2018届高三数学5月份第四次模拟考试

2018届高三数学5月份第四次模拟考试文科数学注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}{}3,x log 1P x x N Q x =∈=<，则P Q ⋂= （ ） A.{}0,1,2B.{}1,2C.(]0,2D.()0,3（2）若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且112z i =-，则12z z = （ ） A.3455i +B.3455i -+C.3455i -- D.3455i - （3）在等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，36927a a a ++=，则9S = （ ）A.66B.99C.144D.297（4）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此三棱锥的最长的棱为（ ）A.B.4D.3（5）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？“该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得.”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此方法求解，右图是解决这类问题的程序框图，若输入n=24，则输出的结果为（ ）A.23B.49C.24D.48（6）若正实数x ，y 满足4x+y=xy ，则x+4y 取最小值时，y 的值为（ ）A.1B.2C.3D.5（7）函数[]2cos ()(-2,2)1x xf x x x =∈+的大致图像是（ ）ABCD（8）将函数2sin 3y x =的图像向右平移12π个单位长度，得到函数(x)y f =的图像，则下列说法不正确的是（ ） A.函数()f x 的图像关于直线4x π=对称B.函数()f x 的一个零点为012x π=C.函数()f x 在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.函数()f x 的最小正周期为23π（9）若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos()423πβ-=，则c o s ()2βα+=（ ）A.9B.3-C.27D.9-（10）已知在四棱锥P-ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，且△PAB底面ABCD（ ）A.74πB.4πC.16πD.7π（11）已知1F ，2F 为双曲线222:102x y C b b-=>（）的左右焦点，点A 为双曲线C 右支上一点，1AF 交左支于点B,2AF B ∆是等腰直角三角形，22AF B π∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A.4B.C.2（12）若对于任意的正实数x ，y 都有y 2ln y xx e x me⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭成立，则实数m 的取值范围为 （ ） A.1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.21,1e ⎛⎫⎪⎝⎭C.21,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D.510,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.（13）已知向量a=（1,2），b=（1,1），c=2a+kb ，若b ⊥c ，则a c =_______.（14）在圆224x y +=上任取一点，则该点到直线0x y +-=的距离[0,1]d ∈的概率为_______.（15）已知实数x ，y 满足2202401x y x y y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤+⎩，且341x y m x ++=+，则实数m 的取值范围为_______.（16）已知数列{}n a ，令()()112122n n n P a a a n N n-+=+++∈，则称{}n P 为{}n a 的“伴随数列”，若数列{}n a 的“伴随数列”{}n P 的通项公式为()12n n P n N ++=∈，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若4n S S ≤对任意的正整数n 恒成立，则实数k 的取值范围为_______.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知△ABC 内接于半径为R 的圆，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且()()222sin sin sin R B A b c C -=-，c=3，（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若AD 是BC边上的中线，2AD =,求△ABC 的面积.（18）（本小题满分12分）旅游公司规定：若一个导游一年内为公司挣取的旅游总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：（Ⅰ）求a ，b 的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？（Ⅱ）若一个导游的奖金y （单位：万元）与其一年内旅游总收入x （单位：百万元）之间的关系为12022040340x y x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，求甲公司导游的年平均奖金；（Ⅲ）从甲、乙两家公司旅游收入在[50,60)的总人数中，用分层抽样的方法随机抽取6人进行表彰，其中有两名导游代表旅游行业去参加座谈，求参加座谈的导游中有乙公司导游的概率.（19）（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A B C ⊥平面11AACC ,90ABC ∠=. （Ⅰ）证明：1AC CA ⊥；（Ⅱ）若11A B C ∆是边长为2的等边三角形，求点1B 到平面ABC 的距离.（20）（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点1,2⎛ ⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点的直线1l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线2l 过坐标原点且斜率与直线1l 的斜率互为相反数.若直线2l 与椭圆交于E ，F 两点且均不与点A ，B 重合，试证明直线AE 的斜率与直线BF 的斜率之和为零.（21）（本小题满分12分） 已知函数()1ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中a R ∈. （Ⅰ）若a=1，求曲线()y f x =在点()()1,f 1P 处的切线方程；（Ⅱ）若对任意1x ≥，都有()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22题和第23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题记分. （22）[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）平面直角坐标系中，直线l的参数方程为11x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-.（Ⅰ）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知与直线l 平行的直线l '过点M （2,0），且与曲线C 交于A ，B 两点，试求AB .（23）[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知函数()12f x x x =+--，()2g x x x a =--.（Ⅰ）当a=5时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（Ⅱ）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[2,3]，求a 的取值范围.濮阳市2018届第三次模拟考试文科数学参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1.B 由题意，可得{}0,1,2P =，()0,3Q =，所以{}1,2PQ =,选B2.A 复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且112z i =- ∴212z i =--∴()()()()121212124334121212555i i z ii i z i i i ---+==-==+--+- 故选A. 3.B 设公差为d ，()()36914727391262a a a a a a d ++-++=-=-=⇒-.14711393919a a a a d a ++=+=⇒=，根据等差数列的求和公式：91989992S a d ⨯=+⨯=。

故本题正确答案为B 4.D5.B 模拟程序的运行，可得n=24，执行循环体，n=16，s=40，不满足条件n=0； 执行循环体，n=8，s=48，不满足条件n=0；执行循环体，n=0，s=48，满足条件n=0，输出s=48+1=49，故选B. 6.D ∵x>0，y>0且4x+y=xy ∴141x y+= ∴()1444441725x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥⎪⎝⎭当且仅当x=y=5时取等号，故选D 7.C∵()f x 是奇函数，∴排除D 答案，又因为()0f x =得x=0或[]2,22x π=±∈-所以排除答案A ，又因为()0f x >，所以选C 8.C9.A10.D11.D12.D二、填空题（每小题5分，共20分）13.1 14.1315.[2,7]如图，作出可行域：3411311x y y m x x +++==+++，11y x ++表示可行域上的动点（x,y ）与定点P （-1，-1）连线的斜率，显然最大值为AP 的斜率2，最小值为BP 的斜率13 ∴[]1132,71y m x +=+∈+ 故答案为：[2,7] 16.125,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 三、解答题（共70分） 17.（本小题满分12分）（1）由正弦定理，()()222sin sin sin R B A b c C -=- 可化为sin sin sin sin b B a A b C c C -=-即222b a bc c -=-……………………3分∴2221cos 22b c a A bc +-== ∵0<A<π∴3A π=…………………………………………6分（2）以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABEC在△ABE 中，120ABE ∠=，AE =由余弦定理得2222cos120AE AB BE AB BE =+-.即21199232AC AC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得AC=2………………………………………………9分故1sin 22ABC S bc A ∆==.………………………………………………12分 18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由直方图知：（0.01+0.025+0.035+a+0.01）×10=1，有a=0.02， 由频数分布表知：b+18+49+24+5=100，有b=4.………………………………2分 ∴甲公司的导游优秀率为：（0.02+0.01）×10×100%=30%； 乙公司的导游优秀率为：245100%=29100+⨯％； 由于30%>29%，所以甲公司的影响度高.…………………………4分（Ⅱ）甲公司年旅游总收入[10,20)的人数为0.0110100=10⨯⨯人；……………………5分 年旅游总收入[20,40）的人数为()0.025+0.03510100=60⨯⨯人；……………………6分 年旅游总收入[40,60）的人数为()0.02+0.0110100=30⨯⨯人；……………………7分 故甲公司导游的年平均奖金110602303y 2.2100⨯+⨯+⨯==（万元）.………………8分（Ⅲ）由已知得，年旅游总收入在[50,60)的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人. 按分层抽样的方法甲公司抽取106415⨯=人，记为a ，b ，c ，d ；从乙公司抽取56215⨯=人，记为1,2.……………………9分 则6人中随机抽取2人的基本事件有：（a,b ）,（a,c ），（a,d ），（a,1），（a,2），（b,c ），（b,d ），（b,1），（b,2），（c,d ），（c,1），（c,2），（d,1），（d,2），（1,2），（1,2）共15个.……………………10分参加座谈的导游中有乙公司导游的基本事件有：（a,1），（a,2），（b,1），（b,2），（c,1），（c,2），（d,1），（d,2），（1,2）共9个.设事件A 为“参加座谈的导游中有乙公司导游”，则()93p ==155A ∴所求概率为35.………………12分 19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）过点1B 作1AC 的垂线，垂足为O ，由平面11A B C ⊥平面11AAC C ，平面11A B C ⋂平面111=AAC C AC ， 得1B O ⊥平面11AAC C ，………………………………2分又AC ⊂平面11AAC C ，得1B O AC ⊥. 由90BAC ∠=，11//AB A B ，得11A B AC ⊥.又1111B O A B B ⋂=，得AC ⊥平面11A B C . 又1CA ⊂平面11A B C ，得1AC CA⊥.…………………………6分（Ⅱ）因为11//A AB B ，AB ⊂平面ABC ，11A B ⊄平面ABC ， 所以11//A B 平面ABC ，………………………7分所以1B 到平面ABC 的距离等于1A 到平面ABC 的距离，设其为d ， 由11A ABCB AAC V V --=得，111111d 3232AC AB AC AC B O ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，所以1d BO ==. 即点1B 到平面ABC………………………12分 20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可得22222211c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭+=⎨⎪⎪⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.………………………3分 所以椭圆C 的方程为2212x y +=.………………………4分（Ⅱ）证明：由题知直线1l 斜率存在，设1:(1)l y k x =+，()11,A x y ，()22,B x y . 联立22(1)22y k x x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得()2222124220k x k x k +++-=， 由题易知△>0恒成立， 由韦达定理得2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+，………………………6分 因为2l 与1l 斜率相反且过原点，设2:l y kx =-，()33,E x y ，()44,F x y ，联立2222y kx x y =-⎧⎨+=⎩ 消去y 得()221220k x +-=由题易知△>0恒成立，由韦达定理得340x x +=，342212x x k -=+，………………………8分 因为E ，F 两点不与A ，B 重合，所以直线AE ，BF 存在斜率AE k ，BF k ， 则()()132313241324132311AE BF k x kx k x kx y y y y k k x x x x x x x x +++---+=+=+---+ ()()()()()()()()21323231312312132313231122x x x x x x x x x x x x x k k x x x x x x x x ++++-+-+++==-+-+ ()()()2222213232222241212120k k k k k kx x x x -⨯-+++++==-+ 所以直线AE 的斜率与直线BF 的斜率之和为零………………………12分21.（本小题满分12分）解：（1）当a=1时，()1ln f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()10f =， 所以()2111f x x x'=+-，()11f '=， 即曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程为y=x-1；………………………4分（2）()22ax x a f x x -+'=， 若0a ≤，则当1x >时，10x x->，lnx 0>，∴()0f x <，不满足题意；………………………6分 若0a >，则当2140a ∆=-≤，即12a ≥时，()0f x '≥恒成立 ∴()f x 在[)1,+∞上单调递增，而()10f =，所以当1x ≥时，()0f x ≥，满足题意，………………………8分当0∆>，即102a <<时，()0f x '=.有两个不等实根设为1x ，2x ，且12x x <， 则121x x =，1210x x a +=>， ∴1201x x <<<，当21x x <<时，()0f x '<，故()f x 在()21,x 上单调递减，而()10f =，当()21,x x ∈时，()0f x <，不满足题意………………………10分 综上所述，12a ≥ ………………………12分 22.（本小题满分10分）解：（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=cos sin 10θρθ-=……………………2分 由22cos 1cos θρθ=-可得()221cos 2cos ρθρθ-=， 曲线C 的直角坐标方程为22y x =.……………………………………5分（2）直线l 的倾斜角为3π，∴直线l '的倾斜角也为3π，又直线l '过点M （2,0）， ∴直线l '的参数方程为122x t y ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩（t '为参数），将其代入曲线C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=……………………………………7分设点A ，B 对应的参数分别为1t '，2t '.由一元二次方程的根与系数的关系知12163t t ''=-，1243t t ''+=，∴12AB t t ''=-==10分 23.（本小题满分10分）（1）当a=5时，不等式()()f x g x ≥等价于2125x x x x +--≥--，① 当1x <-时，①式化为220x x --≤，无解；当12x -≤≤时，①式化为2340x x --≤，得12x -≤≤；当2x >时，①式化为280x x --≤，得2x <≤所以()()f x g x ≥的解集为⎡-⎢⎣⎦.………………………………5分 （2）当[]2,3x ∈时，()3f x =，所以()()f x g x ≥的解集包含[]2,3，等价于[]2,3x ∈时()3g x ≤又()2g x x x a =--在[]2,3上的最大值为()36g a =-.所以()33g ≤，即63a -≤，得3a ≥.所以a 的取值范围为[)3,+∞.………………………………10分。