高二数学上册课时限时检测试题18

合集下载

高二数学上学期18周周测试题理试题

卜人入州八九几市潮王学校大名县一中二零二零—二零二壹高二数学上学期18周周测试题理一、单项选择题1．△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，那么△ABC的面积等于()A．B．C．或者D．或者2．定义在上的奇函数满足,数列的前项和为,且,那么()A．0B．0或者1C．-1或者0D．1或者-13．设，，假设是与的等比中项，那么的最大值为〔〕A．B．C．D．4．假设满足约束条件，那么的最大值为〔〕A．4B．8C．2D．65．设，那么“〞是“且〞的〔〕A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．①“假设,那么②“假设,那么③“假设,那么).A．0B．1C．2D．37．双曲线的离心率等于，直线与双曲线的左右两支各有一个交点，那么的取值范围是〔〕A．B．C．D．8．函数在区间上单调递减，那么的最小值是〔〕A．B．C．D．9．由曲线围成的封闭图形的面积为〔〕A．B．C．D．10．函数在点处的切线方程为〔〕A．B．C．D．11．用数学归纳法证明，那么当时，左端应在的根底上加上〔〕A．B．C．D．12．复数满足〔为虚数单位〕，那么的一共轭复数所对应的点在〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第II卷〔非选择题〕二、填空题13．函数的导函数为，且满足，那么______．14．“假设那么〞______________.15．假设数列的首项，且，那么=________.16．在中三个内角C，所对的边分别是a，b，c，假设〔b+2sinC〕cosA=-2sinAcosC，且a=2，那么面积的最大值是________三、解答题17．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其面积为S，且求A；假设，，求c．18．等差数列的前n项和为，且，，等比数列满足，．Ⅰ求数列，的通项公式；Ⅱ求的值．19．椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为，过轴正半轴一点且斜率为的直线交椭圆于两点.〔1〕求椭圆的HY方程；〔2〕是否存在实数使，假设存在求出实数的值；假设不存在需说明理由. 20．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，M为BC的中点.〔I〕证明：AM⊥PM；(II)求二面角P－AM－D的大小.参考答案1．D【解析】【分析】由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，可得BC＝1或者BC＝2，分别利用面积公式计算面积即可得解.【详解】由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，即1＝3＋BC2－3BC，解得BC＝1或者BC＝2，当BC＝1时，△ABC的面积S＝AB·BC sin B＝××1×＝.当BC＝2时，△ABC的面积S＝AB·BC sin B＝××2×＝，综上，△ABC的面积等于或者.应选D.【点睛】此题主要考察了利用余弦定理求解三角形，利用面积公式计算面积，属于根底题.2．A【解析】【分析】由满足f〔x+2〕=f〔x〕，因此函数f〔x〕是周期为2的函数．由S n=2a n+2，利用递推关系可得a n．再利用周期性与奇函数的性质f〔0〕=0即可得出．【详解】∵,所以函数周期为2,∵数列满足,∴,,∴,即,∴以-2为首项,2为公比的等比数列,∴,∴,应选A.【点睛】此题考察了数列的递推关系、函数的奇偶性与周期性，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．3．C【解析】【分析】先由等比中项化简得2x+y=1，进一步利用均值不等式求出结果．【详解】因为x＞0．y＞0，假设是9x与3y的等比中项，那么：，即：2x+y=1，由1=2x+y．〔当且仅当2x=y=等号成立〕即xy应选：C．【点睛】此题考察的是由根本不等式求最大值问题，也利用了等比数列的性质，属根底题．4．A【解析】【分析】作出可行域，根据目的函数求最值即可.【详解】作出可行域如图：作出直线，平移直线，当直线经过点A时，Z有最大值.由解得，所以，应选A.【点睛】此题主要考察了线性规划最优解，属于中档题.5．B【解析】【分析】由“且〞易得“〞一定会成立，当且时，可得“〞成立，但“且〞不成立，从而得解.【详解】显然“且〞成立时，“〞一定会成立，所以是必要条件，当且时，“〞成立，但“且〞不成立，所以不是充分条件.应选B.【点睛】此题主要考察了充分条件与必要条件的判断，属于根底题.6．B【解析】【分析】【详解】①“假设,那么互为相反数〞互为相反数那么；“假设,那么〞，当a=-1,b=-2,时不满足，“假设,那么〞,那么，举例当x=5 故答案为：B.【点睛】7．B【解析】【分析】先由离心率等于求出双曲线的方程，再利用直线与双曲线的左右两支各有一个交点，联立直线方程与双曲线方程可得，根据方程根与系数的关系建立不等式组，即可求出的取值范围.【详解】双曲线的离心率等于,,可得,双曲线,直线与双曲线联立可得,直线与双曲线的左右两支各有一个交点,,,即的取值范围是，应选B.【点睛】此题主要考察双曲线的离心率、双曲线的几何性质，以及双曲线与直线的位置关系，意在考察对根底知识掌握的纯熟程度以及综合应用所学知识解答问题的才能，考察函数与方程思想的应用，属于综合题.8．A【解析】利用函数的导数，推出m，n的不等式组，然后利用线性规划，表达式的几何意义求解即可．【详解】∵，∴，∵在区间上单调递减，∴在区间上恒成立，∴，不等式组表示的可行域如图阴影局部，∴那么m2+n2的几何意义是可行域内的点与原点间隔的平方，显然原点到直线间隔最小，所以那么．应选：D．【点睛】此题考察函数的单调性，考察导数知识的综合运用，考察学生分析解决问题的才能，线性规划的应用，属于中档题．9．A【解析】【分析】先计算出两个图像的交点分别为，再利用定积分算两个图形围成的面积.封闭图形的面积为.选A.【点睛】此题考察定积分的应用，属于根底题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.10．C【解析】【分析】点在曲线上，先求出点的纵坐标，再根据导数几何意义先求出切线的斜率，有直线的点斜式方程即可写出切线方程.【详解】，又切线方程是：应选C【点睛】此题考察导数的应用，近几年高考对导数的考察几乎年年都有，利用导数的几何意义，求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，曲线在点的导数就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题，用导数求切线方程的关键在于求切点坐标和斜率，分清是求在曲线某点处的切线方程，还是求过某点处的曲线切线方程.11．C【解析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=时，当n=k+1时左端应在n=k的根底上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．【详解】当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+〔k+1〕2，增加了项〔k2+1〕+〔k2+2〕+〔k2+3〕+…+〔k+1〕2．应选：C．【点睛】此题主要考察数学归纳法，属于中档题./12．D【解析】【分析】利用复数的乘除运算性质可求得，从而可得，根据复数的几何意义可得解.【详解】因为，所以，其在复平面对应的点为，位于第四象限，应选D.【点睛】解答与复数有关的问题时，通常需要先把所给的复数化为a+bi 〔a，b∈R〕的形式，再根据题意求解,复数z=a+bi〔a,b∈R〕在复平面的对应点坐标是〔a，b〕13．【分析】将看成常数，利用导数的运算法那么求出，令求出代入，令求出．【详解】因为，所以，令得，，，故答案为6.【点睛】此题考察导数的运算法那么、考察通过赋值求出导函数值，意在考察对根底知识掌握的纯熟程度以及灵敏应用所学知识解答问题的才能，属于简单题．14．假设，那么【解析】【分析】.【详解】“假设那么〞，那么。

高二数学测试_ (18)

将数学命题用简单、有创意而且易于理解
·32·
的几何图形来呈现．请利用图 1、图 2 中阴影
部分的面积关系，写出该图所验证的一个
三角恒等变换公式：
．
%
1
琢+茁
sin 茁
cos 茁
1
cos 琢
sin 琢
（1）
cos 琢
sin 茁 cos 茁
（2）
19．（ 1）因为 A（ 6，2 槡3 ）、B（ 8，0），易知 OAB 为以 OB 为斜边的直角三角形，
所以圆 C：（ x － 4） 2 + y2 = 16． ① 斜率不存在时，l： x = 2 被圆截得弦长为 4
槡3 ，所以 l： x = 2 适合． ② 斜率存在时，设 l： y － 6 = k（ x － 2），即 kx －
y + 6 － 2k = 0．因为 l 被圆截得弦长为 4槡3 ，所以圆心到直线距离为 2，所以
解得
| 4k + 6 － 2k | = 2，
槡1 + k2
k
=－
4 3
．
∴ l： y － 6
=－
4 3
（
x
－
2）
，
即 4x + 3y － 26 = 0．
综上，l： x = 2 或 4x + 3y － 26 = 0．
4，4］）的图象如图所示，当－ 4 ≤ x ≤ 4 时，有
( ) S = 4SOAB = 4 ×
1 2
×2 ×1
= 4．
·34·
% y
A 1
O
B
-4 -3 -2 -1

2018学年第一学期教学质量检测高二数学试卷

中学2018学年第一学期教学质量检测高二数学试卷时间:120分钟满分:150分命卷人:一、选择题(每小题4分,共10小题40分)1、若直线的倾斜角为，则等于( )A.B.C.D.不存在2、若抛物线上一点到焦点的距离是10,则点的坐标是( ) A.B.C.D.3、设,是两条不同的直线,,是两个不重合的平面,给定下列四个命题,其中为( ) 真命题的是:①;②;③;④A.①②B.②③C.③④D.①④4、如图所示,直线垂直于圆O 所在的平面,△内接于圆0,且为圆0的直径,点为线段的中点.现有以下命题:①⊥;②平面;③点到平面的距离等于线段的长.其中真命题的个数为( )A.3B.2C.1D.05、与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（ )A. B.C. D.6、是方程表示椭圆的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件7、设圆的圆心为,是圆内一定点,为圆周上任一点,线段的垂直平分线与的连线交于点,则的轨迹方程为( )A.B.C. D.8、一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体,若正方体可以在纸盒内任意转动,则正方体棱长的最大值为( ) A.2 B.3C.1D.9、已知平面平面,,且.是正方形,在正方形内部有一点,满足与平面所成的角相等,则点的轨迹长度为(( )B.C.10、已知函数在R 上满足,则曲线在点处的切线方程是( )A.B.C.D.二、填空题(第11题6分,第12题6分,第13题6分,第14题6分,第15题4分,第16题4分,第17题4分,共7小题36分)11、已知曲线上两点，当时，割线的斜率是__________；当时，割线的斜率是__________.12、圆x 2+y 2+8x -6y +21=0的圆心到直线x -y +5=0的距离__________，经过圆x 2+y 2+8x -6y +21=0与直线x -y +5=0的两个交点且圆心在x 轴上的圆的方程__________.13、双曲线的焦距是,则实数的值为__________;渐近线方程为__________.14、已知一个正三棱锥的正视图为等腰直角三角形,其尺寸如图所示,则此正三棱锥的表面积__________;体积__________.15、直线L 与椭圆P,Q 两点,已知直线L 的斜率为1,则弦PQ 的中点的轨迹方程是__________.16、如图,在三棱锥中,⊥底面,,⊥于,⊥于,若,,则当△的面积最大时,的值为__________.17、如图,,是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、两点,若△为等边三角形,则该双曲线的离心率为__________.三、解答题(第18题14分,第19题15分,第20题15分,第21题15分,第22题15分,共5小题74分) 18:,若p是q的充分条件,求实数m的取值范围.19、已知圆的圆心在直线上,且经过点.(1)求圆的方程;(2)点是直线上横坐标为的点,过点作圆的切线,求切线方程. 20、如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°;.(1)证明AB⊥A1C ;(2) 若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.21、已知椭圆的焦点坐标为,且短轴一顶点满足.(1)求椭圆的方程;(2)过的直线与椭圆交于不同的两点,则的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.22、已知函数为常数,.(1)当时,求函数在处的切线方程;(2)当在处取得极值时,若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围;(3)若对任意的,总存在,使不等式成立,求实数的取值范围.。

2022-2023学年重庆市第十八中学高二上学期线上素质测评数学试题(解析版)

2022-2023学年重庆市第十八中学高二上学期线上素质测评数学试题一、单选题1．已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于（） A ．2 B ．1 C ．0 D ．-1【答案】D【详解】解：因为两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则斜率之积为-1，可知参数a 的值为-1,选D2．若椭圆221254x y +=上一点P 到焦点1F 的距离为3，则点P 到另一焦点2F 的距离为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【分析】利用椭圆的定义可得27PF =.【详解】根据椭圆的定义知，1222510PF PF a +==⨯=，因为13PF =，所以27PF =．故选：B.【点睛】本题考查椭圆的定义，一般地，与焦点三角形有关的计算问题，应利用椭圆的几何性质来考虑，本题属于基础题.3．已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A pAF x =+=，即1292p =+，解得6p.故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 4．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．4 B ．－4C ．－14D ．14【答案】C【分析】先将双曲线方程化为标准形式，利用虚轴长是实轴长的2倍列方程，解方程求得m 的值.【详解】依题意，双曲线的标准方程为2211x y m-=-，即2211,a b m ==-，由于虚轴长是实轴长的2倍，所以2b a =，即224b a =，也即114,4m m -==-.故选C. 【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线实轴和虚轴的概念，属于基础题. 5．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为A ．2-B ．2C ．4-D ．4【答案】D【详解】解：椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D ．6．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30︒，则（） A ．2AB AD = B ．AB 与平面11AB C D 所成的角为30︒ C ．1AC CB = D ．1B D 与平面11BB C C 所成的角为45︒【答案】D【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．【详解】如图所示：不妨设1,,AB a AD b AA c ===，依题以及长方体的结构特征可知，1B D 与平面ABCD 所成角为1B DB ∠，1B D 与平面11AA B B 所成角为1DB A ∠，所以11sin 30c bB D B D==，即b c =，22212B D c a b c =++2a c =．对于A ，AB a ，AD b ，2AB =，A 错误；对于B ，过B 作1BE AB ⊥于E ，易知BE ⊥平面11AB C D ，所以AB 与平面11AB C D 所成角为BAE ∠，因为tan c BAE a ∠==30BAE ∠≠，B 错误；对于C，AC =，1CB =，1AC CB ≠，C 错误；对于D ，1B D 与平面11BB C C 所成角为1DB C ∠，11sin 2CD a DB C B D c ∠===，而1090DB C <∠<，所以145DB C ∠=．D 正确．故选：D ．7．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ的斜率之积为14，则C 的离心率为（）ABC ．12D ．13【答案】A【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】[方法一]：设而不求设()11,P x y ，则()11,Q x y - 则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a-=，所以()2221222114b a x ax a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C的离心率c e a== A. [方法二]：第三定义设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQ k k =-故14AP AQ PA AQ k k k k ⋅=⋅-=-，由椭圆第三定义得：22PA AQb k k a⋅=-，故2214b a = 所以椭圆C的离心率c e a == A.8．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（） A ．210x y --= B ．210x y +-= C ．210x y -+= D ．210x y ++=【答案】D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据 44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以 MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点 M 到直线l的距离为2d >，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =当直线MP l ⊥时，min MP =， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小． ∴()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．二、多选题9．已知直线l ：20kx y k -+=和圆O ：229x y +=，则（） A ．直线l 恒过定点()2,0B ．存在k 使得直线l 与直线0l ：220x y 垂直C ．直线l 与圆O 相离D ．若1k =-，直线l 被圆O 截得的弦长为27【答案】BD【分析】A 选项，化为点斜式可以看出直线恒过的点，B 选项两直线斜率存在且垂直，斜率乘积为1-，从而存在2k =-满足题意，C 选项直线过的定点在圆的内部，故可以判断C 选项；当1k =-时，先求圆心到直线的距离，再根据垂径定理求弦长【详解】直线:20l kx y k -+=，即()2y k x =+，则直线恒过定点()2,0-，故A 错误；当2k =- 时，直线:20l kx y k -+=与直线0:220l x y -+=垂直，故B 正确； ∵定点()2,0-在圆O ：x 2+y 2=9内部，∴直线l 与圆O 相交，故C 不正确：当1k =-时，直线l 化为20x y ---=，即x +y +2=0，圆心O 到直线的距离|2|22d ==，直线l 被圆O 截得的弦长为29227-=，故D 正确，故选：BD.10．平行四边形的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，已知其中有两个顶点到α的距离分别为1和3，那么剩下的一个顶点到平面α的距离可能是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】BD【分析】作出图像，分,B D 、B ,C 、,C D 到平面α的距离为1,3三种情况讨论即可. 【详解】如图，,B D 到平面α的距离为1,3，则,B D 的中点到平面α的距离为2，所以C 到平面α的距离为4，若B ,C 到平面α的距离为1,3，设D 到平面α的距离为x ，则13x +=或31+=x ，因为0x >，则2x =，所以点D 到平面α的距离为2，当,C D 到平面α的距离为1,3，同理得B 到平面α的距离为2，故选：BD.11．已知椭圆C ：22148x y +=内一点()1,1M ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是（） A ．椭圆的焦点坐标为()2,0、()2,0- B ．椭圆C的长轴长为C ．直线l 的方程为230x y +-= D．AB =【答案】BC【分析】结合椭圆概念易判断A 错B 对，设()()1122,,,A x y B x y ，由点差法化简可验证C 是否正确，联立直线与椭圆方程，由弦长公式可验证D 是否正确.【详解】因为椭圆方程为：22148x y +=，所以焦点在y 轴上，故A 项错误；28,a a ==2a =，B 项正确；设()()1122,,,A x y B x y ，则2211148x y +=①，2222148x y +=②，联立①②整理得212121212y y y y x x x x -+⋅=--+，又1212212,212x x y y +=⨯=+=⨯=，2121AM y y k x x -=-，所以2AM k =-，故直线l 的方程为()211y x =--+，即230x y +-=，故C 正确；联立22148230x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得261210x x -+=，121212,6x x x x +=⋅=，AB =，故D 项错误. 故选：BC12．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线C ：2222x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（）A ．曲线C 围成的图形有4条对称轴 B．曲线C 围成的图形的周长是 C ．曲线C 上的任意两点间的距离不超过6D ．若(),T a b 是曲线C 上任意一点，4318a b+-的最小值是11-【答案】ACD【分析】由圆的方程作出曲线C 图象，再由弧长公式，点到直线的距离公式对选项逐一判断，【详解】当0,0x y >>时，曲线方程可化为2222x y x y +=+，即22(1)(1)2x y -+-=，是以(1,1)为圆心，2为半径的圆的一部分，同理可作出其他象限内图象，如图所示，对于A ，曲线C 围成的图形有4条对称轴，分别是直线0x =，0y =，y x =，y x =-，故A 正确，对于B ，曲线C 围成的图形的周长是4242ππ⨯⨯=，故B 错误，对于C ，曲线C 上的任意两点间的距离最大值为426<，故C 正确，对于D ，(),T a b 到直线43180x y +-=的距离为54318a b d +=-，而(1,1)到直线43180x y +-=的距离为115，由圆的性质得曲线C 上一点到直线43180x y +-=的距离最小为1125-，故4318a b +-的最小值是1152-，故D 正确，故选：ACD三、填空题13．若双曲线2221x y m-=的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________.【答案】3【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】双曲线2221x y m-=的渐近线为：y xm=±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离：2211m d m==+，解得33m =或33m =-．故答案为：33±． 14．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为______ 【答案】52【分析】直接利用异面直线所成的角的求法及解三角形的知识即可求出结果．【详解】如图所示：在正方体体1111ABCD A B C D -中，连接BE ，所以异面直线AE 与CD 所成角，即为直线AE 和AB 所成的角或其补角．设正方体的棱长为2，由于AB ⊥平面BCE ，所以ABE ∆为直角三角形．所以22215BE + 所以5BE tan BAE AB ∠==5 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，涉及转化思想及运算求解能力，属于基础题型．15．已知抛物线24y x =，过点()3,0P 的直线与抛物线相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则2212y y +的最小值是_________. 【答案】24【分析】根据直线AB 是否存在斜率分类讨论，根据解方程、一元二次方程根与系数的关系，结合基本不等式进行求解即可.【详解】当直线垂直于x 轴时，123x x ==，221224y y +=；当直线不垂直于x 轴时，设直线为(3)y k x =-，显然0k ≠，把直线方程代入抛物线24y x =化简得：()22226490k x k x k -++=，则22121229644060,k k k x x x x ++==+=>>；所以12,0x x >，又()221212124824y y x x x x +=+≥=，当且仅当123x x ==时取等号，所以所求的值为24. 故答案为：24.16．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过坐标原点的直线交E 于P ，Q 两点，且22PF F Q ⊥，且2212PF Q S a =，228PF F Q +=，则E 的标准方程为__________.【答案】221168x y += 【分析】首先证明四边形12PFQF 为矩形，设12,PF m PF n ==，得到方程组 22222841122m n a m n c mn a ⎧⎪+==⎪+=⎨⎪⎪=⎩，解出即可. 【详解】连接11,PF QF ，因为12,OP OQ OF OF ==，所以四边形12PFQF 是平行四边形，所以12PF F Q =，21PF QF =，又22PF F Q ⊥，所以四边形12PFQF 为矩形，设12,PF m PF n ==则由题意得22222841122m n a m n c mn a⎧⎪+==⎪+=⎨⎪⎪=⎩，解得422a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，则2228b a c =-=，则标准方程为221168x y +=，故答案为：221168x y +=.四、解答题17．如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =.Rt AOC 可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角.D 是AB 的中点.(1)求证：平面COD ⊥平面AOB ； (2)求异面直线AO 与CD 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解(2)64【分析】（1）依题意可得CO AO ⊥，BO AO ⊥，即可得到BOC ∠是二面角B AO C --的平面角，从而得到CO BO ⊥，即可得到CO ⊥平面AOB ，从而得证；（2）求异面直线所成的角，需要将两条异面直线平移交于一点，由D 为AB 的中点，故平移时很容易应联想到中位线，作DE OB ⊥，垂足为E ，连接CE ，则∥DE AO ，所以CDE ∠是异面直线AO 与CD 所成的角，再由锐角三角函数计算可得.【详解】（1）证明：由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，BOC ∴∠是二面角B AO C --的平面角，又二面角B AO C --是直二面角，CO BO ∴⊥，又AO BO O ⋂=，,AO BO ⊂平面AOB ，CO ∴⊥平面AOB ，又CO ⊂平面COD ，∴平面COD ⊥平面AOB ．（2）作DE OB ⊥，垂足为E ，连接CE ，则∥DE AO ，因为CO AO ⊥，BO AO ⊥，OB OC O =，,OB OC ⊂平面OBC ，所以AO ⊥平面OBC ，所以DE ⊥平面OBC ，EC ⊂平面OBC ，所以DE EC ⊥，CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角，在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，∴225CE CO OE + 又132DE AO =∴2222CD CE DE =+=，∴在Rt CDE △中，36cos 422DE CDE CD ∠===． ∴异面直线AO 与CD 所成角的余弦值为为64． 18．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点()2,0M ，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点()1,1T -在AD 边所在的直线上.（1）求AD 边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD 外接圆的方程.【答案】（1）320x y ++=；（2）()2228x y -+=.【解析】(1) 直线AB 斜率确定，由垂直关系可求得直线AD 斜率，又T 在AD 上，利用点斜式求直线AD 方程；（2）由AD 和AB 的直线方程求得A 点坐标，以M 为圆心，以AM 为半径的圆的方程即为所求.【详解】（1）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为-3. 又因为点()1,1T -在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为()131y x -=-+，即320x y ++=. （2）由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得点A 的坐标为()0,2-，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为()2,0M .所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心.又()()22200222AM -++从而矩形ABCD 外接圆的方程为()2228x y -+=.【点睛】方法点睛：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．19．如图，正三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都为2，D 为1CC 中点.(1)求证：1AB ⊥平面1A BD ；(2)求二面角1A A D B --的正弦值.【答案】(1)见解析 10【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，写出相关点坐标及相关向量，得到1110,0AB BD AB BA ⋅=⋅=，即可证明；（2）计算平面1A AD 的一个法向量，而1(1,2,3)AB =-为平面1A BD 的法向量，利用面面夹角余弦值的公式求出角的余弦值，则得到面面角的正弦值.【详解】（1）证明：取BC 中点O ,连接AO ， ABC 为正三角形,AO BC ∴⊥,正三棱柱111,ABC A B C -∴平面ABC ⊥平面11BCC B 且相交于BC ,又AO ⊂平面ABC ，AO ∴⊥平面11BCC B ，取11B C 中点1O ,则11//OO BB ，1BB BC ⊥，1OO BC ∴⊥，1OO ⊂平面11BCC B ，1AO OO ∴⊥，故以O 为原点, 建立如图所示空间直角坐标系O xyz -,则(1,0,0),(1,1,0)B D -，根据上下底面为正三角形，易得113)3),(1,2,0),(1,0,0)A A B C -，1(1,2,3),(2,1,0)AB BD ∴=-=-，1(13)BA =-1110,0AB BD AB BA ⋅=⋅=,111,AB BD AB BA ∴⊥⊥,1BD BA B ⋂=，且1,BD BA ⊂平面1A BD ，∴直线1AB ⊥平面1A BD .（2）设平面1A AD 的一个法向量为(,,)n x y z =，(1,1,3)AD =--，1(0,2,0)AA =，则13020n AD x y z n AA y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1z =，得(3,0,1)n =-，由（1）得1(1,2,3)AB =-为平面1A BD 的法向量，设二面角1A A D B --的平面角为θ, 236|c |o ,28s ||n AB n AB n AB ⋅-===⋅, 2610sin 14θ⎛⎫∴=--= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴二面角1A A D B --1020．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验，设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为22110025x y +=，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、640,7M ⎛⎫ ⎪⎝⎭为顶点的抛物线的实线部分，降落点为()8,0D .观测点()4,0A 、()6,0B 同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【答案】（1） 216477y x =-+（[6,8]x ∈）；（2）观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为25和4时，应向航天器发出变轨指令.【解析】（1）先设出抛物线的方程，结合所经过的点求出方程；（2）先求解变轨时的点的坐标，结合两点间的距离可求.【详解】（1）由题意，设抛物线的方程为2647y ax =-+，因为抛物线经过点(8,0)D ，所以646407a -+=，解得17a =；联立22211002516477x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩可得64x y =⎧⎨=⎩，故航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程216477y x =-+（[6,8]x ∈）. （2）当6x =时，分别代入椭圆方程和抛物线方程均得到4y =，所以在观测点B 处测得离航天器的距离为4时，应向航天器发出变轨指令；因为()()22644025-+-=，所以在观测点A 处测得离航天器的距离为25时，应向航天器发出变轨指令.故观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为25和4时，应向航天器发出变轨指令.【点睛】本题主要考查圆锥曲线在实际生活中的应用，理解模型，求解模型是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养.21．直线l :y=kx ＋1与双曲线C:的右支交于不同的两点A,B ．（Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）22k -<<-，（2）【详解】(1)直线与双曲线方程联立消y 得关于x 的一元二次方程，根据判别式大于零，可求出k 的取值范围.(2)解本题的突破口是假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F(c,0)，则由FA ⊥FB 得(x 1－c)(x 2－c)＋y 1y 2＝0，即(x 1－c)(x 2－c)＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0，整理得：(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c)(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0再根据韦达定理解决即可.(1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线方程2x 2－y 2＝1后，整理得：(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0①解：依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故，解得－2<k<－2．(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由①式得②，假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F(c,0)，则由FA ⊥FB 得(x 1－c)(x 2－c)＋y 1y 2＝0，即(x 1－c)(x 2－c)＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0，整理得：(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c)(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0③把②式及c 62③式化简得5k 2＋6k －6＝0，解得 k 66+k 66-(－22)(舍去)．可得k 66+AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点． 22．如图，已知(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ →→→→⋅=⋅．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ．（i ）已知1MA λAF →→=，2MB λBF →→=，求12λλ+的值；（ii ）求MA MB →→⋅的最小值．【答案】(1)24y x =；(2)（i ）0；（ii ）16.【分析】（1）结合已知条件，设(,)P x y ，利用直接法求轨迹方程即可.（2）(i)首先设出直线l 的方程，然后联立直线l 与抛物线方程，利用韦达定理以及向量的共线关系即可求解；(ii)结合韦达定理以及距离公式表示出MA MB →→⋅，然后利用基本不等式即可求解.【详解】（1）设点(,)P x y ，则(1,)Q y -，且(1,0)F ，由QP QF FP FQ →→→→⋅=⋅得：(1,0)(2,)(1,)(2,)x y x y y +⋅-=-⋅-，即22(1)2(1)x x y +=--+ 化简得24y x =，故动点P 的轨迹C 的方程为：24y x =.（2）(i)设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，又21,M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，联立241y x x my ⎧=⎨=+⎩，消去x 得，2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，由韦达定理知，121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩ 由1MA λAF →→=，2MB λBF →→=得：1112y y m λ+=-，2222y y mλ+=-，整理得：1121my λ=--，2221my λ=--，故12122112m y y λλ⎛⎫+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--⋅2424m m =--⋅-0=．(ii) 212M M MA MB y y y y →→⋅=--221212(1)()M M m y y y y y y =+-++ 2224(1)44m m m m =+-+⨯+2214(2)4216m m ⎛=++≥+= ⎝．当且仅当221m m =，即1m =±时等号成立，所以MA MB →→的最小值为16．。