(α−β)=21221.分析：本题先求cosα、sinβ，再求cos(α+β)、sin(α−β)即可解题.解：∵sinα=1517，∴ cosα=±√1−sin 2α=±817，∵ α∈(π2,π)，∴ cosα=−817，∵ cosβ=−513，∴ sinβ=±√1−cos 2β=±1213，∵ β∈(π2,π)，∴ sinβ=1213，∴ cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=(−817)×(−513)−1517×1213=−140221；sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=1517×(−513)−(−817)×1213=21221.小提示：本题考查同角三角函数关系，两角和差的正余弦公式，是基础题.。
高等数学第五章复习题
所以f x 单调递增， 当x 0, 1时， f x f 1. f 1 e t dt,
1 0 2
令 t u , t u , dt 2udu. t 0, u 0; t 1, u 1.
所以 e dt 2 e udu 2 ud e u
则 f x 1dx f x 1dx f x 1dx
1 0 1 1 1 0
x 3 0 x 1dx dx x 1 1 . 1 0 2 2
0 1
2
第五章自测题
• 题二 、 选择题：
3. 由积分中值定理， 有
2
0
0 x 0
t x2
x2
dt 0 0
lim
x 0
ex
2
x2
0
(1 2t )et dt x
2 x2 t x2
2
lim
x 0
2 xe
x
0 1 2t e dt e
2x
e (1 2 x 2 ) 2 x
2
x2
x lim e x 0 1.
dx
4
x 2de
3
4
3
x 2e
x2 3 1
x 2 lnx 2 4 x 2 d lnx 2 3 3 2 2 4 x2 1 x2 3 e e e 1 2 ln 2 dx 3 2 4
2 4 2
1 1
ln2 xdx x ln2 x
1 2 ln 3 1 dx ln 3 x 2 ln 2 x 1 1 2 x 1
1 ln 3 x dx 1 2 x 1 2 x 2 ln 3 dx 1 2 x
(整理)高等数学第五章定积分试题
第五章 定 积 分§5—1 定积分概念一、填空题1． )(x f 在[a,b]上可积的充分条件是 。
2． nn knk n ∑=∞→1lim用定积分表示可表示成 。
3． 由定积分的几何意义知⎰-ππxdx sin = ，⎰-ππxdx sin = 。
4． 定积分dx x a aa⎰--22的几何意义是 。
二．判断题。
1．若f(x)在[ a,b]上有界，则f(x)在[a,b]上可积。
（ ） 2．若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[ a,b]上有界。
（ ） 3．若f(x)、g(x)在[a,b]上都不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上必不可积。
（ ） 5． 若f(x)在[a,b]上可积，则g(x) )在[a,b]上不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上一定不可积。
（ ） 三．单项选择题。
1． 定积分⎰badx x f )(表示和式的极限是 。
（A ）、))((1lim a b nkf n ab nk n --∑=∞→ （B ）、))(1(1lim a b nk f n ab nk n ---∑=∞→（C ）∑=∞→∆nk kkn x f 1)(lim ξ（i ξ为i x ∆中任一点）（D ）、∑=∞→∆nk kkx f 1)(l i m ξλ（}{max 1i ni x ∆=≤≤λ，i ξ为i x ∆中任一点）2．定积分⎰badx x f )(=∑=∞→∆nk kkxf 1)(lim ξλ表明（A ）、[b a ,]必须n 等分,kξ是[x k-1,x k ]的端点。
（B ）、[b a ,]可以任意分,ξk必是[x k-1,x k ]的端点。
（C ）、[b a ,]可以任意分, }m ax{1x k nk ∆≤≤=λ，k ξ可在[x k-1,x k ]上任取。
（D ）、[b a ,]必须等分, }m ax{1x k nk ∆≤≤=λ，k ξ可在[x k-1,x k ]上任取四．利用定积分定义计算 ⎰baxdx )(b a <§5—2 定积分的性质 中值定理一、判断题1．若函数)(x f 在[b a ,]上连续，且0)(2=⎰dx x f ba则在[b a ,]上f(x)0≡ （ ）2．若f(x),g(x)在[b a ,]上可积且f(x)<g(x),则dx x g dx x f baba⎰⎰<)()( （ ）3．若函数)(x f 在[b a ,]上可积且[d c ,]⊂ [b a ,] 则⎰⎰≤badcdx x f dx x f )()( （ ）4．若函数)(x f 在[b a ,]上可积，则至少有一点∈δ[b a ,],使⎰-baa b f ))((δ （ ）5．不等式 32a r c t a n 9331ππ≤≤⎰x d x x 成立。
(精选试题附答案)高中数学第五章三角函数基本知识过关训练
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第五章三角函数基本知识过关训练单选题1、已知函数f(x)=a 2x−6+3（a >0且a ≠1）的图像经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sinθ−cosθsinθ+cosθ=（ ） A ．−17B ．0C ．7D ．17答案：D分析：由题知A(3,4),进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可. 解:令2x −6=0得x =3,故定点A 为A(3,4), 所以由三角函数定义得tanθ=43，所以sinθ−cosθsinθ+cosθ=tanθ−1tanθ+1=43−143+1=17故选：D2、f(x)=−sinx−xcosx+x 2在[−π,π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C分析：先由函数为奇函数可排除A ，再通过特殊值排除B 、D 即可. 由f(−x)=−sin (−x )+x cosx+x 2=−−sinx−x cosx+x 2=−f (x )，所以f (x )为奇函数，故排除选项A.又f (π)=−sinπ−πcosπ+π2=−ππ2−1<0，则排除选项B,D故选：C3、设函数f(x)=2sin (ωx +φ)−1(ω>0)，若对于任意实数φ，f(x)在区间[π4,3π4]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．[83,163)B ．[4,163)C ．[4,203)D ．[83,203)答案：B分析：t =ωx +φ，只需要研究sint =12的根的情况，借助于y =sint 和y =12的图像，根据交点情况，列不等式组，解出ω的取值范围. 令f(x)=0，则sin (ωx +φ)=12令t =ωx +φ，则sint =12则问题转化为y =sint 在区间[π4ω+φ,3π4ω+φ]上至少有两个，至少有三个t ，使得sint =12，求ω的取值范围.作出y =sint 和y =12的图像，观察交点个数，可知使得sint =12的最短区间长度为2π，最长长度为2π+23π， 由题意列不等式的：2π≤(3π4ω+φ)−(π4ω+φ)<2π+23π解得：4≤ω<163.故选：B小提示：研究y =Asin (ωx +φ)+B 的性质通常用换元法（令t =ωx +φ），转化为研究y =sint 的图像和性质较为方便.4、将函数f (x )=sin 12x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位得到函数g (x )=cos 12x 的图象，则φ的最小值是（ ）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π 答案：C分析：依据平移然后判断可知12φ=π2+2k π(k ∈Z )，简单判断可知结果. 由已知可得sin 12(x +φ)=cos 12x =sin (12x +π2)，∴12φ=π2+2k π(k ∈Z )，∴φ=π+4k π(k ∈Z )． ∵φ>0，∴φ的最小值是π． 故选：C5、已知f (x )=2√3sinwxcoswx +2cos 2wx ，（w >0），若函数在区间(π2,π)内不存在对称轴，则w 的范围为（ ）A ．(0,16]∪[13,34]B ．(0,13]∪[23,34]C ．(0,16]∪[13,23]D ．(0,13]∪[23,56] 答案：C分析：先通过三角恒等变换将f (x )化简成正弦型函数，再结合正弦函数性质求解即可． 函数化简得f (x )=√3sin2wx +cos2wx +1=2sin (2wx +π6)+1， 由2wx +π6=kπ+π2(k ∈Z )， 可得函数的对称轴为x =kπ+π32w(k ∈Z )，由题意知，kπ+π32w≤π2且(k+1)π+π32w≥π，即k +13≤w ≤3k+46，k ∈Z ，若使该不等式组有解，则需满足k +13≤3k+46，即k ≤23，又w >0，故0≤3k+46，即k >−43，所以−43<k ≤23，又k ∈Z ，所以k =0或k =1，所以w ∈(0,16]∪[13,23]． 6、若sin (π7+α)=12，则sin (3π14−2α)=（ ）A ．35B ．−12C ．12D ．13答案：C分析：令θ=π7+α可得α=θ−π7，再代入sin (3π14−2α)，结合诱导公式与二倍角公式求解即可令θ=π7+α可得α=θ−π7，故sinθ=12，则sin (3π14−2α)=sin (3π14−2(θ−π7)) =sin (π2−2θ)=cos2θ=1−2sin 2θ=12 故选：C7、设函数f(x)=2sin(ωx +φ)−1(ω>0,0⩽φ⩽π2)的最小正周期为4π，且f(x)在[0,5π]内恰有3个零点，则φ的取值范围是（ ）A ．[0,π3]∪{5π12}B ．[0,π4]∪[π3,π2]C ．[0,π6]∪{5π12}D ．[0,π6]∪[π3,π2] 答案：D分析：根据周期求出ω=12，结合φ的范围及x ∈[0,5π]，得到5π2⩽φ+5π2⩽3π，把φ+5π2看做一个整体，研究y =sinx −12在[0,3π]的零点，结合f(x)的零点个数，最终列出关于φ的不等式组，求得φ的取值范围 因为T =2πω=4π，所以ω=12.由f(x)=0，得sin(12x +φ)=12.当x ∈[0,5π]时，12x +φ∈[φ,φ+5π2]，又0⩽φ⩽π2，则5π2⩽φ+5π2⩽3π.因为y =sinx −12在[0,3π]上的零点为π6，5π6，13π6，17π6，且f(x)在[0,5π]内恰有3个零点，所以{0⩽φ⩽π6,13π6⩽φ+5π2<17π6或{π6<φ⩽π2,17π6⩽φ+5π2,解得φ∈[0,π6]∪[π3,π2]. 故选：D.8、若函数f (x )=sin (ωx +π3) (ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，112]∪[16，712]B ．(0，16]∪[13，23] C ．(0，712]D ．[13，23]答案：A分析：根据题意可得函数f (x )在区间(π，2π)内单调，故可先求出函数的单调区间，再根据区间(π，2π)为单调区间的子集得到关于ω的不等式组，解不等式组可得所求． 解：函数y =sin x 的单调区间为[kπ+π2，kπ+3π2]，k ∈Z ，由kπ+π2⩽ωx +π3⩽kπ+3π2，k ∈Z ，得kπ+π6ω⩽x ⩽kπ+7π6ω，k ∈Z ．∵函数f (x )=sin (ωx +π3)(ω>0) 在区间(π，2π)内没有最值， ∴函数f (x ) 在区间(π，2π)内单调，∴(π，2π)⊆[kπ+π6ω，kπ+7π6ω]，k ∈Z ，∴ {kπ+π6ω⩽πkπ+7π6ω⩾2π，k∈Z，解得k+16⩽ω⩽k2+712，k∈Z.由k+16<k2+712，得k<56．当k=0时，得16⩽ω⩽712，当k=−1时，得−56⩽ω⩽112，又ω>0，故0<ω⩽112，综上得ω的取值范围是(0，112]∪[16，712]，故选A9、函数f(x)=sinx+xcosx+x2在[—π，π]的图像大致为A．B．C．D．答案：D分析：先判断函数的奇偶性，得f(x)是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．由f(−x)=sin(−x)+(−x)cos(−x)+(−x)2=−sinx−xcosx+x2=−f(x)，得f(x)是奇函数，其图象关于原点对称．又f(π2)=1+π2(π2)2=4+2ππ2>1,f(π)=π−1+π2>0．故选D．小提示：本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．10、时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明，当气温上升到20°C时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28°C时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次.已知某景区一天内5~17时的气温T（单位：°C）与时间t（单位：h）近似满足关系式T=20−10sin (π8t −π8)，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历（ ）(sin 3π10≈0.8) A ．1.4h B ．2.4h C ．3.2h D ．5.6h 答案：B分析：由函数关系式T =20−10sin (π8t −π8)分别计算出花开放和闭合的时间，即可求出答案.设t 1时开始开放，t 2时开始闭合，则20−10sin (π8t 1−π8)=20,又t 1∈[5,17]，解得t 1=9，20−10sin (π8t 2−π8)=28，∴sin (π8t 2−π8)=−45,由sin 3π10≈0.8得sin 13π10≈−45，∴π8t 2−π8=13π10,∴t 2=575,∴t 2−t 1=125=2.4.故选：B. 填空题11、已知tan(α+β2)=√62,tanαtanβ=137,则cos(α−β)的值为______.答案：23分析：应用三角函数的恒等变换公式对tanβ=sinαsinβcosαcosβ变形求得cos(α−β)=−103cos(α+β)，再由tanα+β2求得cos(α+β)，可得结论．tanαtanβ=sinαsinβcosαcosβ=12[cos(α−β)−cos(α+β)]12(cos(α−β)+cos(α+β)]=137，所以cos(α−β)=−103cos(α+β)，cos(α+β)=1−tan 2α+β21+tan 2α+β2=1−(√62)21+(√62)=−15，所以cos(α−β)=−103×(−15)=23．所以答案是：23．12、若sin (θ+π8)=13，则sin (2θ−π4)＝________.答案：−79分析：由题知2(θ+π8)−π2=(2θ−π4)，进而根据诱导公式与二倍角公式求解即可.解：因为2(θ+π8)−(2θ−π4)=π2，所以sin(2θ−π4)=sin[2(θ+π8)−π2]=−cos[2(θ+π8)]=2sin2(θ+π8)−1=2×(13)2−1=−79．所以答案是：−7913、已知一扇形的弧所对的圆心角为π3，半径r=20cm，则扇形的弧长为___________cm.答案：20π3##203π分析：由弧长公式直接求解即可.由弧长公式可得，弧长为π3×20=20π3cm.所以答案是：20π3.14、已知函数f(x)=3sin(ωx+π6)(ω>0)在(0，π12)上单调递增，则ω的最大值是____.答案：4分析：根据正弦型函数的单调性即可求解.由函数f(x)=3sin(ωx+π6)(ω>0)在区间(0，π12)上单调递增，可得ω⋅π12+π6≤π2，求得ω≤4，故ω的最大值为4，所以答案是：415、某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A 是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，BH//DG，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．答案：4+52π分析：利用tan∠ODC=35求出圆弧AB所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB的面积，求出直角△OAH的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.设OB=OA=r，由题意AM=AN=7，EF=12，所以NF=5，因为AP=5,所以∠AGP=45°，因为BH//DG，所以∠AHO=45°，因为AG与圆弧AB相切于A点，所以OA⊥AG，即△OAH为等腰直角三角形；在直角△OQD中，OQ=5−√22r，DQ=7−√22r，因为tan∠ODC=OQDQ =35，所以21−3√22r=25−5√22r，解得r=2√2；等腰直角△OAH的面积为S1=12×2√2×2√2=4；扇形AOB的面积S2=12×3π4×(2√2)2=3π，所以阴影部分的面积为S1+S2−12π=4+5π2.所以答案是：4+5π2.小提示：本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.解答题16、函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)先将函数f(x)图象上所有点向右平移5π24个单位长度，再将横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，当x∈[0,π2]时，求函数g(x)的单调递增区间．答案：(1)f(x)=sin(2x+π4)(2)[0,π6]和[5π12,π2]分析：（1）根据图像计算A=1周期T=π，代入点(−π8,0)解得φ=π4，得到函数解析式.（2）根据函数平移得到g(x)=sin(4x−π6)，取2kπ−π2≤4x−π6≤2kπ+π2，解得答案.(1)由函数图象知A=1，T2=3π8−(−π8)=π2，∴T=π，∴ω=2，∵sin [2×(−π8)+φ]=0，∴−π4+φ=2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ=π4，∴f(x)=sin (2x +π4)．(2)y =sin (2(x −5π24)+π4)=sin (2x −π6)，故g(x)=sin (4x −π6)，由2k π−π2≤4x −π6≤2k π+π2，k ∈Z ，得k π2−π12≤x ≤k π2+π6，k ∈Z ． ∵x ∈[0,π2]，∴g(x)的单调递增区间为[0,π6]和[5π12,π2]． 17、函数y =f(x)的定义域为I ，对于区间D ⊆I ，如果存在x 1,x 2∈D ，x 1≠x 2，使得f (x 1)+f (x 2)=2，则称区间D 为函数y =f(x)的“P 区间”．（1）判断(−∞,+∞)是否是函数y =sin (x +π12)+3的“P 区间”，并说明理由；（2）设ω为正实数，若[π,2π]是函数y =cosωx 的“P 区间”，求ω的取值范围．答案：（1）不是，理由见解析；（2）{2}∪[3,+∞).分析：(1)根据函数值的范围可判定(−∞,+∞)不是函数y =sin (x +π12)+3的“P 区间”；(2)根据新定义和余弦函数的性质可得存在k ，l ∈Z ，使得{ωx 1=2kπ,ωx 2=2lπ.，再分类讨论即可求出ω的取值范围. (1) (−∞,+∞)不是函数y =sin (x +π12)+3的“P 区间”.理由如下： 因为f (x )=sin (x +π12)+3≥2，所以对于任意的x 1，x 2∈(−∞,+∞)，都有f (x 1)+f (x 2)≥4，所以(−∞,+∞)不是函数y =sin (x +π12)+3的“P 区间”.(2)因为[π,2π]是函数y =cos ωx 的“P 区间”，所以存在x 1,x 2∈[π,2π]，x 1≠x 2，使得cos ωx 1+cos ωx 2=2.所以{cosωx 1=1,cosωx 2=1.所以存在k,l ∈Z ，使得{ωx 1=2kπ,ωx 2=2lπ.不妨设π≤x 1<x 2≤2π，又因为ω>0，所以ωπ≤ωx 1<ωx 2≤2ωπ，所以ω≤2k <2l ≤2ω.即在区间[ω,2ω]内存在两个不同的偶数.①当ω≥4时，区间[ω,2ω]的长度2ω−ω≥4，所以区间[ω,2ω]内必存在两个相邻的偶数，故ω≥4符合题意.②当0<ω<4时，有0<ω≤2k <2l ≤2ω<8，所以2k,2l ∈{2,4,6}.当{2k =4,2l =6时，有{ω≤4,6≤2ω ，即3≤ω≤4. 所以3≤ω<4也符合题意.当{2k =2,2l =4时，有{ω≤2,4≤2ω ，即ω=2. 所以ω=2符合题意.当{2k =2,2l =6时，有{ω≤2,6≤2ω ，此式无解. 综上所述，ω的取值范围是{2}∪[3,+∞).18、《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.（1）当圆心角∠AOB 为23π，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；（2）已知如图该扇形圆心角∠AOB 是α，半径为r ，若该扇形周长是一定值c(c >0)当α为多少弧度时，该扇形面积最大？答案：（1）16π3−4√3；（2）α=2.分析：（1）令圆弧的半径为R ，由定义知R −Rcos∠AOB 2=2求R ，进而由弧田面积S =S OACB −S △AOB ，即可求其面积；（2）由题意得αr +2r =c ，扇形面积S =αr 22，利用基本不等式求其最大值，确定最大值时α的值即可.（1）由题意，如下图示CD =2，令圆弧的半径为R ，∠AOB =2π3，∴OD =Rcos π3=R 2，即CD =OC −OD =R −R 2=2，得R =4，∴弧田面积S =S OACB −S △AOB =13πR 2−12⋅OD ⋅AB ，而AB =√3R ，∴S =16π3−4√3.（2）由题意知：弧长AOB 为αr ，即该扇形周长αr +2r =c ，而扇形面积S =αr 22， ∴S =αc 22(α+2)2=c 22(α+4α)+8≤24√α⋅4α+8=c 216当且仅当α=2时等号成立. ∴当α=2时，该扇形面积最大.小提示：关键点点睛：（1）根据“矢”的定义，结合扇形中弦、半径、圆心角的关系求其半径，进而由面积关系求弧田面积即可；（2）由扇形周长、面积公式列出扇形面积S 关于圆心角α的函数，应用基本不等式求最值并确定等号成立的条件.19、若函数f(x)=sin (ωx +π6)(ω>0)在区间(π,2π)内没有最值，求ω的取值范围.答案：(0,16]∪[13,23] 分析：由题意可知函数f(x)=sin (ωx +π6)(ω>0)在区间(π,2π)单调，易知T 2≥π，结合函数的图像与性质可得结果.由于函数f(x)=sin (ωx +π6)(ω>0)在区间(π,2π)内没有最值， ∴函数f(x)=sin (ωx +π6)(ω>0)在区间(π,2π)单调， ∴T 2≥π, 则0<ω≤1当x ∈(π,2π)时，ωx +π6∈(ωπ+π6,2ωπ+π6)，由于f(x)在区间(π,2π)内没有最值，因此(ωπ+π6,2ωπ+π6)⊆(2kπ−π2,2kπ+π2)或(ωπ+π6,2ωπ+π6)⊆(2kπ+π2,2kπ+3π2)， 即{ωπ+π6⩾2kπ−π22ωπ+π6⩽2kπ+π20<ω≤1或{ωπ+π6⩾2kπ+π22ωπ+π6⩽2kπ+3π20<ω≤1 ，解得0<ω⩽16或13⩽ω⩽23， 所以ω的取值范围是(0,16]∪[13,23]．。
(精选试题附答案)高中数学第五章三角函数专项训练题
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第五章三角函数专项训练题单选题1、已知f (x )=tanωx (0<ω<1)在区间[0,π3]上的最大值为√33，则ω=（ ） A ．12B ．13C ．23D ．34 答案：A分析：先求出0≤ωx ≤ωπ3，再根据f (x )max =tan ωπ3=tan π6=√33解方程即可. 因为x ∈[0,π3]，即0≤x ≤π3，又0<ω<1，所以0≤ωx ≤ωπ3<π3，所以f (x )max =tan ωπ3=tan π6=√33， 所以ωπ3=π6，ω=12． 故选：A ．2、若sin (π7+α)=12，则sin (3π14−2α)=（ ）A ．35B ．−12C ．12D ．13 答案：C分析：令θ=π7+α可得α=θ−π7，再代入sin (3π14−2α)，结合诱导公式与二倍角公式求解即可令θ=π7+α可得α=θ−π7，故sinθ=12，则sin (3π14−2α)=sin (3π14−2(θ−π7)) =sin (π2−2θ)=cos2θ=1−2sin 2θ=12故选：C3、记函数f(x)=sin(ωx +π4)+b(ω>0)的最小正周期为T ．若2π3<T <π，且y =f(x)的图象关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=（ ） A ．1B ．32C ．52D ．3 答案：A分析：由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.由函数的最小正周期T 满足2π3<T <π，得2π3<2πω<π，解得2<ω<3， 又因为函数图象关于点(3π2,2)对称，所以3π2ω+π4=kπ,k ∈Z ，且b =2，所以ω=−16+23k,k ∈Z ，所以ω=52，f(x)=sin (52x +π4)+2，所以f (π2)=sin (54π+π4)+2=1. 故选：A4、已知函数f(x)=sin2x +√3cos2x 的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象关于y 轴对称，则|φ|的最小值为（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π12答案：A分析：首先将函数f (x )化简为“一角一函数”的形式，根据三角函数图象的平移变换求出函数g(x)的解析式，然后利用函数图象的对称性建立φ的关系式，求其最小值．f(x)=sin2x +√3cos2x =2sin (2x +π3)， 所以g(x)=f(x +φ)=2sin [2(x +φ)+π3] =2sin (2x +2φ+π3)， 由题意可得，g(x)为偶函数，所以2φ+π3=kπ+π2(k ∈Z)，解得φ=kπ2+π12(k ∈Z)，又φ>0，所以φ的最小值为π12． 故选：A.5、阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（cm）和时间t（s）的函数关系式为s=2sin(ωt+φ)，其中ω>0，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为s0(−2<s0<2)的时间分别为t1，t2，t3，且t3−t1=2，则ω=（）A．π2B．πC．3π2D．2π答案：B分析：利用正弦型函数的性质画出函数图象，并确定连续三次位移为s0的时间t1，t2，t3，即可得T=t3−t1，可求参数ω.由正弦型函数的性质，函数示意图如下：所以T=t3−t1=2，则2πω=2，可得ω=π.故选：B6、某公园有一摩天轮，其直径为110米，逆时针匀速旋转一周所需时间约为28分钟，最高处距离地面120米，能够看到方圆40公里以内的景致.某乘客观光3分钟时看到一个与其视线水平的建筑物，试估计建筑物多高？（）（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）A．50B．38C．27D．15答案：C分析：作出简图，求出3分钟走过的角度，从而求出三分钟后距摩天轮最低点的高度，进而求出建筑物的高度.设走了3分钟到达B（如图所示），走过的圆心角为θ=2π×328=3π14， OE =Rcos 3π14=55cos 3π14，因为π6<3π14<π4 ， 所以√22<cos 3π14<√32， 所以38.885<55cos 3π14<47.63所以AE =55−55cos 3π14∈(7.73,21.145)，所以建筑物的高度：55(1−cos 3π14)+10∈(17.73,31.145)故选：C7、已知角α的终边与单位圆的交点P (45,35)，则sin (π−α)=（ ） A ．−35B ．−45C ．35D ．45答案：C分析：首先根据三角函数的定义求得sinα，然后根据诱导公式求得正确结果.依题意sinα=35√(5)2+(5)2=35， sin (π−α)=sinα=35.故选：C8、已知函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如下图所示.则能够使得y =2sinx 变成函数f (x )的变换为（ ）A ．先横坐标变为原来的12倍，再向左平移π24B ．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移π12C ．先向左平移π6，再横坐标变为原来的12倍D ．先向左平移π24，再横坐标变为原来的2倍 答案：C分析：先根据给定图象求出函数f (x )的解析式，再求出由y =2sinx 到f (x )的变换即得.观察图象知A =2，f (x )周期为T ，则T 4=5π12−π6=π4，即T =π，ω=2πT =2， 又f (π6)=2，即2⋅π6+φ=2kπ+π2(k ∈Z)，而|φ|<π2，则k =0,φ=π6， 所以f (x )=2sin(2x +π6)，把y =2sinx 图象向左平移π6得y =2sin(x +π6)图象，再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的12倍即得f (x ). 故选：C9、已知函数f (x )=|cos 2x |+cos x ，下列四个结论中正确的是（ ）A ．函数f (x )在(0,π)上恰有一个零点B ．函数f (x )在[0,π2]上单调递减C ．f (π)=2D ．函数f (x )的图象关于点(π2,0)对称答案：A分析：对x 的范围进行分类讨论，由此判断A 的正确性.利用赋值法判断BC 选项的正确性.由f (π2+x)+f (π2−x)是否为0来判断D 选项的正确性. x ∈(0,π4),2x ∈(0,π2)，f (x )=cos2x +cosx =2cos 2x +cosx −1=0，cosx =−1（舍去）或cosx =12,x =π3（舍去）.x ∈[π4,3π4],2x ∈[π2,3π2]，f (x )=−cos2x +cosx =−2cos 2x +cosx +1=0，cosx =1（舍去）或cosx =−12,x =2π3. x ∈(3π4,π),2x ∈(3π2,2π)，f (x )=cos2x +cosx =2cos 2x +cosx −1=0，cosx =−1（舍去）或cosx =12（舍去）.综上所述，函数f (x )在(0,π)上恰有一个零点，A 选项正确.f (0)=2,f (π4)=√22,f (π2)=1，B 选项错误.f (π)=1−1=0，C 选项错误.f (π2+x)+f (π2−x)=|cos (π+2x )|+cos (π2+x)+|cos (π−2x )|+cos (π2−x) =2|cos2x |−sinx +sinx =2|cos2x |不恒为0， D 选项错误.故选：A10、已知角θ的终边经过点P (−12,√32)，则角θ可以为（ ） A ．5π6B ．2π3C ．11π6D ．5π3 答案：B分析：求得sinθ，结合P 在第二象限求得θ的值，由此确定正确选项.依题意sinθ=√32√(−12)2+(√32)=√32，由于P 在第二象限，所以θ=2π3+2kπ,k∈Z，当k=0时θ=2π3，所以B选项正确，其它选项错误. 故选：B填空题11、若角α的终边落在直线y＝－x上，则√1−sin2α√1−cos2αcosα的值等于________.答案：0解析：先求出α＝2kπ＋34π或2kπ＋74π，k∈Z，再分类讨论得解.因为角α的终边落在直线y＝－x上，所以α＝2kπ＋34π或2kπ＋74π，k∈Z，当α＝2kπ＋34π，k∈Z,即角α的终边在第二象限时，sinα＞0，cosα＜0；所以√1−sin2α+√1−cos2αcosα=sinα|cosα|+|sinα|cosα=sinα−cosα+sinαcosα=0当α＝2kπ＋74π，k∈Z,即角α的终边在第四象限时，sinα＜0，cosα＞0.所以√1−sin2α+√1−cos2αcosα=sinα|cosα|+|sinα|cosα=sinαcosα+−sinαcosα=0综合得√1−sin2α+√1−cos2αcosα的值等于0.所以答案是：012、若cosθ=725,θ∈(0,π)，则sin(π2+θ2)=__________答案：45分析：首先利用二倍角公式求出cosθ2，再利用诱导公式计算可得；解：因为cosθ=725=2cos2θ2−1,所以2cos2θ2=3225，则cos2θ2=1625.因为θ∈(0,π)，所以θ2∈(0,π2)，即cosθ2>0，故cosθ2=45.所以sin(π2+θ2)=cosθ2=45.所以答案是：45.13、已知sinα−3cosα=0，则sin2α+sin2α=__________.答案：32##1.5分析：首先根据同角三角函数的基本关系求出tanα，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得；解：因为sinα−3cosα=0，所以tanα=sinαcosα=3，所以sin2α+sin2α=sin2α+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α+2tanαtan2α+1=32+2×332+1=32所以答案是：3214、若函数f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．答案：π2（2kπ+π2,k∈Z均可）分析：根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得f(x)=√cos2φ+(sinφ+1)2sin(x+θ)，可得√cos2φ+(sinφ+1)2=2，即可解出.因为f(x)=cosφsinx+(sinφ+1)cosx=√cos2φ+(sinφ+1)2sin(x+θ)，所以√cos2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.所以答案是：π2（2kπ+π2,k∈Z均可）.小提示：本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.15、若sin(θ+π8)=13，则sin(2θ−π4)＝________.答案：−79分析：由题知2(θ+π8)−π2=(2θ−π4)，进而根据诱导公式与二倍角公式求解即可.解：因为2(θ+π8)−(2θ−π4)=π2，所以sin (2θ−π4)=sin [2(θ+π8)−π2]=−cos [2(θ+π8)] =2sin 2(θ+π8)−1=2×(13)2−1=−79． 所以答案是：−79解答题16、若函数f(x)=sin (ωx +π6)(ω>0)在区间(π,2π)内没有最值，求ω的取值范围.答案：(0,16]∪[13,23] 分析：由题意可知函数f(x)=sin (ωx +π6)(ω>0)在区间(π,2π)单调，易知T 2≥π，结合函数的图像与性质可得结果.由于函数f(x)=sin (ωx +π6)(ω>0)在区间(π,2π)内没有最值，∴函数f(x)=sin (ωx +π6)(ω>0)在区间(π,2π)单调， ∴T 2≥π, 则0<ω≤1当x ∈(π,2π)时，ωx +π6∈(ωπ+π6,2ωπ+π6)，由于f(x)在区间(π,2π)内没有最值，因此(ωπ+π6,2ωπ+π6)⊆(2kπ−π2,2kπ+π2)或(ωπ+π6,2ωπ+π6)⊆(2kπ+π2,2kπ+3π2)， 即{ωπ+π6⩾2kπ−π22ωπ+π6⩽2kπ+π20<ω≤1或{ωπ+π6⩾2kπ+π22ωπ+π6⩽2kπ+3π20<ω≤1 ，解得0<ω⩽16或13⩽ω⩽23， 所以ω的取值范围是(0,16]∪[13,23]．17、函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)先将函数f(x)图象上所有点向右平移5π24个单位长度，再将横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，当x ∈[0,π2]时，求函数g(x)的单调递增区间． 答案：(1)f(x)=sin (2x +π4) (2)[0,π6]和[5π12,π2]分析：（1）根据图像计算A =1周期T =π，代入点(−π8,0)解得φ=π4，得到函数解析式. （2）根据函数平移得到g(x)=sin (4x −π6)，取2k π−π2≤4x −π6≤2k π+π2，解得答案. (1)由函数图象知A =1，T 2=3π8−(−π8)=π2，∴T =π，∴ω=2， ∵sin [2×(−π8)+φ]=0，∴−π4+φ=2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ=π4，∴f(x)=sin (2x +π4)．(2)y =sin (2(x −5π24)+π4)=sin (2x −π6)，故g(x)=sin (4x −π6)，由2k π−π2≤4x −π6≤2k π+π2，k ∈Z ，得k π2−π12≤x ≤k π2+π6，k ∈Z ． ∵x ∈[0,π2]，∴g(x)的单调递增区间为[0,π6]和[5π12,π2]．18、设函数f (x )=sinx +cosx(x ∈R ).（1）求函数y =[f (x +π2)]2的最小正周期；（2）求函数y =f(x)f (x −π4)在[0,π2]上的最大值.答案：（1）π；（2）1+√22. 分析：（1）由题意结合三角恒等变换可得y =1−sin2x ，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得y =sin(2x −π4)+√22，再由三角函数的图象与性质即可得解. （1）由辅助角公式得f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)，则y =[f(x +π2)]2=[√2sin(x +3π4)]2=2sin 2(x +3π4)=1−cos(2x +3π2)=1−sin2x ， 所以该函数的最小正周期T =2π2=π; （2）由题意，y =f(x)f(x −π4)=√2sin(x +π4)⋅√2sinx =2sin(x +π4)sinx=2sinx ⋅(√22sinx +√22cosx)=√2sin 2x +√2sinxcosx =√2⋅1−cos2x 2+√22sin2x =√22sin2x −√22cos2x +√22=sin(2x −π4)+√22， 由x ∈[0,π2]可得2x −π4∈[−π4,3π4]， 所以当2x −π4=π2即x =3π8时，函数取最大值1+√22. 19、已知函数f （x ）=sin 2x −2√3sinxcosx +sin （x +π4）sin （x −π4）．(1)求f （x ）的最小值并写出此时x 的取值集合；(2)若x ∈[0 ，π]，求出f （x ）的单调减区间.答案：(1)最小值为−32，x 的取值集合为{x|x =π6+kπ ,k ∈Z}；(2)[0 ,π6]和[2π3,π]分析：（1）通过各种公式(两角和差公式、倍角公式、积化和差公式等)转化，最终把函数的解析式转化为f (x )=Asin (ωx +φ)+B 的形式,即可求出f （x ）的最小值并写出此时x 的取值集合.（2）先求出f （x ）的单调减区间，令k =0和k =1与x ∈[0，π]取交，即可得出答案.（1）由于f (x )=sin 2x −2√3sinxcosx +sin (x +π4)sin (x −π4) =1−cos2x 2−√3sin2x +√22(sinx +cosx)√22(sinx −cosx)（二倍角公式、两角和差公式） =1−cos2x 2−√3sin2x −cos2x 2 =12−(√3sin2x +cos2x) (辅助角公式) =12−2sin(2x +π6)令2x +π6=2kπ+π2，k ∈ Z ，解得x =kπ+π6，k ∈Z ， 可得f (x )的最小值为−32，此时x 的取值集合为{x|x =π6+kπ,k ∈Z}； （2）由2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，k ∈Z ， 可得kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调减区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k ∈Z ， 因为x ∈[0,π]，当k =0时，减区间为[0,π6]； 当k =1时，减区间为[2π3,π]．综上，x ∈[0,π]时的单调减区间为[0,π6]和[2π3,π]．。
大一高等数学第五章定积分习题
a f ( x )dx I lim f ( i )xi . 0 i 1
b
n
3、存在定理
可积的两个充分条件：
定理1 当函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上连续时，
称 f ( x ) 在区间[a , b] 上可积.
定理2 设函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上有界，
x
a
x
f ( t )dt 就是
f ( x ) 在[a , b]上的一个原函数.
定理 3（微积分基本公式） 如果F ( x ) 是连续函数
f ( x ) 在区间[a , b] 上的一个原函数，则
a f ( x )dx F (b) F (a )
也可写成
b
b
a
f ( x )dx [ F ( x )]b . a
0
xf (sin x ) f (sin x ) dx dx. 2 2 2 0 1 cos x 1 cos x
例9 设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续，且 f ( x ) 0. b b dx 证明 f ( x )dx ( b a )2 . a a f ( x) 证 作辅助函数
则 f ( x )dx g( x )dx
a a b b
(a b)
（2）
a f ( x )dx a
b
b
f ( x )dx
(a b)
性质6 设 M 及 m 分别是函数 f ( x ) 在区间[a , b]
上的最大值及最小值，
则
m (b a ) a f ( x )dx M (b a ) .
一、主要内容
高中数学第五章三角函数必练题总结(带答案)
高中数学第五章三角函数必练题总结单选题1、已知α ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15B ．√55C ．√33D ．2√55答案：B分析：利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． ∵2sin2α=cos2α+1，∴4sinα⋅cosα=2cos 2α.∵α∈(0,π2),∴cosα>0．sinα>0,∴sinα=cosα，又sin 2α+cos 2α=1，∴5sin 2α=1,sin 2α=15，又sinα>0，∴sinα=√55，故选B ．小提示：本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉． 2、若sinα+cosαsinα−cosα=12，则tan (α+π4)的值为（ ）A ．−2B ．2C ．−12D ．12答案：C分析：利用弦化切和两角和的正切展开式化简计算可得答案. 因为sinα+cosαsinα−cosα=12．所以tanα+1tanα−1=12，解得tanα=−3， 于是tan (α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−3+11−(−3)=−12．故选：C.3、已知函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如下图所示.则能够使得y =2sinx 变成函数f (x )的变换为（ ）A ．先横坐标变为原来的12倍，再向左平移π24B ．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移π12 C ．先向左平移π6，再横坐标变为原来的12倍D ．先向左平移π24，再横坐标变为原来的2倍 答案：C分析：先根据给定图象求出函数f (x )的解析式，再求出由y =2sinx 到f (x )的变换即得. 观察图象知A =2，f (x )周期为T ，则T4=5π12−π6=π4，即T =π，ω=2πT=2，又f (π6)=2，即2⋅π6+φ=2kπ+π2(k ∈Z)，而|φ|<π2，则k =0,φ=π6，所以f (x )=2sin(2x +π6)，把y =2sinx 图象向左平移π6得y =2sin(x +π6)图象，再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的12倍即得f (x ). 故选：C4、已知sin (α−π3)+√3cosα=13，则sin (2α+π6)的值为（ ） A ．13B ．−13C ．79D ．−79答案：D解析：利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得cos(α−π6)=13，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．因为sin (α−π3)+√3cosα=12sinα−√32cosα+√3cosα=12sinα+√32cosα =sin (α+π3)=sin (π2+α−π6)=cos (α−π6)=13，所以sin (2α+π6)=sin (π2+2α−π3)=cos (2α−π3)=2cos 2(α−π6)−1=2×(13)2−1=−79，故选：D5、记函数f(x)=sin (ωx +π4)+b(ω>0)的最小正周期为T ．若2π3<T <π，且y =f(x)的图象关于点(3π2,2)中心对称，则f (π2)=（ ） A ．1B ．32C ．52D ．3 答案：A分析：由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解. 由函数的最小正周期T 满足2π3<T <π，得2π3<2πω<π，解得2<ω<3，又因为函数图象关于点(3π2,2)对称，所以3π2ω+π4=kπ,k ∈Z ，且b =2， 所以ω=−16+23k,k ∈Z ，所以ω=52，f(x)=sin (52x +π4)+2， 所以f (π2)=sin (54π+π4)+2=1. 故选：A6、已知sinαcosα=−16,π4<α<3π4，则sinα−cosα的值等于（ ）A ．2√33B ．−2√33C ．−√63D ．43答案：A分析：结合同角三角函数的基本关系式，利用平方的方法求得正确结论. 由于sinαcosα=−16,π4<α<3π4，所以sinα>0,cosα<0，故sinα−cosα>0，所以sinα−cosα=√(sinα−cosα)2=√1−2sinαcosα=√1+13=2√33. 故选：A7、√3tan26∘tan34∘+tan26∘+tan34∘= （ ） A ．√33B ．−√3C ．√3D ．−√33答案：C解析：利用两角和的正切公式，特殊角的三角函数值化简已知即可求解．解：√3tan26°tan34°+tan26°+tan34°=√3tan26°tan34°+tan(26°+34°)(1−tan26°tan34°)=√3tan26°tan34°+√3(1−tan26°tan34°) =√3tan26°tan34°+√3−√3tan26°tan34°=√3． 故选：C ．8、已知sinθ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=（ ） A ．12B ．√33C ．23D ．√22答案：B分析：将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值. 由题意可得：sinθ+12sinθ+√32cosθ=1，则：32sinθ+√32cosθ=1，√32sinθ+12cosθ=√33， 从而有：sinθcos π6+cosθsin π6=√33， 即sin (θ+π6)=√33. 故选：B.小提示：本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题. 多选题9、下列化简正确的是A ．cos82°sin52°−sin82°cos52°=12B ．sin15°sin30°sin75°=14C ．tan48°+tan72°1−tan48°tan72°=−√3D ．cos 215°−sin 215°=√32答案：CD解析：根据两角和差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余弦公式依次化简各个选项可得结果. A 中，cos82∘sin52∘−sin82∘cos52∘=sin (52∘−82∘)=sin (−30∘)=−sin30∘=−12，则A 错误；B中，sin15∘sin30∘sin75∘=12sin15∘cos15∘=14sin30∘=18，则B错误；C中，tan48∘+tan72∘1−tan48∘tan72∘=tan(48∘+72∘)=tan120∘=−√3，则C正确；D中，cos215∘−sin215∘=cos30∘=√32，则D正确.故选：CD小提示：本题考查三角恒等变换的化简问题，涉及到两角和差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余弦公式的应用.10、下列关于函数y=tan(−2x+π3)的说法正确的是（）A．在区间(−π3,−π12)上单调递增B．最小正周期是π2C．图象关于点(5π12,0)成中心对称D．图象关于直线x=−π12成轴对称答案：BC解析：由函数式可化为y=−tan(2x−π3)，结合正切函数的性质有函数在−7π12<x<−π12上递减，最小正周期为T=π2，关于点(5π12,0)成中心对称，无对称轴，即可判断选项的正误.y=tan(−2x+π3)=−tan(2x−π3)，令−π2+kπ<2x−π3<π2+kπ,k∈Z，得−π12+kπ2<x<5π12+kπ2,k∈Z，∴k=−1时，−7π12<x<−π12，所以y=tan(−2x+π3)在(−π3,−π12)上单调递减，A错误.由上知：最小正周期为T=π2，B正确.当x=5π12时有2x−π3=π2，所以y=tan(−2x+π3)关于点(5π12,0)成中心对称，C正确.由正切函数的性质知：正切函数无对称轴，D错误.故选：BC小提示：关键点点睛：应用正切函数的性质确定单调性及其区间，最小正周期，对称中心，进而判断选项的正误.11、（多选）已知θ∈(0,π)，sinθ+cosθ=15，则（）A．θ∈(π2,π)B．cosθ=−35C ．tanθ=−34D ．sinθ−cosθ=75答案：ABD分析：已知式平方求得sinθcosθ，从而可确定θ的范围，然后求得sinθ−cosθ，再与已知结合求得sinθ,cosθ，由商数关系得tanθ，从而可判断各选项．因为sinθ+cosθ=15①，所以(sinθ+cosθ)2=sin 2θ+2sinθcosθ+cos 2θ=125，所以2sinθcosθ=−2425．又θ∈(0,π)，所以sinθ>0，所以cosθ<0，即θ∈(π2,π)，故A 正确．(sinθ−cosθ)2=1−2sinθcosθ=4925，所以sinθ−cosθ=75②，故D 正确．由①②，得sinθ=45，cosθ=−35，故B 正确．tanθ=sinθcosθ=−43，故C 错误． 故选：ABD ．12、已知n ∈Z 则下列三角函数中，与sin π3数值相同的是（ ）A ．sin (nπ+43π)B ．cos (2nπ+π6) C ．sin (2nπ+π3)D ．cos [(2n +1)π−π6] 答案：BC分析：利用诱导公式对各个选项化简即可对于A ，当n =2k,k ∈Z 时，sin (nπ+43π)=sin (2kπ+43π)=sin 43π=sin (π+π3)=−sin π3，所以A 错误， 对于B ， cos (2nπ+π6)=cos π6=sin π3，所以B 正确， 对于C ，sin (2nπ+π3)=sin π3，所以C 正确，对于D ， cos [(2n +1)π−π6]=cos (2nπ+π−π6)=cos (π−π6)=−cos π6=−sin π3，所以D 错误， 故选：BC13、已知tanα=4，tanβ=−14，则（ ） A ．tan(−α)tanβ=1B ．α为锐角 C ．tan(β+π4)=35D ．tan2α=tan2β 答案：ACD分析：由诱导公式可判断A ，由正切函数的定义可判断B ，由正切函数的两角和公式可判断C ，由二倍角公式可判断D.对于A ，∵tanα=4，tanβ=−14，∴tan(−α)tanβ=−tanαtanβ=1，故A 正确； 对于B ，∵tanα=4>0，∴α为第一象限角或第三象限角，故B 错误； 对于C ，∵tanβ=−14，∴tan(β+π4)=1+tanβ1−tanβ=35，故C 正确； 对于D ，∵tanα=4，tanβ=−14，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=2×41−42=−815,tan2β=2×(−14)1−(−14)2=−815，故D 正确.故选：ACD 填空题14、已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则满足条件(f (x )+f (−5π4))(f (x )+f (7π3))<0的最小正偶数x 为___________.答案：4分析：先根据图象求出函数f(x)的解析式，再求出f(−5π4),f(7π3)的值，然后求解三角不等式可得最小正偶数. 由图可知34T =5π6−π12=3π4，即T =2πω=π，所以ω=2；由五点法可得2×π12+φ=π2，即φ=π3； 所以f(x)=2sin (2x +π3). 因为f(−5π4)=2sin (−13π6)=−1，f(7π3)=2sin (5π)=0；所以由(f (x )+f (−5π4))(f (x )+f (7π3))<0可得0<f(x)<1； 由0<2sin (2x +π3)<1，即0<sin (2x +π3)<12，∴2kπ<2x +π3<2kπ+π6,k ∈Z 或2kπ+5π6<2x +π3<2kπ+π,k ∈Z ，解得kπ−π6<x <kπ−π12,k ∈Z 或kπ+π4<x <kπ+π3,k ∈Z ， 令k =1，可得5π6<x <11π12或5π4<x <4π3，所以最小正偶数x 为4. 所以答案是：4.15、已知sinα+cosα=15，若α是第二象限角，则sinα−cosα的值为__________.答案：75##1.4分析：利用完全平方和平方关系求解.(sinα+cosα)2=sin 2α+cos 2α+2sinαcosα=1+2sinαcosα=125，所以2sinαcosα=−2425，所以(sinα−cosα)2=sin 2α+cos 2α+2sinαcosα=1−2sinαcosα=1+2425=4925，所以sinα−cosα=±75.又因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以sinα−cosα=75.所以答案是：75.16、已知sin (α+π4)=√66，α∈(0,π)，则cos (2α+π6)=__________．答案：2−√156解析：构造角2α+π6=2(α+π4)−π3，求cos (α+π4)，再用两角和的余弦公式及二倍公式打开. ∵α∈(0,π),α+π4∈(π4,5π4)，sin (α+π4)=√66<√22，∴cos (α+π4)=−√306，cos2(α+π4)=2cos 2(α+π4)−1=23，sin2(α+π4)=2sin (α+π4)⋅cos (α+π4)=−√53， cos (2α+π6)=cos [2(α+π4)−π3]=cos2(α+π4)cos π3+sin2(α+π4)sin π3=23×12+(−√53)×√32=2−√156所以答案是：2−√156小提示：本题是给值求值题，关键是构造角，应注意的是确定三角函数值的符号.解答题17、已知函数f(x)=6cosxsin(x−π6)+32.(1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程；(2)若函数y=f(x)−a在x∈[π12,5π12]存在零点，求实数a的取值范围.答案：(1)最小正周期为π，对称轴方程为x=kπ2+π3,k∈Z(2)[0,3]分析：（1）化简函数f(x)=3sin(2x−π6)，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意转化为sin(2x−π6)=a3在x∈[π12,5π12]上有解，根据x∈[π12,5π12]时，得到sin(2x−π6)∈[0,1]，即可求解.（1）解：对于函数f(x)=6cosxsin(x−π6)+32=6cosx(√32sinx−12cosx)+32=3√32sin2x−3×1+cos2x2+32=3(√32sin2x−12cos2x)=3sin(2x−π6)，所以函数f(x)的最小正周期为2π2=π，令2x−π6=kπ+π2,k∈Z，解得x=kπ2+π3,k∈Z，所以函数f(x)的对称轴的方程为x=kπ2+π3,k∈Z.（2）解：因为函数y=f(x)−a在x∈[π12,5π12]存在零点，即方程sin(2x−π6)=a3在x∈[π12,5π12]上有解，当x∈[π12,5π12]时，可得2x−π6∈[0,2π3]，可得sin(2x−π6)∈[0,1]，所以0≤a3≤1，解得0≤a≤3，所以实数a的取值范围[0,3].18、请完成下列小题:（1）若tanα=−158，求sinα，cosα的值；（2）化简：sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π+α)tan(−π+α)sin(π−α).答案：（1）答案见解析；（2）−cosα.分析：（1）利用同角三角函数关系，列出方程组，求解即可； （2）利用诱导公式化简，即可求得结果. （1）∵tanα=−158<0，∴α是第二或第四象限角.由{tanα=sinαcosα=−158sin 2α+cos 2α=1，可得sin 2α=(1517)2. 当α是第二象限角时， sinα=1517，cosα=−817； 当α是第四象限角时， sinα=−1517.cosα=817（2）sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π+α)tan(−π+α)sin(π−α)=−cosαsinα×sinαcosαsinαcosα×sinα=−cosα.小提示：本题考查诱导公式的使用，以及用诱导公式进行化简求值，属综合基础题.。
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高等数学第五章练习题 第五章 填空题1．若()()(),f x dx F x C f ax b dx =++=⎰⎰则______； 2.202cos x d x t dt dx=⎰______； 3．()()()()11221111A dx B C dx D x dx x x+∞+∞⎰⎰⎰⎰ 收敛的是______；4.设函数()f x 连续，且()31x f t dt x -=⎰，则()7f =______；5．设1,-10()111<x 2x f x x x ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪+≤⎩当时，x,当0时，，当时，则1()()x x f t dt ϕ-=⎰([1,2]x ∈-)=______；6．325425cos 21x xdx x x -++⎰=__________； 7．4sin (cos )1xx dx xππ-++⎰=__________； 8．4sin x xdx ππ-⎰=2,[0,1](),[1,2]x x f x x x ⎧∈=⎨∈⎩,则0()()xx f t dt ϕ=⎰([0,2]x ∈)=__________；9.dx x x xx aa ⎰--++32sin 2432 ＝______； 10.=⎰dt t f dx d x 3cos 0)( __________； 11．=-⎰dx x a a022 (0>a )；12.()f x 在[0,)+∞上连续,且0()(1cos )xf t dt x x =+⎰,则()2f π=_______； 13. 求函数⎰-=xt dt te x I 0)(的极值为__________；14、若)0(,5)2(,3)2(,1)0(''f f f f ===存在,则''10(2)xf x dx ⎰＝______； 15．设函数)(x f 在],[a a -上连续，则⎰-=-+aa dx x f x f x )]()([16． 设)(x f 可导，且1)(lim=+∞→x f x ，则=⎰++∞→dt tt tf x xx 23sin )(lim 17． ⎰+∞→pn nndx xxsin lim = （其中p 为常数） 18．反常积分(0)p a dxa x +∞>⎰,当p 时收敛, 当p 时发散。
19．反常积分()bpadxx a -⎰,当p 时收敛, 当p 时发散。
第五章 单项选择题20．设()()()15sin 00sin ,1xx t tx dt x t tαβ==+⎰⎰，则当0x →时，()()x x αβ是的（） ① 高阶无穷小②低阶无穷小 ③ 同阶但不等价无穷小④ 等价无穷小 21.设()[]1,2f x 在上连续，且()210xf x dx =⎰，则必有[].A 在[]1,2上()0f x ≡;B 在[]1,2的某个区间上()0f x ≡;C 在[]1,2内至少有一点ξ， 使()0f ξ= ;D 不可能有[]1,2ξ∈使()0f ξ=. 22. 当0x →时，与20sin xt dt ⎰等价无穷小的是[] ① 2x ②313x ③ 44x ④ 613x23．设，当时，是的（ ）(A)高阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C) 等价无穷小(D) 同阶但非等价无穷小24.设()f x 为连续函数，且2()()xa x F x f t dt x a=-⎰，则lim ()x a F x →等于（ ） (A)a (B) 2()a f a (C) 0 (D) 不存在25.设()f x 为连续函数，且ln 1()()x xF x f t dt =⎰,则'()F x =（ ）(A)2111(ln )()f x f xx x + (B) 1(ln )()f x f x +(C) 2111(ln )()f x f x x x - (D) 1(ln )()f x f x - 26．设()x f x e -=，则(ln )f x dx x=⎰（ ） (A) 1C x + (B) ln x C + (C) 1C x-+ (D) ln x C -+27.设()f x 在闭区间[a,b]上连续，且()0f x >，则方程1()0()x xa bf t dt dt f t +=⎰⎰在开区间 (a,b)内的根有( ) (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷多个28.函数2201()22x t x dt t t ϕ-=-+⎰在[0,2]上的最小值为( )(A) 0 (B)1ln 22- (C) ln 2- (D) ln 229．302sin lim x dt t xx ⎰→ =( )（A ）0；（B ）1； （C ）31；（D ）∞ .30. 设()x x g xxx f ln ,1)1(=+=，则()()=''x g f （ ） A ()211x + B ()211x +- C ()221x x + D ()221x x +- 31．设在区间],[b a 上，,0)(,0)(,0)(>''<'>x f x f x f令,)(1⎰=ba dx x f S ),)((2ab b f S -=))](()([213a b b f a f S -+=，则（ ）． A 321S S S << B 312S S S << C 213S S S << D 132S S S << 32.设)(x f 是连续函数且⎰-=xe x dt tf x F )()(，则)(x F '等于（ ） Ａ)()(x f e f e x x ---- Ｂ)()(x f e f e x x +--- Ｃ)()(x f e f e x x ---Ｄ)()(x f e f e x x +-- 33.设函数()y f x =的导函数为cos x ，且(0)1f =，则 ()f x =( )ＡＢＣＤ34.设函数()f x 连续，且()()xe x F xf t dt -=⎰，则()F x '=（ ） Ａ()()x x e f e f x ---- Ｂ()()x x e f e f x ---+Ｃ()()x x e f e f x ---Ｄ()()x x e f e f x --+求定积分35.224sin x dx x ππ⎰36.10⎰ 37.1ln e e xdx ⎰ 38. 6024x dx -⎰ 39.()221ln x dx ⎰40.3⎰ 41.201xdx -⎰ 42.20sin x xdx π⎰43.41⎰44.0cos π⎰ 45.220cos x e xdx π⎰ 46()4322cos sin x x dx ππ-+⎰47.21e ⎰21e ⎰120(arcsin )x dx ⎰ 50.⎰-π03sin sin dx x x51. 12⎰52. 220cos x e xdx π⎰53. 222dxx x +∞-∞++⎰54. 10⎰ 55. 20(sin )x x dx π⎰ 56.31(2)f x dx -⎰ 57. 420cos xdx π⎰5859.41⎰60.1-⎰61.0π⎰ 62．.12⎰+∞∞-+x dx63.⎰+4111dx x64.⎰-211dx ex 65.⎰-22sin 1πdx x66.求反常积分⎰-ex x dx 12)(ln 1； 67.⎰402sin ln πxdx 求 68..)2()1ln(12⎰++dx x x 69. .)()1(,)(102022⎰⎰-=+-dx x f x dy ex f xyy 求设 70． ⎰-222},1min{dx x x求 71. 求函数⎰-=xt dt te x I 0)(的极值点. 72.⎰--212123x x x dx73. .)ln 1(ln 43⎰-e e x x x dx 74. 设⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=12112)(2x x x x x f ，求⎰20)(dx x f ．75. .1sin 122⎰+∞πdx xx 76⎰102)(arcsin dx x 77.dx e x ⎰-302 78.⎰e xdx x 1ln 79.⎰dx x 2)(ln 80.⎰+10)12(dx e x 81.ln 20cos x x e e dx ⎰ 82.⎰++12221dx x x 83.⎰31ln xdx 84.⎰-π3sin sin dx x x ; 85. dx x⎰+411186.已知)(x f 的一个原函数是x xsin ，求积分⎰ππ2)('dx x xf 之值。
第五章 证明题87.设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导且()0f x '≤，()()1x aF x f t dt x a =-⎰证明在(),a b 内有()0F x '≤.88.设()()20a f x x f x dx =-⎰，且a 是不等于1-的常数，证明()()331aa f x dx a =+⎰ 89.证明反常积分()bqadxx a -⎰，当1q <时收敛；当1q ≥时发散。
90.⎰xdt t f x f 0)()(是偶函数；，证明是连续函数且为奇函数若 是奇函数。
，证明是连续函数且为偶函数若⎰xdt t f x f 0)()(*91.证明:(1)若 ⎰⎰+=xbx a dt t f dt t f x F )(1)()(,则'()2F x ≥;(2) 2)()(1)(a b dx x f dx x f bab a -≥⨯⎰⎰ *92.设)(x f 在[]0,1上可导，且满足条件()()12012f xf x dx =⎰,证明：在区间()0,1内至少存在一点ξ使得()()0f f ξξξ'+=.高等数学第六章练习题 第六章 填空题1．曲线[]cos 0,2y x π=在上与x 轴所围成的图形的面积是 .2．由曲线ln y x =与直线()1,0y e x y =+-=所围成的平面图形的面积是 ； 3．由曲线24y x =及直线()00,0x x x =>所围图形绕x 轴旋转而成立体的体积是 . 4．曲线[]cos 0,2y x π=在上与x 轴所围成的图形的面积是5.极坐标系下曲线33sin ⎪⎭⎫⎝⎛=θa r 的长为__________ .第六章 单项选择题6.由曲线21y x =-与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所成的体积为（ ） ① 43②43π ③ 1615 ④ 1615π 7．双纽线()22222x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为（ ）① 402cos 2d πθθ⎰② 404cos 2d πθθ⎰ ③ 2θ ④ ()2401cos 22d πθθ⎰8.曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成的图形，绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为（ ） ①2π ② π ③ 22π ④ 2π第六章 应用题9.设平面图形是由曲线2,,2y x y x y x ===及所围成。