第二章图像增强与平滑

P r(r)
P r(r)
0 (a)
1
r
0 (b)
1
r
图2-2 图像灰度分布概率密度函数
从图像灰度级的分布可以看出一幅图像的灰度分布特性。 例如，从图2-2中的(a)和(b)两个灰度分布概率密度函数中可以 看出： (a)的大多数像素灰度值取在较暗的区域，所以这幅图 像肯定较暗，一般在摄影过程中曝光过强就会造成这种结果； (b)图像的像素灰度值集中在亮区，因此，图像(b)将偏亮，一 般在摄影中曝光太弱将导致这种结果。当然，从两幅图像的 灰度分布来看图像的质量均不理想。
1 1 6 1 3 1 1 2 4 6 4 4 3 3 3 6 5 6 6 4 2 4 6 6 4 5 2 6 6 2 6 6 5 1 6 6 3 6
2 4
3 5
4 6
5 2
6 14
图2-1 图像灰度直方图
设r代表图像中像素灰度级，作归一化处理后，r将被限定在 ［0, 1］之内。在灰度级中，r=0代表黑，r=1代表白。对于一幅 给定的图像来说，每一个像素取得［0, 1］区间内的灰度级是随 机的，也就是说r是一个随机变量。假定对每一瞬间，它们是连 续的随机变量，那么就可以用概率密度函数pr(r)来表示原始图像 的灰度分布。如果用直角坐标系的横轴代表灰度级r，用纵轴代 表灰度级的概率密度函数pr(r)，这样就可以针对一幅图像在这个 坐标系中作出一条曲线来。这条曲线在概率论中就是概率密度 曲线，如图2-2所示。
rk
(a)
(b)
(c)

图2-10 直方图均衡化处理 (a)变换前的直方图；(b)变换函数；(c)变换后的直方图
由上可见，利用累积分布函数作为灰度变换函数，经变 换后得到的新直方图虽然不很平坦，但毕竟比原始图像的直 方图平坦的多， 而且其动态范围也大大地扩展了。因此，这 种方法对于对比度较弱的图像进行处理是很有效的。图2-11 是经直方图均衡化后的Lena图像和其直方图。 因为直方图是近似的概率密度函数，所以用离散灰度级 作变换一般得不到完全平坦的结果。
s＝T(r) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 r
pr(s)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
r
(a)
(b)
(c)
图2-9 直方图变换法 （a）原始概率密度函数；（b）变换函数；（c）变换后的概率密度函数
上述方法是以连续随即变量为基础进行讨论的。当灰度 级是离散值时，可用频数近似替代概率值。 假如一幅大小为64×64，灰度级为8级的图像，对其进行 均衡化处理。其灰度直方图如图2-10（a），变换函数如图210（b），变换后的直方图如图2-10（c）。
也就是说，通过上述变换，每个原始图像的像素灰度值r都对应 产生一个s值。变换函数T(r )要满足单调增加，且在[0 1]。 满足这两个条件的变换函数的例子如图2-7所示。 从s到r的反变换可用下式表示：
r=T-1(s)
(2-3)
s 1
sk
T(r (r
k
)
O
rk
1
r
图2-7 灰度拉伸变换函数
图像增强处理的方法基本上可分为空间域法和频率法两大 类。前者是在原图像上直接进行数据运算，对像素的灰度值进 行处理。它又分为两类，一类是对图像作逐点运算，称为点运 算；另一类是在与处理像点邻域有关的空间域上进行运算， 称 为局部运算。频域法是在图像的变换域上进行处理， 增强感兴 趣的频率分量， 然后进行反变换， 得到增强了的图像。
2
按照这样的关系变换，就可以得到一幅改善质量的新图像。这 幅图像的灰度层次将不再是呈现较暗色调的图像，而是一幅灰 度层次较为适中， 比原始图像清晰， 明快得多的图像。可以证 明，变换后的灰度及概率密度是均匀分布的。图2-9(b)和(c)分别 为变换函数和变换后的均匀的概率密度函数。
pr(r) 2 1.0 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 1 2 r
− 2 r + 2 p r (r) = 0
0 ≤ r ≤1 其他
用累积分布函数原理求变换函数
s = T ( r ) = ∫ pr (ω )dω = ∫ ( −2ω + 2)dω = − r + 2r
2 0 0
r
r
变换后的s值与r值的关系为
s = − r + 2r = T ( r )
(a)
(b)
图2-3 图像与直方图间的多对一关系
（3） 由于直方图是对具有相同灰度值的像素统计得到的， 因此，一幅图像各子区的直方图之和就等于该图像全图的直方 图，如图2-4所示。
(a)
(b)
(c)
图2-4 直方图的分解
2.1.3 直方图的计算 直方图的计算 灰度直方图的计算非常简单，依据定义，在离散形式下， 用 rk代表离散灰度级，用pr(rk)代表pr(r)，并且有下式成立：
（3） 元器件材料本身引起的噪声。如, 磁带、 磁盘表面缺陷 所产生的噪声。 （4） 系统内部设备电路所引起的噪声。如, 电源系统引入的 交流噪声，偏转系统和箝位电路引起的噪声等。 图像噪声从统计特性可分为平稳噪声和非平稳噪声两种。 统计特性不随时间变化的噪声称为平稳噪声；统计特性随时间 变化的噪声称为非平稳噪声。
s s s
O s
r
O s
r
O s
r
O
r
O
r
O
r
图2-15 常见的几种非线性变换函数
2.3 图 像 噪 声
2.3.1 概述 概述 噪声在理论上可以定义为“不可预测， 只能用概率统计方法 来认识的随机误差”。因此，将图像噪声看成是多维随机过程 是合适的，描述噪声的方法完全可以借用随机过程及其概率分 布函数和概率密度函数。但在很多情况下，这种描述方法很复 杂，甚至不可能，而且实际应用往往也不必要，通常是用其数 字特征，即均值方差、相关函数等进行处理。
第二章图像增强与平滑
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 直方图 灰度变换 图像噪声 去除噪声 图像锐化
2.1 直 方 图
2.1.1 直方图的基本概念 直方图的基本概念 如果将图像中像素亮度（灰度级别）看成是一个随机变量， 则 其 分 布 情 况 就 反 映 了 图 像 的 统 计 特 性 ， 这 可 用 Probability Density Function (PDF) 来 刻 画 和 描 述 ， 表 现 为 灰 度 直 方 图 （Histogram）。灰度直方图是灰度级的函数，它表示图像中具 有某种灰度级的像素的个数，反映了图像中每种灰度出现的频率， 如图2-1所示。灰度直方图的横坐标是灰度级，纵坐标是该灰度 级出现的频度，它是图像最基本的统计特征。
0 ≤ f (x, y) < a 0 ≤ f (x, y) < b b ≤ f (x, y) < M f
g(x, y) Mg d
c O a b Mf f (x , y)
图2-14 分段线性变换
2.2.3 非线性变换 非线性点运算对应于非线性映射函数，典型的应设包 括平方函数、对数函数等，如图2-15给出了几种典型的非 线性点运算的映射函数。
2.3.3 图像系统噪声特点 图像系统噪声特点 如图2-16是一幅含有噪声的图像， 由此可知图像中的噪声 有以下三个特点。 1. 噪声在图像中的分布和大小不规则 2. 噪声与图像之间具有相关性 3. 噪声具有叠加性
图2-16 有噪声的图像
2.4 去 除 噪 声
改善降质图像的方法有两类：一类是不考虑图像降质的原因， 只将图像中感兴趣的部分加以处理或突出有用的图像特征，故改 善后的图像并不一定要去逼近原图像。这一类图像改善方法称为 图像增强，主要目的是要提高图像的可懂度。另一类方法是针对 图像降质的具体原因，设法补偿降质因素，使改善后的图像尽可 能地逼近原始图像。这类方法称为图像恢复或图像复原技术。
另外，按噪声和信号之间的关系可分为加性噪声和乘性噪 声。假定信号为S(t)，噪声为n(t)，如果混合叠加波形是S(t)+n(t) 形式，则称其为加性噪声；如果叠加波形为S(t)［1+n(t)］形式， 则称其为乘性噪声。为了分析处理方便，往往将乘性噪声近似 认为加性噪声，而且总是假定信号和噪声是互相独立的。
2.1.2 直方图的性质 直方图的性质 （1） 直方图是一幅图像中各像素灰度值出现次数（或频数） 的统计结果，它只反映该图像中不同灰度值出现的次数（或频 数），而未反映某一灰度值像素所在位置。也就是说，它只包含 了该图像中某一灰度值的像素出现的概率，而丢失了其所在位置 的信息。 （2）任一幅图像，都能惟一地确定出一幅与它对应的直方图， 但不同的图像，可能有相同的直方图。也就是说，图像与直方图 之间是多对一的映射关系。如图2-3就是一个不同图像具有相同 直方图的例子。
2.2.2 分段线性变换 分段线性变换 为了突出感兴趣的目标或灰度区间，相对抑制那些不感兴 趣的灰度区域，可采用分段线性变换。常用的三段线性变换法 如图2-14所示，其数学表达式如下：
c f ( x, y ) a d − c g ( x, y ) = [ f ( x, y ) − a ] + c d −a M − d g [ f ( x , y ) − b] + d M f −b
2.3.2 图像噪声分类 图像噪声分类 图像噪声按其产生的原因可分为外部噪声和内部噪声。 外部噪声是指系统外部干扰从电磁波或经电源传进系统内 部而引起的噪声，如电气设备、天体放电现象等引起的噪声。 主要外部干扰如下： （1） 由光和电的基本性质所引起的噪声。 （2） 电器的机械运动产生的噪声。如, 各种接头因抖动引起 的电流变化所产生的噪声；磁头、磁带抖动引起的抖动噪声等。
2.1.5 直方图均衡 直方图均衡 直方图均衡化处理是以累积分布函数变换法为基础的直方 图修正法。假定变换函数为