PP09 正弦稳态电路的分析

Ω
§9-4
正弦稳态电路的分析
& & 一. 利用 U = Z I& 或 I& = Y U 求解
作出正弦稳态电路的相量模型，依照电阻电路的处理方法求 输入阻抗或导纳，各支路电流相量以及电压相量等. 1. 同一元件的阻抗与导纳互为倒数，同一对端钮之间的阻 抗与导纳互为倒数，即 Z = 1 , Y = 1 ;
二. 导纳
& 1 I I ⒈ Y = = = ∠ϕi −ϕu = Y ∠ϕy & Z U U
导纳模 Y = 导纳角 ϕ y
I U = ϕi −ϕu
& I& = Y U
⒉ 导纳 Y 的代数形式
Y = G + jB
G = Re [Y ] = Y cos ϕ y B = Im [Y ] = Y sin ϕ y 电导 电纳
Z Z
⒋ Z（jω） R（ω） jX（ω） = +
N 0的等效阻抗
例9-1：串联电路中， = 2 Ω，L = 2 H，C = 0.25 F，uS = 10 2 cos2t V , R 求电流以及各元件的电压。 解： 1）U S = 10∠0° V （ &
（2）Z = Z R + Z L + Z C = 2 + j 4 − j 2 = 2 + j 2 = 2 2 ∠ 45 ° Ω
例9-2：图示电路中, R1 = 10 Ω , L = 0.5Ω , R2 = 1000 Ω , C = 10 µ F ,
& U S = 100V , ω = 314 rad / s , 求各支路电流和电压 U10 .
& 解：设 U S = 100∠0°, 则
Z R1 = 10 Ω， Z R 2 = 1000 Ω，
R −j X R2 + X 2 R2 + X 2 Y = G + j(ω C − 1 ) = G + jB, Z = 2 G 2 − j 2 B 2 RLC并联： ωL G +B G +B
N 0 含有受控源时，可有 Re[Z ( jω )] < 0，或 ϕ Z > 900 情况
阻抗（导纳） §9-2 阻抗（导纳）的串联和并联
Z L = jω L = j157 Ω，Z C = − j 1 = − j318.47 Ω ωC
设 Z R 2 与 Z C 并联等效阻抗为 Z10 ，有
Z10 = Z R 2 // ZC = 303.45∠ − 72.33° = 92.11− j 289.13 Ω （ ）
总输入阻抗为 Z eq ，且
⒊ RLC串联电路的阻抗
相量模型是一种运用相量能很方便地对正弦稳态电路进行 分析、计算的假想模型。
& U = R + jω L + 1 = R + j(ω L − 1 ) = R + jX = Z ∠ϕ Z= & Z jω C ωC I
1 X = X L − XC = ω L − ωC Z = R +X
解：& S = 40 ∠ 0 ° V ，相量模型如下图 Nω ，输入阻抗为 U
Z = 1.5 + Z ab = 1.5 + ( j1)(1 − j 2) = 2 + j1.5 = 2.5∠36.9° kΩ j1 + 1 − j 2
& US & I= = 40∠0° = 16∠ − 36.9° mA Z 2.5∠36.9°
§9-3
电路的相量图
电路的相量图：反映 KCL 、KVL 和电压、电流相位关系的图。 相量图可以直观地显示各相量之间的关系、 并且可用来辅助电 路的分析与计算。 1. 以电路并联部分的电压相量为参考，根据支路的 VAR 确定 各并联支路的电流相量与电压相量之间的夹角, 然后, 再根据结点上 的 KCL 方程，用相量平移求和法则画出结点上各支路电流相量组 成的多边形。 2. 以电路串联部分的电流相量为参考，根据 VAR 确定有关电压 相量与电流相量之间的夹角，再根据回路上的 KVL 方程，用相量平 移求和的法则，画出回路上各电压相量所组成的多边形。
Y Z
2. 记住基本元件的阻抗和导纳（ R, L, C 的阻抗与导纳）; 3. 串联部分总阻抗
Z = ∑ Zk
k =1 n
4. 并联部分总导纳 Y = ∑ Yk
k =1
n
例9-6：电路如下图所示，u S = 40 2 cos 3000 t V ,求 i (t ) , iC (t ) , i L (t )
1. n 个阻抗串联
Z eq = Z1 + Z 2 + L + Z n = ∑ Z k
k =1 n
& = Zk U & Uk Z eq
,
k = 1,2,3L , n
2. n 个导纳并联
Yeq = Y1 + Y2 + L + Yn = ∑ Yk
k =1 n
& = Yk I , k = 1,2,3L , n & Ik Yeq
例9-3：PP197
& & & 解：串联电路，以电流相量 I 为参考，确定 U 与 I 的夹角 （阻抗角），画出 U = U R + U L + U C 的多边形。 & & & &
例9-4：PP197 画出 例9-2的相量图
例9-5：下图中电压表U, U1和U2的读数分别为 100V ，171V 和 240V，Z2 = j60 Ω ，试求阻抗 Z1 。
240 = 4 ∠ 0 ° A & & 解：设 I& = ,则 U 2 = Z 2 I = 240∠90° V 60
& & & Q U S = U1 + U 2
∴ 100 ∠ ϕ = 171 ∠ ϕ 1 + 240 ∠ 90 °
100 cos ϕ = 171 cos ϕ 1 − 69 .42 ° ⇒ ϕ1 = − 110 .58 ° 100 sin ϕ = 171 sin ϕ 1 + 240
（4） i(t ) = 5 cos(2t − 45°) A u L (t ) = uab (t ) = 20 cos(2t + 45°) V u R (t ) = ubc (t ) = 10 cos(2t − 45°) V uC (t ) = ucd (t ) = 10 cos(2t − 135°) V
第九章 正弦稳态电路的分析
主 要 内 容 ⒈ 阻抗、导纳的概念； ⒉ 电路方程的相量形式，线性电路定理的相量 描述和应用； ⒊ 瞬时功率、平均功率、无功功率、视在功率、 复功率； ⒋ 最大功率传输；
§9-1
一. 阻抗
阻抗和导纳
& def U U∠ϕu U 1. Z & = I∠ϕi = I ∠ϕu −ϕi = Z ∠ϕZ I
2 2
X , ϕ Z = arctan( ) R
R = Z cosϕ Z
,
X = Z sinϕ Z
XL − XC 阻抗角 ϕ Z = arctan R
1) X > 0 , ωL > ω1C , ϕ > 0 , Z呈电感性，电压超前电流 2) X < 0 , ωL < 1 , ϕ < 0 , Z呈电容性，电压滞后电流 ωC 3) X = 0 , ωL = 1 , ϕ = 0 , Z呈电阻性，电压电流同相 ωC
导纳角 ϕ y
BC − B L = arctan G

1) B > 0 , ω C > 1 , ϕ y > 0 , Y 呈容性，电流超前电压 ωL 2) B < 0 , ω C < 1 , ϕ y < 0 , Y 呈感性，电流滞后电压 ωL
3) B = 0 , ω C = 1 , ϕ y = 0 , Y 呈电阻性，电压电流同相 ωL
& U1 171∠ − 69.42° Z1 = & = = 42.75∠ − 69.42° = 15.03 − j 40.02 Ω 4∠0° I & U1 171∠ − 110.58° 或 Z1 = & = = 42.75∠ − 110.58° = −15.03 − j 40.02 Ω（舍去） 4∠0° I
= G + jB = Y ∠ϕy B = ω C − 1 = BC − BL ωL
ω C − 1 2 2 B = arctan ωL Y = G + B ， ϕ y = arctan G G G = Y cos ϕ y， B = Y sin ϕ y

iC (t ) = 11.3 2 cos( 3000 t + 98.1°) mA
i L (t ) = 25 .3 2 cos( 3000 t − 55 .3 °) mA
U2 U1 另： Z1 = R1 + jX1 , I = = 4 A, Z1 = ⇒ R12 + X12 = 171 2 Q （ ） Z2 I 4
2 2 Z = Z 1 + Z 2 ， Z = U ⇒ R12 + X 1 + 60） = 100 ） （ （ I 4
∴
X
1
= − 40 . 02 Ω
， R = 15.03
2
G(ω ) = 或 R(ω ) =
R(ω ) Z ( jω ) G(ω ) Y ( jω )
2
, ,
B(ω ) = −) = −
B(ω ) Y ( jω )
Y=
2
1 RLC串联： Z = R + j(ω L − ) = R + jX, ωC