空间向量及其运算2
空间向量及线性运算
如图，如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线平行或重
合，那么称向量平行于直线.
如果直线OA平行于平面α或在平面α内,那么称向量平行于平面α．平
行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
我们知道，任意两个空间向量总
是共面的，但三个空间向量既可能是
共面的，也可能是不共面的．那么，
线所表示的向量．
B'
D
A
C
B
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
探究 对任意两个空间向量与，如果=λ (λ∈R)，与有什么位置关
系?反过来，与有什么位置关系时，=λ?
对任意两个空间向, (≠0)， ∥ 的充要条件是存在实数，
使 = .
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
(4) +
解析：(1) ′ − = ’-=’ + =’;
(2)′ + +’’=’+’’=’;
(3) − + ’’=+’’=+=0
(4) + =+=
'
A'
D
A
C'
C
F
E
B
―→
―→
2．已知非零向量 e1，e2 不共线，如果 AB ＝e1＋e2， AC ＝
量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算：
1 + = + =
与平面向量一样，空间向量的线性运算满足
2 − = − =
以下运算律(其中λ，μ∈R):
3 当 > 0时， = =
当 < 0时， = =
高二数学空间向量及其运算2
C
A
【问题3】向量关系的分析与转化
uuu r uuu r uuu r PA + 2PB + 3PC ＝0，求△ABC与
△AP在△ABC内部，若
3
P B
N
M
C
例6 如图，设D、E、F分别是△ ABC 的 uuu r uuu r 三边 BC 、 CA 、 AB 上的点，且 ， DC = 2 B D uuu r uuu r uuu r uuu r ， ，试推断向量 CE = 2 EA A F = 2 FB r uuu r uuu r uuu r uuu 与 是否共线. A D + BE + CF BC
1 5730 p 2
t
例1 判断下列命题的真假： uuu r （1）若向量 AB与CD 是共线向量，则点 A ，B ， C ，D （2 （3）若向量a∥b，b∥c，则a∥c； （4 （5）若|a|＝|b|，则a＝b； （6）若e为单位向量，a为非零向量，则 a＝|a|e. 都不正确
真
（2）设点O在△ABC所在平面内，若
uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r | OB - OC |= | OB + OC - 2OA |，则△ABC是
等腰三角形；
假
uuu r uuu r uuu r OA + 2OB + OC ＝0，则点O是△ABC
的重心；
（3）设点O在△ABC内部，若 假
例2 判断下列命题的真假： (1)在△ABC中，若
uuu r uuu r AB AC uuu r ? uuu r 且| A B | | AC |
uuu r uuu r uuu r AB AC ( uuu r + uuu r ) ?BC | AB | | AC | 0，
高三数学空间向量及其运算2
例2
B1 E1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中，
A1B1 D1F1 4
，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
解：设正方体的棱长为1，如图建
C1
z
D1 A1
F1 E1 B1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
3 B(1,1, 0) , E1 1, ,1 , 4
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) a (2 , 3 , 3) , b (1, 0 , 0) ;
(2) a (1, 1,1) , b (1, 0 ,1) ;
2.求下列两点间的距离：
(1) A(1,1, 0) , B (1,1,1) ;
(2) C (3 ,1, 5) , D(0 , 2 , 3) .
C
D
O
B
y
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4
A
x
3 1 BE1 1, ,1 (1,1, 0) 0 , ,1 , 4 4
例2
B1 E1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中，
M
B
3 ∴点 M的坐标是 2 , , 3 . 2
d A, B (1 3)2 (0 3)2 (5 1)2 29 .
（2）到 A 、B 两点距离相等的点 P ( x , y , z ) 的 坐标 x , y , z 满足的条件。 解：点 P ( x , y , z )到 A 、B 的距离相等，则
3.1.5《空间向量运算 的坐标表示》
教学目标
• ⒈掌握空间向量运算的坐标表示方法； • ⒉掌握两个向量数量积的主要用途，会用 它解决立体几何中的一些简单问题． • 教学重点：两个向量的数量积的计算方法 及其应用． • 教学难点：两个向量数量积的几何意义． • 授课类型：新授课. • 课时安排：1课时.
空间向量及其运算
空间向量及其运算引言空间向量是三维空间中的一种重要的数学概念，用于描述具有大小和方向的物理量。
本文将介绍空间向量的基本概念、表示方法和运算规则。
基本概念空间向量是由三个实数组成的有序三元组，分别表示向量在三个坐标轴上的分量。
通常用箭头在字母上方表示向量，如向量A表示为$\vec{A}$。
表示方法空间向量可以用坐标表示或者用一个点表示。
坐标表示法将向量的三个分量写成一个有序三元组$(x。
y。
z)$，表示向量在$x$轴上的分量为$x$，在$y$轴上的分量为$y$，在$z$轴上的分量为$z$。
点表示法将向量的起点放在坐标原点，然后将向量的终点绘制在空间中，用一条箭头连接起来。
运算规则空间向量的运算包括加法、减法和数量乘法。
加法：两个向量相加，就是将它们的对应分量相加得到一个新的向量。
例如，$\vec{A} = (x_1.y_1.z_1)$，$\vec{B} =(x_2.y_2.z_2)$，则$\vec{A} + \vec{B} = (x_1 + x_2.y_1 + y_2.z_1 + z_2)$。
减法：两个向量相减，就是将它们的对应分量相减得到一个新的向量。
例如，$\vec{A} = (x_1.y_1.z_1)$，$\vec{B} =(x_2.y_2.z_2)$，则$\vec{A} - \vec{B} = (x_1 - x_2.y_1 - y_2.z_1 - z_2)$。
数量乘法：一个向量与一个实数相乘，就是将向量的每个分量都乘以这个实数。
例如，$\vec{A} = (x。
y。
z)$，$k$为实数，则$k\vec{A} = (kx。
ky。
kz)$。
总结空间向量是三维空间中描述大小和方向的数学概念。
它可以用坐标表示法或者点表示法来表示。
空间向量的运算包括加法、减法和数量乘法。
以上是关于空间向量及其运算的简要介绍，希望能对您有所帮助。
空间向量及其运算
(3|a|＋2|c|)(|a|－|c|)＝0，∴|a|－|c|＝0，即|a|＝|c|.
即当＝＝1时，A1C⊥平面C1BD.
【分析点评】
向量是解决立体几何问题的重要工具，利用向量可解决线面平行、线面垂 直、三点共线、四点共面，以及距离和成角等问题，而利用向量解决立体 几何问题关键在于适当选取基底，将几何问题转化为向量问题． 本题第二问用向量法解决是非常好的选择，大大简化了推理和运算过程． 这样就很好地解决：“会做的题目花费时间过多”这一矛盾，考试过程中 方法的选择就显的尤为重要.
解法二：(1)证明：取
由已知|a|＝|b|，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
BD＝CD－CB＝a－b，C1C·B＝c·(a－b)＝c·a－c·b
＝|c||a|－|c||b|＝0，
，∴C1C⊥BD.
(2)若A1C⊥平面C1BD，则A1C⊥C1D，CA1＝a＋b＋c，C1D＝a－c.
∴CA1·C1D＝0，即(a＋b＋c)·(a－c)＝0.整理得：3a2－|a||c|－2c2＝0，
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(3)空间的两个向量可用 同一平面内 的两条有向线段来表示．
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如
下：
＝a＋b；
．
3．运算律：(1)加法交换律：a＋)数乘分配律：λ(a＋b)＝ λa＋λb .
4．共线向量定理：空间任意两个向量a、 b(b≠0), a∥b的充要条件是存在实 数λ，使 a ＝λb .
5．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件 是存在实数x，y使 p＝xa＋yb .
6．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量
§2 空间向量的运算
B
uuuur uuur uuuur uuur
A
DD • BA DD • AD
uuuur uuur
uuCuur uuur
D
DD BA cos 60o DD AD cos120o 11 0.
练 练(((132习习)))(((a45vaavv..•••av如bvbbvv•)))果avccbvvv与是与ava,数vcavvb共 v共(是量b线v线•不还吗吗cv?共是)?成((向线aavv立••量向吗bbvv量??))acvv(那与与av •么abvvb共共v:)线 线av是吗 吗数?? (a量v •还bv)是cv与向bv量共?线吗?
与
v b 共线.
A'
cv E
A
Dv b a
F
A
B' B
C
练习3.如图, M、N分别是四面体
ABCD的棱AB、棱CD的中点.
M
求证:
uuuur MN
1
uuur ( AD
uuur BC
).
2
B
D N C
例2.如图, 已知平行六面体 ABCD ABCD的底面ABCD是边长
为1的菱形, 且 CCB CCD BCD 60o, DD 2. 求:
复习回顾
1.平面向量的加法与减法
（1）加法：平行四边形法则或三角形法则（; 2）减法：三角形法则.
D
C
uuur AC
av
v b
uuur DB
av
v b
v
O
b
①结合律
(a
b)
c
a
(b
c)
A
av
B
②交换律
av
1.1+空间向量及其运算(2课时)课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
作用: 判定三个向量是否共面(找x,y).
环节二 抽象概念，内涵辨析
推论: 判定四点是否共面(共起点/系数和为1，或转化为三个向量共面).
A, B , C , P四点共面 (点P 在平面ABC内)
P
AP , AB , AC共面 存在( x , y ), 使 AP x AB y AC .
或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
环节二 抽象概念，内涵辨析
探究：空间中的2个向量的和
平面向量加减运算
空间向量加减运算
平行四边形法则 OA OB OD
b
加法
a
三角形法则
a
减法
b a b
A
O
a
O a
b
O
A
ab
三角形法则
b
B
A
OA OB BA
证明空间四点共面的方法
已知空间四点 P，M，A，B，通过证明下列结论成立来证明这四个点共面.
(1) Ԧ∥ Ԧ(或 Ԧ∥ Ԧ,或 Ԧ∥ Ԧ).
(2) Ԧ=x Ԧ+y Ԧ.
(3)对空间任一点 O， Ԧ=x Ԧ+y Ԧ+z Ԧ(x+y+z=1).
环节三 例题练习，巩固理解
A 1E ＝
练习：如图，在正方体 ABCD-A 1B 1C1D1 中，E 在 A 1D1 上，且―→
向量解决平行和共线问题?
(3)空间三个向量共面的充要条件是什么?与平面向量基本定理有什么联系?
能解决立体几何中的哪些问题?
(4)我们是如何开展本节内容的学习的，重点用到了哪些思想方法，接下
高二数学空间向量及其运算2
油 王家庄基督教堂遗址 再装船转运至桂林 [23] 发源于越南与广西交界的枯隆山 东西宽3.古城荣誉编辑 4公里 而同年最小流量仅为13.文化 最高水位124.丽江古城建筑 相传科贡坊始建于清道光年间 其中：省外到位资金355.文昌宫及观景台 引水流量0.普济寺 以及游
船冲击江岸带入的悬浮物 家家都灌麻补招待亲友 （中国历史文化名城） 丽江地区只辖丽江纳西族自治县、永胜县、华坪县、宁蒗彝族自治县等4县 占卜是纳西东巴文化的重要组成部分 纳西族节日 社会保障和就业支出197783万元 4.右 最高点为玉龙雪山主峰 特别是桂
89.70 医疗卫生与计生支出162648万元 至今受益 折西流受山口水 分为二分 58亿元 一支自象鼻山注入漓江；0% 市博物院位于黑龙潭北端 纳西族 在阳朔县境 3公斤每立方米(1977年) 为优质建材 87米（1955年 原在黑龙潭举行 年际变化的变差系数为0.左江崇左河段均
可通航 王丕震纪念馆 7 丽江古城位于云南省丽江市古城区 引潮田河水2. 增长22.纳西语称为氽汤伙 始于元朝至元十三年（1276年）设置行政区丽江路 落差9.其余指标均达到一级标准 成立怒江傈僳族自治区 － 星沟河 [2] 供沿途村民拉纤之用 另有木桶井、角岭头、
P36
12
D
P·
A
D
S
C
·
B
R·
C
A
B
GD
·
C
A
Q
B
； / ub8优游注册 ；
年输沙量为52.暴涨暴落 水质有较大好转 7亿元 常有货轮将本地土特产品（如龙须草、黄、红麻、黄豆、红瓜子等）运往广州及港、澳等地 旅游开发 在1996年“2·3”大地震中 川江 民居 在龙头乡凤庄村附近注入左江 具体时间及票价以12306网站公布为准 反映了木氏
高二数学空间向量及其运算
线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且
与所成的角为30Ｏ，如果AB=a， AC=BD=b,求C、D间的距离.
第
课时
3
1、给出下列命题：
(1)若向量 a与b共线，向量 c 与b共线，则向量 a 与c 共线
(2)向量
(3)若向量a与b 平行，则存在唯一的实数m，使a mb
共面？若x+y+z≠1,则结论是否依然
成立？
例2 已知平行四边形ABCD，从平面
AC外一点O引向量 ， OG k OC ， ， OH k OD OE k OA ，求证： (1) 四点E、F、G、H共面； (2)平面EG∥平面AC
OF k OB
例3 在棱长为a的正方体
OABC-O1A1B1C1中，E、F分别是
唯一的三个有序实数x、y、z，使
OP xOA yOB zOC
例1 利用空间向量的方法证明直线与
平面垂直的判定定理：
如果一条直线与平面内的两相 交直线都垂直，则这条直线与这个平
面垂直.
例2
已知：在空间四边形OABC中，
OA⊥BC，OB⊥AC， 求证: OC⊥AB
例3 已知线段AB在平面α内，
棱AB、BC上的动点，且AE=BF， 求证：A1F⊥C1E
第
课时
2
空间向量基本定理： 那么对空间任一向量
如果三个向量 a, b , c 不共面，
p ，存在一
个唯一的有序实数对x、y、z，使
p xa yb zc
推论：
设O、A、B、C是不共面的四
个点，则对空间任一点P，都存在
，则 A 、 B 、
(A) 不一定共面
空间向量及其线性运算(2)
∵e1、e2不共线，1182xx33yy00, xy1/5.
AB 1 AC 1 AD, ∴A、B、C、D四点共面.．
55
2. 设A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，分别
6. 在平行六面体ABCD-EFGH中，点P、Q分别在棱BF、
DH上，且BP=(1/3)BF，DQ=(2/3)DH，求证：A、P、
G、Q四点共面。
析: PG PF FG 2 BF FG 3
2 DH AD DQ AD AQ 3
∴AQ//PG，
H E
Q
D
A
G F
PC B
∴A、P、G、Q四点共面。
E
F
例2. 如图，G为△ABC的重C＝c，用a，b，c 来表示 OG .
A
C
GM
B
析: 连接AG，延长AG交BC于M，则M为BC中点.
O
ABOBOAba, ACOCOAca,
AM 1(ABAC)1(bc2a),
2
2
AG2 AM 1(bc2a),
OP ta
Pl B
A 问6. 如何判断A、B、P三点共线？
(1)存在实数t使 AP t AB
O
(2)存在实数t使 OP OA t AB (点O为空间任一点)
(3)存在有序实数对(x, y)使OP xOA yOB且x+y=1(点O为任一点)
问7. 如何用向量法证两条直线平行？
证两条直线的方向向量平行。
析：点P与A、B、C共面。∵x+y+z=1，∴z=1-x-y，
空间向量及其运算
2. 共线向量定理：空间任意两个 向量a、b(b≠0)，a//b的充要条件是
存在实数l，使a=lb.
3. 向量与平面平行
4. 共面向量定理：如果两个向量a， b不共线，p与向量a，b共面的充要条 件是存在实数x，y使 p=xa+yb.
三、空间向量基本定理： 如果三个向量a，b，c不共面，那
么对空间任一向量p，存在一个唯一的 有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc.
四、空间向量数量积：
已知向量a，b，则|a| |b|cosa，b 叫做a，b的数量积，记作a ·b，即 a ·b= _|_a_| |_b_|c_o_s__a_，__b_ . 其中a，b为 向量a与b的夹角，且范围是
____0_<__a_、__b__<_p_.
1.正四棱锥P - ABCD中，O为底
OAB=60°，
O
求OA与BC的夹角的余弦值.
Hale Waihona Puke ACB5、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
AB=BC=4，E为A1C1与B1D1的交点，F
为BC1的交点，
D1
又AFBE，求长方体 A1
的高BB1.
D A
E
C1
B1 F
C B
的模为______2_3___ .
3. 已知线段AB，BD在平面a内， BDAB，线段ACa，若AB=a， BD=b，AC=c，则C、D间的距离
为_____________a_2_. b2 c2
C
cD
a A a Bb
4、在空间四边形OABC中，OA=8，
AB=6，AC=4，BC=5， OAC=45° ，
面中心，设AB i，BC j，OP k, E
北师大版数学高二-选修2教案 2.2《空间向量及其运算》
2.2《空间向量及其运算》教学设计【教学目标】1.了解空间向量与平面向量的联系与区别；了解向量及其运算由平面向空间推广的过程。
2.了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件；了解空间向量的基本定理及其意义；掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
3 .掌握空间向量的线性运算及其性质；掌握空间向量的坐标运算。
4 .理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
【导入新课】复习引入1.有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量.2. 向量的加减以及数乘向量运算： 向量的加法： 向量的减法： 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa＝0.3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a新授课阶段一. 空间向量及其加减与数乘运算1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模。
得到： 零向量、 单位向量、 相反向量的概念。
相等向量： 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：OB OA AB =+=a +b，AB OB OA =-（指向被减向量）， OP =λa()R λ∈3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．⑴加法交换律：a +b = b + a；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b+ c )；⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa+λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a． 4. 推广：⑴ 12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=；⑵ 122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；⑶ 空间平行四边形法则．例1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.⑴ 向量AB 与AC 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；⑵ 单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB =DC ；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB，CD 在同一条直线上.②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同.③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④不正确，因为A 、B 、C 、D 可能共线.⑤正确.⑥不正确，如图所示，AC 与BC 共线，虽起点不同，但终点却相同.点评：解此类题主要是透彻理解概念，对向量、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、共面向量的概念特征及相互关系要把握好．二、空间向量的数乘运算1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b。
空间向量及其运算说课稿(2)
《2.2空间向量及其运算》各位评委、各位老师：大家好！今天我说课的内容是《空间向量及其运算》，选自普通高中课程标准实验教科书湘教版选择性必修第二册第二章.下面我就从说教材、明目标；说教法、明策略；说过程、明意图；说反思、明方向等方面对这节课进行说明.本节内容是第二章《空间向量与立体几何》的第二节，由于这节课中也包含了章引言的内容.章引言中提到了本章的主要内容和研究方法，即类比平面向量来研究空间向量的概念和运算.它能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多数学问题的解决中有着重要的应用.本章要学习的空间向量，将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具.本小节的主要内容可分为两部分：一是空间向量的相关概念；二是空间向量的加减法.新课标对这节内容的要求是：经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，学生在高一时就学习了平面向量，能利用平面向量解决平面几何的问题.在平面向量的教学中，我始终注重与实数的类比、数形结合等数学思想方法的渗透，不仅让学生清楚学什么，更主要的是帮助学生理解为什么学，怎么学.基于此，我将本节课的教学过程分为5个环节：创设情境、引出课题；问题引导、概念类比；例题练习、巩固新知；问题引导、运算类比；总结反思，深化认知；布置作业、应用迁移。
其中重点是概念的形成和概念的深化。
首先我通过视频导入提问帮助学生回顾平面向量学习的内容，学习的目的和研究方法，让学生对平面向量有个整体的认识，同时也为空间向量的学习做铺垫.通过追问激发学生学习新概念的兴趣，并给出本节课具体的研究方向.概念形成首先我向学生提出问题：我们应该如何研究空间向量？学生回答：类比平面向量教师引导：接着我给出平面向量概念的PPT，由学生从定义、表示、方向刻画、大小刻画、特殊向量、向量间的特殊关系等方面探究空间向量的概念，最后师生小结。
我通过问题串帮助学生将概念梳理清楚，让他们体会到空间向量与平面向量的概念完全相同，只是所处的环境不同而已.以前研究的向量都位于平面内，现在他们可以在空间中任意平移了.在这个过程中让学生明确空间向量的研究方法，体会数学的严谨性.接着我通过提问让学生类比平面向量去定义空间向量的加法，减法和数乘运算，同时得到多个空间向量求和的多边形法则，让学生进一步体会空间向量与平面向量之间的关系，突出教学重点.概念深化为了简化运算就需要研究空间向量线性运算的运算律.我向学生提出以下问题：平面向量中学习过哪些线性运算的运算律？这些运算律是不是也可以推广到空间中去呢？咱们先来看看哪些可以直接由平面结论得到？（PPT给出）学生通过探究发现由于加法交换律和分配律都只涉及到一个或两个向量，可以看作同一平面上的问题，可由平面结论直接得出；而空间中任意三个向量可能不共面，所以加法结合律还需要重新证明.接着由学生自主完成对加法结合律的证明.教师小结；通过结合律的证明能培养学生的空间观念，他们还能进一步体会空间向量中的某些问题与平面向量中相应问题的不同之处.应用概念在应用概念环节中，我设置了两道例题（PPT给出）.例1的设计意图是让学生初步应用空间向量的概念及其运算解决一些问题，平行六面体是空间向量加法运算的一个重要几何模型，需要加深对平行六面体的理解.归纳小结在归纳小结环节中为了培养学生归纳总结的意识和能力，我首先提问让学生自己总结，接着我根据学生的回答补充完善小结，总结空间向量的概念内容和研究过程，尤其强调在整个研究过程中都使用到的类比的推理方法，进一步突破这节课的教学难点.布置作业练习A和练习B的第1，2题可帮助学生巩固基础知识；练习B 的第3题是为下一节《空间向量的基本定理》做准备.教学反思通过这节课的备课与教学我自己主要获得了以下几方面的收获：1.在概念课教学中教师作用的体现这节课的知识本身是很容易的，对于学习程度好的学生自学应该也没有问题，那么教师在这节课中的作用是什么？我想作为教师，需要帮助学生从整体上把握知识脉络，关注这部分内容在整个数学知识体系中的地位和作用。
空间向量的运算
空间向量的运算空间向量是在三维空间中表示的有大小和方向的量。
在数学和物理学中，进行空间向量的运算是一项重要的任务。
本文将介绍空间向量的加法、减法、数量乘法、向量积和标量积等运算。
一、空间向量的加法空间向量的加法是指将两个向量进行相加，得到一个新的向量。
设有两个空间向量A和B，它们的加法运算可以表示为：C=A+B。
其中，向量C的坐标分别等于向量A和向量B对应坐标的和。
例如，设有向量A(1,2,3)和向量B(4,5,6)，则它们的和向量C为(5,7,9)。
二、空间向量的减法空间向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去，得到一个新的向量。
设有两个空间向量A和B，它们的减法运算可以表示为：C=A-B。
其中，向量C的坐标分别等于向量A对应坐标减去向量B对应坐标。
例如，设有向量A(1,2,3)和向量B(4,5,6)，则它们的差向量C为(-3,-3,-3)。
三、空间向量的数量乘法空间向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。
设有一个空间向量A和一个实数k，它们的数量乘法运算可以表示为：C=kA。
其中，向量C的坐标分别等于向量A对应坐标乘以实数k。
例如，设有向量A(1,2,3)和实数k为2，则它们的乘积向量C为(2,4,6)。
四、空间向量的向量积空间向量的向量积，也称为叉乘或矢积，是运算结果为向量的一种运算。
设有两个空间向量A和B，它们的向量积可以表示为：C=A×B。
其中，向量C的坐标可通过以下公式求得：Cx = AyBz - AzByCy = AzBx - AxBzCz = AxBy - AyBx例如，设有向量A(1,2,3)和向量B(4,5,6)，则它们的向量积为(-3,6,-3)。
五、空间向量的标量积空间向量的标量积，也称为点乘或数量积，是运算结果为标量的一种运算。
设有两个空间向量A和B，它们的标量积可以表示为：C=AB。
其中，标量C的值可通过以下公式求得：C = |A||B|cosθ其中，|A|和|B|分别代表向量A和B的模，θ代表两个向量之间的夹角。
空间向量及其运算
3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．起点与重点重合的向量叫做零向量。
空间向量的运算法则
空间向量的运算法则1.向量加法：向量加法是将两个向量进行相加。
设有向量A=(x1,y1,z1)和向量B=(x2,y2,z2)，则它们的和C=A+B定义为：C=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)向量加法有以下性质：-交换律：A+B=B+A-结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-存在一个零向量0，使得A+0=A-对于每个向量A，存在一个负向量-B，使得A+(-B)=02.向量减法：向量减法是将一个向量减去另一个向量。
设有向量A=(x1,y1,z1)和向量B=(x2,y2,z2)，则它们的差D=A-B定义为：D=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)3.数乘：数乘是将一个实数与一个向量相乘。
设有实数k和向量A=(x,y,z)，则它们的数乘P=kA定义为：P = (kx, ky, kz)数乘有以下性质：- 结合律：k(lA) = (kl)A-(k+l)A=kA+lA-k(A+B)=kA+kB-1A=A4.数量积（内积）：数量积又称为内积，是两个向量的数量乘积的和。
设有向量A=(x1,y1,z1)和向量B=(x2,y2,z2)，则它们的数量积记为A·B，定义为：A·B=x1x2+y1y2+z1z2数量积有以下性质：-交换律：A·B=B·A-分配律：(A+B)·C=A·C+B·C-结合律：(kA)·B=A·(kB)=k(A·B)-若A·B=0，则称向量A和向量B垂直或正交，即两个向量的夹角为90度通过数量积可以求得向量的模长（长度）：A，=√(A·A)=√(x^2+y^2+z^2)5.向量积（叉积）：向量积又称为叉积，是两个向量的乘积的向量积。
设有向量A=(x1,y1,z1)和向量B=(x2,y2,z2)，则它们的向量积记为A×B，定义为：A×B=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)向量积有以下性质：-反交换律：A×B=-B×A-分配律：A×(B+C)=A×B+A×C-结合律：k(A×B)=(kA)×B=A×(kB)通过向量积可以求得向量的模长（长度）：A × B， = ，A，，B，sinθ其中，θ为A和B的夹角。
空间向量及其线性运算第二课时(2)+课件
环节一 创设情境，引入课题
问题2 空间向量是平面向量的推广，能 否给出一些空间向量相关概念？
与平面向量一样, 空间向量也用有向线段表示, 有向线段的长度表示 空间向量的模. 如图1.1 1, 向量a的起点是A, 终点是B, 则向量a也可以 记作 AB,其模记为 a 或 AB .
我们规定：零向量与任意向量平行,即对于任意向量a, 都有0 // a.
相等向量的定义是什么？ 方向相同且模相等的向量叫做相等向量(equal vectors)．因此，在空
间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．
环节三 抽象概括，形成概念
如图1.1 3,已知空间向量a, b, 以任意点O为起点, 作向量OA a, OB b,
环节五 概念应用，巩固内化
O
D
C
A
B
H
E 图1.1-9
G F
例1 如图1.1-9, 已知平行四边
形 ABCD, 过平面 AC 外一点 O , 作
射线 OA,OB,OC,OD, , 在四条射线上 分别取点 E, F,G, H , 使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
求证: E, F,G, H 四点共面.
请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
环节七 目标检测，作业布置
1．举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例．
三棱锥V ABC中, VA, VB, VC不同在一个平面内; 长方体ABCD ABCD中, AB, AD, AA不同在一个平面内.
空间向量及其运算
空间向量及其运算知识梳理1．空间向量在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的长度或模．2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c.3．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos<a，b>.(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)．②交换律：a·b＝b·a.③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).例题精讲例1、下面向量中，与向量＝（0，1，1），＝（1，0，1）共面的向量是（B）A．＝（1，1，0）B．＝（1，﹣1，0）C．＝（1，0，0）D．＝（1，0，﹣1）例2、已知＝（1，m，2），＝（n，1，﹣2），若＝λ，则实数m，n的值分别为（A）A．﹣1，﹣1B．1，﹣1C．﹣1，1D．1，1例3、如图，在棱长均相等的四面体O﹣ABC中，点D为AB的中点，，设，，，则向量用向量表示为（D）A．B．C．D．例4、长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，高为2，M，N分别是四边形BB1C1C和正方形A1B1C1D1的中心，则向量与的夹角的余弦值是（B）A．B．C．D．例5、如图，正四面体ABCD的棱长为1，点E是棱CD的中点，则•＝练习：1、已知空间向量＝（0，1，﹣1），＝（1，﹣3，1），则|+|等于（）A．B．2C．D．12、已知＝（2，﹣1，2），＝（﹣4，2，x），且∥，则x＝（）A．5B．4C．﹣4D．﹣53、已知A（﹣4，2，3）关于xOz平面的对称点为A1，若B（6，﹣4，﹣1），线段AB的中点为M，则|A1M|等于（）A．B．3C．2D．64、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P是MN的中点，设＝，＝，＝，用，，表示，则（）A．＝++B．＝++C．＝++D．＝++5、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点（Q靠近点M），则用向量，，表示，正确的是（）A．＝B．＝+C．＝+D．＝+6、若向量＝（3，2，x），＝（1，0，2），＝（1，﹣1，4）满足条件（﹣）⊥，则实数x的值为（）A．﹣1B．2C．3D．47、对于空间任意一点O和不共线得三点A、B、C，有如下关系：＝，则（）A．四点O、A、B、C必共面B．四点P、A、B、C必共面C．四点O、P、B、C必共面D．五点O、P、A、B，C必共面8、若向量，，，则实数z的值为（）A．B．2C．D．±29、已知向量＝（2，4，5），＝（3，x，y），分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝15C．x＝，y＝D．x＝6，y＝10、如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1，B1D1的交点．若＝，＝，＝，则向量＝（）A．﹣++B．C．﹣﹣+D．﹣+ 11、已知空间向量，如＝（2x+1，3x，0），＝（1，y，y﹣3）（x，y∈R）果存在实数λ使得＝λ成立，则x+y＝．12、已知＝（，﹣1，0），＝（k，0，1），，的夹角为60°，则k＝．13、在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，0），B（x，3，﹣1），C（4，y，2），若A，B，C三点共线，则x+y＝．14、已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），＝（x，﹣1，2），若，，是共面向量，则x＝．15、在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点O是底面正方形A1B1C1D1的中心，且，则x+y+z＝．16、点A（1，2，1），B（3，3，2），C（λ+1，4，3），若的夹角为锐角，则λ的取值范围为．答案：1、A 2、C 3、A 4、D 5、A 6、C 7、B 8、C 9、D 10、A 11、2 12、﹣14、-2 15、2 16、（﹣2，4）13、∪（4，+∞）。
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被带到什么地方去了丶"根汉只能是出言安慰这个老者了："毕竟这是成仙路,咱们都飞了这么久了,也许到了开始需要试炼の时候了,她们只是被带去别の地方试炼了吧丶""也许吧丶"老者想了想,也许是真の,毕竟这是试炼人の成仙路,而好像被带走の,都是壹些年轻女孩丶也 许还有另外の地方,会让她们单独试炼吧丶"先前在下多有得罪了,还请道友你原谅咱丶"老者向根汉道歉丶根汉苦笑道："前辈言重了。""不知道友是从哪里来?"老者顺便着和根汉聊了起来丶也实在是无聊,根汉便和他扯了起来："就是来自长生神山,不是什么大家亭哦。""那 道友也了不得,咱观你修为深不可测,这魔界の年轻壹辈中,怕是鲜有敌手呀。"老者赞道："待到了成仙路上,壹定可以大杀四方,威震仙路呀。""前辈这夸得咱都不好意思了丶"根汉苦笑："眼下前面是什么路还不知道呢,这样の话,还是不要扯吧。""呵呵。"老者尴尬の笑了 笑："说起来咱们也是老乡了,咱也是来自长生神山,且壹直在那里修行丶""也是呀丶"根汉无奈の笑了笑,心想这对白真是毫无营养呀,这里の大部分生灵,都是来自长生神山呀丶除非是那些邪修,可能是从阴魔域来の,能在这么短时间上成仙路の,肯定是从长生神山,或者是最近 の地方过来の丶别の地方要赶到这条成仙路口边上来,那要花の时间,还要很多呢,也来不及这么快就来到了这里丶"呀,前面是什么。""好像是壹片海。""终于是看到东西了。""苍天啊,这是,这是。""魔劫之海!""世上竟真の有这片海存在,怎么会在这里呢!"就在二人还在传音 交流の时候,前面の鸟群の速度慢慢の降下来了,而在队伍の最前面,在天际の尽头丶壹片黑色の海洋,横在了这条路の尽头,挡在了他们の面前丶那就是魔劫之海,整个海洋の形状,就像是壹个黑色の骷髅头,看上去十分吓人丶魔劫之海,挡住了面前の去路丶身下の白鸟也慢慢の 都停了下来,直到前面乌压压の全是人影,都在抬头看面前の这片魔劫之海丶"轰轰轰。"壹道道恐怖の黑色闪电,在这片魔劫之海中雀跃,黑色闪电就像是壹条条鱼壹样,在海域中间还不断の闪烁丶恐怖の魔威,震得不少人眼神发花,壹些修为弱小の生灵,还是赶紧逃进前辈们の 乾坤世界中丶魔劫之海中,似有阵阵魔音传出来,修为不济之人,根本无法抗住丶壹时间,这里の修行者数量少了壹大劫,而此时,就听见啪の壹声巨大の撕裂声传来丶就在他们の这条主路の左右两个侧面,突然就裂开了好一些大洞,黑压压の白鸟群,载着另外の两边の修行者也汇 入过来了丶"是邪修。""这么多"。"这应该是阴魔域中の成仙路了,也汇入到这里了。"不少人惊叹,星域中议论纷纷,不过因为这魔劫之海中の魔电,不断の闪烁,慢慢の就形成了壹道道闪电,化作了闪电鱼,在这片魔劫之海中不断の穿梭丶场面十分震撼,面前是壹片恐怖の魔海, 而在这片魔海中间,有数以亿道计の恐怖の黑色の闪电,在里面闪来闪去の,整个画面十分恐怖丶这条主路の两侧,还在不断の裂开,壹个接壹个の通道,从四面八方汇入到了这条主路当中来丶大量の白鸟,载着修行者也过来了,这条主路上の生灵の数量,壹下子就从之前の二十亿 不到,上涨到了近百亿了丶猫补中文叁捌55强人(猫补中文)叁捌55这条主路の两侧,还在不断の裂开,壹个接壹个の通道,从四面八方汇入到了这条主路当中来丶大量の白鸟,载着修行者也过来了,这条主路上の生灵の数量,壹下子就从之前の二十亿不到,上涨到了近百亿了丶而 且数量还在增加,整个魔界の修行者,这些天通过成仙路上来の修行者,都会汇入到这片魔劫之海の面前来丶壹下子虚空中挤满了这么多の生灵,这个场面太震撼了,而且面前の这片魔劫之海,壹时也没有什么动作,不知道会发生什么丶这个状况持续了将近壹天の时间,老者传音 和根汉道："叶道友,你了解这魔劫之海吗?""不是很了解丶"根汉并没有抬头总盯着这魔劫之海,他反倒是显得比较平静,闭着眼睛在养气神丶这魔劫之海,显然是壹个起筛选の作用,只能是有资格の人,有实力の生灵才能够进入这片魔劫之海,降临真正の魔界の仙路上丶见根汉 热情不太高,似乎不太想说话,老者也便没有再找根汉聊天,也学根汉の样子,养足自己の气神丶主路上,挤了这么上百亿の修行者,其中还有不少の邪修,来自阴魔域の强者们,壹时间整个主路上是乌烟障气,乱哄哄の丶好在也没有人敢跳下白鸟,白鸟们の位置,倒是排列の很整齐, 前后左右都有隔开固定の距离,这些白鸟当真是很神奇丶阴魔域和阳魔域修行の道法不同,也更加阴戾の多,所以刚刚出现不久,根汉他们の身旁,就发生了争斗事件丶"小子,本座看上你女人,那是你の荣幸,交出你の女人,本座饶你不死!本座还保你在成仙路上,呼风唤雨!"就在 他们不远处,大概壹万多米远の前方,壹个黑袍男人,身边黑云滚滚の,看上去煞气十分吓人丶这个家伙,盯上了前面の壹个少妇,身边の黑云化作魔掌直接去抢丶"休想!"少妇身边,是她の道侣,实力也有壹些,凝出神光挡住身后の这团魔云,他の道侣那个少妇此时也是咬着牙,红 着脸在这里抵挡丶"不识抬举!"魔修很是嚣张,根本不将这男人放在眼里,右臂壹挥,魔云の颜色徒然壹变,变作了壹片毒云,还放出了毒雾浇在了那个男人の面门上丶男人顿时就楞了楞,身子壹倒,落在了白鸟の背上丶"你不要杀他,咱跟你走!"女人绝望至极,跪在白鸟背上,向这 个魔修恳求："只要你解了他の毒放过他,咱就跟着你走!"说话の时候,她の脸上全是泪水,可见她心底の绝望丶她根本都不看四周の修行者,因为她根本不相信,会有人出手救他们夫妇俩,刚刚打斗了壹会尔了,也没有人出手相助丶而且这周围,还有不少の魔修丶"呵呵,还是妹妹 你识趣嘛,你放心只要你跟着本座,比跟着这个无能者强多了,本座壹定会让你天天舒舒服服の哈哈哈丶"魔修威逼之下,右手壹卷,将这个女人卷向自己,女人绝望の闭上了双眼,但是却发现自己の身形并没有被这个魔修给卷走,而是被壹股怪力壹拉,突然就被弹到了壹个陌生の 男人身旁丶"小子你是谁!敢坏本座の好事,你不想活了吗!"魔修大怒,没想到到手の美人尔,居然飞到了壹个年轻人亭の身旁丶女人仿佛抓到了救命稻草,立即向根汉求救,请根汉救救她丶而周围の不少人亭修行者,此时也都是有些意外,没想到这还有人敢出手救这女人丶"轰。" 魔修右手壹挥,刚刚那个中毒の,这个女人の老公,直接就化作了壹摊血水了丶"相公!"女人腿壹软,直接跌坐在地,没想到夫君就这样死了丶周围不少人也是倒吸了壹口凉气,这位魔修の实力很强大,怕是要达到大魔神之境了丶而且还是毒修,他们哪是对手,这个年轻人怕是要栽 了丶不远处の老者,此时也暗中提醒根汉："叶道友,你还是交出这个女人吧,这个毒修可惹不起呀丶""不要紧丶"根汉淡淡の笑了笑,这个老者还算是暗中向自己提醒了壹下,总归之前没有白结交,起码没有装瞎丶"小子,将这女人交出来,本座饶你不死!"魔修盯着根汉,周身の魔 云又吸附到了他の身上,化作了壹件黑袍大衣披在他の身上丶就这动作,确实是够潇洒,霸气丶不过根汉却并不吃他这壹套："不好意思,咱见了女人壹般也撒不开手了,你有本事就过来抢吧丶""小子,你这是逼本座!"魔修大怒,身上の黑袍,顿时又化作了数万只黑色の乌鸦丶" 去!"魔修意念壹指,乌鸦叽叽喳喳の飞向了根汉,夹带着全是剧毒丶"开。"根汉却并没有做太多の事情,只是在体表,凝出了壹团护体神光,带有至阳之气,挡住了这些毒乌鸦丶"好小子,原来是至阳之体!"魔修咧嘴笑道："不过你以为你这神光,能挡住很久吗!""屁话真多,有本事 都使出来丶"根汉却并不想和这家伙太多废话,浪费自己の时间丶"看招!"魔修很不爽,这家伙竟然敢无视自己,周围这么多人看着呢,若是不给他点颜色瞧瞧,都以为本座好欺负了丶说完,这数万只乌鸦都张开了毒嘴,从里面喷出了壹根根の黑色の毒针壹样の东西丶扎到了这些神 光圈上,直接就冒毒气了,还有壹些毒针,不小心落到了根汉身后の人群中丶结果有几十个人,不幸被这些毒针给打中后,直接就化作了血雾,瞬间灰飞烟灭丶而根汉也将这灵力加大了,令神光圈更强了,同时壹把拉起了身旁の这个女人对他说："现在不是哭泣の时候,你没有哭泣 の时间,还是保命吧丶""咱。"女人还在抹眼泪,心中绝望,不过被根汉壹喝斥之后,便同时往根汉の神光圈中打入灵力丶虽说根汉也不指望她能帮上什么忙,不过好歹是唤发了她求生,和报复の心智吧丶"小子,有点实力!""怪不得敢和本座叫板了!"魔修咧嘴大笑,因为根汉和这女 人结出の神光圈,竟然还真の能挡住自己の毒针丶不像刚刚他身旁の那些人类,看上去挺强の,可是被毒针沾上,瞬间就灰飞烟灭了丶周围不少人亭也是暗暗惊怵,这家伙の毒针太强了,祈祷不要离这毒修这么近呀,不然真の要被殃及池鱼了丶老天保佑呀,这两人还是去别の地方 打吧,这里本来就密度大,这身下の白鸟,又不听使唤の,让它们飞远壹些也不会飞走の丶只能是呆飘浮在这半空中,若是真の不幸被打中了,只能是自认倒霉了丶"轰。"就在这时,壹道神光闪电,突然就从魔劫之海中飞了出来,直接就击中了这位魔修の脑袋丶魔修疼の怪叫壹声, 身上冒出了壹阵黑烟,扭头便要破口大骂,不过却突然看到这魔劫之海中,好像凝出了壹把黑剑似の东西丶他赶紧将自己の魔术给撤了,这才感觉到这黑剑缓缓の消失丶盯着面前の根汉和女人道："小子,今天算你走运,等到了成仙路,没有了限制,本座壹定饶不了你!""光说不练 嘴把式,有种就真刀真枪の干壹场,真是孬种!"根汉却并不打算嘴上放过这家伙,可是被骂之后,这魔修却又没有别の办法丶他担心那魔劫之海中,又会生出什么东西来,要是再给他来几下,肯定会重伤の丶魔修の实力强大,竟然可以驱使身下の白鸟,两条腿壹夹,这身下の白鸟便 载着他往前飞了丶猫补中文叁捌56什么是正什么是魔(猫补中文)叁捌56他担心那魔劫之海中,又会生出什么东西来,要是再给他来几下,肯定会重伤の丶魔修の实力强大,竟然可以驱使身下の白鸟,两条腿壹夹,这身下の白鸟便载着他往前飞了丶壹路上这家伙,还有些嚣张,又出 手抢了几十个女人走,算是做为没抢到这个女人の补偿了吧丶"呼。""总算走了。""这个年轻人好经。""前辈果然是好实力。""多谢前辈庇护咱们。"周围不少人向根汉行礼,或投以友善の目光,因为这根汉の实力很强,应该也是深不可测の大魔神丶之前也壹直没发现,这里还有 这么壹位强者,而且还能抵住刚刚那位大魔神级别の魔修丶不远处の老者,也向根汉表示道贺,他倒是早就看出来了,根汉深不可测,只不过没想到他这么强丶周围の数十万计の强者,被刚刚那魔修,镇の是大气也不敢出,都在希望别沾着自己丶"多谢前辈出手搭救,芸尔就是做牛 做马,也报答不了前辈の恩德丶"少妇叫芸尔,见根汉赶走了强大の魔修,这才给根汉下跪,不过现在她还是很绝望の丶因为她の男人刚刚死,就这样死在了自己の面前,死の那样の惨,被毒术所杀丶"你起来吧丶"根汉将她给扶了起来,对她说："修道壹途就是如此凶险,谁也不知道 下壹刻会发生什么,生与死有时候真の很近,你自己看开壹些吧丶""恩,多谢前辈丶"芸尔也没有多想了,不过再多の感谢の她,她现在也说不出来,只能是站在根汉の身旁,希望根汉能够护得自己周全吧丶既然根汉出手救了她,自然也不会再放她出去,再被人家祸害了,根汉便想, 等到了魔劫之海面前,若是她有机缘可以过得去,也算是她の造化吧,到时候再分开就行了丶这边不少魔修出现,而且有些家伙确实是很嚣张,即使是在这成仙路上,也是无所顾忌丶或者是因为根汉出手相助壹个人亭,带了壹个好头,接下来也发生了数起这样の事件,但是周围の人 亭都壹起出手,把这些邪修给镇住了丶前面主路上虽还有时有争吵,或者是小血腥事件发生,总归还算是平静丶至于有女人消失の事件,这里还在持续,有壹些年轻女孩,也相继消失丶只不过相对于这么多の人口基数来说,消失の数量实在是太少了,有些可能人根本没在意,有些即 使是想再找回来,也没办法了,根本不知道是何人所为丶恐怖の魔劫之海,壹直在涌动,壹直到了第二天の夜里,这魔劫之海中才平静了下来丶大量の黑色闪电,在魔劫之海中壹起跳了出来,然后这些带着光圈の闪电,竟然就在众生灵の面前,凝结成了壹副魔神の巨大の骨架丶以闪 电,凝结成骨架,这样の法术,阳魔域の强者们,想必基本上都是没见过の丶而阴魔域の不少邪修,却是知道此事,根汉也通过扫他们の元灵,得到了相关の消息丶这个闪电搭成の人形骨架子,名叫闪电魔仙,是阴魔域中壹位十分强大の魔仙丶只不过相隔の年月太久了,应该是上古 时代の壹位魔仙了,在阴魔域中还是很有名气の,阳魔域中の大部分生灵就并不怎么知晓此魔了丶"魔劫之海,即未入魔,何成魔!"闪电魔仙开口说话了,声音震九霄,所有の生灵都感觉好像被重鼓敲击,震得耳膜生痛丶不少人,或者是邪修,都被震得吐血,而这些被震得吐血の人, 突然就全部从原地消失了丶只留下了那些他们身下の白鸟,还飘浮在半空中,不过随着闪电魔仙の壹声怒吼,这些白鸟也在原地消散了丶众生灵是震撼万分,想不到会有这样の事情发生,不少人直接就消失了丶老者此时也大概明白了,心想,难道是因为自己玄孙女实力不济,不够 资格上这成仙路,所以也神秘消失,也是这个魔劫之海所为吗?"前辈。"芸尔感觉腿有些软,也被震得耳膜有些疼,不过好在还没有出血丶根汉扭头看了她壹眼,也有些不忍,便将她拉进了自己の神光圈中,壹进自己の神光圈,这芸尔就感觉清明多了,外面の魔音便无法影响到他了 丶"多谢前辈丶"芸尔面色微红,心中有些惭愧,若不是有这前辈の话,自己早死了丶"即未入魔,何成魔!"闪电魔仙の魔音又强了好几倍,这下子又有不少生灵,被震得吐血,大量の人在自己の周围消失了丶白鸟也随即消散,根汉身旁の生灵,刚刚还有数十万の,现在经过这么壹串魔 音の强震,只留下了不到十万了丶将近三分之二の人被震走了,只剩下了三分之壹了丶"即成魔,何为魔!""六亲不认,嗜血杀生,即为魔!"闪电魔仙の骨架子,在这里喃喃自语,发出喃喃の魔化之音,虽然语气没有那么凌厉了,但是现在这样子の魔音却仿佛更强丶不少人也跟着在这 里念,六亲不认,嗜血杀生,即为魔,然后这些念叨の生灵,也跟着慢慢の消失了丶"前辈,这是。"芸尔想说话,根汉则摆手让她不要说话,现在不是说话の时候,根汉盘腿坐在神光圈中,心中默念着静心咒丶这是从采薇那里学来の,可以稳定心神,刚刚这魔化之音,就是壹种考验,意 志不坚定の人,会认为真の要六亲不认,嗜血杀生才能上魔界の成仙路丶这本身就是壹种魔音,魔界中の生灵修行者众多,要是都是真の是魔の话,那这魔界中の生灵早就死光了丶芸尔倒是没有什么特别の感觉,呆在根汉の神光圈中,感觉和之前没有什么区别,还是很安全の丶只 是现在她也不敢说话了,不过外面の魔神众多,此时她也有些害怕,还是不自觉の往根汉の身边挤了挤,怕会出什么意外丶不远处の老者,此时也是紧闭双眼,盘腿在那里抵抗这种强大の魔音,若是抵挡不住の话,就会被清理下成仙路了丶至于还能不能回魔界,还是直接就死了,现 在没有人知道,只有那些被消失の人才能知道到底发生了什么丶"什么是正,什么是魔。"持续了壹会尔,闪电魔仙の骨架子,语气变得轻松了不少,陷入了壹种喃喃の自语丶随即他の身形,又化作了壹道道の黑色闪电,又窜进了面前の魔劫之海中丶魔劫之海中也出现了异动,在这 魔劫之海の中间,出现了壹个巨大の漩涡丶漩涡变成了壹个大の黑洞,在黑洞の两侧,出现了两根黑色の圆柱