扰动的三次哈密顿系统的极限环分支及数值模拟

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一类三次近哈密顿系统的极限环分支

一类三次近哈密顿系统的极限环分支
本文主要研究三次对称哈密顿系统的奇点分类和极限环分支问题。

在理论推导并编程实现近哈密顿系统中心附近的Melnikov函数的基础上,具体研究了平面上类以原点为奇点的三次对称哈密顿系统中所有可能出现的中心及幂零鞍点的分支情况,给出了在三次多项式扰动下各初等中心、幂零中心及幂零鞍点出现极限环的个数问题。

全文的主要内容可概括如下：第一章概述了与本文相关的一些背景和预备知识。

在第1.1节中,介绍Hilbert第16问题(后半部分)及弱Hilbert第16问题的研究进展；在第1.2节中,介绍动力系统的分支理论；在第1.3节中,介绍了我们所做的主要工作。

第二章利用Melnikov函数方法,运用Matmatica软件,先介绍所有哈密顿系统的奇点分类,再确定一类三次哈密顿系统的奇点分类。

第三章讨论了三次对称哈密顿系统在三次多项式扰动下在中心附近出现极限环的个数问题,通过定性分析和分支理论的技巧,利用Mathmatica计算极限环的个数。

第四章讨论了三次对称哈密顿系统在三次多项式扰动下在幂零鞍点出现极限环的个数问题及位置问题。

受扰动的三次Hamilton系统中12个极限环的分布情况

ｔａｈｒｒｗｅｖｉｉｃｃｅｎｔｅｃｂｃＨａｉｏｉｎｓｓｅｆｐａａｔｅｔｒｅｅｍｆｈｔｔｅｅａｅｔｌｅｌｔｙｌｓｉｈｕｉｍｍｌｎａｙｔｍｓｏｌｎｒｗｉｈｐｒｕｂｄｔｒｏｔｄｇｅｅｒｅ５，ａｄｔｅｄｓｒｂｔｄｏｄｒｉｅｓｏｈｌｔｃｃｅｒｒｓｎｅ．ｎｈｉｔｉｕｅｒｅｌｎｓｆｔｅ１ｉｙｌｓａｅｐｅｅｔｄ２ｍｉＫｅｒｓＨａｌｏｉｎｓｓｅ；ｄｔｃｉｎｆｎｔｏｙｗｏｄ：ｍｉｔｎａｙｔｍｅｅｔｏｕｃｉｎ；ｌｔｃｃｅｈｓｏｔａｔｉｙｌ；ｐａｅｐｒｒｉｍｉ
｛一＋Ｃｙｃｃ。ｌｙ１— ａ＞Ｘ扒一一ｘ一＞，ｘ一ａ）＝（Ｙ一ｌｘ十十
ａｃ＞１）（１）
｛：１Ｘ十ｌ十）一一一ｚＣＹ（”
【
实参数。
ｃ … ３
ｅ（十 ” 十ｋ一）ｙｍｘｚｙ
ＭＳ２００：４０Ｃ０３Ｃ７
简介
考虑下面的Ｈａｌｎ系统ｍｉｏｔ
系统（）被５次扰动后应该有１个极限环。此，１２为下面研究扰动系统（）３
ｆ主一．１十ｚ），（一ａ。ｙ）十
关键词：ｍｉｏ系统；判定函数；极限环；相图Ｈａｌｎｔ

一类三次系统的奇点分析及极限环的存在性

一类三次系统的奇点分析及极限环的存在性一类三次系统是一种常见的非线性系统，具有广泛的应用领域，如控制系统、生物学、经济学等。

对于这类系统的稳定性分析和极限环的存在性是一个重要的研究课题。

本文将对一类三次系统的奇点分析和极限环的存在性进行探讨。

首先，我们考虑一般形式的三次系统：$$\dot{x} = f(x)$$其中，$x \in \mathbb{R}^3$为系统状态变量，$f(x)$表示系统的动力学方程。

为了简化问题，我们假设$f(x)$为一个三次多项式：$$f(x)=Ax+Bx^2+Cx^3$$其中，$A,B,C$为系统参数矩阵。

这类系统的平衡点通常可以通过求解方程$f(x)=0$来获得，即解析求解系统的平衡点。

通过线性化分析，我们可以求得平衡点的稳定性。

若系统的所有平衡点都是非超流形的，且非孤立的，则系统中存在奇点。

奇点是系统中的一种特殊状态，通常对应于系统动力学发生突变的情形。

接下来，我们考虑极限环的存在性问题。

极限环是一种周期解，它在非线性系统中起到重要作用。

我们希望能够证明对于一类三次系统，当系统参数满足一些条件时，系统一定存在极限环。

极限环的存在性分析通常可以通过利用折叠法、分支方程等方法来进行推导。

通过对系统进行适当的变量变换和参数选择，我们可以将系统方程转化为较为简单的形式。

然后，利用动力学系统理论、中心流形理论等数学工具，我们可以进行系统的分析和证明。

通过合理地选择参数和假设条件，我们可以证明在一定的条件下，系统中存在极限环。

在实际应用中，极限环的存在性对于系统的稳定性和控制性能具有重要的影响。

通过研究系统的极限环，我们可以设计出更加有效的控制策略，提高系统的性能和鲁棒性。

总之，一类三次系统的奇点分析和极限环的存在性是一个复杂而重要的研究方向。

通过对系统动力学方程的分析和数学推导，我们可以揭示系统的稳定性特性和周期解的存在性。

这对于系统控制、优化和应用具有深远的意义，有助于推动相关领域的发展和进步。

一类三次多项式Hamilton系统的极限环分支

一类三次多项式Hamilton系统的极限环分支杨军【摘要】主要研究了如下近似Hamilton系统{x=y y=-x3＋εQ（x,y）的极限环情况,其中Q（x,y）=∑lj=0 ajxj｜y｜2m.通过分析其一阶Melnikov函数,证明了当l=2n-2或2n-1时其存在n个极限环.%In this paper,we shall discuss a kind of near-Hamiltonian systems as follow：{x=y y=-x3＋εQ（x,y） Where Q（x,y）=∑l j=0 ajxj｜y｜2m,and investigate the bifurcation of limit cycles near the center by Melnikov function.Through analysing the first Melnikov function of the system,we prove that system exists n limit cycles when l=2n-2 or 2n-1.【期刊名称】《商丘师范学院学报》【年(卷),期】2011(027)009【总页数】3页(P20-22)【关键词】Hamilton系统;极限环;Abel积分;幂零中心【作者】杨军【作者单位】浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华321004【正文语种】中文【中图分类】O175.12的极限环情况，其中.通过分析其一阶Melnikov函数，证明了当l=2n－2或2n－1时其存在n个极限环.由于Hamilton系统在非线性科学中占有重要地位，因此许多科学家利用不同的理论与方法多角度地考虑研究了此系统.设H(x，y)是关于(x，y)的实多项式，我们称具有如下形式的系统为平面多项式Hamilton系统:考虑(1)的扰动系统的极限环情况，其中P，Q是关于x，y的m次多项式，ε是小正参数.假设，当0＜h1时曲线H(x，y)=h在原点附近有闭轨Γh.考虑多项式1－形式:其中max(deg P，deg Q)=n≥2.对给定m和n，确定Abel积分的孤立零点的个数的最大值Z(m，n).上述Abel积分是指有理多项式1－形式沿代数闭曲线的积分.函数I(h)的实零点个数与系统(2)的极限环情况有着十分密切的联系.我们称上述Abel积分I(h)为系统(2)的一阶Melnikov函数.引理1［1］(1)若h=，0＜ε≪1时，H(x，y)=为系统(2)的闭轨，则必有I)=0; (2)若存在自然数k，使则存在σ＞0，δ＞0，使得当0＜|ε|＜σ时，系统(2)在Γh的δ邻域内至多有k个极限环.利用此函数研究系统(2)极限环分支情况，已有了丰富的研究结果与方法.文献［2－6］考虑原点为初等中心时系统(2)的极限环分支.对于原点为退化中心的情形也有了一些结论，文献［7－15］考虑原点为幂零中心时系统(2)的极限环分支情况. 本文研究系统的极限环情况，其中易见，当ε=0时，系统(3)是Hamilton系统，且Hamilton函数为:通过定性分析，我们知道，此时系统(3)的原点为幂零中心，且为全局中心.其相图见图1.我们考虑系统(3)的极限环情况.由引言，我们知道系统(3)的Abel积分为当l=2n－2或2n－1时，通过计算，得其中x1，x2为方程H(x，0)=h(h＞0)的两根，即为，任意h＞0，Γh与x轴的两个交点的横坐标，x1=－=－x.，且x12因为式变为令，则则其中是关于μ的n次多项式.因为且，则有下列引理引理2(1)h*∈(0，+∞)使得I(h*)=0，当且仅当存在μ*∈(0，+∞)使得A(μ*)=0，且μ*=;(2)I(h*)=0且I'(h*)＞0(＜0)当且仅当A(μ*)=0且A(μ*)＞0(＜0).定理1扰动系统(3)至多存在n个极限环.证明通过上述分析及引理(2)即可证得.Where，and investigate the bifurcation of limit cycles near the center by Melnikov function.Through analysing the first Melnikov function of the system，we prove that system exists n limit cycles when l=2n－2 or 2n－1.【相关文献】［1］张芷芬，李承治.向量场的分岔理论基础［M］.北京:高等教育出版社，1997.［2］Li J.Hilbert＇s 16th problem and bifurcations of planar ploynomial vector fileds ［J］.Inter.Jour.Bifur.＆Chaos，2003，13:1347－106.［3］Caubergh M，Dumortier F.Hopf－Takens bifurcations and centres［J］.J.Diff.Equs.，2004，202:1－31.［4］侯衍芬，韩茂安.平面近Hamilton系统的Melnikov函数与Hopf分支［J］.上海师范大学学报(自然科学版)，2006，1:1－10.［5］Han M.On Hopf cyclicity of planar systems［J］.J.M.A.A，2000，245:404－422. ［6］韩茂安.动力系统的周期解与分支理论［M］.北京:科学出版社，2002.253－268.［7］Andreev A F.Investigation of the behaveior of the integral curves of a system of two differential equations in the neighourhood of a singular point［J］.A.M.S.Transl.，1958，8:183－207.［8］Gasull A，Llibre J，Maosas V.The focus－centre problem for a type of degenerate system［J］.Nonlinearity，2000，13:699－729.［9］Hector G，Jaume G，Jaume L.The problem of distinguishing between a center and a focus for nilpotnet and degenerate analytic systems［J］.J.Diff.Equs.，2006，227:406－426.［10］lvarez M J，Gasull A.Monodromy and Stability for Nilpotent Critical Points ［J］.Inter.Jour.Bifur.＆Chaos，2005，15(4):1253－1265.［11］Jiang J，Han M.Melnikov function and limit cycle bifurcation from a nilpotent center［J］.Bulletin des Sciences Mathematiques，2008，132:182－193.［12］Han M，Jiang J，Zhu H.Limit cycle bifurcations in near－Hamiltonian systems by peryurbing a nilpotent center［J］.Inter.Jour.Bifur.＆Chaos，2008，10:3013－3027. ［13］江娇.平面系统的局部分支［D］，上海:上海交通大学，2007.［14］Álvarez M J，Gasull A.Generating limit cycles from a nilpotent critical point via normal form［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2006，318:271－287.［15］Han M，Shu C，Yang J，Chian A C L.Polynomial Hailtonian systems with a nilpotnet critical point［J］.Advances in Space Research，2010，46(4):521－525.。

一类三次Kolmogorov系统的小振幅极限环

ｈｔｔｐｓｔｅｑｉｉｒｔａｅｏｉｖｅｕｌｂｕｍｉｔｓｅｅａｄ５ｍａｌｍｐｉｕｅｉｔｙｌｓｉｕｃｔｄｆｏｔｅｏｉｖｈｉｉｐｏｎｉｃｎｔｒｎｓｌａｌｔｄｌｍｉｃｃｅｂｆｒａｅｒｍｐｓｔｅｈｉ
ｐｉｔＴｒｕｈｔｅｃｍｐｔｔｎｏｉｇｌｒｐｉｔａｕｔｔｅｐｓｔｅｅｕｌｒｍｏｎ，ｈｕｃｅｔｃｎｉｏｓｏｎ．ｈｏｇｈｏｕａｉｆｓｎｕａｏｎｌｅａｏｉｖｑｉｂｕｐｉｔｔｅｓｆｉｎｏｄｔｎｏｖｈｉｉｉｉｉ
１系统的奇点置与中心条件
系统（）２显然有正平衡点（，）作变换一，一，１，１１１将正平衡点平移到原点，则系统在原点的分支情况与在正平衡点的分支情况类似。平移后的系统为
上接337页针对高校教育管理过程中数据量大信息丰富等特点采用数据挖掘工具对高校数据进行关联规则挖掘构建了一个用于高校教育信息关联规则挖掘的emarminer系统并给出了该系统的具体实现细节
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Ｖ０．５１Ｎｏ３２．
安徽工业大学学报
两种群相互作用的Ｋｌｏｏｏ生态系统模型【ｏｍｇｒｖ１］为），），，）），）（）１它描述的是两种群之间的捕食与被捕食作用、相互竞争作用以及互惠共存作用，中，式）分别表示两种群的密度，具有很强的生态学意义，因此吸引了很多数学工作者进行研究。１８年，ｏｍｎ９２Ｃｌａ提出：ｏｏｏｖｅＫｌｇｒ食ｍｏ饵一捕食者系统是否可能存在两个或更多稳定的极限环翻９６，ｌｄ。１９年Ｌｙ等人研究了一类三次Ｋｌｏｏｖｏｏｇｒ系ｍｏ统，出了４极限环翻２ｏ年，得个；ｏ１陆征一等人得到了三次Ｋｌｏｏｏｏｍｇｒｖ系统可分支出３个稳定极限环，中２其个是稳定的结果【４］中研究一类三次Ｋｌｏｏｏ。文ｏｍｇｒｖ系统

三次对称多项式哈密顿系统中心的极限环分支

１２＋
。
由隐函数存在定理知，对形为式（３）或者式（４）的函数Ｈ（ｘ，），存在唯一的解析函数（ｚ）＝Ｏ（ｘ。），使得当充分小时，都有（，（ｚ））＝０成立．设
（ｚ）＝Ｈ（ｘ，（））＝∑ ｈｊＪ，ｈｋ≠０，ｋ≥２．
（５）
Ｊ≥
文献［４】对哈密顿系统的幂零奇点有如下的完整分类：定理１（ｉ）若ｋ为奇数，则原点是尖点；（ｉｉ）若南为偶数且ｈｋ＜０，则原点是鞍点；（ｉｉｉ）若为偶数且ｈｋ＞０，则原点是中心．定义１设哈密顿函数Ｈ（ｘ，Ｙ）的标准形为式（４），那么对于系统（２）的原点，（ｉ）若ｋ＝２ｍ＋１，则原点是ｍ阶尖点；（ｉｉ）若ｋ＝２ｍ＋２且ｈｋ＞０，则原点是ｍ阶幂零中心；（ｉｉｉ）若ｋ＝２ｍ＋２且ｈｋ＜０，则原点是ｍ阶幂零鞍点．
２０１８年３月
Ｍａｒ．２０１８
应用凄计笄教学鸟报
ＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｏｎＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ
第３２卷第１期
Ｖ０１．３２Ｎｏ．１
ＤＯＩ１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６—６３３０．２０１８．０１．０１２
收稿日期２０１６一Ｏ１—２６；修订日期２０１６—０５—０９基金项目国家自然科学基金青年科学基金资助项目（１１４０１３６６）通信作者胡召平，研究方向为微分方程与动力系统的研究．Ｅ—ｍａｉｌ：ｚｈａｏｐｉｎｇｈｕ＠ｓｈｕ．ｅｄｕ，ｃｎ
（１）
第１期
钱娟，等：三次对称多项式哈密顿系统中心的极限环分支

一类三次kolmogorov系统的极限环

Ｋｅｗｏｄｃｂｃｋｌｏｏｏｙｔｍｂｕｄｄｅｓｌｔｃｃｅｅｉｔｎｅｙｒｓｕｉｏｍｇｒｖｓｓｅｏｎｅｎｓｉｙｌｓｍｉｘｓｅｃ
１引言
两种群相互作用的ｋｌｇｒｖ系统模型的一般形式为：ｏｍｏｏｏ
条件．
关键词三次ｋｌｇｒｖ系统有界性极限环存在性ｏｍｏｏｏ
ＬｉｉｃｅｎＡｍｔＣｙｌｓＩＣｕｂｃＫｏｍｏｏｏｙｔｍｉｌｇｒｖＳｓｅ
ＬｉｎｇｕＸｉｇｕｏ
（ａｔｎｆｉｆｒｔｎａｄｃｍｐｔｇｓｉｎｅＤｅｒｍｅｔｏｎｏｍａｉｎｏｏｕｉｃｅｃ，ＺｕｈｕＩｓｉｕｅｏｃｎｌｇｎｈｚｏｎｔｔｆＴｅｈｏｏｙ，Ｚｕｈｕ，１０８ｔｈｚｏ４２０）
Ｙ
Ｙ
‘ ．ｌ（１● ２）／
ｌ＝ｂｙ（一１兰（，Ｙｏ）Ｙ）
其中＝ａ
ｏ
，
６象６考６等，统２）的点（，，ｏＩ（，一，＝系（１内奇为）ｏＡ。）１一ｚ。．在（）（，￣，ｏＩＢ
ＡｂｔａｔＴｈｅｑｕａｉａｉｅｂａｖｕｂｃｋｏｌｏｓｒｃｌｔｔｖｅｈｅｏｆａｃｉｍｇｏｒｙｓｅａｎｖｅｔｇａｅｎｔｉｏｖｓｔｍｗｓｉｓｉｔｄｉｈｓｐａｐｒ．ａｎｈｅｓｆ— ｅｄｔｕｆｉｃｅｏｎｄｔｏｎｓｆｒｔｏｕｎｄｄｎｅｓｏｆｓｕｉｓａｎｈｅｅｘｓｅｅｏｆｌｍｉｙｌｓｏｆｔｙｔｍｒｖｎ．ｉｎｔｃｉｉｏｈｅｂｅｓｏｌｔｏｎｄｔｉｔｎｃｉｔｃｃｅｈｅｓｓｅａｅｇｉｅ

一类扰动的三次Z2-等变向量场的极限环分支

／
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第１期
周宏宪，徐
伟：类扰动的三次Ｚ一等变向量场的极限环分支一
１ｌ２
若令ｈＨ（，）＝，２＝０００ｈ＝日（，）＝一．，３ √ ００５ｈ＝Ｈ（，）＝一０２，４０１．５ｈ＝日（，）＝一０７．然有 √ １．５显
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１５．
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Ｏ５１．
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他闭轨族都是向外扩张的．图２可以看出由ｌ（，）＝定义的四次代数曲线是如何随ｈ的变化而变化的．从ｌｘｙｈ
／
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．．５ｏ１０．Ｏ．５ｌ１．５
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ｆ
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＼＼

微分方程第5章.4极限环

微分方程第5章.4 极限环
目录
• 极限环简介 • 极限环的分类与性质 • 极限环的产生条件 • 极限环的实例分析 • 总结与展望
01
极限环简介
定义与在动态系统中，当系统状态达到某一特定值时，系统将进入一个封闭的循环状态。
特性
极限环具有周期性、稳定性和对初始条件的敏感性等特性。
04
极限环的实例分析
一阶微分方程的极限环实例
总结词
一阶微分方程的极限环实例展示了简单但重要的极限环现象。
详细描述
一阶微分方程的极限环实例包括如下的几种情况，如$y' = y - y^2$，其解为$y = 1 - frac{1}{x}$，在$x = 0$处形成极限环；又如$y' = y - frac{1}{y}$，其解为$y = sqrt{x}$，在$x = 0$处形成极限环。这些实例展示了极限环的形成和特性。
对未来研究的建议与展望
01
未来研究可以进一步深化对极限环基本性质和动力学行为的理解，探索更多具有实际意义的极限环模型。
02
发展新的数学方法和技巧，以解决极限环研究中遇到的问题和
挑战，推动微分方程理论的进步。
加强与其他学科的交叉合作，将极限环的理论应用于实际问题
03
中，促进科学技术的发展。
THANKS
感谢观看
具体来说，如果线性化方程的解是一个稳定的焦点或中心，那么非线性系统在该平衡点附近可能产生一个极限环。
中心条件
中心条件：当非线性系统的平衡点是一个中心时，系统在该平衡点附近的行为由其焦点特征值决定。如果焦点特征值是负数，那么系统在该平衡点附近可能产生一个稳定的极限环。
具体来说，如果焦点特征值小于零，那么系统在该平衡点附近可能产生一个稳定的极限环。

一类微分系统在三次多项式扰动下的极限环估计

Ｈｉｌｂｅ￣第ｌ６问题和弱Ｈｉｌｂｅ￣第１６问题在常微分方程定性理论和分岔理论的研究中具有极其
），）｛三二，２＋：＋Ｑ。（
，
（）
重要的意义，确定Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统在扰动下的极限环个数是一个比较困难的问题，这一问题与弱Ｈｉｌｂｅａ第ｌ６问题以及平面微分系统中高余维分支研究有密切的联系，国内外在这方面已经有不少工作引，文献［２— ５］分别研究了几类具有双中心的二次Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统的Ｐｏｉｎｃａｒ６分岔；文献［６］讨论了具有双曲线与赤道弧为边界的双中心周期环域的二次系统的Ｐｏｉｎｃａｒ６分岔；文献［７］对Ｂｏｇ — ｄａｎｏｖ —Ｔａｋｅｎｓ系统的三次多项式扰动进行了研究，得到了小扰动下环性阶数的估计，同时给出了原点为中心的条件；文献［８］运用常微分方程定性理论和分岔理论，描述了２个相似电子商贸网站之间的市场竞争，得到了该系统的全局结构和分岔像
恒等于零时，系统（１）分岔出的极限环个数上界．
１系统（１）的性质
系统（１）０（即系统（１）ｓ当０时，Ｆｌ司）有一
．
ｙ＾：日（，ｙ）＝１２＋２
一
１３
＝
，

一类三次Kolmogorov系统的极限环分支

文￣－０５０５２０） — ４—７章．：０— ８（０７４７６１３０００
一
类三次Ｋｌｇｒｖ系统的极限环分支木ｏｍｏｏｏ
杜超雄－刘一戎０米黑龙０，，，
（一邵阳学院数学系，湖南邵阳４２０；２１２００一中南大学数学院，湖南长沙４０８）１０３摘要：本文研究一类三次Ｋｏｍｏｏｏｌｇｒｖ捕食系统正平衡点（，）的极限环分支情况，得出了其极限环的１１存在唯一性条件，且它在一定条件下还可分支出五个极限环且有３个稳定的极限环的结果，从而
计算出了其正平衡点（，）的前五阶焦点量，得出了由该平衡点在第一象限共可分支出５１１个极
限环，并且给出了在一定条件下可产生３个稳定的极限环，同时给出了它们的具体位置。
收稿日２０—６０．作者简介：杜超雄（９３１期：０５０—６１７年月生），男，博士生，讲师．究方向：微分方程定性与分支理研
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第２卷第４４期
２０年０月０７８
工
程
数
学
学
报
ｖｌ２０４０４， ’ Ｎ
Ａｕ．２０ｇ０７
ＣＨＩＮＥＳＪＥＯＵＲＮＡＬＯＦＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧＡＴＨＥＭＡＴＩＭＣＳ
论．
基金项目湖南省教育厅资助项目ｆ６７９．：０Ｃ４）
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第４期
杜超雄等：一类三次Ｋｏｍｏｏｏｌｇｒｖ系统的极限环分支
７７４
２系统（）１的极限环分支

一般的三次参数样条曲线的几何连续性及其插值方法

一般的三次参数样条曲线的几何连续性及其插值方法作者：柏庆昆学位授予单位：东北师范大学被引用次数：2次1.张同琦曲线几何连续性[期刊论文]-渭南师专学报 1999(2)2.罗扬.方逵参数曲线几何连接的几个定理[期刊论文]-国防科技大学学报 1995(2)3.施法中计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条4.盛中平有关Hermite插值问题的两个具体展示5.高益明.裴锡灿计算方法教程6.R A Lorentz Multivariate Hermite interpolation by algebraic polyno mials:A survey 20007.K Hollig.J Koch Geometric Hermite interpolation[外文期刊] 19958.K Hollig.J Koch Geometric Hermite interpolation with maximal order and smoothness 19969.Ulrich Reif on the local existence of the quadratic geometric Hermite interpolant[外文期刊] 199910.Lianghong Xu.Jianhong Shi Geometric Hermite interpolation for space curves[外文期刊] 200111.F M Fernandez Generating function for Hermite polynomials of arbi trary order 199812.A Gfrerrer.O Roschel Blended Hermite interpolants[外文期刊] 200113.L J Gray.M Garzon on a Hermite boundary integral approxima tion 200514.Berlin Heidelberg Curves and Surfaces in Computer Aided Geometric Aided Geometric design15.宋家宏.李成.王建华空间曲线的高阶几何Hermite插值[期刊论文]-计算机辅助设计与图形学学报 2004(6)16.杨存典n次分段Hermite插值多项式的构造 2000(02)17.姜献峰.梁友栋有理Bezier曲线的几何连续条件及其应用 1992(04)18.冯仁忠.王仁宏三次B样条曲线间G2连续条件[期刊论文]-大连理工大学学报 2003(4)19.苏本跃.余宏杰一类G2连续的C-Bézier保凸插值曲线[期刊论文]-安徽技术师范学院学报 2003(2)20.方逵.文锦(G2-连续的)保形分段三次插值曲线 1999(03)21.康宝生.贺文杰Gk保形分段2k次参数多项式插值[期刊论文]-高等学校计算数学学报 2002(3)22.张宏鑫.王国瑾保持几何连续性的曲线形状调配[期刊论文]-高校应用数学学报A辑 2001(2)23.张三元基于代数曲线段的G2连续的曲线造型方法[期刊论文]-计算机学报 2000(2)24.张三元.孙守迁.潘云鹤基于几何约束的三次代数曲线插值[期刊论文]-计算机学报 2001(5)25.杨莉.晁翠华.贾晓G2连续的三次有理Bezier样条插值曲线[期刊论文]-机械科学与技术 2000(3)26.任群.康宝生.田捷平面G2组合三次α-Bézier曲线的几何构造[期刊论文]-工程图学学报 2003(3)27.赖舜男.吴学礼.汪国平G2三次Hermite样条曲线形状的交互修改[期刊论文]-计算机应用研究 2004(10)28.方逵.吴凡参数五次GC2 Hermite插值 2000(01)29.芦殿军Bezier曲线的拼接及其连续性[期刊论文]-青海大学学报（自然科学版） 2004(6)30.G3连续的有理三次Bézier样条曲线造型[期刊论文]-自然科学进展 2001(7)31.陈宝平.尹志凌基于有理二次Bezier曲线的G2连续的插值曲线[期刊论文]-内蒙古大学学报（自然科学版）2004(4)32.苏步青.华宣积应用几何教程 19901.王远军.曹沅.Wang Yuanjun.Cao Yuan非均匀三次参数样条曲线的能量最优光顺算法[期刊论文]-计算机辅助设计与图形学学报2005,17(9)2.章虎冬.ZHANG Hu-dong平面参数三次样条曲线的优化光顺算法[期刊论文]-工程图学学报2009,30(2)3.章虎冬.蒋大为.ZHANG Hu-dong.JIANG Da-wei三次参数样条曲线的自动光顺算法[期刊论文]-西安邮电学院学报2006,11(3)4.张彩明高精度三次参数样条曲线的构造[期刊论文]-计算机学报2002,25(3)5.张镜污染环境下Leslie系统的生存分析与Volterra方程周期解及渐近稳定性[学位论文]20066.谈勇.王治森.闫晓婧基于累加弦长的三次参数样条曲线的插补控制[期刊论文]-合肥工业大学学报(自然科学版) 2004,27(6)7.崔利宏.秦克.张淼.车翔玖CAGD中双三次张量积非均匀B样条曲面G2光滑条件[期刊论文]-长春工程学院学报(自然科学版)2002,3(4)8.车明刚三维Minkowski空间中非类光曲线的双曲达布像和从切高斯曲面[学位论文]20069.李艳秋具简化Holling Ⅳ型功能反应函数的时滞培养器模型的大范围周期解[学位论文]200610.何军.张彩明.周元峰三次参数样条曲线的光顺[会议论文]-20071.郑坤,毛维辰,严哲,张红萍一种含断层的复杂层状地质体三维自动构模方法研究[期刊论文]-岩土力学 2013(02)2.党相懿,杨文广,蒋东翔基于样条曲线的压气机特性内插算法研究[期刊论文]-航空发动机 2015(01)引用本文格式：柏庆昆一般的三次参数样条曲线的几何连续性及其插值方法[学位论文]硕士 2006华中科技大学硕士学位论文“假”的生产及其逻辑——对“华南虎事件”的分析姓名：张斌申请学位级别：硕士专业：社会学指导教师：吴毅20080603摘要“华南虎事件”是2007年公众关注的焦点，本研究起始于这样一个疑问：“华南虎事件”中陕西省有关方面为何要造假？本研究以故事的形式将事件较为完整地呈现出来，通过对事件的参与者陕西省林业厅、地方政府、评审专家、周正龙、官僚系统、网络、傅德志、新闻媒体、国家林业局等在事件中的表现的描述，揭示了他们背后的结构性力量，并由此逐渐呈现出了整个事件的逻辑。

一类扰动的超椭圆Hamilton系统的极限环分布情况

文章编号:１００８－８４２３( ２０１９) ０２－０１５６－０５
ＤＯＩ:１０.１３５０１ / ｊ.ｃｎｋｉ.４２－１５６９ / ｎ.２０１９.０６.００８
一类扰动的超椭圆Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统的
ห้องสมุดไป่ตู้极限环分布情况
王彦杰ꎬ洪晓春∗
( 云南财经大学统计与数学学院ꎬ昆明６５００００)
摘要:在定性分析理论指导下ꎬ运用判定函数和数值探测方法ꎬ研究了一类具有幂零鞍点的超椭圆Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统在
形如:
ｄｘｄｔ
＝ｙꎬ
ｄｙｄｔ
＝
Ｒｍ( ｘ)
＋
εＲｎ( ｘ) ｙꎬ
(１)
系统(１) 的( ｍꎬｎ) 的Ｌｉｅｎａｒｄ系统在弱化的希尔伯特的第１６问中得到了广泛的研究与关注ꎬ其中的０< ε ≪
１ꎬＲｍ(ｘ)ꎬＲｎ(ｘ)分别为ｘ的ｍ和ｎ次多项式. 当 ε ＝０时ꎬ系统(１) 对应的Ｈａｍｉｌｔｏｎ函数如下所示:
(４)
其中Ｍ( ｘ)＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋ａ３ｘ３＋ｘ４ꎬ在非对称扰动下极限环的分支问题ꎬ即系统( ４) 在３种参数组合下Ａｂｅｌ
中图分类号:Ｏ１７５.１２
文献标志码:Ａ
ＬｉｍｉｔＣｙｃｌｅＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆａＣｌａｓｓｏｆＰｅｒｔｕｒｂｅｄＨｙｐｅｒｅｌｌｉｐｔｉｃＨａｍｉｌｔｏｎＳｙｓｔｅｍｓ
ＷＡＮＧＹａｎｊｉｅꎬＨＯＮＧＸｉａｏｃｈｕｎ∗
( ＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＳｔａｔｉｓｔｉｃｓａｎｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓꎬＹｕｎｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＦｉｎａｎｃｅａｎｄＥｃｏｎｏｍｉｃｓꎬＫｕｎｍｉｎｇ６５００００ꎬＣｈｉｎａ)

一类三次lienard方程的极限环分析

一类三次lienard方程的极限环分析以《一类三次lienard方程的极限环分极限分析》为标题，本文将对一类三次Lienard方程的极限环分极限分析进行剖析，以深入了解其结构，特征与性质。

一类三次lienard方程是由Lienard在1927年提出的常微分方程。

它有以下基本形式：$$frac{d^3y}{dt^3}+a(t)frac{d^2y}{dt^2}+b(t)frac{dy}{dt}+c( t)y=f(t)$$其中，a(t)、b(t)、c(t)和f(t)是连续并且在某一区间上可导的函数；解析解的极限分析可以归纳为几个基本的步骤：1.上述方程分解为：$frac{d^2y}{dt^2}+a(t)frac{dy}{dt}+(b(t) + c(t))y=f(t)$ 2.换后的方程可以写为：$[T(t)+c(t)]frac{dy}{dt}+[b(t)+c(t)]y=f(t)$3.换成只含有y的方程：$frac{dy}{dt}+p(t)y = q(t)$4. 使用环分方法，将方程积分两次得到：$y=int(q(t)-p(t))e^{int p(t)dt}dt+C_1e^{int p(t)dt}+c_2$ 5.恒等变换找出原方程的解：$tilde y=y+C_1e^{int p(t)dt}+c_2$6.取有界的解：$tilde y=int(q(t)-p(t))e^{int p(t)dt}dt+C_2$此外，若p(t)和q(t)都是常数，那么通过积分可以得到解析解，即：$tilde y=int(q-p)e^{pt}dt+C_2$最后，体现出一类三次Lienard方程极限环分极限分析的重要性，其在工程应用中有着重要的地位。

例如，可以用它：1.决工程设计中存在的稳定性问题；2.悉系统动力学及控制；3.据有关参数的系统特性，以此构建模型以预测模型的行为。

因此，通过仔细研究一类三次Lienard方程的极限环分极限分析，不仅可以深入了解其结构，特征与性质，也可以有效的解决工程中广泛存在的诸多问题。

一类三次系统的极限环分布情况

一类三次系统的极限环分布情况1三次系统及其极限环三次系统是把输入信号与另外两个输出信号相结合，输出信号会受到输入信号、两个输出信号的叠加，从而反馈到输入端，形成分支形状定向环路的信号系统。

根据反馈的定向环路的深度，可将信号系统分为一类，二类和三类等类型。

其中，三次系统反馈环路深度为三层，因此也称为三态系统，主要分为三个阶段：激励，重播和谐振。

2三次系统极限环三次系统极限环是一种重要的特征形态，也是一种特定的一类极限环，通过三个相互叠加的信号环路，形成环形系统的定向信号循环，当环形系统定向循环的总环路增益接近1时，则系统将进入极限环状态，可在低静态噪声等级下保持输出信号的恒定值，并且瞬态变化稳定地重播。

3极限环分布情况由于极限环具有自身特殊的性质，它具有均匀分布，随机分布和非均匀分布三种情况。

（1）均匀分布：当环形系统定向环路的总增益为1时，即系统输出信号的强度不受输入信号的瞬时强度限制，信号的强度将保持恒定，这时瞬态变化保持稳定地重播，信号以均匀的方式分布在周围。

（2）随机分布：当环形系统定向环路总增益接近1时，信号将以随机的形式分布在周围，每次输出都会受到输入信号的瞬时变化影响，从而将信号分布在周围，但仍包含部分恒定强度的信号。

（3）非均匀分布：当环形系统定向环路总增益低于1时，系统的输出信号将以非均匀的速度弱变化，但部分信号仍然可以保持恒定强度，并将其分布在其他非均匀分布信号之间。

4结论一类三次系统的极限环分布情况一般可分为均匀分布、随机分布和非均匀分布三种情况。

当环形系统反馈环路增益等于1，则系统处于极限环状态，可以稳定地重播输出信号，信号强度也将保持恒定。

否则，系统将出现非均匀分布的情况，一些信号的强度可能会受到输入信号的瞬时变化影响，而且信号强度会发生变化。

极限环是一种重要的特征，有助于研究信号传输的相关性质。

非线性的分析方法

非线性的分析方法
非线性分析方法指的是对非线性系统进行分析和研究的方法。

在非线性系统中，输出与输入之间的关系不是通过简单的线性函数表达，而是通过复杂的非线性函数来描述。

常见的非线性分析方法包括：
1. 相图（Phase Portrait）分析：通过画出系统状态的相轨迹来分析系统的稳定性和周期性。

2. 极限环（Limit Cycle）分析：寻找和分析系统中存在的极限环，用于描述系统的周期性行为。

3. 哈密顿系统（Hamiltonian System）分析：通过引入哈密顿量和广义动量来描述非线性系统的运动。

4. 哈特曼系统分析：将非线性系统转化为哈特曼系统，并利用哈特曼系统的性质进行分析。

5. 建模与仿真：利用数学建模和仿真技术对非线性系统进行分析和研究。

6. 级数展开法：将非线性系统的输出进行级数展开，通过保留几个重要的项来
近似描述系统的行为。

7. 非线性控制方法：包括反馈线性化、滑模控制、自适应控制等方法，用于设计和实现对非线性系统的控制。

非线性分析方法在物理学、化学、生物学等领域的研究中得到广泛应用，有助于深入理解和掌握非线性系统的行为。

一类三次Kolmogorov系统的极限环

一类三次Kolmogorov系统的极限环吴岱芩;黄文韬;吴燕兰【摘要】Aiming at bifurcations of limit cycles of a cubic Kolmogorov predator-prey system at the positive equilibrium point (1,1),the real system is translated gradually into a complex system by the computer algebra system Mathematica,then the first five singular point values for the concomitant complex system are calculated,and the numbers of limit cycles at the pos-itive equilibrium point can be deduced by Jacobi determinant.Five small amplitude limit cycles bifurcating from the positive equilibrium point can be concluded in the certain conditions.%针对一类三次Kolmogorov捕食系统在正平衡点(1,1)的极限环分支问题,利用计算机代数系统Mathematica,将实系统逐步转化为复系统,计算伴随复系统的前5个奇点量,利用雅克比行列式推导正平衡点处可分支的极限环个数,得出该系统在一定条件下可分支5个小振幅极限环的结果。

【期刊名称】《桂林电子科技大学学报》【年(卷),期】2016(036)002【总页数】4页(P160-163)【关键词】正平衡点;Kolmogorov系统;极限环;奇点量【作者】吴岱芩;黄文韬;吴燕兰【作者单位】桂林电子科技大学数学与计算科学学院，广西桂林 541004;桂林电子科技大学数学与计算科学学院，广西桂林 541004; 贺州学院数学系，广西贺州 542800;桂林电子科技大学数学与计算科学学院，广西桂林 541004【正文语种】中文【中图分类】O175.12生态学模型的极限环在理论和应用上是重要而有趣的问题，如下生态模型称为Kolmogorov模型，x、y分别代表2个种群的密度。

Hamilton系统在三次、四次多项式扰动下的极限环

Hamilton系统在三次、四次多项式扰动下的极限环
李寿贵;王锋
【期刊名称】《湖北大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2001(023)002
【摘要】利用Poincare分支与Hopf分支的有关理论,讨论了一类扰动项是三次和四次多项式的Hamilton扰动系统的极限环个数问题,在该系统的一阶Melnikov 函数恒为零但二阶Melnikov函数不恒为零的情况下,得到了这两个扰动系统的极限环数目的最小上界分别为B(4)=3和B(3)=2的结论.
【总页数】4页(P108-111)
【作者】李寿贵;王锋
【作者单位】武汉科技大学理学院;江汉大学数学及计算机科学系
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.一类二次Hamilton系统在二次扰动下的极限环 [J], 郭立颖
2.一类微分系统在三次多项式扰动下的极限环估计 [J], 吕宝红;夏静;王金诚;郑冬云
3.一类四次多项式Hamilton系统的幂零中心条件和极限环分支 [J], 杨军
4.一类平面分段光滑线性Hamilton系统在多项式扰动下的极限环个数 [J], 程振峰;李宝毅;张永康
5.一类在三次多项式扰动下的Hamilton系统的极限环 [J], 王锋
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