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运用换元法巧证不等式

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运用换元法巧证不等式
作者：陶兴模
来源：《数学教学通讯(高考数学)》2008年第04期
对于分式不等式问题，我们希望分母尽可能简单，然而，在一般情况之下，所给的分式不等式的分母都较为复杂，为了使分式中各个分母变得简单一些，我们可以将分式中的每一个分母作为一个整体来看待，分别用一个字母去替换它，这样，就可以将分母简单化，将整个问题化繁为简，化难为易，这种证明方法我们把它称为分母整体换元法，下面，我们利用整体换元法来证明某些分式不等式问题。

有备而来,自信而归

有备而来,自信而归作者：邬慧婷来源：《数学教学通讯(高考数学)》2010年第07期在高考前的那些日子，我曾经无数次想象过自己的临场表现——过于紧张而头脑一片空白。

突然闹肚子想上洗手间，题目很难以至于无从下手，等等。

一想起这些，我就忐忑不安，担心自己不能在高考中正常发挥。

现在。

虽然离高考已经渐行渐远。

但每当回想起那段经历，我仍可以负责任地告诉每一位和我当年有着同样忧虑的学弟学妹们：高三高强度的各种训验。

已经足以将你的神经锻炼到接近机械化的程度。

因此，只要一上考场，你最多紧张几分钟，便会投入到平时做题的状态中来!所以你们大可放心!话虽然这样说。

但考前充分的准备还是必不可少的，毕竟每个人的心理承受能力都不尽相同。

因此，我特将个人的一些心得体会拿来与大家分享。

众所周知，高考前学校往往会设置很多的模拟考试，其目的并不是让你多做题，而是让你模拟真实的高考。

那么在这些考试中，我们到底应该侧重于哪些方面，才能在高考中更加有把握呢?我认为可以从态度、速度和灵活度三个方面下手。

态度即对考试的重视程度。

很多人常常忽视模拟考试的重要性，认为它不过是一次练笔，因此考试时总不会尽全力，其实这会形成一种惰性。

倘若每次模拟考试你都认为它不重要，做题时懒懒散散。

慢慢地你就会忘记认真的感觉!到了高考的时候，虽然你意识到态度很重要了，可受到惯性思想的影响，你还是会习惯性地草草做题，或者越想认真便越慌乱。

因此，我建议大家把握好每次模拟考试的机会。

每一次都让自己兴奋起来，每一次都让自己对结果负责。

速度是考试中稳定发挥的关键。

可奇怪的是很多同学并没有意识到它的重要性。

也许大家认为，做得越慢，准确率就会越高，其实这是不对的!我举个例子，假设现在有A、B两位同学，A在考试时间内将试卷做得很慢。

每一道题都工工整整地做了一遍，可没有时间检查；B 则在1/3的时间内快速地将试卷做了一遍。

然后再花2/3的时间仔细做第二遍。

把刚才那些没算完的步骤或者答案补上。

2006《数学教学通讯·高考数学》(3)解答与提示

其中一ａｃ。ｒｃｓ
一
４即方程４。＋４ｂ一０有实根．有 △ 一口。ｘ一一故ｌ。
一
．ｓ（）一１即２一当ｉ２一ｎ，０
１（ —６ ≥ ０又由的最大值是４知对任意实数ｚ６４）．．
时ｓ最大．ｓ的最
．
０同样可由的最小值是一１可得 △ ．。。一口一４１６。（＋）
一
０由｛．
．
ｆ１＝０一一ｆ一士４，５一口．
ｌ △２ — ０
大值为
．
可解得｛一
ｌ一３ｂ．
８（）／（）６。６ａ１ｘ＋６．Ｉｚ一ｘ一（＋）ａ一６ｘ一（
ｓｎｌａ
从而解得ｚ∈ （
。．
）．
２．由已知两式结构的相似性．想到相应的函数联
，ｚ（）一ｚ一３。５。ｘ＋ｘ一（ｚ一１。２ｚ一１＋３令ｚ）＋（）．
一
．・ｚ＋ｙ＝１ｃａｏ口则。。＋２ｓ＋ｃ。＋ｏｓ
２ａ号∈ｏ１ｃ＋［４ｏｓ・・
所以ｚ＋ｙ。。的范围是：０≤ ｚ＋ ≤ ４。．６因为６一８一口一１ａ５。以６ｃ．＋ｃ，。２＋２所。是方程ｔ一８＋口一１ａ５。ｔ。２＋２— ０的两根。 △一（８。故－）
最值（＝（寺）一ｙ从得口取大是ｇ１一 ÷＋● 一－。而的值）。

借容斥原理解排列组合和概率题

借容斥原理解排列组合和概率题作者：蒋力来源：《数学教学通讯(高考数学)》2008年第05期容斥原理是解决有限集合计数问题的重要原理之一．事实上我们在利用加法原理解题时，就是先将问题分划成若干个两两互不相交的子集（分类讨论），再求各个集合中元素的个数．但是在许多问题中，将其划分为数个两两互不相交的集合并非易事，而容斥原理在一定程度上解决了这个问题．熟练地掌握容斥原理的运用对解决高中数学中一些较难的题目有一定的帮助．下面我们给出容斥原理的两种等价形式，即以下的定理1和定理2，其中表示有限集合A中的元素个数．当k=3时，A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C．定理2设A1，A2，A3，…，Ak是集合S的k个子集合，则由这两个定理，我们可以解决一些需要讨论多次的题目．用容斥原理来解题时，关键在于能否用集合语言或符号语言将所要解决的问题表示出来．一、在排列中的应用先来看一道老题.某市的4个化工厂，为了降低成本，适应市场变化，合并成一个化工集团公司，公司董事会由7名董事组成.产生的7名董事全部分到各工厂进行生产管理，每厂至少一名，有几种分法？解析：方法一——分情况讨论最后的分配方式有三种可能，（1）一个工厂4个，其余各1个；（2）一个工厂3个，一个工厂2个，其余各一个；（3）一工厂1个，其余各2个．可得最后结果为CCA+CCCCA+CCCCC=8 400种．方法二——容斥原理将这四个化工厂命名为A1，A2，A3，A4，设B1表示工厂A1无董事派入，B2表示工厂A2无董事派入，B3表示工厂）=47－4·37+C·27－C·17+C·0=8 400．由此可知，容斥原理主要用于多个独立条件共同作用的计数问题中．在高中数学中最常见的就是有限制的排列问题，下面，笔者列举数例．例19个人站成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，其中甲不在第一排左端，乙不在第三排的右端，则有几种排法？（禁位排列）解析：设A表示甲站在第一排左端，B表示乙站在第三排右端，则有A=B=A，A∩B=A，依题意有，满足条件的排法总=A－2A+A.与容斥原理相同的思路，我们还可以得到下面几个关系式．上述公式可以用韦恩图进行验证．例29个人站成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，其中甲不在第一排左端，乙不在第三排的右端，丙必须站在第三排，问此时有几种排法？解析：此题用分类讨论的方法可以得到解决，但灵活性较强．同时此题也可以用上面所给出的公式直接求解．方法一——分类讨论对丙的情况进行讨论，（1）当丙不在第三排右端时，排法先排丙有A种排法，再排剩下8人，按容斥原理（同例1）可得剩下8人的排法总数为A－2A+A，则这种情况的排法总数为A·（A-2A+A）=92 880；（2）当丙排在第三排右端时，分两种情况进行讨论：①当乙排在第一排左端时，有A=5 040种排法，②当乙不在第一排左端时有A·A·A=30 240种排法．综上，满足条件的排法有92 880+5 040+30 240=128 160种排法．方法二——直接套用公式设A1表示丙在第三排；A2表示甲在第一排左端；A3表示乙在第三排右端．依题意有二、在古典概型中的应用因为古典概型和排列组合是一脉相承的，所以容斥原理也可以应用于概率问题．对于独立事件来说有如下公式．设A，B是两相互独立的事件，P（A），P（B）表示A，B发生的概率，A+B表示A或B发生，A·B表示A和B同时发生，则有P（A+B）=P（A）+P（B）－P（A）·P（B）.对其进行推广，当A1，A2，A3，…，An为n个相互独立的事件，则有P（A1＋A2＋A3＋…＋An）=P（Ai）－P（Ai）P（Aj）+P（Ai）· P（Aj）P（At）+…+（-1）n-1P（A1）P（A2）P（A3）·…·P（An），由数学归纳法可得上述结论．和计数问题的思路一致，先将满足条件的事件写出，再套用公式即可解答概率问题．例3甲、乙、丙三人各进行一次射击，如果三人击中目标的概率都是0.6，求（Ⅰ）三人都击中目标的概率；（Ⅱ）至少有一人击中目标的概率．解析：（Ⅰ）P（A·B·C)=P（A）·P（B）·P（C）=0.63=0.216；（Ⅱ）P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）－P（A）P（B）－P（B）P（C）－P （A）P（C）+P（A）P（B）P（C）=0.6×3－3×0.62+0.63=0.936．例4如图1所示，电路中五个方框均为保险匣，A，B，C，D，E各个保险丝被烧断的概率分别为，，，，，且通电后保险丝是否烧断是相互独立的，则通电后不断路的概率为多少？[A][B][C][D][E]图1解析：若我们设A′，B′，C′，D′，E′分别表示A，B，C，D，E不被烧断这一事件．依题意得，P（A′）=，P（B′)=，P（C′）=，P（D′）=，P（E′）=，通电后不断路这一事件可写成（A′·B′＋C′）·（D′＋E′），由A′，B′，C′，D′，E′相互独立，则所求概率为P［（A′·B′＋C′）·（D′＋E′）］＝P（A′·B′＋C′）·P（D′＋E′）=［P（A′·B′）+P（C′）－P（A′·B′·C′）］［P（D′）+P（E′）－P（D′·E′）］=对于可以用容斥原理及相关推论解决的题来说，先准确地写出事件，再套用公式可以避免解题中过多的讨论．参考文献（1）杨振生著. 《组合数学及其算法》. 中国科学技术大学出版社，1997年11月.（2）叶军著. 《数学奥林匹克教程》. 湖南师范大学出版社，2003年6月.。

改头换面三角函数法

改头换面三角函数法作者：何海虹来源：《数学教学通讯(高考数学)》2008年第05期三角函数是初等函数中至关重要的函数，它和代数、几何、向量等内容有着非常密切的联系．三角函数的概念、性质、最值、图象、三角求值及三角变换等，均是高考数学的主要考查内容．三角函数本身也是解决高中数学中一些数学分支问题的重要方法之一，在很多非三角函数知识方面有着非常广泛和巧妙的应用．一、函数性质问题例1判断函数f（x）＝的奇偶性．解析：在判断某些函数的单调性、奇偶性、周期性时，往往可以把相应的函数巧妙地转化为三角函数，通过三角函数的性质与变换加以处理．对于此题，可以通过三角函数代换，将较复杂的f（x）的表达式用三角函数来表示，形式会简单明了，再利用反正切函数及正切函数的奇偶性能够很快得出f（－x）＝－f（x）．由条件知x∈R，故可设x＝tanα，α∈－，，则f（x）＝＝，因为α∈－，，所以secα＝＞0．进而可知f（x）＝＝＝tan＝tan. 所以f（－x）＝tan＝tan＝－tan＝－f（x），故f（x）为奇函数．点评：类似这样的函数奇偶性判断的题型非常常见， f（x）本身表达式较为复杂，化简又相当不便，还容易导致不必要的错误．若结合三角变换，可以非常巧妙地拓宽思维．二、不等式证明问题例2设三角形三边a，b，c满足a2＋b2＝c2．求证：当n≥3且n∈N时，an＋bn＜cn．证明：对于一些在给定特殊条件下需要证明的不等式问题，如果能够通过已知条件巧妙地进行三角代换，利用三角函数的知识来证明相应的不等式问题，通常会达到意想不到的效果．根据条件a2＋b2＝c2，可以把问题转化为三角函数问题，结合三角函数的取值情况加以分析与证明．设a＝ccosθ，b＝csinθ，0＜θ＜，因为0＜cosθ＜1且n≥3，所以cosnθ≤cos3θ＜cos2θ，同理sinnθ＜sin2θ，则an＋bn＝cn·（cosnθ＋sinnθ）＜cn（cos2θ＋sin2θ）＝cn，即所证的不等式成立．点评：在分析不等式或其他相关问题中，若碰到相应的条件是a2±b2＝r2等，经常可考虑通过三角代换，利用三角函数的相关知识来巧妙处理对应的问题．特别对于以上特别情况（n≥3且n∈N）的不等式问题，通过三角代换会达到非常好的效果．三、无理函数值域问题例3求函数y＝5＋的值域．解析：在求解无理函数值域问题中，许多同学往往无从下手．其实如果通过三角代换，结合三角函数的变换，往往可以将无理函数转化为有理函数．无理函数一旦换元成为三角函数后，很容易求最大值和最小值，无须利用其他的特殊技巧．对于此题，我们通过三角函数换元法，把无理函数转化为三角函数，通过三角函数的角度来讨论相关的无理函数的值域．x的取值范围是1≤x≤10，令x＝＋cosα，0≤α≤π，则y＝5＋＝5＋＝15cos＋3sin＝3sin ＋φ（0≤≤，φ＝arctan5）．因为arctan5≤＋φ≤＋arctan5，所以≤sin＋φ≤1，从而3≤y≤3，所求值域是y∈［3，3］．点评：一般在a≤x≤b的条件下，可以考虑三角换元法x＝＋cosα，其中α∈［0，π］，限定α的范围是为了保证x与α一一对应和化简方便．这样处理后，就可以将无理函数转化为相关的三角函数来处理，从而巧妙求解无理函数值域．四、代数式取值范围问题例4已知点P（x，y）是圆x2＋y2＝2y上的动点．（Ⅰ）求2x＋y的取值范围；（Ⅱ）若x＋y＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围．解析：在解决一些代数式或参数的取值范围时，往往可以结合已知条件转化为三角函数问题，再结合三角函数自身的取值范围的特征加以巧妙转化. 这是解决一些平面解析几何问题的常见方法．此题我们结合圆的方程与三角代换，可以转化为解决三角函数的问题，再通过对三角函数最值问题的分析与求解来探讨相关的代数式和参数的取值范围问题．（Ⅰ）由x2＋y2＝2y得x2＋（y－1）2＝1，设x＝cosθ，y＝1＋sinθ，0≤θ＜2π，则2x＋y＝2cosθ＋si nθ＋1＝sin（θ＋φ）＋1，所以－＋1≤2x＋y≤＋1；（Ⅱ）由于x＋y＋a＝cosθ＋sinθ＋1＋a≥0，即a≥－（cosθ＋sinθ）－1＝－sin（θ＋）－1，所以a≥－－1．点评：在解决一些平面解析几何中与圆、椭圆、双曲线、抛物线相关的代数式取值时，往往可以巧妙地对相应的条件进行三角代换，把问题转化为相应的三角函数问题，然后通过三角函数式的最值问题来解决相应的代数式或参数的取值范围问题．五、平面图形应用问题例5已知矩形ABCD的长AB＝a，宽AD＝b（如图1所示），求其外接矩形EFGH面积的最大值与对角线长的最大值．[H][D][E][A][C][G][a][b][B][F][α]图1解析：在解决一些平面几何的最值问题时，我们往往可以巧妙引入三角函数，通过三角函数解决相应的平面几何应用问题．对于此题，我们需要引入一个相应的角，把平面几何的问题转化为三角函数的问题，通过讨论相应的三角函数式来求解最值问题．设∠BAF＝α（0＜α＜），则∠EDA＝α，EA＝bsinα，AF＝acosα，DE＝bcosα，HD＝asinα，所以SEFGH＝（bsinα＋acosα）（bcosα＋asinα）＝a2sinαcosα＋absin2α＋abcos2α＋b2sinαcosα＝（a2＋b2）sin2α＋ab．由－1≤sin2α≤1知，当α＝时，面积最大值为（a2＋b2）．又EG2＝（bsinα＋acosα）2＋（bcosα＋asinα）2＝a2＋b2＋2absin2α，所以当α＝时，对角线长取得最大值为a＋b．例6如图2，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC 与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场的最大值与最小值．[Q][C][R][D][S][P][B][T][A]图2解析：连结AP，设∠PAB=θ（0，t∈（1，］，则sinθcosθ=（t2－1），所以S=4050t－+950，故当t=时，Smin=950（m2）；当t=时，Smax=14050－9000（m2）．点评：解数学应用题的关键是数学建模，而此题通过三角函数建模. 设定角α后就建立了矩形面积与对角线长度的函数，通过三角函数的最值问题来确定平面几何的相关问题，由三角函数的最大值求得所给问题的解．在高中数学中，三角代换的方法是最为常用的方法之一. 由于三角换元本身与三角函数不可割舍的联系，换元法在三角函数方面及其他数学知识中显得特别活跃，应用在解题中常常有意想不到的收获．涉及几何图形的最值问题往往也用三角函数处理．。

新课程背景下高考数学试题能力导向研究——基于SOLO分类理论的试题能力结构分析

研究结论和展望
１．研究结论
降低试卷的难度．新课标高考六年来．四个实验区高考数学试卷的单点结构水平试题比例在经过波动之后回归到１０％上下．根据上述命题走势．笔者认为
在１０岁时就能迅速算出１＋２＋ …＋９９＋１Ｏ０的故事．借此引导学生
研究一般等差数列的求和方法．但有的学生以前已经学过这种
当然，数学史不仅可以运用于导入，比如前面提到的在《勾
股定理》课中可以通过各种古老的证明方法贯穿于始终，也可以在学生注意力不集中时重新唤起学生的注意力．可见．数学
史在教学中的教育功能是多方面的．教师只有不断充实、完善，
提高自身修养，教育教学水平才能不断提高．才能上出更精彩、
更成功的课．
方法．所以对这个故事不屑一顾．遇到类似情况就需要教师灵活处理．若当做没听见继续按照备课内容讲课．这位学生的情
（上接第３页）
顶峰在Ｍ层次和Ｒ层次中移动．体现命题
者力图在顺应新课程改革的背景下．尝
保持相对稳定．均在５０％左右．经以上分析．笔者认为这种需要运用知识点和

高三数学复习课应把握好的三个基本维度

高三数学复习课应把握好的三个基本维度作者：徐小琴肖涵膑来源：《数学教学通讯·高中版》2024年第02期［摘要］知識的“广度”“深度”“厚度”是高三复习课应把握好的三个基本维度，也是对数学知识的高度概括、凝练与深化．高三复习课对已学知识查漏补缺，也为知识“再现”“再认识”“再创造”提供良好的保障，是知识内化、升华的重要阶段．文章以一堂“函数的对称性”的复习课为例，从知识“广度”的延伸、知识“深度”的挖掘、知识“厚度”的积淀进行研究，并倡导数学复习课应把握好“广度”“深度”“厚度”三个维度．［关键词］高三复习；函数对称性；广度；深度；厚度背景复习是高三数学教学的主旋律，它通过对已有知识的回顾，实现对高中数学知识的重建构、再完善，进而实现学生学习能力和核心素养的再提升［1］．高三复习课应注重对知识“广度”的延伸、对知识“深度”的挖掘、对知识“厚度”的积淀．三个维度的学习是全方位的学习，不仅对知识横纵的迁移有广度要求，对知识难易的深化也有深度要求，对知识积淀有厚度要求．对称性是函数重要的性质之一，函数问题的重要解题策略就是从性质出发，这样能简化形式复杂的函数问题．然而，在实际教学中，大部分高中生在“知识层面、表征形式和认知意识”上对函数对称性的理解存有偏差，在数学活动上也未能较好地提升函数应用技能和数学学科核心素养. 基于此，探讨教师“慧教”，促进学生“妙学”，对突破教学的重点和难点有积极意义．本文以一堂名师复习研讨课为例，从“广度”“深度”“厚度”三个维度对函数对称性的复习进行深入分析．教学过程简录1. 轴对称推证问题1 求证：y=f（x）的图象关于直线x=a对称？圳ｆ（ｘ）＝ｆ（2ａ－ｘ）．师：如何证明这个等价命题呢？请同学们先独立尝试完成证明，稍后我们再一起来研究．（学生独立尝试自主探究2分钟，但较少学生能呈现完整的证明过程.）师：刚刚看到很少有同学能完整证明上述命题，鉴于此，现在我们共同来研究这个等价命题的证明．要证明命题等价，即要分别证明命题的“充分性”和“必要性”．（学生跟随教师的思路解题，但整体反应与互动并不强烈，学生的参与度较低.）师：用a+x替换x，得到f（a+x）=f（a－x），这也能表示函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称（简图如图1所示）．评此对称性推证的过程，教师共用时13分钟，约占整堂课时长的三分之一，这是大多数中学数学教师采用的讲授方式．但是，理解此证明方法的学生或许不过半，一周后让学生再推证，能推证的学生可能屈指可数．究其原因是大多数教师过分注重对推证过程的演示，没有揭示推证方法的本质，忽略了对推证方法的引导．倘若教师在推证过程中，先引导学生去揭示推证方法的本质，这样会在一定程度上提升学生对“本质”的认知．抓住方法的本质，是推证命题充分性和必要性的关键．这需要教师对知识的“深度”进行挖掘．在深度教学中，教师必须超越具体知识和技能深入到思维层面，由具体的方法和策略过渡到一般性思维策略的教学与思维品质的提升，还应帮助学生学会学习，真正成为学习的主人［2］．深度教学还要求教师帮助学生深度联结经验与知识，引导学生深度体验学习过程，让学生在情境脉络中更好地理解知识，深度运用知识．2. 轴对称的应用例1 （2018年高考全国卷Ⅱ理科数学第11题）已知f（x）是定义域为（－∞，+∞）的奇函数，满足f（1－x）=f（1+x）．若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．－50 B． 0C． 2？摇？摇？摇？摇 D． 50师：接下来，我们一起感受巧用“对称性”的求解策略．大家来看看例1，根据题意，由函数f（x）是定义域（－∞，+∞）内的奇函数，我们能得到什么？生1：f（－x）=－f（x），f（0）=0．师：由已知条件f（1－x）=f（1+x）又能想到什么呢？生2：用x+1替换x，能得到等式f（－x）=f（x+2）=－f（x）．师：从f（－x）=f（x+2）=－f（x）可得到函数f（x）的周期是多少？生3：周期T=4，结合奇函数的性质，可以算出f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0．生4：再由函数的周期性，可以算出f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=0．师：大家回答得都很好，进而可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=f（49）+f（50）=f （1）+f（2）=2，选C．评此题要运算的项数不少，想快速解题并得到准确的答案，需要教师引导学生回顾与思考“函数的重要性质”——对称性和周期性，这是解决该题的突破口．在教学中，教师的引导可提升学生的元认知水平．此题突破后不难计算，但值得深思的是，教师仅仅是“为了讲题而讲题”吗？答案肯定是否定的．与学生探究完此题之后，教师应引导学生用恒等关联式进行总结，如f（mk+1）+f （mk+2）+…+f（mk+n）=0？摇（m∈R+，k∈Z，n∈N*），还要培养学生的应用意识和数学素养，引导学生在“做中学”中领悟恒等关联式的含义，即m表示函数的周期，k表示函数周期的倍数，n表示周期函数的循环节数．这个恒等关联式不仅可以运用于此题的解决，还可以运用于关于周期数的求和问题的解决．这就是知识“厚度”的积淀．例2 （2017年高考全国卷Ⅲ理科数学第11题）已知函数f（x）=x2－2x+a（ex-1+e-x+1）有唯一零点，则a=（）师：有了刚才例1的思路，继续看看这道题怎么解决，有没有同学找到了策略技巧？（沉默无声，无人发言，学生一直望着讲台.）师：可以先对二次项进行配方，得到f（x）=（x－1）2－1+a（ex-1+e-x+1），配方后发现，这与函数的对称性有关. 通过观察配方得到f（1+x）=x2－1+a（ex+e-x），f（1－x）=x2－1+a（e-x+ex），所以f（1+x）=f（1－x）. 现在大家能从对称性得到什么？师：对的，看来有些同学能通过例1的求解经验和我所给的提示发现巧用“对称性”就可以解决此题．但目前有些同学还不太熟悉“巧解”，因此“一题多解”也是一种有效的方法，现在我给大家提供另外两种解题方法：方法1，通过求导，判断函数的极值点进行解答，这需要同学们熟悉复合函数的求导方法；方法2，把函数有零点转化为方程有解，通过换元得到关于a的表达式（令为新函数），判断为偶函数，利用偶函数的性质以及数形结合求出答案．评巧用对称性可快速求解此题，当然，在实际应用中不可能所有学生都是熟知巧算的，因此教师在讲授时要“以生为本”，“一题多解”的“广度”延伸在复习课中应该大力践行．不同求解策略适应不同水平的学生，这样拓展求解策略的“广度”，能让不同水平的学生得到不同的发展．例3 若方程f（x+3）·f（1－x）=0有五个不相等的实数根，则这五根之和为（）A． 10 B． 5C．－10？摇？摇？摇？摇 D．－5师：同学们渐渐熟悉“对称性”这个性质了，我们再来看最后一道关于轴对称的题. 大家能不能尝试自行求解这道题？（学生纷纷说出自己的解题思路）师：看来大家现在对“函数的对称性”有了更深层次的认知了，解题的速效和正确率都提高了．研究完轴对称，接下来我们研究中心对称的相关知识．评此题除了选用学生提出的解题思路外，教师还可以根据实际情况，适当补充假设法、反證法等求解方法——假设法和反证法也是中学数学常用的求解方法，不同方法的拓展也是对知识“广度”的延伸．3. 中心对称定理的推证问题2 求证：y=f（x）的图象关于（a，0）中心对称？圳f（x）+f（2a－x）=0？圳f（a －x）+f（a+x）=0．师：此命题的推证由同学们课后完成，思考后还是无思路的同学，可以相互讨论或与我探讨交流．评从轴对称到中心对称，这是知识“广度”的延伸，拓展学生数学思维的同时，为学生的后续学习打下了基础．学生的数学学科核心素养是在教师的启发和引导下，通过独立思考或者与他人交流，最终自己“悟”出来的. 因此，在教学活动中，把握数学内容的本质、精心设计合适的教学方案就非常重要［3］．4. 中心对称定理的应用师：大家初看这道题，是不是感觉和刚才的关于轴对称的题差不多，大家先动笔算一算，看看有什么新的发现.（学生动手演算）师：对了，回答得很好.大家思考一下：轴对称的“对称性”与中心对称的“对称性”的区别在哪里？联系又在哪里？生7：轴对称的本质是关于直线对称，而中心对称的本质是关于点对称．评此题是关于中心对称的问题，与轴对称有紧密的联系，但在知识上又各有差异．将知识的共同点巧妙地串联起来，能激发学生的数学思维．在教学过程中，举一反三的教学方法值得借鉴和学习，教师应利用循序渐进的教学原则，引导学生加深对“知识模板”的理解，对已有知识进行“深度”研究．师：在知道中心对称定理的基础上，请大家看看这道题，能不能完成此题的解答？生8：理解题意后，我找到了解题的突破口是f（－x）=－f（x+4）这个关系式. 由它可得f（x）的图象关于点（2，0）中心对称．师：对，分析得很正确．接下来应该怎么考虑呢？师：整个解题思路很清晰，也是正确的．解决此题的关键是将关系式f（－x）=－f（x+4）转化为f（2－x）=－f（x+2），进而得出函数f（x）关于点（2，0）中心对称．评求解此题同样是对中心对称定理的应用，在前面解题经验的基础上，学生能较好地完成此题的求解．解题思路环环相扣，让看似枯燥的数学变得灵活生动．对于此题的拓展，教师应协助学生紧扣函数的对称性，共同探究等式的转化，使学生明白巧妙转化等式，得出函数的对称性是解决此类问题的关键所在．在旧问题上拓展新问题，积淀知识的“厚度”．例6 若函数f（x）=（x2－2x）sin（x－1）+x+1在［－1，3］上的最大值为M，最小值为m，则M+m=_______．师：课堂最后给大家留一道思考题，下节课我请同学们来分享自己的解题策略．给大家一点提示，联系今天我们所学的知识内容，大家在做题前应该先熟悉一下函数的重要性质．评此题作为课堂最后的思考题，具有一定的积极意义．解决此题需要学生回顾目前所学的知识内容，熟悉函数性质、导数求导法则和极值问题. 此题综合性较强，考查学生较高的基本技能与数学素养，将“广度”“深度”与“厚度”三者有机结合起来，为培养学生的数学学科核心素养提供了良好的保障．数学学科核心素养以数学基础知识和基本技能为载体，培养学生数学综合能力（外显表现），引导学生形成数学思维与数学态度（内隐特质）［4］．高三复习课应把握好的三个维度1. 把握知识的“广度”，融会贯通从研究轴对称到中心对称，师生在课堂活动中展现出了一定的示范作用，教师的教学环节完整、知识覆盖面广，将函数“轴对称”“中心对称”的推证和应用紧密地联系在一起，拓展数学教学的“广度”，该“广度”覆盖教材例题、模拟测试题和高考真题．（沉默无声，无人发言，学生一直望着讲台.）师：可以先对二次项进行配方，得到f（x）=（x－1）2－1+a（ex-1+e-x+1），配方后发现，这与函数的对称性有关. 通过观察配方得到f（1+x）=x2－1+a（ex+e-x），f（1－x）=x2－1+a（e-x+ex），所以f（1+x）=f（1－x）. 现在大家能从对称性得到什么？师：对的，看来有些同学能通过例1的求解经验和我所给的提示发现巧用“对称性”就可以解决此题．但目前有些同学还不太熟悉“巧解”，因此“一题多解”也是一种有效的方法，现在我给大家提供另外两种解题方法：方法1，通过求导，判断函数的极值点进行解答，这需要同学们熟悉复合函数的求导方法；方法2，把函数有零点转化为方程有解，通过换元得到关于a的表达式（令为新函数），判断为偶函数，利用偶函数的性质以及数形结合求出答案．评巧用对称性可快速求解此题，当然，在实际应用中不可能所有学生都是熟知巧算的，因此教师在讲授时要“以生为本”，“一题多解”的“广度”延伸在复习课中应该大力践行．不同求解策略适应不同水平的学生，这样拓展求解策略的“广度”，能让不同水平的学生得到不同的发展．例3 若方程f（x+3）·f（1－x）=0有五个不相等的实数根，则这五根之和为（）A． 10 B． 5C．－10？摇？摇？摇？摇 D．－5师：同学们渐渐熟悉“对称性”这个性质了，我们再来看最后一道关于轴对称的题. 大家能不能尝试自行求解这道题？（学生纷纷说出自己的解题思路）师：看来大家现在对“函数的对称性”有了更深层次的认知了，解题的速效和正确率都提高了．研究完轴对称，接下来我们研究中心对称的相关知识．评此题除了选用学生提出的解题思路外，教师还可以根据实际情况，适当补充假设法、反证法等求解方法——假设法和反证法也是中学数学常用的求解方法，不同方法的拓展也是对知识“广度”的延伸．3. 中心对称定理的推证问题2 求证：y=f（x）的图象关于（a，0）中心对称？圳f（x）+f（2a－x）=0？圳f（a －x）+f（a+x）=0．师：此命题的推证由同学们课后完成，思考后还是无思路的同学，可以相互讨论或与我探讨交流．评从轴对称到中心对称，这是知识“广度”的延伸，拓展学生数学思维的同时，为学生的后续学习打下了基础．学生的数学学科核心素养是在教师的启发和引导下，通过独立思考或者与他人交流，最终自己“悟”出来的. 因此，在教学活动中，把握数学内容的本质、精心设计合适的教学方案就非常重要［3］．4. 中心对称定理的应用师：大家初看这道题，是不是感觉和刚才的关于轴对称的题差不多，大家先动笔算一算，看看有什么新的发现.（学生动手演算）师：对了，回答得很好.大家思考一下：轴对称的“对称性”与中心对称的“对称性”的区别在哪里？联系又在哪里？生7：轴对称的本质是关于直线对称，而中心对称的本质是关于點对称．评此题是关于中心对称的问题，与轴对称有紧密的联系，但在知识上又各有差异．将知识的共同点巧妙地串联起来，能激发学生的数学思维．在教学过程中，举一反三的教学方法值得借鉴和学习，教师应利用循序渐进的教学原则，引导学生加深对“知识模板”的理解，对已有知识进行“深度”研究．师：在知道中心对称定理的基础上，请大家看看这道题，能不能完成此题的解答？生8：理解题意后，我找到了解题的突破口是f（－x）=－f（x+4）这个关系式. 由它可得f（x）的图象关于点（2，0）中心对称．师：对，分析得很正确．接下来应该怎么考虑呢？师：整个解题思路很清晰，也是正确的．解决此题的关键是将关系式f（－x）=－f（x+4）转化为f（2－x）=－f（x+2），进而得出函数f（x）关于点（2，0）中心对称．评求解此题同样是对中心对称定理的应用，在前面解题经验的基础上，学生能较好地完成此题的求解．解题思路环环相扣，让看似枯燥的数学变得灵活生动．对于此题的拓展，教师应协助学生紧扣函数的对称性，共同探究等式的转化，使学生明白巧妙转化等式，得出函数的对称性是解决此类问题的关键所在．在旧问题上拓展新问题，积淀知识的“厚度”．例6 若函数f（x）=（x2－2x）sin（x－1）+x+1在［－1，3］上的最大值为M，最小值为m，则M+m=_______．师：课堂最后给大家留一道思考题，下节课我请同学们来分享自己的解题策略．给大家一点提示，联系今天我们所学的知识内容，大家在做题前应该先熟悉一下函数的重要性质．评此题作为课堂最后的思考题，具有一定的积极意义．解决此题需要学生回顾目前所学的知识内容，熟悉函数性质、导数求导法则和极值问题. 此题综合性较强，考查学生较高的基本技能与数学素养，将“广度”“深度”与“厚度”三者有机结合起来，为培养学生的数学学科核心素养提供了良好的保障．数学学科核心素养以数学基础知识和基本技能为载体，培养学生数学综合能力（外显表现），引导学生形成数学思维与数学态度（内隐特质）［4］．高三复习课应把握好的三个维度1. 把握知识的“广度”，融会贯通从研究轴对称到中心对称，师生在课堂活动中展现出了一定的示范作用，教师的教学环节完整、知识覆盖面广，将函数“轴对称”“中心对称”的推证和应用紧密地联系在一起，拓展数学教学的“广度”，该“广度”覆盖教材例题、模拟测试题和高考真题．。

函数知识查漏补缺自测表

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函数知识查漏补缺自测表
作者：袁云通
来源：《数学教学通讯(高考数学)》2008年第04期
函数部分是高中数学的核心内容，也是历年高考的热点，函数是中学数学各重点知识的交汇点，数学思想、数学方法的集合点，初等数学与高等数学的衔接点，还是联系实际的切入点，通过分析近几年的高考试题，我们发现每年函数类试题分值均为30多分，由此，它的重要性可见一斑，笔者现将函数知识点和应该注意的问题列举如下，希望对同学们有所帮助。

新高考背景下开展高中数学有效教学

新高考背景下开展高中数学有效教学的实践研究杨㊀卫(江苏省沭阳高级中学㊀２２３６００)摘㊀要:面对新时期教育所面临的各种挑战和发展机遇ꎬ高考随之也迎来了新的改变ꎬ大部分地区为了适应新高考进行了有针对性的调整和转变ꎬ从而更好地适应如今教育体制的改革.在高中阶段ꎬ数学作为一门重要的基础性课程ꎬ面对新高考政策的变化ꎬ教师应该摒弃传统教学当中的不足ꎬ紧跟新时代的步伐ꎬ本文笔者结合教学实际ꎬ探索了新高考模式下的高中数学有效教学.关键词:新高考ꎻ高中数学ꎻ有效教学中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)３６－００４４－０３收稿日期:２０２２－０９－２５作者简介:杨卫(１９８９.１０－)ꎬ男ꎬ江苏省沭阳人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀随着社会和时代的发展ꎬ人们对于教学质量的要求也逐渐提高ꎬ非常重视学生综合能力的培养ꎬ高中阶段对于学生的成长而言是一个非常重要且关键的时期.新高考下教学策略地全面转变ꎬ高中数学教学也进行了一定的变革和发展.为了更好地寻找适合学生学习的教学方式ꎬ在高中数学的教学过程中ꎬ教师要积极地研究传统教学的一些不足之处ꎬ并根据这些不足进行改进和发展.在为高中学生进行教学中ꎬ教师需要不断对新政策进行研究ꎬ依据学生的变化来调整教师的教学方法ꎬ只有这样才能够让学生的学习更加符合实际教学需要ꎬ帮助学生更好的去适应社会发展.因此本文根据教学实际探索了基于新高考下的高中数学教学策略ꎬ希望能对数学教育工作者有所启示.１当前高中数学教学存在的问题１.１教师教学模式单一数学本身的学科特点就是带有一定复杂性和抽象性ꎬ尤其是高中阶段数学学科ꎬ需要学生掌握的数学知识变得更加复杂ꎬ更加困难.如果教师没有使用恰当的教学策略ꎬ很容易让学生对数学产生厌烦情绪ꎬ有时会使学生失去学习的自信心.在传统的教学模式下ꎬ教师一味地迎合应试教育的要求ꎬ让学生在题海战术的学习模式下进行数学知识的学习ꎬ不仅会让学生的内心产生巨大的心理负担ꎬ也没有办法让学生体会到数学这门学科所带来的乐趣.因此随着新高考制度的推行ꎬ不管是对于学生的学习ꎬ还是对于教师所开展的教学活动ꎬ都是一个新的契机ꎬ我们的最终目标是使学生能够在繁重的学业压力下轻松的学习.１.２课堂练习容量大高中数学的练习题比较大ꎬ且存在着许多偏离新课程标准的比较难的题目.考虑到数学作为基础学科来说ꎬ涉及到大量的练习量ꎬ而习题量很大造成部分学生有一定的畏难心里.高中数学练习存在着内容宽泛㊁数量多且具有一定难度的情况ꎬ占据很大一部分课余时间.高中数学的练习题设计方面ꎬ主要存在着单一化的重复性题目较多ꎬ且大部分题目偏离学生实际以及教学大纲ꎬ应用范围较为狭窄ꎬ背４４离新课标的要求ꎬ会造成浪费学生的学习时间.另外ꎬ单一化的练习形式ꎬ并不能使学生完整掌握各类题型.在应试教育的影响下ꎬ高中学生往往有很大的升学压力.在实际的教学实践中ꎬ部分练习设计过分重视数量而忽视质量ꎬ存在着严重的同质性㊁单一化的问题ꎬ并没有重视如何提升学生的数学实际应用ꎬ很多练习题目设计缺乏必要的规范性ꎬ也会造成学生的学习负担进一步加重ꎬ导致数学练习题完成效率偏低.１.３知识点讲解不够深入高中所开展的数学课程是帮助学生促进自身思维能力和运用能力的关键课程ꎬ但是如今所开设的数学学科当中ꎬ很多教师在进行教学活动的时候ꎬ并没有对其中的学习内容进行深入的挖掘ꎬ也没有重点进行强化训练ꎬ学生在课堂上的参与度较低ꎬ导致整节课堂依旧是以教师作为主体.２新高考模式下高中数学教学的有效策略２.１加强基础知识教学ꎬ帮助学生巩固和理解只有帮助学生建立稳固的基础ꎬ才能够促使学生去学习接下来的数学知识ꎻ只有学生掌握好牢固的基础知识ꎬ才能够更有信心地去面对接下来更为困难的数学学习ꎬ并进行创新.在给学生进行教学活动时ꎬ教师应该重视学生基础知识的学习和掌握ꎬ使学生能够在面对不同数学问题的时候ꎬ灵活地运用所学习到的知识ꎬ这样才能更好地激发学生对数学这门学科的喜爱和热情.为了实现这一点ꎬ首先ꎬ教师可以在每节课上课的时候ꎬ为学生留出一定的时间来巩固基础知识ꎬ由于教材当中很多概念都是由文字来呈现给学生的ꎬ因此学生在这部分的学习过程中很容易出现囫囵吞枣ꎬ只记住一个大概的意思ꎬ教师应该针对这种情况帮助学生巩固基础的概念和公式.其次ꎬ教材中有非常多的课后习题ꎬ大部分课后习题都是依据这节课的内容来进行设计的ꎬ这就需要教师能够重视起这部分练习题来让学生进行训练ꎬ使其对于知识进行巩固和理解.２.２运用合作探究ꎬ突出学生在课堂上的主体地位立足于新高考教学理念当中的高中数学教学ꎬ教师应该努力的改变传统的学习方式.传统教学中往往是通过教师讲授ꎬ学生被动听讲ꎬ或者教师一味地给学生分析知识内容ꎬ让学生来进行笔记的记录ꎬ但是这种学习方式会压制学生的思维能力.在新的教育理念下ꎬ教师应该摒弃传统教学的不足之处ꎬ积极运用探究式合作学习模式ꎬ教师和学生一起进行合作学习ꎬ将课堂的主导权归还给学生ꎬ并引导学生在与教师㊁同伴的合作过程当中发挥自身的智慧ꎬ促进团体的凝聚力ꎬ使每一位学生都能够在学习的过程当中达到教师提出的目标要求.在学习数学知识的同时ꎬ还能够更好地培养学生的责任心㊁合作意识以及道德素养ꎬ让学生能够在合作探究的过程中获得自尊和自信ꎬ从而提升高中课堂教学的效率ꎬ真正实现教师主导性和学生主体性的统一.２.３运用信息化教学ꎬ拓展数学课程资源通过互联网平台可以整合多种信息化教学资源ꎬ对于高中阶段的数学课程教学发展具有重要作用.一般情况下ꎬ数学教师展示课程内容的方式主要以示范讲解为主ꎬ对于数学教学内容的拓展引入和展示还缺乏较好的运用.而在信息化的数学课程教学模式中ꎬ教师可通过互联网途径引入多种数学课程知识ꎬ还可通过多种影音资料展示以及通过线上课程教学途径等ꎬ使学生在当前的数学课程学习中ꎬ可以从多个角度进行深度㊁拓展性学习.因此ꎬ在信息化教学的发展背景下ꎬ教师应重视该种教学方法㊁教学技术手段的应用ꎬ对教学观念进行全面创新.在信息化教学模式中ꎬ教师可通过整合互联网教学资源的方式ꎬ将数学课程的内容进一步拓展和优化.互联网背景主张教学资源之间的整合㊁传播与高效化应用ꎬ满足当前素质教育与全人教育的发展需求.教师在后续的数学课程内容制定与资源拓展中ꎬ应重视信息化教学资源开发与教学模式的有效创设ꎬ使学生可以在当前的信息化数学课程中得到较好的综合素养的培育.例如ꎬ在几何部分的内容教学中ꎬ教师可结合互联网资源引入拓展性几何题型ꎬ或者引入近几年高考高频考查的几何题型ꎬ使学生从数学课程的拓展性题型资源中ꎬ深入当前的数学课程学习.另外ꎬ教５４师在引入拓展性数学课程资源的过程中ꎬ还应在教学模式上进行相应的创新ꎬ使学生从不同的数学课程项目和实践活动中ꎬ锻炼自身的数学解题能力以及拓展自身的数学学科知识视野.２.４运用情境教学ꎬ提高学生整体学习效率在传统教学的开展过程中ꎬ如果仅仅是通过教师在课堂上利用一些基本的教具来进行演示和提高学生对于知识的学习ꎬ那么这种方式很难让每一位学生都能够清晰明了地去理解这个数学知识ꎬ降低教学的效果.新时代高中数学教师为学生开展的课堂教学ꎬ教师应该重视起学生手脑并用ꎬ为学生设计一些可以进行实际操作的教学场景ꎬ运用多元化的教学活动来将教学和活动内容相结合ꎬ使学生在一个真实的情境当中运用数学知识ꎬ从而感受数学知识的乐趣ꎬ提高学习的效率.高中数学练习设计还应结合实际来进行情境创设ꎬ符合学生的生活实际的数学题目能更好激发学生的学习兴趣ꎬ并能积极联系学生已经具备的知识体系内容ꎬ更好地通过教学将知识融入到情境过程中ꎬ体现出生活中的数学的重要性ꎬ帮助学生感悟到数学的魅力ꎬ并全面激发学生学习的积极性.比如ꎬ在进行立体几何的教学实践中ꎬ教师可以选择生活中的几何实物图ꎬ这样可帮助学生更快地掌握所涉及到的几何知识ꎬ从点线面三位一体到柱锥台球等知识ꎬ实现学生整体的数学学习效率的提升.２.５增加数学练习的趣味性ꎬ鼓励学生自主探究在新课标理念下ꎬ结合高中数学的特点ꎬ落实相应的知识能力㊁情感态度以及价值观的三维目标的统一ꎬ能更好地发挥出高中数学练习设计的目标ꎬ改变传统模式下不重视情感态度价值观的情况.在实际的数学练习环节ꎬ应重视加强情感表达的内容ꎬ发挥出数学练习的作用ꎬ更好地促进师生交流和沟通ꎬ并能进一步重视开展高质量的数学练习的多样化发展ꎬ实现学生的数学学习积极性全面提升.在实际教学实践中ꎬ应落实题目符合实际ꎬ情况多样化的题型ꎬ贴近学生的生活ꎬ并能融入相应的趣味性的内容ꎬ重视实现思维方式和思维结果的融合发展ꎬ更好地帮助学生来进行教学情境的创设ꎬ鼓励他们勇于探索数学学习的魅力.在实际教学实践中ꎬ高中数学练习设计应发挥答案多元化㊁一题多解等方面的作用ꎬ尽可能鼓励学生进行自主探究ꎬ为学生提供独立思维的锻炼ꎬ鼓励学生有效实现良好的自我发现㊁自主学习㊁自主探究ꎬ鼓励并更好地激发学生的思考ꎬ不断提升学生的交流和沟通能力.在培养数学思维的实践中ꎬ可以选择特定范围的题目ꎬ鼓励学生从自身出发来量身定做部分题目ꎬ重视培养学生发现问题并解决问题的能力ꎬ提升学生的综合实践能力ꎬ通过必要的交流及汇报工作ꎬ大大增强了学生的数学实践应用能力.在新高考背景下ꎬ高考数学不再出现文理的分卷ꎬ而是以统一的标准来进行考试ꎬ这对于传统教学来说是一个较大的冲击.作为高中数学老师ꎬ要能积极地将新高考的政策贯穿到学生的日常学习当中ꎬ注重学生综合能力的培养.随着新的教学理念的深入推进ꎬ在高中的数学课堂上ꎬ教师应该积极地运用恰当的教学模式来培养学生的综合能力ꎬ提高学生的学习水平ꎬ为未来的学习和发展奠定竖实的基础.参考文献:[１]张林.新高考背景下高中数学课堂如何培养学生的核心素养[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１ꎬ５０５(１２):４２－４３.[２]谭桂香.高考内容改革背景下的高中数学教学策略探究[Ｊ].考试周刊ꎬ２０２１(０６):７６－７７.[３]张起洋.新高考模式下高中数学的有效课堂教学方法研究[Ｊ].学苑教育ꎬ２０２１(１１):４５－４６.[４]吴春强.新高考背景下的高中数学课堂有效教学[Ｊ].数学大世界(上旬版)ꎬ２０２１ꎬ４５２(０４):６１.[５]李英刚.培养学生核心素养ꎬ构建高中数学高效课堂[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０２１ꎬ７４８(０３):７１－７２.[６]张园萍ꎬ孙亮萍.高中数学课堂教学发展学生数学核心素养的研究[Ｊ].学周刊ꎬ２０２１ꎬ４６５(０９):２１－２２.[责任编辑:李㊀璟]６４。

三角换元法，巧解高考题

数学思想方法存在并发生于数学知识教学的过程中数学学科核心素养的培育也是依赖于具体的知识建构过程的!那么很显然数学思想方法与数学学科核心素养之间就存在对应关系!数学特级教师曹培英将核心素养分为两个层面即数学思想方法层面和数学内容领域层面!可见数学核心素养是数学思想方法的上位概念!在完成教学内容的过程中重视学生数学思想方法的培养方能真正落实核心素养的培养!
生的应变能力$会使过程有趣!
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而在我们的实际教学中我们是不是在完成数学
知识的教学过程中利用数学思想方法去指导数学教学和数学解题在数学教学和解题的过程中去落实核心素养的培养呢于是就有了新的理解数学知识教学是根本是载体数学思想方法是工具数学核心素养是目的!
参考文献 *!+张文贵!数学思想方法与数学学科核心素养的关
关键字换元,三角,参数范围,最值
! 引言
三角换元在代数和几何中都有广泛的应用!通过换元可以减少未知元的个数和幂次!从而使复杂式子简化达到解题的目的!
" 考题示例
例!%#(#!年全国理科数学乙卷第!!题&设 7

浅谈高考数学客观性试题的几种解题策略

线的距离，速得可
，
例２同室４各写ｌ贺年卡先集中起来，后人张然每人从中拿１张别人送出的贺卡，４张贺年卡不同分则
配方式有（
（）６Ａ
很明显，样的就是以两焦点为直径的圆与该椭圆相这
注意等价转化谨防解题误区
（苏省上冈中学２４３）杨生涛江２７１
的值域为（５３一．］
维普资讯
《学教学通讯）０２年１（）数）０２２下重庆・６３・
浅谈高考数学客观性试题的几种解题策略
（勒一中６２０）张家杰弥５３０
作为高考数学试题的一种形式，择、空题既考选填查学生的数学基础知识、本技能的灵活运用能力，基又
交时的值，求得＝士可．所求为一故
、５，
）种．
（）９Ｂ（）１１Ｃ（）２３Ｄ
＜
分析：将问题转化为用数字１２３４组成ｌ在如，，．不千位，不在百位，不在十位，不在个位的没有重复数２３４字的四位数有多少个，可得所求为９种，（，则选Ｂ）
去，
四、般问题特殊化的原则一
二、象问题具体化的原则抽

高三数学教研活动报道(3篇)

第1篇近日，我校高三数学教研组举行了一次主题为“备战高考，提升教学质量”的教研活动。

本次活动旨在加强高三数学教师之间的交流与合作，提高数学教学质量，助力学生冲刺高考。

本次活动由高三数学教研组长王老师主持，全体高三数学教师参加。

一、活动背景随着高考临近，高三数学教学进入了冲刺阶段。

为了提高教学质量，帮助学生在高考中取得优异成绩，我校高三数学教研组决定开展本次教研活动。

活动内容主要包括以下几个方面：1. 分析高三数学高考题型及特点，针对性地进行教学研究；2. 分享高三数学教学经验，提高教师教学水平；3. 针对高三数学教学中的难点、重点进行研讨，共同攻克；4. 加强教师之间的交流与合作，形成良好的教学氛围。

二、活动内容1. 高三数学高考题型及特点分析活动伊始，王老师对高三数学高考题型及特点进行了详细的分析。

他指出，高考数学试题注重考查学生的数学思维能力、解题能力和实际应用能力。

针对这些特点，教师在教学过程中要注重培养学生的数学思维能力，提高解题技巧，注重实际应用。

2. 高三数学教学经验分享随后，各年级教师分别分享了他们在高三数学教学中的经验和心得。

老师们针对不同章节、不同题型，提出了自己的教学方法和策略。

如，针对三角函数章节，有的老师强调要让学生熟练掌握三角函数的性质；针对立体几何章节，有的老师建议采用“画图法”帮助学生理解空间几何问题。

3. 针对高三数学教学难点、重点研讨在研讨环节，老师们针对高三数学教学中的难点、重点进行了深入探讨。

如，在解析几何教学中，如何帮助学生提高解题速度和准确率；在概率统计教学中，如何让学生更好地理解概率和统计思想。

通过研讨，老师们找到了解决问题的方法，为今后的教学工作提供了有力支持。

4. 教师之间的交流与合作在活动过程中，老师们积极发言，畅谈自己在教学中的困惑和收获。

大家纷纷表示，通过本次教研活动，他们学到了很多宝贵的教学经验，对今后的教学工作充满信心。

三、活动总结本次高三数学教研活动圆满结束。

高三数学教研活动通讯稿

一、活动背景随着高考临近，高三教学工作进入了关键阶段。

为了进一步提升高三数学教学质量，加强教师之间的交流与合作，我校于2023年3月15日举办了主题为“聚焦高考，精准教学”的高三数学教研活动。

本次活动旨在通过集体备课、教学研讨、经验分享等形式，促进教师对高考数学命题趋势的深入理解，提高课堂教学效率，为学生的高考数学成绩保驾护航。

二、活动内容1. 集体备课本次活动首先进行了集体备课环节。

各备课组针对高三数学教材中的重点、难点和易错点进行了深入研讨，并结合近年来的高考真题，分析了高考数学命题的特点和趋势。

各备课组在集体备课的基础上，形成了统一的教学方案，为后续的教学工作奠定了坚实的基础。

2. 教学研讨在集体备课之后，各备课组分别进行了教学研讨。

研讨内容包括：（1）课堂教学中如何引导学生深入理解数学概念和原理；（2）如何针对不同层次的学生制定差异化的教学策略；（3）如何运用现代教育技术手段提高课堂教学效果；（4）如何通过课后辅导帮助学生巩固知识点。

在研讨过程中，教师们积极发言，各抒己见，分享了自己的教学经验和心得。

同时，针对教学中遇到的问题，大家共同探讨解决方案，形成了许多有益的共识。

3. 经验分享本次活动还邀请了具有丰富教学经验的数学教师进行经验分享。

他们结合自身教学实践，从以下几个方面进行了分享：（1）如何根据学生的实际情况调整教学进度；（2）如何激发学生的学习兴趣，提高课堂参与度；（3）如何培养学生的数学思维能力和解题技巧；（4）如何关注学生的心理健康，提高学生的学习动力。

分享环节结束后，与会教师纷纷表示受益匪浅，对今后的教学工作有了更加明确的方向。

三、活动成果本次高三数学教研活动取得了圆满成功，达到了预期目标。

以下是本次活动的主要成果：1. 教师们对高考数学命题趋势有了更加清晰的认识，为今后的教学工作提供了有力指导；2. 各备课组形成了统一的教学方案，为高三数学教学工作提供了有力保障；3. 教师们通过交流与合作，相互学习、共同进步，提高了自身的教学水平；4. 学生的学习兴趣和学习动力得到了有效激发，为高考数学成绩的提升奠定了基础。

一堂数学“母题”变式教学课的实录与感悟

一堂数学“母题”变式教学课的实录与感悟作者：王敏来源：《数学教学通讯·高中版》2020年第05期[摘要] 通过一堂导数与不等式的“母题”变式教学课的呈现，谈几点感悟，认为：“母题”变式教学体现了教师的主导作用和学生的主体地位，通过控制题量，有效实现了课堂教学减负，把学生的思维水平提高了一个层次.[关键词] 母题;变式;实录;感悟高考复习，从某个角度看，就是高考题型的研究和高考实战演习. 如何研究题型，让学生的实战演习更有效. 笔者以为，“母题”变式研究与训练，是一个不错的选择. 所谓“母题”变式，就是把一个典型例题作为“母题”，教师引导学生对其深入研究，并产生与之相关的系列题型，再让学生训练，这种从一道题引发数学研究的教学模式，不仅能让学生“跳出题海”，更能让学生感受自己编题（找题）自己做的乐趣[1]. 下文是笔者一堂导数与不等式的“母题”变式教学课的实录与感悟，供大家参考.教学实录1. 出示“母题”，引出复习课题母题：（2018-2019学年湖北省黄冈中学、华师附中等八校联考）已知函数h（x）=alnx+（a+1）x2+1（a<0），在函数h（x）图像上任取两点A，B，若直线AB的斜率的绝对值都不小于5，则实数a的取值范围是（）A. （-∞，0）B. -∞，■C. -∞，■D. ■，0教師提出问题：问题1：这道题主要研究什么？生1：利用导数研究不等式问题.问题2：如何解这道题？即这道题的解题思路是什么？生2：先对函数求导，将已知“直线AB的斜率的绝对值都不小于5”，去绝对值.然后构造函数f（x）=h（x）+5x，利用导数求得函数f（x）的单调区间，利用一元二次不等式恒成立问题的解法，求得a的取值范围.问题3：这道题主要考查什么？即考点是什么？生3：本题考查利用导数的工具性研究不等式恒成立问题.教师请学生根据刚才的分析自行完成，并展示. （这里略，答案：B）教师出示本节课复习的主题：导数与不等式问题.说明：教师对“母题”的选择必须具有新颖性、代表性，且紧扣考纲与考点.2. 集思广益，总结子题题型师：刚才的一道“母题”，体现了导数在不等式问题中的应用. 那么，利用导数能解决哪些不等式问题呢？请以小组为单位，加以探讨，5分钟后交流.学生分组讨论，教师巡视. 5分钟后请以小组委派一名学生交流.小组1：利用导数比较数值大小.小组2：利用导数解不等式.小组3：利用导数解决不等式恒成立问题.小组4：利用导数证明不等式.教师点评：同学们刚才集思广益后提出的四种问题，的确是导数与不等式的最常见的四种题型. 在高考真题和各地的模拟卷中，这四类问题频频出现，主要考查考生对导数的灵活应用，我们不仅要把握基本题型，更要把握具体的解题方法.？摇3. 分组组题，展示资料共享师：有道是“是牛是马，牵出来遛遛”. 空口无凭，有例才为证. 请同学们，继续以小组为单位，找出与本组提出题型有关的题目2至3个.教师继续巡视，及时回答学生组题时遇到的问题或疑惑. 20分钟后仍以小组为单位委派一名学生进行交流.小组1：刚才我们小组归纳的题型是利用导数比较数值大小，请看下面的3个题：？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇（1）已知函数f（x）=■，则f（2），f（e），f（3）的大小关系是______.（2）函数f（x）在定义域R内可导，若f（1+x）=f（3-x），且当x∈（-∞，2）时，（x-2）f′（x）<0，设a=f（0），b=f■，c=f（3），则a，b，c的大小关系是______.（3）f（x）是定义在非零实数集上的函数，f′（x）为其导函数，且x>0时，xf′（x）-f （x）<0，记a=■，b=■，c=■，则a，b，c的大小关系是______.？摇小组2：刚才我们小组归纳的题型是利用导数解不等式，请看下面的3个题：（1）已知函数f′（x）是函数f（x）的导函数，f（1）=■，对任意实数都有f（x）-f′（x）>0，则不等式f（x）<ex-2的解集为______.（2）定义域为R的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）>f′（x），且f （0）=1，则不等式■<1的解集为________.（3）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足x2f′（x）+1>0，f（1）=6，则不等式f （lgx）< ■+5的解集为________.小组3：刚才我们小组归纳的题型是导数与不等式恒成立问题，请看下面的3个题：（1）已知函数f（x）=ax3-3x+1对x∈（0，1]总有f（x）≥0成立，则实数a的取值范围是________.（2）已知a，b∈R，直线y=ax+b+■与函数f（x）=tanx的图像在x=-■处相切，设g（x）=ex+bx2+a，若在区间[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m2-2恒成立，则实数m有________.？摇（3）设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对任意的实数x都有f（x）=4x2-f（-x），当x∈（-∞，0）时，f′（x）+■<4x. 若f（m+1）≤f（-m）+3m+■，则实数m的取值范围是________.小组4：刚才我们小组归纳的题型是导数与不等式的证明，我们找到了下面两道题，供同学们参考：（1）已知x=1为函数g（x）=x（lnx-c）的极值点. 证明：当x>1時，g（x）<x2-2x.（2）已知函数f（x）=■-lnx. ①求f（x）的单调区间;②求证：ln■≤■.4. 点拨思路，学生独立完成师：同学们组的题目都紧扣题型，十分精彩，我发现有些题目还是最新出现的模考题，这说明我们同学身边的资料真的不少，开卷有益，它山之石，可以攻玉，这很好！同学们找题的目的是为了解题，那么这类问题该如何解答？利用导数解决不等式问题，归根到底是利用导数研究函数的单调性，进而再利用函数的单调性解决问题[2]. 因此，解决这些问题，一般都要构造函数，本质上看，这类问题考查的还是导数与函数的关系.师：好，今天的作业就是请大家完成刚才大家组的11个有关导数与不等式的题目，请注意：原则上独立完成，若确有困难，则允许合作讨论.三点感悟感悟1：数学习题课一般都是由教师提供题目，学生练习题目，学生只顾埋头做题，往往不知题从何来，不知题目所涉及的考点，这样的练习往往缺乏对题目的研究，是一种为解题而解题的复习模式，学生不能对题目产生理性的认识. 而从教师提供的“母题”出发，让学生自己去找题，要完成这个任务，学生务必明确题型，否则很难“对号入座”，于是将学生的“解题”转化为“题解”，从而把学生的思维水平提高了一个层次.感悟2：减负，是当今中小学教育界沉重的话题. 如何将学生从沉重的课业中解放出来，让他们“跳出题海”，是每位教师关心的问题[3]. 而“母题”变式教学模式，从很大程度上控制了题量，并允许合作完成，从而让他们练有所获，练有所成. 与此同时，也减轻了教师的负担，让学生自行找题，有时会更切合实际，比教师找题更有效. 自己选的题目自己做，这更能提高学生训练的积极性.感悟3：任何一堂课都应该体现教师的主导作用和学生的主体地位. 教师一讲到底，这种“填鸭式”的教学模式完全削弱了学生的主体地位，早已被大家摒弃. 而“母题”变式教学模式，教师俨然是教学的组织者和指导者，而不是“主宰”，探讨的问题虽然由教师引发，但问题的进展由学生决定，这种把学习的主动权交还给学生的教学模式，能使课堂气氛和谐，师生关系融洽，从而能达到较好的教学效果.参考文献：[1] 江卫军. 高中函数母题研究[D].苏州大学，2016.[2] 赵子兵. 利用导数处理与不等式有关的问题[J]. 中学数学研究，2011（12）.[3] 范爽. 关于“课业负担”的若干基本理论问题研究[D]. 沈阳师范大学，2013.。

柯西均值法证分式不等式的灵丹妙药

柯西均值法证分式不等式的灵丹妙药作者：陶兴模来源：《数学教学通讯(高考数学)》2008年第05期内容提要：本文将柯西不等式aibi2与均值不等式≤γ≤（γ≥1）联合使用，使一类分式不等式的证明变得十分简捷．这种证明方法操作程序固定，易于掌握．众所周知，柯西不等式（a+a+…+a）（b+b+…+b）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）2（ai∈R，bi∈R，ai=kbi时取等号，i=1，2，3，…，n）与均值不等式≤γ≤（ai∈R+，i=1，2，3，…，n，a1=a2=…=an时取等号，γ≥1）在不等式的证明中有着十分重要的作用．本文将这两个重要的不等式联合使用，使一类分式不等式的证明变得十分简捷．我们把这种证明方法称为柯西均值法．下面，我们用一些具体的例子来说明这种方法的操作程序．例1（第36届IMO试题的推广）设正实数a，b，c满足条件abc=1，n∈N*，试证：＋＋≥．证明：用a2nb2nc2n替换所证不等式左边的分子1，所证不等式变形为＋＋≥．由柯西不等式和均值不等式，·［a（b＋c）＋b（c＋a）＋c（a＋b）］≥［（bc）n＋（ca）n＋（ab）n］2≥32=（bc＋ca＋ab）2n．由此，得＋＋≥（bc＋ca＋ab）2n-1≥［3］2n-1=·32n-1=．所以，原不等式成立．例2（第28届IMO预选题）设a，b，c是三角形的三边，a+b+c=2S，试证：++≥n-2Sn-1（n∈N*）．证明：当n=1时，++≥显然成立．当n≥2时，由柯西不等式和均值不等式，得（b＋c）＋（c＋a）＋（a＋b）］≥a例3（第31届IMO预选题）设正实数a，b，c，d满足条件ab+bc+cd+ad=1，试证：+++≥．证明：由已知条件ab+bc+cd+ad=1，得（a＋c）（b＋d）=1，b+d=．由柯西不等式和均值不等式，得由此得+++≥（a+b+c+d）2=a+c+2≥·4=．例4（1984年全国高中数学竞赛题的推广）设xi∈R+（i=1，2，3，…，n），x1x2x3·…·xn=1，α≥2，试证：+++…++≥n．证明：由柯西不等式和均值不等式，得＋＋＋…＋＋≥（x1＋x2＋x3＋…＋xn）α-1≥（n）α-1==n．例5设xi∈R+（i=1，2，3，…，n），xi=a，α≥2，试证：+++…+≥．证明：由柯西不等式和均值不等式，得［（a－x1）＋（a－x2）＋（a－x3）＋…＋（a－xn）］≥x2=（x1+x2+x3+…+xn）α=aα……（*）其中，（a－x1）＋（a－x2）＋（a－x3）＋…＋（a－xn）＝na－（x1+x2+x3＋…＋xn）＝（n－1）a．将此结论代入（*）式整理得+++…+≥．例6设正实数x1，x2，x3，…，xn满足条件x1x2x3…xn=1，α∈R且α≥3，n∈N且n≥3，试证：+++…+≥，其中∑i表示从x1，x2，x3，…，xn中任取n-2个作乘积，所有可能情况的积之和，共有n-1个项（i＝1，2，3，…，n）．证明：xxx·…·x替换所证不等式左边分子的1，所证不等式变形为+++…+≥①设①式左边为M，则由柯西不等式和均值不等式，得M（x1∑1＋x2∑2＋x3∑3＋…＋xn∑n）≥ （x2x3x4…xn）+（x1x3x4…xn）+（x1x2x4…xn）+…+（x1x2x3…xn-1）2≥（x2x3x4…xn+x1x3x4…xn+x1x2x4…xn+…+x1x2x3…xn-1）α-1②其中，x1∑1+x2∑2+x3∑3+…+xn∑n=x1（+++…+）+x2（+++…+）+x3（++…+++）+…+xn-1（++…++）+xn（+++…++）=（n-1）（x2x3x4…xn+x1x3x4…xn+x1x2x4…xn+…+x1x2x3…xn-1）．将此结果代入②式，得M≥·（x2x3x4…xn+x1x3x4…xn+x1x2x4…xn+…+x1x2x3…xn-1）α-2一般地，对于形如+++…+≥p的分式不等式，当α≥2，Ai>0，∑i>0，i=1，2，3，…，n，k>0，p>0且∑1+∑2+∑3+…+∑n=k（A1+A2+A3+…+An）时，都可以考虑利用本文提供的柯西均值法去思考它的证明.。

高三数学讲座通讯稿

高三数学讲座通讯稿第一篇：高三数学讲座通讯稿方鹏骞教授《国家自然科学基金申报指导》专题讲座9月30日下午五点，在同学们热烈的掌声中，中南大学（原铁道学院）校友——陈永东教授专题讲座在铁道学院世纪楼圆满结束。

数学院领导高度重视这次专题讲座，数学院院长刘再明教授，数学院党委书记颜兴中同志等相关领导以及原铁道学院87级、88级、89级校友参加了本次专题讲座。

最后，数学院党委书记颜兴中同志做了总结发言，并代表院领导对校友们表示真挚的感谢。

数学院统计系学生会2011年9月30进行了题为《电机的历史现在与未来》的精彩讲座，同学及酒泉职业技术学院机电系同学参加讲座本次讲座由教务处付尚军老师主持.讲座以讲故事的形式提高了同学们的学习兴趣，分别以为主旨来展开讲座内容涉及 , 并向同学们讲述了21世纪随着其他科技的发展推进了电机的发展，们的启迪大有裨益，“没有硝烟的隐形战争”于校区行政楼报告厅为师生作了以“语言视角下的文化竞争”为主题的精彩讲座。

校区党委副书记杨福章教授主持了讲座。

智取“高考数学”，为莘莘学子助力——高三数学复习方略讲座 2018年4月19日下午，我校教研室特邀有着多年丰富的高考教学经验的数学教研组组长吉新平老师，在我校实验楼四层大会议室，为正在冲刺阶段的高三学生做了关于《》主题的精彩讲座，教研室主任王志强主持了会议，全体高三学生悉心倾听了讲座，此次讲座对即将面临高考的学生具有非凡的指导意义！本次讲座分为三个部分，吉老师利用丰富的多媒体动画技术，生动形象的演示了数学理论，浅显易懂的揭示了数学的奥秘，结合高考真题细致的讲解数学做题思路和技巧，吉老师在讲座中指出学生往往由于缺乏对数学问题本质的认识,常常事倍功半,在重复与茫然的训练中效率不高.因此,教师的指导作用应该体现在“讲清数学道理,揭示数学本质”上。

吉老师结合自己的实践探讨提出了有效提高高三学生的数学成绩的三个途径:一是要求每一个学生建立错题集,二是让能力强的学生解题后进行反思,三是针对学生实际,教学内容.要随时调整。

高三数学组两课活动简讯

高三数学组“两课”活动简讯
在促进学生核心素养发展的前提
下，为了进一步提高我校本科升学率，
促进高三数学学科的备考工作，2018
年3月7日，我校高中数学组教师齐聚
高三年级，本学期的高三数学“两课”
活动正式拉开帷幕。

本次活动由谢华和雷雪珍两位老
师就高三二轮复习中的“试卷评讲”课
型进行专题研究，以“同课异构”的形
式展开教研。

在课堂上，谢华老师充分发挥自己的教育教学智慧，根据文科生的学情由程序框图和立体几何两条线引
导学生动手实践、自主探索，促进学生
展开数学思考，真正意义上实现了学生
的自助和知识的过手。

而雷雪珍老师则
根据理科生的学习特点，选择了高考中
的两道经典题型采用一题多解的模式
对学生循循善诱，以点带面引导学生思
考，大大的提高了学生的学习积极性和
主动性。

课后，数学组全体教师在高三年级办公室进行了集体评课议课活动。

参与听课的每位教师都对两位老师进行了比较详细的点评。

随后各备课组长也发表了备课组的想法，并建议高三年级的老师整合大家的意见和建议，修改和完善自己的教学设计，在考纲引领下深挖教材资源，继续磨课，打造更加高效、更加完善的优质课堂。

最后，牟松主任就本次活动做了总结性发言，并对两位执教教师提出了更加殷切的希望。

高三数学备课组供稿。

数学书刊书名大全

数学书刊书名大全数学作为一门基础学科，对于培养逻辑思维能力和解决问题的能力有着重要的作用。

因此，对于学生和数学爱好者来说，选择适合自己的数学书刊是很重要的。

本文将为大家介绍一些数学书刊的名称，希望能够对您的选择有所帮助。

1.《数学乐园》《数学乐园》是一本面向小学生的数学题解决类杂志。

它以趣味性和可玩性为特点，通过寓教于乐的方式帮助孩子们培养数学兴趣和学习能力。

2.《乐学数学》《乐学数学》主要面向初中生，提供了大量的数学习题和解析，既有基础知识的讲解，又有拓展和应用题，帮助学生夯实基础并拓展思维。

3.《高中数学通讯》《高中数学通讯》是一本面向高中生的数学类杂志，内容涵盖了高中数学的各个重要知识点，同时还提供了一些高考数学试题的解析和讲解，帮助学生复习和备考。

4.《数学建模与实践》《数学建模与实践》是一本专门讲解数学建模理论和实践方法的专业书刊。

它介绍了数学建模的基本思路和步骤，并提供了一些具体的实例和应用案例，适合对数学建模感兴趣的学生和研究者阅读。

5.《数学史》《数学史》是一本介绍数学史上重要人物、重要理论和重要事件的专业书刊。

它通过深入浅出的方式讲解数学的发展历程，帮助读者更好地理解数学的本质和意义。

6.《数学思考》《数学思考》是一本专门讲解数学思维方法和解题技巧的书刊。

它提供了一些经典的数学问题和解题方法，帮助读者培养数学思维和解决问题的能力。

7.《数学竞赛》《数学竞赛》是一本介绍数学竞赛知识和经典题目的杂志。

它涵盖了各个年级的数学竞赛试题和解析，同时还提供了一些解题技巧和竞赛经验，适合参加数学竞赛的学生阅读。

8.《数学教学研究》《数学教学研究》是一本专门讨论数学教学问题和教学方法的学术刊物。

它介绍了一些数学教学的理论和实践经验，并提供了一些教学案例和课堂活动设计，帮助教师改进数学教学。

总结起来，数学书刊的种类繁多，覆盖了各个年级和不同领域的数学内容。

选择适合自己的数学书刊，能够更好地满足学习和兴趣的需求，帮助我们更加深入地理解和掌握数学知识。