导数综合应用

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1 Juatime
导数综合应用
1. 已知函数f(x)=x-1x+1,g(x)=x2-2ax+4,若对任意x1∈[0,1],存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),则
实数a的取值范围是__________.
2. 设函数f(x)=1-a2x2+ax-ln x(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;
(2)当a≥2时,讨论函数f(x)的单调性;
(3)若对任意a∈(2,3)及任意x1,x2∈[1,2],恒有ma+ln 2>|f(x1)-f(x2)|成立,求实数m的取值范围.

1. 导数的几何意义
函数y=f(x)在点x=x0处的导数值就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,其切线方程是y-
f(x0)=f′(x0)(x-x0).
2. 导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0.
(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有f′(x)=0时,则f(x)为常数,
函数不具有单调性.
3. 函数的极值与最值
(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题,函数的最值是对整个定义域而言的,是在整个范围内讨论的问
题.
(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有.
(3)闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内的函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值一定是
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函数的最值.
4. 四个易误导数公式及两个常用的运算法则
(1)(sin x)′=cos x.
(2)(cos x)′=-sin x.
(3)(ax)′=axln a(a>0,且a≠1).

(4)(logax)′=1xln a(a>0,且a≠1).
(5)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
(6)fxgx′=f′xgx-fxg′x[gx]2(g(x)≠0).

考点一 导数几何意义的应用
例1 (1)过点(1,0)作曲线y=ex的切线,则切线方程为________.

(2)在平面直角坐标系xOy中,设A是曲线C1:y=ax3+1(a>0)与曲线C2:x2+y2=52的一个公共点,若
C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直,则实数a的值是________.
(1)直线y=kx+b与曲线y=ax2+2+ln x相切于点P(1,4),则b的值为________.
(2)若曲线f(x)=xsin x+1在x=π2处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实数a=________.
考点二 利用导数研究函数的性质
例2 设函数f(x)=x3-kx2+x(k∈R).
(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当k<0时,求函数f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M.
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已知a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.

考点三 利用导数解决与方程、不等式有关的问题
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例3 已知函数f(x)=ex,x∈R.
(1)求f(x)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程;

(2)证明:曲线y=f(x)与曲线y=12x2+x+1有唯一公共点;

(3)设a

已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.
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(1)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1x0∈(x1,x2),使f′(x0)=k成立.

一、填空题
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1. 函数y=12x2-ln x的单调递减区间为________.
2. 已知直线y=kx是y=ln x的切线,则k的值是________.
3. 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数y=f′(x)的图象经过点(1,0),(2,0),
如图所示,则下列说法中所有不正确的序号是________.

①当x=32时,函数f(x)取得极小值;
②f(x)有两个极值点;
③当x=2时,函数f(x)取得极小值;
④当x=1时,函数f(x)取得极大值.
4. 已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=_______.

5. 已知函数f(x) (x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f′(x)<12,则f(x)6. 设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2(其中x∈R,a,b为常数).已知曲线y=f(x)与y=g(x)在
点(2,0)处有相同的切线l,则a,b的值分别为________.
7. 设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,则a的取值范围为________.

8. 已知函数f(x)=-12x2+4x-3ln x在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是____________.
9.若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同
实根个数是________.
10.已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是________.

二、解答题
11.设函数f(x)=ax+2,g(x)=a2x2-ln x+2,其中a∈R,x>0.
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(1)若a=2,求曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程;
(2)是否存在负数a,使f(x)≤g(x)对一切正数x都成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明
理由.

12.已知函数f(x)=x2e,g(x)=2aln x(e为自然对数的底数).
(1)求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间,若F(x)有最值,请求出最值;
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(2)是否存在正常数a,使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有共同的切线?若存
在,求出a的值,以及公共点坐标和公切线方程;若不存在,请说明理由.

13.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司
一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=
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10.8-130x2 0

108x-1 000
3x
2
x>10.

(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大?(注:年利润=年销售收入
-年总成本)

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