湖南省怀化市2021届新高考第四次大联考数学试卷含解析

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湖南省怀化市2021届新高考第四次大联考物理试卷含解析

湖南省怀化市2021届新高考第四次大联考物理试卷一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．如图所示，A、B两球质量相等，A球用不能伸长的轻绳系于O点，B球用轻弹簧系于O′点，O与O′点在同一水平面上，分别将A、B球拉到与悬点等高处，使轻绳拉直，弹簧处于自然长度。

将两球分别由静止开始释放，达到各自悬点的正下方时，两球仍处在同一水平面上，则下列说法正确的是（）A．两球到达各自悬点的正下方时，动能相等B．两球到达各自悬点的正下方时，B球动能较大C．两球到达各自悬点的正下方时，A球动能较大D．两球到达各自悬点的正下方时，A球受到向上的拉力较小【答案】C【解析】【详解】ABC．两个球都是从同一个水平面下降的，到达最低点时还是在同一个水平面上，根据重力做功的特点可知在整个过程中，AB两球重力做的功相同，两球重力势能减少量相等。

B球在下落的过程中弹簧要对球做负功，弹簧的弹性势能增加，所以B球在最低点的速度要比A的速度小，动能也要比A的小，故AB 错误，C正确；D．由于在最低点时B的速度小，且两球质量相同，根据向心力的公式2v-=T mg mr可知，B球需要的向心力小，所以绳对B的拉力也要比A的小，故D错误。

故选C。

2．如图所示，OAB为四分之一圆柱体的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为53°，则C点到B点的距离为（sin53°＝0.8，cos53°＝0.6）（）A ．415RB ．215RC ．2RD ．3R 【答案】B【解析】【详解】由题意知得：小球通过D 点时速度与圆柱体相切，则有v y =v 0tan53°小球从C 到D ，水平方向有Rsin53°=v 0t竖直方向上有2yv y t =联立解得815y R = 根据几何关系得，C 点到B 点的距离 215315CB y y R cos R =--︒=（）故B 正确，ACD 错误。

湖南怀化市第三中学2020届高三第四次联考数学(理)试卷(含解析)

定点，并求出该定点 N 的坐标．
0, 求证：直线 l 过
y A l Q
O
F
x
P 第 20 题
21．（本小题满分 14 分）
已知数列
an 的前 n 项和为 sn ，点 (n, Sn ) 在直线 y
1x
11
上．数列
bn 满足：
n
22
bn 2 2bn 1 bn 0(n N ) ，且 b3 11 ，前 9 项和为 153．
uuur
uuur
CA (0, 3,0) ， CA (0, 3,0)
uuur
uuur
uuur uuur
BF (1,0,a) DF ( 1, 3, a) CAgBF 0 ，
CA BF
uuur ur
r
ur
DE gm 0
（2）平面 ABC的法向量 n (0,0,1) ，设平面 FBD的法向量 m ( x, y, z) ，由 uuur ur ，
A． a + b
ab
B．
2
C． a－ b
D．b－ a
二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 35 分 .
1
9．已知已知 a 2
9
4
(a>0) ，则 log 2 a =
3
.
10. 如图，某空间几何体的主视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，
如果直角三角形的直角边长为 1，那么这个几何体的体积为
绝密 ★启用前
数学试题（理）
注意事项： 1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，

第01讲集合的概念与集合间的基本关系(原卷版+解析)

第01讲集合的概念与集合间的基本关系【学习目标】1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.4.在具体情境中,了解空集的含义.【基础知识】一、集合的概念1.元素与集合：我们把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母,,,A B C 表示.集合的元素通常用小写字母,,,a b c 表示.二、集合与元素的关系如果a 是集合A 的元素,记作a A ∈,读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素,记作a A ∉,读作“a 不属于A ”. 三、集合中元素的特点1.确定性：集合的元素必须是确定的.2.互异性：对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不相同的.3.无序性：集合中的元素可以任意排列. 四、常用数集及其记法所有非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集）,记作N ; 所有正整数组成的集合称为正整数集,记作N +或N *；所有整数组成的集合称为整数集,记作Z ；所有有理数组成的集合称为有理数集,记作Q ；所有实数组成的集合称为实数集,记作R . 五、集合的表示1.列举法:把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔）,放在大括号内,依此表示集合的方法称为列举法,如{}1,2,3,{},x y x y +-等.2.描述法:一般地,如果属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质()p x ,而不属于集合A 的元素都不具有这个性质,则性质()p x 为集合 A 的一个特征性质,此时集合A 可以表示为(){}x p x ,这种表示集合的方法称为特征性质描述法,简称描述法.3.解决集合问题首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义),如{}20x x x -=表示方程x 2－x =0的解集；{}2x y x x =-表示函数y =x 2-x 的自变量组成的集合；{}2y y x x =-表示函数y =x 2－x 的函数值组成的集合；(){}2,x y y xx =-表示抛物线y =x 2－x 上的点组成的集合.六、子集1.一般地如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,那么集合A 为集合B 的子集.,记作 A ⊆B （或 B ⊇A ）,读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.2.规定：空集是任何集合的子集,即A ∅⊆.3.子集的性质：（1）任何一个子集都是它本身的子集,即A A ⊆. （2）若A B ⊆,且C B ⊆,则C A ⊆. 七、韦恩图韦恩（V enn ）图：为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为韦恩图. A 是B 的子集,可用下图表示：八、真子集1.如果集合A 是集合B 的子集,并且集合B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 称为集合B 的真子集,记作AB （或B A ）,读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.2.真子集的性质（1）空集是任何非空集合的子集. （2）若AB ,BC ,则AC .九、集合的相等与子集的关系 1.如果A ⊆B 且B ⊆A ,则A =B . 2.如果A =B ,则A ⊆B 且B ⊆A . 十、有限集合的子集个数B A若集合A中有n个元素,则集合A的所有子集的个数为2n,真子集个数为2n－1,非空子集个数2n－1,非空真子集个数为2n－2.【基础知识】考点一：集合的判断例1．（2021-2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中）下面给出的四类对象中,构成集合的是（）A．某班视力较好的同学B．长寿的人C．π的近似值D．倒数等于它本身的数【答案】D【解析】对于A,视力较好不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于B,长寿也不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于C,π的近似值没有明确近似到小数点后面几位,不是明确的定义,故不能构成集合；对于D,倒数等于自身的数很明确,只有1和-1,故可以构成集合；故选D.考点二：元素与集合的关系例2．（2021-2022学年】浙江省金华市曙光学校高一上学期10月月考）给出下列关系：①13∈R ；②3∈Q；③－3∉Z；④3-∉N,其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【解析】13是实数,①正确；3是无理数,②错误；－3是整数,③错误；－3是无理数,④正确.所以正确的个数为2.故选B.考点三：集合中元素互异性的应用例3．（2021-2022学年湖北省十堰市车城高中高一上学期9月月考）由2a,32a-,1可组成含3个元素的集合,则实数a的取值可以是（）A．1B．1-C．0D．3-【答案】C【解析】由元素的互异性可得22321321a aaa⎧≠-⎪≠⎨⎪-≠⎩,解得1a≠且3a≠-且1a≠-.故选C.考点四：集合的表示例4．（多选）集合{}1,3,5,7,9用描述法可表示为（）A ．{x x 是不大于9的非负奇数}B ．{21,,x x k k N =+∈且}4k ≤C ．{}*9,x x x N ≤∈D ．{}09,x x x Z ≤≤∈【答案】AB【解析】对A,{x x 是不大于9的非负奇数}表示的集合是{}1,3,5,7,9,故A 正确；对B,{21,,x x k k N =+∈且}4k ≤表示的集合是{}1,3,5,7,9,故B 正确；对C,{}*9,x x x N ≤∈表示的集合是{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,故C 错误；对D,{}09,x x x Z ≤≤∈表示的集合是{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,故D 错误. 故选AB.考点五：集合关系的判断例5．（多选）（2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第一中学高一上学期9月月考）下列各式中正确的是（） A ．{}{}00,1,2∈B ．{}{}0,1,22,1,0⊆C ．{}(){}0,101=，D ．{}012∅⊆，，【答案】BD【解析】由子集的定义易知B 正确；对A,{}{}00,1,2⊆,错误；对C,{}0,1表示有2个元素的数集,(){}01，表示有一个元素的点集,错误；对D,空集是任何集合的子集,正确.故选BD. 考点六：由集合包含关系求参数的值或范围例6．（2021-2022学年湖南省永州市第二中学高一上学期10月月考）已知{}{15},1,R A x x B x a x a a =-<<=-<<∈(1)若2,B ∈求实数a 的取值范围 (2)若B A ⊆,求实数a 的取值范围【解析】 (1)∵2,B ∈{}1B x a x a =-<<,∴12a a -<<,即23a <<, ∴实数a 的取值范围为23a <<；(2)∵B A ⊆,{}{15},1,R A x x B x a x a a =-<<=-<<∈,∴115a a -≥-⎧⎨≤⎩,解得05a ≤≤,故实数a 的取值范围为05a ≤≤. 考点七：子集个问题例7．（2021-2022学年湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学高一上学期阶段性评估）集合{1,2,3}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈+∈∣,则集合B 的真子集的个数为（） A ．8 B ．6C ．7D ．15【答案】C【解析】{(1,1),(1,2),(2,1)}B =,集合B 的真子集的个数为3217-=个.故选C.【真题演练】1．(2018年高考全国卷Ⅱ卷)已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，,则A 中元素的个数为 ( ) A ．9B ．8C ．5D ．42.（2020-2021学年云南省北大附中云南实验学校高一3月月考）下列各对象可以组成集合的是（） A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师3. （2021-2022学年河南省焦作市县级重点中学高一上学期期中）给出下列四个关系：π∈R , 0∉Q ,0.7∈N , 0∈∅,其中正确的关系个数为（） A ．4B ．3C ．2D ．14.（2020-2021学年湖北省襄阳市第二十四中学高一上学期9月月考）下面五个式子中：①{}a a ⊆；②{}a ∅⊆；③{a }∈{a ,b }；④{}{}a a ⊆；⑤a ∈{b ,c ,a }；正确的有（） A ．②④⑤B ．②③④⑤C ．②④D ．①⑤5.（2021-2022学年江西省重点名校高一3月联考）设集合(){}20M x x x =-=,且N M ⊆,则满足条件的集合N 的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．86.（2020-2021学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高一上学期第一次月考）集合{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,则20162015a b +的值为（） A ．0B ．1C ．－1D ．±17.（多选）（2021-2022学年广东省茂名市第五中学高一上学期期中）下列集合中,可以表示为{}2,3的是（） A ．方程2560x x ++=的解集 B ．最小的两个质数 C ．大于1小于4的整数D ．不等式组23253270x x x ++⎧>⎪⎨⎪-<⎩的整数解8.（2020-2021学年云南省德宏州高一上学期期末统一监测）若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”；对于集合1,2A ,{}2|2,0B x ax a ==≥,若这两个集合构成“鲸吞”,则a 的取值为____________．【过关检测】1．（2021-2022学年甘肃省静宁县第一中学高一上学期第一次月考）若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是（） A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形D ．菱形2．（2021-2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中）①{}00∈,②{}0∅⊆,③{}(){}0,10,1=,④(){}(){}(),,a b b a a b =≠,其中正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．43.（2021-2022学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高一上学期9月月考）已知集合 {}20,,32A m m m =-+,且 2A ∈,则实数m 的值为（） A ．3B ．2C ．0或3D ．0或2或34.（2021-2022学年安徽省宣城八校高一上学期期中联考）已知集合{}11A x x =-≤≤,{}121B x a x a =-≤≤-,若B A ⊆,则实数a 的取值范围是（）A ．1a ≤B ．1a <C ．01a ≤≤D ．01a <<5. （2021-2022学年重庆市渝北中学校高一上学期阶段一质量检测）当一个非空数集G 满足：如果,a b G ∈,则,,a b a b ab G +-∈,且0b ≠时,aG b∈时,我们称G 就是一个数域,以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素,则2019G ∈；③集合{}2P x x k k Z ==∈，是一个数域；④有理数集是一个数域；⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数,其中正确的选项是（） A ．①②④B ．②③④⑤C ．①④⑤D ．①②④⑤6.（多选）（2021-2022学年甘肃省张掖市高一上学期期末）下列关系式错误的是（）A ．{0}∅∈B ．{2}{1,2}⊆C QD ．0∈Z7.（多选）（2020-2021学年湖南省A 佳大联考高一下学期3月考试）已知集合{}4A x ax =≤,{B =,若B A ⊆,则实数a 的值可能是（） A ．−1B ．1C ．−2D ．28.（2021-2022学年四川省攀枝花市第七高级中学校高一上学期第一次月考）已知集合{}37A x x =≤<,{}C x x a =>,若A C ⊆,求实数a 的取值范围_______.9. 用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合A =______． 10.判断下列每对集合之间的关系：(1){}2,N A x x k k ==∈,{}4,N B y y m m ==∈； (2){}1,2,3,4C =,D{x x 是12的约数}；(3){}32,N E x x x +=-<∈,{}1,2,3,4,5F =.第01讲集合的概念与集合间的基本关系【学习目标】1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.4.在具体情境中,了解空集的含义.【基础知识】一、集合的概念1.元素与集合：我们把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母,,,A B C 表示.集合的元素通常用小写字母,,,a b c 表示.二、集合与元素的关系如果a 是集合A 的元素,记作a A ∈,读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素,记作a A ∉,读作“a 不属于A ”. 三、集合中元素的特点1.确定性：集合的元素必须是确定的.2.互异性：对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不相同的.3.无序性：集合中的元素可以任意排列. 四、常用数集及其记法所有非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集）,记作N ; 所有正整数组成的集合称为正整数集,记作N +或N *；所有整数组成的集合称为整数集,记作Z ；所有有理数组成的集合称为有理数集,记作Q ；所有实数组成的集合称为实数集,记作R . 五、集合的表示1.列举法:把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔）,放在大括号内,依此表示集合的方法称为列举法,如{}1,2,3,{},x y x y +-等.2.描述法:一般地,如果属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质()p x ,而不属于集合A 的元素都不具有这个性质,则性质()p x 为集合 A 的一个特征性质,此时集合A 可以表示为(){}x p x ,这种表示集合的方法称为特征性质描述法,简称描述法.3.解决集合问题首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义),如{}20x x x -=表示方程x 2－x =0的解集；{}2x y x x =-表示函数y =x 2-x 的自变量组成的集合；{}2y y x x =-表示函数y =x 2－x 的函数值组成的集合；(){}2,x y y xx =-表示抛物线y =x 2－x 上的点组成的集合. 六、子集1.一般地如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,那么集合A 为集合B 的子集.,记作 A ⊆B （或 B ⊇A ）,读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.2.规定：空集是任何集合的子集,即A ∅⊆.3.子集的性质：（1）任何一个子集都是它本身的子集,即A A ⊆. （2）若A B ⊆,且C B ⊆,则C A ⊆. 七、韦恩图韦恩（Venn ）图：为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为韦恩图. A 是B 的子集,可用下图表示：八、真子集1.如果集合A 是集合B 的子集,并且集合B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 称为集合B 的真子集,记作A B （或B A ）,读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.2.真子集的性质（1）空集是任何非空集合的子集. （2）若AB ,BC ,则AC .九、集合的相等与子集的关系 1.如果A ⊆B 且B ⊆A ,则A =B . 2.如果A =B ,则A ⊆B 且B ⊆A . 十、有限集合的子集个数若集合A 中有n 个元素,则集合A 的所有子集的个数为2n ,真子集个数为2n －1,非空子集个数2n －1,非空真子集个数为2n －2.【基础知识】B A考点一：集合的判断例1．（2021-2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中）下面给出的四类对象中,构成集合的是（） A ．某班视力较好的同学 B ．长寿的人C ．π的近似值D ．倒数等于它本身的数【答案】D【解析】对于A,视力较好不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于B,长寿也不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于C,π 的近似值没有明确近似到小数点后面几位,不是明确的定义,故不能构成集合；对于D,倒数等于自身的数很明确,只有1和-1,故可以构成集合；故选D.考点二：元素与集合的关系例2．（2021-2022学年】浙江省金华市曙光学校高一上学期10月月考）给出下列关系：①13∈R ；②3∈Q ；③－3∉Z ；④3-∉N,其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】13是实数,①正确；3是无理数,②错误；－3是整数,③错误；－3是无理数,④正确.所以正确的个数为2.故选B. 考点三：集合中元素互异性的应用例3．（2021-2022学年湖北省十堰市车城高中高一上学期9月月考）由2a ,32a -,1可组成含3个元素的集合,则实数a 的取值可以是（） A ．1 B ．1- C ．0 D ．3-【答案】C【解析】由元素的互异性可得22321321a aa a ⎧≠-⎪≠⎨⎪-≠⎩,解得1a ≠且3a ≠-且1a ≠-.故选C. 考点四：集合的表示例4．（多选）集合{}1,3,5,7,9用描述法可表示为（）A ．{x x 是不大于9的非负奇数}B ．{21,,x x k k N =+∈且}4k ≤C ．{}*9,x x x N ≤∈D ．{}09,x x x Z ≤≤∈【答案】AB【解析】对A,{x x 是不大于9的非负奇数}表示的集合是{}1,3,5,7,9,故A 正确；对B,{21,,x x k k N =+∈且}4k ≤表示的集合是{}1,3,5,7,9,故B 正确；对C,{}*9,x x x N ≤∈表示的集合是{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,故C 错误；对D,{}09,x x x Z ≤≤∈表示的集合是{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,故D 错误.故选AB.考点五：集合关系的判断例5．（多选）（2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第一中学高一上学期9月月考）下列各式中正确的是（）A ．{}{}00,1,2∈B ．{}{}0,1,22,1,0⊆C ．{}(){}0,101=，D ．{}012∅⊆，，【答案】BD 【解析】由子集的定义易知B 正确；对A,{}{}00,1,2⊆,错误；对C,{}0,1表示有2个元素的数集,(){}01，表示有一个元素的点集,错误；对D,空集是任何集合的子集,正确.故选BD. 考点六：由集合包含关系求参数的值或范围例6．（2021-2022学年湖南省永州市第二中学高一上学期10月月考）已知{}{15},1,R A x x B x a x a a =-<<=-<<∈(1)若2,B ∈求实数a 的取值范围(2)若B A ⊆,求实数a 的取值范围【解析】 (1)∵2,B ∈{}1B x a x a =-<<,∴12a a -<<,即23a <<,∴实数a 的取值范围为23a <<；(2)∵B A ⊆,{}{15},1,R A x x B x a x a a =-<<=-<<∈,∴115a a -≥-⎧⎨≤⎩,解得05a ≤≤, 故实数a 的取值范围为05a ≤≤.考点七：子集个问题例7．（2021-2022学年湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学高一上学期阶段性评估）集合{1,2,3}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈+∈∣,则集合B 的真子集的个数为（） A ．8B ．6C ．7D ．15【答案】C 【解析】{(1,1),(1,2),(2,1)}B =,集合B 的真子集的个数为3217-=个.故选C.【真题演练】1．(2018年高考全国卷Ⅱ卷)已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，,则A 中元素的个数为 ( )A ．9B ．8C ．5D ．4 【答案】A【解析】(){}{}223(1,1),(1,0),(1,1),(0,1),(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(1,1)A x y x y x y =+∈∈=-------Z Z ,≤,,,故选A ．2.（2020-2021学年云南省北大附中云南实验学校高一3月月考）下列各对象可以组成集合的是（）A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师【答案】B【解析】对于ACD,集合中的元素具有确定性,但ACD 中的元素不确定,故不能构成集合,ACD 错误；B 中的元素满足集合中元素的特点,可以构成集合,B 正确.故选B.3. （2021-2022学年河南省焦作市县级重点中学高一上学期期中）给出下列四个关系：π∈R , 0∉Q ,0.7∈N , 0∈∅,其中正确的关系个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】D【解析】∵R 表示实数集,Q 表示有理数集,N 表示自然数集,∅表示空集,∴π∈R ,0∈Q ,0.7∉N ,0∉∅,∴正确的个数为1 .故选D .4.（2020-2021学年湖北省襄阳市第二十四中学高一上学期9月月考）下面五个式子中：①{}a a ⊆；②{}a ∅⊆；③{a }∈{a ,b }；④{}{}a a ⊆；⑤a ∈{b ,c ,a }；正确的有（）A ．②④⑤B ．②③④⑤C ．②④D ．①⑤【答案】A 【解析】①中,a 是集合{a }中的一个元素,{}a a ∈,所以①错误；空集是任一集合的子集,所以②正确；{}a 是{},a b 的子集,所以③错误；任何集合是其本身的子集,所以④正确；a 是{},,b c a 的元素,所以⑤正确.故选A.5.（2021-2022学年江西省重点名校高一3月联考）设集合(){}20M x x x =-=,且N M ⊆,则满足条件的集合N 的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8 【答案】B【解析】因为(){}{}200,2M x x x =-==,由题意可知,集合N 为M 的子集,则满足条件的集合N 的个数为224=.故选B.6.（2020-2021学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高一上学期第一次月考）集合{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,则20162015a b +的值为（） A ．0B ．1C ．－1D ．±1【答案】B 【解析】因为{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,且0a ≠,所以0b a =,即0b =,所以21a =,1a =±, 又因为1a ≠,所以1a =-,所以()2016201620152015=101a b +-+=,故选B.7.（多选）（2021-2022学年广东省茂名市第五中学高一上学期期中）下列集合中,可以表示为{}2,3的是（）A ．方程2560x x ++=的解集B ．最小的两个质数C ．大于1小于4的整数D ．不等式组23253270x x x ++⎧>⎪⎨⎪-<⎩的整数解【答案】BCD【解析】对于A,方程2560x x ++=的解集为{}2,3--,不符合；对于B,最小的两个质数构成的集合{}2,3,符合；对于C,大于1小于4的整数构成的集合{}2,3,符合；对于D,由23253270x x x ++⎧>⎪⎨⎪-<⎩,可得172x x >⎧⎪⎨<⎪⎩,即712x <<,故整数解集为{}2,3,符合. 故选BCD8.（2020-2021学年云南省德宏州高一上学期期末统一监测）若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”；对于集合1,2A,{}2|2,0B x ax a ==≥,若这两个集合构成“鲸吞”,则a 的取值为____________．【答案】0【解析】当0a =时,B =∅,显然B A ⊆,符合题意；当0a ≠时,显然集合B 中元素是两个互为相反数的实数,而集合A 中的两个元素不互为相反数,所以集合B 、A 之间不存在子集关系,不符合题意,故答案为0【过关检测】1．（2021-2022学年甘肃省静宁县第一中学高一上学期第一次月考）若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是（）A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形【答案】C【解析】由题意,集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,根据集合中元素的互异性,可得a b c d ,,,四个元素互不相等,以四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,结合选项,只能为梯形.故选C.2．（2021-2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中）①{}00∈,②{}0∅⊆,③{}(){}0,10,1=,④(){}(){}(),,a b b a a b =≠,其中正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】{}00∈正确；{}0∅⊆正确；{}(){}0,10,1=不正确,左边是数集,右边是点集； (){}(){}(),,a b b a a b =≠不正确,左边是点集,右边是点集,但点不相同.故正确的有①②,共2个. 故选B.3.（2021-2022学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高一上学期9月月考）已知集合 {}20,,32A m m m =-+,且 2A ∈,则实数m 的值为（）A ．3B ．2C ．0或3D ．0或2或3【答案】A 【解析】因为{}20,,32A m m m =-+,且2A ∈,所以2m =或2322m m -+=,解得2m =或0m =或3m =,当2m =时2320m m -+=,即集合A 不满足集合元素的互异性,故2m ≠,当0m =时集合A 不满足集合元素的互异性,故0m ≠,当3m =时{}0,3,2A =满足条件；故选A 4.（2021-2022学年安徽省宣城八校高一上学期期中联考）已知集合{}11A x x =-≤≤,{}121B x a x a =-≤≤-,若B A ⊆,则实数a 的取值范围是（） A ．1a ≤B ．1a <C ．01a ≤≤D ．01a <<【答案】A 【解析】当121a a ->-时,即当0a <时,B A =∅⊆,合乎题意；当121a a -≤-时,即当0a ≥时,由B A ⊆可得11211a a -≥-⎧⎨-≤⎩,解得01a ≤≤,此时01a ≤≤. 综上所述,1a ≤.故选A.5. （2021-2022学年重庆市渝北中学校高一上学期阶段一质量检测）当一个非空数集G 满足：如果,a b G ∈,则,,a b a b ab G +-∈,且0b ≠时,a G b∈时,我们称G 就是一个数域,以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素,则2019G ∈；③集合{}2P x x k k Z ==∈，是一个数域；④有理数集是一个数域；⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数,其中正确的选项是（）A ．①②④B ．②③④⑤C ．①④⑤D ．①②④⑤ 【答案】D【解析】对于①,当a b =且,a b G ∈时,由数域定义知：0a b G -=∈,∴0是任何数域的元素,①正确；对于②,当0a b =≠且,a b G ∈时,由数域定义知：1a G b=∈, 112G ∴+=∈,123G +=∈,134G +=∈,…,120182019G +=∈,②正确；对于③,当2a =,4b =时,12a Gb =∉,③错误；对于④,若,a b Q ∈,则,,a b a b ab Q +-∈,且当0b ≠时,a Q b∈,则有理数集是一个数域,④正确；对于⑤,0G ∈,若b G ∈且0b ≠,则b G -∈,则这个数不为0则必成对出现,∴数域的元素个数必为奇数,⑤正确.故选D.6.（多选）（2021-2022学年甘肃省张掖市高一上学期期末）下列关系式错误的是（）A ．{0}∅∈B ．{2}{1,2}⊆C ⊆QD ．0∈Z【答案】AC【解析】A 选项由于符号∈用于元素与集合间,∅是任何集合的子集,所以应为{0}∅⊆,A 错误；B 选项根据子集的定义可知正确；C 选项由于符号⊆用于集合与集合间,C 错误；D 选项Z 是整数集,所以0∈Z 正确.故选AC.7.（多选）（2020-2021学年湖南省A 佳大联考高一下学期3月考试）已知集合{}4A x ax =≤,{}4,2B =,若B A ⊆,则实数a 的值可能是（） A ．−1B ．1C ．−2D ．2【答案】ABC 【解析】因为B A ⊆,所以4A ∈,2A ∈,则4424a a ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩,解得1a ≤.故选ABC 8.（2021-2022学年四川省攀枝花市第七高级中学校高一上学期第一次月考）已知集合{}37A x x =≤<,{}C x x a =>,若A C ⊆,求实数a 的取值范围_______. 【答案】(),3-∞【解析】∵A C ⊆,∴A 和C 如图：∴a ＜3.故答案为(),3-∞.9. 用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合A =______．【答案】{}|43,N n n k k =+∈【解析】被4除余3的自然数即为4的整数倍加3,因此{|43,N}A n n k k ==+∈． 10.判断下列每对集合之间的关系：(1){}2,N A x x k k ==∈,{}4,N B y y m m ==∈；(2){}1,2,3,4C =,D {x x 是12的约数}；(3){}32,N E x x x +=-<∈,{}1,2,3,4,5F =.【解析】(1)由题意,任取4y m B =∈,有2(2),2y m m N =⨯∈,故yA ,且6,6AB ∈∉,故B A(2)由于D {x x 是12的约数}{1,2,3,4,6,12}=,故C D (3)由于{}32,N E x x x +=-<∈{|5,}{1,2,3,4}x x x N +=<∈=,故E F。

湖南省多校2024届高三下学期4月大联考数学试题(含答案与解析)_2117

2024年普通高等学校招生全国统一模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效.3.本试题卷共7页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负.4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 6(2)x -的展开式中，3x 的系数是（）A. 160B. 160-C. 220D. 220-2. 已知集合{}{}27120,14M x x x N x x =-+<=-<，则M N ⋂=（） A. (),5-∞ B. []3,4-C. ()6,8D. ()3,43. 若复数z 满足i zz=，则z 可以是（） A. 1i +B. 2i +C. 1i -D. 12i +4. 原核生物大肠杆菌存在于人和动物的肠道内，在适宜的环境和温度下会迅速繁殖导致肠道内生态环境失衡从而引发腹泻等症状，已知大肠杆菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要约24分钟，那么在适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌至少需要约（）（参考数据：lg20.3≈） A. 4小时B. 5小时C. 6小时D. 7小时5. 已知直线220x y ++=与抛物线2:C y ax =有唯一交点，则C 的准线方程为（） A =1x -B. 1x =C. 12x =-D. 12x =6. 在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废弃资源的合理使.用，如土地资源的再利用是其中的重要一环.为了积极响应国家号召，某地计划将如图所示的四边形荒地ABCD 改造为绿化公园，并拟计划修建主干路AC 与BD .为更好的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，,,AD AC AB BC AC ⊥⊥平分,BCD BD CD ∠=，则cos ACD ∠=（）A.B.C.D.7. 将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是（） A.14B.724C.712D.17248. 使得不等式()()()()()sin sin2cos sin cos cos sin sin sin cos θθθθθ≤⋅-⋅成立的一个充分不必要条件是（） A.π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦B.ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦C.3π,π4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D.5ππ,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分9. 已知直线()():2240l m x m y +---=，圆22:4690C x y x y ++-+=，则（） A. l 过定点()1,1 B. 圆C 与y 轴相切C. 若l 与圆C 有交点，则m 最大值为0D. 若l 平分圆C ，则25m =-10.的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以,,,A B C D四点为顶点的三棱锥体积最大时的（） A. AB CD ⊥B. 直线BD 与平面ABC 所成角的大小为π4C. 平面ABD 与平面BCD 夹角的余弦值为13D. 四面体ABCD的内切球的半径为211. 已知函数()f x 是定义在()1,+∞上的连续函数，且在定义域上处处可导，()f x '是()f x 的导函数，且()()1f x x f x x'>>>，则（） A. ()()()42f f f <B. ()()422f f >C. ()2f <D. ()()24e 2>f f三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知公比为2等比数列{}n a 满足2341a a a ++=，则1a =______. 13. 函数()cos (0)f x x ωω=>的图象在x ω=与2x ω=处的切线斜率相同，则ω的最小值为______.14. 若函数()log (0,0x f x a a x =>>，且1)x ≠的图象与直线2ln x y a +=没有交点，则a 的取值范围是______.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15. 已知函数()213ex x f x --=.（1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 的极值.16. 多样性指数是生物群落中种类与个体数的比值.在某个物种数目为S 的群落中，辛普森多样性指数211si i n D N =⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑，其中i n 为第i 种生物的个体数，N 为总个体数.当D 越大时，表明该群落的多样性越高.已知,A B 两个实验水塘的构成如下：的绿藻衣藻水绵蓝藻硅藻 A6 6 6 6 6 B124365（1）若从,A B 中分别抽取一个生物个体，求两个生物个体为同一物种的概率；（2）（i ）比较,A B 的多样性大小；（ii ）根据（i ）计算结果，分析可能影响群落多样性的因素.17. 如图所示，正四棱锥P ABCD -中，,AB PA M N ==分别为,PA PC 中点，2=PE BE ，平面EMN 与PD 交于G .（1）证明：PD ⊥平面EMGN ；（2）求二面角P ME N --的余弦值.18. 已知椭圆221:12x C y +=，焦点在x 轴上的双曲线2C ，且过点)，点()00,P x y 在2C 上，且002x y >>，2C 在点P 处的切线交1C 于,A B 两点. （1）求直线AB 的方程（用含00,x y 的式子表示）；（2）若点()0,3Q ，求QAB 面积的最大值.19. 若数列{}n a 在某项之后的所有项均为一常数，则称{}n a 是“最终常数列”.已知对任意()*,n m m n ≥∈N ，函数()f x 和数列{}n a 满足{}()11min n i i na f a +≤≤=.（1）当()f x x >时，证明：{}n a 是“最终常数列”；（2）设数列{}n b 满足11m b a +=，对任意正整数()1,n n n b f b +=.若方程()0fx x-=无实根，证明：的的{}n a 不是“最终常数列”的充要条件是：对任意正整数i ，i m i b a +=；（3）若(){}21,(2),n m f x x a ==-不是“最终常数列”，求1a 的取值范围.参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 6(2)x -的展开式中，3x 的系数是（）A. 160B. 160-C. 220D. 220-【答案】B 【解析】【分析】利用二项式定理直接列式求出3x 的系数.【详解】二项式6(2)x -的展开式中，3x 系数为333366C 2(1)C 8160⨯⨯-=-⨯=-. 故选：B2. 已知集合{}{}27120,14M x x x N x x =-+<=-<，则M N ⋂=（） A. (),5-∞ B. []3,4-C. ()6,8D. ()3,4【答案】D 【解析】【分析】解集合中的不等式，得到这两个集合，再由交集的定义求解. 【详解】不等式27120x x -+<解得34x <<，不等式14x -<，即414x -<-<，解得35x -<<，可得()()()3,4,3,5,3,4M N M N ==-⋂=. 故选：D. 3. 若复数z 满足i zz=，则z 可以是（） A. 1i + B. 2i +C. 1i -D. 12i +【答案】A 【解析】【分析】设i z a b =+，由此写出z ，根据z 与z 的关系得到a 与b 的关系，从而选出正确选项.【详解】设i,,R z a b a b =+∈，则i,i zz a b z=-=，即()i i i ,i i a b a b a b a b +=-+=+，即a b =，故选：A.4. 原核生物大肠杆菌存在于人和动物肠道内，在适宜的环境和温度下会迅速繁殖导致肠道内生态环境失衡从而引发腹泻等症状，已知大肠杆菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要约24分钟，那么在适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌至少需要约（）（参考数据：lg20.3≈） A. 4小时 B. 5小时C. 6小时D. 7小时【答案】C 【解析】【分析】依据题意列出方程，利用对数的运算性质结合给定的特殊对数值处理即可. 【详解】设适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌大约需要x 分钟，则241210000x⋅=，两边取对数得lg2lg10000424x⋅==，解得42496320lg20.3x ⨯=≈≈，所以大约需要320165.3603=≈小时，故在适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌至少需要6小时. 故选：C.5. 已知直线220x y ++=与抛物线2:C y ax =有唯一交点，则C 的准线方程为（） A. =1x - B. 1x =C. 12x =-D. 12x =【答案】C 【解析】【分析】直线与抛物线联立方程组消去x ，由Δ0=求出a 的值，由抛物线方程求其准线方程. 【详解】依题意，联立2220x y y ax++=⎧⎨=⎩，消去x 得2220y ay a ++=，则2Δ480a a =-=，由0a ≠得2a =，故抛物线C 的方程为22y x =，其准线方程为12x =-. 故选：C.的6. 在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废弃资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环.为了积极响应国家号召，某地计划将如图所示的四边形荒地ABCD 改造为绿化公园，并拟计划修建主干路AC 与BD .为更好的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，,,AD AC AB BC AC ⊥⊥平分,BCD BD CD ∠=，则cos ACD ∠=（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】设ACD θ∠=，则2BCD θ∠=，根据余弦定理及二倍角公式求得22cos 3θ=，根据θ的范围即可得解.【详解】设ACD θ∠=，则2BCD θ∠=，设CD BD a ==，则2cos ,cos AC a BC a θθ==.故在BCD △中，由余弦定理可得224222cos 1cos2cos 2cos 2a a a a a θθθθ+-==⋅，而2cos22cos 1θθ=-，故2212cos1cos 2θθ-=，解得221cos ,cos233θθ==，在直角三角形ACD 中，θ为锐角，故cos 0θ>，故cos θ= 故选：A.7. 将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是（） A.14B.724C.712D.1724【答案】B 【解析】【分析】利用排列组合，先求出将编号为1,2,3,44个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中的放法的数，再求出至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的放法数，再利用古典概率公式，即可求出结果. 【详解】将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中，共有44A 24=种放法，恰有2个凹槽与其放入小球编号相同的有24C 6=种放法，4个凹槽与其放入小球编号相同的有1种放法，所以至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是2444C 17A 24P +==，故选：B.8. 使得不等式()()()()()sin sin2cos sin cos cos sin sin sin cos θθθθθ≤⋅-⋅成立的一个充分不必要条件是（） A.π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦B.ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦C.3π,π4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D.5ππ,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】换元sin cos t θθ=+，利用二倍角公式和两角和的余弦公式的逆用将题干不等式转化为关于t 的不等式，解出t 满足的关系进而排除得到正确选项.【详解】令πsin cos 4t θθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，则()()2222sin 22sin cos sin cos sincos 1t θθθθθθθ==+-+=-，()()()()()cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos t θθθθθθ⋅-⋅=+=所以已知不等式化为()2πsin 1cos sin 2t t t ⎛⎫-≤=+⎪⎝⎭. []2πππ11,1,222t t ⎡-∈-+∈+⎢⎣，故原不等式的解分两段：①πππ122t ≤+≤-得π12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，原不等式化为2π12t t -≤+，即2π102t t ---≤.②πππ122t -≤+≤+得π2t ⎡∈-⎢⎣，原不等式化为2π1π2t t ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭，即2π102t t +--≤.四个选项对应的t取值范围分别为[[][,,1,0,1⎡⎤--⎣⎦，当t =时，由②2ππ11022+--=->t t 不符合题意，排除A 、B ；当t =2ππ11022--=+->-t t 不符合题意，排除D ；[]1,0t ∈-时易验证满足①，故选：C.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分9. 已知直线()():2240l m x m y +---=，圆22:4690C x y x y ++-+=，则（） A. l 过定点()1,1 B. 圆C 与y 轴相切C. 若l 与圆C 有交点，则m 的最大值为0D. 若l 平分圆C ，则25m =- 【答案】ABD 【解析】【分析】利用直线方程与m 的取值无关，求解定点判A ，利用直线与圆的位置关系判断B ，C ,先发现直线必过圆心，后将圆心代入直线，求解参数，判断D 即可.【详解】对A ，整理直线l 的方程，得()()240m x y x y -++-=，令0x y -=，解得x y =，当x y =时，直线方程与m 的取值无关，又2x y +=，解得1x y ==，即l 必过定点()1,1，故A 正确；对B ，整理圆C 的方程，得22(2)(3)4x y ++-=，易知圆心到y 轴的距离为2，又2r =，故得圆C 与y 轴相切，故B 正确；对C ，若l 与圆C 有交点，设圆心C 到直线l 的距离为d ，可得2d =≤，解得142,,17m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故C 错误；对D ，若l 平分圆C ，则l 一定是圆C 的直径，且必过圆心，易知圆心为()2,3-，将()2,3-代入直线l 的方程，得5240m -+-=，解得25m =-，故D 正确. 故选：ABD.10.的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时（） A. AB CD ⊥B. 直线BD 与平面ABC 所成角的大小为π4C. 平面ABD 与平面BCD 夹角的余弦值为13D. 四面体ABCD的内切球的半径为2 【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意画出图形，再由几何法求解异面直线垂直、线面成角、面面成角和内切球半径即可. 【详解】如图所示，当平面BAC ⊥平面DAC 时，三棱锥体积最大，记E 为AC 中点，此时DE ⊥平面BAC ，因为AB ⊂平面BAC ，所以AB DE ⊥，因为CD DE D = ，所以AB 与CD 不垂直，A 错误.对于B ：直线BD 和平面ABC 所成角即为EBD ∠，因为tan 1ED EBD BE ∠==，故π4EBD ∠=，B 正确. 对于C ：由于BC CD BA AD ===，取BD 中点G ，则有,CG BD AG BD ⊥⊥，故CGA ∠为平面ABD 与平面BCD 所成角的平面角.则1cos 3CGA ∠，C 正确.对于D ：设内切球球心为I ，内切球半径为r ，由等体积法知，13ABCD I ABC I BCD I ACD I ABD ABCD V V V V V rS ----=+++=其中，1133ABCD ACD V BE S =⨯= ，1122222ABCD S ⎡⎤⎛⎫⎛=⨯⨯+= ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎣⎦，故32ABCD ABCD V r S ===D 正确. 故选：BCD.11. 已知函数()f x 是定义在()1,+∞上的连续函数，且在定义域上处处可导，()f x '是()f x 的导函数，且()()1f x x f x x'>>>，则（） A. ()()()42f f f <B. ()()422f f >C. ()2f <D. ()()24e 2>f f【答案】BC 【解析】【分析】根据()10f x '>>可判断()f x 在()1,+∞单调递增，即可判断A ，构造()()f xg x x=，利用导数求解()g x 在()1,+∞单调递增，即可判断BC,构造()()exf x h x =，求导求解()h x 在()1,+∞单调递减，即可判断D.【详解】由已知得()f x x x >，故()()22,422f f >>，又因为()10f x '>>，所以()f x 在()1,+∞单调递增，所以()()()42,f f f >A 错误；构造函数()()f xg x x=，则()()()10f x g x f x x x '⎛⎫=⋅-⎝'> ⎪⎭，所以()g x 在()1,+∞单调递增，因此()()42g g >，即()()()()42,42242f f f f >>，B 正确；由于()()1,1f x f x x x>>>，故()()()()()()()()()()2,,()f f x f x g f x g x f x xf f x f x x >><，因此()2f <C 正确；构造函数()()e x f x h x =，则()()()exf x f x h x '-'=，而()()f x x f x >>'，故()()0,h x h x '<在()1,+∞单调递减，因此()()()()()()2424242,,4e 2e ef f h h f f <<<，D 错误. 故选:BC.【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数()h x ；(3)利用导数研究()h x 的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知公比为2的等比数列{}n a 满足2341a a a ++=，则1a =______. 【答案】114【解析】【分析】利用等比数列的通项公式可得答案. 【详解】由题意可得()2323411141a a a a q q q a++=++==，解得1114a =，故答案为：114. 13. 函数()cos (0)f x x ωω=>的图象在x ω=与2x ω=处的切线斜率相同，则ω的最小值为______.【解析】【分析】对()f x 求导，可得()2f f ωω⎛⎫=⎪⎝'⎭'，则2sin sin2ω=，即可得出ω的最小值. 【详解】因为()cos (0)f x x ωω=>，所以()sin f x x ωω=-'，因为函数()cos (0)f x x ωω=>的图象在x ω=与2x ω=处的切线斜率相同，所以()2sin f ωωω'=-，2sin2f ωω⎛⎫=-⎪⎝⎭'，故有2sin sin2ωωω-=-，即2sin sin2ω=，则()222πk k ω=+∈Z 或()22π2πk k ω+=+∈Z ，解得)k ω=∈Z或)k ω=∈Z ，当0k =，<，故ω..14. 若函数()log (0,0x f x a a x =>>，且1)x ≠的图象与直线2ln x y a +=没有交点，则a 的取值范围是______.【答案】{}e 1⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意可得方程log 2ln x a x a =-+在()()0,11,x ∈+∞ 无解，即函数()ln 2ln ln ln g x x x a x a =-⋅+在()()0,11,x ∈+∞ 无零点，当1a =时直接判断，当1a ≠时求出函数的导函数，再分1a >、01a <<两种情况讨论，当1a >时利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，依题意只需()()0min 0g x g x =>，从而求出0x 的取值范围，再结合()0011ln ln 2x x a +=求出a 的范围.【详解】由题意可得方程log 2ln x a x a =-+()()0,11,x ∈+∞ 无解，将方程变形得ln 2ln ln ln 0x x a x a -⋅+=，即函数()ln 2ln ln ln g x x x a x a =-⋅+在()()0,11,x ∈+∞ 无零点，易得()g x 的定义域为()0,∞+，仅在讨论零点时舍去1x =的情况；若1a =时，则()ln g x x x =，当01x <<时()0g x <，当1x >时()0g x >，故在()()0,11,+∞ 无零点，因此1a =符合题意；当1a ≠时，则()2ln 1ln a g x x x =+-'，设()2ln 1ln a x x x ϕ=+-，则()22ln x ax x ϕ+='，当1a >时()0x ϕ'>，则()x ϕ在()0,∞+单调递增，即()g x '在()0,∞+单调递增，由于0x →时()g x '→-∞，x →+∞时()g x '→+∞，由零点存在性定理可知()g x 在()0,∞+必有、且在只有一个零点，设为0x ，则当()00,x x ∈时()0g x '<，当()0,x x ∈+∞时()0g x '>，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，其中()0011ln ln 2x x a +=，故只需令()00g x >，当01x =时()0ln 0g x a =>符合题意，因此()()()000000001ln ln 1ln 1ln 2g x x x x x x x x =-+++ ()200012ln ln 102x x x ⎡⎤=--->⎣⎦，即()2002ln ln 10x x --<，解得01ln 12x -<<0e x <<，设()()11ln 2h x x x =+，e x ⎫<<⎪⎭，则()()12ln 02h x x =+>'，所以()h x 在⎫⎪⎭上单调递增，又h =，()e e h =，ln e a <<e e a <<；当01a <<时，()1ln 0g a =<，0g=>，故()g x 在区间⎛ ⎝必有零点，与所求不符.综上，a 的取值范围为{}e 1⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：{}e 1⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15. 已知函数()213ex x f x --=.（1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 的极值.【答案】（1）单调递减区间为()(),1,3,∞∞--+，单调递增区间为()1,3-（2）极大值为26e，极小值为22e - 【解析】【分析】（1）根据函数求出导函数，再由导函数解出原函数的单调区间即可；（2）根据第1问的单调性求出极值即可. 【小问1详解】因为()213e x x f x --=，所以()()()2113123e ex x x x x x f x --'--+-+==，令()0f x '=，解得3x =或=1x -，令()0f x '<得3x >或1x <-，令()0f x '>得13x -<<，列表如下：x(),1∞---1()1,3-3()3,∞+()f x ' -0 +-()f x极小值极大值故()f x 的单调递减区间为()(),1,3,∞∞--+，单调递增区间为()1,3-. 【小问2详解】由（1）可得()f x 的极大值为()263ef =，极小值为()212e f -=-. 16. 多样性指数是生物群落中种类与个体数的比值.在某个物种数目为S 的群落中，辛普森多样性指数211si i n D N =⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑，其中i n 为第i 种生物的个体数，N 为总个体数.当D 越大时，表明该群落的多样性越高.已知,A B 两个实验水塘的构成如下：绿藻衣藻水绵蓝藻硅藻 A6 6 6 6 6 B124365（1）若从,A B 中分别抽取一个生物个体，求两个生物个体为同一物种的概率；（2）（i ）比较,A B 的多样性大小；（ii ）根据（i ）的计算结果，分析可能影响群落多样性的因素. 【答案】（1）15（2）（i ）A 的多样性大于B （ii ）答案见解析【解析】【分析】（1）利用古典概型的求法可得答案；（2）根据给出211si i n D N =⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑求出，然后比较即可.【小问1详解】记事件C 为“两个生物个体为同一物种”，则C 发生的概率为()11155P C =⨯=. 【小问2详解】（i ）由表可知30,5,A B AB N N S S ==⎧⎨==⎩ 所以2214156305A D =-⨯⨯=，()22222216711243653090B D =-⨯++++=；即A B D D >，故A 的多样性大于B ；（ii ）在（i ）中两群落物种数目相同，各物种数量不同，而A 中各物种数量均相同，即物种均匀度更大，分析可得物种均匀度也会影响群落多样性.17. 如图所示，正四棱锥P ABCD -中，,AB PA M N ==分别为,PA PC 的中点，2=PE BE ，平面EMN 与PD 交于G .（1）证明：PD ⊥平面EMGN ；（2）求二面角P ME N --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先通过PHE PGS ∽，证PD GE ⊥，再通过MN ⊥平面PBD ，证MN PD ⊥，最后通过线面垂直判定定理即可证PD ⊥平面EMGN ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角P ME N --的余弦值即可. 【小问1详解】连接,AC BD ，设AC BD O = ，连接PO ，有PO ⊥平面ABCD ，由题意得,ME NE MG NG ==，连接MN ，EG ，设EG MN S ⋂=，则MS NS =，故S 在PO 上，过E 作,EH PO H ⊥为垂足，在POB 中，23PE EH PB OB ==，故2EH =，因为MN AC ，所以13,12PS PO SH PH PS ===-=，故1tan tan 2SEH DPO ∠∠==，所以PHE PGS ∽，所以90,PGE PHE PD GE ∠∠==⊥ ，又,,MN OP MN BD ^^OP ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，BD OP O = ，故MN ⊥平面PBD ，因为PD ⊂平面，所以PBD MN PD ⊥.又,MN GE S GE ⋂=⊂平面,EMGN MN ⊂平面EMGN ，故PD ⊥平面EMGN . 【小问2详解】以,,OA OB OP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系可得()()()()3,0,0,0,3,0,0,0,6,0,3,0A B P D -，由（1）得PD ⊥平面EMGN ，故平面EMGN 的一个法向量为()0,3,6DP =其中()()3,0,6,3,3,0AP AB =-=-设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =，则03603300n AP x z x y n AB ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，令1z =可得()2,2,1n =设θ为二面角P ME N --的平面角，则cos cos ,n DP θ==，由图可知所求二面角为锐角，故二面角P ME N --18. 已知椭圆221:12x C y +=，焦点在x 轴上的双曲线2C，且过点)，点()00,P x y 在2C 上，且002x y >>，2C 在点P 处的切线交1C 于,A B 两点. （1）求直线AB 的方程（用含00,x y 的式子表示）；（2）若点()0,3Q ，求QAB 面积的最大值. 【答案】（1）0002x y x y y =- （2【解析】【分析】（1）由离心率和所过点求出双曲线的方程为222:2C x y -=，由点P 在第一象限，将双曲线2C变形为y =，利用导数求切点处的切线方程.（2）直线与双曲线联立方程组，利用弦长公式和点到直线距离表示出QAB 面积，消元后由基本不等式求最大值. 【小问1详解】焦点在x 轴上的双曲线2C，则双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程222x y a -=，由双曲线过点)，代入方程，解得双曲线222:2C x y -=，点()00,P x y 在2C 上，有22002x y -=，因为点P 在第一象限，所以可以将双曲线2C变形为y =.求导有y '=当0x x =时，000x x x y y =='=，所以AB 的方程为：()000x y y x x y -=-，化简有0002x y x y y =-. 【小问2详解】设()()01122002,,,,,x k m A x y B x y y y ==-，有2222k m -=，的为联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()222124220k x kmx m +++-=，有12221224212221km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()22Δ821240k m =+-=>，2AB x =-==，点Q 到直线AB的距离d则12QAB S AB d == 0002,x k m y y ==-代入，有QAB S =△()()()0002200222411343212216y y y y y ⎡⎤⎫--=+=+⎢⎥⎪⎪+-+-+⎢⎥⎝⎭⎣⎦()002111632122y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+≤=⎢⎥-++⎢⎢⎥-⎣⎦⎢⎣当且仅当02y =QAB+【点睛】方法点睛：把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．19. 若数列{}n a 在某项之后的所有项均为一常数，则称{}n a 是“最终常数列”.已知对任意()*,n m m n ≥∈N ，函数()f x 和数列{}n a 满足{}()11min n i i n a f a +≤≤=. （1）当()f x x >时，证明：{}n a 是“最终常数列”；（2）设数列{}n b 满足11m b a +=，对任意正整数()1,n n n b f b +=.若方程()0f x x -=无实根，证明：{}n a 不是“最终常数列”的充要条件是：对任意正整数i ，i m i b a +=；（3）若(){}21,(2),n m f x x a ==-不是“最终常数列”，求1a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()1,4【解析】【分析】（1）利用“最终常数列”定义即可证明；（2）利用反证法结合“最终常数列”新定义证明必要性，利用“最终常数列”定义证明必要性；（3）利用第二问的证明结论即可求出1a 的取值范围.【小问1详解】因为()f x x >，所以对任意{}(){}111,min min n i i i n i n n m a f a a +≤≤≤≤≥=>，故数列最小值不变. 即对于任意{}{}{}(){}()11111,min min ,min min i i n i i i n i m i n i m n m a a a f a f a +≤≤≤≤≤≤≤≤≥===恒成立. 故对于任意1n m ≥+，有{}()1min n i i m a f a ≤≤=，故{}n a 是“最终常数列”. 【小问2详解】必要性，若{}n a 不为“最终常数列”，假设存在一个n m ≥使得{}11min n i i na a +≤≤≥，则由（1）同理可知其最小值不变，故{}n a 为“最终常数列”，矛盾.所以对任意{}11,min n i i nn m a a +≤≤≥<. 故对任意1n m ≥+，均有{}1min n i i na a ≤≤=成立，故()1n n a f a +=对任意1n m ≥+成立，又由{}nb 定义递推，知对任意正整数,i m i i b a +=.充分性：若任意正整数,i m i i b a +=，则()1n n a f a +=对任意1n m ≥+成立，又由{}n a 定义知任意1n m ≥+，均有{}1min n i i na a ≤≤=成立. 由此知{}{}1111min min n i i n i n i na a a a +≤≤+≤≤=≤=. 又由()0f x x -=知1+≠n n a a ，故1n n a a +<，即{}n a 在第1m +项后严格递减，故不是“最终常数列”. 综上，原命题得证.【小问3详解】由（2）知：要求(){}12111min i i f a a a a ≤≤=<=，解得()11,4a ∈. 下面证明：()11,4a ∈即为所求. 由()11,4a ∈时，()()()221121,4a f a a ==-∈，由递推可知，对任意*n ∈N 均有()1,4n a ∈. 进而()1n n a f a +=对任意*n ∈N 均成立，结合（2）结论知{}n a 不是“最终常数列”.故1a 的取值范围是()1,4.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是：一要准确理解给定的新定义；二要利用反证法得出矛盾.。

湖南省怀化市2021届新高考数学四模考试卷含解析

湖南省怀化市2021届新高考数学四模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知随机变量X 的分布列是则()2E X a +=（） A ．53 B ．73 C ．72 D ．236【答案】C【解析】【分析】利用分布列求出a ，求出期望()E X ，再利用期望的性质可求得结果.【详解】由分布列的性质可得11123a ++=，得16a =，所以，()11151232363E X =⨯+⨯+⨯=，因此，()()11517222266362E X a E X E X ⎛⎫+=+=+=⨯+= ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查．2．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位【答案】A【解析】依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x πωω⎛⎫====+ ⎪⎝⎭.而()πππππsin 3sin 3sin 3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故应左移π12.3．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C的渐近线的距离为2c ，则双曲线的渐近线方程为（）A．y =B．y = C ．y x =± D ．2y x =±【答案】A【解析】【分析】利用双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>，求出a ，b 的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．【详解】双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦点(),0c 到渐近线0bx ay +=的距离为2c ，可得：=，可得2b c =，b a =C的渐近线方程为y =．故选A ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出,a b 的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题. 4．已知角α的终边经过点P(00sin 47,cos 47)，则sin(013α-)= A ．12 B．C ．12- D．【答案】A【解析】【详解】由题意可得三角函数的定义可知：22cos 47sin cos 47sin 47cos 47α==+o o o o ，22sin 47cos sin 47sin 47cos 47α==+o o o o ，则： ()()sin 13sin cos13cos sin13cos 47cos13sin 47sin131cos 4713cos 60.2ααα-=-=-=+==o o oo o o oo o o 本题选择A 选项.5．一个陶瓷圆盘的半径为10cm ，中间有一个边长为4cm 的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率π的值为（精确到0.001）（）A ．3.132B ．3.137C ．3.142D ．3.147【答案】B【解析】【分析】结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可【详解】如图，由几何概型公式可知：22451 3.137101000S S ππ=≈⇒≈⋅正圆. 故选：B【点睛】本题考查随机模拟的概念和几何概型，属于基础题6．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A ．48B ．72C ．90D ．96 【答案】D【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有13C •34A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有44A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种故答案为：96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．7．已知α满足1sin 3α=，则cos cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．718 B ．79 C ．718- D ．79- 【答案】A【解析】利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果.【详解】1sin 3α=Q ，cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin 444444ππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22211cos sin 12sin 22ααααααα⎫==-=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭2117122318⎡⎤⎛⎫=-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 故选：A.【点睛】本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.8．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++= 【答案】A【解析】【分析】计算AB 的中点坐标为()3,0，圆半径为r =.【详解】AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为22AB r ===，圆方程为22(3)2x y -+=.故选：A .【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.9．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（）A ．35B ．36C ．45D ．54【答案】C【解析】由等差数列{}n a 通项公式得2375150a a a +-+=，求出5a ，再利用等差数列前n 项和公式能求出9S .【详解】Q 正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，2375150a a a +-+=，2552150a a ∴--=，解得55a =或53a =-（舍），()91959995452S a a a ∴=+==⨯=，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.10．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()2g x f x = ）A ．[]0,1B ．[]0,2 C ．[]1,2D ．[]1,3 【答案】A【解析】试题分析：由题意，得022{820x x ≤≤-≥，解得01x ≤≤，故选A ．考点：函数的定义域．11．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（）A ．163iB ．6iC ．203iD ．20【答案】C【解析】【分析】根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果.【详解】()()()32326z i a i a a i =-+=++-∵()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，∴320a +=且60a -≠得23a =-，此时203z i = 故选：C.【点睛】本题考查复数的概念与运算，属基础题.12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，39S =，则10a =（）A ．25B ．32C ．35D ．40【答案】C【解析】【分析】设出等差数列{}n a 的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得10a ．【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则 313127339a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11,4a d =-=，∴45n a n =-，即有10410535a =⨯-=．故选：C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前n 项和公式的应用，属于容易题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年湖南省六校高考数学联考试卷(2021.04)(解析版)

2021年湖南省六校高考数学联考试卷（4月份）一、选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x2﹣3x＞0}，则A∩∁R B中的元素个数为（）A．4B．3C．2D．12．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1（3，a），Z2（2，1），且z1•z2为纯虚数，则实数a＝（）A．﹣6B．C．D．63．函数f（x）＝的图象大致是（）A．B．C．D．4．某地安排4名工作人员随机分到3个村参加“脱贫攻坚”帮扶活动，且每个人只去一个村，则每个村至少有一名工作人员的概率为（）A．B．C．D．5．已知||＝，＝（m，3），且（﹣）⊥（2+），则向量在向量方向上的投影的最大值为（）A．4B．2C．D．16．数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD＝a，BD＝b，则该图形可以完成的无字证明为（）A．≥（a＞0，b＞0）B．（a＞0，b＞0）C．≤（a＞0，b＞0）D．a2+b2≥2（a＞0，b＞0）7．已知F1，F2分别是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是该双曲线上一点且在第一象限内，2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．（1，2）B．（3，+∞）C．（1，3）D．（2，3）8．定义函数D（x）＝，则下列命题中正确的是（）A．D（x）不是周期函数B．y＝D（x）的图象存在对称轴C．D（x）是奇函数D．D（x）是周期函数，且有最小正周期二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

【新高考精品解析】湖南省部分学校联考2021届高三考试数学试卷及详细解析

湖南省部分学校联考2021届高三考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、单选题：共8题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{|35},{|10}A x x B y y =∈-<<=+>Z ，则A B 的元素个数为A.0B.3C.4D.52．函数32()71f x x x =-+的图象在点(4,(4))f 处的切线斜率为 A.8-B.7-C.6-D.5-3．10371x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为A.120B.45C.120-D ．45-4．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x 时，()lg(31)1f x x =+-，则不等式()0f x >的解集为A.(3,0)(3,)-+∞ B.(3,)+∞C.(3,3)-D.(,3)(3,)-∞-+∞5．双十一是指由电子商务为代表的，在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢节.已知某一家具旗舰店近五年双十一的成交额如下表:若y 关于t 的回归方程为ˆˆ12yt a =+，则根据回归方程预计该店 2021 年双十一的成交额是 A.84万元 B.96万元 C.108万元 D.120万元6．跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质.小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要A.16天B.17天C.18天D.19天7．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆。

湖南省怀化市2021届新高考数学四月模拟试卷含解析

湖南省怀化市2021届新高考数学四月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U =R ，集合()2log 41{|}A x x =-≤，()()35{|}0B x x x =-->，则()U B A =I ð（）A ．[2]5，B ．[2]3，C ．[)24，D ．[)34，【答案】D【解析】【分析】求解不等式，得到集合A ，B ，利用交集、补集运算即得解【详解】由于2log (4)124x x -≤∴≤<故集合[)24A =， ()()350x x -->3x ∴<或5x >故集合()()35B =-∞⋃+∞，， ∴ ()[)|34U B A ⋂=，ð 故选：D【点睛】本题考查了集合的交集和补集混合运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题. 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（）A ．5B ．4C ．2D ．22【答案】D【解析】先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度.【详解】根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：由三视图知：2AD = ，3,2,CE SD == 所以2SC DC ==，所以222222,22SA SD AD SB SC BC =+==+=，所以该几何体的最长棱的长为22故选：D【点睛】本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（）A ．8B ．32C ．64D ．128【答案】C【解析】【分析】根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.由题意，执行上述程序框图，可得第1次循环，满足判断条件，1,1S k ==；第2次循环，满足判断条件，2,2S k ==；第3次循环，满足判断条件，8,3S k ==；第4次循环，满足判断条件，64,4S k ==；不满足判断条件，输出64S =.故选：C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，25SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（） A．643π B ．2563π C ．4363π D ．2048327π 【答案】B【解析】由题，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，则根据余弦定理可得2215825872BC =+-⨯⨯⨯= ，ABC V 的外接圆圆心2sin 33BC r r B ==∴= 三棱锥的外接球的球心到面ABC 的距离15,2d SA == 则外接球的半径()22764533R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ，则该三棱锥的外接球的表面积为225643S R ππ== 点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R 公式是解答的关键．5．如图在一个60︒的二面角的棱有两个点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱AB ，且2,4AB AC BD ===，则CD 的长为（）A ．4B ．5C ．2D ．23【答案】A【分析】由CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，两边平方后展开整理，即可求得2CD u u u r ，则CD 的长可求．【详解】解：Q CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r， ∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ，Q CA AB ⊥u u u r u u u r ，BD AB ⊥u u u r u u u r， ∴0CA AB =u u u r u u u r g ，0BD AB =u u u r u u u rg ，1||||cos1202442CA BD CA BD =︒=-⨯⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r g ． ∴244162416CD =++-⨯=u u u r，||4CD ∴=u u u r ，故选：A ．【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（）． A ．()1,+∞B ．()(),11,-∞-+∞UC ．()1,1-D ．()()1,00,1-U【答案】B【解析】【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由单调性的性质可知()f x 在[)0,+∞上单调递增，由此知()f x 在(],0-∞上单调递减，从而将所求不等式化为1x >，解绝对值不等式求得结果.【详解】由题意知：()f x 定义域为R ， ()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x xx -=+--=+-=++-Q ，()f x ∴为偶函数，当0x ≥时，()()21ln 11f x x x=+-+，()ln 1y x =+Q 在[)0,+∞上单调递增，211y x=+在[)0,+∞上单调递减， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，则()f x 在(],0-∞上单调递减，由()()1f x f >得：1x >，解得：1x <-或1x >，x \的取值范围为()(),11,-∞-+∞U .故选：B .【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（）A ．32B ．5C ．26D ．7【答案】C【解析】【分析】根据三视图，可得该几何体是一个三棱锥S ABC -，并且平面SAC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，过S 作SD AC ⊥，连接BD ，2,2,2,2AD AC BC SD ====，再求得其它的棱长比较下结论.【详解】如图所示：由三视图得：该几何体是一个三棱锥S ABC -，且平面SAC ⊥ 平面ABC ，AC BC ⊥，过S 作SD AC ⊥，连接BD ，则2,2,2,2AD AC BC SD ==== ，所以=+=2220BD DC BC ，226SB SD BD =+=，2222SA SD AD =+=2225SC SD AC =+=，该几何体中的最长棱长为26故选：C【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.8．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( ) A 2?B ．10 3C 10D ．2【答案】B【解析】由于直线的斜率k 3=,所以一条渐近线的斜率为13k '=-，即13b a =，所以21()b e a =+=10，选B. 9．已知方程1x x y y +=-表示的曲线为()y f x =的图象，对于函数()y f x =有如下结论：①()f x 在()+-∞∞，上单调递减；②函数()()F x f x x =+至少存在一个零点；③()y f x =的最大值为1；④若函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则()y g x =由方程1y y x x +=所确定；则正确命题序号为( ) A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】C【解析】分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性.【详解】（1）当00x y ≥≥，时，221x y +=-，此时不存在图象；（2）当00，x y ≥<时，221-y x =，此时为实轴为y 轴的双曲线一部分；（3）当00，x y <≥时，221x y -=，此时为实轴为x 轴的双曲线一部分；（4）当00，x y <<时，221x y +=，此时为圆心在原点，半径为1的圆的一部分；画出()y f x =的图象，由图象可得：对于①，()f x 在()+-∞∞，上单调递减，所以①正确；对于②，函数()y f x =与y x =-的图象没有交点，即()()F x f x x =+没有零点，所以②错误；对于③，由函数图象的对称性可知③错误；对于④，函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则1x x y y +=-中用x -代替x ，用y -代替y ，可得1y y x x +=，所以④正确.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想.10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（）A 2B ．2C 21D ．221 【答案】C【解析】设线段1PF 的中点为A ，判断出A 点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率.【详解】设线段1PF 的中点为A ，由于直线1F P 的斜率是1，而圆222:O x y c +=，所以()0,A c .由于O 是线段12F F 的中点，所以222PF OA c ==，而1122222PF AF c c ==⨯=，根据双曲线的定义可知122PF PF a -=，即2222c c a -=，即21222c a==+-. 故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11．若双曲线22214x y a -=3 ） A ．6B ．5C ．6 D ．8【答案】A【解析】【分析】依题意可得24b =，再根据离心率求出2a ，即可求出c ，从而得解；【详解】解：∵双曲线22214x y a -=所以22413e a =+=，∴22a =，∴c =故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.12．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．64种【答案】C【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，有246C =种分法； ②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有222A =种情况，此时有224⨯=种情况，则有6424⨯=种不同的安排方法；故选：C ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省怀化市2021届新高考第四次质量检测物理试题含解析

湖南省怀化市2021届新高考第四次质量检测物理试题一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．雨滴从空中由静止落下，若雨滴下落时空气阻力对其阻力随雨滴下落速度的增大而增大，则图所示的图像中，能正确反映雨滴下落运动情况的是：( )A．B．C．D．【答案】C【解析】【详解】当雨滴刚开始下落时，阻力f较小，远小于雨滴的重力G，即f＜G，故雨滴做加速运动；由于雨滴下落时空气对它的阻力随雨滴下落速度的增大而增大，由mg-f=ma可知加速度减小，故当速度达到某个值时，阻力f会增大到与重力G相等，即f=G，此时雨滴受到平衡力的作用，将保持匀速直线运动；故C正确，ABD错误。

2．如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A 与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态．若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态．则下列判断中正确的是()A．球B对墙的压力增大B．球B对柱状物体A的压力增大C．地面对柱状物体A的支持力不变D．地面对柱状物体A的摩擦力不变【答案】C【解析】对小球B 受力分析，作出平行四边形如图所示：A 滑动前，B 球受墙壁及A 的弹力的合力与重力大小相等，方向相反；如图中实线所示；而将A 向右平移后，B 受弹力的方向将上移，如虚线所示，但B 仍受力平衡，由图可知A 对B 球的弹力及墙壁对球的弹力均减小，根据牛顿第三定律可知，球B 对墙的压力减小，球B 对柱状物体A 的压力减小，故AB 错误；以AB 为整体分析，水平方向上受墙壁的弹力和地面的摩擦力而处于平衡状态，弹力减小，故摩擦力减小，故D 错误；竖直方向上受重力及地面的支持力，两物体的重力不变，故A 对地面的压力不变，故C 正确。

所以C 正确，ABD 错误。

3．a 、b 是两种单色光，其频率分别为v a 、v b ，且ba v k v =，则下列说法不正确的是（） A ．a 、b 光子动量之比为a bp k p = B ．若a 、b 光射到同一干涉装置上，则相邻条纹的间距之比为a bx k x ∆=∆ C ．若a 、b 都能使某种金属发生光电效应，则光子的最大初动能之差()ka kb b 1E E hv k -=-D ．若a 、b 是处于同一激发态的原子跃迁到A 态和B 态产生的，则A 、B 两态的能级之差()A B b 1E E hv k -=-【答案】B【解析】【分析】【详解】A ．光子的能量E h ν=，所以两种光子能量分别为a E 和b E ，且a bE k E = 则：a bk νν= 光子的动量为h νp c=，所以a b p k p =A 正确；B ．光子的波长cλν=，双缝干涉装置上相邻亮条纹的间距为L x dλ∆=，所以 a a b b b a 1x x kλνλν∆===∆ B 错误；C ．根据光电效应方程可知，光电子的最大初动能为km E h W ν=-，其中W 为金属的逸出功；则有 ()a b b 1ka kb E E h h h k ννν-=-=-C 正确；D ．若a 、b 是由处于同一激发态的原子跃迁到A 态和B 态时产生的，设初始激发态的能量为E 0，则有 a a 0A E h E E ν==-所以A 00a a E E E E h ν==--同理B 0b 0b E E E E h ν==--则()A B b a b 1E E h h hv k νν-=-=-D 正确。

2021年湖南省怀化市高考数学一模试卷

2021年湖南省怀化市高考数学一模试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|2}A x y x ==-，2{|760}B x x x =-+<，则()(R A B = )A ．{|12}x x <<B ．{|16}x x <<C ．{|13}x xD ．{|16}x x2．（5分）若1z i =-，则2||(z z += ) A ．0B ．1C ．2D ．23．（5分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若246844a a a a +++=，则9(S = ) A ．66B ．99C ．110D ．1984．（5分）陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教圣地，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言．景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为( )A ．23B ．12 C ．15D ．255．（5分）251(1)(2)x x+-展开式的常数项为( )A ．112B ．48C ．112-D ．48-6．（5分）已知函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，在(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增．若3(4)ln a f =，(2)e b f -=，1()c f ln π=（其中e 为自然对数的底数，π为圆周率），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>7．（5分）我们把离心率互为倒数且焦点相同的椭圆和双曲线称为一对“完美曲线”．已知1F ，2F 是一对“完美曲线”的焦点，M 是它们在第一象限的交点，当123F MF π∠=时，这一对“完美曲线”中双曲线的离心率是( )A ．2B C D8．（5分）若实数x ，y 满足x -=，则x 最大值是( ) A ．4B ．18C ．20D ．24二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．（5分）直线l 过点(1,2)P 且与直线30x ay +-=平行，若直线l 被圆224x y +=截得的弦长为a 的值可以是( ) A ．0B ．34C ．43 D ．43-10．（5分）已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(,)x y 为点P 的广义坐标．若点A 、B 的广义坐标分别为1(x ，12)(y x ，2)y ，关于下列命题正确的是( ) A ．线段A 、B 的中点的广义坐标为1212(,)22x x y y ++B ．A 、BC ．向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =D ．向量OA 垂直于OB 的充要条件是12210x y x y +=11．（5分）定义域为R 的函数()y f x =，对任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数为“Z 函数”，现给出如下函数，其中为“Z 函数”的有( ) A ．31y x x =-++ B ．32(sin cos )y x x x =--C ．2(2)x x y e ln e =++D ．1sin x xy e e ππ-=+12．（5分）数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列四个结论，其中正确结论是( )A ．图形关于y 轴对称B ．曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）C ．曲线C 2D ．曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）曲线()sin f x x x =在点(2π，)2π处的切线方程是．14．（5分）若3sin()12πα-2sin(2)3πα-= ．15．（5分）已知关于x 的不等式20(ax bx c a ++>，b ，)c R ∈的解集为{|34}x x <<，则25c a b++的取值范围为．16．（5分）四面体P ABC -中，3PA =，其余棱长都为2，动点Q 在ABC ∆的内部（含边界），设PAQ α∠=，二面角P BC A --的平面角的大小为β，APQ ∆和BCQ ∆的面积分别为1S ，2S ，且满足123sin 4sin S S αβ=，则2S 的最大值为．四、解答题：共70分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足2tan tan tan B bA B c=+．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若13a =3b =，求ABC ∆的面积．18．（12分）在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）11ABC A BC -中，D 为1B B 中点，F 为线段1C D 的中点，1122AC AB BC C C ====．（1）若M 为AB 中点，求证：//FM 面11A ACC ；（2）求二面角111F A C B --的余弦值．19．（12分）已知数列{}n a ，{}n b 满足：1121,1,41n n n n n b a a b b a +=+==-．（1）证明：11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（2）设1223341n n n S a a a a a a a a +=+++⋯+，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立．20．（12分）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，点F 为抛物线2:C y x =的焦点，且抛物线C 上存在不同的两点A ，B ．（1）若AB 中点为M ，且满足PA ，PB 的中点均在C 上，证明：PM 垂直于y 轴；（2）若点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，6(OA OB O ⋅=为坐标原点），且ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ，求124S S +最小值．21．（12分）近年来．我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数(Body Mass Index ，缩写为)BMI 来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是()()22::kg BMI m=体重单位身高单位中国成人的BMI 数值标准为：18.4BMI 为偏瘦；18.523.9BMI 为正常；2427.9BMI 为偏胖；28BMI >为肥胖．为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工（编号1~8)的身高()x cm 和体重()y kg 数据，并计算得到他们的BMI 值（精确到0.1)如表：（Ⅰ）现从这8名员工中选取2人进行复检，记抽取到BMI 值为“正常”员工的人数为X ．求X 的分布列及数学期望．（Ⅱ）某调查机构分析发现公司员工的身高()x cm 和体重()y kg 之间有较强的线性相关关系，在编号为6的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为ˆˆ0.5yx a =+，且根据回归方程预估一名身高为180cm 的员工体重为71kg ．计算得到的其他数据如下1170,89920ni i i x x y ===∑．（1）求ˆa的值及表格中8名员工体重的平均值y ；（2）在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63kg ，身高数据无误．请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm 的员工的体重．（附：对于一组数据1(,)x y ，2(x ，2)y ，(n x ⋯，)n y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：1221ˆni ii nii x ynxy bxn x=-=-=-∑∑，ˆˆˆ)ay bx =-． 22．（12分）已知函数2()()()x f x ax x a e a R -=++∈．（1）若0a ，函数()f x 的极大值为5e，求实数a 的值；（2）若对任意的0a ，()(1)f x bln x +，在[0x ∈，)+∞上恒成立，求实数b 的取值范围．2021年湖南省怀化市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|A x y ==，2{|760}B x x x =-+<，则()(R A B = )A ．{|12}x x <<B ．{|16}x x <<C ．{|13}x xD ．{|16}x x【解答】解：集合{|{|20}{|2}A x y x x x x ==-=，2{|760}{|16}B x x x x x =-+<=<<，所以{|2}RA x x =<，所以(){|12}R A B x x =<<．故选：A ．2．（5分）若1z i =-，则2||(z z += )A ．0B ．1CD ．2【解答】解：22(1)2z i i =-=-，2|||21|z z i i ∴+=-++=，故选：C ．3．（5分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若246844a a a a +++=，则9(S = ) A ．66B ．99C ．110D ．198【解答】解：等差数列{}n a 中，24685444a a a a a +++==，所以511a =，则91959()9992S a a a =+==．故选：B ．4．（5分）陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教圣地，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言．景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为( )A ．23B ．12 C ．15D ．25【解答】解：现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数2510n C ==，取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数155m C ==，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为51102m p n ===．故选：B ．5．（5分）251(1)(2)x x+-展开式的常数项为( )A ．112B ．48C ．112-D ．48-【解答】解：51(2)x-展开式的通项公式为515(2)r r r r T C x -+=⋅-⋅，分别令3r =、5r =，可得251(1)(2)x x+-展开式的常数项为8032112--=-，故选：C ．6．（5分）已知函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，在(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增．若3(4)ln a f =，(2)e b f -=，1()c f ln π=（其中e 为自然对数的底数，π为圆周率），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【解答】解：根据题意，函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，则函数()f x 的图象关于y 轴对称，即函数()f x 为偶函数，满足()()f x f x -=，则1()()c f ln f ln ππ==31444120ln e ln lne π->=>>=>>又由(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，则有a c b >>；故选：A ．7．（5分）我们把离心率互为倒数且焦点相同的椭圆和双曲线称为一对“完美曲线”．已知1F ，2F 是一对“完美曲线”的焦点，M 是它们在第一象限的交点，当123F MF π∠=时，这一对“完美曲线”中双曲线的离心率是( ) A ．2BCD【解答】解：设1||F P m =，2||F P n =，12||2F F c =，由余弦定理得222(2)2cos60c m n mn =+-︒，即2224c m n mn =+-，设1a 是椭圆的长半轴，2a 是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得12m n a +=，22m n a -=， 12m a a ∴=+，12n a a =-，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得22221340a c a -+=， 123a a =，221212()13c a c ce e a a ⋅=⋅==，解得2e = 故选：D ．8．（5分）若实数x ，y满足x -=，则x 最大值是( ) A ．4B ．18C ．20D ．24【解答】解：令t =，则2y t =，故x -=4x t -= 两边平方得：22(4)4()x t x t -=-，整理得：2220840(*)t xt x x -+-=0t ，∴关于t 的方程(*)有2个非负数根，∴222126480(4)01(4)020x x x t t x x ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩，0x ∴=或420x ，故x 的最大值是20，故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．（5分）直线l 过点(1,2)P 且与直线30x ay +-=平行，若直线l 被圆224x y +=截得的弦长为a 的值可以是( ) A ．0B ．34C ．43 D ．43-【解答】解：直线l 过点(1,2)P 且与直线30x ay +-=平行，设直线:0l x ay b +-=，可得120a b +-=，可得12b a =+，所以直线:120l x ay a +--=．直线l 被圆224x y +=截得的弦长为1=，解得0a =或43a =-．故选：AD ．10．（5分）已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(,)x y 为点P 的广义坐标．若点A 、B 的广义坐标分别为1(x ，12)(y x ，2)y ，关于下列命题正确的是( ) A ．线段A 、B 的中点的广义坐标为1212(,)22x x y y ++B ．A 、BC ．向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =D ．向量OA 垂直于OB 的充要条件是12210x y x y += 【解答】解：根据题意得，由中点坐标公式知A 正确；只有平面直角坐标系中两点间的距离公式B 才正确，当向量1e 与2e 的夹角不是2π时，222112122121212112|||||()()|()()2()()AB OB OA x x e y y e x x y y x x y y e e =-=-+-=-+-+--⋅，只有当向量1e 与2e 的夹角是2π时，A 、B 因此B 错误；由向量平行的充要条件得C 正确；当向量1e ，2e 是相互垂直的单位向量时，OA 与OB 垂直的充要条件为12120x x y y +=，因此D 不正确；故选：AC ．11．（5分）定义域为R 的函数()y f x =，对任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数为“Z 函数”，现给出如下函数，其中为“Z 函数”的有( ) A ．31y x x =-++ B ．32(sin cos )y x x x =--C ．2(2)x x y e ln e =++D ．1sin x xy e e ππ-=+【解答】解：由11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+得1212()[()()]0x x f x f x -->，所以()f x 在R 上单调递增，3:()1A y f x x x ==-++，由于f （1）1=，f （2）5=-，f （1）f >（2），不满足在R 上单调递增，不符合题意；:()32(sin cos )B y f x x x x ==--，()32(cos sin )3)04f x x x x π'=--=-+>恒成立，即()f x 在R 上单调递增，符合题意；C ：根据复合函数的单调性可知2(2)x xe ln e =++在R 上单调递增，符合题意；1sin :()x xD y f x e e ππ-==+，(0)0f =，f （2）0=，不满足单调递增，不符合题意．故选：BC ．12．（5分）数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列四个结论，其中正确结论是( )A ．图形关于y 轴对称B ．曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）C ．曲线C 上存在到原点的距离超过2的点D ．曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3【解答】解：对于A ，将x 换成x -，方程不变，所以图形关于y 轴对称，故选项A 正确；对于B ，当0x =时，代入方程可得21y =，所以1y =±，即曲线经过点(0,1)-，(0,1)，当0x >时，方程变为2210y xy x -+-=，所以△224(1)0x x =--，解得23(0,)x ∈，因为x 只能取整数1，当1x =时，20y y -=，解得0y =或1y =，即曲线经过点(1,0)，(1,1)，根据对称性，可得曲线还经过(1,0)-，(1,1)-，故曲线一共经过6个整点，故选项B 正确；对于选项C ，当0x >时，由221x y xy +=+，可得222212x y x y xy ++-=，当且仅当x y=取等号，所以222x y +，所以222x y +，故曲线C 上y 轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对称性可得，曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2，故选项C 错误；对于D ，在x 轴上方图形的面积大于矩形的面积122⨯=，在x 轴下方图形的面积大于等腰直角三角形的面积12112⨯⨯=，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于213+=，故选项D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）曲线()sin f x x x =在点(2π，)2π处的切线方程是 0x y -= ．【解答】解：()sin f x x x =，()sin cos f x x x x ∴'=+， ()12f π∴'=，()22f ππ=， ∴曲线()sin f x x x =在点(2π，)2π处的切线方程是22y x ππ-=-，即0x y -=．故答案为：0x y -=．14．（5分）若sin()12πα-2sin(2)3πα-= 12．【解答】解：sin()12πα-=221cos(2)12sin ()126122ππαα∴-=--=-⨯=-，21sin(2)sin[(2)]cos(2)cos(2)362662πππππαααα∴-=--=--=--=．故答案为：12． 15．（5分）已知关于x 的不等式20(ax bx c a ++>，b ，)c R ∈的解集为{|34}x x <<，则25c a b++的取值范围为) ．【解答】解：关于x 的不等式20(ax bx c a ++>，b ，)c R ∈的解集为{|34}x x <<，所以0a <，且3和4是关于x 的方程20ax bx c ++=的两实数根，由根与系数的关系知，3434b ac a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得7b a =-，12c a =，所以22514455242(2476c a a a a b a aa ++==---+-所以25c a b++的取值范围是)+∞．故答案为：)+∞．16．（5分）四面体P ABC -中，PA =，其余棱长都为2，动点Q 在ABC ∆的内部（含边界），设PAQ α∠=，二面角P BC A --的平面角的大小为β，APQ ∆和BCQ ∆的面积分别为1S ，2S ，且满足123sin 4sin S S αβ=，则2S 的最大值为 436- ．【解答】解：四面体P ABC -中，3PA =，其余棱长都为2，取BC 的中点D ，连接PD ，AD ，则PD BC ⊥，AD BC ⊥，故BDA ∠为二面角P BC A --的平面角β，因为等边三角形PBC ，ABC ，故3PD AD PA ===，故60β=︒，设Q 到BC 的距离为h ，则121sin 3sin 214sin 2AP AQ S S BC h ααβ==，化简得，AQ h =，故点Q 的轨迹为以点A 为焦点，以BC 为准线的抛物线在三角形ABC 内部的一段弧，如图建立直角坐标系，则抛物线的方程为223y x =，3)A ，直线AB 的方程为：33y x =，由22333y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得237304x x -+=，故圆弧与AB 的交点横坐标为7312x -=，则Q 到BC 的最大距离73123436h -==，故2S 的最大值为12(436)4362-=．故答案为：436-．四、解答题：共70分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足2tan tan tan B bA B c=+．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若13a =3b =，求ABC ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ）2tan tan tan B bA B c =+，∴由正弦定理可得：2tan sin tan tan sin B BA B C=+，可得：sin 2sin cos sin sin sin cos cos BB B A B CA B⨯=+，可得：2sin 2sin 2sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin sin cos cos cos cos B BB A B B B A B B AC C CA B A B ===+，sin 0B ≠，sin 0C ≠，∴解得1cos 2A =， (0,)A π∈， 3A π∴=；（Ⅱ）3A π=，13a =3b =，∴由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得：21139232c c =+-⨯⨯⨯，可得：2340c c --=，解得4c =，或1-（舍去），113sin 343322ABC S bc A ∆∴==⨯⨯⨯=．18．（12分）在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）11ABC A BC -中，D 为1B B 中点，F 为线段1C D 的中点，1122AC AB BC C C ====．（1）若M 为AB 中点，求证：//FM 面11A ACC ；（2）求二面角111F A C B --的余弦值．【解答】（1）证明：取1AA 中点N ，连结1C N ，ND ，取1C N 中点E ，连结EF ，AE ，//AN BD ，AN BD =，∴四边形ANDB 为平行四边形， //AB ND ∴，AB ND =，1NE EC =，1C F FD =，∴//12EF ND =，又1//2AM ND ，∴四边形MAEF 为平行四边形，//MF AE ∴，MF ⊂/面11A ACC ，AE ⊂面11A ACC ，//FM 面11A ACC ；（2）解：在平面111A B C 上过1A 作垂直于11A B 的直线为x 轴，分别以11A B ，1A A 为y ，z 轴，建系1A xyz -，133(3,1,0),(,1)2C F ，11133(3,1,0),(,,1)2AC A F ==，设平面11FAC 的法向量11(,,)30n x y z n AC x y =⋅=+=，133022n A F x y z ⋅=++=，取3,3,3x y z ==-=，(3,3,3)n =-．平面111A B C 的一个法向量(0,0,1)m =，设二面角111F A C B --的大小为θ，||21cos ||||399m n m n θ⋅===⋅++．19．（12分）已知数列{}n a ，{}n b 满足：1121,1,41n n n n n b a a b b a +=+==-．（1）证明：11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（2）设1223341n n n S a a a a a a a a +=+++⋯+，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立．【解答】解：（1）证明：11(1)(1)(2)2n n n n n n n nb b b a a b b b +===-+--， ∴11112n n b b +-=--，∴12111111n n n n b b b b +-==-+---．由114a =，111a b +=，可得11314b a =-=，1141b =--， ∴数列11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以4-为首项，1-为公差的等差数列．∴14(1)31n n n b =---=---，∴12133n n b n n +=-=++．（2）113n n a b n =-=+．1111(3)(4)34n n a a n n n n +==-++++，∴12231111114556(3)(4)444(4)n n n n S a a a a a a n n n n +=++⋯+=++⋯=-=⨯⨯++++， ∴22(1)(36)8443(3)(4)n n an n a n a n aS b n n n n +-+---=-=++++．由条件可知2(1)(36)80a n a n -+--<恒成立即可满足条件，设2()(1)3(2)8f n a n a n =-+--，当1a =时，()380f n n =--<恒成立，当1a >时，由二次函数的性质知不可能成立．当1a <时，对称轴3231(1)02121a a a --=--<--，()f n 在[1，)+∞为单调递减函数．f （1）(1)(36)84150a a a =-+--=-<，∴154a <，即有1a <时，4n aS b <恒成立．综上知：1a <时，4n aS b <恒成立．20．（12分）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，点F 为抛物线2:C y x =的焦点，且抛物线C 上存在不同的两点A ，B ．（1）若AB 中点为M ，且满足PA ，PB 的中点均在C 上，证明：PM 垂直于y 轴；（2）若点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，6(OA OB O ⋅=为坐标原点），且ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ，求124S S +最小值．【解答】解：（1）证明：设0(P x ，0)y ，21(A y ，1)y ，22(B y ，2)y ，因为直线PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程2200()22y y y y ++=的两个根，即220002220y y y x y -+-=，的两个不同的实数根，所以1202y y y +=，所以PM 垂直于y 轴．（2）根据题意可得1(4F ，0)，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则211x y =，222x y =，所以22121212126x x y y y y y y +=+=，则123y y =-或122y y =，因为A ，B 位于x 轴的两侧，所以123y y =-，设直线AB 的方程为x ty m =+，联立2x ty m y x=+⎧⎨=⎩，得20y ty m --=，所以123y y m =-=-，则3m =，所以直线过定点(3,0)，所以1212111143||4||224S S y y y +=⨯⨯-+⨯⨯11211111131339()()2226222222y y y y y y y y y =⨯-+=⨯+=+⨯=，当且仅当11922y y =，即132y =时取等号，故124S S +的最小值为6．21．（12分）近年来．我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数(Body Mass Index ，缩写为)BMI 来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是()()22::kg BMI m =体重单位身高单位中国成人的BMI 数值标准为：18.4BMI 为偏瘦；18.523.9BMI 为正常；2427.9BMI 为偏胖；28BMI >为肥胖．为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工（编号1~8)的身高()x cm 和体重()y kg 数据，并计算得到他们的BMI 值（精确到0.1)如表：（Ⅰ）现从这8名员工中选取2人进行复检，记抽取到BMI 值为“正常”员工的人数为X ．求X 的分布列及数学期望．（Ⅱ）某调查机构分析发现公司员工的身高()x cm 和体重()y kg 之间有较强的线性相关关系，在编号为6的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为ˆˆ0.5yx a =+，且根据回归方程预估一名身高为180cm 的员工体重为71kg ．计算得到的其他数据如下1170,89920ni i i x x y ===∑．（1）求ˆa的值及表格中8名员工体重的平均值y ；（2）在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63kg ，身高数据无误．请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm 的员工的体重．（附：对于一组数据1(,)x y ，2(x ，2)y ，(n x ⋯，)n y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：1221ˆni ii nii x ynxy bxn x=-=-=-∑∑，ˆˆˆ)ay bx =-．【解答】解：()I 由表中的BMI 数值可知，8名员工中BMI 数值为“正常”的员工有5人，所以X 的可能取值为0，1，2，0253283(0)28C C P X C ===，11532815(1)28C C P X C ===，2053285(2)14C C P X C ===， X ∴的分布列为数学期望3155355()012282814284E X =⨯+⨯+⨯==． ()II （1）根据回归方程预估一名身高为180cm 的员工体重为71kg ， ˆ710.5180a∴=⨯+，解得ˆ19a =-，故线性回归方程为ˆ0.519y x =-．样本中心点(,)x y 一定在回归直线方程上，∴0.51701966y =⨯-=．（2）由（1）知更正前的数据170,66x y ==，81182222118ˆ0.58ni ii ii i niii i x ynxy x yxybxn xxx ==-==--===--∑∑∑∑，∴88221182(8)2(89920817066)320ii i i i x x x y xy ==-=-=⨯-⨯⨯=∑∑，更正后的数据170x x '==，668(6355)678y ⨯+-'==，∴888811181828i i i i i i i i i x y x y x x y ===''=+⨯=+⨯∑∑∑，88(1)88170x y x y xy ''=+=+⨯，∴8881118882222221118(1828)(88170)(8)(182170)8960.50.8320888iiiii i i i i i iii i i x y x y x yxy x y xy b x x xxxx ======''-''+⨯-+⨯-+-⨯'====+='-'--∑∑∑∑∑∑，∴670.817069a y b x '='-''=-⨯=-，故更正后的线性回归方程为ˆ0.869yx =-．当180x =时，ˆ0.81806975y=⨯-=， ∴重新预估一名身高为180cm 的员工的体重约为75kg ．22．（12分）已知函数2()()()x f x ax x a e a R -=++∈．（1）若0a ，函数()f x 的极大值为5e，求实数a 的值；（2）若对任意的0a ，()(1)f x bln x +，在[0x ∈，)+∞上恒成立，求实数b 的取值范围．【解答】解：（1）2()()x f x ax x a e -=++的导数为2()(21)()x x f x ax e ax x a e --'=+-++2[(12)1](1)(1)x x e ax a x a e x ax a --=-+-+-=--+-． ①当0a =时，()(1)x f x e x -'=--，令()0f x '>，得1x <；()0f x '<，得1x >，所以()f x 在(,1)-∞单调递增(1,)+∞单调递减．所以()f x 的极大值为15(1)f e e=≠，不合题意． ②当0a >时，111a-<，令()0f x '>，得111x a -<<；令()0f x '<，得11x a<-或1x >；第21页（共21页）所以()f x 在1(1,1)a -单调递增，1(,1)a-∞-，(1,)+∞单调递减．所以()f x 的极大值为215(1)a f e e+==，得2a =．综上所述2a =．（2）令g （a ）2(1)x x e x a xe --=++，0a ，当0x 时，2()0x e x x -+，故g （a ）于(-∞，0]上递增，g ∴（a ）(0)x g xe -=，(0)x∴原问题(1)x xe bln x -⇔+于[0x ∈，)+∞上恒成立． ①当0b 时，0x ∀>，(1)0bln x +<，0x xe ->，此时(1)x xe bln x ->+，不合题意．②当0b >时，令()(1)x h x bln x xe -=+-，0x ，则21()()1(1)x x x x b be x h x e xe x x e--+-'=--=++，其中(1)0x x e +>，0x >，令2()1x p x be x =+-，0x >，则()p x 在区间[0，)+∞上单调递增，（ⅰ）1b 时，()(0)10p x p b =-，所以对0x ∀，()0h x '，从而()h x 在[0，)+∞上单调递增，所以对任意0x ，()(0)0h x h =，即不等式(1)x bln x xe -+，(1)x xe bln x -+于[0x ∈，)+∞上恒成立．（ⅱ）01b <<时，由(0)10p b =-<，p （1）0be =>及()p x 在区间[0，)+∞上单调递增，所以存在唯一的0[0x ∈，1]使得0()0p x =，且0(0,)x x ∈时，0()0p x <．从而0(0,)x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间0(0,)x 上单调递减，则0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h <=，即(1)x bln x xe -+<，不符合题意．综上所述，1b ．。

湖南省怀化市(新版)2024高考数学人教版质量检测(评估卷)完整试卷

湖南省怀化市（新版）2024高考数学人教版质量检测(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，且对任意的实数x，恒成立.若存在实数，，…，（），使得成立，则n的最大值为（）A．25B．26C．28D．31第(2)题已知的展开式的所有二项式系数之和为64，则（）A．9B．8C．7D．6第(3)题已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A．B．C．D．第(4)题已知，，，则（）A．B．C．D．第(5)题已知甲乙两组数据分别为和，则下列说法中不正确的是（）A．甲组数据中第70百分位数为23B．甲乙两组数据的极差相同C．乙组数据的中位数为25.5D．甲乙两组数据的方差相同第(6)题直线截圆所得劣弧所对的圆心角为（）A．B．C．D．第(7)题函数的零点所在的区间为（）A．B．C．D．第(8)题命题“若，则”的逆否命题是（）A．若，则，或B．若，则C．若，或，则D．若或，则二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列大小关系正确的是（）A．B．C．D．第(2)题已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，是棱上的一点，则（）A．直线始终与直线垂直B．存在点，使得直线与平面平行C．当是棱的中点时，直线与所成角的余弦值为D．当是棱的中点时，点与点到平面的距离相等第(3)题已知函数，，函数的图象在点处的切线为，与两坐标轴交点分别为，；在点的切线为，与两坐标轴交点分别为，．若两条切线互相垂直，则下列变量范围正确的是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则______．第(2)题已知椭圆：（），、为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，，则椭圆的离心率为______.第(3)题若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．（Ⅰ）求证：当时，的图象位于直线上方；（Ⅱ）设函数，若曲线在点处的切线与轴平行，且在点的切线与直线平行（为坐标原点），求证：．第(2)题已知点A在y轴右侧，点B，点C的坐标分别为，，直线AB，AC的斜率之积是3.(1)求点A的轨迹D的方程；(2)若抛物线与点A的轨迹D交于E，F两点，过B作于H，是否存在定点G使为常数？若存在，求出G的坐标；若不存在，请说明理由.第(3)题如图，在平行六面体中，，.(1)求证：四边形为正方形；(2)求体对角线的长度；(3)求异面直线与所成角的余弦值.第(4)题已知点在轴右侧，点、点的坐标分别为、，直线、的斜率之积是．(1)求点的轨迹的方程；(2)若抛物线与点的轨迹交于、两点，判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．第(5)题已知函数.（1）求的极值；（2）证明：.。

湖南省怀化市(新版)2024高考数学人教版质量检测(拓展卷)完整试卷

湖南省怀化市（新版）2024高考数学人教版质量检测(拓展卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(2)题若cos θ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(3)题某班有40名学生，在某次考试中，全班的平均分为70分，最高分为100分，最低分为50分，现将全班每个学生的分数以（其中）进行调整，其中是第个学生的原始分数，是第个学生的调整后的分数，调整后，全班最高分为100分，最低分为60分，则（）A．调整后分数的极差和原始分数的极差相同B．调整后分数的中位数要高于原始分数的中位数C．调整后分数的标准差和原始分数的标准差相同D．调整后分数的众数个数要多于原始分数的众数个数第(4)题已知直线与椭圆，点分别为椭圆的左右焦点，直线，，垂足分别为点（不重合），那么“直线与椭圆相切”是“”的（）A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要第(5)题已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，，则第(6)题若．则（）A．B．C．D．第(7)题已知与的夹角为，则（）A．B．C．D．第(8)题函数的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（）A ．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，是一个八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，某玩具厂商制作一个这种形状棱长为，重量为的实心玩具，则下列说法正确的是（）A．将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为.B．将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为.C．将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为.D．将玩具放至水中，其会飘浮在水面上.第(2)题已知AB为圆的直径，直线与y轴交于点M（A，B，M三点不共线），则（）A．l与C恒有公共点B．是钝角三角形C．的面积的最大值为lD．l被C截得的弦的长度最小值为第(3)题如图．在正方体中，为正方形的中心，当点在线段（不包含端点）上运动时，下列直线中一定与直线异面的是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题如图，在四边形中，，点分别是边的中点，延长和交的延长线于不同的两点，则的值为_________．第(2)题写出与圆相切且方向向量为的一条直线的方程______．第(3)题已知数列，则数列的通项公式________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数在处取得极值.（1）求实数的值，并求函数的单调区间；（2）证明：.第(2)题已知数列的前n项和为，且，数列为等差数列，，．(1)当时，求n的最小值；(2)求数列的前n项和．第(3)题如图，在直三棱柱中，，．(1)试在平面内确定一点H，使得平面，并写出证明过程；(2)若平面与底面所成的锐二面角为60°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．第(4)题已知的内角的对边分别为，且.(1)求的大小：(2)若，（i）求的面积；（ii）求.第(5)题的内角A，B，C所对的边分别为．(1)求A的大小；(2)M为内一点，的延长线交于点D，___________，求的面积．请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题．①M为的重心，；②M为的内心，；③M为的外心，．。

湖南省怀化市(新版)2024高考数学统编版(五四制)测试(预测卷)完整试卷

湖南省怀化市（新版）2024高考数学统编版（五四制）测试(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件第(2)题函数是A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为第(3)题下列函数中，周期为，且在上为减函数的是而函数为增函数，所以选AA．B．C．D．第(4)题若函数为偶函数，则（）A．-1B．0C．D．1第(5)题设为虚数单位，若复数为纯虚数，则（）A．B．C．D．第(6)题若．则（）A．B．C．D．第(7)题已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（）A．B．C．D．第(8)题如图，点分别是正四面体棱上的点，设，直线与直线所成的角为，则（）A．当时，随着的增大而增大B．当时，随着的增大而减小C．当时，随着的增大而减小D．当时，随着的增大而增大二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在正方体中，点P在正方形内，且不在棱上，则下列说法错误的是（）A．在正方形内一定存在一点Q，使得B．在正方形内一定存在一点Q，使得C．在正方形内一定存在一点Q，使得平面平面D．在正方形内一定存在一点Q，使得平面第(2)题1889年瑞典的阿伦尼乌斯提出了阿伦尼乌斯公式：（和均为大于0的常数），为反应速率常数（与反应速率成正比），为热力学温度（），在同一个化学反应过程中为大于0的定值.已知对于某一化学反应，若热力学温度分别为和时，反应速率常数分别为和（此过程中，与的值保持不变），则（）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，，则第(3)题已知在平面直角坐标系中，，，，，，P为该平面上一动点，记直线PD，PE的斜率分别为和，且，设点P运动形成曲线F，点M，N是曲线F上位于x轴上方的点，且，则下列说法正确的有（）A．动点P的轨迹方程为B．△PAB面积的最大值为C．的最大值为5D．的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题曲线围成的封闭图形的面积为__________，若直线与恰有两个公共点，则的取值范围为__________.第(2)题已知，则曲线在点处的切线方程为___________.第(3)题点是抛物线的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为_______________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题2023年5月30日，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．实验中学某班为弘扬“载人航天精神——特别能吃苦、特别能战斗、特别能攻关、特别能奉献”，举行航天知识问答活动．活动分为A、B两类项目，该班级所有同学均参加活动，且每位同学只能选择一项活动参加．活动参加情况如下表：类类男同学2515女同学10已知从该班级中随机抽取两位同学，在抽取到男同学和女同学各一位的前提下，两位同学均选择类项目的概率为．(1)求；(2)判断是否有的把握认为同学选择项目的类别与其性别有关？附：，.0.0500.0100.0013.8416.63510.828第(2)题已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若的最小值为，求的最小值.第(3)题已知正项数列的首项，其前项和为，且.数列满足：(b1+ b2.(1)求数列的通项公式；(2)记，证明：.第(4)题已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且，，求△ABC的面积．第(5)题已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角C；(2)设BC的中点为D，且，求的取值范围．。

湖南省怀化市(新版)2024高考数学统编版(五四制)质量检测(培优卷)完整试卷

湖南省怀化市（新版）2024高考数学统编版（五四制）质量检测(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题底面为菱形且侧棱垂直于底面的四棱柱中，、分别是、的中点，过点、、、的平面截直四棱柱，得到平面四边形，为的中点，且，当截面的面积取最大值时，的值为（）A．B．C．D．第(2)题正的边长为2，将它沿边上的高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球表面积为（）A．B．C．D．第(3)题的展开式中，第5项为常数项，则n=（）A．8B．6C．7D．10第(4)题设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(5)题已知圆和，动圆M与圆，圆均相切，P是的内心，且，则a的值为（）A．9B．11C．17或19D．19第(6)题已知函数设表示中的较大值，表示中的较小值，记得最小值为得最大值为,则A．B．C．D．第(7)题各项均为正数的等差数列中，前项和为，当时，有，则A．B．C．D．第(8)题若函数存在负数零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”：，其中，a，b，c分别为的三个内角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点．已知在中，，且的面积为，则（）A．角A，B，C构成等差数列B．的周长为36C．的内切圆面积为D．边上的中线长度为第(2)题对于函数，下列结论中错误的是（）A．为奇函数B．在定义域上是单调递减函数C．的图象关于点对称D．在区间上存在零点第(3)题已知向量，，以下结论正确的是（）A．若，，则B．若，则C．若，，则D．若，，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，……．该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把由这样一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记是数列的前项和，则______．第(2)题的展开式中的系数为__________.第(3)题某校高三年级进行了高考适应性测试，考生的数学成绩（满分为150分）服从正态分布，且成绩位于分的人数，成绩低于80分或高于100分的人数，成绩低于100分的人数构成等差数列，现从所有考生中任选一人，其数学成绩高于100分的概率为__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B．现规划修建一条新路（由线段MP，，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，所对的圆心角为．记∠PCA＝（道路宽度均忽略不计）．（1）若，求QN的长度；（2）求新路总长度的最小值．第(2)题2021年是中国共产党成立100周年，中共中央要求我们要熟悉党史、学习党史．某社区为了解居民对党史的认知情况，举行了一次党史知识竞赛，并从所有的居民竞赛试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在的试卷份数是24．（1）求，的值；（2）用分层抽样的方法在成绩为和这两组中共抽取5份试卷，并从这5份试卷中任取2份试卷的居民进行点评，求分数在恰有1份的概率．第(3)题已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为M，且正数满足，求的最大值.第(4)题已知函数(为常数)的图象与轴交于点，曲线在点处切线斜率为-1．(1)求a的值及函数的极值；(2)证明：当时，；(3)证明：对任意给出的正数c，总存在，使得当时恒有.第(5)题“国家反诈中心”APP集合报案助手、举报线索、风险查询、诈骗预警、骗局曝光、身份核实等多种功能于一体，是名副其实的“反诈战舰”.2021年该APP于各大官方应用平台正式上线，某地组织全体村民下载注册，并组织了一场线下反电信诈骗问卷测试，随机抽取其中100份问卷，统计测试得分（满分100分），将数据按照，，…，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求a的值及这100份问卷的平均分（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）；(2)若界定问卷得分低于70分的村民“防范意识差”，不低于90分的村民“防范意识强”．现从样本的“防范意识差”和“防范意识强”村民中采用分层抽样的方法抽取7人开座谈会，再从这7人中随机抽取3人，记抽取的3人中“防范意识强”的人数为X，求X的分布列和数学期望．。

湖南省六校2021届高三下学期4月联考数学试题(word版,含答案)

C． y = D(x) 的图象存在对称轴
D． D(x) 是周期函数，且有最小正周期
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9．下列“若 p，则 q”形式的命题中，p 是 q 的必要条件的是
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A = {1,2,3,4,5}， B = {x | x2 − 3x > 0} ，则 A CRB 中的元素个数为
A．1
B．2
C．3
B． a + b ≤ 2
a2
+ 2
b2
(a
>
0, b
>
0)
C． 2ab ≤ ab (a > 0,b > 0) a+b
D． a2 + b2 ≥ 2 ab (a > 0,b > 0)
7．已知
F1,
F2
分别是双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
> 0, b > 0) 的左、右焦点，点 P 是该双曲线上一
当 sin 2x − π = − 6
3 2
，即 2x
−
π 6
=
−π 3
，得 x
=
−π 12
时，f
(x) 取得最小值 −
3 2
−1.
………………………………………6 分
（Ⅱ）
f
A 2
=

高三数学第四次联考试题理含解析试题

靖远县2021届高三数学第四次联考试题理〔含解析〕本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

考生注意：1.本套试卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕两局部，一共150分.考试时间是是120分钟.2.请将各题答案填写上在答题卡上.3.本套试卷主要考试内容：高考全部内容.第一卷一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.集合，，那么〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先解对数不等式得集合A,再根据交集定义求结果.【详解】由题可知，，那么.应选：B【点睛】此题考察解对数不等式以及交集定义，考察根本分析求解才能，属根底题.2.复数，那么在复平面内对应的点位于〔〕A. 第一象限B. 第二象限【答案】A【解析】【分析】先化简，再根据复数模的定义以及复数几何意义确定结果.【详解】由题可知，故，于是，即位于第一象限, 应选：A【点睛】此题考察复数模的定义以及复数几何意义，考察根本分析求解才能，属根底题.3.设，满足约束条件，那么的最小值是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先作可行域，再结合图象确定最优解，即得结果.【详解】画出可行域知，当平移到过点时应选：A【点睛】此题考察线性规划求最值，考察根本分析求解才能，属根底题.4.抛物线的焦点为，点是上一点，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线定义得，即可解得结果.【详解】因为，所以.应选：B【点睛】此题考察抛物线定义，考察根本分析求解才能，属根底题.5.某学生5次考试的成绩(单位:分)分别为85，67，，80，93，其中,假设该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，那么得分的平均数不可能为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中位数为，可知，从而得到平均数小于等于，从而确定结果.【详解】的四次成绩按照由小到大的顺序排序为：，，，该学生这次考试成绩的中位数为，那么所以平均数：，可知不可能为此题正确选项：【点睛】此题考察统计中的中位数、平均数问题，关键是通过中位数确定取值范围，从而可以得到平均数的范围.6.函数的图象大致是〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性排除，；根据函数零点选A.【详解】因为函数为奇函数，排除，；又函数的零点为和，应选:A.【点睛】此题考察函数奇偶性与函数零点，考察根本分析判断才能，属根底题.7.函数的局部图像如下图，那么以下判断正确的选项是〔〕A. 直线是函数图像的一条对称轴B. 函数图像的对称中心是，C.D. 函数的最小正周期为【答案】C【解析】【分析】先根据对称轴求得，再根据正弦函数性质求对称轴、对称中心、周期以及函数值，最后作判断.【详解】由图可知，是函数的对称轴，所以解得，因为，所以，，,函数的最小正周期为,由得对称轴方程为，由得对称中心为，，应选：C.【点睛】此题考察根据图象求三角函数解析式以及正弦函数性质，考察根本分析判断与求解才能，属中档题.8.某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，其三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A. B. C. D.【分析】根据三视图复原几何体，可知为三棱柱和三棱锥的组合体，分别求解体积，加和得到结果.【详解】由题意可知，该几何体的直观图如下图：即该几何体为一个三棱柱与一个三棱锥的组合体那么三棱柱体积；三棱锥体积所求体积此题正确选项：【点睛】此题考察组合体体积的求解，关键是通过三视图准确复原几何体.9.七巧板是我国古代劳动人民的创造之一，被誉为“模板〞，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形一共七块板组成的.如下图的是一个用七巧板拼成的正方形，假设在此正方形中任取一点，那么此点取自黑色局部的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】D将右下角黑色三角形进展挪动，可得黑色局部面积等于一个等腰直角三角形加一个直角梯形的面积之和，求解出面积再根据几何概型公式求得结果.【详解】设正方形的边长为那么①处面积和右下角黑色区域面积一样故黑色局部可拆分成一个等腰直角三角形和一个直角梯形等腰直角三角形面积为：直角梯形面积为：黑色局部面积为：那么所求概率为：此题正确选项：【点睛】此题考察几何概型中的面积类问题，属于根底题.10.，那么关于的不等式的解集为〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据三角函数恒等变换求，再根据正弦函数性质求不等式解集.【详解】有题意可得，.解不等式，得应选：C【点睛】此题考察三角函数恒等变换以及正弦函数性质，考察根本分析判断与求解才能，属中档题.11.在正方体中，为棱上一点，且，为棱的中点，且平面与交于点，那么与平面所成角的正切值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平面平面，可知所求角为；假设正方体棱长为，求解出和，从而得到结果.【详解】因为平面平面所以与平面所成角即为与平面所成角可知与平面所成角为.设，那么，平面面且面，可知那么，即，在中，故与平面所成角的正切值为此题正确选项：【点睛】此题考察立体几何中的直线与平面所成角问题，关键是可以通过位置关系确定所成角，再利用直角三角形求得结果.12.函数，假设函数，，那么以下函数中与函数的单调性完全一样的是〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简，再求的单调区间，最后对照选项单调性进展选择.【详解】解得，此时.故，那么的单调递减区间为，单调递增区间为.对函数求导，得，当时，；当时，.即单调递减区间为，单调递增区间为.同理可得函数单调递减区间为，单调递增区间为.对函数求导，得，当时，；当或者时，. 即单调递减区间为，单调递增区间为和，对函数求导，得，即单调递减区间为，应选：B【点睛】此题考察函数单调性以及利用导数研究函数单调性，考察根本分析判断与求解才能，属中档题.第二卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.，，，的夹角为，那么__________.【答案】2【解析】因为，所以．故答案为：2.14.的展开式中的系数为__________．【答案】120【解析】【分析】先拆项：，再分别根据二项展开式求特定项系数，最后求和得结果.【详解】，因为的展开式中含的项为的展开式中含的项为，所以的系数为.故答案为：120【点睛】此题考察二项展开式求特定项系数，考察根本分析判断与求解才能，属根底题.15.在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与圆相切，那么_____．【答案】【解析】【分析】先求双曲线渐近线方程，再根据圆心到渐近线间隔等于半径列方程，解得结果.【详解】双曲线的渐近线方程为，与圆相切的只可能是，由，得，故故答案为：【点睛】此题考察双曲线渐近线方程以及直线与圆位置关系，考察根本分析判断与求解才能，属中档题.16.在中，角，，所对的边分别是，，，假设，且边上的高等于，那么的周长的取值范围为____【答案】【解析】【分析】根据面积可得，利用余弦定理可得；根据根本不等式可求得，又，可求得周长的取值范围.【详解】由题可知：故，即又，那么又，那么所以的周长的取值范围为此题正确结果：【点睛】此题考察解三角形中的周长最值问题的求解，关键是可以通过余弦定理建立等量关系，从而求得的最大值，再利用三角形三边关系确定最小值，从而得到取值范围.三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题.〔一〕必考题：一共60分.17.等差数列的前项和为，，.数列为等比数列，且，.〔1〕求数列和的通项公式；〔2〕记，其前项和为，证明：.【答案】〔1〕，；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕根据和求得和，从而得到；再利用，求得和，从而求得；〔2〕整理出的通项公式，利用裂项相消求得，进而证得结论.【详解】〔1〕解：设的公差为那么由，得，解得所以设的公比因为，且所以，所以〔2〕证明：因为，所以【点睛】此题考察等差、等比数列通项公式的求解和数列求和问题，关键是可以通过通项公式确定采用裂项相消的方式进展求和运算，属于常考题型.18.某种类型的题目有，，，，5个选项，其中有3个正确选项，满分是5分.赋分HY为“选对1个得2分，选对2个得4分,选对3个得5分，每选错1个扣3分，最低得分为0分〞在某校的一次考试中出现了一道这种类型的题目，此题的正确答案为，假定考生答题之答案中的选项个数不超过3个.〔1〕假设甲同学无法判断所有选项，他决定在这5个选项里面任选3个作为答案，求甲同学获得0分的概率；〔2〕假设乙同学只能判断选项是正确的，如今他有两种选择：一种是将AD作为答案，另一种是在这3个选项里面任选一个与组成一个含有3个选项之答案，那么乙同学的最正确选择是哪一种,请说明理由.【答案】〔1〕；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕先确定甲同学获得0分时对应答题情况，再根据古典概型概率公式求解，〔2〕分别计算两种情况下得分的数学期望值，再比拟大小，即可判断选择.【详解】〔1〕甲同学在这5个选项里面任选3个作为答案得分为0分，只有一种情况，那就是选了1个正确答案2个错误答案.所以，所求概率.〔2〕乙同学的最正确选择是选择.理由如下：设乙同学此题得分为分，①假设乙同学仅选择，那么，的数学期望②假设乙同学选择3个选项，那么他可能之答案为，一共3种.其中选择，得分均为分，其概率为；选择，得分为5分，其概率为.所以数学期望.由于，所以乙同学的最正确选择是选择.【点睛】此题考察古典概型概率以及数学期望，考察根本分析判断与求解才能，属中档题.19.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，是边长为的等边三角形，〔1〕证明：.〔2〕求二面角的余弦值..【答案】〔1〕见解析；〔2〕【解析】【分析】〔1〕先根据余弦定理计算得，再根据勾股定理得,即得为等腰直角三角形，取的中点，可得结合条件根据线面垂直断定定理得，即得根据勾股定理得，根据线面垂直断定定理得，最后根据面面垂直断定定理得结论，〔2〕根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果.【详解】〔1〕在中，，，，由余弦定理可得，故，所以，且为等腰直角三角形.取的中点，连接，由，得，连接，因为，所以，所以.又，，，所以，即.又，所以，又.所以.〔2〕解：以为原点，，，所在的直线分别为建立如下图的空间直角坐标系，那么，，，，.设平面的法向量，，，，令，那么，所以，设平面的法向量，，，，令，那么，所以，故.因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为【点睛】此题考察线面垂直断定定理、面面垂直断定定理以及利用空间向量求二面角，考察根本分析论证与求解才能，属中档题.20.设椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，为坐标原点，点到直线的间隔为，为等腰直角三角形.〔1〕求椭圆的HY方程；〔2〕直线与椭圆交于，两点，假设直线与直线的斜率之和为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】〔1〕；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕利用表示出点到直线的间隔；再利用和的关系得到方程，求解得到HY方程；〔2〕当直线斜率存在时，假设直线方程，利用斜率之和为得到与的关系，将直线方程化为，从而得到定点；当斜率不存在时，发现直线也过该定点，从而求得结果.【详解】〔1〕解：由题意可知：直线的方程为，即那么因为为等腰直角三角形，所以又可解得，，所以椭圆的HY方程为〔2〕证明：由〔1〕知当直线的斜率存在时，设直线的方程为代入，得所以，即设，，那么，因为直线与直线的斜率之和为所以整理得所以直线的方程为显然直线经过定点当直线的斜率不存在时，设直线的方程为因为直线与直线的斜率之和为，设，那么所以，解得此时直线的方程为显然直线也经过该定点综上，直线恒过点【点睛】此题考察椭圆HY方程求解、椭圆中的定点问题，解决定点问题的关键是可以通过中的等量关系构造关于参数的等式，减少参数数量，从而变成只与一个参数有关的函数关系式，进而求得定点.21.函数，是函数的两个极值点.〔1〕求的取值范围.〔2〕证明：.【答案】〔1〕；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕先求导数，再别离变量，转化为研究对应函数图象，利用导数研究新函数单调性，结合函数值域确定的取值范围，〔2〕先由〔1〕得，再根据导函数单调性以及是函数的两个极值点转化不等式为，化简转化证不等式,利用导数研究单调性，即可根据单调性证结论.【详解】〔1〕因为.所以由两个不等的实数解，那么，令，那么，当时，；当时，.函数在上单调递增，在上单调递减.又当时，，且，所以，解得，的取值范围为.〔2〕证明：由〔1〕得，即，且.要证，只需，又函数在上单调递增，即证，又所以只需证..令，.所以函数在上单调递增，，即.故【点睛】此题考察利用导数研究函数零点以及证明不等式，考察综合分析论证与求解才能，属难题.〔二〕选考题：一共10分.请考生在第22、23题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为〔为参数〕.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.〔1〕求直线和曲线的极坐标方程；〔2〕假设直线与的交点为,与的交点为，，且点恰好为线段的中点，求.【答案】〔1〕，；〔2〕【解析】【分析】〔1〕将曲线变为普通方程，然后将，分别代入和的方程中，从而得到极坐标方程；〔2〕将代入曲线的极坐标方程，可以得到，从而求得，得到坐标代入，从而求得.【详解】〔1〕将，代入中得到直线的极坐标方程为：在曲线的参数方程中，消去，可得即将，代入中得到曲线的极坐标方程为〔2〕在极坐标系中，由可设，，联立，可得所以因为点恰好为的中点，所以，即把代入，得所以【点睛】此题考察极坐标与参数方程局部的知识，关键是可以明确极坐标与直角坐标互化的根本方法，同时可以利用的含义在极坐标系中解决间隔类问题.23.函数，.〔1〕当时，解不等式；〔2〕假设的解集包含，求的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕分别在、和三个范围去绝对值得到不等式，解不等式求得解集；〔2〕将问题转化为在上恒成立，从而得到在上恒成立，从而得到的范围.【详解】〔1〕当时，不等式为等价于或者或者解得：或者或者综上所述：所以原不等式的解集是〔2〕由题可知，在上恒成立那么，即在上恒成立所以在上恒成立本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。