解直角三角形(仰角,俯角)
《 仰角、俯角问题》完整版教学课件PPT
仰角 水平线
分R析t△：A我BD们中知，道a ，=3在0°视，线A与D水＝平
B
线12所0，成所的以角利中用视解线直在角水三平角线形上的方 的知是识仰求角出，BD视的线长在度水；平类线似下地方可的
A
αD β
是以俯求角出，CD因的此长，度在，图进中而，求a=出30B°C ，
β的=6长0°度，即求出这栋楼的高度 俯角
《 仰角、俯角问题》完整版教学课件T
学习目标
1 巩固解直角三角形有关知识 重点 2 能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实 际问题，在解题过程中进一步体会数形结合、转化、 方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基 本模型及解题思路 重点、难点
导入新课
问题引入
某探险者某天到达如 图所示的点A 处时，他准
答案：飞机的高度为
300 100 3 米.Biblioteka Baidu
30° A
45° 200米
O
B
U
课堂小结
利用仰俯角解 直角三角形
仰角、俯角的概念
运用解直角三角形解决 仰角、俯角问题
仰角、俯角问题的常见基本模型：
模型一
A
C
E
D
B
模型二 A
C
D
B
B
模型三
C
模型四
A
D
tan 54 40 1.38 40 55.2m，
九下数学课件仰角、俯角和方向角有关的问题(课件)
乙栋楼房 CD 的高度(结果保留根号)．
题型一 仰角、俯角问题
【变式1】如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山 坡，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米 (点A、B、C、D、E在同一平面内)，在点D处测得建筑物顶端A点的仰角
【归纳】: ●仰角和俯角是视线相对
于水平线而言的，不同 位置的仰角和俯角是不 同的，可巧记为“上仰 下俯”. ●实际问题中遇到仰角或 俯角时，要放在直角三 角形中或转化到直角三 角形中，注意确定水平 线.
题型一 仰角、俯角问题
【例 1】如图是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房 AB 的楼顶，测 量对面的
在 Q 的北偏西 70°方向，则河宽(PT 的长)可以表示为( B )
A．200tan 70°米 B.ta2n0700°米 C．200sin 70°米
D.si2n0700°米
题型一 方向角的问题
【变式 3】如图，某海防哨所 O 发现在它的西北方向，距离哨所 400 米的 A 处有一艘船
向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东 60°方向的 B 处，则此时这艘船与哨所
知识卡片-解直角三角形的应用-仰角俯角问题
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
能量储备
仰角、俯角：如图2446(1)所示，在进行测量时，从下向上
看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水
平线的夹角叫做俯角。
通关宝典
★ 基础方法点
方法点：解直角三角形在实际问题中的应用中正确选取直角三角形的边角关系是求解的关键。
例1：如图24410所示，某电视塔高AB 为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C 处测
得塔顶B 的仰角为45°，在楼顶D 处测得塔顶B 的仰角为39°。
(1)求大楼与电视塔之间的距离AC ；
(2)求大楼的高度CD (精确到1米)。
解：(1)在△ABC 中，∵ ∠ACB ＝45°，∠A ＝90°，
∴ AC ＝AB ＝610米。
答：大楼与电视塔之间的距离AC 为610米。
(2)由矩形的性质可知DE ＝AC ＝610米。
在Rt △BDE 中，由tan ∠BDE ＝BE DE
，得BE ＝DE·tan 39°。 又∵CD ＝AE ，∴CD ＝AB －DE·tan 39°＝610－610×tan 39°≈116(米)。
答：大楼的高度CD 约为116米。
例2：如图24428所示，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1.2米的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为42°，再向电视塔方向前进120米，又测得电视塔顶端A 的仰角为61°.求这个电视塔的高度AB .(精确到1米)
解：如图24429所示，设AE 为x 米，则塔的高度为(x ＋1.2)米．
∵ tan 61°＝AE EF ＝x EF ，∴ EF ＝x tan 61°
解直角三角形(仰角和俯角)讲义
解直角三角形（仰角和俯角）
一、知识点讲解
1、仰角和俯角的定义：
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。二、典例分析
利用解直角三角形解决仰角、俯角问题
例1 一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得A的仰角为30°，求树高．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
变式练习：
1、如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为
A、50
B、51
C、50+1
D、101
第1题第2题第3题
2、如图，从坡顶C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时C处的高度CD为150米，且点
A、D、B在同一直线上，则AB两点间距离是米。
3、如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是m（结果保留根号）
4、如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，则楼房CD 的高度m（结果保留根号）
反馈练习 基础夯实
1、如图，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞行高度AC =1200m ，从飞机上看地平面 A 、 1200m B 、 1200m C ．、 1
解直角三角形复习课件(仰角、俯角)[
设CD=x,则BD=X+24
二、例题赏析
在Rt△ADC中， AD ∵ tan∠DCA=-----DC ∴AD= tan600x= 3 x 在Rt△ADB中， AD √ 3 x ∵ tan30˚= ---- = -------BD X+24 X=12 AD≈12×1.732 =20.784 > 20
A 30˚ 60˚ D X
N1
N
60˚ 30˚
24海里
C
B
答：货轮无触礁危险。
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的 夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅 直 线
仰角 水平线 俯角
视线
例2:热气球的探测器 显示,从热气球看一栋 高楼顶部的仰角为 30°,看这栋高楼底部 的俯角为60°,热气球 与高楼的水平距离为 120m,这栋高楼有多高?
A
3x
45° 60°
C
D
x B
3、在山顶上处D有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一 点A的俯角α=60o，在塔底D测得点A的俯角β=45o， 已知塔高BD=30米，求山高CD。 B α
D
β
C
A
1.如图，某飞机于空中 A处探测到目标C，此时 飞行高度AC=1200米， 从飞机上看地平面控制 点B的俯角α=30`，求飞 机A到控制点B的距 离.(精确到1米）
解直角三角形(仰角与俯角)
1.什么叫解直角三角形？
在直角三角形中，由已 知元素求未知元素的过程， 叫做解直角三角形.
2.直角三角形（除直角外）五元素的 关系是什么？
（1）三边之间的关系: a2 + b2 = c2 （勾股定理）
（2）锐角之间的关系: ∠A + ∠B = 90°
（3）边角之间的关系
sin
A
A的对边 斜边
tan
分析：从飞船上能最远直接 看到的地球上的点，应是视 线与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是飞船的位置， FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测 地球时的最远点．PQ 的长就是地面 上P、Q两点间的距离，为计算PQ 的 长需先求出∠POQ（即a）
F
P Q
α O·
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
B
α=30°
A 120 D
β=60°
C
如图,有两建筑物,在甲建筑物上从A到E点挂 一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测 得条幅顶端A点的仰角为45°,条幅底端E点的俯 角为30°.求甲、乙两建筑物之间的水平距离BC
A
D E
B
C
小结：
1.有关概念：仰角、俯角 2.用解直角三角形知识解决此类问题的一般步骤： （1）通过读题把实物图转化为数学图形; （2）找出直角三角形和已知、未知元素; （3）选合适的锐角函数关系求未知数; （4）解题.
华师大版 24.4.2解直角三角形(仰角、俯角)
P
30°
A
200米
45°
O
16:08
B
C
合作与探究
变题2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB 左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得 大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水 A 平距离.
P
45° 30°
200米 D
答案: (300100 3) 米
O
16:08
B
P
归纳与提高
α β
P
北 30° A
西
Biblioteka Baidu
O 45°
东
B
16:08
南
例 1 如图，为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆 10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶 端C的仰角a＝52°，求电线杆AB的 高．（tan52°≈1.2799，sin52°≈0.7880精确到0.1 C 米）
解：在Rt△CDE中， ∵ CE=DE tan a = AB tan a = 10 tan 52°≈12.80 ∴ BC=BE+CE=DA+CE = 12.80+1.50=14.3（米） 答：旗杆BC的高为14.3米。
16:08
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
数学人教版九年级下册28.2.2 利用仰角、俯角解直角三角形
教学设计
处测得楼房CD顶部点D的仰角为
【例3】如图,已知一行人在A处看灯塔M的仰角为30o,此人沿着AC
向行走了14米，到达B处，此时，在B处看灯塔
C 【例5】如图,某数学兴趣小组想测量一棵树
【方法二】四、归纳总结：
解直角三角形(仰角和俯角)知识讲解
=3 4
直角三角形斜边 上的中线等于斜
边的一半
C
D B
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的 夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅 仰角 直 线 俯角
水平线
视线
例:热气球的探测器显 示,从热气球看一栋高 楼顶部的仰角为30°, 看这栋高楼底部的俯 角为60°,热气球与高 楼的水平距离为 120m,这栋高楼有多 高?
A
D xF
30°
C
Ex B
3、在山顶上处D有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一 点A的俯角α=60o，在塔底D测得点A的俯角β=45o， 已知塔高BD=30米，求山高CD。
B α
D
β
C
A
(课本93页)
建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观 察旗杆顶部A的仰角为50°,观察底部B的仰角为 45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)
旗30杆0，AB如的图高量多出少C？D=8米，你能求出
旗杆AB的长吗？
D
300
8
60
0
B
600
B
4m
1、如图，为了测量电线杆的高度AB，在离
电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪 CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电 线杆AB的高．（精确到0.1米）
沪科版九年级数学上册《仰角、俯角在解直角三角形中的运用》课件
解：过点 A 作 AM⊥CD 于点 M，在 Rt△BCD 中，tanα＝CBCD，∴ CD＝BC·tanα＝mtanα，在 Rt△AMD 中，tanβ＝DAMM，∴DM＝ AM·tanβ＝mtanβ，∴AB＝CD－DM＝m(tanα－tanβ)
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
三、解答题(共 42 分) 10．(14 分)(2014·钦州)如图，在电线杆 CD 上的 C 处引拉线 CE，CF 固 定电线杆，拉线 CE 和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆 6 米的 B 处 安置高为 1.5 米的测角仪 AB，在 A 处测得电线杆上 C 处的仰角为 30°，求 拉线 CE 的长．(结果保留小数点后一位，参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
解：过点 A 作 AH⊥CD，垂足为 H，由题意可知四边形 ABDH 为矩形，
解直角三角形(仰角俯角坡度问题)
解直角三角形（仰角俯角坡度问题）
1、（德阳市2013年）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为
A. 40 3m
B. 803m
C. 1203m
D. 160 3m
答案：D
解析：过A作AD⊥BC于D，则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120。
BC＝BD＋CD＝120tan30°＋120tan60°＝1603，选D。
2、（2013•衢州）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m，≈1.73）．
A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题：应用题．
分析：设CD=x，在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CED中求出ED，再由AE=4m，可求出x 的值，再由树高=CD+FD即可得出答案．
解答：解：设CD=x，
在Rt△ACD中，CD=x，∠CAD=30°，
则AD=x，
在Rt△CED中，CD=x，∠CED=60°，
则ED=x，
由题意得，AD﹣ED=x﹣x=4，
解得：x=2，
则这棵树的高度=2+1.6≈5.1m．
故选D．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．
3、（2013聊城）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB 的长为（）
数学解直角三角形(仰角俯角方位角坡度坡角)课件(人教新课标九级下)资料
P
答案: (100 3 300 ) 米
O
30° A
45°
200米
B
L
U
D
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P
C
30° A
45°
200米
O
B
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
速度向南偏东60°方向航行，那么渔轮到达小岛O的正东方 向是什么时间？（精确到1分）
B
2、（2012广安）如图2012年4月10日，中国渔民在中国南 海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦查发现，在南 偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的 速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国 渔民。此时，C地位于中国海监船的南偏东45 °方向的10 海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我 国渔民，能不能及时赶到？
B
α=30°
A 120 D
β=60°
C
(课本93页)
建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观 察旗杆顶部A的仰角为50°,观察底部B的仰角 为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)
解直角三角形(2)仰角和俯角
答：棋杆的高度为15.2m.
2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同 时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那
么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）
解：要使A、C、E在同一直线上， 则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
A
处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的
仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）
B
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°
BC=DC=40m 在Rt△ACD中
tan ADC AC DC
AC tan ADC DC
54°45°
D 40m
C
tan 54 40 1.38 40 55.2
AB 140°
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
C
E
cos BDE DE
50°
BD
DE cosBDE BD
D
cos50 520 0.64520 332.8
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
利用解直角三角形的知识解决实际问题的 一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)
解直角三角形的应用举例(1) -----仰角和俯角
仰角、俯角和方位角
？
C
B
被观测点
这个问题归结为: 在Rt△ABC中,已知∠A= 60°, 斜边AB=30,求AC的长
问题本质是 直线与圆的关系
例2.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏 东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？
①弄清已知条件及要求解的问题。 ②画图将实际问题转化为数学问题。 ③寻找解题途径。 ⑷解、答
（2）、如果图中无直角三角形，可适当地作垂 线等辅助线，“化斜为直”，“善于转化”为 解直角三角形问题。 （3）、解直角三角形的有关问题常通过设未知 数、列方程（组）来解，也比较容易。常常设 图形中具有“双重身份”的线段或者是两个三 角形联系密切的特殊线段为未知数。
北
C
60
北
30
60km
A
D
B
针对性习题3：大海中某小岛A的周围22km范围 内有暗礁. 一海轮在该岛的南偏西55°方向的B 处,由西向东行驶了20km后到达该岛的南偏西 25°方向的C处.如果该海轮继续向东行驶,会有 触礁的危险吗? (精确到0.1km).
北
tan 25°≈ 0.47 西 tan 55°≈ 1.43
解：由题意得，在Rt△PAO与Rt△PBO中
解直角三角形仰角与俯角.ppt
的顶部D的仰角为36°,求建筑物乙的
高度.(精确到0.1米).
Ｄ
Ｃ
36°
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ°
甲
Ａ
乙
Ｅ
Ｂ
3、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问题 如下：
沿着水平地面向前300米到达D点，在D点测 得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。
A
45°
C
60°
Dx
3x
B
3、在山脚C处测得山顶A的仰角为450。问题如下：
变式： 沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D 点，在D点测得山顶A的仰角为600 ,求山高AB。
A
60 °
D xF
45 °
30 °
C
Ex B
１、理解仰角、俯角的概念
2、把实际问题转化为解直角三角形的 问题来解决，即构造直角三角形。
3、在直角三角形中选择适当的边角关 系求解。
1.如图，某飞机于空中 A处探测到目标C，此 时飞行高度AC=1200米， 从飞机上看地平面控制 点B的俯角α=16031`，求 飞机A到控制点B的距 离.(精确到1米）
作业:
创新目标:P71 Ａ组
再见
A
α
B
C
2、在山顶上D处有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一 点A的俯角α=60o，在塔底D测得点A的俯角β=45o，已 知塔高BD=30米，求山高CD。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解直角三角形
学习目标
1、探索直角三角形中锐角的三角函数值与
三边之间的关系，掌握三角函数定义。
2、掌握特殊角的三角函数值，并会进行有
关特殊角的三角函数值的计算。
3、能综合运用直角三角形的勾股定理与边
角关系解决实际问题，提高数学建模能力。
重点：合理构造直角三角形、解直角三角形
实际应用。
难点：如何理解题意对实际问题建立模型解
题。
教学过程：
一、知识梳理：
（一）锐角三角函数
1.三角函数的定义:
(1)正弦
(2)余弦 .
(3)正切
2.特殊角的三角函数值
（二）直角三角形中的边角关系
1.三边之间的关系
2.两锐角之间的关系
3.边角之间的关系
（三）解直角三角形的应用：仰角和俯角二、例题
例题: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）
C
例1如图，直升飞机在跨江大桥AB 的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB . 例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .
三、变式训练
变题1：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两
端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO .
变题2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离.