3.1.3《空间向量的数量积运算》课件
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3.1.3空间向量的数量积运算 课件
＝12＋1×1×cos 60° －2×1×1×cos 60° ＋1×1×cos 60° ＋12－2×1×1×cos 60° ＝1. → → → (3)|OA＋OB＋OC|＝ → → → OA＋OB＋OC2
＝ 12＋12＋12＋2×1×1×cos 60° ×3＝ 6.
研一研· 问题探究、课堂更高效
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3.1.3 例 1 已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝ 2，AD
＝ 4， E 为侧面 AB1 的中心， F 为 A1D1 的中点．试计算： → → → → → → (1)BC· ED1；(2)BF· AB1； (3)EF· FC1. → → → 解 如图，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
跟踪训练 2
如图所示，已知平行六面体
ABCD— A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形， 且∠ C1CB＝∠ C1CD＝∠ BCD＝ 60° .求证： CC1⊥ BD. → → → 证明 设CB＝a，CD＝b，CC1＝c，则|a|＝|b|.
→ → → → → ∵BD＝CD－CB＝b－a， ∴BD· CC1＝(b－a)· c＝b· c－a· c ＝|b||c|cos 60° －|a||c|cos 60° ＝0， → → ∴C1C⊥BD，即 C1C⊥BD.
研一研· 问题探究、课堂更高效
小结
3.1.3 求向量的模，可以转化为求向量的数量积，求两点
间的距离或某条线段的长度，可以转化为求对应向量的模， 其中的关键是将线段长度用向量的模表示出来．
跟踪训练 3 如图所示，已知线段 AB 在平面 α 内，线段 AC⊥α，线段 BD⊥AB，线段 DD′⊥α 于 D′， 如果∠ DBD′＝30° ，AB ＝ a， AC＝ BD＝b，求 CD 的长． → → 解 易知 AC⊥AB.，<CA，BD>＝60° ， → → → → → → ∵|CD|2＝CD· CD＝(CA＋AB＋BD)2 →2 →2 → 2 → → → → → → ＝|CA| ＋|AB| ＋|BD| ＋2(CA· AB＋CA· BD＋AB· BD)＝
3.1.3 空间向量的数量积运算(共68张ppt)资料
ab 1.利用向量法求两条异面直线所成角的依据是 cos〈a, b〉 . ab
2.题2中若求EC1与FD1所成的角，需要求出 EC FD 及 | EC | 1 1 1 与 | FD1 | 的值.
【解析】1．选C．如图，设AB=AC=AA1=1，
A1B AB AA1， AC1 AC CC1 AC AA1， A1B AC1 (AB AA1 ) (AC AA1 ) AB AC AB AA1 AA1 AC AA1 0 0 0 1 1,
3 3
2．设 AB a, AD b, AA c， 1 则|a|=4,|b|=3,|c|=2，
1 EC1 EB BC CC1 AB AD AA1 4 1 a b c, 4 FD1 FC CC1 C1D1 2 2 AD AA1 AB a b c, 3 3
直线AB与CD所成的角就是〈a,b〉;若〈a,b〉大于90°，则直
线 AB与CD所成的角是π-〈a,b〉.特别地，若〈a,b〉=0或
〈a,b〉=π,则AB∥CD；若 〈 a, b 〉 , 则AB⊥CD.
2
2.空间向量数量积的性质及几何意义 (1)空间向量的数量积a·b可以为正，可以为负，也可以为零. (2)若向量a,b是非零向量，则 a b 0 a b. (3)特例与变形：①若a是单位向量，则a·b=|b|· cos〈a,b〉; ② cos〈a, b〉 ③a·a=|a|2. (4)几何意义：a与b的数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方 向上的投影|b|·cos〈a,b〉的乘积.
(2)结论：把__________________ |a||b|cos〈a,b〉 叫做a,b的数量积.
2.题2中若求EC1与FD1所成的角，需要求出 EC FD 及 | EC | 1 1 1 与 | FD1 | 的值.
【解析】1．选C．如图，设AB=AC=AA1=1，
A1B AB AA1， AC1 AC CC1 AC AA1， A1B AC1 (AB AA1 ) (AC AA1 ) AB AC AB AA1 AA1 AC AA1 0 0 0 1 1,
3 3
2．设 AB a, AD b, AA c， 1 则|a|=4,|b|=3,|c|=2，
1 EC1 EB BC CC1 AB AD AA1 4 1 a b c, 4 FD1 FC CC1 C1D1 2 2 AD AA1 AB a b c, 3 3
直线AB与CD所成的角就是〈a,b〉;若〈a,b〉大于90°，则直
线 AB与CD所成的角是π-〈a,b〉.特别地，若〈a,b〉=0或
〈a,b〉=π,则AB∥CD；若 〈 a, b 〉 , 则AB⊥CD.
2
2.空间向量数量积的性质及几何意义 (1)空间向量的数量积a·b可以为正，可以为负，也可以为零. (2)若向量a,b是非零向量，则 a b 0 a b. (3)特例与变形：①若a是单位向量，则a·b=|b|· cos〈a,b〉; ② cos〈a, b〉 ③a·a=|a|2. (4)几何意义：a与b的数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方 向上的投影|b|·cos〈a,b〉的乘积.
(2)结论：把__________________ |a||b|cos〈a,b〉 叫做a,b的数量积.
课件10：3.1.3 空间向量的数量积运算
研
新知视界
习
新
1．空间向量的夹角
知
(1)夹角的定义
互
已知两个非零向量 a、b，在空间任取一点 O， 动
课
作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB 叫做向量 a、b 的夹角， 堂
记为〈a，b〉．
课
时
作
业
研
(2)夹角的范围
习
新
空间任意两个向量的夹角 θ 的取值范围是
知
0≤θ≤π.特别是，当 θ＝0 时，两向量同向共线；当
动
＝－2.
课
堂
答案：－2
课 时 作 业
5．如图2所示，在空间四边形OABC中，OA 研
＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，
习 新
∠OAB＝60°，求OA与BC夹角的余弦值．
知
互 动 课 堂
课
图2
时 作
业
解：∵B→C＝A→C－A→B，
研
习
∴O→A·B→C＝O→A·A→C－O→A·A→B
动 课 堂
∴〈E→F ，B→C 〉＝〈B→D，B→C 〉 ＝ 60°.
课
∴E→F·B→C＝1a·a·cos60°＝1a2.
时 作
2
4
业
研
[点评] 本题主要考查空间向量数量积的定 习 新
义及其运算，要求大家在熟练掌握的基础上能 知
灵活运用． 互 动 课 堂
课 时 作 业
研
迁移体验1 已知正四面体O—ABC的棱长为1. 习 新 知
知
B，则
|A→B|＝|a|＝ a·a，即求得两点之间的距离
互 动
课
即模的长度．
堂
课 时 作 业
课件12：3.1.3空间向量的数量积运算
求证：l⊥PA.
O
O
P
A
l
【解析】用向量来证明两直线垂直，只需证明两
直线的方向向量的数量积为零即可！
证明：在直线l上取向量,只要证× =
因为× = ，×=0
所以× = ×（ + ）
= × + ×
=0
Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以 ⊥
O
A
→ →
OA·BC 24－16 2 3－2 2
所以 cos〈OA，BC〉＝
＝
＝
.
→ →
8×5
5
|OA||BC|
3－2 2
即 OA 与 BC 所成角的余弦值为
.
5
2、如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，
AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，
∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．
b)·
c不一定等于a·
(b·
c)．这是由于
(a·
b)·
c表示一个与c共线的向量，而a·
(b·
c)表示一个与a共线
的向量，而c与a不一定共线．
例题解析
例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条
斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
已知：如图，PO，PA分别是平面α的垂线、斜线，
AO是PA在平面α内的射影，l ⊂ α，且l⊥OA.
l
将上式两边与向量l作数量积，得
g l
Ԧ× = ×+y
Ԧ
Ԧ×.
Ԧ
Ԧ
g
因为×=0，
×=0，
n n
Ԧ
所以×
=0，即Ԧ ⊥ .所以l⊥g.
O
O
P
A
l
【解析】用向量来证明两直线垂直，只需证明两
直线的方向向量的数量积为零即可！
证明：在直线l上取向量,只要证× =
因为× = ，×=0
所以× = ×（ + ）
= × + ×
=0
Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以 ⊥
O
A
→ →
OA·BC 24－16 2 3－2 2
所以 cos〈OA，BC〉＝
＝
＝
.
→ →
8×5
5
|OA||BC|
3－2 2
即 OA 与 BC 所成角的余弦值为
.
5
2、如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，
AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，
∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．
b)·
c不一定等于a·
(b·
c)．这是由于
(a·
b)·
c表示一个与c共线的向量，而a·
(b·
c)表示一个与a共线
的向量，而c与a不一定共线．
例题解析
例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条
斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
已知：如图，PO，PA分别是平面α的垂线、斜线，
AO是PA在平面α内的射影，l ⊂ α，且l⊥OA.
l
将上式两边与向量l作数量积，得
g l
Ԧ× = ×+y
Ԧ
Ԧ×.
Ԧ
Ԧ
g
因为×=0，
×=0，
n n
Ԧ
所以×
=0，即Ԧ ⊥ .所以l⊥g.
3.1.3空间向量的数量积运算 课件
（1） a e a cos a, e ；
（2） a b a b 0 ; 证明两向量垂直
2
（3） a a a 也就是说 a
2
a
； 求向量的长度（模）
（4） a b a b；
（5）cos a ，b a b ab
4、空间向量数量积的运算律：
(1) ( a) b (a b)
(2) a b b a (交换律) (3) a (b c) a b a c (分配律)
a b a b cos a,b 0 a,b
注意:
①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
类比平面向量,你能说
A
出 a b 的几何意义吗?
a B1
A1
如 图 A1B1 是 b 在 a 方
bB
向上的射影向量.
3.空间两个向量的数量积性质 显然,对于非零向量a 、b , e 是单位向量有下列性质:
3.1.3空间向量的数量积运算
回
平面向量
顾
夹角
已知两个非零向量 ，在平面中任取一点 ，
，则角
叫做向量
引
的夹角，记作：
入 数量积定义
数量积的
数量积
等于 的长度 与 在
几何意义
的方向上的投影
的乘积
数量积的性质
为非零向量， 为单位向量
①
②
③
①
②
数量积的运算律 ③
1.空间向量的夹角
已知两个非零向量a, b,在空间任取
一点O,作OA a,OB b,则AOB叫做
向量a, b的夹角,记作 a, b
a
(1)向量的夹角：0 a, b
空间向量的数量积运算.ppt
－3 123＝－23. 2 ·2
所以，异面直线 SM 与 BN 所成角的余弦值为23.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型二 利用数量积求两点间的距离
【例2】 如图所示，平行六面体ABCD－
A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝
3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1
＝60°，求AC1的长． [思路探索] 利用|A→C1|2＝A→C12＝(A→B＋A→D＋A→A1)2 求解． 解 因为A→C1＝A→B＋A→D＋A→A1，
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
自学导引
1．空间向量的夹角
定义
已知两个非零向量 a，b，在空间中任取一点 O，作O→A ＝a，O→B＝b，则∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角
记法 范围
〈_a_，__b_〉_
[_0_，__π_]．当〈a，b〉＝
π 2
时，_a_⊥__b_
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
课堂讲练互动
活页规范训练
题型一 利用数量积求夹角
【例1】 如图，在空间四边形OABC中，OA＝ 8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝ 45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角 的余弦值． [思路探索] 可先求向量O→A与B→C的夹角，再根据异面直线的
夹角与向量的夹角之间的关系得出最后结果．
数量 特别地：a·a＝|a|2或|a|＝ a·a
积的 性质
(3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝
a·b |a||b|
.
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
想一想：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？ 提示 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|·cos θ的乘积．
《3.1.3空间向量的数量积运算》ppt课件
(4)错误.在△ABC中,向量 BA，BC 的夹角为∠B,而向量 AB，BC 的夹角与向量 BA，BC 的夹角互补,故此等式不正确. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若向量a与b满足|a|=1,|b|=2且a与b的夹角为 ,则
3
a·b=
.
(2)已知|a|=
2 ,|b|=
2 2
,a·b=-
2 2
,则a与b的夹角
为
.
(3)已知a,b是空间两个向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|= 7 ,
则cos<a,b>=
.
【解析】(1)a·b=|a||b|cos〈a，b〉=1×2× 1 =1.
2
答案：1
(2)由a·b=|a||b|cos〈a，b〉= 2 2 ×cos〈a，b〉
【解析】EF
FC1
[1 2
c
a
1 2
b]
(1 2
b
a)
1 (a b c) (1 b a)
2
2
1 a 2 1 b 2 2. 24
【方法技巧】 1.空间向量运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b=|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进 行计算. (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同 一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
形△OAB，△BOC求 OE与 BF 的模.
2. PC
2
PC .
【自主解答】(1)设 OA=a，OB =b，
OC =c且|a|＝|b|＝|c|＝1，
易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝ ，
3.1.3空间向量的数量积 (共16张PPT)
O
A
a
例3 如图，已知线段 AB 在平面 内，线段 AC
DBD 30 ，如 ，线段 BD AB ，线段 DD ，
果 AB a , AC BD b ，求 C 、D 之间的距离。 解：由 AC ，可知 AC AB .
C D b b a D'
OB OC OB OA 所以 OA OC OB OC 0
(OA OB) OC 0 BA OC 0
所以 OC AB
巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理
已知：PO, PA分别是平面的垂线，斜线， OA是PA 在内的射影，a , 且a OA 求证： a PA
2
4)空间向量的数量积满足的运算律
1) ( a) b (a b) 2) a b b a (交换律） 3） a (b c) a b a c (分配律）
注意： 数量积不满足结合律
（a b) c a (b c)
二、 课堂练习
2 1.已知 a 2 2 , b , a b 2 2 则a , b所夹的角为________ .
例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且 l⊥m，l⊥n，求证：l⊥
l
l
g
g n n m
m
故
l·g＝0
三
、典型例题
例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且 l⊥m，l⊥n，求证：l⊥ 证明：在内作不与m、n重合的任一条 直线g,在l、m、n、g上取非零向 量l、m、n、g，因m与n相交，得向量 m、n不平行，由共面向量定理 l 可知，存在唯一的有序实数对（x，y）， 使 l g=xm+yn, m g l·g=xl·m+yl·n g n n m ∵ l·m=0,l·n=0 ∴ l·g=0 ∴ l⊥g ∴ l⊥g 这就证明了直线l垂直于平面内的 任一条直线，所以l⊥
高中数学选修2-1 3.1.3空间向量的数量积运算 课件 (共22张PPT)
2.由已知三棱柱为正三棱柱 ，如果设 BB1 1,那么 0 0 2 90 60 AB=______, A1 AB A1 AC ____, BAC ____.
两条直线所成的角与两向量所成的角有时 相等有时互补，此时相等。 5.与 AB1与 C 1B 所成的角为____ 90 0 .
本节课所用知识复习：
b, a b a b cos a , b . 空间两个非零向量 a、 b 的数量积(或内积)． 叫做向量 a、
同平面向量一样，空间两个向量的数量积是一个 实数，空间两个向量的数量积也具有如下性质：
1
a b cos a , b a b
整理思路，规范解题过程。 解： 设BB1 1则AB= 2
AB1 AB BB1 AB AA1 BC1 BC CC1 AC AB CC1
重点：
1.理解两个向量的数量积的计算方法、运算律及应用， 两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转 化为向量计算问题。 2. 辨析两条直线所成的角与两条直线的方向向量所成
的角的区别。认识清楚何时相等何时互补。
难点：
两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转
化为向量计算问题，向量计算问题中的化归方向。
AB1BC1 AB AA1 AC AB AA1
ABAC ABAB ABAA1 AA1 AC AA1 AB AA1 2 2 0 AB AC COS 60 AB 0 0 0 AA1 1 2 2 2 2 1 0 2
1
用新方法解题：（按照指导思路解答） 思路指导： 1. 请你结合题意选择一组基底 _______________. AB, AC , AA1. 用这一组基底 AB BB1 AB AA1 来表示AB1 =___________________, BC CC AC AB AA1 BC 1 =_______________.
课件1：3.1.3 空间向量的数量积运算
∴b2＝2a·b，代入 7a2＋16a·b－15b2＝0，
得 a2＝2a·b，∴a2＝b2＝2a·b，
设 a 与 b 的夹角为 θ，∴cos θ＝|aa|·|bb|＝12|a|a|2|2＝12，
∴向量 a 与 b 的夹角为 60°.
课堂小结
1．因为空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空 间两个向量的夹角定义、数量积的意义与性质都与平面向量 相同． 2．求空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角，证明 两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零；求线段的 长度可转化为用数量积的公式|a|＝ a·a求模；求异面直线的 夹角的关键是在两直线上构造向量，使用夹角公式解决．
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2，
∴cos 〈O→A，B→C〉＝|OO→→AA|·|BB→→CC|＝24－8×156 2＝3－52 2，
∴OA 与 BC 所成角的余弦值为3－52
2 .
Hale Waihona Puke 题型四：利用数量积求距离(或线段长)
例 4 如图 3－1－24 所示，已知线段 AB 在平面 α 内， 线段 AC⊥α 于 A，线段 BD⊥AB 于 B，线段 DD′⊥α 于 D′， 如果∠DBD′＝30°，AB＝a，AC＝BD＝b，求 C，D 间的距离．
∴O→A⊥B→C. ∴OA⊥BC.
题型三：利用数量积求两异面直线的夹角
例 3 如图 3－1－22，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， 求B→C1 与A→C夹角的大小．
图 3－1－22
【思路探究】(1)怎样用向量A→B、A→D、A→A1 表示向量B→C1 与A→C？ (2)求两向量的夹角公式是怎样的？
两式相减得 46a·b－23b2＝0，即 b·(2a－b)＝0，
课件15：3.1.3 空间向量的数量积运算
证明：∵AB⊥CD，AC⊥BD， ∴―A→B ·―CD→＝0，―AC→·―BD→＝0.
∴―AD→·―BC→＝(―A→B ＋―BD→)·(―AC→－―A→B ) ＝―A→B ·―AC→＋―BD→·―AC→－―AB→2 －―A→B ·―BD→ ＝―A→B ·―AC→－―AB→2 －―A→B ·―BD→ ＝―A→B ·(―AC→－―A→B －―BD→)＝―A→B ·―D→C ＝0. ∴―AD→⊥―BC→，从而 AD⊥BC.
2．空间向量数量积的性质 序号
性质
(1) a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)
(2) 若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0
(3) a·a＝|a|2或|a| ＝ a·a＝ a2 a·b
(4) 若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝ |a||b|
(5) |a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)
2．在空间四边形 OABC 中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝π3，
则 cos〈―O→A ，―B→C 〉的值为
()
1 A.2 C.－12
2 B. 2 D.0
【解析】如图所示， ∵―O→A ·―B→ C ＝―O→A ·(―O→C －―O→B ) ＝―O→A ·―O→C －―O→A ·―O→B ＝|―O→A ||―O→C |·cos∠AOC－|―O→A |·|―O→B |·cos∠AOB＝0， ∴―O→A ⊥―BC→，∴〈―O→A ，―BC→〉＝π2，cos〈―O→A ，―BC→〉＝0. 【答案】D
3．已知|a|＝3 2，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉
＝135°，m⊥n，则 λ＝________. 【解析】由 m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋(λ＋1)a·b＋ λ|b|2＝0，得 18＋(λ＋1)×3 2×4×cos 135°＋16λ＝0， 可得 18－12λ－12＋16λ＝0，解得 λ＝－23. 【答案】－23
∴―AD→·―BC→＝(―A→B ＋―BD→)·(―AC→－―A→B ) ＝―A→B ·―AC→＋―BD→·―AC→－―AB→2 －―A→B ·―BD→ ＝―A→B ·―AC→－―AB→2 －―A→B ·―BD→ ＝―A→B ·(―AC→－―A→B －―BD→)＝―A→B ·―D→C ＝0. ∴―AD→⊥―BC→，从而 AD⊥BC.
2．空间向量数量积的性质 序号
性质
(1) a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)
(2) 若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0
(3) a·a＝|a|2或|a| ＝ a·a＝ a2 a·b
(4) 若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝ |a||b|
(5) |a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)
2．在空间四边形 OABC 中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝π3，
则 cos〈―O→A ，―B→C 〉的值为
()
1 A.2 C.－12
2 B. 2 D.0
【解析】如图所示， ∵―O→A ·―B→ C ＝―O→A ·(―O→C －―O→B ) ＝―O→A ·―O→C －―O→A ·―O→B ＝|―O→A ||―O→C |·cos∠AOC－|―O→A |·|―O→B |·cos∠AOB＝0， ∴―O→A ⊥―BC→，∴〈―O→A ，―BC→〉＝π2，cos〈―O→A ，―BC→〉＝0. 【答案】D
3．已知|a|＝3 2，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉
＝135°，m⊥n，则 λ＝________. 【解析】由 m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋(λ＋1)a·b＋ λ|b|2＝0，得 18＋(λ＋1)×3 2×4×cos 135°＋16λ＝0， 可得 18－12λ－12＋16λ＝0，解得 λ＝－23. 【答案】－23
课件4：3.1.3 空间向量的数量积运算
| AC |2 ( AB AD AA)2 | AB |2 | AD |2 | AA |2 2( AB AD AB AA AD AA) 42 32 52 2(0 10 7.5) 85.
| AC | 85.
4.设
a
,
b
,
c
是任意的非零空间向量,且相互不共线,
则：
①(
a
·
b
2) (a b) c a (b c)
()
3)
2
p
2
q
(
p
q)2
( )
2
2
4) p q p q p q
()
3.
ABCD ABCD AB 4
AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60
AC
D' A'
D A
B'
C B
C' 解： AC AB AD AA
法一:发现 | a b |2 | a b |2 2(| a |2 | b |2)代入求得.
法二:由 | a b |2 | a |2 2ab | b |2 代入求得 ab =-2. ∴| a b |2| a |2 2ab | b |2 得| a b | 1.
法三:数形结合法,发现形的特殊性.
反过来，在平面内的一条直线,如果和这个平面
的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
成立吗？
已知:如图, PO 、PA分别是平面 的垂线、斜线，
AO 是 PA在平面 内的射影， l ，且 l PA，
求证： l OA
P
分析:同样可用向量,证明思
路几乎一样,只不过其中的加
O A a l
法运算用减法运算来分析.
| AC | 85.
4.设
a
,
b
,
c
是任意的非零空间向量,且相互不共线,
则：
①(
a
·
b
2) (a b) c a (b c)
()
3)
2
p
2
q
(
p
q)2
( )
2
2
4) p q p q p q
()
3.
ABCD ABCD AB 4
AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60
AC
D' A'
D A
B'
C B
C' 解： AC AB AD AA
法一:发现 | a b |2 | a b |2 2(| a |2 | b |2)代入求得.
法二:由 | a b |2 | a |2 2ab | b |2 代入求得 ab =-2. ∴| a b |2| a |2 2ab | b |2 得| a b | 1.
法三:数形结合法,发现形的特殊性.
反过来，在平面内的一条直线,如果和这个平面
的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
成立吗？
已知:如图, PO 、PA分别是平面 的垂线、斜线，
AO 是 PA在平面 内的射影， l ，且 l PA，
求证： l OA
P
分析:同样可用向量,证明思
路几乎一样,只不过其中的加
O A a l
法运算用减法运算来分析.
课件2：3.1.3 空间向量的数量积运算
易错辨析
[例 5]在四面体 OABC 中，各棱长都相等，E、F 分别为 AB， OC 的中点，求异面直线 OE 与 BF 所夹角的余弦值．
[错解] 取O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则 a·b
＝b·c＝c·a＝12.
又∵O→E＝21(a＋b)，B→F＝21c－b，|O→E|＝
跟踪练习 4 已知平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，以顶点 A 为端点的三 条棱长都是 1，且两两夹角为 60°，求 AC1 的长．
[解析] A→C1＝A→B＋A→D＋A→A1， ∴|A→C1|2＝(A→B＋A→D＋A→A1)2 ＝A→B2＋A→D2＋A→A12＋2A→B·A→D＋2A→B·A→A1＋2A→D·A→A1 ＝1＋1＋1＋2×1×1×cos60°＋2×1×1×cos60°＋2×1×1×cos60°＝6. ∴|A→C1|＝ 6.
A→1B＝a－c，A→C＝a＋b.
∴A→1B·A→C＝(a－c)·(a＋b)＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1，而|A→1B|＝
|A→C|＝ 2.
∴cos〈A→1B，A→C〉＝
1 2×
2＝12，∴〈A→1B，A→C〉＝60°.
因此，异面直线 A1B 与 AC 所成的角为 60°.
[点评] 空间向量中，求两向量夹角与平面向量求法 完全相同，都是应用公式 cos〈a，b〉＝|aa|··|bb|，解题的关 键就是求 a·b 和|a|、|b|.求模时主要应用|a|2＝a·a 解决．
＝21[(b－a)＋c]． 同理，Q→N＝12(a＋c)－12b＝－12[(b－a)－c]． ∴P→M·Q→N＝－14[|b－a|2－|c|2]， 又 AB＝OC，即|b－a|＝|c|. ∴P→M·Q→N＝0.∴P→M⊥Q→N，即 PM⊥QN.
高中数学3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算课件新人教a选修2_1
(2)向量
a,b
的夹角<a,b>的范围是[0,π],如果<a,b>=
π 2
,
那么向量 a,b 互相垂直,记作 a⊥b.
知识拓展(1)当<a,b>=0时,两个向量同向共线;当<a,b>=π时,两
个向量反向共线.若a∥b,则<a,b>=0或π.
(2)对空间任意两个向量a,b,有以下两个特点:
①<a,b>=<b,a>;
A.5
B.
1 5
C. −5
D.
−
1 5
解析:∵b=-5a,
∴a·b=-5a2=-5|a|2=-5.
答案:C
【做一做 2-2】在空间中,已知正三角形 ABC 的边长为 2,则������������ ·
������������ = _________________.
解析:∵|������������| = |������������| = 2, 且 < ������������, ������������ >= 60°,
③若 θ 为 a 与 ④|a·b|≤|a||b|.
b
的夹角,则
cos
θ=
|������������|·|������������|.
归纳总结两个向量的数量积,其结果是个数量,而不是向量,它的
值为两个向量的模与两个向量夹角的余弦值的乘积;对于两个非零
向量的数量积,其符号由夹角的余弦值的正负决定.
【做一做 2-1】 在空间中,若|a|=1,b=-5a,则 a·b 等于( )
①(λa)·b=λ(a·b); ②交换律:a·b=b·a; ③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.
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2 2 2 2
法一:发现
法二:由 ∴
a b a 2a b b a b a 2a b b
2 2
代入求得 得
a b =-2.
ab 1
法三:数形结合法,发现形的特殊性.
3.(课本第92页第3题)已知线段AB、BD在平面 内,BD⊥AB,线段AC ⊥ ,如果AB＝a,BD＝b, AC＝c,求C、D间的距离. 解：∵
注意①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
a b的几何意义： 数量积a b等于a的长度 a 与b在a方向上
的投影 b cos a , b 的乘积.
3、空间向量数量积的性质
b 的数量积 a b : 与平面类似,定义空间两个非零向量 a 、
a b a b cos a , b
例题讲解
a
A
a
O
b
b
B
2. 两个向量的数量积：
定义：设 OA a ，则有向线段 OA 的长度叫做 向量 a 的长度或模，记作 | a | .
定义：已知两个向量 a ,b ，则把 | a | | b | cos a ，b 叫做向量 a 、b 的数量积，记作a b , 即 : a b | a || b | cos a ，b .
|2-
4b
2 中,
D)
(B)②③ (C)③④ (D)②④
巩固练习：
2.已知向量 则
a, b 满足 a 1, b 2, a b 3 ,
2 2 2 2
1 a b _____.
a b a b 2( a b ) 代入求得.
复习回顾：
1.共线向量定理： 空间中任意两个向量a , b(b 0)共线（ a b ）
的充要条件是存在实数 ，使得a = b 2.共线向量定理的推论： (1)若直线l过点A且与向量 a 平行，则 点P在直线l上 OP OA ta
(2)三点P、A、B共线的充要条件有：
①.存在实数t , 使得 AP t AB, 即AP / / AB ②.存在实数t , 使得OP OA t AB
(2)对空间中任意一点O, 有OP OA xAB yAC
另：对空间中任意一点O, 有 OP xOA yOB zOC ( x y z 1)
讲授新课
1.空间两个向量的夹角 已知两个非零向量 a, b , 作OA a, OB b, 则
AOB 叫做 a 与b 向量的夹角.记作: a , b a , b b , a A
4. 空间向量数量积运算律
⑴
a b b a
（交换律）
（数乘结合律） ⑵ (a) b (a b ) a (b ) ⑶
a (b c ) a b a c （分配律）
(a b) c a (b c)
注意：数量积不满足结合律，也不满足消去率
a
a
b
o
b
B
0 a , b
关键是 起点相 同！
当 a, b 0时, a与b同向. 2 当 a, b 时, a与b反向. OA, OB> OB, OA OA, OB OA, OB
1
定义：如果 a ，b ，则称向量 a 与 b 互相 2 垂直，记作 a b .
| CD | (CA AB BD )
2 2 2 2 2
巩固练习：
C c A a b B D
| CA | | AB | | BD | a b c
2 2 2间向量的运用还经常用来判定空间垂直 关系,证两直线垂直常可转化为证明以这两条 线段对应的向量的数量积为零.
思考： (1)对于三个均不为0 的数a，b，c，若 ab ac，则 b c . 对于向量a ， b， c， 由 a b a c，能得到b c 吗？如果不能， 请举出反例 .
(2)对于三个均不为 0 的数a ，b ，c ，若 c c ab c ，则 a ( 或b ). 对于向量 a ， b ， b a k k 若a b k ， 能不能写成 a ，或 ( b )? b a 也就是说，向量有除法吗？
也有下列三个重要性质：
① a | a |2 即 | a | a (求线段的长度);
② a b a b 0 (垂直的判断);
2
2
③ cos a , b
ab ab
(求角度).
以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关 垂直、长度、角度等问题.
应用:
由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关, 所以立体几何中的距离、夹角的求解都可以借 助向量的数量积运算来解决. (1)空间中的两条直线(特别是异面直线)的夹角, 可以通过求出这两条直线所对应的两个向量的 夹角而获得.对于两条直线的判断更为方便. (2)空间中的距离,即两点所对应的向量的模.因此 空间中的两点间的距离或线段的长度,可以通过 求向量的模得到.
另：存在实数x, y, 使得OP xOA yOB,( x y=1)
3.共面向量定理： 如果两个向量 a , b 不共线,则向量 p 与向量 a , b 共面的充要条件是存在实数对x, y 使 p xa yb 4.P、A、B、C四点共面充要条件：
(1)存在有序实数对( x, y), 使得AP xAB yAC
巩固练习：
1.设 a , b , c 是任意的非零空间向量,且相互不共线, 则： ①( a · b ) c ( c · a ) b =0 ②| a |-| b |<| a b | ③( b · c ) a ( c · a ) b 不与 c 垂直 ④(3 a +2 b )·(3 a 2 b )=9| a 真命题是( (A)①②
法一:发现
法二:由 ∴
a b a 2a b b a b a 2a b b
2 2
代入求得 得
a b =-2.
ab 1
法三:数形结合法,发现形的特殊性.
3.(课本第92页第3题)已知线段AB、BD在平面 内,BD⊥AB,线段AC ⊥ ,如果AB＝a,BD＝b, AC＝c,求C、D间的距离. 解：∵
注意①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
a b的几何意义： 数量积a b等于a的长度 a 与b在a方向上
的投影 b cos a , b 的乘积.
3、空间向量数量积的性质
b 的数量积 a b : 与平面类似,定义空间两个非零向量 a 、
a b a b cos a , b
例题讲解
a
A
a
O
b
b
B
2. 两个向量的数量积：
定义：设 OA a ，则有向线段 OA 的长度叫做 向量 a 的长度或模，记作 | a | .
定义：已知两个向量 a ,b ，则把 | a | | b | cos a ，b 叫做向量 a 、b 的数量积，记作a b , 即 : a b | a || b | cos a ，b .
|2-
4b
2 中,
D)
(B)②③ (C)③④ (D)②④
巩固练习：
2.已知向量 则
a, b 满足 a 1, b 2, a b 3 ,
2 2 2 2
1 a b _____.
a b a b 2( a b ) 代入求得.
复习回顾：
1.共线向量定理： 空间中任意两个向量a , b(b 0)共线（ a b ）
的充要条件是存在实数 ，使得a = b 2.共线向量定理的推论： (1)若直线l过点A且与向量 a 平行，则 点P在直线l上 OP OA ta
(2)三点P、A、B共线的充要条件有：
①.存在实数t , 使得 AP t AB, 即AP / / AB ②.存在实数t , 使得OP OA t AB
(2)对空间中任意一点O, 有OP OA xAB yAC
另：对空间中任意一点O, 有 OP xOA yOB zOC ( x y z 1)
讲授新课
1.空间两个向量的夹角 已知两个非零向量 a, b , 作OA a, OB b, 则
AOB 叫做 a 与b 向量的夹角.记作: a , b a , b b , a A
4. 空间向量数量积运算律
⑴
a b b a
（交换律）
（数乘结合律） ⑵ (a) b (a b ) a (b ) ⑶
a (b c ) a b a c （分配律）
(a b) c a (b c)
注意：数量积不满足结合律，也不满足消去率
a
a
b
o
b
B
0 a , b
关键是 起点相 同！
当 a, b 0时, a与b同向. 2 当 a, b 时, a与b反向. OA, OB> OB, OA OA, OB OA, OB
1
定义：如果 a ，b ，则称向量 a 与 b 互相 2 垂直，记作 a b .
| CD | (CA AB BD )
2 2 2 2 2
巩固练习：
C c A a b B D
| CA | | AB | | BD | a b c
2 2 2间向量的运用还经常用来判定空间垂直 关系,证两直线垂直常可转化为证明以这两条 线段对应的向量的数量积为零.
思考： (1)对于三个均不为0 的数a，b，c，若 ab ac，则 b c . 对于向量a ， b， c， 由 a b a c，能得到b c 吗？如果不能， 请举出反例 .
(2)对于三个均不为 0 的数a ，b ，c ，若 c c ab c ，则 a ( 或b ). 对于向量 a ， b ， b a k k 若a b k ， 能不能写成 a ，或 ( b )? b a 也就是说，向量有除法吗？
也有下列三个重要性质：
① a | a |2 即 | a | a (求线段的长度);
② a b a b 0 (垂直的判断);
2
2
③ cos a , b
ab ab
(求角度).
以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关 垂直、长度、角度等问题.
应用:
由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关, 所以立体几何中的距离、夹角的求解都可以借 助向量的数量积运算来解决. (1)空间中的两条直线(特别是异面直线)的夹角, 可以通过求出这两条直线所对应的两个向量的 夹角而获得.对于两条直线的判断更为方便. (2)空间中的距离,即两点所对应的向量的模.因此 空间中的两点间的距离或线段的长度,可以通过 求向量的模得到.
另：存在实数x, y, 使得OP xOA yOB,( x y=1)
3.共面向量定理： 如果两个向量 a , b 不共线,则向量 p 与向量 a , b 共面的充要条件是存在实数对x, y 使 p xa yb 4.P、A、B、C四点共面充要条件：
(1)存在有序实数对( x, y), 使得AP xAB yAC
巩固练习：
1.设 a , b , c 是任意的非零空间向量,且相互不共线, 则： ①( a · b ) c ( c · a ) b =0 ②| a |-| b |<| a b | ③( b · c ) a ( c · a ) b 不与 c 垂直 ④(3 a +2 b )·(3 a 2 b )=9| a 真命题是( (A)①②