几个一致连续的充要条件

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一致连续性的判定

一致连续性的判定摘要：一致连续的问题在数学分析中经常遇到。

此论文主要讨论了一致连续性的几种常用的判定方法。

论文分为四个部分，逐层对一致连续的判定进行研究。

第一部分是用定义判定，定义最原本，是所有判定方法的源头，它有两种表述，表述一判定一致连续较为方便，表述二判定不一致连续较为方便。

第二部分用Cantor 定理判定，这比较快，在满足条件的情况下用起来方便。

第三部分是利用函数的周期性判定，这也就给出了不是周期函数的判定方法。

第四部分运用导函数有界来判定，这便把导数与连续贯穿起来了关键词：函数连续一致连续函数的连续性是指函数在0x x =处的函数值是否等于函数在0x 的函数的处的极限值，而函数的一致连续性主要是指在函数连续的基础上，研究由自变量的微小变化，而引起的函数值的变化值的上确界是否是零，因此一致连续性比连续要强，连续函数顾名思义，是一条连绵不断的曲线，一致连续的函数不仅仅只满足连绵不断了，那么什么样的函数才是一致连续的呢，从而能否判定一个函数是否一致连续成为人们重视的课题。

下面我们就针对一致连续的判定做一个简要的总结。

一、利用定义判定一致连续性的一种定义是：设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对任给的ε>0存在δ=δ（ε）>0使得对任何'x ,I x ∈",只要|"'x x -|<δ,就有|)"()'(x f x f -|<ε,则称函数f 在区间上一致连续I 。

定义适用范围广，但用起来不太方便。

但从这里可以立即推出若在)(x f [)上满足+∞,1Lipthitz 条件|)"()'(x f x f -|≤L |'x －"x |。

0,",'>∈∀L I x x 其中为某一常数，则必一致连续。

一致连续还有一种另一种表述。

即下面的定理：设I 为有限区间，)(x f 在I 上有定义，试证：f(x)是在I 上一致连续充分必要条件是f 把Cauthy 序列（即当{x n}为Cauthy 序列时，|)(x f |亦为Cauthy 序列。

无穷区间上连续函数一致连续的判定

无穷区间上连续函数一致连续的判定众所周知，函数的连续性是建立在点上的。

即使几是函数在区间切连续性，也是建立在点上的。

因此函数的连续性是一个局部性的概念，而函数的一致连续性才反映了函数在整个区间上的整休性质。

一般来说，只有闭区间〔a,b 〕上的连续函数才具有一致连续的性质，(Cantol 定理)而对于其他类型的区间，函数在其上连续一般不能导致函数在其上一致连续。

譬如函数()sinf x xπ=在区(0,1)内连续，但在(0,1)内却非一致连续，这样的例子可以举出很多。

因此，讨论连续函数的一致连续性也就成了“数学分析”中一个很重要的问题。

显然在某个区间上连续的函数自然就可尽分为两大类:一类是非一致连续的，另一类是一致连续的。

在多数“数学分析”教材中对有限区间上连续函数的一致连续性讨论得较多，对无穷区间上连续函数的一致连续性的判定虽然也进行过一些讨论，但大多是关于它的充分判别法，而对它的充分必要条件谈及甚少。

本文给出判定连续函数在无穷区间上一致连续的一个新的充分必要条件。

用它可以判定一系列连续函数在无穷区问上一致连续的问题，有时比使用定义或其他充分条件要方便得多，定理1:设函数f(x)在区间〔a ，∞)(a 为任意实数)上连续，则函数f(x)在区间〔a ，+ ∞)上一致连续的充分必要条件是在〔a ，+ ∞)上存在一个一致连续的函数g(x)，使得: lim (()())0x f x g x →+∞-=证必要性:因为函数f(x)于〔a ，+ ∞)上一致连续，所以，就选g(x)=f(x), 即找到了一个于〔a ，+ ∞)上一致连续的函数g(x)，并且满足:lim (()())lim (()())0x x f x g x f x f x →+∞→+∞-=-=，充分性:由于在〔a ，+ ∞),)内存在一个一致连续的函数g(x)使得:lim (()())0x f x g x →+∞-=则对任意给定的正数ε，总存在一个常数M>0，使得对于适合不等式x>M 的一切x ，总有()()6f xg x ε-<因为函数f(x)在〔a ，+∞)上连续，从而在有限区间〔a ，M 〕上连续，由康托 (Cantor)定理，函数f(x)必在〔a ，M 〕上一致连续，从而对上述ε>0，总存在1()0δε>，使得对于区间〔a ，M 〕内的任意两点: 12,x x 当121()x x δε-<时，总有21()()2f x f x ε-<()0,()0z g x d s εε∞>>∞又因函数在区间（a,+）上一致连续，从而对于给定的总存在一个时，使得对于(a,+)1212212,,(),x x x x x M x M δε-<>>内任意两点当且21()()6g x g x ε-<21222111222111()()()()()()()()()()()()()()6662f x f x f xg x g x g x g x f x f x g x g x g x g x f x εεεε-=-+-+-≤-+-+-<++=从而有21()()2f x f x ε-<即1212121122(,),(,),,,x a M x M x x M x x M δδεδεδδδεδδε∈∈+∞-<-<<-<<如果任意的取=min((),()),只要必有()()从而有212121()()()()()()()()()()22f x f x f x f M f M f x f x f M f M f x εεε-=-+-≤-+-<+=211221min((),()),()()x x f x f x δδεδεε-<=-<即只要就有不等式：综合上述:对于任意给定的ε>0，总存在一个δ>0，使得对于区间〔a,+ ∞)上的任意两点1x ，2x .只要 21x x -<δ就有不等式:21()()f x f x ε-<根据函数一致连续的定义，f(x)在〔a ，+∞)_上一致连续。

函数一致连续性及其应用

1 函数一致连续性[1]设()x f 在定义在区间I 上的函数，若对任给0>ε，存在()0>=εδδ，使得对任意的1x 、I x ∈2，只要δ<-21x x ，就有()()ε<-21x f x f ，则称函数()x f 在区间I 上一致连续.1.1 函数一致连续的相关定理与证明定理1.1[2] 若()x f 在区间I 上有定义，则()x f 在I 上一致连续的充要条件是()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2，只要 021δ<-x x ，就有()()221ε<-x f x f ,故可得出()()221,02121εδ≤-<-∈x f x f SUP x x Ix x .因为当00δδ<<时，有()()()()εεδδ<≤-≤-<-<-∈∈221,21,021212121x f x f SUP x f x f SUP x x x x Ix x Ix x .故可得()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.②充分性由于()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ,所以0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2只要021δ<-x x ，就有()()εδ<-<-∈21,02121x f x f SUP x x Ix x .故取00δδ≤<，当1x ，I x ∈2，021δ<-x x 时，可以得到()()()()()()εδδ<-≤-≤-<-<-∈∈21,21,21021212121x f x f SUP x f x f SUP x f x f x x x x Ix x Ix x ,所以()x f 在区间I 上一致连续.定理1.2[2] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是在I 上任意两个数列n x '，n x ''，只要使0lim =''-'∞→n nn x x ，就有()()0lim =''-'∞→n n n x f x f 证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f .对于任意数列n x '，n x ''，因为0lim =''-'∞→n n n x x ，故对上述N n N N >∀>∈∃+,0,δ有δ<''-'n nx x . 故可得()()ε<''-'x f x f ，即()()0lim =''-'∞→n n n x f x f .②充分性（反证法）假设()x f 在区间I 上不一致连续，则存在某00>ε，对任意0>δ，都存在相应的两点I x x ∈''',，尽管δ<''-'x x ，但有()()0ε≥''-'x f x f .令n1=δ（n 为正整数），相应的两点记为I x x n n∈''',，尽管n x x 1<''-'，但有()()0ε≥''-'n nx f x f . 当n 取遍所有正整数时，得数列{}nx '与{}n x ''，且有0lim =''-'∞→n n n x x 但是 ()()0lim ≠''-'∞→n n n x f x f ,这与条件矛盾，所以假设不成立.因此可得()x f 在区间I 上一致连续.定理1.3[3] 设函数()x f 在区间I 上可导，其导函数()x f '在区间I 上有界，则()x f 在I 上一致连续.证明因为()x f '在区间I 上有界，则I x M ∈∀>∃,0有()M x f ≤'.对0>∀ε,=∃δδε<''-'∈'''∀x x I x x M ，,,,就有()()()εεξ=⋅<''-''=''-'MM x x f x f x f ,所以()x f 在I 上一致连续.定理 1.4[3] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是对任意给出的0>ε，,0,,>∃∈'''∀M I x x 使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有有()()ε<''-'x f x f .证明 ①必要性（反证法）函数()x f 在区间I 上一致连续,所以0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f 即()()ε≥''-'x f x f 必有δ≥''-'x x .取δε2=M ，当()()M x x x f x f >''-'''-'时有()()ε≥''-'x f x f . 令()()x f x f ''-'=α，则存在1>K 使得()εαεK K <<-1. 令1-=K αβ，则αβε≤≤.不妨设()()()x x x f x f ''<'''<',因为()()()()x f x f x f x f ''=+''≤+'<'αβ，且由连续函数的介值性知(]x x x '''∈∃,1使得()()β+'=x f x f 1同理：(]x x x ''∈∃,12使得()()β+=12x f x f .如此可得k k x x x x <<<<-110 ，规定x x x x k ''='=,0且对每一个i ，()()εβ≥=--1i i x f x f .因为由一致连续的定义知δ≥--1i i x x ,所以()()M K K x x x f x f =≤=≤''-'''-'δεδβδβ2与条件矛盾，假设不成立.即,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有 ()()ε<''-'x f x f .②充分性,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有 ()()ε<''-'x f x f .取Mεδ=，若设()()ε≥''-'x f x f 必有()()M x x x f x f ≤''-'''-'即()()Mx f x f x x 1≥''-'''-' .故()()()()δε=≥''-'''-'''-'=''-'Mx f x f x f x f x x x x 1.故有只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f 即()x f 在I 上一致连续.1.2有限区间上的函数一致连续性定理1.5[1] 函数()x f 在[]b a ,上连续，则函数()x f 在[]b a ,上一致连续.证明（应用有限覆盖定理）由f 在[]b a ,上的连续性，任给0>ε，对[]b a x ,∈∀，都存在0>x δ，使得当()x x U x δ;∈'时有()()2ε<-'x f x f .考虑开区间集合[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a x x U H x ,2,δ，显然H 是[]b a ,的一个开覆盖。

函数一致连续证明的方法和技巧总结

编号 2013110254研究类型理论研究分类号O17学士学位论文Bachelor’s Thesis论文题目关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法作者姓名胡辉学号2009111010254所在院系数学与统计学院学科专业名称数学与应用数学导师及职称许绍元教授论文答辩时间2013年5月25日湖北师范学院学士学位论文诚信承诺书目录1.前言 (1)2.函数一致连续 (2)2.1函数一致连续的定义 (2)2.2 证明函数一致连续的相关真命题 (2)2.3 函数一致连续相关定理 (3)2.3.1函数)f在区间上一致连续的充分条件 (3)(x2.3.2函数)f在区间上一致连续的充要条件 (6)(x2.4 应用举例 (8)3.函数非一致连续 (12)3.1函数非一致连续的定义 (13)3.3 应用举例 (14)4.参考文献 (16)5.致谢 (17)关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法胡辉（指导老师，许绍元教授）（湖北师范学院数学与统计学院中国黄石435002）摘要：本文综述了关于函数一致连续性证明的几个结论和定理，而且针对函数一致连续证明的问题，给出了证明方法的流程图，该流程图对函数一致连续性证给出了很清晰的思路，通过例题解释流程图使用方法。

事实表明该流程图对函数一致连续证明是非常有效的。

相信这篇文章对大家证明函数一致连续性具很大的指导作用。

关键词：函数；一致连续性；命题和定理；流程图；例题中图分类号:O17Uniformly Continuous Function Proof of Certain Skills and MethodsHuHui (Tutor：Xu Shaoyuan)(College of Mathematics and Statistics, Hubei Norma University, Huangshi , Hubei,435002) Abstract: In this paper, several conclusions on the proof of the Uniform Continuity Function Theorem, and a continuous function proof given flow chart of the method of proof, with the flowchart the Uniform Continuity Function card gives a very clearideas, through examples explain the flow chart to use. The fact that this flowchart is very efficient on the number of uniformly continuous proof. I believe this article we prove that the function continuity with the great guide.Keywords：Function; consistent continuity; propositions and theorems; flowchart; example关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法胡辉（指导老师，许绍元教授）（湖北师范学院数学与统计学院中国黄石435002）1.前言本文综述了关于函数一致连续性证明的几个结论，并举例说明其应用。

函数一致连续判定的充分性条件及其应用

函数一致连续判定的充分性条件及其应用依函数连续与一致连续的定义和关系，结合实例总结出函数连续与一致连续的区别，对函数一致连续性的判定方法做了归纳。

分类给出了函数一致连续的若干充分条件及充要条件，以使一致连续性的判定方法更加直观及便于应用。

第一章关键词：连续，一致连续性，充分性条件，判定，应用第二章引言本文选题于经典分析数学中关于函数连续及一致连续的判定与应用问题，主要目的是探讨一致连续函数判定的充分性条件以及在分析领域中的应用。

函数的一致连续性是数学分析中的重要内容，也是学习起来比较困难的一个内容，是函数的一个重要特征，标志着一个连续函数的变化速度有没有“突变”。

函数)(xf在该区间上的每一点都连续，它反映的f在某区间连续，是指)(x是函数)f在该区间内一点附近的局部性质。

函数的一致连续性则是比连续更(x强的一种性质，它不仅要求函数)f在该区间内的每一点保持连续，还要求它(x在该区间所有点邻近有大体均匀的变化趋势，强调的是函数在给定区间内的整体性质，刻画了函数在区间上变化的相对均匀性，有助于研究函数)f的整体变(x化趋势。

第三章由函数的连续引出一致连续函数的一致连续是从连续的概念派生出来的，要比函数连续的条件更严苛，但是在数学分析教科书中，往往只给出一致连续的定义以及利用定义证明函数在某区间上一致连续的方法。

为了更加便于对函数一致连续的理解，首先从函数在某区间上连续的定义出发，引出一致连续的概念，然后从局部性和整体性两个方面分析给出连续与一致连续的区别。

2.1 函数的连续性2.1.1 函数连续的概念当函数)(x f 的自变量x 变化很微小时，所引起的)(x f 的变化也很小，此时一个连续量)(x f 随着另一个连续量x 连续地变化，可以用极限给出严格的描述：定义1（函数在点0x 连续)[1] 设)(x f 在包含0x 的某个邻域内有定义，若)()(lim 00x f x f x x =→，则称函数)(x f 在点0x 处是连续的。

一致连续性

一致连续性1引言函数的一致连续性是研究函数的重要内容，关于函数一致连续问题的理解与应用是理解其他知识的基础。

为了使函数一致连续性的判定条件更加系统，本文总结了函数一致连续的一些条件。

本文主要探讨连续函数到一致连续函数所需的条件。

函数在区间上连续是指函数在该区间的每一点都连续，而一致连续性概念反映了函数在区间更强的连续性。

函数在区间上一致连续，可以推出函数在区间上每一点都连续，而函数连续并不能推出函数一致连续。

但对于定义在闭区间的函数，函数每一点连续，却可以推出函数在该闭区间上一致连续。

本文主要分为两个部分：第一部分介绍了一致连续函数的判定定理；第二部分介绍了一致连续函数的性质。

一致连续函数的判定定理主要包括函数在区间上的一致连续的判定定理以及周期函数和数列函数一致连续的判定定理。

一致连续函数的性质主要包括函数值与自变量的关系，函数的有界性以及四则运算。

2一致连续函数的主要结论定义1 设f 为定义在区间I 上的函数.若对0>∀ε，使得对,",'I x x ∈∀只要δ<-"'x x ,就有 ε<-)"()'(x f x f ，则称函数f 在区间I 上一致连续.直观地说，函数f 在区间I 上一致连续意味着：不论两点'x 与"x 在I 中出于什么位置，只要它们的距离小于δ，就可使ε<-)"()'(x f x f .注1 )(x f 在区间I 上一致连续时,)(x f 在区间I 上连续.反之不真.注2 )(x f 在区间I 上一致连续，区间I I ⊂',则)(x f 在区间'I 上一致连续. 例1、证)(x f =)sin(x 在),(-∞+∞上是一致连续的．证明:设1x ，2x ∈),(-∞+∞,则2|sin sin |21=-x x |2cos 2sin |2121x x x x --≤22||21x x -||21x x -=,故对0>∀ε，εδ=∃，当δ<-||21x x 时，有|sin sin |21x x -≤δ<-||21x x =ε,所以由定义)(x f =)sin(x 在),(-∞+∞上是一致连续的. 定义2定理1（一致连续性定理）若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上一致连续性.证明：∀0x ],[b a ∈，因为)(x f 在0x 点连续，所以0>∀ε，0),(0>=∃x εδδ，使得 ],[,21b a x x ∈∀，若||01x x -<2δ，<-||02x x 2δ，则 <-|)()(|01x f x f 2ε， <-|)()(|02x f x f 2ε，就有||21x x -≤|02x x -|||01x x -+<2δ+2δ=δ， |)()(|12x f x f -≤|)()(|01x f x f -<-+|)()(|02x f x f 2ε+2ε=ε，也就是说，在],[b a 任何0x 邻域)4,(0δx O 内21,x x ∀，都有 <-|)()(|12x f x f ε．现在考虑)4,(0δx O ，当0x 取遍],[b a 上一切点时，)4,(0δx O 构成一个开区间集E ，它覆盖着],[b a ，由有限覆盖定理，],[b a 就由从E 中所取的有限个开区间)4,(kk x O δ ),3,2,1(m k =所覆盖，取η=)44,4,4min(321k δδδδ ，],[,21b a x x ∈∀且||21x x -≤η，1x 必属于)4,(kk x O δ中的一个，设)4,(001i i x x δ∈即||01i x x -<40i δ，又||02i x x -≤+-||21x x ||01i x x -<η+40i δ，表明)4,(,0021i i x O x x δ∈，所以有<-|)()(|12x f x f ε，即)(x f 在],[b a 上一致连续．定理2 设函数f 在区间I 上满足利普希茨（Lipschitz)条件,即存在常数0>L ,使得对I 上任意两点'x ，"x 都有"')"()'(x x L x f x f -≤-，则f 在I 上一致连续.证明：对0>∀ε，取，则对于,",'I x x ∈∀且δ<-"'x x ，有ε<-≤-"')"()'(x x L x f x f ，故f 在I 上一致连续.定理3 若单调有界的函数)(x f 在有限区间()b a ,内连续，则函数)(x f 在()b a ,上是一致连续的.证明：因为)(x f 是()b a ,内的单调有界的函数，由函数极限的单调有界定理，)(lim x f a x +→与)(lim x f bx -→都存在，可把)(x f 拓展为[]b a ,上的连续函数)(x F ，即 )(x F =()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∈=-+→→.),(lim ,,),(,),(lim b x x f b a x x f a x x f b x a x 由一致连续性定理，可得)(x F 在[]b a ,上一致连续，于是)(x f 为()b a ,内的一致连续函数.定理 4 设)(x f 在)[∞+,a 上连续，且)(lim x f x +∞→存在,证)(x f 在)[∞+,a 上一致连续.证明： A x f x =+∞→)(lim ∴ 0>∀ε ，0>∃M ，当M x >时，有 2)(ε<-A x f∴ 对[)+∞∈∀,",'a x x ，当M x x >",'时，有 εεε=+<-+-≤-22)'()'()"()'(A x f A x f x f x f 又 )(x f 在[]M a ,上连续∴ )(x f 在[]M a ,上一致连续，即0'>∃δ，当''"δ<-x x ，且∈",'x x []M a , 时，有 ε<-)"()'(x f x f∴ 只须取}41,'min{δδ=，则对[)+∞∈∀,",'a x x ，当δ<-'"x x 时，均有 ε<-)"()'(x f x f ∴ )(x f 在)[∞+,a 上一致连续.推论 )(x f 在),(-∞+∞上连续，且)(lim x f x +∞→，)(lim x f x -∞→)(∞<=B B ，则)(x f 在),(-∞+∞上一致连续．定理5 函数)(x f 在区间I 上一致连续的充要条件是对I 上任何二数列 {},{}n n x y I ∀∈当lim()0n n n x y →∞-=有n lim[()(]n n f x f y →∞-）=0. 证明必要性因为()f x 在I 一致连续，故0,0εδ∀>∃>，当n x ，n y I ∈有||n n x y δ-<，有|()(n n f x f y -）|<ε而 lim()0n n n x y →∞-=，对于0δ>，∃N ∈N ，当n N >必有||n n x y δ-<，因而|()(n n f x f y -）|<ε即 n lim[()(]n n f x f y →∞-）=0 充分性（反证法）设f (x)在I 上不一致连续，则有0ε>0，∀0δ>，∃'x ，''x I ∈，由|'''|x x δ-<得出0|(')('')|f x f x ε->取δ=1n ()n N ∈，∃,n n x y I ∈，由1||n n x y n-<得出 0|()()|n n f x f y ε->这里显然与当lim()0n n n x y →∞-=有n lim[()(]n n f x f y →∞-）=0矛盾所以()f x 在I 上必一致连续.。

[整理]一致连续性的判定定理及性质.

一致连续性的判定定理及性质作者：朱肖红指导老师：张海摘要函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要概念,在分析问题中起着十分重要的作用.它不仅是闭区间上连续函数黎曼可积的理论基础,而且与随后的含参量积分,函数项级数等概念都有着密切的联系.因此,判定函数的一致连续性是数学分析的一项重要内容.本文对函数的一致连续性的概念进行了深入分析,对判定函数一致连续性的充分条件,充要条件作了简要概括,并给出了闭区间和开区间上函数一致连续性的判别方法.包括无穷区间上函数一致连续性的判定,并分别给出了这些定理的证明.同时,本文也总结了一致连续性的几个性质及它的应用.关键词连续函数极限有界函数一致连续非一致连续1引言弄清函数一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续性的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键.数学分析教材中只给出了一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的Cator 定理,内容篇幅少,但实际运用时,这些远远不够.本文将给出函数在区间上一致连续性的几个充分条件,充要条件及性质与运用.这几种方法为教科书所忽视,但比较实用且应用面广泛,有必要加以详细讨论.2一致连续性的概念定义 2.1 设函数()x f 在区间I 上有定义.若,,,0,021I x x ∈∀>∃>∀δε只要,21δ<-x x 都有()()ε<-21x f x f ,称函数()x f 在I 上一致连续.对函数一致连续性概念的掌握,应注意以下三个方面的问题：（1）要注意函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系比较函数在区间的连续性和一致连续性可知：前者的δ不仅和ε有关,而且还和点0x 有关,即对于不同的0x ,一般来说δ是不同的,这表明只要函数在区间内每一点都连续,函数就在区间连续；后者的δ仅与ε有关,与0x 无关,即对不同的0x ,δ是相同的.这表明函数在区间的一致连续性,不仅要求函数在这个区间的每一点都连续,而且要求函数在区间上的连续是“一致”的.（即连续可对一点来讲,而且对于某一点0x ,δ取决于0x 和ε ,而一致连续必须以区间为对象, 只取决于ε ,与点0x 的值无关.）在区间I 上一致连续的函数在这个区间一定是一致连续的,事实上,由一致连续性定义将1x 固定,令2x 变化,即知函数()x f 在1x 连续,又1x 是I 的任意一点,从而函数()x f 在I连续,但在区间I 连续的函数在这区间上不一定一致连续,例如()xx f 1=在区间 ()1,0 就是如此.（2）函数一致连续性的实质,就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值的差,就绝对值来说,可以任意小,即任意的21,x x ,当δ<-21x x 时,就有()()ε<-21x f x f .（3）要注意函数一致连续的否定叙述一致连续的否定就是非一致连续,即设函数()x f 在区间I 上有定义,若δδε<-∈∃>∀>∃21210:,,0,0x x I x x 有()()021ε≥-x f x f ,则称)(x f 在I 上非一致连续.总的来说,函数的连续性反映了函数的局部性质,而函数的一致连续性则反映了在整个区间上的整体性质.二者之间既有区别又有联系.3一致连续性的判定定理判定函数一致连续性的几个充要条件定理3.1 ()x f 在 []b a ,上一致连续的充要条件是()x f 在[]b a , 上连续. 证明［必要性］由定义直接可得.［充分性］采用反证法,假设()x f 在 []b a ,上非一致连续, 即,00>∃ε对0>∀η,在区间[]b a , 内至少存在两点1x 及2x , 虽然η<-21x x ,但()()021ε≥-x f x f .现取() 3,2,11==n nη ,那么在[]b a , 内存在两点()n x 1 及 ()n x 2 . 虽然 ()()nx x n n 121<-,但()()()()021ε≥-n n x f x f .应用魏尔斯特拉斯定理,在有界数列(){}nx 1中存在一个收敛的子列()()∞→→k x x k n 01,这里[]b a x ,0∈,再由于()()nx x n n 121<- , 所以 ()()kk k n x x 121<-, 亦即()()∞→→-k x x kk n n 021.因为()()∞→→k x x k n 01 ,所以()()∞→→k x x k n 02, 并且()()()()021ε≥-kkn n x f x f对一切 k 成立.另一方面,由于()x f 在 0x 连续,亦即()()00lim x f x f x x =→.由函数极限与数列极限的关系,有()()()()()()021lim ,lim x f x f x f x f k k n k n k ==∞→∞→.而()()()()()0lim 21=-∞→k k n n k x f x f .这同()()()()021ε≥-k kn n x f x f对一切 k 成立相矛盾.即假设不成立.即原命题成立.定理 3.2 函数 ()x f 在有限开区间()b a , 内一致连续的充要条件是()x f 在()b a , 内连续且极限()x f ax +→lim 和()x f bx -→lim 存在.证明［充分性］令⎝⎛=-∈=+=b x b f b a x x f a x a f x g ),0(),(),(),0()(则)(x g 在[]b a ,上连续,从而)(x g 在[]b a ,上一致连续.［必要性］因为()x f 在()b a , 内一致连续.∴()x f 在()b a , 内连续,并且∈>∃>∀21,,0,0x x δε()b a , ,当δ<-21x x 时, 有()()ε<-21x f x f于是当()δ+∈a a x x ,,21 时，有()()ε<-21x f x f .根据柯西准则,极限()x f ax +→lim 存在.同理可证()x f bx -→lim 也存在.定理3.3设函数()x f 在区间 I 上有定义, 在I 上一致连续的充要条件是对区间I 上的任意两数列}{n x 与}{n y ,当0)(lim =-∞→n n n y x 时, 有()()0)(lim =-∞→n n n y f x f .证明［必要性］因为()x f 在I 上一致连续,所以I y x ∈∀>∃>∀,,0,0δε,当δ<-y x 时有ε<-)()(y f x f .任取I 上的两数列}{n x 与}{n y 并且满足0)(lim =-∞→n n n y x .则对N ∃>,00δ ,当N n >时有0δ<-n n y x .于是ε<-)()(n n y f x f ,即0)]()([lim =-∞→n n n y f x f .［充分性］假设()x f 在I 上不一致连续, 则δδε<-∈∃>∀>∃21210:,,0,0x x I x x ,但()()021ε≥-x f x f .特别,取)(1N n n ∈=δ ,则ny x I y x n n n n 1,,<-∈,但 0)]()([lim )()(,0≠-∴≥-∞→n n n n n y f x f y f x f ε,这与已知条件矛盾.所以原命题成立.判定函数一致连续性的几个充分条件定理 3.4 若()x f 在),(+∞-∞ 内连续,且)(lim ),(lim x f x f x x +∞→-∞→ 都存在,则()x f 在),(+∞-∞ 上一致连续.证明 0,)(lim ,0,01>∃∴=>∃>∀+∞→b A x f x δε ,当b x > 时, 有2)(ε<-A x f ,从而当12121,,δ<->x x b x x 时, 有ε<-+-≤-A x f A x f x f x f )()()()(2121 .所以()x f 在),[+∞b 上一致连续. 同理可证当221δ<-x x 时,有()()ε<-21x f x f ,即知()x f 在],(a -∞ 上一致连续.又()x f 在[]b a ,上连续,03>∃∴δ当 321δ<-x x 时，有()()ε<-21x f x f ,故()x f 在[]b a , 上一致连续. 取},,m in{321δδδδ= ,当 δ<-21x x 时便有()()ε<-21x f x f即()x f 在),(+∞-∞上一致连续.定理3.5 若函数)(x f 在区间I 上的导数有界,则)(x f 在I 上一致连续.推论若函数)(x f 在),[+∞a 上单调增加,可导且其图形是上凸的,则 )(x f 在区间),[+∞a 上一致连续.证明：由 )(x f 可导且单增,从而0)('≥x f ,又曲线)(x f y = 向上凸,从而 )('x f 在),[+∞a 上单减.所以)()(0''a f x f +≤≤ ,于是)('x f 在 ),[+∞a 上有界,由上定理知,)(x f 在 ),[+∞a 上一致连续 .定义 3.1 设函数 )(x f 是区间 I 上的实值函数,如果任取 10,,≤≤∈λI y x ,有())])}()1()())1(([){()1()(]1[y f x f y x f y f x f y x f λλλλλλλλ-+≥-+-+≤-+称是区间上凸（下凸）函数.定义 3.2 若)(x f 在 )(00x U 有定义,且hh x f h x f h )2()2(lim000--+← 的极限存在,则称)(x f 在0x 拟可导,记为hh x f h x f x Df h )2()2(lim)(0000--+=→. 引理3.1凸函数在任意开区间（有限或无穷）I 上连续. 引理3.2 若函数)(x f 在I 上连续,且对I x x ∈∀21,,有)2(2)()(2121x x f x f x f +≥+ ,则)(x f 为下凸函数.定理3.6 若函数)(x f 在区间I （有限或无穷）上单调,且)(x Df 在I 内处处存在且有界,则函数)(x f 在开区间 I 上一致连续.证明不妨设)(x f 在开区间 I 上单调增加.因为)(x Df 在I 内处处存在,有界,即 I x M ∈∀>∃,0,有 M x Df <)(. 下面证明：对I x x x x ∈<2121,, ,有)(2)()(1212x x M x f x f -<- .若不然,1111,,b a I b a <∈∃ ,使)(2)()(1111a b M a f b f -≥- .令)(2111b a c +=,则区间 ],[1c a 和 ],[1b c 中至少一个,记为],[22b a , 满足 )(2)()(2222a b M a f b f -≥-由此,利用归纳法可得到区间套 ⊃⊃⊃⊃],[],[],[2211n n b a b a b a .)(21)2()(2)()()1(111a b a b a b M a f b f n n n n n n n -=--≥--根据区间套定理,这些区间有惟一的公共点,记为ξ . 由条件知,M Df <)(ξ .所以,0>∃δ ,使当δ<h ,且I hh ∈+-2,2ξξ时，有M hf h f h <--+)]2()2([1ξξ . (3) 因为],[1n n n b a ∞=⋂∈ξ,且0→-n n a b ,故存在正整数 N,使22δξξδξ+<≤<-N a .不妨设ξξ-<-N N b a .令 )(20ξ-=N b h ,则 δ<0h ,且222200δξξξδξ+<=+<<-<-N N b h a h . 故000)(2)()()2()2(Mh a b M a f b f hf h f N N N N ≥-≥-=--+ξξ 此与（3）矛盾,从而（1）试对I 内任意两点都成立,因而可得 )(x f 在区间 I 上一致连续.推论1 若函数)(x f 是开区间I （有限或无穷）上的凸函数,且拟导数存在,有界,则)(x f在区间 I 上一致连续.证明不妨设)(x f 为区间I 上的下凸函数, .因为)(x f 为凸函数,所以)(x f 在I 上连续.若)(x f 在I 上单调,由定理3知结论成立.若)(x f 在 I 上不单调,由 )(x f 为区间I 上的下凸函数可知,在I 上至少存在三点321x x x << ,有)()(21x f x f > ,且 )()(32x f x f <.因为)(x f 在],[31x x 上连续,故存在),(310x x x ∈,使)(min )(],[031x f x f x x x ∈= .下证)(min )(0x f x f Ix ∈= .否则,若存在][314x x I x --∈ ,且)()(04x f x f < .若04x x < ,则λ∃ ,使 10,)1(401<<-+=λλλx x x ,从而)())()1()()(0401x f x f x f x f <-+≤λλ,矛盾.同理04x x >不成立.于是,由)(x f 为区间I 上的下凸函数定义可证, )(x f 在 ],(0x a 上递减,在[),0b x 上递增.故)(x f 在],(0x a 与0[,)x b 上一致连续.而)(x f 在I 上连续,故)(x f 在I 上一致连续.推论2 若函数)(x f 在开区间 I （有限或无穷）满足条件：I x x ∈∀21,)1(,有);2(2)()(2121x x f x f x f +≥+)(,)2(x f I x -∈∀. 和)(x f + 都存在)3(在I 上处处拟可导,且拟导数有界.则函数)(x f 在区间I 上一致连续.证明先证)(x f 在I 上连续.对I x ∈∀0,下证)()(00x f x f +-= .因为)()(00x f x f +-≠ ,则不妨设)()(00x f x f +-< ，取0,0))()((41100>∃>-=-+δεx f x f , 100:δ<-<∈∀x x I x ，有ε<--)()(0x f x f , 100:δ<-<∈∀x x I x ,有ε<-+)()(0x f x f .}2,,2)()(min{,0,0100δδδM x f x f h M -+-=∃>∀>∀有hx f x f hx f x f h x f h h x f h x f )()()2()()2()2()2(0000000-++-+---+=--+ M M x f x f x f x f h x f x f h x f x f =--≥-=-->-+-+-+-+2))()((2)()(2)()(2)()(00000000ε.与已知条件矛盾,所以)()(00x f x f +-= .又由)2(2)()(00xx f x f x f +≥+,两边对x 取极限,得 )()(00x f x f -≥.因为 I 为开区间,取0>h ,使I h x h x ∈-+00, , 则2)()()2()(00000h x f h x f h x h x f x f -++≤-++=,两边对 h 取极限, 得)(2)()()(0000x f x f x f x f --+=+≤,从而)(x f 在0x 点连续,即)(x f 在区间I 上连续,由引理2得)(x f 为凸函数.由推论1得)(x f 在区间I 上一致连续定理 3.7 若函数 )(x f 在区间I 上满Lipschitz 条件,即存在常数0>L ,使对任何I x x ∈21, ,都有2121)()(x x L x f x f -≤- ,则函数 )(x f 在区间 I 上一致连续.依定义可立即证得推论若函数)(x f 在区间I 上可导,且 )('x f 在区间I 上有界,则函数)(x f 在区间I上一致连续.证明 )('x f 在区间I 上有界,即 I x L ∈∀>∃,0,有L x f ≤)(' .因为)(x f 在区间I上可导,据拉格朗日定理I x x ∈∀21,,有))(()()(21'21x x f x f x f -=-ξ .从而2121'21)()()(x x L x x f x f x f -≤-=-ξ ,即)(x f 在区间I 上满足Lipschitz 条件,故)(x f 在区间I 上一致连续.定理 3.8 若函数)(x f 在),[+∞a 可导,且λ=+∞→)(lim 'x f x （常数或∞+）,则)(x f 在),[+∞a 一致连续的充要条件是λ为常数.证明［充分性］若λ为常数,由局部有界性,,a A >∃可使)('x f 在),[+∞A 有界,再由定理4推论,)(x f 在 ),[+∞A 上一致连续,再由Cantor 定理知)(x f 在],[A a 一致连续 .故)(x f 在),[+∞a 一致连续.［必要性］（反证法）设+∞=+∞→)(lim 'x f x .则0,210>∀=∃δε ,取δ1=G ,故,,A x a A >∀>∃有.)('G x f >.取A x x >21, ,且使δδ<=-221x x ,据拉格朗日定理有212)()()(21'21=>-=-δξGx x f x f x f . 故)(x f 在),[+∞A 非一致连续,这与)(x f 在),[+∞a 一致连续矛盾.上定理的结论相当完美,它使得许多初等函数在无限区间上一致连续与非一致连续的判别,都变得简便易行.4一致连续的性质性质 4.1若)(x f 和)(x g 都是区间I 上的有界的一致连续函数,则)()()(x g x f x F =也在I 上一致连续.证明由题设)(x f ,)(x g 有界,从而存在0>M ,使.,)(,)(I x M x g M x f ∈∀<< .再由 )(x f ,)(x g 都一致连续,则0,01>∃>∀δε 和02>δ ,使I x x x x ∈∀4321,,, ,且243121,δδ<-<-x x x x ,时有Mx g x g Mx f x f 2)()(,2)()(4321εε<-<- ,令},m in{21δδδ=,则I x x ∈∀65,,且δ<-65x x 时)()()()()()()()()()()()(656655665565x f x f x g x g x g x f x g x f x g x f x F x F -+-≤-=-εεε=+<MMMM22.所以)(x f )(x g 在I 上一致连续.性质 4.２函数)(x f 在 ],[b a 上一致连续,又在],[c b 上一致连续,c b a << .用定义证明：)(x f 在],[c a 上一致连续.证明由)(x f 在],[b a 一致连续,故0,01>∃>∀δε,使当],[,21b a x x ∈,且121δ<-x x 时,有2)()(21ε<-x f x f (i)同理,)(x f 在],[c b 上一致连续,对上述0>ε,存在02>δ,使当],[,43c b x x ∈ ,且243δ<-x x 时,有2)()(43ε<-x f x f (ii)令},m in{21δδδ= ,则对0>ε,当],[,65c a x x ∈ 且 δ<-65x x 时,（1）若],,[,65b a x x ∈由（i ）式有εε<<-2)()(65x f x f（2）若],[,65c b x x ∈,由（ii ）式也有ε<-)()(65x f x f （3）若],[],,[65c b x b a x ∈∈时,则δδ<-<-b x b x 65, 所以 εεε=+<-+-≤-22)()()()()()(6565x f b f b f x f x f x f .从而得证 )(x f 在 ],[c a 上一致连续.性质 4.3设函数)(x f 在),[+∞a 连续,函数)(x g 在),[+∞a 一致连续,且0)()(lim =-+∞→x g x f x ,则)(x f 在 ),[+∞a 一致连续.证明 0)()(lim =-+∞→x g x f x ,故 A x x a A ≥∀>∃>∀21,,,0ε,有 3)()(,3)()(2211εε<-<-x g x f x g x f .及函数)(x g 在),[+∞a 一致连续,故对上述A x x ≥∀>∃>21,,0,0δε ,且 δ<-21x x ,有3)()(21ε<-x g x g .综上A x x ≥∀21,,且 δ<-21x x ,有)()()()()()()()(22211121x g x f x g x g x g x f x f x f -+-+-≤- .εεεε=++<333即 )(x f 在),[+∞A 一致连续,再由Cantor 定理知)(x f 在 ],[A a 上一致连续,故)(x f ),[+∞a 在一致连续.定理5表明：若连续函数可在无穷远处充分接近一个一致连续函数,则其必一致连续.考虑到线性函数必一致连续,如果某连续函数在无穷远处充分接近一个线性函数,即此函数存在斜渐近线,则它必一致连续.即是如下推论.推论设函数)(x f 在),[+∞a 连续,且有斜渐近线,即有数b 与 c ,使0])([lim =--+∞→c bx x f x ,则)(x f 在),[+∞a 一致连续.5一致连续性的应用利用一致连续性定义或判断函数一致连续性的定理来判断某函数的一致连续性.例1 判断),0(,11)(2+∞∈+=x xx f 的一致连续性. 解：因为 011lim2=++∞→x x ，111lim 20=+→x x 又 )(x f 在),0(+∞ 上连续,所以 )(x f 在),0(+∞ 上一致连续.本题利用定理3.4，)(x f 在无限区间上连续且在端点极限存在，则)(x f 在此无限区间上一直连续.例2 证明)(x f =x e 在R 上非一致连续.证明1 :ln ),1ln(),11(0,21210R n x n x e n ∈=+=∀->∃>∀=∃δδε,ln )11ln(ln )1ln(21δδ=<+=-+=-e n n n x x 有021211)1()()(ε=>=-+=-n n x f x f .所以)(x f =x e 在R 上非一致连续.根据一直连续性定义证得.证明2 取R n y n x n n ∈=+=ln ),1ln( , 且0)11ln(lim ]ln )1[ln(lim )(lim =+=-+=-∞→∞→∞→n n n y x n n n n n .但01)1(lim ][lim )]()([lim ln )1ln(≠=-+=-=-∞→+∞→∞→n n e e y f x f n n n n n n n .所以)(x f =x e 在 R 上非一致连续.此题根据判定函数一直连续性的充要条件即定理3.3.例3 判断)1,0(,1cos )(∈=x x e x f x 的一致连续性.解：因为x e x x 1cos lim 0+→ 不存在,所以)(x f =x e 在)1,0( 内不一致连续.此题根据判定连续函数在有限开区间一致连续性的方法即定理3.2例4 证明： x e x f =)(在),(a -∞ 上一致连续,而在 ),(+∞a 上非一致连续.证明 0lim =-∞→x x e 且a x a x e e =-→lim .所以 x e 在 ),(a -∞上一致连续.+∞==+∞→x x x x e Lim e e ,)(' .所以)(x f =x e 在 ),(+∞a 上非一致连续.此题根据连续函数导数的有界性来判定函数的一致连续性。

函数一致连续性的判别

函数一致连续性的判别一.函数一致连续性的定义1.函数一致连续性的概念定义：设函数)(x f 在区间I 有定义，若δδε<-∈∀>∃>∀212,1:,0,0x x I x x 有,)()(21ε<-x f x f 称函数)(x f 在I 上一致连续。

例1.证明：函数)0()(≠+=a b ax x f 在),(+∞-∞上一致连续。

证：,0>∀ε由于'''')''()(x x a x f x f -=-，取δ=aε，则对任何),(,'''+∞-∞∈x x ，只要δ<-'''x x ，就有ε<-)()('''x f x f ，故函数)0()(≠+=a b ax x f 在),(+∞-∞上一致连续。

例2. 证明：函数xx f 1)(=在区间[]1,a （其中10<<a 为常数）上一致连续；在区间(]1,0上非一致连续。

证：（1）,0>∀ε由于'''2'''''''''''111)''()(x x a xx x x x x x f x f -≤-=-=-，取εδ2a =，则对任意[],1,,'''a x x ∈当δ<-'''x x 时，就有ε<-)()('''x f x f ，故函数xx f 1)(=在区间[]1,a （其中10<<a 为常数）上一致连续；（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>∃>∀>=∃δδε10,0210n ，取11'+=n x ，(]1,01'',11'∈=+=n x n x ，虽然有 ,1)1(11112'''δ<<+<-+=-nn n n n x x 但211)1()(0'''=>=-+<-εn n x x f ，故函数xx f 1)(=在区间(]1,0上非一致连续。

二元函数一致连续性的判定

Ｖ８＝＞０，（ｎ＝１，２， …），总存在相应的Ｐｎ，Ｑ ∈Ｄ，尽管ｐ（Ｐｎ，Ｑ）
ｎ
证明：对于Ｖｅ＞Ｏ，８＝ ÷
当ｌｘ１一ｘ２ｌ＜８，ｌｙｌ－ｙ２１＜８ｎ￣，有
ｋｌ＋ｋ２
＞０，Ｖ（ｘ．，Ｙ，）ＥＤ，（ｉ：１，２ …），
ｓｏ＞Ｏ￣，故ｆ（Ｐ）在Ｄ上一致连续．定理２：函数ｆ（Ｐ）在有界开区域Ｄ上一致连续的充分必要条件是：函数ｆ（ｐ）在Ｄ上连续，且对于ＶＰｏＥ０Ｄ，ｌｉｍｆ（Ｐ）存在．（注：ａＤ为Ｄ的边界，为Ｄ的闭包）证明：（必要性）函数ｆ（Ｐ）在有界开区域Ｄ上一致连续，即
二元
函数
一致连续性
许若敏汪义瑞
７２５０００）
的判定
（安康学院数学与统计系，陕西安康
摘要：函数的一致连续性是数学分析学习中一个重要内容，文章讨论了二元函数一致连续性判定的充分条件及充分必要
对任意ｅ＞０，总存在只依赖于８的正数８，使得对于ＶＰ．、Ｐ，ＥＤ，
续，则ｊ８０＞０，对于Ｖ８＝＞０，（ｎ＝ｌ，２， …），Ｐ，Ｑ ∈Ｄ，虽然ｐ（Ｐ，Ｑ）＜８，ｔＥｌ￣ｌｆ（Ｐ）＿ｆ（Ｑ）－ｆ（Ｑ）Ｉ ≥￡０．与已知矛盾，则假

函数f(x)一致连续的条件及应用

函数f(x)一致连续的条件及应用函数f(x)一致连续的条件及应用内容摘要：比较全面的总结了判断函数的一致连续性的条件，并结合具体例子对这些方法加以应用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，还将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去．关键词：一致连续拟可导函数基本初等函数二元函数Abstract：This paper is more completely to summarize the methods of judging uniform continuity of functions, and apply them to analyze some examples, moreover, we discuss uniform continuity of fundamental primary functions in detail, and extend these methods to the case of functions of two variables. Key words: uniform continuity perederivatable functions fundamentalprimary functions functions of two variables 1．引言函数的一致连续性是数学分析课程的重要理论，弄清函数的一致连续性的概念和熟练掌握判断函数一致连续的方法是学好这一理论的关键．一般的数学分析教材中只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的G.康托定理，内容篇幅较少，不够全面和深入；虽然有些论文对函数一致连续性的判断作了一些拓展和补充，但是显得不够系统和应用得不够广泛．因此，对一般数学分析教材中这一部分内容并结合一部分论文资料，作一个比较系统和全面的总结，并作适当的拓展，如将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去，无疑这一工作是十分必要和具有现实意义的．2．预备知识一致连续和非一致连续的定义一致连续：设f(x)为定义在区间I上的函数.若对任给的??0，存在???(?)?0，使得对任何x?,x???I，只要x??x????，就有f(x?)?f(x??)??,则称函数f(x)在区间I上一致连续. 1 非一致连续：存在?0?0，对任何正数?，总存在两点x?,x???I，尽管x??x????，但有f(x’)?f(x’’)??0.则称函数f(x)在区间I上非一致连续. G.康托定理G.康托定理[1]：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一致连续. 这个定理的证明可应用实数连续性命题中有限覆盖定理或致密性定理来证明．但是G.康托定理只能用来判断有限闭区间上函数的一致连续性，应用不是十分广泛．下面再介绍几种比较常见的判断函数一致连续性的方法．几种常见的判断函数一致连续性的方法方法1：利用李普希茨条件若f(x)在区间I上满足李普希茨条件，即任给x,y?I，有f(x)?f(y)kx?y?为常数），则f(x)在区间I上一致连续. 方法2：有限开区间上一致连续的判别法若f(x)在有限开区间(a,b)上连续，且f(a?0)与f(b?0)都存在且有限?函数f(x)在上连续，且f(a?0)存在且有限?函数f(x)在(a,b]上一致连续. 方法3：无穷区间上一致连续的判别法若f(x)在(??,??)上连续，且limf(x)?A及limf(x)?B 极限存在，则f(x)在x???x???(??,??)上一致连续. 类似的还有：若f(x)在[a,??)(或(??,b])上连续，且limf(x)(或limf(x))极限存在，则f(x)在x???x???[a,??)(或(??,b])上一致连续. f(x)(或limf(x)及若f(x)在(a,??)(或(??,b))上连续，且limf(x)及lim?x???x?ax??? 2 x?b?limf(x))极限存在，则f(x)在(a,??)(或(??,b))上一致连续. 3. 方法的归纳和应用方法的归纳及方法的应用方法1：用连续模数来刻画一致连续性若f(x)在区间I上有定义,则称?f(?)?supf(x)?f(x)为函数f(x)的连续x’,x’’?Ix’?x’’??’’’模数. 定理若f(x)在区间I上有定义,则f(x)在I上一致连续的充要条件是[5]??0?lim?f(?)?0. ??0’’’g(?)?0,则推论若f(x)在区间I上连续,若?f(?)?supf(x)?f(x)?g(?)且lim?x’,x’’?Ix’?x’’??f(x)在I上一致连续. 上述定理易得到一致连续的视察法: ?f(?)的值只与f(x)的图象最陡的地方有关.若f(x)的图象在某处无限变陡, 使得?f(?)?0,则f(x)非一致连续;若f(x)在某处最陡,但??0时,此处的变差?f(x’)?f(x’’)?0,则f(x)一致连续. 1在(0,c)(c?0)上是非一致连续的,但在[c,??)(c?0)上一致连续. x1分析：f(x)?(x?0)，在x?0处，图形无限变陡. x例1 f(x)????0,?f(?)???.??0?时?f(?)??0. 因此，f在任何区间(0,c)(c?0)上都是非一致连续的. 但在区间[c,??)上，f(x)?可见，f(x)?111?0(??0?). 在点c处最陡，且?f(?)??xcc??1在[c,??)上一致连续. x方法2：利用一致连续函数的四则运算性质来判断一致连续(1)若f(x),g(x)都在区间I上一致连续,则f(x)?g(x)也在I上一致连续. 3 (2)若f(x),g(x)都在有限区间I上一致连续,则f(x)g(x)也在I 上一致连续. 若f(x),g(x)都在区间I(含无穷区间)上一致连续且有界,则f(x)g(x)也在I上一致连续. (3)若f(x)在区间I上一致连续,且有正的下确界(或负的上确界),则致连续. (4)若f(x)在区间I上一致连续,则?f(x)也在I上一致连续(其中?为任意常数). 例2 若f(x)在有限区间I上一致连续, g(x)在区间I上非一致连续.问: f(x)?g(x)在1也在I上一f(x)I上的一致连续性. 分析：假设f(x)?g(x)在I上一致连续，又f(x)是有限区间I的一致连续函数，一致连续函数的四则运算性质知g(x)?[f(x)?g(x)]?f(x)在I上一致连续，这与条件矛盾. 所以，f(x)?g(x)在I上非一致连续．同理有f(x)?g(x)在I上非一致连续. 方法3：复合函数的一致连续性设函数f(x)在区间I上一致连续, g(x)在区间U上一致连续,且g(U)?I,则复合函数f(g(x))在区间U上一致连续. 方法4：利用两区间之并设f(x)定义在[a,c]上，若f(x)在[a,b]和[b,c]上都连续，则f(x)在[a,c]上一致连续. 上述结论可进一步推广为：设区间I1的右端点为c?I1,区间I2的左端点也为c?I2(I1,I2可为有限或无限区间).若[1]f(x)在I1和I2上都一致连续,则f(x)在I?I1?I2上一致连续. 例 3 讨论f(x)?x在[0,??)上的一致连续性. 分析：f(x)在[0,??)上连续，设a?0，当0?x?a 时，设0?x1?a,0?x2?a,x1?x2??，则4 x1?x2?x1?x2??, 0??f(?)?supx1,x2?[0,a]x1?x2??f(x1)?f(x2) ?? ??0，所以f(x)?且lim???0x在[0,a]上一致连续. 当x?a时，x1?x2?所以f(x)?x1?x2x1?x2??2a,且lim???0?2a?0. x在[a,??)上一致连续. x在[0,??)上一致连续. 综上所述，f(x)?方法5：利用数列(1)函数f(x)在I上一致连续?对区间I上任意两个数列{xn},{yn},当limxn?yn?0n??时,有limf(xn)?f(yn)?0. n??函数f(x)在I上非一致连续?区间I上存在两个数列{xn},{yn},当limxn?yn?0时,n??但limf(xn)?f(yn)?0. n??例4 f(x)?sinx2在(??,??)内非一致连续. ’分析：可取xn?2n???2,xn’’?2n???2，则xn’?xn’’?0(n??).而f(xn’)?f(xn’’)?2，故f(x)?sinx2在(??,??)内非一致连续.(2)函数f(x)在有界实数集E上一致连续?函数f(x)将E中的柯西列变成R中的柯西[5]1列. 方法6：利用渐近线设f(x)在[a,??)上连续,且lim[f(x)?(cx?d)]?0(c,d为常数).即x???时, x???f(x)有渐近线y?cx?d，则f(x)在[a,??)上一致连续. 上述结论可进一步推广为: [6] 5设f(x)在[a,??)上连续,g(x)在[a,??)上一致连续,即x???时,且x???lim[f(x)?g(x)]?A，则f(x)在[a,??)上一致连续. 例5 f(x)?xln(e?)在[1,??)上一致连续. 1x1xln(e?)x?1,b?lim[xln(e?1)?x]?1，故f(x)?xln(e?1)在该分析：于k?limx??x??xxxe区间有渐近线y?x?1，所以f(x)在[1,??)上一致连续. e方法7：利用导数若f(x)在区间I上存在有界导函数,即?M?0,?x?I,有f?(x)?M，则f(x)在I上一致连续. 下面还有一个应用得更加广泛的结论: 若f(x)在[a,??)上连续,在(a,??)内处处可导,且limf?(x)?A存在，则f(x)在x???[6] [a,??)上一致连续. 例6 f(x)?’x2?2在(??,??)上一致连续. xx2?2,f’(x)?1，故f(x)?x2?2在(??,??)上一致连续. 分析：于f(x)?方法8：利用积分设函数f(x)在区间[a,??)上局部可积，且f(x)在区间[a,??)上有界,则F(x)??xaf(s)ds在[a,??)上一致连续. 方法9：引进拟可导函数来说明一致连续性定义1(凸函数) 设函数f(x)在区间I上有定义,若?x,y? I,0???1,有[4] f[?x?(1??)y]??f(x)?(1??)f(y)(或f[?x?(1??)y]??f(x)?(1??)f(y)), 则称f(x)为定义在区间I上的下凸(或上凸)函数,上,下凸函数统称为凸函数. 注：下面的定义，引理，定理和推论均见[4]. 定义2(拟可导函数) 若函数f(x)在U0(x0)有定义,且极限 6hhf(x0?)?f(x0?)22存在, limh?0hhhf(x0?)?f(x0?)22. 则称函数f(x)在x0拟可导,记为Df(x0)?limh?0h引理1 凸函数在任意开区间I上连续. 引理 2 若f(x)在区间I上连续，且对?x1,x2?I，有f(x1)?f(x2)x?x?f(12)，22则函数f(x)为下凸函数. 定理若f(x)在开区间I上单调，且Df(x)在I内处处存在，有界，则f(x)在I上一致连续. 推论1 若f(x)是开区间I上的凸函数，且拟导数存在，有界，则f(x)在I上一致连续. 推论2 若f(x)在开区间I 上满足条件：①?x1,x2?I，有f(x1)?f(x2)x?x?f(12)；22②?x?I，f?(x)和f?(x)都存在；③在I上处处拟可导，且拟导数有界，则f(x)在I上一致连续. 几个重要应用应用之一：周期函数的一致连续性[2][6] 设f(x)是(??,??)上以T为周期的函数，则f(x)在(??,??)上连续?f(x)在(??,??)上一致连续. 应用之二：基本初等函数的一致连续性?(1)f(x)?x在[0,??)上，当0???1时一致连续，当??1时不一致连续.(2)f(x)?e在R上非一致连续. x 7(3)f(x)?lnx在(0,1]上非一致连续，在[1,??)上一致连续. (4)y?sinx和y?cosx均在R上一致连续,y?tanx和y?cotx均在其定义域上非一致连续. (5)y?arcsinx 和y?arccosx均在[?1,1]上一致连续,y?arctanx和y?arccotx均在(??,??)上一致连续. p(x)?0xn??1xn?1?...??n(6)R(x)?，其中n,m 为非负整数，?mm?1q(x)?0x??1x?...??m?0,?1,...?n ，?0,?1,...,?m均为常数，且?0?0，?0?0.当n?m?1时，R(x)在[a,??)上一致连续；当n?m?1时，R(x)在[a,??)上非一致连续.. 4. 二元函数的一致连续性前面我们已经对一元函数的一致连续性已作了详细的叙述，下面我们将一元函数的一致连续性的一些结论推广到二元函数中去. 定理 1 若函数f(P)在有界闭区域D上连续，则f(P)在D上一致连续. 定理2 函数f(P)在有界开区域D上一致连续?f(P)在D上连续，且?P0??D,limf(P)存在. P?P0P?D2定理3 函数f(x,y)在R上连续，且limf(x,y)存在，其中r?r???x2?y2，则f(x,y)在R2上一致连续. 定理 4 函数f(x,y)在区域D上满足：?(xi,yi)?D(i?1,2)，都有，f(x1,y1)?f(x2,y2)?k1x1?y1?k2x2?y2则f(x,y)在D上一致连续. 定理5 函数f(x,y)在凸区域D内存在有界偏导数，则f(x,y)在D上一致连续. 定理6 函数f(P)在区域D上一致连续?对?{Pn},{Qn}?D，n???lim?(Pn,Qn)?0，恒有limf(Pn)?f(Qn)?0. n??? 8 定理7 函数f(x,y)在有界区域E上一致连续?函数f(x,y)将E中的柯西列变成R中的柯西列. 总之，一元函数的一致连续性大多可以推广到二元函数上去，但形式上要注意区别，例如定理5中的条件要求为凸区域．5. 结束语文章比较全面的总结了各种判断函数的一致连续性的条件，并结合实例对这些方法加以运用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，并将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去，这些都具有一定的意义．然而必须指出：关于函数一致连续性的判断，是函数所满足的条件及所定义的范围决定的，还不能解决所有的判断函数一致连续的问题，还可以进行更加深入的讨论和研究．。

函数一致连续的判别方法及其应用.

函数一致连续的判别方法及其应用摘要函数一致连续性是数学分析的重要概念，一般教材只给出一致连续的概念及Cantor 定理，没有做更深入的研究。

本文比较全面的总结了判断函数的一致连续性的条件，并结合具体例子对这些方法加以应用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，从充要等条件出发进行深入的分析和系统的总结。

关键词：一致连续积分导数Cantor定理基本初等函数AbstractThe uniform continuity of function is an important concept of mathematical analysis. General textbooks only show the concept of uniform continuity and the Cantor theory, without a more in-depth study. This thesis comprehensively summarize the conditions to judge the uniform continuity of functions, combined with specific examples of these methods to be applied, and made a more complete discussion of the uniform continuity of the basic elementary functions, with in-depth analysis and summary, starting from the necessary and sufficient conditions.Keywords:uniform continuity integral derivative Cantor theorem Basic elementary function目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)第一章引言 (1)第二章一致连续的充要条件 (2)第三章一致连续的充分条件 (10)第四章函数一致连续的应用 (16)4.1 应用一：基本初等函数的一致连续性的应用 (16)4.2 应用二：反函数的一致连续性的应用 (18)4.3 函数的四则运算的一致连续性 (21)总结 (24)致谢 (25)参考文献 (26)第一章引言我们知道，函数的一致连续性是数学分析中应用非常普遍，重要而又抽象的数学概念之一，它体现在某个区间上的整体性质，是微积分学的基础，并且对后续课程的学习起着关键作用。

对函数一致连续性的讨论

对函数一致连续性的讨论Discussion of the uniform continuityof the function函数的一致连续性概念是数学分析中的一个重要概念，但是由于它没有像连续函数、可导函数那样直观的几何意义，所以对一致连续概念只是从字面上掌握了其抽象定义，对其实质则很难透彻理解．本文从一致连续的定义、几何意义两个方面进行了详细阐述，希望能加深对一致连续性概念的理解．1、对定义的理解首先给出连续与一致连续的概念【1】：定义1 函数()f x 在区间I 上连续是指：0x I "?，0e ">，0d $>，当x I "?： 0x x d -<时，有0()()f x f x e -<．定义2 函数()f x 在区间I 上一致连续是指：0e ">，0d $>，当12x x I "?、： 12x x d -<时，有12()()f x f x e -<．（1）由定义可知，在区间I 上一致连续的函数一定是连续的．事实上，由一致连续性定义将1x 固定，令2x 变化，即知函数()f x 在1x 连续，又1x 是区间I 的任意一点，从而函数()f x 在I 连续．但反之则不成立，即在区间I 上连续的函数不一定一致连续．（2）比较两个定义可知：函数连续定义中的d 不仅与e 有关，还与0x 有关，即对于不同的0x ，d 一般是不同的，这表明只要函数在区间内每一点都连续，函数就在该区间连续；而一致连续定义中的d 只与e 有关，与0x 的选取无关，即对于不同的0x ，d 是相同的，这表明函数在区间上的一致连续性，不仅要求函数在这个区间的每一点都连续，而且要求在每点的连续要具有“一致性”，即对不同的0x ，能找到共同的d ，使得当0x x d -<时，有0()()f x f x e -<．而所谓共同的d ，就是所有d 的最小值，当最小值不存在时，函数就非一致连续．（3）函数一致连续的实质就是，当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上函数值的差的绝对值可以任意小，即12x x I "?、，当12x x d -<时，有12()()f x f x e-<【5】．（4）要注意函数一致连续的否定叙述一致连续的否定叙述就是非一致连续，即设函数()f x 在区间I 有定义，若00e $>，0d ">，12,x x I $?：12x x d -<，有()120()f x f x e -?，则称函数()f x 区间I 上非一致连续．总的来说，函数的连续性反映了函数的局部性质，而函数的一致连续性反映了函数在整个区间上的整体性质，两者之间既有区别又有联系。

函数一致连续地若干方法

函数一致连续的若干方法学生姓名：钱建英学号:20115031297数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师：段光爽职称：讲师摘要函数在区间上的一致连续性是学习数学分析课程中的重要理论之一，本文主要讲述了函数在有限区间与无线区间上一直连续的若干方法并举例说明关键词函数；一致连续；极限；SeveralmethodsofuniformlycontinuousfunctionAbstract Thefunctionuniforminintervalisoneofthemostofimportanttheoriesinthe mathematicsanalysiscourse.thispaperdescribesseveralmethodsfunctiononafiniteinterval withawirelessrangehasbeencontinuousandillustrated.Keywords:functionconsistent-continuitylimit.0前言一致连续是在数学分析中频繁用到的概念，是数学分析中经常涉及的问题，并且一致连续性问题是数学分析中的主要理论，函数一致连续与处处连续有着本质的区别：处处连续是局部概念而一致连续是函数和区间共同决定的，是整体的概念.目前数学分析课本上的判别法大多是利用函数一致连续的定义，没有提出一些直观的判别法.对于初等函数一致连续的问题并没有系统的总结，函数非一致连续也是利用定义，没有直观判别.函数一致连续性的判定是学习数学分析的重点和难点，因此寻找函数一致连续性的较为直观的判定方法非常重要，对于今后的学习以及数学分析教学有帮助，学习函数一致连续性时有更加直观的感觉，建立感性认识，将一致连续与其他知识联系起来，开阔分析问题的思路，为其他问题的解决奠定基础，本文给出了一些判定方法.1有限区间上函数一致连续1.1一致连续性定义设f为定义在区间I上的函数.若对任给的0，存在0，使的对任何的x,xI,只要xx，就有fxfx.则称函数f在区间I上一致连续.f在I上一致连续意味着：任意的两点x,x,不论这两点在I中处于什么位置，只要它们的距离小于，就可得到fxfx.11.2有限区间上一致连续性定理定理1如果函数f在闭区间a,b上连续，那么可以得到函数f在a,b一致连续.证若不然，则00，以及点列x n,y n a,b虽然limx n y n0，n但是fx n fy n0,n1,2,因为n有界，所以由致密性定理，n有一个收敛的点列n，k设，limxxn0kk从而.limylimyxxxn k nnn0kkkkk又因为ax n b，由极限的不等式性质我们可以推得ax0b，可知f在点k0连续.0limfxfyfx0fx00.n k nkk矛盾.定理2若函数f在开区间a,b上连续，那么f在a,b上一致连续的充要条件是fa0,fb0均存在.证明做函数f的连续延拓函数f，令fa0,x a.ffx,xa,bfb0,x b易知函数fx在a,b上连续，由函数一致连续定理可知fx在a,b上一致连续，必在开区间a,b上一致连续，即在开区间a,b上一致连续.由函数f在开区间上a,b一致连续的定义可知，0,0,x,xa,b，2当xx时，有fxfx，故x,x a,a，2可得xxxaax，因此fxfx.由柯西收敛准则知fa0存在，同理可证fb0存在.定理3函数f在区间I上一致连续的充要条件任意的x n,yI,x N y n n，就有fx n fy n nn由于数列xn,y是任意性，所以该定理常可用于证明函数不是一致连续.n1.3有限区间上一致连续性条件推论1设fx在有限区间a,b上连续，那么由上面定理可知fx在a,b上一致连续充要条件是极限fa0,fb0均存在.推论2设fx在有限区间a,b上连续，那么有上面定理可知fx在a,b上一致连续充要条件是极限fa0,fb0均存在.2无限区间上一致连续2.1无限区间上一致连续判定定理定理4若函数f在a,上连续，且fx极限存在，则f在a,一致连续.，则f 定理5设f在a,连续，g在a,上一致连续，且limfxgx0x在a,一致连续.证明由与limfxgx0，所以0,Aa,x,xA，可得fxgx.3以及fxgx.33由于函数g在a,上一致连续，因此0,0,x,xA，且xx，因此gxgx.3因此，x,xA，xx，可得fxfxfxgxgxgxfxgx.f在a,上一致连续，又因为f在a,A上一致连续，所以f在a,上一致连续.直观表述：若连续函数在无穷远出可以充分贴近一个一致连续函数，那么这个函数必定一致连续.定理6若函数f在a,可导，并且limfx，则f在a,上一致连续的x充要条件是为常数.证明如果为常数，由局部有界性可知，Aa，使得fx在区间A,上有界，又由于f在区间A,上一致连续，所以f在区间a,A上一致连.1 反证法：设limfx则0,0,取21G，因此Aa,xA,可得fxG，取x1xA,x1x2,那么我们跟据拉格朗日定理可得,221fx1fxfxxG.22212因此可得f在区间A,上不是一致连续，这和f在区间a,上一致连续相矛盾.这个结论使得许多初等函数在无限区间上一致连续与不一致连续的判别方法变得简单.2.2无限区间上一致连续性条件推论3如果函数f在区间,b上连续，并且limfxA，那么f在,b上一致连续.推论4函数f在区间a,上一致连续的充分条件是f在区间a,上连续并且fa0和f都存在.推论5函数f在区间,b上一致连续的充分条件是f在,b上连续且fb0和f都存在.4结论1若函数f,g在Ia,上连续，并且函数f,g满足：1limfxlimgx；2f,g在I上可导，并且gx0；fx3lim存在；gxfx如果limA，那么f,g有相同的一致连续性.gx结论2如果函数f,g在I,b上连续，并且函数f,g满足：1limfxlimgx；2f,g在I上可导，并且gx0；fx3lim存在；gxfx如果limA，那么f,g有相同的一致连续性.gx结论3如果函数f,g在I,上连续，并且函数f,g满足：1limfxlimgx2f,g在I上可导，并且gx0存在fx如果limA，那么f,g有相同的一致连续性.gx2.3一致连续的四则运算1如果fx,gx两个函数在区间I上存在有界的导数，可以得出fxgx在区间上一致连续.2如果fx,gx两个函数在区间I上一致连续，那么存在任意的常数,使得fxgx在区间上一致连续.3如果fx,gx两个函数在区间上I存在有界的导数，可以得出fxgx在区间上一致连续.54如果fx,g x两个函数在区间I上一致连续且有界，可知fxgx在区间上一致连续.性质1如果函数f在有限区间I上一致连续，那么函数f在有限区间I上有界.证明若设函数f在Ia,b内一致连续，那么由一致连续的定义可知，令10，ba0，当x1,x2a,b并且x1x2，3恒有fx1fx1.2我们将a,b分为a,a，2 a,b和b,b222，那么1当x a,a时，可以得到2fxfxfafa1fa.2222当xb,b2时恒有：fxfxfb1fb.223当x a,b时，由闭区间连续函数的有界性的定理知，M0使得22当xa,b22时，有fxM若Mmax1fa,1fa,M，22 那么对于任意的xa,b都有fxM.6性质2设函数f在I1,I两个区间上一致连续，并且I1,I2两个区间交集不等于空2集，那么函数f在I1I2上也一致连续.证明若I1I或I1I2，结论显然成立.2假设I1,I2两个区间之间不相互包含，因为f在I1,I2上面一致连续，所以对于任意的0.01，对于任意的x1,x2I1，并且有x1x，21那么fx1fx.2而且20，对于任意的x1,x2I2，并且x1x，22有fx1fx.2因为I1,I两个区间的交集不等于空集，所以取x0属于I1,I2的交集，又因为函数f 2在I两个区间上一致连续，所以f在x0连续.对于上面的正数，30，1,I I两个区间上一致连续，所以f在x0连续.对于上面的正数，30，2当x I1I，有xx032那么fxfx/2.取m in1,,，x1,x2I1I2，当x1x2时，就有231若x1,x2I1，或者x1x22，有fx1fx.22若x1I1，x2I2那么x1xxxxx，0012137fx1fx/2，2同理可得f x2fx/2所以有f在f x1fx/2/22因此f在I1I2上一致连续.3函数一致连续实例3.1有限区间上一致连续实例例1证明函数y 1x在0,1上不一致连续.证由一致连续性的定义知，证明函数在某区间上不一致连续，只需证明：0，尽管对于任意的正数(无论多么小)，总是存在两点x,xI，虽然xx，但存在fxfx.对于函数y 1x，我们可取01，无论对于多么小的正数12，只要取x和x可知，虽然2xx 但是1 x 1x11 .所以函数y 1x在0,1上不一致连续.例2求证 f1sin在区间0,1上不一致连续.x证证明函数fx1sin在区间0,1上不一致连续，只需证明存在两个数x8列x n ,yI ,存在limxx0n n，但是limfxfx0 n.11我们取,x ,n 1,2x n n2n 2n2虽然有limx n y n 0.n但是sin 11 sinx n yn1 .由此可知f1 sin 在区间0,1上不一致连续.x例3如果有一个函数f 在闭区间a,b 上一致连续，求证：存在一个函数gy 在0,具备下面的性质：1gy 在上单调递增，且当yba 时，gy 等于常数. 2对任意的x,x a,b ，有fxfxgxx. 3limgy0y0. 证明令sup x,xa,bgyxxyf xfx,0hba gba,h ba那么gy 在上单调递增，对任意的x,x a,b ，有fxfxgxx.并且当yba 时，gygba.又因为fx 在闭区间a,b 上一致连续，由一致连续性定理，0,0，使得x 1,x a,b 时，x 1x 2，得到2fx 1fx.2 9对于任意的y，满足0y，如果x1,xa,b并且x1x2y，2gy supfxfx.xxa,b所以limy0g y 0.3.2无限区间上函数的一致连续例1如果fxarctgx在区间,1和0,上一致连续，求证fx在,上一致连续.证：因为fxarctgx在区间,1和0,上是一致连续的，所以对于任意的0,0，当1x1,x21,,x1x21，可以得出fx1fx2并且存在20,当x1,x20,时，可以求的fx1fx2所以取m in1,,，那么当12 x x并且当1,2,x x12时，x1,x2同时属于,1或者同时属于0,，所以fxfx.12 成立.综上可知fx在,上一致连续.例2证明函数fxsinx x cosx2x 1在a,上的一致连续性.证取一个函数gxsinx，由于初等函数在其区间上是一致连续的，所以gxsinx一致连续.又因为limfxgx0.x所以fx在区间上一致连续.参考文献[1]田立平，陈昌.论连续函数的一致连续性[J].河南教育学院学报自然科学版，2011年9期[2]汪义瑞，李本庆.一致连续函数的判定[J].安康师专学报，2003年12期[3]杨峻，何朝兵.函数一致连续性的判定[J].安阳师范学院学报，2006年5期[4]洪敏.关于一致连续函数的判别[J].惠州学院学报自然科学版，2005年6期10[5]成波，李延兴.函数一致连续性的一种新证法[J].安康师专学报，2006年8期[6]钱伟懿.函数一致连续证明方法研究[J].渤海大学学报，2011年12期[7]鞠正云.用导数判别函数的一致连续性[J].镇江高专学报，1998年3期[8]王少英.任意区间上一致连续函数的判定[J].雁州师范学院学报，2007年4期[9]姜雄.关于函数在任意区间上一致连续与非一致连续的条件讨论[J].辽宁科技学院学报，2005年2期[10]杨小远，马建华，张立文，汪玮彬，刘梦.关于函数一致连续性的判别方法研究[J].河南科学，2010年6期11。

关于函数在任意区间上一致连续与非一致连续的条件讨论

定义１．设／（ｘ）在区间，上有定义，若对任意占＞０，存在６
＞ｏ当工Ｉ，工２∈Ｊ『卜ｌ一工２Ｉ＜万时，有ｆ／（工。）一／（ｘ：）Ｉ＜￡，则
厂（ｘ）在，上一致连续。
有Ｊ厂（ｘＩ）一厂（ｘ２）ｆ＜占，由柯西收敛准则ｌｉｍ厂ｏ）存神；，ｆ－＇口＋
同理ｌｉｍ厂（ｘ）存在。
工—÷Ｏ－
仁（充分性）若厂（工）在（口，６）内连续，且ｌｉｍ以曲和
证：（１）先证／（ｚ）在【口，＋∞上一致连续。
因ｌｒ＿ｉⅧｍ厂（ｘ）２爿（有限），由柯西准则对任意占＞Ｏ，
存在Ⅳ＞口，使任意一，ｘ：＞Ⅳ有Ｉ／（一）一厂Ｏ：）Ｉ＜占。
现将【口，＋ｏｏ）分成两个区间【口，Ⅳ＋ｌ】，【Ⅳ，＋∞）因为∥∞在【亿Ⅳ＋ｌ】上连续，故在ｋⅣ＋１】上一致连续。
从而对上述的ｅ＞ｏ必存在渺Ｏ，使任意ｘ１，ｘ２∈啊，Ⅳ＋１】
定义２．厂＠）在区间，有定义，任意占＞ｏ，存确！万＞ｏ当盟３脚都存在，补充定义／（６）＝？味／（ｘ）’
Ｊ。，Ｊ：∈，，ｋ一工：Ｉ＜Ｊ时，有ｌ厂Ｑ，）一八工：）ｉ≥占。则称函数厂（口）＝熙厂（ｘ），则厂（ｘ）在【口，６】上连续，由Ｇ·康托
厂（ｘ）在，上非一致连续．
若／（ｘ）在【口，６】上有定义，则厂（工）红【口，６】ｊ：一致连续
又已知：厂＠）在闭区间陋，彳＋Ｉ】＾连续，则／（ｘ）在
『口－彳＋１１上一致连续。对上述的占＞Ｏ，存在６。＞Ｏ，
ｊｃｌ，ｘ２∈【口，彳＋１】’ ，当Ｉｘ２一ｘＩＩ＜疋时，有
ｌ／（Ｊ。）一，（ｘ：）Ｉ＜占，取万＝ｍｉｎｐ，，疋，１）
ｘｌ，ｘ２∈（口，佃）且ｌｘ２一ｘ．１＜万
，（ｘ）在区间，上满足ｌｉｍ（工。一虬）＝Ｏ的两数列
第７卷第２期２００５年２月
辽宁科技学院学报ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＬＩＡＯＮＩＮＧＩＮＳＴＩＴＵＴＥ０ＦＳＣＩＥＮＣＥＡＮＤＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ

函数一致连续性的判别

例1.证明：函数)0()(≠+=a b ax x f 在),(+∞-∞上一致连续。

例2. 证明：函数xx f 1)(=在区间[]1,a （其中10<<a 为常数）上一致连续；在区间(]1,0上非一致连续。

导算子连续和一致连续的充要条件

导算子连续和一致连续是指函数的导数在某一个区间内的连续性和一致性。

在数学中，函数的导算子连续和一致连续的充要条件通常是指如下的几点：
1.函数的导数存在：如果函数的导数存在，则函数的导算子就是连续的。

2.函数的导数在某一个区间内连续：如果函数的导数在某一个区间内连续，则函数的导算
子就是一致的。

3.函数的导数在某一个区间内一致连续：如果函数的导数在某一个区间内一致连续，则函
数的导算子就是一致的。

4.函数的导数的值在某一个区间内一致：如果函数的导数的值在某一个区间内一致，则函
数的导算子就是一致的。

这些条件通常都是函数的导算子连续和一致连续的充要条件。

在实际应用中，需要结合具体情况来判断函数的导算子连续和一致连续的情况。

函数一致连续的几个充分条件

函数一致连续的几个充分条件
函数一致连续的几个充分条件
邱德华;李水田
【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】2006(022)003
【摘要】得到了函数一致连续的几个充分条件.
【总页数】3页(136-138)
【关键词】一致连续;凸函数;拟导数;单调
【作者】邱德华;李水田
【作者单位】衡阳师范学院,数学系,湖南,衡阳,421008;衡阳师范学院,数学系,湖南,衡阳,421008
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.连续函数在无穷区间上一致连续的一个充分条件 [J], 任建娅
2.函数非一致连续的一个充分条件 [J], 沈晨; 金贵荣
3.二元函数在平面R2一致连续的一个充分条件 [J], 黄有亮
4.函数f（x）在无穷区间内一致连续的一个充分条件 [J], 齐邦交
5.绝对连续函数的一个充分条件 [J], 田宗林; 吴加勇
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