高中数学 第三章 基本不等式知识汇总素材 北师大版必修5
高中数学必修5(北师版)第三章不等式3.3 基本不等式(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案
1 1 时，f (x) 取得最大值 ． 6 12
设 a, b, c ∈ R，求证：a2 + b 2 + c 2 ⩾ ab + bc + ca ． 证明：因为 a2 + b 2 ⩾ 2ab ，b 2 + c 2 ⩾ 2bc，c 2 + a2 ⩾ 2ca ，所以
某种汽车，购车费用是 10 万元，每年使用的保险费、汽油费约为 0.9 万元，年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元．问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？ 解：设使用 x 年时，年平均费用 y 最少． 由于“年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元”，可知汽车每年维修费构成以 0.2 万元为首项，0.2 万元为公差的等差数列． 因此汽车使用 x 年的总维修费用为
(a2 + b 2 ) + (b 2 + c 2 ) + (c 2 + a2 ) ⩾ 2ab + 2bc + 2ca,
2
+
2
+
2
⩾
+
+
当且仅当 a = b = c 时，等号成立，所以 a2 + b 2 + c 2 ⩾ ab + bc + ca ．
3.均值不等式的实际应用 描述： 利用基本不等式解决实际问题的一般步骤： ①正确理解题意，设出变量，一般可以把要求最大（小）值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大值或最小值； ④正确写出答案． 例题： 建造一个容积为 8 m 3 ，深为 2 m 的长方形无盖水池，如果池底的造价是每平方米 120 元， 池壁的造价是每平方米 80 元，求这个水池的最低造价． 解：设水池的造价为 y 元，池底的长为 x m ，则宽为
高中数学 第三章 不等式 3.3.1 基本不等式课件 北师大版必修5
3.1 基本不等式
学习目标
1.掌握基本不等式及其推导方法. 2.理解基本不等式的几何意义及其等号 成立的条件. 3.能利用基本不等式证明不等式.
思维脉络
基本不等式 (1)概念:如果 a,b 都是非负数,那么������+2������ ≥ ������������,当且仅当 a=b 时,等号 成立.我们称上述不等式为基本不等式,其中������+2������称为 a,b 的算术平均 数, ������������称为 a,b 的几何平均数,因此,基本不等式又称为均值不等式. (2)文字叙述:两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数. (3)意义:
lg������·lg������;
(4)若
a,b∈(0,+∞),则1������
+
1 ������
>
2������������.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)正确.在基本不等式������+2������ ≥ ������������中,将 a,b 分别用 a4,b4 代换, 且 a4≥0,b4≥0,
解析:①③错,都忽视了利用基本不等式时每一项必须非负这一
条件;
②正确,若 x<0,则 x+4������=- (-������) +
-
4 ������
≤-2
(-������)·
-
4 ������
=-4,当且仅当
-x=-4������,即 x=-2 时,等号成立;
④错,当 ������2 + 2 = ������21+2时,x2+2=1,x2=-1(不成立).故正确的是②.
高中数学 第三章 不等式概念性质重难点解析素材 北师大版必修5
不等式概念性质重难点解析1．不等式的概念是本节的重点之一．用“>”、“<”、“≥”“≤”联结两个解析式组成的式子叫做不等式．当不等号两边的解析式都是代数式（整式、分式、根式）时，称之为代数不等式；当不等号两边的解析式含超越式（指数式、对数式、三角式等）时，称之为超越不等式．此外，当不等式两边的解析式含绝对值的符号时，称之为含绝对值的不等式．由此可知．高中数学中不等式与函数、方程、三角、数列、几何等内容有着密切的联系，综合性是有关不等式的问题的基本特征，揭示不等式与其他数学知识的内在联系，并在此基础上构建知识网络，是复习本章的重要任务．不等式以数与式的大小关系为研究的主要内容，而实际生活中数量的大小关系是普遍存在的．因此，应用不等式的知识和方法，分析和解决一些实际问题，也是复习本章的重要任务，应强化应用不等式的能力训练．不等式的概念还包括一组重要的等价关系：这一组等价关系把数与式的大小关系与两数（式）之差的正负号联系起来，提供了判定大小关系的基本思路和方法．应熟练掌握和应用．2．不等式的性质是本节也是全章的重点．不等式的性质可分为三组．第一组是基本性质：（1）a > b ⇔b < a（对称性）（2）a > b，b > c⇒a > c（传递性）（3）a > b ⇔a + c > b + c（4）a > b，c > 0 ⇒a c > b c；a > b，c < 0 ⇒a c < b c第二组是运算性质：（1）a > b，c > d ⇒ a + c > b + d（2）a > b，c < d ⇒a－c > b－d（3）a > b > 0，c > d > 0⇒a c > b d（4）a > b > 0，0 < c < d ⇒d b c a > （5）a > b > 0 ⇒ a n > b n （n 是正整数）（6）a > b > 0 ⇒ n n b a >（n 是大于1的整数）第三组是基本不等式：（1）若a ∈R ，则 | a | ≥ 0，a 2≥ 0．（2）若a ，b ∈R ，则 a 2 + b 2 ≥ 2ab ． （3）若a ，b ∈R +，则ab b a ≥+2． （4）若a ，b 同号，则2≥+ba ab ． （5）若a ，b ，c ∈R +，则33abc c b a ≥++． （6）若a ，b ∈R ，b a b a b a +≤+≤-||||．这些性质是证明不等式和解不等式的依据，是全章的基础，必须熟练掌握并灵活应用，才能解决好证明不等式和解不等式的有关问题．3．正确区分推出变换“⇒”和等价变换“⇔”，并正确应用于解决不等式的有关问题是本节的难点，这是两种又有区别又有联系的逻辑关系，正确区分、正确应用是提高逻辑思维能力的重要内涵，也是提高逻辑思维能力的困难所在．第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
高中数学 第一部分 第三章 §3 3.1 基本不等式课件 北师大版必修5
[一点通]
将所要证明的不等式分解变形，重新组
合后再用基本不等式，体现了“配凑”的数学方法，其 中要注意等号是否成立，尤其是多个基本不等式相加(乘) 或多次连续使用基本不等式．
1．已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立 的是 A．a＋b≥2 ab a2＋b2 C. ≥2 ab ab b a B.a＋b≥2 2ab D. ≥ ab a＋ b ( )
与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
解析：∵a、b、c互不相等，
∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2＞2ac，a2＋c2＞2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)＞2(ab＋bc＋ac)． 即a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac. 答案：p＞q
a2 b2 c2 3．已知a，b，c都大于0，求证： b ＋ c ＋ a ≥a＋b＋c.
(2)关系： 两个正实数的算术平均数 不小于 它们的几何平均数．
对于两个不等式 a＋b ①a ＋b ≥2ab，② ≥ ab 2
2 2
(1)两个不等式成立的条件不同．不等式①中a，b 都是实数；不等式②要求a，b都是非负数．
(2)“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义 a＋b 两个不等式a ＋b ≥2ab和 ≥ 2
பைடு நூலகம்
1 1 4．已知a＞0，b＞0，a＋b＝3，则a＋b的取值范围是______．
解析：∵a＞0，b＞0，a＋b＝3， 1 1 a＋b a＋b b a 2 ∴a＋b＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ≥ 3a 3b 3a 3b 3 2 b a 2 4 · ＋ ＝ ， 3a 3b 3 3
3 当且仅当a＝b＝ 时等号成立． 2 4 答案：[ ，＋∞) 3
证明：法一：∵a、b、c为不等正数，且abc＝1， ∴ a＋ b＋ c＝ 1 1 1 1 1 1 b＋c a＋c a＋b ＋ ＋ 2 2 2 1 1 1 ＝a＋b＋c. 1 bc＋ 1 ac＋ 1 ab＜
高中数学第三章不等式3.4简单线性规划线性规划之父_丹奇克素材北师大版必修52
线性规划之父----丹奇克线性规划是高中数学的重要内容,也是体现数学应用的重要方法之一.它不但在数学中有着广泛的应用,在统计等方面会经常见到它的身影.而线性规划这种方法的发展道路也经历了一个曲折的过程.许多数学家都为此付出了艰辛的劳动.提起线性规划的发展,我们不得不提起一位被称为“线性规划之父”的著名数学家---丹奇克(George Dantzig).在1982年的第11届数学规划大会上,丹奇克举例说明了单纯形法的威力.他说,为70个人分配70项任务,总共有70!种分配方案.若要按照某种标准选出最优的一种分配方案,则要对70!种方案进行分析.而70!是一个比100100还要大的天文数字.如果有10个地球,从宇宙大爆炸时代到太阳变冷,每一个地球装满并行运行程序到每秒运算10亿次到计算机.才能完成这么庞大的运算工作.但如果用单纯形法,在计算机上只需几秒钟就能得出答案.那么,什么是单纯形法呢?单纯形方法的基本思路是,首先从可行域中找一个基可行解，然后判别它是否为最优解，如果是,则停止计算;否则,就找一个更好的基可行解,再进行检验,如此反复迭代,直至找到最优解,或者判定它无界(即无有限最优解)为止.其实,这位研究出来单纯形法的神奇数学家的故事也充满着传奇色彩.常言说:“不经一番寒彻骨,怎得梅花扑鼻香”.和许多人一样,丹奇克的求学之路也经历了一个曲折的过程.丹奇克出生在一个家境贫寒的数学家的家庭,但是他初中时数学成绩却很差,进入高中由于受到一位几何老师的启发,使他对几何着了迷,在父亲的诱导下全身心投入到数学的学习中.在这期间,他的父亲曾经先后为他出了上万道几何题目.每当他得到一个答案,他的父亲就说“我再给你一道”.其实,当时他只是为了摆脱丹奇克的打扰,却成就了丹奇克非凡的数学才华.高中毕业后,他进入马里兰大学攻读数学,但当时大学数学不开设单独的有关数学应用的课程.这对于热爱数学的他来说无疑是一种损失.但是,他并没有停止对应用数学方面的研究.在一年级的化学课中,丹奇克遇到了数学的一个有趣应用,并写出与此有关的短篇论文.教授看了以后,认为结论很有意义,但他以为有人一定已经进行过研究了.两年以后,当丹奇克上三年级时,这位教授找到丹奇克,略带歉意地拿出一篇别人刚刚发表的论文,在这篇论文中竟然发现,它的结论与丹奇克两年前得到的完全一样.1937年,美国经济进入萧条时期,整个国家陷入困难状态,失业人员大量增加.而就是在这种条件下,丹奇克却在劳工统计局找到了一个统计职员的工.在此期间,他熟悉了许多与实际应用有关的知识,并与同事埃文斯成了好朋友.后来,埃文斯从事一项有关二次大战中美国经济的利昂季耶夫投入产出模型的研究,这项研究改变了丹奇克一生的研究生活.1939年,丹奇克到伯克利攻读博士学位,他师从被称为数理统计鼻祖的著名数学家内曼(Neyman, Jerzy)(1894—1981).在此期间,他所学的统计课程只有两门,并且都由内曼讲授.内曼是假设检验的统计理论的创始人之一.他与K·皮尔逊的儿子E·S·皮尔逊合著《统计假设试验理论》,发展了假设检验的数学理论，其要旨是把假设检验问题作为一个最优化问题来处理.他们把所有可能的总体分布族看作一个集合,其中考虑了一个与解消假设相对应的备择假设,引进了检验功效函数的概念,以此作为判断检验程序好坏的标准.这种思想使统计推断理论变得非常明确.内曼还想从数学上定义可信区间,提出了置信区间的概念,建立置信区间估计理论.内曼还对抽样引进某些随机操作,以保证所得结果的客观性和可靠性,在统计理论中有以他的姓氏命名的内曼置信区间法、内曼—皮尔森引理、内曼结构等.内曼将统计理论应用于遗传学、医学诊断、天文学、气象学、农业统计学等方面,取得丰硕的成果.他获得过国际科学奖,并在加利福尼亚大学创建了一个研究机构,后来发展成为世界著名的数理统计中心.在这段求学期间,丹奇克受到了很大的启发,改变了他的学习方式.在一次作业中,内曼在黑板上写了两个题目,丹奇克把它抄下来.几天以后,他把自己努力完成的作业交到内曼的办公桌上.大约经过6个星期的一天上午8点左右,内曼拿着丹奇克的本子找到他,略显激动地说:“我刚为你的论文写好一篇序言,你看一下,就可以理科寄出去发表了”.当时的丹奇克感觉有点莫名其妙,怎么也搞不清楚老师在说什么.原来,他作业中完成的那两个问题正是统计学中的两个非常著名的难题.后来,这份作业也成了丹奇克的博士论文.但令人略感遗憾的是,有关第二个难题的研究成果,直到第二次大战后才得以发表.并且是与一个叫沃尔德的联名发表的.1946年末,丹奇克建立了能反映实际工业各部门之间关系的数学模型.经过一年的思考,在1947年6月,他向经济学家科普曼斯(Tjalling C．Koopmans）介绍了线性规划模型.科普曼斯认识到,经济学中相当多的问题能转化为线性规划的形式,科普曼斯一下子看出丹奇克所介绍的模型对经济理论的重要性.这使得科普曼斯在1975年获得诺贝尔奖.后来,应科普曼的要求,为了解决军事调度问题,他又建立了单纯形法.进入20世纪90年代,年过80的丹奇克与夫人选择了美国斯坦福大学校园一幢优美的住宅一起安享晚年.他所获得的各种奖赏挂满了他的书房.。
高中数学 第三章 不等式本章整合课件 北师大版必修5
( 3)a+3b 的最小值为( )
A.2 3
B.6
C.3 3 D.12
������
������+2������
解析:( 3)a+3b≥2 32 × 3������=2 3 2 =2 32=6,
当且仅当 a=2,b=1 时,等号成立.故选 B.
答案:B
专题一
专题二
专题三
【例2】设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值
专题一
专题二
专题三
变式训练4 若不等式 2kx2+kx-38<0 对一切实数x都成立,则k的 取值范围为( )
A.(-3,0) B.[-3,0)
C.[-3,0] D.(-3,0]
解析:当k=0时,显然成立.
当
k≠0
时,有
������ Δ
< =
0, ������2
+
3������
<
0,解得-3<k<0.
是
.
解析:因为 4x2+y2+xy=1,
所以(2x+y)2=3xy+1=32×2xy+1≤32 ×
2������+������ 2
2
+1.
所以(2x+y)2≤85,当且仅当 2x=y 时,等号成立,
所以(2x+y)max=2 510.
答案:2
10 5
专题一
专题二
专题三
变式训练1
设 a,b>0,a+b=5,则 ������ + 1 + ������ + 3的最大值为
高中数学第三章不等式3.3.1基本不等式课件北师大版必修5
①当
a＝b
时，a＋b≥ 2
ab的等号成立，
即 a＝b⇒a＋2 b＝ ab；
②仅当 a＝b 时，a＋2 b≥ ab的等号成立，
[提示] 当且仅当a＝b时，取等号．
数学 必修5
第三章 不等式
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
[问题2] 还记得等差中项和等比中项吗？试举例说明．
[提示]
两个正数
a
与
b
的等差中项为a＋b，正的等比中项 2
为 ab.
例如，2 与 8 的等差中项为 5，正的等比中项为 4，显然等差
中项大于正的等比中项，那么，对任意正数 a，b，这样的关系还
练课后演练提升
数学 必修5
第三章 不等式
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
讲课堂互动讲义
数学 必修5
第三章 不等式
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
对基本不等式的理解 给出下面四个推导过程： ①∵a、b 为正实数，∴ba＋ab≥2 ba·ab＝2； ②∵x、y 为正实数，∴lg x＋lg y≥2 lg x·lg y； ③∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥2 4a·a＝4；
第三章 不等式
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
2．已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝2，则( )
A．ab≤4
B．ab≥4
C．ab≤1
D．ab≥1
解析： 由 a，b∈R＋，∴a＋2 b≥ ab，
∴ ab≤1，∴ab≤1.
答案： C
练课后演练提升
数学 必修5
第三章 不等式
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
高中数学第三章不等式3.3.1基本不等式课件北师大必修5
+
������)与
������+2������+������的大小关系
2
是
.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:(1)因为 a>2,所以 a-2>0.
又 m=a+������1-2=(a-2)+������1-2+2,所以 m≥2 (������-2)·������1-2+2=4,
当且仅当 a-2=������1-2,即 a=3 时,等号成立,所以 m∈[4,+∞).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 下列不等式正确的是
.
①若 x>0,则 cos x+co1s������≥2; ②若 x<0,则 x+4������≤-4; ③若 a,b∈R,则������������ + ������������≥2; ④ ������2 + 2 + ������21+2≥2.
答案:②
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二 利用基本不等式比较大小
【例 2】 (1)已知 m=a+������1-2(a>2),n=22-������2 (b≠0),则 m,n 之间的大 小关系是( )
A.m>n
B.m<n
C.m=n
D.不确定
(2)已知 a,b,c∈(0,+∞),则
(������
+
������)(������
ab≤
2 2
2
=1,即 ab≤1 成立.
(4)不正确.若
a,b∈(0,+∞),则1������>0,1������>0,应有1������
北师版数学必修5讲义： 第3章 3.1 基本不等式
§3基本不等式3．1基本不等式1．了解基本不等式的证明过程及其几何解释．(难点)2．了解算术平均数，几何平均数的定义．(重点)3．会用基本不等式推出与基本不等式有关的简单不等式．(重点)[基础·初探]教材整理基本不等式阅读教材P88～P89阅读材料以上部分，完成下列问题．1．基本不等式如果a，b a＝b时，等号成立，称上述不等式为基本不等式，其中a＋b2称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的几何平均数，该不等式又被称为均值不等式．2．基本不等式的文字叙述两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．意义(1)几何意义：半径不小于半弦．(2)数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．()(2)不等式a2＋b2≥2ab中等号成立的条件是a＝b.()(3)a ＋b 2≥ab 与a 2＋b 2≥2ab 这两个不等式成立的条件是相同的．( )【解析】 (1)应为任意两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)a 2＋b 2＝2ab ，即(a －b )2＝0，∴a ＝b .(3)a ＋b 2＝ab 中a 、b ∈R ＋，a 2＋b 2≥2ab 中a 、b ∈R .【答案】 (1)× (2)√ (3)×[小组合作型]已知M ＝3x ＋3y2，N ＝(3)x ＋y ，P ＝3xy (其中，0＜x ＜y )，试比较M 、N 、P 之间的大小．【精彩点拨】 根据基本不等式的条件和指数函数的单调性判断大小．【尝试解答】 3x ＋3y 2≥23x ·3y2＝3x ＋y ＝(3)x ＋y ，又0＜x ＜y ，上式“＝”不成立，∴3x ＋3y2＞(3)x ＋y ，即M ＞N .即N ＞P ，∴M ＞N ＞P .利用基本不等式比较两个数(式)的大小，就是把数(式)适当的放大或缩小，。
高中数学 第三章 不等式课件 北师大版必修5
0 的两实根 x1 x2
b 2a
则不等式
2 b x | x R，且x ，不等式 ax bx c 0 ax2 bx c 0的解集为 2a
的解集为 ；若方程 ax2 bx c 0Байду номын сангаас无实根，则不等式 的解集为 R ，不等式 ax2 bx c 0 的解集为 ．
2
则a－b值是（ ） A、－10 B、－14
C、10
D、14
4、若关于 x 的不等式 2x 2 8x 4 a 0在1 x 4 内有解，则实数 a 的取值范围是（
a 4 A． a 4 B． a 12 C．
）
D．a 12
5、求不等式 3(x 2 1) 10x 的正整数解集；
ax2 bx c 0
三、基本不等式
1．不等式 a 2 b 2 ≥ 2ab 和
成立的条件：前者只要 a， b 都是实数，后者要求 a， b
ab ab ≤ (a，b ≥ 0) 2
都是非负实数．这两个公式都是带有等号的不等式，当且仅当 a b 时“=”成立，也就是说，当 a b时取等号． 2．两个正数，若它们的积为常数，则当且仅当这两个数相等 时，它们的和有最小值． 3．两个正数，若它们的和为常数，则当且仅当这两个数相等 时，它们的积有最大值．
( A)bc ad
a b ( B)bc ad (C ) c d
a b ( D) c d
1．不等式的性质是进行不等式的证明和解不等式的依据，它 们都是不等式同解变形的基础．
2．在运用不等式的性质时，一定要严格掌握它们成立的条件
．如两边同乘以（或除以）一个正数不等号不变，若是同乘以 （或除以）一个负数则不等号反向．因此在分式不等式中，若 不能肯定分母是正数还是负数，不要轻易去分母．又如，同向 不等式相乘、不等式两边同时乘方（或开方）时，要求不等式
北师大版高中数学必修五基本不等式文字素材
不等式一、不等式的基本性质：注意：(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。
(2)注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：①若ab>0，则ba 11>。
即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。
②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。
③图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。
④中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小 二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
若0,>b a ，则ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取等号） 基本变形：①≥+b a ；≥+2)2(b a ； ②若R b a ∈,，则ab b a 222≥+，222)2(2b a b a +≥+ 基本应用：①放缩，变形； ②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。
当p ab =（常数），当且仅当 时， ；当S b a =+（常数），当且仅当 时， ； 常用的方法为：拆、凑、平方； 如：①函数)21(4294>--=x x x y 的最小值 。
②若正数y x ,满足12=+y x ，则y x 11+的最小值 。
三、绝对值不等式： ≤ ≤ ≤ 注意：上述等号“＝”成立的条件； 四、常用的基本不等式：（1）设R b a ∈,，则0)(,022≥-≥b a a （当且仅当 时取等号）（2）a a ≥||（当且仅当 时取等号）；a a -≥||（当且仅当 时取等号）（3）b a ab b a 110,<⇒>>；⇔<ba 11 ； 五、证明不等式常用方法：（1）比较法：作差比较：B A B A ≤⇔≤-0 作差比较的步骤：1）作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。
2）变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。
高中数学第三章不等式3基本不等式第1课时基本不等式课件北师大版必修5
(3)在利用均值不等式求值时，若“一正二定三相等”中的条件不满足时，则 需要对条件作出调整和转化，使其满足上述条件，方可利用均值不等式．而转化 的方法有添项、拆项、凑项、变号等．
a＋2 b≥ aba，b∈R＋ 基本不等式两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 变形技巧“1”的变换
2021/4/17
高中数学第三章不等式3基本不等式第1课时基本不等式
34
课件北师大版必修5
[解析] ∵a>0，b>0，若 a＋b≤4，∴2 ab≤ a＋b≤4. ∴ab≤4，此时充分性成立． 当 a>0，b>0，ab≤4 时，令 a＝4，b＝1，则 a＋b＝5>4， 这与 a＋b≤4 矛盾，因此必要性不成立． 综上所述，当 a>0，b>0 时，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故 选 A．
a＋b ab<a< 2 <b
[解析] 法一：∵b>a>0，∴a＋2 b> ab，
2b>a＋b
∴b>a＋2 b，∴a<
a＋b ab< 2 <b.
法二：取 a＝2，b＝8，
则 ab＝4，a＋2 b＝5，
∴a<
a＋b ab< 2 <b.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼 睛，
[分析] 要求 x＋y 的最小值，根据均值不等式定理，应构建某个积为定值．这 需要对条件进行必要的变形，考虑条件式可进行“1 的代换”，也可以“消元”等．
高中数学第三章不等式本章整合课件北师大必修5
可知函数 y= 1-������2是以原点为圆心,1
为半径在 x 轴上方的半圆,包括与 x 轴 的交点(1,0),(-1,0);而函数 y=x+a 的图 像是一条动直线,沿 y 轴方向上、下移 动,由图可知,不等式在 x∈[-1,1]上恒 成立,即|������2|>1,且 a>0,所以 a> 2,所以 a 的取值范围为( 2,+∞).
( 3)a+3b 的最小值为( )
A.2 3
ห้องสมุดไป่ตู้
B.6
C.3 3 D.12
������
������+2������
解析:( 3)a+3b≥2 32 × 3������=2 3 2 =2 32=6,
当且仅当 a=2,b=1 时,等号成立.故选 B.
答案:B
专题一
专题二
专题三
【例2】设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值
2,
故 a 的取值范围是[ 2,+∞).
专题一
专题二
专题三
变式训练3若不等式(-2)na-3n-1-(-2)n<0对任意正整数n恒成立,则 实数a的取值范围是( )
A.
1,
4 3
B.
1 2
,
4 3
C.
1,
7 4
D.
1 2
,
7 4
解析:当 n 为奇数时,2n(1-a)<3n-1,即 1-a<13 ×
是
.
解析:因为 4x2+y2+xy=1,
所以(2x+y)2=3xy+1=32×2xy+1≤32 ×
高中数学北师大版必修五课件：第3章 §3-3.1 基本不等式
④因为 x，y∈R，xy＜0，所以xy＋xy＝－－xy＋－xy≤－2 －xy－xy＝－2.
其中正确推导过程的序号为________．
【解析】 从基本不等式成立的条件考虑． ①因为 a，b∈(0，＋∞)，所以ba，ab∈(0，＋∞)，符合基本不 等式的条件，故①的推导过程正确； ②虽然 x，y∈(0，＋∞)，但当 x∈(0，1)时，lg x 是负数，当 y∈(0， 1)时，lg y 是负数，所以②的推导过程是错误的；
1．当 a，b∈R 时，下列不等关系成立的是( )
A.a＋2 b≥ ab
B．a－b≥2 ab
C．a2＋b2≥2ab
D．a2－b2≥2ab
答案：C
2．四个不相等的正数 a，b，c，d 成等差数列，则( )
a＋d A. 2 > bc
B．a＋2 d< bc
C.a＋2 d＝ bc
D．a＋2 d≤ bc
解析：选 A.因为 a，b，c，d 是不相等的正数且成等差数列，
(2)因为 x＞0，y＞0，z＞0，且 x＋y＋z＝1， 所以1x＋4y＋9z ＝(x＋y＋z)1x＋4y＋9z ＝14＋xy＋4yx＋xz＋9zx＋4yz＋9zy ≥14＋2 xy·4yx＋2 xz·9zx＋2· 4yz·9zy＝14＋4＋6＋12＝ 36.
(3)两个不等式的结构都是一边为“和式”，另一边为“积式”， 因此两个不等式都具有将“和式”化为“积式”以及将“积 式”化为“和式”的放缩功能．
利用基本不等式比较大小 已知 0＜a＜1，0＜b＜1，则 a＋b，2 ab，a2＋b2，2ab 中哪一个最大？ 【解】 因为 a＞0，b＞0，所以 a＋b≥2 ab，a2＋b2≥2ab， 所以四个数中最大数应为 a＋b 或 a2＋b2. 又因为 0＜a＜1，0＜b＜1， 所以 a2＋b2－(a＋b)＝a2－a＋b2－b＝a(a－1)＋b(b－1)＜0，所 以 a2＋b2＜a＋b，所以 a＋b 最大．