计算题一1

1. 如图所示，半径为R 的四分之三圆周轨道固定在竖直平面内，O 为圆轨道的圆心，D 为圆轨道的最高点，圆轨道内壁光滑，圆轨道右侧的水平面BC 与圆心等高．质量为m 的小球

从离B 点高度为h 处(23R ≤h ≤3R )的A 点由静止开始下落，从B 点进入圆轨道，不计空气阻力，重

力加速度为g .

(1)小球能否到达D 点？试通过计算说明；

(2)求小球在圆轨道的最高点对轨道的压力范围；

(3)通过计算说明小球从D 点飞出后能否落在水平面BC 上，若能，求落点与B 点水平距离d 的范围．

2. 如图，固定在竖直平面内的倾斜轨道AB ，与水平固定光滑轨道BC 相连，竖直墙壁CD 高H ＝0.2 m ，在地面上紧靠墙壁固定一个和CD 等高，底边长L 1＝0.3 m 的固定斜面．一个质量m ＝0.1 kg 的小物块(视为质点)在轨道AB 上从距离B 点L 2＝4 m 处由静止释放，从C 点水平抛出，已知小物块与AB 段轨道间的动摩擦因数为0.5，通过B 点时无能量损失；AB 段与水平面的夹角为37°.(空气阻力不计，取重力加速度g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

(1)求小物块运动到B 点时的速度大小；

(2)求小物块从C 点抛出到击中斜面的时间；

(3)改变小物块从轨道上释放的初位置，求小物块击中斜面时动能的最小值．

3.某人设计了如图所示的滑板个性滑道．斜面AB与半径R＝3 m的光滑圆弧轨道BC相切于B，圆弧对应的圆心角θ＝37°且过C点的切线水平，C点连接倾角α＝30°的斜面CD.一滑板爱好者连同滑板等装备(视为质点)总质量m＝60 kg.某次试滑，他从斜面上某点P由静止开始下滑，发现在斜面CD上的落点Q恰好离C点最远．若他在斜面AB上滑动过程中所受摩擦力F f与位移大小x的关系满足F f＝90x(均采用国际制单位)，忽略空气阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：

(1)P、B两点间的距离；

(2)滑板在C点对轨道的压力大小．

4．如图所示是某游戏装置的示意图，ABC为固定在竖直平面内的截面为圆形的光滑轨道，直轨道AB与水平成θ＝37°放置，且与圆弧轨道BC相切连接，AB长为L1＝0.4 m，圆弧轨道半径r＝0.25 m，C端水平，右端连接粗糙水平面CD和足够长的光滑曲面轨道DE，D是轨道的切点，CD段长为L2＝0.5 m．一个质量为m＝1 kg的可视为质点的小物块压缩弹簧后被锁定在A点，解除锁定后小物块被弹出，第一次经过D点的速度为v D＝1 m/s，小物块每次发射前均被锁定在A位置，通过调整弹簧O1端的位置就可以改变弹簧的弹性势能，已知弹簧的弹性势能最大值为E pm＝13 J，小物块与水平面CD间的动摩擦因数为μ＝0.3.(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：

(1)小物块第一次运动到BC轨道的C端时对轨道的压力大小；

(2)小物块第一次发射前弹簧的弹性势能大小；

(3)若小物块被弹出后，最后恰好停在CD中点处，不计小球与弹簧碰撞时

的能量损失，则小物块被锁定时的弹性势能可能多大．

5.如图所示，一劲度系数很大的轻弹簧一端固定在倾角θ=30°的斜面底端，将弹簧压缩至A

点锁定，然后将一质量为m的小物块紧靠弹簧放置，物块与斜面问动摩擦因数µ=．解除弹簧锁定，物块恰能上滑至B点，A、B两点的高度差为h o，已知重力加速度为g．

(1)求弹簧锁定时具有的弹性势能E p；

(2)求物块从A到B的时间t l与从B返回到A的时间t2之比；

(3)若每当物块离开弹簧后就将弹簧压缩到A点并锁定，物块返回A点时立刻解除锁定。设斜面最高点C的高度H=2h0，试通过计算判断物块最终能否从C点抛出?

6．倾角为θ的斜面与足够长的光滑水平面在D处平滑连接，斜面上AB的长度为3L，BC、CD 的长度均为3.5L，BC部分粗糙，其余部分光滑．如图1,4个“”形小滑块工件紧挨在一起排在斜面上，从下往上依次标为1、2、3、4，滑块上长为L的轻杆与斜面平行并与上一个滑块接触但不粘连，滑块1恰好在A处．现将4个滑块一起由静止释放，设滑块经过D处时无机械能损失，轻杆不会与斜面相碰．已知每个滑块的质量为m并可视为质点，滑块与粗糙面间的动摩擦因数为tan θ，重力加速度为g.求：

(1)滑块1刚进入BC时，滑块1上的轻杆所受到的压力大小；

(2)4个滑块全部滑上水平面后，相邻滑块之间的距离．

7.如图甲所示是某游乐场的过山车，现将其简化为如图乙所示的模型：倾角θ＝37°、长L＝60 cm的直轨道AB与半径R＝10 cm的光滑圆弧轨道BCDEF在B处平滑连接，C、F为圆轨道最低点，D点与圆心等高，E为圆轨道最高点；圆轨道在F点与水平轨道FG平滑连接，整条轨道宽度不计．现将一质量m＝50 g的滑块(可视为质点)从A端由静止释放．已知滑块与AB段间的动摩擦因数μ1＝0.25，与FG段间的动摩擦因数μ2＝0.5，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.

(1)求滑块到达B点时的动能E k；

(2)求滑块到达E点时对轨道的压力F N；

(3)若要滑块能在水平轨道FG上停下，求FG长度的最小值x；

(4)若改变释放滑块的位置，使滑块第一次运动到D点时速度刚好为零，求滑块从释放到它第5次返回轨道AB上离B点最远时，它在AB轨道上运动的总路程．