一次函数与特殊四边形的存在性问题(培优拓展)

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(完整)一次函数特殊平行四边形存在性

特殊平行四边形存在性

➢课前预习

1.一般情况下我们如何处理存在性问题？

(1)研究背景图形

坐标系背景下研究____________、____________;几何图形研究____________、____________、____________．

（2）根据不变特征，确定分类标准

研究定点，动点,定线段，确定分类标准

不变特征举例:

①等腰三角形（两定一动）

以定线段作为_________或者___________来分类，利用

_______________确定点的位置．

②等腰直角三角形(两定一动）

以________________来分类，然后借助_________或者

___________确定点的位置．

(3)分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解

（4）结果验证

2.用铅笔做讲义第1，2题,并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题,思路受阻时

（某个点做了2～3分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．

➢知识点睛

1.存在性问题处理框架：

①研究背景图形．

②根据不变特征,确定分类标准．

③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解．

④结果验证．

2.特殊平行四边形存在性问题不变特征举例：

①菱形存在性问题（两定两动）

转化为等腰三角形存在性问题;

以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标．

②正方形存在性问题（两定两动）

转化为等腰直角三角形存在性问题；

根据直角顶点确定分类标准，利用两腰相等或者45°角确定一动点的位置,然后通过平移确定另一动点坐标．

一次函数与特殊四边形的存在性问题(培优拓展)

一次函数与特殊四边形的存在性问题

（一）

（培优专题）

1．（2015春•校级期中）如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2015春•北京校级期中）已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B．

（1）求∠BAO的平分线的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）

（2）点M在已知直线上，点N在坐标平面内，是否存在以点M、N、A、O为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．

3．（2010秋•校级期中）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，AE ＞DE，BE=BC，点O是线段CE的中点．

（1）试说明CE平分∠BED；

（2）在直线AD上是否存在点F，使得以B、C、F、E为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F的位置，并作适当说明；如果不存在，请说明理由．

4．如图，在平面直角坐标系xOy，直线y=x+1与y=﹣2x+4交于点A，两直线与

x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；

若不存在，请说明理由．

5．如图，点A的坐标是（2，1），点B的坐标是（5，1），过点A的直线l的表

达式为y=2x+b，点C在直线l上运动，在直线OA上是否存在一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，

一次函数平行四边形存在性

平行四边形存在性

知识点睛

1.存在性问题处理框架：

①研究背景图形．

②根据不变特征，确定分类标准．

③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解．

④结果验证．

2.平行四边形存在性问题特征举例：

①三定一动，连接定点出现三条定线段．定线段分别作为平行四边形的

________，利用________确定点的坐标．

②两定两动，连接定点出现一条定线段．若定线段作为平行四边形的

________，则通过________确定点的坐标；若定线段作为平行四边形的________，则定线段绕________旋转，利用________________确定点的坐标．

精讲精练

1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(4，0)，

点C在y轴正半轴上，且OB=2OC．若M是坐标平面内一点，且以点M，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为_____________________．

2.如图，在平面直角坐标系中，已知A(3，0)，B(0，1)，

C(2，2)，若D是坐标平面内一点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为______________．

如图，在平面直角坐标系中，直线2

y x

=+与坐标轴分别交于点A，B，点C在y轴正半轴上，且

=，直线CD⊥AB于点P，交x轴于点D．在坐标平面内是否存在点M，使得以点B，P，D，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

4.如图，在平面直角坐标系中，直线

y x

=-+与x轴、y轴分别交于点A，B，

2020中考数学专题19—存在性问题之特殊四边形

2020中考专题19——存在性问题之特殊四边形

班级姓名.

【方法解读】

菱形存在性问题,抓住邻边相等(即等腰三角形)和对角线垂直；

矩形存在性问题,抓住内角90°与对角线相等；

正方形存在性问题,抓住等腰直角三角形的性质即可.

【例题分析】

例1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从点B出发,沿BA方向以2cm/s的速度向终点A运动;同时,动点Q从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度向终点B运动,将△BPQ沿BC翻折,点P的对应点为点P',设Q点运动的时间t秒,若四边形QPB P'为菱形,求t的值.

例2.（2019·齐齐哈尔）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC和BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为；

(3)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE,求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；

(4)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

例3.（2019·南充）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B -，且OB OC =．（1）求抛物线的解析式；

（2）点P 在抛物线上，且POB ACB ∠=∠，求点P 的坐标；

（3）抛物线上两点M ，N ，点M 的横坐标为m ，点N 的横坐标为4m +．点D 是抛物线上M ，N 之间的动点，过点D 作y 轴的平行线交MN 于点E ．

一次函数背景下的平行四边形存在性问题

在解决一次函数背景下的平行四边形的存在性问题，我们需要首先先厘清平行四边形的性质：

1、平行四边形的对边平行且相等；

2、平行四边形的对角线互相平分。

总结：第③种情况共有3种做法，解法1利用平行直线斜率相等，

联立求出交点D坐标；解法2利用了图形运动思想，点C→点A的运动路径与点B→点D运动路径相同(也可以利用点C→点B，点A→点D);解法3利用了平行四边形的中心对称性对角中点互相重合。三种办法殊途同归，但是方法2与3更为简单。

在解决平面直角坐标系中的平行四边形存在性问题时，首选解法3。一方面计算过程简便，另一方面不考虑方向性。将解法3进行一般化，我们可以得到以下结论：

上述问题中的问题1和2，将这类问题称为“三定一动”，即题目中有3个定点，1个动点，这个动点的横纵坐标都不确定，可以设这个定点为(x,y)，此时有2个未知数。上述问题中的问题3，将这类问题称为“二定二动”，即题目中有2个定点，2个动点，这两个动点的横纵坐标都不确定，但是这两个动点可能在直线上，也可能在坐标轴上，最后通过设元，还是体现了2个未知数。

即运用上述公式解决问题时，只能有2个未知量，不然无法解出

等式。但是如果平行四边形中有一条边平行于坐标轴(问题1)，则可以直接利用“对边相等”这个性质解决，相较于对角线法更为简单。

对于平行四边形的存在性问题，不难发现，一般情况下，动点最多也就两个，不管是在坐标轴上、还是在直线、甚至在今后所学的抛物线上，总是能够用字母表示出动点的坐标。只要能够准确分类讨论，标对了点的坐标，接下来只要计算正确即可了。

专题五一次函数中的四边形综合式问题 2020年中考数学冲刺难点突破一次函数问题(解析版)

2020年中考数学冲刺难点突破一次函数问题

专题五一次函数中的四边形综合式问题

1、如图，正方形AOBC的边长为2，点O为坐标原点，边OB，OA分别在x轴，y轴上，点D是BC的中点，

点P是线段AC上的一个点，如果将OA沿直线OP对折，使点A的对应点A′恰好落在PD所在直线上．（1）若点P是端点，即当点P在A点时，A′点的位置关系是，OP所在的直线是，当点P在C点时，A′点的位置关系是，OP所在的直线表达式是．

（2）若点P不是端点，用你所学的数学知识求出OP所在直线的表达式．

（3）在（2）的情况下，x轴上是否存在点Q，使△DPQ的周长为最小值？若存在，请求出点Q的坐标；

若不存在，请说明理由．

2、如图1，已知△ABC，AC＝BC，∠C＝90°，顶点C在直线l上

（1）操作：

过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．求证：△CAD≌△BCE．

（2）模型应用：

①如图2，在直角坐标系中，直线l：y＝3x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l绕着点A顺时针旋转45°得到直线m．求直线m的函数表达式．

②如图3，在直角坐标系中，点B（4，3），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是直线BC上的一个动点，点Q（a，5a﹣2）位于第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由．

3、如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．

求证：△BEC≌△CDA；

《一次函数》培优题[含答案解析]

1．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC

（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．

（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在

线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：一次函数综合题。

分析：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；

（2）同（1）的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论；

（3）依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=S△BCM，求BN，进而得

出ON．

解答：解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，

∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，

∴∠OAB=∠QBC，

又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，

∴△ABO≌△BCQ，

∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，

∴C（﹣3，1），

由A（0，2），C（﹣3，1）可知，直线AC：y=x+2；

（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，

∵AC=AD，AB⊥CB，

∴BC=BD，

∴△BCH≌△BDF，

∴BF=BH=2，

∴OF=OB=1，

∴DG=OB，

∴△BOE≌△DGE，

一次函数中的(特殊图形)存在性问题(解析版)八年级数学上册同步考点归类培优题库

专题十五一次函数中的（特殊图形）存在性问题

考点一直角三角形存在性问题

【方法点拨】分类讨论哪个角为直角，一般分三种情况，简称“两垂线+一圆”

1．如图1，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（﹣4，4），点B 的坐标为（4，0）．

（1）求直线AB 的解析式；

（2）点M 是坐标轴上的一个点，若AB 为直角边构造直角三角形△ABM ，请求出满足条件的所有点M 的坐标；

（3）如图2，以点A 为直角顶点作∠CAD ＝90°，射线AC 交x 轴的负半轴与点C ，射线AD 交y 轴的负半轴与点D ，当∠CAD 绕点A 旋转时，OC ﹣OD 的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程）．

【思路点拨】（1）由A 、B 两点的坐标利用待定系数法可求得直线AB 的解析式；

（2）分别过A 、B 两点作AB 的垂线，与坐标轴的交点即为所求的M 点，再结合相似三角形的性质求得OM 的长即可求得点M 的坐标；

（3）过A 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，可证明△AEC ≌△AFD ，可得到EC ＝FD ，从而可把OC ﹣OD 转化为FD ﹣OD ，再利用线段的和差可求得OC ﹣OD ＝OE +OF ＝8；

【解析】解：

（1）设直线AB 的解析式为：y ＝kx +b （k ≠0）．

∵点A （﹣4，4），点B （0，2）在直线AB 上，

∴{−4k +b =4b =2，解得{k =−12b =2

， ∴直线AB 的解析式为：y =−12x +2；

（2）∵△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形，

特殊四边形存在性问题-二次函数特殊四边形存在性问题

特殊四边形存在性问题

平行四边形：如果已知三个定点，则形成三条定线段，把每条定线段看成对角线，利用对角形互相平分解决。如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．

菱形：通常转化为等腰三角形存在问题。

矩形：通常转化为直角三角形存在问题。

正方形：通常转化为等腰直角三角形存在问题。

针对训练

1．如图，已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为P ．若以A 、C 、P 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．

2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝－x 2+2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．

3.如图（1），抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为（﹣2，0）．（1）求此抛物线的解析式；

（2）①若点D 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，连接CD ，以OE 为直径作⊙M ，如图（2），试求当CD 与⊙M 相切时D 点的坐标；

②点F 是x 轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G ，使A 、C 、G 、F 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．

21y x x c 4

=-+

4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2

＋bx －3a 经过A (－1,0)、B (0,3)两点，与x 轴交于另一点C ，顶点为D ．

例讲初中数学一次函数与几何综合问题

１)
借助表达式设出点的坐标,将点的坐标转化为横平竖
点O,
B 重合),作 CD 平行于y 轴交直线l２于点 D ,
究几何特征,考虑线段间关系,通过设线段长进而表
解:(
１)在 y＝－x＋２４中,令 x＝０,则 y＝２４,所
以 A(
０,
２４)．
在性问题．
(
４)正方形的存在性口诀:等腰直角正方形,邻边
相等加直角,一线三垂找直角．
正方形是特殊的矩形、
菱形、平行四边形,可综合以上三点解题．
例４如图８,在平面直角坐
标系 xOy 中,直线 y＝kx＋４(
k≠
０)与 y 轴交于点 A ．
通过一段时间
的训练,初中数学学困生的解题能力将会得到提升 [５]．
３结束语
综上所述,新课程改革背景下,关注数学学困生
的解题现状,立足初中数学学困生数学解题中暴露的
错误,分析错误类型及产生原因,提出针对性的解题
转化路径,已经成为研究的重点．
图２
(
２)如图２,
C 为线段 OB 上的一动点 (点 C 不与

一次函数与四边形存在性问题

一次函数与四边形存在性

【学习目标】

1．熟练运用一次函数解决特殊四边形存在问题；

2．体会数形结合的思想方法；体会一次函数与几何图形的内在联系．

平行四边形问题:（注意点的顺序）

1.给三点，先连接三点构成三角形；然后以每边为对角线构造平行四边形；以中点公式或者平移法求点坐标。

2.给两点，分为边和对角线讨论，充分利用平行四边形对边平行且相等，对角线平分两个全等三角形来做。

1.在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为

．

（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为．

（2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．

2.已知点A、B、C、D可以构成平行四边形，且点A（－1，0），点B（0，3），点C（3，0），则第四个顶点D的坐标为_________________________；

y B

A O

举一反三：

1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线

交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，以线段AB 为边

作菱形ABCD （点C 、D 在第一象限），且点D 的纵坐标为9．（1）求点A 、点B 的坐标；（2）求直线DC 的解析式；

（3）除点C 外，在平面直角坐标系xOy 中是否还存在点P ，使点A 、B 、D 、P 组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

一次函数与平行四边形存在性问题

一次函数与平行四边形存在性问题1．坐标系中的平行四边形：

（1）对边平行且相等

2. 线段中点坐标公式

平面直角坐标系中，点A坐标为(x1,y1)，点B坐标为(x2,y2)，则线段AB的中点坐标为(

2.1平行四边形顶点坐标公式

□ABCD的顶点坐标分别为A(x A,y A)、B(x B,y B)、C(x C,y C)、D(x D,y D)，则：x A+x C=x B+x D；y A+y C=y B+y D.

证明：如图2，连接AC、BD，相交于点E．

∵点E为AC的中点，∴E点坐标为(

A x

A y

又∵点E为BD的中点，∴E点坐标为(

B x

B y

∴x A+x C=x B+x D；y A+y C=y B+y D.

即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．

以上两条可统一为：

总结：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等

方法归纳：

1、列出四个点坐标

2、分三组对角线讨论列方程组，解方程组

3、验证点是否符合题意

如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的表达式；

（2）求△AOB的面积；

（3）平面内是否存在一点M，使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段OA，OC的长分别是m，n且满足（m﹣6）2+＝0，点D是线段OC上一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在矩形对角线AC上的点E处

【教学设计】八下数学专题复习--以一次函数为载体的平行四边形的存在性问题

八下数学专题复习

--以一次函数为载体的平行四边形的存在性问题

一、教学目标 1. 知识目标：探索以一次函数为载体的平行四边形的存在性问题，并能熟练应用。

2. 能力目标：经历探索以一次函数为载体的平行四边形的存在性问题，提高学生对问题的探究能力和对知识的综合应用能力。

3. 情感目标：在探究中发展学生的探究意识和合作交流的习惯，感受平行四边形与三角形知识的密切联系，体会数学的数形结合思想、分类思想和转化思想。

二、教学重难点

1. 重点：找三定一动类型的动点位置。

2. 难点：求三定一动类型的动点坐标。

三、教法：探索归纳

四、教学过程

1. 课前导学

（1）画一画：请你画出以A 、B 、C 为其中三个顶点的

平行四边形.

（2）已知点A （2,1），点C （6,5），那么AC 中点P 的

坐标为 .

（3）已知点B （3,4），点P 为线段BD 的中点，那么点

D 的坐标为 .

（4）顺次连接ABCD ，请问四边形ABCD 是什么四边

形？为什么？

（5）请问平行四边形ABCD 的顶点横坐标之间有什么

关系？纵坐标呢？

2. 归纳总结

若平行四边形ABCD 处于平面直角坐标系中，

其顶点坐标为A （x a ，y a ）B （x b ，y b ）

C （x c ，y c ）

D （x d ，y d ）,你可以得出什么

结论？

2 3. 例题讲解

已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（3,7），（1,2），

（6,4），求点D 的坐标使四边形ABCD 成为平

行四边形。

4. 变式训练

已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（3,7），（1,2），

6一次函数之存在性问题培优班讲义

一次函数之存在性问题（讲义）

一、知识点睛

存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查_______________.

一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：

1.把函数信息（_________________）转化为几何信息；

2.分析特殊状态的形成因素，画出______________________；

3.结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的_______

_______建立等式来解决问题．

二、精讲精练

如图，直线

y x

=+x轴、y轴分别交于点A，点B，已知点P是第一象限内的点，由点P，O，B组成了一个含60°角的直角三角形，则点P的坐标为__________________．

2.如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且

3 OC

（1）求点B的坐标和k的值．

（2）若点A是第一象限内直线y=kx-4上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？

（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由

3.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y

轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC

=，点C的坐标为(-9，

0)．

（1）求点B的坐标．

（2）若直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表达式．

（3）若点P是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

一次函数之存在性问题(一)(讲义及答案).

一次函数之存在性问题（一）（讲义）

➢课前预习

1.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为

( ，1)，P 为y 轴上一点，且△POA 为等腰三角形，则满足条件的点P 的坐标为．

2.如图是乐乐的五子棋棋盘的一部分（5×5 的正方形网格），以

点D，E 为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC 全等，这样的格点三角形最多可以画出个．

➢知识点睛

1.存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某

种状态是否存在的题目，主要考查．

2.存在性问题的处理思路：

①分析不变特征

分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类．

②分类画图求解

分析各种状态的可能性，画出符合题意的图形．

通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．

③结果验证

回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．

注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点、线、图形；函数背景往往研究点坐标、表达式等．

3.等腰三角形存在性的不变特征及特征下操作要点举例：

两定一动

连接两个定点得定线段，定线段在等腰三角形中作腰或底进行分类（两圆一线），通常借助腰相等或者“三线合一”进行求解．

4.全等三角形存在性的特征分析及特征下操作要点：

分析两三角形的不变特征及对应关系，根据不确定的对应关系进行分类，通常借助边、角的对应相等进行求解．

➢精讲精练

1.如图，直线y=kx-4 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，且OB

．OA 3

点 C 在第一象限，且在直线y=kx-4 上，△AOC 的面积是6．（1）求点C 的坐标．

第2讲-特殊四边形存在性问题

平行四边形存在性问题

知识总结

1．平行四边形性质：

（1）对应边平行且相等；（2）对角线互相平分． 2．坐标系中的平行四边形：

（1）对边平行且相等：A B D C

B D

C x x x x y y y y -=-⎧⎨-=-⎩，

（2）对角线互相平分：2222

A C

B D

C B

D x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，即A 、C 中点与B 、D 中点重合．

以上两条可统一为：

A B D C A C D B A B D C A C D B x x x x x x x x y y y y y y y y -=-+=+⎧⎧→⎨⎨-=-+=+⎩⎩，2222

A C

B D

C B

D x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨

++⎪=⎪⎩→A C B D A C B D x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩．当AC 和BD 为对角线时，结果可简记为：A C B D +=+（各个点对应的横纵坐标相加）．

y D -y C

x D -x C

y A -y B

x A -x B

C D

特殊四边形存在性问题

第2讲

若坐标系中的4个点A 、B 、C 、D 满足“A +C =B +D ”，则四边形ABCD 是否一定为平行四边形？反例如下：

注意：（1）四边形ABCD 是平行四边形：AC 、BD 一定是对角线．

（2）以A 、B 、C 、D 四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．

3．常见题型（1）三定一动

已知A （1，2）B （5，3）C （3，5），在坐标系内确定点D 使得以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形．

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