第二章第十三节定积分与微积分基本定理

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高考数学第一轮复习第二篇第13讲定积分与微积分基本定理课件理新人教A版

面积的代数和，即bf(x)dx＝ A1＋A3－A2
.
a
2.定积分的性质
((12))abbk[ff1((xx))d±x＝f2(x)]dkx＝abf(x)abdfx1(x)dx±(k为baf常2(数x)d)．x . a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)bf(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx(其中 a<c<b)．
在每个小区间上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)，作和式i＝n1f(ξi)Δx＝i＝n1b－n af(ξi)，
当 n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区
间[a，b]上的定积分，记作 abf(x)dx ，即abf(x)dx＝nl→im∞i＝n1b－n af(ξi)．
定积分的计算
【例 1】 (1)若π2 (sinx＋acosx)dx＝2，则实数 a 等于(
)．
0
A．－1 B．1 D． 3 D．－ 3
(2)定积分3 9－x2dx 的值为________． 0
(3)已知函数 f(x)＝sin5x＋1，则-π2π2f(x)dx 的值为________．
n→＋∞
时
，和式
n
f(ξi)·Δx
i＝1
＝
n

i＝1
b－a
n f(ξi)
无
限趋近
于
某一
确
定的
常
数.( )
(3)设函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则abf(x)dx＝abf(t)dt.( )
2.定积分的几何意义与物理意义
(4)在区间[a，b]上的连续的曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 所围
成的曲边梯形的面积 S＝ab|f(x)|dx.( ) (5)若abf(x)dx<0，那么由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的图形一定

定积分与微积分基本定理课件

【解析】 (2)由定积分的几何意义知,
3
1
和 x=1,x=3,y=0 围成的图形的面积,∴
3
1
3 1 2
dx=2·
= .
3 0 3
2
x
3 + 2- 2 dx 表示半圆(x-1)2+y2=4(y≥0)
1
4
3 + 2- 2 dx= ×π×4=π.
点拨：运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点:

为了方便,常把 F(b)-F(a)记作
即

曲边梯 F(x)
,

f(x)dx=F(x) =F(b)-F(a).

四、定积分与曲边梯形面积的关系
设阴影部分的面积为 S.

(1)S= f(x)dx;
(2)S=-
(3)S=
(4)S=

f(x)dx-

f(x)dx;

f(x)dx;
f(x)dx-
[f1(x)±f2(x)]dx=
f(x)dx=

1

f(x)dx+

f (x)dx± f2(x)dx.
f(x)dx(其中 a<c<b).
答案
三、微积分基本定理
一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且 F'(x)=f(x),那么

f(x)dx= F(b)-F(a) ,
这个结论叫作微积分基本定理,又叫作牛顿-莱布尼茨公式.
−π
π
+ 2)dx=(-cos x+2x)

定积分与微积分基本定理

定积分与微积分基本定理1.定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －a nf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个□01常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛a b f (x )dx ＝limn →∞∑n i ＝1b －an f (ξi )．其中f (x )称为□02被积函数，a 称为积分□03下限，b 称为积分□04上限．2.定积分的几何意义3.定积分的性质性质1：⎠⎛a b kf (x )d x ＝□01k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)．性质2：⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝□02⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛abg (x )d x .性质3：⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋□03⎠⎛c b f (x )d x . 4.微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a b f (x )d x＝□01F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．可以把F (b )－F (a )记为F (x )|b a ，即⎠⎛ab f (x )dx ＝F (x )|b a ＝□02F (b )－F (a )． 5.定积分与曲边梯形面积的关系设阴影部分的面积为S. (1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；(2)S ＝□01－⎠⎛ab f (x )d x ；(3)S ＝□02⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x ；(4)S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x . 6.函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有： (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎜⎛－aaf (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)设f (x )为奇函数，则⎠⎜⎛－aaf (x )d x ＝0.1.概念辨析(1)在区间[a ，b ]上连续的曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛ab |f (x )|d x .( )(2)若⎠⎛a b f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x轴下方．( )(3)已知质点的速度v ＝mt (m >0)，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是⎠⎛0to mt d t＝mt 202.( )答案 (1)√ (2)× (3)√2.小题热身(1)如图，指数函数的图象过点E (2，9)，则图中阴影部分的面积等于()A.8ln 3 B ．8 C.9ln 3 D ．9答案A答案B(3) ⎠⎛-12|x |d x ＝________.答案 52解析 ⎠⎛-12|x |d x 的几何意义是函数y ＝|x |的图象与x 轴围成的图形(如图阴影所示)的面积，所以⎠⎛-12|x |d x ＝12×1×1＋12×2×2＝52.(4)若⎠⎛0t x 2d x ＝9，则常数t 的值为________．答案 3解析 ⎠⎛0t x 2d x ＝x 33|t 0＝t 33＝9，解得t ＝3.题型一定积分的计算答案 C 解析。

高中数学课件第二章第13节《定积分与微积分基本定理

球体体积
利用定积分计算球体的体积，利用球体体积公式V=4/3πr³，对r在区间 [a,b]上积分。
定积分在物理中的应用
变速直线运动的路程
定积分可以用来计算变速直线运动的路程，将速度函数在时间区间[a,b]上积分。
VS
静力矩
在力学中，定积分可用于计算平面图形对某点的静力矩，将力矩函数在区间[a,b]上积分。
高中数学课件第二章第13节《定积分与微积分基本定理》
目录
• 定积分的概念与性质 • 微积分基本定理 • 定积分的计算方法 • 定积分的应用 • 习题与解析
01
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分定义
牛顿-莱布尼茨公式
定积分是积分的一种，是函数在闭区间上某个函数的代数和的极限，也可以理解为求函数在闭区间上的整体效果。
04
定积分的应用
平面图形的面积
矩形面积
定积分可以用来计算矩形区域的面积，只需将矩形的长度在区间[a,b]上积分即可。
圆面积
定积分也可用于计算圆面积，利用圆的面积公式A=πr²，其中r为半径，对r 在区间[a,b]上积分即可。
体积的计算
圆柱体体积
定积分可用于计算圆柱体的体积，将圆柱体的底面积在高度方向上进行积分。
详细描述：这道题目综合了定积分和微积分基本定理的知识点，需要学生灵活运用所学知识来解决复杂问题，能够提高学生的综合运用能力。
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下限常数性质
∫(a→b)f(x)dx=∫(a→b)f(x+c)dx，其中c为常数。
02
微积分基本定理
微积分基本定理的表述
01 02
微积分基本定理
如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，那么该函数在区间$[a, b]$上的定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$等于$F(b) - F(a)$，其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数。

2-13 定积分与微积分基本定理

1 D 4
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1 y＝4， 1 1 [解析] 由 ⇒x＝或x＝－ (舍 )， 2 2 2 y＝x 所以阴影部分面积
定积分在物理中的应用 (1)变速直线运动问题如果作变速直线运动的物体的速率v关于时间t的函数是v＝ v(t)(v(t)≥0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b(a<b)所经过的路程为s＝ v(t)dt. (2)变力做功问题物体在变力 F(x)的作用下作直线运动，并且物体沿着与力F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，则变力F(x)所做的功为 W＝ F(x)dx.
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π π 2．(2014年青岛模拟)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所 3 3 围成的封闭图形的面积为( 1 A. 2 3 C. 2 ) B．1 D. 3
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定积分在物理中的应用
【例3】 (2014年长沙模拟)一物体在变力F(x)＝5－x2(x的单位： m，F的单位：N)的作用下，沿着与F(x)成30° 角的方向做直线运动，则从x＝1处运动到x＝2处时变力F(x)所做的功为( 2 3 A. J 3 4 3 C. J 3 B. 3 J D．2 3 J )

第十三节定积分与微积分基本定理

a
图1
(2)由三条直线 x＝a、x＝b(a＜b)、x 轴、一条曲线 y＝
f(x)[f(x)≤0]围成的曲边梯形的面积(如图 2)：
S＝|bf(x)dx|＝－bf(x)dx.

a
a
图2
(3)由两条直线 x＝a、x＝b(a＜b)、两条曲线 y＝f(x)、y＝ g(x)[f(x)≥g(x)]围成的平面图形的面积(如图 3)；
题型一计算积分例 1 计算以下定积分：
解析：(1)函数 y＝2x2－1x的一个原函数是 y＝23x3－lnx，所
以12(2x2－1x)dx＝(23x3－lnx)
2 1
21＝136－ln2－23＝134－ln2.
(2)3( 2
x＋ 1x)2dx＝23(x＋1x＋2)dx
∴在 t＝4s 时的路程为
s＝1(t2－4t＋3)dt＋|3(t2－4t＋3)dt|＋4(t2－4t＋3)dt＝4m.

0
1
3
点评：用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键，另外，路程是位移的绝对值之和，一定要判断在不同区间上位移的符号，否则会出现计算错误．
第十三节定积分与微积分基本定理
【知识梳理】
1.定积分的概念
(1)设f(x)是在区间[a，b]上有定义的函数，在a，b之间取若干分点
a=Δx0<xxk中1<x最2<大…<xn=b.记小区间[xk-1，xk]为Δ k，其长度x_k-__x_k-_1_记作Δ xk， __的__________记作d.再在每个小区间Δ k上任取一点代表点zk，作和式
f(x)在[a，b] 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴上有正有负下方的曲边梯形的面积

第二章第十三节定积分与微积分基本定理

的部分，
∴ 13 3＋2x是－x圆2 d面x 积的
1， 4
∴
13
3＋2x－x2 dx＝1gg22＝. 4
答案：π
【互动探究】在本例题(3)中条件不变，求 31 f(x)dx的值.
【解析】由本例题(3)的解答过程知，

3 1
f
x表d示x 以
(1，0)为圆心，2为半径的圆在x轴上方的部分的面积，故
|02
(4x

x2 2

22 3
3
x 2 ) |82
16 38 18. 33
方法二：S＝
2［4
4－y
－
y2 2
］dy
＝(4y

1 2
y2

1 6
y3
)
|24
＝18.
答案：18
(3)由
y

x得3 ,
y x
所求xy 旋11,,转体的体积等于由
y x，xx 轴1所，围成的图形绕x轴旋转一周形成的旋转体
判断出 f x＝ 3＋表2x－示x的2 几何意义，再利用定积分的
几何意义求解.
【规范解答】(1)
11
x2 sin x
dx
（1 3
x3

cos
x）|11
2. 3
答案：2
3
(2)

2 0

1 sin
2xdx

2 0
sin
x cos
x
dx

04
(cosx
sin
_________________.
(2)(2013·芜湖模拟)

定积分、微积分基本定理-高中数学知识点讲解

定积分、微积分基本定理1．定积分、微积分基本定理【定积分】定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积．即由所围成图（f X）[a，b] y＝0，x＝a，x＝b，y＝（f X）形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．定积分的求法：求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．【微积分基本定理】在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．其中，微积分的核心（基本）定理是푏푎F（x）＝（f x）（f x）푓(푥)푑푥= 퐹(푏)―퐹(푎)，其中，而必须在区间（a，b）内连续．2例 1：定积分|3 ―2푥|푑푥=1解：1 | 3﹣2x | dx2=321(3 ―2푥)푑푥+232(2푥―3)푑푥3＝（﹣2）1 +（x2﹣3x）|233x x |221/ 2=12通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有；第二，每一段对应的被积分函数的表dx达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．例 2：用定积分的几何意义，则39 ―푥2푑푥．―3解：根据定积分的几何意义，则39 ―푥2푑푥表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，―3故3―39 ―푥2푑푥=12 × 휋× 32 =9휋．2这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的面积．【考查】定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．2/ 2。

高中数学考点13 定积分与微积分基本定理

考点13 定积分与微积分基本定理高考对此部分的考查比较少，但定积分的基本计算以及几何意义也会单独考查，复习过程中也不能遗漏，具体要求为：(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. (2)了解微积分基本定理的含义.一、定积分 1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x 所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． (2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．2．求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v =v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s . 3．定积分的定义和相关概念(1)如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0<x 1<…<x i −1<x i <…<x n =b 将区间[a ,b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i −1,x i ]上任取一点ξi (i =1,2, …,n )，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑；当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分，记作()d baf x x ⎰，即()d baf x x ⎰=1lim ()ni n i b af nξ→∞=-∑. (2)在()d baf x x ⎰中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 (1)()()d d bba akf x x k f x x =⎰⎰(k 为常数)；(2)[()()]d ()d ()d bb ba aaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰；(3)()d =()d +()d bc baacf x x f x x f x x ⎰⎰⎰(其中a <c <b )．【注】定积分的性质(3)称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD 的面积等于曲边梯形AEFD 与曲边梯形EBCF 的面积的和．5．定积分的几何意义(1)当函数f (x )在区间[a ,b ]上恒为正时，定积分ba ⎰ f (x )d x 的几何意义是由直线x =a ，x =b (a ≠b )，y =0和曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分ba ⎰ f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x =a ，x =b 之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．6．定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：设阴影部分面积为S ,则 (1)()d ba S f x x =⎰； (2)()d baS f x x =-⎰；(3)()()d d cbacS f x x f x x =-⎰⎰； (4)()()()()d d []d bbbaaaS f x x g x x f x g x x =-=-⎰⎰⎰.7．定积分的物理意义 (1)变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v =v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即()d bas v t t =⎰.(2)变力做功一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s m ，则力F 所做的功为W =Fs .如果物体在变力F (x )的作用下沿着与F (x )相同的方向从x =a 移动到x =b ，则变力F (x )做的功()d baW F x x =⎰.二、微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数，且F ′(x )=f (x )，那么()d baf x x ⎰=F (b )−F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，我们常把F (b )−F (a )记作()|ba F x ，即()d baf x x ⎰=()|b a F x =F (b )−F (a )．【注】常见的原函数与被积函数的关系 (1)d |(bb a a C x Cx C =⎰为常数)； (2)11d |(1)1bn n ba ax x x n n +=≠-+⎰； (3)sin d cos |bb a a x x x =-⎰； (4)cos d sin |bb a a x x x =⎰； (5)1d ln |(0)bb a ax x b a x=>>⎰； (6)e d e |bx x b a a x =⎰；(7)d |(0,1)ln x bxba a a a x a a a=>≠⎰；(8)322|(0)3b a ax x b a =>≥⎰.考向一定积分的计算1．求定积分的三种方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强； (2)利用微积分基本定理求定积分；(3)利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如，定积分x ⎰的几何意义是求单位圆面积的14，所以0π=4x ⎰.2．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值. 3．分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加． 4．奇偶函数的定积分(1)若奇函数y =f (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则()d 0aa f x x -=⎰； (2)若偶函数y =g (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则0()d 2()d aaag x x g x x -=⎰⎰.典例1 A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】A故选A ．【解题技巧】求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.1．已知函数()e3211(1)2f x x dx x f x x'=⋅--⎰，则()()11f f '+=( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2考向二利用定积分求平面图形的面积利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略(1)利用定积分求平面图形面积的步骤①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．(2)知图形的面积求参数求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．(3)与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.典例2 设抛物线C：y=x2与直线l：y=1围成的封闭图形为P，则图形P的面积S等于A．1 B．1 3C．23D．43【答案】D【解析】由21y xy⎧=⎨=⎩，得1x=±.如图，由对称性可知，123114 2(11d)2(11)33 S x x x=⨯-=⨯-=⎰.故选D.2．如图，已知10,4A ⎛⎫⎪⎝⎭，点()()000,0P x y x >在曲线2y x 上，若阴影部分面积与OAP △面积相等，则0x =________.考向三定积分的物理意义利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求.典例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t +t=-+(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2【答案】C【解析】令v (t )=0得，3t 2−4t −32=0，解得t =4(83t =-舍去). 汽车的刹车距离是42400253(73)d [725ln(1)]|425ln 5.12t +t t t t t -=-++=++⎰故选C.3．一个物体做变速直线运动，在时刻t 的速度为()32v t t =-+(t 的单位：h ，v 的单位：km/h )，那么它在01t ≤≤这段时间内行驶的路程s (单位：km )的值为( ) A ．23B ．74C ．53D ．21．121(3sin )x x dx --⎰等于( )A ．0B ．2sin1C ．2cos1D ．22．11xe dx -⎰的值为( )A ．2B ．2eC ．22e -D ．22e +3．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为( )A ．16 B 3C ．13D ．234．已知622a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的中间项系数为20，则由曲线13y x =和a y x =围成的封闭图形的面积为( )A ．512B ．53 C ．1D ．13125．已知()()ln xxf x e e -=+，201sin 2a xdx π=⎰， 1.112b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23log c =则下列选项中正确的是( ) A ．()()()f a f b f c >> B ．()()()f a f c f b >> C ．()()()f c f f a b >>D ．()()()f c f b f a >>6．一物体在力F (x )＝4x ﹣1(单位：N )的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1m 处运动到x ＝3m 处，则力F (x )所作的功为( ) A ．16J B ．14J C ．12JD ．10J7．函数()()04xf x t t dt =-⎰在[]1,5-上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值323-C ．最小值323-，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值8．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线xy e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C (如图)，然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是( )A ．NM N -B ．MM N -C ．M N N-D ．M N9．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是：( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③④ D ．①②④10．()102xex dx +⎰= ______ ．11．抛物线22x y =和直线4y x =+所围成的封闭图形的面积是________. 12．已知数列{}n a 是公比120=⎰q x dx 的等比数列，且312a a a =⋅，则10a =________.13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,0O ，()2,0A ，()2,1B ，()0,1C ，现在矩形OABC 中随机选取一点(),P x y ，则事件：点(),P x y 的坐标满足22y x x ≤-+的概率为____________.1．(2015年高考湖南卷理科)2(1)d x x -=⎰．2．(2015年高考天津卷理科)曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为． 3．(2015年高考山东卷理科)执行如图所示的程序框图,输出的T 的值为．4．(2015年高考福建卷理科)如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f (x )=x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于．5．(2015年高考陕西卷理科)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．1．【答案】A【解析】【分析】先由微积分基本定理求出函数式中的积分值，然后求导，令1x=可求得(1)f'，再计算(1)f可得结论．【详解】因为e111ln|1edx xx==⎰，所以()()3212f x x x f x'=--，所以()()232'12f x x xf'=--，令1x=，得()()13212f f''=--，解得1(1)3f'=，所以321()23f x x x x=--，14(1)1233f=--=-，()()1411133f f⎛⎫'+=+-=-⎪⎝⎭，故选：A．【点睛】本题考查微积分基本定理，考查导数的运算，解题时计算出积分值，由求导公式求导，令1x=，赋值后就可化未知为已知．2．【解析】【分析】利用定积分求出阴影部分的面积，再建立面积等量关系，即可得答案；【详解】因为点()()000,0P x y x>在曲线2y x上，所以200y x=，则OAP△的面积00011112248S OA x x x==⨯=‖，阴影部分的面积为00233001133x xx dx x x==⎰∣，因为阴影部分面积与OAP△的面积相等，所以31138x x=,即238x=.所以x=【点睛】本题考查定积分求面积，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 3．【答案】B 【解析】【分析】由速度在给定的时间范围内的定积分可得到答案. 【详解】这辆汽车在01t ≤≤这段时间内汽车行驶的路程()113401172d 22444s t t t t ⎛⎫=-+=-+=-+= ⎪⎝⎭⎰，所以这辆汽车在01t ≤≤这段时间内汽车行驶的路程s 为74. 故选：B. 【点睛】本题考查了定积分在物理中的应用，速度在时间范围内的积分是路程，属于基础题.1．【答案】D 【解析】()()()()()21cos 11cos 1|cos sin 3111132=-+--+=+=-⎰--x x dx x x，故答案为D. 2．【答案】C 【解析】【分析】根据微积分基本定理结合积分的性质计算．【详解】1111222(1)xx x e dx e dx e e -===-⎰⎰．故选：C ．【点睛】本题考查微积分基本定理，属于基础题． 3．【答案】C 【解析】【分析】先计算图像交点，再利用定积分计算面积. 【详解】如图所示：由2y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩0,0,x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩，根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为)13023210211d 333x x x x ⎛⎫⎰=-= ⎪⎝⎭.故答案选C 【点睛】本题考查定积分的应用，考查运算求解能力 4．【答案】A 【解析】【分析】先利用二项展开式的通项公式求出a ，再利用牛顿-莱布尼兹公式可求图形的面积. 【详解】622a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的中间项为第4项且第4项为()3332462a T C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为系数为20，所以336C 202a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得2a =，由213x x =的0x =或1x =，所以封闭图形的面积为1412333010314135|2x x dx x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰，故选：A . 【分析】本题考查二项展开式的指定项以及平面封闭图形的面积的计算，后者注意积分区间的确定，本题属于中档题. 5．【答案】C 【解析】【分析】先判断()f x 为R 上的偶函数，再利用导数判断出()f x 在[)0,x ∈+∞上单调递增，在(],0x ∈-∞上单调递减，化简,,a b c ，利用函数的单调性比较大小即可. 【详解】()()ln x x f x e e -=+，x ∈R ，则()()()ln x x f x e e f x --=+=，所以()f x 为R 上的偶函数，并且()x xx xe ef x e e ---'=+，则[)0,x ∈+∞时，()0f x '≥，当且仅当0x =时，“=”成立，所以()f x 在[)0,x ∈+∞上单调递增，在(],0x ∈-∞上单调递减，()22111sin cos 222a xdx x ππ==-=⎰，1.111110222b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，221log log 32c ==-，又()22111log 3log 3222f c f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()()f c f a f b >>.故选：C 【点睛】本题主要考查了函数导数的应用，函数的奇偶性，函数单调性的应用，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.6．【答案】B 【解析】【分析】由定积分的物理意义，变力F (x )所作的功等于力在位移上的定积分，进而计算可得答案．【详解】根据定积分的物理意义，力F (x )所作的功为()3141x dx -=⎰(2x 2-x )31|=14. 故选B 【点睛】本题主要考查了定积分在物理中的应用，同时考查了定积分的计算，属于基础题 7．【答案】B 【解析】【分析】由定积分的运算，求得()32123f x x x =-，再利用导数求得函数()f x 的单调性与极值，结合端点的函数值，得到函数的最值，得到答案. 【详解】由题意，函数()()323200114(2)|233xxf x t t dt t t x x =-=-=-⎰，则()24(4)f x x x x x '=-=-，当[1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(0,4)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(4,5]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；又由()713f -=-，()00f =，()3243f =-，()2553f =-，所以函数()f x 的最大值为0，最小值为323-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了定积分的运算，以及利用导数研究函数的最值问题，其中解答中熟记函数的导数与原函数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 8．【答案】D【解析】【分析】利用定积分计算出矩形OABC 中位于曲线xy e =上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于e 的等式，解出e 的表达式即可. 【详解】在函数xy e =的解析式中，令1x =，可得y e =，则点()1,B e ，直线BC 的方程为y e =，矩形OABC 中位于曲线xy e =上方区域的面积为()()111xxS e e dx ex e =-=-=⎰，矩形OABC 的面积为1e e ⨯=，由几何概型的概率公式得1N M e =，所以，Me N=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用随机模拟的思想估算e 的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题. 9．【答案】A 【解析】【分析】Gini 越小，不平等区域越小，可知①正确，结合劳伦茨曲线的特点，可知(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可知②错误，结合定积分公式，可求出a 的值，即可判断出③④是否正确，从而可选出答案. 【详解】对于①，根据基尼系数公式Gini a S=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，可知(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可得()1f x x<，所以②错误；对于③，因为1223100111()d ()|236a x x x x x =-=-=⎰，所以116Gini 132a S ===，所以③错误；对于④，因为1324100111()d ()|244a x x x x x =-=-=⎰，所以114Gini 122a S ===，所以④正确.故选：A. 【点睛】本题考查不等式恒成立，考查定积分的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题. 10．【答案】e【解析】【分析】利用积分运算得()121002()|xx ex dx e x +=+⎰，计算可得答案.【详解】因为()12102()|xx ex dx e x +=+⎰(1)1e e =+-=. 故答案为：e . 【点睛】本题考查积分的运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 11．【答案】18【解析】【分析】根据定积分的几何意义可求得结果. 【详解】联立224x yy x ⎧=⎨=+⎩，消去y 得2280x x --=，解得2x =-或4x =，所以所求面积是242(4)2x x dx -+-⎰2342(4)26x x x -=+-2344484482626⎛⎫⎛⎫=+⨯---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=.故答案为：18. 【点睛】本题考查了定积分的几何意义，属于基础题. 12．【答案】1013【解析】【分析】先由微积分基本定理求出13q =，再由312a a a =⋅求出首项，进而可求出结果. 【详解】因为等比数列{}n a 的公比123101133q x dx x ===⎰，且2231211a a a a q a q ===， ∴113a =，∴101013a =. 故答案为1013【点睛】本题主要考查等比数列的基本量运算，熟记微积分基本定理，以及等比数列的通项公式即可，属于基础题型. 13．【答案】23【解析】【分析】求出矩形OABC 的面积S ，及22y x x =-+与x 轴围城的封闭图形的面积()22102d S x x x =-+⎰，结合几何概型的概率公式，可求出答案. 【详解】如图，由题意，矩形OABC 的面积212S =⨯=，22y x x =-+与x 轴围城的封闭图形面积为()223210212d 03S x x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭⎰321422033=-⨯+-=，则123S P S ==. 所以在矩形OABC 中随机选取一点(),P x y ，事件：点(),P x y 的坐标满足22y x x ≤-+的概率为23. 故答案为：23.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，弄清随机事件对应的平面区域是关键，本题属于中档题.1．【答案】0【解析】2220011(1)d ()|42022x x x x -=-=⨯-=⎰. 2．【答案】16【解析】由题意可得封闭图形的面积为122310011111()d ()|23236x x x x x -=-=-=⎰. 3．【答案】116116【解析】开始n =1,T =1,因为1<3,所以11212001131d 1|11222T x x x =+=+=+⨯=⎰,n =1+1=2; 因为2<3,所以13130023313111d |1223236T x x x =+=+=+⨯=⎰,n =2+1=3. 因为3<3不成立,所以输出T ,即输出的T 的值为116.4．【答案】512【解析】依题意知点D 的坐标为(1,4),所以矩形ABCD 的面积S =1×4=4, 阴影部分的面积S 阴影=3222111754d 44333| x x x =-=--=⎰,根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P =534S S ==阴影S =534=512.5．【答案】1.2【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =(0p >)，因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()53235355222240(2)d (2)(255)[255]257575753x x x x ---=-=⨯-⨯-⨯--⨯-=⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=，所以答案为1.2． 1．列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，•是否符合实际，检验后写出答案．2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量3.等积变形问题：常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝ r2h②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc4．数字问题一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．5．市场经济问题（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润×100%商品成本价（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．6．行程问题：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．7．工程问题：工作量＝工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝18．储蓄问题利润＝每个期数内的利息×100% 利息＝本金×利率×期数本金实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案）类型一：列二元一次方程组解决——行程问题【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得：(2.5+2)x+2.5y=363x+(3+2)y=36解得：x=6，y=3.6答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。

第二章第十三节定积分与微积分基本定理

大一轮复习数学（理）
四基精演练
1．(选修
2－2·习题

1.6B
组
T1
改编)1exdx
的值等于(
)
0
A．e
B．1－e
C．e－1
D．12(e－1)
解析：选 C.10exdx＝ex10＝e1－e0＝e－1.
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大一轮复习数学（理）
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3．(2018·宁德质检)定积分2 |x2－2x|dx 等于( ) －2
A．5
B．6
C．7
D．8
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解析：选 D.∵|x2－2x|＝x22x－－2xx2，，x0≤＜0x， ≤2，
＝1
1－x2dx＋1 (ex－1)dx.

－1
－1
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因为1 1－x2dx 表示单位圆的上半部分的面积，－1
即1
1－x2dx＝π2，
－1
而1－1(ex－1)dx＝(ex－x)1－1
③bf(x)dx＝cf(x)dx＋__c __________ (其中 a<c<b)．

a
a
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2．微积分基本定理
一般地，如果 f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且 F′(x)＝f(x)，那么bf(x)dx＝__F_(_b_)－__F__(a_)__，这个结论叫作微积分基本定理，又叫

第二章第十三节定积分与微积分基本定理

②一般情况下，定积分∫b af(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 f(x)以及直线 x＝a、 x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(如图中阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
(3)定积分的基本性质
b k∫a f(x)dx . b b b ∫ ∫ f ( x )d x ± a f2(x)dx . ②∫a[f1(x)± f2(x)]dx＝ a 1
设一个物体从初速度为 1 时开始做直线运动，已知在任意时刻 t 时的加速度为 2 t＋1，试将位移 s 表示为时间 t 的函数式．
解：取物体运动的起点为原点，在t时刻的位移为s＝s(t)，速度为v＝v(t)，加速度为a＝a(t)，则有 s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)＝2 t＋1，s(0)＝0，v(0)＝1. 在区间[0，t]上有v(t)－v(0)
b
a
f(x)dx|＝－
b
a
f(x)dx.
(3)由两条直线 x＝a、x＝b(a＜b)、两条曲线 y＝f(x)、y＝ g(x)[f(x)≥g(x)]围成的平面图形的面积(如图 3)：
图3 S＝ [f(x)－g(x)]dx.
a
b
4 1 ∫ 1．(2010· 湖南高考) 2 xdx等于
[自主解答] a＝－0.4 m/s2，v0＝72 km/h＝20 m/s. 设t s后的速度为v，则v＝20－0.4t. 令v＝0，即20－0.4t＝0得t＝50(s)．
50 设列车由开始制动到停止所走过的路程为s，则s＝ ∫ 50 0 vdt＝ ∫ 0
(20－0.4t)dt ＝(20t－0.2t2)|50 0 ＝20×50－0.2×502＝500 (m)，即列车应在进站前50 s和进站前500 m处制动．

定积分与微积分基本定理

定积分与微积分基本定理1．定积分(1)定积分的相关概念：在()baf x dx ⎰中，∫叫作积分号，a 叫作积分的下限，b 叫作积分的上限，f(x)叫作被积函数．(2)定积分的性质： ①∫b a 1d x ＝b －a ；②⎠⎛a bkf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)；③⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x ；④⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x . (3)定积分的几何意义：①当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(如图中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．2．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则()baf x dx ⎰＝F (b )－F (a )．这个式子称为牛顿——莱布尼茨公式．通常称F (x )是f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )|b a ，即∫b a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．1.()baf x dx ⎰与()baf t dt ⎰相等吗？相等．2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 3．定积分[()()]baf xg x dx -⎰ (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积．1．(2013·江西高考)若S 1＝221x dx ⎰，S 2＝211dx x⎰，S 3＝21e x dx ⎰，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：选B S 1＝32113x ＝83－13＝73，S 2＝2ln 1x ＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝2e 1x ＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.2．已知质点的速度v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( )A ．10t 20B ．5t 20 C.103t 20 D.53t 20 解析：选B S ＝10t tdt ⎰＝0250t t ＝5t 20.3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)2x (x <0)，则11()f x dx -⎰的值是( )A. 121x dx -⎰ B. 112x dx -⎰C.21x dx -⎰＋102x dx ⎰ D. 012x -⎰d x ＋120x ⎰d x解析：选D11()f x dx -⎰＝012x -⎰d x ＋120x ⎰d x .4．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________．解析：22x dx ⎰＝32103x ＝83.5．(2013·湖南高考)若20Tx dx ⎰＝9，则常数T 的值为________．解析：20Tx dx ⎰＝3103T x ＝13T 3＝9，解得T ＝3.[例1] (1) 120(2)x x dx -+⎰； (2) 0(sin cos )x x dx π-⎰；(3)2211(e )x dx x+⎰; (4) 201x dx -⎰.[自主解答] (1) 120(2)x x dx -+⎰＝120()x dx -⎰＋102xdx ⎰＝31103x -＋210x ＝－13＋1＝23.(2)(sin cos )x x dx π-⎰＝0sin xdx π⎰－0cos xdx π⎰＝(cos )x π-－sin 0xπ＝2.(3)2211(e )x dx x +⎰＝221e x dx ⎰＋211dx x ⎰＝221e 12x ＋2ln 1x ＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1＝12e 4－12e 2＋ln 2.(4)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x (0≤x <1)，x －1 (1≤x ≤2)，故10(1)x dx -⎰＝10(1)x dx -⎰＋21(1)x dx -⎰＝2102x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋2212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12＋12＝1.【互动探究】若将本例(1)中的“－x 2＋2x ”改为“－x 2＋2x ”，如何求解？解：⎰表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y ＝－x 2＋2x ，得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，故⎰表示圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14，即⎰＝14π.定积分的求法(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则()aaf x dx -⎰＝0.1.＝________.解析：＝20sin cos x x dx π-⎰＝()40cos sin d x x x π-⎰＋()24sin cos d x x x ππ-⎰＝()sin cos 40x x π+＋()2cos sin 4x x ππ--＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.2．若()20sin cos d x a x x π+⎰＝2，则实数a ＝________.解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x ，∴46212243(34)d 4()d 22x x x x v t t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰＝(sin cos )20a x x π-＝⎝⎛ a sin π2－⎭⎫cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2，∴a ＝1. 3.x ⎰＝________.解析：由定积分的几何意义知，x ⎰是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故x ⎰＝π·324＝9π4.[例2] v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( C ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2 1)由v (t )＝7－3t ＋151＋t＝0，可得t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋151＋t d t ＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 3＋25ln (1＋t ) 40＝4＋25ln 5. (2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( B )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J [自主解答](2)力F (x )做功为2010d x ⎰＋42(34)d x x +⎰＝10x 20＋243422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝20＋26＝46.一物体做变速直线运动，其v -t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为________．解析：由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s ＝()331122322222021022132()d d e 33363kx xx x kx x x x x x x kx x x ππ-⎡⎤''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥--=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎣⎦⎰⎰则＝1122d t t ⎰＋312d t ⎰＋6311d 3t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰＝t 2112＋2t 31＋⎝⎛⎭⎫16t 2＋t 63＝494.1(1)知图形求曲线围成图形的面积；(2)知函数解析式求曲线围成图形的面积； (3)知曲线围成图形的面积求参数的值．[例3] (1)(2012·湖北高考)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43 C.32 D.π2(2)(2011·新课标全国卷)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A.103 B ．4 C.163D ．6 (3)(2012·山东高考)设a >0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. [自主解答] (1)由题意知二次函数f (x )＝－x 2＋1，它与x 轴所围图形的面积为11()d f x x -⎰＝102()d f x x ⎰＝2 120(1)d x x -+⎰＝2⎝⎛⎭⎫x －13x 3 10＝2⎝⎛⎭⎫1－13＝43.(2)作出曲线y ＝x ，直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为 4(2)d x x ⎤-⎦⎰＝)42d x x +⎰＝3224212032x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝23×8－12×16＋2×4＝163.(3)由题意知x ⎰＝a 2.又332222033a x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭则＝a 2.即23a 32＝a 2，所以a ＝49.1．曲线y ＝x 2和曲线y 2＝x 围成的图形的面积是( ) A.13 B.23 C ．1 D.43解析：选A 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y 2＝x ，得两曲线的交点为(0,0)，(1,1)．所以)120d x x ⎰＝332121033x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝13，即曲线y ＝x 2和曲线y 2＝x 围成的图形的面积是13. 2．由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________．解析：如图所示，由y ＝x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1,0)和(1,0)．所以S ＝2201d x x -⎰＝()1201d x x -⎰＋()2211d x x -⎰＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －x 3310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33－x 21＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎣⎡⎦⎤83－2－⎝⎛⎭⎫13－1＝2. 2条结论——定积分应用的两条常用结论(1)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程． 4条性质——定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；(3)积分可分段进行；(4)f (x )在区间[－a ，a ]上连续，若f (x )为偶函数，则()d aaf x x -⎰＝2()d af x x ⎰；若f (x )为奇函数，则()d aaf x x -⎰＝0.利用定积分求平面图形面积的易错点[典例] (2012·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为122010d x x ⎰＋()12121010d x x x -⎰＝3110230x ＋⎝⎛⎭⎫5x 2－103x 3112＝54.曲线y ＝x 2＋2与直线5x －y －4＝0所围成的图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋2，5x －y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋6＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.如图所示，当2<x <3时，直线5x －y －4＝0在曲线y ＝x 2＋2的上方，所以所求面积为()32254(2)d x x x ⎡⎤--+⎣⎦⎰＝()32256d x x x ⎡⎤--⎣⎦⎰＝⎝⎛⎭⎫52x 2－13x 3－6x ⎪⎪⎪32＝⎝⎛⎭⎫52×32－13×33－6×3－⎝⎛⎭⎫52×22－13×23－6×2＝⎝⎛⎭⎫－92－⎝⎛⎭⎫－143＝16. [冲击名校]1．一物体在变力F (x )＝5－x 2(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下，沿着与F (x )成30°角的方向做直线运动，则从x ＝1处运动到x ＝2处时变力F (x )所做的功为( )A.233 JB. 3 JC.433 J D ．2 3 J解析：选C 由已知条件可得，F (x )所做的功为32()2215d x x -⎰＝433J. 2．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S2，则点P 的坐标为________．解析：设直线OP 的方程为y ＝kx ，点P 的坐标为(x ，y )，则()20d xkx x x -⎰＝()22d x x kx x -⎰，即⎝⎛⎭⎫12kx 2－13x 30x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12kx 22x，整理得12kx 2－13x 3＝83－2k －⎝⎛⎭⎫13x 3－12kx 2，解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，169. [高频滚动]已知函数f (x )＝ax 2－b ln x 在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝3x －1.(1)若f (x )在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，求实数k 的取值范围； (2)若对任意x ∈(0，＋∞)，均存在t ∈[1,3]，使得13t 3－c ＋12t 2＋ct ＋ln2＋16≤f (x )，试求实数c 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2ax －b x ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3，f (1)＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，f (x )＝2x 2－ln x ，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，令f ′(x )＝0，得x ＝12，则函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1≥0，k －1<12，解得1≤k <32.k ＋1>12，故实数k 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32. (2)设g (t )＝13t 3－c ＋12t 2＋ct ＋ln 2＋16，根据题意可知g (t )min ≤f (x )min ，由(1)知f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋ln 2，g ′(t )＝t 2－(c ＋1)t ＋c ＝(t －1)(t －c )，当c ≤1时，g ′(t )≥0，g (t )在t ∈[1,3]上单调递增，g (t )min ＝g (1)＝c2＋ln 2，满足g (t )min ≤f (x )min .当1<c <3时，g (t )在t ∈[1，c ]时单调递减，在t ∈[c,3]时单调递增，g (t )min ＝g (c )＝－16c 3＋12c 2＋ln 2＋16，由－16c 3＋12c 2＋ln 2＋16≤12＋ln 2，得c 3－3c 2＋2≥0，(c －1)(c 2－2c －2)≥0，此时1＋3≤c <3.当c ≥3时，g ′(t )≤0，g (t )在t ∈[1,3]上单调递减，g (t )min ＝g (3)＝－3c 2＋143＋ln 2，g (3)＝－3c 2＋143＋ln 2≤－3×32＋143＋ln 2≤12＋ln 2.综上，c 的取值范围是(－∞，1]∪[1＋3，＋∞)．。

高考数学(理)一轮复习课件：第二章第十三节定积分与微积分基本定理(广东专用)

2．当被积函数的图象与直线 x＝a，x＝b，y＝0 所围成的曲边梯形的面积易求时，用求曲边梯形面积的代数和的方法求定积分．但要注意两点：(1)函数的图象连续不间断．(2)函数图象是在 x 轴上方还是下方．
3．对于不便求出被积函数的原函数的，可考虑用定积分的几何意义求解．
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
) B．5t20
C.130t20
D.53t20
【解析】
S＝t0vdt＝t010tdt＝5t2|
0
0
t00＝5t20.
【答案】 B
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2．(2011·福建高考)1(ex＋2x)dx 的值是( )
0
A．1
B．e－1 C．e
D．e＋1
【解析】
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(3)12|3－2x|dx＝∫321|3－2x|dx＋232|3－2x|dx ＝∫321(3－2x)dx＋232(2x－3)dx ＝(3x－x2)| 321＋(x2－3x)| 232＝12. (4)∵(ln x)′＝1x，(12e2x)′＝e2x， ∴12(e2x＋1x)dx＝12e2xdx＋121xdx ＝12e2x| 21＋ln x| 21＝12e4－12e2＋ln 2－ln 1 ＝12e4－12e2＋ln 2.
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
1．(1)注意定积分与曲边梯形面积的区别，定积分可正、可负、可为 0.(2)y＝x2－1 与 x 轴围成的面积不是1－1(x2－ 1)dx，而是1－1(1－x2)dx.
2．解决该类问题一定要结合几何图形的直观性，把所求的曲边形的面积用函数的定积分表示，关键有两点：一是确定积分的上下限；二是确定被积函数．只要解决了这两点，所求的面积就转化为根据微积分基本定理计算定积分了．

第13节定积分与微积分基本定理

第十三节定积分与微积分基本定理知识点一定积分 1．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x .(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )． 2．定积分的几何意义(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图(2)中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛1－1x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛102x d x D.⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x2．已知f (x )是偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．6 D ．16知识点二微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )．那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )| ba，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )| ba ＝F (b )－F (a )．3．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( )A.112 B.14 C.13D.712考点一定积分的计算|1．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π2．若∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1 C. 3 D ．－ 33．已知A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ，则A ＝________.考点二利用定积分求平面图形的面积|设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( ) A ．1 B.13 C.23D.431．由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．考点三定积分物理意义的应用|一物体做变速直线运动，其v -t 曲线如图所示，则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为________．2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，(0≤x ≤2)，3x ＋4，(x >2)，(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J【典例】已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[跟踪练习]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．1．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．42．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为( )A.43 B.54 C.65D.763．设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x )d x ，则⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的第4项为( )A ．－1 280x 3B ．－1 280C ．240D ．－2404．如图所示，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln 22B.1－ln 22C.1＋ln 22D.2－ln 225．已知数列{a n }是等差数列，且a 2 013＋a 2 015＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)的值为( )A ．π2B ．2πC ．πD ．4π26．直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________．7．已知a >0且曲线y ＝x 、x ＝a 与y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 2，则a ＝________.8．已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则⎠⎛0a(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.9．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．10．汽车以54 km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？B 组高考题型专练1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －12．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13 D ．13．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 24．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．45．曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．6．如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．第十三节定积分与微积分基本定理参考答案知识点一定积分 1．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x .(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )． 2．定积分的几何意义(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图(2)中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛1－1x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛102x d x D.⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x 解析：由分段函数的定义及积分运算性质，∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x . 答案：D2．已知f (x )是偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．6D ．16解析：因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以⎠⎛6－6f (x )d x ＝⎠⎛0－6f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.答案：D知识点二微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )．那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )| ba，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )| ba ＝F (b )－F (a )．3．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a解析：a ＝⎠⎛01x －13d x ＝32x 23| 10＝32， b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－23x 32| 10＝13，c ＝⎠⎛01x 3d x ＝14x 4| 10＝14，因此a >b >c ，故选A. 答案：A4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( )A.112B.14C.13D.712解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x 3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. 结合图形知(图略)所求封闭图形的面积为 ⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 4| 10＝112，故选A. 答案：A考点一定积分的计算|1．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π 解析：由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛039－x 2d x ＝π·324＝9π4，故选C.答案：C2．若∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1 C. 3D ．－ 3解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x . ∴∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝(a sin x －cos x )⎪⎪π20 ＝⎝⎛⎭⎫a sin π2－cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2. ∴a ＝1. 答案：B3．已知A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ，则A ＝________.解析：A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛13(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 31＝223. 答案：223考点二利用定积分求平面图形的面积|设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( ) A ．1 B.13 C.23D.43[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，得x ＝±1.如图，由对称性可知，S ＝2()1×1－⎠⎛01x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫1×1－13x 3| 10＝43，选D.[答案] D1．由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．解析：把阴影部分分成两部分求面积． S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛0－2(2－x 2)d x ＋⎠⎛01(2－x 2－x )d x＝⎝⎛⎭⎫2x －x 33| 0－2＋⎝⎛⎭⎫2x －x 33－x 22| 10 ＝22－(2)33＋2－13－12＝423＋76. 答案：423＋76考点三定积分物理意义的应用|一物体做变速直线运动，其v -t 曲线如图所示，则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为________．[解析] 由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s ＝⎠⎜⎛126 v (t )= ⎠⎜⎛1262t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t ＝36111322149264t t t ⎛⎫+++=⎪⎝⎭. [答案]4942．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，(0≤x ≤2)，3x ＋4，(x >2)，(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：力F (x )做功为⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42 ＝20＋26＝46. 答案：B【典例】已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x 3112012231053x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝54. [答案] 54[跟踪练习]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知，所求面积为⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋⎠⎛01e xd x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x | 0－1＋e x | 10＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －12.答案：e －121．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4解析：由⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8得(x 2－2x )| t 0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，故选D.答案：D2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为( )A.43 B.54 C.65D.76解析：⎠⎛0ef (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛1ef (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e1x d x ＝x 33| 10＋ln x | e1＝13＋ln e ＝43，故选A.答案：A3．设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x )d x ，则⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的第4项为( ) A ．－1 280x 3 B ．－1 280 C ．240D ．－240解析：本题考查定积分的计算与二项式定理．依题意得a ＝(x 3－x 2)| 21＝4，二项式⎝⎛⎭⎫4x 2－1x 6的展开式的第四项是T 4＝C 36·(4x 2)3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－1 280x 3，故选A. 答案：A4．如图所示，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln 22B.1－ln 22C.1＋ln 22D.2－ln 22解析：本题考查定积分的计算与几何概率的意义．依题意，题中的矩形区域的面积是1×2＝2，题中的阴影区域的面积等于2×12＋ eq \a\vs4\al(\i\in(1x d x ＝1＋ln x eq \b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,＝1＋ln 2，因此所求的概率等于1＋ln 22，故选C.答案：C5．已知数列{a n }是等差数列，且a 2 013＋a 2 015＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)的值为( )A ．π2B ．2πC ．πD ．4π2解析：⎠⎛024－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝4在第一象限的面积，即⎠⎛024－x 2d x ＝π，又数列{a n }是等差数列，所以a 2 013＋a 2 015＝a 2 012＋a 2 016＝2a 2 014，所以得a 2 014·(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)＝π2×2π＝π2，故选A.答案：A6．直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ，y ＝x －x 2，解得x ＝0或23，所以所求面积为∫230⎝⎛⎭⎫x －x 2－13x d x ＝∫230⎝⎛⎭⎫23x －x 2d x＝⎝⎛⎭⎫13x 2－13x 3⎪⎪230＝13×⎝⎛⎭⎫232－13×⎝⎛⎭⎫233－0＝481. 答案：4817．已知a >0且曲线y ＝x 、x ＝a 与y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意a 2＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32| a 0，所以a ＝49.答案：498．已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则⎠⎛0a(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________. 解析：⎠⎛0a(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )| a0＝sin a ＋cos a －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1.∵a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴当a ＝π4时，[]⎠⎛0a(cos x －sin x )d x max ＝2－1.答案：π49．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：如图，由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2| 31＝23＋16＋43＝136. 10．汽车以54 km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解：由题意，得v 0＝54 km/h ＝15 m/s. 所以v (t )＝v 0＋at ＝15－3t . 令v (t )＝0，得15－3t ＝0.解得t ＝5. 所以开始刹车5 s 后，汽车停车．所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 s ＝⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛05(15－3t )d t＝⎝⎛⎭⎫15t －32t 2| 50＝37.5(m)．故汽车走了37.5 m.B 组高考题型专练1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )| 10＝1＋e 1－1＝e.答案：C2．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：令⎠⎛01f (x )d x ＝m ，则f (x )＝x 2＋2m ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2mx | 10＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13，故选B. 答案：B3．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2解析：由v (t )＝0得t ＝4.故刹车距离为s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎡⎦⎤－32t 2＋7t ＋25ln (1＋t )| 40＝4＋25ln 5. 答案：C4．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)．∴S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4| 20＝4. 答案：D5．曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意，可得封闭图形的面积为 ⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3| 10＝12－13＝16. 答案：166．如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解析：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p ＝254，抛物线方程为x 2＝252y ，所以当前最大流量对应的截面面积为2⎠⎛05⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝403，原始的最大流量对应的截面面积为2×(6＋10)2＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403＝1.2.答案：1.2。

第二章第十三节定积分与微积分基本定理

解析
(3) 定积分
题组训练
2 0
|1 － x|dx ＝
2 0
1 2 |1－ x|dx＝ (1－ x)dx＋ (x－ 1)dx

0

1
1 ________.
1 1 2 1 2 1 2 ＝ x－2x |0 ＋ 2x －x |1 ＝ 1－2 －0 1 1 2 2 ＋ 2×2 －2－2×1 －1 ＝1.
1 3 ln 3(3
24 －31)＝ln 3.
知识点三
第十三节定积分与微积分基本定理
抓主干知识回顾
研考向考点研究
思想与方法系列7
课时跟踪检测
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知识点三
知识点一
微积分基本定理
一般地，如果 f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且 F′(x)＝f(x)，那
b 么 f(x)dx＝ F(b)－F(a) ，这个结论叫作微积分基本定理，又叫作
0
a (2)若 f(x)是奇函数，则 f(x)dx＝0.
－ a
知识点三
第十三节定积分与微积分基本定理
抓主干知识回顾
研考向考点研究
思想与方法系列7
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知识点二
知识点一

解析
[自测练习]
1 x 2. (e ＋2x)dx 等于( C ) 0
1 0
(ex ＋ 2x)dx ＝ (ex ＋ x2) |0 ＝ (e1 ＋ 1)
思想与方法系列7
课时跟踪检测
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知识点一
2．定积分的几何意义：
知识点一

第2章第13讲定积分与微积分基本定理(理)

(2)若bf(x)dx<0，则由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的图形一 a
定数及其应用
高考一轮总复习 • 数学
(3) adx＝ bdt＝b－a(a，b 为常数，且 a<b)．
b
a
(4)0 －1
1－x2dx＝1 0
1－x2dx＝π4.
(5)a f(x)dx＝2a f(x)dx(a>0)．
－a
0
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( ×) ( √) ( ×)
第二章函数、导数及其应用
高考一轮总复习 • 数学
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[解析] 对于(1)，因为定积分的值仅仅取决于被积函数与积分的上
限、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，故(1)正确；对于(2)，因
为积分小于 0，未必图形一定在 x 轴下方，故(2)错误；对于(3)由于adx b
c
f(x)dx－bf(x)dx
(3)S＝_______a________c_______________．
(4)S＝bf(x)dx－bg(x)dx＝b[f(x)－g(x)]dx.
a
a
a
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2．定积分与变速直线运动的路程及变力做功之间的关系． (1)作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝
(2)其定义体现求定积分的四个步骤： ① _____分__割_____ ； ②_____近__似__代__替_____ ； ③_____取__和_____ ； ④_____取__极__限_____．
第二章函数、导数及其应用
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(3)定积分的几何意义：

第二章 第十三节 定积分与微积分基本定理

高考数学第一轮复习 第二篇 第13讲 定积分与微积分基本定理课件 理 新人教A版

定积分与微积分基本定理 课件

定积分与微积分基本定理

高中数学课件第二章第13节《定积分与微积分基本定理

2-13 定积分与微积分基本定理

第十三节定积分与微积分基本定理

第二章 第十三节 定积分与微积分基本定理

定积分、微积分基本定理-高中数学知识点讲解

高中数学考点13 定积分与微积分基本定理

第二章 第十三节 定积分与微积分基本定理

第二章 第十三节 定积分与微积分基本定理

定积分与微积分基本定理

高考数学(理)一轮复习课件：第二章第十三节 定积分与微积分基本定理(广东专用)

第13节 定积分与微积分基本定理

第二章 第十三节 定积分与微积分基本定理

第2章 第13讲 定积分与微积分基本定理(理)

第二章第十三节定积分与微积分基本定理

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定积分与微积分基本定理课件

第二章第十三节定积分与微积分基本定理

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第13节定积分与微积分基本定理

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