导数综合应用

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导数综合应用
1． 已知函数f(x)＝x－1x＋1，g(x)＝x2－2ax＋4，若对任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则
实数a的取值范围是__________．
2． 设函数f(x)＝1－a2x2＋ax－ln x(a∈R)．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；
(2)当a≥2时，讨论函数f(x)的单调性；
(3)若对任意a∈(2,3)及任意x1，x2∈[1,2]，恒有ma＋ln 2>|f(x1)－f(x2)|成立，求实数m的取值范围．

1． 导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y－
f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2． 导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.
(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数，
函数不具有单调性．
3． 函数的极值与最值
(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问
题．
(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．
(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是
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函数的最值．
4． 四个易误导数公式及两个常用的运算法则
(1)(sin x)′＝cos x.
(2)(cos x)′＝－sin x.
(3)(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1)．

(4)(logax)′＝1xln a(a>0，且a≠1)．
(5)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(6)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0).

考点一 导数几何意义的应用
例1 (1)过点(1,0)作曲线y＝ex的切线，则切线方程为________．

(2)在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C1：y＝ax3＋1(a>0)与曲线C2：x2＋y2＝52的一个公共点，若
C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数a的值是________．
(1)直线y＝kx＋b与曲线y＝ax2＋2＋ln x相切于点P(1,4)，则b的值为________．
(2)若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝π2处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________.
考点二 利用导数研究函数的性质
例2 设函数f(x)＝x3－kx2＋x(k∈R)．
(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当k<0时，求函数f(x)在[k，－k]上的最小值m和最大值M.
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已知a∈R，函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．

考点三 利用导数解决与方程、不等式有关的问题
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例3 已知函数f(x)＝ex，x∈R.
(1)求f(x)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程；

(2)证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝12x2＋x＋1有唯一公共点；

(3)设a

已知函数f(x)＝ex－ax，其中a>0.
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(1)若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；
(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＝k成立．

一、填空题
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1． 函数y＝12x2－ln x的单调递减区间为________．
2． 已知直线y＝kx是y＝ln x的切线，则k的值是________．
3． 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，
如图所示，则下列说法中所有不正确的序号是________．

①当x＝32时，函数f(x)取得极小值；
②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时，函数f(x)取得极小值；
④当x＝1时，函数f(x)取得极大值．
4． 已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝_______.

5． 已知函数f(x) (x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)<12，则f(x)6． 设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2(其中x∈R，a，b为常数)．已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在
点(2,0)处有相同的切线l，则a，b的值分别为________．
7． 设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为________．

8． 已知函数f(x)＝－12x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是____________．
9．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同
实根个数是________．
10．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．

二、解答题
11．设函数f(x)＝ax＋2，g(x)＝a2x2－ln x＋2，其中a∈R，x>0.
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(1)若a＝2，求曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程；
(2)是否存在负数a，使f(x)≤g(x)对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明
理由．

12．已知函数f(x)＝x2e，g(x)＝2aln x(e为自然对数的底数)．
(1)求F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间，若F(x)有最值，请求出最值；
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(2)是否存在正常数a，使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存
在，求出a的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由．

13．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司
一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝
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


10.8－130x2 0

108x－1 000
3x
2
x>10.

(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？(注：年利润＝年销售收入
－年总成本)