3 11 流体的平衡规律(上：一般规律)

o z x
∂p pbdydz− pcdydz= − dxdydz ∂x y
f x ⋅ ρdxdydz
p- ∂p/∂x•dx/2 dy b
f,p,ρ
a dx y z c dz
p+ ∂p/∂x•dx/2
x
1 ∂p f x− =0 ρ ∂x
第二章 流体静力学
同理，考虑y 同理，考虑y，z方向，可得: 方向，可得:
流体处于绝对静止或相对静止时的压强
∆P dP p = lim = ∆A→0 ∆A dA
第二章 流体静力学
2、流体静压强的两个特性
（1）方向性 ）
流体静压力的方向总是沿着作用面的内法线方向； 流体静压力的方向总是沿着作用面的内法线方向；
原因:
① 静止流体不能承受剪力，即τ=0，故p垂直受压面； 静止流体不能承受剪力， τ=0， 垂直受压面； 因流体几乎不能承受拉力， 指向受压面。 ② 因流体几乎不能承受拉力，故p指向受压面。
右边成为某一个函数全微分的充分必要条件是
∂f y ∂z = ∂f z ∂y
∂f z ∂f x = ∂x ∂z
∂f x ∂f y = ∂y ∂x
第二章 流体静力学
由理论力学可知， fx、fy、 由理论力学可知，式是 fx、fy、fz 具有力的势 函数的充分必要条件。 函数的充分必要条件。力的势函数对各坐标轴的 偏导数等于单位质量力在对应坐标轴上的分量 有势函数存在的力称为有势的力， 有势函数存在的力称为有势的力，由此得到一个 重要的结论：只有在有势的质量力作用下， 重要的结论：只有在有势的质量力作用下，不可 压缩均质流体才能处于平衡状态， 压缩均质流体才能处于平衡状态，这就是流体平 衡的条件。 衡的条件。
两个矢量的数量积等于零， 互相垂直， 两个矢量的数量积等于零，必须f和ds互相垂直，其 等于90 90度 也就是说， 夹角φ等于90度。也就是说，通过静止流体中的任一点的 等压面都垂直于该点处的质量力。例如， 等压面都垂直于该点处的质量力。例如，当质量力只有重 力时，等压面处处与重力方向正交， 力时，等压面处处与重力方向正交，是一个与地球同心的 近似球面。但是， 近似球面。但是，通常我们所研究的仅是这个球面上非常 小的一部分， 小的一部分，所以可以看成是水平面 。 应用：水平仪（贴瓷砖） 应用：水平仪（贴瓷砖）
1 p x − pn + f x ⋅ ρ dx = 0 3 1 p y − pn + f y ⋅ ρ dx = 0 3 1 p z − pn + f z ⋅ ρ dx = 0 3
略去无穷小项
px
dz
dy o dx
C x
py
⇒
p x = p y = p z = pn
1 fx − ρ 1 fy − ρ 1 fz − ρ ∂p =0 ∂x ∂p =0 ∂y ∂p =0 ∂z
z y p- ∂p/∂x•dx/2 dy b o x
f,p,ρ
a dx y z c dz
p+ ∂p/∂x•dx/2
x
上式即为流体平衡微分方程 欧拉平衡微分方程) (欧拉平衡微分方程)
∂f y ∂f x ∂f y ∂f z ∂f z ∂f x = =0 = =0 = =0 ∂z ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x
第二章 流体静Biblioteka 学⇒f x dx + f y dy + f z dz = 0
或
f ⋅ dr = 0
第二章 流体静力学
3. 性质
（1）等压面恒与质量力正交。 等压面恒与质量力正交。
f ⋅ dr = 0
⇒
f ⊥ dr
（2）等压面即为等势面
等压面性质： 等压面性质： • 等压面就是等势面 • 等压面与质量力垂直
第二章 流体静力学
第二章 流体静力学
平衡微分方程式的意义
1 fx − ρ 1 fy − ρ 1 fz − ρ ∂p =0 ∂x ∂p =0 ∂y ∂p =0 ∂z
物理意义： 物理意义： 在静止流体中，单位质量流体 在静止流体中， 上的质量力与静压强的合力相平衡 适用范围： 适用范围： 所有静止流体或相对静止的流体。 所有静止流体或相对静止的流体。
第二章 流体静力学 EXIT
平衡微分方程式的综合式(压强差公式) 平衡微分方程式的综合式(压强差公式)
1 fx − ρ 1 fy − ρ 1 fz − ρ ∂p =0 ∂x ∂p =0 ∂y ∂p =0 ∂z
⇒
∂p ∂x = ρf x ∂p = ρf y ∂y ∂p = ρf z ∂z
⇒
dp =
dp = ρ ( f x dx + f y dy + f z dz )
流体平衡微分方程综合式
∂p ∂p ∂p dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z
物理意义： 物理意义：
流体静压强的增量决定于质量力。 流体静压强的增量决定于质量力。
第二章 流体静力学
二、 流体静压强及其特性
1、流体的静压强
第二章 流体静力学
它反映了数量场在空间上的不均匀性。 它反映了数量场在空间上的不均匀性。
的三个分量是压强在三个坐标轴方向的方向导数， ∇p 的三个分量是压强在三个坐标轴方向的方向导数 ，
流体的平衡微分方程实质上表明了质量力和压差力之 间的平衡。 间的平衡。 压强对流体受力的影响是通过压差来体现的。 压强对流体受力的影响是通过压差来体现的。
第二章 流体静力学
（2）大小性 ）
流体静压力与作用面在空间的方位无关，仅是该点坐标的函数。 流体静压力与作用面在空间的方位无关，仅是该点坐标的函数。
1 1 p x ⋅ dydz − pn ⋅ dA cos(n, x) + f x ⋅ ρ dxdydz = 0 2 6
y D
⇓
pz
pn
1 p x − p n + f x ⋅ ρ dx = 0 3
B z
第二章 流体静力学
三、平衡流体中的压强分布规律 给定质量力→ 给定质量力→积分
不可压缩流体
ρ =c
,因 p = p ( x, y , z ) ,则
w = w( x, y , z )
令
dp
p/ρ = w
p ∂w ∂w ∂w dx + dy + dz = d = ( f x dx + f y dy + f z dz ) = dw = ρ ρ ∂x ∂y ∂z
第二章 流体静力学
dp = ρdW
p = ρW + c
p = p0 + ρ (W − W0 )
帕斯卡原理 “魔术”小实验（笛卡尔魔鬼 ） 魔术”小实验（ 魔术 水压机、气压机、 水压机、气压机、液压系统
第二章 流体静力学
四、等压面及其特征 等压面及其特征
1. 定义
流场中压强相等的各点组成的面。 流场中压强相等的各点组成的面。
第二章 流体静力学 EXIT
一、流体平衡微分方程
在静止流体中取如图所示微小六面体（控制体）。 在静止流体中取如图所示微小六面体（控制体）。 设其中心点a(x,y,z)的密度为 ，压强为 ，所受质量力为 。 的密度为ρ，压强为p，所受质量力为f。 设其中心点 的密度为
y
f, p,ρ
dy o z x
a dz dx y z x
1 fx − ρ 1 fy − ρ 1 fz − ρ
∂p =0 ∂x ∂p =0 ∂y ∂p =0 ∂z
第二章 流体静力学
以x方向为例,列力平衡方程式 方向为例, 表面力： 表面力： 质量力: 质量力:
据∑ Fx = 0,
∂p ρf xdxdydz − dxdydz = 0 ∂x
31 流体的平衡规律（上：一般规律） 流体的平衡规律（ 一般规律）
流体平衡微分方程 流体静压强及其特征 平衡流体中的压强分布规律（方程的积分） 平衡流体中的压强分布规律（方程的积分） 等压面及其特征
第二章 流体静力学
基本方程组的特定解之一
第二章 流体静力学
流体静力学研究流体的平衡规律， 流体静力学研究流体的平衡规律，由平衡条 静力学研究流体的平衡规律 件求静压强分布，并求静水总压力。 件求静压强分布，并求静水总压力。 静止是相对于坐标系而言的，不论相对于惯 静止是相对于坐标系而言的， 性系或非惯性系静止的情况， 性系或非惯性系静止的情况，流体质点之间肯 定没有相对运动，这意味着粘性将不起作用， 定没有相对运动，这意味着粘性将不起作用， 所以流体静力学的讨论不须区分流体是实际流 体或理想流体。 体或理想流体。
dp = 0
液体与气体的分界面，即液体的自由液面就是等压面， 液体与气体的分界面，即液体的自由液面就是等压面， 其上各点的压强等于在分界面上各点气体的压强。互不 其上各点的压强等于在分界面上各点气体的压强。 掺混的两种液体的分界面也是等压面。 掺混的两种液体的分界面也是等压面。 2. 微分方程
dp = ρ ( f x dx + f y dy + f z dz ) dp = 0