2.4.1平面向量的数量积
2.4.1平面向量的数量积及运算律(3)
3.这个步骤可以使用思维导图或流程图，可以更好加深自己的理解哦~
费曼学习法--
实操
第三步 没有任何参考的情况下，仅靠大脑，复述你所获得的主要内容
（三） 仅 靠 大 脑 复 述
1.与上一步不同的是，这一步不能有任何参考， 合上你的书本、笔记等，看看此时你的大脑里还剩下了什么； 2.仅凭记忆，如果可以复述很多，说明掌握状况还可以； 3.如果一合上书，就连关系词有哪些都想不起来了， 说明还 没有掌握，需要继续回顾。
2. 求证：直径 所对的圆周角为 直角．
13
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
目 录/contents
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择恰当的记忆数量——7组之内！ TIP2：很多我们觉得比较容易背的古诗词，大多不超过七个字，很大程度上也 是因 为在“魔力之七”范围内的缘故。我们可以把要记忆的内容拆解组合控制 在7组之 内（每一组不代表只有一个字哦，这7组中的每一组容量可适当加大）。 TIP3：比 如我们记忆一个手机号码18820568803，如果一个一组的记忆，我 们就要记11组，而如果我们拆解一下，按照188-2056-8803，我们就只需要 记忆3 组就可以了，记忆效率也会大大提高。
2019版数学人教A版必修4课件：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
2
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
3
【做一做1-1】 若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·b等
于(
)
1
A.2
3
3
C.1+ 2
B.2
D.2
解析:a·b=|a||b|cos 60°= .
利用数量积的几何意义求a·b.
-15-
第十五页，编辑于星期日：点 四十四分。
2.4.1 平面向量数量积
的物理背景及其含义
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题型二
题型四
题型一
题型三
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HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型五
【变式训练1】 (1)若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则
2.4
平面向量的数量积
第一页，编辑于星期日：点 四十四分。
-1-
2.4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
第二页，编辑于星期日：点 四十四分。
-2-
2.4.1 平面向量数量积
的物理背景及其含义
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HISHI SHULI
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其中正确的个数为(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
解析:①③正确.
人教a版必修4学案：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(含答案)
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义自主学习知识梳理1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量____________叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为______．(3)投影：设两个非零向量a 、b 的夹角为θ，则向量a 在b 方向的投影是______________，向量b 在a 方向上的投影是__________．2．数量积的几何意义a ·b 的几何意义是数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影__________的乘积．3．向量数量积的运算律(1)a·b ＝________(交换律)；(2)(λa )·b ＝________＝__________(结合律)；(3)(a ＋b )·c ＝__________(分配律)．自主探究根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质．设a 与b 都是非零向量，θ为a 与b 的夹角．(1)a ⊥b ⇔__________；(2)当a 与b 同向时，a·b ＝________，当a 与b 反向时，a·b ＝________；(3)a·a ＝__________或|a |＝a·a ＝a 2；(4)cos θ＝__________；(5)|a·b |≤__________.对点讲练知识点一 求两向量的数量积例1 已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积．回顾归纳 求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b ＝|a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．变式训练1 已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.知识点二 求向量的模长例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.回顾归纳 此类求解模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．变式训练2 已知|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |.知识点三 向量的夹角或垂直问题例3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．回顾归纳 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．变式训练3 已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a |·|c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，两者一般不同．3．向量b 在a 上的投影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影是不同的，应结合图形加以区分.课时作业一、选择题1．|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A ．－3B ．－2C ．2D ．－12．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( )A.32 B ．－32 C ．±32D ．1 3．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a 等于( )A ．－32B ．0 C.32D ．3 4．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉等于( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°5．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12二、填空题6．已知向量a ，b 且|a |＝5，|b |＝3，|a －b |＝7，则a·b ＝________.7．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________．8．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．三、解答题9．已知|a |＝4，|b |＝3，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．10．已知|a |＝1，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°，计算向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影．§2.4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义答案知识梳理1．(1)|a ||b |·cos θ (2)0 (3)|a |cos θ |b |cos θ2．|b |cos θ3．(1)b·a (2)λ(a·b ) a ·(λb ) (3)a·c ＋b·c自主探究(1)a·b ＝0 (2)|a||b | －|a||b | (3)|a |2(4)a·b |a||b |(5)|a||b | 对点讲练例1 解 (1)a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°，a ·b ＝|a |·|b |·cos 0°＝4×5＝20；若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a ⊥b 时，θ＝90°，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 90°＝0.(3)当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a |·|b |cos 30°＝4×5×32＝10 3. 变式训练1 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. (2)∵AB →与BC →的夹角为120°.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120°＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. 例2 解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝ 25＋2×252＋25＝5 3. |a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝ 25－2×252＋25＝5. 变式训练2 解 由|3a －2b |＝3，得9|a |2－12a·b ＋4|b |2＝9，∵|a |＝|b |＝1，∴a·b ＝13， ∴|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9|a |2＋6a·b ＋|b |2＝2 3.例3 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°，∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12. |a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n＝ 4×1＋1＋4×12＝7， |b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n＝ 4×1＋9×1－12×12＝7， a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3. 变式训练3 解 要想(k a －b )⊥(a ＋2b )，则需(k a －b )·(a ＋2b )＝0，即k |a |2＋(2k －1)a·b －2|b |2＝0，∴52k ＋(2k －1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，解得k ＝1415，即当k ＝1415时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直． 课时作业1．D [a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1.]2．A [∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0.∴λ＝32.] 3．A [a·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA →＝－|CB →||CA →|cos 60°＝－12. 同理b·c ＝－12，c·a ＝－12， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32.] 4．B [∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2，即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.] 5．C [∵a·b ＝|a|·|b |·cos 60°＝2|a |，∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a·b＝|a |2－2|a |－96＝－72.∴|a |＝6.]6．－152解析 |a －b |2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝49，∴a·b ＝－152. 7．0解析 b ·(2a ＋b )＝2a·b ＋|b |2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0.8．[0,1]解析 b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a|·|b |cos θ－|b |2＝0，∵a 是单位向量，∴|a |＝1，∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]， ∴0≤|b |≤1.9．解 (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角θ＝0°， ∴a·b ＝|a||b |·cos θ＝4×3×cos 0°＝12.若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为θ＝180°，∴a·b ＝|a||b |cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.(2)当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为90°，∴a·b ＝|a||b |·cos 90°＝4×3×0＝0.(3)当a 与b 的夹角为60°时，∴a·b ＝|a||b |·cos 60°＝4×3×12＝6. 10．解 (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos120°＋1＝1.∴|2a －b |cos 〈2a －b ，a ＋b 〉 ＝|2a －b |·(2a －b )·(a ＋b )|2a －b |·|a ＋b |＝(2a －b )·(a ＋b )|a ＋b |＝12. ∴向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影为12.。
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(1)课件新人教A版必修4
第十页，共35页。
3．已知向量a，b满足(mǎnzú)|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为 ________．
第十六页，共35页。
解析： (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×－12＝－6. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋
5×3×4×－12－3×42＝－60.
第三十一页，共35页。
[拓展练]☆ 3．(1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________； (2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直，a－4b 与 7a－2b 互 相垂直，求 a 与 b 的夹角．
第六页，共35页。
2．数量积的几何意义及数量积的符号
(1)按照投影的定义，非零向量 b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ，其具体情况，
我们也可以借助下面图形分析：
θ 的范围
θ＝0° 0°<θ<90° θ＝90° 90°<θ<180° θ＝180°
图形
b 在 a 上的 投影的正负
正数
正数
0
第七页，共35页。
|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos 60°＝175. ∴|2a＋b|＝5 7.
2.4.1平面向量数量积 (1)
三穗县民族高级中学 杨培菊
复习：向量的数乘---向量与数量的积
b a
(1)| b | | | | a |
是一个向量
(2)当 0时 a , b 同向; 当 0时 a , b反向.
复习：向量的夹角
a
O
2 2 a a b cos 2 b 6cos 14
a+2b a-b （ ） （ ）=-11
6cos 14 11,
1 cos 2
0 180 ,
60
变式2.已知 | a | 6,| b | 4, a与b的夹角为60，求 2 (a b) , | a b | 2 2 2 解： (a b) a 2a b b 2 2 | a | 2 | a || b | cos 60 | b |
（数乘结合律）
(1)a b b a
（交换律）
（分配律）
常用公式
2 2 2 (1)( a b ) a 2a b b
2 2 (2)( a b ) (a b ) a b
2 2 2 (1)(a b ) a 2a b b
1 2 =6 -6 4 -6 4 2
2
72
变式1.已知 | a | 2,| b | 3, a+2b)(a -b)=-11, （ 求a与b的夹角。
2 2 解： a +2b） a-b） a a b 2b （ （
BC CA | BC | | CA | cos120 1 8 7 ( ) 28 2
2.4.1平面向量的数量积》(第一课时)
问题提出
1.向量的模和夹角分别是什么概念？ 1.向量的模和夹角分别是什么概念？ 向量的模和夹角分别是什么概念
, 注意: 两向量的夹角定义两向量必须 是同起点的范围是 ≤θ ≤ π. , 0
向量的夹角 两个非零向量a 两个非零向量 和b ，作OA = a ，OB = b ，则 ∠AOB = θ
数量积a·b等于 的模与 数量积 等于a的模与 在a方向上的 等于 的模与b在 方向上的 投影︱ ︱ θ的乘积，或等于b的模与 投影︱b︱cosθ的乘积，或等于 的模与 a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积. 方向上的投影︱ ︱ θ的乘积. 在 方向上的投影
平面向量的数量积的运算性质 问题5 都是非零向量， 等于多少？ 问题5：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？ 与 都是非零向量 ⊥ ， 等于多少 反之成立吗？ 反之成立吗？
数量积的运算律： 数量积的运算律： 交换律： 交换律： r r r r r r r 分配律： 分配律：(a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c
r r r r a ⋅b = b ⋅ a
数乘结合律： 数乘结合律：
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) ＝ 关于向量的数量积运算： 关于向量的数量积运算： 数量积运算不满足结合律。 数量积运算不满足结合律。 思考４：对于实数λ,(λa)·b表示什么意义?它可以转化为哪
Байду номын сангаас
F
S
W＝︱F︱︱s︱cosθ ＝
问题2：你能用文字语言来表述功的计算公式吗 如果 问题 ：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果 我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该 我们将公式中的力与位移推广到一般向量， 如何表述？ 如何表述？ 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
2.4.1[平面向量数量积的物理背景及其含义]课件(苏教版必修4)
![2.4.1[平面向量数量积的物理背景及其含义]课件(苏教版必修4)](https://img.taocdn.com/s3/m/fa3873037cd184254b353539.png)
物理背景及其含义
学法指导
• • • • 1.多动脑筋 2.数形结合 3.总结基本题型 4.限时训练
复习：数乘
b a
(1)| b | | | | a | (2)当 0时 a , b同向;
当 0时 a , b反向.
复习：向量的夹角
a
O
a b
O
θ
θ
例题：
a 8, b 7, C 60，求 BC CA 在△ABC中，
解：
| BC | 8 | CA | 7
A
7
B
60
120
120
8
C
BC CA | BC | | CA | cos120 1 8 7 ( ) 28 2
例题：
a 4, b 9, C 30，求 BC CA 在△ABC中，
• 总结规律：a, b反向 a b | a || b |
a和a的夹角为 0， cos0 1 练习
(1) | a | 2， a a 2 2 4 (2) | a | 10， a a 10 10 100 (3) | a | 8， a a 8 8 64
a | a |2
2
作业
• A.小结 • B.P121 A1（前两个）， A2
1. 2.
3.
a· b=|a| |b| cosθ
数量积几何意义 重要性质
b
0
Oa
0
b
O
a
2
b
Oa
b
我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生 位移s
F θ S
力F所做的功W可用下式计算
2.4.1平面向量数量积及运算律
b
a
(2)( a ) b
(a
b
)
a
(b )
(3)(a b) c a c b c
其中，a、b、 c是 任意三个向量， R
(a b) c a (b c)
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
a·b=|a| |b| cosθ
规定:零向量与任一向量的数量积为0。 思（1）向量的加、减法的结果是向量还是数量？ 考 数乘向量运算呢？向量的数量积运算呢？
（2）“a •b ”能不能写成“a b ”或a者b “ 记”法的“ a形·式b ”？中间的“· ”不可以省略，也不可
以用“ ”代替.
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
－72
例3 已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b
不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与
a－式：
1、若 | a || b | 1, a b且2a 3b与ka 4b也 互相垂直，求k的值。
K=6
练习三：
1、已知 a 8，e为单位向量，当它们的夹角为 时， 求a 在 e方向上的投影及 a • e、e • a ；4 3
=5×4×（-1/2）= －10
P书106.1.2
思考4：对于两个非零向
A
量a与b，设其夹角为θ，
a
那么︱a︱cosθ的几何意
义如何？
O
θ |a|cosθ A1
b
B
对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ， ︱a︱cosθ叫做向量a在b方向上的投影. 那么该投影一定是正数吗？向量b在a方
数学(2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)
功率等于功与作用时间的比值。平面向量数量积可以用来描述功率，即功率等于功向量与时间向量的 模的比值。
03
平面向量数量积的应用
速度与加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 等于位移与时间的比值。在平面向量 中，速度可以表示为向量，其模即为 线段长度与时间的比值。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量，等于速度的变化量与时间的比 值。在平面向量中，加速度可以表示 为速度向量的变化率，其模即为速度 变化量与时间的比值。
详细描述
根据数乘的定义，实数k与向量a的数乘记作 ka，其模长为|ka|=|k||a|。设向量a与向量b的
夹角为θ，则有k(a·b)=k(|a||b|cosθ)， (ka)·b=|ka||b|cosθ=k(|a||b|cosθ)，
a·(kb)=|a||kb|cosθ=k(|a||b|cosθ)。这说明数 乘律成立，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
几何意义
总结词
平面向量数量积表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。
详细描述
平面向量数量积的几何意义在于表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。当两个向量的夹角为锐角时，数量 积大于0，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积小于0，表示两个向量方向相反；当夹角为0或180 度时，数量积为0，表示两个向量垂直或反向。
动量与冲量
动量
物体的动量等于物体的质量与速 度的乘积。平面向量数量积可以 用来描述动量，即物体的动量等 于质量与速度向量的模的乘积。
冲量
冲量等于力的作用时间与力的乘 积。平面向量数量积可以用来描 述冲量，即冲量等于力向量与时 间向量的模的乘积。
功与功率
功
平面向量数量积PPT教学课件_1
胚胎干细胞应用 （1）治疗人类顽症：
如帕金森综合症、少年糖尿病等。
（2）培育人造组织器官： 解决供体器官不足、免疫排斥等。
（3）研究体外细胞分化。
变式：已知 a 6, b =4, a 2b a 3b
72
求 a与b的夹角 .
例4.已知 a 3, b 4，a b 5,求 2a b 的值.
例5.已知 a 3, b 4，且a与b不共线，k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
胚胎工程专题复习
胚胎工程
胚胎工程指对动物早期胚胎或配子所进行 的多种显微操作和处理技术，如胚胎移植、体 外受精、胚胎分割、胚胎干细胞培养等技术。 经过处理后获得的胚胎，还需要移植到雌性动 物体内生产后代，以满足人类的各种需求。
a b a b cos
其中θ是 a 与b 的夹角.规定，零向量与任一向量的数量积为零，
即a 0 0。 b cos 叫做向量b 在 a 方向上的投影. B
OB1 b cos
b
θ O
aA
B1
例1.已知 a 3, b =4,a与b的夹角 =120 ，求a b
变式：已知 a 3, b =4,a与b的夹角 =120 ，
桑椹胚 ：由具有全能性细胞构成，细胞数在32个左右，
排列紧密，形似桑椹
囊胚（内含囊胚腔） 内细胞团：发育成胎儿各组织
滋养层细胞：发育成胎膜和胎盘
原肠胚（内含原肠腔）
胎儿形成
体外受精和早期胚胎培养
一、试管动物技术 1．试管动物技术是指：通过_人__工__操__作____使卵子和精子 在体__外__条__件__下___成熟和受精，并通过培养发育为早__期__胚__胎后 再经移植产生后代的技术。 2．这项技术的前期工作包括_体__外__受__精____和_早__期__胚__胎____。
新人教A版必修4高中数学2.4.1平面向量数量积的含义学案
高中数学 2.4.1平面向量数量积的含义学案新人教A 版必修4【学习目标】1、 理解平面向量数量积的含义，2、 掌握数量积公式，理解几何意义及投影定义；3、 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质和运算律解决有关问题。
【重点难点】1、 掌握数量积公式，理解几何意义及投影定义；2、 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质和运算律解决有关问题。
【学习内容】问题情境导学一、向量数量积的定义【想一想】(1)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗？(2)如果我们把上述公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又如何表述？【填一填】(1)已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则把数量_____叫做a与b 数量积(或内积),记作b a ⋅即b a ⋅=________，(2)规定零向量与任一向量的数量积为______________．【思考】向量的数量积运算与向量的线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？二、向量数量积的几何意义【想一想】 结合图形，你能作出θcos b 吗？【填一填】数量积的几何意义：数量积b a ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影___________的乘积．【思考】b 在a 方向上的投影θcos b 是个什么量？三、向量数量积的性质【想一想】的夹角︒=0θ，︒90，︒180时，b a ⋅的结果怎样？当b a =时，b a ⋅的结果又怎样？【填一填】设a 与b 都是非零向量，θ为a 与b 的夹角．(1)a ⊥b ⇔__________________；(2)当a 与b 同向时，b a ⋅=________，当a 与b 反向时，b a ⋅=________；(3)a a ⋅=________或a a a ⋅=2a =；(4)ba b a ⋅=θcos ； (5) ||b a ⋅b a =．【思考】若b a ⋅0>，a 与b 的夹角是锐角吗？若b a ⋅0<，a 与b 的夹角是钝角吗？返过来呢？四、向量数量积的运算律 【想一想】若c b a ，，，λ是实数，则下列运算律成立：(1)a b b a ⋅=⋅；(2))()()(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅；(3)c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(；(4))()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅． 若以上字母除λ外都是向量，以上运算律还成立吗？【填一填】(1)b a ⋅=________；(2)=⋅b a )(λ________________))((R b a ∈⋅=λλ ；(3)=⋅+c b a )(__________________．【思考】若c a b a ⋅=⋅，b 与c 一定相等吗？为什么？课堂互动探究【类型一】数量积的基本运算例１、已知4=a ，5=b ，当①a //b ；②b a ⊥；③a 与b 的夹角为︒135时，分别求a 与b 的数量积．【类型二】与向量的模有关的问题例2、已知向量a 、b 满足2=a ，3=b ，4=+b a 求 b a -．【类型三】两向量的垂直与夹角问题例3、已知3=a ，2=b ，向量a 、b 的夹角为︒60，=c b a 53+，b a m d 3-=，求当m 为何值时，d c 与垂直？【课后作业与练习】基础达标(1)若2=a ，21=b ，a 与b 的夹角为︒60，则b a ⋅为 (A)21 (B)41(C)1 (D)2(2)已知3=b ，a 在b 方向上的投影是32，则b a⋅为(A)31 (B)34 (C)3 (D)2 (3)已知10=a ，12=b ，且b a ⋅60-=，则a 与b 的夹角(A)︒60 (B)︒120 (C)︒135 (D)︒150(4)设a 与b 的模分别为4或3，夹角为︒60，则b a +等于(A)37 (B)13 (C)37 (D)13(5)已知a 、b 是非零向量，且满足a b a ⊥-)2(，b a b ⊥-)2(，则a 与b的夹角是 (A)6π (B)3π (C)32π (D)65π (6)若两个单位向量1e ，2e 夹角为32π，且向量2112e e b -=，21243e e b +=，则=⋅21b b ___________________．(7)已知向量a 、b 满足b a ⋅，且1=a ，2=b ，则a 与b 的夹角是___________________．(8) 已知非零向量a 与b 的夹角为︒120，若b a c +=，且a c ⊥，则b a的值为___________________． 能力提升(9)已知1=a ，b a ⋅21= ，21)()(=+⋅-b a b a ． ①求a 与b 的夹角θ；②求b a +．(10)在边长为1的正三角形ABC 中，设BD BC 2=， CE CA 3=，求BE AD ⋅．(11)已知b a ⊥，且2=a ，1=b ，若对两个不同时为零的实数k ，t ，使得b t a )3(-+与b t a k +-垂直，试求k 的最小值．(12) 已知非零向量a 与b 的夹角为︒120，2=a ，4=b ，设)(R x b a x y ∈+= ，试求y 的最小值，并求出相应的x 值．。
高中数学 人教A版必修4 第2章 2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义(一)
其中 θ 是 a 与 b 的夹角． (2)规定：零向量与任一向量的数量积为 0 . (3)投影：设两个非零向量 a、b 的夹角为 θ，则向量 a 在 b
|a|cos θ ， |b|cos θ 方向的投影是_______ 向量 b 在 a 方向上的投影是_______.
3．数量积的几何意义 a· b 的几何意义是数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方
|b|cos θ 的乘积． 向上的投影_______
研一研·问题探究、课堂更高效
2.4.1（一）
探究点一
本 课 时 栏 目 开 关
平面向量数量积的含义
已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的 数量积(或内积)，记作 a· b，即 a· b＝|a||b|cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角，θ∈[0，π]．规定：零向量与任一向量的数量积为 0. 问题 1 如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所
∴a· b＝|a|· |b|cos 180° ＝4×5×(－1)＝－20. (2)当 a⊥b 时，θ＝90° ，∴a· b＝|a|· |b|cos 90° ＝0. (3)当 a 与 b 的夹角为 30° 时，a· b＝|a|· |b|cos 30°
2.4.1（一）
【学法指导】 1．向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的 区别，两个向量的数量积，其结果是数量，而不是向量．学习 本 课 时必须透彻理解数量积概念的内涵． 时 栏 目 2．向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联系，概念内涵更丰 开 关 富，计算更复杂，实数乘法中的一些运算律在向量的数量积中 已经不再成立，不宜作简单类比，照搬照抄．书写格式也要严 格区分，a· b 中的“· ”不能省略.
2.4.1平面向量的数量积
θ
| b | cos 0
a
O
θ
a
| b | cos 0
b在a上的投影： | b | cos a在b上的投影： | a | cos 数量积a b等于 | a | 与投影 | b | cos的乘积。
练习： 1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． √
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0． × 3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 × × 4．若a · b=0，则a ·b中至少有一个为0． 5．若a≠0，a ·b= b ·c，则a=c × 6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 × 时成立． 2 2 7．对任意向量 a 有 a | a | √
• 方法技巧：(1)求平面向量数量积的步骤
是： • ①求a与b的夹角θ，θ∈[0°,180°]； • ②分别求|a|和|b|； • ③求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ. • 温馨提示：a∥b时，易漏掉θ＝0°和θ ＝180°中的一种情况.
是非零向量， e 是与b 方向相同的 设 a、b 单位向量， 是a与e 的夹角，则 ( 1 ) e a a e | a | cos a b | a || b | cos
小 结
（1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义
已知两个非零向量 a 与 b ，它们的 夹角为θ，我们把数量| a || b |cosθ叫做 a与 b 的数量积（或内积），记作 ·
b =| a | | b| cosθ a·
（2）向量的数量积的物理模型是力做功
（3） a•b的结果是一个实数（标量）
（4）两向量夹角的范围是0°≤θ ≤180°
一种新的运算
平面向量数量积课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
量，符号由cosθ的符号确定。
2、在数量积中 ，若
a
b
0
，且
a0
,
不能推出 b 0 。因为其中cosθ有可能为0
3得、.但已是知有实数aba,bb,cc(不b 能0)得aab
bc
c
则有a
c
4、在实数中 (a
但 (a
bb))cc
a(b a(b
c) c)
,
2
b
2
例2
已知
a
5,
b
4
，a与
b的夹角为120°,求
a
b
例3
已知
a
求 a
2b6 ,
b
a
3b4 ,
a
与b的夹角为60°，
.
3 例4
量
a
已知
a
kb 与
3, b
a
4
且a
与b
不共线.求当k为何值时，向
kb 互相垂直？
4
练习：
求(1)已(a 知 2|ba)|(a3,| b3b|),4,|且a a与b|,b|的a 夹b角| θ 150o ,
θ O
a cos
A
b
B A1
投影是向量还是数？投影与什么有关系？
2．数量积的几何意义
根据投影的概念数量积 的几何意义如何？
a b = | a || b | cos
B
O
θ b c os
B1
A
数量积
a
b等于
的a 模
与a 在
影上的a 投cob影sθ的b 乘积的，乘或积等，于a
的模
cob |
|2 或
| a |
2.4.1 平面向量数量积
例3.已知 | a | 6,| b | 4, a 与 b 的夹角为60°， 求 (a 2b) (a 3b).
自主探究：
解： 变式： a a b b a b 6 2b | a 2 已知| a | 6,| 4,( b) (a 3b) 72, 2 | a | a b 6 | b | 2 求 a与 b 的夹角 . 36 6 4 cos 60 6 4
已知两个非零向量 a 与 b ，我们把数量 （或内积）， a b cos 叫做a 与 b的数量积
a b a b cos
记作 a b ，即
为 a 与 b 的夹 [0, ]
a
|a|
b
投影的概念
a cos
a 在 b 上的投影
A1 c
B1 C
则 a 0 或 b 0 ，对吗？ 0, 2. 若 a b 或 a b. ，对吗？ a b 则 若 3. a c b c, c 0, （注意不能等号两边约去 ） c (a b) c 0.
0 0
0பைடு நூலகம்
（3）当 120 时a在b上的投影为 2 （4）当 120 时b在a上的投影为 4
0
| b | cos
B
B
B
b
O
b
b
O(B ) 1 a B1 A B1 O a A a A 当为锐角时 当为钝角时 当为直角时 投影为正值; 投影为负值; 投影为0;
2.4.1平面向量的数量积
F
θ S
O
位移S
A
W | F || S | cos
其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角.
功是一个_标__量__，是一个_数__量__，它由力和位移两个 向量来确定.这给我们一种启示，能否把“功”看成这 两个向量的一种运算的结果呢？
从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的 概念.
向量的夹角的概念
rr
uuur r uuur r
两个非零向量
a和
b
，作
r
OA
r
a, OB
b
，
r
r
则 AOB 叫做向量 a 和 b 的夹角．记作 a,b .
r
b
B
r
O
a
A
注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的.
特别地
rr
a与b r同向
ra
ObB
A
0
rr
a与 b 反r向
a
r
Bb O
ABr b源自r aOA
互相垂直，求k的值.
rr rr 解：Q（2a 3b) (ka 4b),
rr rr （2a 3b) (ka 4b) 0.
r2
r2
2k a 12b 0.
r2 r2 Q a b 1,
k 6.
1.向量的夹角 （共起点） 2.向量的投影 3.向量的数量积的定义，几何意义.
a b a b cos a, b
rr rr rr
a a a b 6b b
r rr r | a |2 a b 6 | b |2
r rr
r
| a |2 | a || b | cos60° 6 | b |2
2.4.1平面向量的数量积
解 ： （ 1） .(a2b)(a3b)a2ab6b2
a2abcos6b272
2
2
(2 )a 2 ba 4 a b 4 b 23 7
2020/11/30
25
例 3.已 知 |a|3,|b|4,且 a与 b不 共 线 . k为 何 值 时 ,(akb)(akb)？
2020/11/30
Oθ
A
B1 a
当 a 与 b 反向 a b 时 |a |b ||， ;
求 角
特别地
(4)cos
2020/11/30
aa|a|2
ab | a||b|
或 |a|
aa
a2求模的方法
(5 )|ab| |a||b|
10
练习：
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0．√
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0． ×
2020/11/30
28
2、三角形ABC为正三角形，问：
(1) AB与 AC 夹角为 600
(2) AB与 BC 夹角为 1200
(3) AB在 AC 上的投影为
1 | AB | 2
(4) AB在 BC 上的投影为
1 | AB | 2
2020/11/30
29
，它由力和位移两个向量确定。
思考：能否把“功”看成这两个向量的一种运算
2020/11/30
5
我们将功的运算类比到两个向量 的一种运算，得到向量“数量积”的 概念。
W F S cos
a • b | a | | b | cos
2020/11/30
6
2、向量的数量积的定义
已知两个非零向量 a 与 b，它们的
2.4.1平面向量的数量积
86 1 2
24
练习2（口算）
(1) | a | 5, | b | 6, 30， a b 15 3 (2) | a | 10, | b | 15, 45， a b 75 2 (3) | a | 8, | b | 2, 135， a b 8 2
练习3.
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0＝0．
平面向量的数量积 a b | a || b | cos
与以往运算法则的区别及注意点
1. 一种新的运算
2. “ · ”不能省略，也不能写成“×”
3.
a
b表
示
数
量
而
不
表
示
向，量与
实
数a
b
不同，a cos a b ab
b,a
b,a
都是向量；
4. 0 a 0
5. 注意公式变形，知三求一.
思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什 么时候为负，什么时候为0？
a b | a || b | cos
若向量 a，b 为非零向量，则
当0°≤ ＜ 90°时 a b为正；
当90°＜ ≤180°时 a b 为负。 当 =90°时 a b 为零。
一、平面向理的夹角
两个非零向量a 和b ，作OA a ，OB b ，则 AOB
(0 180 )叫做向量a 和b 的夹角．
B a
b
Ob B
A
① 若 0，a 与b 同 向
OaA
B
b
a
B
O
A
②若 180，a 与b 反向
b
a
O
A
③ 若 90，a 与b 垂直，
记作 a b
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√ ×
(2)若a≠0,则对任意非零向量b,有a·b≠0 (3)若a≠0,且a· b=0,则b=0 (4)若a· b=0,则a=0或b=0
× ×
√ ×
(5)对任意向量a,有a2=│a│2
(6)若a≠0且a· b=a· c,则b=c
• 优化 P56 题型二、三、四
作业
• 1、课本P108 1、2、3、5（1）（2）、6、7 • 2、优化 做到P57
• 课本P106 3
四、平面向量数量积的运算率:
(1)交换律：a b b a
( a) b (a b) a (b) (2)数乘结合律：
(3)分配律： (a b) c a c b c 数量积不满足结合律和消去率
(a b) c a (b c)
3、若 a b 0 不能得出 a 0或 b 0
• 课本P106 1
向量的数量积是一个数量，那么 它什么时候为正，什么时候为负？
a b a b cos
当0°≤θ＜90°时 当θ =90°时 a = b 0 当90°＜θ≤180°时
a b0 < a > b0
• 课本P106 2
例1：已知ABC是边长为 6的正三角形 (1)求 AB、 AC之间的数量积 (2)求 AB、 BC之间的数量积
60 解: AB与AC的夹角为
C
60
B 1 AB AC AB AC cos 60 6 6 18 2 AB与BC的夹角为 120 1 AB BC AB BC cos 120 6 6 ( ) 18 2
(1)理解和掌握向量数量积的定义; (2)理解向量数量积的几何意义;
(3)掌握向量数量积的运算率; (4)掌握向量数量积的重要性质.
我们学过功的概念，即一个物体在力F的 作用下产生位移s(如图)
F
s
┓
功： W
| F || s | cos
已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为 , 我们把数量 a b cos 叫做 a 与 b 的数量积
(或内积),记作 a b .
一、平面向量数量积的定义:
a b a b cos
规定：零向量与任意向量的数略不写，也不能写为＂＂，数学中 a b表示两个向量的向量积（或外积）
2、a b 表示数量而不表示向量，与实数 a a b 不同,a b、a b 表示向量；
ac bc a b
2 2 1.a a a a
2 2 2. a b a b a b
3. a b c d a c a d b c b d 2 2 2 4. a b a 2a b b
五、平面向量数量积的重要性质:
2 2 4a a a a 2 或a a a a
求向量模的依据
0 0
5cos
a b ab
0 ,180
求向量夹角的依据
6 a b
ab
练习：判断下列各题是否正确:
(1)若a=0,则对任意向量b,有a· b=0
A
二、投影:
b
A1 B b B
O
a A O
a
B1 A
a cos
b cos
a cos ( b cos )叫做向量 a 在 b 方向上 (向量 b 在 a 方向上)的投影.
向量 b 在方向 a 上的投影是数量,不是向量, 什么时候为正，什么时候为负？ b cos
五、平面向量数量积的重要性质: 是非零向量， e 是与b 方向相同的 设 a、b 单位向量， 是a与e 的夹角，则:
1a e e a a cos
2a b a b 0
判断两个向量垂直的依据
| a || b |, 当a与b同向时 3a // b a b | a || b |, 当a与b反向时
B b
B b
B b
O
a
B1 A
B1
O
aA
O( B1 )
a
A
b cos 0
a
b cos 0
b
b cos 0
a
O
b
B
A
B
O
A
b cos b
b cos b
三、平面向量数量积的几何意义:
B
b
O
a
a b a b cos
A
| b | cos
数量积a b等于a的长度 a 与b在a的 方向上的投影数量 b cos 的乘积.