导数综合应用

函数的最值． 4． 四个易误导数公式及两个常用的运算法则

(1)(sin x )′＝cos x .

(2)(cos x )′＝－sin x .

(3)(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)．

(4)(log a x )′＝1x ln a

(a >0，且a ≠1)． (5)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．

(6)⎣⎡

⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2

(g (x )≠0).

考点一 导数几何意义的应用

例1 (1)过点(1,0)作曲线y ＝e x 的切线，则切线方程为________．

(2)在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线C 1：y ＝ax 3＋1(a >0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝52

的一个公共点，若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是________．

(1)直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ax 2＋2＋ln x 相切于点P (1,4)，则b 的值为________．

(2)若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2

处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________. 考点二 利用导数研究函数的性质

例2 设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )．

(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；

(2)当k <0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M .

已知a∈R，函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax.

(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．

考点三利用导数解决与方程、不等式有关的问题

例3 已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .

(1)求f (x )的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程；

(2)证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12

x 2＋x ＋1有唯一公共点； (3)设a

⎭⎫a ＋b 2与f (b )－f (a )b －a 的大小，并说明理由．

已知函数f (x )＝e x －ax ，其中a >0.

1． 函数y ＝12

x 2－ln x 的单调递减区间为________． 2． 已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值是________．

3． 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，

如图所示，则下列说法中所有不正确的序号是________．

①当x ＝32

时，函数f (x )取得极小值； ②f (x )有两个极值点；

③当x ＝2时，函数f (x )取得极小值；

④当x ＝1时，函数f (x )取得极大值．

4． 已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝_______.

5． 已知函数f (x ) (x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )

的解集为__________． 6． 设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2(其中x ∈R ，a ，b 为常数)．已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在

点(2,0)处有相同的切线l ，则a ，b 的值分别为________．

7． 设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为________．

8． 已知函数f (x )＝－12

x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是____________． 9．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同

实根个数是________．

10．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．

二、解答题

11．设函数f (x )＝ax ＋2，g (x )＝a 2x 2－ln x ＋2，其中a ∈R ，x >0.